高二数学选修2-2复合函数的导数教案

1.2.3 简单复合函数的导数学习目标1．掌握简单复合函数的导数的推导2．简单复合函数的导数的应用学习重点:掌握简单复合函数的导数的推导学习难点:简单复合函数的导数的应用学习过程【基础知识梳理】1、根据导数的概念，求函数导数的过程可以用下面的流程图来表示2、运算法则法则1:两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数的和（或差），即：[()()]()().f x g x f x g x '''±=±法则2：[()]().()Cf x Cf x C ''=为常数法则3：两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数加上第一个函数乘以第二个函数的导数：[()()]()()()().f x g x f x g x f x g x '''=+法则4：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方，即： 2()()()()()[]()()f x f xg x f x g x g x g x ''-'= ()0g x ≠其中. 3、复合函数: 由几个函数复合而成的函数，叫复合函数.由函数()y f u = 与 ()u x ϕ= 复合而成的函数一般形式是[()]y f x φ=，其中u 称为中间变量.【问题探究】问题1：求函数2(32)y x =-的导数 .问题2：考察函数sin 2y x =的导数.【建构数学】一般地，我们有u =ax +b 时，有若 y =f (u ),u =ax +b ，则'''x u x y y u =⋅，''x u y y a =⋅即： •对于一般的复合函数，结论也成立 . •复合函数的求导法则 • 复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数 ，即'''x u x y y u =⋅【数学运用】例1 试说明下列函数是怎样复合而成的，并求下列函数的导数：31(1)(23);(2)ln(51);(3);(4)cos(12).31y x y x y y x x =-=+==-- 练习：试说明下列函数是怎样复合而成的，并求下列函数的导数：22(1)(2);(2)sin ;(3)cos();(4)ln sin(31).4y x y x y x y x =-==-=π － 例2 写出由下列函数复合而成的函数，并求它们的导数.（1）cos y u =,21u x =+ ; （2）ln y u =,ln u x =.例3 求y =(2x +1)5在x =1处的切线方程.【课堂练习】1.求下列函数的导数： 2321(1)(23);(2)(13);(3);(4)lnx y x y x y e y x=+=-==. 2.求曲线y =sin2x 在点P (π，0）处的切线方程.【回顾小结】（1）复合函数的求导，要注意分析复合函数的结构，引入中间变量，将复合函数分解成为较简单的函数，然后再用复合函数的求导法则求导；（2）复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代.。

简单复合函数的导数 NO.5学习目标:1. 了解复合函数的概念；2. 理解复合函数的求导法则；3. 会求简单的复合函数的导数。

二、知识扫描：1、复合函数的概念：由 复合而成的函数称为复合函数，例如：cos(12)y x =-由cos y μμ=及= 复合而成。

2.复合函数的求导法则： 若(),y f u u ax b ==+，则'y x = ，即'y x = ．三、例题选讲：例１.求下列函数的导数：（书）⑴()323y x =-； ⑵ln(51)y x =+⑶131y x =-； ⑷cos(12)y x =-例2：⑴一质点按规律(,kts ae a k =为常数）作直线活动，求它的速度和加速度，以及初始速度和初始加速度。

（高中数学《教学与测试》）⑵已知函数()sin cos ,(0,2).f x x x x π=-∈①求0x ，使'0()0f x =；②解释①中0x 及'0()f x 的意义。

（高中数学《教学与测试》）例3. ⑴求曲线y =在点(处的切线方程．⑵在曲线211y x =+上求一点，使经过该点的切线平行于x 轴。

（高中数学《教学与测试》）⑶曲线ln 2y x =在与x 轴交点处的切线方程是什么？并求出该切线与坐标轴所围成的三角形的面积。

（高中数学《教学与测试》）例4．求下列函数的导数（《世纪金榜》） ⑴2sin (2)3y x π=+ ⑵13sin(21)x y x -=-⑶y =⑷y =例5.已知函数2()2ln(2)()f x ax x a R =+-∈，设曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线为l ，若l 与圆221:4C x y +=，求a 的值。

（《世纪金榜》）三、课后作业：１.函数1ln 1x y x-=+的导数为 。

（《世纪金榜》）2.函数32()f x ax x=+'(1)5f -=，则a =_______________．（《世纪金榜》）3.函数()sin(3)6f x x π=-在点6π⎛ ⎝⎭处的切线方程为___________________． 4.设曲线41ln()33y x =-上的点到直线43110x y -+=的距离为d ，则min d = __．（《世纪金榜》）5.已知函数()sin()1(0)6f x x πωω=+->导数'()f x 的最大值为3，则ω=________________．6.已知函数()ln()f x ax b x =+-的图像过点(1,0)，在1x =处切线斜率为1，则a = ，b = 。

2019-2020学年高中数学 1.2.3复合函数的导数教案 新人教版选修2-2
【学情分析】：
在学习了用导数定义这种方法计算常见函数的导数,而且已经熟悉了导数加减运算法则后.本节将继续介绍复合函数的求导方法. 【教学目标】：
(1)理解掌握复合函数的求导法则.
(2)能够结合已学过的法则、公式，进行一些复合函数的求导
(3)培养学生善于观察事物，善于发现规律，认识规律，掌握规律，利用规律． 【教学重点】：
简单复合函数的求导法则，也是由导数的定义导出的，要掌握复合函数的求导法则，须在理解复合过程的基础上熟记基本导数公式，从而会求简单初等函数的导数并灵活应用. 【教学难点】：
复合函数的求导法则的导入,复合函数的结构分析,可多配例题, 让学生对求导法则有一个直观的了解.
【教学过程设计】：
个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少？)()]g x f ='')()])f x g =
x
u . 求下列函数的导数：32(32)31812x x =-=-，x u u y ''⋅
对于一般的复合函数，结论也成立，以后我们求。

教学目标：
1．掌握求复合函数()f ax b ＋的导数的法则；
2．熟练求简单复合函数的导数．
教学重点：
复合函数的求导法则．
教学过程：
一、问题情境
1．问题情境：什么是简单复合函数？
引例 函数2(31)y x ＝－是由哪两个函数复合而成的？函数sin 2y x ＝呢？
2．探究活动：怎么样求简单复合函数的导数？
以函数2(31)y x ＝－和sin 2y x ＝为例．
二、建构数学
1．与一次函数复合的函数的导函数公式．
2．推广：
注 1．复合函数的求导法则：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数；
2．复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代．
三、数学运用
例3 求
y －
点评 本题练习商的导数和复合函数的导数，求导数后要予以化简整理． 例4 求44sin cos y x x ＝＋的导数．
点评 可先化简变形，简化求导数运算，要注意变形准确；也可利用复合函数求导数，应注意不漏步．
练习：课本第24页第2，3，4题．
四、回顾小结
(1)复合函数的求导，要注意分析复合函数的结构，引入中间变量，将复合函数分解成为较简单的函数，然后再用复合函数的求导法则求导；
(2)复合函数求导的基本步骤是：分解—求导—相乘—回代．
五、课外作业
1．见课本P26习题1.2第8～10题．
2．补充：已知函数22()3cos sin 222x x f x ＝＋－，求5π()6f ．。

1．2.3简单复合函数的导数学习目标 1.理解掌握复合函数的求导法则.2.能够结合已学过的法则、公式，进行一些复合函数的求导．知识点复合函数的概念及求导法则已知函数y＝2x＋5＋ln x，y＝ln(2x＋5)，y＝sin(x＋2)．思考1这三个函数都是复合函数吗？思考2试说明函数y＝ln(2x＋5)是如何复合的？思考3试求函数y＝ln(2x＋5)的导数．类型一 复合函数的概念例1 下列函数是否为复合函数，若是，说明是怎样复合而成的？(1)y ＝(2－x 2)3；(2)y ＝sin x 2；(3)y ＝cos(π4－x )； (4)y ＝ln sin(3x －1)．反思与感悟 根据复合函数的定义，若是一个复合函数，分清哪个是里层函数，哪个是外层函数，引入中间变量，将复合函数分解成较为简单的函数．跟踪训练1 写出由下列函数复合而成的函数．(1)y ＝cos u ，u ＝1＋x 2；(2)y ＝ln u ，u ＝ln x .类型二 求复合函数的导数例2 求下列函数的导数：(1)y ＝32x －1；(2)y ＝1(2x ＋1)4； (3)y ＝5log 3(1－x )；(4)y ＝x 2cos(2x －π3)．跟踪训练2 (1)若f (x )＝(2x ＋a )2，且f ′(2)＝20，则a ＝ .(2)已知y ＝ln 3x e x ，则y ′|x ＝1＝ . (3)已知y ＝sin 3x ＋cos 3x ，则y ′＝ . 类型三 复合函数导数的综合应用例3 求曲线y ＝1x 2－3x 在点⎝⎛⎭⎫4，12处的切线方程．反思与感悟 (1)复合函数的导数应用主要有：求在某点处的切线方程，已知切线的方程或斜率求切点，以及涉及切线问题的综合应用．(2)先求出复合函数的导数，若已知切点，则求出切线斜率、切线方程；若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再根据条件求切点坐标．总之，切点在解决此类问题时起着至关重要的作用．跟踪训练3 设f (x )＝ln(x ＋1)＋x ＋1＋ax ＋b (a ，b ∈R 且为常数)，曲线y ＝f (x )与直线y ＝32x 在点(0,0)相切．求a ，b 的值．1．函数y ＝sin 3x 是由函数 复合而成的．2．设f (x )＝e －x 则f ′(x )＝ .3．函数y ＝(1－2x )4在x ＝12处的导数为 ． 4．过曲线y ＝11＋x 2上一点，使曲线在该点的切线平行于x 轴，求切线方程．1．复合函数求导的步骤2．求复合函数的导数的注意点：(1)分解的函数通常为基本初等函数；(2)求导时分清是对哪个变量求导；(3)计算结果尽量简洁．提醒：完成作业 1.2.3答案精析问题导学知识点思考1 函数y ＝ln(2x ＋5)，y ＝sin(x ＋2)是复合函数，函数y ＝2x ＋5＋ln x 不是复合函数． 思考2 设u ＝2x ＋5，则y ＝ln u ，从而y ＝ln(2x ＋5)可以看作是由y ＝ln u 和u ＝2x ＋5，经过“复合”得到的，即y 可以通过中间变量u 表示为自变量x 的函数．思考3 y ′＝12x ＋5·(2x ＋5)′＝22x ＋5. x 的函数 f (g (x )) y ′u ·u ′x y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积题型探究例1 解 (1)y ＝(2－x 2)3是由y ＝u 3及u ＝2－x 2复合而成．(2)y ＝sin x 2是由y ＝sin t 及t ＝x 2复合而成．(3)y ＝cos(π4－x )是由y ＝cos u 及u ＝π4－x 复合而成． (4)y ＝ln sin(3x －1)是由y ＝ln u ，u ＝sin t 及t ＝3x －1复合而成．跟踪训练1 解 (1)y ＝cos(1＋x 2)．(2)y ＝ln(ln x )．例2 解 (1)函数y ＝32x －1看作函数y ＝3u 与函数u ＝2x －1的复合，∴y ′＝y ′u ·u ′x ＝(3u )′·(2x －1)′＝(2ln 3)·3u ＝2·32x －1·ln 3.(2)y ＝1(2x ＋1)4＝(2x ＋1)－4，函数y ＝1(2x ＋1)4看作函数y ＝u －4与u ＝2x ＋1的复合． y ′＝y ′u ·u ′x ＝(u －4)′·(2x ＋1)′＝－4u －5×2＝－8(2x ＋1)－5＝－8(2x ＋1)5. (3)函数y ＝5log 3(1－x )看作函数y ＝5log 3u 与函数u ＝1－x 的复合．y ′＝y ′u ·u x ′＝(5log 3u )′(1－x )′＝5u ln 3×(－1)＝5(ln 3)(x －1). (4)函数t ＝cos(2x －π3)看作函数t ＝cos u 与u ＝2x －π3的复合． ∴[cos(2x －π3)]′＝(cos u )′(2x －π3)′ ＝－2sin u ＝－2sin(2x －π3)，∴y ′＝(x 2)′cos(2x －π3)＋x 2[cos(2x －π3)]′ ＝2x cos(2x －π3)－2x 2sin(2x －π3)． 跟踪训练2 (1)1 (2)1－ln 3e(3)3sin 2x cos x －3sin 3x例3 解 y ′＝[(x 2－3x )－12]′＝－12(x 2－3x )－32·(2x －3)， ∴y ＝1x 2－3x 在点⎝⎛⎭⎫4，12处的切线斜率为k ＝y ′| x ＝4＝－12×(42－3×4)－32×(2×4－3)＝－516， ∴切线方程为y －12＝－516(x －4)，即5x ＋16y －28＝0. 跟踪训练3 解 由y ＝f (x )过点(0,0)得b ＝－1，∴f (x )＝ln(x ＋1)＋x ＋1＋ax －1，∴f ′(x )＝1x ＋1＋12x ＋1＋a ， 又∵曲线y ＝f (x )与直线y ＝32x 在点(0,0)相切，即曲线y ＝f (x )在点(0,0)处切线的斜率为32，∴f ′(0)＝32，即1＋12＋a ＝32，∴a ＝0. 达标检测1．y ＝u 3及u ＝sin x 2.－e －x 3.04．解 设切点的坐标为(x 0，y 0)，因为过点(x 0，y 0)的切线平行于x 轴，于是k ＝0，由导数几何意义知k ＝f ′(x 0)＝－2x 0(1＋x 20)2＝0，所以x 0＝0.又因为点(x 0，y 0)在曲线y ＝11＋x 2上，将x 0＝0代入得y 0＝1.故切点坐标为(0,1)，切线方程为y －1＝0.。

1．2.3 简单复合函数的导数1.了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则．2.能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则进行一些简单复合函数的求导(仅限于形如f (ax ＋b )的导数)．一、知识回顾函数的和、差、积、商的求导法则设两个函数分别为f (x )和g (x ) 两个函数的和的导数[f (x )＋g (x )]′＝ 两个函数的差的导数[f (x )－g (x )]′＝ 常数与一个函数的乘积的导数[C ·f (x )]′＝ (C 为常数) 两个函数的积的导数[f (x )·g (x )]′＝ 两个函数的商的导数 [f (x )g (x )]′＝ (g (x )≠0) 二、知识探究1．复合函数的概念由基本初等函数复合而成的函数，称为复合函数．cos()cos 44y x y u u x 如由及复合而成.3221(1)(2)(31)(3)sin (4)sin 2y x y x xy x x y x思考：下列哪些函数可以由两个基本初等函数复合得到？2．复合函数的求导法则2(2)(31)(4)sin 2y x y x 思考：下列这些复合函数可以借助于已有的知识求出导函数吗？2(2)(31),6(31)(4)sin 2,2cos 2y x y x y x y x思考：对照下列复合函数的复合形式，发现规律.ln(2)x u x y y u y x 对于猜想，尝试对函数求导进行验证 若y ＝f (u )，u ＝ax ＋b ，则y x ′＝ ，即y x ′＝ ． 其中y x ′，y u ′分别表示y 关于 的导数及y 关于 的导数．三、知识应用(1)ln(51)(2)cos(12)y x y x 例1：求下列函数的导数31(1)(23)(2)31y x y x 例2：求下列函数的导数四、当堂训练1.指出下列函数的复合关系：(1)y ＝(a ＋bx n )m ；(2)y ＝(x 2＋4x )3；(3)y ＝e2＋x 2；(4)y ＝2sin(2－x 2)．2.求下列函数的导数．(1)y ＝(2x ＋3)2；(2)y ＝e －2x ；(3)y ＝sin (πx ＋φ)(其中π，φ均为常数)．。

高二数学选修2-2复合函数的导数教案一、学习目标 理解并掌握复合函数的求导法则．二、重点难点 本节的重点是复合函数的求导方法：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数之积．本节的难点是：正确分解复合函数的复合过程，做到不漏，不重，熟练，正确．三、典型例题1．求复合函数的导数例1求y ＝sin （tan x 2）的导数．【点评】求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，由外层向内层逐层求导，直到关于自变量求导，同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果．2．和、差、积、商的导数中的复合函数的导数．例2求y ＝sin 43 x cos 3 4 x 的导数【点评】复合函数为三层复合．正确认识复合过程关键是熟悉初等函数和导数公式．例3求y ＝ax x ax 22--的导数．【点评】本题练习商的导数和复合函数的导数．求导数后要予以化简整理．3．开阔思路，恰当选用求导数方法．例4求y ＝sin 4x ＋cos 4x 的导数．【解法一】y ＝sin 4x ＋cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 2cos 2x ＝1－21sin 22 x ＝1－41（1－cos 4 x ）＝43＋41cos 4 x ． y ′＝－sin 4 x ．【解法二】y ′＝(sin 4 x )′＋(cos 4 x )′＝4 sin 3 x (sin x )′＋4 cos 3x (cos x )′＝4 sin 3 x cos x ＋4 cos 3 x (－sin x )＝4 sin x cos x (sin 2 x －cos 2 x )＝－2 sin 2 x cos 2 x ＝－sin 4 x【点评】解法一是先化简变形，简化求导数运算，要注意变形准确．解法二是利用复合函数求导数，应注意不漏步．例5求y ＝A A sin 1sin 1++- （0＜A ＜2π) 【解法一】y ＝A A sin 1sin 1++-（0＜A ＜2π) ∴ y ＝)2πcos(1)2πcos(1A A -++--＝2sin （24πA -）＋2cos （24πA -） ＝2 [22sin （24πA -）＋22cos （24πA -）]＝2 sin （22πA -）＝2 cos 2A y ′＝(2 cos2A )′＝－sin 2A ． 【解法二】y ′＝(A sin 1-)′＋(A sin 1+)′ ＝21(1－sin A )21-(－cos A )＋21(1＋sin A )21-cos A ＝AA A A cos 2)sin 1sin 1(cos +-- ∵ A ∈（0，2π） ＝21[（cos 2A －sin 2A ）－（cos 2A ＋sin 2A ）] ＝－sin 2A ．【解法三】∵ 0＜A ＜2π y ＝A sin 1-＋A sin 1+＝（cos2A －sin 2A ）＋（cos 2A ＋sin 2A ）＝2 cos 2A ． y ′＝－sin 2A ． 【点评】解法一和解法三都是先化简，但难易有别，繁简差异较大，恰当选择公式是关键．解法二是从和的导数求导数入手．后面的化简较繁．例6曲线y ＝x （x ＋1）（2－x ）有两条平行于直线y ＝x 的切线，求此二切线之间的距离．【解】y ＝－x 3 ＋x 2 ＋2 xy ′＝－3 x 2＋2 x ＋2 令y ′＝1即3 x 2－2 x －1＝0，解得 x ＝－31或x ＝1．于是切点为P （1，2），Q （－31，－2714）， 过点P 的切线方程为，y －2＝x －1即 x －y ＋1＝0．显然两切线间的距离等于点Q 到此切线的距离，故所求距离为2|1271431|++-＝22716． 【点评】例6复习导数的运算和导数的几何意义．。

1.2.2复合函数的求导法则教学目标 理解并掌握复合函数的求导法则．教学重点 复合函数的求导方法：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数之积．教学难点 正确分解复合函数的复合过程，做到不漏，不重，熟练，正确．一．创设情景（一）基本初等函数的导数公式表（2）推论：[]''()()cf x cf x = （常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）二．新课讲授复合函数的概念 一般地，对于两个函数()y f u =和()u g x =，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数()y f u =和()u g x =的复合函数，记作()()y f g x =。

复合函数的导数 复合函数()()y f g x =的导数和函数()y f u =和()u g x =的导数间的关系为x u x y y u '''=⋅，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．若()()y f g x =，则()()()()()y f g x f g x g x ''''==⋅⎡⎤⎣⎦三．典例分析例1求y ＝sin （tan x 2）的导数．【点评】求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，由外层向内层逐层求导，直到关于自变量求导，同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果． 例2求y ＝ax x ax 22--的导数．【点评】本题练习商的导数和复合函数的导数．求导数后要予以化简整理．例3求y ＝sin 4x ＋cos 4x 的导数．【解法一】y ＝sin 4x ＋cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 2cos 2x ＝1－21sin 22 x ＝1－41（1－cos 4 x ）＝43＋41cos 4 x ．y ′＝－sin 4 x ． 【解法二】y ′＝(sin 4 x )′＋(cos 4 x )′＝4 sin 3 x (sin x )′＋4 cos 3x (cos x )′＝4 sin 3 x cos x ＋4 cos 3 x (－sin x )＝4 sin x cos x (sin 2 x －cos 2 x )＝－2 sin 2 x cos 2 x ＝－sin 4 x【点评】解法一是先化简变形，简化求导数运算，要注意变形准确．解法二是利用复合函数求导数，应注意不漏步．例4曲线y ＝x （x ＋1）（2－x ）有两条平行于直线y ＝x 的切线，求此二切线之间的距离．【解】y ＝－x 3 ＋x 2 ＋2 x y ′＝－3 x 2＋2 x ＋2令y ′＝1即3 x 2－2 x －1＝0，解得 x ＝－31或x ＝1． 于是切点为P （1，2），Q （－31，－2714）， 过点P 的切线方程为，y －2＝x －1即 x －y ＋1＝0．显然两切线间的距离等于点Q 到此切线的距离，故所求距离为2|1271431|++-＝22716． 四．课堂练习1．求下列函数的导数 (1) y =sin x 3+sin 33x ；（2）122sin -=x x y ;(3))2(log 2-x a 2.求)132ln(2++x x 的导数五．回顾总结六．布置作业。

情境一：复习 ：1.基本初等函数有哪些？2.求下列函数的导数：（1）()324y x x =-（2）sin x y x=（3）3cos 4sin y x x =- （4）()223y x =+（5）()ln 2y x =+ 问题1：函数（4）利用基本初等函数求导公式如何求导?问题2：函数(5)能用学过的公式求导吗?问题3：函数()ln 2y x =+有什么结构特点？情境二：分清以上函数的结构特点之后，你能尝试给出复合函数的概念吗？复合函数的概念：一般地，对于两个函数()y f u =和()u g x =，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数()y f u =和()u g x =的复合函数，记作()()y f g x =。

情境三：复合函数的求导法则是什么？一般分几个步骤进行？求复合函数的导数需要注意哪些方面？复合函数的导数：复合函数()()y f g x =的导数和函数()y f u =和()u g x =的导数间的关系为x u x y y u '''=⋅，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．即：若()()y f g x =，则()()()()()y f g x f g x g x ''''==⋅⎡⎤⎣⎦注意：①中间变量的选择应是基本初等函数结构 ②关键是正确分清函数的复合层次③一般是从最外层开始，由外及里，一层一层地求导 ④要善于把一部分表达式作为一个整体 ⑤最后要把中间变量换成自变量的函数（即代回）【典例分析】例1（课本例4）求下列函数的导数：（1）2(23)y x =+；（2）0.051x y e -+=；（3）sin()y x πϕ=+（其中,πϕ均为常数）．例2求2sin(tan )y x =的导数．【点评】求复合函数的导数，关键在于分析清楚函数的复合关系，选好中间变量。

变式训练：求下列函数的导数（1）cos 3x y = （2）y 3）x x y 44cos sin += 解（3）时注意方法的灵活性，多样性。

第3课时简单复合函数的导数学习目标1.了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则.2.能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则进行一些复合函数的求导(仅限于形如f(ax＋b)的导数)．知识点复合函数的概念及求导法则已知函数y＝ln(2x＋5)，y＝sin(x＋2)．思考这两个函数有什么共同特征？[答案]函数y＝ln(2x＋5)，y＝sin(x＋2)都是由两个基本函数复合而成的．梳理1．函数y＝e－x的导数为y′＝e－x.(×)2．函数f (x )＝sin(－x )的导数为f ′(x )＝cos x ．( × )3．函数y ＝cos(3x ＋1)由函数y ＝cos u ，u ＝3x ＋1复合而成．( √ )类型一 求复合函数的导数 命题角度1 单纯的复合函数求导例1 求下列函数的导数．(1)y ＝11－2x 2； (2)y ＝log 2(2x ＋1)；(3)y ＝e cos x ＋1；(4)y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 考点 简单复合函数的导数 题点 简单复合函数的导数解 (1)y ＝122(12)x --， 设y ＝12u -，u ＝1－2x 2，则y ′＝(12u -)′(1－2x 2)′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1232u -·(－4x ) ＝－12322(12)x --·(－4x )＝2x 322(12)x --. (2)设y ＝log 2u ，u ＝2x ＋1，则y x ′＝y u ′·u x ′＝2u ln 2＝2(2x ＋1)ln 2. (3)设y ＝e u ，u ＝cos x ＋1，则y x ′＝y u ′·u x ′＝e u ·(－sin x )＝－e cos x ＋1sin x .(4)y ＝1－cos ⎝⎛⎭⎫4x ＋2π32对于t ＝cos ⎝⎛⎭⎫4x ＋2π3， 设u ＝4x ＋2π3， 则t ＝cos u ，t u ′u x ′＝－4sin u ＝－4sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋2π3. ∴y ′＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋2π3. 反思与感悟 (1)求复合函数的导数的步骤(2)求复合函数的导数的注意点：①分解的函数通常为基本初等函数；②求导时分清是对哪个变量求导；③计算结果尽量简洁．跟踪训练1 求下列函数的导数．(1)y ＝(x 2－4)2；(2)y ＝ln(6x ＋4)；(3)y ＝103x －2；(4)y ＝2x －1；(5)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫3x －π4；(6)y ＝cos 2x .考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数解 (1)y ′＝2(x 2－4)(x 2－4)′＝2(x 2－4)·2x＝4x 3－16x .(2)y ′＝16x ＋4·(6x ＋4)′＝33x ＋2. (3)y ′＝(103x －2ln 10)·(3x －2)′＝3×103x －2ln 10.(4)y ′＝122x －1·(2x －1)′＝12x －1 . (5)y ′＝cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4·⎝⎛⎭⎫3x －π4′＝3cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4. (6)y ′＝2cos x ·(cos x )′＝－2cos x ·sin x ＝－sin 2x .命题角度2 复合函数与导数运算法则结合求导例2 求下列函数的导数．(1)y ＝ln 3x e x ； (2)y ＝x 1＋x 2；(3)y ＝x cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2. 考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数解 (1)∵(ln 3x )′＝13x ×(3x )′＝1x， ∴y ′＝(ln 3x )′e x －(ln 3x )(e x )′(e x )2＝1x －ln 3x e x ＝1－x ln 3x x e x. (2)y ′＝(x1＋x 2)′ ＝x ′1＋x 2＋x (1＋x 2)′ ＝1＋x 2＋x 21＋x 2＝(1＋2x 2)1＋x 21＋x 2. (3)∵y ＝x cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 ＝x (－sin 2x )cos 2x ＝－12x sin 4x ， ∴y ′＝⎝⎛⎭⎫－12x sin 4x ′ ＝－12sin 4x －x 2cos 4x ·4 ＝－12sin 4x －2x cos 4x . 反思与感悟 (1)在对函数求导时，应仔细观察及分析函数的结构特征，紧扣求导法则，联系学过的求导公式，对不易用求导法则求导的函数，可适当地进行等价变形，以达到化异求同、化繁为简的目的．(2)复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，由外及内逐层求导．跟踪训练2 求下列函数的导数．(1)y ＝sin 3x ＋sin x 3；(2)y ＝x ln(1＋2x )．考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数解 (1)y ′＝(sin 3x ＋sin x 3)′＝(sin 3x )′＋(sin x 3)′＝3sin 2x cos x ＋cos x 3·3x 2＝3sin 2x cos x ＋3x 2cos x 3.(2)y ′＝x ′ln(1＋2x )＋x [ln(1＋2x )]′＝ln(1＋2x )＋2x 1＋2x. 类型二 复合函数导数的应用例3 设f (x )＝ln(x ＋1)＋x ＋1＋ax ＋b (a ，b ∈R ，a ，b 为常数)，曲线y ＝f (x )与直线y ＝32x 在(0,0)点相切，求a ，b 的值．考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数的综合应用解 由曲线y ＝f (x )过(0,0)点，可得ln 1＋1＋b ＝0，故b ＝－1.由f (x )＝ln(x ＋1)＋x ＋1＋ax ＋b ，得f ′(x )＝1x ＋1＋12x ＋1＋a ， 则f ′(0)＝1＋12＋a ＝32＋a ， 即为曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线的斜率．由题意，得32＋a ＝32，故a ＝0. 反思与感悟 复合函数导数的应用问题，正确的求出此函数的导数是前提，审题时注意所给点是不是切点，挖掘题目隐含条件，求出参数，解决已知经过一定点的切线问题，寻求切点是解决问题的关键．跟踪训练3 曲线y ＝e sin x 在点(0,1)处的切线与直线l 平行，且与l 的距离为2，求直线l 的方程．考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数的综合应用解 由y ＝e sin x ，得y ′＝(e sin x )′＝cos x e sin x ，即=0|x y'＝1，则切线方程为y －1＝x －0，即x －y ＋1＝0.若直线l 与切线平行，可设直线l 的方程为x －y ＋c ＝0.两平行线间的距离d ＝|c －1|2＝2，得c ＝3或c ＝－1. 故直线l 的方程为x －y ＋3＝0或x －y －1＝0.1．函数y ＝12(e x ＋e －x )的导数是( ) A.12(e x －e －x ) B.12(e x ＋e －x ) C ．e x －e －xD ．e x ＋e －x 考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数[答案] A[解析] y ′＝⎣⎡⎦⎤12(e x ＋e －x )′＝12(e x －e －x )． 2．函数y ＝x 2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3的导数为( ) A ．y ′＝2x cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3－x 2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 B ．y ′＝2x cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3－2x 2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 C ．y ′＝x 2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3－2x sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 D ．y ′＝2x cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋2x 2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数[答案] B[解析] y ′＝(x 2)′cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋x 2⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3′ ＝2x cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋x 2⎣⎡⎦⎤－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3⎝⎛⎭⎫2x －π3′＝2x cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3－2x 2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 3．已知函数f (x )＝ln(3x －1)，则f ′(1)＝________.考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数[答案] 32[解析] ∵f ′(x )＝13x －1·(3x －1)′＝33x －1，∴f ′(1)＝32. 4．函数y ＝2cos 2x 在x ＝π12处的切线斜率为________． 考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数的综合应用[答案] －1[解析] 由函数y ＝2cos 2x ＝1＋cos 2x ，得y ′＝(1＋cos 2x )′＝－2sin 2x ，所以函数在x ＝π12处的切线斜率为－2sin ⎝⎛⎭⎫2×π12＝－1. 5．曲线y ＝2e x 在点(4，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________．考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数的综合应用[答案] e 2[解析] y ′＝122e x ， 切线的斜率k ＝12e 2， 则切线方程为y －e 2＝e 22(x －4)， 令x ＝0，得y ＝－e 2，令y ＝0，得x ＝2，∴切线与坐标轴围成的面积为12×2×|－e 2|＝e 2.求简单复合函数f(ax＋b)的导数实质是运用整体思想，先把简单复合函数转化为常见函数y＝f(u)，u＝ax＋b的形式，然后再对y＝f(u)与u＝ax＋b分别求导，并把所得结果相乘．灵活应用整体思想把函数化为y＝f(u)，u＝ax＋b的形式是关键.。

简单复合函数的导数[教学目标]理解并掌握)(b ax f y +=型复合函数的求导法那么．[教学重点、难点]正确分解复合函数的复合过程[教学过程]一、问题情境：观察函数2)13()(-=x x f 和x x f 2sin )(=，怎样求导数？二、知识要点：1. 复合函数：一般地，两个函数()y f u =和()u g x =，如果通过u ，y 可以表示成x 的函数(())y f g x =，那么称(())y f g x =为复合函数，u 叫做中间变量.2．复合函数()f ax b +的导数[()]f ax b '+：一般地，假设()y f u =，u ax b =+，()f u ，()u x 均可导，那么：a y u y y u x u x ⋅=⋅=''''. 〔'x y 和'u y 分别表示y 关于x 的导数及y 关于u 的导数〕推广： ()y f u =，()u u t =，()t g w =，()w w x =，那么'''''x w t u x w t u f y ⋅⋅=.三、例题分析：例1、求以下函数的导数：〔1〕3)32(-=x y ； (2) )15ln(+=x y ； (3)131y x =-；(4) )21cos(x y -=； 〔5〕2x y e =.例2、求以下函数的导数：〔1〕x x x f ---=1332)(； 〔2〕)62cos(3sin )(π-+=x x x f .例3、求以下函数在0x x =处的导数：〔1〕1),3(log 02=-=x x y x ； 〔2〕25),42ln()2(0=--=x x x y .例4、求与曲线4)62sin(ππ=+=x x y 在处的切线平行，并且在y 轴上的截距为3的直线方程.四、课堂小结：1、理解复合函数的概念；2、会求简单复合函数的导数.五、课内练习1、〔1〕函数x u u y 23cos -==π与的复合函数是〔2〕函数x e u u y 2ln -==与的复合函数是2、函数='-==21134|)32(x y x y ，则 3、假设函数=-'+=)31()6sin()(f x x f ，则ππ 4、函数)1(log 2x y -=的导函数为5、函数='==+-232|2x x y y ，则6、假设2131==-x y ax 在处的导数为3ln 2-，那么a = 7、函数21)()21(=∈+=x N n x y n ，在处的导数为 8、设一质点的运动方程为)32cos(31ππ+=-t es t 〔s 单位：m ，t 单位：s 〕，那么质点在s t 31=时的速度为 9、曲线C ：)03)(,(cos 3sin 000<<-+=x y x P x x y π在点处的切线的斜率为3，求C 在点P 处的切线方程.10、函数()(2)()()(0)f x x x a x b a b =+--+>，且(0)0,(4)0f f ''=≥，求()f x 的解析式.。

复合函数的导数学习目的：理解复合函数的求导法则学习重点：复合函数的求导法则的概念与应用学习难点：复合函数的求导法则的导入与理解授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪内容分析：复合函数的导数是导数的重点，也是导数的难点。

要弄清每一步的求导是哪个变量对哪个变量的求导.求导时对哪个变量求导要写明，可以通过具体的例子，让学生对求导法则有一个直观的了解.学习过程：一、复习引入：1.常见函数的导数公式：0'=C ；1)'(-=n n nx x ；x x cos )'(sin =；x x sin )'(cos -=.2.法则1 )()()]()(['''x v x u x v x u ±=±．法则2 [()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+, [()]'()Cu x Cu x '=法则3 '2''(0)u u v uv v v v -⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭. 二、讲解新课：1.复合函数: 由几个函数复合而成的函数，叫复合函数．由函数)(u f y =与)(x u ϕ=复合而成的函数一般形式是)]([x f y ϕ=，其中u 称为中间变量.2.求函数2(32)y x =-的导数的两种方法与思路：方法一：22[(32)](9124)1812x y x x x x '''=-=-+=-；方法二：将函数2(32)y x =-看作是函数2y u =和函数32u x =-复合函数，并分别求对应变量的导数如下：2()2u y u u ''==，(32)3x u x ''=-=两个导数相乘，得232(32)31812u x y u u x x ''==-=-，从而有 x u x u y y '''⋅=对于一般的复合函数，结论也成立，以后我们求y ′x 时，就可以转化为求y u ′和u ′x 的乘积，关键是找中间变量，随着中间变量的不同，难易程度不同.3.复合函数的导数：设函数u =ϕ(x )在点x 处有导数u ′x =ϕ′(x )，函数y =f (u )在点x 的对应点u 处有导数y ′u =f ′(u )，则复合函数y =f (ϕ (x ))在点x 处也有导数，且x u x u y y '''⋅= 或f ′x (ϕ (x ))=f ′(u ) ϕ′(x ).证明：（教师参考不需要给学生讲）设x 有增量Δx ，则对应的u ，y 分别有增量Δu ，Δy ，因为u =φ(x )在点x 可导，所以u =ϕ (x )在点x 处连续.因此当Δx →0时，Δu →0.当Δu ≠0时，由xu u y x y ∆∆⋅∆∆=∆∆. 且x y u y u x ∆∆=∆∆→∆→∆00lim lim . ∴xu u y x u u y x u u y x y x u x x x x ∆∆⋅∆∆=∆∆⋅∆∆=∆∆⋅∆∆=∆∆→∆→∆→∆→∆→∆→∆000000lim lim lim lim lim lim 即x u x u y y '''⋅= (当Δu ＝0时，也成立)4.复合函数的求导法则复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数.5.复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代.三、讲解范例：例1试说明下列函数是怎样复合而成的？（1）32)2(x y -=； （2）2sin x y =；（3）)4cos(x y -=π； （4）)13sin(ln -=x y ． 解：（1）函数32)2(x y -=由函数3u y =和22x u -=复合而成；（2）函数2sin x y =由函数u y sin =和2x u =复合而成；（3）函数)4cos(x y -=π由函数u y cos =和x u -=4π复合而成； （4）函数)13sin(ln -=x y 由函数u y ln =、v u sin =和13-=x v 复合而成.说明：讨论复合函数的构成时，“内层”、“外层”函数一般应是基本初等函数，如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等.例2写出由下列函数复合而成的函数：（1）u y cos =，21x u +=； （2）u y ln =，x u ln =.解：（1）)1cos(2x y +=； （2）)ln(ln x y =.例3求5)12(+=x y 的导数．解：设5u y =，12+=x u ，则x u x u y y '''⋅=)'12()'(5+⋅=x u x2)12(52534⋅+=⋅=x u 4)12(10+=x .注意：在利用复合函数的求导法则求导数后，要把中间变量换成自变量的函数.有时复合函数可以由几个基本初等函数组成，所以在求复合函数的导数时，先要弄清复合函数是由哪些基本初等函数复合而成的，特别要注意将哪一部分看作一个整体，然后按照复合次序从外向内逐层求导.例4求f (x )=sin x 2的导数.解：令y =f (x )=sin u ; u =x 2∴x u x u y y '''⋅==(sin u )′u ·(x 2)x ′=cos u ·2x =cos x 2·2x =2x cos x 2∴f ′(x )=2x cos x 2例5求y =sin 2(2x +3π)的导数. 分析: 设u =sin(2x +3π)时，求u ′x ，但此时u 仍是复合函数，所以可再设v =2x +3π. 解：令y =u 2，u =sin(2x +3π)，再令u =sin v ，v =2x +3π∴x u x u y y '''⋅==y ′u (u ′v ·v ′x )∴y ′x =y ′u ·u ′v ·v ′x =(u 2)′u ·(sin v )′v ·(2x +3π)′x =2u ·cos v ·2=2sin(2x +3π)cos(2x +3π)·2 =4sin(2x +3π)cos(2x +3π)=2sin(4x +32π) 即y ′x =2sin(4x +32π) 例6求32c bx ax y ++=的导数.解：令y =3u ，u =ax 2+bx +c∴x u x u y y '''⋅==(3u )′u ·(ax 2+bx +c )′x =3231-u ·(2ax +b ) =31(ax 2+bx +c )32-(2ax +b )=322)(32c bx ax b ax +++ 即y ′x =322)(32c bx ax bax +++例7求y =51xx -的导数. 解：令xx u u y -==1,5 ∴x u x u y y '''⋅==(5u )′u ·(x x -1)′x 4455221(1)(1)11(1)()55x x x x x x x u x x x --''-------=⋅=⋅21x -===即y ′x =－542)(51x x x -例8 求y =sin 2x 1的导数. 解：令y =u 2，u =sin x 1，再令u =sin v ，v =x 1 ∴x u x u y y '''⋅=·v ′x =(u 2)′u ·(sin v )′v ·(x 1)′x =2u ·cos v ·210x -=2sin x 1·cos x 1·21x-=－21x ·sin x 2 ∴y ′x =－21x sin x 2例9 求函数y =(2x 2－3)21x +的导数.分析: y 可看成两个函数的乘积，2x 2－3可求导，21x +是复合函数，可以先算出21x +对x 的导数.解：令y =uv ，u =2x 2－3，v =21x +, 令v =ω，ω=1+x 2x x v v ωω'''=⋅=ω' (1+x 2)′x =22211122)2(21xx x x x +=+=-ω ∴y ′x =(uv )′x =u ′x v +uv ′x=(2x 2－3)′x ·21x ++(2x 2－3)·21xx+ =4x 23232161321x x x xxx x ++=+-++ 即y ′x =2316x xx ++ .四、课堂练习：1．求下列函数的导数(先设中间变量，再求导).(1)y =(5x －3)4 (2)y =(2+3x )5 (3)y =(2－x 2)3(4)y =(2x 3+x )2解：(1)令y =u 4，u =5x －3 ∴x u x u y y '''⋅==(u 4)′u ·(5x －3)′x =4u 3·5=4(5x －3)3·5=20(5x －3)3(2)令y =u 5，u =2+3x∴x u x u y y '''⋅==(u 5)′u ·(2+3x )′x =5u 4·3=5(2+3x )4·3=15(2+3x )4(3)令y =u 3，u =2－x 2∴x u x u y y '''⋅==(u 3)′u ·(2－x 2)′x=3u 2·(－2x )=3(2－x 2)2(－2x )=－6x (2－x 2)2(4)令y =u 2，u =2x 3+x∴x u x u y y '''⋅==(u 2)′u ·(2x 3+x )′x=2u ·(2·3x 2+1)=2(2x 3+x )(6x 2+1)=24x 5+16x 3+2x2.求下列函数的导数(先设中间变量，再求导)(n ∈N *)(1)y =sin nx (2)y =cos nx (3)y =tan nx (4)y =cot nx解：(1)令y =sin u ，u =nxx u x u y y '''⋅==(sin u )′u ·(nx )′x =cos u ·n =n cos nx(2)令y =cos u ，u =nxx u x u y y '''⋅==(cos u )′u ·(nx )′x =－sin u ·n =－n sin nx(3)令y =tan u ，u =nxx u x u y y '''⋅==(tan u )′u ·(nx )′x =(uu cos sin )′u ·n =2)(cos )sin (sin cos cos u u u u u --⋅·n =nxn n u 22cos cos 1==n ·sec 2nx (4)令y =cot u ，u =nxx u x u y y '''⋅==(cot u )′u ·(nx )′x =(uu sin cos )′u ·n =2)(sin cos cos sin sin u u u u u ⋅-⋅-·n =－u 2sin 1·n =－nxn 2sin =－n csc 2nx .五、小结：（1）复合函数的求导，要注意分析复合函数的结构，引入中间变量，将复合函数分解成为较简单的函数，然后再用复合函数的求导法则求导；（2）复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代.六、课后作业：七、板书设计（略）八、课后记：。

1．2.3 简单复合函数的导数[对应学生用书P11]已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，g (x )＝(3x ＋2)2. 问题1：这两个函数是复合函数吗？ 提示：是复合函数．问题2：试说明g (x )＝(3x ＋2)2是如何复合的？提示：函数g (x )＝(3x ＋2)2是由 g (u )＝u 2，u ＝3x ＋2复合而成的． 问题3：试求g (x )＝(3x ＋2)2，g (u )＝u 2，u ＝3x ＋2的导数．提示：g ′(x )＝[(3x ＋2)2]′＝[9x 2＋12x ＋4]′＝18x ＋12.g ′(u )＝2u ，u ′＝3. 问题4：观察问题3中导数有何关系？ 提示：g ′(x )＝g ′(u )·u ′.若y ＝f (u )，u ＝ax ＋b ，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ，即y ′x ＝y ′u ·a .1．求复合函数的导数，关键在于分清函数的复合关系，选好中间变量． 2．利用复合关系求导前，若函数关系可以化简，则先化简再求导会更简单． 3．判断复合函数的复合关系的一般方法是：从外向里分析，最外层的主体函数结构是以基本函数为主要形式，各层的中间变量结构也都是基本函数关系，这样一层一层分析，最里层应是关于自变量x 的基本函数或关于自变量x 的基本函数经过有限次四则运算而得到的函数．[对应学生用书P11]复合函数的求导[例1] (1)y ＝1(2x ＋3)3；(2)y ＝e－0.05x ＋1；(3)y ＝cos(ωx ＋φ)(其中ω、φ为常数)；(4)y ＝log 2(5－3x )．[思路点拨] 先分清函数自身结构，再合理地选取中间变量，利用复合函数的求导法则求解．[精解详析] (1)y ＝1(2x ＋3)3＝(2x ＋3)－32是函数y ＝u －32，u ＝2x ＋3的复合函数，所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(u －32)′·(2x ＋3)′＝－32u －52·2＝－3u －52＝－3(2x ＋3)－52.(2)y ＝e－0.05x ＋1是函数y ＝e u ，u ＝－0.05x ＋1的复合函数，所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(e u )′·(－0.05x ＋1)′＝－0.05e u ＝－0.05e－0.05x ＋1.(3)y ＝cos(ωx ＋φ)是y ＝cos u ，u ＝ωx ＋φ的复合函数， 所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(cos u )′·(ωx ＋φ)′ ＝－sin u ·ω＝－ωsin(ωx ＋φ)．(4)y ＝log 2(5－3x )是y ＝log 2u ，u ＝5－3x 的复合函数， 所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(log 2u )′·(5－3x )′＝－3·1u ln 2＝－3(5－3x )ln 2＝3(3x －5)ln 2.[一点通] 对于简单复合函数的求导，其一般步骤为“分解——求导——回代”，即：(1)弄清复合关系，将复合函数分解成基本初等函数形式；(2)利用求导法则分层求导；(3)最终结果要将中间变量换成自变量．1．若函数f (x )＝ln 1x ，则f ′(x )＝________.解析：f (x )＝ln 1x 是f (u )＝ln u 与u ＝1x 的复合函数，所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(ln u )′·⎝⎛⎭⎫1x ′ ＝1u ·⎝⎛⎭⎫－1x 2＝－1x . 答案：－1x2．函数y ＝sin 3x ＋sin x 3的导数为________． 解析：y ′＝(sin 3x ＋sin x 3)′＝(sin 3x )′＋(sin x 3)′ ＝3sin 2x cos x ＋cos x 3·3x 2＝3sin 2x cos x ＋3x 2·cos x 3. 答案：3sin 2x cos x ＋3x 2·cos x 3 3．求下列函数的导数： (1)y ＝e2x 2＋3x ；(2)y ＝1(1－3x )4.解：(1)y ＝e u ，u ＝2x 2＋3x ， 所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝e u ·(2x 2＋3x )′ ＝e u ·(4x ＋3)＝(4x ＋3)e2x 2＋3x . (2)∵y ＝1(1－3x )4＝(1－3x )－4， ∴可设y ＝u －4，u ＝1－3x ， ∵y ′u ＝－4u －5，u ′x ＝－3，∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝－4u －5×(－3)＝12(1－3x )－5.求导法则的综合应用[例2] (1)y ＝31－x sin(2x －1)； (2)y ＝ln (2x －1)2x －1.[思路点拨] 根据导数的运算法则及复合函数的求导公式求解． [精解详析] (1)y ′＝(31－x )′sin(2x －1)＋31－x ·[sin(2x －1)]′ ＝－31－x ln 3·sin(2x －1)＋31－x ·2cos(2x －1) ＝31－x [2cos(2x －1)－sin(2x －1)·ln 3]．(2)y ′＝[ln (2x －1)]′·2x －1－ln (2x －1)·(2x －1)′(2x －1)2＝22x －12x －1－ln (2x －1)·12(2x －1)－12·22x －1＝22x －1－ln (2x －1)2x －12x －1＝2－ln (2x －1)(2x －1)·2x －1 .[一点通] (1)利用加减乘除四则运算与复合生成函数的方法，都能由基本初等函数生成一些新的函数，认清这一点可帮助我们分析函数结构．(2)认清函数结构之后，不要急于求导，应注意恰当利用代数、三角变换方法，化简函数解析式，以达到准确套用法则，明确求导过程的目的．4．若函数f (x )＝x cos 2x ，则f ′(x )＝________. 解析：f ′(x )＝x ′cos 2x ＋x (cos 2x )′ ＝cos 2x －2x sin 2x . 答案：cos 2x －2x sin 2x 5．求下列函数的导数： (1)y ＝2x －1x ；(2)y ＝12sin 2(1－x )． 解：(1)y ′＝(2x －1)′x －2x －1·x ′x 2＝x2x －1－2x －1x 2＝1－xx 22x －1 .(2)∵y ＝12sin 2(1－x )＝14[1－cos(2－2x )]＝14－14cos(2－2x )＝14－14cos(2x －2)． ∴y ′＝12sin(2x －2)．复合函数导数的应用[例3] (1，f (1))处的切线为l ，若l 与圆C ：x 2＋y 2＝14相切，求a 的值．[思路点拨]求函数f (x )的导数→求f ′(1)得切线l 的斜率→写出直线l 的点斜式方程→由l 与圆C 相切列方程→解方程求a .[精解详析] ∵f ′(x )＝a (x 2)′＋2·12－x ·(2－x )′＝2ax －22－x，∴f ′(1)＝2a －2，又f (1)＝a ＋2ln 1＝a ， ∴切线l 的方程为y －a ＝2(a －1)(x －1)， 即2(a －1)x －y －a ＋2＝0.∵直线l 与圆C ：x 2＋y 2＝14相切，∴圆心(0,0)到直线l 的距离为12，所以有|2－a |4(a －1)2＋1＝12，解得a ＝118.∴a 的值为118.[一点通] 有了复合函数的求导法则，可以求导的函数类型更加丰富了．在实际应用中，先要准确求出函数的导数，然后注意切线的定义，导数的几何意义以及直线方程的求法的综合应用．6．函数y ＝cos 2x 在点⎝⎛⎭⎫π4，0处的切线方程是________． 解析：∵y ′＝－2sin 2x ，∴k ＝－2sin π2＝－2.∴切线方程为y －0＝－2⎝⎛⎭⎫x －π4， 即2x ＋y －π2＝0.答案：2x ＋y －π2＝07．求y ＝ln(2x ＋3)的导数，并求在点⎝⎛⎭⎫－12，ln 2处切线的倾斜角． 解：令y ＝ln u ，u ＝2x ＋3，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(ln u )′·(2x ＋3)′＝1u ·2＝22x ＋3.当x ＝－12时，y ′＝23－1＝1，即在⎝⎛⎭⎫－12，ln 2处切线的倾斜角的正切值为1， 所以倾斜角为π4.8．设曲线y ＝e －x (x ≥0)在点M (t ，e －t )处的切线l 与x 轴，y 轴围成的三角形面积为S (t )． (1)求切线l 的方程； (2)求S (t )的解析式． 解：∵y ＝e －x ， ∴y ′＝(e －x )′＝－e －x ， ∴y ′|x ＝t ＝－e －t .故切线方程为y －e －t ＝－e －t (x －t )， 即x ＋e t y －(t ＋1)＝0. (2)令y ＝0得x ＝t ＋1.令x ＝0得y ＝e －t (t ＋1)． ∴S (t )＝12(t ＋1)·e －t (t ＋1)＝12(t ＋1)2e －t (t ≥0)．求复合函数导数的技巧及注意点(1)对于分式、根式、三角函数式、指数式、对数式的复合函数的导数，关键仍然在于分析清楚函数的复合关系，选好中间变量，熟用复合函数求导法则，迅速正确地求出导数．(2)在复合函数的求导熟练以后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的复合过程，对于经过多次复合及四则运算而成的复合函数，可以直接应用公式和法则，从最外层开始由表及里逐层求异．(3)灵活运用复合函数的求导法则，正确地进行求导运算，树立多角度、换方位思考问题的意识，达到优化解题思维、简化解题过程的目的．[对应课时跟踪训练(五)]一、填空题1．设函数f (x )＝sin(4x －2)，则f ′(x )＝________. 解析：∵f (x )＝sin(4x －2)，∴f ′(x )＝[sin(4x －2)]′＝4cos(4x －2)． 答案：4cos(4x －2)2．(全国大纲卷改编)曲线y ＝x e x－1在点(1,1)处切线的斜率等于________．解析：y ′＝e x －1＋x e x －1，故曲线在点(1,1)处切线的斜率为y ′|x ＝1＝2. 答案：23．设曲线y ＝f (x )＝e ax 在点(0,1)处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，则a ＝________. 解析：∵切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直， ∴切线的斜率k ＝2. 又∵f ′(x )＝(e ax )′＝a e ax ， ∴k ＝f ′(0)＝a ＝2. 答案：24．函数y ＝x sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2的导数为________． 解析：∵y ＝x sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝x 2sin(4x ＋π)＝－x2sin 4x ，∴y ′＝⎝⎛⎭⎫－x 2′sin 4x ＋⎝⎛⎭⎫－x2·(sin 4x )′ ＝－12sin 4x －2x cos 4x .答案：－12sin 4x －2x cos 4x5．已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为________． 解析：设切点为(x 0，y 0)，则y 0＝x 0＋1， 且y 0＝ln(x 0＋a )，所以x 0＋1＝ln(x 0＋a )① 对y ＝ln(x ＋a )求导得y ′＝1x ＋a， 则1x 0＋a＝1，x 0＋a ＝1，② 由①②可得x 0＝－1，所以a ＝2. 答案：2 二、解答题6．求下列函数的导数． (1)y ＝5log 2(2x ＋1)； (2)y ＝cos(53π－7x )；(3)y ＝(2x －1)5.解：(1)设y ＝log 2u ，u ＝2x ＋1.则y ′＝y ′u ·u ′x ＝5u ln 2×2＝10u ln 2＝10(2x ＋1)ln 2.(2)设y ＝cos u ，u ＝53π－7x .则y ′＝y ′u ·u ′x ＝－sin u ×(－7)＝7sin ⎝⎛⎭⎫53π－7x . (3)设y ＝u 5，u ＝2x －1，则y ′＝y ′u ·u ′x ＝5u 4×2＝10u 4＝10(2x －1)4.7．已知函数f (x )＝ln(1＋x )－x ＋x 2.求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程． 解：f ′(x )＝11＋x －1＋2x .由于f (1)＝ln 2，f ′(1)＝32，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为 y －ln 2＝32(x －1)，即3x －2y ＋2ln 2－3＝0.8．已知A (1，f ′(x ))是函数y ＝f (x )的导函数图象上的一点，点B 的坐标为(x ，ln(2－x ))，向量a ＝(1,1)，设f (x )＝AB ―→·a ，试求函数y ＝f (x )的表达式．解：∵AB ―→＝(x ，ln(2－x ))－(1，f ′(1)) ＝(x －1，ln(2－x )－f ′(1))， a ＝(1,1)，∴f (x )＝AB ―→·a ＝x －1＋ln(2－x )－f ′(1) ＝ln(2－x )＋x －f ′(1)－1∴f ′(x )＝12－x ·(2－x )′＋1＝1x －2＋1，∴f ′(1)＝0， ∴f (x )＝ln(2－x )＋x －1.。

授课内容及过程：知识解析——导数的概念１．函数的平均变化率：一般地，已知函数()y f x =，0x ，1x 是其定义域内不同的两点，记10x x x ∆=-， 10y y y ∆=-10()()f x f x =-00()()f x x f x =+∆-，则当0x ∆≠时，商00()()f x x f x yx x+∆-∆=∆∆称作函数()y f x =在区间00[,]x x x +∆（或00[,]x x x +∆）上的平均变化率．2．函数的瞬时变化率、函数的导数：设函数()y f x =在0x 附近有定义，当自变量在0x x =附近改变量为x ∆时，函数值相应的改变00()()y f x x f x ∆=+∆-．如果当x ∆趋近于0时，平均变化率00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆趋近于一个常数l ，那么常数l 称为函数()f x 在点0x 的瞬时变化率．“当x ∆趋近于零时，00()()f x x f x x+∆-∆趋近于常数l ”可以用符号“→”记作：“当0x ∆→时，00()()f x x f x l x +∆-→∆”，或记作“000()()lim x f x x f x l x∆→+∆-=∆”，符号“→”读作“趋近于”．函数在0x 的瞬时变化率，通常称为()f x 在0x x =处的导数，并记作0()f x '． 这时又称()f x 在0x x =处是可导的．于是上述变化过程，可以记作“当0x ∆→时，000()()()f x x f x f x x+∆-'→∆”或“0000()()lim()x f x x f x f x x ∆→+∆-'=∆”． 考点1： 导数的定义【铺垫】求下列函数在区间[]22x +∆，和[]33x +∆，上的平均变化率①()f x x = ①2()f x x =【例1】 平均变化率与瞬时变化率① 求下列函数在区间00[]x x x +∆，上的平均变化率．① ()f x x = ① 2()f x x = ① 3()f x x = ④1()f x x= ⑤()f x x =① 求下列函数分别在1x =，2x =和3x =处的瞬时变化率． ① ()f x x = ① 2()f x x = ① 3()f x x = ④ 1()f x x= ⑤ ()f x x = ①()sin f x x = ⑦()cos f x x =常用函数的导数推导过程如下：()()00lim lim 0x x f x x f x C CC xx ∆→∆→+∆--'===∆∆；()()()00lim lim 1x x f x x f x x x x x x x∆→∆→+∆-+∆-'===∆∆；()()()()()222limlimlim 22x x x f x x f x x x x x x x x xx∆→∆→∆→+∆-+∆-'===+∆=∆∆；()()()2000111111lim lim lim x x x f x x f x x x x x x x x x x x ∆→∆→∆→'+∆--⎛⎫⎛⎫==-==- ⎪ ⎪∆∆+∆+∆⎝⎭⎝⎭； ()()()()0001lim lim lim 2x x x f x x f x x x x x x x x x x x x x∆→∆→∆→+∆-+∆-∆'====∆∆∆+∆+．3．基本初等函数的导数公式①若()f x C =（C 为常数），则()0f x '=； ①若()()f x x αα*=∈Q ，则()1f x x αα-'=；①若()x f x a =，则()ln x f x a a '=；特别地， 若()e x f x =，则()e x f x '=； ①若()log a f x x =，则()1ln f x x a '=；特别地，若()ln f x x =，则()1f x x'=； ①若()sin f x x =，则()cos f x x '=；①若()cos f x x =，则()sin f x x '=-．4．导数的四则运算法则：其中()()f x g x ，都是可导函数，C 为常数：(()())()()f x g x f x g x '''±=±；[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''=+；[()]()Cf x Cf x ''=；2()()()()()()()f x f x g x f x g x g x g x '''⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦（()0g x ≠）．这里只证一个加法的四则运算设()()y f x g x =+，则()()()()y f x x g x x f x g x ∆=+∆++∆-+⎡⎤⎣⎦()()()()f x x f x g x x g x =+∆-++∆-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦f g =∆+∆y f g x x x ∆∆∆=+∆∆∆∴，0000lim lim lim lim x x x x y f g f g x x x x x ∆→∆→∆→∆→∆∆∆∆∆⎛⎫=+=+ ⎪∆∆∆∆∆⎝⎭∴，即()y f g f g ''''=+=+ 我们也可以换一种方式来解释这个公式基本上所有学生都学过“水上行舟”问题，我们可以把x 看做是时间，()f x 看做是船的位移，()g x 看做是水的位移，那么()f x '和()g x '分别指的就是船和水的瞬时变化率，也就是速度．这样我们的公式也就很好理解了．()()f x g x +总的位移，()()()f x g x '+就是总的速度，自然等于右边()()f x g x ''+，也就是船速加水速．四则运算记忆法则：①加法的导数等于导数的加法；①常数与函数之积的导数等于常数乘以函数的导数；①乘法的导数等于第一个导数乘以第二个+第二个导数乘以第一个；①除法的导数等于分母不动乘以分子导数减去分子不动乘以分母导数，再除以分母平方．考点2： 导数的运算【例2】导数的运算① 求下列函数的导数①2012y x = ①2x y = ①e x y = ①ln y x =【例3】()f a '实际是一个数①已知()()33215f x x f x '=--+，则()2f '-=______①已知函数()πcos sin 4f x f x x ⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭，则π4f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为 ．①已知函数()πsin 23f x x xf ⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭，则π3f ⎛⎫- ⎪⎝⎭与π3f ⎛⎫⎪⎝⎭的大小关系是（ ）A ．ππ33f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．ππ33f f ⎛⎫⎛⎫-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．ππ33f f ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ． 不能确定三★小结：（与学生一起）回顾本堂课的内容率．2．函数的瞬时变化率、函数的导数：设函数()y f x =在0x 附近有定义，当自变量在0x x =附近改变量为x ∆时，函数值相应的改变00()()y f x x f x ∆=+∆-．如果当x ∆趋近于0时，平均变化率00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆趋近于一个常数l ，那么常数l 称为函数()f x 在点0x 的瞬时变化率．“当x ∆趋近于零时，00()()f x x f x x+∆-∆趋近于常数l ”可以用符号“→”记作：“当0x ∆→时，00()()f x x f x l x +∆-→∆”，或记作“000()()lim x f x x f x l x∆→+∆-=∆”，符号“→”读作“趋近于”．函数在0x 的瞬时变化率，通常称为()f x 在0x x =处的导数，并记作0()f x '． 这时又称()f x 在0x x =处是可导的．于是上述变化过程，可以记作“当0x ∆→时，000()()()f x x f x f x x+∆-'→∆”或“0000()()lim()x f x x f x f x x ∆→+∆-'=∆”． 考点1： 导数的定义【铺垫】求下列函数在区间[]22x +∆，和[]33x +∆，上的平均变化率①()f x x = ①2()f x x =【解析】 ①()f x x =在区间[]22x +∆，上的平均变化率为(2)(2)221y f x f x x x x ∆+∆-+∆-===∆∆∆； ()f x x =在区间[]33x +∆，上的平均变化率为(3)(3)331y f x f x x x x∆+∆-+∆-===∆∆∆；①()2f x x =在区间[]22x +∆，上的平均变化率为()2222(2)(2)4x y f x f x x x x+∆-∆+∆-===+∆∆∆∆； ()2f x x =在区间[]33x +∆，上的平均变化率为()2233(3)(3)6x y f x f x x x x+∆-∆+∆-===+∆∆∆∆； 【例4】 平均变化率与瞬时变化率① 求下列函数在区间00[]x x x +∆，上的平均变化率．① ()f x x = ① 2()f x x = ① 3()f x x = ④1()f x x=⑤()f x x = 【备注】：次幂函数的导数（学求导公式后再回头看看这道题） ① 求下列函数分别在1x =，2x =和3x =处的瞬时变化率．① ()f x x = ① 2()f x x = ① 3()f x x = ④ 1()f x x= ⑤ ()f x x =①()sin f x x = ⑦()cos f x x =【解析】 ① ①0000()()1f x x f x x x x y x x x+∆-+∆-∆===∆∆∆ ； ② ()2200000()()2x x x f x x f x y x x x x x+∆-+∆-∆===+∆∆∆∆； ③ ()3300220000()()33()x x x f x x f x y x x x x x x x+∆-+∆-∆===+∆+∆∆∆∆； ④000020011()()1f x x f x x x x y x x x x x x-+∆-+∆∆===-∆∆∆+⋅∆； ⑤000000()()1x x x f x x f x y x xxx x x +∆-+∆-∆===∆∆∆+∆+.①①1y x∆=∆∵，∴在1x =处的瞬时变化率为()00(1)lim lim 11x x y f x ∆→∆→∆'===∆；同理在2x =处的瞬时变化率为(2)1f '=；在3x =处的瞬时变化率为(3)1f '=．y f g x x x ∆∆∆=+∆∆∆∴，0000lim lim lim lim x x x x y f g f g x x x x x ∆→∆→∆→∆→∆∆∆∆∆⎛⎫=+=+ ⎪∆∆∆∆∆⎝⎭∴，即()y f g f g ''''=+=+ 我们也可以换一种方式来解释这个公式基本上所有学生都学过“水上行舟”问题，我们可以把x 看做是时间，()f x 看做是船的位移，()g x 看做是水的位移，那么()f x '和()g x '分别指的就是船和水的瞬时变化率，也就是速度．这样我们的公式也就很好理解了．()()f x g x +总的位移，()()()f x g x '+就是总的速度，自然等于右边()()f x g x ''+，也就是船速加水速．四则运算记忆法则：①加法的导数等于导数的加法；①常数与函数之积的导数等于常数乘以函数的导数；①乘法的导数等于第一个导数乘以第二个+第二个导数乘以第一个；①除法的导数等于分母不动乘以分子导数减去分子不动乘以分母导数，再除以分母平方．关于复合函数求导知识点，老师们可以根据学生情况进行选择．我们例题中没有相关试题．具体将在同步讲解．复合函数的求导：对于可导函数()()y f u u u x ==，，x u x df df duf f u dx du dx'''==⋅=．考点2： 导数的运算【例5】导数的运算① 求下列函数的导数①2012y x = ①2x y = ①e x y = ①ln y x = ① 求下列函数的导数①3cos y x x =+ ①()231e x y x x =-+ ①e sin x y x = ①ln xy x=①()tan f x x = ① 求下列函数的导数① ()2211f x x x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ ① ()111y x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭①()sin cos 22x xf x x =-【解析】 ① ①20112012y x '=； ①2ln 2x y '=； ①e x y '=； ①1y x'=．① ①23sin y x x '=-；①()()()2223e 31e 2e x x x y x x x x x '=-+-+=-- ；①()e sin e cos e sin cos x x x y x x x x '=+=+；①2ln 1ln x y x-'=； ①()22222sin (sin )cos sin (cos )cos sin 1cos cos cos cos x x x x x x x f x x x x x '''-+⎛⎫'==== ⎪⎝⎭① ① ①()311f x x x =++，①()2213f x x x'=-；①先化简，1122111y x x x x x x-=⋅-+-=-+， ①13221122y x x --'=--． ①先使用三角公式进行化简．()1sin cos sin 222x x f x x x x =-=-①()111sin (sin )1cos 222f x x x x x x '⎛⎫'''=-=-=- ⎪⎝⎭．【挑战十分钟】让学生熟练的掌握求导公式以及导数的运算法则求下列函数的导数①313y x =；①21y x =；①42356y x x x =--+；①2cos y x x =+；①2sin y x x =+；①sin cos y x x =-；①1y x x =+；①1y x x =-；①e x y x =；①sin y x x =；①2ln y x x =①cos sin y x x x =-；①121y x =+；①21x y x =+；①11x y x -=+；①sin x y x=；①()22πy x =；①()22y x =-；①()()22331y x x =+-；①()()211y x x x =+-+．【解析】 ①2y x '=；①32y x'=-；①3465y x x '=--；①2sin y x '=-；①2cos y x x '=+； ①cos sin y x x '=+；①211y x '=-；①2112y x x'=--；①()1e x y x '=+；①sin cos y x x x '=+；①2ln y x x x '=+；①sin y x x '=-；①()2221y x -'=+；①()22211x y x -'=+；①()221y x '=+； ①2cos sin x x x y x -'=；①28πy x '=；①21y x'=-；①21849y x x '=-+；①23y x '=．【拓1】设函数()322f x x ax x =++，()19f '=，则a = ．【解析】 1 ()2621f x x ax '=++∵且()19f '=，6219a ++=∴，解得1a =【拓2】已知()ln xf x x=，若()0f a '=，则ln a = ．【解析】 1 ()2ln 1ln x x f x x x '-⎛⎫'== ⎪⎝⎭，由()0f a '=得21ln 0a a -=，ln 1a =∴．【例6】()f a '实际是一个数 ①已知()()33215f x x f x '=--+，则()2f '-=______①已知函数()πcos sin 4f x f x x ⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭，则π4f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为 ．①已知函数()πsin 23f x x xf ⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭，则π3f ⎛⎫- ⎪⎝⎭与π3f ⎛⎫⎪⎝⎭的大小关系是（ ）A ．ππ33f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．ππ33f f ⎛⎫⎛⎫-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．ππ33f f ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ． 不能确定【解析】 ①30求导得()()2921f x x f ''=--，所以()()1921f f ''-=--，()13f '-=．所以()296f x x '=-．所以()230f '-=． ① 1()()πsin cos 4f x f x x ⎛⎫''=-+ ⎪⎝⎭，ππππsin cos 4444f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫''=-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得π214f ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭．()π22211422f ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭． ①B因为()πcos 23f x x f ⎛⎫''=+ ⎪⎝⎭，πππcos 2333f f ⎛⎫⎛⎫''=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以π132f ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，则()sin f x x x =-，所以π3π323f ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，π3π323f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 经比较可知ππ33f f ⎛⎫⎛⎫-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．三★小结：（与学生一起）回顾本堂课的内容授课内容及过程：知识解析——利用导数分析函数的单调性利用导数判断函数的单调性的方法如果函数()y f x =在x 的某个开区间内，总有()0f x '>，则()f x 在这个区间上是增函数； 如果函数()y f x =在x 的某个开区间内，总有()0f x '<，则()f x 在这个区间上是减函数．考点1：函数单调性与其导函数正负的关系【铺垫】老师可以以此铺垫给学生讲解导函数的正负与原函数单调性的关系求下列函数的导函数，并画出导函数的图象，观察导函数的正负与原函数单调性的关系【解析】 导函数的图象为：从导函数的图象我们可以看出，当导函数大于零时，原函数是单调递增的；当导函数小于零 时，原函数是单调递减的.【例1】 根据导函数图象判断原函数图象（2010石景山一模文理7）已知函数()f x 的导函数()f x '的图象如右图所示，那么函数()f x 的图象最有可能的是（ ）．考点2：从导数x y O x y O O y x (3)(2)(1)【解析】函数图象如图1、2所示，由图3、4可知，当自变量x ∆逐次增加一个单位增量x ∆时，函数()g x 的相应增量1y ∆，2y ∆，3y ∆，…越来越大；函数()f x 的相应增量1y ∆，2y ∆，3y ∆，…越来越小．图1 图2 图3 图4从导数的角度来看：()0g x '>，()g x '为增函数；()0f x '>，()f x '为减函数．图象特点：如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，函数的图象就比较“陡峭”如果一个函数在某一区间内导数的绝对值越来越大，那么对应的函数图象就越来越陡峭．反之，就越来越平缓． 【铺垫】如图，水以恒速（即单位时间内注水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h 与时间t 的函数关系图象．【例2】函数的增长速度① 汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路 程s 看作时间t 的函数，其图象可能是（ ）⑵ 如左图所示，液体从球形漏斗漏入一圆柱形烧杯中，开始时漏斗中盛满液体，经过3 分钟漏完，已知烧杯中液面上升的速度是一个常量，H 是漏斗中液面下落的距离，则H 与下落时间t （分）的函数关系用图象表示可能是右图中的（ ）．考点3：求函数的单调区间【解析】求可导函数单调区间的一般步骤和方法D.C.B.A.O ts O t s s t O O t s第二步：求()f x '，令()0f x '=，解此方程，求出它在定义域内的一切实根；第三步：把函数()f x 在间断点（即()f x 的无定义点）的横坐标和上面的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数()f x 的定义区间分成若干个小区间；第四步：确定()f x '在各个小区间的符号，根据()f x '的符号判断函数()f x 在每个相应小区间的增减性.【注意】①函数的单调区间不能用不等式表示，必须写成区间形式；②当一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个时，这些单调区间不能用“∪”连接，可用“，”或“和”连接.【铺1】 确定函数()33f x x x =-在哪个区间内是增函数？哪个区间内是减函数？【铺2】已知函数()e x f x x =．求函数()f x 的单调区间．【例3】 求单调区间求下列函数的单调区间⑴ 32()395f x x x x =--+； ⑵()22ln f x x x =-．【拓3】 已知函数()e 1xf x x =-，求函数()f x 的定义域及单调区间．【随堂】求函数()()2ln f x x ax a =-∈R 的单调区间．【铺1】 若y ax =与by x=-在()0+∞，上都是减函数，对函数3y ax bx =+的单调性描述正确的是（ ） A ．在()-∞+∞，上是增函数 B ．在()0+∞，上是增函数 C ．在()-∞+∞，上是减函数 D ．在()0-∞，上是增函数，在()0+∞，上是减函数 【例4】 已知函数单调性，求参数范围设函数2()ln f x x x ax =++在其定义域内为增函数，求a 的取值范围．考点4：与极值相关的图象问题【例5】 与极值相关的图象问题⑴函数()f x 的导函数图象如图所示，则函数()f x 在图示区间上 （ ）A ．无极大值点，有四个极小值点B ．有三个极大值点，两个极小值点C ．有两个极大值点，两个极小值点D ．有四个极大值点，无极小值点 ⑵（2010朝阳二模6）函数321()2f x x x =-+的图象大致是（ ）．考点5：求函数的极值与最值【铺垫】用导数法求函数2()f x x x=+的极值．【例6】 求函数的极值与最值已知函数()()32231f x x x x =-+∈R ．⑴求()f x 的极值；⑵求函数()f x 在闭区间[]12-，上的最值．【拓1】已知函数()()3222213f x x x a x =-+-+，其中0a >．求()f x 在区间[]23，上的最小值． D .O xyC .O x yB .O x yA .O yx O yx【拓2】已知函数()()3222213f x x x a x =-+-+，其中a ∈R ．求()f x 在区间[]23，上的最大值和最小值．【铺垫】设函数3()32f x ax x =++有极值，求a 的取值范围．【例7】 已知函数存在极值，求参数范围设函数()f x 的导函数为()f x '，若()()32112f f x ax ax x a '⎡⎤=-+-∈⎢⎥⎣⎦R ，． ⑴用a 表示()1f '；⑵若函数()f x 在R 上存在极值，求a 的范围．【追问】若函数在R 上不存在极值，则a 的取值范围是多少？【拓3】 （2010北京卷18）设函数()()3203af x x bx cx d a =+++>，且方程()90f x x '-=的两个根分别为1，4．① 当3a =且曲线()y f x =过原点时，求()f x 的解析式；① 若()f x 在()-∞,+∞内无极值点，求a 的取值范围．【易错】右图是导函数()y f x '=的图象，试找出函数 ()y f x =的极值点，并指出哪些是极大值点，哪些是极小值点.随堂训练【演练1】 已知函数()f x 的导函数()f x '的图象如右图所示，那么函数()f x 的图象最有可能的是（ ）【演练2】 向高为H 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V 与水深h 的函数关系的图象如左图所示，那么水瓶的形状是（ ）．【演练3】 设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）．【演练4】 函数214y x x=+的单调增区间为（ ） A ．(0)+∞， B ．12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭， C ．(1)-∞-， D ．12⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，yxO yx O yx O DC B A O x y2.已知导函数()f x '的下列信息：当14x <<时，()0f x '>；当1x <或4x >时，()0f x '<；当1x =或4x =时，()0f x '=．试画出函数()f x 的大致形状．【教师备案】选修2-2B 版教材引入方式函数()y f x =在区间[]x x x +∆，上的平均变化率为yx∆∆．依据函数单调性的定义：若0y x ∆>∆，则函数在给定区间上为增函数；若0yx ∆<∆，则函数在给定区间上为减函数．从导数的角度看： ()00()()lim lim x x y f x x f x f x x x∆→∆→∆+∆-'==∆∆．若()0f x '>，则函数在给定区间上为增函数；若()0f x '<，则函数在给定区间上为减函数． 因此我们可以用导数作工具来研究函数的性质．【铺垫】老师可以以此铺垫给学生讲解导函数的正负与原函数单调性的关系求下列函数的导函数，并画出导函数的图象，观察导函数的正负与原函数单调性的关系【解析】 导函数的图象为：从导函数的图象我们可以看出，当导函数大于零时，原函数是单调递增的；当导函数小于零 时，原函数是单调递减的.【例8】 根据导函数图象判断原函数图象（2010石景山一模文理7）已知函数()f x 的导函数()f x '的图象如右图所示，那么函数()f x 的图象最有可能的是（ ）．【解析】 A 由()f x '的图象知()y f x =在(2)-∞-，与(0)+∞，上单调递减，在(20)-，上单调递增．x y O x y O O y x (3)(2)(1)【教师备案】函数图象如图1、2所示，由图3、4可知，当自变量x ∆逐次增加一个单位增量x ∆时，函数()g x 的相应增量1y ∆，2y ∆，3y ∆，…越来越大；函数()f x 的相应增量1y ∆，2y ∆，3y ∆，…越来越小．图1 图2 图3 图4从导数的角度来看：()0g x '>，()g x '为增函数；()0f x '>，()f x '为减函数．图象特点：如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，函数的图象就比较“陡峭”如果一个函数在某一区间内导数的绝对值越来越大，那么对应的函数图象就越来越陡峭．反之，就越来越平缓． 【铺垫】如图，水以恒速（即单位时间内注水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h 与时间t 的函数关系图象．【解析】 以容器⑵为例，由于容器上细下粗，所以水以恒速注入时，开始阶段高度增加得慢，以后高度增加得越来越快.反映在图象上，（A ）符合上述变化情况，同理可知其他三种容器的情况. ⑴→B ； ⑵→A ； ⑶→D ； ⑷→C ．【例9】 函数的增长速度① 汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路 程s 看作时间t 的函数，其图象可能是（ ）⑵ 如左图所示，液体从球形漏斗漏入一圆柱形烧杯中，开始时漏斗中盛满液体，经过3 分钟漏完，已知烧杯中液面上升的速度是一个常量，H 是漏斗中液面下落的距离，则H 与下落时间t （分）的函数关系用图象表示可能是右图中的（ ）．D.C.B.A.O ts O t s s t O O t s【解析】 ⑴ A 曲线的切线的斜率()s t '表示汽车的速度，由题意知，速度先增加，再保持不变，最后减小，故由曲线的斜率变化知选A ．也可根据汽车匀加速行驶2112s v t at =+()0a >，匀速行驶0s s vt =+，减速行驶2212s v t at =-()0a >，结合函数图象得到．⑵D 每当t 增加一个单位增量t ∆，H 的变化开始增量H ∆越来越小，经过中截面后越来越大，故H 关于t 的函数图象是增加先变缓后变陡，因此选D ．考点3：求函数的单调区间【教师备案】求可导函数单调区间的一般步骤和方法第一步：确定函数()f x 的定义域；第二步：求()f x '，令()0f x '=，解此方程，求出它在定义域内的一切实根；第三步：把函数()f x 在间断点（即()f x 的无定义点）的横坐标和上面的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数()f x 的定义区间分成若干个小区间；第四步：确定()f x '在各个小区间的符号，根据()f x '的符号判断函数()f x 在每个相应小区间的增减性.【注意】①函数的单调区间不能用不等式表示，必须写成区间形式；②当一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个时，这些单调区间不能用“∪”连接，可用“，”或“和”连接.【铺1】 确定函数()33f x x x =-在哪个区间内是增函数？哪个区间内是减函数？【解析】 ()233f x x '=-，令2330x ->，解此不等式，得1x >或1x <-.因此，已知函数在区间()1+∞，和()1-∞-，内是增函数；令2330x -<，解此不等式，得11x -<<.因此，已知函数在区间()11-，内是减函数.【铺2】已知函数()e x f x x =．求函数()f x 的单调区间． 【解析】 函数()f x 的定义域为R ．()()1e x f x x '=+．由()0f x '>，解得1x >-．由()0f x '<，解得1x <-．∴()f x 的单调递增区间为()1-+∞，，单调递减区间为()1-∞-，．【例10】 求单调区间求下列函数的单调区间⑴32()395f x x x x =--+；⑵()22ln f x x x =-． 【解析】 ⑴2()3693(1)(3)f x x x x x '=--=+-，令()0f x '>得3x >或1x <-，∴函数()f x 的单调递增区间为(1)-∞-，和(3)+∞，，令()0f x '<，得13x -<<，∴函数()f x 的单调递减区间为(13)-，． ⑵ 函数()f x 的定义域为()0+∞，，又()()()()22212112222x x x x f x x x x x x--+-'=-===， 令()0f x '>得1x >，()f x ∴的单调递增区间为()1+∞，，令()0f x '<得01x <<，()f x ∴的单调递减区间为()01，.【拓3】 已知函数()e 1xf x x =-，求函数()f x 的定义域及单调区间．【解析】 函数()f x 的定义域为{}1x x ≠．()()()()()22e 1e 1e 211x x x x xf x x x --⋅-'==--．由()0f x '>，解得2x >．由()0f x '<，解得2x <且1x ≠．①()f x 的单调递增区间为()2+∞，，单调递减区间为()1-∞，和()12，．求函数()()2ln f x x ax a =-∈R 的单调区间．【解析】 函数()y f x =的定义域为()0+∞，．∵()2ln f x x ax =-，∴()2f x a x'=-． 当0a ≤时，因为0x >，所以()0f x '>，所以()y f x =在()0+∞，上单调递增； 当0a >时，令()20f x a x '=->，解得20x a<<；令()20f x a x '=-<，解得2x a >． 此时函数()y f x =的单调递增区间是20a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，单调递减区间是2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，．综上所述：当0a ≤时， ()y f x =的单调递增区间为()0+∞，；当0a >时，函数()y f x =的单调递增区间是20a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，单调递减区间是2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，．【铺1】 若y ax =与by x=-在()0+∞，上都是减函数，对函数3y ax bx =+的单调性描述正确的是（ ） A ．在()-∞+∞，上是增函数 B ．在()0+∞，上是增函数 C ．在()-∞+∞，上是减函数 D ．在()0-∞，上是增函数，在()0+∞，上是减函数 【解析】 C 由题意知：0a <，0b <，于是230y ax b '=+<对任意x ∈R 成立，故选C ．【例11】 已知函数单调性，求参数范围设函数2()ln f x x x ax =++在其定义域内为增函数，求a 的取值范围．【解析】 2121()2x ax f x x a x x++'=++=，()f x 的定义域为()0+∞，． 若()f x 在其定义域内为增函数，所以221()0x ax f x x++'=≥对()0x ∈+∞，恒成立（﹡）． 方法一：分离参量法（﹡）可以转化为2210x ax ++≥对()0x ∈+∞，恒成立，即12a x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭≥，对()0x ∈+∞，恒成立．令1222x x +≥，()0x ∈+∞，．故12x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的最大值为22-，即22a -≥．方法二：分类讨论方程2210x ax ++=的判别式28a ∆=-，①当0∆≤，即2222a -≤≤时，2210x ax ++≥，()0f x '≥在()0+∞，内恒成立，此时()f x 为增函数．①当0∆>，即22a <-或22a >时，要使()f x 在定义域()0+∞，内为增函数， 只需在()0+∞，内有2210x ax ++≥即可，设2()21h x x ax =++， 由(0)10022h a=>⎧⎪⎨-<⎪⎩⨯，得0a >，所以22a >． 由①①可知，若()f x 在其定义域内为增函数，a 的取值范围是)22⎡-+∞⎣，． 【拓2】 已知函数21()2(02]f x ax x x =-∈，，，若()f x 在(01]x ∈，上是增函数，则a 的取值范围 为 ．【解析】 1a ≥-．3321()22f x a a x x ⎛⎫'=+=+ ⎪⎝⎭，2.求函数()y f x =的极值的方法 ⑴确定函数定义域 ⑵求导数()f x '； ⑶求方程()0f x '=的根；⑷检查()f x '在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么()f x 在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么()f x 在这个根处取得极小值【教师备案】①使()f x '无意义的点也要讨论.即可先求出()'0f x =的根和使()f x '无意义的点，这些点都称为可疑点，再用定义去判断.②极大值点可以看成是函数单调递增区间与递减区间的分界点，极大值是极大值点附近曲线由上升到下降的过渡点的函数值.极小值则是极小值点附近曲线由下降到上升的过渡点的函数值.3.求函数()y f x =在[]a b ，上的最大值与最小值的步骤如下：① 求函数()y f x =在()a b ，内的极值； ① 将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．【教师备案】老师在讲最值时，也可以继续以【铺垫】为例，问学生在一个区间上的最值，并提出需要注意的几点.在理解函数最值时，需要注意以下几点： ①函数的最大值和最小值是一个整体性概念，最大值必是整个区间上所有函数值中的最大者，最小值必是整个区间上的所有函数值中的最小者.②函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极大值、极小值是比较极值点附近的函数值得出的.函数的极值可以有多个，但最值只能有一个；极值只能在区间内取得，最值可以在端点取得；有极值未必有最值，有最值也未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处必定是极值；极值不一定是最值，比如说，某位同学在班里的成绩最好，可以认为是班里的极大值，但在全校不一定是最好的，即使在全校最好，也不一定在全国最好，所以极大值不一定是最大值，老师也可以以此为例讲解极小值不一定是最小值.【铺垫】如图所示，函数()y f x =在a b c d e f g h ，，，，，，，等点的函数值与这些点附近的函数值有什么大小关系？()y f x =在这些点的导数值是多少？在这些点附近，()y f x =的导数的符号有什么规律？【解析】 以a b ，两点为例，我们可以发现，函数()y f x =在点x a =的函数值()f a 比它在点x a =附近其他点的函数值都小，()0f a '=；而且在点x a =附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>.类似地，函数()y f x =在点x b =的函数值()f b 比它在点x b =附近其他点的函数值都大，()0f b '=；而且在点x b =附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<.其它的点老师可以自由发挥，随便问学生.经典精讲考点4：与极值相关的图象问题【例12】 与极值相关的图象问题⑴函数()f x 的导函数图象如图所示，则函数()f x 在图示区间上 （ ）A ．无极大值点，有四个极小值点B ．有三个极大值点，两个极小值点C ．有两个极大值点，两个极小值点D ．有四个极大值点，无极小值点 ⑵（2010朝阳二模6）函数321()2f x x x =-+的图象大致是（ ）．【解析】 ⑴C 因为导函数的图象与x 轴的四个交点处都是穿过的，所以都是极值点，根据正负变化情况知，第一个与第三个交点对应极大值点，第二个与第四个交点对应极小值点（从左到右），故选C ．⑵A 由2()32f x x x '=-，于是()f x 在203x =，点取得极值．A ，B ，C ，D 中仅A 符合．另外此题也可以根据单调性和极值点来分析．考点5：求函数的极值与最值【铺垫】用导数法求函数2()f x x x=+的极值． 【解析】 函数定义域为{}22210()1(2)(2)x x f x x x x x'≠=-=-+，．令()0f x '>，得2x >或2x <-．①函数()f x 的单调递增区间为(2)-∞-，和(2)+∞，； 令()0f x '<，得22x -<<且0x ≠，①函数()f x 的单调递减区间是(20)-，和(02)，． ∴()f x '，()f x 的变化情况如下表：x()2-∞-，2-()20-， ()02，2()2+∞，()f x ' +0 --+()f x① 极大值 ① ① 极小值①∴()f x 在2x =-时取得极大值22-，在2x =时，取得极小值22．【例13】 求函数的极值与最值已知函数()()32231f x x x x =-+∈R ．⑴求()f x 的极值；⑵求函数()f x 在闭区间[]12-，上的最值．【解析】 ⑴()266f x x x '=-．令()2660f x x x '=-=，解得1201x x ==，．x()0-∞，()01， 1()1+∞，()f x ' +0 -0 +()f x① 极大值 ① 极小值①所以()f x 的极小值为()10f =；极大值为()01f =．⑵由①知()f x 在区间()12-，上的极小值为()10f =；极大值为()01f =．计算得：()()1425f f -=-=，．所以函数()f x 在闭区间[]12-，上的最小值为4-，最大值为5．【拓1】已知函数()()3222213f x x x a x =-+-+，其中0a >．求()f x 在区间[]23，上的最小值．【解析】 ()()()2224221f x x x a x a '=-+-=--，()7223f a =-，()373f a =-，D .O xyC .O x yB .O x yA .O yx O yx【铺垫】设函数3()32f x ax x =++有极值，求a 的取值范围． 【解析】 ()233f x ax '=+．当0a ≥时，()0f x '>，()f x 为实数集上的增函数，()f x 没有极值． 当0a <时， ()0f x '=有两个不相等的实根， ()f x 有极值． 所以a 的取值范围为0a <．【例14】已知函数存在极值，求参数范围设函数()f x 的导函数为()f x '，若()()32112f f x ax ax x a '⎡⎤=-+-∈⎢⎥⎣⎦R ，． ⑴用a 表示()1f '；⑵若函数()f x 在R 上存在极值，求a 的范围．【追问】若函数在R 上不存在极值，则a 的取值范围是多少？【解析】 ⑴()()213212f f x ax ax ''=-+-，把1x =代入上式，得()()1112f f a ''=+-，①()122f a '=-．⑵()2322f x ax ax a '=-+-当0a =时，()20f x '=-<，无极值，∴不满足假设．当0a ≠时，要满足存在极值，则()0f x '=必须有两个相异实根， 故0∆>，即()244320a a a -⋅->，得03a <<．【追问】(][)03-∞+∞，∪，【拓3】 （2010北京卷18）设函数()()3203a f x x bx cx d a =+++>，且方程()90f x x '-=的两个根分别为1，4． ① 当3a =且曲线()y f x =过原点时，求()f x 的解析式；① 若()f x 在()-∞,+∞内无极值点，求a 的取值范围．【解析】 由()323a f x x bx cx d =+++得()22f x ax bx c '=++． 因为()29290f x x ax bx c x '-=++-=的两个根分别为1，4，所以290168360a b c a b c ++-=⎧⎨++-=⎩①① 当3a =时，由①式得2608120.b c b c +-=,⎧⎨++=⎩解得3b =-，12c =．又因为曲线()y f x =过原点，所以0d =．故()32312f x x x x =-+． ① 由于0a >，所以“()323a f x x bx cx d =+++在()-∞,+∞内无极值点”等价于 “()220f x ax bx c '=++≥在()-∞,+∞内恒成立”．由①式得295b a =-，4c a =．又()()()224919b ac a a ∆=-=--．解()()09190a a a >,⎧⎪⎨∆=--⎪⎩≤得[]19a ∈,，即a 的取值范围是[]19,．【易错】右图是导函数()y f x '=的图象，试找出函数 ()y f x =的极值点，并指出哪些是极大值点，哪些是极小值点. 【解析】 根据导函数的正负，我们可以判断原函数的单调性，由此，我们可以得到，函数在2x x =处取得极大值，即2x 为极大值点；函数在4x x =处取得极小值，即4x 为极小值点.【点评】一方面，学生在看到此图时，第一反应会默认为1x 和3x 分别为极值点，但是我们要审清题意，这里给的是导函数的图象，不是原函数的图象，我们要根据导函数的图象画出原函数的图象；另一方面，学生也会误认为6x 为函数的一个极值点，我们从图象上就可以看出原函数在()5x +∞，一直是单调递增的，所以6x 不是函数的极值点.所以原函数的单调性只与导函数的正负有关，与导函数的单调性无关.随堂训练【演练6】 已知函数()f x 的导函数()f x '的图象如右图所示，那么函数()f x 的图象最有可能的是（ ）【解析】 A 由()f x '的图象知()y f x =在(0)-∞，与(2)+∞，上单调递增，在(02)，上单调递减．【演练7】 向高为H 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V 与水深h 的函数关系的图象如左图所示，那么水瓶的形状是（ ）．【解析】 B 因为容器中总的水量（即注水量）V 关于h 的函数图象是增加越来越缓的，即每当h 增加一个单位增量h ∆，V 的相应增量V ∆越来越小．这说明容器的上升的液面越来越小，故选B ．【演练8】 设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）．【解析】 D【演练9】 函数214y x x=+的单调增区间为（ ） A ．(0)+∞， B ．12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭， C ．(1)-∞-， D ．12⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，【解析】 B 令32218180x y x x x -'=-=>，得12x >．【演练10】 已知0a ≥，函数2()(2)e x f x x ax =-．设()f x 在[]11-，上是单调函数，求a 的取值范围． 【解析】 对函数()f x 求导数，得22()(2)e (22)e [2(1)2]e .x x x f x x ax x a x a x a '=-+-=+--令()0f x '=，得2[2(1)2]e 0x x a x a +--=，从而22(1)20x a x a +--=， 解得2111x a a =--+，2211x a a =-++，其中12x x <当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：yxO yx O yx O DC B A O x y授课内容及过程：知识解析1.复合函数的概念一般地,对于两个函数y=f(u)和u=φ(x)=ax+b,给定x的一个值,就得到了u的值,进而确定了y的值,这样y可以表示成x 的函数,我们称这个函数为函数y=f(u)和u=φ(x)的复合函数,记作y=f(φ(x)).其中u为中间变量.2.复合函数的求导法则复合函数y=f(φ(x))的导数为y x'=[f(φ(x))]'=f'(u)φ'(x)(u=φ(x)).3.复合函数求导的基本步骤求复合函数的导数,一般按以下三个步骤进行:(1)分解:分解复合函数为初等函数,注意适当选择中间变量;(2)层层求导:求每一层初等函数的导数(弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导);(3)作积还原:将各层初等函数的导数相乘,并将中间变量还原为原来的函数.以上步骤可称之为复合函数求导三步曲.例题解析【做一做2】求下列函数的导数:(1)y=(3x-2)2; (2)y=sin2x.解:(1)(方法一)y'=[(3x-2)2]'=(9x2-12x+4)'=18x-12.(方法二)将函数y=(3x-2)2看作是函数y=u2和函数u=3x-2复合所成的函数,并分别求对应变量的导数如下: y'u=(u2)'=2u,u'x=(3x-2)'=3.两个导数相乘,得y'x=y'u·u'x=2u·3=2(3x-2)·3=18x-12.(2)y'=2sin x·(sin x)'=2sin x·cos x=sin 2x.反思应用复合函数的求导法则求导,应注意以下几个方面:(1)中间变量的选取应是基本函数结构.(2)正确分析函数的复合层次,弄清每层是对哪个变量求导.(3)一般是从最外层开始,由外及里,一层层地求导.(4)善于把一部分表达式作为一个整体.(5)最后要把中间变量换成自变量的函数.熟练后,可省略中间步骤.。

§5 简单复合函数的求导法则一、教学目标：1、了解简单复合函数的求导法则；2、会运用上述法则，求简单复合函数的导数。

二、教学重点：简单复合函数的求导法则的应用教学难点：简单复合函数的求导法则的应用三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程（一）、复习：两个函数的和、差、积、商的求导公式。

1. 常见函数的导数公式：0'=C ；1)'(-=n n nx x ；x x cos )'(sin =；x x sin )'(cos -=2.法则1 )()()]()(['''x v x u x v x u ±=±．法则2 [()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+, [()]'()Cu x Cu x '=法则3 '2''(0)u u v uv v v v -⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭ （二）、引入新课海上一艘油轮发生了泄漏事故。

泄出的原油在海面上形成一个圆形油膜，油膜的面积S (单位：m 2)是油膜半径r (单位：m)的函数：2)(r r f S π==。

油膜的半径r 随着时间t （单位：s ）的增加而扩大，假设r 关于t 的函数为12)(+==t t r ϕ。

油膜的面积S 关于时间t 的瞬时变化率是多少？分析：由题意可得S 关于t 的新的函数：2)12())((+==t t f S πϕ。

油膜的面积S 关于时间t 的瞬时变化率就是函数))((t f S ϕ=的导函数。

∵ )144()12())((22++=+=t t t t f ππϕ，∴ )12(4)48(]))(([+=+='t t t f ππϕ。

又 r r f π2)(='， 2)(='t ϕ，可以观察到 22)12(4⋅=+r t ππ，即 )()(]))(([''='t r f t f ϕϕ。

课 题： 复合函数的导数(1)教学目的：1.理解掌握复合函数的求导法则.2.能够结合已学过的法则、公式，进行一些复合函数的求导3.培养学生善于观察事物，善于发现规律，认识规律，掌握规律，利用规律． 教学重点：复合函数的求导法则的概念与应用 教学难点：复合函数的求导法则的导入与理解 授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析： . 要弄清每一步的求导是哪个变量对哪个变量的求导.求导时对哪个变量求导要写明，可以通过具体的例子，让学生对求导法则有一个直观的了解 教学过程：一、复习引入：1. 常见函数的导数公式：0'=C ；1)'(-=n n nx x ；x x cos )'(sin =；x x sin )'(cos -=2.法则1 )()()]()(['''x v x u x v x u ±=±．法则2 [()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+, [()]'()Cu x Cu x '=法则3 '2''(0)u u v uv v v v -⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭二、讲解新课：1.复合函数: 由几个函数复合而成的函数，叫复合函数．由函数)(u f y =与)(x u ϕ=复合而成的函数一般形式是)]([x f y ϕ=，其中u 称为中间变量．2.求函数2(32)y x =-的导数的两种方法与思路：方法一：22[(32)](9124)1812x y x x x x '''=-=-+=-；方法二：将函数2(32)y x =-看作是函数2y u =和函数32u x =-复合函数，并分别求对应变量的导数如下：2()2u y u u ''==，(32)3x u x ''=-=两个导数相乘，得232(32)318u x y u u x x ''==-=-，从而有 x u x u y y '''⋅=对于一般的复合函数，结论也成立，以后我们求y ′x 时，就可以转化为求y u ′和u ′x 的乘积，关键是找中间变量，随着中间变量的不同，难易程度不同.3.复合函数的导数：设函数u =ϕ(x )在点x 处有导数u ′x =ϕ′(x )，函数y =f (u )在点x 的对应点u 处有导数y ′u =f ′(u )，则复合函数y =f (ϕ (x ))在点x 处也有导数，且x u x u y y '''⋅= 或f ′x (ϕ (x ))=f ′(u )ϕ′(x ).证明：（教师参考不需要给学生讲）设x 有增量Δx ，则对应的u ，y 分别有增量Δu ，Δy ，因为u =φ(x )在点x 可导，所以u =ϕ (x )在点x 处连续.因此当Δx →0时，Δu →0.当Δu ≠0时，由xu u y x y ∆∆⋅∆∆=∆∆. 且x yu y u x ∆∆=∆∆→∆→∆00lim lim .∴xuu y x u u y x u u y x y x u x x x x ∆∆⋅∆∆=∆∆⋅∆∆=∆∆⋅∆∆=∆∆→∆→∆→∆→∆→∆→∆000000lim lim lim lim lim lim即x u x u y y '''⋅= (当Δu ＝0时，也成立)4.复合函数的求导法则复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数5.复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代． 三、讲解范例：例1试说明下列函数是怎样复合而成的？⑴32)2(x y -=； ⑵2sin x y =； ⑶)4cos(x y -=π； ⑷)13sin(ln -=x y ．解：⑴函数32)2(x y -=由函数3u y =和22x u -=复合而成；⑵函数2sin x y =由函数u y sin =和2x u =复合而成； ⑶函数)4cos(x y -=π由函数u y cos =和x u -=4π复合而成；⑷函数)13sin(ln -=x y 由函数u y ln =、v u sin =和13-=x v 复合而成．说明：讨论复合函数的构成时，“内层”、“外层”函数一般应是基本初等函数，如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等．例2写出由下列函数复合而成的函数：⑴u y cos =，21x u +=； ⑵u y ln =，x u ln =．解：⑴)1cos(2x y +=； ⑵)ln(ln x y =． 例3求5)12(+=x y 的导数．解：设5u y =，12+=x u ，则x u x u y y '''⋅=)'12()'(5+⋅=x u x2)12(52534⋅+=⋅=x u 4)12(10+=x ．注意：在利用复合函数的求导法则求导数后，要把中间变量换成自变量的函数.有时复合函数可以由几个基本初等函数组成，所以在求复合函数的导数时，先要弄清复合函数是由哪些基本初等函数复合而成的，特别要注意将哪一部分看作一个整体，然后按照复合次序从外向内逐层求导.例4求f (x )=sin x 2的导数. 解：令y =f (x )=sin u ; u =x 2∴x u x u y y '''⋅==(sin u )′u ·(x 2)x ′=cos u ·2x =cos x 2·2x =2x cos x 2 ∴f ′(x )=2x cos x 2 例5求y =sin 2(2x +3π)的导数.分析: 设u =sin(2x +3π)时，求u ′x ，但此时u 仍是复合函数，所以可再设v =2x +3π.解：令y =u 2，u =sin(2x +3π)，再令u =sin v ，v =2x +3π∴x u x u y y '''⋅==y ′u (u ′v ·v ′x )∴y ′x =y ′u ·u ′v ·v ′x =(u 2)′u ·(sin v )′v ·(2x +3π)′x=2u ·cos v ·2=2sin(2x +3π)cos(2x +3π)·2=4sin(2x +3π)cos(2x +3π)=2sin(4x +32π) 即y ′x =2sin(4x +32π) 例6求32c bx ax y ++=的导数.解：令y =3u ，u =ax 2+bx +c∴x u x u y y '''⋅==(3u )′u ·(ax 2+bx +c )′x =3231-u ·(2ax +b )=31(ax 2+bx +c )32-(2ax +b )=322)(32c bx ax b ax +++即y ′x =322)(32c bx ax b ax +++例7求y =51xx-的导数. 解：令xxu u y -==1,5∴x u x u y y '''⋅==(5u )′u ·(xx-1)′x 4455221(1)(1)11(1)()55x x x x x x x u x x x--''-------=⋅=⋅ 24654511115(1)5()x x x x x-=⋅=---⋅24515()x x x =-- 即y ′x =－542)(51x x x -例8 求y =sin 2x 1的导数.解：令y =u 2，u =sin x 1，再令u =sin v ，v =x 1∴x u x u y y '''⋅=·v ′x =(u 2)′u ·(sin v )′v ·(x 1)′x=2u ·cos v ·210x -=2sin x 1·cos x 1·21x -=－21x ·sin x 2∴y ′x =－21x sin x 2例9 求函数y =(2x 2－3)21x +的导数.分析: y 可看成两个函数的乘积，2x 2－3可求导，21x +是复合函数，可以先算出21x +对x 的导数.解：令y =uv ，u =2x 2－3，v =21x +, 令v =ω，ω=1+x 2x x v v ωω'''=⋅ =()ωω' (1+x 2)′x=22211122)2(21x x x x x +=+=-ω∴y ′x =(uv )′x =u ′x v +uv ′x =(2x 2－3)′x ·21x++(2x 2－3)·21xx +=4x23232161321xx x xx x x ++=+-++即y ′x =2316xx x ++四、课堂练习：1．求下列函数的导数(先设中间变量，再求导). (1)y =(5x －3)4 (2)y =(2+3x )5 (3)y =(2－x 2)3 (4)y =(2x 3+x )2解：(1)令y =u 4，u =5x －3∴x u x u y y '''⋅==(u 4)′u ·(5x －3)′x =4u 3·5=4(5x －3)3·5=20(5x －3)3 (2)令y =u 5，u =2+3x∴x u x u y y '''⋅==(u 5)′u ·(2+3x )′x =5u 4·3=5(2+3x )4·3=15(2+3x )4 (3)令y =u 3，u =2－x 2∴x u x u y y '''⋅==(u 3)′u ·(2－x 2)′x =3u 2·(－2x )=3(2－x 2)2(－2x )=－6x (2－x 2)2 (4)令y =u 2，u =2x 3+x∴x u x u y y '''⋅==(u 2)′u ·(2x 3+x )′x=2u ·(2·3x 2+1)=2(2x 3+x )(6x 2+1)=24x 5+16x 3+2x2.求下列函数的导数(先设中间变量，再求导)(n ∈N *) (1)y =sin nx (2)y =cos nx (3)y =tan nx (4)y =cot nx 解：(1)令y =sin u ，u =nxx u x u y y '''⋅==(sin u )′u ·(nx )′x =cos u ·n =n cos nx(2)令y =cos u ，u =nxx u x u y y '''⋅==(cos u )′u ·(nx )′x =－sin u ·n =－n sin nx(3)令y =tan u ，u =nxx u x u y y '''⋅==(tan u )′u ·(nx )′x =(uucos sin )′u ·n =2)(cos )sin (sin cos cos u u u u u --⋅·n =nx n n u 22cos cos 1==n ·sec 2nx (4)令y =cot u ，u =nxx u x u y y '''⋅==(cot u )′u ·(nx )′x =(uusin cos )′u ·n =2)(sin cos cos sin sin u uu u u ⋅-⋅-·n =－u 2sin 1·n =－nx n 2sin =－n csc 2nx 五、小结 ：⑴复合函数的求导，要注意分析复合函数的结构，引入中间变量，将复合函数分解成为较简单的函数，然后再用复合函数的求导法则求导；⑵复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代七、板书设计（略）八、课后记：。