复合函数求导法-教案

高中数学复合函数求导教案一、复合函数的定义1. 复合函数是指一个函数由两个或两个以上的函数组合而成的函数。

2. 复合函数的表示：如果函数 f 和函数 g 都是数学上的函数，则复合函数 f(g(x)) 表示先对x 进行函数 g 的运算，然后再对结果进行函数 f 的运算。

这里 g(x) 是函数 g 的输出，f(g(x)) 是复合函数的输出。

二、复合函数的求导法则1. 复合函数的导数公式：设函数 y = f(u)，u = g(x) 为复合函数，则 y 的导数为：dy/dx = dy/du * du/dx2. 具体步骤：a. 先对内函数 u 进行求导，求得 dy/dub. 再对外函数 y 进行求导，求得 du/dxc. 最后将两者相乘即可得到最终导数 dy/dx三、实例演练例题：已知函数 y = (2x + 1)^2，求 dy/dx1. 设 u = 2x + 1，则 y = u^22. 求内函数 u 的导数：du/dx = 23. 求外函数 y 的导数：dy/du = 2u4. 根据公式，dy/dx = dy/du * du/dx = 2u * 2 = 4u5. 将 u = 2x + 1 代入，得到 dy/dx = 4(2x + 1)四、练习题1. 已知函数 y = sin(x^2)，求 dy/dx2. 已知函数 y = ln(3x + 2)，求 dy/dx3. 已知函数 y = e^(2x - 1)，求 dy/dx五、作业1. 完成练习题中的题目，写出解题思路和计算过程2. 自行设计一个复合函数，并求其导数3. 查阅相关资料，了解复合函数的应用领域及意义六、总结1. 复合函数求导是高中数学中的重要内容，掌握其求导法则可以帮助我们解决更复杂的问题。

2. 通过练习和实践，加深对复合函数求导的理解和掌握，提高数学解题能力。

课时：2课时教学目标：1. 理解复合函数的概念和性质。

2. 掌握复合函数求导的基本方法，包括链式法则和换元法。

3. 能够熟练运用复合函数求导方法解决实际问题。

教学重点：1. 复合函数求导的基本方法。

2. 链式法则和换元法的应用。

教学难点：1. 链式法则和换元法的应用。

2. 复合函数求导的步骤。

教学准备：1. 多媒体课件2. 练习题教学过程：第一课时一、导入1. 复习一元函数的概念和性质。

2. 引入复合函数的概念，举例说明。

二、新授课1. 复合函数的定义：由两个函数复合而成的函数称为复合函数。

2. 复合函数的性质：复合函数具有连续性、可导性等性质。

3. 复合函数求导的基本方法：a. 链式法则：设y=f(u)，u=g(x)，则y对x的导数为y' = f'(u)g'(x)。

b. 换元法：设y=f(u)，u=g(x)，则y对x的导数为y' = f'(g(x))g'(x)。

三、例题讲解1. 例1：求函数y=ln(x^2)的导数。

2. 例2：求函数y=sin(2x)的导数。

四、课堂练习1. 练习1：求函数y=ln(x^2+1)的导数。

2. 练习2：求函数y=sin(x^2)的导数。

第二课时一、复习1. 回顾复合函数的定义和性质。

2. 回顾复合函数求导的基本方法。

二、例题讲解1. 例3：求函数y=ln(e^x)的导数。

2. 例4：求函数y=sin(2ln(x))的导数。

三、课堂练习1. 练习3：求函数y=ln(x^2-1)的导数。

2. 练习4：求函数y=sin(2x^2)的导数。

四、总结1. 总结复合函数求导的基本方法。

2. 强调链式法则和换元法的应用。

五、布置作业1. 完成课后练习题。

2. 复习本节课所学内容。

教学反思：1. 本节课通过讲解和例题分析，使学生掌握了复合函数求导的基本方法。

2. 在课堂练习环节，学生能够运用所学知识解决实际问题。

3. 需要进一步加强对学生解题思路的引导，提高学生的解题能力。

2.2.2 复合函数求导法教学要求：理解并熟练掌握复合函数求导法，会用反函数求导数 教学内容：一、复习提问：1、导数的基本公式2、导数的四则运算法则上一节介绍了函数的定义、导数的四则运算法则、基本初等函数求导公式，并能求出了一些简单函数的导数。

但是求常见的初等函数的导数时，往往需要借助于求导法则，本节就将介绍这些求导法则。

二、复合函数的求导法则1、比如求函数x y 2sin =的导数。

错误解答：x y 2cos ='正确解答：()()()x x x x x x y 2cos 2sin cos 2cos sin 22sin 22=-='='='对比一下，答案错误的原因是把x 2当成了自变量。

我们先把复合函数x y 2sin =进行分解为x u u y 2,sin ==。

x u dxdu du dy dx dy y 2cos 22cos =⋅=⋅==' 1、 求复合函数的导数可分两步： 第一步（关键步骤）：先将复合函数分为若干个简单函数，辨明各函数的中间变量和自变量。

第二步：逐一分步求导。

复合函数求导法则: 设函数()y f u =在点u 处可导，()u x ϕ=在点x 处可导，则复合函数[()]y f u ϕ=在点x 处可导，且有()()dy f u x dx ϕ''=⋅ 或 dy dy dudx du dx=⋅ 证明 设变量x 有改变量x ∆，相应地，变量u 有改变量u ∆，从而y 有改变量y ∆. 由于u 可导，所以0lim 0=∆→∆u x ，)(lim lim00x u u y x y x x ∆∆⋅∆∆=∆∆→∆→∆ x uu y x u ∆∆⋅∆∆=→∆→∆00lim lim x u u y '⋅'= 即 x u x u y y '⋅'='.现在利用复合函数求导法则求x y 2sin =的导数：u y sin =，x u 2=（中间变量为u ,自变量为x ），即（对u 求导)(对x 求导) （回代）(sin )(2)2cos 2cos2u x y u x u x '''=⋅==如果复合函数的复合层次较多，法则4可以推广到有限多个复合步骤构成的复合函数求导。

课时安排：2课时教学目标：1. 让学生理解复合函数的概念，掌握复合函数求导的方法。

2. 使学生能够熟练运用复合函数求导公式，解决实际问题。

3. 培养学生的逻辑思维能力和分析问题的能力。

教学重点：1. 复合函数的概念。

2. 复合函数求导公式。

教学难点：1. 复合函数求导公式的推导过程。

2. 复合函数求导公式的应用。

教学准备：1. 复习导数的基本概念。

2. 复习函数的复合。

3. 准备相关例题和习题。

教学过程：第一课时一、导入1. 复习导数的基本概念，如导数的定义、导数的性质等。

2. 引入复合函数的概念，让学生理解复合函数的含义。

二、新课讲解1. 复合函数的概念：- 定义：由两个或两个以上的函数复合而成的函数称为复合函数。

- 举例：y = f(u)，u = g(x)，则y = f(g(x))为复合函数。

2. 复合函数求导公式：- 设y = f(u)，u = g(x)，则y关于x的导数为y' = f'(u) g'(x)。

- 举例：求y = ln(x^2)的导数。

解：令u = x^2，则y = ln(u)，根据复合函数求导公式，有y' = (1/u) 2x = 2x/x^2 = 2/x。

三、例题讲解1. 例题1：求y = sin(2x)的导数。

解：令u = 2x，则y = sin(u)，根据复合函数求导公式，有y' = cos(u) 2 = 2cos(2x)。

2. 例题2：求y = e^(3x^2)的导数。

解：令u = 3x^2，则y = e^u，根据复合函数求导公式，有y' = e^u 6x = 6xe^(3x^2)。

四、课堂小结1. 复合函数的概念。

2. 复合函数求导公式。

第二课时一、复习1. 回顾复合函数的概念。

2. 回顾复合函数求导公式。

二、新课讲解1. 复合函数求导公式的推导过程：- 设y = f(u)，u = g(x)，则y关于x的导数为y' = f'(u) g'(x)。

简单复合函数求导教案高中高中数学教学中，简单复合函数求导是一个重要的知识点。

本文将介绍简单复合函数求导的相关概念和方法，帮助学生更好地理解和掌握这一知识点。

一、简单复合函数的概念。

1.1 复合函数。

在数学中，复合函数是指将一个函数的输出作为另一个函数的输入，从而得到一个新的函数。

设有两个函数f(x)和g(x)，则它们的复合函数可以表示为(f∘g)(x)= f(g(x))。

其中，g(x)的输出作为f(x)的输入，得到新的函数(f∘g)(x)。

1.2 简单复合函数。

简单复合函数是指由两个简单函数复合而成的函数。

简单函数通常是指幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等基本函数。

二、简单复合函数求导的方法。

2.1 复合函数求导法则。

设有两个函数u(x)和v(x)，它们的复合函数为y = u(v(x))。

根据链式法则，复合函数的导数可以表示为dy/dx = u'(v(x)) v'(x)，其中u'(v(x))表示u(x)对v(x)的导数，v'(x)表示v(x)对x的导数。

2.2 简单复合函数求导的具体步骤。

对于简单复合函数y = f(g(x))，求导的具体步骤如下：（1）首先求出g(x)的导数g'(x)；（2）然后求出f(u)的导数f'(u)，其中u = g(x)；（3）最后将g'(x)和f'(u)相乘，即得到复合函数y = f(g(x))的导数。

三、简单复合函数求导的例题。

为了更好地理解简单复合函数求导的方法，我们通过例题来进行具体的讲解。

例题1，已知y = (3x^2 + 1)^4，求dy/dx。

解，将y = (3x^2 + 1)^4表示为y = u^4，其中u = 3x^2 + 1。

根据链式法则，有dy/dx = 4u^3 6x = 24x(3x^2 + 1)^3。

例题2，已知y = sin(2x + 1)，求dy/dx。

解，将y = sin(2x + 1)表示为y = sin(u)，其中u = 2x + 1。

教学对象：大学生教学目标：1. 理解复合函数的概念，掌握复合函数求导的基本方法。

2. 能够运用链式法则和乘积法则求复合函数的导数。

3. 通过实例分析，提高学生运用复合函数求导解决实际问题的能力。

教学重点：1. 复合函数的定义和链式法则。

2. 乘积法则在复合函数求导中的应用。

教学难点：1. 复合函数求导过程中，正确运用链式法则和乘积法则。

2. 复合函数求导的复杂情况分析。

教学准备：1. 教师准备PPT，包括复合函数定义、链式法则、乘积法则等知识点。

2. 学生提前预习教材，了解复合函数的基本概念。

教学过程：一、导入1. 回顾导数的定义和基本求导法则。

2. 提出问题：如何求复合函数的导数？二、新课讲解1. 复合函数的定义：函数y=f(u)，其中u=g(x)称为复合函数。

2. 链式法则：设y=f(u)，u=g(x)，则y对x的导数为y' = f'(u) g'(x)。

3. 乘积法则：设y=f(x) g(x)，则y对x的导数为y' = f'(x) g(x) + f(x) g'(x)。

4. 复合函数求导实例分析：- 例1：求y=cos(2x)的导数。

- 例2：求y=sin(x^2)的导数。

- 例3：求y=e^sinx的导数。

三、课堂练习1. 学生独立完成以下练习题：- 求y=ln(3x)的导数。

- 求y=tan(x^2)的导数。

- 求y=e^(1/x)的导数。

2. 教师巡视指导，解答学生疑问。

四、课堂小结1. 回顾复合函数求导的基本方法：链式法则和乘积法则。

2. 强调复合函数求导的关键在于正确运用法则。

五、作业布置1. 完成教材课后习题，巩固所学知识。

2. 分析以下问题，并尝试用所学方法求解：- 求y=cos(2sinx)的导数。

- 求y=e^(x^2)的导数。

教学反思：本节课通过讲解复合函数求导的基本方法，使学生掌握了链式法则和乘积法则在复合函数求导中的应用。

复合函数求导法则的教学设计摘要：本文主要介绍了《复合函数求导法则》这节课的一种创新性讲法，利用这种新的教学设计方法，不仅便于理解、容易掌握，更加强了学员分析、解决问题的能力。

关键词：复合函数复合分解求导法则复合函数求导法则是《高等数学》课程中的一个重要内容，是在学习了导数的概念，函数求导法则的基础上，对函数求导方法的进一步研究，并为后面学习导数的应用打下了坚实的基础。

通过对本节课的学习，不仅增强了学员对函数性质的理解，同时也加强了学员对现实生活中客观现象的认知能力。

下面我根据自己的实际教学效果，介绍本节课的教学设计如下：一、教学目的（一）教学目标1.认知上：了解复合函数求导法则，通过对法则的学习，能够熟练求出复合函数的导数。

2.能力上：通过对复合函数求导法则的学习，培养学员分析归纳、抽象概括的能力以及联系与转化的思维方法。

3.情感上：通过对本节课的学习，激发学员学习数学的兴趣，并养成严谨的学习态度。

（二）教学重点和难点本节课的教学重点是复合函数求导法则和计算，教学难点是三层复合函数求导的计算。

（三）教学方法主要运用讲授法，并结合启发式教学法，引导学员从数学本身和军事现象入手，探讨复合函数求导数的方法。

充分贯彻“以学为主”，发挥学员的积极性。

二、教学创新通过深入挖掘教材，我突破了传统的教学模式，并没有直接给出复合函数求导法则，而是通过对“为什么学？学什么？有什么用？”这三个问题进行回答，来展开教学。

（一）为什么学？本节课，我首先从数学问题和军事问题入手，突出学习复合函数求导法则的必要性和迫切性，从而引出问题。

这么做的目的不仅考虑了数学的连贯性，并且在发挥素质教育功能的基础上，贯彻职业技术士官教改中的“为专业服务，注重应用和实践”的思想，同时回答了我们本节课“为什么要学习这个课题”。

这么设计即复合学员基础较差的实际特点，又符合学员从感性到理性，从具体到抽象的认知规律。

（二）学什么？如何计算？对于课题，我重点从法则和计算这两个方面来进行研究。

§1.2.2复合函数的求导法则教学目标 理解并掌握复合函数的求导法则．教学重点 复合函数的求导方法：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数之积．教学难点 正确分解复合函数的复合过程，做到不漏，不重，熟练，正确．一．创设情景（一）基本初等函数的导数公式表（2）推论：[]''()()cf x cf x = （常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）二．新课讲授 复合函数的概念 一般地，对于两个函数()y f u =和()u g x =，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数()y f u =和()u g x =的复合函数，记作()()y f g x =。

复合函数的导数 复合函数()()y f g x =的导数和函数()y f u =和()u g x =的导数间的关系为x u x y y u '''=⋅，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．若()()y f g x =，则()()()()()y f g x f g x g x ''''==⋅⎡⎤⎣⎦三．典例分析例1求y ＝sin （tan x 2）的导数．【点评】求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，由外层向内层逐层求导，直到关于自变量求导，同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果． 例2求y ＝ax x ax 22--的导数． 【点评】本题练习商的导数和复合函数的导数．求导数后要予以化简整理．例3求y ＝sin 4x ＋cos 4x 的导数．【解法一】y ＝sin 4x ＋cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 2cos 2x ＝1－21sin 22 x ＝1－41（1－cos 4 x ）＝43＋41cos 4 x ．y ′＝－sin 4 x ． 【解法二】y ′＝(sin 4 x )′＋(cos 4 x )′＝4 sin 3 x (sin x )′＋4 cos 3x (cos x )′＝4 sin3 x cos x ＋4 cos 3 x (－sin x )＝4 sin x cos x (sin 2 x －cos 2x )＝－2 sin 2 x cos 2 x ＝－sin 4 x【点评】 解法一是先化简变形，简化求导数运算，要注意变形准确．解法二是利用复合函数求导数，应注意不漏步．例4曲线y ＝x （x ＋1）（2－x ）有两条平行于直线y ＝x 的切线，求此二切线之间的距离．【解】y ＝－x 3 ＋x 2 ＋2 x y ′＝－3 x 2＋2 x ＋2令y ′＝1即3 x 2－2 x －1＝0，解得 x ＝－31或x ＝1． 于是切点为P （1，2），Q （－31，－2714）， 过点P 的切线方程为，y －2＝x －1即 x －y ＋1＝0．显然两切线间的距离等于点Q 到此切线的距离，故所求距离为2|1271431|++-＝22716．四．课堂练习1．求下列函数的导数 (1) y =sin x 3+sin 33x ；（2）122sin -=x x y ;(3))2(log 2-x a2.求)132ln(2++x x 的导数五．回顾总结六．布置作业。

复合函数的导数 ( 二) ·教课设计示例目的要求1．掌握复合函数的求导法例．2．会用复合函数的求导法例解决一些简单的问题．内容剖析1．本节要点是复合函数求导法例的应用．2．应用之一是求分式、根式、三角函数式等复合函数的导数．例 2 在教科书原题基础上，增添几道小题作为学生训练题，而后提出娴熟此后可简化过程，并予以示范．例 3 是根式形式的复合函数求导，第一应将根式表示为分数指数，x以方便使用幂函数求导公式，而后设中间变量u＝对x求导，介绍1 x两种求法．方法一是作为商对x求导，方法二是当作u＝－ 1＋1，即1 x当作 u＝－ 1＋ v 1， v＝ 1－ x，仍用复合函数求导法例求导．用到的求导法例或公式，解题的过程应向学生清楚地展现．自然，可指引学生思虑并达成．3．应用之二是解决实质应用问题．教师除了教课生会学数学，更重要的是指引学生会用数学．培育学生应用数学解决实质问题的意识和能力是数学教课的根本任务．应用问题在习题中配置了求切线方程，这里增添一道应用例题，证明一个组合等式，目的在于指引学生应用复合函数的求导法例及赋值法来解答，同时重温倒序相加法、通项变换法等证法，这就表现了复合函数求导法例的应用宽泛性，也表现了思想的多样性和变通性，培育了发散思想能力，更重要的是能够激发学生学好用好数学的意识和踊跃性．4．经过这节的学习，应使学生对复合函数的观点、求导法例和步骤及其应用，有一个整体的掌握．教课过程1．复习求导法例让学生回回复合函数定义、求导法例、求导步骤．本节将在应用中娴熟掌握复合函数的求导．2．应用求导法例(1)应用之一对复合函数式求导例 2求以下函数的导数：(1)y ＝ 1 4； (2)y ＝ sinx 2； (3)y ＝ cos(3x x) ； (4)y ＝ 1 x 2．(1 3x) 6 请学生登台达成．答案：(1) 12 5； (2)2xcosx 2； (3) 3sin(3x x)； (4) x ．(1 3x) 6 1+ x 2注：这里有分式型、根式型、三角函数型的复合函数求导．师生一同评论．可夸奖四位同学达成得较好．接着提请注意，娴熟后可省写步骤，并作示范．如，解 (1) 可表达为y′x＝[(1 －3x) -4 ] ′＝－ 4(1 －3x) -5·( －3) ＝ 12(1 － 3x) -5．这里最后结果可写负指数或分数指数．出示教科书例 3 并解说．x此中对 u＝求u′ x，可让学生在底稿上达成．此处，教师可1 x作以下指导：方法一按商的求导法例求导．方法二先化为 u＝－ 1＋1，即 u＝－ 1＋ v 1， v＝ 1－ x，按复合1 x函数求导．(2)应用之二解简单的应用问题增例当n∈N *时，求证： C1n＋2C 2n＋C3n＋＋ nC n n＝n· 2n 1．指引学生剖析，联想到二项睁开式(1＋x) n＝C0n＋ C1n x＋C2n x 2＋＋ C n n x n．(*)对照睁开式通项 C k n x k与待证和式通项 kC k n，可决定对 (* )式求导并赋值 x＝ 1 证得．视学生水平由教师解说或学生达成证明．证明：由 (1＋x) n＝C0n＋C1n x＋ C2n x 2＋＋ C n n x n，两边对 x 求导，得n(1＋ x) n 1·1＝ 0＋C1n＋ 2C2n x＋＋ nC n n x n 1．令 x＝1，得n· 2n 1＝C1n＋ 2C2n＋＋ nC n n．注：应向学生讲清 (1 ＋x) n是作为复合函数对x 求导的．对本题再思虑．在《摆列、组合和概率》一章中，我们用的证法是倒序相加法、通项变换法，不如重温一下．方法一倒序相加法令 S n＝C1n＋ 2C2n＋＋ (n－ 1)C n n1＋nC n n(1)(1)式右侧倒序，写为S n＝nC n n＋ (n－1)C n n1＋ (n－2)C n n2＋＋ C1n(2)注意到组合数性质 C r n＝ C n n r(r＝ 0，1，， n)(2)式可改写为S n＝nC0n＋ (n－1)C1n＋ (n－ 2)C2n＋＋ C n n 1(3) 将 (1) 、(3) 两式相加 ( 注意错位 ) 得2S n＝n(C0n＋C1n＋C2n＋＋ C n n1＋C n n )即 2S n＝n·2n∴S n＝n·2n-1即C1n＋ 2C2n＋＋ nC n n＝n·2 n 1方法二通项变换法k ＝·n! ＝·(n 1)! ＝k 1kC n kk ! · ( n k )! n1)![( n 1) (k 1)]!nC n 1 (k即kC n k＝nC n k 11在这一等式中按序取k＝1，2，， n，并相加得C 1n＋ 2C 2n＋＋ nC n n＝ nC0n 1＋ nC1n 1＋＋ nC n n11＝n(C 0n 1＋ C 1n 1＋＋ C n n11 )＝n· 2n 13．反应练习学生达成教科书练习第1、 2 题4．讲堂小结由y＝ f(u) ，u＝ (x) 可得复合函数 y＝f[ (x)] ．对于复合函数的导数，要理解法例，掌握步骤，擅长应用．(1)法例 y ′x＝ y′u·u′x(2)步骤分解——求导——回代(娴熟后可省写步骤)(3)应用能对复合函数求导；能解相关的应用问题部署作业教科书习题 3．4 第 2(3)(4) 、 3 题．研究题已知曲线 y＝ 400 x 2 3(100 x)(0 ≤ x≤100) 在点 M 处5有水平切线，求点M的坐标．略解：易得y′＝xx 2－3．400 5令y′＝0，解得x＝15．点M的坐标是(15 ，76) ．。