1.4 解直角三角形 教学设计

第一章直角三角形的边角关系《解直角三角形》教学设计说明深圳市光明新区公明中学蔡德芹一、教材分析《解直角三角形》是北师大版九年级下册第一章第四节的内容. 在此之前，学生已经具备了勾股定理、锐角三角函数的基本知识，会求任意一个锐角的三角函数值. 本节课是三角函数应用之前的准备课，旨在建立好解直角三角形的数学模型，以便有效的为现实生活服务.培养学生解答实际应用题的技能，掌握如何构建解直角三角形的思想方法、技巧.把勾股定理和锐角三角函数的前期准备知识有机的组织起来，使学生能承前启后、有思想性和可操作性. 因此，本节课在教材教学计划中起着一发牵制全局的重要作用.二、学情分析1、九年级学生已经掌握了勾股定理，刚刚学习过锐角三角函数，能够用定义法求三角函数sinα、cosα、tanα值.2、在计算器的使用上，学生学习了用计算器求任意锐角的三角函数值，并对计算器的二次功能有所了解.有上述知识技能作基础为学生进一步学习“解直角三角形”创造了必要条件.3、但锐角三角函数的运用不一定熟练，综合运用所学知识解决问题，将实际问题抽象为数学问题的能力都比较差，因此要在本节课进行有意识的培养.三、教学任务分析本节内容是在学习了“锐角三角函数”“勾股定理”等内容的基础上进一步探究如何利用所学知识解直角三角形.通过直角三角形中边角之间关系的学习，整合三角函数的知识，归纳解直角三角形的一般方法.在呈现方式上，显示出实践性与研究性，突出了学数学、用数学的意识与过程，注重联系学生的生活实际，同时还有利于数形结合.通过本节课的学习，不仅可以巩固勾股定理和锐角三角函数等相关知识，初步获得解决问题的方法和经验，而且还让学生进一步体会数学与实际生活的密切联系.掌握将实际问题转化为数学模型的思想方法.所以教学目标如下：知识技能：初步理解解直角三角形的含义，掌握运用直角三角形的两锐角互余、勾股定理及锐角三角函数求直角三角形的未知元素.数学思考：在研究问题中思考如何把实际问题转化为数学问题，进而把数学问题具体化.解决问题：解直角三角形的对象是什么？在解决与直角三角形有关的实际问题中如何把问题数学模型化.通过利用三角函数解决实际问题的过程，进一步提高学生的逻辑思维能力和分析问题解决问题的能力情感态度：在解决问题的过程中引发学生形成数形结合的数学思想，体会数学与实践生活的紧密联系.从而增强学生的数学应用意识，激励学生敢于面对数学学习中的困难.通过获取成功的体验和克服困难的经历，增进学习数学的信心，养成良好的学习习惯.教学重难点：重点：理解并掌握直角三角形边角之间的关系，运用直角三角形的两锐角互余、勾股定理及锐角三角函数求直角三角形的未知元素.难点：从已知条件出发，正确选用适当的边角关系或三角函数解题.四、教学过程1. 知识回顾1、在一个直角三角形中，共有几条边？几个角？（引出“元素”这个词语）2、在RtΔABC中，∠C=90°.a、b、c、∠A、∠B这些元素间有哪些等量关系呢？讨论复习：Rt ΔABC 的角角关系、三边关系、边角关系分别是什么？总结： 直角三角形的边角关系（1） 两锐角互余：∠A+∠B=90°（2） 三边满足勾股定理：a 2+b 2=c 2（3） 边与角的关系：.t an cot ,cot t an ,sin cos ,cos sin ab B A ba B A cb B A ca B A ======== 3、填一填 记一记 三角函数角α30° 45° 60°sin αcos αtan α 定义：在直角三角形中由已知元素求出未知元素的过程就是解直角三角形.2. 探究新知在Rt △ABC 中,（1）根据∠A= 60°,斜边AB=30,你能求出这个三角形的其他元素吗?（2）根据AC=2，BC= 6 ，你能求出这个三角形的其他元素吗？（3）根∠A=60°,∠B=30°, 你能求出这个三角形的其他元素吗? 从以上关系引导学生发现，在直角三角形中，只要知道其中两个元素（至少有一个是边）就可以求出其余的几个元素，从而引出解直角三角形的定义：在直角三角形中由已知元素求出未知元素的过程就是解直角三角形.3. 例题讲解例1 在Rt △ABC 中，∠C 为直角，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为 a ， b,c,且a =15，b =5，求这个三角形的其他元素.解;例2：如图：在Rt ΔABC 中，∠C=90°，∠B=25°，b=30.解这个直角三角形（结果保留小数点后一位）.注意强调：在解决直角三角形的过程中，常会遇到近似计算，尽量选择原始数据,避免累积误差.4. 知识应用1、在Rt △ABC 中，∠C =90° ，根据下列条件求出直角三角形的其他几个元素（角度精确到 1° ）（1）已知 a=4，b=8；52c ∴ ,5b ,15a ∵△ABC t 222====+c b a R 中，在︒=︒=∴===60∠A 30∠B 21525sin △ABC t ，中，在c b B R B 6AC（2）已知 b=10，∠B=60° ；（3）已知 c=20，∠A=60° ．（1）中已知两条边如何解直角三角形，（2）（3）已知一条边及一个角解直角三角形，本题的设计重在引导学生体会并归纳常规解直角三角形的常规方法：解直角三角形的方法遵循“有斜用弦，无斜用切；宁乘勿除，化斜为直”2、如图在Rt ΔABC 中，∠C=90°，AC=2，BC=6，解这个直角三角形.3、在Rt △ABC 中,∠C=90度,a,b,c 分别是∠A,∠B,∠C 的对边.(1)已知 ,解这个直角三角形(2)已知 ,解这个直角三角形以上两题由学生小组内讨论解决.接下来,在教师引导下分析解决之. 5. 能力提升问题： 要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角a 一般要满足50°≤∠a ≤75°.如果现有一个长6m 的梯子，那么（1）使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙？（精确到0.1m ）（2）当梯子底端距离墙面2.4m 时，梯子与地面所成的锐角a 等于多少？（精确到1°）这时人是否能够安全使用这个梯子？6,45==∠︒c B 3030=+=∠-∠︒c b B A ，师生共同分析解决问题1、问题2.注意强调：在解决直角三角形的过程中，常会遇到近似计算，除特别说明外.边长保留四位有效数字，角度精确到1′.五、课堂小结一、通过本节课的学习，大家有什么收获?六、作业布置：1、习题1.5 1、2.2、预习下一节内容，要求了解什么是仰角和俯角3、补充作业：如图,根据图中已知数据,求△ABC 其余各边的长,各角的度数和△ABC 的面积.七、板书设计：§ 1.4 解直角三角形一、概念 二、例题解直角三角形定义： 例1：A B C450 300 4cm B C b a c A八、教学反思本节课，为解直角三角形应用题之前的准备课，旨在建立好解直角三角形的数学模型，以便有效的为现实生活服务.培养学生解答实际应用题的技能，掌握如何构建解直角三角形的思想方法、技巧.把勾股定理和锐角三角函数的前期准备知识有机的组织起来，使学生能承前启后、有思想性和可操作性.因此，本节课在教材教学计划中起着一发牵制全局的重要作用.本节课第一个知识点，是具有至少一边的两个条件，可解直角三角形.为此，我设计了三个问题即分别从已知一角一边、两边，以及两角的的不同条件.通过师生互动的教学形式，归纳出只有具有至少一边的两个条件，可解直角三角形，以及直角三角形的基本类型和解法.已知两边（1）两直角边（2）斜边一条直角边已知一边一个锐角（1）一条直角边和一个锐角（2）斜边和一个锐角为了深化知识，提高学生的解题能力.我又设计两个小题给出某角、某三角函数值等条件、通过组合图形达到间接解决问题的目的.本节课第二个知识点，是重点体现学生应用意识过程.当学生掌握和了解直角三角形的思想方法及技巧能力欣慰之时，我及时不失时机地举例引出课本练习题中的判别梯子是否安全的问题，学生通过观察，思考，讨论，回答了两个问题，每个人脸上都绽放出成功的喜悦.这节课由于内容较多，学生需要变式思维.我通过利用多媒体教学技术的优势，提供给学生直观形象，既提高了学生的解题能力，又增强了他们对运用数学的意识.这是我努力创设授课过程的出发点和重中之重.在教学过程中，采取了学生自主学习、小组讨论和师生互动的形式.通过教师积极组织引导，学生通过利用所掌握的解直角三角形知识与技能解决了生活中的实际问题，又激发了学生学习数学的积极性，为学生今后的学习奠定了基础.取得了教师预期的教学效果，比较圆满的完成了本节课教学目标设计.。

1．4 解直角三角形1.了解什么叫解直角三角形.2.掌握解直角三角形的根据.3.能由已知条件解直角三角形.自学指导 阅读课本P16~17，完成下列问题.知识探究1.在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程叫做解直角三角形.2.直角三角形中的边角关系:三边之间的关系a 2+b 2=c 2；两锐角之间的关系∠A+∠B=90°；边与角之间的关系:sinA= c a ，cosA= c b ，tanA= b a ，sinB= c b ，cosB= c a ，tanB= a b .3.在Rt △ABC 中，∠C=90°，已知∠A 与斜边c ，用关系式∠B=90°-∠A ，求出∠B ，用关系式 sinA=c a 求出a. 自学反馈1.Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝35，则BC ：AC 等于 ( A ) A ．3：4 B ．4：3 C ．3：5 D ．4：52.如图所示，先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB 为 ( B )A.αcos 5 B ．5cos α C ．αsin 5 D ．5sin α活动1 小组讨论例1 在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a =15，b=5，求这个三角形的其他元素.解：在Rt △ABC 中，a 2+b 2=c 2,a =15，b=5， ∴().525)15(2222=+=+=b a c在Rt △ABC 中，sinB=,21525==c b ∴∠B=30°.∴∠A=60°.例2 在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b=30，∠B=25°求这个三角形的其他元素（边长精确到1）.解：在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=25°，∴∠A=65°.∵sinB=c b,b=30,∴c=︒=25sin 30sin B b≈71.∵tanB=a b,b=30,∴a=︒=25tan 30tan B b ≈64.活动2 跟踪训练1.根据下列条件解直角三角形．(1)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，c ＝43，∠A ＝60°；解：∵∠A ＝60°，∴∠B ＝90°－∠A ＝30°．∵sin A ＝a c ，∴a ＝c ·sin A ＝43·sin 60°＝43×32＝6，∴b ＝()222243623c a -=-=.(2)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝6，b ＝23 ；解：∵∠C ＝90°，a ＝6，b ＝23，∴c ＝()222262343a b +=+=.∵tan A ＝623a b =＝3,∴∠A ＝60°，∴∠B ＝90°－∠A ＝90°－60°＝30°．2.如图，在△ABC 中，AD⊥BC 于点D ，AB=8，∠ABD=30°，∠CAD=45°，求BC 的长．解：∵AD ⊥BC 于点D ，∴∠ADB=∠ADC=90°．在Rt △ABD 中，∵AB=8，∠ABD=30°，∴AD=AB=4，BD=AD=4．在Rt△ADC中，∵∠CAD=45°，∠ADC=90°，∴DC=AD=4，∴BC=BD+DC=4+4．活动3 课堂小结本节课我们学习了哪些知识？你对解直角三角形有哪些认识？教学至此，敬请《名校课堂》相关课时部分.。

1.4 解直角三角形 - 九年级下册数学教案说课稿（北师大版）教学目标1.理解直角三角形的定义和性质；2.学会使用正弦、余弦、正切等概念解决直角三角形的问题；3.培养学生分析和解决问题的能力。

教学重点1.掌握直角三角形的概念和性质；2.理解正弦、余弦、正切等概念；3.能够运用所学知识解决直角三角形的问题。

教学难点1.理解正弦、余弦、正切等概念；2.能够准确地运用所学知识解决直角三角形的问题。

教学准备1.教材：九年级下册数学教材（北师大版）；2.教具：直角三角形模型、黑板、粉笔。

教学过程导入（5分钟）1.引入直角三角形的概念，询问学生是否了解直角三角形，让学生回答并解释直角三角形的定义。

概念讲解（15分钟）1.用直角三角形模型向学生展示直角三角形的形状，并说明直角三角形中的重要元素：直角、斜边、两个其他边。

2.解释正弦、余弦、正切的概念，并在黑板上示意图形和符号的关系。

3.强调正弦、余弦、正切的定义和计算公式，并与直角三角形模型结合起来进行说明。

基础练习（20分钟）1.出示一些直角三角形的图形，让学生根据已知角度和边长计算其他边长或角度，并指导学生使用正弦、余弦、正切的概念解决问题。

2.引导学生运用所学知识解决一些实际问题，如塔尖的高度、斜坡的角度等，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

深化拓展（20分钟）1.继续出示一些直角三角形的图形，但这次让学生自己推导出正弦、余弦、正切的计算公式。

2.引导学生思考在其他几何形状中是否存在类似的概念，并让学生举例说明。

小结（5分钟）1.总结本节课学习的内容，强调直角三角形的概念和性质以及正弦、余弦、正切的定义和计算公式。

课堂反思在这节课中，我通过直观的直角三角形模型、具体的例题和实际问题的应用，帮助学生理解直角三角形的概念和性质，并掌握了正弦、余弦、正切的概念和计算公式。

课堂上我注重培养学生分析和解决问题的能力，通过让学生自主推导公式和思考其他几何形状中的类似概念，引导学生发散思维，拓展了学生的数学思维能力。

解直角三角形【教学内容】解直角三角形【教学目标】知识与技能：了解解直角三角形的定义，能通过已知条件解直角三角形。

过程与方法：通过本节课的学习，熟练应用勾股定理、直角三角形两锐角关系、边角关系解直角三角形，培养自己知识的运用能力和计算能力。

情感、态度与价值观通过学习，培养学生运用数学知识分析问题、解决问题的能力【教学重难点】重点：学会运用已知条件解直角三角形。

难点：根据条件选择适当方法解直角三角形。

【导学过程】【知识回顾】回答并写出以下问题：Rt∆中，∠C为直角，其余5个元素之间有以下关系：如图，在ABC（勾股定理）（1）三边之间关系：（2）锐角之间的关系：（3）边角之间的关系：【情景导入】直角三角形除直角外，还有三条边和两个锐角，请问至少知道这五个元素中同个元素，就可以求出其他元素呢？【新知探究】探究一、已知两条边解直角三角形：Rt∆中，∠C为直角，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且a=√15，b=5，求这个三角例1在ABC形的其他元素。

由直角三角形中已知的元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。

探究二、已知一条边和一个锐角（两个已知元素中至少有一条边）解直角三角形：Rt∆中，∠C为直角，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且b=30，∠B=25°求这个例2，在ABC三角形的其他元素（边长精确到1）。

通过以上两种类型，我们可以知道，在直角三角形中如果知道其中的2个元素(其中至少有一个是边)，那么就可以求出其余的3个未知元素。

【知识梳理】本节课我们学习了哪些知识？你对解直角三角形有哪些认识？【随堂练习】1、在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，则下列结论成立的是（）A、c=a·sinAB、b=c·cosAC、b=a·tanAD、a=c·cosA2、在Rt△ABC中，∠C=90°，根据下列条件解直角三角形：（1）b=c=4；（2）c=8，∠A=60°；（3）b=7，∠A=45°；（4）a=24，b=3、在△ABC中，∠C为直角，AC=6，BAC∠的平分线AD=43，解此直角三角形。

解直⾓三⾓形优秀教案1课题：1.4解直⾓三⾓形课型：新授课年级：九年级姓名：杨彬单位：枣庄市第⼆⼗四中学电话：邮箱：能否提供录像课：能教学⽬标：1．了解解直⾓三⾓形的意义，知道三⾓形的六个要素.2．掌握解直⾓三⾓形所⽤的边⾓关系，能适当地选择锐⾓三⾓函数解直⾓三⾓形.教学重、难点：重点：利⽤所给的已知元素，正确的解直⾓三⾓形．难点：如何灵活利⽤锐⾓三⾓函数快速解出直⾓三⾓形．课前准备：教师准备：多媒体课件.学⽣准备：完成预习提⽰，预习新课.教学过程：⼀、创设情境，导⼊新课师：我们从⼩学都认识了直⾓三⾓形，请同学们观察⽼师⼿中的⼀副三⾓板，谁来说说它的每个内⾓分别是多少度？它们的各边之间有什么关系？（1）（2）（出⽰三⾓板找⽣回答）师：同学们掌握的⾮常棒,我们再来看下⾯的问题.师:我们⼀起看来观察,已知Rt △ABC 中,⼀共有⼏个元素?请分别写出来. （1）△ABC 的三条边分别是；（2）△ABC 的三个⾓分别是 .师:因此,⼀个直⾓三⾓形中共有6个元素,那么⾄少知道⼏个元素,就可以求出其他元素呢? 师：今天，我们就来研究与直⾓三⾓形有关的问题. (板书课题)1.4解直⾓三⾓形.处理⽅式：教师出⽰我们最常见的三⾓板，⼀是容易接受，⼆是简单明了，学⽣⽐较熟悉，然后，观察⼀个直⾓三⾓形，说出他的6个元素，简单直接引⼊新课.a bC B Ac设计意图：通过学⽣回答⼀副三⾓板的边⾓关系，⽐较⾃然的过渡，从⽽较好地引出本节课的研究内容，并对⼀副三⾓板的边⾓关系加以巩固.⼆、⾃主学习，合作探究师: 我们⼀起看来观察,已知Rt △ABC 中,你能找出6个元素之间的相互关系吗? 探究问题1:1.直⾓三⾓形的两锐⾓之间的关系: ∠A +∠B =900;2.直⾓三⾓形三边之间的关系: a 2+b 2 =c 2;3.直⾓三⾓形边与⾓之间的关系(1)sin A = ;(2)cos A = ;(3)tan A = . (教师出⽰问题,同学们回答,师⽣系统归纳知识点)师: 在Rt △ABC 中,如果已知其中两边长,你能求出这个三⾓形的其他元素吗? 探究问题2:例1 在Rt △ABC 中,∠C =900,∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a=15，b =5，求这个三⾓形的其他元素.(出⽰问题,⼩组研讨后,找⽣板书过程)解: 在Rt △ABC 中,∠C =900,根据勾股定理, a 2+b 2 =c 2, a=15，b =5，∴c=.52)5()15(22=+ 在Rt △ABC 中,∠C =900,sin B =,21525==c b ∴∠B =300, ∠A =600.师:我们已知直⾓三⾓形的两边长,求出其他未知元素,这个过程叫做什么呢? 归纳定义3:解直⾓三⾓形:由直⾓三⾓形中已知元素,求出所有未知元素的过程,叫做解直⾓三⾓形. 处理⽅式：教师探究问题1,回顾旧知识,可以通过复习达到熟练应⽤的⽬的,把所学到的直⾓三⾓形两锐⾓互余,勾股定理,锐⾓三⾓函数结合在⼀起，然后利⽤所学知识解决问题探究2，从⽽引出解直⾓三⾓形的定义.设计意图：通过回顾旧知,达到学以致⽤的⽬的,再通过⼀道例题,真正把学到的知识⽤到实处,通过解题,归纳出解直⾓三⾓形的定义,找⽣板书解题过程,进⼀步要求书写规范.三、落实双基,总结⽅法师:在直⾓三⾓形中,已知两边,我们可以求出其他未知元素,在Rt △ABC 中,如果已知⼀边和⼀个锐⾓,你能求出这个三⾓形的其他元素吗?例2在Rt △ABC 中,∠C =900,∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b =30, ∠B =300,求这个三⾓形的其他元素.(出⽰问题,同学们各抒⼰见,然后书写过程,找⽣上⿊板)⽅法总结:⽅法1: 解: 在Rt △ABC 中,∠C =900, ∠B =300,∴∠A =600.c =2, b =2×30=60; a =.330306022=-a b CB A c b a CA Bc⽅法2: 解: 在Rt △ABC 中,∠C =900, ∠B =300,∴∠A =600. sin B =2130==c c b ,∴c =60.cos B =,2360==a c a ∴a =.330 处理⽅式：教师出⽰例2,含有300的特殊的直⾓三⾓形,让学⽣各抒⼰见,然后再总结归纳,总结解直⾓三⾓形的不同⽅法.设计意图：通过直⾓三⾓形中,已知⼀锐⾓和⼀边,求出其他未知元素的过程,让学⽣⾃主探究,合作交流,从⽽找出不同的解法,激发学⽣探究问题的兴趣.四、拓展应⽤,能⼒提升师：同学们已经能够已知三⾓形中的已知元素，求出未知元素，达到解直⾓三⾓形的⽬的，如果已知两个锐⾓，能求出这个直⾓三⾓形的边长吗？（激励学⽣回答，然后归纳）师：要想解⼀个直⾓三⾓形，必须知道2个元素（⾄少有⼀条边），只要已知2个元素（⾄少有⼀条边），我们就⼀定能求解这个直⾓三⾓形.请同学们看下⾯的问题. (出⽰多媒体)例3 (2014,重庆)如图, △ABC 中,AD ⊥BC ,垂⾜是D ,若BC =14,AD =12,tan ∠BAD =,43求sin C 的值.（出⽰问题，⼩组讨论，展⽰交流）师：我们可以先求BD ，接着求CD ，再求AC ，最后求出sin C 的值. 解：在Rt △ABD 中，∠ADB =900， AD =12,tan ∠BAD =,1243BD AD BD == ∴BD =9，CD =BC - BD =14-9=5.在Rt △ACD 中，∠BAD=900，AD =12, CD =5，根据勾股定理得，∴AC=13，sin C =.1312=AC AD处理⽅式：教师出⽰例3，让学⽣积极研讨，说出求解各边的顺序，然后依次求解，做到⼼中有数.设计意图：解直⾓三⾓形的⼀道中考题,让学⽣能够体会到解直⾓三⾓形的综合应⽤，要灵活解决，利⽤锐⾓三⾓函数，需要边与⾓的相互转化. 五、畅谈收获,归纳升华师⽣共同回顾本节课所学. 1.解直⾓三⾓形的定义?2.解直⾓三⾓形所⽤到的知识?3.解直⾓三⾓形必须知道⼏个元素?4.我们解直⾓三⾓形中常常⽤到的⽅法?等等.设计意图：通过⼩结与收获,培养学⽣的归纳总结能⼒，加深对解直⾓三⾓形知识的理解和应⽤,形成知识体系. 六、当堂达标，⾃我检测ABDCA 类题1.(2014,滨州) 在Rt △ABC 中,∠C =900,AB =10,sin A =,53cos A=,54tan A=,43则BC 的长为（） A ．6 B ．7.5 C ．8 D ．12.52.（2014，杭州）在直⾓三⾓形ABC 中，已知∠C =900,∠A =400，BC =3，则AC =（）A ．3sin400B ．3sin500C ．3tan400D ．3tan5003.(2014,兰州)如图，Rt △ABC 中,∠C =900,BC =3，AC =4，那么cos A 的值等于（）A ．43B ．34C ．53D ．54B 类题4.（2014，济宁）如图，在△ABC 中,∠A =300,∠B =450，AC=32，则AB 的长为 .5.(2014,东营)热⽓球的探测器显⽰,从热⽓球底部看⼀栋楼顶部的仰⾓为300,看这栋楼的底部的俯⾓为600,热⽓球A 处与⾼楼的⽔平距离为120m,这栋楼有多⾼(732.13 ,结果保留⼩数点后⼀位)?处理⽅式：学⽣做完后，教师出⽰答案，指导学⽣校对，并统计学⽣答题情况．学⽣根据答案进⾏纠错．参考答案：1．A ， 2．D ， 3．D ，4．3+3. 5．277.1m.5.点拨：过A 点作AD ⊥BC ，垂⾜为D ，在Rt △ABD 中，∵∠BAD =300，B C AB CA 300 45ABCDABAD=120m ，∴BD =AD tan300=120×.34033m = 在Rt △ACD 中，∵∠CAD =600，AD=120m ，∴CD =AD tan600=.3120m∴BC=BD+CD=).(1.27712.277732.116031603120340m ≈≈?≈=+设计意图：学以致⽤，当堂检测及时获知学⽣对所学知识掌握情况，并最⼤限度地调动全体学⽣学习数学的积极性，使每个学⽣都能有所收益、有所提⾼，明确哪些学⽣需要在课后加强辅导，达到全⾯提⾼的⽬的．七、布置作业，落实⽬标必做题习题1.5 知识技能第1题和第2题；选做题习题1.5 问题解决第3题和第4题.⼋、板书设计。

北师大版九年级数学下册：1.4《解直角三角形》教学设计一. 教材分析《解直角三角形》是北师大版九年级数学下册第1章“锐角三角函数”的后续内容，学生在学习了锐角三角函数的基础上，进一步研究直角三角形的性质和解法。

本节课的内容包括直角三角形的边角关系，锐角三角函数的定义，正弦、余弦、正切函数的定义及它们之间的关系。

通过本节课的学习，使学生掌握解直角三角形的方法，为后续学习圆的方程、三角函数等知识奠定基础。

二. 学情分析学生在之前的学习中已经掌握了锐角三角函数的基本概念和性质，具备一定的观察、分析和解决问题的能力。

但解直角三角形这一部分内容较为抽象，需要学生具有较强的空间想象能力和逻辑思维能力。

此外，学生在解题过程中可能存在对锐角三角函数的运用不够熟练，对直角三角形边角关系的理解不够深入等问题。

三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握解直角三角形的方法，理解正弦、余弦、正切函数的定义及它们之间的关系。

2.过程与方法目标：通过观察、分析、推理等过程，培养学生空间想象能力和逻辑思维能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自主学习能力。

四. 教学重难点1.教学重点：解直角三角形的方法，正弦、余弦、正切函数的定义及它们之间的关系。

2.教学难点：对直角三角形边角关系的理解，以及在不同情况下选择合适的解法。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入直角三角形的概念，激发学生的学习兴趣。

2.启发式教学法：引导学生观察、分析、推理，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

3.小组合作学习：学生在小组内讨论、交流，共同解决问题，提高学生的合作能力。

六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示直角三角形的图形、性质和解法。

2.练习题：准备不同难度的练习题，用于巩固所学知识。

3.教学道具：准备一些直角三角形的模型，方便学生观察和操作。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例，如测量身高、计算跳远距离等，引导学生回顾锐角三角函数的知识，激发学生对解直角三角形的兴趣。

课题：1.4 解直角三角形教学目标:1.理解解直角三角形的概念，并能熟练地根据题目中的已知条件解直角三角形.2.通过综合运用直角三角形的相关知识解直角三角形，逐步培养学生分析问题解决问题的能力.3．在教学中逐步培养学生分析问题、解决问题的能力，渗透数形结合的数学思想和方法. 教学重点与难点:重点：根据条件解直角三角形.难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用．教学过程：一、创设情境，导入新课问题：要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角a一般要满足50°≤a≤75°.现有一个长6m的梯子，问：（1）使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙（精确到0.1m）？（2）当梯子底端距离墙面2.4m时，梯子与地面所成的角a等于多少（精确到1°）？这时人是否能够安全使用这个梯子？在图形的研究中，直角三角形是常见的三角形之一，因而人们经常会遇到求直角三角形的边长或角度等问题. 为了解决这些问题，往往需要确定直角三角形的边或角.直角三角形中有6个元素，分别是三条边和三个角.那么至少知道几个元素，就可以求出其他的元素呢？这就是我们本节课要研究的问题，引入本课：【板书课题：1.4解直角三角形】处理方式：由于三角函数有关的计算作为基础，学生易解决问题，所以找两名学生上黑板书写计算过程.设计意图：体会数学知识来源于生活，激发学生的学习兴趣，由此引入对直角三角形已知元素求未知元素的探究.二、提出问题，探索新知如图，在直角三角形ABC 中，∠C =90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别记作a ，b ，c . 问题1：直角三角形的三边之间有什么关系？问题2：直角三角形的锐角之间有什么关系？问题3：直角三角形的边和锐角之间有什么关系？师：出示课件：课本“做一做”在Rt △ABC 中，如果已知其中两边的长，你能求出这个三角形的其他元素吗？例1 在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别记作a ，b ，c ，且ab ，求这个三角形的其他元素.师：出示课件：课本“想一想”在Rt △ABC 中，如果已知一边和一角，你能求出这个三角形的其他元素吗？出示例2 在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别记作a ，b ，c ，且b =30，∠B =25°，求这个三角形的其他元素(边长精确到1).处理方式：对于前三个问题找学生口答；对于例1师生共同完成：解：在Rt △ABC 中，2a +2b =2c ，a b ，∴c .在Rt △ABC 中，sin B=b c =12， ∴∠B =30°.∴∠A =60°. 对于例2由学生仿照例1独立完成.最后教师给出解直角三角形的定义及其依据.设计意图：学生经历实践、探索的过程，既培养了学生的动手实践能力，积累了数学。

北师大版九年级数学下册：1.4《解直角三角形》教学设计一. 教材分析北师大版九年级数学下册1.4《解直角三角形》是本节课的主要内容。

直角三角形在现实生活和科学研究中有广泛的应用，学习解直角三角形对于提高学生的数学应用能力具有重要意义。

本节课的内容包括了解直角三角形的性质，学会使用勾股定理，运用三角函数等方法解直角三角形。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了初中阶段的基础数学知识，对三角形的基本概念和性质有一定的了解。

但是，对于解直角三角形的实际应用，学生可能还比较陌生。

因此，在教学过程中，需要结合学生的实际情况，从实际问题出发，引导学生理解和掌握解直角三角形的方法。

三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生了解直角三角形的性质，学会使用勾股定理，运用三角函数等方法解直角三角形。

2.过程与方法目标：通过解决实际问题，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作精神。

四. 教学重难点1.重点：直角三角形的性质，勾股定理，三角函数在解直角三角形中的应用。

2.难点：如何将实际问题转化为直角三角形问题，并运用相关知识解决。

五. 教学方法1.情境教学法：通过引入实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探究。

2.案例教学法：通过分析典型案例，使学生理解和掌握解直角三角形的方法。

3.小组合作学习：培养学生的团队合作精神，提高学生的沟通能力。

六. 教学准备1.教师准备：熟悉教材内容，了解学生的实际情况，设计教学活动和案例。

2.学生准备：掌握三角形的基本概念和性质，预习本节课的内容。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过引入实际问题，如测量高度、距离等，引发学生的思考，引出本节课的主题——解直角三角形。

2.呈现（10分钟）教师展示典型案例，使学生了解直角三角形的性质，学会使用勾股定理，运用三角函数等方法解直角三角形。

3.操练（10分钟）学生分组讨论，结合典型案例，进行解直角三角形的实际操作，巩固所学知识。

1。

4 解直角三角形一、教学目标初步理解解直角三角形的含义，掌握运用直角三角形的两锐角互余、勾股定理及锐角三角函数求直角三角形的未知元素.二、课时安排1课时三、教学重点理解并掌握直角三角形边角之间的关系，运用直角三角形的两锐角互余、勾股定理及锐角三角函数求直角三角形的未知元素。

四、教学难点从已知条件出发,正确选用适当的边角关系或三角函数解题.五、教学过程（一）导入新课(1)在直角三角形中,除直角外共有几个元素?（2)如图，在Rt △ABC 中∠C=90°,a 、b 、c 、∠A 、∠B 这五个元素间有哪些等量关系呢？（二）讲授新课直角三角形ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 、∠A 、∠B 这五个元素间有哪些等量关系呢？（1）边角之间关系a b A b a A c b A c a A ====cot ;tan ;cos ;sin如果用α∠表示直角三角形的一个锐角，那上述式子就可以写成。

的对边的邻边；的邻边的对边；斜边的邻边；斜边的对边αααααααααα∠∠=∠∠=∠=∠=cot tan cos sin（2）三边之间关系a 2 +b 2 =c 2(勾股定理)（3）锐角之间关系∠A+∠B=90°．以上三点正是解直角三角形的依据，通过复习，使学生便于应用．（三）重难点精讲例 1. 如图所示，一棵大树在一次强烈的地震中于离地面10米处折断倒下，树顶落在离树根24米处。

大树在折断之前高多少？解 利用勾股定理可以求出折断倒下部分的长度为:26＋10＝36(米).答：大树在折断之前高为36米。

例2 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°,2,6AC BC ==，解这个直角三角形解; 6tan 32BC A AC ===60A ∴∠= 90906030B A ∠=-∠=-=222AB AC ==（四）归纳小结1。

定义:在直角三角形中,由已 知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形；A B C262.在解决实际问题时，应“先画图，再求解";（五）随堂检测1。

1．4解直角三角形教学目标：1．了解解直角三角形的意义，知道三角形的六个要素．2．掌握解直角三角形所用的边角关系，能适当地选择锐角三角函数解直角三角形．3．培养观察、分析、概括和转化的能力，提高运算能力．教学重点与难点：重点：解直角三角形．难点：灵活运用锐角三角函数解直角三角形．课前准备：教材、笔记本、课堂练习本、多媒体课件．教学过程一、情景导入，明确目标活动内容1：情境导入今天来到学校，我发现在教学楼走廊上有一拖把以15°的倾斜角斜靠在墙壁上，严重影响了同学们的行走安全．我将拖把挪动位置，使其倾斜角为75°，如果拖把的总长为1．80m，你能帮助我算一下我拓宽了行路通道多少米吗？处理方式：老师提出问题，拿一个拖把边说边演示，让学生体会、讨论、交流，进而引入新课，和学生一块走进直角三角形的世界，去解决有关直角三角形的问题，并板书课题．设计意图：从学生熟悉的生活例子入手，激发学生学习的兴趣，吸引学生的眼球，让学生快速的投入到课堂中来，并且让学生来帮助老师解决问题，给学生以成功的体验．亲身示范，把问题化难为易，为后面解决这个问题做好铺垫．活动内容2：明确目标1．了解解直角三角形的意义，知道三角形的六要素．2．掌握解直角三角形所用的边角关系，能适当地选择锐角三角函数解直角三角形．设计意图：使学生做到心中有数，整堂课做到有的放矢．二、自主学习，合作探究探究活动1——解直角三角形的概念在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？①三边之间关系，②两锐角之间关系，③边角之间关系。

总结：由直角三角形中已知的元素，求出__________________________，叫做解直角三角形．处理方式：整个过程师生共同完成，教师问学生答，预计前两个问题学生会很快反应出来，学生齐答即可．第三个问题由个别学生说，预测学生会说：“sinA=c a ，cosA=c b ，tanA=b a ，sinB=c b ，cosB=ca ，tanB=ab ”教师可借此机会告诉学生它们之间的关系“sinA=cosB=c a ，cosA=sinB=c b ，tanA=b a ，tanB=a b ”说得同时板书到黑板上，让学生进一步明确这两个锐角的三角函数的关系．最后老师抛出问题：a 、b 、c 、∠A、∠B 这五个元素，我们知道几个元素，就可以求出其他的元素呢？学生分组讨论，给出各类情况，最后，学生总结出解直角三角形的定义并根据学生讨论出的问题过渡到探究活动2．设计意图：直角三角形的三边关系和两角关系对学生来说张口就来，所以让学生齐答．对于第三个问题，估计学生会单独说出∠A 、∠B 的三角函数，教师可以在学生回答的基础上进行总结，这样可以渗透的互余两角三角函数存在的关系．由学生讨论得出各类情况主要让学生分析问题进而解决问题，给学生成功的体验，让学生在自己的发现中学到了新知识，体现了以生为本的理念．并且也自然而然的过渡到探究活动2．探究活动2——解直角三角形类型1：已知两边，解直角三角形在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c 、且a=15，b=5，求这个三角形的其他元素．类型2：已知一边和一锐角，解直角三角形在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c 、且∠B=30°b=30，求这个三角形的其他元素．处理方式：课堂上可以再给学生2分钟的时间讨论交流课下自己预习存在的问题，能够在小组自己解决的自己解决．2分钟后由两名学生讲解，讲解后其他学生若有不同解法，再加以补充，类型一预测学生可能会通过sin B 来求∠B 的度数，也可能会通过tan B 来求∠B 的度数让学生比较它们的优劣，学生能够得出最好选取tan B 来算的原因，尽量选取原始数据而非中间数据．类型二的做法也很多，和类型一的处理方式一样，最后和学生一快总结出一般的解法和最优的解法．最后可引导学生总结出口诀：“有斜用弦，无斜用切，取原避中”的原则．设计意图：这两种类型是解直角三角形的基本类型，主要由学生在预习的基础上小组交流，学生能自己解决的问题让学生自己解决，让他们体会学习给自己带来的快乐．让学生讲解主要是让学生学进去，讲出来，充分相信学生的能力，出现问题也不要紧，让同学们帮助来解决，让同学们在这种互帮互助中学到了知识，其乐融融．最后让学生去总结解决这两类问题的一般做法和最优解法．其意图是进一步锻炼学生的总结和反思的能力，数学只有在学生的不断反思中得到升华．当堂训练：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c、根据下列条件求出直角三角形的其他元素．⑴已知a=4，c=8 (2)已知∠B=60°，a=8 (3)已知c=20，∠A=45°处理方式：这三道题找三名学生演做，其余同学在导学案上完成，学生做完后师生共评，针对学生出现的问题重点加以强调．设计意图：这三道题是对上面两道题的巩固和补充，前面已知两边是两直角边，这里的第（1）题是一直角边和一斜边，前面的已知一角和一边的是一锐角和它的对边，这里的第（2）题已知的是一锐角和它的邻边，这里的第（3）题已知的是一锐角和斜边，主要让学生多角度去训练学生，进而形成分析问题解决问题的能力．探究活动3——我来问，你来答活动内容：师生做游戏，游戏的名字是：“我来问，你来答”，一位学生提出直角三角形中的两个已知条件，由其余学生求出直角三角形中的其他未知元素（边、角）．处理方式：师生共同完成，先有教师提问一名学生，然后由这名学生继续提问，再找一名学生回答，如此继续下去．教师可先提一名比较优秀的学生做个表率，先由教师问，这名学生答，教师可问：a=5，c=10，预测学生会很快答出b=53，∠A=30°，∠B=60°有了这名学生的示范，学生有了信心，然后有这名同学接着提问，再选一名同学回答，如此循环下去……．设计意图：在例题和即时练习处理完的基础上，加入这个游戏环节，其主要目的一是活跃气氛，引入竞争机制，激励学生人人都争做最优秀的那个；二是相信学生经过前面的学习，一定学得不错，给他们一个展现自我的平台，让他们知道自己其实很优秀；三是在已经学会的基础上接受老师的提问，这实际上对孩子是一种很好的锻炼，锻炼他们快速反应的能力，实际上也是对解题能力的一种提高．探究活动4——解直角三角形的应用活动内容1：长为4米的梯子搭在墙上与地面成60°角，则此时梯子的顶端距离地面多少米？活动内容2：如图，东西两炮台A、B相距2000米，同时发现入侵敌舰C，炮台A测得敌舰C在它的南偏东40°的方向，炮台B测得敌舰C在它的正南方，试求敌舰与两炮台的距离．活动内容3：通过上面的学习，你能解决引例中的问题了吗？今天来到我们学校，我发现在教学楼走廊上有一拖把以15°的倾斜角斜靠在墙壁上，严重影响了同学们的行走安全．我将拖把挪动位置，使其倾斜角为75°，如果拖把的总长为1．80m ，你能帮助我算一下我拓宽了行路通道多少米吗？（结果保留三位有效数字，参考数据sin15°≈026，cos15°≈097） 处理方式：这里有三个实际问题，第一个问题比较简单，先由学生独立完成，多媒体展示学生的做法即可，最后由学生总结做此类问题应注意的问题．第二个问题指导学生先画出草图，在思考的基础上，在小组内交流自己的解题思路，在交流的基础上，鼓励学生发言讲述各自的解法，教师给予激励性评价．在学生阐述自己的解题过程中，教师提问“为什么选择这个关系式？”剖析解决问题的关键，即两个已知与一个未知之间的关系式．从而理清解直角三角形的思路。

第4节解直角三角形1.了解解直角三角形的概念,使学生理解直角三角形中五个元素的关系.2.经历解直角三角形的过程,掌握运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形的方法.1.在研究问题的过程中思考如何把实际问题转化为数学问题,进而把数学问题具体化.2.通过利用三角函数解决实际问题的过程,进一步提高学生的逻辑思维能力和解决问题能力.1.在解决问题的过程中引导学生形成数形结合的数学思想,体会数学与实践生活的紧密联系.增强学生的数学应用意识,激励学生敢于面对数学学习中的困难.2.通过获取成功的体验和克服困难的经历,增进学生学习数学的信心,养成学生良好的学习习惯.【重点】理解并掌握直角三角形边角之间的关系,运用直角三角形的两锐角互余、勾股定理及锐角三角函数求直角三角形中的未知元素.【难点】从已知条件出发,正确选用适当的边角关系或三角函数解题.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】复习三角函数和勾股定理的相关知识.导入一:课件出示:在日常生活中,我们常常遇到与直角三角形有关的问题,知道直角三角形的边可以求出角,知道角也可以求出相应的边.如图所示,在Rt△ABC中共有几个元素?我们如何利用已知元素求出其他的元素呢?【师生活动】复习直角三角形的性质(两锐角互余和勾股定理)和三角函数的概念.【学生活动】通过独立思考和与同伴交流,分析出Rt△ABC中的6个元素,并尝试利用已知元素求未知元素.[设计意图]在学生分析直角三角形6个元素的过程中,学生自然而然地会想到直角三角形的相关性质,在复习旧知的同时,又为学习新知奠定了良好的基础.导入二:课件出示:如图所示,AC是电线杆AB的一根拉线,测得拉线AC=12m,AB=6m,你能求出拉线底端到电线杆底端的长度BC吗?能求出拉线AC与地面BC所成角的度数和拉线AC与电线杆AB所成角的度数吗?学生分析:可以利用勾股定理求拉线AC的长度,易知拉线与地面所成角为∠BCA,拉线与电线杆所成角为∠BAC,利用三角函数知识和计算器即可求出∠BCA和∠BAC的度数.【引入】这节课我们就综合运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数的知识探究直角三角形中的边和角的求解方法.[设计意图]通过生活中实际情境的引入,使学生对本节课的学习任务一目了然,学生在探究的过程中就可以抓住重点和难点.[过渡语]我们已经了解了直角三角形中6个元素分别是三条边和三个角,那么至少要知道几个元素,才可以求出其他元素呢?下面我们进行分类探究.【做一做】在Rt△ABC中,如果已知其中两边的长,你能求出这个三角形的其他元素吗?课件出示:(教材例1)在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,且a=,b=,求这个三角形的其他元素.思路一教师引导学生分析:1.直角三角形中已知两边可以利用定理求出第三条边.2.直角三角形中,已知两边可以利用求∠A(或∠B)的度数.3.再利用求∠B(或∠A)的度数.【师生活动】教师引导学生分析,得出解直角三角形的方法,理清解题思路.【学生活动】得出结论:1.勾股定理2.三角函数2.两锐角互余解:在Rt△ABC中,a2+b2=c2,a=,b=,∴c===2.在Rt△ABC中,sin B===,∴∠B=30°,∴∠A=60°.思路二分组探究,思考下面的问题:1.由两个已知条件a=,b=能不能求出其中的一个锐角?2.如何再求出另外一个锐角的度数?3.如何再求出第三条边的长【师生活动】学生先独立思考,然后小组讨论.教师巡视,及时发现问题,予以纠正.完成后各小组展示解题的方法和步骤,师生共同验证.解:在Rt△ABC中,a=,b=,∴tan A===,∴∠A=60°,∴∠B=30°.在Rt△ABC中,sin B=sin30°=,即=,∴c=2.【教师小结】解直角三角形的概念:由直角三角形中已知的元素,求出所有的未知元素的过程,叫做解直角三角形.[设计意图]通过对直角三角形6个元素的分析及对猜测的探究活动,自然而然地引出解直角三角形的概念,并让学生及时总结解题方法,加深对概念的理解.[知识拓展]已知直角三角形两条边求其他元素的方法:方法1:已知两条边的长度,可以先利用勾股定理求出第三边,然后利用锐角三角函数求出其中一个锐角,再根据直角三角形两锐角互余求出另外一个锐角.方法2:已知两条边的长度,可以先利用锐角三角函数求出其中一个锐角,然后根据直角三角形中两锐角互余求出另外一个锐角,再利用锐角三角函数求出第三条边.解:在Rt△ABC中,AC=12,AB=6,由勾股定理得BC=6.在Rt△ABC中,tan∠BCA===,∴∠BCA=60°,∴∠BAC=30°.∴拉线底端到电线杆底端的长度BC是6m,∠BCA和∠BAC的度数分别是60°和30°.[设计意图]通过对导入题的解答,加深学生对解直角三角形概念的理解,提高解题的综合能力.三角形的其他元素(边长精确到1).〔解析〕在直角三角形中可以利用两锐角互余求另外一个锐角的度数,然后利用与锐角∠B 和边b有关的三角函数先求出其中一条边a或c,再利用三角函数或勾股定理求出第三条边c或a.解:在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=25°,∴∠A=65°.∵sin B=,b=30,∴c==≈71.∵tan B=,b=30,∴a==≈64.【教师设疑】此题还有其他解法吗?【学生活动】学生相互交流他们的解法.[设计意图]通过对学习活动的探究,学生逐步掌握了解直角三角形所要具备的条件,并在探究的过程中及时总结归纳出解直角三角形的思路和方法,为后面的练习和应用打下了良好的基础.[知识拓展]已知直角三角形一条边和一个锐角求其他元素的方法:已知一个锐角的度数,先根据直角三角形两锐角互余求出另外一个锐角的度数;又知道一条边的长度,根据三角函数的定义可以求出另外两条边的长度;也可以先利用三角函数的定义求出其中一条边的长度,再利用三角函数或勾股定理求出第三条边的长度.在Rt△ABC中,如果已知两个锐角,可以解直角三角形吗?【学生活动】学生先独立判断,再分组讨论.学生小结:只知道角度是无法求出直角三角形的边长的.问题2只给出一条边长这一个条件,可以解直角三角形吗?学生小结:只给出一条边长,不能解直角三角形.【教师点评】解直角三角形必须满足的一个条件是已知“一条边”.【师生总结】解直角三角形需要满足的条件:在直角三角形的6个元素中,直角是已知元素,如果再知道一条边和第三个元素,那么这个三角形的所有元素就都可以确定下来.【教师提示】第三个元素既可以是角也可以是边.[知识拓展]解直角三角形的思路和方法:在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,则有:(1)三边之间的关系:a2+b2=c2(勾股定理).(2)锐角之间的关系:∠A+∠B=90°.(3)边角之间的关系:sin A=,cos A=,tan A=,sin B=,cos B=,tan B=.(4)面积的不同表示法:S△ABC=ab=ch(h为斜边上的高).1.解直角三角形的概念:由直角三角形中已知的元素,求出所有未知元素的过程,叫做解直角三角形.2.解直角三角形的类型:(1)已知直角三角形两条边求其他元素.(2)已知直角三角形一条边和一个锐角求其他元素.3.解直角三角形需要满足的条件:除直角外,再知道一条边和第三个元素,就可以解直角三角形.1.如图所示的是教学用直角三角板,边AC=30cm,∠C=90°,tan∠BAC=,则边BC的长为()A.5cmB.10cmC.20cmD.30cm解析:在直角三角形ABC中,根据三角函数定义可知tan∠BAC=,∵AC=30cm,tan∠BAC=,∴BC=AC·tan∠BAC=30×=10(cm).故选B.2.如图所示,在Rt△ABO中,斜边AB=1.若OC∥BA,∠AOC=36°,则()A.点B到AO的距离为sin54°B.点B到AO的距离为tan36°C.点A到OC的距离为sin36°·sin54°D.点A到OC的距离为cos36°·sin54°解析:根据图形得出点B到AO的距离是指BO的长,根据锐角三角函数定义得出BO=AB sin36°,即可判断A,B错误;过A作AD⊥OC于D,则AD的长是点A到OC的距离,根据锐角三角函数定义得出AD=AO sin36°,AO=AB·sin54°,所以AD=sin36°·sin54°,即可判断C正确,D错误.故选C.3.如图所示,已知在Rt△ABC中,斜边BC上的高AD=4,cos B=,则AC=.解析:∵在Rt△ABC中,cos B==,∴sin B==,tan B==.∵在Rt△ABD中,AD=4,∴AB===.∵tan B==,∴AC=AB tan B=×=5.故填5.4.如图所示,在△ABC中,AB=AC=5,sin∠ABC=0.8,则BC=.解析:如图所示,过点A作AD⊥BC于D,∵AB=AC,∴BD=CD,在Rt△ABD中,∵sin∠ABC==0.8,∴AD=5×0.8=4,则BD==3,∴BC=2BD=6.故填6.5.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,cos A=,求BC的长和tan B的值.解:在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,cos A===,∴AC=4,根据勾股定理,得BC==6,∴tan B===.4解直角三角形解直角三角形:一、教材作业【必做题】教材第17页习题1.5第1,2题.【选做题】教材第18页习题1.5第3,4题.二、课后作业【基础巩固】1.在直角三角形ABC中,已知∠C=90°,∠A=50°,BC=5,则AC等于()A.3sin50°B.3sin40°C.3tan50°D.3tan40°2.如图所示,已知在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,tan A=,则AB的长是()A.2B.8C.2D.43.(2015·桂林中考)如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6,CD⊥AB,垂足为D,则tan∠BCD的值是.4.要用8m长的梯子爬到4m高的墙上,则梯子与地面的夹角为度.【能力提升】5.如图所示的是一张简易活动餐桌,测得OA=OB=30cm,OC=OD=50cm,B点和O点是固定的.为了调节餐桌高矮,A点有3处固定点,分别使∠OAB为30°,45°,60°,则这张餐桌调节到最低时桌面离地面的高度是(不考虑桌面厚度)()A.40cmB.40cmC.30cmD.30cm6.如图所示,在△ABC中,cos B=,sin C=,AC=5,则△ABC的面积是.7.(2015·湖北中考)如图所示,AD是△ABC的中线,tan B=,cos C=,AC=,求:(1)BC的长;(2)sin∠ADC的值.8.张大爷家有一块三角形土地如图所示,测得∠A=30°,∠B=45°,BC=20m.请你帮助张大爷计算这块土地有多少平方米.9.如图所示,沿AC方向开山修一条公路,为了加快施工速度,要在小山的另一边寻找点E同时施工.从AC上的一点B取∠ABD=127°,沿BD的方向前进,取∠BDE=37°,测得BD=520m,并且AC,BD和DE在同一平面内.(1)施工点E离D多远正好能使A,C,E成一条直线(结果保留整数)?(2)在(1)的条件下,若BC=80m,求公路段CE的长(结果保留整数).(参考数据:sin37°≈0.60,cos 37°≈0.80,tan37°≈0.75)【拓展探究】10.(2014·宁波中考)如图所示,从A地到B地的公路需经过C地,图中AC=10km,∠CAB=25°,∠CBA=37°,因城市规划的需要,将在A,B两地之间修建一条笔直的公路.(1)求改直的公路AB的长;(2)公路改直后比原来缩短了多少千米?(参考数据:sin25°≈0.42,cos25°≈0.91,sin37°≈0.60,tan37°≈0.75)【答案与解析】1.D(解析:∵在直角三角形ABC中,∠C=90°,∠A=50°,∴∠B=90°-∠A=90°-50°=40°.∵tanB=,∴AC=BC·tan B=3tan40°.故选D.)2.C(解析:在Rt△ABC中,∵∠C=90°,∴tan A=.∵AC=4,tan A=,∴BC=AC·tan A=2,∴AB===2.故选C.)3.(解析:在Rt△ABC与Rt△BCD中,∠A+∠B=90°,∠BCD+∠B=90°,∴∠A=∠BCD,∴tan∠BCD=tanA===.故填.)4.60(解析:要用8m长的梯子爬到4m高的墙上,梯子、地面和墙正好构成直角三角形,∴梯子与地面的夹角的正弦值为=.∵sin60°=,∴梯子与地面的夹角为60°.故填60.)5.B(解析:过点D作DE⊥AB于点E,易知∠OAB=30°时,桌面离地面最低,∴DE的长即为最低长度.∵OA=OB=30cm,OC=OD=50cm,∴AD=OA+OD=80cm.在Rt△ADE中,∵∠OAB=30°,AD=80cm,∴DE=AD=40cm.故选B.)6.(解析:过点A作AD⊥BC,∵在△ABC中,cos B=,sin C=,AC=5,∴cos B==,∴∠B=45°.∵sinC===,∴AD=3,∴在Rt△ADC中,CD==4,∴在等腰直角三角形ADB中,BD=AD=3,则△ABC的面积是×BC×AD=×(3+4)×3=.故填.)7.解:过点A作AE⊥BC于点E,∵cos C=,∴∠C=45°.在Rt△ACE中,CE=AC·cos C=1,∴AE=CE=1.在Rt△ABE中,tan B=,即=,∴BE=3AE=3,∴BC=BE+CE=4.(2)由(1)知BC=4,∵AD是△ABC的中线,∴CD=BC=2,∴DE=CD-CE=1.∵AE⊥BC,DE=AE,∴∠ADC=45°,∴sin∠ADC=.8.解:如图所示,过点C作CD⊥AB于D.易知CD=BD=BC·sin=AB·CD=×10(+)×10≈273.2(m2).答:这块土地约45°=20×=10,∴AD===10,∴AB=AD+BD=10(+),∴S△ABC有273.2m2.9.解:(1)若使A,C,E成一条直线,则需∠ABD是△BDE的外角,∴∠BED=∠ABD-∠D=127°-37°=90°,∴DE=BD·cos37°≈520×0.80=416(m),∴施工点E离D距离约为416m时,正好能使A,C,E成一条直线.(2)由(1)得在Rt△BED中,∠BED=90°,∵∠D=37°,∴BE=BD·sin37°≈520×0.60=312(m).∵BC=80m,∴CE=BE-BC≈312-80=232(m),∴公路段CE的长约为232m.10.解:(1)如图所示,过点C作CH⊥AB于H.在Rt△ACH中,CH=AC·sin∠CAB=AC·sin25°≈10×0.42=4.2(km),AH=AC·cos∠CAB=AC·cos25°≈10×0.91=9.1(km),在Rt△BCH中,BH=CH÷tan ∠CBA≈4.2÷tan37°≈4.2÷0.75=5.6(km),∴AB=AH+BH≈9.1+5.6=14.7(km).故改直的公路AB的长约为14.7km.(2)在Rt△BCH中,BC=CH÷sin∠CBA≈4.2÷sin37°≈4.2÷0.60=7(km),则AC+BC-AB≈10+7-14.7=2.3(km).答:公路改直后比原来缩短了约2.3km.为使学生迅速掌握本节课的知识,上课开始就对解直角三角形所用到的知识点:直角三角形中三边之间的关系,两锐角之间的关系,边角之间的关系等知识点进行了复习回顾,因为合理选用这些关系是正确、迅速解直角三角形的关键.解直角三角形的方法很多,灵活多样,学生完全可以自己解决,但例题具有示范作用.因此,在处理例题时,首先,应让学生独立完成,培养学生分析问题、解决问题的能力,同时渗透数形结合思想.本节课力求给学生更多自主探索的时间,让其在宽松和谐的氛围中学习,使他们学得更主动、更轻松,力求在探索知识的过程中培养学生探索能力、创新精神、合作精神,激发学生学习数学的积极性、主动性.同时,在学生选择解直角三角形的诸多方法的过程中,鼓励学生通过多种解法去解答.在选用合适的三角函数解决问题时,要引导学生总结出分析问题的方法,巧妙联系已知和未知之间的函数关系,选取合适的三角函数求解.再教时,增加解实际问题中直角三角形的例题的练习,因为学生对把实际问题转化成数学问题的能力还不太强.随堂练习(教材第17页)(1)c=4,∠A≈27°,∠B≈63°.(2)a=,c=,∠A=30°.(3)a=10,b=10,∠B=30°.习题1.5(教材第17页)1.(1)b=19,∠A=45°,∠B=45°.(2)c=12,∠A=30°,∠B=60°.2.(1)a=10,b=10,∠B=45°.(2)b=12,c=24,∠A=60°.3.解:tan∠ACD==,∴∠ACD≈27.5°,∠ACB=2∠ACD≈2×27.5°=55°.4.解:(1)墙高=6sin75°≈6×0.966≈5.8(m).(2)cosα=,解得α≈66°.∵50°<66°<75°,∴此时人能够安全使用这个梯子.本节课学生学习的重点是解直角三角形的方法,所以理解解直角三角形的概念是掌握解直角三角形方法的前提,而熟练运用勾股定理、两锐角互余以及锐角三角函数的定义则是解直角三角形的关键,学生要做好复习和预习工作,把握好各个元素之间的关系.此外,在没有直角三角形的图形中,通过作垂线或其他辅助线构造直角三角形也是学生要重点掌握的能力和技巧.解非直角三角形时,构造直角三角形的方法:(1)利用作高构造直角三角形,如下图所示.(2)利用勾股定理或逆定理构造直角三角形,如下图所示.(3)利用已知角构造直角三角形,如下图所示.。