第八章 力矩分配法前面介绍的力法和位移法是计算超静定结构的两种基本方法。
在计算刚架时，虽然一般来说位移法优于力法，但位移法在组成和解算典型方程的过程，仍需进行大量的计算工作。
当位移法基本未知量的数目较多时，这项计算工作将不得不借助计算机求解。
因此，人们曾经为了解决手工计算，寻求简化计算、便利的方法，力图避免求解多元联立方程。
本章将介绍其中较重要、流传较广的力矩分配法。
力矩分配法是属于位移法类型的一种渐近法，在计算过程中采用逐步修正的步骤，其计算结果的精确度随计算轮次的增加而提高。
采用这类计算方法，既可避免解算联立方程，又可遵循一定的机械步骤进行。
因其易于掌握，且可以直接算出杆端弯矩，故在手算中常被使用。
§8-1 力矩分配法的基本概念力矩分配法的基本概念是由只有一个结点角位移的超静定结构计算问题导出的。
设有如图8-1，a 所示刚架，其上各杆件均为等截面直杆。
由图可知，它只有一个刚结点，在一般忽略杆件轴向变形的情况下，该结点不发生线位移而只能有角位移，我们称它为力矩分配的一个分配单元。
我们先来研究该单元在结点1作用有一集中力偶M 的情形。
在M 的作用下，结点1产生角位移Z 1。
利用转角位移方程或表7-1、7-2，可以写出各杆端弯矩（Z 1尚为未知）： 121211313114141151514,3,4M i Z M i Z M i Z M i Z ==⎫⎬==⎭图8—1211213141141511512,0,2M i Z M M i Z M i Z ==⎫⎬=-=⎭取结点1为隔离体（图8-1，b ），由平衡条件∑M ＝0,可知12131415M M M M M +++= （c ）将式（a ）代入，解得112131415434M Z i i i i =+++ （d ）然后代回式（a ）和（b ），即可求出各杆的杆端弯矩值如下：1212122112131415121314151313133112131415121314151414144112131415121315151213141544143424343304344341434434434i i M M M M i i i i i i i i i i M M M M i i i i i i i i i i M M M i i i i i i i i M M i i i i ⎫==⨯⎪++++++⎪⎪==⨯⎪++++++⎪⎬⎪==-⨯⎪+++++⎪⎪=⎪+++⎭14151551121314154412434M i i M M i i i i ⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪+⎪⎪=⨯⎪+++⎭据此绘出结构的弯矩图，如图8-1，c 所示。
现在我们引入转动刚度，分配系数，传递系数等概念，利用这些概念，即可用力矩分配法进行以上计算。
1．转动刚度式（a ）中列出的各杆杆端弯矩式可统一写成111k k M S Z =S 1k 称为1k 杆1端的转动刚度。
它表示在lk 杆的1端顺时针方向产生一单位转角时，在该端所需作用的弯矩。
它的值依赖于杆件的线刚度和杆件另一端的支承情况。
例如：12杆的远端是固定端，S 12＝4i 12；13杆的远端是可动铰支座，S 13＝3i 13；而14杆的远端是定向支座，S 14＝i 14。
2．分配系数式（e ）中的各杆端弯矩可统一写成1111(1)k k k jS M M M S μ==∑ （8-1） 111(1)k k jS S μ=∑ （8-2）式中：1(1)j S∑表示汇交于结点1所有杆件在1端的转动刚度之和。
1k μ称为力矩分配系数，它的值永远小于1，而1(1)1j μ=∑。
3．传递系数式（f ）中的各杆端弯矩可统一写成11k k M C M = （h ）C 1k 称为1k 杆1端的传递系数。
传递系数即表示当杆件近端发生转角时，远端弯矩与近端弯矩的比值。
一对于不同的远端支承情况，相应的传递系数也不同。
例如：12杆和l5杆的远端是固定端，C 12和C 15均为12；13杆的远端是可动铰支座，C 13＝0；14杆的远端是定向支座，C 14＝－1。
由式（8-1）可知，作用于结点1的力偶M 将按汇交于该结点各杆的转动刚度S ik 的比例分配于汇交于此结点的各杆端（称为近端），由此求得的各近端弯矩称为分配弯矩。
为了在以后的计算中与杆端最后弯矩有所区别，我们在分配弯矩的右上角加入附标μ，即分配弯矩以ik M μ表示。
这样，我们就可不必求出转角Z 1而直接由式（8-1）求得汇交于结点1各杆端的分配弯矩。
例如：1212131314141515,,,M M M M M M M M μμμμμμμμ====分配弯矩求得后，则另一端（称为远端）的弯矩（传递弯矩）可用该分配弯矩乘上相应的传递系数而得（在传递弯矩的右上角则加入附标C ）。
例如：2112121231131341141414511515151,021,2C C C C M C M M M C M M C M M M C M M μμμμμμμ======-== 写成一般形式，则传递弯矩的计算公式为：111C k k k M C M μ= （8-3）有了如上概念，再利用叠加原理，即可用力矩分配法计算荷载作用下具有一个结点角位移的结构。
其计算步骤为：首先设想在刚结点加入附加刚臂使结点不能转动，算出汇交于该结点各杆的固端弯矩，并进而求出该附加刚臂上的反力偶（称为不平衡力矩，规定以顺时针方向转动为正，结点i 处不平衡力矩以f i M 表示）；算出各杆的分配系数和传递系数；将附加刚臂上的不平衡力矩反号乘上各杆的分配系数即得相应的分配弯矩，再将分配弯矩乘上传递系数即得到各杆远端的传递弯矩；最后将各杆端的固端弯矩和分配弯矩以及传递弯矩相加，即得各杆端的最后弯矩。
现举例说明如下。
例8－l 试求图8-2，a 所示等截面刚架的各杆端弯矩。
[解] 先设想在结点A 加入一个附加刚臂使结点不能转动，此步骤可简称为“固定结点"。
此时各杆端将产生固端弯矩（图8-2，b ）：22222130460,08100321003248,725500f f AB BA f f AD DA f f AC CA M M M M M M =⨯⨯==⨯⨯⨯⨯=-=-==== 根据结点A 的平衡条件求得附加刚臂上的不平衡力矩：16004812f f f fA P AB AC AD M R M M M ==++=+-=图8-2为了消除此不平衡力矩，根据叠加原理，应在结点A 加入一个与不平衡力矩大小相等方向相反的力矩－R 1P （图8-2，c ），在不平衡力矩被消除的过程中，结点A 即逐渐转动到无附加约束时的自然位置，故此步骤常简称为“放松结点"。
将图8-2，b 和c 相叠加就得到图8-2，a 所示的结果。
对于图8-2，c ，我们可用上述力矩分配法的基本概念进行计算。
为此，先按式（8-2）算出各杆端分配系数：320.3324 1.542420.4324 1.5424 1.50.3324 1.542AB ACAD μμμ⨯==⨯+⨯+⨯⨯==⨯+⨯+⨯⨯==⨯+⨯+⨯ 可以利用上述公式()1Aj A μ=∑进行校核。
力矩分配系数求得后，即可根据式（8-1）计算各杆近端分配弯矩：0.3(12) 3.0.4(12) 4.80.3(12) 3.6AB AC AD M M M μμμ=⨯-=-=⨯-=-=⨯-=- 然后再求传递弯矩：0,0.5(4.8) 2.4,0.5(3.6) 1.8C C BA CA DA M M M μ==⨯-=-=⨯-=-最后将相应的固端弯矩（参见图8－2，b ）与分配弯矩、传递弯矩（参见图8-2，c ）相加，即可得出图8-2，a 所示各杆的最后杆端弯矩值。
为了方便起见，计算可列表进行，详见表8-1。
表中各杆端弯矩的正、负号如同位移法一样，都以对杆端顺时针方向转动为正。
列表时，可将同一结点的各杆端列在一起，以便于进行分配计算。
表8-1，杆端弯矩的计算例8-2 试求图8-3所示等截面连续梁的各杆端弯矩。
[解] 按表7—1算出各杆端的固端弯矩： 2211110640660,8391288f f f BA AB BC M M M =-=⨯⨯+⨯⨯==-⨯⨯=- 结点B 的不平衡力矩 60951kN m f B M =-=再计算各杆端分配系数。
为了简便起见，可采用相对线刚度。
为此，可设EI=6，于是有i AB ＝1，i BC ＝2。
由式（8-2）可算得41320.4,0.641324132BA BC μμ⨯⨯====⨯+⨯⨯+⨯ 对于连续梁，常取如图8-3所示格式，直接在其计算简图的下方进行计算。
有了各杆端最后弯矩和已知荷载作用情况，即可作出最后弯矩图。
§8-2 用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架上面就具有一个结点角位移的结构介绍了力矩分配法的基本概念。
我们可将这一计算方法 推广运用到具有两个以上结点角位移的结构。
下面结合一般连续梁和无侧移刚架的具体例子加以说明。
如图8-4所示的三跨等截面连续梁，用位移法计算时有两个基本未知量（结点B 和C 的角位移），我们用附加刚臂将结点B 和C 加以固定，此时根据表7—1可求得各杆的固端弯矩为图 8-3222222380690,01630103010250,25012121603516035187.5,112.588f f BA AB f f BCCB f f CD DC M M M M M M ⨯⨯===⨯⨯=-=-==⨯⨯⨯⨯=-=-== 而B 、C 两结点处的不平衡力矩分别为90250160,250187.5f f B C M M =-=-=-= 为了消去这两个不平衡力矩，须放松结点B 和C ，使其分别转动到它们的实际位置，亦即使它们发生与实际结构相同的角位移。
在位移法中，我们是同时放松这两个结点，使其一次恢复到原来的变形位置，这样，需要建立并解算联立方程。
为了避免这一工作，可采用逐个结点依次放松的办法，使各结点逐步恢复到原来的变形位置。
首先，设想只先放松（转动）一个结点（例如结点B ）而使该结点上的各杆端弯矩单独趋于平衡。
此时，由于其它结点仍为固定，故在以该结点为中心的计算单元上，可利用上节力矩分配和传递的办法消去该结点的不平衡力矩。
然后再将结点B 重新固定，单独放松结点C 以消去结点C的不平衡力矩。
图8-4但是，由于结点C 被放松（转动）时，结点B 处（已重新固定）的附加刚臂上又有新的反力偶（不平衡力矩）产生，于是再将结点C 重新固定，单独放松结点B 以消去结点B 的不平衡力矩。
如此循环下去，就可使各结点上的不平衡力矩愈来愈小而使所得结果逐渐接近于真实情况。
现将此计算过程叙述如下：设先放松结点B 并进行力矩分配，为此求出汇交于结点B 各杆的分配系数：32410.6,0.432413241B A BC μμ⨯⨯====⨯+⨯⨯+⨯ 然后进行力矩分配（即将不平衡力矩f B M 反号乘上分配系数），求得各相应杆端的分配弯矩为[][]0.6(160)96.0,0.4(160)64.0B A BC M M μμ=⨯--==⨯--= 各杆远端的传递弯矩（将分配弯矩乘上相应的传递系数）为096.00,0.5(64.0)32.0C C AB CB M M =⨯==⨯=将以上计算结果都记在连续梁相应杆端的下方（见图8-4）。
