几何学中的射影定理和相似三角形——几何知识要点

相似三角形知识点总结知识点1、三角对应相等，三边对应成比例的三角形叫相似三角形。

如△ABC 与△A /B /C /相似，记作: △ABC ∽△A /B /C /。

相似三角形的比叫相似比相似三角形的定义既是相似三角形的性质，也是三角形相似的判定方法。

注意：（1）相似比是有顺序的。

（2）对应性，两个三角形相似时，通常把对应顶点写在对应位置，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边。

（3）顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的，若△ABC ∽△A /B /C /，相似比为k ，则△A /B /C /与△ABC 的相似比是1k知识点2、相似三角形与全等三角形的关系（1）两个全等的三角形是相似比为1的相似三角形。

（2）两个等边三角形一定相似，两个等腰三角形不一定相似。

（3）二者的区别在于全等要对应边相等，而相似要求对应边成比例。

知识点3、平行线分线段成比例定理1. 比例线段的有关概念：在比例式：：中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，a bc da b c d a d b c a c ()b 、d 叫后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，那么b 叫做a 、d 的比例中项。

把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，使AC 2=AB ·BC ，叫做把线段AB 黄金分割，C 叫做线段AB 的黄金分割点。

2. 比例性质：①基本性质：a bc dadbc ②合比性质：±±a b c d a b b c d d③等比性质：……≠……a bc dm nb dn a c m bdna b()03. 平行线分线段成比例定理（1）平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.已知l1∥l2∥l3,A D l1B E l2CF l3可得EF BC DEAB DFEF ACBC DFEF ABBC DFDE ACAB EFDE BCAB或或或或等.（2）推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例. AD EBC由DE ∥BC 可得：AC AEABAD EAEC ADBD ECAE DBAD 或或.此推论较原定理应用更加广泛,条件是平行.（3）推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线.（4）定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例. 知识点4：相似三角形的性质①相似三角形的对应角相等②相似三角形的对应边成比例③相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比④相似三角形周长的比等于相似比⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方知识点5：相似三角形的判定：①两角对应相等，两个三角形相似②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似③三边对应成比例，两三角形相似④如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角形相似⑤平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似⑥直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似如果两个三角形的两角分别于另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似。

射影定理与比例中项射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项．即CD2=AD·BD；AC2=AD·AB；BC2=BD·AB比例中项：如果a:b=b:c，或b2=ac，那么，b 就叫做a、c的比例中项。

1、已知直角三角形ABC中，斜边AB=5cm,BC=2cm，D为AC上的一点，DE AB⊥交AB于E，且AD=3.2cm，则DE= （）A、1.24cmB、1.26cmC、1.28cmD、1.3cm2、如图1-1，在Rt ABC中，CD是斜别AB 上的高，在图中六条线段中，你认为只要知道（）线段的长，就可以求其他线段的长A、1B、2C、3D、43、在Rt ABC中，90BAC∠=，AD BC⊥于点D，若34ACAB=，则BDCD=（）A、34B、43C、169D、9164、如图1-2，在矩形ABCD中，1,3DE AC ADE CDE⊥∠=∠，则EDB∠=（）A、22.5B、30C、45D、60【填空题】5、ABC中，90A∠=，AD BC⊥于点D，AD=6，BD=12，则CD=____，AC= ____，22:AB AC= ___________。

6、如图2-1，在Rt△ABC中，90ACB∠=，CD AB⊥，AC=6，AD=3.6，则BC=_____．7、如图已知CD是△ABC的高，DE⊥CA,DF⊥CB，求证：△CEF∽△CBA8、已知90CAB∠=，AD CB⊥，△ACE，△ABF是正三角形，求证：DE DF⊥OADEFAC9、如图3-2，矩形ABCD 中，AB=a ，BC=b ，M 是BC 的中点，DE AM ⊥，E 是垂足，求证：224DE a b =+10、如图（３），已知：等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，高AD 、BE 交于点Ｈ，求证： DH •DA=41BC 211、已知如图△ABC 中，AD 平分∠ABC ，AD 的垂直平分线交AB 于点Ｅ，交AD 于点Ｈ，交AC 于点Ｇ，交BC 的延长线于点Ｆ， 求证：DF 2＝CF •BFHBFE参考答案1、C2、B3、C4、C5、3,35,4:16、 87、证明：在Rt ADC 中，由射影定律得，2CD CE AC =，在Rt BCD 中，同理得 2CD CF BC =,CE BCCE AC CF BC CF AC ∴=∴=又ECF BCA ∠=∠，CEFCBA ∴ 8、证明：如图所示，在Rt BAC 中，22,AC CD CB AB BD BC == 22AC CD CD CD CD ADAB BD CD BD AD AD BD ∴=====,,AE ADAC AE AB AF BF BD ==∴=60,60,FBD ABD EAD CAD ABD CAD ∠=+∠∠=+∠∠=∠又 FBD EAD ∴∠=∠，,EAD FBD BDF ADE ∴∴∠=∠ 90FDE FDA ADE FDA BDF ∴∠=∠+∠=∠+∠= DE DF ∴⊥9、证明：在Rt AMB 和Rt ADE 中，AMB DAE ∠=∠，90ABM AED ∠=∠= 所以Rt AMB ～Rt ADE所以AB AMDE AD =，因为AB=a ，BC=b ， ACD所以224AB ADDE AMb a ===+ 10、证△ABD ∽△BDH 即可11、证明：连ＡＦ， ∵ＦＨ垂直平分ＡＤ， ∴ＦＡ＝ＦＤ， ∠ＦＡＤ＝∠ＦＤＡ，∵ＡＤ平分∠ＢＡＣ，∴∠ＣＡＤ＝∠ＢＡＤ， ∴∠ＦＡＤ－∠ＣＡＤ＝∠ＦＤＡ－∠ＢＡＤ， ∵∠Ｂ＝∠ＦＤＡ－∠ＢＡＤ，∴∠ＦＡＣ＝∠Ｂ，又∠ＡＦC 公共，∴△ＡＦＣ∽△ＢＦＡ，∴ＢＦＡＦ＝ＡＦC Ｆ，∴ＡＦ２＝ＣＦ•ＢＦ，∴ＤＦ２＝ＣＦ•ＢＦ。

初中相似的知识点初中数学是一门非常重要的学科，其中包括了很多重要的知识点。

其中，相似是一项非常重要的概念，在初中数学教学中也被广泛应用。

在本文中，我们将主要讨论初中数学中与相似相关的知识点。

一、比例比例是相似的基础，也是初中数学的基础。

比例是指两个量之间的关系，通常用分数来表示。

在相似中，我们会用到许多比例的概念，如最简比、比例伸缩等。

在应用过程中，我们可以通过比例来求解未知量，也可以通过比例来通过几何图形的建立实现相似形的判定。

二、正弦、余弦和正切正弦、余弦和正切是三角函数的基础，也是相似中非常重要的知识点。

在相似中，我们会用到正弦、余弦和正切来计算不同的角度，求解不同图形的边长，推导相似三角形的性质等。

三、三角形的中线、角平分线、高线三角形的中线、角平分线、高线是初中数学中非常基础的知识点，也是相似中常常应用的内容。

通过这些线段，我们可以将三角形划分成更小的几何图形，从而寻找相似形的特性。

同时，在相似变换时，我们通常也需要应用这些线段的基本定理来计算图形的不同参数。

四、射影定理在相似的转换中，射影定理是非常基础的概念。

射影定理通常是指在不同几何图形中，垂线的投影长度和相似比例的关系。

通过了解射影定理，我们可以更好地理解相似图形的特性，也可以更快地求解复杂的几何题目。

五、相似三角形的性质相似三角形的性质是非常重要的知识点，在初中数学中也被广泛应用。

相似三角形的性质包括了比例方程、面积比公式、角度比等，这些性质不仅可以帮助我们判断相似图形，还可以帮助我们求解各种复杂的几何问题。

在相似三角形的应用中，我们需要深刻理解这些性质，同时掌握相应的推导和证明方法。

六、类比类比是初中数学中的一项重要的基础知识。

在相似中也非常重要，用来建立模型、求解问题。

类比可以帮助我们将问题简化为更易处理的形式，通过相似比例的应用，我们可以更快地求解几何图形的各种参数，也能更快地推导相似形的各种性质。

以上是初中数学中相似的知识点，这些知识点非常基础，但却是初中数学的重要内容。

四 直角三角形的射影定理庖丁巧解牛知识·巧学一、射影所谓射影，就是正投影.其中，从一点到一条直线所作垂线的垂足，叫做这点在这条直线上的正投影。

一条线段的两个端点在一条直线上的正投影之间的线段，叫做这条线段在这条直线上的正投影.如图1—4—2，AB 在AC 上的射影是线段AC ；BC 在AC 上的射影是点C ；AC 、BC 在AB 上的射影分别是AD 、BD ，这样，Rt △ABC 中的六条线段就都有了名称,它们分别是:两条直角边(AC 、BC)，斜边（AB ），斜边上的高（CD)，两条直角边在斜边上的射影(AD 、BD)。

图1—4-2二、直角三角形的射影定理由于角之间的关系,图1-4-2中三个直角三角形具有相似关系，于是Rt △ABC 的六条线段之间存在着比例关系.△ACD ∽△CBD ，有BD CD CD AD =，转化为等积式，即CD 2=AD·BD ； △ACD ∽△ABC,有ACAD AB AC =，转化为等积式,即AC 2=AB·AD; △BCD ∽△BAC ，有BCBD BA BC =，转化为等积式，即BC 2=BA·BD. 用语言来表述，就是在直角三角形中,斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项;每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项.联想发散这一结论常作为工具用于证明和求值.如图1—4-3，在Rt△ABC中,∠C＝90°,CD是AB上的高.已知AD＝4，BD＝9，就可以求CD、AC。

由射影定理，得CD2=AD·BD=4×9＝36.因为边长为正值，所以CD＝6，AC2=AD·AB=4×(4＋9）＝52。

所以AC＝132。

我们还可以求出BC、AB,以及△ABC的面积等。

问题·探究问题1 在直角三角形中，我们已经学过三边之间的一个重要关系式，如图1—4-3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，那么AC2＋BC2=AB2，这一结论被称作勾股定理，同样是在直角三角形中，勾股定理和射影定理有什么联系？如何说明这种联系？图1—4—3思路:将射影定理产生的式子AC2=AB·AD和BC2=BA·BD左右两边分别相加。

相似三角形（射影定理及角平分线的性质）射影定理：【知识要点】1、直角三角形的性质：（1）直角三角形的两个锐角（2）Rt △ABC 中，∠C=90º，则 2+ 2= 2 （3）直角三角形的斜边上的中线长等于（4）等腰直角三角形的两个锐角都是 ，且三边长的比值为（5）有一个锐角为30º的直角三角形，30º所对的直角边长等于 ，且三边长的比值为 2、直角三角形相似的判定定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

3、双垂直型：Rt △ABC 中，∠C=90º，CD ⊥AB 于D ，则 ① ∽ ∽ ②S △ABC =22③射影定理：CD 2= · AC 2= · BC 2= · 【常规题型】1、已知：如图，△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，S △ABC=20，AB=10。

求AD 、BD 的长.2、已知，△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D 。

（1）若AD=8，BD=2，求AC 的长。

（2）若AC=12，BC=16，求CD 、AD 的长。

【典型例题】例1．已知：如图，在四边形ABCD 中，∠ABC=∠ADC=90º，DF ⊥AC 于E ，且与AB 的延长线相交于F ，与BC 相交于G 。

求证：AD 2=AB ·AFBADFEGDCAB例2．如图所示，在△ABC 中，∠ACB=90°，AM 是BC 边的中线，CN ⊥AM 于N 点，连接BN ，求证：BM 2=MN ·AM 。

例3．已知：如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，DE ⊥AC 于E ，DF ⊥BC 于F 。

求证：AE ·BF ·AB ＝CD 3例4．在ABC Rt ∆中，k AC BC DE CE AB CD C ==⊥︒=∠,,,90，求CFBF角平分线的性质：【知识要点】如图，在△ABC 中，∠A 平分线交BC 边于D 点，则有：CDBDAC AB =. 证明：例6、在△ABC 中，∠B 和∠C 的平分线分别为BD 和CE ，且DE ∥BC 。

相似三角形――相似直角三角形及射影定理【知识要点】1直角三角形的性质:(1) 直角三角形的两个锐角 _____________ (2)Rt A ABC 中，/ C=90o ，贝U2+(3) 直角三角形的斜边上的中线长等于2、已知，△ ABC 中，/ ACB=90 ° , CD 丄 AB 于 D 。

( 1)若 AD=8 , BD=2，求 AC 的长。

(2)若 AC=12 , BC=16，求 CD 、AD 的长。

精品文档(4)等腰直角三角形的两个锐角都是，且三边长的比值为(5)有一个锐角为30o 的直角三角形，30o 所对的直角边长等于 ，且三边长的比值为2、直角三角形相似的判定定理(只能用于选择填空题)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例， 那么这两个直角三角形相似。

3、双垂直型：Rt A ABC 中，/ C=90o , CD 丄 AB 于 D ，则① S s②射影定理：CD 2= ______【常规题型】AC 2= _____ BC 2= ____1 已知：如图，△ ABC 中，/ ACB=90【典型例题】例1.如图所示，在厶ABC 中，/ ACB=90BM 2=MN • AM 。

例2.已知：如图，在四边形 ABCD 中，/ ABC= / ADC=90 o , DF 丄AC 于E ，且与 AB 的延长线相交 于F ,与BC 相交于G 。

求证：AD 2=AB • AF【拓展练习】1、已知：如图， AD 是厶ABC 的高，BE 丄AB , AE 交BC 于点F , AB • AC=AD • AE 。

求证：△ BEFACF,AM 是BC 边的中线，CN 丄AM 于N 点，连接BN ,求证:例 3. (1)已知 ABC 中， ACB 90 , CD 高，这时 DEF 和 CAB 是否相似？AB ，垂足为D , DE 、DF 分别是 ADC 和 BDC 的CBCFD3、已知，如图，CE 是直角三角形斜边 AB 上的高，在EC 的延长线上任取一点 P ,连结AP, BG AP ,垂足为G ，交CE 于D ，求证：CE 2 PE DE .4、如图，在四边形ABCD 中，B AD 2 AB AE 。

相似三角形的六大证明技巧大全比例式的证明方法比例式是数学中常见的重要概念，其证明方法也是需要掌握的基本技能。

下面介绍几种比例式的证明方法。

1.相似三角形法若两个三角形相似，则它们对应边的比例相等。

因此，可以通过相似三角形的证明来得到比例式。

2.射影定理法射影定理指：在直角三角形中，直角边上的高的平方等于直角边与这个高的两个部分的乘积。

因此，可以通过射影定理来证明比例式。

3.平行线法若两条直线平行，则它们所截线段的比例相等。

因此，可以通过平行线的证明来得到比例式。

4.等角定理法等角定理指：在同一圆周角或同位角中，对应弧所对应的角相等。

因此，可以通过等角定理来证明比例式。

5.数学归纳法数学归纳法是数学中常见的证明方法，适用于证明一般情况下的比例式。

其基本思路是：证明当n=1时比例式成立，假设当n=k时比例式成立，证明当n=k+1时比例式也成立。

比例式的证明方法多种多样，需要根据具体情况选择合适的方法。

熟练掌握这些方法，可以更加轻松地解决各种数学问题。

通过前面的研究，我们知道，比例线段的证明离不开“平行线模型”（A型、X型、线束型），也离不开上述的6种“相似模型”。

但是，XXX认为，“模型”只是工具，怎样选择工具、怎样使用工具、怎样用好工具，取决于我们如何思考问题。

合理的思维方法能让模型成为解题的利刃，让复杂的问题变简单。

在本模块中，我们将研究比例式的证明中经常用到的思维技巧，包括三点定型法、等线段代换、等比代换、等积代换、证等量先证等比、几何计算。

技巧一：三点定型法例1】在平行四边形ABCD中，E是AB延长线上的一点，DE交BC于F，求证：$\frac{DC}{CF}=\frac{AE}{AD}$。

例2】在直角三角形△ABC中，$\angle BAC=90^\circ$，M为BC的中点，DM垂直于BC交CA的延长线于D，交AB 于E。

求证：$AM^2=MD\cdot ME$。

例3】在直角三角形△ABC中，AD是斜边BC上的高，$\angle ABC$的平分线BE交AC于E，交AD于F。

初中数学相似三角形定理知识点总结第一篇：初中数学相似三角形定理知识点总结相似三角形是几何中重要的证明模型之一，是全等三角形的推广。

全等三角形可以被理解为相似比为1的相似三角形。

相似三角形其实是一套定理的集合，它主要描述了在相似三角形是几何中两个三角形中，边、角的关系。

下面是小编为大家带来的初中数学相似三角形定理知识点总结，欢迎阅读。

相似三角形定理1.相似三角形定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。

2.相似三角形的表示方法：用符号“∽”表示，读作“相似于”。

3.相似三角形的相似比：相似三角形的对应边的比叫做相似比。

4.相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截成的三角形与原三角形相似。

从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的“对应边相等”的条件改为“对应边成比例”就可得到相似三角形的判定定理，这就是我们数学中的用类比的方法，在旧知识的基础上找出新知识并从中探究新知识掌握的方法。

6.直角三角形相似：(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。

(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

7.相似三角形的性质定理：(1)相似三角形的对应角相等。

(2)相似三角形的对应边成比例。

(3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。

(4)相似三角形的周长比等于相似比。

(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。

8.相似三角形的传递性如果△ABC∽△A1B1C1，△A1B1C1∽△A2B2C2，那么△ABC∽A2B2C2第二篇：初中数学知识点总结：相似三角形知识点总结一、平行线分线段成比例定理及其推论：1.定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

2.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例。

3.推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条线段平行于三角形的第三边。

相似三角形------射影定理的推广及应用射影定理是平面几何中一个很重要的性质定理，尽管义务教材中没有列入，但在几何证明及计算中应用很广泛，若能很好地掌握并灵活地运用它，常可取到事半功倍的效果。

一般地，若将定理中的直角三角形条件非直角化，亦可得到类似的结论（这里暂且称之为射影定理的推广），而此结论又可作为证明其它命题的预备定理及联想思路，熟练地掌握并巧妙地运用，定会在几何证明及计算“山穷水尽疑无路”时，“柳暗花明又一村”地迎刃而解。

下面结合例子从它的变式推广上谈谈其应用。

一、射影定理射影定理直角三角形斜边上的高是它分斜边所得两条线段的比例中项；且每条直角边都是它在斜边上的射影和斜边的比例中项。

如图（１）：Ｒt△ＡＢＣ中，若ＣＤ为高，则有ＣD２＝ＢＤ•AD、ＢＣ２＝ＢＤ•ＡＢ或ＡＣ２＝ＡＤ•ＡＢ。

（证明略）二、变式推广１．逆用如图（１）：若△ＡＢＣ中，ＣＤ为高，且有ＤＣ２＝ＢＤ•ＡＤ或ＡＣ２＝ＡＤ•ＡＢ或ＢＣ２＝ＢＤ•ＡＢ，则有∠ＤＣＢ＝∠Ａ或∠ＡＣＤ＝∠Ｂ，均可等到△ＡＢＣ为直角三角形。

（证明略）２．一般化，若△ＡＢＣ不为直角三角形，当点Ｄ满足一定条件时，类似地仍有部分结论成立。

（后文简称：射影定理变式（2））如图（２）：△ＡＢＣ中，D为ＡＢ上一点，若∠ＣＤＢ＝∠ＡＣＢ，或∠ＤＣＢ＝∠Ａ，则有△ＣＤＢ∽△ＡＣＢ，可得ＢＣ２＝ＢＤ•AB；反之，若△ＡＢＣ中，Ｄ为ＡＢ上一点，且有ＢＣ２＝ＢＤ•ＡＢ，则有△ＣＤＢ∽△ＡＣＢ，可得到∠ＣＤＢ＝∠ＡＣＢ，或∠ＤＣＢ＝∠Ａ。

（证明略）三、应用例１如图（３），已知：等腰三角形ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，高ＡＤ、ＢＥ交于点Ｈ，求证：４ＤＨ•ＤＡ＝ＢＣ２分析：易证∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ=900-∠C＝∠HBD，联想到射影定理变式（2），可得ＢＤ２＝ＤＨ•ＤＡ，又ＢＣ＝２ＢＤ，故有结论成立。

（证明略）例２ 如图（４）：已知⊙Ｏ中，Ｄ为弧ＡＣ中点，过点Ｄ的弦ＢＤ被弦ＡＣ分为４和１２两部分， 求ＤＣ。

第7讲 相似三角形3：射影定理、角平分线定理一、 基础知识1． 相似三角形的定义对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形． 2． 相似三角形的判定定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似；判定定理1：两角对应相等，两三角形相似；判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似； 判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似． 3． 判定直角三角形的其他方法定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似；直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似． 4． 相似三角形的性质（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例；（2）相似三角形的对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比及周长的比，都等于相似比； （3）相似三角形的面积的比等于相似比的平方． 二、 例题部分 例1．（★，射影定理）在Rt ⊿ABC 中，∠A ＝90°，AD 是斜边上的高，求证： （1）2AD BD DC =⋅；（2）2AB BD BC =⋅；（3）2AC CD CB =⋅ 【证明】：直接根据“直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似．”即可得到例2．（★）如图，AD 是⊿ABC 的BC 边上的高，DE 、DF 分别垂直于AB 、AC ，垂足为E 、F ，求证：AE AFAC AB=【证明】：由射影定理：2AD AE AB =⋅2AD AF AC =⋅∴AE AB AF AC ⋅=⋅例3．（★）在Rt ⊿ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，DE ⊥AC 于E ，DF ⊥BC 于F ；求证：33AE AC BF BC = 《全国奥林匹克初二竞赛教材》数学 京华出版社，P188，例2例4．（★）如图，在Rt ⊿ABC 中，∠A ＝90°，BC 边的垂直平分线和AB 、CA 的延长线分别交于D 、E ，BC的中点为F，求证AF是DF与EF的比例中项．【证明】：易得∠E＝∠B＝∠DAF在⊿FDA和⊿FAE中：∠FAD＝∠FEA，∠DFA＝∠AFE∴⊿FDA∽⊿FAE∴FA FD FE FA=例5．（★★，96年全国初中数学联赛四川赛区预赛）如图，Rt⊿ABC 中，∠C＝90°，∠A的平分线AD交BC边于D，求证：222 AC BC AD BD=《华罗庚数学奥林匹克教材》初二年级知识出版社，P180，6例6．（★）Rt⊿ABC中∠C＝90°，∠A的平分线AE交BA上的高CH于D点，过D点引AB的平行线交BC于F，求证：BF＝EC【证明】：∵AE平分∠A∴CE ACEB AB=；∵DF∥AB，∴HD BFDC FC=∵⊿AC B∽⊿AHC，∴AC AH HD BF AB AC DC FC ===∴EC BFEB FC=，即EC BFEF FB EF EC=++整理得EC＝BF例7．（★★）已知P、Q分别是正方形ABCD边AB、BC上的点，且BP＝BQ，过B点作PC的垂线，垂足为H，证明：DH⊥HQ【证明】：∵∠PBC＝90°BH⊥PC∴⊿HBC∽⊿PBC，∴BH BP CH BC=∵BP＝BQ，∴BH BP BQ CH BC CD==又易得∠HBQ＝∠HCD，∴⊿BHQ∽⊿CHD ∴∠BHQ＝∠CHD，∴DH⊥HQ例8．（★★，93年黄冈初中竞赛）在等边三角形ABC的边BC上取点D，使12BDCD=，作CH⊥AD，连结BH，求证：∠DBH＝∠DAB【证明】：过A作AM⊥BC，垂足为M易证⊿BHQ∽⊿CHD，∴AD MDCD HD=，∵AM为⊿ABC的高，∴BM＝CM∵12 BD CD=∴CD＝2BD，DM＝12 BD，易得AD BDBD HD=，又∠ADB＝∠BDH∴⊿ADB∽⊿BDH，∴∠DBH＝∠DAB例9．（★★，94年安徽省数学竞赛）设P是等边三角形ABC的BC边上任一点，连结AP，作AP的中垂线交AB、AC于M、N；证明：BP PC BM CN⋅=⋅《华罗庚数学奥林匹克教材》初二年级知识出版社，P180，5例10．（★★，辽宁省竞赛题）设AM是⊿ABC边BC上的中线，任作一条直线分别交AB、AC、AM于P、Q、N，求证：ABAP、AMAN、ACAQ成等差数列．【证明】：过B、C分别作MN的平行线交PQ的延长线于E、F；易得1()2MN BE CF=+则1()2MN BE CF AN AN AN=+∵⊿BEP∽⊿ANP，∴BE BP AN AP=∵⊿CFQ∽⊿ANQ，∴CF CQ AN AQ=∴1()2MN BP CQ AN AP AQ=+根据合比定理得：1()2AM AB ACAN AP AQ=+【证明2】：过B、C分别作PQ的平行线交AM的延长线于E、F例11．（★★，97年河北初中竞赛）在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，BE＝ED＝CF，求∠CEF＋∠CAD的度数；《华罗庚数学奥林匹克教材》初二年级知识出版社，P181，9例12．（★★★，99年上海中学数学实验班选拔赛）如图，AD是锐角⊿ABC边BC上的高，E是AD上的一点且满足AE CDED DB=，过D作DF⊥BE于F，求证：∠AFC＝90°【证明】：易得Rt⊿EFD∽Rt⊿DFB，ED DB EF DF=∴AE AE ED AE DB EF ED EF ED DF =⋅=⋅∵AE CDED DB=，∴AE CD DBEF DB DF=⋅，即AE CDEF DF=又∵∠AEF＝90°＋∠EDF＝∠CDF∴⊿AEF∽⊿CDF，故∠AFC＝∠DFE＝90°例13．（★★★，第17届IMO）在任意三角形ABC的边上向外作⊿BPC、⊿CQA、⊿ARB，使得∠PBC ＝∠CAQ＝45°，∠BCP＝∠QCA＝30°，∠ABR＝∠BAR＝15°，试证：（1）∠QRP＝90°；（2）PQ＝PR【证明】：以AB为边向外作正三角形ABS，连结RS、CS则∠SAR＝45°，∠ASR＝30°∴⊿CQA∽⊿SRA，∴SA RA CA AQ=∵∠SAC＝∠RAQ，∴⊿CAS∽⊿RAQ∴∠CSA＝∠QRA，且AR ASQR CS=（1）同理可得∠CSB＝∠PRB，且BR BSPR CS=（2）∵AR＝BR，AS＝BS由（1），（2）可得PR＝QR∵∠ARB＝180°－15°－15°＝150°∴∠QRP＝150°－（∠ARQ＋∠BRP）＝150°－（∠CSA＋∠CSB）＝150°－60°＝90°拓展：（★★★）如图，AD、BE、CF是锐角三角形ABC的三条高，M、N分别是BE、CF的中点，求证：⊿DMN∽⊿ABC【证明】取BC、CA、AB的中点P、S、Q，易知P、M、S共线，P、N、Q共线，连结SQ、DS、DQ∵DS＝12AB＝PQ，PS＝12AC＝DQ，PD为公共边∴⊿DSP≌⊿PQD∴∠DSP＝∠PQD，即∠DSM＝∠DQN；①又1212ABDS ABDQ ACAC==；1212AESM AEQN AFAF==又由⊿ABE∽⊿ACF，得AB AE AC AF=∴DS SMDQ QN= ② 由①②可知⊿DSM ∽⊿DQN ∴SD QDMD ND=，∠SDM ＝∠QDN ∴∠MDN ＝∠SDQ ∴⊿DMN ∽⊿DSQ但⊿DSQ ≌⊿ASQ ，⊿ASQ ∽⊿ABC ∴⊿DMN ∽⊿ABC 例14．（★，三角形内角平分线的性质）AD 是⊿ABC 的内角平分线，求证：BD ABDC AC=；反之亦然． 【证明】：过C 作CE ∥DA ，交BA 延长线于E ；易得AE ＝AC 则BD AB ABDC AE AC==例15．（★，三角形外角平分线的性质）如图，AE 是⊿ABC 的一条外角平分线，交BC 延长线于E ，求证：AB BEAC CE=． 【证明】：过C 作CF ∥EA ，交AB 于F ；易得AC ＝AF 则AB AB BEAC AF CE==例16．（★★★，90年上海）在⊿ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，且a b c >>，AS ，AS ’分别是∠A 的平分线和外角平分线，BT ，BT ’分别是∠B 的平分线和外角平分线，CU ，CU ’分别是∠C 的平分线和外角平分线，求证：111'''SS UU TT +=（图中只画出了AS ，AS ’） 【证明】∵AS ，AS ’分别是∠A 的平分线和外角平分线∴','CS b CS bSB c S B c == ∴',CS b CS b BC b c BC b c==+- 即,'ab abCS CS b c b c==+- ∴222''ab ab abcSS CS CS b c b c b c=-=-=-+- 同理可得：222222','abc abcUU TT a b a c ==-- 22222211()()1''22'b c a b a c SS UU abc abc TT -+--+===三、 练习题1．（★）在⊿ABC 中，∠C ＝90°，ED ⊥AB 于D ，AD ＝DB ，AB ＝20，AC ＝12，则DE 的长是（ ） A ．10 B ．8.5 C ．9.5 D ．7.5【解】：D2．（★）⊿ABC 中，∠C ＝90°，CD 是高，BC ＝2AC ，则AD ：DB 等于（ ） A ．1:2B ．1:2C ．1:3D ．1:4【解】：D3．（★）Rt ⊿ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边长为a 、b 、c ，斜边上的高为x ，则下列各式中成立的是（ ） A ．2ab x = B ．111a b x+= C ．222a b x +=D ．222111x a b =+ 【解】：D4．（★★）在直角梯形ABCD 中，上底AD ＝3，下底BC ＝33，与两底垂直的腰AB ＝6，在AB 上任取一点P ，使⊿PAD 和⊿PBC 相似，这样的点P （ ） A ．有1个 B ．有2个 C ．有3个 D ．不存在 【解】：B ； 5．（★★）在⊿ABC 中，∠A ＝2∠B ，AC ＝4，AB ＝5，则BC 等于（ ） A ．6B ．7C ．35D ．5【解】：A ； 6．（★）如图，⊿ABC 被DE 、FG 分为面积相等的三部分，并且D E ∥FG ∥BC ，则D E ：FG ：BC ＝____________； 【解】：1:2:37．（★）如图，D 为⊿ABC 内一点，E 为⊿ABC 外一点，如果∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：⊿ABC ∽⊿DBE《三点一测丛书，初二数学》科学出版社，龙门书局，2004年版 P344，例78．（★★）图中，AD 、CF 是⊿ABC 的两条高线，在AB 上取一点P ，使AP ＝AD ，再从P 点引BC 的平行线和AC 交于Q 点，求证：PQ ＝CF ； 《三点一测丛书，初二数学》科学出版社，龙门书局，2004年版 P346，例99．（★★，2000年重庆竞赛）⊿ABC 和⊿A 1B 1C 1均为正三角形，BC 和B 1C 1的中点均为D ，求证：AA 1⊥CC 1 【证明】：连结AD ，A 1D ，延长AA 1交直线DC 于O ，交直线C 1C 于E ，在⊿AA 1D 和⊿CC 1D 中： ∠ADA 1＝90°－∠A 1DC ＝∠CDC 1； 又3ADDC=，113DA DC =，则⊿AA 1D ∽⊿CC 1D 则∠A 1AD ＝∠C 1CD又∠AOD ＝∠COE则∠CEO ＝∠ADO ＝90° 即AA 1⊥CC 110. （★★，96上海）如图，AD 为⊿ABC 的内角平分线，AD 的垂直平分线交BC 的延长线于F ，若34AC AB =，求FCFB的值； 【解】：916《全国初中数学竞赛试题分类集锦》几何分册 上海远东出版社，P122，611．（★★）AD 是等腰⊿ABC 底边BC 上的高，BM 及BN 是∠B 的三等分角线，分别交AD 于M 、N 点，连结CN 并延长交AB 于E ，求证：AM AEMN EB=【证明】易得EB＝EN∵AN平分∠BAC，∴AE EN AC NC=∴AE AC AB EN NC BN==∵AB AMBN MN=，∴AE AMEN MN=∴AM AE MN EB=。

初中数学相似三角形知识库相似三角形知识点大总结相似三角形是初中数学中一个重要的概念，它是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。

相似三角形具有许多重要的性质和应用，在初中数学中经常会用到。

以下是相似三角形的知识点总结。

一、相似三角形的定义和性质：1.相似三角形的定义：两个三角形的对应角相等且对应边成比例。

2.相似三角形的性质：-两个相似三角形的对应边成比例。

-两个相似三角形的对应角相等。

-相似三角形的形状相似但大小不一定相等。

3.相似三角形的判定：-AAA准则：两个三角形的对应角相等，则它们相似。

-AA准则：两个三角形的两个对应角相等，则它们相似。

4.相似三角形的比例关系：-相似三角形的对应边成比例。

-相似三角形的周长成比例。

-相似三角形的面积成比例。

二、相似三角形的证明方法：1.直接证明法：通过角度和边的对应关系，直接证明两个三角形的对应角相等且对应边成比例。

2.间接证明法：通过反证法，假设两个三角形不相似，通过推理产生矛盾，证明假设错误。

三、相似三角形的应用：1.相似三角形的便利性：在研究形状相似的图形时，可以利用相似三角形的性质，简化问题的解决过程。

2.相似三角形的比例问题：通过相似三角形的比例关系，可以解决线段的比例问题、面积的比例问题等。

3.相似三角形的定理应用：如比例定理、高度定理、角平分线定理等，都是通过相似三角形的性质来证明的。

4.相似三角形的构造问题：如已知一个三角形和一条边的比例，可以利用相似三角形的性质，构造出一个相似的三角形。

四、相似三角形与图形的应用：1.相似三角形与勾股定理的应用：根据勾股定理和角度的对应关系，可以判断两条线段之间的关系，如判断一个三角形是否为直角三角形。

2.相似三角形与平行四边形的应用：通过相似三角形的性质，可以证明平行四边形的对边成比例。

3.相似三角形与平行线的应用：通过相似三角形的性质，可以证明平行线与直线之间的角度关系。

五、相似三角形的注意事项：1.相似三角形的顺序：在比较两个三角形相似性时，对应的角和边的位置要一一对应。

中考射影定理及其运用(可以直接使用，可编辑优秀版资料，欢迎下载）相似三角形------射影定理的推广及应用射影定理是平面几何中一个很重要的性质定理，尽管义务教材中没有列入，但在几何证明及计算中应用很广泛，若能很好地掌握并灵活地运用它，常可取到事半功倍的效果。

一般地，若将定理中的直角三角形条件非直角化，亦可得到类似的结论，而此结论又可作为证明其它命题的预备定理及联想思路，熟练地掌握并巧妙地运用，定会在几何证明及计算“山穷水尽疑无路”时，“柳暗花明又一村”地迎刃而解。

一、射影定理射影定理直角三角形斜边上的高是它分斜边所得两条线段的比例中项；且每条直角边都是它在斜边上的射影和斜边的比例中项。

如图（１）：Ｒt△ＡＢＣ中，若ＣＤ为高，则有ＣD２＝ＢＤ•AD、ＢＣ２＝ＢＤ•ＡＢ或ＡＣ２＝ＡＤ•ＡＢ。

二、变式推广１．逆用如图（１）：若△ＡＢＣ中，ＣＤ为高，且有ＤＣ２＝ＢＤ•ＡＤ或ＡＣ２＝ＡＤ•ＡＢ或ＢＣ２＝ＢＤ•ＡＢ，则有∠ＤＣＢ＝∠Ａ或∠ＡＣＤ＝∠Ｂ，均可等到△ＡＢＣ为直角三角形。

２．一般化，若△ＡＢＣ不为直角三角形，当点Ｄ满足一定条件时，类似地仍有部分结论成立。

（后文简称：射影定理变式（2））如图（２）：△ＡＢＣ中，D为ＡＢ上一点，若∠ＣＤＢ＝∠ＡＣＢ，或∠ＤＣＢ＝∠Ａ，则有△ＣＤＢ∽△ＡＣＢ，可得ＢＣ２＝ＢＤ•AB；反之，若△ＡＢＣ中，Ｄ为ＡＢ上一点，且有ＢＣ２＝ＢＤ•ＡＢ，则有△ＣＤＢ∽△ＡＣＢ，可得到∠ＣＤＢ＝∠ＡＣＢ，或∠ＤＣＢ＝∠Ａ。

三、应用例１ 如图（３），已知：等腰三角形ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，高ＡＤ、ＢＥ交于点Ｈ，求证：４ＤＨ•ＤＡ＝ＢＣ２分析： 易证∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ=900-∠C ＝∠HBD ，联想到射影定理变式（2），可得ＢＤ２＝ＤＨ•ＤＡ，又ＢＣ＝２ＢＤ，故有结论成立。

（证明略）例２ 如图（４）：已知⊙Ｏ中，Ｄ为弧ＡＣ中点，过点Ｄ的弦ＢＤ被弦ＡＣ分为４和１２两部分，求ＤＣ。

分析：易得到∠ＤＢＣ＝∠ＡＢＤ＝∠ＤＣＥ，满足射影定理变式（2）的条件，故有ＣＤ２＝ＤＥ•ＤＢ，易求得ＤＣ＝８(解略)例3 已知：如图（5），△ＡＢＣ中，ＡＤ平分∠ＢＡＣ，ＡＤ的垂直平分线交ＡＢ于点Ｅ，交ＡＤ于点Ｈ，交ＡＣ于点Ｇ，交ＢＣ的延长线于点Ｆ，求证：ＤＦ２＝ＣＦ•ＢＦ。

相似三角形的应用于射影几何学射影几何学是几何学中的一个重要分支，它研究了平面上直线、点和二次曲线之间的关系。

相似三角形是射影几何学中常见且重要的概念之一，它在解决几何问题和实际应用中具有广泛的用途。

1.引言射影几何学作为一门古老而精密的学科，自古希腊时期以来就受到数学家和几何学爱好者的关注。

在射影几何学中，相似三角形是一个重要的概念，它可以用来解决许多与比例和相似性有关的几何问题。

2.基本定义相似三角形是指具有相同形状但不一定相等大小的三角形。

对于两个相似三角形来说，它们的三个内角相等，对应的边长成比例。

形式上可以表示为：若三角形ABC与三角形DEF相似，则存在实数k，使得AB=kDE，AC=kDF，BC=kEF。

3.应用一：测量难以触及的长度在实际应用中，有时我们需要测量无法直接触及的长度，如高楼、电线杆等。

利用相似三角形的特性，我们可以通过测量可触及的长度和相似三角形的属性，推导出无法直接测量的长度。

这为实际工程测量和设计提供了便利。

4.应用二：建筑物和地图的制作相似三角形的概念也在建筑物和地图的制作中得到了广泛应用。

通过在实际尺寸的建筑物上绘制相似的缩小模型，可以节省制图和建模的成本，同时保持形状和结构的准确性。

在地图制作中，我们可以利用相似三角形的比例关系，在缩小的地图上准确表示出真实地理环境，使得地图的阅读和使用更加方便。

5.应用三：计算不可触及的角度相似三角形还可以应用于计算无法直接观察的角度。

例如，在城市规划和太阳能设施的设计中，我们需要准确计算太阳的高度和方向。

通过设置不同位置的测量仪器，利用相似三角形的性质，我们可以根据测得的光线投影长度，计算出太阳的角度和方向，从而为城市规划和太阳能设施的设计提供了依据。

6.应用四：解决形状相似的问题在实际应用中，有时候我们需要解决形状相似的问题，例如医学影像的处理和计算机图像的缩放。

相似三角形的性质可以帮助我们将一个形状从一个比例尺转化为另一个比例尺，同时保持形状的准确性和完整性。