【附20套高考模拟试题】2020届福建省安溪第八中学高考数学模拟试卷含答案

福建安溪第八中学2007-2008学年度高三数学模拟试题 (文)本卷第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）.第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的.1．函数13)(23+-=x x x f 是减函数的区间为（ ）A ．),2(+∞B ．)2,(-∞C ．)0,(-∞D ．（0，2） 2．已知θ是第二象限角，则θθ42sin sin -可化简为（ ）A ．θθcos sinB ．θθcos sin -C ．θ2sinD ．θ2sin -3．条件1)1(log :2<-x p 不等式的解；条件032:2<--x x q 不等式的解，则q p 是的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件4．在等比数列}{n a 中，S 4=1，S 8=3，则a 17+a 18+a 19+a 20的值是 （ ）A ．14B ．16C ．18D ．205．将函数))(6sin(R x x y ∈+=π的图象上所有的点向左平行移动4π个单位长度，再把图象 上各点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象的解析式为（ ） A ．))(1252sin(R x x y ∈+=πB ．))(1252sin(R x x y ∈+=πC ．))(122sin(R x x y ∈-=πD ．))(2452sin(R x x y ∈+=π6．若a c b a c b a ⊥+===且,,2,1，则向量a 与b 的夹角为（ ）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°7．已知数列11,2}{11+-==+n n n a a a a 满足，则2005a 等于 （ ）A ．2B ．31-C ．23-D ．18．已知O 是ABC ∆内一点，且满足OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅，则O 点一定是ABC ∆ 的 （ ）A ．内心B ．外心C ．垂心D ．重心9．设函数)(x f 是偶函数，且在),0(+∞是增函数，若)()(21x f x f >，则下列不等式必定 成立的是（ ）A ．021>+x xB ．2221x x > C ．21x x >D ．2221x x < 10．已知函数)0()cos(2)(≠++=ωϕωb x x f 对任意实数x 有)8()8(x f x f -=+ππ成立，且1)8(-=πf ，则实数b 的值为（ ）A ．1±B ．－3或1C ．3±D ．3或－1第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：本在题共5小题，每小题4分，共20分. 11．设函数⎩⎨⎧≥+-<+=)1(3)1(|1|)(x x x x x f ，则使得1)(=x f 的自变量x 的值为 .12．锐角三角形的内角A 、B 、C 满足B A cos 2sin =，且︒=30c 则A= . 13．把点（3，4）按向量a 平移后的坐标为（－2，1），则函数xy 2=的图象按向量a 平移后所得图象的函数表达式为 .14．设数列=+++∈-=*||||||),(72}{1521a a a N n n a a n n 则的通项公式为 .15．给出下列四个命题中：①a ，b ，c 为三个平面向量，若c b c a b a //,//,//则；②若函数)sin()(ϕω+=x A x f 的图象关于直线a x =对称，则当a x =时)(x f 必取最 大值；③若函数b bx x x f +++=3)(2是偶函数，则)(x f 的最小值为3； ④函数)(x f y =的图象与直线2=x 的交点个数是0个或1个. 其中正确的命题的序号是 .三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本题满分12分）已知函数x x x x f cos sin sin 3)(2+-=. （1）求函数)(x f 的值域； （2）设ααπαsin ,2321)2(),,0(求若-=∈f 的值.17．（本题满分12分）设数列}{n a 的前n 项和为S n ，已知)(31,111*+∈==N n S a a n n ，求（1）求32,a a 的值及数列}{n a 的通项公式； （2）求和：n a a a a 2642++++ .18．（本小题满分14分）如图，一辆车要直行通过某十字路口，此时 前方交通灯为红灯，且该车前面已有4辆车 依次在同一车道上排队等候（该车道只可以 直行或左转行驶）. 已知每辆车直行的概率 是32，左转行驶的概率是31，该路口红绿灯 转换间隔时间均为1分钟. 假设该车道上一辆直行的车驶出停车线需要10秒钟，一辆左转的车驶出停车线需要20秒钟，求： （1）前4辆车恰有2辆车左转行驶的概率；（2）该车在第一次绿灯这亮起时的1分钟内通过该路口的概率（汽车驶出停车线就算通过路口）19．（本题满分14分）如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是梯形，AD//BC，BC=2AD，8AB⊥AC，AB=AC=2，E是BC的中点，四面体P—ABC的体积为.3 Array（1）求异面直线AE与PC所成的角的余弦值；（2）求点D到平面PAB的距离；20．（本小题满分14分）已知函数14)(234-+-=ax x x x f 在区间[0，1]上单调递增，在区间[1，2]上单调递 减.（1）求a 的值；（2）是否存在实数b ，使得函数1)(2-=bx x g 的图象与函数)(x f 的图象恰有2个交点，若存在，求出实数b 的值；若不存在，试说明理由.21．（本题满分14分如图，设F 1，F 2分别是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，P 为双曲线上一点，PF 2⊥F 1F 2，连接PF 1，分别与双曲线的两渐近线交于点A ，B ，且︒=∠6021PF F . （1）求双曲线的离心率；（2）若线段AB 的长度为64，求双曲线的方程.数学（文）参考答案一、选择题：本大题有10个小题，每小题5分，共50分.1.D2.B3.A4.B5.B6.C7.A8.C9.B 10.B 二、填空题：本大题有5个小题，每小题4分，共20分.11．0，2，－2 12．80 13．325-=+x y 14．153 15．③④ 三、解答题：本大题有6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16．（本题满分12分） （1）23)32(2sin 21232cos 23)(-+=+-=πx x x x f …………………3分 ∴函数的值域是：]231,231[---……………………5分 （2）（法一） 232123sin 21cos 23)2(-=-+=αααf ………………6分 21sin 21cos 23=+∴αα 又：1cos sin 22=+αα 01s i ns i n 22=--∴αα………………7分 解得21sin 1sin -==αα或………………10分 1sin 0sin ),0(=∴>∴∈a απα ………………12分（法二）232123sin 21cos 23)2(-=-+=αααf 21sin 21cos 23=+∴αα 即：2,653),,0(21)3sin(παππαπαπα==+∴∈=+…………10分 则：1sin =α17．（本题满分12分）解：（1）由 ,3,2,1,31,111===+n S a a n n ，得 ,313131112===a S a ……………………1分 ,94)(31312123=+==a a S a ……………………2分由),2(34),2(31)(31111≥=≥=-=-+-+n a a n a S S a a n n n n n n n 得…………5分又312=a ， 所以)2()34(312≥=-n a n n ，……………………6分∴数列}{n a 的通项公式为⎪⎩⎪⎨⎧≥==-2)34(31112n n a n n ；………………7分（2）由（1）可知n a a a 242,,, 是首项为,31公比为2)34(，项数为n 的等比数列，=++++∴na a a a 2642 ]1)34[(73)34(1)34(131222-=--⨯n n ………12分18．（本题满分14分）解：（1）前4辆恰有2辆左转行驶的概率278)31()32(22241=⨯=C P …………7分 （2）该车在第一次绿灯亮起时的1分钟内通过该路口的概率2716)31()32()32(3344442=⨯+=C C P ……………………14分19．（本题满分14分）（1）由已知.4,38213131=∴=⋅⋅⋅=⋅=∆-PA PA AC BA PA S V ABC BAC P …………2分 如图所示，以A 点为原点建立空间直角坐标系o —xyz ，则B （2，0，0），C （0，2，0），P （0，0，4），故E （1，1，0）…………4分)4,2,0(),0,1,1(-==PC AE ，10102022||||,cos =⨯=⋅>=<PC AE ………………7分 （2）平面PBA 的单位法向量).0,1,0(0±=n …………8分).0,1,1(,45,2||21||-=∴︒=∠==CAD ∴点D 到平面PBA 的距离为.1||0=⋅n ………………14分（解法二）：（1）由已知.4,38213131=∴=⋅⋅⋅=⋅=∆-PA PA AC BA PA S V ABC BAC P …………2分 在平面ABCD 内，由已知有：CD//EA ，则PCD ∠（或其补角）就是异面直线AE 与 PC 所成的角……………………4分在△PCD 中，CD=2，PC=20，PD=18，由余弦定理得，1010cos =∠PCD ……………………7分（2）∵PA ⊥平面ABCD ，PA ⊂平面PBA ABCD PBA 平面平面⊥∴在平面ABCD 内，过D 作DK ⊥BA ，交BA 延长线于K ，则DK ⊥平面PBA∴DK 的长就是点D 到平面PBA 的距离.……………………10分145sin ,,221,22=︒=∆==∴=DA DK DKA BC AD BC 在 ∴点D 到平面PBA 的距离为1.……………………14分（说明）①本题还可以用等体积法来求。

2024学年福建省安溪第八中学高三数学第一学期期末学业质量监测试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知复数z 满足()1i +z =2i ，则z =（ ）A ．2B ．1C ．22D ．122．已知四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的正方形，5PA =，E 为PC 的中点，则异面直线BE 与PD 所成角的余弦值为（ ） A ．1339-B ．1339C ．155-D ．1553．甲乙丙丁四人中，甲说：我年纪最大，乙说：我年纪最大，丙说：乙年纪最大，丁说：我不是年纪最大的，若这四人中只有一个人说的是真话，则年纪最大的是（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁4．已知i 是虚数单位，若z211i i=+-，则||z =（ ） A ．2B ．2C ．10D ．105．在很多地铁的车厢里，顶部的扶手是一根漂亮的弯管，如下图所示．将弯管形状近似地看成是圆弧，已知弯管向外的最大突出(图中CD )有15cm ，跨接了6个坐位的宽度(AB )，每个座位宽度为43cm ，估计弯管的长度，下面的结果中最接近真实值的是（ ）A ．250cmB ．260cmC ．295cmD ．305cm6．已知函数()(0x f x m m m =->，且1)m ≠的图象经过第一、二、四象限，则|2)|a f =，384b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，|(0)|c f =的大小关系为( )A ．c b a <<B ．c a b <<C ．a b c <<D ．b a c <<7．已知复数z 满足(3)1i z i +=+，则z 的虚部为（ ） A ．i - B ．iC ．–1D ．18．抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形面积为，则的值为 ( )A ．B ．C ．D ．9．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的一条渐近线的倾斜角为θ，且5cos 5θ=，则该双曲线的离心率为（ ）A ．5B ．52C ．2D ．410．将函数()sin 2f x x =的图象向左平移02πϕϕ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭个单位长度，得到的函数为偶函数，则ϕ的值为（ ） A ．12π B ．6π C ．3π D ．4π 11．已知集合(){}*,|4,M x y x y x y N =+<∈、，则集合M 的非空子集个数是（ ）A ．2B ．3C ．7D ．812．已知，都是偶函数，且在上单调递增，设函数，若，则（ ）A ．且B ．且C ．且D ．且二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

福建省泉州市安溪八中2025届高考冲刺模拟数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知抛物线2:4C y x =和点(2,0)D ，直线2x ty =-与抛物线C 交于不同两点A ，B ，直线BD 与抛物线C 交于另一点E ．给出以下判断：①以BE 为直径的圆与抛物线准线相离；②直线OB 与直线OE 的斜率乘积为2-；③设过点A ，B ，E 的圆的圆心坐标为(,)a b ，半径为r ，则224a r -=．其中，所有正确判断的序号是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③ 2．某工厂只生产口罩、抽纸和棉签，如图是该工厂2017年至2019年各产量的百分比堆积图（例如：2017年该工厂口罩、抽纸、棉签产量分别占40%、27%、33%），根据该图，以下结论一定正确的是（ ）A ．2019年该工厂的棉签产量最少B ．这三年中每年抽纸的产量相差不明显C ．三年累计下来产量最多的是口罩D ．口罩的产量逐年增加3．已知我市某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图和如图所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用分层抽样的方法抽取30%的户主进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为A ．240，18B ．200，20C ．240，20D ．200，18 4．函数()22x f x a x=--的一个零点在区间()1,2内，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()1,3B ．()1,2C ．()0,3D ．()0,2 5．已知数列{}n a 的通项公式是221sin 2n n a n π+⎛⎫= ⎪⎝⎭，则12312a a a a +++⋅⋅⋅+=（ ） A ．0 B ．55 C ．66 D ．786．已知m ，n 是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题中错误的是（ ）A ．若m //α，α//β，则m //β或m β⊂B ．若m //n ，m //α，n α⊄，则n //αC ．若m n ⊥，m α⊥，n β⊥，则αβ⊥D ．若m n ⊥，m α⊥，则n //α7．若a R ∈，则“3a =”是“()51x ax +的展开式中3x 项的系数为90”的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 8．如图所示，正方体1111ABCD A B C D -的棱AB ，11A D 的中点分别为E ，F ，则直线EF 与平面11AA D D 所成角的正弦值为（ ）A ．55B ．306C ．66D ．2559．某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的外接球表面积为( )A ．12πB ．16πC ．24πD ．48π 10．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，148AB AA ==，.若EF ，分别是棱1BB CC，上的点，且1BE B E =，1114C F CC =，则异面直线1A E 与AF 所成角的余弦值为（ ）A ．210B 26C 13D 13 11．胡夫金字塔是底面为正方形的锥体，四个侧面都是相同的等腰三角形．研究发现，该金字塔底面周长除以2倍的塔高，恰好为祖冲之发现的密率355113≈π．设胡夫金字塔的高为h ，假如对胡夫金字塔进行亮化，沿其侧棱和底边布设单条灯带，则需要灯带的总长度约为A ．24(4)h 2π+πB ．216(2h π+π+C ．2(8421)h π+π+D ．2(2216)h π+π+12．过抛物线22(0)y px p =>的焦点作直线交抛物线于A B ，两点，若线段AB 中点的横坐标为3，且8AB =，则抛物线的方程是( )A ．22y x =B ．24y x =C ．28y x =D ．210y x =二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年福建省高考理科数学仿真模拟试题（附答案）（满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 集合A= {*∈-N x x x ,0<72},则B={A y N yy ∈*∈,6|}的子集个数是（ ） A.4 个 B.8 个 C.16 个 D.32 个2. 某食品的广告词为:“幸福的人们都拥有”，初听起来，这似乎只是普通的赞美说词，然而它的实际效果却大着呢，原来这句话的等价命题是（ ）A.不拥有的人们不一定幸福B.不拥有的人们可能幸福C.拥有的人们不一定幸福D.不拥有的人们不幸福3. 已知各项为正数的等比数列{}n a 满足11a =，2416a a =，则6a =（ ） A. 64B. 32C. 16D. 44. 欧拉公式cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，根据欧拉公式可知，4i i e eππ表示的复数在复平面中位于（ ） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限5. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，公差2d =，1a ，3a ，4a 成等比数列，则8S =（ ） A. -20B. -18C. -10D. -86. 如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是( )A.16B.2524C.34D.11127．直线 m,n 和平面βα, 则下列命题中，正确的是（ ）A ．m ∥n, m αβα⇒⊆⊆n ,∥βB ．m αβα⇒⊆⊥⊥n n m ,,∥β C.m ∥n,n ,β⊥m βαα⊥⇒⊆ D.m ∥n,m βαβα⊥⇒⊥⊥n , 8．已知函数()sin()(,0)4f x x x πωω=+∈>R 的最小正周期为π，为了得到函数()cos()4g x x πω=+的图象，只要将()y f x =的图象（ ）A ．向左平移8π个单位长度B ．向右平移8π个单位长度C ．向左平移4π个单位长度D ．向右平移4π个单位长度9. 下图是某几何体的三视图，其中网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（ ）A. 12B. 15C.D.10. 在平面区域，内任取一点，则存在，使得点的坐标满足的概率为（ ）A.B.C.D.11. 已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，在对角线1A D 上取点M ，在1CD 上取点N ，使得线段MN 平行于对角面11A ACC ，则||MN 的最小值为（ ） A. 1D.312. 已知函数()ln 2f x a x x =-+（a 为大于1的整数），若()y f x =与(())y f f x =的值域相同，则a 的最小值是（ ）（参考数据：ln20.6931≈，ln3 1.0986≈，ln5 1.6094≈） A. 5 B. 6C. 7D. 8二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

（考试时间：120分钟 试卷满分：150福建省安溪第八中学2024-2025学年高三上学期8月数学试题分）第I 卷（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．设集合2{|40}A x x =− ，{|02}B x x b =< ，且{|24}A B x x = ，则(b = ) A ．6−B ．8−C ．8D ．62．已知复数z 满足20233iz i z +=+，则(z = ) A ．1i +B ．1i −C ．12i +D ．12i −3．已知向量24(3,sin )3a log π=，3(8,)b log m = ，若a b ⊥ ，则(m = )A．−B．C．D．4．如表统计了2017年~2022年我国的新生儿数量（单位：万人）．经研究发现新生儿数量与年份代码之间满足线性相关关系，且ˆˆ156.66y x a=−+，据此预测2023年新生儿数量约为（精确到0.1)（参考数据：617929)(i i y ==∑)A ．773.2万B ．791.1万C ．800.2万D ．821.1万5．若过点2(2,)P a a 可作3条直线与曲线3()f x x =相切，则a 的取值范围为( ) A ．(0,8) B ．1(,)8+∞C ．1(,0)(0,)8−∞D ．(−∞，0)(8∪，)+∞6．设函数3()f x x x =−，正实数a ，b 满足f （a ）f +（b ）2b =−，若221a b λ+ ，则实数λ的最大值为( )A ．2+B ．4C ．2+D ．7．若α，β为锐角，且4παβ+=，则tan tan αβ+的最小值为( )A ．2−B 1−C ．2−D 1−8．已知圆22:1C x y +=，椭圆22:143x y Γ+=，过C 上任意一点P 作圆C 的切线l ，交Γ于A ，B 两点，过A ，B 分别作椭圆Γ的切线，两切线交于点Q ，则||(OQ O 为坐标原点）的最大值为( ) A ．16B ．8C ．4D ．2二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 作直线l ，交抛物线于A ，B 两点，若||3||FA FB =，则直线l 的倾斜角可能为( ) A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°10．函数32()1f x x ax x =−−+，则下列结论正确的是( ) A ．若函数()f x 在11(,)23−上为减函数，则114a −B ．若函数()f x 的对称中心为(1,2)−，则32a =C ．当3a =时，若()2f x =−有三个根1x ，2x ，3x ，且1233x x x ++=D ．当1a =时，若过点(1,)n −可作曲线()y f x =的三条切线，则64027n <<11．已知实数x ，y ，满足2227x y xy ++=，则下列说法正确的是( )A ．x y +B ．1xy −C ．226x y +−D ．2228x y +− 第II 卷（非选择题92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．92)x展开式中的常数项为 ．13．已知0a >，0b >，21a b +=，则212b a ab++的最小值为 ． 14．设()f x 是定义在R 上的单调增函数，且满足(1)()7f x f x −−+=−，若对于任意非零实数x 都有11[()2]4()3f f x x f x x+−−+=−+，则(2024)f = ．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）在ABC ∆中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且222222()2a b c a R a a c b +−−=+−，其中R 是三角形外接圆半径，且A 不为直角． （1）若6B π=，求A 的大小；（2）求2222a c b −的最小值．16．（本小题满分15分）已知各项均为正数的数列{}n a 满足11a =，221132n n n n a a a a ++=+． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若n a ，,2nn b na 成等差数列，求数列{}n b 的前n 项和n S ．17．（本小题满分15分）面试是求职者进入职场的一个重要关口，也是机构招聘员工的重要环节．某科技企业招聘员工，首先要进行笔试，笔试达标者进入面试，面试环节要求应聘者回答3个问题，第一题考查对公司的了解，答对得2分，答错不得分，第二题和第三题均考查专业知识，每道题答对得4分，答错不得分．（1）若一共有100人应聘，他们的笔试得分X 服从正态分布(60,144)N ，规定72X 为达标，求进入面试环节的人数大约为多少（结果四舍五入保留整数）； （2）某进入面试的应聘者第一题答对的概率为23，后两题答对的概率均为45，每道题是否答对互不影响，求该应聘者的面试成绩Y 的数学期望．附：若~(X N µ，2)(0)σσ>，则()0.683P X µσµσ−<<+≈，(22)0.954P X µσµσ−<<+≈，(33)0.997P X µσµσ−<<+≈．18．（本小题满分17分）我国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍(ch ú)甍(m éng )者，下有袤有广，而上有袤无广．刍，草也．甍，窟盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．刍甍的字面意思为茅草屋顶．”现有一个“刍甍”如图所示，四边形ABCD 为矩形，四边形ABFE 、CDEF 为两个全等的等腰梯形，//EF AB ，4AB =，2EF AD ==，P 是线段AD 上一点．（1）若点P 是线段AD 上靠近点A 的三等分点，Q 为线段CF 上一点，且25FQ FC =，证明：//PF 平面BDQ ；（2）若E 到平面ABCD 的距离为32，PF 与平面BCF 所成角的正，求AP 的长．19．（本小题满分17分）已知函数2()()()(,)x f x x a x b e a b R =−−∈． （1）当1a =，2b =时，求函数()f x 的单调区间； （2）若x a =是()f x 的一个极大值点，求b 的取值范围；（3）令()()x g x e f x −=且()a b <，1x ，2x 是()g x 的两个极值点，3x 是()g x 的一个零点，且1x ，2x ，3x 互不相等．问是否存在实数4x ，使得1x ，2x ，3x ，4x 按照某种顺序排列后构成等差数列，若存在求出4x ，若不存在说明理由．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的福建省安溪第八中学2024-2025学年高三上学期8月数学试题答案．1．【解答】解：由240x − ，可得2x − 或2x ，即{|2A x x =− 或2}x ，{|02}{|0}2bB x x b x x =<=< ，{|24}A B x x = ，∴42b=，可得8b =．故选：C ． 2．【解答】解：因为202321011121011()i i i i i ×+==⋅=−，由20233iz i z +=+，所以(1)3i z i −=+， 即223(3)(1)3324121(1)(1)12i i i i i i i z i i i i i +++++++=====+−−+−，则12z i =−．故选：D ．3．【解答】解：因为a b ⊥ ，量24(3,sin )3a log π=，3(8,)b log m = ，所以0a b ⋅= ，即23438sin 03log log m π×+=，所以280log −=，解得m =C ． 4．【解答】解：由题意得 3.5x =，79291321.56y ==，所以ˆ156.66 3.51321.5548.311869.81a y =+×=+=，所以ˆ156.661869.81yx =−+， 当7x =时，ˆ156.6671869.81773.19773.2y =−×+=≈．故选：A ．【点评】本题主要考查线性回归方程，考查运算求解能力，属于基础题． 5．【解答】解：设过点P 的直线与曲线3()f x x =相切于点3(,)Q t t ，则()PQ f t k ′=，其中PQ k 表示直线PQ 的斜率，即32232t a t t a−=−，整理，得322260t at a −+=．过点P 可作3条直线与曲线()f x 相切等价于方程322260t at a −+=有3个不同的实数根．设322()26g t t at a =−+，则2()612g t t at ′=−．由()0g t ′=，得0t =或2t a =，易知0t =和2t a =是()g t 的两个极值点．方程322260t at a −+=有3个不同的实数根，即()g t 有3个不同的零点， 所以(0)(2)0g g a <，即223(8)0a a a −<，解得18a >．故选：B ．6．【解答】解：因为3()f x x x =−，所以f （a ）3a a =−，f （b ）3b b =−， 又f （a ）f +（b ）2b =−，所以332a a b b b −+−=−，即33a b a b +=−，因为0a >，0b >，所以330a b +>，所以0a b >>，所以331a b a b+=−，又221a b λ+ ，即3322a b a b a b λ++− ，所以322b a b b a b λ+− ，所以22221()1a b a b a ab b bλ++=−− ， 令a t b =，则1t >，所以2221()112211111a t t b t a t t t b ++−+===++−−−−2(1)2221t t =−+++=+− ，当且仅当211t t −=−，即1t =+时取等号，所以222()1)min b a ab b +=+−，所以2λ+ ，则实数λ的最大值为2+．故选：A ． 7．【解答】解：已知α，β为锐角，且4παβ+=，则tan tan tan()11tan tan αβαβαβ++==−，即1tan tan tan tan αβαβ−=+，所以(1tan )(1tan )1tan tan tan tan 1(1tan tan )tan tan 2αβαβαβαβαβ++=+++=+−+=， 又21tan 1tan (1tan )(1tan )()2αβαβ+++++ ，即2(tan tan 2)24αβ++，得2(tan tan 2)8αβ++ ， 显然tan tan 20αβ++>，所以tan tan 2αβ++，当且仅当tan tan 1αβ==−时等号成立，所以tan tan αβ+的最小值为2−．故选：A ．8．【解答】解：1(Q x ，1)y ，2(P x ，2)y ，其中P 为圆22:1C x y +=的切点，则根据导数及同解方程原理易得：直线AB 的方程为11143x yx y ⋅+⋅=①， 又过圆22:1C x y +=上点P 的切线AB 方程为221x x y y +=②， 由①②可得124x x =，123y y =，P ∴为1(4x ，1)3y，又点P 在圆22:1C x y +=上， ∴2211()()143x y +=，∴点Q 的轨迹方程为221169x y +=，即Q 的轨迹为长轴长为28a =的椭圆， ||OQ ∴的最大值为4a =，故选：C ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．【解答】解：当l 的倾斜角为锐角时，如图所示，由抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，准线方程为2px =−， 分别过A ，B 作准线的垂线，垂足为A ′，B ′，直线l 交准线于C ，作BM AA ′⊥，垂足为M ， 则||||AA AF ′=，||||BB BF ′=，||3||FA FB =， 所以||2||AM BF =，||4||2||AB BF AM ==， 所以在Rt ABM ∆中，30ABM ∠=°，则l 的倾斜角60AFx ∠=°，同理可得当直线l 的倾斜角为钝角时，其大小为120°．所以直线的倾斜角为60°或120°．故选：BC ．10．【解答】解：对于A ，32()1f x x ax x =−−+，2()321f x x ax ∴′=−−， 函数()f x 在11(,)23−上为减函数，则()0f x ′ ，对11(,)23x ∀∈−，所以13()1024112()10333f a f a ′−=+−′=−− ，解得114a − ，故A 正确； 对于B ，函数()f x 的对称中心为(1,2)−，则(0)f f +（2）4=−， 即184214a +−−+=−，解得3a =，故B 错误；对于C ，当3a =时，32()31f x x x x =−−+，则()2f x =−，即32330x x x −−+=，化简得(1)(1)(3)0x x x +−−=，其3个根为11x =−，21x =，33x =，所以1233x x x ++=，故C 正确； 对于D ，当1a =时，32()1f x x x x =−−+，设切点为0(x ，0)y ，则3200001y x x x =−−+，切线的斜率2000()321k f x x x =′=−−，则切线方程为30020000(1)(3221)()y x x x x x x x −−−+=−−−，将点(1,)n −代入上式，整理得320002222n x x x =−−++，过点(1,)n −可作曲线()y f x =的三条切线，即方程300022222n x x x =−−++有三个不同的解，令32()2222g x x x x =−−++，则2()6422(1)(31)g x x x x x ′=−−+=−+−， 当(,1)x ∈−∞−时，()0g x ′<，函数()g x 单调递减， 当1(1,)3x ∈−时，()0g x ′>，函数()g x 单调递增，当1(,)3x ∈+∞时，()0g x ′<，函数()g x 单调递减，所以函数()g x 在1x =−处取得极小值，极小值为(1)0g −=， 1164由方程320002222n x x x =−−++有三个不同的解，所以64027n <<，故D 正确．故选：ACD ． 11．【解答】解：设x y t +=，代入2227x y xy ++=得，22()2()7t y y t y y −++−=， 化简得22270y ty t −+−=，所以△228(7)0t t =−− ，解得t − ，∴x y + A 正确；当0x >，0y >时，由2227x y xy ++=，得2227x y xy +=−，∴7xy − ，解得1xy − ，当且仅当24x =，2y =B 正确；由2227x y xy ++=，得x =时，0y =，227x y ∴+=，解得2276x y +=>−C 错；由2227x y xy ++=，得2272xy x y =−−，22222722x y x y xy x +−−==，解得2228x y +− 当且仅当24x =，2y =时取等号，选项D 正确．故选：ABD ．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．【解答】解：92)x −展开式中的常数项为91992()2r r r r r T C C x−+=−=932(1)rr r x−×−930r −=可得3r =此时常数项为33492(1)672T C =×−=−故答案为：672− 13．【解答】解：0a > ，0b >，21a b +=，102ab−∴=>， 则2111112521222b a b a a b ab a b ab a b ab a b ++−+=++=++=+−521()(2)22a b a b =++−256a bb a =++66+=+ ．当且仅当b =a =时取等号，所以212b a ab++3+3．14．【解答】解：令11()2()3t f x x f x x =+−−++，则()4f t =−，令x t =，则111()2412t f t t t =+−−+=−−−−+，解得1t =−或12−．而(1)()7f x f x −−+=−，故17()22f −=−．因此1t =−．则111()2()3f x x f x x−=+−−++，即1111()3()3,()3()3()3(()3)f x xf x x f x x f x x x f x x f x +−++=++−=−=+++， 因此()30f x x +−=或(()3)1x f x +=， 当(()3)1x f x +=时，1()3f x x=−，在(0,)+∞上单调递减，不满足题意，舍去； 当()3f x x =−时，满足题意． 则(2024)2021f =．故答案为：2021．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）【解答】解：（1）由余弦定理可得2cos 22cos a bc AR a ac B⋅−=，可得2cos cos cos R B a B b A −=，再由正弦定理可得2sin a R A =，2sin b R B =， 所以cos sin cos sin cos sin()B A B B A A B =+=+， 在三角形中，可得2A B B π+=−，而6B π=，可得6A π=；（2）由（1）可得cos sin()sin B A B C =+=， 在三角形中，可得sin()sin 2B C π−=或sin()sin 2B C π+=，即2B C π−=，即2B C π+=2A π=，与A 角不是直角矛盾， 或2B C π+=，可得22A B C B ππ=−−=−，所以22222222242222222222222(12)87118sin 777a c sin A sin C cos B sin C sin B cos B sin B sin B B b sin B sin B sin B sin B sin B −−−−−−+====+−= ，当且仅当48sin 1B =时取等号，即sin B =时取等号，所以2222a c b−的最小值为7−． 16．（本小题满分15分）【解答】解：（1）由22113n n n n a a a a ++=+，得11()(3)0n n n n a a a a +++−=， 0n a > ，10n n a a +∴+>，所以13n n a a +=，又知11a =，所以{}n a 是以1为首项，3为公比的等比数列，故数列{}n a 的通项公式为13n n a −=； （2）由,,2nn n b a na 成等差数列可知，nn n b a na =+，所以11133(1)3n n n n b n n −−−=+⋅=+⋅，所以0121233343(1)3n n S n −=×+×+×+++⋅ ，①1233233343(1)3n n S n =×+×+×+++⋅ ，②由①−②，得1213(13)21122333(1)32(1)331322n n nn n n n S n n −−−+−=++++−+⋅=+−+⋅=−⋅+− ，故211344n n n S +=⋅−．17．（本小题满分15分）【解答】解：（1）X 服从正态分布(60,144)N ，∴10.683(72)0.15852P X −≈= ． 进入面试环节的人数~(100,0.1585)Z B ，()1000.158516E Z =×≈． ∴进入面试环节的人数大约为16．（2）根据题意，Y 的所有可能取值为0，2，4，6，8，10， 则2111(0)()3575P Y ==×=；2212(2)()3575P Y ==×=； 121418(4)35575P Y C ==×××=；1224116(6)35575P Y C ==×××=； 21416(8)()3575P Y ==×=；22432(10)()3575P Y ==×=．∴1281632116()0246810757575757515E Y =×+×+×+×+×=． 18．（本小题满分17分）【解答】解：（1）证明：四边形ABCD 为矩形，四边形ABFE 、CDEF 为两个全等的等腰梯形， //EF AB ，4AB =，2EFAD ==，P 是线段AD 上一点， 点P 是线段AD 上靠近点A 的三等分点，Q 为线段CF 上一点，且25FQ FC =，连接CP 交BD 于点H ，连接HQ ， //AD BC ，且23PD AD =，∴23PH PD PD HC BC AD ===， 25FQ FC = ，∴23FQ QC =，∴FQ PHQC HC =，//PF HQ ∴， HQ ⊂ 平面BDQ ，PF ⊂/平面BDQ ， //PF ∴平面BDQ ．（2）分别取AD ，BC 的中点I ，J ，连接EI ，IJ ，FJ ，则//IJ AB ，且IJ AB =， 四边形ABFE 与四边形CDEF 为全等的等腰梯形，EA ED FE FC ∴===，四边形EIJF 为等腰梯形，且//EF IJ ，1122EFAB IJ ==， EI AD ⊥，FJ BC ⊥，//AD BC ，FJ AD ∴⊥， EI ，FJ ⊂平面EIJF ，且EI ，FJ 为两条相交直线， AD ∴⊥平面EIJF ，∴平面ABCD ⊥平面EIJF ．过E 在平面EIJF 内作IJ 的垂线，垂足为M ，则EM ⊥平面ABCD ， 32EM =，1()12IM IJ EF =−=． 过M 作//MK AD ，易得MK ，MJ ，ME 两两垂直，以M 为坐标原点，MK ，MJ ，ME 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图，则3(0,2,)2F ，(1B ，3，0)，(1C −，3，0)，设(P a ，1−，0)(11)a − ，∴3(,3,)2PF a − ，3(1,1,)2FB =− ，3(1,1,)2FC =−− ．设平面BCF 的一个法向量(,)n x y =，则00n FB n FC ⋅= ⋅=，即302302x y z x y z +−= −+−=，令2z =，解得0x =，3y =，∴(0,3,2)n = ， 设PF 与平面BCF 所成角的大小为θ， E 到平面ABCD 的距离为32，PF 与平面BCF，∴则||sin |cos ,|||||PF n PF n PF n θ⋅=<>==⋅，解得a =∴1AP =−，或1AP =+．19．（本小题满分17分）【解答】解：（1）由2()()()x f x x a x b e =−−得2()()[(3)2]x f x x a x a b x ab b a e ′=−+−−+−−， 当1a =，2b =时，()(1)(x f x x x x e ′=−+，令()0f x ′=，解得1x =，21x =，3x =， 所以当(,x ∈−∞或x ∈时，()0f x ′<，当(x ∈或)x ∈+∞时，()0f x ′>，所以()f x的单调递减区间为(,−∞，，单调递增区间为(，)+∞． （2）函数()f x 的定义域为R ，且2()()[(3)2]x f x x a x a b x ab b a e ′=−+−−+−−，令2()(3)2h x x a b x ab b a =+−−+−−，则△22(3)4(2)(1)80a b ab b a a b =−−−−−=−++>． 所以()h x 有两个不等实根1x ，2x ，不妨设12x x <．①当1x a =或2x a =时，x a =不是()f x 的极值点，此时不合题意；②当1x a >时，则x a <或12x x x <<时()0f x ′<，当1a x x <<或2x x >时()0f x ′>， 所以()f x 在(,)a −∞，1(x ，2)x 上单调递减，在1(,)a x ，2(x ，)+∞上单调递增， 所以x a =不是()f x 的极大值点，③当2x a <时，则x a >或12x x x <<时()0f x ′>，当2x x a <<或1x x <时()0f x ′<， 所以()f x 在(,)a +∞，1(x ，2)x 上单调递增，在2(x ，)a ，1(,)x −∞上单调递减， 所以x a =不是()f x 的极大值点，④当12x a x <<时，则2x x >或1x x a <<时()0f x ′>，当2a x x <<或1x x <时()0f x ′<， 所以()f x 在2(x ，)+∞，1(x ，)a 上单调递增，在2(,)a x ，1(,)x −∞上单调递减， 所以x a =是()f x 的极大值点．所以h （a ）0<，即2(3)20a a b a ab b a +−−+−−<， 所以b a >，所以b 的取值范围(,)a +∞．（3）由2()()()()x g x e f x x a x b −==−−，知2()3()()3a bg x x a x +′=−−， 由a b <，故23a ba +<， 所以当x a <或23a b x +>时()0g x ′>，当23a ba x +<<时()0g x ′<， 所以()g x 在(,)a −∞，2(,)3a b ++∞上单调递增，在2(,)3a ba +上单调递减， 不妨设()g x 的两个极值点分别为1x a =，223a bx +=． 因为1x ，2x ，3x 互不相等，3x 是()g x 的一个零点，所以3x b =， 所以222222()3333a b b a b a a ba b +−−+−==×=−， 所以存在124242232263a ba x x ab a b x +++++====，使1x ，4x ，2x ，3x 成等差数列，即存在实数4x ，使得1x ，2x ，3x ，4x 按照某种顺序排列后构成等差数列，且423a bx +=．。

2020年普通高等学校招生全国统一考试福建模拟卷（1）数学试题（文史类）试卷组稿：福建省安溪第八中学 楚留香（362402）前言：教学离不开评价，评价离不开试卷。

一份好的试卷不仅可以帮助学生巩固所学知识，轻松掌握重点、攻克难点、化解疑点，还使考试成为学生展示才华的舞台，成为学生旅途中的一个加油站，成为学生生命成长过程中的一种美丽的体验。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设2{|1},{|4}M x x N x x =<=<，则M N =I （ ）A ．{|12}x x -<<B ．{|31}x x -<<-C ．{|14}x x <<-D ．{|21}x x -<<2. 已知i 为虚数单位, 则复数z =i (2+i )在复平面内对应的点位于 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3. 设等差数列{}n a 的前n 项和为35789,9,20,n S S S a a a ==++=若则（ ）A ．63B ．45C ．36D ．274. 已知向量(,1),(4,)a n b n ==r r，则2n =是//a b r r （ ），A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不要必条件5. 已知函数f(x)＝sin(3πω+x )(0>ω)的最小正周期为π，则该函数的图象（ ）A. 关于点（3π，0）对称B. 关于直线x ＝4π对称 C. 关于点（4π，0）对称 D. 关于直线x ＝3π对称 6. 设m 、n 表示不同直线，α、β表示不同平面，下列命题中正确的是 （ ）A. 若m P α，m P n ，则n P αB. 若m ⊂α，n ⊂α，m P β，n P β，则αP βC. 若α⊥β，m ⊥α，m ⊥n ，则n P βD. 若α⊥β， m ⊥α，n P m ，n ⊄β，则n P β 7. 下列结论错误的．．．是 （ ）A ．命题“若p ，则q ”与命题“若,q ⌝则p ⌝”互为逆否命题;B ．命题:[0,1],1xp x e ∀∈≥，命题2:,10,q x R x x ∃∈++<则p q ∨为真;0.0050.010.0150.0250.03100908070605040频率／组距分数C ．“若22,am bm <则a b <”的逆命题为真命题;D ．若q p ∨为假命题，则p 、q 均为假命题．8. 函数()ln 2f x x x =+-的零点个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．39. 一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，在包围 该三棱锥的外接球内任取一点，该点落在三棱锥内部的概率为 （ ） A.427π B. 227π C. 49π D. 29π10. 若圆22(1)(1)1x y -++=上总存在两点关于直线20(0,0)ax by a b --=>>对称，则11a b+的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．411. 已知双曲线22221y x a b-=的一个焦点与抛物线24x y =的焦点重合，且双曲线的实轴长是虚轴长的一半，则该双曲线的方程为（ ）A ．225514y x -= B ．22154x y -= C ．22154y x -= D ．225514x y -=12. 图中的阴影部分由底为1，高为1的等腰三角形及高为2和3的两矩形所构成．设函数 ()(0)S S a a =≥是图中阴影部分介于平行 线0y =及y a =之间的那一部分的面积， 则函数()S a 的图象大致为（ ）第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡相应横线上．13. 如图所示的是某班60名同学参加2020年高中数学毕业会考所得成绩（成绩均为整数）整理后画出的频率分布 直方图，根据图中可得出的该班不及格（60分以下）的同 学的人数为442正视图侧视图俯视图14．若变量x 、y 满足2040x y x y y a ++≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，若2x y -的最大值为1-则a =15. 右图所示的程序流程图输出I 的结果是______________ 16. 若对任意,(,)x A y B A R B R ∈∈⊆⊆有唯一确定的(,)f x y与之对应，则称(,)f x y 为关于x ，y 的二元函数，现定义满足 下列性质的(,)f x y 为关于实数x ，y 的广义“距离”： （1）非负性：(,)0f x y ≥，当且仅当x=y 时取等号； （2）对称性：(,)(,);f x y f y x =（3）三角形不等式：(,)(,)(,)f x y f x z f z y ≤+对任意的实数z 均成立。

福建省安溪第八中学2024届高三年5月份质量检测数学试题（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第Ⅰ卷（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1.设复数z 满足(2i)5z +=，则||z =（）A.B.2C.D.3【答案】C 【解析】【分析】利用复数模的运算公式即可得解.【详解】由题意可得：52iz =+，则2i 2i 55z +====+故选：C.2.若α为锐角，4sin 5α=，则πsin 3α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.43310+ B.C.34310+ D.【答案】A 【解析】【分析】根据同角关系得3cos 5α=，即可由和差角公式求解.【详解】α为锐角，4sin 5α=,故3cos 5α=，所以π11434sin sin 322252510ααα+⎛⎫+=+⨯+ ⎪⎝⎭==，故选：A3.已知||2a = ，b = ，|2|2a b -= ，则向量a 与b 的夹角为（）A.π6B.π3C.2π3 D.5π6【答案】A【解析】【分析】首先求出 b ，然后对22a b -= 两边平方即可求出a b ⋅ 的值，然后即可求出cos ,a b 的值，最后得出答案．【详解】因为b = ，所以b ==，又2a =r ，22a b -= ，∴224441244a b a b a b +-⋅=+-⋅= ，解得3⋅= a b ，∴3cos ,2a b a b a b ⋅=== ，且,[0,π]a b ∈ ，∴π,6a b = ，即向量a与b的夹角为π6．故选：A ．4.陀螺是中国民间的娱乐工具之一，早期陀螺的形状由同底的一个圆柱和一个圆锥组合而成．如图，已知一木制陀螺内接于一表面积为64π的球，其中圆柱的两个底面为球的两个截面，圆锥的顶点在该球的球面上，若圆柱的底面直径为）A.48πB.56πC.64πD.72π【答案】B 【解析】【分析】根据题意易得陀螺的外接球半径4R =，球心为圆柱的中心，再利用球的几何性质，分别求出圆柱与圆锥的高，最后根据体积公式，即可求解．【详解】如图：做陀螺的轴截面，则陀螺的轴截面内接于圆O ，设圆O 的半径为R ，圆柱的底面半径为r .由24π64πR =⇒4R =，球心为圆柱的中心，又圆柱的底面半径r =，所以球心到圆柱底面距离2d ==，所以圆柱的高为24d =，圆锥的高为2h R d =-=，所以该陀螺的体积为221π4π23V r r =⨯+⨯48π8π=+56π=.故选：B5.若6a x ⎫⎪⎭的展开式中常数项的系数是15，则=a （）A.2B.1C.1± D.2±【答案】C 【解析】【分析】利用二项展开式的通项化简整理再赋值即可得到关于a 的方程，解出即可.【详解】二项展开式通项为3632166CC ()kkk kk kk a T a x x --+⎛⎫=⋅-=- ⎪⎝⎭则2k =时常数项为226C ()15,1a a -=∴=±．故选：C ．6.已知等差数列{}n a 的公差为d ，数列{}n b 满足()*1n n a b n ⋅=∈N ，则“0d >”是“{}nb 为递减数列”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】利用反例说明充分性不成立，再根据等差数列的性质判断必要性.【详解】因为()*1n n a b n ⋅=∈N，所以0n a ≠且0n b ≠，则1n nb a =，若0d >，不妨令72n a n =-+，则115b =-，213b =-，31b =-，41b =，413b =，L ，显然{}n b 不单调，故充分性不成立，若{}n b 为递减数列，则{}n a 不是常数数列，所以{}n a 单调，若{}n a 单调递减，又1y x=在(),0∞-，()0,∞+上单调递减，则{}n b 为递增数列，矛盾；所以{}n a 单调递增，则0d >，且10a >，其中当10a <，0d >时也不能满足{}n b 为递减数列，故必要性成立，故“0d >”是“{}n b 为递减数列”的必要不充分条件.故选：B7.如图直线l 以及三个不同的点A ，A '，O ，其中∈O l ，设OA a = ，OA b '=，直线l 的一个方向向量的单位向量是e ，下列关于向量运算的方程甲：()()a a e eb b e ea eb e⎧-⋅=-⋅⎪⎨⎪⋅=⋅⎩ ，乙：2()a b a e e +=⋅ ，其中是否可以作为A ，A '关于直线l 对称的充要条件的方程（组），下列说法正确的是（）A.甲乙都可以B.甲可以，乙不可以C.甲不可以，乙可以D.甲乙都不可以【答案】A 【解析】【分析】根据向量线性运算以及投影向量的几何意义分析判断.【详解】对于方程甲：因为()a e e ⋅r r r 、()b e e ⋅r r r为a 、b 在e方向上的投影，可得()()a a e e b b e e -⋅=-⋅r r r r r r r r表示点A ，A '到直线l 的距离相等，则点A ，A '分别在关于直线l 对称的平行线12,l l上，因为a e b e ⋅=⋅r r r r，可得()0a b e -⋅=r r r ，则()a b e -⊥r r r ，且a b OA OA A A ''-=-=r r uu r uuu r uuu r，可得A A l '⊥，所以A ，A '关于直线l 对称，反之也成立，故甲满足；对于乙：在OA A '△中，因为2()a b a e e +=⋅，则l 为边A A '的中线所在的直线，且点A 在直线l 上的投影为A A '的中点，所以A ，A '关于直线l 对称，反之也成立，故乙满足；故选：A.8.如图1，与三角形的一条边以及另外两条边的延长线都相切的圆被称为三角形的旁切圆，旁切圆的圆心被称为三角形的旁心，每个三角形有三个旁心．如图2，已知1F ，2F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，P 是双曲线右支上一点，Q 是12PF F △的一个旁心．直线PQ 与x 轴交于点M，若MQ QP=，则该双曲线的渐近线方程为（）A.12y x =±B.2y =±C.2y x =±D.y =【答案】D 【解析】【分析】根据双曲线的几何性质，角平分线性质，化归转化思想，即可求解．【详解】解：因为Q 是12PF F △的一个旁心，所以2F Q 平分2PF M ∠，所以22F M MQ F PQP==,又PM 平分12F PF ∠，所以1122PF F M PF MF =,所以121222PF PF F M MF PF MF --=，即2222a c PF MF =，所以22MF c a PF ==所以b a ==y =．故选：D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.数列*{}(N )n a n ∈的前n 项和为n S ，若11a =，12,1,n n na n a n a +⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，则下列结论正确的是（）A.32a =B.1012S =C.{}n S 为递增数列 D.21{}n a -为周期数列【答案】BCD 【解析】【分析】根据题意，分别求得1a ，2a ，3a ⋯，得到数列{}n a 构成以4为周期的周期数列，逐项判定，即可求解．【详解】解：由题意，数列{}n a 满足11a =，12,1,n n na n a n a +⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，当1n =时，2122a a ==，当2n =时，32112a a ==，A 错误；当3n =时，4321a a ==；若n 为奇数，则1n +，3n +为偶数，2n +，4n +为奇数，则12n n a a +=，21112n n n a a a ++==，3212n n n a a a ++==，431n n n a a a ++==；若n 为偶数，则1n +，3n +为奇数，2n +，4n +为偶数，则11n n a a +=，2122n n n a a a ++==，3212n n n a a a ++==，432n n n a a a ++==.所以数列{}n a 是以4为周期的周期数列.故1012310S a a a a =++++ ()12349102a a a a a a =+++++12121122⎛⎫=+++++ ⎪⎝⎭12=，B 正确：又由0n a >，故{}n S 递增，C 正确；由上述讨论可知，21{}n a -的项为1，12，1，12⋯，故是周期数列，D 正确．故选：BCD ．10.下列结论中，正确的有（）A.数据4，1，6，2，9，5，8的第60百分位数为5B.若随机变量()2~1,,(2)0.21N P ξσξ≤-=，则(4)0.79P ξ≤=C.已知经验回归方程为ˆˆ 1.8y bx=+，且2,20x y ==，则ˆ9.1b =D.根据分类变量X 与Y 的成对样本数据，计算得到29.632χ=，依据小概率值0.001α=的2χ独立性检验()0.00110.828x =，可判断X 与Y 有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001【答案】BC 【解析】【分析】第60百分位数为第五位数据6，所以选项A 错误：(4)1(2)0.79P P ξξ≤=-≤-=，所以选项B正确；ˆˆ202 1.8,9.1bb =⨯+=，所以选项C 正确；此推断犯错误的概率大于0.001，所以选项D 错误.【详解】解：数据4，1，6，2，9，5，8整理为1，2，4，5，6，8，9，760% 4.2⨯=，则数据4，1，6，2，9，5，8的第60百分位数为第五位数据6，所以选项A 错误：随机变量()2~1,,(2)0.21N P ξσξ≤-=，则(4)1(2)0.79P P ξξ≤=-≤-=，所以选项B 正确；经验回归方程为ˆˆ 1.8y bx=+，且2,20x y ==，则ˆˆ202 1.8,9.1b b =⨯+=，所以选项C 正确；根据分类变量X 与Y 的成对样本数据，计算得到29.632χ=，依据小概率值0.001α=的2χ独立性检验()0.00110.828x =，可判断X 与Y 有关联，此推断犯错误的概率大于0.001，所以选项D 错误.故选：BC ．11.指示函数是一个重要的数学函数，通常用来表示某个条件的成立情况.已知U 为全集且元素个数有限，对于U 的任意一个子集S ，定义集合S 的指示函数()()U 1,1,10,S S x Sx x x S∈⎧=⎨∈⎩ð若,,A B C U ⊆，则（）注：()x Mf x ∈∑表示M 中所有元素x 所对应的函数值()f x 之和（其中M 是()f x 定义域的子集）.A.1()1()AA x Ax Ux x ∈∈<∑∑B.1()1()1()A B A A B x x x ⋂⋃≤≤C.()1()1()1()1()1()A BA B A B x U x Ux x x x x ⋃∈∈=+-∑∑D.()()()11()11()11()1()1()AB C U A B C x Ux Ux Ux x x x x ⋃⋃∈∈∈---=-∑∑∑【答案】BCD 【解析】【分析】根据()1S x 的定义()U 1,10,S x Sx x S ∈⎧=⎨∈⎩ð，即可结合选项逐一求解.【详解】对于A ，由于A U ⊆,所以1()1()1()1(),u AAAAx Ux Ax Ax Ax x x x ∈∈∈∈=+=∑∑∑∑ð故1()1()AAx Ax Ux x ∈∈=∑∑，故A 错误，对于B ，若x A B ∈ ,则1()1,1()1,1()1A B A A B x x x ⋂⋃===，此时满足1()1()1()A B A A B x x x ⋂⋃≤≤，若x A ∈且x B ∉时，1()0,1()1,1()1A B A A B x x x ⋂⋃===，若x B ∈且x A ∉时，1()0,1()0,1()1A B A A B x x x ⋂⋃===，若x A ∉且x B ∉时，1()0,1()0,1()0A B A A B x x x ⋂⋃===，综上可得1()1()1()A B A A B x x x ⋂⋃≤≤，故B 正确，对于C ，()()()()()1()1()1()1()1()1()1()1()1()1()1()1()U U ABABABABABABx Ux A B x B A x x x x x x x x x x x x ∈∈⋂∈⋂+-=+-++-∑∑∑痧()()()()1()1()1()1()1()1()1()1()U ABABA B A Bx A B x A Bx x x x x x x x ∈⋂∈⋃++-++-∑∑ð()()()()()()()1()1()1()1()1()1()1()1()1()1()1()1()0U U U ABABABABABABx A B x A B x A B x B A x x x x x x x x x x x x ∈⋂∈⋃∈⋂∈⋂=+-++-++-+∑∑∑∑ð痧()()1()1()1()1()ABABx A B x x x x ∈⋃=+-∑而()1()1()1()1()U A BA BA B A Bx Ux A Bx A B x A Bx x x x ⋃⋃⋃⋃∈∈⋃∈⋃∈⋃=+=∑∑∑∑ð，由于()()()U 1,10,A B x A Bx x A B ⋃∈⋃⎧=⎨∈⋃⎩ð，所以1()1()1()1()1()A B A B A B x x x x x ⋃+-=故()1()1()1()1()1()A BA B A B x U x Ux x x x x ⋃∈∈=+-∑∑,C 正确，()1()1()1()U UA B C U x Ux Ux A B Cx x x ⋃⋃∈∈∈⋃⋃-=∑∑∑ð,当x A B C ∈⋃⋃时，此时()()()1,1,1A B C x x x 中至少一个为1，所以()()()11()11()11()0A B C x x x ---=，当()x A B C ∉⋃⋃时，此时()()()1,1,1A B C x x x 均为0，所以()()()11()11()11()1A B C x x x ---=，故()()()()()()()()11()11()11()11()11()11()1()UU A B C ABCABCU x Ux x A B C x x x x x x x ⋃⋃∈∈∈⋃⋃---=---=∑∑∑痧,故D 正确，故选：BCD【点睛】关键点点睛：充分利用()1S x 的定义()U 1,10,S x Sx x S∈⎧=⎨∈⎩ð以及()x Mf x ∈∑的定义，由此可得()x A B C ∉⋃⋃时，此时1(),1(),I ()A B C x x x 均为0，x A B C ∈⋃⋃时，此时1(),1(),I ()A B C x x x 中至少一个为1，结合()1S x 的定义化简求解.第Ⅱ卷（非选择题92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.在ABC 中，11,2,cos 4AB AC A ===，则BC =__________.【答案】2【解析】【分析】根据余弦定理即可求解.【详解】由余弦定理可得2BC =,故答案为：213.某快递公司将一个快件从寄件人甲处揽收开始直至送达收件人乙，需要经过5个转运环节，其中第1，2两个环节各有,a b 两种运输方式，第3，4两个环节各有,b c 两种运输方式，第5个环节有,d e 两种运输方式.则快件从甲送到乙恰用到4种运输方式的不同送达方式有__________种.【答案】16【解析】【分析】根据题意，1，2，3，4个环节必须包含,,a b c 三种不同的运输方式，分为若第1，2个环节运输方式相同，和第1，2个环节运输方式不相同两类，分类分步研究可解.【详解】快递从甲送到乙有4种运输方式，且第5个环节从d ，e 两种运输方式中选一种，1，2，3，4个环节必须包含,,a b c 三种不同的运输方式，若第1，2个环节运输方式相同，则只能都选a ，则3，4个环节一个选b ，一个选c ，则有2124⨯⨯=种，若第1，2个环节运输方式不相同，则已经包含,a b 两种运输方式，则3，4个环节一个选b ，一个选c ，或者都选c ，则由2222128412⨯⨯+⨯⨯=+=种，快递从甲送到乙有4种运输方式的运输顺序共有41216+=种.故答案为：16．14.抛物线22(0)x py p =>与椭圆221(0)4x y m m +=>有相同的焦点，12,F F 分别是椭圆的上、下焦点，P是椭圆上的任一点，I 是12PF F △的内心，PI 交y 轴于M ，且2PI IM =，点()()*,n n x y n ∈N是抛物线上在第一象限的点，且在该点处的切线与x 轴的交点为()1,0n x +，若28x =，则2024x =____________．【答案】201912⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】作出辅助线，由正弦定理得到12122PI PF PF IMF MMF ===，根据椭圆定义得到24a c =，从而求出焦点坐标为()0,1±，得到抛物线方程，根据导数几何意义得到24x y =在点(),n n x y 的切线为：22n n x x y y =+，求出12n n x x +=，结合28x =，得到{}n x 是首项16，公比12的等比数列，利用等比数列的通项公式求出答案.【详解】22(0)x py p =>焦点在y 轴上，故椭圆221(0)4x ym m +=>的焦点在y 轴上，故4m >，I 是12PF F △的内心，连接2F I ，则2F I 平分12F F P ∠，在2PF I △中，由正弦定理得222sin sin PI PF PF I PIF =∠∠①，在2MF I ，由正弦定理得222sin sin MIMF MF I MIF =∠∠②，其中22πMIF PIF ∠+∠=，故22sin sin MIF PIF ∠=∠，又22sin sin PF I MF I ∠=∠，式子①与②相除得22PI PF MIMF =，故222PF MF =，同理可得112PI PF IMF M==，121222PF PF F M F M ∴+=+，由椭圆定义可知1224PF PF a +==，122F M F M c +=，24,1a c c ∴=∴=，即焦点坐标为()0,1±，所以抛物线方程为24x y =，12y x '=，故24x y =在(),n n x y 处的切线方程为()12n n n y y x x x -=-，即21122n n n y y x x x -=-，又214n n y x =，故12n n y x x y =-，所以24x y =在点(),n n x y 的切线为：22n n x x y y =+，令212240,2n n n n n n x y x y x x x +⨯====，又1282x x ==，即116x =，所以{}n x 是首项16，公比12的等比数列，202320192024111622x ⎛⎫⎛⎫∴=⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．故答案为：201912⎛⎫ ⎪⎝⎭．【点睛】当已知切点坐标为()00,x y 时，根据导函数的几何意义可得到切线的斜率，再利用()()()000y f x f x x x '-=-求出切线方程；当不知道切点坐标时，要设出切点坐标，结合切点既在函数图象上，又在切线方程上，列出等式，进行求解.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知等差数列{}n a 的公差为2，记数列{}n b 的前n 项和为12,0,2n S b b ==且满足12n n n b S a +=+.（1）证明：数列{}1n b +是等比数列；（2）求数列{}n n a b 的前n 项和n T .【答案】（1）证明见解析；（2）()()213112n nn T nn -⋅+=-+.【解析】【分析】（1）根据通项与前n 项和之间的关系，作差可得132n n b b +=+，即可利用等比数列的定义求解，（2）根据错位相减法求和以及分组求解，结合等差等比数列求和求解.【小问1详解】2n ≥时，()111222n n n n n n n b b S S a a b +---=-+-=+，即132n n b b +=+.又120,2b b ==，也符合2132b b =+，所以1n ≥时，132n n b b +=+，即()1131n n b b ++=+.又1110b +=≠，所以10n b +≠，所以1131n n b b ++=+，所以数列{}1n b +成等比数列.【小问2详解】由（1）易得131n n b -=-.由2112b b a =+可得12a =，所以2n a n =.所以()11231232n n n n a b n n n --=-=⋅-，所以()()0121213233331n n T n n n -=⋅+⋅+⋅++⋅-+ .令01211323333n M n -=⋅+⋅+⋅++⋅ ，则12331323333n M n =⋅+⋅+⋅++⋅ ，所以()()01212131132333333132nn n nnn M n n --⋅+-=-+++++⋅=⋅-=- ，所以()()()21312112n n n T M n n nn -⋅+=-+=-+.16.2023年12月19日至20日，中央农村工作会议在北京召开，习近平主席对“三农”工作作出指示．某地区为响应习近平主席的号召，积极发展特色农业，建设蔬菜大棚．如图所示的七面体ABG CDEHF -是一个放置在地面上的蔬菜大棚钢架，四边形ABCD 是矩形，8AB =m ，4=AD m ，1ED CF ==m ，且ED ，CF 都垂直于平面ABCD ，5GA GB ==m ，HE HF =，平面ABG ⊥平面ABCD ．（1）求点H 到平面ABCD 的距离；（2）求平面BFHG 与平面AGHE 所成锐二面角的余弦值．【答案】（1）4（2）413【解析】【分析】（1）取,AB CD 的中点,M N ，证得平面//ADE 平面MNHG ，得到//AE GH ，再由平面//ABG 平面CDEHG ，证得//AG EH ，得到平行四边形AGHE ，得到GH AE =，求得4HN =，结合⊥HN 平面ABCD ，即可求解；（2）以点N 为原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面BFHG 和平面AGHE 的法向量(1,3,4)n = 和(1,3,4)m =-，结合向量的夹角公式，即可求解.【小问1详解】如图所示，取,AB CD 的中点,M N ，连接,,GM MN HN ，因为GA GB =，可得GM AB ⊥，又因为平面ABG ⊥平面ABCD ，且平面ABG ⋂平面ABCD AB =，GM ⊂平面ABG ，所以GM ⊥平面ABCD ，同理可得：⊥HN 平面ABCD ，因为ED ⊥平面ABCD ，所以//ED HN ，又因为ED ⊄平面MNHG ，HN ⊂平面MNHG ，所以//ED 平面MNHG ，因为//MN AD ，且AD ⊄平面MNHG ，MN ⊂平面MNHG ，所以//AD 平面MNHG ，又因为AD DE D ⋂=，且,AD DE ⊂平面ADE ，所以平面//ADE 平面MNHG ，因为平面AEHG 与平面ADE 和平面MNHG 分别交于,AE GH ，可得//AE GH ，又由//GM HN ，//AB CD ，且AB GM M = 和CD HN N = ，所以平面//ABG 平面CDEHG ，因为平面AEHG 与平面ABG 和平面CDEHF 分别交于,AG EH ，所以//AG EH ，可得四边形AGHE 为平行四边形，所以GH AE =，因为AE ===，所以GH =在直角AMG，可得3GM ===，在直角梯形GMNH中，可得34HN =+=，因为⊥HN 平面ABCD ，所以点H 到平面ABCD 的距离为4.【小问2详解】解：以点N 为原点，以,,NM NC NH 所在的直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则(0,4,1),(0,4,1),(4,0,3),(0,0,4)E F G H -，可得(0,4,3),(0,4,3),(4,0,1)HE HF HG =--=-=-，设平面BFHG 的法向量为(,,)n x y z = ，则40430n HG x z n HF y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，取4z =，可得1,3x y ==，所以(1,3,4)n =，设平面AGHE 的法向量为(,,)m a b c = ，则40430m HG a c m HE b c ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=--=⎪⎩，取4c =，可得1,3a b ==-，所以(1,3,4)m =-，则4cos ,13m nm n m n ⋅===，即平面BFHG 与平面AGHE 所成锐二面角的余弦值413.17.定义两组数据1u ，2(1,2,,)v i n = 的“斯皮尔曼系数”为变量i u 在该组数据中的排名1x 和变量i v 在该组数据中的排名1y 的样本相关系数，记为ρ，其中()()221611ni i i x y n n ρ==---∑．某校15名学生的数学成绩的排名与知识竞赛成绩的排名如下表：i x 123456789101112131415iy 153498761021214131115（1）试求这15名学生的数学成绩与知识竞赛成绩的“斯皮尔曼系数”；（2）已知在这15名学生中有10人数学成绩优秀，现从这15人中随机抽取3人，抽到数学成绩优秀的学生有X 人，试求X 的分布列和数学期望．【答案】（1）0.8；（2）分布列见解析，数学期望为2.【解析】【分析】（1）根据“斯皮尔曼系数”的计算公式即可求解.（2）X 的值可能为0，1，2，3，计算出各自对应的概率，列出分布列并求出数学期望.【小问1详解】依题意，61(91644164149)0.815224ρ=-⋅++++++++=⨯，所以这15名学生的数学成绩与知识竞赛成绩的“斯皮尔曼系数”是0.8.【小问2详解】依题意，X 的值可能为0，1，2，3，3125105331515C C C 220(0),(1)C 91C 91P X P X ======，21310510331515C C C 4524(2),(3)C 91C 91P X P X ======，则X 的分布列为：X0123P291209145912491所以X 的数学期望为()2045241232919191E X =⨯+⨯+⨯=．18.已知函数2()ln f x x x =．（1）求()f x 的单调区间；（2）若存在0x >，使得()f x ax 成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）单调递减区间为120,e -⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增区间为12e ,∞-⎛⎫+ ⎪⎝⎭；（2）1{|}ea a ≥-【解析】【分析】（1）先对函数求导，结合导数与单调性关系即可求解；（2）由已知不等式成立，先分离参数，结合成立与最值关系的转化即可求解．【详解】（1）因为()()2ln 1f x x x '=+，0x >，令()0f x '=，解得12e x -=，当120,e x -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减，当12e ,x ∞-⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增，则()f x 的单调递减区间为120,e -⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增区间为12e ,∞-⎛⎫+ ⎪⎝⎭；（2）依题意，存在0x >，使得ln a x x ≥，令()ln g x x x =，则()ln 1g x x ='+，当10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，()g x 单调递减，当1,ex ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，()g x 单调递增，故()min 11e e g x g ⎛⎫==-⎪⎝⎭，因此1ea ≥-，故a 的取值范围为1{|}ea a ≥-．19.固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691年，莱布尼茨等得出悬链线的方程为e e 2x xcc c y -⎛⎫+ ⎪⎝⎭=，其中c 为参数．当1c =时，该表达式就是双曲余弦函数，记为e e cosh 2x xx -+=，悬链线的原理常运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．已知三角函数满足性质：①导数：()()sin cos sin cos x x x x''⎧=⎪⎨=-⎪⎩；②二倍角公式：2cos 22cos 1x x =-；③平方关系：22sin cos 1x x +=．定义双曲正弦函数为e e sinh 2x x x --=．（1）写出sinh x ，cosh x 具有的类似于题中①、②、③的一个性质，并证明该性质；（2）任意0x >，恒有sinh 0x kx ->成立，求实数k 的取值范围；（3）正项数列*{}(N )n a n ∈满足11a a =>，2121n n a a +=-，是否存在实数a ，使得2024178a =？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）答案见解析（2）(-∞，1]（3）存在实数2022202211221222a -⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭，使得2024178a =成立．【解析】【分析】（1）①求导数，②用二倍角公式，③利用平方关系；证明即可；（2）构造函数()sinh F x x kx =-，求导数，利用导数讨论函数的单调性，求k 的取值范围即可；（3）方法一、求出1a ，2a ，3a ，猜想n a ，用数学归纳法证明即可．方法二、构造数列{}n x ，根据()cosh n n a x =，利用递推公式求解即可．【小问1详解】①导数：()()()sinh cosh x x '=，()()()cosh sinh x x '=，证明如下：()()e e e e sin h cos h 22e e e e cos h sin h 22x x x x x x x x x x x x '--''--'⎧⎛⎫-+⎪=== ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+-=== ⎪⎪⎝⎭⎩，②二倍角公式：()()2cosh 22cosh 1x x =-，证明如下：()()222222e e e 2e e 2cosh 1211cosh 2222e x x x x x xx x ---⎛⎫++++-=⨯-=-== ⎪⎝⎭；③平方关系：22(cosh )(sinh )1x x -=，证明如下：()()22222222e e e e e e 2e 2e cosh sinh 12244x x x x x x x x x x ----⎛⎫⎛⎫+-++-+-=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；【小问2详解】令()sinh F x x kx =-，,()0x ∈+∞，()cosh F x x k '=-，①当1k ≤时，由e cosh e 21x xx -+=≥=，又因为0x >，所以e e x x -≠，等号不成立，所以()cosh 0F x x k '=->，即()F x 为增函数，此时()(0)0F x F >=，对任意0x >，sinh x kx >恒成立，满足题意；②当1k >时，令()()G x F x ='，,()0x ∈+∞，则()sinh 0G x x '=>，可知()G x 是增函数，由(0)10G k =-<与()1ln204G k k=>可知，存在唯一()00,ln 2x k ∈，使得0()0G x =，所以当0(0,)x x ∈时，0()()()0F x G x G x =<='，则()F x 在0(0,)x 上为减函数，所以对任意0(0,)x x ∈，()(0)0F x F <=，不合题意；综上知，实数k 的取值范围是(],1-∞；【小问3详解】方法一、由11a a =>，函数e e cosh 2x xx -+=的值域为[)1,+∞，对于任意大于1的实数1a ，存在不为0的实数m ，使得1cosh m a =，类比双曲余弦函数的二倍角公式()()2cosh 22cosh 1x x =-，由1cosh m a =，()()222cosh 1cosh 2a m m =-=，()23cosh 2a m =，猜想：()1cosh 2n n a m -=，由数学归纳法证明如下：①当1n =时，()()111cosh 2cosh a a m m -===成立；②假设当(n k k =为正整数）时，猜想成立，即1cosh(2)k k a m -=，则()()()22111212cosh 21cosh 22cosh 2k k k k ka a m m m --+⎡⎤=-=-=⨯=⎣⎦，符合上式，综上知，()1cosh 2n n a m -=；若()2023202417cosh 28a m ==，设20232t m =，则e 17cosh 28e t t t -+==，解得：e 4t =或14，即ln 4t =±，所以2022ln 22m =±，即2022202211221e 1cosh 222e 2m m a m --⎛⎫+===+ ⎪ ⎪⎝⎭．综上知，存在实数2022202211221222a -⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭，使得2024178a =成立．方法二、构造数列{}(0)n n x x >，且()cosh n n a x =，因为2121n n a a +=-，所以()()212cosh 1cosh 2n n n a x x +=-=，则()()11cosh cosh 2n n n a x x ++==，因为()cosh x 在(0,)+∞上单调递增，所以12n n x x +=，即{}n x 是以2为公比的等比数列，所以2023202412x x =，所以()2023202412eex x =，所以()20232024112e ex x =，又因为()()2024202420242024e 117cosh e 28x x a x -==+=，解得2024e 4x =或14，所以()()2023202320222022111111222211111cosh e 4422222e x x a a x ---⎛⎫⎛⎫===+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，综上知，存在实数2022202211221222a -⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭，使得2024178a =成立．【点睛】方法点睛：对于新定义的题目，一定要耐心理解定义，新的定义不但考查的是旧的知识点的延伸，更考查对于新知识的获取理解能力，抓住关键点，解题不是事.。

2020年福建省高考模拟试题（1）数学（理科）试卷命题人：安溪八中 2020-3-29（考试时间：120分钟；满分：150分）第Ⅰ卷（选择题 共60分）考试说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

共21道题。

满分值：150分，考试时间：120分钟。

考生只交第Ⅰ卷答题卡和第Ⅱ卷. 第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．设U =R ，集合{}|1A y y x =≥，}{240B x Z x =∈-≤，则下列结论正 确的是（ ）A ．}{2,1AB =--I B ． ()(,0)U A B =-∞U ðC ．[0,)A B =+∞UD ． }{()2,1U A B =--I ð 2．已知向量a =r ，(1,0)b =-r ，则|2|a b +=r r（ ）A ．12 D. 43．如图：正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 、K 、L 分别为AB 、BB 1、B 1C 1、C 1D 1、D 1D 、DA 的中点，则六边形EFGHKL 在正方体面上的射影可能是（ ）4．已知i 是虚数单位，使(1)n i +为实数的最小正整数n 为（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．85．已知sin()sin 0,352ππααα++=--<<则2cos()3πα+等于（ ） A ．45- B ．35- C ．35 D ．456．下列说法中,不正确．．．的是（ ） A ．“x y =”是“x y =”的必要不充分条件；B ．命题:p x ∀∈R ，sin 1x ≤，则:p x ⌝∃∈R ，sin 1x >；C ．命题“若,x y 都是偶数，则x y +是偶数”的否命题是“若,x y 不是偶数，则x y+HB C D A B C D A 1B 1C 1D 1 H GKL E否 开始是 结 束输出n a =3151，b =1.105,n =2008 a >8000n =n +1不是偶数”；D ．命题:p 所有有理数都是实数,:q 正数的对数都是负数，则()()p q ⌝∨⌝为真命题.7．已知实数,m n 满足01n m <<<,给出下列关系式①23m n = ②23log log m n = ③23m n =其中可能成立的有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 8．福建泉州市2020年的生产总值约为3151亿元人民币，如果从此泉州市生产 总值的年增长率为10.5%，求泉州市最早 哪一年的生产总值超过8000亿元人民币？某同学为解答这个问题设计了一个程序框图，但不慎将此框图的一个处理框中的内容污染而看不到了，则此框图中因被污染而看不到的内容应是 （ ）A ．a a b =+B ．a a b =⨯C ．()n a a b =+D ．n a a b =⨯9．设函数()x f y =的定义域为R +，若对于给定的正数K ，定义函数()()()()⎩⎨⎧>≤=,,,,K x f x f K x f K x f K 则当函数()x x f 1=,1=K 时，()dx x f K ⎰241的值为（ ） A ．22ln 2+ B ．12ln 2- C ．2ln 2 D ．12ln 2+10．若在直线l 上存在不同的三个点C B A ，，，使得关于实数x 的方程20x OA xOB BC ++=u u u r u u u r u u u r r有解（点O 不在l 上），则此方程的解集为（ ） (A) {}1- (B) ∅ (C)1515,⎧⎫-+--⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭(D){}1,0-第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题:本大共5小题,每小题4分，满分20分.11. 某体育赛事志愿者组织有1000名志愿者，其中参加过2020年北京奥运会志愿服务的有250名，新招募的2020年广州亚运会志愿者750名.现用分层抽样的方法从中选出100名志愿者调查他们的服务能力，则选出新招募的广州亚运会志愿者的人数是 ． 12. 如图，在矩形ABCD 中，O AC AB ,2,1==为AC 中点，抛物线 的一部分在矩形内，点O 为抛物线顶点，点D B ,在抛物线上，在矩形 内随机地放一点，则此点落在阴影部分的概率为 .13. 上海世博园中的世博轴是一条1000m 长的直线型通道，中国馆位于世博轴的一侧（如下图所示）. 现测得中国馆到世博轴两端的距离相等，并且从中国馆看世博轴两端的视角为120o . 据此数据计算，中国馆到世博轴其中一端的距离是m .14. 若实数x 、y 满足20,,,x y y x y x b -≥⎧⎪≥⎨⎪≥-+⎩且2z x y =+的最小值为3，则实数b 的值为_____.15．若等差数列{}n a 的首项为1,a 公差为d ，前n 项的和为n S ，则数列{}nS n为等差数列，且通项为1(1)2n S da n n =+-⋅．类似地，若各项均为正数的等比数列{}nb 的首项为1b ，公比为q ，前n 项的积为n T ，则数列{}n n T 为等比数列,通项为____________________.三、解答题:本大题共6小题,16—19各13分，20—21各14分，满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（本题满分13分）泉州市为鼓励企业发展“低碳经济”，真正实现“低消耗、高产出”，施行奖惩制度.通过制定评分标准，每年对本市50%的企业抽查评估，评出优秀、良好、合格和不合格四个等次，并根据等级给予相应的奖惩（如下表）.某企业投入100万元改造，由于自身技术原因，能达到以上四个等次的概率分别为111123824，，，，且由此增加的产值分别为60万元、40万元、20万元、5-万元.设该企业当年因改造而增加利润为ξ.(Ⅰ)在抽查评估中，该企业能被抽到且被评为合格以上等次的概率是多少？CB世博轴·A 中国馆120º（Ⅱ）求ξ的数学期望.评估得分 (0,60) [)7060，[)8070， []10080， 评定等级 不合格 合格 良好 优秀 奖惩（万元）80- 30 60 10017．（本题满分13分）如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1AD 上的点，且满足 1(0)D P PA λλ=>u u u u r u u u r.（Ⅰ）当1λ=时，求证：平面11ABC D ⊥平面PDB ； （Ⅱ）试证无论λ为何值，三棱锥1D PBC -的体积 恒为定值；（Ⅲ）求异面直线1C P 与1CB 所成的角的余弦值. 18．（本题满分13分）第17题图D Eθ如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池)(ABCD 的池底水平铺设污水净化管道FHE Rt ∆(，H 是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好.设计要求管道的接口H 是AB 的中点，F E ,分别落在线段AD BC ,上.已知20=AB 米，310=AD 米，记θ=∠BHE .（1）试将污水净化管道的长度L 表示为θ的函数，并写出定义域； （2）若2cos sin =+θθ，求此时管道的长度L ；（3）当θ取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度.19．（本题满分13分）已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>），其焦距为2c ，若c a =（0.618≈），则称椭圆C 为“黄金椭圆”．（1）求证：在黄金椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）中，a 、b 、c 成等比数列．（2）黄金椭圆C ：22221x ya b+=（0a b >>）的右焦点为2(,0)F c ，P 为椭圆C 上的任意一点．是否存在过点2F 、P 的直线l ，使l 与y 轴的交点R 满足23RP PF =-u u u r u u u u r？若存在，求直线l 的斜率k ；若不存在，请说明理由．（3）在黄金椭圆中有真命题：已知黄金椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点分别是1(,0)F c -、2(,0)F c ，以(,0)A a -、(,0)B a 、(0,)D b -、(0,)E b 为顶点的菱形ADBE 的内切圆过焦点1F 、2F ．试写出“黄金双曲线”的定义；对于上述命题，在黄金双曲线中写出相关的真命题，并加以证明．20．（本题满分14分）已知二次函数()2f x ax bx c =++和“伪二次函数”()2g x ax =+ ln bx c x +（a 、b 、,c R ∈0abc ≠）， （I ）证明：只要0a <，无论b 取何值，函数()g x 在定义域内不可能总为增函数； （II ）在二次函数()2f x ax bx c =++图象上任意取不同两点1122(,),(,)A x y B x y ，线段AB 中点的横坐标为0x ，记直线AB 的斜率为k ，（i ）求证：0()k f x '=；（ii ）对于“伪二次函数”()2ln g x ax bx c x =++，是否有（i ）同样的性质?证明你的结论.21．本题有(1)、(2)、(3)三个选答题,每题7分,请考生任选2题作答,满分14分.如果多作,则按所做的前两题计分.作答时,先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑,并将选题号填入括号中. (1)(本小题满分7分) 选修4一2:矩阵与变换若点A （2，2）在矩阵cos sin sin cos αααα-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 对应变换的作用下得到的点为B （－2，2），求矩阵M 的逆矩阵．(2)(本小题满分7分) 选修4一4:坐标系与参数方程已知极坐标系的极点O 与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合，曲线C 1：cos()4ρθπ+=C 2：24,4x t y t ⎧=⎨=⎩（t ∈R ）交于A 、B 两点．求证：OA ⊥OB ．(3)(本小题满分7分) 选修4一5:不等式选讲求证:*N n ∈∀,132212111+≥+++++n n nn n Λ.2020年福建省高考模拟试题（1） 数学（理科）试卷一、选择题：本题主要考查基础知识和基本运算．1．B 2．C 3．D 4．D 5．B 6．C 7．C 8．B 9．D 10．A 二、本大题共4个小题；每小题5分，共20分.本题主要考查基础知识和基本运算．11．75 12．3113100033．94 1511(n n n T b q -=三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.解：（Ⅰ）设该企业能被抽中的概率且评为合格以上等次的概率为P ，则111123238248P ⎛⎫=++⨯= ⎪⎝⎭ …………………4分（Ⅱ）依题意，ξ的可能取值为185,105,80,60,50,40,0,60,------则1612181)50(,612131)0(,412121)60(=⨯=-==⨯===⨯==ξξξP P P412121)40(,48121241)185(=⨯=-==⨯=-=ξξP P ，111111111(60),(80),(105)326821624248P P P ξξξ=-=⨯==-=⨯==-=⨯=ξ 185- 105- 80- 60- 50- 40- 0 60P 148148161 1611614 16 1410分∴1111115(60406050801851054616486E ξ=-⨯+-⨯+--⨯+--⨯=-）（）（）（）（万元） ………………………………13分18．解：方法一、证明：（Ⅰ）∵正方体1111ABCD A B C D -中，AB ⊥面11AA D D ，又11AB ABC D ⊂∴平面11ABC D ⊥平面11AA D D ， ………………2分 ∵1λ=时，P 为1AD 的中点，∴1DP AD ⊥， 又∵平面11ABC D I 平面11AA D D 1AD =， ∴DP ⊥平面11ABC D ，又DP ⊂平面PDB ，∴平面11ABC D ⊥平面PDB ．………4分 （Ⅱ）∵11//AD BC ， P 为线段1AD 上的点，∴三角形1PBC 的面积为定值，即1122122PBC S ∆=⨯⨯=，………………6分又∵//CD 平面11ABC D ，∴点D 到平面1PBC 的距离为定值，即2h =， ………………8分 ∴三棱锥1D BPC -的体积为定值，即1111221336D PBC PBC V S h -∆=⋅⋅=⨯⨯=． 也即无论λ为何值，三棱锥1D PBC -的体积恒为定值16； (10)分（Ⅲ）∵由（Ⅰ）易知1B C ⊥平面11ABC D ，又1C P ⊂平面11ABC D ，∴11B C C P ⊥， …………………………12分即异面直线1C P 与1CB 所成的角为定值90o ，从而其余弦值为0．…………………13分方法二、如图，以点D 为坐标原点，建立如图所示的坐标系．（Ⅰ）当1λ=时，即点P 为线段1AD 的中点，则11(,0,)22P ，又(0,0,0)D 、(1,1,0)B ∴11(,0,)22PD =--u u u r ，11(,1,)22PB =-u u u r ，设平面PDB 的法向量为(,,)n x y z =r，……1分则00PD n PB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r r r u u u r r r ，即11002211022x z x y z ⎧-+-=⎪⎪⎨⎪+-=⎪⎩，令1y =，解得(1,1,1)n =-r ， …2分 又∵点P 为线段1AD 的中点，∴1DP AD ⊥，∴DP ⊥平面11ABC D ，∴平面11ABC D 的法向量为11(,0,)22PD =--u u u r ， ……………3分∵110022PD n ⋅=+-=u u u r r ，∴平面11ABC D ⊥平面PDB ， ………………………4分（Ⅱ）略；（Ⅲ）∵1(0)D P PA λλ=>u u u u r u u u r ，∴1(,0,)11P λλλ++， …………………10分又1(0,1,1)C 、(0,1,0)C 、1(1,1,1)B ， ∴1(,1,)11C P λλλλ-=-++u u u r ，1(1,0,1)CB =u u u r ， ……………………………11分∵110011C P CB λλλλ-⋅=++=++u u u r u u u r …………………………………12分∴不管λ取值多少，都有11C P CB ⊥，即异面直线1C P 与1CB 所成的角的余弦值为0.……13分18．（1）解：10cos EH θ=，10sin FH θ=，10(0)sin cos 2EF πθθθ==<<.由于10tan BE θ=≤10tan AF θ=≤所以tan 3θ≤≤所以[,]63ππθ∈. 所以101010cos sin sin cos L θθθθ=++，[,]63ππθ∈.…………4分 （2）解：当sin cos θθ+=1sin cos 2θθ=，10(sin cos 1)1)sin cos L θθθθ++==（米）. ……7分（3）解：10(sin cos 1)sin cos L θθθθ++=，设sin cos t θθ+=，则21sin cos 2t θθ-=，所以201L t =-.由于[,]63ππθ∈，所以1sin cos )[42t πθθθ+=+=+∈.由于201L t =-在1[2+上单调递减，所以当12t =即6πθ=或3πθ=时，L 取得最大值1)米.答：当6πθ=或3πθ=时，污水净化效果最好，此时管道的长度为1)米. ……13分19．（1）证明：由ca=及222b a c =-，得222222)b a c a =-=-= ac =，故a 、b 、c 成等比数列．（3分）（2）解：由题设，显然直线l 垂直于x 轴时不合题意，设直线l 的方程为()y k x c =-， 得(0,)R kc -，又2(,0)F c ，及23RP PF =-u u u ru u u u r，得点P 的坐标为3(,)22c kc，（5分）因为点P 在椭圆上，所以22223221c kc a b ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=，又2b ac =，得229144c k c a a ⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭，20k >，故存在满足题意的直线l，其斜率k =（6分） （3）黄金双曲线的定义：已知双曲线C ：22221x y a b-=，其焦距为2c ，若c a =写成a c =0.618≈），则称双曲线C 为“黄金双曲线”．（8分） 在黄金双曲线中有真命题：已知黄金双曲线C ：22221x y a b -=的左、右焦点分别是1(,0)F c -、2(,0)F c ，以1(,0)F c -、2(,0)F c 、(0,)D b -、(0,)E b 为顶点的菱形12F DF E 的内切圆过顶点(,0)A a -、(,0)B a ．（10分）证明：直线2EF 的方程为0bx cy bc +-=，原点到该直线的距离为d ，将2b ac =代入，得d ==，又将c =代入，化简得d a =， 故直线2EF 与圆222x y a +=相切，同理可证直线1EF 、1DF 、2DF 均与圆222x y a +=相切，即以(,0)A a -、(,0)B a 为直径的圆222x y a +=为菱形12F DF E 的内切圆，命题得证．（13分）20．解：（I ）如果0,()x g x >为增函数,则22()20c ax bx cg x ax b x x++'=++=>(1)恒成立, --------1分 当0x >时恒成立, 220ax bx c ++>(2)0,a <Q 由二次函数的性质, (2)不可能恒成立.则函数()g x 不可能总为增函数. --------4分 （II ）（i ）()()()222121212121()f x f x a x x b x x k x x x x --+-==--=02ax b +. --------6分由()2,f x ax b '=+00()2f x ax b '∴=+,……..7分 则0()k f x '=--------7分 （ii ）不妨设21x x >,对于“伪二次函数”:法一:()2ln ()ln g x ax bx c x f x c x c =++=+-.()()2212112121()()ln x f x f x c g x g x x k x x x x -+-==--21021ln(),x c x f x x x '=+- (3) --------9分又()000()c g x f x x ''=+, 法二:()()()22221212112121()lnx a x x b x x c g x g x x k x x x x -+-+-==--=21021ln2x c x ax b x x ++-, (3)--------9分由(ⅰ)中(1)()0002c g x ax b x '=++, 如果有(ⅰ)的性质，则()0g x k '= , (4)比较(3)( 4)两式得21210lnx c x cx x x =-，0,c ≠ 即：212112ln2x x x x x x =-+，(4)--------12分不妨令21, 1, x t t x =>ln 211t t t =-+， (5)设22()ln 1t s t t t -=-+，则22212(1)2(1)(1)()0(1)(1)t t t s t t t t t +---'=-=>++， ∴()s t 在(1,)+∞上递增， ∴()(1)0s t s >=.∴ (5)式不可能成立,（4）式不可能成立,()0g x k '≠.--------13分∴“伪二次函数”()2ln g x ax bx c x =++不具有(ⅰ)的性质.--------14分21．.解（1）．解：2222-⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦M ，即2cos 2sin 22sin 2cos 2αααα--⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦ ，……………………2分所以cos sin 1,sin cos 1.αααα-=-⎧⎨+=⎩ 解得cos 0,sin 1.αα=⎧⎨=⎩……………………5分所以0110M -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．由1M M -=1001⎡⎤⎢⎥⎣⎦，得10110M -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦．……………7分 另解：01=M10-＝10≠， 10110-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M ． 另解：01cos90sin 9010sin 90cos90-︒-︒⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥︒︒⎣⎦⎣⎦M ，看作绕原点O 逆时针旋转90°旋转变换矩阵，于是1cos(90)sin(90)sin(90)cos(90)--︒--︒⎡⎤=⎢⎥-︒-︒⎣⎦M 0110⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦． （2）．曲线1C 的直角坐标方程4x y -=，曲线2C 的直角坐标方程是抛物线24y x =， 4分设11(,)A x y ，22(,)B x y ，将这两个方程联立，消去x ， 得212416016y y y y --=⇒=-，421=+y y ．………………3分016)(42)4)(4(212121212121=+++=+++=+∴y y y y y y y y y y x x ．……5分∴0OA OB ⋅=u u u r u u u r，∴OB OA ⊥．………………………………………7分（3）．[]22)2()1(212111n n n n n n n ≥+++++⎪⎭⎫⎝⎛+++++ΛΛ,所以132232)1(2121112222+=+=++≥⎪⎭⎫⎝⎛+++++n n n n n n n n n n n n Λ………………………… 7分。