考点14 三角函数的性质
一、选择题
1.（2011·全国高考理科·Ｔ5）设函数()cos (0)f x x ωω=＞，将()y f x =的图象向右平移3π个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于（ ）
（A ）13
（B ）3 （C ）6 （D ）9 【思路点拨】解决此题的关键是理解好三角函数周期的概念.将()y f x =的图象向右平移
3π个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明了
3π是此函数周期的整数倍. 【精讲精析】选C. 由题意2()3*=⋅∈k k N π
π
ω,解得6k ω=，令1k =，即得min 6ω=.
2.（2011·全国高考文科·Ｔ7）设函数()cos (0)f x x ωω=＞，将()y f x =的图象向右平移3π个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于（ ）
（A ）13
（B ）3 （C ）6 （D ）9 【思路点拨】解决此题的关键是理解好三角函数周期的概念.将()y f x =的图象向右平移
3π个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明了
3π是此函数周期的整数倍. 【精讲精析】选C. 由题意，2()3*=⋅∈k k N π
π
ω,解得6k ω=，令1k =，即得min 6ω=.
3.（2011·湖北高考理科·T3）已知函数()cos ,,f x x x x R =-∈，若()1f x ≥，则x 的取值范围为（ ）
（A ）|,3x k x k k Z ππππ⎧⎫+
≤≤+∈⎨⎬⎩⎭ （B ）|22,3x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭ （C ）5{|,}6
6x k x k k Z ππππ+≤≤+∈ （D ）5{|22,}66x k x k k Z ππππ+≤≤+∈ 【思路点拨】先根据两角和与差的正弦公式化简()f x ，再利用单位圆或正弦曲线解不等式. 【精讲精析】选B. 1()2sin(),()1,sin(),662=-
≥-≥由得f x x f x x ππ ∴522,666k x k π
π
πππ+≤-≤+即22,.3k x k k Z ππππ+≤≤+∈
二、填空题
4.（2011·上海高考理科·T8）函数sin cos 26y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
的最大值为 .
【思路点拨】本题考查同角三角函数的基本关系式及诱导公式，两角和与差的余弦公式，二倍角公式.
【精讲精析】sin cos 26y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
21cos 21sin cos sin 2224x x x x x +=+=+23131cos 21cos sin cos sin 2224x x x x +++
1cos(2)26x π=-24+.
三、解答题
5.(2011·重庆高考理科·T16) 设⎪⎭⎫
⎝⎛-+-=∈x x x a x x f R a 2cos )cos sin (cos )(,2π满足)0(3f f =⎪⎭⎫ ⎝⎛-π,求函数)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2411,4ππ上的最大值和最小值.
【思路点拨】先对函数解析式进行化简,然后根据条件求出a 的值,进而求出在区间上的最大值和最小值. 【精讲精析】22a f (x)a sin x cos x cos x sin x sin 2x cos 2x 2
=-+=-， 由)0(3f f =⎪⎭
⎫ ⎝⎛-π,得121223-=+⨯-a ,解得32=a ， 因此⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=-=62sin 22cos 2sin 3)(πx x x x f ， 当⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∈3,4ππx 时, )(,2,362x f x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈-πππ为增函数, 当⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∈2411,3ππx 时, )(,43,262x f x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈-πππ为减函数, 所以)(x f 在⎥⎦⎤⎢
⎣⎡2411,4ππ上的最大值为23=⎪⎭⎫ ⎝⎛πf ， 又因34=⎪⎭⎫ ⎝⎛πf ,22411=⎪⎭
⎫ ⎝⎛πf ， 故函数)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2411,4ππ上的最小值为22411=⎪⎭
⎫ ⎝⎛πf .
6.(2011·重庆高考文科·T18)
设函数f (x)sin xcos x )cos x(x R).=+π∈ (1)求)(x f 的最小正周期.
(2)若函数)(x f y =的图象按⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=23,4π平移后得到函数)(x g y =的图象,求)(x g y =在⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,0π上的最大值.
【思路点拨】先化简函数的解析式,然后再根据三角函数的图象及相关的性质解题.
【精讲精析】
(1)21
1f (x)sin 2x x sin 2x cos2x)
222==++
2
3
32sin 232cos 23
2sin 21
+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=πx x x .
故)(x f 的最小正周期为ππ
==22T .
(2)依题意23
23342sin 234)(++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=πππx x f x g
.362sin +⎪⎭⎫
⎝⎛-=πx 当⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
∈4,0πx 时, ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-∈-3662πππ，x ,)(x g y =为增函数,
所以)(x g y =在⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,0π上的最大值为23
34=⎪⎭⎫
⎝⎛πg .。
