2014-2015年浙江省杭州市求是高中高二(上)期中数学试卷及参考答案(文科)

2014学年第一学期期中杭州地区（含周边）重点中学高二年级数学学科 试题（文理合卷）考生须知：1．本卷满分120分，考试时间100分钟；2．答题前，在答题卷密封区内填写班级、学号和姓名；座位号写在指定位置； 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效； 4．考试结束后，只需上交答题卷。

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）10y +=的倾斜角是（ ▲ ）A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．120︒ 2．下列说法正确的是（ ▲ ）A ．棱柱的底面一定是平行四边形B ．棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥 C. 圆台平行于底面的截面是圆面 D ．半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球3．已知两条直线1(:1)30l kx k y +--=和22:(120)k x l y -+-=互相垂直，则k =（ ▲ ） A ．1或－2 B ．－1或2 C ． 1或2 D ．－1或－2 4．直线l 与直线1y =，直线5x =分别交于P ，Q 两点，PQ 中点为M （1，-1），则直线l 的斜率是（ ▲ ） A ． 12-B ． 12C ． 2D ．－2 5．已知,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题正确的是A.若//,//m n αα，则//m n B ．若//,,m n m n αβ⊥⊂，则αβ⊥C ．若//,//m m αβ，则//αβ D. 若//,m ααβ⊥，则m β⊥6．如图是一个空间几何体的三视图，其正视图是一个边长为2的正三角形，俯视图是一个斜边长为2的等腰直角三角形，侧视图是一个两直角边长分别为3和1的直角三角形，则此几何体的 体积为 （ ▲ ）A ．33 B ．1 C ． 23 D ．2 7．若直线0(0)ax by c ab ++=≠在两坐标轴上的截距相等，则,,a b c 满足的条件是（ ▲ ） A. a b = B. ||||a b = C. 0c a b ==或 D ．0c a b ==或 8．ABCD 为空间四边形，AB ＝CD ，AD ＝BC ，AB ≠AD ，M 、N 分别是对角线AC 与BD 的中点， 则MN 与（ ▲ ）A. AC 、BD 之一垂直B. AC 、BD 都垂直 C ．AC 、BD 都不垂直 D. AC 、BD 不一定垂直9．如图，三棱锥P -ABC 的底面是正三角形，各条侧棱均相等，∠APB <60°.设动点D 、E 分别在线段PB 、PC 上，点D 由P 运动到B ，点E 由P 运动到C ，且满足DE ∥BC ，则下列结论正确的是（ ▲ ）A ．当点D 满足AD ⊥PB 时，△ADE 的周长最小 B ．当点D 为PB 的中点时，△ADE 的周长最小C ．当点D 满足13PD PB =时，△ADE 的周长最小 D ．在点D 由P 运动到B 的过程中，△ADE 的周长先减小后增大 10. 在正方体''''ABCD A B C D - 中，P 为棱'AA 上一动点，Q 为 底面ABCD 上一动点，M 是PQ 的中点，若点P ，Q 都运动时， 点M 构成的点集是一个空间几何体，则这个几何体是（ ▲ ）A. 棱柱B. 棱台C. 棱锥D.球的一部分二．填空题（共7小题，每小题4分，共28分）11.在正方体1111ABCD A B C D -中， E ，F ，G ，H 分别为AA 1，AB ，BB 1， B 1C 1的中点，则异面直线EF 与GH 所成的角为 ▲ .12．已知长方体的三边长分别是3，4，5，则它的外接球的表面积是 ▲ . 13．已知圆锥的底面半径为1，且这个圆锥的侧面展开图形是一个半圆，则该圆锥的母线长为 ▲ .14．如左下图，在三棱柱'''ABC A B C -中，底面ABC 是正三角形，'AA ⊥底面ABC ， 且AB ＝1，'AA ＝2，则直线'BC 与平面''ABB A 所成角的正弦值为 ▲ .A第B'15．已知一个三棱锥的各棱长都为1，它的正视图是如右上图所视的等腰三角形，则该四面体的侧视图．．． 面积为 ▲ .16．已知实数a b c 、、满足0a b c --=则原点(0,0)O 到直线0ax by c ++=的距离的最大值为 ▲ .17．若当(1,)x ∈-+∞时，(1)21()k x x k k R +<++-∈恒成立，则实数k 的取值范围是 ▲ .三、解答题：（共4小题，共52分，解题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 18.（本题满分12分）如图多面体中，正方形ADEF 所在的平面与直角梯形ABCD 所在的平面垂直， 且12AD AB CD ==，//AB CD ，M 为CE 的中点. （1）证明：//BM 平面ADEF ； （2）证明：平面BCE ⊥平面BDE .19.（本小题满分12分）已知点A （2，2），直线:21l y x =+. (1)求点A 关于直线l 的对称点'A 的坐标；(2)当点B ，C 分别在x 轴和直线l 上运动时，求ABC ∆周长的最小值.F20．（本小题满分14分）在四棱锥ABCD P -中，BC AD //，90ABC APB ∠=∠=︒，4AB MB =，且CD PM ⊥，22AB BC PB AD ===．（1）证明：面⊥PAB 面ABCD ；（2）求直线DM 与平面PCD 所成角的正弦值．21.（本小题满分14分）在等边三角形ABC 中，AB =2，E 是线段AB 上的点(除点A 外），过点E 作EF AC ⊥于点F ，将AEF ∆ 沿EF 折起到PEF ∆(点A 与点P 重合，如图)，使得3PFC π∠=，(1) 求证：EF PC ⊥；(2) 试问，当点E 在线段AB 上移动时，二面角P -EB -C 的大小是否为定值？ 若是，求出这个二面角的平面角的正切值，若不是，请说明理由.C BB二、填空题（共7小题，每小题4分，共28分）11．060 12．50π 13． 2 14 15 1617．(,2][0,1]-∞- 三、解答题（本大题共4小题，共52分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 18. （本小题满分12分）解析：（1）（解法一）取DE 的中点N ，连结MN ，AN . 在DEC ∆中，因为M ，N 分别为EC ，ED 的中点， 所以//MN CD ，且12MN CD =. 又因为//AB CD ，12AB CD =，F所以//MN AB ，且MN AB =. 所以四边形ABMN 为平行四边形，故//MB NA ， 又因为MB ⊄平面ADEF ，NA ⊂平面ADEF ，所以//BM 平面ADEF . （5分） （解法二）取DC 的中点P ，连结,MP BP . 在直角梯形ABCD 中，因为//AB CD ，12AB CD =，12DP DC =， 所以//AB DP ，且AB DP ＝，故四边形ABPD 为平行四边形，所以//BP AD .在DEC ∆中，因为M ，P 分别为EC ，DC 的中点，所以//MP ED . 又因为MPPB P =，ED DA D =，所以平面//MPB 平面EDA ，又因为M B ⊂平面MPB ，所以//BM 平面ADEF . （5分） （2）直角梯形ABCD 中，//AB CD ，设12AD AB CD a ===，所以BD BC ==，2CD a =，故222BD BC CD +=，所以BD BC ⊥. （8分）因为平面ADEF ⊥平面ABCD ， 又平面ADEF平面ABCD AD =，ED AD ⊥，所以ED ⊥平面ABCD ，故ED BC ⊥. （10分） 又因为BDED D =，所以BC ⊥平面BDE . （11分）又因为BC ⊂平面BCE ，所以平面BCE ⊥平面BDE . （12分）19.（本小题满分12分）1'(,),222-,21522-2116--225216'(-,).(655A a b b a a b b a A ⎧++⎧==⨯+⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩⎩∴⋯⋯⋯解：（）设则有解得点的坐标为分）22222'(12A x A A A ABC ==∆⋯⋯⋯（）点关于轴的坐标为（，－）则分）20. （本小题满分14分） 解：（1）由BM PB AB 42==，得AB PM ⊥，又因为CD PM ⊥，且CD AB ，所以⊥PM 面ABCD ， 且⊂PM 面PAB ． 所以，面⊥PAB 面ABCD .………（6分） （2）过点M 作CD MH ⊥，连结HP ， 因为CD PM ⊥，且M MH PM = ，所以⊥CD 平面PMH ，又由⊂CD 平面PCD ，得到平面⊥PMH 平面PCD ， 平面 PMH 平面PH PCD =，过点M 作PH MN ⊥，即有⊥MN 平面PCD ， 连结DN ，则MDN ∠为直线DM 与平面PCD 所成角． ………（10分）在四棱锥ABCD P -中，设t AB 2=， 则t DM 213=，t PM 23=，t MH 1057=，∴t PH 554=，t MN 1637=， 从而104397sin ==∠DM MN MDN ，………（13分） 即直线DM 与平面PCD 所成角的正弦值为104397.………（14分）21. （本小题满分14分）(1),,,.,.(5EF PF EF FC PF FC F EF PFC PC PFC EF PC ⊥⊥⋂=∴⊥⊂∴⊥证明：平面又平面分）21,.,,(10EF PFC BCFE PFC PH FC FC H PH BCFE HG BE BE G PG BE PG PGH ⊥∴⊥⊥⊥⊥⊥∠（）由（）知平面平面平面作交于点则平面作交于点，连结，则所以就是二面角的平面角分）0,0 1.60,,,21,42tan .(1332.(143AF x x x PFC FH PH x GH x PH PGH GH E AB P EB C =<≤∠=∴=∴-==∴∠==-当点在线段上移动时，二面角的大小定值，这个二面角的平面角的正切设据题意有在图形（）中可求得分值）为分）备注：对于简答题的其他解法，请参照评分标准评分.。

杭州二中2015学年高二年级第一学期期中数学试卷时间：100分钟一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分. 1. 不等式0322>++-x x 的解集是A.)1,3(-B. )3,1(-C. ),3()1,(+∞⋃--∞D. ),1()3,(+∞⋃--∞ 2.已知0,>ba ，且13=+b a ，则ab 的取值范围是A.),63[+∞ B. ]121,0( C. ]121,241( D. ]63,0( 3. 设m 为一条直线,βα,为两个不同的平面,则下列说法正确的是A ．若ββαα//,//,//m m 则B ．若,m αβα⊥⊥，则m β⊥C ．若ββαα⊥⊥m m 则,,//D ．若ββαα⊥⊥m m 则,//,4. 在等差数列}{n a 中，已知201=a ，前n 项和为n S ，且1510S S =，则n S 的最大值是 A ．110B ．120C ．130D ．1405. 若关于x 的不等式220x ax +->在区间[]1,5上有解,则实数a 的取值范围为 A ．),523(+∞-B ．]1,523[-C ．(1,+∞)D ．)1,(--∞6.已知各棱长均为1的四面体ABCD 中， E 是AD 的中点，P ∈直线CE ，则|BP|＋|DP|的最小值为A.1＋63B.1＋63 C.1＋32D.1＋327.若y x a y x +≤+2对+∈R y x ,恒成立，则实数a 的最小值是 A.2 B.3 C. 5 D. 28.设三个底面半径都为1的圆柱侧面两两相切，且它们的轴两两互相垂直，则与这三个圆柱侧面都相切的球的半径最小值等于 A. 12- B. 13- C. 25- D. 1二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.9. 已知圆锥的底面半径为1，高为1，则圆锥的侧面面积=S .10.右图是某三棱锥的三视图，各个视图是全等的等腰直角三角形，且直角边长为1，则这个三棱锥外接球的表面积是 .11.在等比数列{a n }中，各项均为正值，且4862142=+a a a a ,693=a a ,则=+84a a .12.设函数x x x f +-=11log )(21，则不等式)21()(log 21f x f ->的解集是 . 13.空间四边形ABCD 中，AB ＝CD 且AB 与CD 所成的角为30°，E 、F 分别为BC 、AD 的中点，则EF 与AB 所成角的大小为 .14.对一切实数x ，二次函数c bx ax x f ++=2)(的值均为非负实数，则cba +的最小值是 .15.已知三棱锥BCD A -，DC DB DA ,,两两垂直，且ο90=∠+∠+∠CAD BAC DAB ，则二面角D BC A --的余弦值的最大值为 .三、解答题：本大题共4小题．共48分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. （本小题满分12分）如图：已知四棱柱1111D C B A ABCD -的底面是菱形，该菱形的边长为1，ο60=∠ABC ，AC AA 平面⊥1.（1）设棱形ABCD 的对角线的交点为O ，求证： O A 1//平面C D B 11; （2）若四棱柱的体积23=V ，求C C 1与平面C D B 11所成角的正弦值.1B17.（本小题满分12分）（1）求关于x 的不等式)(012R a a x ax ∈>+--的解集. （2）求证：))(()(22222d c b a bd ac ++≤+，R d c b a ∈,,,.18.（本小题满足12分） 如图：已知正六边形ABCDEF 边长为1，把四边形CDEF 沿着FC 向上翻折成一个立体图形F E ABCD 11. （1）求证：A E FC 1⊥；（2）若1E B =时，求二面角C FB E --1的正切值.19.（本小题满足12分）数列满足341=a ，2*11(N )n n n a a a n +=-+∈. （1）求证：n n a a >+1； （2）设201521111a a a m +++=Λ，求不超过m 的最大整数.{}n a杭州二中2015学年第一学期高二年级期中考试数学答案一．选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.9 10． π311． 12． )2,21(13. 12512ππ或14. -115.31三、解答题：本大题共4小题．共48分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. （本小题满分10分）如图：已知四棱锥1111D C B A ABCD -的底面是棱形，该棱形的边长为1，ο60=∠ABC ，AC AA 平面⊥1.（1）设棱形ABCD 的对角线的交点为O ，求证： O A 1//平面C D B 11;（2）若四棱柱的体积23=V ，求C C 1与平面C D B 11所成角的正弦值. （1）证明：连接1111,D B C A 交于点G ，连接GC ，因为CO G A CO G A =11,//，于是四边形GCOA 1是平行四边形，故OG O A //1，又C DB OG 11平面⊂，故CD B O A 111//平面（2）解：设h AA =1，因为23sin =∠⋅⋅=ABC BC AB S 底，所以23==Sh V ，所以1=h . 11B因为1111C A D B ⊥，A A D B 111⊥，所以C A D B 111平面⊥所以C A C D B 111平面平面⊥，过GC H C ⊥1，于是C D B H C 111平面⊥所以CG C 1∠为所求角，且55sin 11==∠GC G C CG C .17.（本小题满分12分）（1）求关于x 的不等式R a a x ax ∈>+--,012的解集.解：若0<a ，解集为)1,11(-a；若0=a ，解集为)1,(-∞；若210<<a ，解集为),11()1,(+∞-⋃-∞a ；若21=a ，解集为),1()1,(+∞⋃-∞；若21>a ，解集为),1()11,(+∞⋃--∞a；（2）求证：))(()(22222d c b a bd ac ++≤+，其中d c b a ,,,都是实数.证明：0)(2))(()(2222222222≤--=--=++-+bc ad c b d a acbd d c b a bd ac 故))(()(22222d c b a bd ac ++≤+. 18.（本小题满足12分）如图：已知正六边形''''''F E D C B A ，边长为1，沿着''C F 向上翻折成一个立体图形ABCDEF.（1）求证：EA FC ⊥； （2）若210=EB 时，求二面角E-FB-C 的正切值. （1）证明：过E 作FC EH ⊥，连接AH ，于是FC AH ⊥ 又H EH AH =⋂，于是AHE FC 平面⊥，又F1BAEH EA 平面⊂，故EA FC ⊥.（2）解：连接HB ，计算可得：23=EH ， 2760cos 222=⋅-+=οCB CH CB CH BH由210=EB ，故222EB EH BH =+，所以HB EH ⊥，又FC EH ⊥，H FC HB =⋂，所以ABCF EH 平面⊥ 过H 作FB SH ⊥，连接ES ，则ESH ∠为所求角. 在ESH ∆中，23,41==EH SH ，32tan ==∠HSEH ESH . 19.数列满足143a =，2*11(N )n n n a a a n +=-+∈. （1）求证：n n a a >+1；（2）设122013111m a a a =+++L ，求不超过m 的最大整数. （1）因为1341>=a ，故1)1()1()1()()()(1222221112211>+-++-+-=+-++-+-=-----a a a a a a a a a a a a n n n n n n n ΛΛ，于是n n n n n n a a a a a a =->+-=+2121.（2）解：)1(11-=-+n n n a a a ，于是nn n n n a a a a a 111)1(1111--=-=-+所以111111---=+n n n a a a 于是113)1111()1111()1111(2014201420133221--=---++---+---=a a a a a a a m Λ 当2≥n 时，31341)1(1->+-=+n n n n a a a a ，于是)1(3411->-+n n a a ，故21)34(3120142014>+⋅>a ，所以11102014<-<a ，所以不超过m 的最大整数是2.{}n aF。

可能使用到的相对原子量C：12 O：16 H：1 S：32 N： Na： Cl： 一、选择题（每小题只有一个选项符合题意，每小题2分，共40分） 1．废电池的污染引起人们的广泛重视，废电池中对环境形成污染的主要物质是 A．锌 B．汞 C．石墨 D．二氧化锰 2．将铁粉和硫粉混合后加热，待反应一发生即停止加热，反应仍可持续进行，直至反应完全生成新物质硫化亚铁。

这现象说明了 A．该反应是吸热反应 B．该反应是放热反应 C．铁粉和硫粉在常温下容易发生反应 D．硫化亚铁的总能量高于铁粉和硫粉的总能量 3．已知反应：①101 kPa时，C(s)＋1/2O2(g)＝CO(g)　ΔH1＝－110.5 kJ·mol－1 ②稀溶液中，H＋(aq)＋OH－(aq)＝H2O(l)　ΔH2＝－57.3 kJ·mol－1下列结论正确的是 A．若碳的燃烧热用ΔH3来表示，则ΔH3＜ΔH1 B．若碳的燃烧热用ΔH3来表示，则ΔH3＞ΔH1 C．浓硫酸与稀NaOH溶液反应的中和热为－57.3 kJ·mol－1 D．稀醋酸与稀NaOH溶液反应生成1 mol水，放出57.3 kJ热量 4．下列有关能量转换的说法正确的是 A．煤燃烧是化学能转化为热能的过程 B化石燃料和植物燃料燃烧时放出的能量均来源于太阳能 C动物体内葡萄糖被氧化成CO2是热能转变成化学能的过程 D植物通过光合作用将CO2转化为葡萄糖是太阳能转变成热能的过程 下列说法错误的是 A由电能转化为化学能的装置叫电解池 B在电解池中跟直流电源的正极相连的电极是电解池的阳极 C在电解池中通电时，电子从电解池的阴极流出，并沿导线流回电源的负极 D电解池中阴极发生还原反应，阳极发生氧化反应 用惰性电极实现电解，下列说法正确的是 A电解稀硫酸溶液，溶液pH不变B．电解稀氢氧化钠溶液，溶液pH减小 C电解硫酸钠溶液，在阴极上和阳极上析出产物的物质的量之比为1:2 D电解氯化铜溶液，在阴极上和阳极上析出产物的物质的量之比为1:1 A．4Fe(OH)2+2H2O+O2＝4Fe(OH)3↓B．2Fe+2H2O+O2＝2Fe(OH)２↓ C．2H2O+O2+4e＝４OH－ D．Fe－3e＝Fe3+ 8．等质量的两份锌粉a、b，分别加入过量的稀H2SO4，同时向a中加入少量的CuSO4溶液，下列图表示产生H2的体积（V）与时间（t）的关系，其中正确的是 9．将NaCl溶液滴在一块光亮清洁的铁板表面上，一段时间后发 现液滴覆盖的圆周中心区(a)已被腐蚀而变暗，在液滴外沿形成 棕色铁锈环(b)，如图所示。

2014-2015学年浙江省杭州市六校高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每个小题所给的四个选项有且只有一个符合题目要求．）1．（3分）已知a＞b，c＞d，则下列不等式成立的是（）A．b+d＜a+c B．ac＞bd C．＞D．a﹣c＞b﹣d2．（3分）下列四个命题中，其中正确的命题的是（）A．过三点确定一个平面B．矩形是平面图形C．四边相等的四边形是平面图形D．三条直线两两相交则确定一个平面3．（3分）在等差数列{a n}中，若a1+a2+a12+a13=24，则a7为（）A．6 B．7 C．8 D．94．（3分）垂直于同一条直线的两条直线一定（）A．平行B．相交C．异面D．以上都有可能5．（3分）将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图为（）A．B．C．D．6．（3分）在△ABC中，若sin2C=sin2A+sin2B，则△ABC为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等边三角形7．（3分）如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中的AB与CD的位置关系为（）A．平行B．相交成60°角C．异面成60°角D．异面且垂直8．（3分）设l，m，n表示三条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A．如l∥m，m⊂α，则l∥αB．如l⊥m，l⊥n，n⊂α，则l⊥αC．如l⊂α，m⊂β，l⊥m，则α⊥βD．如l∥α，l∥β，α∩β=m，则l∥m 9．（3分）如图，正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为H．则以下命题中，错误的命题是（）A．点H是△A1BD的垂心B．AH垂直平面CB1D1C．直线AH和BB1所成角为45° D．AH的延长线经过点C110．（3分）如图，在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为A1D1的中点，Q为A1B1上任意一点，E、F为CD上两点，且EF的长为定值，则下面四个值中不是定值的是（）A．点P到平面QEF的距离B．直线PQ与平面PEF所成的角C．三棱锥P﹣QEF的体积D．△QEF的面积二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11．（4分）已知三个数﹣3，x，﹣12成等比数列，该数列公比q=．12．（4分）正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，则其侧面积为．13．（4分）一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长是4cm，这个球的体积为cm3．14．（4分）设变量x，y满足，则目标函数z=2x+4y最大值为．15．（4分）如图所示，E、F分别是正方形SD1DD2的边D1D、DD2的中点，沿SE，SF，EF将其折成一个几何体，使D1，D，D2重合，记作D．给出下列位置关系：①SD⊥面DEF；②SE⊥面DEF；③DF⊥SE；④EF⊥面SED，其中成立的有：．16．（4分）一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是．17．（4分）规定记号“⊗”表示一种运算，即a⊗b=（a，b为正实数）．若1⊗k=3，则k的值为，此时函数的最小值为．三．简答题：（本大题共4题，第1、2、3题每题10分，第4题12分，共42分．）18．（10分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1=AC=2，E、F分别为A1C1、BC的中点．（1）求证：AB⊥平面B1BCC1；（2）求证：C1F∥平面ABE．19．（10分）等差数列{a n}中，a7=4，a19=2a9，（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n项和S n．20．（10分）△ABC中，a，b，c是A，B，C所对的边，S是该三角形的面积，且（1）求∠B的大小；（2）若a=4，S=5，求b的值．21．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，BA=BD=，AD=2，PA=PD=，E，F分别是棱AD，PC的中点．（1）证明：BC上是否存在一点G使得平面EFG∥平面PAB（2）若二面角P﹣AD﹣B为60°，①证明：BE⊥PB；②求直线EF与平面PBC所成角的正切值．2014-2015学年浙江省杭州市六校高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每个小题所给的四个选项有且只有一个符合题目要求．）1．（3分）已知a＞b，c＞d，则下列不等式成立的是（）A．b+d＜a+c B．ac＞bd C．＞D．a﹣c＞b﹣d【解答】解：∵a＞b，c＞d，∴a+c＞b+d．故选：A．2．（3分）下列四个命题中，其中正确的命题的是（）A．过三点确定一个平面B．矩形是平面图形C．四边相等的四边形是平面图形D．三条直线两两相交则确定一个平面【解答】解：A：由于过不共面的三点才能确定一个平面，故A不对；B：矩形是平行四边形，对边相互平行，能确定一个平面，故结论正确．C：空间四边形的四边可以相等，但不是平面图形，故C不正确．D：由于三条直线两两相交的情形中包括三线不共面且过一点的情形，这种情形中三线可确定三个平面，故D不正确．故选：B．3．（3分）在等差数列{a n}中，若a1+a2+a12+a13=24，则a7为（）A．6 B．7 C．8 D．9【解答】解：由a1+a2+a12+a13=24得出a1+a2+a12+a13=a1+a13+a2+a12=2a7+2a7=4a7=24⇒a7=6．故选A．4．（3分）垂直于同一条直线的两条直线一定（）A．平行B．相交C．异面D．以上都有可能【解答】解：分两种情况：①在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行；②在空间内垂直于同一条直线的两条直线可以平行、相交或异面．故选：D．5．（3分）将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图为（）A．B．C．D．【解答】解：左视图从图形的左边向右边看，看到一个正方形的面，在面上有一条对角线，对角线是由左下角到右上角的线，故选：C．6．（3分）在△ABC中，若sin2C=sin2A+sin2B，则△ABC为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等边三角形【解答】解：在△ABC中，∵sin2C=sin2A+sin2B，∴由正弦定理得：c2=a2+b2，∴△ABC为直角三角形，故选：B．7．（3分）如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中的AB与CD的位置关系为（）A．平行B．相交成60°角C．异面成60°角D．异面且垂直【解答】解：如图，直线AB，CD异面．因为CE∥AB，所以∠DCE即为直线AB，CD所成的角，因为△CDE为等边三角形，故∠DCE=60°故选：C．8．（3分）设l，m，n表示三条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A．如l∥m，m⊂α，则l∥αB．如l⊥m，l⊥n，n⊂α，则l⊥αC．如l⊂α，m⊂β，l⊥m，则α⊥βD．如l∥α，l∥β，α∩β=m，则l∥m【解答】解：∵l∥m，m⊂α，若l⊄α，l与α不平行，故A错误；∵若l⊥m，l⊥n，n⊂α，l与α的位置关系不确定，故B错误；∵l⊂α，m⊂β，l⊥m，则α与β有可能平行，故C错误；∵l∥α，l∥β，α∩β=m，过l作平面γ，α∩γ=b，β∩γ=c，由l∥α，得l∥b，由l∥β，得l∥c，∴b∥c，∴b∥l，b∥m，∴l∥m，故D正确．故选：D．9．（3分）如图，正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为H．则以下命题中，错误的命题是（）A．点H是△A1BD的垂心B．AH垂直平面CB1D1C．直线AH和BB1所成角为45° D．AH的延长线经过点C1【解答】解：∵AB=AA1=AD，BA1=BD=A1D，∴三棱锥A﹣BA1D为正三棱锥，∴点H是△A1BD的垂心；故选项A正确；对于选项B：∵平面A1BD与平面B1CD1平行，∵AH⊥平面A1BD，∵平面A1BD⊥平面BC1D，∴AH垂直平面CB1D1，选项B正确；根据正方体的对称性得到AH的延长线经过C1，∴选项D正确；对于选项C，∵AA1∥BB1，∴∠A1AH就是直线AH和BB1所成角，在直角三角形AHA1中，∵AA1=1，，∴，所以选项C错误，故选：C．10．（3分）如图，在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为A1D1的中点，Q为A1B1上任意一点，E、F为CD上两点，且EF的长为定值，则下面四个值中不是定值的是（）A．点P到平面QEF的距离B．直线PQ与平面PEF所成的角C．三棱锥P﹣QEF的体积D．△QEF的面积【解答】解：A．∵平面QEF即为对角面A1B1CD，点P为A1D1的中点，∴点P 到平面QEF即到对角面A1B1CD的距离=为定值；D．∵点Q到直线CD的距离是定值a，|EF|为定值，∴△QEF的面积=为定值；C．由A．D可知：三棱锥P﹣QEF的体积为定值；B．直线PQ与平面PEF所成的角与点Q的位置有关系，因此不是定值，或用排除法即可得出．综上可得：只有B中的值不是定值．故选：B．二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11．（4分）已知三个数﹣3，x，﹣12成等比数列，该数列公比q=±2．【解答】解：∵三个数﹣3，x，﹣12成等比数列，∴x2=36，∴x=±6，∴该数列公比q=±2．故答案为：±2．12．（4分）正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，则其侧面积为．【解答】解：因为正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，所以正四棱锥的斜高为：=．所以正四棱锥的侧面积为：=8．故答案为：8．13．（4分）一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长是4cm，这个球的体积为32πcm3．【解答】解：一个正方体的顶点都在球面上，它的对角线就是外接球的直径，它的棱长是4cm，所以球的直径为：4；球的半径为：2，球的体积为：=32π．故答案为：32π．14．（4分）设变量x，y满足，则目标函数z=2x+4y最大值为13．【解答】解：由约束条件得如图所示的三角形区域，三个顶点坐标为A（1，2），B（2，2），C（，）将三个代入得z的值分别为10，12，13直线z=2x+4y过点C时，z取得最大值为13；故答案为：1315．（4分）如图所示，E、F分别是正方形SD1DD2的边D1D、DD2的中点，沿SE，SF，EF将其折成一个几何体，使D1，D，D2重合，记作D．给出下列位置关系：①SD⊥面DEF；②SE⊥面DEF；③DF⊥SE；④EF⊥面SED，其中成立的有：①与③．【解答】解：由题意因为SD⊥DF，SD⊥DE，DE⊥DF，DE=DF显然①正确；②错误；③正确；④错误．故答案为：①与③16．（4分）一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是8．【解答】解：由三视图可知，该几何体为三棱锥，其底面面积为S=×4×4=8，高为3，则其体积为V=×3×8=8．故答案为：8．17．（4分）规定记号“⊗”表示一种运算，即a⊗b=（a，b为正实数）．若1⊗k=3，则k的值为1，此时函数的最小值为3．【解答】解：依题意，1⊗k=+1+k=3，解得k=1此时，函数===1++≥1+2=3故答案为1，3三．简答题：（本大题共4题，第1、2、3题每题10分，第4题12分，共42分．）18．（10分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1=AC=2，E、F分别为A1C1、BC的中点．（1）求证：AB⊥平面B1BCC1；（2）求证：C1F∥平面ABE．【解答】（1）证明：在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱BB1垂直于底面ABC，所以BB1⊥AB，又AB⊥BC，BB1∩BC=B，则有AB⊥平面B1BCC1；（2）证法一、取AB中点G，连接EG，FG，由于E、F分别为A1C1、BC的中点，所以FG∥AC，FG=AC，因为AC∥A1C1，且AC=A1C1，所以FG∥EC1，且FG=EC1，所以四边形FGEC1为平行四边形，所以C1F∥EG，又因为EG⊂平面ABE，C1F⊄平面ABE，所以C1F∥平面ABE；证法二、取AC中点H，连接FH和C1H，因为F，H分别是BC，AC的中点，所以HF∥AB，HF⊄平面ABE，AB⊂ABE，所以HF∥平面ABE，又由AE∥C1H，也可得到C1H∥平面ABE，又C1H∩HF=H，所以平面C1HF∥平面ABE，因为C1F⊂平面C1HF，所以C1F∥平面ABE．19．（10分）等差数列{a n}中，a7=4，a19=2a9，（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n项和S n．【解答】解：（I）设等差数列{a n}的公差为d∵a7=4，a19=2a9，∴解得，a1=1，d=∴=（II）∵==∴s n===20．（10分）△ABC中，a，b，c是A，B，C所对的边，S是该三角形的面积，且（1）求∠B的大小；（2）若a=4，S=5，求b的值．【解答】解：（1）已知等式利用正弦定理化简得：==，∴2sinAcosB﹣sinCcosB=sinBcosC，∴2sinAcosB=sin（B+C），∴2sinAcosB=sinA，∵sinA≠0，∴cosB=，则B=60°；（2）∵S=acsinB，a=4，S=5，∴c=5，由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB=16+25﹣2×4×5×=21，则b=．21．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，BA=BD=，AD=2，PA=PD=，E，F分别是棱AD，PC的中点．（1）证明：BC上是否存在一点G使得平面EFG∥平面PAB（2）若二面角P﹣AD﹣B为60°，①证明：BE⊥PB；②求直线EF与平面PBC所成角的正切值．【解答】证明：（1）取BC的中点G，连结EG，FG，∵E，G分别是AD，BC的中点，∴EG∥AB，又EG⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，∴EG∥平面PAB，…..（2分）又∵F，G分别是PC，BC的中点，∴FG∥PB，∵FG⊄平面PAB，PB⊂平面PAB，∴FG∥平面PAB（2分），又FG∩EG=G，∴平面EFG∥平面PAB，G即为所求的点…..（5分）（2）①∵PA=PD，AB=BD，E为AD的中点，∴AD⊥PE，AD⊥BE，∴∠BEP即为二面角P﹣AD﹣B的平面角，∴∠BEP=60°，…..（6分）∵AB=，AE=1，∴BE=1，∵PA=，AE=1，∴PE=2，∴PB=，∴PB2+BE2=PE2，∴BE⊥PB…（8分）②∵AD⊥BE，∴BE⊥BC，又BE⊥PB，BC∩PB=B，∴BE⊥平面PBC，连结BF，则∠BFE即为直线EF与平面PBC所成角，…..（10分）∵PB=，PA=，AB=，∴PB⊥AB，由BE⊥PB，PB⊥AB得PB⊥平面ABCD，∴PB⊥BC，PB=，BC=AD=2，∴PC=，∴BF=，又BE=1，∴….12分）赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC ⊥BD ，垂足为E ，AB ＝2，DC ＝4，求⊙O 的半径.2.如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC ⊥BD 于P ，设⊙O 的半径是2。

高二级上学期期中考试题数学本试卷共8页，22小题，满分150分，考试时间120分钟。

第一部分选择题（共60分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知直线l 1：2x ＋my ＝2，l 2：m 2x ＋2y ＝1，且l 1⊥l 2，则m 的值为( )A ．0B ．－1C ．0或1D ．0或－12．若一个圆锥的轴截面是面积为1的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为( )A.2π B ．22π C ．2πD ．4π3．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以A ，B ，C ，D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD 和平面ABC 所成角的大小为( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°4．若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为（ ）A B C D 5．下列命题中，正确的是( )A ．任意三点确定一个平面B ．三条平行直线最多确定一个平面C ．不同的两条直线均垂直于同一个平面，则这两条直线平行D ．一个平面中的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行6．已知M (3，23)，N (－1，23)，F (1，0)，则点M 到直线NF 的距离为( )A. 5 B ．23 C ． 22D ．3 37．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱(其底面是正方形，且侧棱垂直于底面)高为4，体积为16，则这个球的表面积是( )A ．20πB ．16πC ．32πD ．24π8．直线:20l x y ++=分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上， 则ABP △面积的取值范围是（ ） A ．[]26，B ．[]48，C ．D ．⎡⎣二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.9．若220x x --<是2x a -<<的充分不必要条件，则实数a 的值可以是( ) A ．1B ．2C ．3D ．410．已知,αβ是两个不重合的平面，,m n 是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（ ） A ．若//m n m α⊥，，则n α⊥ B ．若//,m n ααβ⋂=，则//m n C ．若m α⊥，m β⊥，则//αβ D ．若,//,m m n n αβ⊥⊥，则//αβ 11．若直线过点(1,2)A ，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l 方程可能为( ) A ．10x y -+=B ．30x y +-=C ．20x y -=D ．10x y --=12．已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为矩形，侧面PCD ⊥平面ABCD ，BC =CD PC PD ===.若点M 为PC 的中点，则下列说法正确的为（ ）A ．BM ⊥平面PCDB ．//PA 面MBDC ．四棱锥M ABCD -外接球的表面积为36π D ．四棱锥M ABCD -的体积为6第二部分非选择题（90分）三、填空题:本题共4小题,每小题5分，共20分.13．命题“20210x x x ∃<-->，”的否定是______________．14．已知直线l 1的方程为23y x =-+，l 2的方程为42y x =-，直线l 与l 1平行且与l 2在y 轴上的截距相同，则直线l 的斜截式方程为________________．15．若直线:l y kx =与曲线:1M y =+有两个不同交点，则k 的取值范围是________________．16．已知三棱锥S -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA ＝AC ，SB ＝BC ，三棱锥S -ABC 的体积为9，则球O 的体积为____________．四、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．(本小题满分10分)已知直线l 1的方程为x ＋2y －4＝0，若l 2在x 轴上的截距为32，且l 1⊥l 2.(1)求直线l 1与l 2的交点坐标；(2)已知直线l 3经过l 1与l 2的交点，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍，求l 3的方程．18．(本小题满分12分)四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB ＝12CD ＝1，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝AD ＝ 3.(1)求证：PD ⊥AB ；(2)求四棱锥P-ABCD 的体积．19．(本小题满分12分)已知圆C 的圆心坐标为(a ，0)，且圆C 与y 轴相切． (1)已知a ＝1，M (4，4)，点N 是圆C 上的任意一点，求|MN |的最小值；(2)已知a ＜0，直线l 的斜率为43，且与y 轴交于点20,3⎛⎫- ⎪⎝⎭.若直线l 与圆C 相离，求a 的取值范围．20．(本小题满分12分)在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝4，点D 是线段AB 上的动点．(1)当点D 是AB 的中点时，求证：AC 1∥平面B 1CD ；(2)线段AB 上是否存在点D ，使得平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1？若存在，试求出AD 的长度；若不存在，请说明理由．21. (本小题满分12分) 如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，060ABC ∠=，FA ⊥平面ABCD ，//,2 2.FA ED AB FA ED ===求二面角F BC A --的大小的正切值；求点E 到平面AFC 的距离；求直线FC 与平面ABF 所成的角的正弦值.22. (本小题满分12分)已知圆22+=9：O x y ，过点()0,2P -任作圆O 的两条相互垂直的弦AB 、CD ，设M 、N 分别是AB 、CD 的中点，（1）直线MN 是否过定点? 若过，求出该定点坐标，若不过，请说明理由； （2）求四边形ACBD 面积的最大值，并求出对应直线AB 、CD 的方程.高二级上学期期中考试题 数学答案及说明一、选择题：1.D ，2.A ，3.C ，4.B ，5.C ，6.B ，7.D ，8.A ，9.BCD ，10.ACD ，11.ABC ，12.BC.二、填空题：13.0x ∀<，2210x x --≤；14.y ＝－2x －2；15.13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭；16.36π.题目及详细解答过程：一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分)1．已知直线l 1：2x ＋my ＝2，l 2：m 2x ＋2y ＝1，且l 1⊥l 2，则m 的值为( ) A ．0 B ．－1 C ．0或1 D ．0或－1 解析：因为l 1⊥l 2，所以2m 2＋2m ＝0，解得m ＝0或m ＝－1. 答案：D2．若一个圆锥的轴截面是面积为1的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为( ) A.2π B ．22π C ．2π D ．4π 解析：设底面圆的半径为r ，高为h ，母线长为l ，由题可知，r ＝h ＝22l ，则12(2r )2＝1，r ＝1，l ＝2.所以圆锥的侧面积为πrl ＝2π. 答案：A3．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以A ，B ，C ，D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD 和平面ABC 所成角的大小为( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°解析：当三棱锥D ­ABC 体积最大时，平面DAC ⊥平面ABC .取AC 的中点O ，则∠DBO 即为直线BD 和平面ABC 所成的角．易知△DOB 是等腰直角三角形，故∠DBO ＝45°.答案：C4．若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为（ ）A B C D 【答案】B【解析】由于圆上的点()2,1在第一象限，若圆心不在第一象限， 则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限， 设圆心的坐标为(),a a ，则圆的半径为a ，圆的标准方程为()()222x a y a a -+-=.由题意可得()()22221a a a -+-=，可得2650a a -+=，解得1a =或5a =，所以圆心的坐标为()1,1或()5,5，圆心到直线的距离均为121132555d ⨯--==； 圆心到直线的距离均为22553255d ⨯--== 圆心到直线230x y --=的距离均为22555d -==； 所以，圆心到直线230x y --=25. 故选：B ．5．下列命题中，正确的是( ) A ．任意三点确定一个平面 B ．三条平行直线最多确定一个平面C ．不同的两条直线均垂直于同一个平面，则这两条直线平行D ．一个平面中的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行 解析：由线面垂直的性质，易知C 正确． 答案：C6．已知M (3，23)，N (－1，23)，F (1，0)，则点M 到直线NF 的距离为( ) A. 5 B ．23 C ． 22D ．3 3解析：易知NF 的斜率k ＝－3，故NF 的方程为y ＝－3(x －1)，即3x ＋y －3＝0. 所以M 到NF 的距离为|33＋23－3|（3）2＋12＝2 3. 答案：B7．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱(其底面是正方形，且侧棱垂直于底面)高为4，体积为16，则这个球的表面积是( )A ．20πB ．16πC ．32πD ．24π解析：由题意知正四棱柱的底面积为4，所以正四棱柱的底面边长为2，正四棱柱的底面对角线长为22，正四棱柱的对角线为2 6.而球的直径等于正四棱柱的对角线，即2R ＝2 6.所以R ＝ 6.所以S 球＝4πR 2＝24π. 答案：D8．直线:20l x y ++=分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是（ ） A ．[]26，B ．[]48，C ．232⎡⎤⎣⎦，D ．2232⎡⎤⎣⎦，【答案】A 【解析】直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，()()2,0,0,2A B ∴--,则22AB =.点P 在圆22(2)2x y -+=上，∴圆心为（2，0），则圆心到直线的距离1202222d ++==.故点P 到直线20x y ++=的距离2d 的范围为2,32⎡⎤⎣⎦，则[]22122,62ABP S AB d d ==∈△.故答案为A.二、多选题(每题5分，共20分)9．若220x x --<是2x a -<<的充分不必要条件，则实数a 的值可以是( ) A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】BCD【解析】：由220x x --<，解得12x -<<．又220x x --<是2x a -<<的充分不必要条件，(1∴-，2)(2-，)a ，则2a ．∴实数a 的值可以是2，3，4．故选：BCD ．10．已知,αβ是两个不重合的平面，,m n 是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（ ） A ．若//m n m α⊥，，则n α⊥ B ．若//,m n ααβ⋂=，则//m n C ．若m α⊥，m β⊥，则//αβ D ．若,//,m m n n αβ⊥⊥，则//αβ 【答案】ACD 【解析】若m α⊥，则,a b α∃⊂且a b P =使得m a ⊥，m b ⊥，又//m n ，则n a ⊥，n b ⊥，由线面垂直的判定定理得n α⊥，故A 对； 若//m α，n αβ=，如图，设m AB =，平面1111D C B A 为平面α，//m α，设平面11ADD A 为平面β，11A D n αβ⋂==，则m n ⊥，故B 错；垂直于同一条直线的两个平面平行，故C 对；若,//m m n α⊥，则n α⊥，又n β⊥，则//αβ，故D 对； 故选：ACD ．11．若直线过点(1,2)A ，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l 方程可能为( ) A ．10x y -+= B ．30x y +-= C ．20x y -= D ．10x y --=【答案】ABC【解析】：当直线经过原点时，斜率为20210k -==-，所求的直线方程为2y x =，即20x y -=； 当直线不过原点时，设所求的直线方程为x y k ±=，把点(1,2)A 代入可得12k -=，或12k +=，求得1k =-，或3k =，故所求的直线方程为10x y -+=，或30x y +-=； 综上知，所求的直线方程为20x y -=、10x y -+=，或30x y +-=． 故选：ABC ．12．已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为矩形，侧面PCD ⊥平面ABCD ，23BC =，26CD PC PD ===.若点M 为PC 的中点，则下列说法正确的为（ ）A ．BM ⊥平面PCDB ．//PA 面MBDC ．四棱锥M ABCD -外接球的表面积为36π D ．四棱锥M ABCD -的体积为6 【答案】BC【解析】作图在四棱锥P ABCD -中：为矩形，由题：侧面PCD ⊥平面ABCD ，交线为CD ，底面ABCDBC CD ⊥，则BC ⊥平面PCD ，过点B 只能作一条直线与已知平面垂直，所以选项A错误；连接AC 交BD 于O ，连接MO ，PAC ∆中，OM ∥PA ，MO ⊆面MBD ，PA ⊄面MBD ，所以//PA 面MBD ，所以选项B 正确；四棱锥M ABCD -的体积是四棱锥P ABCD -的体积的一半，取CD 中点N ，连接PN ，PN CD ⊥，则PN平面ABCD ，32PN =，四棱锥M ABCD -的体积112326321223M ABCD V -=⨯⨯⨯⨯=所以选项D 错误.矩形ABCD 中，易得6,3,3AC OC ON ===，PCD 中求得：16,2NM PC ==在Rt MNO 中223MO ON MN =+=即： OM OA OB OC OD ====，所以O 为四棱锥M ABCD -外接球的球心，半径为3， 所以其体积为36π，所以选项C 正确， 故选：BC三、填空题(每题5分，共20分)13．命题“20210x x x ∃<-->，”的否定是______． 【答案】0x ∀<，2210x x --≤【解析】因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题20210x x x ∃<-->，， 则该命题的否定是：0x ∀<，2210x x --≤ 故答案为：0x ∀<，2210x x --≤．14．已知直线l 1的方程为23y x =-+，l 2的方程为42y x =-，直线l 与l 1平行且与l 2在y 轴上的截距相同，则直线l 的斜截式方程为________________．解析：由斜截式方程知直线l 1的斜率k 1＝－2，又l ∥l 1，所以l 的斜率k ＝k 1＝－2.由题意知l 2在y 轴上的截距为－2，所以l 在y 轴上的截距b ＝－2.由斜截式方程可得直线l 的方程为y ＝－2x －2.答案：y ＝－2x －215．若直线:l y kx =与曲线()2:113M y x =+--有两个不同交点，则k 的取值范围是________________．解析：曲线M ：y ＝1＋1－（x －3）2是以(3，1)为圆心，1为半径的，且在直线y ＝1上方的半圆．要使直线l 与曲线M 有两个不同交点，则直线l 在如图所示的两条直线之间转动，即当直线l 与曲线M 相切时，k 取得最大值34；当直线l 过点(2，1)时，k 取最小值12.故k 的取值范围是13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 答案：13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭16．已知三棱锥S -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA ＝AC ，SB ＝BC ，三棱锥S -ABC 的体积为9，则球O 的体积为____________．解析：如图，连接OA ，OB .由SA ＝AC ，SB ＝BC ，SC 为球O 的直径，知OA ⊥SC ，OB ⊥SC .又由平面SCA ⊥平面SCB ，平面SCA ∩平面SCB ＝SC ，知OA ⊥平面SCB . 设球O 的半径为r ，则OA ＝OB ＝r ，SC ＝2r ，所以三棱锥S ­ABC 的体积为311323r V SC OB OA ⎛⎫=⨯⋅⋅= ⎪⎝⎭，即r 33＝9.所以r ＝3.所以3344336.33=O V r πππ=⨯=球答案：36π四、解答题(每题5分，共70分)17．(本小题满分10分)已知直线l 1的方程为x ＋2y －4＝0，若l 2在x 轴上的截距为32，且l 1⊥l 2.(1)求直线l 1与l 2的交点坐标；(2)已知直线l 3经过l 1与l 2的交点，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍，求l 3的方程． 解：(1)设l 2的方程为2x －y ＋m ＝0，..........1分因为l 2在x 轴上的截距为32，所以3－0＋m ＝0，m ＝－3，即l 2：2x －y －3＝0.....3分联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4＝0，2x －y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1.所以直线l 1与l 2的交点坐标为(2，1)．..........5分 (2)当l 3过原点时，l 3的方程为y ＝12x ..........6分当l 3不过原点时，设l 3的方程为12x y a a +=...........7分 又直线l 3经过l 1与l 2的交点，所以2112a a+=， 得52a =，l 3的方程为2x ＋y －5＝0...........8分 综上，l 3的方程为y ＝12x 或2x ＋y －5＝0...........10分18．(本小题满分12分)四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB ＝12CD ＝1，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AD ＝ 3.(1)求证：PD ⊥AB ；(2)求四棱锥P-ABCD 的体积．18.解：(1)证明：因为PA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥AB ，..........1分又因为AB ⊥AD ，AD ∩PA ＝A ，..........3分 所以AB ⊥平面PAD ，..........4分又PD ⊂平面PAD ，..........5分所以AB ⊥PD ...........6分 (2)解：S 梯形ABCD ＝12(AB ＋CD )·AD ＝332，.......8分又PA ⊥平面ABCD ，..........9分所以V 四棱锥P-ABCD ＝13×S 梯形ABCD ·PA ＝13×332×3＝32...........12分19．(本小题满分12分)已知圆C 的圆心坐标为(a ，0)，且圆C 与y 轴相切． (1)已知a ＝1，M (4，4)，点N 是圆C 上的任意一点，求|MN |的最小值； (2)已知a ＜0，直线l 的斜率为43，且与y 轴交于点20,3⎛⎫- ⎪⎝⎭.若直线l与圆C 相离，求a 的取值范围．19.解：(1)由题意可知，圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝1...........2分又|MC |＝（4－1）2＋（4－0）2＝5，..........4分 所以|MN |的最小值为5－1＝4...........5分(2)因为直线l 的斜率为43，且与y 轴相交于点20,3⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以直线l 的方程为y ＝43x －23.即4x －3y －2＝0..........7分因为直线l 与圆C 相离，所以圆心C (a ，0)到直线l 的距离d ＞r . 则224243a a ->+.........9分又0a <，所以245a a ->-，解得2a >-..........11分 所以a 的取值范围是(－2，0)．.........12分20．(本小题满分12分)在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝4，点D 是线段AB 上的动点． (1)当点D 是AB 的中点时，求证：AC 1∥平面B 1CD ；(2)线段AB 上是否存在点D ，使得平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1？若存在，试求出AD 的长度；若不存在，请说明理由．20.解：(1)证明：如图，连接BC 1，交B 1C 于点E ，连接DE ，则点E 是BC 1的中点，又点D 是AB 的中点，由中位线定理得DE ∥AC 1，.........1分 因为DE ⊂平面B 1CD ，.........2分AC 1⊄平面B 1CD ，.........3分所以AC 1∥平面B 1CD ..........4分(2)解：当CD ⊥AB 时，平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1........5分 证明：因为AA 1⊥平面ABC ，CD ⊂平面ABC ， 所以AA 1⊥CD ..........6分又CD ⊥AB ，AA 1∩AB ＝A ，.........7分所以CD ⊥平面ABB 1A 1，因为CD ⊂平面CDB 1，.........8分 所以平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1，.........9分故点D 满足CD ⊥AB 时，平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1......10分 因为AB ＝5，AC ＝3，BC ＝4，所以AC 2＋BC 2＝AB 2， 故△ABC 是以角C 为直角的三角形， 又CD ⊥AB ，所以AD ＝95..........12分22. (本小题满分12分) 如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，060ABC ∠=，FA ⊥平面ABCD ，//,2 2.FA ED AB FA ED ===求二面角F BC A --的大小的正切值；求点E 到平面AFC 的距离；求直线FC 与平面ABF 所成的角的正弦值.21.解： 作于点G ，连接FG ， 四边形ABCD 是菱形,,，为等边三角形,,-----1分平面ABCD ，平面ABCD ，，又，，平面AFG ，BC FG ∴⊥-----2分 G∴为二面角的平面角，------3分----------------------------4分连接AE ，设点E 到平面AFC 的距离为h ， 则， ----------------------5分即，也就是，--------------------6分解得：； ------------------------------------------------7分(3)作CH AB ⊥于点H ，连接FH ，ABC ∆为等边三角形，H ∴为AB 的中点，221,3,5,AH CH FH FA AH ===+= FA ⊥平面ABCD ，CH ⊂平面ABCD ，FA CH ∴⊥，----8分 又,CH AB AB AF A ⊥⋂=，CH ∴⊥平面ABF ，-----9分CFH ∴∠为直线FC 与平面ABF 所成的角，-------10分36sin 422CH CFH CF ∴∠===．-----------------12分 22.(本小题满分12分)已知圆22+=9：O x y ，过点()0,2P -任作圆O 的两条相互垂直的弦AB 、CD ，设M 、N 分别是AB 、CD 的中点，（1）直线MN 是否过定点?若过，求出该定点坐标，若不过，请说明理由； （2）求四边形ACBD 面积的最大值，并求出对应直线AB 、CD 的方程.22.解：（1）当直线AB CD 、的斜率存在且不为0，设直线AB 的方程为:()()()112220,,,,y kx k A x y B x y =-≠------------1分由2229+=y kx x y =-⎧⎨⎩得：()221450k x kx +--=--------------------2分 点()0,2P -在圆内,故0∆>. 又 1212222422,21211M M Mx x k k x x x y kx k k k +∴+=∴===-=-+++ 即 2222,11kM k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭--------------------3分AB CD ⊥以1k -代换k 得22222,11k k N k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭22222222111.22211MNk k k k k k k k k k -+-++∴==+++---------------4分∴直线MN 的方程为：222212121k k y x k k k -⎛⎫+=- ⎪++⎝⎭化简得2112k y x k-=-，故直线MN 恒过定点()01-，--------------------5分 当直线AB CD 、的斜率不存在或为0时，显然直线MN 恒过定点()01-， 综上，直线MN 恒过定点()01-，--------------------.6分 (2) 解法一:圆心O 到直线AB的距离1d =AB ==分 （或由第（1）问得：21AB x =-==以1k -代换k 得CD =）AB CD ⊥∴以1k -代换k 得:CD =分12ACBD S AB CD ∴=⋅==分14=≤= 当且仅当221,1k k k==±时,取等号,故四边形ACBD 面积的最大值为14，--------------------11分对应直线AB 、CD 分别为2,2y x y x =-=--或2,2y x y x =--=-----------12分 解法二：设圆心O 到直线AB 、CD 的距离分别为12,d d 、则22222211229,9AB r d d CD r d d =-=-=-=---------------------7分AB CD ⊥222124d d OP ∴+==--------------------8分()()()2222121221991821818414ACBD S AB CD d d d d OP ∴=⋅=≤-+-=-+=-=-=--------------------10分当且仅当12d d =，即1k =±时,取等号,故四边形ACBD 面积的最大值为14，--------------------11分对应直线AB 、CD 分别为2,2y x y x =-=--或2,2y x y x =--=---------12分。

选择题部分(共30分)一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知球的体积是323π，那么球的半径等于 （ ）A.1B.2C.3D.42.－y +1=0的倾斜角为 ( )A.150ºB.120ºC.60ºD.30º3.已知圆13221=+-y x C ）：（，圆16)4(222=++y x C ：，则圆1C ，2C 的位置关系为( )A ．相交B ．相离C ．内切D ．外切 4. 如果直线022=++y ax 与直线023=--y x 平行，则系数aA. -3B.-6C.23-D.325. 右图所示的直观图，其原来平面图形的面积是（ ） A.4 B.42 C.22 D.86. 已知某几何体的三视图如右，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是（ ） A.312cm B.313cm C.316cm D.3112cm7. 下列命题正确的是……………………………（ ） A ．三点确定一个平面B ．经过一条直线和一个点确定一个平面C ．四边形确定一个平面D ．两条相交直线确定一个平面8.有半径为r 的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，那么这个圆锥筒的高为 （ ）A ．r π3B ．r 3C ．r 233 D ．r 23 9.如图长方体中，AB=AD=23， CC 1=2，则二面角 C 1—BD —C 的大小为（ ）ABcD A 1B 1C 1D 1A.300B.450C.600D.90010. ),(00y x M 为圆)0(222>=+a a y x 内异于圆心的一点，则直线200a y y x x =+与该圆的位置关系是（ ）A.相切B.相交C.相离D.相切或相交非选择部分（共70分）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分。

11. 已知A （a ,-5）与B(0,10)间的距离是17，则a = .12. 点A(1,3)关于点Ｐ(2,5)对称点Ａ＇的坐标是 .13. 过A （-3，0）和B （3，0）两点的所有圆中面积最小的圆的方程为 . 14. 已知二面角βα--l 的平面角为45°，有两条异面直线a ，b 分别垂直于两平面，则异 面直线所成角的大小是 .15. 圆022=++++F Ey Dx y x 关于直线04:1=+-y x L 与直线03:1=+y x L 都对称， 则D ＝ ，E ＝ .16. 下列四个正方体图形中，A 、B 为正方体的两个顶点，M 、N 、P 分别为其所在棱的中点, 能得出错误！未找到引用源。

试卷Ⅰ（选择题，共54分）一、单项选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分)1、使带电的金属球靠近不带电的验电器，验电器的箔片张开．下列各图表示验电器上感应电荷的分布情况，正确的是( )2．如图1所示，空间有一电场，电场中有两个点a 和b .下列表述正确的是( )A ．该电场是匀强电场B ．a 点的电场强度比b 点的大C ．a 点的电势比b 点的高D ．正电荷在a 、b 两点受力方向相同3、两个相同的金属小球(可看作点电荷)，带有同种电荷，且电量之比为1∶7，在真空中相距为r ，两者相互接触后再放回原来的位置上，则它们间的库仑力可能是原来的( )A ．7 B.37 C.97 D.1674、空中有两个等量的正电荷q 1和q 2，分别固定于A 、B 两点，DC 为AB 连线的中垂线，C 为A 、B 两点连线的中点，将一正电荷q 3由C 点沿着中垂线移至无穷远处的过程中，下列结论正确的有( )A ．电势能逐渐减小B ．电势能逐渐增大C ．q 3受到的电场力逐渐减小D ．q 3受到的电场力逐渐增大5、如图3所示，a 、b 、c 为电场中同一条水平方向电场线上的三点，c 为ab 的中点，a 、b 电势分别为φa ＝5 V 、φb ＝3 V ．下列叙述正确的是( )A ．该电场在c 点处的电势一定为4 VB ．a 点处的场强E a 一定大于b 点处的场强E bC ．一正电荷从c 点运动到b 点电势能一定减少D ．一正电荷运动到c 点时受到的静电力由c 指向a6．两个小灯泡，分别标有“1 A 4 W”和“2 A 1 W”的字样，则它们均正常发光时的电阻阻值之比为()A．2∶1 B．16∶1 C．4∶1 D．1∶167．如图所示，将左边的铜导线和右边的铝导线连接起来，已知截面积S铝＝2S铜．在铜导线上取一截面A，在铝导线上取一截面B，若在1 s内垂直地通过它们的电子数相等，那么，通过这两截面的电流的大小关系是()A．I A＝I B B．I A＝2I B C．I B＝2I A D．不能确定8、在正常照射下，太阳能电池的光电转换效率可达23%.单片单晶硅太阳能电池可产生0.6 V 的电动势，可获得0.1 A的电流，则每秒照射到这种太阳能电池上的太阳光的能量是()A．0.24 J B．0.25 J C．0.26 J D．0.28 J9、如图1所示，R4是半导体材料制成的热敏电阻，电阻率随温度的升高而减小，这就是一个火警报警器的电路，电流表是安放在值班室的显示器，电源两极之间接一个报警器，当R4所在处出现火情时，显示器的电流I和报警器两端的电压U的变化情况是()A．I变大，U变小B．I变大，U变大C．I变小，U变大D．I变小，U变小10、某电源电动势6V和内阻为0.5Ω．用此电源与三个阻值均为3 Ω的电阻连接成电路，测得路端电压为4.8 V．则该电路可能为()二、多项选择题(本题共6小题，每小题4分，共24分)11、下列各量中，与检验电荷无关的物理量是()A．电场力F B．电场强度EC．电势差U D．电场力做的功W12、某静电场中的电场线如图188所示，带电粒子在电场中仅受静电力作用，其运动轨迹如图中虚线所示，由M运动到N，以下说法正确的是()A．粒子必定带正电荷B．由于M点没有电场线，粒子在M点不受静电力的作用C．粒子在M点的加速度小于它在N点的加速度D．粒子在M点的动能小于在N点的动能13、如图1108所示为“研究影响平行板电容器电容的因素”的实验装置，以下说法正确的是()A．A板与静电计的指针带的是异种电荷B．甲图中将B板上移，静电计的指针偏角增大C．乙图中将B板左移，静电计的指针偏角不变D．丙图中将电介质插入两板之间，静电计的指针偏角减小14．图示238是某导体的I-U图线，图中倾角为α＝45°，下列说法正确的是()A．通过电阻的电流与其两端的电压成正比B．此导体的电阻R＝2 ΩC．I-U图线的斜率表示电阻的倒数，所以电阻R＝cot 45°＝1.0 ΩD．在R两端加6.0 V电压时，每秒通过电阻截面的电量是6.0 C15、某学生做研究串联电路电压特点的实验时，接成如图5所示的电路，接通S后，他将多用电表电压挡的红、黑表笔并联在A、C两点间时，电压表读数为U；当并联在A、B两点间时，电压表读数也为U；当并联在B、C两点间时，电压表读数为零，故障的原因可能是()A．AB段断路B．BC段断路C．AB段短路D．BC段短路16如图2116所示是简化的多用电表的电路图．转换开关S与不同接点连接，就组成不同的电表，已知R3＜R4，下面是几位同学对这一问题的议论，请你判断下列说法正确的是()A．S与1或2连接时，多用电表就成了电流表，且前者量程较大B．S与3或4连接时，多用电表就成了电流表，且前者量程较大C．S与3或4连接时，多用电表就成了电压表，且前者量程较大D．S与5连接时，多用电表就成了欧姆表三、填空题(每空2分，共20分)17、长为l的导体棒原来不带电，现将一带电荷量为＋q的点电荷放在距棒左端R处，如图191所示．当棒达到静电平衡后，棒上的感应电荷在棒内中点P处产生的电场强度大小等于________，方向为________．18、如图所示，已知电源电动势E＝12 V，内阻r＝1 Ω，定值电阻R＝2 Ω，通过小灯泡的电流为1 A，已知小灯泡的电阻为3 Ω，小型直流电动机的线圈电阻为1 Ω，则电动机两端的电压V 电动机的输入功率W电动机的输出功率W 19、如图1713所示是匀强电场中的一组等势面，每两个相邻等势面间的距离都是25 cm，由此可确定电场强度的方向为及大小为N/C20、用伏安法测量一个定值电阻的电阻值，现有的器材规格如下：A．待测电阻R x(大约100 Ω)B．直流毫安表A1(量程0～10 mA，内阻约100 Ω)C．直流毫安表A2(量程0～40 mA，内阻约40 Ω)D．直流电压表V1(量程0～3 V，内阻约5 kΩ)E．直流电压表V2(量程0～15 V，内阻约15 kΩ)F．直流电源(输出电压4 V，内阻不计)G．滑动变阻器R(阻值范围0～50 Ω，允许最大电流1 A)H．开关一个、导线若干(1)根据器材的规格和实验要求，为使实验结果更加准确，直流毫安表应选________，直流电压表应选________．(2)本实验应采电流表的接法（填内或外）四、计算题(本题共3小题，共26分)21、(8分)如图10所示，在匀强电场中，将带电荷量q＝－6×10－6C的电荷从电场中的A点移到B点，克服电场力做了2.4×10－5J的功，再从B点移到C点，电场力做了1.2×10－5J 的功．求：(1)A、B两点间的电势差U AB和B、C两点间的电势差U BC；(2)如果规定B点的电势为零，则A点和C点的电势分别为多少？(3)作出过B点的一条电场线(只保留作图的痕迹，不写做法)．22、电路图2913甲所示，若电阻未知，电源电动势和内阻也未知，电源的路端电压U随电流I的变化图线及外电阻的U-I图线分别如图乙所示，求：图2913(1)电源的电动势和内阻；(2)电源的路端电压；(3)电源的输出功率．23、如图11217所示，水平放置的两平行金属板，板长为10 cm，两板相距2 cm.一束电子经加速电场后以v0＝4.0×107 m/s的初速度从两板中央水平射入板间，然后从板间飞出射到距板右端L为45 cm、宽D为20 cm的荧光屏上．(不计电子重力，荧光屏中点在两板间的中线上，电子质量m＝9.0×10－31 kg，电荷量e＝1.6×10－19 C)求：图11217(1)电子飞入两板前所经历的加速电场的电压；(2)若偏转电压为720V，则电子射出偏转电场时的竖直方向的位移为多少？(3)为使带电粒子能射中荧光屏所有位置，两板间所加电压的取值范围．杭州求是高级中学2014学年第一学期高二年级物理学科期中考试答案一、单项选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分)二、多项选择题(本题共6小题，每小题4分，共24分)11、答案BC12答案ACD13、BD14、答案AB18答案6V 6W 5W19、水平向右4020、答案(1)C D(2)外四、计算题(本题共3小题，共26分)21、答案(1)4 V－2 V(2)4 V 2 V22、答案(1)4 V 1 Ω(2)3 V(3)3 W解析(1)由题图乙所示UI图线知：电源电动势E＝4 V，短路电流I短＝4 A，故内阻r＝EI短＝1 Ω.(2)由图象知：电源与电阻构成闭合回路时对应路端电压U＝3 V.(3)由图象知：R＝3 Ω，故P出＝I2R＝3 W.由此看出，电子从偏转电场射出时，不论偏转电压多大，电子都像是从偏转电场的两极板间中线的中点沿直线射出一样，射出电场后电子做匀速直线运动恰好打在荧光屏的边缘上，结合图可得tan θ＝D /2L ＋l 2＝D 2L ＋l U 2＝Ddm v 20el (2L ＋l )，代入所有数据得U 2＝360 V 因此偏转电压在－360 V ～360 V 范围内时，电子可打在荧光屏上的任何位置．。

2014-2015学年浙江省杭州市求是高中高二（上）期中数学试卷（文科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共10小题，共40.0分)1.直线x=-1的倾斜角为（）A.0°B.45°C.90°D.135°【答案】C【解析】解：因为直线的方程为x=-1，为垂直于x轴的直线，故直线无斜率，故直线x=-1的倾斜角为90°，故选C直线x=-1，为垂直于x轴的直线，故直线无斜率，进而可得其倾斜角．本题考查直线的斜率与倾斜角的关系，是基础题．2.下列几何体中是旋转体的是（）①圆柱；②六棱锥；③正方体；④球体；⑤四面体．A.①和⑤B.①C.③和④D.①和④【答案】D【解析】解：①圆柱是旋转体；②六棱锥是多面体；③正方体是多面体；④球体是旋转体；⑤四面体是多面体．故选D．利用旋转体的概念直接进行判断．本题考查旋转体的定义，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．3.已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，以下有三种说法：①若α∥β，β∥γ，则γ∥α；②若α⊥γ，β∥γ，则α⊥β；③若m⊥β，m⊥n，n⊊β，则n∥β．其中正确说法的个数是（）A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】D【解析】解：对于①，若α∥β，β∥γ，由平面平行的传递性可知，γ∥α，故①正确；对于②，若α⊥γ，β∥γ，则α⊥β，故②正确；对于③，因为n⊊β，令n在β内的射影为n′，因为m⊥β，所以m⊥n′，又m⊥n，所以n∥n′，n′⊂β，n⊊β，所以n∥β，故③正确．故选：D．①利用空间平面平行的传递性可判断①；②利用面面平行的性质可判断②；③利用线面垂直的性质与线面平行的判定定理可判断③．本题考查空间线面平行、面面平行的判定与性质，考查空间想象能力，是对空间线面位置关系等基础知识的考查．4.在同一直角坐标系中，表示直线y=ax与y=x+a正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解：由y=x+a得斜率为1排除B、D，由y=ax与y=x+a中a同号知若y=ax递增，则y=x+a与y轴的交点在y轴的正半轴上；若y=ax递减，则y=x+a与y轴的交点在y轴的负半轴上；故选C．本题是一个选择题，按照选择题的解法来做题，由y=x+a得斜率为1排除B、D，由y=ax 与y=x+a中a同号知若y=ax递增，则y=x+a与y轴的交点在y轴的正半轴上；若y=ax 递减，则y=x+a与y轴的交点在y轴的负半轴上，得到结果．本题考查确定直线为主的几何要素，考查斜率和截距对于一条直线的影响，是一个基础题，这种题目也可以出现在直线与圆锥曲线之间的图形的确定．5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线AC1与平面ABCD所成的角为θ，则sinθ值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解：如图，∵C1C⊥ABCD，∴直线AC1与平面ABCD所成的角θ=∠C1AC，设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则C1C=1，AC1=，∴sinθ=sin∠C1AC===．故选C．由C1C⊥ABCD，知直线AC1与平面ABCD所成的角θ=∠C1AC，由此能求出sinθ的值．本题考查线面角的正弦值的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地化空间问题为平面问题．6.直线（a+2）x+（1-a）y-3=0与（a-1）x+（2a+3）y+2=0互相垂直，则a的值为（）A.-1B.1C.±1D.【答案】C【解析】解：由题意，∵直线（a+2）x+（1-a）y-3=0与（a-1）x+（2a+3）y+2=0互相垂直∴（a+2）（a-1）+（1-a）（2a+3）=0∴（a-1）（a+2-2a-3）=0∴（a-1）（a+1）=0∴a=1，或a=-1故选C．根据两条直线垂直的充要条件可得：（a+2）（a-1）+（1-a）（2a+3）=0，从而可求a 的值本题以直线为载体，考查两条直线的垂直关系，解题的关键是利用两条直线垂直的充要条件．7.已知一水平放置的四边形的平面直观图是边长为1的正方形，那么原四边形的面积为（）A. B.2 C.2 D.4【答案】C【解析】解：如图所示：该四边形的水平放置的平面直观及原四边形，由斜二测画法可知：原四边形是一个一条边长为1，其边上的高（对角线）为的平行四边形，故原四边形的面积S==．故选C．利用斜二测画法的规则即可求出．熟练掌握斜二测画法是解题的关键．8.若两条不同的直线与同一平面所成的角相等，则这两条直线（）A.平行B.相交C.异面D.以上皆有可能【答案】D【解析】解：如图在正方体ABCD_A1B1C1D1中A1A，B1B与底面ABCD夹角相等，此时两直线平行；A1B1，B1C1与底面ABCD夹角相等，此时两直线相交；A1B1，BC与底面ABCD夹角相等，此时两直线异面；故选A根据直线与平面所成的角的定义，可得两条不同的直线与同一平面所成的角相等，则两条直线可能平行，可能相交，也可能异面本题考查的知识点是空间直线与直线之间的位置关系，熟练掌握空间直线与直线位置关系的定义及几何特征是解答的关键．9.一座楼房由若干个房间组成，该楼的三视图如图所示．则该楼中最高一层的那个房间在大楼的位置是（）A.右前上方B.左前上方C.右后上方 D.左后上方【答案】C【解析】解：由该楼的正视图知该楼中最高一层的那个房间在大楼的右侧，由该楼的侧视图知该楼中最高一层的那个房间在大楼的后方，由该楼的俯视图知该楼中最高一层的那个房间在大楼的上方，∴该楼中最高一层的那个房间在大楼右后上方．故选C．由该楼的三视图，逐步判断该楼中最高一层的那个房间在大楼的位置．本题考查三视图的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意空间想象能力的培养．10.在正方形SG1G2G3中，E、F分别是G1G2及G2G3的中点，D是EF的中点，现在沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1、G2、G3三点重合，重合后的点记为G，那么，在四面体S-EFG中必有（）A.SG⊥△EFG所在平面B.SD⊥△EFG所在平面C.GF⊥△SEF所在平面D.GD⊥△SEF所在平面【答案】A【解析】解：∵在折叠过程中，始终有SG1⊥G1E，SG3⊥G3F，即SG⊥GE，SG⊥GF，所以SG⊥平面EFG．故选A．根据题意，在折叠过程中，始终有SG1⊥G1E，SG3⊥G3F，即SG⊥GE，SG⊥GF，由线面垂直的判定定理，易得SG⊥平面EFG，分析四个答案，即可给出正确的选择．线线垂直可由线面垂直的性质推得，直线和平面垂直，这条直线就垂直于平面内所有直线，这是寻找线线垂直的重要依据．垂直问题的证明，其一般规律是“由已知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来．二、填空题(本大题共6小题，共24.0分)11.直线x-4y-1=0与直线2x+y-2=0的交点坐标是______ ．【答案】（1，0）【解析】解：解方程组，得x=1，y=0，∴直线x-4y-1=0与直线2x+y-2=0的交点坐标是（1，0）．故答案为：（1，0）解方程组得到直线x-4y-1=0与直线2x+y-2=0的交点坐标．本题考查两条直线的交点坐标的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．12.已知原点O到直线3x+4y=15的距离为______ ．【答案】3【解析】解：原点O（0，0）到直线3x+4y=15的距离为：d==3．故答案为：3．利用点到直线的距离公式求解．本题考查点到直线的距离的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．13.设图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为______ ．【答案】【解析】解：由该几何体的三视图，知：该几何体的上半部分是直径为3的球，下半部分是正四棱柱，正棱柱的底是边长为3的正方形，正四棱柱的高为2，∴该几何体的体积V=+32×2=．故答案为：．由该几何体的三视图，知该几何体的上半部分是直径为3的球，下半部分是正四棱柱，正棱柱的底是边长为3的正方形，正四棱柱的高为2，由此能求出该几何体的体积．本题考查由几何体的三视图求几何体的体积，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．14.R t△ABC中，AB=3，BC=4，AC=5，将三角形绕直角边AB旋转一周所成的几何体的体积为______ ．【答案】16π【解析】解：旋转一周所成的几何体是底面以BC为半径，以AB为高的圆锥，所以圆锥的体积：=16π．故答案为：16πR t△ABC中，AB=3，BC=4，AC=5，将三角形绕直角边AB旋转一周所成的几何体是圆锥，推出底面半径和高，即可求出几何体的体积．本题是基础题，考查旋转体的体积，正确推测几何体的图形形状，求出有关数据，是本题的关键．15.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC所成的角的余弦值为______ ．【答案】【解析】解：连接DE，设AD=2易知AD∥BC，∴∠DAE就是异面直线AE与BC所成角，在△R t ADE中，由于DE=，AD=2，可得AE=3∴cos∠DAE==，故答案为：．根据题意知AD∥BC，∴∠DAE就是异面直线AE与BC所成角，解三角形即可求得结果．此题是个基础题．考查异面直线所成角问题，求解方法一般是平移法，转化为平面角问题来解决，体现了数形结合和转化的思想．16.设l是经过点A（3，5）的任意一条直线，原点到直线l的距离为d，则对应于d取得最大值时的直线l的方程为______ ．【答案】3x+5y-34=0【解析】解：当所求直线与点A与原点的连线垂直时d取得最大值，由=可知所求直线的斜率为，故可得直线的方程为y-5=（x-3），化为一般式可得3x+5y-34=0，故答案为：3x+5y-34=0由题意当所求直线与点A与原点的连线垂直时d取得最大值，进而可得其斜率，由点斜式方程可得，化为一般式即可．本题考查直线方程的求解，得出当所求直线与点A与原点的连线垂直时d取得最大值是解决问题的关键，属基础题．三、解答题(本大题共4小题，共36.0分)17.已知直线l经过直线l1：3x+4y-2=0与直线l2：2x+y+2=0的交点P，且垂直于直线x-4y-1=0．（1）求直线l的方程；（2）求直线l与两坐标轴围成的三角形的面积S．【答案】解：（1）∵直线l经过直线l1：3x+4y-2=0与直线l2：2x+y+2=0的交点P，∴解方程组，得P（-2，2），∵l垂直于直线x-4y-1=0，∴设直线l的方程为4x+y+c=0，把P（-2，2）代入，得-8+2+c=0，解得c=6，∴直线l的方程为4x+y+6=0．（2）在直线l：4x+y+6=0中，令x=0，得y=-6；令y=0，得x=-．∴直线l与两坐标轴围成的三角形的面积：S==．【解析】（1）解方程组，得P（-2，2），由l垂直于直线x-4y-1=0，设直线l 的方程为4x+y+c=0，由此能求出直线l的方程．（2）在直线l：4x+y+6=0中，令x=0，得y=-6；令y=0，得x=-．由此能求出直线l与两坐标轴围成的三角形的面积．本题考查直线的方程的求法，考查直线与两坐标轴围成的面积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线方程性质的合理运用．18.已知两条直线l1：mx+8y+n=0和l2：2x+my-1=0，试分别确定m、n的值，使：（1）l1与l2相交于一点P（m，1）；（2）l1∥l2且l1过点（3，-1）；（3）l1⊥l2且l1在y轴上的截距为-1．【答案】解：（1）由于l1与l2相交于一点P（m，1），把点P（m，1）代入l1，l2的方程得m2+8+n=0，2m+m-1=0，联立解得，n=-．（2）∵l1∥l2且l1过点（3，-1），∴，解得或（3）由l1⊥l2且l1在y轴上的截距为-1，当m=0时，l1的方程化为8y+n=0，l2的方程化为2x-1=0．∴-8+n=0，解得n=8．∴m=0，n=8．而m≠0时，直线l1与l2不垂直．综上可知：m=0，n=8．【解析】（1）由于l1与l2相交于一点P（m，1），把点P（m，1）代入l1，l2的方程得m2+8+n=0，2m+m-1=0，联立解得即可．（2）由于l1∥l2且l1过点（3，-1），根据平行线的斜率相等及点适合直线l1的方程可得，解得即可；（3）由l1⊥l2且l1在y轴上的截距为-1，当m=0时，l1的方程化为8y+n=0，l2的方程化为2x-1=0．可得-8+n=0，解得即可．而m≠0时，直线l1与l2不垂直．本题考查了直线的平行、垂直与斜率的关系、直线相交问题，属于中档题．19.如图，正方形ABCD和正方形CDEF所在平面互相垂直，M为FC的中点．（1）求证：AF∥平面MBD；（2）求异面直线AF与BM所成角的余弦值．【答案】证明：（1）连接AC，BD交于点O，连接MO∵ABCD为正方形，∴O为AC中点∵△ACF中，M为EC中点∴MO∥AF又∵MO⊂平面MBD，AF⊄平面MBD，∴AF∥平面MBD．（2）解：根据（1）得AF∥OM，AF与BM所成角即∠OMB，设正方形边长为a，则AC=a，AF=a，MO=AF=a，MC=a∴MB==a∴cos∠BMO===．【解析】（1）连接AC，BD交于点O，连接MO，可得△ACF中，MO为中位线，即MO∥AF，进而由线面平行的判定定理可得AF∥平面MBD；（2）由（1）中MO∥AF，可得AF与BM所成角即∠OMB，解三角形可得：异面直线AF与BM所成角的余弦值．本题考查的知识点是异面直线及其所成的角，直线与平面平行的判定，难度中档．20.如图，四棱锥P-ABCD的底面是梯形，AD∥BC，BA=AD=BC=2，∠ABC=60°，△PAB是等边三角形，平面PAB⊥平面ABCD，M是PC中点．（1）求证：DM∥平面PAB；（2）求直线BM与平面PAB所成角的大小．【答案】（1）证明：取PB中点N，连NM，NA，∵，，，，∴NM∥AD，NM=AD，∴四边形NMDA为平行四边形，从而DM∥AN，又AN⊂平面PAB，DM⊄平面PAB，∴DM∥平面PAB；（2）解：连接AC，则∵AB=2，BC=4，∠ABC=60°∴AC==2∴AC⊥AB∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，∴AC⊥平面PAB取PA中点G，连接MG，则MG∥AC，MG=，∴MG⊥平面PAB连接GB，则∠MBG为直线BM与平面PAB所成角在正三角形PAB中，BG=AB=∴tan∠MBG==1∴∠MBG=45°，即直线BM与平面PAB所成角为45°．【解析】（1）取PB中点N，连NM，NA，证明四边形NMDA为平行四边形，可得DM∥AN，利用线面平行的判定，可得线面平行；（2）取PA中点G，连接MG，连接GB，则∠MBG为直线BM与平面PAB所成角，从而可得结论．本题考查线面平行，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，正确作出线面角是关键．。

2014-2015学年浙江省杭州市重点中学联考高二（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）直线x+y+=0的倾斜角是（）A．30°B．45°C．60°D．120°2．（4分）下列说法正确的是（）A．棱柱的底面一定是平行四边形B．棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥C．圆台平行于底面的截面是圆面D．半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球3．（4分）已知两条直线l1：kx+（1﹣k）y﹣3=0和l2：（k﹣1）x+2y﹣2=0互相垂直，则k=（）A．1或﹣2 B．﹣1或2 C．1或2 D．﹣1或﹣24．（4分）直线l与直线y=1，直线x=5分别交于P，Q两点，PQ中点为M（1，﹣1），则直线l的斜率是（）A．﹣ B．C．2 D．﹣25．（4分）已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，α⊥β，则m⊥βC．若m∥α，m∥β，则α∥βD．若m∥n，m⊥α，n⊂β，则α⊥β6．（4分）如图，是一个空间几何体的三视图，其主（正）视图是一个边长为2的正三角形，俯视图是一个斜边为2的等腰直角三角形，左（侧）视图是一个两直角边分别为和1的直角三角形，则此几何体的体积为（）A．B．1 C．D．27．（4分）若直线ax+by+c=0（ab≠0）在两坐标轴上的截距相等，则a，b，c满足的条件是（）A．a=b B．|a|=|b| C．c=0或a=b D．c=0或|a|=|b|8．（4分）ABCD为空间四边形，AB=CD，AD=BC，AB≠AD，M、N分别是对角线AC与BD的中点，则MN与（）A．AC、BD之一垂直B．AC、BD都垂直C．AC、BD都不垂直D．AC、BD不一定垂直9．（4分）如图，三棱锥P﹣ABC的底面是正三角形，各条侧棱均相等，∠APB ＜60°．设动点D、E分别在线段PB、PC上，点D由P运动到B，点E由P运动到C，且满足DE∥BC，则下列结论正确的是（）A．当点D满足AD⊥PB时，△ADE的周长最小B．当点D为PB的中点时，△ADE的周长最小C．当点D满足=时，△ADE的周长最小D．在点D由P运动到B的过程中，△ADE的周长先减小后增大10．（4分）在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，P为棱AA′上一动点，Q为底面ABCD上一动点，M是PQ的中点，若点P，Q都运动时，点M构成的点集是一个空间几何体，则这个几何体是（）A．棱柱B．棱台C．棱锥D．球的一部分二．填空题（共7小题，每小题4分，共28分）11．（4分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为AA1，AB，BB1，B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于．12．（4分）已知长方体的三边长分别是3，4，5，则它的外接球的表面积是．13．（4分）已知圆锥的底面半径为1，且这个圆锥的侧面展开图形是一个半圆，则该圆锥的母线长为．14．（4分）如图，在三棱柱ABC﹣A′B′C′中，底面ABC是正三角形，AA′⊥底面ABC，且AB=1，AA′=2，则直线BC′与平面ABB′A′所成角的正弦值为．15．（4分）如图1，已知三棱锥的各棱长都为1，它的正视图是如图2所视的等腰三角形，则该四面体的侧视图面积为．16．（4分）已知实数a、b、c满足a﹣b﹣c=0则原点O（0，0）到直线ax+by+c=0的距离的最大值为．17．（4分）若当x∈（﹣1，+∞）时，k（x+1）＜|x+k+2|﹣1（k∈R）恒成立，则实数k的取值范围是．三、解答题：（共4小题，共52分，解题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）18．（12分）如图多面体中，正方形ADEF所在的平面与直角梯形ABCD所在的平面垂直，且AD=AB=CD，AB∥CD，M为CE的中点．（1）证明：BM∥平面ADEF；（2）证明：平面BCE⊥平面BDE．19．（12分）已知点A（2，2），直线l：y=2x+1．（1）求点A关于直线l的对称点A′的坐标；（2）当点B，C分别在x轴和直线l上运动时，求△ABC周长的最小值．20．（14分）在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠APB=90°，=4，且PM⊥CD，AB=BC=2PB=2AD．（1）证明：面PAB⊥面ABCD；（2）求直线DM与平面PCD所成角的正弦值．21．（14分）在图1等边三角形ABC中，AB=2，E是线段AB上的点（除点A外），过点E作EF⊥AC于点F，将△AEF 沿EF折起到△PEF（点A与点P重合，如图2），使得∠PFC=．（1）求证：EF⊥PC；（2）试问，当点E在线段AB上移动时，二面角P﹣EB﹣C的大小是否为定值？若是，求出这个二面角的平面角的正切值，若不是，请说明理由．2014-2015学年浙江省杭州市重点中学联考高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）直线x+y+=0的倾斜角是（）A．30°B．45°C．60°D．120°【解答】解：直线x+y+=0的斜率为：﹣，所以直线x+y+=0的倾斜角为α，则tan，所以α=120°．故选：D．2．（4分）下列说法正确的是（）A．棱柱的底面一定是平行四边形B．棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥C．圆台平行于底面的截面是圆面D．半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球【解答】解：根据柱、锥、台、球的定义，可得圆台平行于底面的截面是圆面，故选：C．3．（4分）已知两条直线l1：kx+（1﹣k）y﹣3=0和l2：（k﹣1）x+2y﹣2=0互相垂直，则k=（）A．1或﹣2 B．﹣1或2 C．1或2 D．﹣1或﹣2【解答】解：∵直线l1：kx+（1﹣k）y﹣3=0和l2：（k﹣1）x+2y﹣2=0互相垂直∴k（k﹣1）+2（1﹣k）=0∴k2﹣3k+2=0∴k=2或k=1故选：C．4．（4分）直线l与直线y=1，直线x=5分别交于P，Q两点，PQ中点为M（1，﹣1），则直线l的斜率是（）A．﹣ B．C．2 D．﹣2【解答】解：∵直线l与直线y=1，x=5分别交于点P，Q，∴P，Q点的坐标分别为：P（a，1），Q（5，b），∵线段PQ的中点坐标为M（1，﹣1），∴由中点坐标公式得：=1，=﹣1，∴a=﹣3，b=﹣3；∴直线l的斜率k===﹣．故选：A．5．（4分）已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，α⊥β，则m⊥βC．若m∥α，m∥β，则α∥βD．若m∥n，m⊥α，n⊂β，则α⊥β【解答】解：若m∥α，n∥α，则m∥n或m，n相交、异面，即A不正确；∵若m∥α，α⊥β，则m可以与β垂直、平行，相交或m⊂β，即B不正确．若m∥α，m∥β，则α∥β或m与α、β交线平行，即C不正确；直线m⊥平面α，直线n⊂平面β，m∥n，∴α⊥β．故D成立；故选：D．6．（4分）如图，是一个空间几何体的三视图，其主（正）视图是一个边长为2的正三角形，俯视图是一个斜边为2的等腰直角三角形，左（侧）视图是一个两直角边分别为和1的直角三角形，则此几何体的体积为（）A．B．1 C．D．2【解答】解：由题意可得：几何体是一个三棱锥，如图所示，AC⊥平面BCD，AB=AD=BD=2，AC=，因为左（侧）视图是一个两直角边分别为和1的直角三角形，所以△BCD的高为1．所以三棱锥的体积为：=．故选：A．7．（4分）若直线ax+by+c=0（ab≠0）在两坐标轴上的截距相等，则a，b，c满足的条件是（）A．a=b B．|a|=|b| C．c=0或a=b D．c=0或|a|=|b|【解答】解：当c=0时，直线ax+by+c=0（ab≠0）过原点，在两坐标轴上的截距相等．当c≠0时，直线在两坐标轴上的截距分别为﹣和﹣，由题意可得﹣=﹣，故a=b．综上，当c=0或c≠0且a=b时，直线ax+by+c=0（ab≠0）在两坐标轴上的截距相等，故选：C．8．（4分）ABCD为空间四边形，AB=CD，AD=BC，AB≠AD，M、N分别是对角线AC与BD的中点，则MN与（）A．AC、BD之一垂直B．AC、BD都垂直C．AC、BD都不垂直D．AC、BD不一定垂直【解答】解：连接AM、CM，在△ABD与△CDB中，∴△ABD≌△CDB又∵AM、CM分别为两全等三角形对应边BD上的中线，∴AM=CM∵△ACM是等腰三角形，又∵MN为△ACM底边AC上的中线，∴MN⊥AC．同理，MN⊥BD故MN与AC、BD都垂直故选：B．9．（4分）如图，三棱锥P﹣ABC的底面是正三角形，各条侧棱均相等，∠APB ＜60°．设动点D、E分别在线段PB、PC上，点D由P运动到B，点E由P运动到C，且满足DE∥BC，则下列结论正确的是（）A．当点D满足AD⊥PB时，△ADE的周长最小B．当点D为PB的中点时，△ADE的周长最小C．当点D满足=时，△ADE的周长最小D．在点D由P运动到B的过程中，△ADE的周长先减小后增大【解答】解：由题意得△ADE是一个等腰三角形，AD=AE，∵在D点由P到B的运动过程中，两腰长先减小后增大，故可得△ADE周长也会先减小后增大，故选：D．10．（4分）在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，P为棱AA′上一动点，Q为底面ABCD上一动点，M是PQ的中点，若点P，Q都运动时，点M构成的点集是一个空间几何体，则这个几何体是（）A．棱柱B．棱台C．棱锥D．球的一部分【解答】解：由题意知，当P在A′处，Q在AB上运动时，M的轨迹为过AA′的中点，在平面AA′B′B内平行于AB的线段（靠近AA′），当P在A′处，Q在AD上运动时，M的轨迹为过AA′的中点，在平面AA′D′D内平行于AD的线段（靠近AA′），当Q在B处，P在AA′上运动时，M的轨迹为过AB的中点，在平面AA′B′B内平行于AA′的线段（靠近AB），当Q在D处，P在AA′上运动时，M的轨迹为过AD的中点，在平面AA′B′B内平行于AA′的线段（靠近AD），当P在A处，Q在BC上运动时，M的轨迹为过AB的中点，在平面ABCD内平行于AD的线段（靠近AB），当P在A处，Q在CD上运动时，M的轨迹为过AD的中点，在平面ABCD内平行于AB的线段（靠近AB），同理得到：P在A′处，Q在BC上运动；P在A′处，Q在CD上运动；P在A′处，Q在C处，P在AA′上运动；P、Q都在AB，AD，AA′上运动的轨迹．进一步分析其它情形即可得到M的轨迹为棱柱体．故选：A．二．填空题（共7小题，每小题4分，共28分）11．（4分）如图，在正方体ABCD﹣A 1B1C1D1中，E，F，G，H分别为AA1，AB，BB1，B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于60°．【解答】解：取A1B1 中点M连接MG，MH，则MG∥EF，MG 与GH所成的角等于EF与GH所成的角．容易知道△MGH为正三角形，∠MGH=60°∴EF与GH所成的角等于60°故答案为：60°12．（4分）已知长方体的三边长分别是3，4，5，则它的外接球的表面积是50π．【解答】解：∵长方体从同一顶点出发的三条棱的长分别为3，4，5，∴长方体的对角线长为：=5，∵长方体的对角线长恰好是外接球的直径，∴球半径为R=，可得球的表面积为4πR2=50π．故答案为：50π．13．（4分）已知圆锥的底面半径为1，且这个圆锥的侧面展开图形是一个半圆，则该圆锥的母线长为2．【解答】解：设母线长为x，根据题意得2πx÷2=2π×1，解得x=2．故答案为：2．14．（4分）如图，在三棱柱ABC﹣A′B′C′中，底面ABC是正三角形，AA′⊥底面ABC，且AB=1，AA′=2，则直线BC′与平面ABB′A′所成角的正弦值为．【解答】解：如图所示，取A′B′的中点D，连接C′D′，BD．∵底面△A′B′C′是正三角形，∴C′D⊥A′B′．∵AA′⊥底面ABC，∴A′A⊥C′D．又AA′∩A′B′=A′，∴C′D⊥侧面ABB′A′，∴∠C′BD是直线BC′与平面ABB′A′所成角．∵等边△A′B′C′的边长为1，C′D=．在Rt△BB′C′中，BC′==．∴直线BC′与平面ABB′A′所成角的正弦值==．故答案为：．15．（4分）如图1，已知三棱锥的各棱长都为1，它的正视图是如图2所视的等腰三角形，则该四面体的侧视图面积为．【解答】解：∵三棱锥的各棱长都为1，它的正视图是如图2所视的等腰三角形，∴三棱锥的高为h==，∴侧视图为等腰三角形，底面边长为AB=，BC=，C到AB的高为：，∴=故答案为：，16．（4分）已知实数a、b、c满足a﹣b﹣c=0则原点O（0，0）到直线ax+by+c=0的距离的最大值为．【解答】解：因为直线ax+by+c=0，又a﹣b﹣c=0，所以直线过定点（﹣1，1），所以原点O（0，0）到直线ax+by+c=0的距离的最大值即为原点到定点的距离：．故答案为：17．（4分）若当x∈（﹣1，+∞）时，k（x+1）＜|x+k+2|﹣1（k∈R）恒成立，则实数k的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[0，1] ．【解答】解：要使x∈（﹣1，+∞）时，k（x+1）＜|x+k+2|﹣1（k∈R）恒成立（1）当k+1≥0时，x+k+2≥0，故命题化为：kx+k＜x+k+2﹣1，即kx＜x+1对x∈（﹣1，+∞）时恒成立，只要0≤k≤1即可如图（1）．图（1）（2）当k+1＜0时，∵x∈（﹣1，+∞）时，∴x+1＞0，令t=x+1，则t∈（0，+∞）故命题化为：kt＜|t+k+1|﹣1，对t∈（0，+∞）恒成立，再用x表示t则命题化为：kx+1＜|x+k+1|，对x∈（0，+∞）恒成立，只要x∈（0，+∞）时，y=kx+1在y=|x+k+1|的上方即可，如图（2）．只要﹣k﹣1≥1即可，∴k≤﹣2图（2）综上，k的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[0，1]三、解答题：（共4小题，共52分，解题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）18．（12分）如图多面体中，正方形ADEF所在的平面与直角梯形ABCD所在的平面垂直，且AD=AB=CD，AB∥CD，M为CE的中点．（1）证明：BM∥平面ADEF；（2）证明：平面BCE⊥平面BDE．【解答】证明：（1）取DE中点N，连接MN，AN在△EDC中，M、N分别为EC，ED的中点，所以MN∥CD，且MN=CD．由已知AB∥CD，AB=CD，所以MN∥AB，且MN=AB．所以四边形ABMN为平行四边形，所以BM∥AN又因为AN⊂平面ADEF，且BM⊄平面ADEF，所以BM∥平面ADEF．（2）在正方形ADEF中，ED⊥AD，又因为平面ADEF⊥平面ABCD，且平面ADEF∩平面ABCD=AD，所以ED⊥平面ABCD，所以ED⊥BC．在直角梯形ABCD中，AB=AD=2，CD=4，可得BC=2在△BCD中，BD=BC=2，CD=4，所以BC⊥BD．所以BC⊥平面BDE，又因为BC⊂平面BCE，所以平面BCE⊥平面BDE．19．（12分）已知点A（2，2），直线l：y=2x+1．（1）求点A关于直线l的对称点A′的坐标；（2）当点B，C分别在x轴和直线l上运动时，求△ABC周长的最小值．【解答】解：（1）设A′（a，b），则由点A关于直线l的对称点A′，可得，解得，故A′的坐标为（﹣，）．（2）由于点A关于x轴的对称点A2（2，﹣2），|A′A2|==，∴△ABC的周长的最小值为．20．（14分）在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠APB=90°，=4，且PM⊥CD，AB=BC=2PB=2AD．（1）证明：面PAB⊥面ABCD；（2）求直线DM与平面PCD所成角的正弦值．【解答】（1）证明：由AB=2PB=4BM，得PM⊥AB，又因为PM⊥CD，且AB，CD相交，所以PM⊥面ABCD，且PM⊂面PAB．所以，面PAB⊥面ABCD．…（6分）（2）解：过点M作MH⊥CD，连结HP，因为PM⊥CD，且PM∩MH=M，所以CD⊥平面PMH，又由CD⊂平面PCD，得到平面PMH⊥平面PCD，平面PMH⊥平面PCD=PH，过点M作MN⊥PH，即有MN⊥平面PCD，连结DN，则∠MDN为直线DM与平面PCD所成角．…（10分）在四棱锥P﹣ABCD中，设AB=2t，则DM=t，PM=t，MH=t，∴PH=t，MN=t，从而sin∠MDN==，…（13分）即直线DM与平面PCD所成角的正弦值为．…（14分）21．（14分）在图1等边三角形ABC中，AB=2，E是线段AB上的点（除点A外），过点E作EF⊥AC于点F，将△AEF 沿EF折起到△PEF（点A与点P重合，如图2），使得∠PFC=．（1）求证：EF⊥PC；（2）试问，当点E在线段AB上移动时，二面角P﹣EB﹣C的大小是否为定值？若是，求出这个二面角的平面角的正切值，若不是，请说明理由．【解答】（1）证明：∵EF⊥PF，EF⊥FC，又由PF∩FC=F∴EF⊥平面PFC又∵PC⊂平面PFC∴EF⊥PC；（2）解：由（1）知，EF⊥平面PFC，∴平面BCFE⊥平面PFC作PH⊥FC，则PH⊥平面BCFE，作HG⊥BE，连接PG，则BE⊥PG∴∠PGH是个二面角的平面角，设AF=x，则0＜x≤1，∵∠PFC=60°，∴FH=，PH=x，∵GH=x，∴tan∠PGH==，∴二面角P﹣EB﹣C的大小是定值．。

浙江省杭州地区（含周边）重点中学 2014—2015学年度上学期期末考试高二数学文试题考生须知：1．本卷满分120分，考试时间100分钟；2．答题前，在答题卷密封区内填写班级、学号和姓名；座位号写在指定位置； 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效； 4．考试结束后，只需上交答题卷。

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．半径为2cm 的球的体积是（ ▲ ） A ． cm 3 B ． cm 3 C ． cm 3 D ． cm 3 2．直线x ＝－的倾斜角和斜率分别是（ ▲ ） A ．45°，1 B ．135°，－1 C ．90°，不存在 D ．180°，不存在 3.已知实数，则是且的（ ▲ ）条件A 充分不必要B 必要不充分C 充要D 既不充分也不必要4.设是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是（ ▲ ）A ．若，则 B ．若，则C ．若，则 D ．若，则5．六个棱长为1的正方体在桌面上堆叠成一个几何体，该几何体的正视图与俯视图如下图所示，则其左视图不可能为（ ▲ ）A. B. C. D.6．若直线与圆2240x y kx my +++-=交于M ，N 两点，且M ，N 关于直线对称，则的值是（ ▲ ） A ． B ．0 C ． D ． 3 7.已知双曲线与椭圆共顶点，且焦距是6，此双曲线的渐近线是（ ▲ ） A ． B ． C ． D ．8．已知椭圆的左、右焦点分别为、，过且斜率为2的直线交椭圆于、两点，若△为直角三角形，则椭圆的离心率为（ ▲ ）A ．53B ．23C ．23D ．139.三棱柱中，与、所成角均为，，且，则与所成角的余弦值为（ ▲ ）A ．1B ．－1C ．D ．－10．已知ABCD-ABCD 是边长为1的正方体，P 为线段AB 上的动点，Q 为底面ABCD 上的动点，则最小值为（ ▲ ） A ． B ． C ．2 D ． 二．填空题（共7小题，每小题4分，共28分）11.在空间直角坐标系中，是点关于轴的对称点，则= ___▲___． 12.两平行直线与之间的距离为___▲___．13.设抛物线的准线为，为抛物线上的动点，定点，则与点到准线的距离之和的最小值为___▲___． 14. 某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为___▲___．15.如图四边形是边长为1的正方形，平面，平面，且,为中点，则下列结论中正确的是___▲___．①； ②//平面； ③平面平面； ④平面//平面.16.已知分别是双曲线的左右焦点，A 是双曲线在第一象限内的点，若且，延长交双曲线右支于点B ，则的面积等于___▲___．17.已知动点在椭圆上，若A 点的坐标为(6,0)，，且，则的最小值为___▲___．三、解答题：（共4小题，共52分，解题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 18.（本题满分12分）已知命题13102:22=-+-m y m x p 方程表示焦点在轴上的椭圆； 已知命题125:22=+-my m x q 方程表示双曲线； 若为真，为假，求实数的取值范围。

浙江省杭州求是高级中学2014-2015学年高二上学期期中考试数学（文）试题参考公式：球的表面积公式24S R π= 柱体的体积公式V Sh = 球的体积公式334R V π= 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高其中R 表示球的半径 台体的体积公式)(312211S S S S h V ++=锥体的体积公式13V Sh = 其中S 1、S 2分别表示台体的上、下底面积h 表示台体的高其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高。

一、选择题：(本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

)1．直线x ＝－1的倾斜角为（ ▲ ）Ａ．0︒ Ｂ．45︒ Ｃ．90︒ Ｄ．135︒ 2．下列几何体中是旋转体的是（ ▲ ）①圆柱；②六棱锥；③正方体；④球体；⑤四面体。

A ． ①和⑤ B ． ① C ． ③和④ D ． ①和④ 3．已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，以下有三种说法：①若α∥β，β∥γ，则γ∥α； ②若α⊥γ，β∥γ，则α⊥β； ③若m ⊥β，m ⊥n ，n β⊆/,则n ∥β. 其中正确命题的个数是（ ▲ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4．在同一直角坐标系中，表示直线y ax =与y x a =+正确的是（ ▲ ）5．在正方体1111D C B A ABCD -中，直线1AC 与平面ABCD 所成的角为θ，则θsin 值为（ ▲ ）A ．21 B. 23 C.22 D. 336．直线()()2130a x a y ++--= 与()()12320a x a y -+++=互相垂直，则a =( ▲ ) A ．－1 B ．1 C ．1± D ．－327．已知一水平放置的四边形的平面直观图是边长为1的正方形，那么原四边形的面积为（▲）A ．2 C ．．48．若两条不同的直线与同一平面所成的角相等，则这两条直线（ ▲ ）A.平行B.相交C.异面D. 以上皆有可能9．一座楼房由若干个房间组成，该楼的三视图如下图所示。

杭州二中2014学年第一学期高二年级期中考试数学卷(文科)一、选择题（每题3分，共30分）1.设n m ,是不同的直线，,αβ是不同的平面，下列命题中正确的是 A ．若//m ,,,n m n αβαβ⊥⊥⊥则B ．若m //,,//,n m n αβαβ⊥⊥则C ．若//m ,,,//n m n αβαβ⊥⊥则D ．若m //,,//,//n m n αβαβ⊥则2.正方体1111D C B A ABCD -中，N M 、分别是BC CC ,1的中点，则过N M A 、、三点的正方体1111D C B A ABCD -的截面形状是A ．平行四边形B ．直角梯形C ．等腰梯形D ．以上都不对3.如图，在三棱锥ABC S -中，底面是边长为1的等边三角形，侧棱长均为2，⊥SO 底面ABC ，O 为垂足，则侧棱SA 与底面ABC 所成角的余弦值为 A ．23 B ．21 C ．33 D ．634.若点()n m P ,，)1,1(+-m n Q 关于直线l 对称，则l 的方程是A ．01=+-y xB ．0=-y xC ．01=++y xD ．0=+y x 5.直三棱柱111ABC A B C -中，090=∠BCA ，M N 、分别是1111A B A C 、的中点，1BC CA CC ==，则BM 与AN 所成的角的余弦值为A ．110B ．25C D 6.如图，在正方体1111D C B A ABCD -中,下面结论错误的是 A.BD ∥平面11D CB B. 异面直线AD 与1CB 所成的角为30° C.1AC ⊥平面11D CB D. 1AC BD ⊥7.如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为 B.4π C.8π D.16π 6题 7题SBA CO3题8.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为线段BD 的中点.设点P 在线段1CC 上，直线OP 与平面1A BD 所成的角为α，则sin α的取值范围是A.B.C.D.9.在O 点测量到远处有一物体在做匀速直线运动，开始时该物体位于P 点，一分钟后，其位置在Q 点，且90POQ ∠=，再过两分钟后，该物体位于R 点，且30QOR ∠=，则tan OPQ ∠的值为10．三棱锥ABC O -中，OC OB OA ,,两两垂直且相等，点Q P ,分别是线段BC 和OA 上移动，且满足BC BP 21≤，AO AQ 21≤，则PQ 和OB 所成角余弦值的取值范围是 A.]552,33[B.]22,33[C.]552,66[D.]22,66[ 二、填空题（每题4分，共24分）11.两条平行直线011801243=++=-+y ax y x 与之间的距离为_________.12.在平面直角坐标系xOy 中，已知点(0,2),(2,0),(1,0)A B C -，分别以ABC ∆的边AB AC 、向外作正方形ABEF 与ACGH ，则直线FH 的一般式方程为 .13.已知1111D C B A ABCD -为正方体，①(1A A ＋11A D ＋11A B )2＝311A B 2；②1AC ·(11A B 1A DO1D 1C 1B CBA8题APQ ODCB－1A A )＝0；③向量1AD 与向量1A B 的夹角是60°；④正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的体积为|AB ·1A A ·AD |.其中正确命题的序号是________．14题 15题14.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点M 是面对角线1A B 上的动点，则1AM MD + 的最小值为 ．15．如图，在三棱锥BCD A -中，2====AD AB DC BC ，2=BD ，平面⊥ABD 平面BCD ，O 为BD 中点，点Q P ,分别为线段BC AO ,上的动点（不含端点），且CQ AP =，则三棱锥QCO P -体积的最大值为________．16．在平面直角坐标系中，定义点()11,y x P 、()22,y x Q 之间的“直角距离”为.),(2121y y x x Q P d -+-=若()y x C ,到点()3,1A 、()9,6B 的“直角距离”相等，其中实数x 、y 满足100≤≤x 、100≤≤y ，则所有满足条件的点C 的轨迹的长度之和为 ． 三、解答题（共46分）17．（10分）(1)已知C B A ,,三点坐标分别为()2,1,2-，()1,5,4-，()3,2,2-，求点P 的坐标使得()-=21； (2)已知()4,5,3-=，()8,1,2=，求：①⋅；②与夹角的余弦值； ③确定λ，μ的值使得μλ+与z 轴垂直，且()()53=+⋅+μλ.18.（12分）一个几何体是由圆柱11A ADD 和三棱锥ABC E -组合而成,点C B A ,,在圆O 的圆周上,其正(主)视图,侧(左)视图的面积分别为10和12,如图所示,其中⊥EA 平面ABC ,AC AB ⊥,AC AB =.2=AE .(1)求证：BD AC ⊥.(2)求三棱锥BCD E -的体积.19．（12分）如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，F E ,分别是11A B 、1CC 的中点，过1D 、E 、F 作平面1D EGF 交1BB 于G ． (l)求证：EG ∥1D F ；(2)求二面角11C D E F --的余弦值；(3)求正方体被平面1D EGF 所截得的几何体11ABGEA DCFD -的体积．20.（12分）在平面直角坐标系xoy 中，对于直线l ：0ax by c ++=和点),,(),,(22211y x P y x P i 记1122)().ax by c ax by c η=++++（若η<0，则称点21,P P 被直线l 分隔.若曲线C 与直线l没有公共点，且曲线C 上存在点21P P ，被直线l 分隔，则称直线l 为曲线C 的一条分隔线. ⑴ 求证：点），（），（012,1-B A 被直线01=-+y x 分隔； ⑵若直线kx y =是曲线1422=-y x 的分隔线，求实数k 的取值范围；⑶动点M 到点）（2,0Q 的距离与到y 轴的距离之积为1，设点M 的轨迹为E ，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E 的分割线.杭州二中2014学年第一学期高二年级期中考试数学卷（文科）二、填空题（每题4分，共24分）11.12. 13.14. 15. 16.三、解答题（共46分）17.（10分）18.（12分）19.(12分)20.（12分）杭州二中2014学年第一学期高二年级期中考试数学卷（文科）二、填空题（每题4分，共24分）11.2712. 4140x y +-= 13. 1,214. 15. 16. 三、解答题（共46分）17.（1）设P （x ，y ，z ），则=（x-2，y+1，z-2），=（2，6，-3），=（-4，3，1）， ∵=21（-）.∴（x-2，y+1，z-2）=21［（2，6，-3）-（-4，3，1）］ =21（6，3，-4）=(3，23，-2)∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=+=-2223132z y x ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===0215z y x∴P 点坐标为(5，21，0).（2）①a ·b=（3，5，-4）·（2，1，8） =3×2+5×1-4×8=-21. ②∵|a|=222)4(53-++=52, |b|=222812++=69, ∴cos 〈a,b 〉=b a b a ⋅ =692521⋅-=-2301387.∴a 与b 夹角的余弦值为-2301387. ③取z 轴上的单位向量n=（0，0，1），a+b=（5，6，4）. 依题意()()()⎩⎨⎧=+⋅+=⋅+530b a n b a b a μλμλ即()()()()⎩⎨⎧=⋅+-++=⋅+-++534,6,584,5,2301,0,084,5,23μλμλμλμλμλμλ故⎩⎨⎧=+=+-534829084μλμλ 解得⎪⎩⎪⎨⎧==211μλ.18.【解析】(1)因为EA ⊥平面ABC,AC ⊂平面ABC,所以EA ⊥AC,即ED ⊥AC.又因为AC ⊥AB,AB ∩ED=A,所以AC ⊥平面EBD. 因为BD ⊂平面EBD,所以AC ⊥BD.(2)因为点A,B,C 在圆O 的圆周上,且AB ⊥AC,所以BC 为圆O 的直径. 设圆O 的半径为r,圆柱高为h,根据正(主)视图,侧(左)视图的面积可得,解得所以BC=4,AB=AC=2.以下给出求三棱锥E-BCD 体积的两种方法： 方法一：由(1)知,AC ⊥平面EBD, 所以V E-BCD =V C-EBD =S △EBD ×CA,因为EA ⊥平面ABC,AB ⊂平面ABC, 所以EA ⊥AB,即ED ⊥AB. 其中ED=EA+DA=2+2=4, 因为AB ⊥AC,AB=AC=2,所以S △EBD =ED ×AB=×4×2=4,所以V E-BCD =×4×2=. 方法二：因为EA ⊥平面ABC,所以V E-BCD =V E-ABC +V D-ABC =S △ABC ×EA+S △ABC ×DA=S △ABC ×ED. 其中ED=EA+DA=2+2=4, 因为AB ⊥AC,AB=AC=2,所以S △ABC =×AC ×AB=×2×2=4,所以V E-BCD =错误！未找到引用源。

浙江省杭州求是高级中学2013-2014学年高二数学上学期期末考试试卷 理一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的）1．已知全集R U =，集合A =}{32<≤-x x ，{}4x 1≥-<=或x x B ，那么集合A ∩B 为 A ．{}31<<-x x B ．{}31>-≤x x x 或 C ．{}12-<≤-x x D ．{}31<≤-x x 2．已知a R ∈，则“2a >”是“22a a >”成立的 A ．充分必要条件 B ． 必要而不充分条件 C ．充分而不必要条件 D ． 既不充分也不必要条件 3．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 A ．1 B ．2 C ．31 D ．32 4.若函数()f x 唯一的一个零点同时在区间(0,16)、(0,8)、(0,4)、(0,2)内，那么下列命题中正确的是A 函数()f x 在区间(0,1)内有零点B 函数()f x 在区间[)2,16内无零点C 函数()f x 在区间(0,1)或(1,2)内有零点D 函数()f x 在区间(1,16)内无零点 5.把函数)32sin π+=x y （的图像上向右平移6π，再把图像上各点的横坐标变为原来的2倍，则所得的图像的一条对称轴方程为 A ．6π=x B.3π=x C.4π=x D. 2π=x6.已知向量b a 、，其中2=a ，2=b ，且a b)a ⊥-（，则向量a 和b 的夹角是A ．2πB ．4πC ．43πD ．π7.在各项均为正数的等比数列{}n a 中，,12,1253+=-=a a 则2326372a a a a a ++=A ．4B ．6C ．8D ．842-8. 设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+-≥-+01042022x y x y x ，则目标函数x y z 32-=的最大值为A ．3-B ．5C ． 2D ． 49. 若函数⎪⎩⎪⎨⎧<->=0),(log 0,log )(212x x x x x f ，若0)(>-a af ,则实数a 的取值范围是A. ）（），（1,01⋃-∞-B.）（）（1,00,1⋃- C.），（）（∞+⋃-10,1 D.），（），（∞+⋃-∞-11 10..如图，F 1，F 2是双曲线C ：22221x ya b -=(a ＞0，b ＞0)的 左、右焦点，过F 1的直线l 与C 的左、右两支分别交于A ，B两点．若 | AB | : | BF 2 | :| AF 2|＝3:4 : 5，则双曲线的离心率为A B C ．2 D二、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11．若)(log log 52x =0，则x =________.12. 设{}n a 是等差数列，若273,13a a ==，则数列{}n a 前8项和为________. 13.在△ABC 中，若B a b sin 2=，则A 等于________.14. 圆222210x y x y +--+=上的动点Q 到直线0843=++y x 距离的最小值为______． 15. 把正方形ABCD 沿对角线AC 折起,当以,,,A B C D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD 和平面ABC 所成的角的大小为_______ .16. 已知直线()()20y k x k =+>与抛物线2:8C y x =相交于A B 、两点，F 为C 的焦点，若||2||FA FB =，则k =________.三、解答题（本大题共4题，46分，请写清楚解答过程） 17.（本题10分）已知函数()sin(2)3f x x π=+，xy OABF 1F 2（1）求函数 （2）求在18.（本题12{}n b 的各项均为正数，11=b （1）求a （2）设数列19.（本题12直．AB ∥（1）求证：（2）求直线（3）线段若存在，求出20.（本题12分）已知椭圆C的方程为22221(0)x ya ba b+=>>，称圆心在坐标原点O，半径的圆为椭圆C的“伴随圆”，椭圆C的短轴长为2(1) 求椭圆C及其“伴随圆”的方程；（2）若直线l与椭圆C交于,A B两点，与其“伴随圆”交于,C D两点，当||CD=时，求△AOB面积的最大值．杭州求是高级中学2013学年第一学期高二年级数学学科（理科）期末考试答题卷选择题填空题解答题总分1718 19 20二、填空题：本题共6个小题，每题4分，共24分.11. 5 12. 64 13. 30或150° 14. 2 15. 45° 16.22三、解答题：本题共4个小题，共46分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17、（本题满分10分）已知函数()sin(2)3f x x π=+，（1）求函数)(x f 的最小正周期T ，并求出函数)(x f 的单调递增区间； （2）求在[0,3)π内使()f x 取到最大值的所有x 的和.解：、（1）()sin(2)3f x x π=+故Tπ=，单调递增区间为：5[,]()1212k k k Z ππππ-+∈ （2）()1f x = 即sin(2)13x π+=，则2232x k πππ+=+座位号班级 姓名 学号线(12+的和为4π. {}n b 的各项均为正数，11=b ，公22b =. 1．AB ∥CD ，8分时，求△AOB 面积的最大值．解：(Ⅰ)由题意得，22222222213c a b b e a a a -===-=，又21,3b a =∴=Q ，∴椭圆C 的方程为2213x y +=，…………………………4分“伴随圆”的方程为224x y +=．…………………………………………………6分（Ⅱ）①当CD x ⊥轴时，由||13CD =||3AB =．②当CD 与x 轴不垂直时，由||13CD =，得圆心O 到CD 3． 设直线CD 的方程为,y kx m =+231k =+，得223(1)4m k =+，设1122(,),(,)A x y B x y ，由22,1,3y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(31)6330k x kmx m +++-=． ∴122631kmx x k -+=+，21223331m x x k -=+．…………………………………8分 当0k ≠时，22212||(1)()AB k x x =+-=22222612(1)(1)[()]3131km m k k k --+-++=22222223612(1)(1)[](31)31k m m k k k -+-++ =22223(1)(91)(31)k k k +++242221212123334196123696k k k k k=+=+≤+=++⨯+++． (10)分当且仅当2219k k=，即k =时等号成立，此时||2AB =. 当0k =时，||AB =max ||2AB =，此时△AOB的面积取最大值max 1||2S AB ==．………………12分。

2014-2015学年浙江省杭州市育新高中高二（上）期中数学试卷一、选择题（共25小题，1-15每小题2分，16-25每小题2分，共60分.每小题给出的选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分.）1．（2分）设集合M={0，1，2}，则（）A．1∈M B．2∉M C．3∈M D．{0}∈M2．（2分）函数f（x）=的定义域为（）A．（﹣∞，+∞）B．（﹣∞，0）∪（0，+∞）C．[0，+∞）D．（0，+∞）3．（2分）若关于x的不等式mx﹣2＞0的解集是{x|x＞2}，则实数m等于（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．24．（2分）已知等比数列{a n}的通项公式为a n=3n+2（n∈N*），则该数列的公比是（）A．B．9 C．D．35．（2分）下列直线中倾斜角为45°的是（）A．y=x B．y=﹣x C．x=1 D．y=16．（2分）下列算式正确的是（）A．lg8+lg2=lg10 B．lg8+lg2=lg6 C．lg8+lg2=lg16 D．lg8+lg2=lg47．（2分）sin（π+α）=（）A．cosαB．﹣cosαC．sinα D．﹣sinα8．（2分）若函数f（x）=（a﹣1）x﹣1为R上的增函数，则实数a的取值范围为（）A．a＜1 B．a＞1 C．a＜0 D．a＞09．（2分）若对任意的实数k，直线y﹣2=k（x+1）恒经过定点M，则M的坐标是（）A．（1，2） B．（1，﹣2）C．（﹣1，2）D．（﹣1，﹣2）10．（2分）以点（0，1）为圆心，2为半径的圆的方程是（）A．x2+（y﹣1）2=2 B．（x﹣1）2+y2=2 C．x2+（y﹣1）2=4 D．（x﹣1）2+y2=411．（2分）若函数f（x）=（x+1）（x﹣a）是偶函数，则实数a的值为（）A．1 B．0 C．﹣1 D．±112．（2分）将函数图f（x）=sin（x﹣）象上的所有点向左平移个单位长度，则所得图象的函数解析式是（）A．y=sinx B．y=cosx C．y=﹣sinx D．y=﹣cosx13．（2分）正方体的棱长为1，它的顶点都在同一个球面上，那么这个球的表面积为（）A．3πB．6πC．3πD．12π14．（2分）命题p：∃x0∈R，x02+2x0﹣2=0，则命题p的否定是（）A．∀x∈R，x2+2x﹣2≠0 B．∀x∈R，x2+2x﹣2＞0C．∃x0∈R，x02+2x0﹣2≠0 D．∃x0∈R，x02+2x0﹣2＞015．（2分）设a，b为实数，则“a＞b＞0是＜”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件16．（3分）在空间中，设α，β表示平面，m，n表示直线．则下列命题正确的是（）A．若m∥n，n⊥α，则m⊥αB．若α⊥β，m⊂α，则m⊥βC．若m上有无数个点不在α内，则m∥αD．若m∥α，那么m与α内的任何直线平行17．（3分）设函数f（x）=sinxcosx，x∈R，则函数f（x）的最小值是（）A．﹣ B．﹣ C．﹣D．﹣118．（3分）若直线x﹣y=2被圆（x﹣a）2+y2=4所截得的弦长为，则实数a 的值为（）A．﹣1或B．1或3 C．﹣2或6 D．0或419．（3分）在△ABC中，若AB=2，AC=3，∠A=60°，则BC的长为（）A． B． C．3 D．20．（3分）函数f（x）=2x﹣的零点所在的区间可能是（）A．（1，+∞）B．（，1）C．（，）D．（，）21．（3分）若实数x，y满足不等式组，则y﹣x的最大值为（）A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣322．（3分）如图是某三棱锥的三视图，则这个三棱锥的体积是（）A．B．C．D．23．（3分）如图，在三棱锥S﹣ABC中，E为棱SC的中点，若AC=2，SA=SB=AB=BC=SC=2，则异面直线AC与BE所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°24．（3分）两直立矮墙成135°二面角，现利用这两面矮墙和篱笆围成一个面积为54m2的直角梯形菜园（墙足够长），则所用篱笆总长度的最小值为（）A．16m B．18m C．22.5m D．15m25．（3分）如图，在Rt△ABC中，AC=1，BC=x，D是斜边AB的中点，将△BCD 沿直线CD翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得CB⊥AD，则x的取值范围是（）A．（0，]B．（，2]C．（，2]D．（2，4]二、填空题（共5小题，每小题2分，共10分）26．（2分）设函数f（x）=，则f（3）的值为．27．（2分）已知平面向量=（2，3），=（1，m），且∥，则实数m的值为．28．（2分）已知直线l1：x﹣y+1=0，l2：x﹣y﹣3=0则两平行直线l1，l2间的距离为．29．（2分）设P是半径为1的圆上一动点，若该圆的弦AB=，则•的取值范围是．30．（2分）若不存在整数x使不等式（kx﹣k2﹣4）（x﹣4）＜0成立，则实数k 的取值范围是．三、解答题（共4小题，共30分）31．（7分）已知，求cosθ及的值．32．（7分）已知等差数列{a n}（n∈N+）}满足a1=2，a3=6（1）求该数列的公差d和通项公式a n；（2）设S n为数列{a n}的前n项和，若S n≥2n+12，求n的取值范围．33．（8分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠CAA1=∠A1AB=∠BAC=90°，AB=AA1=1，AC=2．（1）求证：A1B⊥平面AB1C；（2）求直线B1C与平面ACC1A1所成角的正弦值．34．（8分）设函数f（x）=x2﹣ax+b，a，b∈R．（1）已知f（x）在区间（﹣∞，1）上单调递减，求a的取值范围；（2）存在实数a，使得当x∈[0，b]时，2≤f（x）≤6恒成立，求b的最大值及此时a的值．2014-2015学年浙江省杭州市育新高中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共25小题，1-15每小题2分，16-25每小题2分，共60分.每小题给出的选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分.）1．（2分）设集合M={0，1，2}，则（）A．1∈M B．2∉M C．3∈M D．{0}∈M【解答】解：由题意，集合M中含有三个元素0，1，2．∴A选项1∈M，正确；B选项2∉M，错误；C选项3∈M，错误，D选项{0}∈M，错误；故选：A．2．（2分）函数f（x）=的定义域为（）A．（﹣∞，+∞）B．（﹣∞，0）∪（0，+∞）C．[0，+∞）D．（0，+∞）【解答】解：∵函数f（x）=，∴≠0，∴x＞0；∴f（x）的定义域为（0，+∞）．故选：D．3．（2分）若关于x的不等式mx﹣2＞0的解集是{x|x＞2}，则实数m等于（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2【解答】解：∵关于x的不等式mx﹣2＞0的解集是{x|x＞2}，∴m＞0，，因此，解得m=1．故选：C．4．（2分）已知等比数列{a n}的通项公式为a n=3n+2（n∈N*），则该数列的公比是（）A．B．9 C．D．3【解答】解：∵等比数列{a n}的通项公式为a n=3n+2（n∈N*），∴该数列的公比q===3．故选：D．5．（2分）下列直线中倾斜角为45°的是（）A．y=x B．y=﹣x C．x=1 D．y=1【解答】解：由于直线的倾斜角为45°，故直线斜率为1，结合所给的选项，只有A满足条件，故选：A．6．（2分）下列算式正确的是（）A．lg8+lg2=lg10 B．lg8+lg2=lg6 C．lg8+lg2=lg16 D．lg8+lg2=lg4【解答】解：lg8+lg2=lg8×2=lg16，故选：C．7．（2分）sin（π+α）=（）A．cosαB．﹣cosαC．sinα D．﹣sinα【解答】解：sin（π+α）=﹣sinα．故选：D．8．（2分）若函数f（x）=（a﹣1）x﹣1为R上的增函数，则实数a的取值范围为（）A．a＜1 B．a＞1 C．a＜0 D．a＞0【解答】解：∵f（x）=（a﹣1）x﹣1为R上的增函数，∴由一次函数的图象知a﹣1＞0，解得a＞1，故选：B．9．（2分）若对任意的实数k，直线y﹣2=k（x+1）恒经过定点M，则M的坐标是（）A．（1，2） B．（1，﹣2）C．（﹣1，2）D．（﹣1，﹣2）【解答】解：对任意的实数k，直线y﹣2=k（x+1）恒经过定点M，令参数k的系数等于零，求得x=﹣1，可得y=2，故点M的坐标为（﹣1，2），故选：C．10．（2分）以点（0，1）为圆心，2为半径的圆的方程是（）A．x2+（y﹣1）2=2 B．（x﹣1）2+y2=2 C．x2+（y﹣1）2=4 D．（x﹣1）2+y2=4【解答】解：以点（0，1）为圆心，2为半径的圆的标准方程为（x﹣0）2+（y ﹣1）2=4，故选：C．11．（2分）若函数f（x）=（x+1）（x﹣a）是偶函数，则实数a的值为（）A．1 B．0 C．﹣1 D．±1【解答】解：法一：∵函数f（x）=（x+1）（x﹣a）是偶函数，∴f（﹣x）=f（x），即x2+（a﹣1）x﹣a=x2+（1﹣a）x﹣a，∴a﹣1=1﹣a，∴a=1；法二：∵函数f（x）=（x+1）（x﹣a）是偶函数，∴f（x）的图象关于y轴对称，又f（x）=x2+（1﹣a）x﹣a，∴对称轴为x=，即，∴a=1，故选：A．12．（2分）将函数图f（x）=sin（x﹣）象上的所有点向左平移个单位长度，则所得图象的函数解析式是（）A．y=sinx B．y=cosx C．y=﹣sinx D．y=﹣cosx【解答】解：将函数图f（x）=sin（x﹣）象上的所有点向左平移个单位长度，则所得图象的函数解析式为y=sin（x+﹣）=sinx，故选：A．13．（2分）正方体的棱长为1，它的顶点都在同一个球面上，那么这个球的表面积为（）A．3πB．6πC．3πD．12π【解答】解：由棱长为1的正方体的八个顶点都在同一个球面上，知2r=，∴球的表面积S=4πr2=3π．故选：A．14．（2分）命题p：∃x0∈R，x02+2x0﹣2=0，则命题p的否定是（）A．∀x∈R，x2+2x﹣2≠0 B．∀x∈R，x2+2x﹣2＞0C．∃x0∈R，x02+2x0﹣2≠0 D．∃x0∈R，x02+2x0﹣2＞0【解答】解：根据命题p的否定是￢p，∴命题p：∃x0∈R，x02+2x0﹣2=0，命题p的否定是：∀x∈R，x2+2x﹣2≠0．故选：A．15．（2分）设a，b为实数，则“a＞b＞0是＜”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【解答】解：若a＞b＞0，则﹣=＜0，即＜出成立．若＜则﹣=＜0，a＞b＞0或0＞a＞b所以“a＞b＞0是＜”的充分不必要条件．故选：A．16．（3分）在空间中，设α，β表示平面，m，n表示直线．则下列命题正确的是（）A．若m∥n，n⊥α，则m⊥αB．若α⊥β，m⊂α，则m⊥βC．若m上有无数个点不在α内，则m∥αD．若m∥α，那么m与α内的任何直线平行【解答】解：对于A，若m∥n，n⊥α，则m⊥α，据线面垂直的判定定理可知正确；对于B，若α⊥β，m⊂α，则m⊥β；不正确，也可能是m与β不垂直，错误；对于C，若直线与平面相交，则除了交点以外的无数个点都不在平面内，故错误；对于D，若直线l平行平面α，则l与平面α内的任一条直线有两种位置关系：平行、异面，故错误，故选：A．17．（3分）设函数f（x）=sinxcosx，x∈R，则函数f（x）的最小值是（）A．﹣ B．﹣ C．﹣D．﹣1【解答】解：∵函数f（x）=sinxcosx=sin2x，﹣1≤sin2x≤1，∴函数f（x）的最小值是﹣，故选：B．18．（3分）若直线x﹣y=2被圆（x﹣a）2+y2=4所截得的弦长为，则实数a 的值为（）A．﹣1或B．1或3 C．﹣2或6 D．0或4【解答】解：∵圆（x﹣a）2+y2=4∴圆心为：（a，0），半径为：2圆心到直线的距离为：∵解得a=4，或a=0故选：D．19．（3分）在△ABC中，若AB=2，AC=3，∠A=60°，则BC的长为（）A． B． C．3 D．【解答】解：∵在△ABC中，AB=2，AC=3，∠A=60°，∴由余弦定理得：BC2=AB2+AC2﹣2AB•ACcosA=4+9﹣6=7，则BC=．故选：D．20．（3分）函数f（x）=2x﹣的零点所在的区间可能是（）A．（1，+∞）B．（，1）C．（，）D．（，）【解答】解：令f（x）=0，∴2x=，令g（x）=2x，h（x）=，∵g（）=，g（1）=2，h（）=2，h（1）=1，结合图象：∴函数h（x）和g（x）的交点在（，1）内，∴函数f（x）的零点在（，1）内，故选：B．21．（3分）若实数x，y满足不等式组，则y﹣x的最大值为（）A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣3【解答】解：约束条件的可行域如下图示：由，可得，A（1，1），要求目标函数z=y﹣x的最大值，就是z=y ﹣x经过A（1，1）时目标函数的截距最大，最大值为：0．故选：B．22．（3分）如图是某三棱锥的三视图，则这个三棱锥的体积是（）A．B．C．D．【解答】解：由三视图知几何体为三棱锥，且三棱锥的一个侧面与底面垂直，高为2，底面三角形的一条边长为2，该边上的高为2，∴几何体的体积V=××2×2×2=．故选：C．23．（3分）如图，在三棱锥S﹣ABC中，E为棱SC的中点，若AC=2，SA=SB=AB=BC=SC=2，则异面直线AC与BE所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【解答】解：取SA的中点F，连接EF，BF，则∵E为棱SC的中点，∴EF∥AC，∴∠BEF（或其补角）为异面直线AC与BE所成的角，∵AC=2，SA=SB=AB=BC=SC=2，∴BE=EF=BF=，∴∠BEF=60°．故选：C．24．（3分）两直立矮墙成135°二面角，现利用这两面矮墙和篱笆围成一个面积为54m2的直角梯形菜园（墙足够长），则所用篱笆总长度的最小值为（）A．16m B．18m C．22.5m D．15m【解答】解：如图设BD=x，设篱笆长度为y，则CD=y﹣x，AB=y﹣2x，梯形的面积为=54，整理得y=+≥2=18，当=x，即x=6时等号成立，所以篱笆总长度最小为18m．故选：B．25．（3分）如图，在Rt△ABC中，AC=1，BC=x，D是斜边AB的中点，将△BCD 沿直线CD翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得CB⊥AD，则x的取值范围是（）A．（0，]B．（，2]C．（，2]D．（2，4]【解答】解：由题意得，AD=CD=BD=，BC=x，取BC中点E，翻折前，在图1中，连接DE，CD，则DE=AC=，翻折后，在图2中，此时CB⊥AD．∵BC⊥DE，BC⊥AD，∴BC⊥平面ADE，∴BC⊥AE，DE⊥BC，又BC⊥AE，E为BC中点，∴AB=AC=1，∴AE=，AD=，在△ADE中：①，②，③x＞0；由①②③可得0＜x＜．如图3，翻折后，当△B1CD与△ACD在一个平面上，AD与B1C交于M，且AD⊥B1C，AD=B1D=CD=BD，∠CBD=∠BCD=∠B1CD，又∠CBD+∠BCD+∠B1CD=90°，∴∠CBD=∠BCD=∠B1CD=30°，∴∠A=60°，BC=ACtan60°，此时x=1×综上，x的取值范围为（0，]，故选：A．二、填空题（共5小题，每小题2分，共10分）26．（2分）设函数f（x）=，则f（3）的值为7．【解答】解：由分段函数可知，f（3）=3×3﹣2=9﹣2=7．故答案为：7．27．（2分）已知平面向量=（2，3），=（1，m），且∥，则实数m的值为．【解答】解：∵平面向量=（2，3），=（1，m），且∥，∴2m=3×1，∴m=．故答案为：．28．（2分）已知直线l1：x﹣y+1=0，l2：x﹣y﹣3=0则两平行直线l1，l2间的距离为2．【解答】解：两条平行直线l1：x﹣y+1=0与l2：x﹣y﹣3=0之间的距离为=2，故答案为：2．29．（2分）设P是半径为1的圆上一动点，若该圆的弦AB=，则•的取值范围是．【解答】解：∵∴与共线时，能取得最值．①若与同向，则取得最大值，∴取得最大值为：；②若与反向，则取得最小值，∴取得最小值为：，∴的取值范围是，故答案为：．30．（2分）若不存在整数x使不等式（kx﹣k2﹣4）（x﹣4）＜0成立，则实数k 的取值范围是1≤k≤4．【解答】解：设原不等式的解集为A，当k=0时，则x＞4，不合题意，当k＞0且k≠2时，原不等式化为[x﹣（）]（x﹣4）＜0，∵，∴，要使不存在整数x使不等式（kx﹣k2﹣4）（x﹣4）＜0成立，须，解得：1≤k≤4；当k=2时，A=∅，合题意，当k＜0时，原不等式化为[x﹣（）]（x﹣4）＞0，∴A=（﹣∞，）∪（4，+∞），不合题意，故答案为：1≤k≤4．三、解答题（共4小题，共30分）31．（7分）已知，求cosθ及的值．【解答】解：∵，∴cosθ==；∴=sinθcos+cosθsin=×+×=．32．（7分）已知等差数列{a n}（n∈N+）}满足a1=2，a3=6（1）求该数列的公差d和通项公式a n；（2）设S n为数列{a n}的前n项和，若S n≥2n+12，求n的取值范围．【解答】解：（1）由题意得d==2，a n=a1+（n﹣1）d=2n，n∈N*．（2）S n==n（n+1）=n2+n，由S n≥2n+12，解得n≥4或n≤﹣3（舍去），所以n≥4且n∈N*．33．（8分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠CAA1=∠A1AB=∠BAC=90°，AB=AA1=1，AC=2．（1）求证：A1B⊥平面AB1C；（2）求直线B1C与平面ACC1A1所成角的正弦值．【解答】（1）证明：∵∠CAA1=∠BAC=90°，∴CA⊥AA1，CA⊥AB，∵A1A∩AB=A，∴CA⊥平面A1B1BA，∵A1B⊂平面A1B1BA，∴CA⊥A1B，∵四边形A1B1BA为正方形，∴A1B⊥AB1，∵AC∩AB1=A，∴A1B⊥平面AB1C；（2）解：连接A1C，则B1A1⊥AA1，B1A1⊥AC，∵AA1∩AC=A，∴B1A1⊥平面ACC1A1，∴∠B1CA1是直线B1C与平面ACC1A1所成角．在矩形ACC1A1中，AA1=1，AC=2，∴A1C=，∵A1B1=AB=1，∴在Rt△A1B1C中，CB1=，∴sin∠B1CA1=．34．（8分）设函数f（x）=x2﹣ax+b，a，b∈R．（1）已知f（x）在区间（﹣∞，1）上单调递减，求a的取值范围；（2）存在实数a，使得当x∈[0，b]时，2≤f（x）≤6恒成立，求b的最大值及此时a的值．【解答】解：（1）∵函数的对称轴为x=，∴要使f（x）在区间（﹣∞，1）上单调递减，则满足对称轴x=≥1，即a≥2．（2）∵当x∈[0，b]时，2≤f（x）≤6恒成立，∴b＞0，①若a≤0，则≤1，此时f（x）在[0，b]上单调递增，∴，即，由b2﹣ab+b≤6得a≥b﹣，∴a=0，此时，解得．②若0＜＜，即0＜a＜b，此时，即，∴，即，∴2＜b＜6，又b﹣≥2，则a≤2，∴b﹣+1≤2，令h（x）=x﹣+1，g（x）=，∴h（2）=g（2）=0，h（3）=g（3）=2，且h（x）与g（x）均在（2，6）上单调递增，当2＜x＜3时，h（x）的图象在g（x）图象的下方，即此时h（x）＜g（x），∴不等式b﹣+1≤2的解为2＜b≤3，当b=3时，，即，解得a=2．③若0＜=，即0＜a=b，此时，即，此时不等式无解．④若0＜＜＜b，即0＜b＜a＜2b，此时，即，即，∴，a2﹣4a+8＜0此时不等式无解．⑤若，即a≥2b，此时f（x）在[0，b]上单调递减，∴，即，即，∴2b，即b，而当b＞0时，b+，∴此时不等式无解．综上b的取值范围是[2，3]，b的最大值是3，此时a=2．。

杭州二中2015学年高二年级第一学期期中数学试卷D .若 m , //,则 m4.在等差数列｛a *｝中，已知a 1 20，前n 项和为S n ，且S ioA . 110B . 120C . 130D . 14025.若关于x 的不等式x ax 20在区间1,5上有解，则实数a 的取值范围为7•若.X 2y a.,x y 对x, y R 恒成立，则实数a 的最小值是8•设三个底面半径都为 1的圆柱侧面两两相切，且它们的轴两两互相垂直，则与这三个圆柱 侧面都相切的球的半径最小值等于二、填空题：本大题共 7小题，每小题4分，共28分•9.已知圆锥的底面半径为 1，高为1,则圆锥的侧面面积 S ________________ 10•右图是某三棱锥的三视图，各个视图是全等的等腰直角三角形，且直 第1页•共9页一、选择题：本大题共 8小题，每小题 3 0的解集是3分，共24分.1.不等式 x 2 2xA. ( 3,1) B • ( 1,3)C. (, 1) (3,)2•已知a,b0，且a 3b 1，则ab 的取值范围是r 3…1、1 1、 A.[,)B. (0,]C.( ] 61224 123•设m 为 •条直线， , 为两个不同的平面 ，则卜列说法止确的是A .若 m 〃 , // ,则m 〃B .若,mD. ( ,3) (1,)S 15，则S n 的最大值是23 52351]6•已知各棱长均为 小值为1的四面体ABCD 中, C . (1,+ ) E 是AD 的中点，P €直线D . ( , 1)CE ,贝U |BP| + |DP| 的最A.1 +B. ■ 3C. 、 5D. 2D. 1时间：100分钟角边长为1，则这个三棱锥外接球的表面积是11.在等比数列｛a n｝中，各项均为正值，且a2a14 a2a648 , a3a9 6 ,则a4 a81 x 112.设函数f(x) log 1 ，则不等式f(log1X) f ()的解集是 _____________________________________ .2 1 x 2 213•空间四边形ABCD中，AB = CD且AB与CD所成的角为30° E、F分别为BC、AD的中点，贝U EF与AB所成角的大小为___________________ .2 a b14.对一切实数x，二次函数f(x) ax bx c的值均为非负实数，贝U 的最小值是___________ .15. 已知三棱锥A BCD , DA, DB, DC两两垂直，且DAB BAC CAD 90 ,则二面角A BC D的余弦值的最大值为___________________ .三、解答题：本大题共4小题•共48分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16. (本小题满分12分)如图：已知四棱柱ABCD A1B1C1D1的底面是菱形，该菱形的边长为1, ABC 60 , AA, 平面AC .(1)设棱形ABCD的对角线的交点为0,求证：AQ//平面B1D1C ;(2)若四棱柱的体积V 所成角的正弦值A1BD117. (本小题满分12 分)(1)求关于x 的不等式ax2 x a 1 0(a R) 的解集. ( 2)求证：(ac bd)2 (a2 b2 )(c2 d 2 ) ，a,b,c,d R .18. (本小题满足12分) 如图：已知正六边形ABCDEF边长为1，把四边形CDEF沿着FC向上翻折成一个立体图形ABCD.E, F .(1)求证：FC E1A ；(2)若E1B 于时，求二面角E1FB C的正切值.19.(本小题满足12分)数列a n 4满足a12 *a n 1 a n a n 1(n N) 3(1)求证：an 1 a n;(2 )设m 1 1 1 ，求不超过m 的最大整数.a i a2 a2015杭州二中2015学年第一学期高二年级期中考试数学答案•选择题：本大题共 8小题，每小题3分，共24分•在每小题给出的四个选项中，只有 项是符合题目要求的 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案BBDCABBA16.(本小题满分10分)如图：已知四棱锥 ABCD ABQD 1的底面是棱形，该棱形的边长为 1, ABC 60 , AA 平面AC .(1) 设棱形ABCD 的对角线的交点为 O ,求证： A 。

2014-2015学年浙江省杭州市重点中学联考高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合M{x|x2﹣x＞0}，N={0，1，2，3}，则（∁U M）∩N=（）A．{x|0≤x≤1}B．{0，1}C．{2，3}D．{1，2，3}2．（5分）下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（）A．y=log0.3（x+2）B．y=3﹣x C．y=D．y=﹣x23．（5分）已知等比数列{a n}前n项的积为T n，且公比q≠1，若T7=128，则（）A．a4=2 B．a5=2 C．a6=2 D．a1=24．（5分）命题p：|x+2|＞2，命题q：＞1，则￢q是￢p成立的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）函数f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象如图所示，为了得到g（x）=Acosωx的图象，可以将f（x）的图象（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度6．（5分）若偶函数y=f（x）对任意实数x都有f（x+2）=﹣f（x），且在[﹣2，0]上为单调递减函数，则（）A．f（）＞f（）＞f（）B．f（）＞f（）＞f（）C．f（）＞f（） D．f（）＞f（）＞f（）7．（5分）已知函数f（x）=2xcosx，则函数f（x）的部分图象可以为（）A．B．C．D．8．（5分）在正项等比数列{a n}中，2为a4与a14的等比中项，则2a7+a11的最小值为（）A．16 B．8 C．6 D．49．（5分）已知≤k＜1，函数f（x）=|2x﹣1|﹣k的零点分别为x1，x2（x1＜x2），函数g（x）=|2x﹣1|﹣的零点分别为x3，x4（x3＜x4），则（x4﹣x3）+（x2﹣x1）的最小值为（）A．log23 B．2 C．log26 D．110．（5分）若定义在R上的函数y=f（x），其图象是连续不断的，且存在常数λ（λ∈R），使得f（x+λ）+λf（x）=0对于任意的实数x都成立，则称f（x）是一个“λ的相关函数”，则下列结论正确的是（）A．f（x）=0是常数函数中唯一一个“λ的相关函数”B．f（x）=x2是一个“λ的相关函数”C．f（x）=e﹣x是一个“λ的相关函数”D．“的相关函数”至少有一个零点二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.11．（4分）设函数f（x）=，则f（）=．12．（4分）已知、满足||=1，=（3，4），且+=0（λ∈R），则|λ|=．13．（4分）设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点P（x0，y0）满足x0﹣2y0=2，则m的取值范围是．14．（4分）设a，b∈R+，a+b﹣2a2b2=4，则的最小值是．15．（4分）某地区预计2015年的前x个月内对某种商品的需求总量f（x）（万件）与月份x的近似关系式是f（x）=x（x+1）（19﹣x），x∈N*，1≤x≤12，则2015年的第x月的需求量g（x）（万件）与月份x的函数关系式是．16．（4分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若20a+15b+12c=，则△ABC的最小角的正弦值等于．17．（4分）如果函数f（x）对定义域M内的任意两个不相等的实数x1，x2，都有x1f（x1）+x2f（x2）＜x1f（x2）+x2f（x1），则称函数f（x）在定义域M内为“DJ”函数．给出函数：①f（x）=sinx+cosx，x∈[，]；②f（x）=2x3+3x﹣；③f（x）=；④f（x）=．以上函数为“DJ”函数的序号是．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（14分）已知A={x∈R|x2﹣3x+2≤0}，B={x∈R|4x﹣a•2x﹣2a2≥0}（Ⅰ）当a=1时，求A∩B；（Ⅱ）若A⊆B，求实数a的取值范围．19．（14分）已知f（x）=cos2x+2sin（+x）sin（π﹣x），x∈R（Ⅰ）最小正周期及对称轴方程；（Ⅱ）已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f（A）=﹣，a=3，求BC边上的高的最大值．20．（14分）已知单位，夹角为锐角，且|﹣t|（t∈R）最小值为．（Ⅰ）求（+）（﹣2）的值；（Ⅱ）若满足（）•（）=0，求||的最小值．21．（15分）已知等差数列{a n}的公差不为零，a5=10，等比数列{b n}的前3项满足b1=a2，b2=a3，b3=a7．（Ⅰ）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=（n∈N*），S n=c1+c2+…+c n，是否存在最大整数m，使对任•S n总成立？若存在，求出m的值；若不存在，请意的n∈N*，均有b n+1说明理由．22．（15分）已知二次函数f（x）=ax2+bx+c．（Ⅰ）若a=1，b=c，且|f（x）|在x∈[0，1]上单调递增，求实数b的取值范围；（Ⅱ）当c=0时，有f（﹣2）=6，|2a+b|≤3．若对于任意的实数a，存在最大的实数t，使得当x∈[﹣2，t]时，|f（x）|≤6恒成立，试求用a表示t的表达式．2014-2015学年浙江省杭州市重点中学联考高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合M{x|x2﹣x＞0}，N={0，1，2，3}，则（∁U M）∩N=（）A．{x|0≤x≤1}B．{0，1}C．{2，3}D．{1，2，3}【解答】解：由M中不等式变形得：x（x﹣1）＞0，解得：x＜0或x＞1，即M={x|x＜0或x＞1}，∴∁U M={x|0≤x≤1}，∵N={0，1，2，3}，∴（∁U M）∩N={0，1}，故选：B．2．（5分）下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（）A．y=log0.3（x+2）B．y=3﹣x C．y=D．y=﹣x2【解答】解：由于二次函数y=﹣x2在区间（0，+∞）上是减函数，故排除D．A、由于函数y=log0.3（x+2）由于函数y=log0.3u与u=x+2复合而成，由复合函数的单调性知函数y=log0.3（x+2）为减函数；B、由于函数y=3﹣x由于函数y=3u与u=﹣x复合而成，由复合函数的单调性知函数y=3﹣x为减函数；故选：C．3．（5分）已知等比数列{a n}前n项的积为T n，且公比q≠1，若T7=128，则（）A．a4=2 B．a5=2 C．a6=2 D．a1=2【解答】解：已知等比数列{a n}前n项的积为T n，且公比q≠1，若T7=128利用等比数列的性质：所以：a4=2故选：A．4．（5分）命题p：|x+2|＞2，命题q：＞1，则￢q是￢p成立的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：命题p：|x+2|＞2即为x＞0或x＜﹣4；命题p：＞1即为2＜x＜3；所以￢p：﹣4≤x≤0，￢q：x≤2或x≥3；所以￢p成立￢q成立，反之￢q成立￢p不一定成立；所以¬q是¬p成立的必要不充分条件，故选：B．5．（5分）函数f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象如图所示，为了得到g（x）=Acosωx的图象，可以将f（x）的图象（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度【解答】解：根据函数的图象：A=1T==π所以：ω=2当x=时，f（）=0解得：Φ=﹣所以f（x）=cos（2x﹣）要得到g（x）=cos2x的图象只需将f（x）的图象向左平移个单位即可．故选：D．6．（5分）若偶函数y=f（x）对任意实数x都有f（x+2）=﹣f（x），且在[﹣2，0]上为单调递减函数，则（）A．f（）＞f（）＞f（）B．f（）＞f（）＞f（）C．f（）＞f（） D．f（）＞f（）＞f（）【解答】解：f（x+4）=f（x+2+2）=﹣f（x+2）=f（x），∴f（x）是以4为周期的函数．∴f（）=f（4﹣）=f（﹣），f（）=f（4+）=f（）=f（﹣），f（）=f（4﹣）=f（），在[﹣2，0]上单调递减，∴f（﹣）＞f（﹣）＞f（），∴f（）＞f（）＞f（），故选：C．7．（5分）已知函数f（x）=2xcosx，则函数f（x）的部分图象可以为（）A．B．C．D．【解答】解：函数f（x）=2xcosx，f（﹣x）=﹣2xcosx=﹣f（x），所以函数是奇函数，排除B、D，当x→0时，函数f（x）=2xcosx＞0，函数的图象在第一象限，排除C，故选：A．8．（5分）在正项等比数列{a n}中，2为a4与a14的等比中项，则2a7+a11的最小值为（）A．16 B．8 C．6 D．4【解答】解：∵各项为正的等比数列{a n}中，a4与a14的等比中项为2，∴a4•a14=（2）2=8，∴a7•a11=8，∵a7＞0，a11＞0，∴2a7+a11≥8．故选：B．9．（5分）已知≤k＜1，函数f（x）=|2x﹣1|﹣k的零点分别为x1，x2（x1＜x2），函数g（x）=|2x﹣1|﹣的零点分别为x3，x4（x3＜x4），则（x4﹣x3）+（x2﹣x1）的最小值为（）A．log23 B．2 C．log26 D．1【解答】解：∵x1＜x2，∴2=1﹣k，2=1+k，又∵x3＜x4，∴2=1﹣，2=1+，∴2﹣=，2=；∴2==﹣3+；又k∈[，1），∴﹣3+∈[2，+∞）；∴x4﹣x3+x2﹣x1∈[1，+∞），故选：D．10．（5分）若定义在R上的函数y=f（x），其图象是连续不断的，且存在常数λ（λ∈R），使得f（x+λ）+λf（x）=0对于任意的实数x都成立，则称f（x）是一个“λ的相关函数”，则下列结论正确的是（）A．f（x）=0是常数函数中唯一一个“λ的相关函数”B．f（x）=x2是一个“λ的相关函数”C．f（x）=e﹣x是一个“λ的相关函数”D．“的相关函数”至少有一个零点【解答】解：对于A，设f（x）=C是一个“λ的相关函数”，则（1+λ）C=0，当λ=﹣1时，可以取遍实数集，因此f（x）=0不是唯一一个常值“λ﹣伴随函数”，故A 不正确；对于B，用反证法，假设f（x）=x2是一个“λ的相关函数”，则（x+λ）2+λx2=0，即（1+λ）x2+2λx+λ2=0对任意实数x成立，所以λ+1=2λ=λ2=0，而此式无解，所以f（x）=x2不是一个“λ的相关函数”，故B不正确；对于C，假设f（x）=e﹣x是一个“λ的相关函数”，则e﹣（x+λ）+λe﹣x=0对任意实数x ∈R成立，则e﹣λ+λ=0，此式无解，∴f（x）=e﹣x不是一个“λ的相关函数”，故C不正确；对于D，令x=0，得f（）+f（0）=0，所以f（）=﹣f（0），若f（0）=0，显然f（x）=0有实数根；若f（0）≠0，f（）•f（0）=﹣[f（0）]2＜0．又因为f（x）的函数图象是连续不断，所以f（x）在（0，）上必有实数根．因此任意的“的相关函数”必有根，即任意“的相关函数”至少有一个零点，故D正确．故选：D．二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.11．（4分）设函数f（x）=，则f（）=6．【解答】解：函数f（x）=，f（﹣4）=2﹣4+2=，=4．则f（）=f（4）=42﹣3×4+2=6．故答案为：6．12．（4分）已知、满足||=1，=（3，4），且+=0（λ∈R），则|λ|=5．【解答】解：∵、满足||=1，=（3，4），且+=0（λ∈R），∴=﹣λ，∴||=|﹣λ|=|λ|•||=|λ|×1=5，∴|λ|=5．故答案为5．13．（4分）设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点P（x0，y0）满足x0﹣2y0=2，则m的取值范围是．【解答】解：作出不等式组对应的平面如图：交点C的坐标为（m，﹣m），直线x﹣2y=2的斜率为，斜截式方程为，要使平面区域内存在点P（x0，y0）满足x0﹣2y0=2，则点C（m，﹣m）必在直线x﹣2y=2的下方，即﹣m，解得m．故m的取值范围是：．故答案为：．14．（4分）设a，b∈R+，a+b﹣2a2b2=4，则的最小值是4．【解答】解：∵a+b﹣2a2b2=4，∴a+b=4+2a2b2，∴===+2ab≥2=4，当且仅当ab=取等号，故的最小值是4，故答案为：415．（4分）某地区预计2015年的前x个月内对某种商品的需求总量f（x）（万件）与月份x的近似关系式是f（x）=x（x+1）（19﹣x），x∈N*，1≤x≤12，则2015年的第x月的需求量g（x）（万件）与月份x的函数关系式是g（x）=x （13﹣x）（x∈N*且x≤12）．【解答】解：当x=1时，g（1）=f（1）=．当2≤x≤12，x∈N*时，g（x）=f（x）﹣f（x﹣1）=x（x+1）（19﹣x）﹣（x ﹣1）x（20﹣x）=x（13﹣x）验证x=1符合g（x）=x（13﹣x），∴g（x）=x（13﹣x）（x∈N*且x≤12）．故答案为：g（x）=x（13﹣x）（x∈N*且x≤12）．16．（4分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若20a+15b+12c=，则△ABC的最小角的正弦值等于．【解答】解：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若20a+15b+12c=，则20a（﹣）+15b+12c=（20a﹣15b）+（12c﹣20a）=．∵、不共线，故有20a﹣15b=0，12c﹣20a=0．∴b=a，c=a，a、b、c分别为△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，∴a最小，∴cosA==，∴sinA==，即△ABC的最小角的正弦值等于．故答案为：．17．（4分）如果函数f（x）对定义域M内的任意两个不相等的实数x1，x2，都有x1f（x1）+x2f（x2）＜x1f（x2）+x2f（x1），则称函数f（x）在定义域M内为“DJ”函数．给出函数：①f（x）=sinx+cosx，x∈[，]；②f（x）=2x3+3x﹣；③f（x）=；④f（x）=．以上函数为“DJ”函数的序号是①④．【解答】解：不等式x1f（x1）+x2f（x2）＜x1f（x2）+x2f（x1）等价为（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0，即满足条件的函数为单调递减函数，由题意得：①④两个函数满足条件，故答案为：①④三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（14分）已知A={x∈R|x2﹣3x+2≤0}，B={x∈R|4x﹣a•2x﹣2a2≥0}（Ⅰ）当a=1时，求A∩B；（Ⅱ）若A⊆B，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意A=[1，2]，当a=1时，B=[1，+∞），则A∩B=[]1，2]，（Ⅱ）由B：（2X﹣2a）（2x+a）≥0，知若a＞0，解得x≥1+log2a，即B=[1+log2a，+∞）；若a=0，解集为R；若a＜0，解得x≥log2（﹣a），即B=[log2（﹣a），+∞）；由A⊆B分别求得0＜a≤1，或a=0，或﹣2≤a＜0，则﹣2≤a≤1．19．（14分）已知f（x）=cos2x+2sin（+x）sin（π﹣x），x∈R（Ⅰ）最小正周期及对称轴方程；（Ⅱ）已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f（A）=﹣，a=3，求BC边上的高的最大值．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=cos2x+2sin（+x）sin（π﹣x）=cos2x﹣2cosxsinx=cos2x﹣sin2x=2（cos2x﹣sin2x）=2cos（2x+），∴T==π，令2x+=kπ（k∈Z），即x=﹣（k∈Z），∴函数f（x）的对称轴方程为x=﹣（k∈Z），（Ⅱ）∵f（x）=2cos（2x+），∴f（A）=2cos（2A+）=﹣，即cos（2A+）=﹣，∵0＜A＜，∴＜2A+＜，∴2A+=，∴A=．设BC边上的高为h，=bcsinA=a•h，即bc=2h，h=bc，则S△ABC∵cosA===，∴bc+9=b2+c2，∵b2+c2≥2bc，当且仅当b=c时，等号成立．∴bc+9≥2bc，bc≤9，此时b=c，∵A=，∴b=c=a=3，等号能成立．∴此时h=．∴h的最大值为．20．（14分）已知单位，夹角为锐角，且|﹣t|（t∈R）最小值为．（Ⅰ）求（+）（﹣2）的值；（Ⅱ）若满足（）•（）=0，求||的最小值．【解答】解：（Ⅰ）由单位，夹角为锐角θ，且|﹣t|（t∈R）最小值为，可得1+t2﹣2t•cosθ 的最小值为，∴cosθ=，∴θ=60，=1×1×cosθ°=．（+）（﹣2）=﹣2﹣=1﹣2﹣=﹣．（Ⅱ）若满足（）•（）=0，则（）⊥[﹣（﹣）]，向量的终点在以向量、﹣的终点A、B为直径的圆上，且|AB|=，从而||≥﹣．21．（15分）已知等差数列{a n}的公差不为零，a5=10，等比数列{b n}的前3项满足b1=a2，b2=a3，b3=a7．（Ⅰ）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=（n∈N*），S n=c1+c2+…+c n，是否存在最大整数m，使对任•S n总成立？若存在，求出m的值；若不存在，请意的n∈N*，均有b n+1说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由已知可设公差为的d，则有：，联立解得：a1=﹣2，d=3，∴a n=3n﹣5，．（Ⅱ）数列a n=3n﹣5代入得==（），故S n=[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=•S n成立，即m＜=，假设存在整数m使b n+1记f（n）=，则f（n+1）﹣f（n）=＞0，故f（n）为单调递增，且f（n）min=f（1）=13．故存在最大的整数m=12，使恒成立．22．（15分）已知二次函数f（x）=ax2+bx+c．（Ⅰ）若a=1，b=c，且|f（x）|在x∈[0，1]上单调递增，求实数b的取值范围；（Ⅱ）当c=0时，有f（﹣2）=6，|2a+b|≤3．若对于任意的实数a，存在最大的实数t，使得当x∈[﹣2，t]时，|f（x）|≤6恒成立，试求用a表示t的表达式．【解答】解：（Ⅰ）由于已知得f（x）=x2+bx+b，图象过定点（0，b），且由|f（x）|在x∈[0，1]上单调递增，可知f（x）图象与x轴在[0，1]上没有交点．①当b≥0时，要使|f（x）|在x∈[0，1]上单调递增，可知f（x）≥0在[0，1]上恒成立，则只须对称轴，得b≥0；②当b＜0时，要使|f（x）|在x∈[0，1]上单调递增，可知f（x）＜0在[0，1]上恒成立，则只须对称轴，得b≤﹣2；综上所述，b≤﹣2或b≥0．（Ⅱ）由f（﹣2）=6，得b=2a﹣3，且f（x）=ax2+（2a﹣3）x，又∵﹣3≤2a+b≤3，即﹣3≤4a﹣3≤3，得，∵已知函数为二次函数，∴a≠0，则．当时，f（x）=ax2+（2a﹣3）x，抛物线开口向上，对称轴，，最小值为．（ⅰ）当时，即4a2﹣36a+9≤0，解得，要使|f（x）|≤6在x∈[﹣2，t]恒成立，此时t的最大值为f（x）=6的解中较大的根，∴．（ⅱ）当时，即4a2﹣36a+9＞0，解得，此时令f（x）=﹣6，解得，要使|f（x）|≤6在x∈[﹣2，t]恒成立，此时t为其中较小的根，知．综上可得．赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=0)(>k f k x y1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f②x 1≤x 2＜k ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=k 0)(>k f xy1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f③x1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2<k fxy1x 2x O∙<a 1k∙2k 0)(1>k f 0)(2<k f⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p = x>O-=f(p) f (q)()2b f a-x>O-=f (p)f (q)()2b f a-x(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x>O -=f(p) f(q)()2b f a-0x x<O-=f (p) f (q) ()2bf a-x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x<O-=f (p)f(q)()2bf a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x。

2014-2015学年浙江省杭州市重点中学联考高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）半径为2cm的球的体积是（）A．cm3B．cm3C．cm3D．cm3 2．（4分）直线x=﹣的倾斜角和斜率分别是（）A．45°，1B．135°，﹣1C．90°，不存在D．180°，不存在3．（4分）已知实数a，b，则a•b＞0是a＞0且b＞0的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要4．（4分）设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是（）A．若l⊥α，α⊥β，则l⊂βB．若l∥α，α∥β，则l⊂βC．若l⊥α，α∥β，则l⊥βD．若l∥α，α⊥β，则l⊥β5．（4分）六个棱长为1的正方体在桌面上堆叠成一个几何体，该几何体的正视图与俯视图如图所示，则其左视图不可能为（）A．B．C．D．6．（4分）若直线y=kx+1与圆x2+y2+kx+my﹣4=0交于M，N两点，且M，N关于直线x+y=0对称，则k+2m的值是（）A．﹣1B．0C．1D．37．（4分）已知双曲线与椭圆共顶点，且焦距是6，此双曲线的渐近线是（）A．B．C．D．8．（4分）已知椭圆E的左、右焦点分别为F1、F2，过F1且斜率为2的直线交椭圆E于P、Q两点，若△PF1F2为直角三角形，则椭圆E的离心率为（）A．B．C．D．9．（4分）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1与AC、AB所成角均为60°，∠BAC=90°，且AB=AC=AA1，则A1B与AC1所成角的余弦值为（）A．1B．﹣1C．D．﹣10．（4分）已知ABCD﹣A1B1C1D1是边长为1的正方体，P为线段AB1上的动点，Q为底面ABCD上的动点，则PC1+PQ最小值为（）A．B．C．2D．二．填空题（共7小题，每小题4分，共28分）11．（4分）在空间直角坐标系中，A1是点A（﹣4，3，1）关于y轴的对称点，则|AA1|=．12．（4分）两平行直线kx+6y+2=0与4x﹣2y+2=0之间的距离为．13．（4分）设抛物线y2=2x的准线为l，P为抛物线上的动点，定点A（2，3），则AP与点P到准线l的距离之和的最小值为．14．（4分）某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为．15．（4分）如图四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=NB=1，G为MC中点，则下列结论中正确的是．①MC⊥AN；②GB∥平面AMN；③平面CMN⊥平面AMN；④平面DCM∥平面ABN．16．（4分）已知F1，F2分别是双曲线x2﹣=1的左右焦点，A是双曲线在第一象限内的点，若|AF2|=4且∠F1AF2=60°，延长AF2交双曲线右支于点B，则△F1AB的面积等于．17．（4分）已知动点P（x，y）在椭圆=1上，若A点的坐标为（6，0），||=1，且•=0，则||的最小值为．三、解答题：（共4小题，共52分，解题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）18．（12分）已知命题p：方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆；已知命题q：方程+=1表示双曲线；若p∨q为真，p∧q为假，求实数m的取值范围．19．（12分）已知圆M经过A（1，﹣2），B（﹣1，0）两点，且在两坐标轴上的四个截距之和为2．（1）求圆M的方程；（2）过点P（4，3）的直线l被圆M所截得的弦长为2，求直线l的方程．20．（14分）如图，矩形ABCD所在的半平面和直角梯形CDEF所在的半平面成60°的二面角，DE∥CF，CD⊥DE，AD=2，EF=3，CF=6，∠CFE=45°．（Ⅰ）求证：BF∥平面ADE；（Ⅱ）求直线AF与平面CDEF所成角的正切值．21．（14分）已知抛物线E的顶点在原点，焦点为F（2，0），过焦点且斜率为k 的直线交抛物线于P，Q两点，（1）求抛物线方程；（2）若|FP|=2|FQ|，求k的值；（3）过点T（t，0）作两条互相垂直的直线分别交抛物线E于A，B，C，D四点，且M，N分别为线段AB，CD的中点，求△TMN的面积最小值．2014-2015学年浙江省杭州市重点中学联考高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）半径为2cm的球的体积是（）A．cm3B．cm3C．cm3D．cm3【分析】由球的条件公式：V=r3，代入半径计算即可得到．【解答】解：球的半径r=2，则球的体积为V=r3=π×23=π（cm3）．故选：C．2．（4分）直线x=﹣的倾斜角和斜率分别是（）A．45°，1B．135°，﹣1C．90°，不存在D．180°，不存在【分析】垂直于x轴的直线倾斜角为90°，斜率不存在，即可得出．【解答】解：∵直线x=﹣垂直于x轴，∴倾斜角为90°，斜率不存在．故选：C．3．（4分）已知实数a，b，则a•b＞0是a＞0且b＞0的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的性质进行判断即可．【解答】解：若a＞0且b＞0则a•b＞0成立，即必要性成立，若a＜0且b＜0，满足a•b＞0但a＞0且b＞0不成立，即充分性不成立，故a•b＞0是a＞0且b＞0的必要不充分条件，故选：B．4．（4分）设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是（）A．若l⊥α，α⊥β，则l⊂βB．若l∥α，α∥β，则l⊂βC．若l⊥α，α∥β，则l⊥βD．若l∥α，α⊥β，则l⊥β【分析】本题考查的知识点是直线与平面之间的位置关系，逐一分析四个答案中的结论，发现A，B，D中由条件均可能得到l∥β，即A，B，D三个答案均错误，只有C满足平面平行的性质，分析后不难得出答案．【解答】解：若l⊥α，α⊥β，则l⊂β或l∥β，故A错误；若l∥α，α∥β，则l⊂β或l∥β，故B错误；若l⊥α，α∥β，由平面平行的性质，我们可得l⊥β，故C正确；若l∥α，α⊥β，则l⊥β或l∥β，故D错误；故选：C．5．（4分）六个棱长为1的正方体在桌面上堆叠成一个几何体，该几何体的正视图与俯视图如图所示，则其左视图不可能为（）A．B．C．D．【分析】由已知中六个棱长为1的正方体在桌面上堆叠成一个几何体，结合该几何体的正视图与俯视图，分类讨论其左视图的形状，可得答案．【解答】解：由已知中六个棱长为1的正方体在桌面上堆叠成一个几何体，结合该几何体的正视图与俯视图，①当正方体的摆放如下图所示时，（俯视图格中数字表示每摞正方体的个数）：或，几何全的侧视图如图所示：，故排除A；②当正方体的摆放如下图所示时，（俯视图格中数字表示每摞正方体的个数）：，几何全的侧视图如图所示：，故排除B；③当正方体的摆放如下图所示时，（俯视图格中数字表示每摞正方体的个数）：，几何全的侧视图如图所示：，故排除C；故选：D．6．（4分）若直线y=kx+1与圆x2+y2+kx+my﹣4=0交于M，N两点，且M，N关于直线x+y=0对称，则k+2m的值是（）A．﹣1B．0C．1D．3【分析】若M，N关于直线x+y=0对称，则圆心在直线x+y=0上，即可得到结论．【解答】解：圆心坐标为（，），若若M，N关于直线x+y=0对称，则圆心在直线x+y=0上，∴=0，即m+k=0，且直线y=kx+1与x+y=0垂直，则k=1，即m=﹣1，则k+2m=1﹣2=﹣1，故选：A．7．（4分）已知双曲线与椭圆共顶点，且焦距是6，此双曲线的渐近线是（）A．B．C．D．【分析】根据双曲线与椭圆共顶点，可得双曲线的顶点坐标，结合焦距是6，可得a，b的值，进而可求双曲线的渐近线方程．【解答】解：∵双曲线与椭圆共顶点，∴双曲线的顶点坐标为（0，±），即a=，∵焦距是6，∴2c=6，∴c=3，∴=2，∴双曲线的渐近线方程是y=±x．故选：B．8．（4分）已知椭圆E的左、右焦点分别为F1、F2，过F1且斜率为2的直线交椭圆E于P、Q两点，若△PF1F2为直角三角形，则椭圆E的离心率为（）A．B．C．D．【分析】通过椭圆的定义可得PF1、PF2，利用勾股定理及离心率公式计算即得结论．【解答】解：由题可知：2=，即PF2=2PF1，又PF2+PF1=2a，∴PF1=，PF2=，由勾股定理可知：，即：，∴e====，故选：A．9．（4分）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1与AC、AB所成角均为60°，∠BAC=90°，且AB=AC=AA1，则A1B与AC1所成角的余弦值为（）A．1B．﹣1C．D．﹣【分析】连结A1C，交AC1于点E，取BC的中点D，连结AD、DE．证出DE是△ABC的中位线，得DE A1B，因此AE、ED所成的锐角或直角就是A1B与AC1所成的角．然后利用题中数据在△AED中分别算出边AE、ED、AD的长，根据余弦定理列式，即可算出异面直线A1B与AC1所成角的余弦值．【解答】解：连结A1C，交AC1于点E，取BC的中点D，连结AD、DE，∵四边形AA1C1C是平行四边形，∴E是A1C的中点∵D是BC的中点，∴DE是△A 1BC的中位线，可得DE A1B，因此，∠AED（或其补角）就是异面直线A1B与AC1所成的角．设AB=AC=AA1=2，可得∵∠A1AB=60°，∴△A1AB是等边三角形，可得A1B=2，得DE=A1B=1．同理，等边△A1AC中，中线AE=A1A=，又∵∠BAC=90°，AB=AC=2，D为BC中点，∴AD=BC==由此可得△ADE中，cos∠AED===．即异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为．故选：C．10．（4分）已知ABCD﹣A1B1C1D1是边长为1的正方体，P为线段AB1上的动点，Q为底面ABCD上的动点，则PC1+PQ最小值为（）A．B．C．2D．【分析】如图所示，把上图中的△ABB1延AB1上转90°，得到下图，当C1Q⊥AB时，PC1+PQ=CQ最小．【解答】解：如图所示，把上图中的△ABB1沿AB1上转90°，得到下图，当C1Q ⊥AB时，PC1+PQ=CQ最小，PC1=，PA=﹣1，PQ=，所以PC1+PQ=1+，故选：A．二．填空题（共7小题，每小题4分，共28分）11．（4分）在空间直角坐标系中，A1是点A（﹣4，3，1）关于y轴的对称点，则|AA1|=．【分析】先根据空间直角坐标系对称点的特征，点（x，y，z）关于y轴的对称点的坐标为只须将横坐标、竖坐标变成原来的相反数即可，即可得对称点的坐标．然后求出两点距离即可．【解答】解：∵在空间直角坐标系中，点（x，y，z）关于y轴的对称点的坐标为：（﹣x，y，﹣z），∴A（﹣4，3，1）关于y轴的对称点的坐标为：A1（4，3，﹣1）．∴|AA1|==．故答案为：．12．（4分）两平行直线kx+6y+2=0与4x﹣2y+2=0之间的距离为．【分析】4x﹣2y+2=0化为﹣12x+6y﹣6=0，利用两条平行线之间的距离公式即可得出．【解答】解：4x﹣2y+2=0化为﹣12x+6y﹣6=0，∴两条平行线之间的距离d==，故答案为：13．（4分）设抛物线y2=2x的准线为l，P为抛物线上的动点，定点A（2，3），则AP与点P到准线l的距离之和的最小值为．【分析】如图所示，过点P作PM⊥l，垂足为M，则|PM|=|PF|，因此AP与点P到准线l的距离之和的最小值为|PA|，利用两点之间的距离公式即可得出．【解答】解：如图所示，F．过点P作PM⊥l，垂足为M，则|PM|=|PF|，因此AP与点P到准线l的距离之和的最小值为|PA|，|PA|==．故答案为：．14．（4分）某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是一半圆柱体与一半圆锥体的组合体，根据图中数据求出它的体积．【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是一底面半径为1，高为4的半圆柱体，与一底面半径为1，高为2的半圆锥体的组合体；该几何体的体积为V几何体=V半圆柱体+V半圆锥体=•π12•4+•π12•2=．故答案为：．15．（4分）如图四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=NB=1，G为MC中点，则下列结论中正确的是①②④．①MC⊥AN；②GB∥平面AMN；③平面CMN⊥平面AMN；④平面DCM∥平面ABN．【分析】由于四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=BN=1，所以将题中的几何体放在正方体ABCD﹣A'NC'M中，如图所示．再根据正方体的性质和空间垂直、平行的有关定理，对A、B、C、D 各项分别加以判断，即可得出本题答案．【解答】解：∵四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=BN=1，∴将题中的几何体放在正方体ABCD﹣A'NC'M中，如图所示对于①，所以MC与AN是棱长为1的正方体中，位于相对面内的异面的面对角线因此可得MC、AN所成角为90°，可得MC⊥AN，故①正确；对于②，因为正方体ABCD﹣A'NC'M中，平面AMN∥平面BC'D而GB⊂平面BC'D，所以GB∥平面AMN，故②正确；对于③，因为正方体ABCD﹣A'NC'M中，二面角A﹣MN﹣C的大小不是直角所以面CMN⊥面AMN不成立，故③不正确；对于④，因为面DCM与面ABN分别是正方体ABCD﹣A'NC'M的内外侧面所在的平面，所以面DCM∥面ABN成立，故④正确故答案为：①②④16．（4分）已知F1，F2分别是双曲线x2﹣=1的左右焦点，A是双曲线在第一象限内的点，若|AF2|=4且∠F1AF2=60°，延长AF2交双曲线右支于点B，则△F1AB的面积等于24．【分析】根据双曲线的定义，得|AF1|﹣|AF2|=2a=2，△AF1F2中根据余弦定理算出|F1F2|2，从而得到c2=7．设A（x1，y1），B（x2，y2）．由直线AB方程与双曲线方程联解，可得B的坐标，由△F1AB的面积S=2c×|y1﹣y2|，计算即可得到．【解答】解：如图所示，由双曲线的方程可知：a=1．∴|AF1|﹣|AF2|=2，∵|AF2|=4，∴|AF1|=6．∴|F1F2|2=（2c）2=62+42﹣2×6×4×cos60°，即有c2=7，∴b2=c2﹣1=6，设A（x1，y1），B（x2，y2）．则，化为7x12﹣2x1﹣15=0，解得x1=，或x1=﹣（舍去）．由此解出A的坐标为（，），直线AB的斜率为k==﹣3．设直线AB方程为y=﹣3（x﹣），与双曲线6x2﹣y2=6联解，得到B（，﹣），∴△ABF1的面积S=2×|y1﹣y2|=×|+|=．故答案为：24．17．（4分）已知动点P（x，y）在椭圆=1上，若A点的坐标为（6，0），||=1，且•=0，则||的最小值为．【分析】通过•=0推断出PM⊥AM，进而利用勾股定理可知|PM|2=|AP|2﹣|AM|2，进而问题转化为求得|AP|最小值，计算即得结论．【解答】解：∵•=0，∴PM⊥AM，∴|PM|2=|AP|2﹣|AM|2，又∵||=1，∴|AP|越小，|PM|就越小，设P（10cosx，8sinx），则|AP|2=（10cosx﹣6）2+（8sinx﹣0）2=100cos2x﹣120cosx+36+64sin2x=36cos2x﹣120cosx+100=（6cosx﹣10）2，∴|AP|的最小值为=4，∴|PM|的最小值为：=，故答案为：．三、解答题：（共4小题，共52分，解题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）18．（12分）已知命题p：方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆；已知命题q：方程+=1表示双曲线；若p∨q为真，p∧q为假，求实数m的取值范围．【分析】分别求出命题p，q是真命题时的m的范围，通过讨论p真q假，p假q真的情况，从而得到m的范围．【解答】解：由题意知：命题p与命题q一真一假，p为真命题：，解得2＜m＜3，q为真命题：（5﹣2m）m＜0，解得，若p真q假，则，若p假q真：m＜0或m≥3，综上：．19．（12分）已知圆M经过A（1，﹣2），B（﹣1，0）两点，且在两坐标轴上的四个截距之和为2．（1）求圆M的方程；（2）过点P（4，3）的直线l被圆M所截得的弦长为2，求直线l的方程．【分析】（1）设出圆的一般方程，利用待定系数法即可求圆M的方程；（2）根据直线和圆相交的弦长公式即可得到结论．【解答】解：（1）设圆M的方程x2+y2+Dx+Ey+F=0根据圆M过A（1，﹣2），B（﹣1，0）得：1+4+D﹣2E+F=0①1﹣D+F=0 ②﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）令x=0，得y2+Ey+F=0，所以y1+y2=﹣E令y=0，得x2+Dx+F=0，所以x1+x2=﹣D所以﹣D﹣E=2③﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）由①②③得D=﹣2，E=0，F=﹣3，所以圆M的方程x2+y2﹣2x﹣3=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）圆M的标准方程为：（x﹣1）2+y2=4所以圆心M（1，0），半径r=2设直线l的方程为：y﹣3=k（x﹣4），即kx﹣y+3﹣4k=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）直线l被圆M截得的弦长为2，则圆心M到直线l距离所以﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）解得：，所以直线l的方程为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）20．（14分）如图，矩形ABCD所在的半平面和直角梯形CDEF所在的半平面成60°的二面角，DE∥CF，CD⊥DE，AD=2，EF=3，CF=6，∠CFE=45°．（Ⅰ）求证：BF∥平面ADE；（Ⅱ）求直线AF与平面CDEF所成角的正切值．【分析】（Ⅰ）由已知条件，利用直线与平面、平面与平面的位置关系先推导出平面BCF∥平面ADF，由此能证明BF∥平面ADE．（Ⅱ）由已知条件推导出面ADE⊥面CDEF，所以∠ADE就是二面角A﹣CD﹣F的平面角，为60°，作AO⊥DE于O，则AO⊥平面CDEF，连接OF，则∠AFO就是直线AF与平面CDEF所成角，由此能求出直线AF与平面CDEF所成角的正切值．【解答】解：（Ⅰ）因为ABCD是矩形，所以BC∥AD，又因为BC不包含于平面ADE，所以BC∥平面ADE，因为DE∥CF，CF不包含于平面ADE，所以CF∥平面ADE，又因为BC∩CF=C，所以平面BCF∥平面ADF，而BF⊂平面BCF，所以BF∥平面ADE．…（5分）（Ⅱ）因为⇒CD⊥面ADE，又因为CD⊂面CDEF，所以面ADE⊥面CDEF，…（10分）因为CD⊥AD，CD⊥DE，所以∠ADE就是二面角A﹣CD﹣F的平面角，为60°，…（11分）因为平面CDEF⊥平面ADE，作AO⊥DE于O，则AO⊥平面CDEF，连接OF，所以∠AFO就是直线AF与平面CDEF所成角θ…（12分）在Rt△AOD中，∵AD=2，∠ADE=60°，∴AO=，在直角梯形CDEF，∵EF=3，CF=6，∠CFE=45°，∴2CD2=18，∴CD=3，∴OF==，所以tanθ==，所以直线AF与平面CDEF所成角的正切值为．…（15分）21．（14分）已知抛物线E的顶点在原点，焦点为F（2，0），过焦点且斜率为k的直线交抛物线于P，Q两点，（1）求抛物线方程；（2）若|FP|=2|FQ|，求k的值；（3）过点T（t，0）作两条互相垂直的直线分别交抛物线E于A，B，C，D四点，且M，N分别为线段AB，CD的中点，求△TMN的面积最小值．【分析】（1）由抛物线E的顶点在原点，焦点为F（2，0），即可得出抛物线方程．（2）如图，若k＞0，不妨设|QF|=a，则|PF|=2a．设抛物线的准线为l，过点P 作PH⊥l垂足为H，过点Q作QG⊥PH，垂足为G．可得|PG|=a．在RT△PQG 中，可得|QM|=a，因此k=tan∠QPG=，即可得出．（3）根据题意得AB，CD斜率存在．设，A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）．把直线方程分别抛物线方程联立可得根与系数的关系，利用中点坐标公式可得M，N的坐标，利用两点之间的距=及基本不等式的性质即可得出．离公式可得，|TM|，|TN|．S△TMN【解答】解：（1）∵抛物线E的顶点在原点，焦点为F（2，0），∴y2=8x．（2）如图，若k＞0，不妨设|QF|=a，则|PF|=2a．设抛物线的准线为l，过点P作PH⊥l垂足为H，过点Q作QG⊥PH，垂足为G．|PH|=2a=2|GH|，∴|PG|=a．在RT△PQG中，|PG|=a，|PQ|=3a，得|QM|=a，∴k=tan∠QPG=，同理k＜0时，，∴．（3）根据题意得AB，CD斜率存在．设，A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）．由，∴，同理可得，∴，，∴，当且仅当|m|=1时，面积取到最小值16．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y fu=为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[、上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，yxo都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。