浙江省杭州求是高级中学-学年高一上学期期末模拟数学试题四

2024年浙江省杭州市示范名校数学高三第一学期期末学业水平测试模拟试题注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知命题p ：若1a >，1b c >>，则log log b c a a <；命题q ：()00,x ∃+∞，使得0302log x x <”，则以下命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧B ．()p q ∧⌝C ．()p q ⌝∧D ．()()p q ⌝∧⌝2．甲、乙、丙、丁四位同学利用暑假游玩某风景名胜大峡谷，四人各自去景区的百里绝壁、千丈瀑布、原始森林、远古村寨四大景点中的一个，每个景点去一人．已知：①甲不在远古村寨，也不在百里绝壁；②乙不在原始森林，也不在远古村寨；③“丙在远古村寨”是“甲在原始森林”的充分条件；④丁不在百里绝壁，也不在远古村寨．若以上语句都正确，则游玩千丈瀑布景点的同学是（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁3．执行如下的程序框图，则输出的S 是（ ）A ．36B ．45C ．36-D ．45-4．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．643B ．64C ．323D ．325．已知a ，b ，c 分别为ABC ∆内角A ，B ，C 的对边，1a =，4sin 3cos c A C =，ABC ∆的面积为32，则c =（ ）A ．22B ．4C ．5D ．326．复数2(1)41i z i -+=+的虚部为（ ）A ．—1B ．—3C ．1D ．27．已知函数()2943,02log 9,0x x x f x x x ⎧+≤=⎨+->⎩，则函数()()y f f x =的零点所在区间为（ ） A ．73,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()1,0-C ．7,42⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()4,58．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）A ．83B ．163C ．43D ．89．已知集合A={x|y=lg （4﹣x 2）}，B={y|y=3x ，x ＞0}时，A∩B=（ ） A ．{x|x ＞﹣2} B ．{x|1＜x ＜2} C ．{x|1≤x≤2} D ．∅10．已知函数32,1()ln ,1(1)x x x f x a x x x x ⎧-+<⎪=⎨≥⎪+⎩，若曲线()y f x =上始终存在两点A ，B ，使得OA OB ⊥，且AB 的中点在y轴上，则正实数a 的取值范围为（ ） A ．(0,)+∞B ．10,e⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．1,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭D ．[e,)+∞11．已知()4sin 5πα+=，且sin 20α<，则tan 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．7B ．7-C ．17D ．17-12．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若563a a =，则3132310log log log a a a +++=（ ）A ．31log 5+B ．6C ．4D ．5二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020-2021学年浙江省杭州市高一上学期期末模拟数学试题一、单选题1．已知集合{1,2,3,4},{|32},A B y y x x A ===-∈，则A B =（ ）A ．{1}B ．{4}C ．{1,3}D ．{1,4}【答案】D【分析】先根据集合定义求出集合B ，然后由交集定义计算． 【详解】由题意{1,4,7,10}B =，所以{1,4}A B =，故选：D.【点睛】本题考查集合的交集运算，属于简单题． 2．设,a b ∈R , 则 “2()0a b a -<”是“a b <”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【详解】由2()0a b a -<一定可得出a b <；但反过来，由a b <不一定得出2()0a b a -<，如0a =，故选A.【考点定位】本小题主要考查充分必要条件、不等式的性质等基础知识，熟练掌握这两部分的基础知识是解答好本类题目的关键.3．设函数241,0()log ,0x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，则((1))f f 等于（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】A【分析】根据函数241,0()log ,0x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，先求(1)f ，再求((1))f f .【详解】因为函数241,0()log ,0x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，所以2(1)log 10f ==，所以0((1))(0)410f f f ==-=， 故选：A4．若正实数a ，b 满足lg a ＋lg b ＝1，则25a b+的最小值为（ ）A B ．C ．2D ．2【答案】D【分析】应用对数运算得到10ab =，由目标式结合基本不等式有25a b +≥可求其最小值.【详解】∵lg lg 1a b +=，即lg 1ab =， ∴10ab =，而0,0a b >>，∴252a b +≥=当且仅当2,5a b ==时等号成立. ∴25a b+的最小值为2. 故选：D【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方5．已知函数f (x ) f (2a 2－5a ＋4)<f (a 2＋a ＋4) ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭∪(2,＋∞) B ．[2,6)C ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦∪[2,6)D ．(0,6)【答案】C【分析】由解析式知()f x 在定义域上递增，由已知函数不等式有2222544a a a a ≤-+<++，即可求解a 的取值范围.【详解】由题意，()f x 在[2,)+∞上单调递增，∵22(254)(4)f a a f a a -+<++，即2222544a a a a ≤-+<++， ∴260a a -<或22520a a -+≥，可得26a ≤<或102a <≤. 故选：C【点睛】关键点点睛：利用函数的单调性，列不等式求参数的范围.易错点是定义域容易被忽略.6．为了得到函数sin 3cos3y x x =+的图象，可以将函数3y x =的图象A ．向右平移12π个单位长 B ．向右平移4π个单位长 C ．向左平移12π个单位长 D ．向左平移4π个单位长 【答案】A【分析】化简得到sin 3cos312y x x x π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，根据平移法则得到答案.【详解】sin 3cos33412y x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故3y x =向右平移12π个单位长可以得到sin 3cos3y x x =+的图像.故选：A.【点睛】本题考查了三角函数平移，意在考查学生对于三角函数平移的理解和掌握情况.7．函数()2lg 106y x x =++的零点是1tan x α=和2tan x β=，则tan()αβ+=A ．53B ．52C ．52-D ．53-【答案】B【分析】先由韦达定理得到tan tan 10tan tan 5αβαβ+=-⎧⎨=⎩，再由两角和的正切公式得到结果.【详解】因为2lg(106)y x x =++的零点是1tan x α=和2tan x β=，所以1x ，2x 是方程21050x x ++=的两个根，根据韦达定理得到tan tan 10tan tan 5αβαβ+=-⎧⎨=⎩,再由两角和的正切公式得到:tan tan 5tan()1tan tan 2αβαβαβ++==-.故选B.【点睛】本题考查了二次方程的根，以及韦达定理的应用，涉及正切函数的两角和的公式的应用，属于基础题.8．若关于x 的不等式23||x a x -->至少有一个负实数解，则实数a 的取值范围是（ ）A ．133,4⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．1313,44⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．()3,3-D ．13,34⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】D【分析】将该不等式的问题，转化为函数的交点问题，利用图象即可得出实数a 的取值范围.【详解】关于x 的不等式23||x a x -->等价于22330x a x x ⎧-<-⎨->⎩若不等式至少有一个实数解，则函数()2,33,3x y x ∈-=-与||y x a =-的图象有交点在同一坐标系中，画出函数23y x =-与||y x a =-的图象，如下图所示当||y x a =-的图象右边部分与23y x =-相切时，23y x a y x =-⎧⎨=-⎩有唯一解，即230x x a +--=有唯一解，则14(3)0a ∆=---=，解得134a =-当||y x a =-的图象左边部分过(0,3)时，求得3a = 则实数a 的取值范围是13,34⎛⎫- ⎪⎝⎭故选：D【点睛】本题主要考查了由函数的零点求参数范围，属于中档题.二、多选题9．下列四个命题：其中不正确命题的是（ ）A ．函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，在(,0]-∞上单调递增，则()f x 在R 上是增函数B ．若函数2()2f x ax bx =++与x 轴没有交点，则280b a -<且0a >C ．当a b c >>时，则有bc ac >成立D ．1y x =+和2(1)y x =+不表示同一个函数 【答案】D【分析】结合单调性的概念，二次函数的图象，不等式的性质和函数的定义判断各选项，错误选项可举反例说明．【详解】A 不正确，如1,0(),0x f x x x x ⎧-<⎪=⎨⎪≥⎩满足题意，但在R 上不是增函数；B 不正确，若0a <且280b a -<，()f x 的图象与x 轴也没有交点；C 不正确，若5,2,0a b c ===满足a b c >>，但bc ac =；D 正确，2(1)1y x x =+=+，值域为[0,)+∞，1y x =+值域是R ，不是同一函数． 故选：D ．10．已知a 是实数，则函数()1sin f x a ax =+的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】ABD【分析】根据a 的取值分类讨论，估计函数的周期，确定正确选项． 【详解】0a =时，()1f x =，图象为B ，若0a <，则()1()sin()f x a ax =+--，此时0a ->． 因此不妨设0a >，1a >，则22T aππ=<，max ()2f x >，图象可能为D ，若01a <<，则22T aππ=>，max ()2f x <，图象可能为A ． 故选：ABD ．【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的图象与性质，解题时可通过确定函数的周期，最值，对称性，单调性确定图象的可能性．如果是单选题，则利用排除法得出结论． 11．如图，一半径为3的水轮，水轮的圆心O 距离水面2米，已知水轮每分钟逆时针旋转4圈，水轮上的点P 到水面距离y （米）与时间x （秒）满足函数关系()sin 2y A x ωϕ=++（0A >），则有（ ）A ．152ωπ=B ．A =3C ．215πω=D ．A =5【答案】BC【分析】根据()sin()f x A x k ωϕ=++的性质结合正弦函数的性质判断． 【详解】由已知水轮上的点P 到水面最大距离为2r +， 因为()sin 2y A x ωϕ=++的最大值为2A +， 所以3A r ==，又因为水轮每分钟逆时针旋转4圈，4226015ππω⨯==． 故选：BC12．已知函数222,0()log ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨>⎪⎩，若x 1<x 2<x 3<x 4，且f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝f (x 4)，则下列结论正确的是（ ） A ．x 1＋x 2＝－1 B ．x 3x 4＝1 C ．1<x 4<2 D ．0<x 1x 2x 3x 4<1【答案】BCD【分析】由解析式得到函数图象，结合函数各分段的性质有122x x +=-，341x x =，341122x x <<<<，即可知正确选项.【详解】由()f x 函数解析式可得图象如下：∴由图知：122x x +=-，121x -<<-，而当1y =时，有2|log |1x =，即12x =或2，∴341122x x <<<<，而34()()f x f x =知2324|log ||log |x x =：2324log log 0x x +=， ∴341x x =，21234121(1)1(0,1)x x x x x x x ==-++∈.故选：BCD【点睛】关键点点睛：利用分段函数的性质确定函数图象，由二次函数、对数运算性质确定1234,,,x x x x 的范围及关系.三、填空题13．已知()2tan 3πα-=-，则()()()cos 3sin cos 9sin απαπαα-++-+的值为_____________.【答案】15-【分析】根据诱导公式化简已知与待求式，待求式分子分母同除以cos α即可求解.【详解】()2tan 3πα-=-,2tan 3α∴=,()()()cos 3sin cos 3sin 13tan 121cos 9sin cos 9sin 19tan 165απααααπααααα-++---∴====--+-+-+-+故答案为：15-【点睛】本题主要考查了诱导公式，考查了同角三角函数的基本关系，考查了运算能力，属于中档题.14．若函数221()f x x x =+与2()(,)ax bx ag x a b R x++=∈的图像有交点，则222a b +的最小值为_________. 【答案】43【分析】将问题转化为方程()()f x g x =有解,即21120x a x b x x ⎛⎫⎛⎫+-+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭有解,设()12x t t x+=≥,则220t at b ---=,令c =,则220t b --=,再将关于t的方程220t b --=看成关于,c b的直线方程220b t -+-=,则22c b +可视为直线上的点(),c b 到原点的距离的平方,进而求解即可【详解】由题,令()()f x g x =,所以2221ax bx ax x x+++=,即22210ax bx ax x x+++-=,所以方程21120x a x b x x ⎛⎫⎛⎫+-+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭有解,设()12x t t x+=≥,则220t at b ---=,令c =,则a =,所以220t b --=, 则22222a b c b +=+, 将关于t的方程220t b --=看成关于,c b的直线方程220b t -+-=, 则22c b +可视为直线上的点(),c b 到原点的距离的平方, 其最小值即为原点到直线的距离的平方, 所以()()222222223222161601212t d t t t ⎛⎫-===++-≥=++,当且仅当22t =时等号成立,因为2t ≥,所以当24t =时能取得最小值,此时243d =, 所以222a b +的最小值为43故答案为:43【点睛】本题考查函数与方程的应用,考查转换主元的思想,考查数形结合思想,将关于t 的方程看成关于,c b 的直线方程是解题关键15．已知a >0，b >0，若469log log log ()a b a b ==+，则ba=________.【答案】12【分析】设469log log log ()a b a b m ==+=，可得2b a b a+=，构造方程即可求b a .【详解】设469log log log ()a b a b m ==+=，则4,6,9m m ma b a b ==+=，∴22366944m m mm m b a b a+====，∴整理得2()10a abb+-=，又a >0，b >0，∴b a =，， 【点睛】关键点点睛：利用指对数的互化，结合已知条件构造方程求解. 16．设常数a R ∈，则方程1xx a e +⋅=的解的个数组成的集合是A =_______. 【答案】{}1,2,3【分析】根据条件可知||1x x a e +=即1||xx a e +=，利用数形结合思想画出1()x e 与||x a +的图象，由交点个数即可求出答案．【详解】由题意得：11xx x a e x a e +⋅=⇔+=，设()1xf x e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()g x x a =+，在直角坐标系中分别画()f x ，()g x 的图象，如图所示：所以方程解的个数可能为1个或2个或3个. 故答案为：{}1,2,3.【点睛】本题运用等价转换，数形结合思想可求出方程解得个数，要求学生掌握指数函数图像和含绝对值的一次函数图像的画法，注意图像的翻折． 17．已知函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，4πx =-为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图像的对称轴，且()f x 在5,1836ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则ω的所有可能取值组成的集合为___________. 【答案】{}1,3,5,9【分析】先根据正弦函数的零点以及对称轴，判断ω为奇数，又由()f x 在5,1836ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，可得()12182k k ππππωϕπ∴+≤⋅+<++且()5++1,2362k k k Z ππππωϕπ<⋅+≤+∈，由此求得ω的范围，检验范围内的每一个奇数即可.【详解】解：函数数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，4πx =-为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图像的对称轴，,4n n Z πωϕπ⎛⎫∴-+=∈ ⎪⎝⎭且,42n n Z ππωϕπ''⋅+=+∈，相减可得(),222n n k k Z πππωππ'⋅=-+=+∈，即21k ω=+，即ω为奇数， 又()f x 在5,1836ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，()12182k k ππππωϕπ∴+≤⋅+<++①且()5++1,2362k k k Z ππππωϕπ<⋅+≤+∈②， 由①②可得3,1236ωππω≤∴≤，故奇数ω的最大值为11， 当11ω=时，11,,||,424k k Z πππϕπϕϕ-+=∈≤∴=-，此时()sin 114f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭在5,1836ππ⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，不满足题意； 当9ω=时，,,||,4492k k Z πππϕπϕϕ-+=∈≤∴=，此时()sin 9+4f x x π⎛⎫= ⎪⎝⎭在5,1836ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，满足题意；当7ω=时，,,||,4274k k Z πππϕπϕϕ-+=∈≤∴=-，此时()sin 74f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭在5,1836ππ⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，不满足题意； 当5ω=时，,,||,4452k k Z πππϕπϕϕ-+=∈≤∴=，此时()sin 5+4f x x π⎛⎫= ⎪⎝⎭在5,1836ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，满足题意； 当3ω=时，,,||,4234k k Z πππϕπϕϕ-+=∈≤∴=-，此时()sin 34f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭在5,1836ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，满足题意； 当1ω=时，,,||,4412k k Z πππϕπϕϕ-+=∈≤∴=，此时()sin +4f x x π⎛⎫= ⎪⎝⎭在5,1836ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，满足题意；则ω的所有可能取值组成的集合为{}1,3,5,9. 故答案为：{}1,3,5,9.【点睛】本题考查正弦函数的图像和性质，关键要求出ω的范围，并且要对范围内的数值进行检验，计算量较大，难度较大.四、解答题18．已知函数2()2cos 1f x x =-，x ∈R .（1）求6f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值； （2）求函数f (x ) 的最小正周期； （3）设()24g x f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，求g (x ) 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域.【答案】（1）12；（2）π；（3）[2]； 【分析】（1）由二倍角公式得()cos 2f x x =，代入即可求6f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； （2）由（1）所得三角函数式即可求f (x ) 的最小正周期； （3）由已知有()2sin(2)3g x x π=+，0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有42333x πππ≤+≤即可求值域. 【详解】（1）2()2cos 1cos 2f x x x =-= ∴1cos 632f ππ⎛⎫==⎪⎝⎭； （2）由（1）知：22||2T πππω===； （3）由题意：()cos(2)2sin 222sin(2)23g x x x x x x ππ=-=+=+，∴在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有42333x πππ≤+≤ ，所以()g x值域为[2]. 19．某厂每年生产某种产品x 万件，其成本包含固定成本和浮动成本两部分.已知每年固定成本为20万元，浮动成本220,025()160041200,25x x x k x x x x ⎧+<≤⎪=⎨+->⎪⎩，.若每万件该产品销售价格为40万元，且每年该产品产销平衡.（1）设年利润为()f x （万元），试求()f x 与x 的关系式；（2）年产量x 为多少万件时，该厂所获利润()f x 最大？并求出最大利润.【答案】（1）22020,025()1600180,25x x x f x x x x ⎧-+-<≤⎪=⎨--+>⎪⎩；（2）产量40x =（万件）时，该厂所获利润()f x 最大为100万元．【分析】（1）由销售收入减去成本可得利润； （2）分段求出()f x 的最大值，然后比较可得．【详解】（1）由题意22020,025()40()201600180,25x x x f x x k x x x x ⎧-+-<≤⎪=--=⎨--+>⎪⎩； 即22020,025()1600180,25x x x f x x x x ⎧-+-<≤⎪=⎨--+>⎪⎩； （2）025x <≤时，22()2020(10)80f x x x x =-+-=--+，10x =时，max ()80f x =，当25x >时，1600()()180f x x x=-++在(25,40]是递增，在[40,)+∞上递减， 40x =时max ()100f x =，综上，产量40x =（万件）时，该厂所获利润()f x 最大为100万元．【点睛】本题考查函数模型的应用，根据所给函数模型求出函数解析式，然后由分段函数性质分段求出最大值，比较后得出函数 最大值．考查学生的应用能力． 20．已知函数21()log 1x f x x -=+,()31g x ax a =+-,()()()h x f x g x =+. (1)当1a =时,判断函数()h x 在(1,)+∞上的单调性及零点个数;(2)若关于x 的方程2()log ()f x g x =有两个不相等实数根,求实数a 的取值范围. 【答案】(1)在(1,)+∞上为增函数,一个;(2)1,02⎛⎫-⎪⎝⎭. 【分析】（1）当1a =时，分别判断出()f x 和()g x 在()1,+∞上的单调性，由此判断出()h x 在()1,+∞上的单调性.利用零点存在性定理，判断出()h x 在区间()1,+∞上的零点个数.（2）化简方程2()log ()f x g x =，分离出常数a ，结合二次函数的性质，求得a 的取值范围. 【详解】由101x x ->+，解得1x <-或1x >. （1）由于2212()log log 111x f x x x -⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，由于211y x =-+在()1,+∞上递增，根据复合函数单调性可知，()f x 在()1,+∞上递增，当1a =时，()3g x x =在()1,+∞上递增，所以()h x 在()1,+∞上递增.由于()()221.1 3.3log 210,26log 30h h =-<=->，()()1.120h h ⋅<，所以()h x 在区间()1,+∞上有1个零点.（2）方程2()log ()f x g x =可化为()221log log 311x ax a x -=+-+，即1311x ax a x -=+-+，化简得()()2311x x a-=-+，（1x <-或1x >），画出()()311y x x =-+（1x <-或1x >）的图像如下图所示，要使()()2311x x a-=-+有两个解，则需24a ->，解得102a -<<.所以实数a 的取值范围是1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭.【点睛】本小题主要考查复合函数单调性的判断，考查根据方程解的个数求参数的取值范围，考查数形结合的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 21．（已知函数2()23sin cos 2cos 1()f x x x x x R =+-∈. （I ）求函数()f x 的最小正周期及在区间[0,]2π上的最大值和最小值；（II ）若006(),[,]542f x x ππ=∈,求0cos2x 的值. 【答案】（1）周期为π，最大值为2，最小值为-1 （2）34310- 【详解】试题分析：（1）将函数利用倍角公式和辅助角公式化简为()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,再利用周期2T πω=可得最小正周期,由0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦找出26x π+对应范围,利用正弦函数图像可得值域;（2） 先利用求出0cos 26x π⎛⎫+⎪⎝⎭,再由角的关系展开后代入可得值.试题解析:（1）所以 又所以由函数图像知.（2）解：由题意而 所以所以所以 =.【解析】三角函数性质;同角间基本关系式;两角和的余弦公式22．定义在[]4,4-上的奇函数()f x ，已知当[]4,0x ∈-时，()()143x xa R f ax =+∈．（1）求()f x 在[]0,4上的解析式； （2）若[]2,1x ∈--时，不等式()1123x x m f x -≤-恒成立，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）()34xxf x =-；（2）17,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【分析】（1）由已知可得()00=f ，求出1a =-，从而可得[]4,0x ∈-时，()1143=-x x f x ，当[]0,4x ∈时，[]4,0-∈-x ，则有()114343---=-=-x xx xf x ，再结合奇函数的可求得结果；（2）由()1123x x m f x -≤-，可化为1121222323x xx x x m +⎛⎫⎛⎫≥+=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后构造函数()12223x xg x ⎛⎫⎛⎫=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用其单调性求出()g x 在[]2,1x ∈--的最大值即可【详解】（1）因为()f x 是定义在[]4,4-上的奇函数，[]4,0x ∈-时，()143x xaf x =+，所以()0010043=+=a f ，解得1a =-，所以[]4,0x ∈-时，()1143=-x x f x ． 当[]0,4x ∈时，[]4,0-∈-x ，所以()114343---=-=-x x x x f x ， 又()()f x f x -=-，所以()43xxf x -=-，()34xxf x =-， 所以()f x 在[]0,4上的解析式为()34xxf x =-．（2）由（1）知，[]2,1x ∈--时，()1143=-x xf x ， 所以()1123x x m f x -≤-可化为11114323x x x x m --≤-， 整理得1121222323xxx x x m +⎛⎫⎛⎫≥+=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 令()12223x xg x ⎛⎫⎛⎫=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据指数函数单调性可得，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与23xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭都是减函数，所以()g x 也是减函数．因为[]2,1x ∈--时，不等式()1123x x m f x -≤-恒成立，等价于()m g x ≥在[]2,1x ∈--上恒成立， 所以，只需()()max 91724242m g x g ≥=-=+⨯=， 所以实数m 的取值范围是17,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 【点睛】此题考查函数的奇偶性的应用，考查函数单调性的应用，考查不等式恒成立问题，属于中档题23．如图，在半径为3，圆心角为60°的扇形的弧上任取一点P ，作扇形的内接矩形PNMQ ，使点Q 在OA 上，点N ，M 在OB 上，设矩形PNMQ 的面积为y .（1）按下列要求写出函数的关系式： ①设PN ＝x ，将y 表示成x 的函数关系式； ②设∠POB ＝θ，将y 表示成θ的函数关系式；（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，求出y 的最大值. 【答案】（1）①2233302y x x x x ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭.②23sin cos 303y πθθθθ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭；（2）选择②6πθ=3. 【分析】（1）①根据PN ＝QM =x 3，圆心角为60°，分别求得tan 60QMOM =，23ON x =-MN 求解；②根据∠POB ＝θ，结合半径为360°，求得3,3PN ON θθ==，再由tan 60PNOM =，进而得到MN 求解.（2）选择②利用二倍角公式和辅助角公式，将函数转化3326y πθ⎛⎫=+⎪⎝⎭，利用直线函数的性质求解. 【详解】（1）①因为PN ＝QM =x ， 所以3tan 60QM OM x ==，而ON =所以MN ON OM x =-=，所以2y x =. 因为点P 在扇形的弧上，所以30602x <<=，所以2302y x x ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭ ②因为∠POB ＝θ，所以,PN ON θθ==，而sin tan 60PNOM θ==，所以sin MN ON OM θθ=-=-，所以)sin y θθθ=-.因为点P 在扇形的弧上， 所以π0θ3，所以)2sin 3sin cos 03y πθθθθθθθ⎛⎫=-=-<< ⎪⎝⎭.（2）选择②233sin cos sin 22y θθθθ==3sin 222θθ=+，26πθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 因为π0θ3，所以52666πππθ<+<，当6πθ=时，函数取得最大值2. 【点睛】方法点睛：1．讨论三角函数性质，应先把函数式化成y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的形式．2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2πω，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为πω. 3．对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t ＝ωx ＋φ，将其转化为研究y ＝sin t 的性质．。

杭高2021学年第一学期期末考试高一数学试题卷1.本试卷分试题卷和答题卡两部分，本卷满分150分，考试时间120分钟.2.大题前务必将自己的学校、班级、姓名用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题卡规定的地方.3.答题时，请按照答题卡上“注意事项”的要求，在答题卡相应的位置上规范答题，在本试题卷上答题一律无效.4.考试结束后，只需上交答题卡.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2,A x x x Z =<∈，{}12B x x =-<<，则A B = （）A.{}0,1 B.()0,1 C.{}1,0,1- D.()1,2-2.已知1cos 3α=，且3π2π2α<<，则tan α的值为（）A.223-B.4-C. D.-3.设2log e a =，ln 2b =，cos130c =︒，则a ，b ，c 的大小关系是（）A.b a c>> B.a b c>> C.c b a>> D.c a b>>4.设,a b ∈R ,则“2()0a b a -<”是“a b <”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件D .既不充分也不必要条件5.命题“∀x ∈R ，f (x )g (x )≠0”的否定是()A.∀x ∈R ，f (x )＝0且g (x )＝0B.∀x ∈R ，f (x )＝0或g (x )＝0C.∃x 0∈R ，f (x 0)＝0且g (x 0)＝0D.∃x 0∈R ，f (x 0)＝0或g (x 0)＝06.如果2弧度的圆心角所对的弦长为4，那么这个圆心角所对的弧长为（）A.4sin1B.2sin1C.2sin1D.4sin17.已知函数()()log 8a f x ax =-满足1a >，若()1f x >在区间[]1,2上恒成立，则实数a 的取值范围是（）A.()4,+∞ B.8,43⎛⎫ ⎪⎝⎭C.81,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D.()81,4,3⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭8.设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意x ∈R ，都有()()11f x f x -=+，且当[]0,1x ∈时，()21x f x =-，若函数()()()log 2a g x f x x =-+（0a >且1a ≠）在()1,7-上恰有4个不同的零点，则实数a 的取值范围是（）A.()10,7,7⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭ B.()10,9,7⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭C.()10,7,9⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭D.()10,9,9⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭二、选择题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9.下列各组函数中，表示同一函数的是A.y =，2y = B.()=f x x，()t ϕ=C.y =，y =D.y =3y x =-10.下列函数中满足“对任意x 1，x 2∈（0，＋∞），都有1212()()f x f x x x --＞0”的是（）A.f （x ）＝－2xB.f （x ）＝－3x ＋1C .f （x ）＝x 2＋4x ＋3D.f （x ）＝x －1x11.下列说法正确的是（）A.若22ππαβ-<<<，则βα-的范围为()0,πB.若α在第一象限，则2α在第一、二象限C.要得到函数cos 2y x =的图像，只需将函数cos 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭向右平移6π个单位D.在ABC 中，若tan tan 1A B ⋅<，则ABC 的形状一定是钝角三角形12.下列结论中正确的结论是（）A.x ∈R 时，1x x+最小值是2B.222sin sin 2x x ++的最小值为2C.正数a ，b 满足22a b +=，则ab 的最大值为12D.0a >，1b >-，1a ab +=，则1a b ++的最小值为2三、填空题：本大题共4小题，每空4分，共16分.13.已知132a =，则2log (2)a =_________.14.已知函数()π3cos 216f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭单调递增区间为________.15.已知0x >，0y >，且24x y +=，则112x y y++最小值为________.16.已知函数()()()232,1ln ,1x x x f x x x ⎧-+≤⎪=⎨>⎪⎩，若存在0x ∈R ，使得()001f x ax a ≤--成立，则实数a 的取值范围是________.四、解答题：本题共6小题，共74分.解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设集合{}1A x x a =-<<，{}260B x x x =+-<，全集R U =.（1）若4a =，求A B ；（2）若A B A = ，求a 的取值范围.18.（1）化简()3sin()cos tan()2cos tan(2)2f ππααπααπαπα⎛⎫---- ⎪⎝⎭=⎛⎫--+ ⎪⎝⎭；（2）已知关于x 方程21204x bx -+=两根为sin θ和cos θ，,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.求实数b 以及sin cos θθ-的值.19.已知实数a 大于0，定义域为R 的函数3()13x x af x a=++是偶函数.（1）求实数a 的值并判断并证明函数()f x 在()0,∞+上的单调性；（2）对任意的t ∈R ，不等式()()212f t f t m -≥-恒成立，求实数m 的取值范围.20.新冠肺炎疫情造成医用防护服紧缺，当地政府决定为防护服生产企业A 公司扩大生产提供[]0(0),1x x ∈（万元）的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服.A 公司在收到政府x （万元）补贴后，防护服产量将增加到12(64t k x =⋅-+（万件），其中k 为工厂工人的复工率[]()0.51k ∈，，A 公司生产t 万件防护服还需投入成本()20850x t ++（万元）.（1）将A 公司生产防护服的利润y （万元）表示为补贴x （万元）的函数；（2）对任意的[]0,10x ∈（万元），当复工率k 达到多少时，A 公司才能不产生亏损？（精确到0.01）21.设函数221()sin 232f x x x x π⎛⎫=++-- ⎪⎝⎭（1）求()f x 的最小正周期及其图像的对称中心；（2）若052,123x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦且()0132f x =-，求0cos2x 的值.22.已知函数()1f x x x a m x =++-，02x ≤≤，其中,a m ∈R .（1）若0a =，1m =，求()f x 的单调区间；（2）对于给定的实数a ，若函数()f x 存在最大值1a +，（i ）求证：1a ≥-；（ii ）求实数m 的取值范围（用a 表示）.。

选择题部分一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1 已知全集，集合{}{}1,2,3,2,4A B ==，则为A. B. C. D.2 函数的定义域为A.[0,1)B.(0,1)C.( 0,1]D.[0,1]3 函数的最小正周期为A B C D4. 设, 则等于A ．B ．C ．D ．5. 下列是增函数且是奇函数的是A. B. C. D.6.要得到函数的图象，只要把函数的图象A.向左平移个单位B. 向右平移个单位C. 向左平移个单位D. 向右平移个单位7.函数)1,0(1)(≠>-=a a aa x f x 的图象可能是8.生产一定数量商品的全部费用称为生产成本,某企业一个月生产某种商品万件时的生产成本为21()2202C x x x =++(万元),一万件售价是20万元,为获取最大利润(利润=收入-成本),该企业一个月应生产该商品数量为A ．9万件B ．18万件C ．22万件D ．36万件9.函数的零点所在的一个区间是A. B. C. D.10.已知函数是定义在R 上的偶函数, 且在区间单调递增. 若实数满足212(log )(log )2(1)f a f f a ≤+, 则a 的取值范围是A. B. C. D.非选择题部分二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分。

11．已知2,0()1(),02x x x f x x ⎧-<⎪=⎨≥⎪⎩　，则 12. ________.13.设分别是第二象限角，则点在第____象限.14.函数12log ,1()2,1x x x f x x ≥⎧⎪=⎨⎪<⎩的值域为_________.15. 已知函数()sin()(0,0,)22f x A x A ππωϕωϕ=+>>-<<一个周期的图像如图所示．则函数的表达式为____________16.已知32cos 5θ=-，，则_______.三、解答题：本大题共4小题，满分46分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2021——2022学年杭州市部分重点中学高一上学期期末考试数学试卷（一）第I 卷 选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}1013M =-，，，，{}13N =-，，则集合M N ⋂中元素的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．32．下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞单调递增的是（ ） A ．2x y =B ．3y x =C ．cos y x =D ．||y ln x =3．已知函数,0()1,0x e x f x x x ⎧≤=⎨->⎩，则()()1f f =（ ）A ．0B ．1C ．eD ．1e -4.已知lg lg 0a b +=，则函数()x f x a =与函数1()log bg x x=的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知函数()1x f x e =-，()22g x x x =-+，若存在a R ∈，使得()()f a g b =，则实数b 的取值范围是（ ） A ．()0,2B ．[]0,2C ．(1D ．1⎡+⎣6．某养鸭户需要在河边用围栏围起一个面积为2200m 的矩形鸭子活动场地，面向河的一边敞开不需要围栏，则围栏总长最小需要多少米？（ ）A ．20B ．40C ．60D ．807．已知函数()||f x x x =，当[,2]x t t ∈+时，恒有不等式(2)4()f x t f x +>成立，则实数t 的取值范围是（ ） A ．(2,)+∞B ．[2,)+∞C ．(,2)-∞D ．(,2]-∞8． “a >1，b >1”是“log a b ＋log b a ≥2”的（ ）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要D ．既不充分也不必要9．定义集合的商集运算为|,,A m x x m A n B B n ⎧⎫==∈∈⎨⎬⎩⎭，已知集合{2,4,6}S =，|1,2k T x x k S ⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭，则集合S T T ⋃中的元素个数为( )A ．5B ．6C ．7D ．810．已知()sin (0)3f x x πωϕω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭同时满足下列三个条件：①T π=；②3y f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭是奇函数；③()06f f π⎛⎫< ⎪⎝⎭.若()f x 在[)0,t 上没有最小值，则实数t 的取值范围是（ ）A ．50,12π⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．50,6π⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．511,1212ππ⎛⎤⎥⎝⎦D ．511,612ππ⎛⎤⎥⎝⎦第II 卷 非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分. 11．函数lg(2)y x =-的定义域是______．12．已知函数232,1,(),1,x x f x x x -≤⎧=⎨>⎩ 则函数()()2g x f x =-的零点个数为______． 13．已知tan()24πα-=，则sin(2)4πα-的值等于__________．14．里氏震级M 的计算公式为：M=lgA ﹣lgA 0，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，是相应的标准地震的振幅，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅A 0为0.001，则此次地震的震级为 级；9级地震的最大的振幅是5级地震最大振幅的 倍． 15．已知34a =，2log 3b =，则ab =________；4b =________． 16．设函数()sin f x A B x =+，当0B <时，()f x 的最大值是32，最小值是12-，则A =_____，B =_____. 17．已知4sin 5α，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos α=________，tan2α=________． 三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．计算下列各式的值：（1）()2223327389.682--⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （2）941451log log 3log 5log 272⋅--+.19．已知函数()()()log 1log 1a a f x x x =+--，其中0a >且1a ≠．()1判断()f x 的奇偶性并予以证明； ()2若1a >，解关于x 的不等式()0f x >．20．（1）已知角α的终边经过点(,6)P x ，且5cos 13α=-，求sin α和tan α的值. （2）已知1cos 7α=，13cos()14αβ-=，且02πβα<<<，求角β.21．已知函数2()cos cos f x x x x =-. （1）求函数()f x 的最小正周期和单调区间； （2）求函数()f x 的零点．22．已知函数2()21x x af x a -=⋅+为奇函数，其中a 为实数．（1）求实数a 的值；（2）若0a >时，不等式()(())20xf f x f t +⋅<在[1,1]x ∈-上恒成立，求实数t的取值范围．【答案解析】第I 卷 选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}1013M =-，，，，{}13N =-，，则集合M N ⋂中元素的个数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】B 【解析】{}1013M =-，，，，{}13N =-，{}1M N ∴⋂= 故选：B2．下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞单调递增的是（ ） A ．2x y = B ．3y x =C ．cos y x =D ．||y ln x =【答案】D 【解析】根据题意，依次分析选项：对于A ，2x y =，为指数函数，其定义域为R ，不是偶函数，不符合题意； 对于B ，3y x =，为幂函数，是奇函数，不符合题意；对于C ，cos y x =，为偶函数，在(0,)+∞不是增函数，不符合题意；对于D ，,0(),0lnx x y ln x ln x x ⎧==⎨-<⎩，为偶函数，且当0x >时，y lnx =，为增函数，符合题意； 故选：D ．3．已知函数,0()1,0x e x f x x x ⎧≤=⎨->⎩，则()()1f f =（ ）A ．0B ．1C ．eD ．1e -【答案】B 【解析】0((1))(0)1f f f e ===，故选：B4.已知lg lg 0a b +=，则函数()x f x a =与函数1()log bg x x=的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】lg lg 0,lg 0a b ab +=∴=，即1ab =.∵函数()f x 为指数函数且()f x 的定义域为R ，函数()g x 为对数函数且()g x 的定义域为()0,∞+，A 中，没有函数的定义域为()0,∞+，∴A 错误；B 中，由图象知指数函数()f x 单调递增，即1a >，()g x 单调递增，即01b <<，ab 可能为1，∴B 正确；C 中，由图象知指数函数()f x 单调递减，即01a <<，()g x 单调递增，即01b <<，ab 不可能为1，∴C 错误；D 中，由图象知指数函数()f x 单调递增，即1a >，()g x 单调递减，即1b >，ab 不可能为1，∴D 错误． 故选：B.5．已知函数()1x f x e =-，()22g x x x =-+，若存在a R ∈，使得()()f a g b =，则实数b 的取值范围是（ ） A ．()0,2B ．[]0,2C ．(1D ．1⎡+⎣【答案】C 【解析】()11x f x e =->-，所以，()221g b b b =-+>-，整理得2210b b --<，解得11b <<+故选：C.6．某养鸭户需要在河边用围栏围起一个面积为2200m 的矩形鸭子活动场地，面向河的一边敞开不需要围栏，则围栏总长最小需要多少米？（ ） A ．20 B ．40C ．60D ．80【答案】B 【解析】设此矩形面向河的一边的边长为x ，相邻的一边设为y ， 由题意得200xy =， 设围栏总长为l 米，则240l x y =+≥=， 当且仅当2x y =时取等号， 此时20,10x y ==； 则围栏总长最小需要40米； 故选：B.7．已知函数()||f x x x =，当[,2]x t t ∈+时，恒有不等式(2)4()f x t f x +>成立，则实数t 的取值范围是（ ） A ．(2,)+∞ B ．[2,)+∞ C ．(,2)-∞ D ．(,2]-∞【答案】A 【解析】||y x =为偶函数，y x =为奇函数 ()||f x x x ∴=奇函数当0x 时，2()f x x =为增函数，由奇函数在对称区间上单调性相同可得函数()f x 在R 上增函数又不等式(2)4()f x t f x +>可化为(2)|2|4||2|2|(2)x t x t x x x x f x ++>== 故当[,2]x t t ∈+时，不等式(2)4()f x t f x +>恒成立， 即当[,2]x t t ∈+时，不等式22x t x +>恒成立 即2x t <恒成立 即22t t +< 解得2t >故实数t 的取值范围是(2,)+∞ 故选：A8． “a >1，b >1”是“log a b ＋log b a ≥2”的（ ）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要 D ．既不充分也不必要【答案】A 【解析】∵1log log log log a b a a b a b b+=+，又1,1a b >>，∴log 0a b >，即1log 2log a a b b +≥=当且仅当a b =时等号成立，而11,28a b ==时有110log log log 2log 3a b aa b a b b +=+=>，显然1,1a b >>不一定成立；综上，所以有1,1a b >>是log log 2a b b a +≥充分不必要条件. 故选：A9．定义集合的商集运算为|,,A m x x m A n B B n ⎧⎫==∈∈⎨⎬⎩⎭，已知集合{2,4,6}S =，|1,2k T x x k S ⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭，则集合S T T ⋃中的元素个数为( )A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】B 【解析】∵集合的商集运算为|,,A m x x m A n B B n ⎧⎫==∈∈⎨⎬⎩⎭， 集合{2,4,6}S =，|1,{0,1,2}2k T x x k S ⎧⎫==-∈=⎨⎬⎩⎭， ∴{}1,2,3,4,6ST =， ∴{}0,1,2,3,4,6ST T=. ∴集合STT ⋃元素的个数为6个.故选：B.10．已知()sin (0)3f x x πωϕω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭同时满足下列三个条件：①T π=；②3y f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭是奇函数；③()06f f π⎛⎫< ⎪⎝⎭.若()f x 在[)0,t 上没有最小值，则实数t 的取值范围是（ ）A ．50,12π⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．50,6π⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．511,1212ππ⎛⎤⎥⎝⎦D ．511,612ππ⎛⎤⎥⎝⎦【答案】D由t π=，可得2=2ππωω=⇒因为3y f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭是奇函数所以sin 23x πϕ⎛⎫+- ⎪⎝⎭是奇函数，即,3k k z πϕπ-=∈又因为()06f f π⎛⎫< ⎪⎝⎭，即()2sin sin 3k k ππππ⎛⎫+<+ ⎪⎝⎭所以k 是奇数，取k=1，此时43πϕ=所以函数()5sin 2sin 233f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 因为()f x 在[)0,t 上没有最小值，此时2,2333x t πππ⎡⎫-∈--⎪⎢⎣⎭所以此时432,332t πππ⎛⎤-∈ ⎥⎝⎦解得511,612t ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦. 故选D.第II 卷 非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分. 11．函数lg(2)y x =-的定义域是______． 【答案】(,2)-∞ 【解析】由题设有20x ->，解得2x <，故函数的定义域为(),2-∞，填(),2-∞．12．已知函数232,1,(),1,x x f x x x -≤⎧=⎨>⎩ 则函数()()2g x f x =-的零点个数为______． 【答案】2()g x 的零点即为()0g x =的解．当1x ≤时，令322x -=，解得12x =，符合；当1x >，令22x =，解得x ()g x 的零点个数为2． 13．已知tan()24πα-=，则sin(2)4πα-的值等于__________．【答案】10【解析】由tan 1tan()241tan πααα--==+，解得tan 3α=-，因为22sin(2)(sin 2cos 2)(2sin cos cos sin )422πααααααα-=-=-+2222222sin cos cos sin 2tan 1tan cos sin 1tan ααααααααα-+-+==++222(3)1(3)1(3)⨯--+-==+-． 14．里氏震级M 的计算公式为：M=lgA ﹣lgA 0，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，是相应的标准地震的振幅，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅A 0为0.001，则此次地震的震级为 级；9级地震的最大的振幅是5级地震最大振幅的 倍． 【答案】6，10000 【解析】根据题意，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，则M=lgA ﹣lgA 0=lg1000﹣lg0.001=3﹣（﹣3）=6． 设9级地震的最大的振幅是x ，5级地震最大振幅是y ， 9=lgx+3，5=lgy+3，解得x=106，y=102，∴62101000010x y ==． 故答案耿：6，10000．15．已知34a =，2log 3b =，则ab =________；4b =________． 【答案】2 9 【解析】因为34a =，所以3log 4a =，又2log 3b =， 因此32lg 4lg 3log 4log 32lg 3lg 2ab =⋅=⋅=；222log 32log 3log 944229b ====. 故答案为：2；9.16．（设函数()sin f x A B x =+，当0B <时，()f x 的最大值是32，最小值是12-，则A =_____，B =_____. 【答案】121- 【解析】根据题意，得3212A B A B ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=-⎪⎩，解得1,12A B ==-.故答案为：1,12-17．已知4sin 5α，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos α=________，tan2α=________． 【答案】35247【解析】由已知得3cos 5α==-，所以445tan 335α==--，242243tan 27413α⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭==⎛⎫-- ⎪⎝⎭． 故答案为：35；247． 三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．计算下列各式的值：（1）()22230327389.682--⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （2）941451log log 3log 5log 272⋅--+. 【答案】（1）3；（2）174. 【解析】（1）根据指数幂的运算法则，可得()2223327389.682--⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222333333(24441399)1[()]22--⎛⎫=--+ -⎪⎝-+⎭==.（2）根据对数的运算法则，可得941451log log 3log 5log 272⋅--+ 325211111log 2log log 5log 2414224341722=-⨯+-+=-+-+=.19．已知函数()()()log 1log 1a a f x x x =+--，其中0a >且1a ≠．()1判断()f x 的奇偶性并予以证明； ()2若1a >，解关于x 的不等式()0f x >．【答案】（1）奇函数，证明见解析；（2）()0,1． 【解析】()1要使函数有意义，则{1010x x +>->，即{11x x >-<，即11x -<<， 即函数的定义域为()1,1-，则()()()()()()log 1log 1log 1log 1a a a a f x x x x x f x ⎡⎤-=-+-+=-+--=-⎣⎦， 则函数()f x 是奇函数．()2若1a >，则由()0.f x >得()()log 1log 10a a x x +-->，即()()log 1log 1a a x x +>-， 即11x x +>-，则0x >， 定义域为()1,1-，01x ∴<<，即不等式的解集为()0,1．20．（1）已知角α的终边经过点(,6)P x ，且5cos 13α=-，求sin α和tan α的值. （2）已知1cos 7α=，13cos()14αβ-=，且02πβα<<<，求角β. 【答案】（1）12sin 13α=，12tan 5α=-（2）3πβ=【解析】 （1）55cos 132x α==-⇒=-， ∴5,62P ⎛⎫- ⎪⎝⎭∴12sin 13α==，612tan 552α==--； （2）由1cos 7α=，02πα<<，得sin 7α=， 由13cos()14αβ-=,02πβα<<<，得02παβ<-<，得sin()αβ-=所以cos cos[()]cos cos()sin sin()βααβααβααβ=--=-+-11317142=⨯+=，又02πβ<<，∴3πβ=.21．已知函数2()cos cos f x x x x =-.（1）求函数()f x 的最小正周期和单调区间； （2）求函数()f x 的零点．【答案】（1）T π=；单调递增区间为[,]63k k ππππ-+，k Z ∈；单调递减区间为5[,]36k k ππππ++，k Z ∈； （2）6x k ππ=+或2x k π=+π，k Z ∈.【解析】（1）2()cos cos f x x x x =-cos 21222x x +=-1sin 262x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，即()1sin 262f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期22T ππ==. 因为sin y x =的单调增区间为2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈，令222262k x k πππππ-≤-≤+，解得63k xk ππππ，k Z ∈.因为sin y x =的单调减区间为32,222k k ππππ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦+，k Z ∈，令3222262k x k πππππ-++≤≤， 解得536k x k ππππ++≤≤，k Z ∈.所以()f x 的单调递增区间为,63k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈.单调递减区间为5,36ππk πk π⎡⎤++⎢⎥⎣⎦ ，k Z ∈.（2）函数1()sin 262f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的零点，令1sin(2)062x π--=，即1sin(2)62x π-=.2266x k πππ-=+或52266x k πππ-=+，k Z ∈ 解得6x k ππ=+或2x k π=+π，k Z ∈所以()f x 的零点为6x k ππ=+或2x k π=+π，k Z ∈22．已知函数2()21x xaf x a -=⋅+为奇函数，其中a 为实数． （1）求实数a 的值；（2）若0a >时，不等式()(())20xf f x f t +⋅<在[1,1]x ∈-上恒成立，求实数t的取值范围．【答案】（1）±1；（2）1,5⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.【解析】（1）由函数2()21x xaf x a -=⋅+为奇函数，可得()()f x f x -=-， 代入可得：222121x x x x a aa a ----=⋅+⋅++，整理可得：2222(2)1(2)x a a x -=-，所以21a =， 解得：1a =±；（2）若0a >，由（1）知1a =，所以212()12121x x x f x -==-++，由2x 为增函数，21x u =+为增函数且210x u =+>，又因为2u 为减函数，所以2u-为增函数，所以()f x 为增函数， 又因为()f x 为奇函数，由()(())20xf f x f t +⋅<可得：()20x f x t +⋅<，即21+2021x x x t -⋅<+在[1,1]x ∈-上恒成立， 若0t ≥，1x =时不成立，故0t <，令2x s =，则1(,2)2s ∈，整理可得：2(1)10t s t s ⋅++-<， 令2()(1)1g s t s t s =⋅++-，若1122t t +-≤或122t t +-≥ 需131()0242g t =-<，(2)610g t =+<，可得1156t -≤<-或12t ≤-，若11222t t +<-<，需1()02t g t+-<， 解得1125t -<<-， 综上可得：实数t 的取值范围为1,5⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.2021——2022学年杭州市部分重点中学高一上学期期末考试数学试卷（二）第I 卷 选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设集合U =R ,{|1A x x =<-或2}x >，则UA（ ）A ．(,1)(2,)-∞-+∞B ．[1,2]-C ．(,1][2,)-∞-+∞D ．(1,2)-2．设函数212(2)()5(2)x x f x x x x ⎧-=⎨-->⎩，则()3f f ⎡⎤⎣⎦等于（ ） A ．1-B ．1C ．5-D ．53．下列命题中正确的是（ ） A ．()0,x ∃∈+∞，23x x > B ．()0,1x ∃∈，23log log x x <C ．()0,x ∀∈+∞，131log 2xx ⎛⎫> ⎪⎝⎭D ．10,3x ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，131log 2x x ⎛⎫> ⎪⎝⎭4．函数153()sin 2152x x f x x π-⎛⎫=⋅+ ⎪+⎝⎭的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．5.函数的单调递增区间是( ) A ． B ． C ． D ．6．已知，，则等于（ ）12()log (2)f x x =-(,2)-∞(,0)-∞(2,)+∞(0,)+∞2παπ<<1sin cos 5αα+=tan αA.B. 或C.或 D.7．设sin 5a π=，b =2314c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ）A ．a c b <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．c b a <<8．已知奇函数在上是增函数，若，，，则的大小关系为( )A ．B ．C ．D ．9．已知225sin sin 240αα+-=，α在第二象限内，那么cos2α的值等于（ ）A ．35± B ．35C ．35D ．以上都不对10．关于函数()()()1sin 1sin 2cos f x x x x =-++，[]π,πx ∈-，有以下四个结论： ①()f x 是偶函数②()f x 在[]π,0-是增函数，在[]0,π是减函数 ③()f x 有且仅有1个零点 ④()f x 的最小值是1-，最大值是3 其中正确结论的个数是（ ）． A ．1B ．2C ．3D ．4第II 卷 非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分. 11．函数lg(2)y x =-的定义域是______．12．已知函数()()3,0,0xx f x f x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩，则()3log 2f =________.13．函数()()sin f x x ωϕ=+的部分图象如图所示，则()f x 的单调递增区间为34-34-43-344335()f x R 21log 5a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()2log 4.1b f =()0.82c f =,,a b c a b c <<b a c <<c b a <<c a b <<___________．14．设α是第一象限角，3sin 5α=，则tan α=______.cos2=α______. 15．某地一天中6时至14时的温度变化曲线近似满足函数sin()T A t bωϕ=++2πϕπ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，6时至14时期间的温度变化曲线如图所示，它是上述函数的半个周期的图象，那么这一天6时至14时温差的最大值是_______°C；图中曲线对应的函数解析式是________.16．十六、十七世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，约翰•纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数，后来天才数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即log b a a N b N =⇔=，现已知2log 6,336b a ==，则12a b+=____，2=ab _____．17．设函数2(),0()1,0x a x f x x x x ⎧-≤⎪=⎨+>⎪⎩，当a =1时，f (x )的最小值是________；若2()f x a ≥恒成立，则a 的取值范围是_________.三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．已知，() （1）当时，若和均为真命题，求的取值范围： （2）若和的充分不必要条件，求的取值范围．19.已知函数，先将的图象向左平移个单位长度后，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象.（1）当时，求函数的值域； （2）求函数在上的单调递增区间. 20.已知函数. （1）求函数的单调增区间；（2）若，，求的值.21．已知是定义在上的奇函数，且当时，（为常数）.（1）当时，求的解析式；（2）若关于x 的方程在上有解，求实数m 的取值范围.22．已知函数，．（Ⅰ）解不等式；（Ⅱ）用表示，中的较大值，当时，求函数的最小值．:p 1<:q 2221x x a -<-0a >2a =p q x p q a ()4sin 33f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭()f x 12π()g x 2,3x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()f x ()g x [0,2]π()2sin cos 2f x x x x =+()f x ()035f x =0ππ,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦0cos2x ()f x [3,3]-[0,3]x ∈()43x x f x a =+⋅a [3,0)x ∈-()f x 1()23x x f x m --=⋅+[2,1]--()22f x x x =+()24g x ax a =+()()f x g x ≥{}max ,p a p q 0a >()()(){}max ,H x f x g x =【答案解析】第I 卷 选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设集合U =R ,{|1A x x =<-或2}x >，则UA（ ）A ．(,1)(2,)-∞-+∞B ．[1,2]-C ．(,1][2,)-∞-+∞D ．(1,2)-【答案】B 【解析】因为U =R ,{|1A x x =<-或2}x >， 所以UA {|12}x x -≤≤.故选：B2．设函数212(2)()5(2)x x f x x x x ⎧-=⎨-->⎩，则()3f f ⎡⎤⎣⎦等于（ ） A ．1- B ．1 C ．5- D ．5【答案】A 【解析】2(3)3359351f =--=--=，1(1)121f =-=-，即()3(1)1f f f ==-⎡⎤⎣⎦. 故选：A.3．下列命题中正确的是（ ） A ．()0,x ∃∈+∞，23x x > B ．()0,1x ∃∈，23log log x x <C ．()0,x ∀∈+∞，131log 2xx ⎛⎫> ⎪⎝⎭D ．10,3x ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，131log 2xx ⎛⎫> ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】0x >时，22133xx x ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，∴23x x <，A 错；(0,1)x ∈时，lg 0x <，lg3lg 20>>，因此11lg 2lg 3>，∴lg lg lg 2lg 3x x<，即23log log x x <，B 正确；13x =时，13112⎛⎫< ⎪⎝⎭，131log 13=，即131log 2xx ⎛⎫< ⎪⎝⎭，C 错； 10,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，112x⎛⎫< ⎪⎝⎭，11331log log 13x >=，∴131log 2xx ⎛⎫< ⎪⎝⎭，D 错误． 故选：B ．4．函数153()sin 2152x x f x x π-⎛⎫=⋅+ ⎪+⎝⎭的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】D 【解析】由题意得，15()cos 215xxf x x -=-⋅+， 15()cos(2)15x xf x x ---∴-=-⋅-=+51cos 2()51x x x f x --⋅=-+，则函数()f x 为奇函数，排除AC ；又33152cos 03315f ππππ-⎛⎫=-⋅< ⎪⎝⎭+，排除B. 故选：D. 5.函数的单调递增区间是( )A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】由，得到，令，则在上递减，而在上递减，由复合函数单调性同增异减法则，得到在上递增， 故选：A6．已知，，则等于（ ） A. B. 或 C. 或D.【答案】A 【解析】∵，， ∴平方可得，即， ∴，，∵可得：，解得：，或（舍去）， ∴，可得：． 故选：A ． 7．设sin5a π=，b =2314c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ）12()log (2)f x x =-(,2)-∞(,0)-∞(2,)+∞(0,)+∞20x ->2x <2t x =-2t x =-(,2)-∞12log y t =(0,)+∞12()log (2)f x x =-(,2)-∞2παπ<<1sin cos 5αα+=tan α34-34-43-3443352παπ<<1sin cos 5αα+=112sin cos 25αα+=12sin cos 025αα=-<sin 0α<cos 0α>22sin cos 1αα+=221cos cos 15αα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭4cos 5α=35-143sin 555α=-=-3tan 4α=-A ．a c b <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．c b a <<【答案】C 【解析】由对数函数y x =在()0,∞+单调递增的性质得：1b =>=，由指数函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 单调递减的性质得：2413311142212c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=<=，由三角函数sin y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增的性质得1sin sin 562a ππ=>=.所以c a b <<. 故选：C.8．已知奇函数在上是增函数，若，，，则的大小关系为( )A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】由题意：，且：，据此：，结合函数的单调性有：，即. 本题选择C 选项.9．已知225sin sin 240αα+-=，α在第二象限内，那么cos2α的值等于（ ）A ．35±B ．35C ．35D ．以上都不对【答案】A()f x R 21log 5a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()2log 4.1b f =()0.82c f =,,a b c a b c <<b a c <<c b a <<c a b <<()221log log 55a f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭0.822log 5log 4.12,122>><<0.822log 5log 4.12>>()()()0.822log 5log 4.12f f f >>,a b c c b a >><<【解析】α在第二象限内，sin 0α∴>，cos 0α<， 由225sinsin 240αα+-=得：()()25sin 24sin 10αα-+=，解得：24sin 25α=，7cos 25α∴==-，即272cos 1225α-=-，29cos 225α∴=， α在第二象限内，2α∴为第一或第三象限角，3cos25α∴=±. 故选：A .10．关于函数()()()1sin 1sin 2cos f x x x x =-++，[]π,πx ∈-，有以下四个结论： ①()f x 是偶函数②()f x 在[]π,0-是增函数，在[]0,π是减函数 ③()f x 有且仅有1个零点 ④()f x 的最小值是1-，最大值是3 其中正确结论的个数是（ ）． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C 【解析】函数()()()()221sin 1sin 2cos cos 2cos cos 11f x x x x x x x =-++=+=+-，()()()()22cos 2cos cos 2cos x x f x f x x x -=-+-=+=，故()f x 是偶函数，①正确； 令cos t x =在[]π,0-是增函数，在[]0,π是减函数，()()22211y f t t t t ==+=+-在[]1,1t ∈-上递增，根据复合函数单调性可知()f x 在[]π,0-是增函数，在[]0,π是减函数，②正确；()()211y f t t ==+-，[]1,1t ∈-，则1t =-时，最小值为-1，1t =时，最大值为3，④正确；令()()2110f t t =+-=得0t =或2t =-（舍去），即cos 0t x ==，则2()2x k k Z ππ=+∈，()f x 有无数个零点，故③错误.所以有3个正确结论.故选：C.第II 卷 非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分. 11．函数lg(2)y x =-的定义域是______． 【答案】(,2)-∞ 【解析】由题设有20x ->，解得2x <，故函数的定义域为(),2-∞，填(),2-∞．12．已知函数()()3,0,0x x f x f x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩，则()3log 2f =________.【答案】12【解析】由对数函数性质知333log 1log 2log 3<<，即30log 21<<，则3log 20-<故()()()331log 2log 21331log 2log 23322f f ---=-====. 故答案为：12. 13．函数()()sin f x x ωϕ=+的部分图象如图所示，则()f x 的单调递增区间为___________．【答案】37[2,2],44k k k Z ++∈【解析】 由图象知：22||T πω==， 15()()044f f ==， ∴()f x 的单调递增区间为37[2,2],44k k k Z ++∈，故答案为：37[2,2],44k k k Z ++∈14．设α是第一象限角，3sin 5α=，则tan α=______.cos2=α______. 【答案】34 725【解析】∵α是第一象限角，3sin 5α=，∴4cos 5α==，∴sin 35tan cos 4534ααα===. ∴2237cos 212sin 12525αα⎛⎫=-=-⨯= ⎪⎝⎭.故答案为：34，725.15．某地一天中6时至14时的温度变化曲线近似满足函数sin()T A t bωϕ=++2πϕπ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，6时至14时期间的温度变化曲线如图所示，它是上述函数的半个周期的图象，那么这一天6时至14时温差的最大值是_______°C；图中曲线对应的函数解析式是________.【答案】20 310sin 2084y x ππ⎛⎫=++⎪⎝⎭，[6,14]x ∈. 【解析】由图可知，这段时间的最大温差是30°C -10°C=20°C ；图中从6~14时的图象是函数sin()y A x b ωϕ=++的半个周期的图象，得1(3010)102A =-=，1(3010)202b =+=，因为121462πω⋅=-，所以8πω=，从而得10sin 208y x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，将6x =，10y =代入，得10sin 620108ϕπ⎛⎫⨯++= ⎪⎝⎭，即3sin 14πϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，由于2ϕπ<<π，可得34πϕ=. 故所求解析式为310sin 2084y x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，[6,14]x ∈. 故答案为：20；310sin 2084y x ππ⎛⎫=++⎪⎝⎭，[6,14]x ∈. 16．十六、十七世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，约翰•纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数，后来天才数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即log b a a N b N =⇔=，现已知2log 6,336b a ==，则12a b+=____，2=ab _____．【答案】 【解析】由题意知2log 6,336ba ==，可得33log 362log 6b ==，所以66231121log 2,log 3log 6log 6a b ====， 所以66612log 2log 3log (23)1a b +=+=⨯=，又由2223log 61log 3log 2log 62a b ===，所以log 22ab ==故答案为：1.17．设函数2(),0()1,0x a x f x x x x ⎧-≤⎪=⎨+>⎪⎩，当a =1时，f (x )的最小值是________；若2()f x a ≥恒成立，则a 的取值范围是_________.【答案】1 [0] 【解析】当a =1时，当0x ≤时，2()(1)1f x x =-≥，当0x >时，1()f x x x =+2≥=，当且仅当1x =时，等号成立.所以()f x 的最小值为1.当0x ≤时，2()f x a ≥，即22()x a a -≥，即(2)0x x a -≥恒成立，所以2x a -0≤恒成立，即2a x ≥恒成立，所以20a ≥，即0a ≥. 当0x >时，2()f x a ≥，即21x a x +≥恒成立，因为1x x+2≥=，当且仅当1x =时，等号成立，所以22a ≤，所以a ≤≤综上所述：a的取值范围是. 故答案为：1；三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．已知，() （1）当时，若和均为真命题，求的取值范围： （2）若和的充分不必要条件，求的取值范围．:p 1<:q 2221x x a -<-0a >2a =p q x p q a【答案】（1）；（2）． 【解析】对于命题，所以，解得， 对于命题因为，所以解得， （1）当时，因为和均为真命题，所以，解得，故的取值范围为； （2）因为是的充分不必要条件，所以 ，即，解得，故的取值范围为.结论点睛：本题考查根据充分不必要条件求参数，一般可根据如下规则判断： （1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集； （2）若是的充分不必要条件，则对应集合是对应集合的真子集； （3）若是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；（4）若是的既不充分又不必要条件，则对应的集合与对应集合互不包含．19.已知函数，先将的图象向左平移个单位长度后，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象.（1）当时，求函数的值域；（2）求函数在上的单调递增区间.【答案】（1）；（2）单调递增区间为和. 【解析】（1）当时，，，[2,3)[2,)+∞:p 1<20log (1)1x ≤-<23x ≤<:q 2221x x a -<-22210x x a -+-<11a x a -<<+2a =:13q x -<<p q 2313x x ≤<⎧⎨-<<⎩23x ≤<x [2,3)p q [2,3)(1,1)a a -+1213a a -<⎧⎨+≥⎩2a ≥a [2,)+∞p q q p p q p q p q p q p q q p ()4sin 33f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭()f x 12π()g x 2,3x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()f x ()g x [0,2]π4⎡⎤-⎣⎦70,18π⎡⎤⎢⎥⎣⎦1931,1818ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦2,3x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦583,333x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦sin 332x π⎡⎤⎛⎫∴-∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦.（2）由题意得，将的图像向左平移个单位长度后，得到的图像，再将所得图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到.令，，解得，，函数的单调递增区间为. 又，故所求单调递增区间为和. 20.已知函数. （1）求函数的单调增区间；（2）若，，求的值.【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）由题意，函数，令，解得， 所以函数的单调增区间为. （2）由，可得， 因为，可得，所以， ()[f x ∴∈-()f x 12π4sin 31212f x x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3()4sin 212g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭32222122k x k πππππ-+-+k ∈Z 5474183183k k xππππ-++k ∈Z ∴()g x 5474,()183183k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z [0,2]x π70,18π⎡⎤⎢⎥⎣⎦1931,1818ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦()2sin cos 2f x x x x =+()f x ()035f x =0ππ,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦0cos2x 5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈410()2sin cos 2f x x x x =+πsin 23x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π222,232k x k k ππ-+π≤+≤+π∈Z 5,1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈()f x 5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈()035f x =0π3sin 235x 0,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦022,33x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦04cos 235x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭21．已知是定义在上的奇函数，且当时，（为常数）.（1）当时，求的解析式； （2）若关于x 的方程在上有解，求实数m 的取值范围.【答案】（1），；（2）. 【解析】 （1）是定义在上的奇函数，且当时，，，解得，当时，. 则当时，，， ，. （2）由（1）知，当时，， 可化为， 整理得.令，根据指数函数的单调性可得，在是增函数. ，又关于x 的方程在上有解，故实数m 的取值范围是.22．已知函数，．（Ⅰ）解不等式；00cos 2cos 233x x ππ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦00cos 2cos sin 2sin 3333x x ππππ⎛⎫⎛⎫=+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x [3,3]-[0,3]x ∈()43xxf x a =+⋅a [3,0)x ∈-()f x 1()23xxf x m --=⋅+[2,1]--11()34x x f x =-[3,0)x ∈-17,52⎡⎤--⎢⎥⎣⎦()f x [3,3]-[0,3]x ∈()43x x f x a =+⋅00(0)4310f a a ∴=+⋅=+=1a =-[0,3]x ∈()43xxf x =-[3,0)x ∈-(0,3]x -∈11()43()43x x x x f x f x --∴-=-=-=-11()34x xf x ∴=-[3,0)x ∈-[2,1]x ∈--11()34x xf x =-1()23x x f x m --∴=⋅+1112334x xx xm ---=⋅+12223xxm ⎛⎫⎛⎫=--⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12()223xxg x ⎛⎫⎛⎫=--⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()g x [2,1]--17()52g x ∴-≤≤-1()23x x f x m --=⋅+[2,1]--17,52⎡⎤--⎢⎥⎣⎦()22f x x x =+()24g x ax a =+()()f x g x ≥（Ⅱ）用表示，中的较大值，当时，求函数的最小值．【答案】（Ⅰ）答案见解析；（Ⅱ）最小值为0． 【解析】（Ⅰ）由，得，即．当时，解不等式可得：或；当时，不等式可化为，显然恒成立，所以解集为； 当时，解不等式可得：或； 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，．当或时，是开口向上的二次函数，且对称轴为，所以在上单调递减，在上单调递增， 又，，所以；当时，． 综上，的最小值为0．2021——2022学年杭州市部分重点中学高一上学期期末考试数学试卷（三）第I 卷 选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选{}max ,p a p q 0a >()()(){}max ,H x f x g x =()()f x g x ≥()22240x a x a +--≥()()220x x a +-≥1a <-2x a ≤2x ≥-1a =-()220x +≥R 1a >-2x -≤2x a ≥1a <-(][),22,a -∞⋃-+∞1a =-R 1a >-(][),22,a -∞-⋃+∞()(][)()22,,22,24,2,2x x x a H x ax a x a ⎧+∈-∞-⋃+∞⎪=⎨+∈-⎪⎩2x -≤2x a ≥()22H x x x =+1x =-()22H x x x =+(],2-∞-[)2,a +∞()20H -=()()2244410H a a a a a =+=+>()min 0H x =22x a -<<()()24220H x ax a a x =+=+>()H x项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}012M =,,，{}1,2N =，则M N ⋃=（ ）． A ．{}1,2B ．{}0C ．{}0,1,2D ．{}0,12．已知a ，b 是实数，则“a b >”是“22a b >”的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．若偶函数在区间上是增函数，则( ) A ．B ．C ．D ．4．设2313a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，532b =，21log 3c =，则（ ） A ．b a c << B ．a b c << C ．c a b << D ．b c a <<5．已知角α的终边经过点()3,4P ，则πcos 24α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A．50-B．50C．50-D．506．函数()f x 在[)0,+∞单调递增，且()3f x +关于3x =-对称，若()21f -=，则()21f x -≤的x 的取值范围（ ）A ．[]22-,B ．(][),22,-∞-+∞C ．()[),04,-∞+∞D ．[]0,47．对于函数()12sin 3()42f x x x R π⎛⎫=-++∈ ⎪⎝⎭，有以下四种说法：①函数的最小值是32-②图象的对称轴是直线()312k x k Z ππ=-∈ ③图象的对称中心为,0()312k k Z ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭ ()f x (]1-∞-，3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭④函数在区间7,123ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增． 其中正确的说法的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．48．函数1()11f x x=+-的图象与函数()2sin 1(24)g x x x π=+-的图象所有交点的横坐标之和等于（ ） A ．8B ．6C ．4D ．29．已知函数2,0()()21,0x e a x f x a R x x ⎧+=∈⎨->⎩，若函数()f x 在R 上有两个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．(,1)-∞-B ．[2,0)-C ．(1,0)-D ．[1,0)-10．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()()2log 1f x x =+，则不等式()2f x ≤的解集是（ ）．A ．[]3,3-B ．[]4,4-C ．(][),33,-∞-+∞ D ．(][),44,-∞-⋃+∞第II 卷 非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分. 11．圆锥底面半径为1cm ，母线长为2cm ，则其侧面展开图扇形的圆心角θ=___________.12．设2log 3a =，则4a =______（用数值表示），lg 36lg 4=______.（用a 表示） 13．某移动公司规定，使用甲种卡，须付“基本月租费”（每月需交的固定费用）30元，在国内通话时每分钟另收话费0.10元；使用乙种卡，不收“基本月租费”，但在国内通话时每分钟话费为0.2元．若某用户每月手机费预算为50元，则使用__________种卡才合算；若要使用甲种卡合算，则该用户每月手机费预算（元）的区间为__________．14．设函数()112,1,1x e x f x x x -⎧<⎪=⎨⎪≥⎩则()3f x ≤成立的x 的取值范围为______．15．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，稳坐于永乐桥之上的“天津之眼”作为世界上唯一一座建在桥上的摩天轮，其巧夺天工和奇思妙想确是当之无愧的“世界第一”.如图，永乐桥摩天轮的直径为110m ，到达最高点时，距离地面的高度为120m ，能看到方圆40km 以内的景致，是名副其实的“天津之眼”.实际上，单从高度角度来看，天津之眼超越了曾大名鼎鼎的伦敦之眼而跃居世界第一.永乐桥摩天轮设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30min .游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转到min t 后距离地面的高度为m H ，则转到10min 后距离地面的高度为______m ，在转动一周的过程中，H 关于t 的函数解析式为______.16．已知2,0()(),0x x f x f x x ⎧≥=⎨--<⎩，若4log 3a =，则()f a =___________；()1f a -=___________.17．已知(0,)απ∈，且有12sin2cos2αα-=，则cos α=___________. 三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．函数是奇函数． 求的解析式；当时，恒成立，求m 的取值范围．()22xx af x =-()1()f x ()2()0,x ∈+∞()24x f x m ->⋅+19．已知函数()22sin cos 22222x x x f x ππ⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在区间[]0,π上的最小值及单调减区间.20．已知二次函数()f x 的图象经过点()4,4-，方程()0f x =的解集为{}0,2. （1）求()f x 的解析式；（2）是否存在实数(),m n m n <，使得()f x 的定义域和值域分别为[],m n 和[]2,2m n ？若存在，求出m ，n 的值；若不存在，说明理由.21．已知函数()sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，在,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有最小值，无最大值，且满足63f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（1）求()f x 的最小正周期；（2）将函数()f x 的图象向右平移06πϕϕ⎛⎫<<⎪⎝⎭个单位后得到函数()g x 的图象，若对满足()()122f x g x -=的1x 、2x 有12min 7x x π-=，求ϕ的值.22．设函数()()21x xa t f x a --=（0a >，且1a ≠）是定义域为R 的奇函数.（1）求t 的值；（2）若函数()f x 的图象过点31,2⎛⎫⎪⎝⎭，是否存在正数()1m m ≠，使函数()()22log x xm g x a a mf x -⎡⎤=+-⎣⎦在[]21,log 3上的最大值为0，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.【答案解析】第I 卷 选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}012M =,,，{}1,2N =，则M N ⋃=（ ）． A ．{}1,2 B ．{}0 C ．{}0,1,2 D ．{}0,1【答案】C 【解析】由并集定义可得：{}0,1,2M N =.故选：C.2．已知a ，b 是实数，则“a b >”是“22a b >”的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】若a b >，则a b b >≥，即a b >，故22a b >. 取1,2a b ==-，此时22a b >，但a b <， 故22a b >推不出a b >， 故选：A.3．若偶函数在区间上是增函数，则( ) A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】函数为偶函数,则.又函数在区间上是增函数. 则，即 ()f x (]1-∞-，3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭()f x ()()22f f =-()f x (]1-∞-，()()3122f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭-()()3212f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭。

MNU 杭州求是高级中学2014学年第一学期 高一年级数学期末复习模拟卷(五)一、选择题: 本大题共10小题，每小题3分，共30分(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的)。

1．函数()sin 2f x x =的最小正周期是A ．4πB ．2πC ．πD ．2π2．已知全集U R =，集合{|112}M x Z x =∈-≤-≤和*{|21,}N x x k k N ==+∈的关系的韦恩(Venn)图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有A ．2个B ．3个C ．4个D ．无穷多个 3．若2cos()13πα+=，其中)2,0(πα∈，则α为A ．3πB ．32πC ．34π D ．35π4．函数sin()(,0,02)y x x R ωϕωϕπ=+∈>≤< 的部分图象如右图，则ϕ=A ．4πB ．4π-C ．2πD ．2π-5．已知函数2()(32)ln 20092010f x x x x x =-++-，函数()f x 必有零点的一个区间是A.(0,1) B.(1,2) C ．(2,3) D ．(2,4)6．函数x y 2sin =的图象向左平移3π后，得到的图象对应于函数 A ．62sin(π-=x y B ．)62sin(π+=x yC ．)322sin(π-=x yD ．)322sin(π+=x y7．函数()y f x =的图象如右下图所示，则函数0.2log ()y f x =的图象大致是Ａ Ｂ Ｃ Ｄ8．已知函数()y f x =是定义域为R 的奇函数，当0x >时，12()9x f x -=，则(2)f -的值为A ．18-B ．18C ．27D ．27- 9．若函数1())24f x x π=+-在上的值域为，则实数a 的取值（ ） A.30,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B. 33,84ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. []0,π D. 3,8ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦10．已知()22x x f -=，若0m n <<时满足()()f m f n =，则mn 的取值范围为（ ）A ．()2,0B ． (]2,0C ． (]4,0D ．(]2,0二、填空题：本大题共6小题,每小题4分,共24分．请把答案填在答题卡上．11．若扇形圆心角为216°，弧长为30π，则扇形半径为________。

杭州求是高级中学2014学年第一学期 高一年级数学期末复习模拟卷(六)一、选择题: 本大题共10小题，每小题3分，共30分(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的)。

1.设全集{}*|6U x N x =∈<，集合{}{}1,3,3,5A B ==，则()U C AB =( )A ．{}2,4B ．{}1,5C ．{}1,4D ．{}2,5 2.函数)2lg(1)(++-=x x x f 的定义域为( ) A ．(2,1)-B ．[2,1)-C ．(2,1]-D ．[]1,2-3.已知0a >且1a ≠，下列四组函数中表示相等函数的是( ) A ．log a y x = 与1(log )x y a -= B ．2y x =与2log x a y a = C ．log a xy a=与y x = D ．2log a y x =与2log a y x =4.已知函数21()21x x f x -=+,若()f a b =， 则()f a -=( )A ．bB ．b -C ．1bD ．1b -5. 若函数))(1()(a x ax x f -+=为偶函数，且函数()y f x =在()+∞∈,0x 上单调递增，则实数a 的值为（ ）A.1±B. 1-C. 1D. 06. 为了得到函数R x x y ∈+=),42sin(π的图像，只需将函数R x x y ∈=,2sin 图像上所有的点（ ）A ．向左平行移动8π个单位长度 B ．向右平行移动8π个单位长度 C ．向左平行移动4π个单位长度 D ．向右平行移动4π个单位长度7. 已知定义域为R 的奇函数()f x .当0x >时,3)(-=x x f ，则不等式()0xf x >的解集为（ ） A. (,3)(3,)-∞-+∞ B. (3,3)- C. (,0](3,)-∞+∞ D. (3,)+∞8. 若方程()20f x -=在区间(,0)-∞内有解，则函数()y f x =的图像可能是（ ）9. 已知0x是函数1()()2xf x =-，若),(),,0(0201+∞∈∈x x x x ，则（ ）A. 12()0,()0f x f x <<B. 12()0,()0f x f x ><C. 12()0,()0f x f x <>D. 12()0,()0f x f x >> 10. 已知函数2013sin ,02()log (1),2x x f x x x π≤≤⎧=⎨->⎩，若c b a 、、互不相等，且()()()f a f b f c ==，则c b a ++的取值范围是（ ）A ．]2014,2[ B ．)2014,2[ C ．]2015,3[ D ．)2015,3[ 二、填空题：本大题共6小题,每小题4分,共24分．请把答案填在答题卡上．11．设1232,2()log (1),2x e x f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，则((2))f f 的值为 ． 12．已知()557-++=bx ax x x f ，且()53=-f ，则()=3f _______．13．71log 023log lg 25lg 47(9.8)+++-=_______________________.14.已知sin θ＝1－a 1＋a ，cos θ＝3a －11＋a ，若θ是第二象限角，则a 的值是15．在下列结论中：①函数)sin(x k y -=π()k Z ∈为奇函数； ②函数x y 4tan =的最小正周期是2π； ③函数cos(2)3y x π=+的图象的一条对称轴为23x π=-； ④函数1sin(+)23y x π=在[22]ππ-，上单调减区间是52[2][2]33ππππ--，，. 其中正确结论的序号为 （把所有正确结论的序号都．填上）。

浙江省杭州市杭州四中2024届高一数学第一学期期末复习检测试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1．已知矩形ABCD ，4AB =，3BC =，将矩形ABCD 沿对角线AC 折成大小为θ的二面角B AC D --，则折叠后形成的四面体ABCD 的外接球的表面积是 A.9π B.16πC.25πD.与θ的大小有关2．函数y x a =+与xy a-=（0a >且1a ≠）在同一坐标系中的图象可能是（）A. B.C. D.3．一半径为2m 的水轮，水轮圆心O 距离水面1m ；已知水轮按逆时针做匀速转动，每3秒转一圈，且当水轮上点P 从水中浮现时（图中点0P ）开始计算时间．如图所示，建立直角坐标系，将点P 距离水面的高度h （单位：m ）表示为时间t （单位：s ）的函数，记()h f t =，则()(1)(2)f t f t f t ++++=（）A.0B.1C.3D.44．直线l 1：x +ay +1＝0与l 2：（a ﹣3）x +2y ﹣5＝0（a ∈R ）互相垂直，则直线l 2的斜率为（ ） A.12B.12-C.1D.﹣15．在平行四边形ABCD 中，(1,2),(3,2)AC BD ==-，则AB BC ⋅=（ ） A.4- B.2- C.2D.46．函数的xy x x=+图象是（ ） A. B.C. D.7．已知0.32=a ，32b =，12c -=，那么a ，b ，c 的大小关系为（） A.a b c >> B.b a c >> C.c a b >>D.c b a >>8．如果全集*{|5}U x N x =∈<，{1,2}M =，则UM =A.∅B.{1,2}C.{3,4}D.{0,3,4}9．函数11()sin 249f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期为（ ） A.2πB.4πC.8πD.16π10．设为全集，是集合，则“存在集合使得是“”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

浙江省杭州市高级中学2024学年高三数学第一学期期末质量跟踪监视试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{}{}2|1,|31x A x x B x ==<，则()RAB =（ ）A ．{|0}x x <B ．{|01}x xC ．{|10}x x -<D ．{|1}x x -2．执行如图所示的程序框图若输入12n =，则输出的n 的值为（ ）A ．32B ．2C ．52D ．33．数列{}n a 满足：3111,25n n n n a a a a a ++=-=，则数列1{}n n a a +前10项的和为 A ．1021 B ．2021 C ．919 D ．18194．函数()22xf x a x=--的一个零点在区间()1,2内，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()1,3B ．()1,2C ．()0,3D ．()0,25．若函数()()2(2 2.71828 (x)f x x mx e e =-+=为自然对数的底数)在区间[]1,2上不是单调函数，则实数m 的取值范围是( )A ．510,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．510,23⎛⎫⎪⎝⎭C ．102,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．102,3⎛⎫⎪⎝⎭6．函数的图象可能是下面的图象( )A ．B ．C ．D ．7．若||1OA =，||3OB =，0OA OB ⋅=，点C 在AB 上，且30AOC ︒∠=，设OC mOA nOB =+(,)m n R ∈，则mn的值为（ ） A ．13B ．3C ．33 D ．38．已知函数()2()2ln (0)f x a e x x a =->，1,1D e ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦若所有点(,())s f t ，(,)s t D ∈所构成的平面区域面积为2e 1-，则a =（ ）A ．eB ．1e 2- C ．1 D ．2e e - 9．2021年部分省市将实行“312++”的新高考模式，即语文、数学、英语三科必选，物理、历史二选一，化学、生物、政治、地理四选二，若甲同学选科没有偏好，且不受其他因素影响，则甲同学同时选择历史和化学的概率为A ．18B ．14 C ．16D ．1210．某四棱锥的三视图如图所示，记S 为此棱锥所有棱的长度的集合，则（ ）A ．2223S S ，且B ．2223S S ，且C ．2223S S ∈∉，且D ．2223S S ∈∈，且11．已知函数()sin 3cos f x a x x =-的图像的一条对称轴为直线56x π=，且12()()4f x f x ⋅=-，则12x x +的最小值为( ) A ．3π-B ．0C ．3π D ．23π 12．在ABC 中，点P 为BC 中点，过点P 的直线与AB ，AC 所在直线分别交于点M ，N ，若AM AB λ=，(0,0)AN AC μλμ=>>，则λμ+的最小值为（ ）A ．54B ．2C ．3D ．72二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。