自动控制原理 第三章 控制系统的时域分析—3高阶系统时域分析

ct 1 a1 exp nt cos d t a2 exp nt sind t a3 exp Pt
其中： d n 1 2
2
ct 1 a1 exp ntcosdt a2 exp ntsin dt a3 exp Pt
三阶 系统
ct
1
e
xp
n
t
cosd
t
1
2
s
ind
t
二阶 系统
从以上分析中看出，极点的类型决定了输出情况 ❖系统稳定 所有极点在s-p左半面（全为“左根”）
两者相比，仅仅是多了一项由新增极点确定的衰减项
1
a3 b 2 b 21
a3 0 a3 exp Pt 0
b 2 b 21 2 b 12 1 2 0
新增极点引发的自由运动模态项对过渡过程的影响是：
使最大超调减小，使调节时间增加
3
1.闭环极点对过渡过程的影响 s1,2 n jn 1 2
首先讨论典型三阶系统的瞬态响应，然后进行更具一般形式 的高阶系统的瞬态响应分析。从下面的讨论中，可以看到:
高阶系统的瞬态响应是由若干个一阶系统和二阶系 统的瞬态响应线性叠加而成。
1
1.三阶系统的单位阶跃响应
典型三阶系统的闭环传函可表示成：
(s)
C(s) R(s)
(s
P)(s2
Pn 2 2ns
n2 )
3-4 高阶系统的时域分析
由二阶以上微分方程描述的控制系统称为高阶系统。工 程上，高阶系统是普遍存在的。本节的目的不在于研究高阶 系统的过渡过程本身，而在于通过对三阶系统在单位阶跃函 数作用下的过渡过程讨论，引出闭环主导极点的概念。以便 将高阶系统在一定条件下转化为具有一对闭环主导极点的二 阶系统进行分析研究。
,
0 1,
P0
Cs 1
a1s n
a2n 1 2
a3
s s n 2 (n 1 2 )2 s n 2 (n 1 2 )2 s P
a1
b b 2
2 b b
2 2
1
,
a2
b b 2 b 21 b 2 b 21 1 2
其中：
1
P
a3 b 2 b 21 , b n
Z/
2 n
Z
n2
)
Cs 1 a3 Bs D s s P s2 2 ns n2
a3
n2P P Z / Z P P2 2nP n2
1
增加零点后的三阶系统响应：a3 b 2 b 21
b P
n
ct 1 a1 exp ntcosdt a2 exp ntsin dt a3 exp Pt
10
2.高阶系统的单位阶跃响应 R(s) E( s ) G( s ) C(s)
(s) C(s) G(s) R(s) 1 G(s)H (s)
B( s )
H(s)
m
b0sm b1sm1 bm1s bm a0sn a1sn1 an1s an
K (s zi )
i1
q
r
(s s j ) (s2sdt a2 exp ntsin dt a3 exp Pt
从c(t)的表达式中，可以看出：实极点-P与复极点实部
n 值的大小支配着指数项的衰减快慢，分以下情况
进行讨论：
❖若 P n ，则实极点离虚轴的距离要比复极点离 虚轴的距离近的多，则exp(-Pt)要比exp( nt)衰减慢
这时，显然复极点 s1,2 n jn 1 2 起主导作用， 在这种情况下我们称其为主导极点
注：越靠近虚轴的极点越影响系统的响应 6
j
s1
s3
n
5 n
s2
工程上：b P 5
n 7
j
三阶系统单位阶跃响应曲线
s1
ct
s3
n
1
5 n
s2
b P n
＝0.5 nt
由上图可见，当阻尼比 不变时，随着实数极点向虚
s3 P
ct 1 a1 exp ntcosdt a2 exp ntsin dt a3 exp Pt
s1
j n 1 2
b P
s1
n
b 1
s3 P
s3 P
n
n
j n 1 2
b 1
s2
n 1 2
ct 1 a3 exp Pt
s2
n 1 2
ct 1 a1 exp ntcosdt a2 exp ntsin dt 4
的多，此时系统输出 ct 1 a3 exp Pt
这时，显然实极点 -P起主导作用，在这种情况下我们 称 -P为主导极点。
5
❖若 P》n（即 P n 1 ），则实极点离虚轴的
距离要比复极点离虚轴的距离远的多，则exp(-Pt)要比
exp( nt)衰减快的多，此时系统输出为：
ct 1 a1 expntcosdt a2 expntsin dt
j 1
k 1
K=a0/b0 q+2r=n
m
C(s) (s)R(s)
q
K (s zi )
i 1
1
(s sj )
r
(s2
2
k nk s
2 nk
)
s
j 1
k 1
q
r
ct L1 Cs1
Aj exp(s jt)
Bk exp( k nkt) sin nk
1
2 k
t
k
j 1
k 1
11
系统输出＝稳态解 + 非周期分量 + 周期分量
轴方向移动，系统的超调量不断下降，而峰值时间、
上升时间则不断加长。在b《1时，及闭环实数极点的
数值小于或等于闭环复数极点的实部数值时，三阶系
统将呈现过阻尼特性。
8
2.闭环零点对过渡过程的影响 s1,2 n jn 1 2
增加一零点-Z:
s3 P
(s)
C(s) R(s)
(s
Pn2 s
P)(s2
过渡过程的类型取决于闭环极点，而过渡过程的具体形
状由闭环零、极点共同决定。
2.若实数零、极点越接近，则
a3
2 n
P
P
Z
/
Z
P
P2
2n P
2 n
越小，如果实数极点的数值和零点数值相等，即-Z=-P
，则暂态分量 a3 exp Pt 0
即负实数极点与负实数零点对过渡过程的作用相互抵消。
上述结论对于复数零、极点也同样适用。
未增加零点的三阶系统响应：
ct 1 a1 exp ntcosdt a2 exp ntsin dt a3 exp Pt
两者区别仅在于系数不同： a1 a1, a2 a2 , a3 a3 9
闭环零点对过渡过程的影响
从上述分析可知：
1.闭环零点只影响过渡过程c(t)中暂态分量的系数ai，即 只影响暂态分量的初始值。因此可得出结论：控制系统