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刚体角动量定理

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刚体角动量守恒定律

刚体角动量守恒定律

转动动能定理、角动量守恒原理一，转动动能定理：1， 力矩的功设刚体在外力F 作用下发生角位移d φ 由功的定义：相应的元功为：ϕθϕθMd Frd ds F ds F dA o ==-⋅=⋅=sin )90cos(所以力矩的功为：⎰⎰==21ϕϕϕMd dA A2， 转动动能定理设M 为作用刚体上的合外力矩。

将转动定律应用于功的定义中：222121)(0ωωωωϕωϕβϕωωJ J d J d dt d J d J Md A -=====⎰⎰⎰⎰ 所以转动动能定理为：222121ωωϕJ J Md -=⎰ 说明，（1）⎰ϕMd 为合外力矩的功，是过程量221ωJ E K =为刚体在t 时刻的转动动能。

是时刻量。

（2）其中M 、J 、ω必须相对同一惯性系，同一转轴。

【例】：质量为m 长度为l 的匀质细棒，可绕端轴o 在铅垂铅垂面内自由摆动，求细棒自水平位置自由下摆到铅垂位置时的角速度。

解：取细棒为研究对象，视之为刚体。

细棒下摆到 任意θ位置时受外力有：重力mg ，端轴支持力N (对o 不成矩) 。

由功的定义：2cos 2)90sin(2900l mg d l mg d lmg Md o o ===-=⎰⎰⎰θθθθθ由转动动能定理：lgml J l mg 331210212222=∴⎪⎭⎫⎝⎛=-=ωωω二，角动量守恒定律设M 为作用于刚体的合外力矩，由定轴转动定律：dtdLdt J d dt d J J M ====)(ωωβ 所以，刚体定轴角动量定理为00L L dL Mdt LL tt -==⎰⎰特别当整个过程中合外力矩为零时，刚体的角动量守恒。

即刚体定轴转动角动量守恒定律为：常矢==L M 0说明：（1）刚体定轴角动量守恒条件是整个过程中合外力矩为零。

（2）守恒式各量（M 、J 、ω）均需是对同一惯性系中的同一转轴。

（3）⎩⎨⎧==都变，但乘积不变、都不变、ωωωJ J const I L（4）角动量守恒定律也是自然界基本定律之一。

刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律

刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律

刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
1、刚体定轴转动的角动量
刚体绕定轴转动的角动量等于刚体对该轴的转动惯量与角速度的乘积；方向与角速度的方向相同。

2、刚体定轴转动的角动量定理
（1）微分形式：刚体绕某定轴转动时，作用于刚体的合外力矩，等于刚体绕该定轴的角动量随时间的变化率。

（2）积分形式：当物体绕某定轴转动时，作用在物体上的冲量矩等于角动量的增量。

3、刚体定轴转动的角动量守恒定律
如果物体所受的合外力矩等于零，或者不受外力矩作用，物体的角动量保持不变。

练习：1角动量守恒的条件是 。

0=M 11222
1ωωJ J Mdt t t -=⎰刚体 ） 21J J ==ωJ 恒量
ωJ L =()ωJ dt d dt dL M ==。

物理-定轴转动刚体的角动量定理和角动量守恒定律

物理-定轴转动刚体的角动量定理和角动量守恒定律

或 Lz = I = 恒量
当刚体相对惯性系中某给定转轴的合外力矩为 零时，该刚体对同一转轴的角动量保持不变。
——对转轴的角动量守恒定律
二、定轴转动中的角动量守恒
说明 1、 关于该守恒定律的条件：
Mz Miz 0
特别地，若每一个力的力矩均为零，即 则
二、定轴转动中的角动量守恒
M iz ri Fi sini 0 的几种情况
10
f
20
O1 R1 A
R2 O2 fB
随堂练习
当两圆柱接触处无相对滑动时，两者转速相反
10
20
O1 R1 A
R2 O2 B
且两者接触点的线速率相等！
二、定轴转动中的角动量守恒
由定轴转动的角动量定理
Mz
dLz dt
若刚体所受对转轴的合外力矩 M z 0，则有
dLz d ( I ) 0
dt
dt
二、定轴转动中的角动量守恒
(3) 对共轴非刚体系（其中各质元到转轴的距离可 变则）系：统的转动惯量可变，此时系统对转轴的角动量守恒，
即：I =恒量
• 特别地，若各质元的 保持一致，
Lz =I =恒量
当 I 增大时， 就减小； 当 I 减小时， 就增大 。
二、定轴转动中的角动量守恒
例如：花样滑冰运动员在冰面上旋转时 运动了角动量守恒定律
（1）
（2）
（3）
二、定轴转动中的角动量守恒
2、对转轴的角动量守恒定律的适用范围： • 不仅适用于刚体， • 也适用于绕同一转轴转动的任意质点系。
二、定轴转动中的角动量守恒
3、对转轴的角动量守恒的几种典型表现 (1) 对定轴刚体：I 不变， 大小和方向均不变；

5-3刚体的角动量

5-3刚体的角动量
碰撞过程中系统对o 点 的合力矩为 M 0 即，
L1 L2
1 m0l Ml 2 ml 2 3
0 m

所以，系统对o点的角动量守恒。
1
19
过程2 质点、细棒上摆 系统中包括地球， 只有保守内力作功，所以机械能守恒。 设末态为势能零点
11 2 2 2 Ml ml 23 1 Mgl1 cos mgl 1 cos 2
J
M dt
F dt
F dt p p
0
M dt L L
0
1 2 1 2 F d x 2 mv 2 mv0
1 2 1 2 M d J J 0 2 2
9
例题1: 一匀质细棒长为l，质量为m，可绕通过其 端点O的水平轴转动，如图所示。当棒从水平位置 自由释放后，它在竖直位置上与放在地面上的物体 相撞。该物体的质量也为m，它与地面的摩擦因数 为。相撞后物体沿地面滑行一距离s而停止。求相 撞后棒的质心C离地面的最大高度h，并说明棒在 碰撞后将向左摆或向右摆的条件。 解：这个问题可分为三个阶段 进行分析。第一阶段是棒自由 摆落的过程。这时除重力外， 其余内力与外力都不作功，所 以机械能守恒。我们把棒在竖 直位置时质心所在处取为势能
例3. 把单摆和一等长的匀质直杆悬挂在同一点， 杆与单摆的摆锤质量均为 m . 开始时直杆自然下垂，将 单摆摆锤拉到高度 h ，令它自静止状态下摆，于垂直
0
位置和直杆作弹性碰撞. 求 碰后直杆下端达到的高度 h . 解：此问题分为 三个阶段
l
m h0
l m
c
l
m
v0
h
1） 单摆自由下 摆（机械能守恒）， 与杆碰前速度

3-3刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律

3-3刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律

为零,角动量守恒
v0

v0
mv0l mv0l 0 mvl mvl J
v l
6 v0 7l
1 2 J ml 3
代入上式
L J const.
即转动过程中角动量(大小、方向)保持不变 角动量守恒定律比转动定律适用范围更广泛， 这里可以有
J 00 J11
但是
J 0 J1
讨论
1）角动量守恒条件
M 0
2）若 J 不变， 不变；若 J 变， 也变， 但
L J 不变.
3） 内力矩不改变系统的角动量. 4）在冲击等问题中 内力矩>>外力矩，角动量保持不变。 5）角动量守恒定律是自然界的一个基本定律.
力矩。合外力矩为 0 ，小球角动
量守恒 。 有：
N
mg
L = mvr = 恒量
即： m v1 r1 =m v2 r2
例2 光滑桌面上有一长2l，质量为m的细棒， 起初静止。两个质量m，速率v0的小球，如图 与细棒完全非弹性碰撞，碰撞后与细棒一起绕 中心轴转动，求系统碰撞后的角速度 解：系统的合外力矩
d( ) d( J ) dL M J J dt dt dt
刚体所受的(对轴的)外力矩等于刚体(对轴的) 角动量的时间变化率。 或写作
Mdt dL
t2 t1
对于一段时间过程有

t2
t1
Mdt dL L末 L初
三、定轴转动刚体的角动量守恒定律 如合外力矩等于零
6）转动系统由多个物体(刚体或质点)组成， 角动量守恒定律的形式为

i
J ii J i 0i 0
i
m
m
系统内各物体的角 动量必须是对同一 固定轴而言的。

3-2 刚体定轴转动的角动量 角动量定理 角动量守恒定律

3-2 刚体定轴转动的角动量 角动量定理 角动量守恒定律
第三章 刚体与流体
t2 t1
M
dt
J
J11
3 – 2 刚体定轴转动的角动量 角动量定理 角动量守恒定律
二、刚体定轴转动的角动量守恒定律
t2 t1
M
dt
J2
J1
若M 0 , 则J 常量
如果刚体所受合外力矩等于零，或者不受外力矩的 作用，则刚体的角动量守恒．此即角动量守恒定律．
茹科夫斯基转椅
第三章 刚体与流体
3 – 2 刚体定轴转动的角动量 角动量定理 角动量守恒定律
第三章 刚体与流体
3 – 2 刚体定轴转动的角动量 角动量定理 角动量守恒定律
例4 一根长度为L=0.60m的均匀棒，绕其端点O转
动时的转动惯量为J=0.12kgm2．当棒摆到竖直位置
时，其角速度为0=2.4rad/s．此时棒的下端和一质量
第三章 刚体与流体
3 – 2 刚体定轴转动的角动量 角动量定理 角动量守恒定律
M d L d(J) t2 M d t 2d(J)
dt
dt
t1
1
t2 t1
M
dt
J2
J1
——角动量定理
合外力矩的冲量矩（角冲量）
刚体所受合外力矩的冲量矩等于在这段时间内刚体 角动量的增量．
t1 t2时间内，J1 J2
3 – 2 刚体定轴转动的角动量 角动量定理 角动量守恒定律
3-2 刚体定轴转动的角动量 角动量定理 角动量守恒定律 一、刚体定轴转动的角动量 角动量定理
转动定律 M J J d d(J)
dt dt
令 L J，称为绕定轴转动刚体的角动量，则
M dL dt
刚体绕定轴转动时，作用于刚体的合外力矩 M 等于 刚体绕此轴的角动量 L 随时间的变化率.

大学物理-刚体绕定轴转动的角动量

大学物理-刚体绕定轴转动的角动量

M J
p mivi
角动量
L J
角动量定理 M d(J)
dt
质点的运动规律与刚体的定轴转动规律的比较（续）
质点的运动
动量守恒 力的功 动能
Fi 0时
mivi 恒量
Aab
b
F
dr
a
Ek
1 2
mv
2
动能定理
A
1 2
mv
2 2
1 2
mv12
重力势能
Ep mgh
机械能守恒
A外 A非保内 0时
进动特性的技术应用
翻转
外力
C
外力
进动
C
炮弹飞行姿态的控制：炮弹在飞行时，空气阻力对炮弹质心 的力矩会使炮弹在空中翻转；若在炮筒内壁上刻出了螺旋线 （称之为来复线），当炮弹由于发射药的爆炸所产生的强大 推力推出炮筒时，炮弹还同时绕自己的对称轴高速旋转。由 于这种自转作用，它在飞行过程中受到的空气阻力将不能使 它翻转，而只能使它绕着质心前进的方向进动。
pA pB
pA A
Bp B
s
s
O
x
结论：静止流体中任意两等高点的压强相等，即压强差为零。 若整个流体沿水平方向加速运动？ 加速运动为a，压强差为？
2. 高度相差为 h 的两点的压强差（不可压缩的流体）
选取研究对象，受力分析：（侧面？）
沿 y 方向：
p C
Y C s
pB s pC s mg may
已知：p0=1.013×105 Pa ， 0 1.29kg / m3
解 由等温气压公式
p
p e(0g / p0 ) y 0
0g 1.25104 m1
p0
p1 1.0 105 e1.251043.6103 0.64 105 Pa

《大学物理》34刚体定轴转动的角动量定理角动量守恒定律.

《大学物理》34刚体定轴转动的角动量定理角动量守恒定律.
矩为零故角动量守恒。
设子弹射入后杆起摆的角速度为ω，则有：
1 m v 0 a ( ML2 ma 2 ) 3
子弹射入后一起摆动的过程只有重力做功，故系统机 械能守恒。
1 1 L 2 2 2 ( ML ma ) mga (1 cos60 ) Mg (1 cos60 ) 2 3 2
1
2.刚体的角动量定理及守恒定律
刚体所受合外力矩与角加速度关系为
d M J J dt
利用角动量表示
dJ dL M dt dt
刚体绕定轴转动时，作用于刚体的合外力矩等于刚 体绕此轴的角动量对时间的变化率。这是刚体角动 量定理的一种形式。
当合外力矩为零时
d J dL M dt dt
如果质点所受合外力矩为零，则质点的角动量保持不变， 这就是质点的角动量守恒定律。
1. 质点角动量定理及守恒定律
例：我国第一颗人造地球卫星沿椭圆轨道绕地球运动，地心为该椭圆 的一个焦点。已知地球半径 R ，卫星的近地点到地面距离 l ，卫星的远 地点到地面距离 l 。若卫星在近地点速率为 v1 ，求它在远地点速率 v2 。
3.4刚体定轴转动的角动量定理 角动量守恒定律
一、冲量矩 角动量 1.冲量矩
定义：力矩与力矩作用时间的乘积称为冲量矩。
数学表达：
M dt
0
t
2.角动量
整个刚体的角动量就是刚体上每一个质元的角动 量——即每个质元的动量对转轴之矩的和。
2.1质点的角动量
o
r
v
o
L
m

L
r
m
J 恒量
如果物体所受合外力矩为零，或不受外力矩的作用， 物体的角动量保持不变，这就是角动量守恒定律。

3.5 刚体角动量定理和角动量守恒定律(时间效应)

3.5 刚体角动量定理和角动量守恒定律(时间效应)

刚体对定轴 的角动量定理：刚体对定轴 的角动 量的增量等于外力对该轴 的冲量矩。
§3.5 刚体角动量定理和角动量守恒定律（时间效应） 第三章 刚体动力学
2. 刚体的角动量守恒定律
《大学物理》教程
（1）刚体对定点 的角动量守恒定律： （2）刚体对定轴 的角动量守恒定律：
§3.5 刚体角动量定理和角动量守恒定律（时间效应） 第三章 刚体动力学
2. 刚体的角动量守恒定律
《大学物理》教程
（2）刚体对定轴 的角动量守恒定律：
推导：刚体对定轴 z的转动定理：
Mz

dLz dt
若 M z 0 则 Lz I 恒量
★ 刚体对定轴 的角动量守恒定律：如果刚 体所受的外力对定轴 的总力矩始终为零，则 刚体对该定轴 的角动量不变。
§3.5 刚体角动量定理和角动量守恒定律（时间效应） 第三章 刚体动力学
两边积分
t
L



Mdt
t0
dL
L0

L
L0
§3.5 刚体角动量定理和角动量守恒定律（时间效应） 第三章 刚体动力学
1. 刚体的角动量定理
t
t0 Mdt L L0
《大学物理》教程
★ 定义：力对定点O 的冲量矩：力对定点的
力矩对时间的累积量
t
Mdt t0
第二阶段：是碰撞过程。碰撞时间极短，冲力 极大，物体受到地面的摩擦力可以忽略；冲力矩 为内力矩抵消，重力和轴的支持力通过轴，不产 生力矩，所以系统外力矩为零，角动量守恒。
取转轴垂直向里为正方向
1 ml 2 mvl 1 ml 2
(2)
3
3

刚体的角动量

刚体的角动量

对上式积分得到角动量定理旳积分形式
t2 t1
M z dt
J2
J1
该式表达：动量旳增量等于力矩对定轴转动刚体
旳时间累积效应
10
三、刚体对转轴旳角动量守恒定律
M zdt dLz dJ
假如 Mz = 0, 则 dLz d( J ) 0 Lz J 恒量
刚体对转轴旳角动量守恒定律 当定轴转动旳 刚体所受外力对转轴旳合力矩为零时,刚体对同一 转轴旳角动量不随时间变化。
满足百分比关系旳最大应力，σE
称百分比极限（ P）。点E 旳应力E是发生弹性形变旳
σP
最大应力，称弹性极限。当
B
EC P
应力 >E时，发生塑性形变。
点C 相应旳应力为 C，若
把外力撤除，固体旳应力与
o o′
ε
应变旳关系沿O C变化，留下一定旳剩余形变OO。
当应力到达点 B 相应旳应力 B时，固体就断裂， B称强度极限。
(1 2
m1R2
m2R2 )1
1 2
m1 R 22
2
1 2
m1R2 m2
1 2
m1R
2
R2
1
1 2
m1 1 2
m2 m1
1
2.31rad
s 1
19
质点直线运动或刚体平动 位移 速度 加速度
匀速直线运动 匀变速直线运动
刚体旳定轴转动 角位移 角速度 角加速度 匀角速定轴转动 匀变角速定轴转动
20
dt
d dt
(J)
试验表白, 此式更具普遍性。
由上式得到
Mz
d dt
( J)
dLz dt
刚体对转轴旳角动量定理 作定轴转动旳刚体

刚体角动量定理

刚体角动量定理

二、刚体（对轴）的角动量 L = Jω
三、角动量定理
M = dL = d (Jω) ⇒ Mdt = d (Jω)
dt dt
∫ ∫ t2 Mdt =
t1
L2 L1
dL
=
L2
−
L1
= J 2ω 2 − J 1ω 1
合外力矩M在dt时间内的冲量矩
刚体角动量定理 —作用在刚体上的冲量矩等于刚体角动量的增量
四.角动量守恒定律
acτ
=
rcα
=
Lα
2
联立可得：
RA
=
2 3
L
解
Fy
o
RA Rc
Fx c
A F
例6.
解
球打在A点，轴间仍没有x方向轴力
Fy
球和棒系统，水平方43; MVc
系统角动量守恒
RA Rc c A
RA
⋅
mv1
m=
= RA
M
⋅
mv2
RA
+
=
Jω
2L 3
=
RAmv2
+
1 3
ML2
弹性球碰撞，机械能守恒
水平桌面上。它可绕O点垂直于桌面的固定光滑轴转动。另有一
水平运动的质量为m的小滑块，从侧面垂直于棒方向与棒发生碰
撞，设碰撞时间极短。已知碰撞前后小滑块速度分别为V1和V2. 求细棒碰撞后直到静止所需的时间是多少？
解： m与M碰撞过程，
o
系统（m,M）对O轴角动量守恒
mv1 L = −mv 2 L + Jω （1）
3L θ
4 L
mv
Ep =0
M
）
例4.

刚体定轴转动的角动量定理 角动量守恒定律.

刚体定轴转动的角动量定理 角动量守恒定律.

l 1 l 2 2 mv0 m l m( ) 4 12 4
12 v 0 7 l
12 v 0 7 l
由角动量定理
dL d ( I ) dI M dt dt dt
即
d 1 dr 2 2 mgr cos ( ml mr ) 2mr dt 12 dt
※ 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
刚体定轴转动对轴上一点的角动量（自学） ：
结 论：
一般情况下，刚体定轴转动对轴上一点的角动 量并不一定沿角速度（即转轴）的方向，而是与其 成一定夹角；但对于质量分布与几何形状有共同对 称轴的刚体，当绕该对称轴转动时，刚体对轴上任 一点的角动量与角速度的方向相同.
4 m 2m M
[讨论] ① M>>m ② M<<m
作 业：
7.4.3. 思 考： 7.4.1.
例:
已知均匀直杆(l ,M),一端挂在光滑水平轴上，开始时静止 在竖直位置，有一子弹（m.vo)水平射入而不复出。求杆与子弹 一起运动时的角速度.
解：
子弹进入到一起运动，瞬间完成.
I
i i
i
const.
但角动量可在内部传递。
3 刚体定轴转动的角动量守恒定律 若 M 0 ，则 讨论
守 恒条件:
L I 常量
M 0
若 I 不变， 不变；若 I 变， 也变，但 L I 不变. 内力矩不改变系统的角动量. 在冲击等问题中


M in M ex L 常量
现在讨论力矩对时间的积累效应。
※ 现在讨论力矩对时间的积累效应。 质点系： dL 对点： M 外
dt

5 刚体的角动量定理和角动量守恒定律

5 刚体的角动量定理和角动量守恒定律
§4-5 刚体的角动量定理和
角动量守恒定律
一．刚体的角动量定理
dL 刚体转动定理的 M dt 可以改写为 Mdt dL
对上式积分，得 式中 t
t2
1

t2
t1
t2 Mdt dL L2 L1
t1
Mdt
叫做合外力矩在
t 2 t1
时间内的冲量矩。上式表明：刚体所受合外力矩 的冲量矩，等于刚体在这段时间内刚体的角动量 的增量，这就是刚体的角动量定理。 在SI制中，冲量矩的单位式 N m s
I1 2kg m2 。 在外力推动后， 此系统开始以 n1 15 转/分转动， 转动中摩擦力矩忽略不计。
2 I 0 . 80 kg m 当人的两臂收回， 使系统的转动惯量就为 2 时， 它的转速 n2
。
光滑的水平桌面上有一长 2l、质量为 m 的匀质细杆，可绕过其中心、垂直于杆的竖直轴自 由转动。开始杆静止在桌面上。有一质量为 m 的小球沿桌面以速度 v 垂直射向杆一端，与 杆发生完全非弹性碰撞后，粘在杆端与杆一起转动。求碰撞后系统的角速度。
2 rel dt
0 T T 0
M 2m M
2M 因此，在此时间内，人相对ห้องสมุดไป่ตู้地面转过的角度为0 d t M 2m
T
M 2m M 2m T dt dt 0 M M
转台相对于地面转动的角度为

T
0
2m T 4m dt dt M 0 M 2m
2
二．角动量守恒定律 由刚体的角动量定理可见,当刚体所受的合外 力矩为零,则
L I 常量
3
上式说明,当刚体所受的合外力矩为零,或者不受外 力距的作用时,刚体的角动量保持不变,这就是角动量 守恒定律。 必须指出，这个定律不仅对一个刚体有效，对转动 惯量I会变化的物体，或者绕定轴转动的力学系统仍然 成立。如果转动过程中，转动惯量保持不变，则物体 以恒定的角速度转动；如果转动惯量发生改变，则物 体的角速度也随之改变，但两者之积保持恒定。 应用角动量守恒定律时，还应该注意的是，一个系 统内的各个刚体或质点的角动量必须是对于同一个固 定轴说的。

刚体角动量

刚体角动量
2
定轴转动刚体的角动量守恒定律
例题4-12 工程上，两飞轮常用摩擦啮合器使它们
以相同的转速一起转动。如图所示，A和B两飞轮的
轴杆在同一中心线上，A轮的转动惯量为JA=10kgm2 ，B的转动惯量为JB=20kgm2 。开始时A轮的转速为
600r/min，B轮静止。C为摩擦啮合器。求两轮啮合
后的转速；在啮合过程中，两轮的机械能有何变化
为两轮啮合后共同转动的角速度，于是
J A A J B B
JA JB
以各量的数值代入得
20.9rad / s
定轴转动刚体的角动量守恒定律
或共同转速为
n 200r / min
在啮合过程中，摩擦力矩作功，所以机械 能不守恒，部分机械能将转化为热量，损失 的机械能为
E
1 2
J
A
2
A
1 2
J
B
转到=300，求子弹的初速v0。
解：分两个阶段进行考虑
(1) 子 弹 射 入 细 杆 , 使 细 杆 获 得 初 速度。因这一过程进行得很快,细 杆发生偏转极小,可认为杆仍处于 竖直状态。子弹和细杆组成待分 析的系统,无外力矩,满足角动量 守恒条件。子弹射入细杆前、后 的一瞬间,系统角动量分别为
L0 m0v0a L J 其中
定轴转动刚体的角动量定理
在外力矩作用下，从 t0 t ，
角动量 Lz0 J 0 变为 LZ J ，
则由
M
z
d dt
J
得
角动量定理的微分形式：
t
t0 M d t J J0
t M d t 为t t t0时间内力矩M 对给定轴的冲量矩
t0
。
2. 定轴转动刚体的角动量守恒定律

[理学]05-4刚体的角动量定理和角动量守恒定律

[理学]05-4刚体的角动量定理和角动量守恒定律

双旋翼直升机不需要尾桨，它通过一对转向相反的螺 旋桨，保持系统的总角动量仍然为零
并轴双旋翼直升机通过在同轴心的内外两轴上安装 一对对转的螺旋桨来防止机身反向打转
鱼雷在其尾部也装有对转螺旋桨，其目的也是 为了消除单螺旋桨造成鱼雷自身的反转问题
为什么同手同脚地走路或 跑步会使人觉得别扭呢？ 当一侧的腿向前跨出时，另 一侧的臂必须同时向前摆出， 这样躯干的上端（肩）和下 端（髋）彼此向相反方向扭 转，而躯干的中段和头部则 大体保持在原来位置上，才 可以保证整个身体对于竖直 轴的角动量保持为零 腿臂的动作正确、协调配合，对加大步长、提高步频 都有一定作用，因而对提高跑步速度有明显影响
对绕定轴转动的可变形物体而言，在不同状态下
物体对转轴的转动惯量可能不同，但是如果它所 受合外力矩为零，那么它的角动量也将保持不变
花样滑冰运动员利用四肢的伸缩改变自身的 转动惯量，可以改变绕自身竖直轴的角速度
合外力矩为零不仅是绕定轴转动刚体角动量守恒的
条件，也是任何质点系对角动量守恒的条件

l
M
m
v0
系统的角动量守恒
mv0l J
1 2 2 J ? Ml ml 3

l
M
棒的转 子弹的转 动惯量 动惯量
m
v0
mv0 M ( m)l 3
例1 一质量为M，长为l 的均质细棒，可绕过其顶端的 水平轴自由转动。当杆静止时，一质量为m的子弹以 水平速度v0射入细杆底端并穿出，穿出后子弹速度损 失3/4，求子弹穿出后棒的角速度 O 取子弹和细杆作为系统，在子弹射入 棒端并从棒中穿出的过程中，子弹与 M 细杆之间的作用力为内力，转轴上的 l 作用力和重力不产生力矩，系统所受 m 外力矩为零，系统角动量守恒

定轴转动刚体的角动量守恒定律

定轴转动刚体的角动量守恒定律
§3-3 定轴转动刚体的角动量守恒定律 一、 刚体对转轴的角动量 质点作圆周运动时，角动量的方向均不变， 质点作圆周运动时，角动量的方向均不变， 大小为
L = mvR
刚体对轴的角动量就是刚体上各质元对各自转动 中心的角动量的和
L = ∑ ∆mi vi ri = ∑ ∆mi ri ω
2 i i
= Jω
M =0
不变， 不变； 2）若 J 不变， 不变；若 J 变， 也变， ω ω 也变， 但 3）在冲击等问题中 冲击等问题中 内力矩>>外力矩，角动量保持不变。 内力矩>>外力矩，角动量保持不变。 >>外力矩
太原理工大学物理系
4）转动系统由多个物体(刚体或质点)组成， 转动系统由多个物体(刚体或质点)组成， 角动量守恒定律的形式为
太原理工大学物理系
二、刚体定轴转动的角动量定理 对质点系而言
dL =M dt
Mdt = t1
Mdt = ∫ dL = L末 − L初 = Jω − Jω 0
t1
t2
太原理工大学物理系
三、定轴转动刚体的角动量守恒定律 等于零 如合外力矩等于零 合外力矩等于
L = J ω = co n st.
∑
i
J iωi = ∑ J i 0ωi 0
i
m
m
系统内各物体的角 动量必须是对同一 固定轴而言的。 固定轴而言的。
r2
ω
r1
太原理工大学物理系
长为l 的均匀细棒， 例1 一根质量为 M ，长为 的均匀细棒，可绕通 平面内转动。 过棒中心的垂直轴 Z ，在 xy 平面内转动。开始时 r 静止， 静止，今有质量为 m 的小球以速度 v 0 垂直碰撞 棒的端点，假设碰撞是完全非弹性的， 棒的端点，假设碰撞是完全非弹性的，小球与帮碰 r 撞后粘在一起， 撞后粘在一起，试求碰撞后系统转动的角速度 ω
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复习上一次课的内容
1.刚体定轴转动定律： M = Jα
2.刚体转动的功和能：
∫ A = θ2 Mdθ θ1
3.机械能守恒定律 :
Ek
=
1 Jω 2
2
E p = mghc
当只有保守力矩作功 ⇒ Ek + Ep = 恒量
§3.4 冲量矩 角动量守恒定律
一、质点的角动量（动量矩） L = r × p L = rp sinϕ
1 2
mv12=
1 2
mv 2 2
+
1 2
⋅
1 3
ML2
⋅ ⎜⎜⎝⎛
Vc L2
⎟⎟⎠⎞2
⋅ Vc
v 1
L2
Vc
=
6 7
v
Fy
= Mg + MVc2
/
Rc
例7.
质量为M，长为l 的均匀棒，如图，若用水平力F 打击在离轴下y 处，求：轴对棒的作用力？ Ry
解：设轴的作用力为: Rx 由转动定律: yF =
由角动量定理：M = dL
dt
当合外力矩为零 L = 常矢量 ——角动量守恒定律
定轴转动：M z
=
dLz dt
若M z = 0
Lz = const Jω = const
若系统对定轴的外力矩之和为零，则系统对此
固定轴的角动量保持不变 ---对定轴的角动量守恒
若刚体由几部分组成，且都绕同一轴转动，
∑ 当M 外z = 0时， J izω i = const 但角动量可在内部传递 i
Ry J
dω
Rx
Δt 为作用时间
得到： Δω = ω − ω0
由质心运动定理：
dt
=ω =
yF J
Δt
F
y
切向：F
+
Rx
=
m
l 2
dω
dt
法向：Ry
−mg=
ml ω2
2
于是得到：
Rx
=
−(1−
3y)F 2l
Ry
=
mg+
9F 2 y2 (Δt)2 2l3m
例7.
如图所示，以水平力F打击悬挂着的质量为M、长度为L的
J = 1 ML2
（2）
3
v2 v1
碰后细棒转动直至停止，受摩擦阻力矩作用
例5.
mv 1 L = − mv 2 L + Jω （1）
J = 1 ML2 （2） 3
解
o ω dm = λdx
v1
x
碰后任意质点所受阻力：df = μdN = μgdm = μgλdx
任意质点所受阻力矩： dM f = − xdf
2）对接过程中的机械能损失
解：由角动量守恒得：
J1ω1 − J 2ω2 = (J1 + J2 )ω
⇒ ω = J1ω1 − J2ω2
J1 + J2
J 1
ω
1
J 2
ωω
2
ΔEk =
1 2
(
J1
+
J
2
)ω
2
−
⎜⎛ ⎝
1 2
J1ω
2
1
+
1 2
J
ω2
22
⎟⎞ ⎠
= − ( J1J2 ω1 + ω2 )2 < 0
例如：花样滑冰运动员 的“旋”动作
再如：跳水运动员的“团 身--展体”动作
刚体的平动和定轴转动中的一些重要公式
刚体的平动 (质点)
v= dx dt
a
=
dv dt
=
d2 x dt2
P = mv F
EK
=
1 2
mv2
m
d A= Fdx Fdt
F = ma
∫ F d t = P − P0
∫F
d
x
=
1 2
v
2v
0
2v
v
ω0
例2.
解
v 2v
解：选四人和转台为系统，对O轴 合外力矩 M=0,角动量守恒。
( ) 2v o ⋅ R v
ω=0
Jω ′
J
+
+ J1 + J2 + J3 + J4 ω0
J1ω 1 + J 2ω 2 + J 3ω 3 +
=
J 4ω 4
其中： J = 1 MR 2 2
J1
=
J4=
mr 2=
止。求相撞后棒的质心离地面的最大高度h？并说明棒 在撞后左摆或右摆的条件。
Ol
C Ep = 0
m
例9.
解
Ol C Ep = 0
过程1：棒下摆，机械能守恒 mg l = 1 Jω 2
22
过程2：棒与物体碰撞，角动量守恒
Jω = mvl + Jω′
过程3：物体滑行，棒上升
m
物体滑行: − μmg = ma − v2 = 2as
= mg 3 L(1− cosθ )+ Mg L (1− cosθ )
4
2
⎜⎛ 3 m + 1 M ⎟⎞⎜⎛ 9 m + 1 M ⎟⎞gL − 9 m2υ2
θmax = arccos⎝ 4
2 ⎠⎝16 3 ⎠ 16 ⎜⎛ 3 m + 1 M ⎟⎞gL
⎝4 2 ⎠
例5.
质量为M长为L的均质细棒静止平放在滑动摩擦系数为μ的
M
8
=
dL
dt
⇒ 1 mgR = d ⎜⎛13 mRv− mRu⎟⎞
2
dt ⎝ 8
⎠
∵du = 0 ∴a = dv = 4 g
dt
dt 13
例9.
一匀质细棒长度为l，绕垂直于棒一端的水平轴O无
摩擦地转动。当棒从水平位置自由释放后，在竖直位置 上与放在地面上的物体相撞(质量也为m) 。物体与地面
的摩擦系数为μ。相撞后，物体沿地面滑行一距离s而停
Rmg
设u为人相对绳的匀速度，v 为重物上升
m
的速度, 则系统对o轴的角动量为:
m 2
L = R⎜⎛ m⎟⎞v − Rm(u − v)+ Jω J = 1⎜⎛m⎟⎞R2
⎝2⎠
2⎝ 4 ⎠
⇒L =13mRv−mRu
8
例8.
R
o
m 4
v
m
m 2
解
M = 1 Rmg L = 13 mRv − mRu
2
根据角动量定理：
mv2
−
1 2
mv02
刚体的定轴转动
ω = dθ
dt
α = dω = d2θ
dt dt2
L = Jω
EK
=
1 2
Jω 2
M
J
d A = M dθ M dt
M = Jα
∫ M d t = L − L0
∫M
dθ
=
1 Jω 2
2
−
1 2
Jω02
例1.
两摩擦轮对接. 若对接前两轮的角速度分别为ω1,ω2 求：1）对接后共同的角速度ω
∫ ∫ M f =− xdf
由角动量定理：L
=−
L x ⋅ μ (λdx )⋅ g = − 1 μMgL
0
2
（3）
∫ ∫ Mdt = Jdω
有：
t
0 Mf dt
=
J
0
dω
ω
（4）
由以上四式解出： t = 2m(v1 + v2 )
μMg
例6.
如图所示，以水平力F打击悬挂着的质量为M、长度为L
的均匀细杆。如果打击点A选择得合适，在打击的过程中，支撑
acτ
=
rcα
=
Lα
2
联立可得：
RA
=
2 3
L
解
Fy
o
RA Rc
Fx c
A F
例6.
解
球打在A点，轴间仍没有x方向轴力
Fy
球和棒系统，水平方向动量守恒
o
mv1 = mv2+ MVc
系统角动量守恒
RA Rc c A
RA
⋅
mv1
m=
= RA
M
⋅
mv2
RA
+
=
Jω
2L 3
=
RAmv2
+
1 3
ML2
弹性球碰撞，机械能守恒
水平桌面上。它可绕O点垂直于桌面的固定光滑轴转动。另有一
水平运动的质量为m的小滑块，从侧面垂直于棒方向与棒发生碰
撞，设碰撞时间极短。已知碰撞前后小滑块速度分别为V1和V2. 求细棒碰撞后直到静止所需的时间是多少？
解： m与M碰撞过程，
o
系统（m,M）对O轴角动量守恒
mv1 L = −mv 2 L + Jω （1）
均匀细杆。如果打击点A选择得合适，在打击的过程中，支撑轴o
对细杆的水平切向力Fx为零，称该点为打击中心。试求：打击中
心A与支撑轴o之间的距离RA。
解(1)由转动定律：
Fy
FRA = Jα
= 1 ML2α
3
o
质心运动定理：
F = Macτ
acτ
=rcα
=
Lα
2
RA Rc F
Fx c A
联立可得：
RA
=
棒上升: 1 Jω′2 = mg⎜⎛ h − l ⎟⎞
2
⎝ 2⎠
ω′ = 3gl − 3 2μgs h = l + 3μs − 6μsl