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角动量变化定理和角动量守恒

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刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律

刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律

刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
1、刚体定轴转动的角动量
刚体绕定轴转动的角动量等于刚体对该轴的转动惯量与角速度的乘积；方向与角速度的方向相同。

2、刚体定轴转动的角动量定理
（1）微分形式：刚体绕某定轴转动时，作用于刚体的合外力矩，等于刚体绕该定轴的角动量随时间的变化率。

（2）积分形式：当物体绕某定轴转动时，作用在物体上的冲量矩等于角动量的增量。

3、刚体定轴转动的角动量守恒定律
如果物体所受的合外力矩等于零，或者不受外力矩作用，物体的角动量保持不变。

练习：1角动量守恒的条件是 。

0=M 11222
1ωωJ J Mdt t t -=⎰刚体 ） 21J J ==ωJ 恒量
ωJ L =()ωJ dt d dt dL M ==。

1.5角动量变化定理和角动量守恒4909221

1.5角动量变化定理和角动量守恒4909221
等于在这段时间内质点系角动量的增量 M外dt dL
把合外M力外d矩t ： MdL外＝对时i r间i 积fi分（不是积合分外形力式的力矩）
证明：对第
ri
fi
j(
i 个质点应用角动量定理
f ij
ri
fi
ri fij
ji)
j( ji)
dli dt
对质点编号i 求和：
零
1.5.1 质点的角动量
定义：质点对O点的 角动量
l
r
p
r
mv
大小： l rp sin mrvsin
方向用右手螺旋定则判定：右手四指由 r 经 小于180角转向 p，伸直的拇指的指向是角动 量的指向——必须指明对哪个参考点而言
【思考】有了动量，为什么还要引入角动量？ 1
作圆周运动质点对O点的 角动量 l 的方向垂直于圆周 平面 ，大小为
l mrv mr2
把过O点并垂直于圆周平面的直线当成转轴， 上式表示质点绕该轴作圆周运动的角动量。
【思考】引起质点角动量变化的原因是什么？ 2
1.5.2 力矩 角冲量和质点角动量变化定理
在 dt 时间内质点所受合力矩的角冲量，等于
在这段时间内质点角动量的增量
力矩：M
r
f
Mdt dl ，方向用右手螺旋定则判定。
【例1.21】光滑水平面上轻弹簧两端各系一小 球，开始弹簧处于自然长度，两小球静止。今同 时打击两个小球，让它们沿垂直于弹簧轴线方向 获得等值反向的初速度v0。如果在以后的运动过 程中弹簧的最大长度为2l0，求初速度v0。
解 系统：弹簧和小球 质心C点固定不动，相对 C点系统的角动量守恒。
初始时刻角动量：
即
Mdt dl

刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律

刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律

3–4 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
7
二 刚体对轴的角动量 刚体定轴转动的角动量定理
1.刚体对轴的角动量
刚体对转轴的角动量就是刚体上各质元的角动
量之和．
Li miri2
L Li (miri2) ( miri2 ) J
i
i
i
刚体对某定轴的角动量等于刚体对该轴的 转动惯量与角速度的乘积．方向沿该转动 轴，并与这时转动的角速度方向相同．
第3章 刚体力学基础
3–4 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
第3章 刚体力学基础
3–4 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
6
在由A→B的过程中，子弹、木块系统机械能守恒
1 2
(m

M)v21

1 2
(m

M)v22

1 2
k (l

l0 )2
在由A→B的过程中木块在水平面内只受指向O点的
弹性有心力，故木块对O点的角动量守恒，设 v2
与OB方向成θ角，则有
l0 (m M)v1 l(m M)v2 sin
v2
(m
m2 M)2
v02

k(l m
l0 )2 M
arcsin
l0mv0
l m2v02 k(l l0 )2 (m M)
第3章 刚体力学基础
3.质点角动量守恒定律
若 M 0 ，则
r L

rr
mvv 常数
质点所受外力对某固定点的力矩为零，则质点 对该固定点的角动量守恒。这就是质点的角动 量守恒定律。
第3章 刚体力学基础
3–4 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律

物理-定轴转动刚体的角动量定理和角动量守恒定律

物理-定轴转动刚体的角动量定理和角动量守恒定律

或 Lz = I = 恒量
当刚体相对惯性系中某给定转轴的合外力矩为 零时，该刚体对同一转轴的角动量保持不变。
——对转轴的角动量守恒定律
二、定轴转动中的角动量守恒
说明 1、 关于该守恒定律的条件：
Mz Miz 0
特别地，若每一个力的力矩均为零，即 则
二、定轴转动中的角动量守恒
M iz ri Fi sini 0 的几种情况
10
f
20
O1 R1 A
R2 O2 fB
随堂练习
当两圆柱接触处无相对滑动时，两者转速相反
10
20
O1 R1 A
R2 O2 B
且两者接触点的线速率相等！
二、定轴转动中的角动量守恒
由定轴转动的角动量定理
Mz
dLz dt
若刚体所受对转轴的合外力矩 M z 0，则有
dLz d ( I ) 0
dt
dt
二、定轴转动中的角动量守恒
(3) 对共轴非刚体系（其中各质元到转轴的距离可 变则）系：统的转动惯量可变，此时系统对转轴的角动量守恒，
即：I =恒量
• 特别地，若各质元的 保持一致，
Lz =I =恒量
当 I 增大时， 就减小； 当 I 减小时， 就增大 。
二、定轴转动中的角动量守恒
例如：花样滑冰运动员在冰面上旋转时 运动了角动量守恒定律
（1）
（2）
（3）
二、定轴转动中的角动量守恒
2、对转轴的角动量守恒定律的适用范围： • 不仅适用于刚体， • 也适用于绕同一转轴转动的任意质点系。
二、定轴转动中的角动量守恒
3、对转轴的角动量守恒的几种典型表现 (1) 对定轴刚体：I 不变， 大小和方向均不变；

角动量和角动量守恒定律资料

角动量和角动量守恒定律资料

l l0
v0
v

20
解：由角动量守恒和机械能守恒可得
mv 0l0 mvl sin
1 mv 2 1 mv 2 1 k (l l ) 2 0 0 2 2 2
∴
l l0
v0
v

2 k ( l l ) 2 0 v v0 4 m s 1 m
v 0 l0 arcsin( ) 30 vl
4
22
已知
m 1.20 10 kg
4
h 100km
u 1.00 10 m s 2 g 1.62m s
4
1
R 1700km 求 所需消耗燃料的质量 m
vB
R
O B
. 解 设飞船在点 A 的 速度 v0 , 月球质量 mM , 由万有引力和牛顿定律
vA
M
m, v0
l
1 v f 4 v0
l f dt J f ldt
因,
ff
由两式得
3mv 0l 9mv 0 1 这里 J Ml 2 4J 4 Ml 3
例 质量很小长度为l 的均匀细杆,可绕过其中心 O 并与纸面垂直的轴在竖直平面内转动.当细杆静止于水平 位置时, 有一只小虫以速率v0 垂直落在距点O为 l/4 处, 并背离点O 向细杆的端点A 爬行.设小虫与细杆的质量均 为m.问:欲使细杆以恒定的角速度转动, 小虫应以多大速 率向细杆端点爬行? 解 小虫与细杆的碰撞视为完全非弹性碰撞，碰撞 前后系统角动量守恒
L Li mi ri 2 mi ri 2 J
i i i
式中
J mi ri
i
2

大学物理-角动量定理和角动量守恒定律

大学物理-角动量定理和角动量守恒定律
当系统所受外力矩为零时，系统内各物体角动量 之和保持不变。
系统内物体之间的相互作用力矩不会改变系统的 总角动量。
角动量守恒的应用举例
天体运动
行星绕太阳公转、卫星绕地球运 行等天体运动中，角动量守恒定
律是重要的理论基础。
陀螺仪
陀螺仪利用角动量守恒原理，通过 高速旋转来保持方向稳定，广泛应 用于导航、制导和控制系统。
机械系统
在机械系统中，如旋转机械、齿轮 传动等，角动量守恒定律用于分析 系统的动态平衡和稳定性。
04 角动量定理与守恒定律的 实际意义
在天文学中的应用
描述行星和卫星的运动
角动量定理和守恒定律在天文学中用于描述行星和卫星围绕中心天体的运动。 这些定律帮助科学家理解天体的旋转和轨道运动，以及它们之间的相互作用。
预测天文现象
通过应用角动量定理和守恒定律，科学家可以预测天文现象，如行星的轨道变 化、卫星的旋转等。这些预测有助于更好地理解宇宙的演化。
在航天工程中的应用
航天器姿态控制
角动量定理和守恒定律在航天工程中用于控制航天器的姿态 。通过合理地布置航天器上的动量轮，可以调整航天器的角 动量，实现姿态的稳定和控制。
L = m × v × r，其中L是 角动量，m是质量，v是 速度，r是转动半径。
角动量单位
在国际单位制中，角动量 的单位是千克·米²/秒 (kg·m²/s)。
角动量定理表述
角动量定理
01
对于一个封闭系统，其总角动量保持不变，即系统内力的力矩
之和为零。
表述形式
02
dL/dt = ΣM = 0，其中dL/dt表示角动量的时间变化率，ΣM表
角动量守恒的应用
角动量守恒定律在许多物理现 象中都有应用，如行星运动、 陀螺仪等。

角动量定理和角动量守恒定律

角动量定理和角动量守恒定律

角动量定理和角动量守恒定律
角动量定理和角动量守恒定律是描述刚体运动时的两个基本定律。

下面进行简单的介绍：
1. 角动量定理
角动量定理是描述角动量变化的定律。

它表示为：物体所受外力矩等于物体角动量对时间的变化率。

即
I*ω= ΔL/Δt
其中，I 为物体的转动惯量，ω为物体的角速度，L 为物体的角动量。

这个定理表明了一个物体的角动量发生变化时，必定受到了外部的力矩作用，即力矩等于角动量的变化率。

2. 角动量守恒定律
角动量守恒定律是描述角动量不变的定律，即如果没有外部力矩作用，系统的总角动量保持不变。

即：
L = L0
其中，L 为系统的总角动量，L0 为系统在某一时刻的总角动量。

这个定律表明，如果没有外部力矩作用，那么系统的总角动量保持不变。

如果一个物体在自由运动时，角动量发生变化，那么它将会改变自身的旋转状态（比如转速、方向等）。

总之，角动量定理和角动量守恒定律是描述刚体运动和角动量变化的基本定理，可以帮助我们更好地理解物体的运动和变化规律。

角动量、角动量守恒定律的分析

角动量、角动量守恒定律的分析

02
3
4. 求质量 m ,半径 R 的球体对直径的转动惯量
解：以距中心 r ，厚 dr 的球壳
R
dr
r
为积分元
o
dV 4r 2dr
m
m 4 R3
3
dJ
2 3
dm r 2
2mr 4dr R3
dm dV
J
R
dJ
0
2mr 4dr R3
2 5
mR2
注意： 对同轴的转动惯量才具有可加减性。
直于杆，分别过杆的中点和一端端点的轴的转动惯量。
解：(1) 轴过中点
dm
x
L2
ox
L 2
L
J
r 2dm
m L
1 3
L3 8
L
x2dm
x 2 2
L
L3 8
1 12
2
mL2
m dx L
m L
1 3
x3
2 L
2
(2) 轴过一端端点
dm
o
x
Lx
J r2dm x2dm L x2 mdx 0L m 1 x3 L 1 mL2 L3 0 3
o r m p
p
or
* 质点对某参考点的角动量反映质点绕该参考点旋
转运动的强弱。
*必须指明参考点，角动量才有实际意义。
2. 质点系角动量
L
系i统L内i vr所ii 有i vr质rcci 点 rvp对iii 同 无一有i'：'参：r对i对考参质考点m心点i角vi 动o量r1pr的c1 矢crrp量2ir2i和
i
i
i
式中 J ri2mi
i
刚体对轴的转动惯量

4-3角动量 角动量守恒定律

4-3角动量 角动量守恒定律
in
M L 常量
ex
角动量守恒定律是自然界的一个基本定律.
自然界中存在多种守恒定律
动量守恒定律 能量守恒定律 角动量守恒定律 电荷守恒定律 质量守恒定律 宇称守恒定律等
许多现象都可 以用角动量守恒来 说明. 花样滑冰 跳水运动员跳水
跳水运动员
茹可夫斯基凳
例3 质量很小长度为l 的均匀细杆，可 绕过其中心 O并与纸面垂直的轴在竖直平面 内转动．当细杆静止于水平位置时，有一只 小虫以速率 v 0 垂直落在距点O为 l/4 处，并背 离点O 向细杆的端点A 爬行．设小虫与细杆 的质量均为m．问：欲使细杆以恒定的角速 度转动，小虫应以多大速率向细杆端点爬行?
解 设飞船在点 A 的速度 v 0 , 月球质 量 mM ,由万有引力和 牛顿定律
vB
R
B
vA
v0
v
O h A
u
v mM m G m 2 ( R h) Rh mM g G 2 2 R R g
2 0
v0 (
Rh
)
12
1 612 m s
1
质量 m' 在 A 点和 B 点只受有心力作用 , 角动量守恒
d r mv r F dt
所以
dL M＝ dt
dL M dt

t2
t1
M dt L2 L1
冲量矩
t1
t2
M dt
对同一参考点O，质点所受的冲量矩 等于质点角动量的增量．——质点的角动 量定理
3、质点的角动量守恒定律
若质点所受的合外力矩为零，即 M=0，
4－3 角动量 角动量守恒定律
力对时间累积效应： 冲量、动量、动量定理． 力矩对时间累积效应： 冲量矩、角动量、角动量定理．

物理-角动量定理与角动量守恒定律

物理-角动量定理与角动量守恒定律

dt
dt
i
当质点系相对惯性系中某给定参考点的合外力 矩为零时，该质点系对同一参考点的总角动量保持 不变。
——角动量守恒定律
当 M Mi 0，则L Li 恒矢量
Hale Waihona Puke 说明1、同一问题中应 用角动量定理或判断角动量守恒时， M 与 L 必须相对同一参考点计算！
2、如果相对某一特殊参考点，合外力矩为零，系统只 只对这一特殊点角动量守恒，但相对其他参考点的 角动量不一定也守恒；
当 M Mi 0，则L Li 恒矢量
说明
3、关于角动量守恒与动量守恒的条件：
一般地
(ri Fi ) 0 与
Fi 0 彼此独立！
角动量守恒与动量守恒也是相互独立的。
例：行星在绕太阳的公转过程：动量不守恒，
但对太阳的角动量守恒。
MS
rF
0
z LS
LS
r m
恒矢量
S
如直角坐标系中。沿 z 轴分量式为：
当 Mz Miz 0，则Lz Liz 恒量
5. 适用范围：惯性系；
讨论：为什么许多星系是扁盘状旋转结构？
银河系
讨论：为什么许多星系是扁盘状旋转结构？
初始角动量
径向
轴向
引力 收缩
L守恒
引力 收缩
速度增大 离心力增大
引力 收缩
达到平衡
高速旋转的盘形结构
dL L2 (t2 ) L1(t1 )
t1
L1 (t1 )
—— M在时间t t2 t1内的角冲量（冲量矩）
（积分式）
对同一参考点，质点所受合力在某一时间内的 角冲量等于同时间内角动量的增量 。
说明
•直角坐标系中的分量式（如Z轴分量式）：

角动量定理角动量守恒定律

角动量定理角动量守恒定律
应用牛顿第二定律
在系统整体上应用牛顿第二定律，得到系统受到的合外力矩为零时 的角动量守恒条件。
推导角动量守恒定律
根据系统总角动量和角动量守恒的条件，推导出角动量守恒定律， 即在合外力矩为零时，系统总角动量保持不变。
推导过程中的注意事项与难点解析
注意事项
在推导过程中，需要注意定义和计算过程中的符号约定，以及正确应用牛顿第二 定律。
角动量定理与守恒定律的适用范围
角动量定理适用于描述物体在受到外 力矩作用下的旋转运动，特别是需要 分析力矩对旋转运动的影响时。
角动量守恒定律适用于描述某些特定 条件下物体的旋转运动，如系统不受 外力矩作用或系统内力的力矩相互抵 消等。
04
角动量定理与守恒定律的 推导过程
角动量定理的推导过程
定义角动量
03
角动量守恒定律则是在一定条件下，物体的角动量保持不变 。
角动量定理与守恒定律的区别
角动量定理是一个运动方程，用于描 述旋转运动的物体在外力矩作用下的 运动规律，而角动量守恒定律则是一 个守恒条件，用于描述某些特定情况 下旋转运动的物体角动量的保持。
VS
角动量定理是一个瞬时规律，关注的 是物体在某一时刻的运动状态，而角 动量守恒定律则是一个时间平均规律， 关注的是物体在一段时间内的平均运 动状态。
矩作用会导致旋转物体角动量的增加或减少。
02
揭示旋转运动的本质
角动量定理阐明了旋转运动的本质特征，即旋转物体的角动量是守恒的，
但可以通过力矩作用进行改变。
03
指导设计旋转机械
角动量定理在旋转机械设计和运行中具有指导意义，例如在电动机、发
电机、陀螺仪等设备的设计中，需要考虑力矩作用和角动量的变化。
角动量守恒定律的物理意义

大学物理-角动量守恒定律

大学物理-角动量守恒定律

1 dA ( r sin )ds 2
4-3 角动量
角动量守恒定律
dA 1 ds 1 ( r sin ) r sin v dt 2 dt 2 1 1 r sin mv rp 2m 2m 而行星的角动量 r p 大小恒定，所以 dA 常量 dt
一般情形下， r 和 p 都是变化的，所以 L 没 有确定的方向，但任一时刻， L 总垂直于 r 和 p 所确定的平面。在直角坐标系下，L 的三个分量
为：
3
Lx ypz zp y Ly zpx xpz Lz xp y ypx
4-3 角动量
这就是开普勒第二定律。 如果一个力的方向始终指向某一点，这力称 为有心力，这点，称为力心。有心力对力心的力 矩恒为0，因此，在有心力作用下的质点对力心 的角动量守恒。 10
4-3 角动量
角动量守恒定律
质点系角动量变化定理和角动量守恒定律 1. 质点系角动量
L l i ri 量
角动量守恒定律
3. 角动量守恒定律 如果质点系所受合外力矩 M 外 0，则
dL 0 ，L 常矢量 dt
实验表明，对于不受外界影响的粒子系统所 经历的任意过程，包括不能用牛顿力学描述的 过程，都遵守角动量守恒定律。
13
4-3 角动量
角动量守恒定律
【例1.21】光滑水平面上轻弹簧两端各系一小球， 开始弹簧处于自然长度，两小球静止。今同时 打击两个小球，让它们沿垂直于弹簧轴线方向 获得等值反向的初速度v0。如果在以后的运动过 程中弹簧的最大长度为2l0，求初速度v0。 解 系统：弹簧和小球 质心C点固定不动，相对 C点系统的角动量守恒。
必须指明是对哪个点而言的

质点的角动量角动量守恒定律

质点的角动量角动量守恒定律
物理学
第五版
角动量概念的提出与自然界普遍存在的物体的转动 有关，大到星系，小到电子、中微子都具有转动的特征。 角动量概念在18世纪才在物理学中被定义和使用，19世 纪人们才把它看成是力学中最基本的概念之一，到20世 纪，它成为和动量、能量同样重要的物理量。角动量守 恒与空间旋转对称性相对应。因此它是自然界最基本最
普遍的规律之一。
角动量
角动量 变化率
角动量 角动量守
力矩
定理
恒定律
物理学
第五版
一、质点的角动量 质量为 的质点以
速度 在空间运动，某 时对 O 的位矢为 ，质 点对O的角动量
大小 的方向符合右手法则 角动量单位：kg·m2·s-1
物理学
第五版
质点以 作半径为 的圆运动，相对圆心
质点在一条直线上运动, 质点对 o点的角动量?
o•
m
力矩是矢量，M 的方向垂直于r和 F所决定的平面，其指向
用右手螺旋法则确定。
2 、 力矩的单位、 牛·米(N·m)
3 、力矩的计算： M 的大小、方向均与参考点的选择有关
物理学
第五版
力对固定点的力矩为零的情况：
A）
B）力的方向沿矢径的方向（
）
有心力的力矩为零.
※在直角坐标系中，其表示式为
物理学
第五版
三、质点的角动量定理 质点角动量定理的推导
物理学
第五版
作用于质点的合力对参考点 O
的力矩，等于质点对该点 O 的角动量
随时间的变化率.
冲量矩
质点的角动量定理：对同一参考点O， 质点所受的冲量矩等于质点角动量的增量.
与质点的动量定理比较:
物理学
第五版
例 一半径为 R 的 光滑圆环置于竖直平面 内. 一质量为 m 的小球 穿在圆环上, 并可在圆 环上滑动. 小球开始时 静止于圆环上的点 A (该点在通过环心 O 的 水平面上)，然后从 A 点开始下滑．设小球与圆环间的摩擦略去 不计．求小球滑到点 B 时对环心 O 的角动 量和角速度．

质点角动量定理及角动量守恒定律

质点角动量定理及角动量守恒定律
我们把质点对z轴上任意一点的角动量L在z轴上的投影，叫做质点对于z轴的角动量，用Lx表示．上面已证明，Lz的数值是与参考点无关的．
在国际单位制中，角动量的单位为千克·米2／秒（kg·m2·s-1）．
例1如图3-2所示，质量为m的质点以速率v绕半径为r的圆轨道作匀速率运动．求此质点相对于圆心O点的角动量．
L=|rmvsinφ|
（3.2）
式中φ是r与mv两矢量之间的夹角．
按以上定义，角动量L含有动量mv因子，因此L与参考一点的角动量也依赖于参考点的位置．例如，在图3-1b中，参考点为O点时的角动量L与参考点为O′点时的角动量L′是不同的．
应当指出的是，虽然质点相对于任一直线（例如z轴）上的不同参考点的角动量是不相等的，但这些角动量在该直线上的投影却是相等的．如图3-1b所示，取S平面与z轴垂直，则质点对于O点及O′点的角动量分别为L与L′，L和L′分别等于以r及mv为邻边及以r′及mv为邻边的平行四边形的面积，L与L′在z轴上的投影分别是Lz=Lcosα和L′z=L′cosα′（α与α′分别是L与L′和z轴间的夹角），由图3-1b可见，Lz和L′z分别是相应的两个平行四边形在S面上的投影面积，两者是相同的，故Lz=L′z．
3．行星绕太阳的运动
作为质点角动量守恒定律的应用，我们来讨论行星绕太阳的运动．16世纪末至17世纪初，开普勒仔细地分析整理了前人记录下的大量精确的有关行星运动的资料，总结出行星运动的规律、即开普勒三定律．
应用牛顿定律的万有引力定律可以全面证明这三条由天文观察资料中总结出来的实验规律．而在本课程中，只限于讨论其中的第二条，即对任一行星，由太阳到行星的径矢在相等的时间内扫过相等的面积．根据角动量守恒定律，我们可以推导出行星运动的开普勒第二定律．
角动量守恒定律是物理学中最基本的定律之一，和动量守恒定律一样，它不仅适用于宏观物体的运动，而且对于牛顿第二定律不能适用的微观粒子的运动，它也适用．

质点的角动量定理和角动量守恒定律

质点的角动量定理和角动量守恒定律
3-4
质点的角动量定理和角动量守恒定律
一、矢量的点矩和轴矩 力矩 角动量 (即动量矩) 1. 矢量的点矩. 矢量 A 的矢尾对 O 点的位置矢量为 r , 则矢量 A 对 O 点的点矩定义为
矢量 A 对 O 点的点矩与 O 点的选取有关 . 若
r // A , 则 GO = 0 . = M r 力 F 对 O 点的力矩 O × F
只需第一式乘 x 与第二式乘 y 相加, 即可导出第三
式 , 说明只 有两个 独立 的标量方 程 ; 而当 质点在 Oxy 平面内 做二维运 动 时 , 仅 一个标量方 程 , 即 第 三式 , 所以对 固 定点的角动量定 理 不 能 与 牛顿第 二定律等价.
L = r × m ( v + v ) = r × m v r × v = 0 由于 , 所以 O || || ⊥ ⊥ ,
物理力矩定义相一致 , 只是要注意 M l 为可正可 负 的标量. 二、质点对固定点 O 的角动量定理 和角动量守恒定律 由牛顿第二定律
d( mv ) r× =r×F dt d dr d ( mv ) ( r × m v ) = × m v +r× 注意到 dt dt dt . dr 因为 O 为固定点, 所以 dt = v , 所以 d dLO ( r × mv ) = r × F 即 = MO dt dt
例题 7 质量为 m 的质点受重力作用, 在一 光 滑的、 半径为 R 的球面上运动. 采用球坐标系, 设 0 已知, 又知 t 时 t 0 时刻质点位置为( R,θ 0 , ϕ 0 ), 且 ϕ . 刻质点位置为( R,θ , ϕ ). 求 t 时刻的 ϕ 解 如 图 , 以质点 m 为 研究 对 象 , O 为球 心 , 建 立 直 角 坐 标 系 Oxyz 和 球 坐 标 系 . 质 点 受 重 力 W = mg = − mgk , 约 束 力

质点系的角动量定理及角动量守恒定律

质点系的角动量定理及角动量守恒定律

对质点系
Mi内z
Mi外z
d dt
(ri
mi vi
sin
i
)
而
Mi内 0
Mi内z 0
Mi外z
d dt
(ri mivi
sin
i
)
d dt
Lz
——称质点系对z 轴的角动量定理.
3.质点系对轴的角动量守恒定律
若
Mi外z 0
Lz rimivi sin i 常量
若质点系各质点绕 z 作圆周运动
Liz ri mivi sin i
质点系对轴的角动量
Lz rimivi sin i
2.质点系对轴的角动量定理 质点在垂直于z 轴的平面内运动，第i个 质点
Miz
dLi dt
d dt
(ri
mivi
sin
i
)
M iz M i外z M i内z
M i内z
M
sin
i)
m 2gh v
2m m
本题也可以利用对点的角动量守恒求解，读者可自行完成.
§5.2质点系的角动量定理 及角动量守恒定律
§5.2.1质点系对参考点的角动量定理及守恒律
1.质点系对参考点的角动量
对参考点
L Li ri pi ri mivi
i
i
i
对质点系中的第 i 个质点,有
Mi
dLi dt
其中
Mi Mi外 Mi内
M i内
M i外
dLi dt
对质点系，有
M i内
M i外
dLi dt
2.内力的力矩
ri
Fij i
因质点i与质点 j 间的相互 作用力
i

5 刚体的角动量定理和角动量守恒定律

5 刚体的角动量定理和角动量守恒定律
§4-5 刚体的角动量定理和
角动量守恒定律
一．刚体的角动量定理
dL 刚体转动定理的 M dt 可以改写为 Mdt dL
对上式积分，得 式中 t
t2
1

t2
t1
t2 Mdt dL L2 L1
t1
Mdt
叫做合外力矩在
t 2 t1
时间内的冲量矩。上式表明：刚体所受合外力矩 的冲量矩，等于刚体在这段时间内刚体的角动量 的增量，这就是刚体的角动量定理。 在SI制中，冲量矩的单位式 N m s
I1 2kg m2 。 在外力推动后， 此系统开始以 n1 15 转/分转动， 转动中摩擦力矩忽略不计。
2 I 0 . 80 kg m 当人的两臂收回， 使系统的转动惯量就为 2 时， 它的转速 n2
。
光滑的水平桌面上有一长 2l、质量为 m 的匀质细杆，可绕过其中心、垂直于杆的竖直轴自 由转动。开始杆静止在桌面上。有一质量为 m 的小球沿桌面以速度 v 垂直射向杆一端，与 杆发生完全非弹性碰撞后，粘在杆端与杆一起转动。求碰撞后系统的角速度。
2 rel dt
0 T T 0
M 2m M
2M 因此，在此时间内，人相对ห้องสมุดไป่ตู้地面转过的角度为0 d t M 2m
T
M 2m M 2m T dt dt 0 M M
转台相对于地面转动的角度为

T
0
2m T 4m dt dt M 0 M 2m
2
二．角动量守恒定律 由刚体的角动量定理可见,当刚体所受的合外 力矩为零,则
L I 常量
3
上式说明,当刚体所受的合外力矩为零,或者不受外 力距的作用时,刚体的角动量保持不变,这就是角动量 守恒定律。 必须指出，这个定律不仅对一个刚体有效，对转动 惯量I会变化的物体，或者绕定轴转动的力学系统仍然 成立。如果转动过程中，转动惯量保持不变，则物体 以恒定的角速度转动；如果转动惯量发生改变，则物 体的角速度也随之改变，但两者之积保持恒定。 应用角动量守恒定律时，还应该注意的是，一个系 统内的各个刚体或质点的角动量必须是对于同一个固 定轴说的。

大学物理——角动量定理和角动量守恒定律

大学物理——角动量定理和角动量守恒定律

解：把飞船和排出的 废气看作一个系统， 废气质量为m。可以 认为废气质量远小于 飞船的质量，
dm/2
u
Lg
r

L0
u dm/2
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所以原来系统对于飞船中心轴的角动量近似地等 于飞船自身的角动量，即
L0＝J
在喷气过程中，以dm表示dt时间内喷出的气体
， 这 些 气 体 对 中 心 轴 的 角 动 量 为 dm·r(u+v) ， 方 向
量为JB=20kgm2 。开始时A轮的转速为600r/min，B
轮静止。C为摩擦啮合器。求两轮啮合后的转速；在 啮合过程中，两轮的机械能有何变化？
A
B
C
A
B
C
A

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解：以飞轮A、B和啮合器C作为一系统来考虑，在
啮合过程中，系统受到轴向的正压力和啮合器间的 切向摩擦力，前者对转轴的力矩为零，后者对转轴 有力矩，但为系统的内力矩。系统没有受到其他外 力矩，所以系统的角动量守恒。按角动量守恒定律 可得
由匀减速直线运动的公式得
0 v2 2as
亦即 v 2 2gs
（3）
（4）
由式（1）、（2）与（4）联合求解，即得

3gl 3 2gs
l
（5）
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当’取正值，则棒向左摆，其条件为
3gl 3 2gs 0
亦即l >6s；当’取负值，则棒向右摆，其条件
上页 下页 返回 退出
数为 。相撞后物体沿地面滑行一距离s而停止。
求相撞后棒的质心C 离地面的最大高度h，并说明
棒在碰撞后将向左摆或向右摆的条件。
解：这个问题可分为三个阶段

[理学]05-4刚体的角动量定理和角动量守恒定律

[理学]05-4刚体的角动量定理和角动量守恒定律

双旋翼直升机不需要尾桨，它通过一对转向相反的螺 旋桨，保持系统的总角动量仍然为零
并轴双旋翼直升机通过在同轴心的内外两轴上安装 一对对转的螺旋桨来防止机身反向打转
鱼雷在其尾部也装有对转螺旋桨，其目的也是 为了消除单螺旋桨造成鱼雷自身的反转问题
为什么同手同脚地走路或 跑步会使人觉得别扭呢？ 当一侧的腿向前跨出时，另 一侧的臂必须同时向前摆出， 这样躯干的上端（肩）和下 端（髋）彼此向相反方向扭 转，而躯干的中段和头部则 大体保持在原来位置上，才 可以保证整个身体对于竖直 轴的角动量保持为零 腿臂的动作正确、协调配合，对加大步长、提高步频 都有一定作用，因而对提高跑步速度有明显影响
对绕定轴转动的可变形物体而言，在不同状态下
物体对转轴的转动惯量可能不同，但是如果它所 受合外力矩为零，那么它的角动量也将保持不变
花样滑冰运动员利用四肢的伸缩改变自身的 转动惯量，可以改变绕自身竖直轴的角速度
合外力矩为零不仅是绕定轴转动刚体角动量守恒的
条件，也是任何质点系对角动量守恒的条件

l
M
m
v0
系统的角动量守恒
mv0l J
1 2 2 J ? Ml ml 3

l
M
棒的转 子弹的转 动惯量 动惯量
m
v0
mv0 M ( m)l 3
例1 一质量为M，长为l 的均质细棒，可绕过其顶端的 水平轴自由转动。当杆静止时，一质量为m的子弹以 水平速度v0射入细杆底端并穿出，穿出后子弹速度损 失3/4，求子弹穿出后棒的角速度 O 取子弹和细杆作为系统，在子弹射入 棒端并从棒中穿出的过程中，子弹与 M 细杆之间的作用力为内力，转轴上的 l 作用力和重力不产生力矩，系统所受 m 外力矩为零，系统角动量守恒
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Mz= xFy
yFx
也称为力对轴的力矩。 ③有心力——始终指向某一固定点的力，该固定点 为力心。
有心力对力心的力矩为： 零。
3
海南大学－大学物理电子教案
角动量 angular momentum
定义：任取一点o, 建立坐标系oxyz，设质点A ，矢径为 ，则质点A对o点 的质量为m，速度为 v r 的角动量为：
从动量定理变换到角动量定理，只需将相应的量 变换一下，名称上改变一下。（趣称 头上长角， 尾部添矩）
17
海南大学－大学物理电子教案
dP F dt t
2
动量定理
F dt Δ P
t1
dL M dt t
2
角动量定理
M dt ΔL
t1
F 0 P 0
1.对定点的角动量 L Li ri Pi
i i
2.定理和守恒定律

i
Mi

i
M M i ri Fi ri f i
i
i
dLi dt
P2 r2 o
P 1
r1
i i ri fi 0 内力对定点的力矩之和为零
9
海南大学－大学物理电子教案
角动量守恒定律
dL 由角动量定理可知， M r F dt 若： M 0 （ 条件)
则：
即： L r mv 恒矢量
质点角动量守恒定律：
dL 0 dt
或
dL 0
（结论）
(constant vector)
质点系内的重要结论之三 (自证)
23
dL M外 dt
L Li
i
形式上与质点的角动量定理完全相同 内力对定点的力矩之和为零
只有外力矩才能改变系统的总角动量
M 0 L constvector .
角动量守恒定律
24
盘状星系
角动量守恒的结果
25
比较
动量定理
角动量定理
海南大学－大学物理电子教案
1.5 角动量变化定理和角动量守恒
1.5.1 质点的角动量
1.5.2 质点角动量变化定理 1.5.3质点系角动量变化定理和角动量守恒定律
1
海南大学－大学物理电子教案
1.5.1
力矩定义
质点的角动量
M0 r F
0
M
r F
φ
方向：由右手螺旋定则
大小： M 0 M 0 F r sin
两边积分：

t2
t1
M dt d L L2－L1 积分形式
8
L2 L1
海南大学－大学物理电子教案
Mdt dL
微分形式 式中
M dt

t2
t1
M dt L2－L1
13
海南大学－大学物理电子教案
行星绕太阳的运动
p
p
r p 常矢量 pd 常量


r
d
O
d r
表明行星在运动过程中，对太阳的角动量保持不变。
14
海南大学－大学物理电子教案
例10：证明关于行星运动的开普勒第二定律：行星 对太阳的径矢在相等的时间内扫过相等的面积。
p p
积分形式
Mdt 称为外力矩在dt时间内的冲量矩

t2
t1
称为外力矩在t1——t2时间内的冲量矩
冲量矩是力矩的时间积累 物理意义： 质点（转动物体）所受合外力矩的冲
量矩等于在这段时间内质点（转动物体）角动量的
增量。 在应用角动量定理时，一定要注意等式两边的力矩 和角动量必须都是对同一固定点。
t2
Fdt ΔP
t1
dP F dt
dL M dt t
2
Mdt ΔL
t1
F 0 P 0
M 0 L 0
形式上完全相同，所以记忆上就可简化。 从动量定理变换到角动量定理，只需将相应 的量变换一下，名称上改变一下。 （趣称 头上长角 尾部添矩）


r
d
O
d r
15
海南大学－大学物理电子教案
证明： 以行星为研究对象，选太阳为参考点 L ＝常矢量 M 0 v
L mrsin
dt 1 dr r sin 2m 2 dt m dr rsin
L


m
r
r
dS L dt 2m
角动量守恒就是掠 面速度相等
16
dS 2m dt
掠面速度
海南大学－大学物理电子教案
比较
动量定理
角动量定理
dP F dt t
2
F dt Δ P
t1
dL M dt t
2
M dt ΔL
t1
F 0 P 0
M 0 L 0
形式上完全相同，所以记忆上就可简化。
若质点所受外力矩对某给定点o的力矩为零，则 质点对o的角动量保持不变。 (具有普遍意义，对m变的也适用）
10
海南大学－大学物理电子教案
讨论
1）角动量守恒定律的条件
M 0
动量不守恒
角动量守恒
2）动量守恒与角动量守恒
是相互独立的定律 如行星运动
3） 有心力(central force)：始终指向某一固定点的 力，该固定点为力心。
过圆心处的小孔缓慢地往下拉绳使半径逐渐减小。
求当半径缩为r时的角速度。
v r o r0 m
19
海南大学－大学物理电子教案
v
r o r0
m
解：以小孔o 为原点， 绳对小球的拉力为 有心力，其力矩为零。 则小球对点的角动量守恒。
mvr = mv0r0 因：v = rω
2 ω 有：mr2 = mr0ω 0
质点对圆心O的角动量为（守恒量、非守恒量）？
大小不变 方向不变 方向不变 方向不变
L
L
O
r

v
m

v
r
6
海南大学－大学物理电子教案
dv 推导过程： 由牛顿第二定律 F m dt dv r 得: r F r m 两边叉乘 dt L r mv 对时间求导数。 将角动量定义式 dL d d( mv ) dr ( r mv ) r mv dt dt dt dt dv v mv 0 r m v mv dt v v sin 0 0 dv r m r F M dt
同一质点对于不同的参考点其角动量是不同的；
角动量也称动量矩，力矩也叫角力； 对轴的角动量和对轴的力矩； 动量是描述质点运动状态的物理量，角动量————— 描述质点转动状态的物理量 —————————————————
5
海南大学－大学物理电子教案
若质点m做半径为r的匀速圆周运动，质点对圆心
的角动量大小为—————— L rmv
L r p r mv
方向： 由右手螺旋定则确定
L
v

v

r
L
4
r
海南大学－大学物理电子教案
L r p sin mvr sin
大小：
L
r与P
围成面积
O
几点说明：
r m
v
角动量与参考点O的选择（有关、无关）：
26
动量定理
t2
பைடு நூலகம்
Fdt ΔP
t1
dP F dt
dL M dt t
2
角动量定理
Mdt ΔL
t1
F 0 P 0
F P
t2
M 0 L 0
力矩或角力 角动量 或动量矩
力 动量
M L
t2
Fdt 力的冲量
L2 mv2 ( R l2 )
mv1( R l1 ) mv2 ( R l2 )
因角动量守恒，所以：
R l1 6378 439 8.10 6.30 ( km / s ) 于是： v2 v1 R l2 6378 2384
22
1.5.3 质点系角动量变化定理和角动量守恒定律
21
海南大学－大学物理电子教案
解：卫星在运行时只受地球对它的 引力，方向始终指向地心o,力的大 小只依赖于两点距离（这种力称为 有心力）。对于O点，力矩为零。 故角动量守恒 M 0 r F 0 卫星在近地点A1 的角动量： L1 mv1( R l1 )
卫星在远地点A2 的角动量:
t1
Mdt 力矩的冲量 t1 或冲量矩
27
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28
r0 2 则： ω= r2 ω 0
20
海南大学－大学物理电子教案
例题12： 人造卫星绕地球沿椭圆轨道运动，地球中
心为椭圆的一个焦点，已知地球平均半径 R=6378 km，近地距离 l1=439 km , A1 点速度 v1=8.10 km , 远地距离 l2=2384 km , 求A2 点的速度v2 = ?
力的作用效果，不仅与力的大小有关、还与力 的方向和力的作用点有关。力矩是全面考虑这三要 素的一个重要的概念。
2
海南大学－大学物理电子教案
关于力矩的讨论：