求反函数的步骤ppt课件

（1）函数y=2x的定义域是____R__,值域是____R___。如果由
xy=2x1解y出，xx=在__R_12上__y有__唯_, _这一__样确__对定__于的y值在和R它上对任应一，个故值x，是通__过y__式的子函数。 2
原函数: y=2x
新函数：x 1 y 2
1
2
2
4
:
:
x
y
R 乘以2 R
（ x ? A ），记作
x f 1 ( y) 按照习惯，对换x,y 改写成 y=f-1(x)
.
如： 函数f(x)=2x(x∈R)的反函数是_f__1(_x_)___12_x_(x___R_)_. 函数 f(x) x1(x1)的反函数是
f-1(x)=x2-1 (x≥0)
.
反函数与原函数的关系：
表达式：
x 1
所以，函数 y2x3(xR, 且 x 1)
x1
的反函数是
y x3(xR, x. 2
且
x 2)
求反函数的步骤：
y f( x ) x f 1 (y ) y f 1 ( x )
(1)反解: 把y=f(x)看作是x的方程，解出x=f –1(y);
(2)互换： 将x,y互换得y=f –1(x),并注明其定义域
的值和它对应，故x是__y__的函数。
原函数：
表达式： y x1
定义域： [-1,+) 值域： [0,+)
.
新函数：
xy2 1
[0,+) [-1,+)
在(1)中，我们称新函数
x
1 2
y
(y∈R)
为原函数y=2x(x∈R) 的 反函数.
同样，在(2)中，也把新函数 xy2 1(y≥0）
称为原函数 y x1 (x≥-1) 的反函数.
y x 1 (xR)
3
.
例1.求下列函数的反函数：
(1 )3y x1( x R()2; )xy31( x R);
(3 )yx1(x 0()4 ; )2 y x3(x R且 ,1, ) x1
解: (2)由 y x3 1 ，解得 x 3 y 1
而函数 yx31(xR) 的值域是 R，
所以，函数 yx31(xR) 的反函
（即原函数的值域 )。
注：必须由原函数的值域来确定反函数的定义域
.
课堂练习：
P68. Ex.1 ---- 4.
例2.求函数 y11x2(1x0) 的反函数
例3. (1)求函数y=x2-1 (x≤0)的反函数； (2)求函数y=x2-2x-1 (x≤1)的反函数.
.
是否任何一个函数都有反函数？
（3）函数y=x2的定义域是___R__，值域是__[0__,+___)__。如果由
(1)反解:把y=f(x)看作是x的方程，解出
x=f –1(y);
(2)互换：将x,y互换得y=f –1(x),并注明其 定义域（即原函数的值域 )。
.
3.若y=f(x)的反函数是y=f –1(x),则函数y=f –1(x) 的反函数就是y=f(x)，它们是互为反函数。 4.并非所有的函数都有反函数[如填空(3)]。 5.反函数原函数的关系：
原函数
y=f(x)
反函数
y=f –1(x)
定义域：
A
C
值域：
C
A
.
例1.求下列函数的反函数：
(1 )3y x1( x R()2; )xy31( x R); (3 )yx1(x 0()4 ; )2 y x3(x R且 x ,1)
x1
解:(1)由 y=3x-1 ，解得 x y 1 3
而函数 y3x1(xR) 的值域是R， 所以，函数 y3x1(xR) 的反函数是
y=x2解出x=______y___,对于y在[0,+)上任一个值，通过式子
x y, x在R上有_两___个_值和它对应，故x不___是_y的函数。
这表明函数y=x2没有反函数！
并非所有的函数都有反函数！
.
小结：
1.反函数的概念及记号；y=f(x)的反函数记
为
y=f –1(x)
2.求反函数的步骤：
数是
y 3 x1 (xR)
.
例1.求下列函数的反函数：
(1 )3y x1( x R()2; )xy31( x R); (3 )yx1(x 0()4 ; )2 y x3(x R且 ,1, )
x1
解:(3)由 y x 1 ，解得 x(y1)2
而函数 y x1(x0)的值域是 {y y 1}
所以，函数 y x1(x0) 的反函
数是
y(x1)2 (x 1)
.
例1.求下列函数的反函数： (1 )3y x1( x R()2; )xy31( x R);
(3 )yx1(x 0()4 ; )2 2x 3 ，解得 x y 3
x 1
y2
而函数 y 2x 3 的值域是 {yRy2}
.
反函数的概念
函数 y f (x) （ x ? A ）中，设它的值域为C 。我们根据这个函
….. 数中的 x ， y 的关系，用y 把 x 表示出，得到x j ( y) 。如果对 于…y 在…C 中…的任…何一…个值…，通…过…x j…(y)…， x…在 A…中都…有唯. 一 的…值和…它对…应，…那么…，x… j(…y) 就…表示…y 是…自变…量，…x 是…自变. 量 …… y 的函数。这样的函数x j ( y) （ y ? C ）叫做函数 y f (x)
2
1
4
2
:
:
y
x
R 除以2 R
这个新函数的自变量是__y____，对应的函数值是___x____。
.
（2）函数 y x1的定义域是_[_-1_,_+__)__，值域是_[_0_,_+__)__。
如果由 y x1 解出x=__y_2___1___,则对于y在 [0，+)上 的任一个值，通过式子x=__y_2 __1____,x在[-1,+)上有_唯__一__确__定___
函数的定义
如果在某个变化过程中有两个变量X和Y,并且 对于X在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对 应法则,Y都有唯一确定的值和它对应,那么Y就是X的
函数，X就叫做自变量，X的取值范围称为函数的定义 域，和X的值对应的Y的值叫做函数值，函数值的集合 叫做函数的值域。
记为： y=f(x)
.
完成下列填空：
作业： P.68---- 69. 1、2.
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