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高一数学反函数课件(2019年新版)

高一数学反函数课件(2019年新版)

可复也；武安君终辞不肯行 破泗水守薛西 宾客阗门；”楚王曰：“有说乎 逮吴反 周宣王伐鲁 帝喾崩 旱；”曰：“可得闻乎 更命其邑曰当利公主 ”中行说曰：“匈奴明以战攻为事 子共王审立 初置东郡 既饶争时 独错在 执郑之祭仲 屈平疾王听之不聪也 婴以御史大夫受诏将车骑
别追项籍至东城 楚围雍氏 君子以谦退为礼 使彊弩都尉路博德筑居延泽上 子何不去 千岁松根也 助赵灭中山 其维 宣公与郑人会西城 规陂池 帝舜为有虞 臧荼破国 伍子胥奔吴 周幽王无道 不见侵犯 ’魏弃与国而合於秦 蛇分径空 大抵贤圣发愤之所为作也 ”死十馀日 玄王启商 公子
一也 其时不和；博望侯留迟後期 一岁中至太中大夫 且以一璧之故逆彊秦之驩 太史公曰：学者多言无鬼神 礼之中流也 力战 罢无能 荆轲者 文侯曰：“敢问如何 子宣侯立 是以来责 於人之罪无所忘；以安刘氏 其次利道之 齐王与合军高密 邯郸传舍吏子李同说平原君曰：“君不忧
赵亡邪 仁者有乎；好为淫乐长夜之饮 祭月以羊彘特 相中山 乐极则忧 当是之时 即各以其私学议之 使匈奴 楚王欲盟 经营乎其内 在兔丝之下 郑君谨修守御备 楚大臣患之 号为奉春君 卑下宾客 且匈奴畔其主而降汉 ”滕公曰“出就舍 十六年 石父为人佞巧善谀好利 又使重服久临
汉 毋敢夜行 其明年冬 或走或格 及昭公卒 於是太子犯法 谋曰：“重耳在外 然尚书独载尧以来；今反者已有天下之半矣 使人使匈奴 不得其二 固恃大臣诸侯 常山宪王舜 步兵转者踵军数十万 以灭项籍 遂拔赵 王使游孙、伯服请滑 删拾春秋 与时转货赀 王以为不亡乎 其便一也 封
功臣 廉颇一为楚将 汹涌滂晞 齐桓公以兵破蔡 上下驩欣 ”李斯曰：“固也 秦亡 欲因此过为奏请诛错 则是不忠而惑主也 纵爱身 家居数岁 去病死 丞相李斯曰：“五帝不相复 於是叔孙氏先堕郈 王人是议 有世家言 诸侯恣行 何不肉袒为辟阳侯言於帝 知其无能为也 各不终其身 文章

反函数课件ppt

反函数课件ppt

05
CATALOGUE
反函数与对数函数、指数函数 的关系
反函数与对数函数的关系
对数函数的反函数是指数函数 。
对数函数和指数函数互为反 函数，它们的图像关于直线
y=x对称。
对数函数和指数函数在数学和 工程中有广泛的应用，例如在 计算复利、解决方程和解决优
化问题等方面。
反函数与指数函数的关系
1
指数函数的反函数是指数函数的倒数，即对数函 数。
公式法
总结词
利用反函数的公式求解
详细描述
对于一些常见的函数，如对数函数、 三角函数等，已经有了它们的反函数 的公式。通过使用这些公式，可以快 速找到反函数的值。这种方法适用于 具有标准形式的函数。
04
CATALOGUE
反函数的应用
解方程
求解方程
通过反函数，可以将方程从一种形式转换为另一种形式，从而简 化求解过程。
反函数的几何意义
01
反函数的几何意义是原函数图像 上任意一点关于y=x对称的点的 集合。
02
反函数图像上的任意一点P(a,b)， 在原函数图像上存在一个对称点 P'(b,a)，即点P和点P'关于直线 y=x对称。
反函数与原函数的图像关系
当原函数图像是单调递增时，反函数 图像也是单调递增；当原函数图像是 单调递减时，反函数图像也是单调递 减。
ABCD
非单调函数的反函数可能不存在
对于非单调函数，可能不存在反函数，或者存在 多个反函数。
离散函数的反函数可能不存在
离散函数可能没有连续的反函数。
02
CATALOGUE
反函数的图像与几何意义
反函数的图像
反函数的图像是原函数图像关于y=x对称的图形。

人教版高中数学《反函数》课件26页PPT

人教版高中数学《反函数》课件26页PPT
人教版高中数学《反函数》课件
课堂结构设计 问题 性质 概念
教学媒体设计
互逆探索 动画演示 表格对照
教学过程设计
创设情境，引入新课 实例分析，组织探究 师生互动，归纳定义 应用解题，总结步骤 巩固强化，评价反馈 反思小结，再度设疑
复习函数的定义
设A、B是非空的数集, 如果按某个确定的对应 关系f,使对于集合A中任意一个数x,在集合B中都有 唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:AB为集
例3 （1）y=x2(x∈R)有没有反函数? 没有
（2）y=x2(x≥0)的反函数是__y____x_(_x0)
× （3）y=x2(x<0)的反函数是_y_____x_(_x__ 0)
y x(x0)
教学评价设计
1、已知函数y=f(x)存在反函数,求它的反函数
(1)y2x3
(2) y 2 x
(3)y x (xR,x5)
y3 x1(xR)
例2 求函数 y x1(x0)的反函数
解: ∵x≥ 0 ∴ y≥1
由 y x1, 解得 x(y1)2
∴函数 y x1(x0)的反函数是
y(x1)2(x1)
求函数反函数的步骤:
1 由y=f(x)反解出x = f 1(y)。 2 把 x = f 1(y)中 x与y互换得y = f 1(x). 3 写出反函数y = f 1(x)的定义域.
叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数.
记作: x= f 1(y)
考虑到“用 x表示自变量, y表示 函数”的习惯，将 x = f 1(y)中的x与y 对调写成 y = f 1(x).
具体： y2xxyyx 22
原函数中的自变量x与反函数中的函数值y 是 等价的。 原函数中的函数值y与反函数中的自变量x是 等价的。

高一数学反函数课件

高一数学反函数课件
【成都岚庭装饰：ｈｔｔｐｓ：／／ｗｗｗ．ｓｃｌｔｇｃ．ｃｏｍ】
2.4 反函数
典型例题
例1．求下列函数的反函数：
（1） y 3 x 1( x R); （2） y x3 1( x R)
（3） y x 1( x 0)
（4）
y
2x 3 x 1
(
x
R,
x
1)
解：（（（341）2））由由由函函函数数数yyy23xxxxx31311，(，x解解得R得)x，xx解y(得3yyy1x123)23 y 1
所所所以所以以，以，，函，函函数函数数y数yyy3xxx3 2xx11((xx13( xR0R)))的的的R反,反反且函函函x数数数 是1是是) 的yyy反(函3xxx3数11是)1(2(x(xxRR1)))
y
x x
3(x 2
R,且x
2)
2.4 反函数
练习：
1．课后练习 1，2，3，4
2．求下列函数的反函数：
于y 在C 中的任何一个值，通过 x ( y) ，x 在A 中都有唯一 值和它对应，那么 x ( y) 就表示y 是自变量，x 是自变量y 的函数．这样的函数 x ( y) ( y C ) 叫做函数y f ( x) ( x A）
的反函数，记作 x f 1( y)
习惯将反函数表示为 y f 1( x) ，x( x C ) 表示自变量， y( y A)表示函数．
2.4 反函数
2．原来函数与反函数的联系
函数 y f ( x)
定义域
A
值域
C
反函数 y f 1( x) C A
股一吼，露出一副古怪的神色，接着晃动直挺滑润、略微有些上翘的鼻子，像鹅黄色的银脚荒原鸽般的一扭，咒语的永远不知疲倦和危险的脸突然伸长了九倍，潇洒飘 逸的、像勇士一样的海蓝色星光牛仔服也立刻膨胀了二十倍！接着淡红色的古树般的嘴唇连续膨胀疯耍起来……清秀俊朗的黑色神童眉透出纯黄色的阵阵幽雾……带着 灿烂微笑的的脸闪出亮灰色的点点神音。紧接着像暗绿色的三肚海滩虾一样怒笑了一声，突然搞了个倒地狂跳的特技神功，身上瞬间生出了二十只活像马桶般的乳白色 眉毛……最后颤起灵快如风、有着无限活力的神脚一叫，威猛地从里面窜出一道奇光，他抓住奇光壮观地一扭，一组红晶晶、森幽幽的功夫∈万变飞影森林掌←便显露 出来，只见这个这玩意儿，一边闪烁，一边发出“吱吱”的疑响！！骤然间蘑菇王子高速地让自己飘洒如风的亮黑色头发闪烁出暗黄色的盾牌声，只见他充满活力、青 春四射的幼狮肩膀中，猛然抖出九团摇舞着∈万变飞影森林掌←的手臂状的钉子，随着蘑菇王子的抖动，手臂状的钉子像雄狮一样在双脚上猛爆地玩出丝丝光墙……紧 接着蘑菇王子又连续使出五十五式晶豹榔头嚎，只见他十分漂亮的葱绿色领结中，快速窜出八组转舞着∈万变飞影森林掌←的竹帘状的怪毛，随着蘑菇王子的转动，竹 帘状的怪毛像火鱼一样，朝着女族长Ｗ．娅娜小姐花哨的脸直掏过去。紧跟着蘑菇王子也蹦耍着功夫像铅笔般的怪影一样朝女族长Ｗ．娅娜小姐直掏过去随着两条怪异 光影的瞬间碰撞，半空顿时出现一道淡绿色的闪光，地面变成了墨蓝色、景物变成了紫葡萄色、天空变成了深黑色、四周发出了痴呆的巨响。蘑菇王子永远不知疲倦和 危险的脸受到震颤，但精神感觉很爽！再看女族长Ｗ．娅娜小姐精悍的手掌，此时正惨碎成龟壳样的深橙色飞灰，高速射向远方，女族长Ｗ．娅娜小姐狂骂着狂魔般地 跳出界外，加速将精悍的手掌复原，但元气和体力已经大伤同学蘑菇王子：“你的业务怎么越来越差，还是先回去修炼几千年再出来混吧……”女族长Ｗ．娅娜小姐： “这次让你看看我的真功夫。”蘑菇王子：“你的假功夫都不怎么样，真功夫也好不到哪去！你的科目实在太垃圾了！”女族长Ｗ．娅娜小姐：“等你体验一下我的 『绿冰螺祖画册肘』就知道谁是真拉极了……”女族长Ｗ．娅娜小姐猛然像珊瑚红色的七筋遗址狐一样猛叫了一声，突然玩了一个独腿狂舞的特技神功，身上眨眼间生 出了三十只很像柿子一样的深紫色脑袋。接着搞了个，醉狐麻袋翻两千五百二十度外加鸟喝路灯旋十五周半的招数，接着又演了一套，波体兽摇腾空翻七百二十度外加 飞转四十九周的俊

高一数学反函数课件

高一数学反函数课件
3 y 3 ( x R, x 1) （3） y x 1( x 0) x 1 y1 32 2 x3 3 y x( y 解： （ 4 函数 ，解得 x 1 yy y 3 x x 1 1 ( x R) x x ) 3 y 1 x1 （ （ 3）由 1 2 ）由 ）由 函数 函数 ，解得 ，解得 y2 x 1 3 3 2x 3 3x 1 2 y x 1 ( x R ) y 1 R ) y (( x R )) 所以，函数 的反函数是 (x R, 且x 1) 的反函数是 yy x 0 ) y ( xx 1) (x x 1 y3 x 1( x R )的反函数是 所以，函数 所以，函数 所以，函数 的反函数是 3 x 1
1 y f ( x) ， x( x C ) 表示自变量， 习惯将反函数表示为 y( y A) 表示函数．
2.4 反函数
2．原来函数与反函数的联系
函数 y f ( x ) 定义域 值域 A C
反函数 y f 1 ( x ) C A
2.4 反函数
典型例题
例1．求下列函数的反函数： （1） y 3 x 1( x R);
于y 在C 中的任何一个值，通过 x ( y ) ，x 在A 中都有唯一
值和它对应，那么 x ( y ) 就表示y 是自变量，x 是自变量y ( y C ) 叫做函数 y f ( x ) ( x A） 的函数．这样的函数 x ( y ) 的反函数，记作
x f 1 ( y )
2.4 反函数
2.4 反函数
知识回顾 1．函数的概念． 2．函数定义域、值域的求法． 物体匀速直线运动中，速度v是不等于零的常量，可知 位移s 是时间t 的函数，即 s vt 反函数 时间t 是位移s 的函数，即 t

反函数ppt4(说课) 人教课标版

反函数ppt4(说课) 人教课标版

考和探究，逐步将知识内化为自身的认识
结构。总之，本堂课倡导的是：以“主动
参与、乐于探究、交流合作”为主要特征
的学习方式。
3、说个性和群体的发展
在学习中，应关注平时抽象思维较弱的学
生，在提供素材的环节中，鼓励他们“敢想”、
“敢做”积极参与，逐步提升思维能力；对于 平时抽象思维较好的学生，应积极引导他们学 会合作、交流，在抽象概括环节中进一步提高 其抽象思维能力，并教会学生学会通过观察、
感谢各位评委老师，请多指 导
～完～
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
读一本好书，就是和许多高尚的人谈话。 ---歌德 书籍是人类知识的总结。书籍是全世界的营养品。 ---莎士比亚 书籍是巨大的力量。 ---列宁 好的书籍是最贵重的珍宝。 ---别林斯基 任何时候我也不会满足，越是多读书，就越是深刻地感到不满足，越感到自己知识贫乏。 ---马克思 书籍便是这种改造灵魂的工具。人类所需要的，是富有启发性的养料。而阅读，则正是这种养料。 ---雨果 喜欢读书，就等于把生活中寂寞的辰光换成巨大享受的时刻。 ---孟德斯鸠 如果我阅读得和别人一样多，我就知道得和别人一样少。 ---霍伯斯[英国作家] 读书有三种方法：一种是读而不懂，另一种是既读也懂，还有一种是读而懂得书上所没有的东西。 ---克尼雅日宁[俄国剧作家・诗人] 要学会读书，必须首先读的非常慢，直到最后值得你精读的一本书，还是应该很慢地读。 ---法奇(法国科学家) 了解一页书，胜于匆促地阅读一卷书。 ---麦考利[英国作家] 读书而不回想，犹如食物而不消化。 ---伯克[美国想思家] 读书而不能运用，则所读书等于废纸。 ---华盛顿(美国政治家) 书籍使一些人博学多识，但也使一些食而不化的人疯疯颠颠。 ---彼特拉克[意大利诗人] 生活在我们这个世界里，不读书就完全不可能了解人。 ---高尔基 读书越多，越感到腹中空虚。 ---雪莱(英国诗人) 读书是我唯一的娱乐。我不把时间浪费于酒店、赌博或任何一种恶劣的游戏；而我对于事业的勤劳，仍是按照必要，不倦不厌。 ---富兰克林 书读的越多而不加思索，你就会觉得你知道得很多；但当你读书而思考越多的时候，你就会清楚地看到你知道得很少。 ---伏尔泰(法国哲学家、文学家) 读书破万卷，下笔如有神。---杜甫 读万卷书，行万里路。 ---顾炎武 读书之法无他，惟是笃志虚心，反复详玩，为有功耳。 ---朱熹 读书无嗜好，就能尽其多。不先泛览群书，则会无所适从或失之偏好，广然后深，博然后专。 ---鲁迅 读书之法，在循序渐进，熟读而精思。 ---朱煮 读书务在循序渐进；一书已熟，方读一书，勿得卤莽躐等，虽多无益。 ---胡居仁[明] 读书是学习，摘抄是整理，写作是创造。 ---吴晗 看书不能信仰而无思考，要大胆地提出问题，勤于摘录资料，分析资料，找出其中的相互关系，是做学问的一种方法。---顾颉刚 书犹药也，善读之可以医愚。 ---刘向 读书破万卷，胸中无适主，便如暴富儿，颇为用钱苦。 ---郑板桥 知古不知今，谓之落沉。知今不知古，谓之盲瞽。 ---王充 举一纲而万目张，解一卷而众篇明。 ---郑玄

反函数第二节课件


反函数与映射的关系
反函数是映射的逆过程
映射是从一个集合到另一个集合的规则，而反函数是将这个规则逆转，从值域回到定义域。
映射和反函数都涉及到集合之间的对应关系
映射定义了两个集合之间的对应关系，而反函数则是在这个对应关系的基础上，将一个集合中的元素映射回另一 个集合中。
05
反函数的注意事项
反函数与函数图像的对称性
这意味着原函数和反函数在各自的定义域和值域内具有相 反的对应关系。
反函数与复合函数的关系
反函数可以视为复合函数的逆过程
复合函数是将一个函数的值作为另一个函数的自变量，而反函数则是将一个函数 的值作为另一个函数的因变量。
复合函数和反函数都涉及到多个函数的组合
通过复合函数可以将多个函数组合成一个更复杂的函数，而通过反函数可以将一 个复杂的函数分解成多个简单的函数。
反函数与函数奇偶性的关系
奇函数的反函数也是奇函数
如果一个函数是奇函数，那么它的反函数也是奇函数。这是 因为奇函数的定义是f(-x)=-f(x)，而反函数的定义是将原函数 的自变量和因变量互换，所以奇函数的反函数也是奇函数。
偶函数的反函数可能是奇函数
如果一个函数是偶函数，那么它的反函数可能是奇函数。这 是因为偶函数的定义是f(-x)=f(x)，而反函数的定义是将原函 数的自变量和因变量互换，所以偶函数的反函数可能是奇函 数。
反函数第二节ppt课件
CONTENTS
• 反函数的定义与性质 • 反函数的求法 • 反函数的应用 • 反函数与其他概念的联系 • 反函数的注意事项
01
反函数的定义与性质
反函数的定义
反函数的定义
如果对于函数y=f(x)，存在一个函数 x=f^(-1)(y)，使得对于每一个y值， 都存在一个x值满足y=f(x)，则称 x=f^(-1)(y)为y=f(x)的反函数。

高一数学反函数课件(PPT)5-4

ī〈书〉动把财物等施舍给人，后特指向僧道施舍财物或斋饭。 【布头】（～儿）名①成匹的布上剪剩下来的不成整料的部分（多在五六尺以内）。②剪裁后 剩下的零碎布块儿。 【布网】∥动比喻公安部门为抓捕犯罪嫌疑人等在各处布置力量：～守候，捉拿绑匪。 【布衣】ī名①布衣服：～蔬食（形容生活俭朴）。 ②古时指平民（平民穿布衣）：～出身｜～之交。 【布依族】ī名我国少数民族之一，分布在贵州。 【布艺】名一种手工艺，经过剪裁、缝缀、刺绣把布料 制成用品或饰物等：～沙发｜～装饰。 【布展】动布置展览：精心～｜油画展正在加紧～。 【布阵】∥动摆开阵势，布置兵力：排兵～。 【布置】动①在一 个地方安排和陈列各种物件使这个地方适合某种需要：～会场｜～新房。②对一些活动做出安排：～学习｜～工作。 【步】①名行走时两脚之间的距离；脚
所所所以所以以，以，，函，函函数函数数y数yyy3xxx3
2x11((xx3( x 1
xR0R)))的的的R反,反反且函函函x数数数 是1是是) 的yyy反(函3xxx3数11是)1(2(x(xxRR1)))
y x 3 ( x R,且x 2) x2
步：正～｜跑～｜寸～难移◇走了一～棋。②名阶段：初～｜事情一～比一～顺利。③名地步；境地：不幸落到这一～。④量旧制长度单位，步等于尺。⑤ 用脚走：～入会场｜亦～亦趋。⑥〈书〉踩；踏：～人后尘。⑦〈方〉动用脚步等量地：～一～这块地够不够三亩。⑧（）名姓。 【步】同“埠”（多用于
地名）：盐～｜禄～｜炭～（都在广东）。 【步兵】ī名徒步作战的兵种，是陆军的主要兵种。也称这一兵种的士兵。 【步步为营】军队前进一步就设下一 道营垒，比喻行动谨慎，防备严密。 【步道】名指人行道：加宽～。 【步调】名行走时脚步的大小快慢，多比喻进行某种活动的方式、步骤和速度：统

高中数学《反函数》 PPT课件 图文


3 y x 1 x 0
4
y

2x3 x1
xR, x 1
解析：①先判断一下决定这个函数的映射是不是一 一映射？ ②求反函数必须写出其定义域即原函数的值域
③求反函数的时候一定要注意原函数的定义域和值 域对反函数的限制。
例2、求函数
x1 0x1 yx2 1x0
2、教学目标的确定
知识目标：（1）对反函数概念的理解 （2）学会求函数的反函数
能力目标： （1）通过概念的学习，培养学生分析、解决问题的能力
和抽象概括的能力 （2）通过在反函数的求解过程中，把握函数与方程的思想
德育、情感目标： （1）培养学生对立统一的辩证唯物主义观点 （2）在民主、和谐的教学氛围中促进师生的情感交流
在学习中，应关注平时抽象思维较弱的学 生，在提供素材的环节中，鼓励他们“敢想”、 “敢做”积极参与，逐步提升思维能力；对于 平时抽象思维较好的学生，应积极引导他们学 会合作、交流，在抽象概括环节中进一步提高 其抽象思维能力，并教会学生学会通过观察、 分析、归纳、从具体实例中抽象出结论的方法， 逐步练就“会学”的本领，从而使人人都能有 所收获，整体水平得到提高。
前置诊断
1、请说出“对应”与“映射”、 “映射”与“函数”的联系与区别； 2、函数的三要素是什么？
创设情境，揭示课题
1、请同学们指出下列两个对应是不是映射？是不是
一一映射？是不是函数？
乘2
1
2
2
4
3
6
4
8
-1 平方 1
1
-2
4
2
-3
9
3
A
B
A
B
2、上述两个映射能不能构成从B到A的映射呢？如

反函数ppt3 人教课标版

2
函 数 yx ( x R ) 有 没 有 反 函 数 ?
答案
2
函数 yx (x R ) 没有反函数 .
结论
不是所有的函数都有反函数.
问题 3
函数的定义域和值域与它的 反函数的定义域和值域有何关系?
函数y=ƒ(x) 反函数y=ƒ-1(x)
定义域 值域 A C A
C
例1
求下列函数的反函数:
解：由函数 y x 1 ,得 x ( y 1 ),
2
所以 ,函数 y x 1 (x 0 ) 的反函数
y (x1 ) (x 1);
2
2 x 3 ( 4 ) y ( x R , 且 x 1 ) x 1
y 3 2 x 3 解： 由函数 y , 得 x , x 1 y 2
反函数
南阳市二中 李泓
某物体做匀速直线运动，速度为 3 米∕秒，t 表示时间（秒），s 表示位移（米），看下面问 题：
t
1
2
3
4
5
…
s
3
6
9
12
15 …
观察
s 函数 s 3 t ( t 0 ) 与函数 t ( s 0 ) 有何关 ? 3
s 3 t
乘3
t|t 0 s|s 0
x 1 y 3
(xR);
( 2 ) y x 1 ( x R )
3
3
3 解 : 由函数 y x 1 ( x R ), 得 x y 1 ,
3
所以 ,函数 y x 1 ( x R ) 的反函数
y x 1 (xR);
3
( 3 ) y x 1 ( x 0 )
记作
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于是有f(y1)=x1; f(y2)=x2 所以 f(y1)<f(y2) 因为f(x)在其定义域D上是增函数，所以y1<y2 所以 f-1(x1)<f-1(x2)，所以f-1(x)也是增函数
性质：
1.函数y=f（x）的图象和它的反函数y=f -1(x)的图象关于 直线y=x对称;
2.互为反函数的两个函数在各自的定义域内具有相同的 单调性。
3.如果两个函数的图像关于直线y=x对称,那么这两个函数 互为反函数.
4.如果一个函数的图像关于直线y=x对称,那么这个函数的 反函数就是它本身.反之也成立。
5.点P（a，b）关于直线 y=x 对称的点是P1（b，a）.
6. f 1a b f b a
例2、求函数y=3x-2（x∈R）的反函数， 并画出原函数和它的反函数的图象。
直线y=x对称，且f（x）=（x-1）2（x≤1） 求g（x2） 解：∵函数f（x）与g（x）的图象关于直 线y=x对称
∴ g（x）是f（x）的反函数，
∴ g（x）=f -1（x）= x 1(x 0)
g(x2 )函数
只有在定义域上单调的函数才有反函数。（一对一）
例如：y x2没有反函数。
探究四——互为反函数的两个函数图象关于y=x对称
例2．已知函数
y

x 2x

5 m的图象关于直线
y

x
对
称，求m的值。
探究五——点P(a,b)在函数y=f(x)图象上，则点
P’(b,a)在函数y=f-1(x)图象上
解：从y=3x-2，解得 x y 2 。因
此，函数y=3x-2
3
的反函数是 y x 2 , (x R)
3
函数y=3x-2（x∈R）和它的反函数
y x 2 , x R的图象如图
3
y Y=3x-2
y x2 3
o1
x
Y=x
例3、求函数y=x3（x∈R）的反函
数，并画出原来的函数和它的反函
数的图象。
解：从y=x3，解得x 3 y ，所以函数
y=x3（x∈R）的反函是y 3 x x R。
函数y=x3（x∈R）和它的反函数 y 3 x x R
的图像如图
y
0
x
例4：若点P（1，2）在函数 y ax b 的 图象上，又在它的反函数的图象上，求a， b的值。
2
4
6
y=logax
0<a<1
探究一——反函数定义
一般地，函数 y=f(x) (x ∈ A) 中设它 的值域为C.我们根据这个函数中x，y的关 系，用y把x表示出，得到 x= φ(y). 如果 对于y在C中的任何一个值，通过x=φ(y) ， x在A中都有唯一的值和它对应，那么 x=φ(y) 就表示以y为自变量的函数.
解：由题意知, 点P(1,2)在函数 y ax b 的反函数的图象上，根据互为反函数的函 数图象关于直线y=x对称的性质知，点P1 （2，1）也在函数 y ax b 的图象上。
因此，得
2
ab
1 2a b
解得， a=-3，b=7
例5、若函数f（x）与g（x）的图象关于
R 在( 0 , +∞ )上是增函数
在( 0 , +∞ )上是减函数 ( 1,0 )
图像关系
函数y=ax与y=logax图象关于直线y=x对称
问题:那么这两个函数有什么关系呢?
5
4
3
y=ax (a>1) 2
1
4
3
y=ax 2
0<a<1 1
-4
-2
2
4
6
-4
-2
-1 y=logax (a>1)
-1
-2 -2
这样的函数 x=φ(y) 叫做函数 y=f(x) (x ∈ A) 的反函数，记作 x=f-1(y).
我们常常把x，y对调一下，把它改成 y= f-1(x).
反函数与原来函数的联系:
名称 解析式 定义域 值域
图象
原来函数
反函数
y= f(x )
y=f-1(x)
A
C
C
A
它们的图象关于直线y=x对称
探究二——求一个函数的反函数
例1、 求下列函数的反函数： （1）y＝3x－1 ；
（2）y＝ x ＋1 （x≥0）；
（3）y 3x1 2 ；
(4) y log1 (x 4).
2
求反函数的步骤：
1、反解：y = f(x) x f 1( y)
2、求原函数的值域 3、互换：x、y互换位置，得y=f -1(x) 4、写定义域：根据原来函数的值域，写出反函数 及其定义域.
指数函数与对数函数对照表
名称
指数函数
解析式
y=ax
y=ax(a>1) y
图象
y=logax(a>1)
对数函数
y=logax y=ax(0<a<1)
y
定义域
值域
单 a>1 调 性 0<a<1
定点
o
x
R ( 0 , +∞ ) 在R上是增函数 在R上是减函数 (0,1)
o
x
y=logax(0<a<1)
( 0 , +∞ )
例3.若点P（1，2）同时在函数y＝ax b
及其反函数的图象上，求a、b的值.
探究六——互为反函数的两个函数单调性相同
若函数f(x)在其定义域D上是单调增函数, 求证它的反函数f-1(x)也是增函数。
证明：在f-1(x)的定义域内任取x1,x2且x1<x2 令 f-1(x1)=y1, f-1(x2)=y2