上海高一数学(上海教育出版社)讲义4.5反函数

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定理：函数y= f(x)的图象与它的反函 数y= f –1(x)的图象是以直线y=x为对 称轴的轴对称图形。
注意：函数y= f(x)与y= f –1(x)的图象 关于直线y=x对称，而函数y= f(x)和函 数x= f –1(y)图象是同一个图象。 推论：函数y= f(x)的图象上任意一点 关于直线y=x的对称点，都在它的反函 数y= f –1(x)的图象上。反之亦然。 思考：函数 y=f(x) 与它的反函数 y=f–1(x) 的单调性有关系吗？
反函数的求法 反解：把解析式y=f(x)看作x的方程， 解出x=f–1(y)，即把x用y表示； 改写：将x=f–1(y)改写成y=f–1(x)， 即对调x=f–1(y)中的x、y ；
互换：即求出所给函数的值域并把 它改换为反函数的定义域。
3x 1 例2.求f ( x ) ( x 2)的反函数. x2
请同学们研究如下问题: (1) 如果一个函数是奇函数,是否一定存 在反函数? (2) 如果一个函数是偶函数是否一定没有 反函数? (3) 如果一个函数是单调函数,是否一定有 反函数? (4) 如果一个函数不是单调函数,是否一定 没有反函数?
怎样的函数有反函数？ 1.对于任意函数值y,在定义域中总 有唯一确定的x值与它对应。
2.从图像上看，若直线 y a (a A) 与 y f ( x ) 的图像相交，总有唯一的 一个交点，则这个函数有反函数。 3.若函数 y f ( x ) 是单调函数，则 这个函数有反函数。
3x 1 1. 求f ( x ) ( x 2)的反函数. x2 2. 求f ( x) x 2 x 1( x 1)的反函数. 4 3. 求f ( x ) x ( x 3)的反函数. x x3 4. 求f ( x) 2 ( x R)的反函数.
练习
（1）若 y ax b (a 0) 有反函数且它的反 函数就是本身，求a，b应满足的条件.
b c d 满足什么条件时， （2）当 a，，，
ax b d 函数f ( x ) (c 0，源自文库x ) 的反函数是 cx d c
它本身？ (3) 试找出充分多的函数y = f ( x )，使得 y = f ( x )的反函数是它本身.
x 2 1 ( x 0) 的反函数. 5. 求函数 f ( x ) x 1 ( x 0)
练习：
互为反函数的函数图象间的关系
例3：求下列函数的反函数，并在同一坐标系 内画出该函数和它的反函数的图象
1 (1) y － x 1 2
1 (2) y x ( x ) 4
求反函数值 已知原函数的函数值，求原函数的自变量
解反函数方程 已知原函数的自变量，求原函数的函数值 解反函数不等式 已知原函数的“定义域”，求原函数的值 域 求反函数值的范围 已知原函数的函数值的范围，求原函数的 自变量的范围，即解原函数不等式.
函数图像关于直线y=x对称 原函数和其反函数是同一个函数
f
1
b a f a b
例1.求下列函数的反函数： (1) f ( x ) x 2 ( x 0 )
y x ( x 0)
2 (3) f ( x ) x 2 ( x 3) 3
(2) f ( x ) x 2 ( x 0) y ( x 2)2 ( x 2) (4) f ( x ) x 2 1 ( x 0)
例题： 1.如果点(1， 2)既在函数f ( x ) ax b的图像上， 又在其反函数图像上， 求f ( x ). x 1 1 2.已知f ( x ) ，求f ( )的值. x2 3 x 3.设f ( x ) ， 求满足下列条件的x的值或范围. x2 1 1 ①f ( x ) 2 ②f ( x ) 2 ③f ( x ) 2 x 4.设f ( x ) ， 若a 2， 求f 1 (a )的取值范围. x2 ax 1 4 5.若f ( x ) (a )的图像关于y x对称， 求a . 4x 5 5
作业:
(1)已知f ( x) 3 x 2，求f 1 (2)的值。 2x 1 1 1 (2)已知f ( x ) ，若f (a ) ，求a的值。 x 2 2 2x 1 (3)已知f ( x ) x ，求不等式f 1 ( x ) 0的解集。 2 1 (4)若函数y g( x )的图像与函数f ( x ) x 2 x 1
3x 6 y ( x 4) 2
y x 1 ( x 1)
(5) f ( x ) 2 x 4( x 10) (6)f ( x ) x 2 x( x 1) 1 4x 1 x2 4 1 ( x 0) y (0 x 4) f ( x ) 2 2
–1(x)
原来函数的对应法则是f， 反函数的对应法则是f -1。 （一般情况下，对应法则 是不同的）
定义域 值 f A 域
1.函数的定 义域，值域 分别是它的 反函数的值 域、定义域
y f ( x)
y= f —1(x)
D
A
f--1
D
2.函数 y= f(x) 与y= f –1 (x) 互为反函数
4.5 反函数
一、反函数的概念 设函数y=f(x)的定义域为D，值域为A. 由 y=f(x) 解得x=(y)，若对任意yA，在D中都 有唯一确定的x值与它对应，则称x=(y)为函 数y=f(x)的反函数，记作x=f -1(y) .
在习惯上，自变量常用x表示，而函数用y 表示， 这样把y=f(x)的反函数改写为y=f -1(x) （xA） . 思考：y=f(x)，x=f -1(y)和y=f 三者的区别是什么 ？
( x 1)的图像关于直线y x对称， 求g( x )的
(5)若点(2， )既在函数y 2axb的图像上， 又在它的 4 反函数的图像上， 求a，的值 b .
表达式。 1