上海高一数学(上海教育出版社)讲义4.5反函数

y=x 3
解密
知识总结 本节课，你学到了哪些知识？
播下一个行动，收获一种习惯；播下一种习惯，收获一种性格；播下一种性格，收获一种命运。思想会变成语言，语言会变成行动，行动会变成习惯，习惯会变成性格。性 制，会变成生活的必需品，不良的习惯随时改变人生走向。人往往难以改变习惯，因为造习惯的就是自己，结果人又成为习惯的奴隶！人生重要的不是你从哪里来，而是你 时侯，一定要抬头看看你去的方向。方向不对，努力白费！你来自何处并不重要，重要的是你要去往何方，人生最重要的不是所站的位置，而是所去的方向。人只要不失去 这个世界唯一不变的真理就是变化，任何优势都是暂时的。当你在占有这个优势时，必须争取主动，再占据下一个优势，这需要前瞻的决断力，需要的是智慧！世上本无移 是：山不过来，我就过去。人生最聪明的态度就是：改变可以改变的一切，适应不能改变的一切！亿万财富不是存在银行里，而是产生在人的思想里。你没找到路，不等于 什么，你必须知道现在应该先放弃什么！命运把人抛入最低谷时，往往是人生转折的最佳期。谁能积累能量，谁就能获得回报；谁若自怨自艾，必会坐失良机人人都有两个 一个是心门，成功的地方。能赶走门中的小人，就会唤醒心中的巨人！要想事情改变，首先自己改变，只有自己改变，才可改变世界。人最大的敌人不是别人，而是自己， 1、烦恼的时候，想一想到底为什么烦恼，你会发现其实都不是很大的事，计较了，就烦恼。我们要知道，所有发生的一切都是该发生的，都是因缘。顺利的就感恩，不顺 寒潭，雁过而潭不留影；风吹疏竹，风过而竹不留声。”修行者的心境，就是“过而不留”。忍得住孤独；耐得住寂寞；挺得住痛苦；顶得住压力；挡得住诱惑；经得起折腾 得起责任；1提得起精神。闲时多读书，博览凝才气；众前慎言行，低调养清气；交友重情义，慷慨有人气；困中善负重，忍辱蓄志气；处事宜平易，不争添和气；对已讲 远，修身立正气；居低少卑怯，坦然见骨气；卓而能合群，品高养浩气淡然于心，自在于世间。云淡得悠闲，水淡育万物。世间之事，纷纷扰扰，对错得失，难求完美。若 陷于计较的泥潭，不能自拔。若凡事但求无愧于心，得失荣辱不介怀，自然落得清闲自在。人活一世，心态比什么都重要。财富名利毕竟如云烟，心情快乐才是人生的至宝 在脚踏实地的道路上；我们的期待在哪里？在路上，在勤劳勇敢的心路上；我们的快乐在哪里？在路上，在健康阳光的大道上；我们的朋友在哪里？在心里，在真诚友谊的 己负责；善于发现看问题的角度；不满足于现状，别自我设限；勇于承认错误；不断反省自己，向周围的成功者学习；不轻言放弃。做事要有恒心；珍惜你所拥有的，不要 美；不找任何借口。与贤人相近，则可重用；与小人为伍，则要当心；只满足私欲，贪图享乐者，则不可用；处显赫之位，任人唯贤，秉公办事者，是有为之人；身处困境 任；贫困潦倒时，不取不义之财者，品行高洁；见钱眼开者，则不可用。人最大的魅力，是有一颗阳光的心态。韶华易逝，容颜易老，浮华终是云烟。拥抱一颗阳光的心态 心无所求，便不受万象牵绊；心无牵绊，坐也从容，行也从容，故生优雅。一个优雅的人，养眼又养心，才是魅力十足的人。容貌乃天成，浮华在身外，心里满是阳光，才 随流水宁。心无牵挂起，开阔空净明。幸福并不复杂，饿时，饭是幸福，够饱即可；渴时，水是幸福，够饮即可；裸时，衣是幸福，够穿即可；穷时，钱是幸福，够用即可 困时，眠是幸福，够时即可。爱时，牵挂是幸福，离时，回忆是幸福。人生，由我不由天，幸福，由心不由境。心是一个人的翅膀，心有多大，世界就有多大。很多时候限 也不是他人的言行，而是我们自己。人心如江河，窄处水花四溅，宽时水波不兴。世间太大，一颗心承载不起。生活的最高境界，一是痛而不言，二是笑而不语。无论有多 幸福在于祥和，生命的祥和在于宁静，宁静的心境在于少欲。无意于得，就无所谓失去，无所谓失去，得失皆安谧。闹市间虽见繁华，却有名利争抢；田园间无争，却有柴 最终不过梦一场。心静，则万象皆静。知足者常在静中邂逅幸福。顺利人生，善于处理关系；普通人生，只会使用关系；不顺人生，只会弄僵关系。为人要心底坦荡，不为 不为假象所惑。智者，以别人惨痛的教训警示自己；愚者，用自己沉重的代价唤醒别人。对人多一份宽容，多一份爱心；对事多一份认真，多一份责任；对己多一点要求， 可满，乐不可极，警醒自己。静能生慧。让心静下来，你才能看淡一切。静中，你才会反观自己，知道哪些行为还需要修正，哪些地方还需要精进，在静中让生命得到升华 心静下来，你才能学会放下。你放下了，你的心也就静了。心不静，是你没有放下。静，通一切境界。人与人的差距，表面上看是财富的差距，实际上是福报的差距；表面 人品的差距；表面上看是气质的差距，实际上是涵养的差距；表面上看是容貌的差距，实际上是心地的差距；表面上看是人与人都差不多，内心境界却大不相同，心态决定 一件事。因为当一个人具有感恩的心，心会常常欢喜，总是觉得很满足，一个不感恩不满足的人，总是会觉得欠缺、饥渴。一个常感恩的人，会觉得自己很幸运，有时候其 一感恩，就变得很快乐。这种感恩的心，对自己其实是有很大利益。压力最大的时候，效率可能最高；最忙碌的时候，学的东西可能最多；最惬意的时候，往往是失败的开 光临。成长不是靠时间，而是靠勤奋；时间不是靠虚度，而是靠利用；感情不是靠缘分，而是靠珍惜；金钱不是靠积攒，而是靠投资；事业不是靠满足，而是靠踏实。知恩 为当一个人具有感恩的心，心会常常欢喜，总是觉得很满足，一个不感恩不满足的人，总是会觉得欠缺、饥渴。一个常感恩的人，会觉得自己很幸运，有时候其实没什么道 就变得很快乐。这种感恩的心，对自己其实是有很大利益。压力最大的时候，效率可能最高；最忙碌的时候，学的东西可能最多；最惬意的时候，往往是失败的开始；寒冷 长不是靠时间，而是靠勤奋；时间不是靠虚度，而是靠利用；感情不是靠缘分，而是靠珍惜；金钱不是靠积攒，而是靠投资；事业不是靠满足，而是靠踏实。以平常心观不 面前，平常心就是勇敢；在利诱面前，平常心就是纯洁；在复杂的环境面前，平常心就是保持清醒智慧。平常心不是消极遁世，而是一种境界，一种积极的人生。不仅要为 价值的人而努力。命运不是机遇，而是选择；命运不靠等待，全靠争取。成熟就是学会在逆境中保持坚强，在顺境时保持清醒。时间告诉你什么叫衰老，回忆告诉你什么叫 的赞许时，心灵才会真的自由。你没那么多观众，别那么累。温和对人对事。不要随意发脾气，谁都不欠你的。现在很痛苦，等过阵子回头看看，会发现其实那都不算事。 有绝交，才有至交学会宽容伤害自己的人，因为他们很可怜，各人都有自己的难处，大家都不容易。学会放弃，拽的越紧，痛苦的是自己。低调，取舍间，必有得失。不要 面前没人爱听那些借口。慎言，独立，学会妥协的同时，也要坚持自己最基本的原则。付出并不一定有结果。坚持可能会导致失去更多过去的事情可以不忘记，但一定要放 个最好的打算和最坏的打算。做一个简单的人，踏实而务实。不沉溺幻想。不庸人自扰。不说谎话，因为总有被拆穿的一天。别人光鲜的背后或者有着太多不为人知的痛苦 不管学习什么，语言，厨艺，各种技能。注意自己的修养，你就是孩子的第一位老师。孝顺父母。不只是嘴上说说，即使多打几个电话也是很好的。爱父母，因为他们给了 无私的人。

y=x 3
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知识总结 本节课，你学到了哪些知识？
读书当将破万卷；求知不叫一疑存。读书之法，在循序而渐进，熟读而精思，喜欢读书，就等于把生活中寂寞的辰光换成巨大享受的时刻 善名。有时间读书，有时间又有书读，这是幸福；没有时间读书，有时间又没书读，这是苦恼。不读书的人，思想就会停止。读书时要深 就可能人云亦云，沦为书本的奴隶；或者走马看花，所获甚微。为乐趣而读书。立身以立学为先，立学以读书为本读书而不能运用，则所 可以培养一个完人，谈话可以训练一个敏捷的人，而写作则可造就一个准确的人。读书是在别人思想的帮助下，建立起自己的思想。养心 书。身边永远要着铅笔和笔记本，读书和谈话时碰到的一切美妙的地方和话语都把它记下来。凿壁偷光，聚萤作囊；在读书上，数量并不 的品质与所引起的思索的程度。劳于读书，逸于作文。、没有比读书更廉价的娱乐，更持久的满足了。从来没有人为了读书而读书，只有 发现自己，或检查自己。不怕读得少，只怕记不牢。莫等闲，白了少年头，空悲切！书籍是培育我们的良师，无需鞭答和根打，不用言语 不拘形式，对图书倾注的爱，就是对才智的爱。熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟。书到精绝潜心读；文穷情理放声吟读万卷书，行万里 可以医愚。如果把生活比喻为创作的意境，那么阅读就像阳光。书籍是少年的食物，它使老年人快乐，也是繁荣的装饰和危难的避难所， 快乐的种子，在外也不致成为障碍物，但在旅行之际，却是夜间的伴侣。读书是在别人思想的帮助下，建立起自己的思想。饭可以一日不 书不可以一日不读。、读过一本好书，像交了一个益友。读书有三到，谓心到，眼到，口到立身以立学为先，立学以读书为本。读书而不 化。为中华之崛起而读书。来书籍是在时代的波涛中航行的思想之船，它小心翼翼地把珍贵的货物运送给一代又一代。书籍是最好的朋友 难的时候，你都可以向它求助，它永远不会背弃你。1、抱最大的希望，为最大的努力，做最坏的打算。有些事情本身我们无法控制，只 像大树一样，被砍了，还能再长；也要像杂草一样，虽让人践踏，但还能勇敢地活下去。人的活动如果没有理想的鼓舞，就会变得空虚而 应该更大胆、更积极地向不幸挑战！一个人炫耀什么，说明内心缺少什么。志在山顶的人，不会贪念山腰的风景。当一个人先从自己的内 有价值的人。旁观者的姓名永远爬不到比赛的计分板上。强者向人们揭示的是确认人生的价值，弱者向人们揭示的却是对人生的怀疑。不 这一切看成是在你成大事之前，必须经受的准备工作。成功源于不懈的努力。积极思考造成积极人生，消极思考造成消极人生。对的，坚 的路总是为有信心的人预备着。这社会你改变不了就得适应，适应不了就得被淘汰！这叫适者生存！宁愿跑起来被拌倒无数次，也不愿规 跌倒也要豪迈的笑。没有伞的孩子必须努力奔跑。你不勇敢，没人替你坚强。态度决定一切，实力捍卫尊严！人要经得起诱惑耐得住寂寞 宇宙智慧来说只不过是汪洋中的一滴水，但这滴水却凝聚着海洋的全部财富；是质量上的一而非数量上的一；你的思维拥有一切宇宙智慧 弃者绝不会成功。人生不售来回票，一旦动身，绝不能复返。自己要先看得起自己，别人才会看得起你。即使爬到最高的山上，一次也只 人生的光荣，不在于永不言败，而在于能够屡扑屡起。——拿破仑游手好闲的人最没有空闲不经风雨，长不成大树；不受百炼，难以成钢 于你自己。人的一生，是很短的，短暂的岁月要求我好好领会生活的进程……攀登顶峰，这种奋斗的本身就足以充实人的心。人们必须相 老骥伏枥，志在千里；烈士暮年，壮心不已。大鹏一日同风起，扶摇直上九万里。不会宽容人的人，是不配受到别人的宽容的。不经过本 到自己的目的，任何外来的帮助也不能代替本身的努力。子女中那种得不到遗产继承权的幼子，常常会通过自身奋斗获得好的发展。而坐 大业。明日复明日，明日何其多！日日待明日，万事成蹉跎。世人皆被明日累，明日无穷老将至。晨昏滚滚水东流。今古悠悠日西坠。百 我《明日歌》我希望你照自己的意思去理解自己，不要小看自己，被别人的意见引入歧途。百金买骏马，千金买美人；万金买高爵，何处 量的工作要做，否则他不可能从懒散空闲中得到乐趣。如果我们以为只有野心和爱情这类强烈的激情才能抑制其他情感，那就错了。懒惰 把我们征服：它渗透进生活中一切目标和行为，时钟随着指针的移动滴答在响：“秒”是雄赳赳气昂昂列队行进的兵士，“分”是士官，“小时 的军官。，所以当你百无聊赖，胡思乱想的时候，请记住你掌上有千军万马；你是他们的统帅。检阅他们时，你不妨问问自己——他们是 的作用。沧海可填山可移，男儿志气当如斯。从来便没有什么救世主，也不靠神仙皇帝，要创造人类的幸福，全靠我们自己。任何人都应 性，不然就是奴才。但自尊不是轻人，自信不是自满，独立不是弧立。三更灯火五更鸡，正是男儿发愤时。黑发不知勤学早，白首方悔读 笑凌骇浪济川舟。富贵不淫贫贱乐，男儿到此是豪雄。滴自己的汗，吃自己的饭。自己的事情自己干，靠人靠天靠祖上，不算是好汉。你 不可为一些芝麻小事在那儿大惊小怪。你知道，弱者在这世界上是不好过日子的。真正的敏捷是一件很有价值的事。因为时间是衡量事业 货物的标准时间是一位可爱的恋人，对你是多么的爱慕倾心，每分每秒都在叮嘱；劳动创造别虚度了一生。与善人居，如入兰芷之室，久 如入鲍鱼之肆，久而不闻其。光勤劳是不够的，蚂蚁也非常勤劳。你在勤劳些什么呢？有两种过错是基本的，其他一切过错都由此而生： 破青春的华丽精致，会把平行线刻上美人的额角，会吃掉稀世珍宝，天生丽质，什么都逃不过他横扫的镰刀。人，只要有一种信念，有所 受，什么环境也都能适应。我年轻时注意到，我每做十件事有九件不成功，于是我就十倍地去努力干下去。滴自己的汗，吃自己的饭。自 靠天靠祖上，不算是好汉。”天行健，君子以自强不息；地势坤，君子以厚德载物。古今中外，凡成就事业，对人类有所作为的人，无一不 结

迎来转机。乐观豁达的人，能把平凡的生活变得富有情趣，能把苦难的日子变得甜美珍贵，能把繁琐的事情变得简单可行。以平常心看世界， 花开花谢都是风景。
2,
xR)返回
4、解： x 2 y 1 x y1
y x 1(x 1)
yx21(x0)的反函数ห้องสมุดไป่ตู้ y x1(x1)
返回
3 、因为有悔，所以披星戴月;因为有梦，所以奋不顾身。 6 、乐观的人能重整旗鼓东山再起，悲观的人因缺乏自信，往往一败涂地。 3. 凡真心尝试助人者，没有不帮到自己的。 8 、不求与人相比，但求超越自己，要哭就哭出激动的泪水，要笑就笑出成长的性格! 3 、如果你盼望明天，那必须先脚踏现实;如果你希望辉煌，那么你须脚不停步。 11 、生命是以时间为单位的，浪费别人的时间等于谋财害命，浪费自己的时间，等于慢性自杀。 2 、如果你想在这个世界上获得成功，当你进入某个沙龙时，你必须让你的虚荣心向别人的虚荣心致敬。 4. 成功的信念在人脑中的作用就如闹钟，会在你需要时将你唤醒 16. 伟大的事业不是靠力气、速度和身体的敏捷完成的，而是靠性格、意志和知识的力量完成的 22. 不苦不累，高三无味;不拼不搏，高三白活。 6 、不管失败多少次，都要面对生活，充满希望。 9. 我努力，我坚持，我一定能成功!( ) 6. 忘时，忘物，忘我;诚实，朴实，踏实。 20. 生命没有完结，生命只有前进。 15. 宽阔的河平静，博学的人谦虚。秀才不怕衣衫破，就怕肚子没有货。 21. 高考是汇百万人参加的一次练习。 15. 考过高富帅，战胜官二代! 24. 嘲讽是一种力量，消极的力量。赞扬也是一种力量，但却是积极的力量。 25. 这世界上没有不适合学习的人，只是有人没有找到适合自己的学习方法罢了。 1 、人生就像一口大锅，当你走到了锅底时，无论朝哪个方向走，都是向上的。最困难的时刻也许就是拐点的开始，改变一下思维方式就可能

第四章 幂函数、指数函数和对数函数
4.5.1 反函数的概念
一、定义
对于函数y=f(x)的定义域为D，值域为A. 若对任意yA，在D中都有唯一确定的x值与 它对应，且满足y=f(x)，这样得到的x关于y的 函数叫做y=f(x)的反函数，记作x=f -1(y) .
y=f x
x=f 1 y
定义域
D
第四章 幂函数、指数函数和对数函数
古罗马 Julius Caesar 发明的加密方法:
A B C D E F GH I J K L MN OP Q R S T U VWX Y Z
D E F G H I J K L MNO P Q R S T U V WX Y ZA B C
Action tonight We get it
加密 解密
Dfwlrq wrqljkw Zh jhw lw
古罗马 Julius Caesar 发明的加密方法:
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
y 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
A
值域
A
D
对应法则
f
f 1
例1.判断下列函数是否存在反函数.
(1) y 4x 2
存在
(2) y x2 1 x 0 存在
(3) y x2
不存在
举反例
(4) y 2x
存在
例2.根据下列函数的图像判断函数是否存在反函 数.
y
y
O
x
(1)
O

y f (x) 求逆 对应 x f 1( y) (反解求 x） x f 1( y) 调换x,y y f 1(x) (将 x, y 对调） 由y f (x)的值域求出y f 1(x) 的定义域
(写出定义域）
例2：求函数 y 1 1 x2 (1 x 0) 的反函数
y 1 1 x2 1 x2 1 y
怎样求函数的反函数？ y x 中任一意般一地个，值对于，函在数Dy中 总f (有x)，唯设一它确的定定的义值域与为它D 对，应值，域使为这A样，得如到果的对yA关
x 于 x 的函数叫做的 y f (x)反函数，记作x f 1( y) 。在习惯上自变量常用
表示，而函数用 y 表示，所以把它改写为 y f 1(x) (x A)
1 x2 1 y2 x2 1 1 y2
Q x 0
x 1 1 y2
将x, y互换
y 1 1 x2
x 0,1
已知函数 y f (x)的图像，如何画出 它的反函数y f 1(x) 的图像？
原函数的图像与反函数的图像关于y x 对称。
例1
若函数有反函数，它是否是单调函数？ 单调函数是否有反函数？
y f 1(x) y x
(b ', a ')
(b, a) (a ',b ') y f (x)
(a, b)
例1：若函数y f (x) ，是函数y 1 1 x2 (1 x 0) 的反函数，则 y f (x)的图象大致是（ ）
yx
例2：若函数y f (x) ，是函数y 1 1 x2 (1 x 0) 的反函数，则 y f (x)的图象大致是（ ）
( A)
(B)
(C )
对于函数 y f (x) (设其定义域为D,值域为A) 反函 如果对 A 中任意一个值 y ，在 D 中总有唯一确

(b, a)
4、求解反函数的三个步骤
1、y把 f(x)看作x的 关方 于程 x， f1(y)解 ；出
2写出反函数的，定即义原域函数的 . 值域
课题引入
概念探求
例题举隅
归纳小结
作业与思考
作业：反函数学案 思考：函数及其反函数图像的关系。
课题引入
概念探求
课题引入 概念探求
概念辨析
辨析1：下列函数是否具有反函数？
(1) y 1.8x 32 (2) y x2 1 (3) y x2 1, x 0
课题引入 概念探求
概念辨析
辨析2：下列各图中，能成为某个具有反函数的函数y=f (x)的图像是（ ） 练习4.5/1
课题引入 概念探求
课堂练习
课题引入 概念探求
例题举隅
归纳小结
作业思考
函数的定义回顾
反函数的图像探究
说明 (1)f(a： )bf 1(b) a
(原2)函点数(a,与b)反在函原 数的函图数 像关图于80 像 直点 线上(yb=,xa对)在称反函数图像上 70
y y1.8x32
60
yx
50
40
30
20
y x 32
1.8
10
-80
-60
-40
反函数的概念
上海 纽约 大兴安岭 新加坡
观察思考
华氏度y与摄氏度x的关系式如下： y1.8x32
（1）已知摄氏度，如何确定华氏度 （2）已知华氏度，如何确定摄氏度
上海 大兴安岭 纽约
新加坡
C
10
-25
5
25
3
F
50
-11.2
35
77
课题引入

x
加 密 y =x 3 x R
y
y=x 3
O
x
x=a
古罗马 Julius Caesar 发明的加密方法: x 1 2 3 4 5 6 7 …… 24 25 26 10?6.5 19?98
y 4 5 6 7 8 9 10 …… 27 28 29 109.5 2001
x加 密 y =x 3x y 3 一个解函密数? y
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
加密
y=x 3
明码x 互为反函数 密码y
8 、经理人员应该具有尝试失败的勇气，力求改进;而不应畏惧风险而停滞不前。 16、你自身中潜在的统治意识上任何事都有可能实现。你能完成任何自己认为可以做到的事情。这种才能是上帝赋予的，它可以帮你解决任 何问题，也可以使你变得无比乐观。
9 、每个人在成功之初都会遇到各种困难。但失败是成功之母，只有经历失败的洗礼，才能有丰富的成功。要珍惜每个人的态度，再平凡的人 也有自己的主见，也会决定你的质量。
思考:如何改写函数 y x2，使其存在反函数?
三、求反函数的步骤 求值域:原来函数的值域 反解：用y表示x
改写：互换字母,注明定义域
例4.已知 f x x2 1 x 0 ，求 f 1 5 . 解：设 f 1 x x 1 , x 1,
f 1 5 2
例4.已知 f x x2 1 x 0 ，求 f 1 5 . 解：设 f 1 5 a ,
y=x 3

数值的集合叫做函数的值域。
y
图1
y
图2
0
x
0
x
y
图3
图4
y
0
x
0
x
y
图5
图6
y
0
x
0
x
问题
对于函数y=f(x) x∈D，换一 个角度思考：能否将x表示成 y的函数？
y
图1
y
图2
0
x
0
x
y
图3
图4
y
0
x
y
图5
0
x
0
x
反函数的概念
定义：一般地，对于函数y=f(x) x∈D，值 域为A，如果对于A中任意一个值y，在D中 总有唯一确定的x值与它对应，使y=f(x)， 这样得到x关于y的函数叫做y=f(x) x∈D的
(A就是原函数的定义域)
课堂练习：Page 19 1 思考（1）猜测原函数与反函数
图象 间的关系 （2）对反函数性质作进一
步研究
作业
1、求下列函数的反函数
(1)y4x3 (2)yx2(x0) (3)y4x1(x3,x R ) (4)y2x4(x2)
5x3 5
2、 y 1 x b 与 y a x 3 互 为 反 函 数 ， 求 a 、 b
反函数，记作 x f 1( y) y∈A，习惯上自变
量用x表示，而函数用y表示，所以将它改写
为 y f 1(x) x∈A
y f 1(x) x∈A的反函数是 yf(x)xD
函数 自变量 定义域 值域
x y f (x)
y x f 1( y)
y f 1(x)
x
D
A
A