高考数学知识点总复习教案直线方程和两直线的位置关系

高三数学第一轮复习：直线方程与两直线的位置关系【本讲主要内容】直线方程与两直线的位置关系直线斜率的概念、直线方程的几种形式、两条直线的位置关系、两条相交直线的夹角和到角公式、点到直线距离公式。

【知识掌握】 【知识点精析】1. 直线斜率的概念：（1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角。

当直线和x 轴平行或重合时，规定直线的倾斜角为0º。

所以，直线的倾斜角α的取值范围是0º≤α＜180º。

（2）直线的斜率：倾斜角α≠90º的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k 表示，即k=tan α(α≠90º)。

（3）直线的方向向量：设F 1(x 1，y 1)、F 2(x 2，y 2)是直线上不同的两点，则向量21F F =( x2- x 1，y 2- y 1)称为直线的方向向量。

向量21121F F x x -=(1，1212x x y y --)=(1，k)也是该直线的方向向量，k 是直线的斜率。

（4）求直线斜率的方法：①定义法：已知直线的倾斜角为α，且α≠90º，则斜率k=tan α ②公式法：已知直线过两点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)，且x 1≠x 2，则斜率k=1212x x y y --③方向向量法：若a =(m ，n)为直线的方向向量，则直线的斜率为k=mn 说明：平面直角坐标系内，每一条直线都有倾斜角，但不是每一条直线都有斜率。

斜率的图象如图：2. 直线方程的几种形式：（1）点斜式：）（11x x k y y -=-，其特例是：b kx y +=（斜截式）； （2）两点式：121121x x x x y y y y --=--，其特例是：1=+bya x （截距式）；（3）一般式：0=++C By Ax （A 、B 不同时为0）说明：使用直线方程时，要注意限制条件。

2024年高考数学总复习第九章《平面解析几何》§9.2两条直线的位置关系最新考纲1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两直线的交点坐标.3.探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．1．两条直线的位置关系(1)两条直线平行与垂直①两条直线平行：(ⅰ)对于两条不重合的直线l 1，l 2，若其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2.(ⅱ)当直线l 1，l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2.②两条直线垂直：(ⅰ)如果两条直线l 1，l 2的斜率存在，设为k 1，k 2，则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.(ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l 1⊥l 2.(2)两条直线的交点直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1与l 2的交点坐标就是方程组1x ＋B 1y ＋C 1＝0，2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解．2．几种距离(1)两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)之间的距离|P 1P 2|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.(2)点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.(3)两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0(其中C 1≠C 2)间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B2.概念方法微思考1．若两条直线l 1与l 2垂直，则它们的斜率有什么关系？提示当两条直线l 1与l 2的斜率都存在时，12l l k k ⋅＝－1；当两条直线中一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，l 1与l 2也垂直．2．应用点到直线的距离公式和两平行线间的距离公式时应注意什么？提示(1)将方程化为最简的一般形式．(2)利用两平行线之间的距离公式时，应使两平行线方程中x ，y 的系数分别对应相等．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)当直线l 1和l 2斜率都存在时，一定有k 1＝k 2⇒l 1∥l 2.(×)(2)已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 1，B 1，C 1，A 2，B 2，C 2为常数)，若直线l 1⊥l 2，则A 1A 2＋B 1B 2＝0.(√)(3)点P (x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b 的距离为|kx 0＋b |1＋k2.(×)(4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．(√)(5)若点A ，B 关于直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0)对称，则直线AB 的斜率等于－1k ，且线段AB 的中点在直线l 上．(√)题组二教材改编2．已知点(a,2)(a >0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a 等于()A.2B ．2－2 C.2－1D.2＋1答案C 解析由题意得|a －2＋3|1＋1＝1.解得a ＝－1＋2或a ＝－1－ 2.∵a >0，∴a ＝－1＋ 2.3．已知P (－2，m )，Q (m,4)，且直线PQ 垂直于直线x ＋y ＋1＝0，则m ＝________.答案1解析由题意知m －4－2－m＝1，所以m －4＝－2－m ，所以m ＝1.4．若三条直线y ＝2x ，x ＋y ＝3，mx ＋2y ＋5＝0相交于同一点，则m 的值为________．答案－9解析＝2x ，＋y ＝3，＝1，＝2.所以点(1,2)满足方程mx ＋2y ＋5＝0，即m ×1＋2×2＋5＝0，所以m ＝－9.题组三易错自纠5．直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则m 等于()A ．2B ．－3C ．2或－3D ．－2或－3答案C解析直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则有2m ＝m ＋13≠4－2m ＝2或－3.故选C.6．直线2x ＋2y ＋1＝0，x ＋y ＋2＝0之间的距离是______．答案324解析先将2x ＋2y ＋1＝0化为x ＋y ＋12＝0，则两平行线间的距离为d ＝|2－12|2＝324.7．若直线(3a ＋2)x ＋(1－4a )y ＋8＝0与(5a －2)x ＋(a ＋4)y －7＝0垂直，则a ＝________.答案0或1解析由两直线垂直的充要条件，得(3a ＋2)(5a －2)＋(1－4a )(a ＋4)＝0，解得a ＝0或a ＝1.题型一两条直线的平行与垂直例1已知直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0和直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0.(1)试判断l 1与l 2是否平行；(2)当l 1⊥l 2时，求a 的值．解(1)方法一当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＝0，l 1不平行于l 2；当a ＝0时，l 1：y ＝－3，l 2：x －y －1＝0，l 1不平行于l 2；当a ≠1且a ≠0时，两直线可化为l 1：y ＝－a2x －3，l 2：y ＝11－ax －(a ＋1)，l 1∥l 2－a2＝11－a ，3≠－(a ＋1)，解得a ＝－1，综上可知，当a＝－1时，l1∥l2，a≠－1时，l1与l2不平行．方法二由A1B2－A2B1＝0，得a(a－1)－1×2＝0，由A1C2－A2C1≠0，得a(a2－1)－1×6≠0，∴l1∥l2(a－1)－1×2＝0，(a2－1)－1×6≠0，2－a－2＝0，(a2－1)≠6，可得a＝－1，故当a＝－1时，l1∥l2.a≠－1时，l1与l2不平行．(2)方法一当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1与l2不垂直，故a＝1不成立；当a＝0时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1不垂直于l2，故a＝0不成立；当a≠1且a≠0时，l1：y＝－a2x－3，l2：y＝11－ax－(a＋1)，·11－a＝－1，得a＝23.方法二由A1A2＋B1B2＝0，得a＋2(a－1)＝0，可得a＝23.思维升华(1)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．(2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．跟踪训练1(1)(2018·潍坊模拟)直线l1：(3＋m)x＋4y＝5－3m，l2：2x＋(5＋m)y＝8，则“m＝－1或m＝－7”是“l1∥l2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析由题意，当直线l1∥l2时，满足3＋m2＝45＋m≠5－3m8，解得m＝－7，所以“m＝－1或m＝－7”是“l1∥l2”的必要不充分条件，故选B.(2)(2018·青岛模拟)已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值．①l1⊥l2，且直线l1过点(－3，－1)；②l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．解①∵l 1⊥l 2，∴a (a －1)－b ＝0，又∵直线l 1过点(－3，－1)，∴－3a ＋b ＋4＝0.故a ＝2，b ＝2.②∵直线l 2的斜率存在，l 1∥l 2，∴直线l 1的斜率存在．∴k 1＝k 2，即ab＝1－a .又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，∴l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数，即4b＝b .故a ＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2.题型二两直线的交点与距离问题1．(2018·西宁调研)若直线l 与两直线y ＝1，x －y －7＝0分别交于M ，N 两点，且MN 的中点是P (1，－1)，则直线l 的斜率是()A ．－23 B.23C ．－32D.32答案A解析由题意，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)－1，分别与y ＝1，x －y －7＝0联立解得1，又因为MN 的中点是P (1，－1)，所以由中点坐标公式得k ＝－23.2．若P ，Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任意一点，则|PQ |的最小值为()A.95B.185C.2910D.295答案C解析因为36＝48≠－125，所以两直线平行，将直线3x ＋4y －12＝0化为6x ＋8y －24＝0，由题意可知|PQ |的最小值为这两条平行直线间的距离，即|－24－5|62＋82＝2910，所以|PQ |的最小值为2910.3．已知直线y ＝kx ＋2k ＋1与直线y ＝－12x ＋2的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是________．答案－16，解析方法一＝kx ＋2k ＋1，＝－12x ＋2，＝2－4k 2k ＋1，＝6k ＋12k ＋1.(若2k ＋1＝0，即k ＝－12，则两直线平行)∴又∵交点位于第一象限，，，解得－16<k <12.方法二如图，已知直线y ＝－12x ＋2与x 轴、y 轴分别交于点A (4,0)，B (0,2)．而直线方程y ＝kx ＋2k ＋1可变形为y －1＝k (x ＋2)，表示这是一条过定点P (－2,1)，斜率为k 的动直线．∵两直线的交点在第一象限，∴两直线的交点必在线段AB 上(不包括端点)，∴动直线的斜率k 需满足k P A <k <k PB .∵k P A ＝－16，k PB ＝12.∴－16<k <12.4．已知A (4，－3)，B (2，－1)和直线l ：4x ＋3y －2＝0，若在坐标平面内存在一点P ，使|PA |＝|PB |，且点P 到直线l 的距离为2，则P点坐标为________________．答案(1，－4)解析设点P 的坐标为(a ，b )．∵A (4，－3)，B (2，－1)，∴线段AB 的中点M 的坐标为(3，－2)．而AB 的斜率k AB ＝－3＋14－2＝－1，∴线段AB 的垂直平分线方程为y ＋2＝x －3，即x －y －5＝0.∵点P (a ，b )在直线x －y －5＝0上，∴a －b －5＝0.①又点P (a ，b )到直线l ：4x ＋3y －2＝0的距离为2，∴|4a ＋3b －2|42＋32＝2，即4a ＋3b －2＝±10，②由①②a ＝1，b ＝－4a ＝277，b ＝－87.∴所求点P 的坐标为(1，－4)277，－87思维升华(1)求过两直线交点的直线方程的方法先求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．(2)利用距离公式应注意：①点P (x 0，y 0)到直线x ＝a 的距离d ＝|x 0－a |，到直线y ＝b 的距离d ＝|y 0－b |；②两平行线间的距离公式要把两直线方程中x ，y 的系数化为相等．题型三对称问题命题点1点关于点中心对称例2过点P (0,1)作直线l ，使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，则直线l 的方程为________________．答案x ＋4y －4＝0解析设l 1与l 的交点为A (a,8－2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a,2a －6)在l 2上，代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0，解得a ＝4，即点A (4,0)在直线l 上，所以直线l 的方程为x ＋4y －4＝0.命题点2点关于直线对称例3如图，已知A (4,0)，B(0,4)，从点P (2,0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是()A ．33B ．6C ．210D ．25答案C解析直线AB 的方程为x ＋y ＝4，点P (2,0)关于直线AB 的对称点为D (4,2)，关于y 轴的对称点为C (－2,0)，则光线经过的路程为|CD |＝62＋22＝210.命题点3直线关于直线的对称问题例4直线2x －y ＋3＝0关于直线x －y ＋2＝0对称的直线方程是______________．答案x －2y ＋3＝0解析设所求直线上任意一点P (x ，y )，则P 关于x －y ＋2＝0的对称点为P ′(x 0，y 0)，－y ＋y 02＋2＝0，(y －y 0)，0＝y －2，0＝x ＋2，由点P ′(x 0，y 0)在直线2x －y ＋3＝0上，∴2(y －2)－(x ＋2)＋3＝0，即x －2y ＋3＝0.思维升华解决对称问题的方法(1)中心对称①点P (x ，y )关于Q (a ，b )的对称点P ′(x ′，y ′)′＝2a －x ，′＝2b －y .②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决．(2)轴对称①点A (a ，b )关于直线Ax ＋By ＋C ＝0(B ≠0)的对称点A ′(m ，n )，则有1，B ·b ＋n 2＋C ＝0.②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．跟踪训练2已知直线l ：3x －y ＋3＝0，求：(1)点P (4,5)关于l 的对称点；(2)直线x －y －2＝0关于直线l 对称的直线方程；(3)直线l 关于(1,2)的对称直线．解(1)设P (x ，y )关于直线l ：3x －y ＋3＝0的对称点为P ′(x ′，y ′)，∵k PP ′·k l ＝－1，即y ′－yx ′－x×3＝－1.①又PP ′的中点在直线3x －y ＋3＝0上，∴3×x ′＋x 2－y ′＋y 2＋3＝0.②由①②′＝－4x ＋3y －95，③′＝3x ＋4y ＋35.④把x ＝4，y ＝5代入③④得x ′＝－2，y ′＝7，∴点P (4,5)关于直线l 的对称点P ′的坐标为(－2,7)．(2)用③④分别代换x －y －2＝0中的x ，y ，得关于l 对称的直线方程为－4x ＋3y －95－3x ＋4y ＋35－2＝0，化简得7x ＋y ＋22＝0.(3)在直线l ：3x －y ＋3＝0上取点M (0,3)，关于(1,2)的对称点M ′(x ′，y ′)，∴x ′＋02＝1，x ′＝2，y ′＋32＝2，y ′＝1，∴M ′(2,1)．l 关于(1,2)的对称直线平行于l ，∴k ＝3，∴对称直线方程为y －1＝3×(x －2)，即3x －y －5＝0.妙用直线系求直线方程在求解直线方程的题目中，可采用设直线系方程的方式简化运算，常见的直线系有平行直线系，垂直直线系和过直线交点的直线系．一、平行直线系例1求与直线3x ＋4y ＋1＝0平行且过点(1,2)的直线l 的方程．解由题意，设所求直线方程为3x ＋4y ＋c ＝0(c ≠1)，又因为直线过点(1,2)，所以3×1＋4×2＋c ＝0，解得c ＝－11.因此，所求直线方程为3x ＋4y －11＝0.二、垂直直线系例2求经过A (2,1)，且与直线2x ＋y －10＝0垂直的直线l 的方程．解因为所求直线与直线2x ＋y －10＝0垂直，所以设该直线方程为x －2y ＋C ＝0，又直线过点A (2,1)，所以有2－2×1＋C ＝0，解得C ＝0，即所求直线方程为x －2y ＝0.三、过直线交点的直线系例3求经过两直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x ＋y －2＝0的交点P ，且与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直的直线l 的方程．解方法一－2y ＋4＝0，＋y －2＝0，得P (0,2)．∵l 3的斜率为34，且l ⊥l 3，∴直线l 的斜率为－43，由斜截式可知l 的方程为y ＝－43x ＋2，即4x ＋3y －6＝0.方法二设直线l 的方程为x －2y ＋4＋λ(x ＋y －2)＝0，即(1＋λ)x ＋(λ－2)y ＋4－2λ＝0.又∵l ⊥l 3，∴3×(1＋λ)＋(－4)×(λ－2)＝0，解得λ＝11.∴直线l 的方程为4x ＋3y －6＝0.1．直线2x ＋y ＋m ＝0和x ＋2y ＋n ＝0的位置关系是()A ．平行B ．垂直C ．相交但不垂直D ．不能确定答案C解析直线2x ＋y ＋m ＝0的斜率k 1＝－2，直线x ＋2y ＋n ＝0的斜率k 2＝－12，则k 1≠k 2，且k 1k 2≠－1.故选C.2．已知直线l 1：x ＋my ＋7＝0和l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0互相平行，则实数m 等于()A ．－1或3B ．－1C ．－3D ．1或－3答案A解析当m ＝0时，显然不符合题意；当m ≠0时，由题意得，m －21＝3m ≠2m7，解得m ＝－1或m ＝3，故选A.3．已知过点A (－2，m )和B (m,4)的直线为l 1，直线2x ＋y －1＝0为l 2，直线x ＋ny ＋1＝0为l 3.若l 1∥l 2，l 2⊥l 3，则实数m ＋n 的值为()A ．－10B ．－2C ．0D ．8答案A解析因为l 1∥l 2，所以k AB ＝4－mm ＋2＝－2.解得m ＝－8.又因为l 2⊥l 3，所以－1n ×(－2)＝－1，解得n ＝－2，所以m ＋n ＝－10.4．过点M (－3,2)，且与直线x ＋2y －9＝0平行的直线方程是()A ．2x －y ＋8＝0B ．x －2y ＋7＝0C ．x ＋2y ＋4＝0D ．x ＋2y －1＝0答案D 解析方法一因为直线x ＋2y －9＝0的斜率为－12，所以与直线x ＋2y －9＝0平行的直线的斜率为－12，又所求直线过M (－3,2)，所以所求直线的点斜式方程为y －2＝－12(x ＋3)，化为一般式得x ＋2y －1＝0.故选D.方法二由题意，设所求直线方程为x ＋2y ＋c ＝0，将M (－3，2)代入，解得c ＝－1，所以所求直线为x ＋2y －1＝0.故选D.5．若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1与l 2之间的距离为()A.423B ．42 C.823D ．22答案C解析∵l 1∥l 2，∴a ≠2且a ≠0，∴1a －2＝a 3≠62a，解得a ＝－1，∴l 1与l 2的方程分别为l 1：x －y ＋6＝0，l 2：x －y ＋23＝0，∴l 1与l 2的距离d ＝|6－23|2＝823.6．已知直线l1：y＝2x＋3，直线l2与l1关于直线y＝－x对称，则直线l2的斜率为()A.1 2B．－12C．2D．－2答案A解析直线y＝2x＋3与y＝－x的交点为A(－1,1)，而直线y＝2x＋3上的点(0,3)关于y＝－x的对称点为B(－3，0)，而A，B两点都在l2上，所以kl2＝1－0－1－(－3)＝12.7．已知直线l1：ax＋y－6＝0与l2：x＋(a－2)y＋a－1＝0相交于点P，若l1⊥l2，则a＝________，此时点P的坐标为________．答案1(3,3)解析∵直线l1：ax＋y－6＝0与l2：x＋(a－2)y＋a－1＝0相交于点P，且l1⊥l2，∴a×1＋1×(a－2)＝0，即a＝1＋y－6＝0，－y＝0，易得x＝3，y＝3，∴P(3,3)．8．将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，则m＋n＝________.答案34 5解析由题意可知，纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y＝2x－3，它也是点(7,3)与点(m，n)连线的中垂线，2×7＋m2－3，＝－12，＝35，＝315，故m＋n＝34 5 .9．直线l1：y＝2x＋3关于直线l：y＝x＋1对称的直线l2的方程为______________．答案x－2y＝0解析＝2x＋3，＝x＋1，解得直线l1与l的交点坐标为(－2，－1)，所以可设直线l2的方程为y＋1＝k(x＋2)，即kx－y＋2k－1＝0.在直线l上任取一点(1,2)，由题设知点(1,2)到直线l1，l2的距离相等，由点到直线的距离公式得|k －2＋2k －1|k 2＋1＝|2－2＋3|22＋1，解得k ＝12(k ＝2舍去)，所以直线l 2的方程为x －2y ＝0.10．已知入射光线经过点M (－3,4)，被直线l ：x －y ＋3＝0反射，反射光线经过点N (2,6)，则反射光线所在直线的方程为______________．答案6x －y －6＝0解析设点M (－3,4)关于直线l ：x －y ＋3＝0的对称点为M ′(a ，b )，则反射光线所在直线过点M ′，＝－1，－b ＋42＋3＝0，解得a ＝1，b ＝0.又反射光线经过点N (2,6)，所以所求直线的方程为y －06－0＝x －12－1，即6x －y －6＝0.11．已知方程(2＋λ)x －(1＋λ)y －2(3＋2λ)＝0与点P (－2,2)．(1)证明：对任意的实数λ，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标；(2)证明：该方程表示的直线与点P 的距离d 小于42.(1)解显然2＋λ与－(1＋λ)不可能同时为零，故对任意的实数λ，该方程都表示直线．∵方程可变形为2x －y －6＋λ(x －y －4)＝0，x －y －6＝0，－y －4＝0，＝2，＝－2，故直线经过的定点为M (2，－2)．(2)证明过P 作直线的垂线段PQ ，由垂线段小于斜线段知|PQ |≤|PM |，当且仅当Q 与M 重合时，|PQ |＝|PM |，此时对应的直线方程是y ＋2＝x －2，即x －y －4＝0.但直线系方程唯独不能表示直线x －y －4＝0，∴M 与Q 不可能重合，而|PM |＝42，∴|PQ |<42，故所证成立．12．已知三条直线：l 1：2x －y ＋a ＝0(a >0)；l 2：－4x ＋2y ＋1＝0；l 3：x ＋y －1＝0，且l 1与l 2间的距离是7510.(1)求a 的值；(2)能否找到一点P ，使P 同时满足下列三个条件：①点P 在第一象限；②点P 到l 1的距离是点P 到l 2的距离的12；③点P 到l 1的距离与点P 到l 3的距离之比是2∶5.若能，求点P 的坐标；若不能，说明理由．解(1)直线l 2：2x －y －12＝0，所以两条平行线l 1与l 2间的距离为d ＝7510，所以|a ＋12|5＝7510，即|a ＋12|＝72，又a >0，解得a ＝3.(2)假设存在点P ，设点P (x 0，y 0)．若P 点满足条件②，则P 点在与l 1，l 2平行的直线l ′：2x －y ＋c ＝0上，且|c －3|5＝12|c ＋12|5，即c ＝132或116，所以2x 0－y 0＋132＝0或2x 0－y 0＋116＝0；若P 点满足条件③，由点到直线的距离公式，有|2x 0－y 0＋3|5＝25|x 0＋y 0－1|2，即|2x 0－y 0＋3|＝|x 0＋y 0－1|，所以x 0－2y 0＋4＝0或3x 0＋2＝0；由于点P 在第一象限，所以3x 0＋2＝0不可能．联立方程2x 0－y 0＋132＝0和x 0－2y 0＋4＝0，0＝－3，0＝12，(舍去)联立方程2x 0－y 0＋116＝0和x 0－2y 0＋4＝0，＝19，0＝3718.所以存在点P 13．已知直线y ＝2x 是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线，若点A ，B 的坐标分别是(－4，2)，(3,1)，则点C的坐标为()A．(－2,4)B．(－2，－4) C．(2,4)D．(2，－4)答案C解析设A(－4,2)关于直线y＝2x的对称点为(x，y)，则2＝－1，2×－4＋x2，解得＝4，＝－2，∴BC所在直线方程为y－1＝－2－14－3(x－3)，即3x＋y－10＝0.同理可得点B(3,1)关于直线y＝2x的对称点为(－1,3)，∴AC所在直线方程为y－2＝3－2－1－(－4)(x＋4)，即x－3y＋10＝0.x＋y－10＝0，－3y＋10＝0，＝2，＝4，则C(2,4)．故选C.14．若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋ny＋5＝0相交于同一点，则点(m，n)到原点的距离的最小值为()A.5B.6C．23D．25答案A解析＝2x，＋y＝3，解得x＝1，y＝2.把(1,2)代入mx＋ny＋5＝0可得，m＋2n＋5＝0.∴m＝－5－2n.∴点(m，n)到原点的距离d＝m2＋n2＝(5＋2n)2＋n2＝5(n＋2)2＋5≥5，当n＝－2，m＝－1时取等号．∴点(m，n)到原点的距离的最小值为 5.15．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A (1,0)，B (0,2)，且AC ＝BC ，则△ABC 的欧拉线的方程为()A ．4x ＋2y ＋3＝0B ．2x －4y ＋3＝0C ．x －2y ＋3＝0D ．2x －y ＋3＝0答案B解析因为AC ＝BC ，所以欧拉线为AB 的中垂线，又A (1，0)，B (0,2)，故AB k AB ＝－2，故AB 的中垂线方程为y －1即2x －4y ＋3＝0.16．在平面直角坐标系xOy 中，将直线l 沿x 轴正方向平移3个单位长度，沿y 轴正方向平移5个单位长度，得到直线l 1.再将直线l 1沿x 轴正方向平移1个单位长度，沿y 轴负方向平移2个单位长度，又与直线l 重合．若直线l 与直线l 1关于点(2,4)对称，求直线l 的方程．解由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b ，将直线l 沿x 轴正方向平移3个单位长度，沿y 轴正方向平移5个单位长度，得到直线l 1：y ＝k (x －3)＋5＋b ，将直线l 1沿x 轴正方向平移1个单位长度，沿y 轴负方向平移2个单位长度，则平移后的直线方程为y ＝k (x －3－1)＋b ＋5－2，即y ＝kx ＋3－4k ＋b ，∴b ＝3－4k ＋b ，解得k ＝34，∴直线l 的方程为y ＝34x ＋b ，直线l 1为y ＝34x ＋114＋b ，取直线l 上的一点，b P 关于点(2,4)－m ，8－b ∴8－b －3m 4＝34(4－m )＋b ＋114，解得b ＝98.∴直线l 的方程是y ＝34x ＋98，即6x －8y ＋9＝0.。

高三数学第一轮复习：直线的方程、两条直线的位置关系人教版【本讲教育信息】一. 教学内容：直线的方程、两条直线的位置关系二. 教学重、难点：1. 理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程。

2. 掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系。

【典型例题】[例1] 已知点P 到两个定点M （0,1-），N （1，0）距离的比为2，点N 到直线PM 的距离为1，求直线PN 的方程。

解：设点P 的坐标为（x ，y ）由题设有2=PNPM 即2222)1(2)1(y x y x +-=++∴ 01622=+-+x y x ① ∵ N 到PM 的距离为1，2=MN ∴ ︒=∠30PMN ∴ PM 的方程为：)1(33+±=x y ② ②代入①：0142=+-x x ∴ 32±=x∴ P （31,32++）或（31,32+--）；)31,32(--+或)31,32(-- ∴ PN 的方程为1-=x y 或1+-=x y[例2] 已知ABC ∆的顶点A （3，4），B （6，0），C （2,5--），求A ∠的内角平分线AT 所在的直线方程。

解：方法一：∵ 直线AC 到AT 的角等于AT 到AB 的角又 ∵ 43)5(3)2(4=----=AC k ，346304-=--=AB k设AT 的斜率为34(-<k k 或)43>k ，则k k k k )34(13443143-+--=+-化简得074872=--k k ，解之，得7=k 或71-=k （舍去）∴ 直线AT 的方程为)3(74-=-x y 即所求的方程为0177=--y x方法二：设直线AT 上的动点P （x ，y ）则P 点到AC 、AB 的距离相等∵ 43)5(3)2(4,346304=----=-=--=AC AB k k ∴ 直线AB 的方程为)3(344--=-x y ，即02434=-+y x直线AC 的方程为)3(434-=-x y即0743=+-y x 那么574352434+-=-+y x y x即0177=--y x 或0317=-+y x结合图形分析知0317=-+y x 是ABC ∆的角A 外角的平分线，故舍去。

《两条直线的位置关系》教案教学目标1、熟练掌握两条直线垂直的条件，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系．2、通过研究两直线垂直的条件的讨论，培养学生运用已有知识解决新问题的能力以及学生的数形结合能力．3、通过对两直线垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，激发学生学习的兴趣． 教学重难点重点：两条直线平行、垂直的条件难点：理解平行和垂直条件的思路教学过程一、情景导入问题：已知两条直线的方程l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则这两条直线相交、平行、重合的条件是怎样的？二、交流展示1、在直角坐标系中，怎样根据直线方程的特征判断两条直线的位置关系？三、合作探究探究一：两条直线相交和平行与重合条件教师：给出两条直线的方程为l 1：A 1x +B 1y +C 1=0与l 2：A 2x +B 2y +C 2=0，让同学们用已有的知识自主探究，相互讨论相交的条件是A 1B 2－A 2B 1≠0；或A 1A 2 B 1B 2学生：解两条直线所在方程构成的方程组可得：(A 1B 2-A 2B 1)x +B 2C 1-B 1C 2=0因此可得x=B 1C 2-C 1B 2 A 1B 2－A 2B 1 ,y=A 2C 1-A 1C 2 A 1B 2－A 2B 1 ,当A 1B 2－A 2B 1≠0时，方程有唯一解.让学生自主探究，互相讨论，探究知识之间的内在联系.教师对学生在知识上进行适当的补遗，思维上的启迪，方法上点拨，鼓励学生积极、主动的探究.讨论结果：l 1,l 2相交的条件是A 1B 2－A 2B 1≠0；或A 1A 2 ≠ B 1B 2l 1,l 2平行的条件是A 1B 2－A 2B 1=0且B 2C 1-B 1C 2=0；或A 1A 2 =B 1B 2 ≠ C 1C 2l 1,l 2重合的条件是A 1=λA 2，B 1=λB 2，C 1=λC 2，或A 1A 2 =B 1B 2 =C 1C 2探究二：两条直线垂直的条件教师：根据两条直线方程的系数，我们能判断出两直线是否相交、平行、重合，那么能否利用两直线方程的系数来判断两直线是否垂直呢？学生：已知两条直线的方程为l 1：A 1x +B 1y +C 1=0，l 2：A 2x +B 2y +C 2=0，l 1、l 2垂直的条件是A 1A 2+B 1B 2=0；若l 1的斜率是k 1=-A 1B 1 ，l 2的斜率为k 2=-A 2B 2，即当l 1、l 2的斜率都存在时，直线l 1与l 2垂直的条件是k 1·k 2=－1即A 1A 2+B 1B 2=0时，当两条直线垂直时，这两条直线的倾斜角的差为90°.例1：已知直线l 1：3x +6y +10=0，l 2：x =－2y +5，求证：l 1//l 2.解：把l 2的方程写成一般式x +2y －5=0，因为A 1B 2－A 2B 1=0，B 1C 2－B 2C 1≠0，所以l 1//l 2.四、课堂小结两直线相交的条件是A 1B 2－A 2B 1≠0；或A 1A 2 B 1B 2两直线平行的条件是A 1B 2－A 2B 1=0且B 2C 1-B 1C 2=0；或A 1A 2 =B 1B 2 C 1C 2两直线重合的条件是A 1=λA 2，B 1=λB 2，C 1=λC 2，或A 1A 2 =B 1B 2 =C 1C 2两直线垂直的条件是A 1A 2+B 1B 2=0或k 1·k 2=－1五、巩固练习已知直线l 1：3x +6y +10=0，l 2：x =－2y +5，求证：l 1//l 2.六、布置作业课后练习84页 练习A 第二题87页 练习A 第二题 练习B 第一题。

第一讲 直线方程与两直线的位置关系一、复习目标：1．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握由一点和斜率导出直线方程的方法；掌握直线方程的点斜式、两点式和一般式直线方程，确定一条直线需要两个独立的条件，并能根据条件熟练地求出直线的方程或用待定系数法求出直线方程中的未知量。

2．掌握两条直线平行与垂直的条件，能够根据直线方程判定两条直线的位置关系. 3．会求两条相交直线的夹角和交点；掌握点到直线的距离公式.4．善于将对两条直线位置关系的讨论转化为对表示它们的两个二元一次方程的讨论，并注意运用数形结合的思想. 二．基础知识： 1．直线有关的概念（1）倾斜角：在平面直角坐标系中，把x 轴绕直线L 与x 轴的交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角。

当直线和x 轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为00。

故倾斜角的范围是[0，π）。

（2）斜率：不是900的倾斜角的正切值叫做直线的斜率，即k=tanα。

（3）过两点P(x 1,y 1),P(x 2,y 2),(x 1≠x 2)的直线的斜率公式——k=tanα=1212x x y y --2．直线与直线的位置关系：（1） 有斜率的两直线l 1：y=k 1x+b 1；l 2：y=k 2x+b 2； 有：①l 1∥l 2⇔k 1=k 2且b 1≠b 2； ②l 1⊥l 2⇔k 1·k 2=-1；③l 1与l 2相交⇔ k 1≠k 2 ④l 1与l 2重合⇔k 1=k 2 且b 1=b 2。

（2） 一般式的直线l 1：A 1x+B 1y+C 1=0，l 2：A 2x+B 2y+C 2=0有：①l 1∥l 2⇔A 1B 2-A 2B 1=0；B 1C 2-B 2C 1≠0 ②l 1⊥l 2⇔A 1A 2+B 1B 2=0③l 1与l 2相交⇔ A 1B 2-A 2B 1≠0 ④l 1与l 2重合⇔ A 1B 2-A 2B 1=0且B 1C 2-B 2C 1=0。

第一讲 直线方程与两直线的位置关系一、复习目标：1．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握由一点和斜率导出直线方程的方法；掌握直线方程的点斜式、两点式和一般式直线方程，确定一条直线需要两个独立的条件，并能根据条件熟练地求出直线的方程或用待定系数法求出直线方程中的未知量。

2．掌握两条直线平行与垂直的条件，能够根据直线方程判定两条直线的位置关系. 3．会求两条相交直线的夹角和交点；掌握点到直线的距离公式.4．善于将对两条直线位置关系的讨论转化为对表示它们的两个二元一次方程的讨论，并注意运用数形结合的思想. 二．基础知识： 1．直线有关的概念（1）倾斜角：在平面直角坐标系中，把x 轴绕直线L 与x 轴的交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角。

当直线和x 轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为00。

故倾斜角的范围是[0，π）。

（2）斜率：不是900的倾斜角的正切值叫做直线的斜率，即k=tanα。

（3）过两点P(x 1,y 1),P(x 2,y 2),(x 1≠x 2)的直线的斜率公式——k=tanα=1212x x y y --2．直线与直线的位置关系：（1） 有斜率的两直线l 1：y=k 1x+b 1；l 2：y=k 2x+b 2； 有：①l 1∥l 2⇔k 1=k 2且b 1≠b 2； ②l 1⊥l 2⇔k 1·k 2=-1； ③l 1与l 2相交⇔ k 1≠k 2 ④l 1与l 2重合⇔k 1=k 2 且b 1=b 2。

（2） 一般式的直线l 1：A 1x+B 1y+C 1=0，l 2：A 2x+B 2y+C 2=0 有：①l 1∥l 2⇔A 1B 2-A 2B 1=0；B 1C 2-B 2C 1≠0 ②l 1⊥l 2⇔A 1A 2+B 1B 2=0 ③l 1与l 2相交⇔ A 1B 2-A 2B 1≠0 ④l 1与l 2重合⇔ A 1B 2-A 2B 1=0且B 1C 2-B 2C 1=0。

直线的方程和两条直线的位置关系【考纲要求】1、在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素；2、理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；3、能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直；4、掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式）式与一次函数的关系；5、能用解方程组的方法求两直线的交点坐标；6、掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离。

【知识网络】【考点梳理】考点一：直线的倾斜角与斜率1. 直线的倾斜角一条直线I向上的方向与x轴的正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角（如图）2. 直线的斜率直线I的倾斜角的正切值叫做此直线的斜率，记作k tan 。

要点诠释：当直线I与x轴垂直时，直线I的斜率不存在.3. 直线的倾斜角与斜率间的关系（1）直线的倾斜角和斜率都是直线方向的数量表示.它们反映了直线关于x轴正向的倾斜程度（2 ）每条直线都存在唯一的倾斜角，但并非每条直线都存在斜率（3）当k 0时，0 ;当k 0时，（0,900）；当k 0时，（900,1800）。

4•过两点直线的斜率已知两点A（X1,yJ、B（X2,y2）的直线I当X1 X2，即I与x垂直时，直线I的斜率不存在；当X1 X2，即I与x不垂直时，直线I的斜率为：k 业―y1（冷X2 0）。

x2 X-I考点二：直线的方程，了解斜截要点诠释：（1）当直线I与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.（2）直线I的倾斜角的取值范围是：00180°（或0 ）1点斜式：y y k（x X0）（斜率存在）2、斜截式： y kx b （斜率存在） 3、 两点式：y y 1 x x1（直线不平行于坐标轴）y 2y 1x 2 x 14、 截距式：x y 1 （横纵截距存在且不为零）a b5、一般式： Ax By C 0 （A 、B 不同时为零）要点诠释：前四种方程的应用是有限制条件的， 用直线方程的一般形式解题可避免因考虑不周而导致失误。

高三数学第一轮总复习讲义讲义31直线的的方程、两条直线的位置关系一、基本知识体系：1、直线的倾斜角、斜率、方向向量：1求直线斜率的方法：（1）、定义法：k=tan α(α≠π2)；②斜率公式：k=y 2-y 1x 2-x 1(x 1≠x 2）；当x 1=x 2时，斜率不存在。

③直线的方向向量：直线L 的方向向量为→=（a,b),则该直线的斜率为k=ba2、直线方程的五种形式：名称方程的形式常数的几何意义适用范围点斜式y-y 1=k(x-x 1)(x 1,y 1)为直线上的一个定点，且k 存在不垂直于x 轴的直线斜截式y=kx+bk 是斜率，b 是直线在y 轴上的截距不垂直于x 轴的直线两点式y-y 1y 2-y 1=x-x 1x 2-x 1(x 1≠x 2,y 1≠y 2(x 1,y 1)、(x 2,y 2)为直线上的两个定点，不垂直于x 轴和y 轴的直线截距式x a +y b =1(a,b ≠0)a 是直线在x 轴上的非零截距，b 是直线在y 轴上的非零截距不垂直于x 轴和y 轴，且不过原点的直线一般式Ax+By+C=0(A 2+B 2≠0)斜率为-AB ，在x 轴上的截距为-C A ，在y 轴上的截距为-C B任何位置的直线3、判断两条直线的位置关系的条件：斜载式：y=k 1x+b 1y=k 2x+b 2一般式：A 1x+B 1y+C 1=0A 2x+B 2y+C 2=0相交k 1≠k 2A 1B 2-A 2B 1≠0垂直k 1·k 2=-1A 1A 2+B 1B 2=0平行k 1=k 2且b 1≠b 2A 1B 2-A 2B 1=0且A 1C 2-A 2C 1≠0重合k 1=k 2且b 1=b 2A 1B 2-A 2B 1=A 1C 2-A 2C 1=B 1C 2-B 2C 1≠0=04、直线L 1到直线L 2的角的公式：tan θ=k 2-k 11+k 1k 2(k 1k 2≠-1)直线L 1与直线L 2的夹角公式：tan θ=|k 2-k 11+k 1k 2|(k 1k 2≠-1)5、点到直线的距离：点P （x 0,y 0)到直线Ax+By+C=0的距离为d=A 2+B 2|Ax 0+By 0+C|6、两条平行的直线之间的距离：两条平行线Ax+By+C 1=0和Ax+By+C 2=0之间的距离d=A 2+B 2|C 1-C 2|7、直线系方程：①、过定点P （x 0,y 0)的直线系方程：y-y 0=k(x-x 0)；②、平行的直线系方程：y=kx+b ；③、过两直线A 1x+B 1y+C 1=0和A 2x+B 2y+C 2=0的交点的直线系方程为：A 1x+B 1y+C 1+λ（A 2x+B 2y+C 2）=08、对称问题：点关于点对称、点关于线对称、线关于线对称、线关于点对称：二、典例剖析：★【例题1】、设函数ƒ（x ）=asinx-bcosx 图象的一条对称轴方程为x=π4,则直线ax-by+c=0的倾斜角为（B ）Aπ4B 3π4C π3D2π3★【例题2】已知集合A={（x,y)|x=cos θ且y=sin θ,θ∈[0,π]},B={(x,y)|y=kx+k+1},若A∩B 有两个元素，则k 的取值范围是_____▲解：画图可知，直线与半圆有两个交点，则[-12,0)★【例题3】已知直线过点P （-1，2）,且与以点A （-2，-3）、B （3，0）为端点线段相交，则直线L 的斜率的取值范围是__(k ≥5,或k ≤-12)三、巩固练习：★【题1】已知两条直线2y ax =−和(2)1y a x =++互相垂直，则a 等于（A ）2（B ）1（C ）0（D ）1−▲解：两条直线2y ax =−和(2)1y a x =++互相垂直，则(2)1a a +=−，∴a=－1，选D.★【题2】已知过点()2A m −，和()4B m ，的直线与直线210x y +−=平行，则的值为()A 0B 8−C 2D 10▲解：(m+2)×(-2)-1×(4-m)=0,m=-8,选(B)★【题3】“21=m ”是“直线03)2()2(013)2(=−++−=+++y m x m my x m 与直线相互垂直”的（B ）A ．充分必要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件▲【详解】当12m =时两直线斜率乘积为1−，从而可得两直线垂直；当2m =−时两直线一条斜率为0，一条斜率不存在,但两直线仍然垂直；因此12m =是题目中给出的两条直线垂直的充分但不必要条件.●注意：对于两条直线垂直的充要条件①12,k k 都存在时12.1k k =−；②12,k k 中有一个不存在另一个为零；对于②这种情况多数考生容易忽略.★【题4】若三点A （2，2），B （a ，0），C （0，b ）（0,b ）(ab ≠0)共线，则,11a b+的值等于________1/2★【题5】已知两条直线12:330,:4610.l ax y l x y +−=+−=若12//l l ，则a =____.▲解：已知两条直线12:330,:4610.l ax y l x y +−=+−=若12//l l ，233a −=−，则a =2.★【题6】已知圆2x －4x －4＋2y ＝0的圆心是点P ，则点P 到直线x －y －1＝0的距离是．▲解：由已知得圆心为：(2,0)P ，由点到直线距离公式得：d =；★【题7】过点（1，2）的直线l 将圆(x －2)2＋y 2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率k ＝．2Q \★【题8】直线1x y +=与圆2220(0)x y ay a +−=>没有公共点，则a 的取值范围是A．1)−B．1)+C．(1)−+D．1)+▲解：由圆2220(0)x y ay a +−=>的圆心(0,)a 到直线1x y +=大于a ，且0a >，选A。

直线方程和两条直线的位置关系（1）直线的倾斜角定义：把x 轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角叫直线的倾斜角。

特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为 0。

因此，倾斜角的取值范围是),0[π. （2）直线的斜率①定义：过两点))(,(),,(212211x x y x Q y x P ≠直线PQ 的斜率为：=k 1212x x y y --.若21x x =时，直线PQ 的斜率不存在，注意：(1)斜率公式与两点的顺序无关；（2）对于不垂直于x 轴的直线，直线的斜率是确定的，与所选择的直线上的两点位置无关；（3）与x 轴垂直的直线，它的斜率不存在，倾斜角为.90②倾斜角与斜率的关系：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切等于这条直线的斜率。

即tan [0,).k ααπ=∈，当)90,0[ ∈α时，0≥k ；当)180,90(0 ∈α时，0<k ； 当90=α时，k 不存在。

注意：任何直线都有倾斜角，但不是任何直线都有斜率.牢记：αtan =k 的关系图（利用关系图可以由倾斜角的范围求斜率的范围，也可由斜率的范围求倾斜角的范围） （3）直线方程名称 方程适用范围 点斜式 )(11x x k y y -=-不含垂直于x 轴的直线 斜截式 b kx y +=不含垂直于x 轴的直线 两点式112121y y x x y y x x --=-- 不含垂直于坐标轴的直线截距式1x y a b+= 不含垂直于坐标轴的直线和过原点的直线一般式0=++C By Ax适用任何直线注意：特殊的方程如：垂直于x 轴的直线：a x =（a 为常数）； 垂直于y 轴的直线：b y =（b 为常数）. 例1.直线过点，若直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线的方程为 答：x y 2=或.06=++y x 2.已知直线过点)10,5(P ,且原点到它的距离为5,则直线的方程为 答：5=x 或.02543=+-y x（4）两条直线的交点一般地，将两条直线的方程联立，得到二元一次方程组1112220A xB yC A x B y C ++=⎧⎨++=⎩. 若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无数解，则两条直线有无数个公共点，此时两条直线重合.（5）熟记公式①),(),,(222111y x P y x P 的距离22122121)()(y y x x P P -+-=，中点M)2,2(2121y y x x ++ ②),(00y x P 到直线0=++C By Ax 的距离为=d 2200BA C By Ax +++.③两条平行直线0,021=++=++C By Ax C By Ax 的距离=d .2221BA C C +-（6）两条直线的位置关系l (2,4)P --l l l21,l l 的斜率都不存在时，21//l l ；②如果21,l l 中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，21l l ⊥. ③结论：与两平行直线0:,0:2211=++=++C By Ax l C By Ax l 等距离的直线方程是.0221=+++C C By Ax （7）直线系方程①与直线0=++C By Ax 平行的直线方程可设为)(011C C C By Ax ≠=++，垂直的直线方程可设为01=+-C Ay Bx .②b x y +=2表示一组平行的直线；2+=kx y 表示一组共点的直线，过定点)2,0(. （8）注意点1.求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应对斜率存在与不存在进行分类讨论.2.在用截距式时，应先判断截距是否为0，若不确定，则需分类讨论.3.在判断两直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在.若两条直线都有斜率，可根据结论判断；若直线无斜率时，要单独考虑.4.在运用两平行直线间的距离公式时，一定要注意将两方程中的y x ,系数化为对应相等.（9）对称问题1.点),(111y x P 关于点),(00y x P 对称的点),(222y x P 坐标满足⎩⎨⎧-=-=10210222y y y x x x .2．若点00(,)P x y 关于直线:0l Ax By C ++=对称，设对称点是00(,)Q x y ''，则线段PQ 的中点在直线l 上且直线PQ l ⊥，由此可得一方程组0000000022()1x x y y A B C y y A x x B ''++⎧⨯+⨯+=⎪⎪⎨'-⎪⨯-=-'-⎪⎩，解这个方程组得：00,x y ''的值，从而求得对称点的坐标.3.若直线:0l Ax By C ++=关于点00(,)P x y 对称，由于对称直线必与直线:0l Ax By C ++=平行，故可设对称直线为0:0l Ax By C '++=.在直线:0l Ax By C ++=上取一点),,(111y x P 求得）111,(y x P 关于00(,)P x y 的对称点),,(222y x P 把2P 的坐标代入0:0l Ax By C '++=中求得.0C4．若直线:0l Ax By C ++=关于直线0000:0l A x B y C ++=对称，若两直线相交，先联立方程组求出交点坐标，再在直线:0l Ax By C ++=上取一点，求出这点关于直线0l 对称的点的坐标，再由两点式便可得直线l 关于直线0l 对称的直线的方程．注：光的入射反射问题和角平分线问题都和对称性有光.例（1）点)2,1(A 关于点)0,3(的对称点坐标是__________答：)2(5-，（2）点)0,4(P 关于直线02145=++y x 的对称点的坐标是__________答：)8,6(-- （3）直线0132:=+-y x l 关于点)2,1(--A 对称的直线'l 的方程是__________答：0932=--y x . （4）直线042:1=-+y x l 关于直线0143:=-+y x l 对称直线2l 的方程是__________答：.016112=++y x。