湖南省师范大学附属中学高三数学总复习 直线方程的一般形式教案

湖南师范大学附属中学高三数学总复习教案：三垂线定理（一）一、素质教育目标（一）知识教学点1．三垂线定理及其逆定理的形成和论证．2．三垂线定理及其逆定理的简单应用．（二）能力训练点1．猜想和论证能力的训练．2．由线面垂直证明线线垂直的方法（线面垂直法）；3．训练学生分清三垂线定理及其逆定理中各条直线之间的关系；4．善于在复杂图形中分离出适用的直线用于解题．（三）德育渗透点通过定理的论证和练习的训练渗透化繁为简的思想和转化的思想．二、教学重点、难点、疑点及解决方法1．教学重点（1）掌握三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．（2）掌握三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直．2．教学难点：两个定理的证明及应用．3．教学疑点及解决方法（1）三垂线定理及其逆定理，揭示了平面内的直线与平面的垂线、斜线及斜线在平面内的射影这三条直线的垂直关系，其实质是平面内的一条直线与平面的一条斜线（或斜线在平面内的射影）垂直的判定定理．（2）本节课的两个定理，涉及的直线较多，学生在认识和理解上都会存在困难，为了加深印象并说明复杂的直线位置关系，可以采用一些教具，或者让学生准备三根竹签，按照教师的要求摆放．在学生感性认识的基础上，进行理性的证明和记忆，有助于定理的掌握．（3）三垂线定理是先有直线a垂直于射影AO的条件，然后得到a垂直于斜线PO的结论；而其逆定理则是已知直线a垂直于斜线PO，再推出a垂直于射影AO．在引用时容易引起混淆，解决的办法是，构造一个同时使用这两个定理的问题，引导学生分清．（4）教学核心是定理的形成教学，教学的指导思想是：遵循由具体探究抽象、由简单到复杂的认识规律，启发学生反复思考，不断内化成为自己的认知结构．三、课时安排本课题共安排2课时，本节课为第一课时．四、学生活动设计三垂线定理及其逆定理的条件和结论都比较简单，但应用却很广泛，为了培养学生的能力，应让学生探索定理的命题形式，充分利用好手中的三根竹签．设计学生活动符合建构主义的教学思想，也符合教师为主导、学生为主体的教学思想；教师根据教学要求，提出问题，创设情景，引导学生观察、猜想，主动发现，主动发展，从而调动了学生学习的积极性．五、教学步骤（一）温故知新，引入课题师：我们已经学习了直线和平面的垂直关系，学新课之前，让我们作个简单的回顾：1．直线和平面垂直的定义？2．直线和平面垂直的判定定理．3．什么叫做平面的斜线、斜线在平面上的射影？4．已知平面α和斜线l，如何作出l在平面α上的射影？（板书）l∩α＝A，作出l在平面α上的射影（二）猜想推测，激发兴趣师：根据直线与平面垂直的定义我们知道，平面内的任意一条直线都和平面的垂线垂直，那么，平面内的任意一条直线是否也都和平面的一条斜线垂直呢？（教师演示教具，用一个三角板的一条直角边当平面的斜线，一根包有色纸的竹竿摆放在桌面的不同位置当作平面内的不同直线，学生容易看出它们不一定互相垂直．）师：是否平面内的任意一条直线都不和这条平面的斜线垂直呢？（教师将三角板的另一条直角边平放在桌面上，并提示学生注意这条直角边与平面的关系——在平面上，与斜线的关系——垂直．）师：在平面上有几条直线和这条斜线垂直？（学生可能会回答一条，也可能回答无数条，教师应调整桌面上的竹竿位置，使其平行于三角板的直角边，然后平行移动，并向学生说明，这些直线都与斜线垂直．）师：平面内一条直线具备什么条件，才能和平面的一条斜线垂直？（学生的直觉判断是要与那条和桌面接触的直角边平行，这是正确的，但无多大用途；这时教师提醒学生注意斜线在平面内的射影，并调整教具，将三角板的斜边当作平面的斜线，构成垂线、斜线和射影的立体模型；要求学生与同桌配合，摆放课前准备的竹签成教师示范的模型；然后在教师的引导之下观察、猜想，与同桌的探讨中发现了只要与斜线的射影垂直就和斜线垂直．）（三）层层推进，证明定理师：猜测和实验的结论不一定正确，那么你想怎样证明这个猜想呢？（若用幻灯或投影仪，可以节省板书时间．）已知：PA、PO分别是平面α的垂线、斜线，AO是PO在平面α求证：a⊥PO．师：这是证明两条直线互相垂直的问题，你准备怎么证明？分析：从直线和平面垂直的定义可知，要证两条直线互相垂直，只要证明其中一条直线垂直于另一条直线所在的平面即可．师：这个平面你找到了吗？生：是平面PAO．师：怎样证明a⊥平面PAO呢？生：只要证明a垂直于平面PAO内的两条相交直线．证明：说明：1．定理的证明，体现了“由线面垂直证明线线垂直”的方法；2．上述命题反映了平面内的直线、平面的斜线和斜线在平面内的射影这三条直线之间的垂直关系，这就是著名的三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．3．改变定理的题设和结论，得到逆命题：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直．可以用同样的方法证明，这就是三垂线定理的逆定理（请学生简要说明其证明方法和步骤）．4．定理中包含了三个垂直关系：PA⊥α，AO⊥a，PO⊥a，看出三垂线定理名称的来由．5．从定理的条件看，关键的是直线和平面的相对位置关系，而与平面本身是否水平放置无关；在平面内的直线a与斜线或斜线的射影的位置关系关键在于垂直；这样直线a的如下四种位置关系，都是三垂线定理及其逆定理常见的情形．6．从定理的结论看，三垂线定理及其逆定理是判断直线垂直的重要命题．（四）初步运用，提高能力1．（见课后练习题1．）已知：点O是△ABC的垂心，OP⊥平面ABC．求证：PA⊥BC．（学生先思考，教师作如下点拨）（1）什么叫做三角形垂心？（2）点O是△ABC的垂心可以得到什么结论？（3）可以考虑使用三垂线定理证明：你能找出本题中，应用三垂线定理必须涉及到的几个重要元素？生：首先先确定一个平面——平面ABC，斜线是PA，PA在平面ABC上的射影是AD，∵AD垂直于BC，∴PA⊥BC．师：他的回答是否有缺漏？生：应该交代BC是平面ABC上的一条直线．师：对，这个交代是必需的！（视学生程度作适当补充，用教具演示，还可以举反例说明．）证明：连接AO并延长交BC与D．师：三垂线定理是证明空间两条直线互相垂直的重要方法，上面的示例反映了应用三垂线定理解题的一般步骤，即确定一个平面、平面的垂线、斜线和斜线在平面上的射影．同时要注意的是平面内的一条直线和射影垂直，有这条直线和斜线垂直（定理）；平面内的一条直线和斜线垂直，有这条直线和射影垂直（逆定理），同学们必须理解掌握．2．（见课本例1）如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上．⊥AC，PO⊥α，垂足分别是E、F、O，PE＝PF．求证：∠BAO＝∠CAO．（学生思考，教师作适当的点拨．）（1）在平面几何中，证明点在角的平分线上的常规方法是什么？（2）PE＝PF给我们提供了什么结论？（3）所缺的垂直关系可以用三垂线定理或逆定理证明，你能列出证明所需的条件吗？证明：3．（课堂练习，师生共同完成．）如图1-91，点P为平面ABC外一点，PA⊥BC，PC⊥AB，求证：PB⊥AC．分析：证明直线与直线垂直的问题，可以考虑三垂线定理及其逆定理，图形中缺少的平面的垂线需要添加上去．证明：过P作平面ABC的垂线，垂足为O，连结AO、BO、CO．∵ PA⊥BC，∴AO⊥BC（三垂线逆定理）．同理可证 CO⊥AB，∴O是△ABC的垂心．∵OB⊥AC，∴PB⊥AC（三垂线定理）．（五）归纳小结，强化思想师：这节课，我们学习了三垂线定理及其逆定理，定理的证明方法是证明空间两条直线互相垂直的基本方法，我们称之为线面垂直法；还通过三个练习的训练加深了定理的理解，同时得到立体几何问题解决的一般思路．六、布置作业作为一般要求，完成习题四11、12、13．提高要求，完成以下两个补充练习：1．如图1-92，PA⊥△ABC所在平面，AB＝AC＝13，BC＝10，PA＝5，求点P到直线BC 的距离．参考答案：设B C的中点为D，连结PD．∵AB＝AC＝13，BC＝10，∴AD⊥BC．且AD＝12．又∵PA⊥平面ABC，∴PD⊥BC．即 PD的长度就是P到直线BC的距离．而 PD＝13．2．（课后练习题2略作改变）如图1-93，l是平面α的斜线，斜足是O，A是l上任意一点，AB是平面α的垂线，B 是垂足，设OD是平面α内与OB不同的一条直线，AC垂直于OD于C，若直线l与平面α所成的角θ＝45°，∠BOC＝45°，求∠AOC的大小．参考答案：连结BC．中，有∠AOC＝60°．讲评作业时说明：求角大小的问题，往往先确定（或构造）一个包含这个角的三角形，然后解三角形．由此，我们还验证了∠AOC＞θ．。

高中数学湘教版必修3第7章《7.2.1直线的一般方》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案
高中数学湘教版必修3第7章《7.2.1直线的一般方》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案
1教学目标
1.了解直线的方程与方程的直线的概念和关系.
2.了解平面直角坐标系中任意一条直线都可以用关于x,y的二元一次方程来表示.
3.理解直线的一般方程的特点,掌握求直线一般方程的方法.
2学情分析
学生层次参差不齐,分层教学。

3重点难点
1.了解直线的方程与方程的直线的概念和关系.
2.了解平面直角坐标系中任意一条直线都可以用关于x,y的二元一次方程来表示.
3.理解直线的一般方程的特点,掌握求直线一般方程的方法.
4教学过程
4.1第一学时
4.1.1教学活动
活动1【导入】导入
1.方程的图象
一般地,对任意一个二元方程f(x,y)=0,以这个方程的某一组解(x,y)为坐标,有唯一一个点,所有这些点组成的集合称为这个方程的图象.
2.定理1
任意一个二元一次方程Ax+By+C=0(A、B不全为0)的图象是与n=(A,B)垂直的一条直线. 3.直线的一般方程
(1)方程:Ax+By+C=0;
(2)法向量:如果非零向量n与直线l垂直,就称n是l的法向量.
4.与v=(a,b)垂直的向量
n=(b,-a)或n=(-b,a).
5.直线方程的两点式方程。

教学目的：1. 掌握由一个点和斜率导出直线方程的方法，掌握直线方程的点斜式、斜截式，并能根据条件熟练地求出满足已知条件的直线方程2.通过让学生经历直线方程的发现过程，以提高学生分析、比较、概括、化归的数学能力,使学生初步了解用代数方程研究几何问题的思路，培养学生综合运用知识解决问题的能力3.在教学中充分揭示“数”与“形”的内在联系，体会数、形的统一美，激发学生学习数学的兴趣，对学生进行对立统一的辩证唯物主义观点的教育，培养学生勇于探索、勇于创新的精神授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体。

内容分析：从教材整体来看，直线方程既是初中二元一次方程知识的延续（数与形相互转化），又与一次函数的知识相吻合，并且通过集合与对应的数学思想，构建了平面上的直线与y x ,的一次方程的一一对应关系.它与圆的方程同属解析几何学的基础知识，不但是进一步学习圆锥曲线以及曲线方程的基础，也是学习导数、微分、积分等的基础，在解决许多实际问题中有着广泛的应用。

用图表示如下：函数、复数、导数、微分、积分等曲线的方程直线的方程二元一次方程直线方程的一般形式直线方程的特殊形式从本章内容看，直线方程是建立在“直线的倾斜角和斜率”的知识上，但直线的方程是研究两条直线的位置关系的基础，同时也是讨论圆的方程的基础，为进一步学习“曲线与方程”作铺垫，故直线的方程是本章的重点内容之一.另外，通过本节的学习，不仅有利于培养学生分析、讨论问题能力，而且有利于学生强化渗透集合与对应、数形结合的数学思想方法，初步掌握解析几何的基本思想.因此，本节知识的教学，无论是在学习数学知识，不是培养学生的能力，都显得地位显要，作用非同寻常本小节所介绍的直线方程的几种形式中，点斜式、斜截式给出了根据常见的条件求直线方程的方法和途径，在求直线方程中，直线方程的点斜式是基本的，直线方程的截距式是由点斜式导出.由于利用集合对应的数学思想，构建平面上直线与关于y x ,的二元一次方程的一一对应，这需要从正反两方面阐述，且这里的二元一次方程都是字母系数，需要结合分类讨论的数学思想加以阐述，因而，这段内容比较抽象，学生难于理解.另外，直线方程的四种特殊形式也有不完备之处，它们都有一定的应用范围.众所周知，“数学教学就是数学活动的教学”，也就是说，应在教学中充分安排观察、回忆、讨论、尝试和发言，使之参与到数学知识的实验、发现过程中去，体验知识的形成过程 教学过程：一、复习引入：1.直线方程的概念：2.直线的倾斜角与斜率：3．概念辨析：①当直线和x 轴平行或重合时，规定直线的倾斜角为0°；②直线倾斜角的取值范围是001800<≤α；③倾斜角是90°的直线没有斜率.4.斜率公式：经过两点),(),,(222111y x P y x P 的直线的斜率公式： )(211212x x x x y y k ≠--=5．斜率公式的形式特点及适用范围：①斜率公式与两点的顺序无关，即两点的纵坐标和横坐标在公式中的前后次序可同时颠倒；②斜率公式表明，直线对于x 轴的倾斜程度，可以通过直线上任意两点坐标表示，而不需求出直线的倾斜角；③斜率公式是研究直线方程各种形式的基础，必须熟记，并且会灵活运用;④当2121,y y x x ≠=时，直线的倾斜角α＝︒90，没有斜率.6.确定一条直线需要具备几个独立条件:需要知道直线经过两个已知点；需要知道直线经过一个已知点及方向（即斜率）等等二、讲解新课：思考：若直线l 经过点1P （1，2），且斜率为1，求直线l 的方程.（学生自行做）1. 直线的点斜式方程--已知直线的斜率及直线经过一已知点，求直线的方程 问题一：已知直线l 经过点),(111y x P ，且斜率为k ，如何求直线的方程？得出结论：)(11x x k y y -=-根据直线的几何特征，确定命名为直线方程的点斜式.让学生讨论：（1）区别方程k x x y y =--11与方程)(11x x k y y -=-。

湖南师范大学附属中学高三数学总复习教案：两条直线的平行与垂直一、教学目标(一)知识教学点掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判断两直线是否平行或垂直，能运用条件确定两平行或垂直直线的方程系数．(二)能力训练点通过研究两直线平行或垂直的条件的讨论，培养学生运用已有知识解决新问题的能力以及学生的数形结合能力．(三)学科渗透点通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，激发学生学习的兴趣．二、教材分析1．重点：两条直线平行和垂直的条件是解析几何中的一个重点，要求学生能熟练掌握，灵活运用．2．难点：启发学生把研究两直线的平行与垂直问题转化为考查两直线的斜率的关系问题．3．疑点：对于两直线中有一条直线斜率不存在的情况课本上没有考虑，上课时要注意解决好这个问题．三、活动设计提问、讨论、解答．四、教学过程(一)特殊情况下的两直线平行与垂直这一节课，我们研究怎样通过两直线的方程来判断两直线的平行与垂直．当两条直线中有一条直线没有斜率时：(1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角为90°，互相平行；(2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直．(二)斜率存在时两直线的平行与垂直设直线l1和l2的斜率为k1和k2，它们的方程分别是l1： y=k1x+b1； l2： y=k2x+b2．两直线的平行与垂直是由两直线的方向来决定的，两直线的方向又是由直线的倾斜角与斜率决定的，所以我们下面要解决的问题是两平行与垂直的直线它们的斜率有什么特征．我们首先研究两条直线平行(不重合)的情形．如果l1∥l2(图1-29)，那么它们的倾斜角相等：α1=α2．∴tgα1=tgα2．即 k1=k2．反过来，如果两条直线的斜率相等，k1=k2，那么tgα1=tgα2．由于0°≤α1＜180°， 0°≤α＜180°，∴α1=α2．∵两直线不重合，∴l1∥l2．两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，则它们平行，即eq \x( )要注意，上面的等价是在两直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不存立．现在研究两条直线垂直的情形．如果l1⊥l2，这时α1≠α2，否则两直线平行．设α2＜α1(图1-30)，甲图的特征是l1与l2的交点在x轴上方；乙图的特征是l1与l2的交点在x轴下方；丙图的特征是l1与l2的交点在x轴上，无论哪种情况下都有α1=90°+α2．因为l1、l2的斜率是k1、k2，即α1≠90°，所以α2≠0°．可以推出α1=90°+α2．l1⊥l2．两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，则它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，则它们互相垂直，即eq \x( )(三)例题例1 已知两条直线l1： 2x-4y+7=0， L2： x-2y+5=0．求证：l1∥l2．证明两直线平行，需说明两个要点：(1)两直线斜率相等；(2)两直线不重合．证明：把l1、l2的方程写成斜截式：∴两直线不相交．∵两直线不重合，∴l1∥l2．例2求过点 A(1，-4)，且与直线2x+3y+5=0平等的直线方程．即 2x+3y+10= 0．解法2 因所求直线与2x+3y+5=0平行，可设所求直线方程为2x+3y+m=0，将A(1，-4)代入有m=10，故所求直线方程为2x+3y+10=0．例3 已知两条直线l1： 2x-4y+7=0， l2： 2x+y-5=0．求证：l1⊥l2．∴l1⊥l2．例4 求过点A(2，1)，且与直线2x+y-10=0垂直的直线方程．解法1 已知直线的斜率k1=-2．∵所求直线与已知直线垂直，根据点斜式得所求直线的方程是就是 x-2y=0．解法2 因所求直线与已知直线垂直，所以可设所求直线方程是x-2y+m=0，将点A(2，1)代入方程得m=0，所求直线的方程是x-2y=0．(四)课后小结(1)斜率存在的不重合的两直线平行的等价条件；(2)两斜率存在的直线垂直的等价条件；(3)与已知直线平行的直线的设法；(4)与已知直线垂直的直线的设法．五、布置作业1．(1．7练习第1题)判断下列各对直线是否平行或垂直：(1)y=3x+4和2x-6y+1=0；(2)y=x与3x十3y-10=0；(3)3x+4y=5与6x-8y=7；解：(1)平行；(2)垂直；(3)不平行也不垂直；(4)垂直．2．(1．7练习第2题)求过点A(2，3)，且分别适合下列条件的直线方程：(1)平行于直线2x+5-5=0；(2)垂直于直线x-y-2=0；解：(1)2x+y-7=0；(2)x+y-5=0．3．(1．7练习第3题)已知两条直线l1、l2，其中一条没有斜率，这两条直线什么时候：(1)平行；(2)垂直．分别写出逆命题并判断逆命题是否成立．解：(1)另一条也没有斜率．逆命题：两条直线，其中一条没有斜率，如果这两条直线平行，那么另一条直线也没有斜率；逆命题成立．(2)另一条斜率为零．逆命题：两条直线，其中一条没有斜率，如果另一条直线和这一条直线垂直，那么另一条直线的斜率为零；逆命题成立．4．(习题三第3题)已知三角形三个顶点是A(4，0)、B(6，7)、C(0， 3)，求这个三角形的三条高所在的直线方程．也就是 2x+7y-21=0．同理可得BC边上的高所在直线方程为3x+2y-12=0．AC边上的高所在的直线方程为4x-3y-3=0．六、板书设计。

直线方程的一般式教学目标：1、知识目标：⑴掌握直线方程的一般式Ax+By+C=0的特征（A、B不同时为0）⑵理解直线方程五种形式之间的内在联系，掌握直线方程几种形式的互化，从整体上把握直线方程；2、能力目标：⑴通过直线方程一般式的教学培养学生全面、系统、周密地分析问题、讨论问题的能力。

⑵学会分类讨论思想解决数学问题。

3、情感目标：(1) 通过直线方程几种形式互化的教学，培养学生灵活的思维品质和辩证唯物主义观点(2)体验数学发现和探索的历程，培养创新意识教学重点、难点：1、重点：(1)掌握直线方程的一般形式，以及点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式的联系与转化;(2)让学生明白直线的点斜式、斜截式、两点式和截距式表示直线有一定的局限性，只有直线的一般式能表示所有的直线;2、难点：(1)对直线方程一般式的理解与应用,进一步体会解析几何学科的特点。

(2)理解直线方程几种形式之间的内在联系，能从整体上把握直线的方程．教学方法引导探究法、讨论法教学用具实物投影仪，多媒体软件，电脑。

教学过程一、创设情境，引入新课练习：由下列条件，写出直线的方程：（1）经过点A （8,2），斜率是-2 Y-2=-2(x-8) ⇒ 2x+y-18=0 （2）经过点B （0,-2），倾角为4π； y=x-2 ⇒x-y-2=0 （3）经过点P 1（3,2），P 2（5,4） 242353--=--y x ⇒x-y-1=0 （4）在x 轴，y 轴上的截距分别为 2， 3.132=+yx ⇒2x+3y-6=0 师生活动：通过解题和讨论，总结前面学过的直线方程的几种特殊形式的条件、方程和使用范围如下：[设计意图]：由实例得出：直线方程的这几种特殊形式都具有局限性，我们需要找到一种形式的直线方程，能够表示坐标平面内的所有直线。

复习旧知识，为新知识的引入做好铺垫。

问题：上述四种直线方程的表示形式都有其局限性，是否存在一种更为完美的代数形式可以表示平面中的所有直线？提示：上述四种形式的直线方程有何共同特征？能否整理成统一形式？ （这些方程都是关于x 、y 的二元一次方程） 猜测：直线和二元一次方程有着一定的关系。

第四课时 直线方程学习目标⑴进一步理解倾斜角与斜率的定义，掌握过两点的斜率公式⑵掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，会根据条件选用适当的方程形式解决有关问题⑶认识事物之间的普遍联系与相互转化，能用联系的观点看问题教学过程例1 过两点A （0,0），B （cos θ,sin θ）(－90°＜θ＜0°）的直线的斜率是＿＿＿＿＿＿＿＿＿，倾斜角是＿＿＿＿＿＿＿＿。

例2 设直线l ：3x ＋4y －5＝0的倾斜角为θ，则l 关于直线y ＝3对称的直线的倾斜角是＿＿＿＿＿＿＿＿。

例3 直线ax ＋by ＝ab （a ＞0，b ＞0）的倾斜角是 （ ）A 、arctan(－b/a)B 、arctan(－a/b)C 、π－arctan(b/a)D 、π＋arctan(－a/b)例4 若直线l 的斜率k ∈[－1,1]，则它的倾斜角的取值范围是（ ）A 、［k π－π/4,k π＋π/4］(k ∈Z)B 、[－π/4,π/4]C 、[π/4,3π/4]D 、[0,π/4]∪[3π/4,π）例5θ∈(π/2,π)，则直线xcos θ＋ysin θ＋1＝0的倾斜角的范围是（ ）A 、θ－π/2B 、θ＋π/2C 、π/2－θD 、π－θ例6 下列命题：①直线的倾斜角为α，则斜率为tan α；②直线的斜率为k,则倾斜角为arctank ；③平行于y 轴的直线的倾斜角为90°；④直线y=xtan α＋2的倾斜角是α。

其中正确的是 （ ）A 、① B 、②和③ C 、③D 、②和④，求直线的斜率。

－－满足的倾斜角，直线＞　已知例ααααsin 1sin 12sin 0c by ax 0ab 7+==++解：∵ab ＞0，直线ax ＋by ＋c ＝0的倾斜角为α，∴tan α＝－a/b ＜0，又α∈[0,π）∴α∈（π/2,π）∴0＜cos α/2＜sin α/2|2/cos 2/sin ||2/cos 2/sin |)2/cos 2/(sin )2/cos 2/(sin sin 1sin 122αααααααααα--+=--+=+∴－－ ＝sin α/2＋cos α/2－sin α/2＋cos α/2＝2 cos α/2 又αααsin 1sin 12sin －－+= ∴ sin α/2＝2cos α/2∴tan α/2＝2∴k ＝tan α＝－4/3例8 求直线3x －2y ＋24＝0的斜率及它在x 、y 轴上的截距。

直线的一般式方程教案一、引入：在前几节课中，我们学习了直线的斜截式方程和点斜式方程。

今天我们将学习直线的一般式方程。

直线的一般式方程是一种利用直线上具体的两个点来表示直线的方程，它的形式为：Ax + By + C = 0。

下面我们一起来学习一下直线的一般式方程的求解方法。

二、概念：直线的一般式方程表达形式为Ax + By + C = 0。

其中A、B、C是实数，且A和B不同时为0。

三、推导：推导一般式方程的方法有很多，下面我们以已知直线上两点A(x1, y1)和B(x2, y2)为例，来推导一下一般式方程的求解过程。

1.根据已知点A和B，求直线的斜率k。

斜率k的计算公式为：k = (y2 - y1) / (x2 - x1)。

将点A(x1, y1)和B(x2, y2)的坐标代入公式，求得斜率k的值。

2.代入斜率k和已知点A(x1, y1)的坐标到点斜式方程y - y1 =k(x - x1)中，得到直线的点斜式方程。

3.对点斜式方程进行展开和变形操作，化简得到一般式方程Ax + By + C = 0。

将点斜式方程中的k乘以x，并将常数项移至左边得到A、B和C的值。

最终得到直线的一般式方程。

四、实例演练：现在我们通过一个实例来练习一下求解直线的一般式方程的过程。

已知直线上两点A(2, 3)和B(-1, 4)，求直线的一般式方程。

1.计算斜率k：k = (4 - 3) / (-1 - 2) = -1/3。

2.代入斜率和已知点A的坐标到点斜式方程y - 3 = -1/3(x - 2)中，得到直线的点斜式方程为y - 3 = -1/3(x - 2)。

3.对点斜式方程进行展开和变形操作，得到一般式方程：3x + y - 9 = -x + 2。

化简得到直线的一般式方程：4x + y - 11 = 0。

五、总结：通过上述推导和实例演练，我们学习了直线的一般式方程的求解方法。

直线的一般式方程是一种利用直线上具体的两个点来表示直线的方程，形式为Ax + By + C = 0。

《直线方程的一般形式》教案一、教学目标(一)知识教学点掌握直线方程的一般形式，能用定比分点公式设点后求定比．(二)能力训练点通过研究直线的一般方程与直线之间的对应关系，进一步强化学生的对应概念；通过对几个典型例题的研究，培养学生灵活运用知识、简化运算的能力．(三)学科渗透点通过对直线方程的几种形式的特点的分析，培养学生看问题一分为二的辩证唯物主义观点．二、教材分析1．重点：直线的点斜式、斜截式、两点式和截距式表示直线有一定的局限性，只有直线的一般式能表示所有的直线，教学中要讲清直线与二元一次方程的对应关系．2．难点：与重点相同．3．疑点：直线与二元一次方程是一对多的关系．同条直线对应的多个二元一次方程是同解方程．三、活动设计分析、启发、讲练结合．四、教学过程(一)引入新课点斜式、斜截式不能表示与x轴垂直的直线；两点式不能表示与坐标轴平行的直线；截距式既不能表示与坐标轴平行的直线，又不能表示过原点的直线．与x轴垂直的直线可表示成x=x0，与x轴平行的直线可表示成y=y0。

它们都是二元一次方程．我们问：直线的方程都可以写成二元一次方程吗？反过来，二元一次方程都表示直线吗？(二)直线方程的一般形式我们知道，在直角坐标系中，每一条直线都有倾斜角α．当α≠90°时，直线有斜率，方程可写成下面的形式：y=kx+b当α=90°时，它的方程可以写成x=x0的形式．由于是在坐标平面上讨论问题，上面两种情形得到的方程均可以看成是二元一次方程．这样，对于每一条直线都可以求得它的一个二元一次方程，就是说，直线的方程都可以写成关于x、y的一次方程．反过来，对于x、y的一次方程的一般形式Ax+By+C=0．(1)其中A、B不同时为零．(1)当B≠0时，方程(1)可化为这里，我们借用了前一课y=kx+b表示直线的结论，不弄清这一点，会感到上面的论证不知所云．(2)当B=0时，由于A、B不同时为零，必有A≠0，方程(1)可化为它表示一条与y轴平行的直线．这样，我们又有：关于x和y的一次方程都表示一条直线．我们把方程写为Ax+By+C=0这个方程(其中A、B不全为零)叫做直线方程的一般式．引导学生思考：直线与二元一次方程的对应是什么样的对应？直线与二元一次方程是一对多的，同一条直线对应的多个二元一次方程是同解方程．(三)例题解：直线的点斜式是化成一般式得4x+3y-12=0．把常数次移到等号右边，再把方程两边都除以12，就得到截距式讲解这个例题时，要顺便解决好下面几个问题：(1)直线的点斜式、两点式方程由于给出的点可以是直线上的任意点，因此是不唯一的，一般不作为最后结果保留，须进一步化简；(2)直线方程的一般式也是不唯一的，因为方程的两边同乘以一个非零常数后得到的方程与原方程同解，一般方程可作为最终结果保留，但须化为各系数既无公约数也不是分数；(3)直线方程的斜截式与截距式如果存在的话是唯一的，如无特别要求，可作为最终结果保留．例2 把直线l的方程x-2y+6=0化成斜截式，求出直线l的斜率和在x轴与y轴上的截距，并画图．解：将原方程移项，得2y=x+6，两边除以2得斜截式：x=-6根据直线过点A(-6，0)、B(0，3)，在平面内作出这两点连直线就是所要作的图形(图1-28)．本例题由学生完成，老师讲清下面的问题：二元一次方程的图形是直线，一条直线可由其方向和它上面的一点确定，也可由直线上的两点确定，利用前一点作图比较麻烦，通常我们是找出直线在两轴上的截距，然后在两轴上找出相应的点连线．例3 证明：三点A(1，3)、B(5，7)、C(10，12)在同一条直线上．证法一直线AB的方程是：化简得 y=x+2．将点C的坐标代入上面的方程，等式成立．∴A、B、C三点共线．∴A、B、C三点共线．∵|AB|+|BC|=|AC|，∴A、C、C三点共线．讲解本例题可开拓学生思路，培养学生灵活运用知识解决问题的能力．例4 直线x+2y-10=0与过A(1，3)、 B(5，2)的直线相交于C，此题按常规解题思路可先用两点式求出AB的方程，然后解方程组得到点C 的坐标，再求点C分AB所成的定比，计算量大了一些．如果先用定比分点公式设出点C的坐标(即满足点C在直线AB上)，然后代入已知的直线方程求λ，则计算量要小得多．代入x+2y-10=0有：解之得λ=-3．(四)课后小结(1)归纳直线方程的五种形式及其特点．(2)例4一般化：求过两点的直线与已知直线(或由线)的交点分以这两点为端点的有向线段所成定比时，可用定比分点公式设出交点的坐标，代入已知直线(或曲线)求得．五、布置作业1．(1．6练习第1题)由下列条件，写出直线的方程，并化成一般式：(2)经过点B(4，2)，平行于x轴；(5)经过两点P1(3，-2)、P2(5，-4)；(6)x轴上的截距是-7，倾斜角是45°．解：(1)x+2y-4=0； (2)y-2=0； (3)2x+1=0；(4)2x-y-3=0； (5)x+y-1=0； (6)x-y+7=0．3．(习题二第8题)一条直线和y轴相交于点P(0，2)，它的倾斜角4．(习题二第十三题)求过点P(2，3)，并且在两轴上的截距相等的直线方程．5．(习题二第16题)设点P(x0，y0)在直线As+By+C=0上，求证：这条直线的方程可以写成A(x-x0)+B(y-y0)=0．证明：将点P(x0，y0)的坐标代入有C=-Ax0-By0，将C代入Ax+By+C=0即有A(x-x0)+B(y-y0)=0．6．过A(x1，y1)、B(x2，y2)的直线交直线l：Ax+By+C=0于C，六、板书设计。

湖南师范大学附属中学高三数学总复习教案：点、直线与圆锥曲线的位置关系一、教学目标(一)知识教学点使学生掌握点、直线与圆锥曲线的位置及其判定，重点掌握直线与圆锥曲线相交的有关问题．(二)能力训练点通过对点、直线与圆锥曲线的位置关系的研究，培养学生综合运用直线、圆锥曲线的各方面知识的能力．(三)学科渗透点通过点与圆锥曲线的位置及其判定，渗透归纳、推理、判断等方面的能力．二、教材分析1．重点：直线与圆锥曲线的相交的有关问题．(解决办法：先引导学生归纳出直线与圆锥曲线的位置关系，再加以应用．)2．难点：圆锥曲线上存在关于直线对称的两点，求参数的取值范围．(解决办法：利用判别式法和内点法进行讲解．)3．疑点：直线与圆锥曲线位置关系的判定方法中△=0不是相切的充要条件．(解决办法：用图形向学生讲清楚这一点．)三、活动设计四、教学过程(一)问题提出1．点P(x0，y0)和圆锥曲线C：f(x，y)=0有哪几种位置关系？它们的条件是什么？引导学生回答，点P与圆锥曲线C的位置关系有：点P在曲线C上、点P在曲线C内部(含焦点区域)、点P在曲线的外部(不含焦点的区域)．那么这三种位置关系的条件是什么呢？这是我们要分析的问题之一．2．直线l：Ax+By+C=0和圆锥曲线C：f(x，y)=0有哪几种位置关系？引导学生类比直线与圆的位置关系回答．直线l与圆锥曲线C的位置关系可分为：相交、相切、相离．那么这三种位置关系的条件是什么呢？这是我们要分析的问题之二．(二)讲授新课1．点M(x0，y0)与圆锥曲线C：f(x，y)=0的位置关系的焦点为F1、F2，y2=2px(p＞0)的焦点为F，一定点为P(x0，y0)，M点到抛物线的准线的距离为d，则有：(由教师引导学生完成，填好小黑板)上述结论可以利用定比分点公式，建立两点间的关系进行证明．2．直线l∶Ax＋Bx＋C=0与圆锥曲线C∶f(x，y)＝0的位置关系：直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离．对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切．这三种位置关系的判定条件可引导学生归纳为：注意：直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，但不是充分条件．3．应用求m的取值范围．解法一：考虑到直线与椭圆总有公共点，由直线与圆锥曲线的位置关系的充要条件可求．由一名同学演板．解答为：由椭圆方程及椭圆的焦点在x轴上，知：0＜m＜5．又∵直线与椭圆总有公共点，即(10k)2-4x(m+5k2)×5(1-m)≥0，亦即5k2≥1-m对一切实数k成立．∴1-m≤0，即m≥1．故m的取值范围为m∈(1，5)．解法二：由于直线过定点(0，1)，而直线与椭圆总有公共点，所以定点(0，1)必在椭圆内部或边界上，由点与椭圆的位置关系的充要条件易求．另解：由椭圆方程及椭圆的焦点在x轴上知：0＜m＜5．又∵直线与椭圆总有公共点．∴直线所经过的定点(0，1)必在椭圆内部或边界上．故m的取值范围为m∈(1，5)，小结：解法一由直线与圆锥曲线的位置关系的充要条件求，思路易得，但计算量大；解法二由点与圆锥曲线的位置关系的充要条件求，思路灵活，且简捷．称，求m的取值范围．解法一：利用判别式法．并整理得：∵直线l′与椭圆C相交于两点，解法二：利用内点法．设两对称点为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P1P2的中点为M(x0，y0)，∴y1+y2=3(x1+x2)．(1)小结：本例中的判别式法和内点法，是解决圆锥曲线上存在两点关于直线的对称的一般方法，类似可解抛物线、双曲线中的对称问题．练习1：(1)直线过点A(0，1)且与抛物线y2=x只有一个公共点，这样的直线有几条？(2)过点P(2，0)的直线l与双曲线x2-y2=1只有一个公共点，这样的直线有几条？由学生练习后口答：(1)3条，两条切线和一条平行于x轴的直线；(2)2条，注意到平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，故这样的直线也只有2条．练习2：求曲线C∶x2+4y2=4关于直线y=x-3对称的曲线C′的方程．由教师引导方法，学生演板完成．解答为：设(x′，y′)是曲线C上任意一点，且设它关于直线y=x-3的对称点为(x，y)．又(x′，y′)为曲线C上的点，∴(y+3)2+4(x-3)2=4．∴曲线C的方程为：4(x-3)2+(y+3)2=4．(三)小结本课主要研究了点、直线与圆锥曲线的三种位置关系及重要条件．五、布置作业的值．2．k取何值时，直线y＝kx与双曲线4x2-y2=16相交、相切、相离？3．已知抛物线x=y2+2y上存在关于直线y=x+m对称的相异两点，求m的取值范围．作业答案：1．由弦长公式易求得：k=-4当4-k2=0，k=±2， y=±2x为双曲线的渐近线，直线与双曲线相离当4-k2≠0时，△=4(4-k2)×(-6)(1)当△＞0，即-2＜k＜2时，直线与双曲线有两个交点(2)当△＜0，即k＜-2或k＞2时，直线与双曲线无交点(3)当△=0，即k=±2时，为渐近线，与双曲线不相切故当-2＜k＜2时，直线与双曲线相交当k≤-2或k≥2时，直线与双曲线相离六、板书设计。

直线的一般式方程（教案）教学目标：1、知识与能力：⑴掌握直线方程的一般式Ax+By+C=0的特征（A、B不同时为0）⑵能将直线方程的五种形式进行转化，并明确各种形式中的一些几何量（斜率、截距等）；2、过程与方法：⑴主动参与探究直线和二元一次方程关系的数学活动，通过观察、推理、探究获得直线方程的一般式。

⑵学会分类讨论及掌握讨论的分界点；3、情感、态度与价值观：体验数学发现和探索的历程，发展创新意识教学重点：直线方程一般式Ax+By+C=0（A、B不同时为0）的理解教学难点：⑴直线方程一般式Ax+By+C=0（A、B不同时为0）与二元一次方程关系的深入理解⑵直线方程一般式Ax+By+C=0（A、B不同时为0）的应用。

教学方法：引导探究法、讨论法教学过程：创设情境，引入新课：1、复习：写出前面学过的直线方程的各种不同形式，并指出其局限性：名称几何条件方程局限性点斜式点P(x0,y0)和斜率ky-y0=k(x-x0)斜率存在的直线斜截式斜率k,y轴上的截距b y=kx+b 斜率存在的直线两点式P1(x1,y1),P2(x2,y2)不垂直于x、y轴的直线截距式在x轴上的截距a,在y轴上的截距b不垂直于x、y轴的直线，不过原点的直线过点(x0,y0)与x轴垂直的直线可表示成x=x0，过点(x0,y0)与y轴垂直的直线可表示成 y=y0。

2、问题：上述四种直线方程的表示形式都有其局限性，是否存在一种更为完美的代数形式可以表示平面中的所有直线？提示：上述四种形式的直线方程有何共同特征？能否整理成统一形式？（这些方程都是关于x 、y 的二元一次方程）猜测：直线和二元一次方程有着一定的关系。

新课探究：问题：（1）．过点(2,1)，斜率为2的直线的方程是y-1=2(x-2),（2）．过点(2,1)，斜率为0的直线方程是y=1,（3）．过点(2,1)，斜率不存在的直线的方程是x=2,思考1 ：以上方程是否都可以用 Ax+By+C=0表示？任意一条直线是否都可以用二元一次方程Ax+By+C=0（A 、B 不同时为0）来表示？答： 2x-y-3=0 y-1=0 x-2=0在平面直角坐标系中，每一条直线有斜率k 存在和k 不存在两种情况下，直线方程可分别写为y kx b =+和1x x =两种形式，它们又都可以变形为Ax+By+C=0（A 、B 不同时为0）的形式，即：直线Ax+By+C=0（A 、B 不同时为0）【结论：】在平面直角坐标系中，任意一条直线都可以用二元一次方程Ax+By+C=0（A 、B 不同时为0）来表示。

湖南师范大学附属中学高三数学总复习教案：直线和平面平行的判定与性质（二）一、素质教育目标（一）知识教学点直线和平面平行的性质定理．（二）能力训练点用转化的方法掌握应用直线与平面平行的性质定理，即由线面平行可推得线线平行．（三）德育渗透点让学生认识到研究直线和平面平行的性质定理是实际生产的需要，充分体现了理论联系实际的原则．二、教学重点、难点、疑点及解决方法1．教学重点：直线和平面平行的性质定理．2．教学难点：直线和平面平行的性质定理的证明及应用．理4，平面α内与b平行的所有直线都与a平行（有无数条）．否则，都与a是异面直线．三、课时安排1．7直线和平面的位置关系和1．8直线和平面平行的判定与性质这两个课题安排为2课时，本节课为第二课时，讲解直线和平面平行的性质定理．四、教与学过程设计（一）复习直线和平面的位置关系及直线和平面平行的判定（幻灯显示）师：直线和平面的位置关系有哪几种？生：有三种位置关系：直线在平面内，直线与平面相交，直线与平面平行．直线与平面相交或平行统称为直线在平面外．直线在平面内，说明直线与平面有无数个公共点；直线与平面相交，说明直线与平面只有1个公共点；直线与平面平行，说明直线与平面没有公共点．师：直线和平面的判定方法有哪几种？生：两种．第一种根据定义来判定，一般用反证法．第二种根据判定定理来判定：只要在平面内找出一条直线和已知直α，a∥b，则a∥α．（二）直线和平面平行的性质师：命题“若直线a平行于平面α，则直线a平行于平面α内的一切直线．”对吗？（幻灯显示）生：不对．师：为什么不对？（出示教具演示）平行的所有直线（为b′，b″）都与a平行（有无数条），否则，都与a是异面直线．师：在上面的论述中，平面α内的直线b满足什么条件时，可以与直线a平行呢？我们有下面的性质．直线和平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行．求证：a∥b．师提示：要证明同一平面β内的两条直线a、b平行，可用反证法，也可用直接证法．证明：（一）反证法．假设直线a不平行于直线b．∴直线a与直线b相交，假设交点为O，则a∩b＝O．∴a∩α＝O，这与“a∥α”矛盾．∴a∥b．（二）直接证法∵a∥α，∴a与α没有公共点．∴a与b没有公共点．a和b同在平面β内，又没有公共点，∴a∥b．下面请同学们完成例题与练习．（三）练习例2 有一块木料如图1-65，已知棱BC平行于面A′C′．要经过木料表面A′B′C′D′内的一点P和棱BC将木料锯开，应怎样画线？所画的线和面AC有什么关系？解：（1）∵BC∥面A′C′，面BC′经过BC和面A′C′交于B′C′，∴BC∥B′C′．经过点P，在面A′C′上画线段EF∥B′C′，由公理4，得：EF∥BC．的线．（2）∵EF∥BC，根据判定定理，则EF∥面AC；BE、CF显然都和面AC相交．总结：解题时，应用直线和平面平行的性质定理，要注意把线面平行转化为线线平行．练习：（P．22中练习3）在例题的图中，如果AD∥BC，BC∥面A′C′，那么，AD和面BC′、面BF、面A′C′都有怎样的位置关系．为什么？∥面BC′．同理AD∥面BF．又因为BC∥面A′C′，过BC的面EC与面A′C′交于EF，（四）总结本节课我们复习了直线和平面平行的判定，学习了直线和平面平行的性质定理．性质定理的实质是线面平行，过已知直线作一平面和已知直线都与已知直线平行．五、作业P．22—23中习题三5、6、7、8．六、板书设计直线和平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行．性质定理的证明：求证：a∥b．例：有一块木料，已知棱BC平行于面A′C′，要经过木料表面A′B′C′D′内的一点P 和棱BC将木料锯开，应怎样画线？所画的线和面AC有什么关系？练习：在例中，若AD∥BC，BC∥面A′C′，那么，AD和面BC′、面BF、面A′C′都有怎样的位置关系，为什么？。

湖南师范大学附属中学高一数学教案：直线的方程3教学目的：1.掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式以及它们之间的联系和转化，并能根据条件熟练地求出满足已知条件的直线方程.2.通过让学生经历直线方程的发现过程，以提高学生分析、比较、概括、化归的数学能力,培养学生综合运用知识解决问题的能力.3.对学生进行对立统一的辩证唯物主义观点的教育，培养学生勇于探索、勇于创新的精神.授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体。

教学过程：一、复习引入：直线名称已知条件直线方程使用范围示意图点斜式斜截式两点式（截距式问题1：平面内的任一条直线，一定可以用以上四种形式之一来表示吗？答：直线方程的四种特殊形式各自都有自己的优点，但都有局限性，即无法表示平面内的任一条直线.问题2：是否存在某种形式的直线方程，它能表示平面内的任何一条直线？二、讲解新课：5. 直线方程的一般形式：探究1：方程总表示直线吗？根据斜率存在不存在的分类标准，即B等于不等于0来进行分类讨论：若方程可化为，它是直线方程的斜截式，表示斜率为，截距为的直线；若B=0，方程变成.由于A、B不全为0，所以，则方程变为，表示垂直于X 轴的直线，即斜率不存在的直线.结论：当A、B不全为0时，方程表示直线，并且它可以表示平面内的任何一条直线.探究2：在平面直角坐标系中，任何直线的方程都可以表示成(A、B不全为0)的形式吗？把直线分为斜率存在与不存在时的直线方程的形式进行总结。

或可采用多媒体动画演示，产生直线与轴的不同位置关系(旋转)，从而直观、形象地揭示分类讨论的本质，得出“任何一条直线的方程都是关于的二元一次方程，任何关于的二元一次方程都表示一条直线”的结论三、讲解范例：四、课堂练习：课本P４3练习1.根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式：(1)斜率是－，经过点A（８，－2）；(2)经过点B(４，2），平行于轴；(3)在轴和轴上的截距分别是,－3；(4)经过两点（3，－2）、（5，－４）.2.已知直线(1)当B≠0时，斜率是多少?当B＝0时呢?(2)系数取什么值时，方程表示通过原点的直线?3.求下列直线的斜率和在轴上的截距，并画出图形：(1)3＋－5＝0；(2)＝1；(3) ＋2＝0；（４）7－6＋４＝0；(5)2－7＝0.五、小结：通过对直线方程的四种特殊形式的复习和变形，概括出直线方程的一般形式：（A、B不全为0）；点在直线上六、课后作业：5.一条直线和y轴相交于点P(0，2），它的倾斜角的正弦值是，求这条直线的方程.这样的直线有几条?解：设所求直线的倾斜角为α，则sinα＝，cosα＝±＝±，∴tanα＝±∴由点斜式得：－2＝±∴所求直线有两条，方程分别为：＝＋2，＝－＋2.9.菱形的两条对角线长分别等于8和6，并且分别位于轴和轴上，求菱形各边所在的直线的方程.解：设菱形的四个顶点为A、B、C、D，如右图所示.根据菱形的对角线互相垂直且平分可知：顶点A、B、C、D在坐标轴上，且A、C关于原点对称，B、D也关于原点对称.所以A(－４，0)，C（４，0），B（0，3），D（0，－3）由截距式得：＝1，即3x－４y＋12＝0这是直线AB的方程；由截距式得＝1即3＋４－12＝0这是直线BC的方程；由截距式得＝1 即3＋４y＋12＝0这是直线AD的方程；由截距式得＝1即3－４－12＝0，这是直线CD的方程.10.求过点P（2，3），并且在两轴上的截距相等的直线方程.解：在两轴上的截距都是0时符合题意，此时直线方程为3－2＝0 若截距不为0，则设直线方程为＝1将点P（2，3）代入得＝1，解得a＝5∴直线方程为＝1，即＋＝5七、板书设计（略）。

直线的一般方程【教材分析】教材的地位和作用在这之前学生已经学习了直线方程的四种特殊形式，初步认识到这四种形式使用的限制性，这为直线的一般方程的提出提供了必要条件，同时也反映了直线一般方程在刻画直线时所起到的一般性意义。

从另一个角度讲，本节课的学习是对初中二元一次方程知识的系统性的研究，通过构建平面上的直线与的二元一次方程一一对应关系，意识到方程与图形的关系，这也为学习圆锥曲线方程等知识打基础。

具有承上启下的作用。

【教学目标】掌握直线方程一般式不同时为0的特征，特别表示斜率不存在与斜率为0时与A ．B 间的对应关系理解直线方程五种形式之间的内在联系及所能代表直线的区别，从整体上把握直线方程 会从方程的角度研究直线，探究直线和二元一次方程关系，形成代数与几何相结合的数学思想方法【教学重点】掌握直线的一般式方程，能从一般式中得到直线的相关性质；充分理解直线一般式方程的优越性。

【教学难点】直线一般式方程的引入【学情分析】学生已经学习了直线方程的四种形式，对各种形式有了一个初步的认识，但在解题能力特别是抽象思维能力方面比较欠缺，本节课的学习需要学生有较强的探究能力与分类讨论的思想意识，学生学起来有一点困难，需要教师的有力引导。

教法与学法教法：本节课以问题链为思考索引，对提出的问题进行分析、讨论、归纳，在整个活动中体现以y x ,0C A =++By x B A ,()教师为主导，以学生为主体的教学理念，培养学生观察、分析、归纳、应用的能力学法：通过本节课的学习，让学生感受到自主探究学习的学习方式对于掌握知识点，形成系统知识的重要性，逐步掌握自主获得知识的学习方法。

【教学过程】创设问题情境问题1：已知直线上的两点（为常数，求直线的方程）学生回答：两点式： 点斜式： 问题2：以上两种形式形式上能统一吗？有没有限制范围？学生回答：，限制范围为，即直线不包括在内问题3：直线是否符合方程，说明什么问题？学生回答：符合，说明方程包含了斜率不存在的直线，更具普遍性，弥补了其它形式的缺陷。

7.2 直线的一般方程——湘教版必修3教案教学目标1.掌握利用点斜式、两点式和截距式等方法求直线方程的基本思想；2.能够熟练解决各种求直线方程的实际问题。

教学重点1.直线的一般方程的概念及其数学意义；2.利用已知信息求直线方程。

教学难点1.如何根据已知条件确定直线的一般方程；2.如何解决实际问题中的直线方程求解。

教学内容直线的一般方程在笛卡尔坐标系中，直线的一般方程可以表示成：Ax + By + C = 0其中，A、B和C都是实数，A和B不能同时为0。

A和B称为方程的系数，C称为常数项。

点斜式点斜式是确定一条直线的一般方法。

点斜式指在直线上已知一点和直线的斜率，通过计算直线方程的方法来确认该直线。

点斜式的公式为：y - y1 = m(x - x1)其中，(x1, y1)为已知点的坐标，m为该直线的斜率。

两点式两点式是确定一条直线的常用方法。

两点式指通过直线上两点来确认该直线。

两点式的公式为：(y2 - y1) / (x2 - x1) = k其中，(x1, y1)和(x2, y2)为已知点的坐标，k为直线的斜率。

截距式截距式是确定一条直线的常用方法。

截距式指在直线上已知x轴截距和y轴截距，通过计算直线方程的方法来确认该直线。

截距式的公式为：y = kx + b其中，k为直线的斜率，b为直线与y轴的截距。

解题思路在已知直线上的点的坐标和直线的斜率或者两个点的坐标或者直线与x轴和y 轴的截距的情况下，可以通过点斜式、两点式和截距式来计算直线的一般方程。

教学建议在教学过程中，可以利用有趣的案例让学生掌握应用数学知识解决实际问题的能力。

例如可以选取一些生动有趣的例子，如抛物线轨迹的绘制、山路问题的解决等等，通过引导学生分析这些例子，深入理解直线的一般方程及其应用。

总结直线的一般方程是代数几何学中最基本的概念之一。

在教学中，应当强调直线方程的求解方法，让学生熟练掌握利用点斜式、两点式和截距式等方法求直线方程的基本思想，以及如何熟练解决各种求直线方程的实际问题。

直线的一般式方程教案教案标题：直线的一般式方程教案教学目标：1. 理解直线的一般式方程的概念和含义。

2. 掌握如何根据直线上的已知点和斜率来确定直线的一般式方程。

3. 能够将直线的一般式方程转化为斜截式方程和截距式方程。

教学准备：1. 教师准备：黑板、白板、彩色粉笔/白板笔、直尺、教学投影仪（可选）。

2. 学生准备：铅笔、直尺、作业本。

教学过程：步骤一：导入（5分钟）1. 教师通过引导问题或展示实际生活中的直线图像，引起学生对直线的兴趣和思考。

2. 教师简要介绍直线的一般式方程的概念，并与学生分享直线方程的重要性和应用。

步骤二：讲解直线的一般式方程（15分钟）1. 教师通过示意图和实例，解释直线的一般式方程y = mx + c 中 m 和 c 的含义。

2. 教师详细讲解如何根据直线上的已知点和斜率来确定直线的一般式方程。

3. 教师提供多个实例，引导学生进行实际操作和练习。

步骤三：练习与巩固（15分钟）1. 学生个人或小组合作完成一些基础练习题，以巩固直线的一般式方程的求解方法。

2. 教师提供反馈和指导，纠正学生可能存在的错误和困惑。

步骤四：转化为斜截式方程和截距式方程（15分钟）1. 教师讲解如何将直线的一般式方程转化为斜截式方程和截距式方程，并解释它们的含义和应用。

2. 教师提供多个实例，引导学生进行实际操作和练习。

步骤五：拓展与应用（10分钟）1. 学生个人或小组合作完成一些拓展练习题，以应用直线的一般式方程解决实际问题。

2. 教师鼓励学生分享解题思路和答案，并提供反馈和指导。

步骤六：总结与评价（5分钟）1. 教师与学生共同总结直线的一般式方程的求解方法和转化方法。

2. 学生回答教师提出的评价问题，以检查他们对所学内容的理解程度。

拓展活动：1. 学生可通过互动游戏或小组竞赛的形式，进一步巩固和应用所学内容。

2. 学生可自主探究其他类型的直线方程，并与同学分享他们的发现和思考。

教学反思：本教案通过引导学生理解直线的一般式方程的概念和求解方法，以及转化为斜截式方程和截距式方程的过程，培养了学生的数学思维和解决实际问题的能力。

湖南师范大学附属中学高三数学总复习教案：直线和平面（一）教学目标1．配合系统复习，进一步培养空间想象力；2．借助平面几何中，三角形的重心、垂心、内心、外心等知识，解决立体几何问题．教学重点和难点1．空间想象力的培养；2．分析问题能力与综合运用知识能力的培养．教学设计过程师：同学们已经很好地完成了知识总结的作业，有些同学还将知识的内在联系用图表展示出来．也有的同学将各种位置关系用图形语言和符号语言进行归纳和整理．在此一并提出表扬．我们将把这些总结用展板展示，请同学们互相学习．师：本节课我们将通过一组问题来进行复习．复习的目的之一是进一步培养同学们的空间想象力．关于空间想象力的问题，在高一年级刚开始时，单纯的想象占主导地位，随着一个学期的学习，关于线面的各种位置关系及性质研究的深入，单纯的想象力就转化为：在线面各种位置关系的定义、性质定理指导下的想象．请先看下面一组题目：填空题：1．空间三个平面可能将空间分成______部分．2．正方体各个面所在的平面将空间分成______部分．3．与空间四个点距离相等的平面有______个．*4．A，B，C，D是空间不共面的四点．它们到平面α的距离比（依次）为：2∶1∶1∶1，满足条件的平面α有＿＿个．生：第1题空间三个平面可能将空间分成4或6或7或8部分．师：请你画图说明你的观点．生：（作图）师：很好，图1、图2、图3、图4依次表示三个平面将空间分成4，6，7，8部分．生：第2题答案是27．师：你给同学们解释一下，答案为什么是27．生：（手拿一个粉笔盒）这个粉笔盒近似看成一个正方体，它的上底面与下底之间被分成9部分．同样，上底面上边与下底面下面也各被分成9部分．总计正方体各个面所在的平面将空间分成27部分．师：对于第3小题，需要先证明下面的命题：线段AB与平面α相交，若AB中点C在平面α上，则点A、点B到平面α的距离相等．生A：本题的答案为4，因为经过有公共顶点的三条棱的中点作截面，根据老师刚介绍的引理，可以证明这样的截面符合条件．（如图5）生B：还有一种情况．刚才生A所作平面使已知四个点中有三个在平面的同一侧，另外一个点在另一侧．我想所作平面两侧各有2个点．如图6．这类平面共有3个，即V，A两点在平面同侧；V，B两点在平面同侧；V，C两点在平面同侧．师：刚才两名同学讲的都很好，相互补充，符合条件的平面共有7个．同学们有不同意见吗？……师：刚才两名同学都认为已知四个点不共面，事实上，当这四个点共面时，符合题目要求的平面有无数个．只要与四点所在平面平行的平面都符合要求．生：老师，如果这四个点共线呢？师：当四个点共线时，只要与这条直线平行的平面均符合条件，这个题目的正确答案应该是7个或无数个．分类讨论的方法不仅在代数课上使用，几何学中也经常使用，此题就是按照图形的不同位置关系进行分类讨论．我们继续讨论第4题．生：我认为仿照第3小题的解答，可提出下面引理：若点A、点B师：他的猜测是正确的．这个命题的正确性请同学们课下论证．下面我们讨论第4小题的解法．生A：分别延长AB，AC，AD至B1，C1，D1，使BB1=AB，CC1=AC，DD1=AD，如图7，则平面α就是平面B1C1D1．生B：分别在AB，AC，AD上取点B′，C′，D′，使得：师：分别取BC，CD，DA的中点E，F，G．那么经过EG的任何一个平面都满足：它与B，C，D三点的距离相等，在这些平面中，经过点B′或经过C′D′（因为C′D′∥CD∥GE）的平面符合题目要求．（图8）经过EG有两个平面符合题意．同样，经过EF，FG各有两个平面符合题意，综合以上分析共有8个平面符合题目要求．师：问题5．是否存在一个四面体，它的每个面都是直角三角形？请同学们思考．……生A：我找到一个几何体，它的三个面都是直角三角形．如图 9．∠AVB=∠BVC=∠CVA=90°．生B：我曾经证过生A所给的图中，△ABC是锐角三角形．师：根据两名同学的发言，给我们以下启示：三个面是直角三角形的几个体已经找到；三个直角顶点不能是同一个点！构造∠VAB=∠VAC=90°，且∠BAC≠90°．再构造∠ACB=90°，同学们不难证明∠VCB=90°．生：是根据三垂线定理．师：空间想象力在不同时期有不同要求．上面这个问题如果是高一第一学期开始让同学们作，那就只有想象或动手制做模型．现在解决它，可以借助我们所学的线面位置关系去寻找解决问题的方法，并且在想象结束时，论证想象的合理性．师；如图11，正方体ABCD-A1B1C1D1，P，Q，R分别在C1D1，CC1，AB上．画出截面PQR 与正方体各面的交线．由公理知：PQ 面DC1．因为面AB1∥面DC1，截面与它们相交，交线必平行（根据面面平行的性质定理）．过点R在面AB1中作PQ平行线交AA1于S．PQ交DC于T，TR交BC于E，连结EQ，过S作SF∥EQ交A1D1于F，连FP，则多边形PQERSF的边就是截面PQR与正方体各面的交线．师：同学们请看下面一组题：6．从平面外一点向平面引垂线和斜线，若斜线与平面所成的角都相等，垂足是斜足多边形的______心．7．直角三角形ABC中，∠C是直角，AC=6，BC=8，△ABC所在平面外一点P，PA=PB=PC=13，点P到△ABC所在平面的距离为______．生：垂足是斜足多边形的外心，因为从平面外一点向平面引斜线．它们与平面所成角相等，可以得到它们的长相等，它们在平面内的射影长也相等．师：同学们还可以进一步思考，满足什么条件时，垂足是斜足多边形的内心？垂足有没有可能成为斜足多边形的重心？垂心？做完一道题目之后，不要满足于题目的本身，能够将条件、结论变换后的有关命题进行研究，可达到事半功倍，提高能力的效果．师：根据已知条件，第7小题中，点P在△ABC所在平面上的射影恰为△ABC的外心．由于△ABC是直角三角形，所以由点P引平面ABC的垂线，垂足恰为△ABC斜边AB的中点，你们知道了解题思路吗？生：作PD⊥面ABC于D，由PA=PB=PC，得DA=DB=DC，D是△ABC外心．又因为∠ACB=90°，由平面几何知识，得出D为AB的中点．PA=13，AD=5，PD=12．即点P到平面ABC的距离为12．师：三角形的垂心、内心、外心、重心的知识在立体几何中经常使用．有一些题目本身没有明确给出，如第7小题，恰到好处地运用四心有关的知识，可简化解题过程．下面一道题目也是与三角形的“心”有关的问题．8．如图13，正△ABC边长为a，O为外心，PO⊥面ABC，PA=PB=PC=b，D，E分别为AC，AB的中点，且PA∥面DEFG．求：四边形DEFG的面积．由题设我们能得到哪些有用的结论？生A：因为PA∥面EFGD，由线面平行的性质可得：EF∥PA，GD∥PA，所以EF∥DG．由D，E分别是AB，AC的中点，DE∥BC，所以BC∥面DEFG．进一步得出BC∥FG．综上DEFG是平行四边形．能求出平行四边形DEFG的面积．师：到目前为止，已知条件中还有两条没有发挥作用．①等边△ABC；②O为△ABC的外心，生C：当O为等边三角形外心时，它也是等边△ABC的垂心．即BC⊥AO，又PO⊥面ABC，由三垂线定理知：BC⊥PA．已经证明了EF∥PA，BC∥DE，得出EF⊥DE，EFGD为一矩形，它的面积师：有效地利用“心”的有关概念，较好地解决一些立体几何问题．本节课重点讨论了两个方面的问题；1．关于空间想象力的进一步培养问题．不是空象，要注意有意识地利用各种线面位置关系．2．通过问题，适当复习了平面几何中的“四心”问题，进一步掌握利用“四心”的知识解决的方法．下面布置作业：（略）。

第三课时直线的方程－一般式●教学目标1.明确直线方程一般式的形式特征;2.会根据直线方程的一般式求斜率和截距;3.会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式.●教学重点直线方程的一般式●教学难点一般式的理解与应用●教学方法学导式●教具准备幻灯片、三角板●教学过程1、.复习回顾直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式及适用范围。

2、提出问题请大家从上述四种形式的直线方程中，能否找到它们的共同点呢？都是关于x、y的二元一次方程。

由此得出直线与二元一次方程有着一定的关系。

3、解决问题:直线和二元一次方程的关系①在平面直角坐标系中,对于任何一条直线,都有一个表示这条直线关于x,y的二元一次方程.在平面直角坐标系中,每一条直线都有倾斜角,在α≠90°时，它们都有斜率，方程可以写成下面的形式：y = kx + b当α=90°时，它的方程x = x1的形式，由于是在坐标平面内讨论问题，所以这个方程应认为是关于x、y的二元一次方程，其中y的系数为0。

②在平面直角坐标系中,任何关于x 、y 的二元一次方程都表示一条直线.因为x 、y 的二元一次方程的一般形式是0=++C By Ax ,其中A 、B 不同时为0,当B ≠0时，方程可化为BCx B A y --=，这是直线的斜截式方程，它表示斜率为－A/B,在y 轴上的截距为－C/B 的直线。

当B ＝0时,由于A 、B 不同时为0，必有A ≠0，方程可化为ACx -=，它表示一条与y 轴平行或重合的直线。

在平面直角坐标系中，任何关于x 、y 的二元一次方程都表示一条直线。

直线方程的一般式: 0=++C By Ax ，其中A 、B 不同时为0（A.2＋B 2≠0） 4、应用反思例1 已知直线经过点A (6,-4),斜率为34-,求直线的点斜式和一般式方程. 解:经过点A (6,-4)并且斜率等于34-的直线方程的点斜式是: )6(344--=+x y 化成一般式,得01234=-+y x .说明:例1 要求学生掌握直线方程的点斜式与一般式的互化.例2把直线l 的方程x －2y ＋6＝0化成斜截式，求出直线l 的斜率和它在x 轴与y 轴上的截距，并画图.解:将原方程移项,得2y ＝x ＋6 两边除以2,得斜截式y ＝x/2＋3 因此,直线l 的斜率k ＝1/2，它在y 轴上的截距是3，在上面的方程中令y =0，可得x =－6，即直线l 在x 轴上的截距是－6.由上述内容可得直线l 与x 轴、y 轴的交点为A （-6，0）、B （0，3），过点A 、B 作直线，就得直线l .（如右图）.说明:要掌握直线方程一般式与斜截式的互化,并求出直线的斜率与截距. 巩固训练 P 43 1、2、3.例3已知直线Ax + By + 12 = 0在x 、y 轴上的截距分别是－3和4，求A 、B 的值。

直线的方程〖考纲要求〗理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握由一个点和斜率导出直线方程的方法；掌握直线方程的点斜式、斜截式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线的方程。

〖双基回顾〗1、直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按__________________________________________________________,那么角就叫做直线的倾斜角。

规定：当直线和x 轴平行或重合时其倾斜角为：_ __，所以直线的倾斜角的取值范围是：_______________.2、直线的斜率是指：_____________________________________________.3、经过两面点P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)的直线的斜率公式为：k =_______________. 41、直线9x －4y =36的纵截距为………………………………………………………………………（ ） (A )9 (B )－9 (C ) －4 (D ) 94-（3、直线经过点P （－2，－1）并且在两坐标轴上的截距和为0，则此直线方程为 .4、两点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，在方向向量为a =(1,k )的直线上且AB =t ，则|y 1－y 2|=________（用t ,k 表示）.〖典型例题〗1、若2π-<α<0，则直线y =xcot α的倾斜角是……………………………………………………（ ）(A ) (B ) (C ) (D )x 2（A ）α （B ）απ-2（C ）2πα- （D ）απ+2、下列四个命题中真命题是…………………………………………………………………………（ ） (A )经过点P (x o ,y o )的直线都可以用方程y －y o =k (x －x o )表示.(B )经过任意两不同点P 1(x 1,y 1), P 2(x 2,y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)=(x －x 1)(y 2－y 1)表示.(C )不经过原点的直线都可以用方程1=+bya x 表示. (D )经过定点A (0,b )的直线都可以用方程y =kx +b 表示. 5、求将直线x －y 3+=2绕点()3,2逆时针旋转12π后所得直线方程.6、求过点P (0,1)的直线，使它夹在两已知直线l 1：2x ＋y －8=0和l 2：x －3y ＋10=0间的线段被点P 平分。