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初中数学正方形的判定教案教学目标：1. 知识与技能：- 掌握正方形的定义和性质。
- 学会运用正方形的性质进行判定。
2. 过程与方法：- 通过观察、分析、归纳和证明，探索正方形的性质。
- 培养学生的逻辑思维能力和几何直观能力。
3. 情感态度与价值观：- 培养学生的学习兴趣和积极性。
- 培养学生合作交流的能力。
教学重点：正方形的性质和判定方法。
教学难点：正方形的判定方法的灵活运用。
教学准备：正方形模型、直尺、量角器、黑板、多媒体设备。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾矩形、菱形的性质。
2. 提问：正方形具有哪些特殊的性质？二、探究正方形的性质（15分钟）1. 引导学生观察正方形模型，让学生用尺子和量角器测量正方形的边长和角度。
2. 让学生分组讨论，总结正方形的性质。
3. 邀请学生上台展示他们的发现，并板书。
三、讲解正方形的判定方法（15分钟）1. 引导学生根据正方形的性质，总结出正方形的判定方法。
2. 通过示例，讲解正方形的判定方法的运用。
四、巩固练习（10分钟）1. 出示一些四边形，让学生判断它们是否为正方形，并说明理由。
2. 让学生分组讨论，互相交流判断方法和思路。
五、课堂小结（5分钟）1. 让学生回顾本节课所学的内容，总结正方形的性质和判定方法。
2. 强调正方形在几何图形中的特殊性和重要性。
六、布置作业（5分钟）1. 让学生完成课后练习，巩固正方形的性质和判定方法。
2. 鼓励学生自主探究其他几何图形的性质和判定方法。
教学反思：本节课通过引导学生观察、分析、归纳和证明，让学生掌握了正方形的性质和判定方法。
在教学过程中，注意让学生主动参与，培养学生的逻辑思维能力和几何直观能力。
同时，通过巩固练习和课后作业，让学生更好地理解和运用所学知识。
在今后的教学中，要注意引导学生灵活运用正方形的判定方法，解决实际问题。
《正方形的判定》教学设计一、教学内容分析正方形是基本的几何图形之一，具有四个边相等且四个角均为直角的特点，是学生在初中阶段需要掌握的重要概念之一、通过学习正方形的性质及判定方法，可以培养学生的逻辑思维能力和几何推理能力，提高他们的数学素养。
本节课的教学内容主要包括正方形的定义、性质和判定方法。
通过理解正方形的定义，学生可以明确正方形的特点；通过学习正方形的性质，帮助学生深入了解正方形的构造方式；通过掌握正方形的判定方法，让学生能够准确判断一个四边形是否为正方形。
二、教学目标设定1.知识与技能目标（1）了解正方形的定义和性质；（2）掌握正方形的判定方法；（3）能够准确判断一个四边形是否为正方形。
2.过程与方法目标（1）激发学生兴趣，提高学习积极性；（2）采用启发式教学方法，培养学生的逻辑思维能力；（3）组织学生参与多种形式的教学活动，提高学生的综合素质。
3.情感态度价值观目标（1）培养学生的自信心和自学能力；（2）促进学生之间的合作与交流，培养团队意识；（3）培养学生对数学的兴趣和热爱。
三、教学过程设计1.导入（10分钟）通过一个生动形象的教学视频或图片，向学生展示一些具有正方形特点的事物，引导学生猜测它们的特点是什么，从而导入正方形的定义。
2.学习正方形的性质（20分钟）（1）首先向学生介绍正方形的定义和性质，包括四条边相等、四个角均为直角等；（2）通过讲解和示范，帮助学生理解并掌握正方形的性质；（3）设计一些有趣的示例让学生自己观察、探索和总结，加深对正方形性质的理解。
3.学习正方形的判定方法（30分钟）（1）讲解正方形的判定方法，并向学生介绍如何通过边长和对角线来判断一个四边形是否为正方形；（2）设计一些实例让学生独立进行判断，并引导他们掌握正确的判定方法；（3）组织学生进行小组合作讨论，共同解决一些判定正方形的问题，提高学生的团队合作能力。
4.拓展和应用（20分钟）（1）设计一些拓展性的问题，让学生运用所学知识解决实际问题；（2）组织学生进行小组讨论和展示，鼓励他们积极思考和表达。
18.2.3 第2课时正方形的判定（导学案）学习目标1.了解正方形的定义，掌握几种判断正方形的方法；2.能够应用所学知识正确判断正方形；3.提高寻找解题思路的能力。
学习重点正方形的定义及判断方法学习难点应用所学知识正确判断正方形学习内容1.正方形的定义：–正方形是四条边相等，四个内角相等，且都是直角的四边形。
–正方形也是矩形，也是菱形，也是平行四边形。
2.判断正方形的方法：（1）四边相等：如果一个四边形的四条边相等，则它是正方形。
（2）对角线相等：如果一个四边形的对角线相等，则它是正方形。
（3）四条边均垂直：如果一个四边形的四条边均垂直，则它是正方形。
（4）四个内角均为直角：如果一个四边形的四个内角均为直角，则它是正方形。
3.题目练习：（1）下面四幅图中，哪一幅是正方形？题目一题目分析：–第一幅图：这是一个矩形，但不是正方形，因为它的长度和宽度不相等。
–第二幅图：这是一个菱形，也不是正方形，因为它的内角不是直角。
–第三幅图：这是一个正方形，因为它的四个内角均为直角。
–第四幅图：这是一个平行四边形，但不是正方形，因为它的长度和宽度不相等。
因此，答案是：第三幅图是正方形。
（2）判断下面四边形是否为正方形。
题目二题目分析：–从图中可以看出，这个四边形的四条边相等，但并没有垂直相交。
–因此，不能确定它的四个内角是否均为直角。
–所以，不能判断该四边形是否为正方形。
总结通过本节课的学习，我们了解到正方形的定义和判断方法，并且能够正确判断一个四边形是否为正方形。
在做题时，我们需要仔细观察图形的特征，找出其中与正方形相关的特点，然后根据我们学过的判断方法，进行判断。
在学习的过程中，我们不仅提高了解题能力，还增强了自己分析问题和寻找解题思路的能力。
人教版正方形的判定教案
教案：人教版正方形的判定
一、教学目标
1.理解正方形的定义与特征。
2.掌握正方形的判定方法。
3.运用正方形的判定方法解决实际问题。
二、教学内容
1.正方形的定义与特征。
2.正方形的判定方法。
三、教学步骤
步骤一：引入
通过提问和示意图，引导学生回顾正方形的定义和特征，激发学
生的兴趣。
步骤二：正方形的定义与特征
1.讲解正方形的定义：四条边相等且四个内角都为90度的四边形。
2.分析正方形的特征：
–边长相等：每条边都具有相同的长度。
–内角为90度：四个内角都是直角。
–对角线相等且互相垂直：正方形的对角线相等，并且互相垂直。
步骤三：正方形的判定方法
1.讲解正方形的判定方法：
–边长相等且内角为90度：如果一个四边形的四条边相等且四个内角都为90度，则这个四边形是正方形。
–对角线相等且互相垂直：如果一个四边形的对角线相等且互相垂直，则这个四边形是正方形。
2.提供练习题，通过练习让学生掌握正方形的判定方法。
步骤四：运用与实际问题
1.引导学生思考正方形在生活中的应用，如地铺砖、画框等。
2.提供实际问题，让学生运用正方形的判定方法解决问题。
四、教学反馈
1.综合练习题，检验学生对正方形的判定方法的掌握情况。
2.小组讨论，让学生展示他们解决实际问题的思路和方法。
五、课后作业
1.完成课堂练习题。
2.思考并记录身边的正方形应用实例。
以上是一份针对“人教版正方形的判定”的教案，希望能对您有所帮助。
部审人教版八年级数学下册教学设计18.2.3 第2课时《正方形的判定》一. 教材分析人教版八年级数学下册第18.2.3节《正方形的判定》是几何学习的重要内容。
本节课主要引导学生探究正方形的判定方法，让学生在掌握正方形性质的基础上，进一步理解和运用正方形的判定方法。
教材通过例题和练习，使学生熟练掌握正方形的判定方法，并能够运用判定方法解决实际问题。
二. 学情分析八年级的学生已经掌握了正方形的性质，具备一定的空间想象能力和逻辑思维能力。
但学生在判定正方形时，容易混淆判定条件和判定方法，对正方形的判定方法的理解和运用还不够熟练。
因此，在教学过程中，教师需要结合学生的实际情况，引导学生深入理解正方形的判定方法，并通过大量的练习，提高学生运用判定方法解决问题的能力。
三. 教学目标1.让学生掌握正方形的判定方法，并能够运用判定方法判断一个四边形是否为正方形。
2.提高学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
3.培养学生的合作交流能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.教学重点：正方形的判定方法。
2.教学难点：正方形判定方法的灵活运用。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生探究正方形的判定方法。
2.使用多媒体展示正方形的判定过程，增强学生的空间想象能力。
3.通过小组合作交流，提高学生的合作能力和解决问题的能力。
4.运用练习法，巩固学生对正方形判定方法的理解和运用。
六. 教学准备1.多媒体教学设备。
2.正方形判定方法的PPT。
3.练习题。
七. 教学过程1. 导入（5分钟）教师通过一个实例，引导学生思考如何判断一个四边形是否为正方形。
例如，展示一个边长为4cm的正方形，让学生判断其是否为正方形。
学生通过观察，得出正方形的判定条件：四条边相等，四个角都是直角。
2. 呈现（10分钟）教师使用PPT呈现正方形的判定方法。
通过多媒体动画展示，让学生直观地理解正方形的判定过程。
同时，教师引导学生总结正方形的判定方法：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；有三个角是直角的四边形是正方形；对边平行且相等的四边形是正方形。
18.2.3第2课时正方形的判定导学案一、知识点概述本课时主要介绍如何通过四个点的坐标判断它们能否组成一个正方形，并对如何利用正方形的性质解决实际问题进行讲解。
二、教学目标1.能够根据四个点的坐标判断它们能否组成一个正方形。
2.能够理解正方形的定义及性质。
3.能够灵活应用正方形的性质解决实际问题。
三、教学重点1.正方形的定义及性质。
2.通过四个点的坐标判断它们能否组成一个正方形。
四、教学难点1.如何通过四个点的坐标判断它们能否组成一个正方形。
2.如何利用正方形的性质解决实际问题。
五、教学内容及进度安排序号知识点课时知识点讲解案例演示习题讲解1正方形的定义及性质1课时通过幂等律、对称律和传递律讲解正方形的性质无无2通过四个点的坐标判断它们能否组成一个正方形1课时讲解如何计算每条边的长度和对角线的长度，并根据判断条件判断是否为正方形2个案例3个习题六、教学方法1.讲授法：通过点拨学生的疑点，讲解正方形的定义及性质。
2.实例法：通过具体的案例演示，让学生更好地理解正方形的性质及判定方法，增强学生对相关知识点的记忆和理解。
3.互动式教学法：通过讲解习题解法，增强学生对知识的运用和实践能力，提高学生的解题技巧。
七、教学手段1.教具：黑板、白板、笔、化学试剂，图形计算器等。
2.多媒体教学手段：使用幻灯片、视频、网站等多媒体教学手段辅助课堂教学，提高教学效果。
八、教学反思本课时主要介绍了正方形的定义及性质，以及如何通过四个点的坐标判断它们能否组成一个正方形，并对如何利用正方形的性质解决实际问题进行了讲解。
通过互动式教学法，讲解多个案例，让学生理解更为深入，对于提高学生的解题技巧有一定帮助。
在教学中，需要注意加强对学生的思维启发，帮助学生形成自己的解题思路。
2022-2023学年人教版八年级下册数学：18.2.3正方形判定2教学设计一、教学目标1.知识与技能：通过学习本节课的内容，学生能够正确判定一个图形是否为正方形，并能够解决与正方形相关的问题。
2.过程与方法：培养学生观察和分析问题的能力，并通过多种方法解决问题，包括通过对图形的性质进行分析判断。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，增强他们解决问题的自信心。
二、教学重难点1.教学重点：学生能够正确判定一个图形是否为正方形，并能够解决与正方形相关的问题。
2.教学难点：培养学生对图形性质的观察和分析能力，以及能够通过对图形性质进行分析判断的能力。
三、教学准备1.教材：人教版八年级下册数学教材。
2.工具：黑板、彩色粉笔、教学PPT、学生练习册。
四、教学过程第一步：导入新知1.讲师可以通过展示几个图形给学生看，询问学生对于正方形的认识，引导学生回忆正方形的定义。
2.提问：什么是正方形？正方形具有哪些特点？第二步：学习新知1.讲师通过教学PPT介绍判定正方形的方法和步骤。
包括判断边长相等和判断对角线相等。
2.示范讲解：以一个图形为例，教师指导学生如何判断它是否为正方形，并向学生展示解决方案。
3.学生思考与讨论：学生根据所学的方法和步骤，尝试判定几个图形是否为正方形，并讨论结果。
第三步：巩固与拓展1.教师布置练习册上与正方形判定相关的练习题，让学生进行个人或小组练习。
2.教师对学生的练习情况进行检查，对于答题正确和错误的学生进行指导和讲解。
3.引导学生思考：如果一个四边形的边长相等，但对角线不相等，那它一定是什么图形？第四步：延伸拓展1.将学生分成小组，每个小组选择一个自己喜欢的图形，通过判定图形性质，判断它是否为正方形。
2.学生展示自己小组的判断结果，并解释他们的判断过程。
第五步：总结与反思1.教师与学生一起总结本节课所学的内容，回答以下问题：如何判定一个图形是否为正方形？为什么对角线相等是判定正方形的必要条件？2.学生进行个人反思，思考本节课的收获和困惑之处。
正方形的判定(公开课教案)本教案旨在教授学生如何判定一个图形是否为正方形。
通过本课程，学生将学会使用几何知识和相关技巧来判断一个图形是否满足正方形的定义。
教学目标- 了解正方形的定义- 掌握判断正方形的几何特征- 学会应用几何知识进行正方形判定的问题- 发展学生的逻辑思维和判断能力教学准备- 教师准备一个正方形模型和一些图形示例- 教师准备一些与正方形判定相关的问题和练题- 学生准备纸和笔教学过程1. 导入- 教师向学生介绍正方形的定义，并展示一个正方形模型。
- 教师提问学生：你们认为怎样的图形才能被称为正方形？- 学生回答后，教师给予正面的评价并引导学生思考正方形的特征。
2. 规则讲解- 教师向学生介绍正方形必须满足的几何特征：- 四条边长度相等- 四个角度都是直角- 教师解释为什么这两个特征是定义正方形的必要条件，并给予实例加以说明。
3. 示例展示- 教师展示一系列图形示例，要求学生判断每个图形是否为正方形，并解释判断的依据。
- 学生参与讨论，教师引导学生发现和总结判断正方形的方法和策略。
4. 练与巩固- 教师提供一些正方形判定的问题和练题，让学生自行判断并解答。
- 学生完成练后，教师与学生一起讨论答案，讲解解题思路和方法。
5. 总结- 教师带领学生总结判断正方形的要点和方法。
- 教师强调几何知识在解决实际问题中的重要性，并鼓励学生继续探索和应用几何知识。
教学评估- 教师观察学生在判定正方形的过程中的表现和回答问题的能力。
- 学生完成的练题答案是否正确和解答是否合理。
扩展阅读- 推荐学生阅读相关的几何知识书籍或网站，继续深入研究和应用几何知识。
该教案通过引导学生探索和应用几何知识，帮助他们掌握判断正方形的方法和技巧。
通过学习，学生将提高他们的逻辑思维和判断能力，并将几何知识应用于实际问题的解决中。
该教案可作为正方形判定的基础教学内容，为学生打下坚实的几何学习基础。
18.2.3 正方形第2课时正方形的判定说课稿 2021—2022学年人教版数学八年级下册一、教材背景本节课是《数学八年级下册》中的第18章几何与变换的第2节课，讲解正方形的判定。
通过本节课的学习，学生能够理解什么是正方形，能够判断一个图形是否为正方形，并能解决与正方形相关的问题。
二、教学目标1.知识与技能：•理解正方形的定义及性质。
•掌握判断一个图形是否为正方形的方法。
•能够解决与正方形相关的问题。
2.过程与方法：•通过观察、比较和思考，理解正方形的概念。
•通过实例演练，掌握判断正方形的方法。
•引导学生自主探究，解决与正方形相关的问题。
3.情感、态度与价值观：•培养学生学习数学的兴趣和动力。
•提高学生的观察能力和判断能力。
•培养学生团队合作意识和探究精神。
三、教学重点与难点•教学重点：正方形的定义及性质，判断正方形的方法。
•教学难点：通过观察和判断，解决与正方形相关的问题。
四、教学过程1. 导入新知识•利用幻灯片或板书呈现一个图形，引导学生观察该图形的特点，让学生尽量用恰当的词汇进行描述。
•引导学生思考，这个图形是否为正方形？为什么？2. 引入正方形的定义•学生根据观察得出的结论，引导他们总结正方形的特点，从而引出正方形的定义。
•引导学生快速回顾并介绍正方形的定义：正方形是一种特殊的四边形，它的四条边相等且两两平行，四个内角都为90度。
3. 判断正方形的方法•通过几个实例的展示，引导学生探究判断正方形的方法。
–实例一：给出一个图形，让学生观察并判断是否为正方形。
依次引导学生通过测量边长和角度，以及边长和对角线的关系来判断是否为正方形。
–实例二：给出另一个图形，让学生用上述方法判断是否为正方形，并找出不是正方形的理由。
–实例三：让学生自行找一个图形，用上述方法判断是否为正方形，并解释判断的依据。
4. 解决正方形相关的问题•提出一些与正方形相关的问题，让学生尝试解决。
例如：如果一个图形是正方形，那么它的周长和面积有什么特点？如果一个四边形的对角线相等，那么它一定是正方形吗？5. 拓展延伸•引导学生进一步思考：如何判断一个图形是否为矩形？如何判断一个图形是否为菱形？激发学生对图形判定的深入思考。
正方形的判定教案一、教学目标：1. 让学生理解正方形的定义和性质。
2. 培养学生运用正方形的性质解决实际问题的能力。
3. 提高学生的观察、思考和动手能力。
二、教学内容：1. 正方形的定义：四条边相等，四个角都是直角的四边形。
2. 正方形的性质：对边平行且相等，对角相等，四条边都相等。
3. 正方形的判定方法：（1）四条边相等且四个角都是直角的四边形是正方形。
（2）对边平行且相等，对角相等，四条边都相等四边形是正方形。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：正方形的定义、性质和判定方法。
2. 教学难点：正方形的判定方法。
四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生探究正方形的性质。
2. 利用多媒体演示，直观展示正方形的性质和判定方法。
3. 组织学生进行小组讨论，培养学生的合作能力。
五、教学过程：1. 导入：展示一些生活中的正方形物品，如骰子、瓷砖等，引导学生思考正方形的特征。
2. 新课导入：介绍正方形的定义和性质。
3. 案例分析：分析一些图形，判断它们是否为正方形。
5. 课堂练习：布置一些有关正方形的练习题，巩固所学知识。
7. 作业布置：让学生课后找一些正方形的物品，观察并描述它们的特征。
六、教学评估：1. 课堂提问：通过提问了解学生对正方形定义、性质和判定方法的理解程度。
2. 练习题：分析学生完成练习题的情况，评估他们对正方形知识的掌握。
3. 小组讨论：观察学生在小组讨论中的表现，了解他们的合作能力和解决问题的能力。
七、教学拓展：1. 邀请数学家或者相关人员来讲解正方形在生活中的应用，激发学生对数学的兴趣。
2. 组织学生进行数学竞赛，如正方形绘画比赛，提高学生的动手能力和创新能力。
3. 引导学生思考正方形与其他几何图形的关系，如正方形与矩形、菱形的关系。
八、教学反思：1. 教师在课后要对课堂教学进行反思，思考如何更好地讲解正方形的性质和判定方法。
2. 考虑学生的反馈，调整教学方法，使教学更符合学生的学习需求。
一、教案基本信息教案名称：正方形的判定教案课时安排：1课时年级学科：初中数学教学目标：1. 让学生掌握正方形的定义和性质。
2. 培养学生运用几何知识解决实际问题的能力。
3. 提高学生的逻辑思维和判断能力。
教学重点：正方形的定义和性质教学难点：正方形判定方法的灵活运用教学准备：课件、黑板、几何模型二、教学过程1. 导入：通过展示正方形的实物模型，引导学生观察正方形的特点，引发学生对正方形的好奇心。
2. 探究正方形的定义：请学生尝试给出正方形的定义，师生共同总结出正方形的定义：四条边相等，四个角都是直角的四边形叫作正方形。
3. 分析正方形的性质：引导学生从正方形的定义出发，探讨正方形的性质，师生共同总结出正方形的性质：（1）四条边相等；（2）四个角都是直角；（3）对角线互相垂直且平分；（4）相邻边互相垂直。
4. 判定正方形的方法：引导学生思考如何判定一个四边形是正方形，师生共同总结出判定正方形的方法：（1）四条边相等且四个角都是直角；（2）对角线互相垂直且平分，且相等；（3）相邻边互相垂直且相等。
5. 练习与应用：出示一些练习题，让学生运用所学的正方形知识解决问题，提高学生的实际应用能力。
三、课堂小结通过本节课的学习，我们掌握了正方形的定义、性质和判定方法，能够灵活运用这些知识解决实际问题。
我们也要注意在日常生活和工作中发现和运用几何知识，提高我们的观察能力和思维能力。
四、课后作业1. 完成练习册的相关练习题。
2. 观察生活中的正方形物体，拍照或者画图，下节课分享给大家。
五、教学反思课后教师要对自己的教学进行反思，查看教学目标的达成情况，对学生的学习效果进行评估，为下一步的教学提供改进方向。
要关注学生的学习反馈，了解他们在学习过程中遇到的问题，以便更好地指导学生。
六、课堂活动1. 小组讨论：请学生们以小组为单位，讨论正方形的性质，每组选一个代表进行汇报。
2. 几何模型操作：学生们可以动手操作几何模型，观察正方形的特点，加深对正方形性质的理解。
正方形的判定教案以下是一份以正方形的判定为主题的教学教案：一、教学目标1. 让学生理解并掌握正方形的判定方法。
2. 通过探究活动，培养学生的逻辑思维能力和推理能力。
3. 激发学生对几何图形的兴趣，提高学习数学的积极性。
二、教学重难点重点：正方形的判定定理。
难点：灵活运用判定定理解决实际问题。
三、教学准备课件、正方形模型。
四、教学过程师：同学们，我们之前已经学过了正方形，那谁来说说正方形有什么特点呀？生：四条边相等，四个角都是直角。
师：非常好，那今天我们就来学习怎么判定一个图形是不是正方形。
大家想想，除了边和角，还有什么特征可以用来判定正方形呢？（学生思考讨论）生：对角线好像也有特点。
师：对啦，那具体是什么特点呢？生：对角线互相垂直平分且相等。
师：没错，这就是正方形的一个重要判定方法哦。
那我们来看几个例子，来判断一下这些图形是不是正方形。
（展示图形例子，师生一起分析判断）师：那同学们再想想，还有没有其他的判定方法呀？（引导学生回顾之前学过的矩形和菱形的判定与正方形的关系）师：大家看，如果一个矩形的邻边相等，是不是就是正方形啦？生：哦，对呀。
师：还有，如果一个菱形的一个角是直角，也是正方形哦。
师：现在大家都理解正方形的判定方法了吧？生：理解了。
师：那我们来做几道练习题巩固一下。
五、教学反思在教学过程中，通过师生对话引导学生积极思考和参与，大部分学生能较好地掌握正方形的判定方法。
但在今后教学中要注意给学生更多自主探究的时间和机会，进一步培养学生的思维能力。
同时，在练习题的设置上可以更加多样化，以满足不同学生的需求。
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第2课时正方形的判定教学设计课题正方形的判定授课人素养目标1.用类比方法归纳正方形的判定方法，培养学生的数学表达能力．2．探究并证明正方形的判定定理，理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的判定方法之间的区别和联系．3．灵活运用正方形的判定方法进行证明或计算，发展学生的逻辑思维能力.教学重点正方形判定方法的理解与应用．教学难点正方形判定方法的探究及证明.教学活动教学步骤师生活动活动一：知识回顾，导入新课设计意图通过拟人化的自我介绍调动学生积极性，思考该怎样判定正方形.【回顾导入】正方形的自我介绍：在四边形的大家庭中，我有四个兄弟．老大是平行四边形，它性格温和；老二是矩形，它稳重大方，江湖上人称长方形；老三是菱形，它活泼可爱．我就是正方形老四，我集三位大哥的优点于一身，人见人爱．到目前为止，我们已经认识了四边形大家庭的成员，前一课时，我们大致介绍了矩形、菱形、平行四边形与正方形的关系，并给出了下面的结构图．可以看到矩形、菱形各添加一个条件都能得到正方形，那么这个是否可以证明呢？我们这节课来看下.【教学建议】让学生根据上一课时介绍的平行四边形、矩形、菱形与正方形的关系，引发如何进行证明的思考.活动二：动手验证，探究新知设计意图让学生发现并总结正方形的判定定理.探究点正方形的判定1．有一组邻边相等的矩形是正方形我们来看下面这个问题：把一张矩形的纸片按图中那样折一下，是否可以截出正方形纸片？答案是肯定的，它的依据就是有一组邻边相等的矩形是正方形．下面我们进行证明：已知：如图，在矩形ABCD 中，AB ＝BC.求证：四边形ABCD 是正方形．证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A ＝∠B ＝∠C ＝∠D ＝90°，AD ＝BC ，AB ＝CD.∵AB ＝BC ，∴AB ＝BC ＝CD ＝AD ，∴四边形ABCD 是正方形．归纳总结：有一组邻边相等的矩形是正方形.【教学建议】(1)让学生猜测并验证正方形的判定定理，教师进行总结．(2)告诉学生必须在平行四边形或矩形或菱形的基础上判定正方形．一般先证明其是矩形或菱形，再从边、角、教学步骤师生活动2.有一个角是直角的菱形是正方形我们再来看一个问题：把能活动的菱形木框的一个角变为直角(如图)，能否得到正方形？可以看到,这个变化过程中只要改变菱形的一个角，就能得到正方形．下面我们进行证明：已知：如图，在菱形ABCD 中，∠A ＝90°.求证：四边形ABCD 是正方形．证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝BC ＝CD ＝AD ，∠A ＝∠C ，∠B ＝∠D.∵∠A ＝90°，∴易得∠B ＝∠C ＝∠D ＝∠A ＝90°，∴四边形ABCD 是正方形．归纳总结：有一个角是直角的菱形是正方形．在上面的证明过程中，是分别从矩形、菱形出发，添加边或角的条件后得到正方形，那么还有没有通过添加边、角、对角线的条件可以得到其他判定正方形的方法呢？大家想一想．归纳总结：思考：上面给出了正方形的一些判定方法，这也蕴含了他们之间的转换关系，那么正方形、菱形、矩形、平行四边形之间有什么关系呢？与同学们讨论交流，并列表或用框图表示这些关系．进一步地，四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形有什么关系？有兴趣的同学可以整理下．(结构图可参见后面的“【知识结构】”栏目)【对应训练】1.如图，在△ABC 中，点E ，D ，F 分别在边AB ，BC ，CA 上，且DE ∥CA ，DF ∥BA.(1)四边形AEDF 是平行四边形；(2)如果∠BAC ＝90°，那么四边形AEDF 是矩形；(3)如果AD 平分∠BAC ，那么四边形AEDF 是菱形；(4)如果∠BAC ＝90°，AD 平分∠BAC ，那么四边形AEDF 是正方形．2．教材P 60练习第3题．,对角线的方向证明其是正方形，或者直接由一组邻边相等且一内角是直角的平行四边形是正方形，对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形等来判定.教学步骤师生活动活动三：综合运例如图，在矩形ABCD 中，∠ABC 的平分线交对角线AC 于点E ，【教学建议】用，巩固提升设计意图巩固学生对正方形的判定的认识.EF ⊥AB ，EG ⊥BC ，垂足分别是F ，G.判断四边形EFBG 的形状，并证明你的结论.解：四边形EFBG 是正方形.证法1：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC ＝90°.又EF ⊥AB ，EG ⊥BC ，∴∠BFE ＝∠BGE ＝90°，∴四边形EFBG 是矩形.∵BE 为∠ABC 的平分线，∴EF ＝EG ，∴矩形EFBG 是正方形.证法2：如图．∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC ＝90°.∵BE 为∠ABC 的平分线，EF ⊥AB ，EG ⊥BC ，∴∠1＝∠2＝45°，EF ＝EG.∴∠3＝∠4＝45°，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，∴BF ＝EF ，BG ＝EG.∴BF ＝EF ＝EG ＝BG ，∴四边形EFBG 是菱形.又∠FBG ＝90°，∴菱形EFBG 是正方形.【对应训练】如图，Rt △ABC 的两条外角平分线相交于点D ，∠B ＝90°，过点D 分别作DE ⊥BA 于点E ，DF ⊥BC 于点F.(1)求证：四边形BFDE 是正方形；(2)若BF ＝6，C 为BF 的中点，求AE 的长.(1)证明：如图，过点D 作DH ⊥AC 于点H.∵DE ⊥BA ，DF ⊥BC ，∴∠E ＝∠F ＝∠B ＝90°，∴四边形BFDE 是矩形.∵AD 平分∠EAC ，DE ⊥BA ，DH ⊥AC ，∴DE ＝DH.同理，DH ＝DF ，∴DE ＝DF ，∴矩形BFDE 是正方形.(2)解：∵DH ⊥AC ，∴∠AHD ＝∠DHC ＝90°.由(1)知∠E ＝∠F ＝90°，DE ＝DH ，DH ＝DF ，∴∠AHD ＝∠DHC ＝∠E ＝∠F ＝90°.在Rt △AED 和Rt △AHD 中，AD ＝AD ，DE ＝DH ，∴Rt △AED ≌Rt △AHD(HL)，∴AE ＝AH.同理，CH ＝CF.∵BF ＝6，C 为BF 的中点，∴BC ＝CF ＝CH ＝3.∵四边形BFDE 是正方形，∴BE ＝BF ＝6.设AE ＝AH ＝x ，则AB ＝BE －AE ＝6－x ，AC ＝AH ＋CH ＝x ＋3.在Rt △ABC 中，由勾股定理，得AB2＋BC2＝AC2，即(6－x)2＋32＝(x ＋3)2，解得x ＝2，∴AE 的长为2.提醒学生：(1)正方形的判定要从边、角或对角线三个方面把握，判定时可根据先判定平行四边形或矩形或菱形，再根据相应条件判定得到正方形.(2)判定正方形后往往又需要利用其性质，并且经常综合三角形全等与勾股定理的知识来解题.活动四：随堂训练，课堂总结【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：正方形的判定有哪几种方法？【知识结构】【作业布置】1.教材P 62习题18.2第13题.2．相应课时训练．教学步骤师生活动板书设计18.2.3正方形第2课时正方形的判定1.有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形.注意：由于正方形的判定方法一般都是在平行四边形、矩形、菱形的基础上判定的，所以在判定正方形时，一定要仔细考虑题目中的条件，灵活选择适当的判定方法来分析问题和解决问题．例1如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠BAC ，∠ABC 的平分线交于点G ，GE ⊥BC 于点E ，GF ⊥AC 于点F.(1)求证：四边形GECF 是正方形；(2)若AC ＝4，BC ＝3，求四边形GECF 的面积．(1)证明：如图，过点G 作GD ⊥AB 于点D.∵∠BAC ，∠ABC 的平分线交于点G ，GE ⊥BC ，GF ⊥AC ，∴DG ＝EG ，DG ＝FG ，∴EG ＝FG.∵∠ACB ＝90°，GE ⊥BC ，GF ⊥AC ，∴∠ACB ＝∠CEG ＝∠CFG ＝90°，∴四边形GECF 是矩形．又EG ＝FG ，∴四边形GECF 为正方形．(2)解：如图，连接CG.在Rt △ABC 中，由勾股定理，得AB ＝BC 2＋AC 2＝32＋42＝5.设EG ＝x ，则DG ＝FG ＝x .∵S △ABC ＝S △AGB ＋S △AGC ＋S △BCG ，∴12×3×4＝12·5x ＋12·4x ＋12·3x ，∴x ＝1.∴EG ＝1，∴四边形GECF 的面积＝EG 2＝1.例2如图，将矩形纸片ABCD 折叠(AD>AB)，使点B 落在边AD 上的点B′处，AE 为折痕，然后将矩形纸片展开铺在一个平面上，点E 不动，将BE 折起，使点B 落在AE 上的点G 处，连接DE.若DE ＝EF ，CE ＝2，求AD 的长．解：∵四边形ABCD 是矩形，AB ＝AB′，∴AB ＝CD ，AD ＝BC ，∠B ＝∠C ＝90°，且四边形ABEB′是正方形，∴AB ＝BE ，∴BE ＝CD.又DE ＝EF ，∴Rt △BEF ≌Rt △CDE(HL )，∴BF ＝CE ＝2.由折叠得GF ＝BF ＝2，BE ＝GE ，∠FGE ＝∠B ＝90°.设AB ＝x ，则易得AE ＝2x ，∴AG ＝AE －GE ＝AE －BE ＝AE －AB ＝(2－1)x .∵AE 是正方形ABEB′的对角线，∴∠GAF ＝45°，∴∠AFG ＝45°，∴AG ＝FG.∴(2－1)x ＝2，解得x ＝22＋2.∴AB ＝BE ＝22＋2.2.有一组邻边相等的矩形是正方形.3.有一个角是直角的菱形是正方形.教学反思本节课对正方形判定的探究内容依旧集中在边、角、对角线三个方面，教学中运用逆向推理引导学生思索，并通过展示例题的方式使学生掌握正方形判定的结论，同时还是要强调平行四边形、矩形、菱形与正方形的关系.课堂以诙谐拟人化的介绍为开端，吸引学生的注意，充分调动了学生的积极性.∴AD ＝BC ＝BE ＋EC ＝22＋2＋2＝22＋4.例1如图，在正方形ABCD 中，△ABE 和△CDF 为直角三角形，∠AEB ＝∠CFD ＝90°，AE ＝CF ＝5，BE ＝DF ＝12，则EF 的长是(C )A ．7B ．8C ．72D ．73解析：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BAD ＝∠ABC ＝∠BCD ＝∠ADC ＝90°，AB ＝BC ＝CD ＝DA ，∴∠BAE ＋∠DAG ＝90°.在△ABE 和△CDF ＝CD ，＝CF ，＝DF ，∴△ABE ≌△CDF(SSS )，∴∠ABE ＝∠CDF.∵∠AEB ＝∠CFD ＝90°，∴∠ABE ＋∠BAE ＝90°，∴∠ABE ＝∠DAG ＝∠CDF.∴∠DAG ＋∠ADG ＝∠CDF ＋∠ADG ＝90°，即∠DGA ＝90°.在△ABE 和△DAG ABE ＝∠DAG ，AEB ＝∠DGA ＝90°，＝DA ，∴△ABE ≌△DAG(AAS )．∴AE ＝DG ，BE ＝AG.同理，AE ＝DG ＝CF ＝BH ＝5，BE ＝AG ＝DF ＝CH ＝12.∴EG ＝GF ＝FH ＝HE ＝12－5＝7.∴四边形EGFH 是菱形．∵∠GEH ＝180°－90°＝90°，∴四边形EGFH 是正方形，∴易得EF ＝2EG ＝7 2.故选C .例2如图，在△ABC 中，∠CAB ＝90°，AD 是边BC 上的中线，以AD ，CD 为边作ADCF ，连接BF 分别与AD ，AC 相交于点E ，G.(1)当△ABC 满足什么条件时，四边形ADCF 为正方形？并说明理由；(2)在(1)的条件下，若AB ＝62，求EF 的长．解：(1)当△ABC 满足AC ＝AB 时，四边形ADCF 为正方形．理由如下：∵∠CAB ＝90°，AC ＝AB ，AD 是边BC 上的中线，∴AD ＝CD ＝BD ，AD ⊥BC.∵四边形ADCF 是平行四边形，且AD ＝CD ，∴ADCF 是菱形．∵AD ⊥BC ，即∠ADC ＝90°，∴菱形ADCF 为正方形．(2)由(1)得∠ADB ＝90°.∵AD ＝BD ，AB ＝62，∴易得AD ＝BD ＝AF ＝6.∵四边形ADCF 为正方形，∴∠FAD ＝90°.在△FAE 和△BDE AEF ＝∠DEB ，FAE ＝∠BDE ＝90°，＝DB ，∴△FAE ≌△BDE(AAS )．∴AE ＝DE ＝12AD ＝12×6＝3，EF ＝EB ，∴EF ＝AF 2＋AE 2＝62＋32＝3 5.。
第2课时正方形的判定教学目标:1、知道正方形的判定方法，会运用平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定条件进行有关的论证和计算.2、经历探究正方形判定条件的过程，发展学生初步的综合推理能力，主动探究的学习习惯，逐步掌握说理的基本方法.3、理解特殊的平行四边形之间的内在联系，培养学生辩证看问题的观点.教学重点：掌握正方形的判定条件.教学难点：合理恰当地利用特殊平行四边形的判定进行有关的论证和计算.教学过程：一、创设问题情景，引入新课我们学习了平行四边形、矩形、菱形、正方形，那么思考一下，它们之间有怎样的包含关系？请填入下图中.通过填写让学生形象地看到正方形是特殊的矩形，也是特殊的菱形，还是特殊的平行四边形；而正方形、矩形、菱形都是平行四边形；矩形、菱形都是特殊的平行四边形.1、怎样判断一个四边形是矩形？2、怎样判断一个四边形是菱形？3、怎样判断一个四边形是平行四边形？4、怎样判断一个平行四边形是矩形、菱形？议一议：你有什么方法判定一个四边形是正方形？二、讲授新课1．探索正方形的判定条件：学生活动：四人一组进行讨论研究，老师巡回其间，进行引导、质疑、解惑，通过分析与讨论，师生共同总结出判定一个四边形是正方形的基本方法.（1）直接用正方形的定义判定，即先判定一个四边形是平行四边形，若这个平行四边形有一个角是直角，并且有一组邻边相等，那么就可以判定这个平行四边形是正方形；（2）先判定一个四边形是矩形，再判定这个矩形是菱形，那么这个四边形是正方形；（3）先判定四边形是菱形，再判定这个菱形是矩形，那么这个四边形是正方形.后两种判定均要用到矩形和菱形的判定定理.矩形和菱形的判定定理是判定正方形的基础.这三个方法还可写成：有一个角是直角，且有一组邻边相等的四边形是正方形；有一组邻边相等的矩形是正方形；有一个角是直角的菱形是正方形.上述三种判定条件是判定四边形是正方形的一般方法，可当作判定定理用，但由于判定平行四边形、矩形、菱形的方法各异，所给出的条件各不相同，所以判定一个四边形是不是正方形的具体条件也相应可作变化，在应用时要仔细辨别后才可以作出判断2．正方形判定条件的应用【例1】判断下列命题是真命题还是假命题？并说明理由.（1）四条边相等且四个角也相等的四边形是正方形；（2）四个角相等且对角线互相垂直的四边形是正方形；（3）对角线互相垂直平分的四边形是正方形；（4）对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；（5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形.师生共析：（1）是真命题，.因为四条边相等的四边形是菱形，又四个角相等，根据四边形内角和定理知每个角为90°，所以由有一个角是直角的菱形是正方形可以判定此命题是真命题.（2） 真命题，由.四个角相等可知每个角都是直角，是矩形，由对角线互相垂直可判定这个矩形是菱形，所以根据是矩形又是菱形的四边形是正方形，可判定其为真.（3） 假命题，对角线平分的四边形是平行四边形，对角线垂直的四边形是菱形，所以它不一定是正方形.如下图，满足A O=CO ，BO=D O 且AC ⊥BD 但四边形ABCD 不是正方形.（4） 假命题，它可能是任意四边形.如上图，AC ⊥BD 且AC=BD ，但四边形ABCD 不是正方形.（5） 真命题。
第 2 课时 正方形的判定教学 目标 一、1、 熟练掌握正方形的判定 2、 利用判定定理解决相关问题课前准备：温故：（1）正方形是怎样的平行四边形？（2）正方形是怎样的矩形？（3）正方形是怎样的菱形？（4）判定一个平行四边形是正方形，还应具备什么条件？（5）判定一个矩形是正方形还应具备什么条件？（6）判定一个菱形是正方形还应具备什么条件？二、 初步探究1、宁宁在商场看中了一块正方形纱巾，但不知是否是正方形，只见售货员阿姨拉起纱巾的一组对角，另一组对角能完全重合，看宁宁还在犹豫，又拉起纱巾的另一组对角，剩下的那组对角也能完全重合.阿姨认为这样就能证明纱巾是正方形，把纱巾给了宁宁，你认为宁宁手上的纱巾一定是正方形吗？ （说说自己的证明办法）一个角是直角一组邻边相等对角线互相垂直相等一组邻边相等对角线相等 一个角是直角三：巩固新知 1、判断对错： （1）如果一个菱形的两条对角线相等，那么它一定是正方形. （ ） （2）如果一个矩形的两条对角线互相垂直，那么它一定是正方形.（ ） （3）两条对角线互相垂直平分且相等的四边形，一定是正方形. （ ）（4）四条边相等，且有一个角是直角的四边形是正方形.（）2、已知：点 E、F、G、H 分别是正方形 ABCD 四条边上的中点，并且 E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、AD 的中点.求证：四边形 EFGH 是正方形.AHDEG3、自己完成课本 P23 的议一议 四、小结BCF1.正方形的判定方法.2.了解正方形、矩形、菱形之间的联系与区别，体验事物之间是相互联系但又有区别的辩证唯物主义观点.3.本节的收获与疑惑.五：课时作业24.2.1 点和圆的位置关系教学目标 (一)教学知识点 了解不在同一条直线上的三个点确定一个圆，以及过不在同一条直线上的三个点作圆的方法，了解三 角形的外接圆、三角形的外心等概念． (二)能力训练要求 1．经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，培养学生的探索能力． 2．通过探索不在同一条直线上的三个点确定一个圆的问题，进一步体会解决数学问题的策略． (三)情感与价值观要求 1．形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神． 2．学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果． 教学重点 1．经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，并能掌握这个结论． 2．掌握过不在同一条直线上的三个点作圆的方法． 3．了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念． 教学难点 经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，并能过不在同一条直线上的三个点作圆． 教学方法 教师指导学生自主探索交流法． 教具准备 投影片三张 教学过程 Ⅰ．创设问题情境，引入新课[师]我们知道经过一点可以作无数条直线，经过两点只能作一条直线．那么，经过一点能作几个圆？ 经过两点、三点……呢？本节课我们将进行有关探索．Ⅱ．新课讲解 1．回忆及思考 投影片(§3．4A) 1．线段垂直平分线的性质及作法． 2．作圆的关键是什么？ [生]1．线段垂直平分线的性质是：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．作法：如下图，分别以 A、B 为圆心，以大于 1 AB 长为半径画弧，在 AB 的两侧找出两交点 C、D， 2作直线 CD，则直线 CD 就是线段 AB 的垂直平分线，直线 CD 上的任一点到 A 与 B 的距离相等． [师]我们知道圆的定义是：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆．定点即为圆心，定长即为半径．根据定义大家觉得作圆的关键是什么？ [生]由定义可知，作圆的问题实质上就是圆心和半径的问题．因此作圆的关键是确定圆心和半径的大小．确定了圆心和半径，圆就随之确定． 2．做一做(投影片§3．4B) (1)作圆，使它经过已知点 A，你能作出几个这样的圆？ (2)作圆，使它经过已知点 A、B．你是如何作的？你能作出几个这样的圆？其圆心的分布有什么特点？与线段 AB 有什么关系？为什么？ (3)作圆，使它经过已知点 A、B、C(A、B、C 三点不在同一条直线上)．你是如何作的？你能作出几个这样的圆？ [师]根据刚才我们的分析已知，作圆的关键是确定圆心和半径，下面请大家互相交换意见并作出解答． [生](1)因为作圆实质上是确定圆心和半径，要经过已知点 A 作圆，只要圆心确定下来，半径就随之确定了下来．所以以点 A 以外的任意一点为圆心，以这一点与点 A 所连的线段为半径就可以作一个圆．由于 圆心是任意的．因此这样的圆有无数个．如图(1)．(2)已知点 A、B 都在圆上，它们到圆心的距离都等于半径．因此圆心到 A、B 的距离相等．根据前面 提到过的线段的垂直平分线的性质可知，线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，则圆心应在 线段 AB 的垂直平分线上．在 AB 的垂直平分线上任意取一点，都能满足到 A、B 两点的距离相等，所以 在 AB 的垂直平分线上任取一点都可以作为圆心，这点到 A 的距离即为半径．圆就确定下来了．由于线段 AB 的垂直平分线上有无数点，因此有无数个圆心，作出的圆有无数个．如图(2)．(3)要作一个圆经过 A、B、C 三点，就是要确定一个点作为圆心，使它到三点的距离相等．因为到 A、 B 两点距离相等的点的集合是线段 AB 的垂直平分线，到 B、C 两点距离相等的点的集合是线段 BC 的垂 直平分线，这两条垂直平分线的交点满足到 A、B、C 三点的距离相等，就是所作圆的圆心．因为两条直线的交点只有一个，所以只有一个圆心，即只能作出一个满足条件的圆． [师]大家的分析很有道理，究竟应该怎样找圆心呢？ 3．过不在同一条直线上的三点作圆． 投影片(§3．4C)作法图示1．连结 AB、BC2．分别作 AB、BC 的垂直 平分线 DE 和 FG，DE 和 FG 相交于点 O3．以 O 为圆心，OA 为半径作 圆 ⊙O 就是所要求作的圆他作的圆符合要求吗？与同伴交流． [生]符合要求． 因为连结 AB，作 AB 的垂直平分线 ED，则 ED 上任意一点到 A、B 的距离相等；连结 BC，作 BC 的垂直平分线 FG，则 FG 上的任一点到 B、C 的距离相等．ED 与 FG 的满足条件． [师]由上可知，过已知一点可作无数个圆．过已知两点也可作无数个圆，过不在同一条直线上的三点 可以作一个圆，并且只能作一个圆． 不在同一直线上的三个点确定一个圆． 4．有关定义 由上可知，经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆 (circumcircle of triangle)，这个三角形叫这个圆的内接三角形． 外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心(circumcenter)． Ⅲ．课堂练习 已知锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，分别作出它们的外接圆，它们外心的位置有怎样的特点？ 解：如下图． O 为外接圆的圆心，即外心． 锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心在斜边上，钝角三角形的外心在三角形的外部． Ⅳ．课时小结 本节课所学内容如下： 1．经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程． 方法． 3．了解三角形的外接圆，三角形的外心等概念． Ⅴ．课后作业 习题 3．6 Ⅵ．活动与探究如下图，CD 所在的直线垂直平分线段 AB．怎样使用这样的工具找到圆形工件的圆心？ 解：因为 A、B 两点在圆上，所以圆心必与 A、B 两点的距离相等，又因为和一条线段的两个端点距 离相等的点在这条线段的垂直平分线上，所以圆心在 CD 所在的直线上．因此使用这样的工具可以作出圆 形工件的任意两条直径．它们的交点就是圆心．。
第2课时正方形的判定1．掌握正方形的判定方法；(重点)2．会运用正方形的判定条件进行有关的论证和计算．(难点)一、情景导入我们学习了平行四边形、矩形、菱形、正方形，那么思考一下，它们之间有怎样的包含关系？请填入下图中．通过填写让学生形象地看到正方形是特殊的矩形，也是特殊的菱形，还是特殊的平行四边形；而正方形、矩形、菱形都是平行四边形；矩形、菱形都是特殊的平行四边形．1．怎样判断一个四边形是矩形？2．怎样判断一个四边形是菱形？3．怎样判断一个四边形是平行四边形？4．怎样判断一个平行四边形是矩形、菱形？议一议：你有什么方法判定一个四边形是正方形？二、合作探究探究点一：正方形的判定【类型一】先证明是矩形再证明是正方形已知：如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC，∠ABC的平分线交于点D，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F.求证：四边形CEDF是正方形．解析：欲证明四边形CEDF是正方形，先根据∠C＝90°，DE⊥BC，DF⊥AC，证明四边形CEDF是矩形，再证明一组邻边相等即可．证明：如图所示，过点D作DG⊥AB于点G.∵DF⊥AC，DE⊥BC，∴∠DFC＝∠DEC＝90°.又∠C＝90°，∴四边形CEDF是矩形(有三个角是直角的四边形是矩形)．∵AD平分∠BAC，DF⊥AC，DG⊥AB，∴DF＝DG.同理可得DE＝DG.∴DE＝DF.∴四边形CEDF是正方形(有一组邻边相等的矩形是正方形)．方法总结：正方形的判定方法有很多，可以先证明它是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直；或先证明它是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等．【类型二】先证明是菱形再证明是正方形如图，EG，FH过正方形ABCD的对角线的交点O，且EG⊥FH.求证：四边形EFGH 是正方形．解析：已知EG⊥FH，要证四边形EFGH为正方形，则只需要证四边形的对角线EG，HF互相平分且相等即可，根据题意可通过三角形全等来证OE＝OH＝OG＝OF.证明：∵四边形ABCD为正方形，∴OB＝OC，∠ABO＝∠BCO＝45°，∠BOC＝90°＝∠COH＋∠BOH.∵EG⊥FH，∴∠BOE＋∠BOH＝90°，∴∠COH＝∠BOE，∴△CHO≌△BEO，∴OE＝OH.同理可证：OE＝OF＝OG，∴OE＝OF＝OG＝OH.又∵EG⊥FH，∴四边形EFGH为菱形．∵EO＋GO＝FO＋HO，即EG＝HF，∴四边形EFGH为正方形．方法总结：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．探究点二：正方形、菱形、矩形与平行四边形之间的关系填空：(1)对角线________________的四边形是矩形；(2)对角线____________的平行四边形是矩形；(3)对角线__________的平行四边形是正方形；(4)对角线________________的矩形是正方形；(5)对角线________________的菱形是正方形．解：(1)相等且互相平分(2)相等(3)垂直且相等(4)垂直(5)相等方法总结：从对角线上分析特殊四边形之间的关系应充分考虑特殊四边形的性质与判别，防止混淆．菱形、矩形、正方形都是平行四边形，且是特殊的平行四边形，特殊之处在于：矩形是有一个角为直角的平行四边形；菱形是有一组邻边相等的平行四边形；而正方形是兼具两者特性的更特殊的平行四边形，它既是矩形，又是菱形．三、板书设计经历正方形判定条件的探索过程，发展学生初步的综合推理能力，主动探究的学习习惯，逐步掌握说理的基本方法．理解特殊的平行四边形之间的内在联系，培养学生辩证看问题的观点.第1课时教学目标1．知识与技能会推导平方差公式，并且懂得运用平方差公式进行简单计算．2．过程与方法经历探索特殊形式的多项式乘法的过程，发展学生的符号感和推理能力，使学生逐渐掌握平方差公式．3．情感、态度与价值观通过合作学习，体会在解决具体问题过程中与他人合作的重合性，体验数学活动充满着探索性和创造性．重点难点1．重点：平方差公式的推导和运用，以及对平方差公式的几何背景的了解．2．难点：平方差公式的应用．对于平方差公式的推导，我们可以通过教师引导，学生观察、•总结、猜想，然后得出结论来突破；抓住平方差公式的本质特征，是正确应用公式来计算的关键．教学方法采用“情境──探究”的教学方法，让学生在观察、猜想中总结出平方差公式．教学过程一、创设情境，故事引入【情境设置】教师请一位学生讲一讲《狗熊掰棒子》的故事【学生活动】1位学生有声有色地讲述着《狗熊掰棒子》的故事，•其他学生认真听着，不时补充．【教师归纳】听了这则故事之后，同学们应该懂得这么一个道理，学习千万不能像狗熊掰棒子一样，前面学，后面忘，那么，上节课我们学习了什么呢？还记得吗？【学生回答】多项式乘以多项式．【教师激发】大家是不是已经掌握呢？还是早扔掉了呢？和小狗熊犯了同样的错误呢？下面我们就来做这几道题，看看你是否掌握了以前的知识．【问题牵引】计算：（1）（x+2）（x－2）；（2）（1+3a）（1－3a）；（3）（x+5y）（x－5y）；（4）（y+3z）（y－3z）．做完之后，观察以上算式及运算结果，你能发现什么规律？再举两个例子验证你的发现．【学生活动】分四人小组，合作学习，获得以下结果：（1）（x+2）（x－2）=x2－4；（2）（1+3a）（1－3a）=1－9a2；（3）（x+5y）（x－5y）=x2－25y2；（4）（y+3z）（y－3z）=y2－9z2．【教师活动】请一位学生上台演示，然后引导学生仔细观察以上算式及其运算结果，寻找规律．【学生活动】讨论【教师引导】刚才同学们从上述算式中找到了这一组整式乘法的结果的规律，这些是一类特殊的多项式相乘，那么如何用字母来表现刚才同学们所归纳出来的特殊多项式相乘的规律呢？【学生回答】可以用（a+b）（a－b）表示左边，那么右边就可以表示成a2－b2了，即（a+b）（a－b）=a2－b2．用语言描述就是：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．【教师活动】表扬学生的探索精神，引出课题──平方差，并说明这是一个平方差公式和公式中的字母含义．二、范例学习，应用所学【教师讲述】平方差公式的运用，关键是正确寻找公式中的a和b，只有正确找到a和b，•一切就变得容易了．现在大家来看看下面几个例子，从中得到启发．【例1】运用平方差公式计算：（1）（2x+3）（2x－3）；（2）（b+3a）（3a－b）；（3）（－m+n）（－m－n）．填表：【例2】计算：（1）103×97（2）（3x－y）（3y－x）－（x－y）（x+y）通过做题，应该总结出：在两个因式中，符号相同的一项作a，符号不同的一项作b．三、随堂练习，巩固新知课本P108练习第1、2题．四、课堂总结，发展潜能本节课的内容是两数和与这两数差的积，公式指出了具有特殊关系的两个二项式积的性质．运用平方差公式应满足两点：一是找出公式中的第一个数a，•第二个数b；二是两数和乘以这两数差，这也是判断能否运用平方差公式的方法．五、布置作业，专题突破课本P112第1、2题．。
18.2.2 正方形（第2课时）教学设计一、教学目标1.理解正方形的定义和性质；2.能够判断一个图形是否为正方形，并给出相应的证明；3.掌握正方形的周长和面积的计算方法；4.能够通过解决实际问题应用正方形的相关概念和性质。
二、教学重点1.正方形的定义和性质；2.正方形的周长和面积计算方法。
三、教学准备1.教学课件和投影仪；2.板书工具和白板；3.学生课堂练习册。
四、教学过程1. 导入新知识•引导学生回顾上一节课学习的内容，对正方形的定义和性质进行复习。
2. 正方形的判定•展示一系列图形给学生，让学生判断其中哪些是正方形。
学生在白板上记录自己的答案。
•遍历学生的答案，对每个图形进行分析和讨论，教师纠正学生答案的错误之处，并让学生给出相应的证明。
•教师巩固学生对正方形的判定方法。
3. 正方形的属性•在白板上绘制一个正方形，标识出其边长和各个角的度数。
•引导学生观察正方形的性质，帮助学生总结正方形的属性，例如：四条边相等且平行，四个角是直角等。
4. 正方形的周长和面积•教师通过实际测量正方形的边长，计算正方形的周长，并解释计算方法。
•教师通过实际测量正方形的边长，计算正方形的面积，并解释计算方法。
•引导学生总结计算正方形周长和面积的公式和方法。
5. 应用实际问题•提供一些与正方形相关的实际问题给学生，让学生在小组中进行讨论和解答。
•学生展示自己的解题过程和答案，教师给予评价和指导。
6. 小结与拓展•教师对本节课的内容进行小结，并强调重点、难点和易错点。
•教师提供相关拓展题目，要求学生进行思考和解答。
7. 课堂练习•学生使用课堂练习册对本节课学习的知识进行巩固和复习。
•教师巡回指导，解答学生的疑问。
五、教学反思本节课通过判断正方形、总结正方形的性质和计算正方形的周长与面积这三个学习环节，有助于学生深入理解正方形的定义和性质，掌握相应的计算方法，并且能够应用正方形解决实际问题。
同时，课堂练习和小组讨论可以培养学生的问题解决能力和合作能力。
人教版正方形的判定教案(一)人教版正方形的判定教案教学目标•了解正方形的定义和特征。
•学会用边长和角度来判定正方形。
•能够正确判断给定图形是否为正方形。
教学准备•课件或黑板、粉笔•学生用纸和铅笔教学过程1.引入课题–向学生展示一个正方形，引导他们观察并讨论，什么是正方形？有什么特点？–引导学生关注正方形的边长和角度特征，帮助他们理解正方形的定义。
2.讲解正方形的定义和特征–在黑板上或课件上展示正方形的定义：“所有边相等且所有角均为直角的四边形为正方形。
”–强调正方形的边长相等和角度为直角的特点。
3.边长判定法–解释边长判定法：如果一个四边形的四条边长度相等，则它是正方形。
–指导学生通过测量每条边的长度来判断给定的四边形是否为正方形。
–给学生几个练习题进行实践操作。
4.角度判定法–解释角度判定法：如果一个四边形的四个角都是直角，则它是正方形。
–引导学生观察给定的四个角，判断角度是否都为直角。
–给学生几个练习题进行实践操作。
5.综合判定法–强调边长和角度判定法的综合运用，只有同时满足边长相等和角度为直角才能确定一个四边形是正方形。
–给学生几个练习题进行实践操作。
6.总结–综合回顾正方形的定义和特征。
–强调边长和角度判定法的重要性。
–鼓励学生通过多实践，加深对正方形判定方法的理解和掌握。
拓展活动•让学生分组进行小组讨论，找寻日常生活中的正方形实例。
•让学生用尺子和直角器制作几个正方形模型，加深对正方形特征的认识。
课堂作业编写简短的题目，要求学生判断给定的图形是否为正方形，并用边长判定法或角度判定法说明理由。
参考资料•人教版初中数学教材。
第2课时正方形的判定1．掌握正方形的判定条件；(重点)2．能熟练运用正方形的性质和判定进行有关的证明和计算．(难点)一、情境导入老师给学生一个任务：从一张彩色纸中剪出一个正方形．小明剪完后，这样检验它：比拟了边的长度，发现4条边是相等的，小明就判定他完成了这个任务．这种检验可信吗？小兵用另一种方法检验：量对角线，发现对角线是相等的，小兵就认为他正确地剪出了正方形．这种检验对吗？小英剪完后，比拟了由对角线相互分成的4条线段，发现它们是相等的．按照小英的意见，这说明剪出的四边形是正方形．你的意见怎样？你认为应该如何检验，才能又快又准确呢？二、合作探究探究点一：正方形的判定【类型一】利用“一组邻边相等的矩形是正方形〞证明四边形是正方形如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为∠ACB的平分线，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F.求证：四边形CEDF是正方形．解析：要证四边形CEDF是正方形，那么要先证明四边形CEDF是矩形，再证明一组邻边相等即可．证明：∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，∴DE＝DF，∠DFC＝90°，∠DEC ＝90°.又∵∠ACB＝90°，∴四边形CEDF是矩形．∵DE＝DF，∴矩形CEDF是正方形．方法总结：要注意判定一个四边形是正方形，必须先证明这个四边形为矩形或菱形．【类型二】利用“有一个角是直角的菱形是正方形〞证明四边形是正方形如图，在四边形ABFC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且CF＝AE.(1)试判断四边形BECF是什么四边形？并说明理由；(2)当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECF是正方形？请答复并证明你的结论．解析：(1)根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段两个端点的距离相等，有BE＝EC，BF＝FC.又∵CF＝AE，∴可证BE＝EC ＝BF＝FC.根据“四边相等的四边形是菱形〞，∴四边形BECF是菱形；(2)菱形对角线平分一组对角，即当∠ABC＝45°时，∠EBF＝90°，有菱形为正方形．根据“直角三角形中两个角锐角互余〞得∠A＝45°.解：(1)四边形BECF是菱形．理由如下：∵EF垂直平分BC，∴BF＝FC，BE＝EC，∴∠3＝∠1.∵∠ACB＝90°，∴∠3＋∠4＝90°，∠1＋∠2＝90°，∴∠2＝∠4，∴EC＝AE，∴BE＝AE.∵CF＝AE，∴BE＝EC＝CF ＝BF，∴四边形BECF是菱形；(2)当∠A＝45°时，菱形BECF是正方形．证明如下：∵∠A＝45°，∠ACB＝90°，∴∠3＝45°，∴∠EBF＝2∠3＝90°，∴菱形BECF是正方形．方法总结：正方形的判定方法：①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角；③还可以先判定四边形是平行四边形，再用判定定理1或判定定理2进行判定．探究点二：正方形的判定的应用【类型一】 正方形的性质和判定的综合应用如图，点E ，F ，P ，Q 分别是正方形ABCD 的四条边上的点，并且AF ＝BP ＝CQ ＝DE .求证：(1)EF ＝FP ＝PQ ＝QE ； (2)四边形EFPQ 是正方形． 解析：(1)证明△APF ≌△DFE ≌△CEQ ≌△BQP ，即可证得EF ＝FP ＝PQ ＝QE ；(2)由EF ＝FP ＝PQ ＝QE ，可判定四边形EFPQ 是菱形，又由△APF ≌△BQP ，易得∠FPQ ＝90°，即可证得四边形EFPQ 是正方形．证明：(1)∵四边形ABCD 是正方形，∴∠A ＝∠B ＝∠C ＝∠D ＝90°，AB ＝BC ＝CD ＝AD .∵AF ＝BP ＝CQ ＝DE ，∴DF ＝CE ＝BQ ＝AP .在△APF 和△DFE 和△CEQ 和△BQP 中，⎩⎪⎨⎪⎧AF ＝DE ＝CQ ＝BP ，∠A ＝∠D ＝∠C ＝∠B ，AP ＝DF ＝CE ＝BQ ，∴△APF ≌△DFE ≌△CEQ ≌△BQP (SAS)，∴EF ＝FP ＝PQ ＝QE ；(2)∵EF ＝FP ＝PQ ＝QE ，∴四边形EFPQ 是菱形．∵△APF ≌△BQP ，∴∠AFP ＝∠BPQ .∵∠AFP ＋∠APF ＝90°，∴∠APF ＋∠BPQ ＝90°，∴∠FPQ ＝90°，∴四边形EFPQ 是正方形．方法总结：此题考查了正方形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．注意解题的关键是证得△APF ≌△DFE ≌△CEQ ≌△BQP .【类型二】 与正方形的判定有关的综合应用题如图，△ABC 中，点O 是AC 上的一动点，过点O 作直线MN ∥BC ，设MN 交∠BCA 的平分线于点E ，交∠BCA 的外角∠ACG 的平分线于点F ，连接AE 、AF .(1)求证：∠ECF ＝90°； (2)当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？请说明理由；(3)在(2)的条件下，要使四边形AECF 为正方形，△ABC 应该满足条件：______________________(直接添加条件，无需证明)．解析：(1)由CE 、CF 分别平分∠BCO 和∠GCO ，可推出∠BCE ＝∠OCE ，∠GCF ＝∠OCF ，那么∠ECF ＝12×180°＝90°；(2)由MN ∥BC ，可得∠BCE ＝∠OEC ，∠GCF ＝∠OFC ，可推出∠OEC ＝∠OCE ，∠OFC ＝∠OCF ，得出EO ＝CO ＝FO ，点O 运动到AC 的中点时，那么EO ＝CO ＝FO ＝AO ，这时四边形AECF 是矩形；(3)由和(2)得到的结论，点O 运动到AC 的中点时，且△ABC 满足∠ACB 为直角时，那么推出四边形AECF 是矩形且对角线垂直，因而四边形AECF 是正方形．(1)证明：∵CE 平分∠BCO ，CF 平分∠GCO ，∴∠OCE ＝∠BCE ，∠OCF ＝∠GCF ，∴∠ECF ＝12×180°＝90°；(2)解：当点O 运动到AC 的中点时，四边形AECF 是矩形．理由如下：∵MN ∥BC ，∴∠OEC ＝∠BCE ，∠OFC ＝∠GCF .又∵∠OCE ＝∠BCE ，∠OCF ＝∠GCF ，∴∠OCE ＝∠OEC ，∠OCF ＝∠OFC ，∴EO ＝CO ，FO ＝CO ，∴OE ＝OF .又∵当点O 运动到AC 的中点时，AO ＝CO ，∴四边形AECF 是平行四边形．∵∠ECF ＝90°，∴四边形AECF 是矩形．(3)∠ACB ＝90°.方法总结：在解决正方形的判定问题时，可从与其判定有关的其他知识点入手，例如等腰三角形，平行线和角平分线．从中发现与正方形有关联的条件求解．三、板书设计1．正方形的判定方法一组邻边相等的矩形是正方形；有一个角是直角的菱形是正方形．2．正方形性质和判定的应用本节课采用探究式教学，让学生产生学习兴趣，通过实践活动调动学生的积极性，给学生动手操作的时机，变被动为主动学习，引导通过感官的思维去观察、探究、分析知识形成的过程，以此深化知识、更深刻理解知识、主动获取知识，养成良好的学习习惯．4．5一次函数的应用第1课时利用一次函数解决实际问题1．根据问题条件找出能反映出实际问题的函数；(重点)2．能利用一次函数图象解决简单的实际问题，开展学生的应用能力；(重点) 3．建立一次函数模型解决实际问题．(难点)一、情境导入联通公司话费收费有A套餐(月租费15元，通话费每分钟0.1元)和B套餐(月租费0元，通话费每分钟0.15元)两种．设A 套餐每月话费为y1(元)，B套餐每月话费为y2(元)，月通话时间为x分钟．(1)分别表示出y1与x，y2与x的函数关系式；(2)月通话时间为多长时，A、B两种套餐收费一样？(3)什么情况下A套餐更省钱？二、合作探究探究点：一次函数与实际问题利用图象(表)解决实际问题我国是世界上严重缺水的国家之一．为了增强居民节水意识，某市自来水公司对居民用水采用以户为单位分段计费的方法收费：月用水10t以内(包括10t)的用户，每吨收水费a元；月用水超过10t的用户，10t水仍按每吨a元收费，超过10t的局部，按每吨b元(b>a)收费．设某户居民月用水x t，应收水费y元，y与x之间的函数关系如以下图．(1)求a的值，并求出该户居民上月用水8t应收的水费；(2)求b的值，并写出当x>10时，y与x 之间的函数表达式；(3)上月居民甲比居民乙多用4t水，两家共收水费46元，他们上月分别用水多少吨？解析：(1)用水量不超过10t时，设其函数表达式为y＝ax，由上图可知图象经过点(10，15)，从而求得a的值；再将x＝8代入即可求得应收的水费；(2)可知图象过点(10，15)和(20，35)，利用待定系数法可求得b的值和函数表达式；(3)分别判断居民甲和居民乙用水比10t多还是比10t少，然后用相对应的表达式分别求出甲、乙上月用水量．解：(1)当0≤x≤10时，图象过原点，所以设y＝ax.把(10，15)代入，解得ayx(0≤x≤10)．当x＝8时，y×8＝12，即该户居民的水费为12元；(2)当x>10时，设y＝bx＋m(b≠0)．把(10，15)和(20，35)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧10b ＋m ＝15，20b ＋m ＝35，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，m ＝－5，即超过10t 的局部按每吨2元收费，此时函数表达式为y ＝2x －5(x >10)； (3)因为10×1.5＋10×1.5＋4×2＝38<46，所以居民乙用水比10t 多．设居民乙上月用水x t ，那么居民甲上月用水(x ＋4)t.y 甲＝2(x ＋4)－5，y 乙＝2x ，得[2(x ＋4)－5]＋(2x －5)＝46，解得x t ，居民乙用水12t.方法总结：此题的关键是读懂图象，从图象中获取有用信息，列出二元一次方程组得出函数关系式，根据关系式再得出相关结论．广安某水果店方案购进甲、乙两种新出产的水果共140千克，这两种水果的进价、售价如表所示：(1)假设该水果店预计进货款为1000元，那么这两种水果各购进多少千克？(2)假设该水果店决定乙种水果的进货量不超过甲种水果的进货量的3倍，应怎样安排进货才能使水果店在销售完这批水果时获利最多？此时利润为多少元？解析：(1)根据方案购进甲、乙两种新出产的水果共140千克，进而利用该水果店预计进货款为1000元，得出等式求出即可；(2)利用两种水果每千克的利润表示出总利润，再利用一次函数增减性得出最大值即可．解：(1)设购进甲种水果x 千克，那么购进乙种水果(140－x )千克，根据题意可得5x ＋9(140－x )＝1000，解得x ＝65，∴140－x ＝75(千克)．答：购进甲种水果65千克，乙种水果75千克；(2)由图表可得甲种水果每千克利润为3元，乙种水果每千克利润为4元．设总利润为W ，由题意可得W ＝3x ＋4(140－x )＝－x ＋560，故W 随x 的增大而减小，那么x 越小，W 越大．∵该水果店决定乙种水果的进货量不超过甲种水果的进货量的3倍，∴140－x ≤3x ，解得x ≥35，∴当x ＝35时，W 最大＝－35＋560＝525(元)，故140－35＝105(千克)．答：当购进甲种水果35千克，购进乙种水果105千克时，此时利润最大为525元．方法总结：利用一次函数增减性得出函数最值是解题关键．如图①，底面积为30cm 2的空圆柱形容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体〞，现向容器内匀速注水，注满为止，在注水过程中，水面高度h (cm)与注水时间t (s)之间的关系如图②所示．请根据图中提供的信息，解答以下问题：(1)圆柱形容器的高为多少？匀速注水的水流速度(单位：cm 3/s)为多少？(2)假设“几何体〞的下方圆柱的底面积为15cm 2，求“几何体〞上方圆柱的高和底面积．解析：(1)根据图象，分三个局部：注满“几何体〞下方圆柱需18s ；注满“几何体〞上方圆柱需24－18＝6(s)；注满“几何体〞上面的空圆柱形容器需42－24＝18(s)，再设匀速注水的水流速度为x cm 3/s ，根据圆柱的体积公式列方程，再解方程；(2)由图②知几何体下方圆柱的高为a cm ，根据圆柱的体积公式得a ·(30－15)＝18×5，解得a ＝6，于是得到“几何体〞上方圆柱的高为5cm ，设“几何体〞上方圆柱的底面积为S cm 2，根据圆柱的体积公式得5×(30－S )＝5×(24－18)，再解方程即可．解：(1)根据函数图象得到圆柱形容器的高为14cm ，两个实心圆柱组成的“几何体〞的高度为11cm ，水从刚满过由两个实心圆柱组成的“几何体〞到注满用了42－24＝18(s)，这段高度为14－11＝3(cm)．设匀速注水的水流速度为x cm3/s，那么18·x＝30×3，解得x＝5，即匀速注水的水流速度为5cm3/s；(2)由图②知“几何体〞下方圆柱的高为a cm，那么a·(30－15)＝18×5，解得a＝6，所以“几何体〞上方圆柱的高为11－6＝5(cm)．设“几何体〞上方圆柱的底面积为S cm2，根据题意得5×(30－S)＝5×(24－18)，解得S＝24，即“几何体〞上方圆柱的底面积为24cm2.方法总结：此题考查了一次函数的应用：把分段函数图象中自变量与对应的函数值转化为实际问题中的数量关系，然后运用方程的思想解决实际问题．【类型二】建立一次函数模型解决实际问题某商场欲购进A、B两种品牌的饮料共500箱，两种饮料每箱的进价和售价如下表所示．设购进A种饮料x箱，且所购进的两种饮料能全部卖出，获得的总利润为y元．(1)求y关于x的函数表达式；(2)如果购进两种饮料的总费用不超过20000元，那么该商场如何进货才能获利最多？并求出最大利润．(注：利润＝售价－本钱)解析：由表格中的信息可得到A、B两种品牌每箱的利润，再根据它们的数量求出利润，进而利用函数的图象性质求出最大利润．解：(1)由题意，知B种饮料有(500－x)箱，那么y＝(63－55)x＋(40－35)(500－x)＝3xy＝3x＋2500(0≤x≤500)；(2)由题意，得55x＋35(500－x)≤x≤125.∴当x＝125时，y最大值＝3×125＋2500＝2875.∴该商场购进A、B两种品牌的饮料分别为125箱、375箱时，能获得最大利润2875元．方法总结：此类题型往往取材于日常生活中的事件，通过分析、整理表格中的信息，得到函数表达式，并运用函数的性质解决实际问题．解题的关键是读懂题目的要求和表格中的数据，注意思考的层次性及其中蕴含的数量关系．【类型三】两个一次函数图象在同一坐标系内的问题为倡导低碳生活，绿色出行，某自行车俱乐部利用周末组织“远游骑行〞活动．自行车队从甲地出发，途经乙地短暂休息完成补给后，继续骑行至目的地丙地，自行车队出发1小时后，恰有一辆邮政车从甲地出发，沿自行车队行进路线前往丙地，在丙地完成2小时装卸工作后按原路返回甲地，自行车队与邮政车行驶速度均保持不变，，如图表示自行车队、邮政车离甲地的路程y(km)与自行车队离开甲地时间x(h)的函数关系图象，请根据图象提供的信息解答以下各题：(1)自行车队行驶的速度是________km/h；(2)邮政车出发多少小时与自行车队首次相遇？(3)邮政车在返程途中与自行车队再次相遇时的地点距离甲地多远？解析：(1)由速度＝路程÷时间就可以求出结论；(2)由自行车的速度就可以求出邮政车的速度，再由追击问题设邮政车出发a小时两车相遇建立方程求出其解即可；(3)由邮政车的速度可以求出B的坐标和C的坐标，由自行车的速度就可以D的坐标，由待定系数法就可以求出BC，ED的解析式就可以求出结论．解：(1)由题意得，自行车队行驶的速度是72÷3＝24km/h.(2)由题意得，邮政车的速度为24×2.5＝60(km/h)．设邮政车出发a 小时两车相遇，由题意得24(a ＋1)＝60a ，解得a ＝23.答：邮政车出发23小时与自行车队首次相遇；(3)由题意，得邮政车到达丙地所需的时间为135÷60＝94(h)，∴邮政车从丙地出发的时间为94＋2＋1＝214(h)，∴B (214，135)，C ，0)．自行车队到达丙地的时间为：135÷24＋0.5＝458＋0.5＝498(h)，∴D (498，135)．设BC的解析式为y 1＝k 1x ＋b 1，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧135＝214k 1＋b 1，0k 1＋b 1，∴⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝－60，b 1＝450，∴y 1＝－60x ＋450，设ED 的解析式为y 2＝k 2x ＋b 2，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧72k 2＋b 2，135＝498k 2＋b 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝24，b 2＝－12，∴y 2＝24xy 1＝y 2时，－60x ＋450＝24x －12，解得x ＝5.5.y 1＝－60×5.5＋450＝120.答：邮政车在返程途中与自行车队再次相遇时的地点距离甲地120km.方法总结：此题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与一元一次方程的综合运用，解答时求出函数的解析式是关键．三、板书设计一次函数与实际问题1．建立一次函数模型解实际问题2．利用图象(表)解决实际问题对于分段函数的实际应用问题中，学生往往无视了自变量的取值范围，同时解决有交点的两个一次函数图象的问题还存在一定的困难，有待在以后的教学中加大训练,力争逐步提高.。
