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《平面向量基本定理》 说课稿 尊敬的各位评委、老师们： 大家好！今天我说课的内容是《平面向量基本定理》。下面我将从教材分析、学情分析、教学目标、教学重难点、教法与学法、教学过程以及教学反思这几个方面来展开我的说课。
一、教材分析 “平面向量基本定理”是人教版高中数学必修 4 第二章第三节的内容。向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景。平面向量基本定理是向量法的理论基础，它揭示了平面向量可以用一组不共线的向量来线性表示，为向量的坐标表示奠定了基础，也为解决几何问题提供了新的方法和途径。
本节课在教材中的地位和作用十分重要，它不仅是对前面向量知识的深化和拓展，也为后续学习向量的坐标运算、向量的数量积以及空间向量等内容做好了铺垫。
二、学情分析 授课对象是高一下学期的学生，他们已经掌握了向量的基本概念和线性运算，具备了一定的数学思维能力和抽象概括能力。但对于平面向量基本定理的理解和应用可能会存在一定的困难，尤其是对定理中不共线向量的作用以及线性表示的唯一性的理解。
在教学过程中，要充分考虑学生的认知水平和思维特点，通过直观感知、操作确认、思辨论证等活动，引导学生逐步理解和掌握平面向量基本定理。
三、教学目标 1、 知识与技能目标 （1）理解平面向量基本定理的内容，能够用平面向量基本定理解决简单的向量问题。
（2）掌握平面内任意一个向量用不共线的两个向量线性表示的方法。
2、 过程与方法目标 （1）通过观察、实验、猜想、验证等数学活动，培养学生的观察能力、分析能力和逻辑推理能力。
（2）经历平面向量基本定理的探究过程，体会由特殊到一般、归纳、类比等数学思想方法。
3、 情感态度与价值观目标 （1）让学生在自主探究、合作交流的过程中，体验成功的喜悦，增强学习数学的信心。 （2）通过对平面向量基本定理的应用，感受数学与实际生活的紧密联系，激发学生学习数学的兴趣。
第一章绪论1、所谓“完全弹性体”是指（B）.A、材料应力应变关系满足虎克定律B、材料的应力应变关系与加载时间、历史无关C、本构关系为非线性弹性关系D、应力应变关系满足线性弹性关系2、关于弹性力学的正确认识是（A）.A、计算力学在工程结构设计中的作用日益重要B、弹性力学从微分单元体入手分析弹性体，因此与材料力学不同,不需要对问题作假设C、任何弹性变形材料都是弹性力学的研究对象D、弹性力学理论像材料力学一样,可以没有困难的应用于工程结构分析3、下列对象不属于弹性力学研究对象的是(D）。
A、杆件B、板壳C、块体D、质点4、弹性力学研究物体在外力作用下，处于弹性阶段的应力、应变和位移。
5、弹性力学可以解决材料力学无法解决的很多问题；并对杆状结果进行精确分析，以及验算材力结果的适用范围和精度。
与材料力学相比弹性力学的特点有哪些?答:1）研究对象更为普遍；2）研究方法更为严密;3）计算结果更为精确;4）应用范围更为广泛.6、材料力学研究杆件，不能分析板壳；弹性力学研究板壳,不能分析杆件。
（×）改：弹性力学不仅研究板壳、块体问题，并对杆件进行精确的分析，以及检验材料力学公式的适用范围和精度。
7、弹性力学对杆件分析（C）.A、无法分析B、得出近似的结果C、得出精确的结果D、需采用一些关于变形的近似假定8、图示弹性构件的应力和位移分析要用什么分析方法?（C）A 、材料力学B 、结构力学C 、弹性力学D 、塑性力学解答:该构件为变截面杆，并且具有空洞和键槽。
9、弹性力学与材料力学的主要不同之处在于（ B ）。
A 、任务B 、研究对象C 、研究方法D 、基本假设10、重力、惯性力、电磁力都是体力.(√）11、下列外力不属于体力的是（D ）A 、重力B 、磁力C 、惯性力D 、静水压力12、体力作用于物体内部的各个质点上，所以它属于内力。
(×）解答：外力。
它是质量力。
13、在弹性力学和材料力学里关于应力的正负规定是一样的。
第二章平面汇交力系的合成与平衡课题：第一节平面汇交力系的合成与平衡（一）[教学目标]一、知识目标：1、了解求解平面汇交力系的两种方法。
2、理解平面力系、平面汇交力系。
3、理解平面汇交力系平衡的几何条件。
二、能力目标：通过用几何法求解平面汇交力系的合力，提高学生运用平面几何知识解决力学问题的能力，提高对知识的理解运用能力。
三、素质目标：培养学生的分析问题能力[教学重点]平面汇交力系平衡的几何条件。
[难点分析]用几何法求解平面汇交力系的合力。
[学生分析]学生的数学基础知识需要强化补充。
[辅助教学手段]理论联系实际进行分析，围绕练习题展开讨论。
[课时安排]2课时[教学内容]一、导入新课我们在对力系进行研究时，为了方便，可以按照各力作用线的分布情况进行分类。
从讲实际结构的受力情况入题，一般结构所受的作用力不在同一个平面内，这种力系就属于空间力系；反之，如果所受的作用力都在同一个平面内，这种力系就属于平面力系。
那么在我们研究的力系中，也把它分为两类：空间力系和平面力系。
工程中许多结构所受的作用力虽是空间力系，但在一定条件下可以简化为平面力系，比如水坝、挡土墙的受力等。
平面力系是工程中最常见的力系，本章讨论的便是平面力系的合成和平衡问题，随之引出平面汇交力系的概念及其求解平面汇交力系的两种方法：几何法和解析法。
二、新课讲解1、平面汇交力系合成的几何法（1）导入：力是矢量，矢量的合成都可以遵循平行四边形法则，那么两个汇交力怎么合成呢：两个力的合力的作用点是原汇交点，大小和方向是以两个分力为邻边所构成的平行四边形的对角线。
（2）分析：在力的平行四边形法基础上，可以得到两个汇交力合成的三角形法和多个汇交力合成的力多边形法。
（3）概念：平面汇交力系合成的结果是一个合力，合力的大小和方向等于原力系中各力的矢量和，其作用点是原汇交力系的交点。
2、平面汇交力系平衡的几何条件（1）分析：如果某平面汇交力系的力多边形首尾相重合，即力多边形自行闭合，则力系的合力等于零，物体处于平衡状态，该力系为平衡力系。
第二章平面问题的基本理论两类平面问题平面问题的基本方程平面问题的边界条件圣维南原理两种求解途径1． 两类平面问题的基本概念一般情况下，弹性力学问题都是空间问题，但是，当弹性体具有某种特殊形状，受有某种特殊的外力时，空间问题可以简化为平面问题，即弹性体的几何参数和所受的外力只是二维坐标（例如x ，y ）的函数（与z 无关）；只需要确定oxy 平面内的应力、应变和位移分量（且只是x 、y 的函数），其它分量或不存在、或可用oxy 平面内的分量表示出来；所得基本方程也都是二维的。
平面问题分两种情况，平面应力问题和平面应变问题。
这两类平面问题的基本特征见表2-1。
图2-1图2-2综上所述，无论是平面应力问题，还是平面应变问题，它们所具有的独立未知量是相同的，3个应力分量（xy t x τσσ,,）、3个应变分量（xy y x γεε,,）、2个位移分量（v u ,），并且都是x ，y 的函数，与z 无关。
2. 平面问题的基本方程解答弹性力学问题必须从静力学、几何学和物理学三个方面考虑，建立其基本方程。
（1）平衡微分方程 从弹性体内任一点取出微元体，建立弹性体内一点的应力分量与体力分量之间的关系。
得到平衡微分方程。
,0=+∂∂+∂∂=+∂∂+∂∂Y yxX yxyxyyxxσστσ. (2-1)（2）几何方程三个应变分量与两个位移分量之间的关系。
x vyu yv x u xyy x ∂∂+∂∂=∂∂=∂∂=γεε,,. (2-2)注意：① 从几何方程（2-2）可以看到，三个应变分量由两个位移分量表示，这说明三个应变分量之间要满足一定的协调关系，不能任意选取。
这个协调关系称为相容方程：.22222yx xyxy y x∂∂∂=∂∂+∂∂γεε (2-3)② 对按应力求解弹性力学问题来说，由于两个平衡微分方程中含有三个应力分量，所以相容方程（2-3）是必须满足的基本方程之一。
否则，就不能由所给出的应力求出连续的位移。
③ 在保证位移连续这一点上，几何方程（2-2）和相容方程（2-3）是等价的。
因为变形要连续，三个应变分量之间要满足一定的协调关系，几何方程（2-2）是以两个位移分量作参数，间接地表示了这种关系；相容方程（2-3）则是直接地表示了这种关系。
④ 已知位移分量可以完全确定应变分量，反之，已知应变分量（满足相容方程（2-3））不能完全确定位移分量。
因为物体的位移一般由两部分组成，其中一部分是由物体的刚性位移引起的，另一部分是由物体受力变形引起的。
所以变形为零时，物体可有不同的刚性位移，它取决于物体所受的约束条件。
为了完全确定位移，必须由三个适当的约束条件。
⑤对两种平面问题，它们的几何方程是相同的，平衡微分方程也是相同的。
（3）物理方程平面问题的物理方程，就是广义胡克定律运用于平面问题时所建立的三个应力分量和三个应变分量之间的关系。
平面应力问题的物理方程：()()()xy xy xy y yxx GE E τλμσσεμσσε14211=--=-=()()()xyxyxy yyxxG E Eγτμεεμσμεεμσ=-+-=+-=521122平面应变问题的物理方程：在平面应力问题的物理方程（2-4）中，将)1/(),1/(,2μμμμ--E E 分别换成就得到平面应变问题的物理方程（2-5），剪切弹性模量G不变。
3. 平面问题的边界条件在弹性力学问题中，给定面力的边界，用σS 表示；给定位移的边界，用u S 表示；l 和m表示边界面的方向余弦。
平面问题的边界条件一般可分为三类： ⑴ 位移边界条件：在u S 上，物体的位移分量在边界上等于边界上已知的位移。
即：在u S 上： ()()v v u u ss ==,; (2-6)⑵ 应力边界条件：在σS 上，应力分量与面力分量之间应满足的平衡条件。
即：在σS 上：,,Y m l X m l yxyxyx=+=+σττσ(2-7)实质上，应力边界条件是弹性体内部各点的平衡条件在其边界上的延续。
当σS 平行于y 轴时， ,,Y X xy x±=±=τσ(2-8a )当σS 平行于x 轴时，,,X Y yxy±=±=τσ(2-8b )当边界面的外法线方向与某一坐标轴正向一致时，等式右边取正号，否则取负号。
⑶ 混合边界条件：一部分边界是σS ，给定面力；另一部分边界是u S ，给定位移。
对于边界上的一个点，在某一确定方向上，必须且只能给出σS 和u S 中的一种，既不能同时给定，也不能同时不给定；而同一点在两个互相垂直方向上，可以是一个为σS ，另一个为u S 。
4. 圣维南原理和静力等效边界条件⑴ 圣维南原理：将物体一小部分边界上的面力变换成分布不同，但静力等效的面力（主矢相同，主矩相同），只影响近处的应力分布，对远处应力的影响可以忽略不计。
圣维南原理又称为局部性原理：若一小部分边界上作用着平衡力系（即主矢和主矩都是零），则此平衡力系只在近处产生显著应力，而对远处的影响可以忽略不计。
注意：① 应用圣维南原理时不能离开“在小部分边界”、“静力等效”的条件。
② 应用圣维南原理影响的区域大致与构件的横向尺寸相当。
⑵ 静力等效边界条件：在许多实际问题中，很难精确地知道边界面力的真实分布规律，但是，根据圣维南原理，可以不给出面力的具体分布规律，而用局部应力积分的等效条件代替逐点满足的边界条件，即在局部，对于严格要求的条件有所放松。
这样的边界条件称为静力等效边界条件。
如图2-3所示悬臂梁，其自由端的静力等效边界条件为：()()()MydyR dy R dyh h x x y h h x xyx h h x x ±=±=±=⎰⎰⎰-=-=-=2/2/02/2/02/2/0,,στσ.其中前两式在正面取正号，负面取负号，第三式，坐标轴正向的应力对坐标原点产生的力矩与外力矩转向一致时取正号，否则取负号。
如下例。
()()()Pdy MydyQdyh h x xyh h x x h h x x -===⎰⎰⎰-=-=-=2/2/02/2/02/2/0τσσ5. 平面问题的两种求解途径 平面问题共有8个未知函数（vu xyy x xy y x ,,,,,,,γεετσσ），8个基本方程（2个平衡微分方程，3个几何方程，3个物理方程）。
求解时常用按位移求解和按应力求解两种途径。
⑴ 按位移求解平面问题：以位移为基本未知量，类似于结构力学位移法，以位移表示的平衡微分方程（2-9），应力边界条件也用位移来表达（如下表），在给定边界条件下求解，先求出位移再用几何方程求应变，用物理方程求应力。
021211021211222222222222=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂++∂∂-+∂∂-=+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂++∂∂-+∂∂-Y y x u x v y v E X y x v y u x u E μμμμμμ （2-9）图2-3基本未知量：位移、应力、应变位移注意；① 因为(2-9)已包含了几何方程，不需要再利用相容方程（2-3），相容方程会自行满足。
② 按位移求解时需求解二阶联立偏微分方程，虽在理论讲适用于各类边界问题，但实际运用时较难得到精确满足位移边界条件的解析解，因此，使其在寻求精确解时受到了限制。
然而，这一解法在数值解法中（如有限单元法）得到了广泛的应用。
③ 式（2-9）是按平面应力问题推出来的，对于平面应变问题需将方程中的)1/(),1/(,2μμμμ--E E 分别换成。
⑵ 按应力求解平面问题：以应力为基本未知量，除运用平衡微分方程（2-1）外，还需补充用应力表示的相容方程（2-10）（它是将物理方程代入应变要满足的相容方程（2-3）得到的，如下表）。
在给定的应力边界条件下求解，先求出应力，再用物理方程求应变，由几何方程通过积分求得位移。
()()()常体力情况下一般情况下0122=+∇⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+-=+∇yx yxy Y xXσσμσσ （2-10）常体力下基本未知量：未知量：基本未知量：应力函数应力位移、应力、应变注意；①按应力求解时，为了保证能由应变积分求得连续的位移，需补充相容方程（2-10）。
该方程是单连体连续的充分和必要条件，对于多连体还要再满足位移单值条件。
②应力解法通常适用于应力边界问题或仅在局部给定位移的混合边界问题。
由于可引入应力函数求解，故在寻求平面问题解析解时，用此法求解比按位移求解容易。
③式（2-10）是按平面应力问题推出来的，对于平面应变问题需将方程中的)1/(μμμ-分别换成。
④按应力求解常体力情况下的两类平面问题，归结为在给定的应力边界条件下，求解偏微分方程组（2-11），()0,02=+∇=+∂∂+∂∂=+∂∂+∂∂yxyxyxyxY xyX y x σστστσ （2-11）方程组（2-11）和应力边界条件都不包含弹性常数，因此，按应力求解单连通平面弹性体的应力边界问题时，其应力解答与材料性质（G E ,,μ）无关（但应变和位移与材料性质有关）。
因此，在边界相同、外力相同的情况下，对某一材料弹性体求出的应力也适用于其他材料的弹性体；对平面应力问题求出的应力xyy x τσσ,,也适用于平面应变问题。
6. 一点的应力状态⑴ 任意斜截面上的应力：已知两个互相垂直截面上的应力分量和斜截面的方向余弦l,m ，便可求出任一斜截面上的应力分量为：()()xyxy N xyyxNm llm lm m l τσσττσσσ22222-+-=++= （2-12）⑵ 主应力：剪应力等于零的平面称为应力主平面，主平面上的正应力称为主应力。
222122xy yxyx τσσσσσσ+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-±+=⎭⎬⎫（2-13）注意；① 物体内任一点的主应力不随坐标系的改变而改变，因此，由（2-13）可知：21σσσσ+=+yx是一个不变量。
② 平面应力状态下，任一点一般存在两个主应力，二者方向互相垂直。
③ 两个主应力中，一个是最大正应力，另一个是最小正应力。
④ 最大（小）剪应力所在平面与主平面夹角45°，其值为：±=⎭⎬⎫minmax ττ222122σστσσ-±=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-xy yx（2-14）⑤ 最大正应力作用面上的剪应力为零，而最大剪应力作用面上的正应力一般不为零，而是：2yxσσσ+=。
