金典艺术生高考数学复习资料--5函数性质X.doc

高考函数总结一、函数的概念与表示 1、函数 （1)函数的定义①原始定义：设在某变化过程中有两个变量x 、y ，如果对于x 在某一范围内的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与它对应，那么就称y 是x 的函数，x 叫作自变量。

②近代定义:设A 、B 都是非空的数的集合,f ：x →y 是从A 到B 的一个对应法则,那么从A 到B 的映射f ：A →B 就叫做函数，记作y=f(x)，其中B y A x ∈∈,，原象集合A 叫做函数的定义域,象集合C 叫做函数的值域。

B C ⊆（2)构成函数概念的三要素 ①定义域 ②对应法则 ③值域 3、函数的表示方法 ①解析法 ②列表法 ③图象法 注意：强调分段函数与复合函数的表示形式。

二、函数的解析式与定义域1、函数解析式：函数的解析式就是用数学运算符号和括号把数和表示数的字母连结而成的式子叫解析式， 求函数解析式的方法:（1） 定义法 (2)变量代换法 （3)待定系数法(4）函数方程法 （5）参数法 （6）实际问题2、函数的定义域：要使函数有意义的自变量x 的取值的集合。

求函数定义域的主要依据： (1）分式的分母不为零；（2）偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义； （3）对数函数的真数必须大于零;（4）指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1；如果函数是由一些基本函数通过四则运算而得到的，那么它的定义域是由各基本函数定义域的交集。

3。

复合函数定义域：已知f （x ）的定义域为[]b a x ,∈,其复合函数[])(x g f 的定义域应由不等式b x g a ≤≤)(解出。

三、函数的值域 1．函数的值域的定义在函数y=f （x ）中,与自变量x 的值对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。

2．确定函数的值域的原则①当函数y=f （x ）用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y 的集合；②当函数y=f （x ）用图象给出时,函数的值域是指图象在y 轴上的投影所覆盖的实数y 的集合； ③当函数y=f(x ）用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定； ④当函数y=f （x ）由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定。

考点五函数的性质——单一性、奇偶性、周期性知识梳理1．函数的单一性(1)单一函数的定义一般地，设函数f(x)的定义域为 I ：假如对于定义域I 内某个区间 D 上的随意两个自变量的值x1、x2，当 x1<x2时，都有 f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间 D 上是单一增函数．假如对于定义域I 内某个区间 D 上的随意两个自变量的值x1、x2，当 x1<x2时，都有 f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间 D 上是单一减函数．从图象来看，增函数图象从左到右是上涨的，减函数图象从左到右是降落的，如下图：（2）单一性与单一区间假如一个函数在某个区间M 上是单一增函数或是单一减函数，就说这个函数在这个区间M 上拥有单一性 (区间 M 称为单一区间)．2．函数的奇偶性(1) 奇函数、偶函数的观点一般地，假如对于函数f(x)的定义域内随意一个x，都有 f(－ x)＝ f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．一般地，假如对于函数f(x)的定义域内随意一个x，都有 f(－ x)＝－ f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．奇函数的图象对于原点对称，偶函数的图象对于y 轴对称．(2)判断函数的奇偶性的步骤与方法判断函数的奇偶性，一般都依照定义严格进行，一般步骤是：①观察定义域能否对于原点对称．②观察表达式 f(－ x)能否等于 f(x)或－ f( x)：若 f(－ x)＝－ f(x)，则 f(x) 为奇函数；若 f(－ x)＝ f(x)，则 f( x)为偶函数；若 f(－ x)＝－ f(x)且 f( －x) ＝f(x)，则 f(x)既是奇函数又是偶函数；若 f(－ x)≠－ f(x)且 f( －x) ≠f(x)，则 f(x)既不是奇函数又不是偶函数，既非奇非偶函数．3．函数的周期性(1) 周期函数的观点：对于函数y＝ f(x)，假如存在一个不为零的常数T，使适当x 取定义域内的每一个值时，f(x＋ T)＝ f(x) 都建立，则称y＝ f(x)为周期函数，非零常数T 叫做函数的周期.(2)最小正周期：假如在周期函数 f(x)的全部周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作 f(x) 的最小正周期．(3)一般地，假如 T 为函数 f(x)的周期，则 nT（n∈Z）也是函数 f(x)的周期，即有 f(x＋ nT)＝f(x)．(4) 最小正周期是指是函数值重复出现的自变量x 要加上的最小正数，这个正数是相对x 而言的．其实不是全部的周期函数都有最小正周期，比方常数函数最小正周期．f(x)＝ C（ C 为常数）就没有典例分析题型一函数单一性的判断例 1以下函数中，在区间 (0，＋∞ )上为增函数的是 ________. (填序号 )① y＝x＋ 1② y＝ (x－ 1)2－ x④ y＝ log0.5 (x＋1)③ y＝ 2答案①分析由基本初等函数的性质得，选项②中的函数在(0，1)上递减，选项③，④中的函数在(0，＋∞ )上为减函数，选① .变式训练以下函数中，知足“f(x＋ y)＝ f(x)f(y)”的单一递加函数是 ________. ( 填序号 )131 x x2① f(x)＝ x② f(x)＝ x③ f(x)＝2④ f(x)＝ 3答案④1111分析f(x)＝x2， f(x＋y) ＝ (x＋y) 2≠ x2· y2，不知足f(x＋ y)＝ f(x)f(y) ，①不知足题意．f(x)＝ x3， f(x＋ y)＝ (x＋ y)3≠ x3· y3，不知足f(x＋y)＝f(x)f(y)，②不知足题意．1x1x＋ y1x1y1xf(x)＝2，f( x＋y)＝2＝2·2，知足 f(x＋ y)＝ f(x)f(y) ，但 f( x)＝2不是增函数，③不知足题意．x x＋ y x y xf(x)＝ 3 ， f(x＋ y)＝ 3＝3· 3，知足f(x＋y)＝f(x)·f(y)，且f(x)＝3是增函数，④知足题意．(1)定义法：先求定义域，再依据取值、作差、变形、定号的次序得结论．(2)图象法：若函数是以图象形式给出的，或许函数的图象可作出，可由图象的升、降写出它的单一性．(3)转变法：转变为已知函数的单一性，即转变为已知函数的和、差或复合函数，再依据“增＋增得增”“减＋减得减”“同增异减”得待确立函数的单一性．(4)导数法：先求导，再确立导数值的正负，由导数的正负得函数的单一性．题型二函数单一性的应用例 2假如函数f(x)＝ ax2＋2x－ 3 在区间 (－∞， 4)上是单一递加的，则实数 a 的取值范围是________.答案－14≤ a≤ 0分析当 a＝ 0 时， f(x)＝ 2x－ 3，在定义域R 上是单一递加的，故在(－∞， 4)上单一递加；当 a≠0时，二次函数f(x)的对称轴为x＝－1 a，由于 f( x)在 (－∞， 4)上单一递加，所以a<0，且－1≥4，解得－1≤ a<0. a4综合上述得－1≤ a≤ 0. 4变式训练函数 f(x)＝1在区间 [a， b]上的最大值是1，最小值是1，则 a＋ b＝________. x－ 13答案6分析易知 f(x)在 [a， b]上为减函数，f a ＝ 1，1＝1，a＝ 2，a－ 1∴ a＋b＝ 6.∴1即∴1 ＝1，f b ＝3，b＝ 4.b－ 13解题重点 1.利用单一性求参数．①视参数为已知数，依照函数的图象或单一性定义，确立函数的单一区间，与已知单一区间比较求参数；②需注意若函数在区间[a， b]上是单一的，则该函数在此区间的随意子集上也是单一的．③注意数形联合思想的运用，借助图形列出对应不等式，从而求出参数范围．2.利用单一性求最值．应先确立函数的单一性，而后再由单一性求出最值．题型三求函数的单一区间例 3求函数 y＝ log 1 (x2－ 4x＋3) 的单一区间．3分析令 u＝ x2－ 4x＋ 3，原函数能够看作y＝ log 1 u 与 u＝ x2－ 4x＋ 3 的复合函数．3令 u＝ x2－ 4x＋ 3>0，则 x<1 或 x>3.∴函数 y＝ log 1 (x2－4x＋ 3)的定义域为 (－∞， 1)∪ (3，＋∞)．3又 u＝ x2－ 4x＋ 3 的图象的对称轴为x＝ 2，且张口向上，∴u＝ x2－ 4x＋ 3 在(－∞， 1)上是减函数，在 (3，＋∞)上是增函数．而函数 y＝ log 1 u 在 (0，＋∞)上是减函数，3∴y＝ log 12－ 4x＋ 3)的单一递减区间为(3，＋∞)，单一递加区间为 (－∞， 1)．(x3解题重点 1.求单一区间的常用方法：(1)定义法； (2) 图象法； (3) 导数法．2．求复合函数y＝ f(g(x))的单一区间的步骤：(1)确立定义域；(2)将复合函数分解成基本初等函数：y＝ f(u)， u＝ g(x)；(3)分别确立这两个函数的单一区间；(4)若这两个函数同增或同减，则y＝ f(g(x)) 为增函数；若一增一减，则y＝ f(g(x))为减函数，即“同增异减”．3．求单一区间时需注意两点：①最后结果写成区间的形式；②不行忽略定义域．题型四判断函数的奇偶性例 4判断以下函数的奇偶性：(1)f(x)＝ x3－ x；(2)f(x)＝ (x＋ 1)1－ x；1＋ x(3)f(x) ＝ 3－ x2＋ x2－ 3.分析(1) 定义域为R，对于原点对称，又 f(－ x)＝ (－ x)3－ (－ x)＝－ x3＋ x＝－ (x3－ x)＝－ f(x)，∴函数为奇函数．1－x(2)由≥0可得函数的定义域为(－1,1]．1＋x∵函数定义域不对于原点对称，∴函数为非奇非偶函数．(3) 由于 f(x)定义域为 { －3，3} ，所以 f(x)＝ 0，则 f(x)既是奇函数也是偶函数．解题重点判断函数单一性的两个步骤： 1.判断函数定义域能否对于原点对称；2.判断 f(－ x)与 f(x)关系 . 若 f( －x)＝－ f(x)或是利用以下两个等价关系式进行判断：若则函数为奇函数；若 f(－ x)＝ f(x)则函数为偶函数．f(x)＋ f(－ x)＝ 0 则函数为奇函数；若 f(x)－ f(－ x)＝0 则函数为偶函数．题型五函数的周期性例 5已知 f(x)是定义在R上的偶函数，而且 f(x＋ 2)＝－1，当 2≤ x≤ 3 时，f(x)＝ x，则 f(105.5) f x＝______.答案 2.5分析由已知，可得f(x＋ 4)＝ f[(x＋ 2)＋ 2]＝－1＝－1＝ f( x)．1f x＋ 2－f x故函数的周期为 4.∴f(105.5)＝f(4 ×27－2.5)＝ f(－ 2.5)＝f(2.5) ．∵2≤2.5 ≤3，由题意，得 f(2.5)＝ 2.5.∴f(105.5)＝2.5.解题重点对于函数周期性的三个常用结论：对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1) 若 f(x＋ a)＝－ f(x)，则 T＝2a；1(2) 若 f(x＋ a)＝f（x），则 T＝ 2a；1(3) 若 f(x＋ a)＝－，则T＝2a.f（ x）题型六函数性质的综合运用1例 6已知偶函数f(x)在区间 [0，＋∞ )上单一递加，则知足f(2x－ 1)<f 3的 x 的取值范围是________．答案1， 233分析偶函数知足 f(x)＝ f(|x|)，依据这个结论，11有 f(2x－ 1)<f 3 ?f(|2x－ 1|)< f 3，1从而转变为不等式|2x－1|<3，解这个不等式即得x 的取值范围是1， 2.3 3当堂练习1. 函数 f(x) ＝x3－x 的图象对于 ________对称 .答案原点分析由 f(－ x)＝ (－ x)3－(－ x)＝－ x3＋ x＝－ f(x)，知 f(x)是奇函数，则其图象对于原点对称．2．已知定义在R上的奇函数 f( x)，知足 f(x＋4)＝ f(x)，则 f(8) 的值为 ________．答案0分析∵ f(x)为奇函数且 f(x＋ 4)＝f(x)，∴ f(0)＝ 0， T＝ 4，∴ f(8)＝ f(0) ＝ 0.3．已知 f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－ g(x)＝x3＋x2＋1，则 f(1)＋g(1) ＝________．答案 1分析由于 f(x)是偶函数， g(x)是奇函数，所以 f(1) ＋ g(1) ＝ f(－ 1)－ g(－ 1)＝ (－ 1)3＋ (－ 1)2＋ 1＝1.4．函数 f(x)＝log 1 (x2－ 4) 的单一递加区间是 ________．2答案(－∞，－2)分析由于y＝ log1 t在定义域上是减函数，所以求原函数的单一递加区间，即求函数t ＝x22－4 的单一递减区间，联合函数的定义域，可知所求区间为5．函数 y＝ f( x)是定义在 [ － 2，2]上的单一减函数，且f( a＋(－∞，－ 2)．1)< f(2a)，则实数 a 的取值范围是________．答案[－ 1， 1)－ 2≤ a＋ 1≤ 2，分析由条件－ 2≤ 2a≤2，解得－1≤ a<1.a＋ 1>2a，课后作业一、填空题1．以下函数中，既是奇函数又是增函数的为________． (填序号 )①y＝ x＋ 1② y＝－ x21④ y＝ x|x|③ y＝x答案④2．函数 y＝1－1________．(填序号 ) x－ 1①在 (－ 1，＋∞ ) 上单一递加②在 (－ 1，＋∞ )上单一递减③在 (1，＋∞ )上单一递加④在 (1，＋∞ )上单一递减答案③3．以下函数中，在区间(－∞， 0)上是减函数的是 ________． (填序号 )①y＝ 1－ x2②y＝ x2＋ x③y＝－－ x④ y＝xx－ 1答案④4．以下函数 f(x)中，知足“对随意x1，x2∈ (0，＋∞ )，都有f x2－f x1<0”的是 ________．(填x2－ x1序号 )①f(x)＝1② f(x)＝ (x－1) 2③ f(x)＝ e x④ f(x)＝ ln(x＋ 1) x答案①分析知足 f x2－ f x1<0 其实就是 f(x)在 (0，＋∞)上为减函数，应选① .x2－x15．已知 f(x)是奇函数， g( x) 是偶函数，且 f(－ 1)＋g(1) ＝2， f(1) ＋ g(－ 1)＝ 4，则 g(1) 等于________． 答案 3分析∵ f(x)为奇函数，∴ f(－ 1)＝－ f(1) ，又 g(x)为偶函数，∴ g(－ 1)＝ g(1) ，∴－ f(1) ＋ g(1)＝2， f(1) ＋g(1) ＝ 4，将两式相加得 2g(1) ＝ 6，∴ g(1)＝ 3.6．以下函数中，既是偶函数又在 (0，＋∞ ) 单一递加的函数是 ________． (填序号 ) ①y ＝ x 3 ②y ＝ |x|＋ 1③ y ＝－ x 2＋1④y ＝ 2－ |x|答案②7．若函数 y ＝ x 2＋ (2a － 1)x ＋ 1 在区间 (－∞，2]上是减函数，则实数 a 的取值范围是 ________．答案－∞，－322a － 1 3.分析由题意得－ ≥ 2，得 a ≤－2 28．定义在 R 上的函数 f(x)的图象对于直线 x ＝ 2 对称，且 f(x)在 (－∞， 2)上是增函数， 则 f(－1)与 f(3)的大小关系是 ________． 答案 f(－ 1)＜ f(3)分析依题意得 f(3) ＝f(1)，且－ 1＜ 1＜ 2，于是由函数 f(x)在 (－∞， 2)上是增函数得 f(－ 1)＜ f (1)＝ f(3) ．9．函数 y ＝x 2－ 2x( x ∈[2,4]) 的增区间为 ________． 答案[2,4]10．设 f(x) 是以 2 为周期的函数，且当 x ∈[1,3) 时， f( x)＝ x － 2，则 f(－ 1)＝ ________.答案 － 1分析由题知， f(－1)＝ f(－1＋ 2)＝ f(1) ＝ 1－ 2＝－ 1.11．给出以下命题12①y ＝ x 在定义域内为减函数；②y ＝ (x － 1) 在 (0，＋∞ )上是增函数； ③y ＝－ 1在(－∞， 0)上为增函数；④ y ＝ kx 不是增函数就是减函数．x 此中错误命题的个数有 ________． 答案 3分析①②④错误，此中④中若 k ＝ 0，则命题不建立．二、解答题－ 2x12．证明函数 g(x)＝ x － 1在 (1，＋∞ )上单一递加．证明： 任取 x 1，x 2∈ (1，＋∞ )，且 x 1 <x 2，－ 2x1－2x2 2 x1－x2则 g(x1 )－ g(x2)＝－＝，x1－ 1x2－ 1x1－ 1 x2－ 1由于 1<x1<x2，所以 x1－x2<0， (x1－1)(x2－ 1)>0 ，所以 g(x1 )－g(x2)<0 ，即 g(x1)< g(x2)．故 g(x) 在 (1，＋∞ )上是增函数．13．已知奇函数 f(x)的定义域为 [－ 2,2] ，且在区间 [ － 2,0] 上递减，求知足 f(1－m)＋ f(1－ m2)<0 的实数 m 的取值范围．解∵ f(x)的定义域为 [ － 2,2]．－2≤1－ m≤ 2，∴有解得－ 1≤ m≤ 3.①－2≤1－ m2≤2，又 f(x)为奇函数，且在 [ － 2,0]上递减，∴f(x)在 [ － 2,2] 上递减，∴f(1－m)<－f(1－m2)＝f(m2－1)? 1－m>m2－1，即－ 2<m<1.②综合①②可知，－ 1≤ m<1.即实数 m 的取值范围是[－ 1,1)．。

《函数的基本性质》知识总结大全函数的基本性质是数学中非常重要的一部分内容，对于理解和应用函数有着重要的作用。

以下是《函数的基本性质》的知识总结大全：1. 定义域和值域：函数的定义域是指函数可以取值的所有实数的范围，值域是指函数实际取值的范围。

函数的定义域和值域可以用图像来表示。

2. 奇偶性：如果对于函数中的任意实数x，有f(-x) = f(x)，则称函数f(x)为偶函数；如果对于函数中的任意实数x，有f(-x) = -f(x)，则称函数f(x)为奇函数。

3. 函数的图像：函数的图像是指函数在坐标平面上的显示，可以通过画图来表示函数的特点。

可以通过图像来判断函数的增减性、极值、特殊点等。

4. 单调性：如果函数f(x)在定义域上是递增的，则称函数f(x)为增函数；如果函数f(x)在定义域上是递减的，则称函数f(x)为减函数。

5. 极值：如果函数在某一点上的函数值比它邻近的点上的函数值都大（或小），则称这个点为函数的极大值点（或极小值点）。

极大值和极小值统称为极值。

6. 零点：函数的零点是指函数在定义域上满足f(x) = 0的实数x的值。

7. 对称轴：如果函数的图像关于某一直线对称，则这条直线称为函数的对称轴。

8. 周期性：如果函数f(x)在一个定义域上的每一个x都有f(x+T) = f(x)成立，其中T>0，则称函数f(x)为周期函数，T称为函数的周期。

9. 常用函数：常用函数包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等，这些函数有着特殊的性质和应用。

10. 复合函数：复合函数是指由两个函数构成的新函数，其中一个函数的输出是另一个函数的输入。

复合函数的求值需要按照函数的定义进行计算。

考点五函数的性质——单调性、奇偶性、周期性知识梳理1．函数的单调性(1) 单调函数的定义一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是单调增函数．如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是单调减函数．从图象来看，增函数图象从左到右是上升的，减函数图象从左到右是下降的，如图所示：（2）单调性与单调区间如果一个函数在某个区间M上是单调增函数或是单调减函数，就说这个函数在这个区间M 上具有单调性(区间M称为单调区间)．2．函数的奇偶性(1) 奇函数、偶函数的概念一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称．(2) 判断函数的奇偶性的步骤与方法判断函数的奇偶性，一般都按照定义严格进行，一般步骤是：①考察定义域是否关于原点对称．②考察表达式f(－x)是否等于f(x)或－f(x)：若f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数；若f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数；若f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数；若f(－x)≠－f(x)且f(－x)≠f(x)，则f(x)既不是奇函数又不是偶函数，既非奇非偶函数．3．函数的周期性(1) 周期函数的概念：对于函数y ＝f (x )，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，f (x ＋T )＝f (x )都成立，则称y ＝f (x )为周期函数，非零常数T 叫做函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作f (x )的最小正周期．(3)一般地，如果T 为函数f (x )的周期，则nT （n ∈Z ）也是函数f (x )的周期，即有f (x ＋nT )＝f (x )．(4)最小正周期是指是函数值重复出现的自变量x 要加上的最小正数，这个正数是相对x 而言的．并不是所有的周期函数都有最小正周期，比如常数函数f (x )＝C （C 为常数）就没有最小正周期．典例剖析题型一 函数单调性的判断例1 下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是________. (填序号)① y ＝x ＋1 ② y ＝(x －1)2 ③ y ＝2－x ④ y ＝log 0.5(x ＋1) 答案 ①解析 由基本初等函数的性质得，选项②中的函数在(0，1)上递减，选项③，④中的函数在(0，＋∞)上为减函数，选①.变式训练 下列函数中，满足“f (x ＋y )＝f (x )f (y )”的单调递增函数是________. (填序号)① f (x )＝x 12 ② f (x )＝x 3 ③ f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x④ f (x )＝3x 答案 ④解析 f (x )＝x 12，f (x ＋y )＝(x ＋y )12≠x 12·y 12，不满足f (x ＋y )＝f (x )f (y )，①不满足题意． f (x )＝x 3，f (x ＋y )＝(x ＋y )3≠x 3·y 3，不满足f (x ＋y )＝f (x )f (y )，②不满足题意．f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ，f (x ＋y )＝⎝⎛⎭⎫12x ＋y ＝⎝⎛⎭⎫12x ·⎝⎛⎭⎫12y ，满足f (x ＋y )＝f (x )f (y )，但f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x不是增函数，③不满足题意．f (x )＝3x ，f (x ＋y )＝3x ＋y ＝3x ·3y ，满足f (x ＋y )＝f (x )·f (y )，且f (x )＝3x 是增函数，④满足题意． 解题要点 确定函数单调性的常用方法：(1)定义法：先求定义域，再根据取值、作差、变形、定号的顺序得结论．(2)图象法：若函数是以图象形式给出的，或者函数的图象可作出，可由图象的升、降写出它的单调性．(3)转化法：转化为已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，再根据“增＋增得增”“减＋减得减”“同增异减”得待确定函数的单调性．(4)导数法：先求导，再确定导数值的正负，由导数的正负得函数的单调性．题型二 函数单调性的应用例2 如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是________.答案 －14≤a ≤0 解析 当a ＝0时，f (x )＝2x －3，在定义域R 上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为x ＝－1a， 因为f (x )在(－∞，4)上单调递增，所以a <0，且－1a ≥4，解得－14≤a <0. 综合上述得－14≤a ≤0. 变式训练 函数f (x )＝1x －1在区间[a ，b ]上的最大值是1，最小值是13，则a ＋b ＝________. 答案 6解析 易知f (x )在[a ，b ]上为减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (a )＝1，f (b )＝13，即⎩⎨⎧ 1a －1＝1，1b －1＝13，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝4.∴a ＋b ＝6. 解题要点 1.利用单调性求参数．①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；②需注意若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．③注意数形结合思想的运用，借助图形列出对应不等式，从而求出参数范围．2.利用单调性求最值．应先确定函数的单调性，然后再由单调性求出最值．题型三 求函数的单调区间例3 求函数y ＝log 13(x 2－4x ＋3)的单调区间．解析 令u ＝x 2－4x ＋3，原函数可以看作y ＝log 13u 与u ＝x 2－4x ＋3的复合函数．令u ＝x 2－4x ＋3>0，则x <1或x >3.∴函数y ＝log 13(x 2－4x ＋3)的定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)．又u ＝x 2－4x ＋3的图象的对称轴为x ＝2，且开口向上，∴u ＝x 2－4x ＋3在(－∞，1)上是减函数，在(3，＋∞)上是增函数．而函数y ＝log 13u 在(0，＋∞)上是减函数，∴y＝log13(x2－4x＋3)的单调递减区间为(3，＋∞)，单调递增区间为(－∞，1)．解题要点 1.求单调区间的常用方法：(1)定义法；(2)图象法；(3)导数法．2．求复合函数y＝f(g(x))的单调区间的步骤：(1)确定定义域；(2)将复合函数分解成基本初等函数：y＝f(u)，u＝g(x)；(3)分别确定这两个函数的单调区间；(4)若这两个函数同增或同减，则y＝f(g(x))为增函数；若一增一减，则y＝f(g(x))为减函数，即“同增异减”．3．求单调区间时需注意两点：①最终结果写成区间的形式；②不可忽视定义域．题型四判断函数的奇偶性例4判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝x3－x；(2)f(x)＝(x＋1) 1－x 1＋x；(3) f(x)＝3－x2＋x2－3.解析(1) 定义域为R，关于原点对称，又f(－x)＝(－x)3－(－x)＝－x3＋x＝－(x3－x)＝－f(x)，∴函数为奇函数．(2)由1－x1＋x≥0可得函数的定义域为(－1,1]．∵函数定义域不关于原点对称，∴函数为非奇非偶函数．(3) 因为f(x)定义域为{－3，3}，所以f(x)＝0，则f(x)既是奇函数也是偶函数．解题要点判断函数单调性的两个步骤：1.判断函数定义域是否关于原点对称；2.判断f(－x)与f(x)关系. 若f(－x)＝－f(x) 则函数为奇函数；若f(－x)＝f(x)则函数为偶函数．或是利用下列两个等价关系式进行判断：若f(x)＋f(－x)＝0则函数为奇函数；若f(x)－f(－x)＝0则函数为偶函数．题型五函数的周期性例5已知f(x)是定义在R上的偶函数，并且f(x＋2)＝－1f(x)，当2≤x≤3时，f(x)＝x，则f(105.5)＝______. 答案 2.5解析 由已知，可得f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－1f (x ＋2)＝－1－1f (x )＝f (x )． 故函数的周期为4.∴f (105.5)＝f (4×27－2.5)＝f (－2.5)＝f (2.5)．∵2≤2.5≤3，由题意，得f (2.5)＝2.5.∴f (105.5)＝2.5.解题要点 关于函数周期性的三个常用结论：对f (x )定义域内任一自变量的值x ：(1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a ；(2)若f (x ＋a )＝1f （x ），则T ＝2a ； (3)若f (x ＋a )＝－1f （x ），则T ＝2a . 题型六 函数性质的综合运用例6 已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13的x 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎫13，23解析 偶函数满足f (x )＝f (|x |)，根据这个结论，有f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13⇔f (|2x －1|)<f ⎝⎛⎭⎫13， 进而转化为不等式|2x －1|<13， 解这个不等式即得x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫13，23.当堂练习1. 函数f (x )＝x 3－x 的图象关于________对称.答案 原点解析 由f (－x )＝(－x )3－(－x )＝－x 3＋x ＝－f (x )，知f (x )是奇函数，则其图象关于原点对称．2．已知定义在R 上的奇函数f (x )，满足f (x ＋4)＝f (x )，则f (8)的值为________．答案 0解析 ∵ f (x )为奇函数且f (x ＋4)＝f (x )，∴ f (0)＝0，T ＝4，∴ f (8)＝f (0)＝0.3．已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝________．答案 1解析 因为f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，所以f (1)＋g (1)＝f (－1)－g (－1)＝(－1)3＋(－1)2＋1＝1.4．函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间是________．答案 (－∞，－2)解析 因为y ＝log 12t 在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数t ＝x 2－4的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(－∞，－2)．5．函数y ＝f (x )是定义在[－2，2]上的单调减函数，且f (a ＋1)<f (2a )，则实数a 的取值范围是________．答案 [－1，1)解析 由条件⎩⎪⎨⎪⎧－2≤a ＋1≤2，－2≤2a ≤2，a ＋1>2a ，解得－1≤a <1.课后作业一、 填空题1．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为________．(填序号)①y ＝x ＋1 ②y ＝－x 2 ③ y ＝1x④ y ＝x |x | 答案 ④2．函数y ＝1－1x －1________．(填序号) ①在(－1，＋∞)上单调递增 ②在(－1，＋∞)上单调递减③在(1，＋∞)上单调递增 ④在(1，＋∞)上单调递减答案 ③3．下列函数中，在区间(－∞，0)上是减函数的是________．(填序号)①y ＝1－x 2 ②y ＝x 2＋x ③y ＝－－x ④y ＝x x －1答案 ④4．下列函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，都有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0”的是________．(填序号)①f (x )＝1x②f (x )＝(x －1)2 ③f (x )＝e x ④f (x )＝ln(x ＋1) 答案 ①解析 满足f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0其实就是f (x )在(0，＋∞)上为减函数，故选①.5．已知f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (－1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (－1)＝4，则g (1)等于________．答案 3解析 ∵f (x )为奇函数，∴f (－1)＝－f (1)，又g (x )为偶函数，∴g (－1)＝g (1)，∴－f (1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (1)＝4，将两式相加得2g (1)＝6，∴g (1)＝3.6．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)单调递增的函数是________．(填序号) ①y ＝x 3 ②y ＝|x |＋1 ③y ＝－x 2＋1 ④y ＝2－|x |答案 ②7．若函数y ＝x 2＋(2a －1)x ＋1在区间(－∞，2]上是减函数，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎦⎤－∞，－32 解析 由题意得－2a －12≥2，得a ≤－32. 8．定义在R 上的函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称，且f (x )在(－∞，2)上是增函数，则f (－1)与f (3)的大小关系是________．答案 f (－1)＜f (3)解析 依题意得f (3)＝f (1)，且－1＜1＜2，于是由函数f (x )在(－∞，2)上是增函数得f (－1)＜f (1)＝f (3)．9．函数y ＝x 2－2x (x ∈[2,4])的增区间为________．答案 [2,4]10．设f (x )是以2为周期的函数，且当x ∈[1,3)时，f (x )＝x －2，则f (－1)＝________. 答案 －1解析 由题知，f (－1)＝f (－1＋2)＝f (1)＝1－2＝－1.11．给出下列命题①y ＝1x在定义域内为减函数； ②y ＝(x －1)2在(0，＋∞)上是增函数； ③y ＝－1x在(－∞，0)上为增函数； ④y ＝kx 不是增函数就是减函数． 其中错误命题的个数有________．答案 3解析 ①②④错误，其中④中若k ＝0，则命题不成立．二、解答题12．证明函数g (x )＝－2x x －1在(1，＋∞)上单调递增． 证明：任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1<x 2，则g (x 1)－g (x 2)＝－2x 1x 1－1－－2x 2x 2－1＝2(x 1－x 2)(x 1－1)(x 2－1)， 因为1<x 1<x 2，所以x 1－x 2<0，(x 1－1)(x 2－1)>0，因此g (x 1)－g (x 2)<0，即g (x 1)<g (x 2)．故g (x )在(1，＋∞)上是增函数．13．已知奇函数f (x )的定义域为[－2,2]，且在区间[－2,0]上递减，求满足f (1－m )＋f (1－m 2)<0的实数m 的取值范围．解 ∵f (x )的定义域为[－2,2]．∴有⎩⎪⎨⎪⎧－2≤1－m ≤2，－2≤1－m 2≤2，解得－1≤m ≤ 3.① 又f (x )为奇函数，且在[－2,0]上递减，∴f (x )在[－2,2]上递减，∴f (1－m )<－f (1－m 2)＝f (m 2－1)⇒1－m >m 2－1，即－2<m <1.②综合①②可知，－1≤m <1.即实数m 的取值范围是[－1,1)．。

《函数的基本性质》知识总结大全沛县第二中学数学组 张驰1.单调性函数的单调性是研究函数在定义域内某一范围的图象整体上升或下降的变化趋势，是研究函数图象在定义域内的局部变化性质。

⑴函数单调性的定义一般地，设函数的定义域为，区间．如果对于区间内的______两()y f x =A I A ⊆I 个值，，当<时，都有_____，那么在区间上是单调增1x 2x 1x 2x 1()f x 2()f x ()y f x =I 函数，称为的单调_____区间. 如果对于区间内的______两个值，，当I ()y f x =I 1x 2x <时，都有_____，那么在区间上是单调减函数，称为1x 2x 1()f x 2()f x ()y f x =I I 的单调_____区间.如果函数在区间上是单调增函数或单调减函数，()y f x =()y f x =I 那么函数在区间上具有________.()y f x =I 点评 单调性的等价定义：①在区间上是增函数当时，有)(x f M ,,21M x x ∈∀⇔21x x <0)()(21<-x f x f ；0)]()([)(2121>-⋅-⇔x f x f x x 00)()(2121>∆∆⇔>--⇔xy x x x f x f ②在区间上是减函数当时，有)(x f M ,,21M x x ∈∀⇔21x x <0)()(21>-x f x f ；0)]()([)(2121<-⋅-⇔x f x f x x 00)()(2121<∆∆⇔<--⇔xy x x x f x f ⑵函数单调性的判定方法①定义法；②图像法；③复合函数法；④导数法；⑤特值法（用于小题），⑥结论法等.注意：①定义法（取值——作差——变形——定号——结论）：设且，12[]x x a b ∈，，12x x ≠那么在区间上是增函0)]()([)(2121>-⋅-x f x f x x 0)()(2121>--⇔x x x f x f )(x f ⇔],[b a 数；在区间上是减函0)]()([)(2121<-⋅-x f x f x x 0)()(2121<--⇔x x x f x f )(x f ⇔],[b a 数。

【要点精讲】1. 奇偶性(1)定义：如果对于函数/(X)定义域内的任意X都有/(-%)=-/(%),则称f(x)为奇函数；如果对于函数f(x)定义域内的任意X都有/(-x)=/(x),则称f(x)为偶函数。

如杲函数f(x)不具有上述性质，则刃X)不具有奇偶性.如杲函数同时具有上述两条性质，则f(x)既是奇函数，又是偶函数。

注意：①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个X,则一X也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称)。

(2) 利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；@确定f(一X)与f(x)的关系；®作出相应结论：若/(—X)=/(x)或/(—X)—f(x) = O,则f(x)是偶函数；若f(—X)二一f(x)或/(-x)+/(x) = o,则f(x)是奇函数。

(3) 简单性质：①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称；②设/(x), g(Q的定义域分别是D P D2,那么在它们的公共定义域上：奇+奇二奇，奇x奇二偶,偶+偶二偶，偶x偶二偶，奇x偶二奇2. 单调性(1)定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量X1，X2，当X1VX2时，都有/(Xl)</(%2)那么就说f(x)在区间D 上是增函数(减函数)；注意：①函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；®必须是对于区间D内的任意两个自变量X1，X2；当X1VX2时，总有f(Xi)<f(X2)(2)如果函数yh(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y#(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区I'可。

函数的基本性质知识点总结1.函数的定义：函数是一种数学对象，它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素上。

函数通常以符号表示，例如f(x)。

2.定义域：函数的定义域是指函数能够接受的自变量的值的集合。

它是函数能够有效进行计算的自变量的范围。

通常用符号表示为D(f)。

3.值域：函数的值域是指函数在定义域上所有可能的函数值的集合。

它是因变量的取值范围。

通常用符号表示为R(f)。

4.图像：函数的图像是指由函数的所有有序对（x，f(x)）组成的点的集合。

可以通过将自变量的取值代入函数的表达式来确定函数的图像。

5.奇偶性：函数的奇偶性指函数在坐标系中的对称性。

一个函数被称为奇函数，如果对于定义域上的任何x值，-x处的函数值等于x处的相反数。

一个函数被称为偶函数，如果对于定义域上的任何x值，-x处的函数值等于x处的函数值。

6.单调性：函数的单调性指函数在定义域上的增减趋势。

一个函数被称为严格递增函数，如果对于定义域上的任意两个x值，f(x1)<f(x2)。

一个函数被称为严格递减函数，如果对于定义域上的任意两个x值，f(x1)>f(x2)。

7.周期性：函数的周期性指函数在定义域上以一定的周期重复。

一个函数被称为周期函数，如果存在一个正整数T，对于定义域上的任意x值，有f(x+T)=f(x)。

8.连续性：函数的连续性指函数在定义域上的无间断性。

一个函数在点x=c处连续，如果当x趋近于c时，f(x)趋近于f(c)。

一个函数在整个定义域上连续，如果它在每个点都连续。

9.可导性：函数的可导性指函数在一些点上的导数是否存在。

函数f(x)在点x=c处可导，如果当x趋近于c时，f(x)的斜率存在，并且等于c处的导数。

10.极值：函数的极值指函数在定义域上的最大值和最小值。

一个局部最大值是指函数在一些区间上的最大值，而不一定是整个定义域上的最大值。

一个局部最小值是指函数在一些区间上的最小值，而不一定是整个定义域上的最小值。

函数专题1、函数的基本性质复习提问：1、如何判断两个函数是否属于同一个函数。

2、如何求一个函数的定义域（特别是抽象函数的定义域问题）3、如何求一个函数的解析式。

（常见方法有哪些）4、如何求函数的值域。

（常见题型对应的常见方法）5、函数单调性的判断，证明和应用（单调性的应用中参数问题）6、函数的对称性（包括奇偶性）、周期性的应用7、利用函数的图像求函数中参数的范围等其他关于图像问题 知识分类一、函数的概念：函数的定义含有三个要素，即定义域A 、值域C 和对应法则f .当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定.因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数. 1、试判断以下各组函数是否表示同一函数？（1）f （x ）=2x ，g （x ）=33x ；（2）f （x ）=x x ||，g （x ）=⎩⎨⎧<-≥;01,01x x（3）f （x ）=1212++n n x ，g （x ）=（12-n x ）2n －1（n ∈N *）；（4）f （x ）=x1+x ，g （x ）=x x +2；（5）f （x ）=x 2－2x －1，g （t ）=t 2－2t －1.二、函数的定义域（请牢记：凡是说定义域范围是多少，都是指等式中变量x 的范围） 1、求下列函数的定义域：(1)ｙ＝－221x ＋１(2)ｙ＝422--x x (3)xx y +=1 (4)ｙ＝241+-+-x x(5)ｙ＝3142-+-x x (8)ｙ＝3-ax （ａ为常数）2、（1）已知f (x )的定义域为 [ 1，2 ] ，求f (2x -1)的定义域； （2）已知f (2x -1)的定义域为 [ 1，2 ]，求f (x )的定义域；3、若函数)(x f y =的定义域为[ 1，1]，求函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域 5、已知函数682-+-=k x kx y 的定义域为R ，求实数k 的取值范围。

专题5.5 函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象及其应用（真题测试）一、单选题1．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））函数sin cos yx x x 在[]π,π-上的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．2.（江西省赣州市2021-2022学年高一下学期期末考数学试题）将sin y x =的图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，再将图象上各点向左平移8π个单位长度，则所得的图象的函数解析式是（ ） A ．sin 28y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ B ．sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．sin 28y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭3．（2022·北京·人大附中高一期末）已知函数()sin 0,0,2y A x m A πωϕωϕ⎛⎫=++>>< ⎪⎝⎭的最大值为4，最小值为0，且该函数图象的相邻两个对称轴之间的最短距离为2π，直线6x π=是该函数图象的一条对称轴，则该函数的解析式是（ ）A ．4sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．2sin 226y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭C ．2sin 23y x π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭D ．2sin 23y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭4．（广西柳州市2021-2022学年高一下学期期末）将函数()()2sin 203f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图象向左平移6πω个单位，得到函数()y g x =的图象，若()y g x =在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上为增函数，则ω的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45．（2019·天津·高考真题（文））已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕπ=+>><是奇函数，将()y f x =的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为()g x .若()g x 的最小正周期为2π，且4g π⎛⎫= ⎪⎝⎭38f π⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．2-B ．CD ．26．（2017·全国·高考真题（理））已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是 A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 27．（2018·天津·高考真题（文））将函数sin 25y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数A ．在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 上单调递增B ．在区间,04π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 上单调递减C ．在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减8．（2019·全国·高考真题（理））关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论： ①f (x )是偶函数 ②f (x )在区间（2π,π）单调递增 ③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2 其中所有正确结论的编号是 A ．①②④ B ．②④ C ．①④ D ．①③二、多选题9．（2022·河北承德·高一阶段练习）将函数()sin 1f x x =-图像上所有点的纵坐标伸长为原来的3倍，横坐标缩短为原来的13，再将所得的图像向右平移12π个单位长度，得到函数()g x 的图像，则（ ）A ．()3sin 3312g x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭B ．()g x 的图像关于直线4x π=对称C ．()g x 的图像关于点5,312π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称D ．()g x 在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增10.（2022·全国·模拟预测）将函数()()sin 0f x x x ωωω=>的图象向右平移π3个单位，得到的图象关于y 轴对称，则下列说法正确的是（ ）A ．()f x 最小正周期的最大值为4π5B ．()f x 最小正周期的最大值为4π11C ．当()f x 的最小正周期取最大值时，平移后的函数在π0,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．当()f x 的最小正周期取最大值时，平移后的函数在π0,11⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减11．（2022·贵州·六盘水市第二中学高一阶段练习）已知函数()()πsin ,0,0,2f x A x x A ωϕωϕ⎛⎫=+∈>>< ⎪⎝⎭R 的部分图像如图所示，则下列说法正确的是（ ）A ．()f x 的图像关于点1,06⎛⎫- ⎪⎝⎭对称B ．()f x 的图像关于直线43x =对称 C ．()f x 在11,23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上为增函数D ．把()f x 的图像向右平移23个单位长度，得到一个奇函数的图像12．（2022·全国·南京外国语学校模拟预测）若函数()2cos f x x x x =的是（ ）A ．函数()y f x =的图象可由函数sin 2y x =的图象向右平移π4个单位长度得到B ．函数()y f x =的图象关于直线3π8x =-对称 C ．函数()y f x =的图象关于点3π,08⎛⎫- ⎪⎝⎭对称D ．函数()y x f x =+在π0,8⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数三、填空题13．（2020·江苏·高考真题）将函数y =πsin(2)43x﹢的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是____.14．（2021·长岭县第二中学高三三模）函数22sin cos 2()2cos x x x xf x x x +++=+的图象关于点_______成中心对称，记函数的最大值为M ，最小值为N ，则M N +=_______． 15．（2014·重庆·高考真题（文））将函数图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到的图像，则______.16．（2021·山东高三月考）已知定义在R 上函数()()sin f x A x =+ωϕ（0>ω）振幅为2，满足212x x -=，且()()21f x f x =()0,102上()f x 零点个数最少为______． 四、解答题17．（2022·上海市嘉定区第二中学高一期末）已知函数()()(sin 0,0,)f x A x A ωϕωϕπ=+>><的部分图像如图所示.(1)求()f x 的解析式及对称中心；(2)先将()f x 的图像纵坐标缩短到原来的12倍，再向右平移π12个单位后得到()g x 的图像，求函数()y g x =在π3π,124x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的单调减区间和最值.18.（2021·天津·静海一中高三月考）已知函数2())2sin 1(0,0)2x f x x πωϕωϕωϕ+⎛⎫++-><< ⎪⎝⎭为奇函数，且()f x 图象的相邻两对称轴间的距离为π2.（1）求()f x 的解析式.（2）求()()sin cos h x f x x x =++的最大值.（3）将函数()f x 的图象向右平移12π个单位长度，再把横坐标缩小为原来的12(纵坐标变)，得到函数()y g x =的图象，求()y g x =的解析式.19．（2022·上海市新场中学高一期末）已知函数2()cos 2cos 1f x x x x =+-， (1)求函数()f x 的最小正周期； (2)若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦求()f x 的值域；(3)将函数()f x 图象向右平移6π个单位后，得到函数()y g x =的图象，求函数()1y g x =-的零点.20．（2022·北京·北师大实验中学高一期中）某游乐场的摩天轮示意图如图．已知该摩天轮的半径为30米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所需时间为24T =分钟．在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为1～12（可视为点），现从图示位置，即1号座舱位于圆周最右端时开始计时，旋转时间为t 分钟．(1)当6t =时，求1号座舱与地面的距离；(2)在前24分钟内，求1号座舱与地面的距离为17米时t 的值；(3)记1号座舱与5号座舱高度之差的绝对值为H 米，若在00t t ≤≤这段时间内，H 恰有三次取得最大值，求0t 的取值范围．21.（2015·福建·高考真题（文））已知函数()2cos 10cos 222x x x f x =+．（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度，再向下平移a （0a >）个单位长度后得到函数()g x 的图象，且函数()g x 的最大值为2．（ⅰ）求函数()g x 的解析式； （ⅱ）证明：存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >． 22．（2022·上海市嘉定区第一中学高一期末）某小区拟用一块半圆形地块（如图所示）建造一个居民活动区和绿化区．已知半圆形地块的直径4AB =千米，点O 是半圆的圆心，在圆弧上取点C 、D ，使得BC DC =，把四边形ABCD 建为居民活动区，并且在居民活动区周围铺上一条由线段AB ，BC ，CD 和DA 组成的塑胶跑道，其它部分建为绿化区．设COB θ∠=，且62ππθ≤<；(1)当6πθ=时，求四边形ABCD 的面积；(2)求塑胶跑道的总长l 关于θ的函数关系式；(3)当θ为何值时，塑胶跑道的总长l 最短，并求出l 的最小值．（答案保留2位小数）专题5.5 函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象及其应用（真题测试）一、单选题1．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））函数sin cos yx x x 在[]π,π-上的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】利用函数的单调性，奇偶性和特值点等性质来判断图像. 【详解】易知f (x )是偶函数，排除B ，C 项；当0πx ≤≤时，sin 0x ≥，所以sin cos 0y x x x =≥，排除A 项. 故选：D2.（江西省赣州市2021-2022学年高一下学期期末考数学试题）将sin y x =的图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，再将图象上各点向左平移8π个单位长度，则所得的图象的函数解析式是（ ） A ．sin 28y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ B ．sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．sin 28y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】直接利用三角函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用求出结果.【详解】将sin y x =的图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，可得sin 2y x =；再将图象上各点向左平移8π个单位长度，可得sin 2sin 284y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：C3．（2022·北京·人大附中高一期末）已知函数()sin 0,0,2y A x m A πωϕωϕ⎛⎫=++>>< ⎪⎝⎭的最大值为4，最小值为0，且该函数图象的相邻两个对称轴之间的最短距离为2π，直线6x π=是该函数图象的一条对称轴，则该函数的解析式是（ ）A ．4sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．2sin 226y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭C ．2sin 23y x π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭D ．2sin 23y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得40A m A m +=⎧⎨-+=⎩，求出22A m =⎧⎨=⎩，再由该函数图象的相邻两个对称轴之间的最短距离为2π，可求出2ω=，由直线6x π=是该函数图象的一条对称轴，可得2,Z 62k k ππϕπ⨯+=+∈，从而线结合已知条件可求出ϕ，进而可求得函数的解析式 【详解】因为函数()sin 0,0,2y A x m A πωϕωϕ⎛⎫=++>>< ⎪⎝⎭的最大值为4，最小值为0，所以40A m A m +=⎧⎨-+=⎩，解得22A m =⎧⎨=⎩，因为该函数图象的相邻两个对称轴之间的最短距离为2π， 所以22T π=，所以T π=， 所以2ππω=，得2ω=，所以()2sin 22y x ϕ=++， 因为直线6x π=是该函数图象的一条对称轴，所以2,Z 62k k ππϕπ⨯+=+∈，得,Z 6k k πϕπ=+∈，因为2πϕ<，所以6π=ϕ， 所以2sin 226y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，故选：B4．（广西柳州市2021-2022学年高一下学期期末）将函数()()2sin 203f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图象向左平移6πω个单位，得到函数()y g x =的图象，若()y g x =在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上为增函数，则ω的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A 【解析】 【分析】函数()()2sin 203f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图象向左平移6πω个单位，得到函数()y g x =的表达式，然后利用在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上为增函数，说明44T π≥，利用周期公式，求出1ω≤，得到ω的最大值. 【详解】函数()()2sin 203f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图象向左平移6πω个单位，得到函数()2sin 22sin 263y g x x x πϖϖπω⎡⎤⎛⎫==+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，()y g x =在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上为增函数，所以44T π≥，即2244ππω≥，即1ω≤，所以ω的最大值为1. 故选：A.5．（2019·天津·高考真题（文））已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕπ=+>><是奇函数，将()y f x =的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为()g x .若()g x 的最小正周期为2π，且4g π⎛⎫= ⎪⎝⎭38f π⎛⎫=⎪⎝⎭A ．2- B．CD ．2【答案】C 【解析】只需根据函数性质逐步得出,,A ωϕ值即可．【详解】因为()f x 为奇函数，∴(0)sin 0=,0,f A k k ϕϕπ==∴=，0ϕ=； 又12()sin ,2,122g x A x T πωπω=∴==2ω=，2A =，又()4g π∴()2sin 2f x x =，3()8f π= 故选C ．6．（2017·全国·高考真题（理））已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是 A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2 【答案】D 【解析】 【详解】把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y=cos2x 图象，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到函数y=cos2（x+π12）=cos （2x+π6）=sin （2x+2π3）的图象，即曲线C 2，故选D ．点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言. 函数sin()()y A x x R ωϕ=+∈是奇函数π()k k Z ϕ⇔=∈；函数sin()()y A x x R ωϕ=+∈是偶函数ππ+()2k k Z ϕ⇔=∈；函数cos()()y A x x R ωϕ=+∈是奇函数ππ+()2k k Z ϕ⇔=∈；函数cos()()y A x x R ωϕ=+∈是偶函数π()k k Z ϕ⇔=∈.7．（2018·天津·高考真题（文））将函数sin 25y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数A ．在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 B ．在区间,04π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 上单调递减C ．在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减【答案】A 【解析】 【详解】分析：首先确定平移之后的对应函数的解析式，然后逐一考查所给的选项是否符合题意即可.详解：由函数25y sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象平移变换的性质可知：将sin 25y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移10π个单位长度之后的解析式为：sin 2sin 2105y x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.则函数的单调递增区间满足：()22222k x k k Z ππππ-≤≤+∈，即()44k x k k Z ππππ-≤≤+∈，令0k =可得函数的一个单调递增区间为,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，选项A 正确，B 错误；函数的单调递减区间满足：()322222k x k k Z ππππ+≤≤+∈，即()344k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 令0k =可得函数的一个单调递减区间为3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，选项C ，D 错误；本题选择A 选项.8．（2019·全国·高考真题（理））关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论： ①f (x )是偶函数 ②f (x )在区间（2π,π）单调递增 ③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2 其中所有正确结论的编号是 A ．①②④ B ．②④C ．①④D ．①③【答案】C 【解析】【分析】化简函数()sin sin f x x x =+，研究它的性质从而得出正确答案． 【详解】()()()()sin sin sin sin ,f x x x x x f x f x -=-+-=+=∴为偶函数，故①正确．当2x ππ<<时，()2sin f x x =，它在区间,2π⎛⎫π ⎪⎝⎭单调递减，故②错误．当0x π≤≤时，()2sin f x x =，它有两个零点：0,π；当0x π-≤<时，()()sin sin 2sin f x x x x =--=-，它有一个零点：π-，故()f x 在[],-ππ有3个零点：0-π,,π，故③错误．当[]()2,2x k k k *∈ππ+π∈N 时，()2sin f x x =；当[]()2,22x k k k *∈π+ππ+π∈N 时，()sin sin 0f x x x =-=，又()f x 为偶函数，()f x ∴的最大值为2，故④正确．综上所述，①④ 正确，故选C ． 【点睛】画出函数()sin sin f x x x =+的图象，由图象可得①④正确，故选C ．二、多选题9．（2022·河北承德·高一阶段练习）将函数()sin 1f x x =-图像上所有点的纵坐标伸长为原来的3倍，横坐标缩短为原来的13，再将所得的图像向右平移12π个单位长度，得到函数()g x 的图像，则（ ）A ．()3sin 3312g x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭B ．()g x 的图像关于直线4x π=对称C ．()g x 的图像关于点5,312π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称D ．()g x 在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增【答案】BC 【解析】 【分析】由平移和伸缩变换判断A ；采用代入法判断BC ；由正弦函数的单调性判断D.【详解】由题意得，()3sin 333sin 33124g x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，A 错误．3442πππ⨯-=，B 正确．因为53124πππ⨯-=，所以()g x 的图像关于点5,312π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，C 正确．由0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得33,444x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以()g x 在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不单调递增，D 错误．故选：BC10.（2022·全国·模拟预测）将函数()()sin 0f x x x ωωω=>的图象向右平移π3个单位，得到的图象关于y 轴对称，则下列说法正确的是（ ）A ．()f x 最小正周期的最大值为4π5B ．()f x 最小正周期的最大值为4π11C ．当()f x 的最小正周期取最大值时，平移后的函数在π0,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．当()f x 的最小正周期取最大值时，平移后的函数在π0,11⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减【答案】AC 【解析】 【分析】先化简()π2sin 3f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再根据平移法则可得π3f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的图象关于y 轴对称，即可得到132k ω=--，k ∈Z ，0>ω，从而可以判断各选项的真假．【详解】因为()πsin 2sin 3f x x x x ωωω⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，所以其图象向右平移π3个单位后得到函数()1ππππ2sin 2sin 3333y f x x x ωωω-⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-+=+⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦的图象，因为其函数图象关于y 轴对称，所以()1ππ32k ωπ-=+，k ∈Z ，所以132k ω=--，k ∈Z ，0>ω，所以min15322ω=-=，所以max min2π4π5T ω==．又因为5π52sin 2cos 222x y x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭=，令52π2ππ2k x k ≤≤+，k ∈Z ，所以442πππ555k x k ≤≤+，k ∈Z ，当0k =时，2π0,5x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以52cos 2y x =-在π0,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增．故选：AC ．11．（2022·贵州·六盘水市第二中学高一阶段练习）已知函数()()πsin ,0,0,2f x A x x A ωϕωϕ⎛⎫=+∈>>< ⎪⎝⎭R 的部分图像如图所示，则下列说法正确的是（ ）A ．()f x 的图像关于点1,06⎛⎫- ⎪⎝⎭对称B ．()f x 的图像关于直线43x =对称 C ．()f x 在11,23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上为增函数D ．把()f x 的图像向右平移23个单位长度，得到一个奇函数的图像【答案】ABC 【解析】 【分析】根据函数图像求出函数解析式()π2sin π6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，然后利用三角函数的性质逐一判断即可.【详解】解：由已知2A =，514263T ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，2ππ2ω==，π2sin 23ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ππ2π32k ϕ+=+，k ∈Z ， 又π2ϕ<，π6ϕ∴=，()π2sin π6f x x ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，对于A ，1ππ2sin 0666f ⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 正确；对于B ，令ππππ62x k +=+，得13x k =+，k ∈Z ，1k =时，43x =，故B 正确；对于C ，11,23x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，令ππππ,632t x ⎡⎤=+∈-⎢⎥⎣⎦，sin y t =在ππ,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上递增，故C 正确；对于D ，把()f x 的图像向右平移23个单位长度，得函数表达式为()2ππ2sin π2sin π2cos π362g x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，它是偶函数，故D 错误.故选：ABC.12．（2022·全国·南京外国语学校模拟预测）若函数()2cos f x x x x =的是（ ）A ．函数()y f x =的图象可由函数sin 2y x =的图象向右平移π4个单位长度得到 B ．函数()y f x =的图象关于直线3π8x =-对称 C ．函数()y f x =的图象关于点3π,08⎛⎫- ⎪⎝⎭对称D ．函数()y x f x =+在π0,8⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数【答案】BD 【解析】 【分析】由三角函数的恒等变换化简()πsin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再由三角函数的平移变换可判断A ；求出3π18f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭可判断B 、C ；先判断()y f x =在π0,8⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数，即可判断()y x f x =+在π0,8⎛⎫⎪⎝⎭的单调性.【详解】由题意，()2πcos 22sin 24f x x x x x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． 函数sin 2y x =的图象向右平移π4个单位长度可得到()ππsin 2sin 2cos 242f x x x x ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 错误；3π3ππsin 21884f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=⨯-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以函数()y f x =的图象关于直线3π8x =-对称，故B 正确，C 错误；函数y x =在π0,8⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数，π0,8x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，πππ2,442x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，故函数()f x 在π0,8⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以函数()y x f x =+在π0,8⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数，故D 正确．故选：BD ． 三、填空题13．（2020·江苏·高考真题）将函数y =πsin(2)43x﹢的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是____. 【答案】524x π=- 【解析】 【分析】先根据图象变换得解析式，再求对称轴方程，最后确定结果.【详解】3sin[2()]3sin(2)6412y x x πππ=-+=-72()()122242k x k k Z x k Z πππππ-=+∈∴=+∈当1k =-时524x π=- 故答案为：524x π=-14．（2021·长岭县第二中学高三三模）函数22sin cos 2()2cos x x x xf x x x +++=+的图象关于点_______成中心对称，记函数的最大值为M ，最小值为N ，则M N +=_______． 【答案】(0,1) 2 【分析】先将()f x 分离常数，找到与奇函数的关系，再利用平移求出对称中心及最大值与最小值之和. 【详解】2sin ()12cos x xf x x x +=++，记2sin ()2cos x x g x x x+=+， 22sin()sin ()()2()cos()2cos x x x xg x g x x x x x--+-==-=--+-+∴()g x 是奇函数，其图象关于坐标原点(0,0)中心对称. 则()g x 的最大值和最小值之和为0，把()g x 的图象向上平移一个单位得到()()1f x g x =+的图象，即()f x 的图象关于点(0,1)对称，且0112M N +=++=．故答案为：(0,1)；2.15．（2014·重庆·高考真题（文））将函数图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到的图像，则______.【解析】 【详解】试题分析：由题意，6sin sin 6y x y x ππ⎛⎫=→=+ ⎪⎝⎭个单位向左平移()21sin 26f x x π⎛⎫→=+ ⎪⎝⎭纵坐标不变每个点的横坐标都伸长到原来的倍所以1sin sin 62664f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以答案应填：2. 16．（2021·山东高三月考）已知定义在R 上函数()()sin f x A x =+ωϕ（0>ω）振幅为2，满足212x x -=，且()()21f x f x =()0,102上()f x 零点个数最少为______． 【答案】16 【分析】根据题意可得2A =，要使零点个数最少，周期需最大，12,x x 应为()y f x =与y =求出6π=ω，进而求出周期212T ωπ==，为了使区间零点最少，将第一个零点放在原点，得出11021282T T ÷=+，即可求解.【详解】振幅为2，2A ∴=，212x x -=，()()21f x f x =要使零点个数最少，周期需最大，12,x x 应为()y f x =与y =()()12sin sin x x ωϕωϕ⎧+=⎪⎪∴⎨⎪+=⎪⎩()212333x x πππω⇒-=-=，212x x -=，6πω∴=， 由212T ωπ==，为了使区间零点最少，将第一个零点放在原点，11021282T T ∴÷=+，最后1个零点恰好在102x =处不在区间()0,102中，2816∴⨯=，所以()0,102上()f x 零点个数最少为16. 故答案为：16四、解答题17．（2022·上海市嘉定区第二中学高一期末）已知函数()()(sin 0,0,)f x A x A ωϕωϕπ=+>><的部分图像如图所示.(1)求()f x 的解析式及对称中心；(2)先将()f x 的图像纵坐标缩短到原来的12倍，再向右平移π12个单位后得到()g x 的图像，求函数()y g x =在π3π,124x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的单调减区间和最值. 【答案】(1)()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，对称中心为,03k ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，k Z ∈．(2)单调递减区间为423,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；max ()1g x =，min ()g x =【解析】【分析】（1）由函数的图像的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ的值，可得()f x 的解析式，再利用三角函数的图像的对称性，得出结论．（2）由题意利用函数sin()y A x ωϕ=+的图像变换规律，求得()g x 的解析式，再利用余弦函数的单调性、余弦函数的定义域和值域，得出结论． (1)解：根据函数()sin()(0f x A x A ωϕ=+>，0>ω，||)ϕπ<的部分图像， 可得2A =，3254123πππω⋅=+，2ω∴=． 再根据五点法作图，52122ππϕ⨯+=，3ϕπ∴=-，故有()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．根据图像可得，,03π⎛-⎫⎪⎝⎭是()f x 的图像的一个对称中心，故函数的对称中心为,03k ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，k Z ∈．(2)解：先将()f x 的图像纵坐标缩短到原来的12，可得sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，再向右平移12π个单位，得到sin 2sin(2)cos 21232y x x x πππ⎡⎤⎛⎫=--=-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图像， 即()cos 2g x x =-，令222k x k πππ-≤≤，k Z ∈，解得2k x k πππ-≤≤，k Z ∈，可得()g x 的减区间为,2k k πππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，k Z ∈，结合3,124x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得()g x 在3,124ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递减区间为423,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．又32,62x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故当2x π=，2x π=时，()g x 取得最大值，即max ()1g x =；当26x π=，12x π=时，()g x 取得最小值，即min ()g x =18.（2021·天津·静海一中高三月考）已知函数2())2sin 1(0,0)2x f x x πωϕωϕωϕ+⎛⎫++-><< ⎪⎝⎭为奇函数，且()f x 图象的相邻两对称轴间的距离为π2.（1）求()f x 的解析式.（2）求()()sin cos h x f x x x =++的最大值.（3）将函数()f x 的图象向右平移12π个单位长度，再把横坐标缩小为原来的12(纵坐标变)，得到函数()y g x =的图象，求()y g x =的解析式.【答案】（1）()2sin 2f x x =，（2）2（3）()2sin 46g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭【分析】（1）结合二倍角公式和辅助角公式将函数化简为()2sin 6f x x πωϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，再根据正弦函数的周期性奇偶性，分别求出ω和ϕ，从而可求得()f x 的解析式（2）令sin cos [4t x x x π⎛⎫=+=+∈ ⎪⎝⎭，则利用换元法可得222y t t =+-，从而可求出其最大值，（3）利用三角函数图象变换规律可求出函数解析式 【详解】（1）()()22sin 12x f x x ωϕωϕ+⎛⎫++- ⎪⎝⎭)cos()2sin 6x x x πωϕωϕωϕ⎛⎫=+-+=+- ⎪⎝⎭，因为()f x 图象的相邻两对称轴间的距离为π2所以222T πππω=⨯==，得2ω=，因为()f x 为奇函数， 所以,6k k Z πϕπ-=∈，即6,k k Z πϕπ=+∈，因为0ϕπ<<，所以6π=ϕ， 所以()2sin 2f x x =，（2）()()sin cos 2sin 2sin cos h x f x x x x x x =++=++，令sin cos [4t x x x π⎛⎫=+=+∈ ⎪⎝⎭，则222y t t =+-，因为对称轴为14t =-，所以当t =时，y 取得最大值2222⨯=（3）将函数()f x 的图象向右平移12π个单位长度，可得2sin 22sin 2126y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再把横坐标缩小为原来的12(纵坐标变)，得到函数()2sin 46y g x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭19．（2022·上海市新场中学高一期末）已知函数2()cos 2cos 1f x x x x =+-， (1)求函数()f x 的最小正周期； (2)若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦求()f x 的值域；(3)将函数()f x 图象向右平移6π个单位后，得到函数()y g x =的图象，求函数()1y g x =-的零点.【答案】(1)π； (2)[1,2]-； (3)6x k ππ=+或2x k ππ=+，Z k ∈.【解析】 【分析】（1）应用降幂公式化简()2sin(2)6f x x π=+，由正弦函数性质求最小正周期；（2）根据正弦型函数的性质求()f x 的区间值域；（3）由图象平移得()2sin(2)6g x x π=-，令()10y g x =-=结合三角函数的性质求零点即可.(1)由()2cos22sin(2)6f x x x x π=+=+，所以()f x 的最小正周期22T ππ==. (2)由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则72[,]666x πππ+∈，即1sin(2)[,1]62x π+∈-，所以()[1,2]f x ∈-. (3)由题设()()2sin(2)66g x f x x ππ=-=-， 令()10y g x =-=，即2sin(2)16x π-=，可得1sin(2)62x π-=，所以2266x k πππ-=+或52266x k πππ-=+，Z k ∈， 即6x k ππ=+或2x k ππ=+，Z k ∈.故()1y g x =-的零点为6x k ππ=+或2x k ππ=+，Z k ∈.20．（2022·北京·北师大实验中学高一期中）某游乐场的摩天轮示意图如图．已知该摩天轮的半径为30米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所需时间为24T =分钟．在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为1～12（可视为点），现从图示位置，即1号座舱位于圆周最右端时开始计时，旋转时间为t 分钟．(1)当6t =时，求1号座舱与地面的距离；(2)在前24分钟内，求1号座舱与地面的距离为17米时t 的值；(3)记1号座舱与5号座舱高度之差的绝对值为H 米，若在00t t ≤≤这段时间内，H 恰有三次取得最大值，求0t 的取值范围． 【答案】(1)62m(2)16t =或20t =(3)03244t ≤< 【解析】 【分析】（1）设1号座舱与地面的距离h 与时间t 的函数关系的解析式为()sin()(0h t A t b A ωϕ=++>，0)ω>，根据所给条件求出A 、b 、ω、ϕ，即可得到函数解析式，再令6t =代入计算可得； （2）由（1）中的解析式()17h t =，结合正弦函数的性质计算可得；（3）依题意可得1h ，5h ，从而得到高度差函数()30sin 3230sin 2128123H t t ππ⎛⎫⎡⎤=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣++⎦+，利用两角和差的正弦公式化简，再结合正弦函数的性质求出函数取得最大值时t 的值，即可得解； (1)解：设1号座舱与地面的距离h 与时间t 的函数关系的解析式为()sin()(0h t A t b A ωϕ=++>，0>ω，0)t ≥， 则30A =，32b =，所以()30sin()32(0)h t t ωϕω=++> 依题意24min T =，所以2(/min)12rad T ππω==， 当0=t 时()32h t =，所以0ϕ=，故()30sin 3212h t t π=+()0t ≥，所以()630sin 6326212h π⎛⎫=⨯+=⎪⎝⎭， 即当6t =时，求1号座舱与地面的距离为62m ； (2)解：令()17h t =，即71230sin 321t π+=，所以1sin122t π=-， 又024t ≤≤，所以0212t ππ≤≤，所以4123t ππ=或5123t ππ=，解得16t =或20t =， 即16t =或20t =时1号座舱与地面的距离为17米； (3)解：依题意130sin3212h t π+=，()530sin83212h t π++=，所以()30sin 3230sin 2128123H t t ππ⎛⎫⎡⎤=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣++⎦+()30sin 30sin 81212t t ππ=+-2301sinsi 2123n t t πππ⎛⎫+ ⎪⎝-⎭=s 3013sin 2122t t ππ=6n 12t ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭令,1262k k N t ππππ-=+∈，解812,k k N t =+∈，所以当812,k k N t =+∈时H 取得最大值， 依题意可得03244t ≤<21.（2015·福建·高考真题（文））已知函数()2cos 10cos 222x x x f x =+．（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度，再向下平移a （0a >）个单位长度后得到函数()g x 的图象，且函数()g x 的最大值为2．（ⅰ）求函数()g x 的解析式； （ⅱ）证明：存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >． 【答案】（1）2π；（2）（ⅰ）()10sin 8g x x =-； （ⅱ）证明见解析. 【解析】 【详解】（Ⅰ）因为()2cos 10cos 222x x xf x =+5cos 5x x =++10sin 56x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．所以函数()f x 的最小正周期2πT =．（Ⅱ）（Ⅰ）将()f x 的图象向右平移6π个单位长度后得到10sin 5y x =+的图象，再向下平移a （0a >）个单位长度后得到()10sin 5g x x a =+-的图象．又已知函数()g x 的最大值为2，所以1052a +-=，解得13a =． 所以()10sin 8g x x =-．（Ⅱ）要证明存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >， 就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数0x ， 使得010sin 80x ->，即04sin 5x >．由45<知，存在003πα<<，使得04sin 5α=． 由正弦函数的性质可知，当()00,x απα∈-时，均有4sin 5x >． 因为sin y x =的周期为2π，所以当()002,2x k k παππα∈++-（k ∈Z ）时，均有4sin 5x >． 因为对任意的整数k ，()()00022213k k πππαπαπα+--+=->>，所以对任意的正整数k ，都存在正整数()002,2k x k k παππα∈++-，使得4sin 5k x >． 亦即存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >．22．（2022·上海市嘉定区第一中学高一期末）某小区拟用一块半圆形地块（如图所示）建造一个居民活动区和绿化区．已知半圆形地块的直径4AB =千米，点O 是半圆的圆心，在圆弧上取点C 、D ，使得BC DC =，把四边形ABCD 建为居民活动区，并且在居民活动区周围铺上一条由线段AB ，BC ，CD 和DA 组成的塑胶跑道，其它部分建为绿化区．设COB θ∠=，且62ππθ≤<；(1)当6πθ=时，求四边形ABCD 的面积；(2)求塑胶跑道的总长l 关于θ的函数关系式；(3)当θ为何值时，塑胶跑道的总长l 最短，并求出l 的最小值．（答案保留2位小数）【答案】(1)2+(2)48sin4cos 2l θθ=++(3)6πθ=时，塑胶跑道的总长l 最短，最小值9.53千米．【解析】 【分析】 （1）6COD πθ∠==，23DOA π∠=，由三角形面积公式求得三个三角形面积后可得四边形面积； （2）COD θ∠=，2DOA πθ∠=-，利用等腰三角形的性质求得底边长，从而得l 的表达式；（3）利用二倍角公式化简函数式为关于sin 2θ的二次函数，结合二次函数性质、正弦函数性质得最小值．(1)连接OD ，因为6πθ=，又BC CD =，则6COD πθ∠==，所以23DOA π∠=，212sin 126BOCCODSSπ==⨯⨯=，2122sin 23AODS π=⨯⨯=所以112ABCD BOCCODDCAS SSS=++=+=； (2)由（1）知2sin4sin22BC CD OB θθ===，2AOD πθ∠=-，2sin4sin()4cos 22AOD AD OA πθθ∠==-=， 所以48sin 4cos ,622l AB BC CD DA θππθθ=+++≤+<=+（千米）．(3) 2248sin4cos 48sin4(12sin )8sin 8sin 822222l θθθθθθ=++=++-=-++218(sin )1022θ=--+， 62ππθ≤<，1224πθπ≤<，所以1sin22θ=，即3πθ=时，max 10l =．6πθ=时，sinsin()sin cos cos sin 12343434πππππππ=-=-=218)109.532l =-⨯+≈，2πθ=时，218)109.662l =-⨯+≈，所以6πθ=时，l 取得最小值9.53千米．。

专题05 函数的基本性质函数的单调性【背一背基础知识】1.单调区间：若函数()f x 在区间D 上是增函数（或减函数），则称函数()f x 在区间D 为单调递增（或单调递减），区间D 叫做()y f x =的单调递增区间（或单调递减区间）；2.函数的单调性：设函数()f x 的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 上任意两个自变量1x 、2x ，当12x x <时，有()()12f x f x <（或()()12f x f x >），那么就说函数()f x 在区间D 上是增函数（或减函数）；或对于区间D 上任意两个自变量1x 、2x ，当12x x ≠时，有()()12120f x f x x x ->-或()()()12120x x f x f x -⋅->⎡⎤⎣⎦时，称函数()f x 在区间D 上是增函数；或对于区间D 上任意两个自变量1x 、2x ，当12x x ≠时，有()()12120f x f x x x -<-或()()()12120x x f x f x -⋅-<⎡⎤⎣⎦时，称函数()f x 在区间D 上是减函数.3.基本初等函数的单调性：没有单调性【讲一讲基本技能】必备技能：1.在判断基本初等函数的单调性时，在熟悉基本初等函数的图象的基础上进行判断，尤其要注意，函数在区间D 上的单调性和函数在区间D 的子区间()D D D ''⊆上的单调性相同；在涉及若干个函数的和函数时，判断此函数的单调性一般利用性质去判断，即①增函数+增函数=增函数，②增函数-减函数=增函数，③减函数+减函数=减函数，④减函数-增函数=减函数；分段函数在定义域上的具有一种单调性，则要求分段函数在每段定义域上的单调性保持一致，还对断点处的函数值的大小有要求；一般情况下的单调性可利用导数求进行判断，即由()0f x '≤确定的解集为函数()f x 的单调递减区间，由()0f x '≥确定的解集为函数()f x 的单调递增区间；证明函数的单调性可以利用定义法与导数法.同时需要注意函数的同类单调区间（即同为增区间或减区间）不能取并集，一般利用逗号隔开或用“和”字联结.2.复合函数法：对于函数()y f g x =⎡⎤⎣⎦，可设内层函数为()u g x =，外层函数为()y f u =，可以利用复合函数法来进行求解，遵循“同增异减”，即内层函数与外层函数在区间D 上的单调性相同，则函数()y f g x =⎡⎤⎣⎦在区间D 上单调递增；内层函数与外层函数在区间D 上的单调性相反，则函数()y f g x =⎡⎤⎣⎦在区间D 上单调递减.3.导数法：不等式()0f x '>的解集与函数()f x 的定义域的交集即为函数()f x 的单调递增区间，不等式()0f x '<的解集与函数()f x 的定义域的交集即为函数()f x 的单调递减区间.【注】函数的多个递增区间或递减区间不能合并，在表示的时候一般将各区间用逗号或“和”字进行连接. 典型例题例1下列函数中,既是奇函数又是增函数的为（ ） A.1y x =+ B.y x x= C.1y x=D.2y x =-分析：本题属于基本初等函数的单调性进行判断，判断时可以利用基本初等函数的图象或在基本初等函数的基本单调性来进行判断，在判断时可以利用结论：函数在区间D 上的单调性和函数在区间D 的子区间()D D D ''⊆上的单调性相同.【答案】B例2已知函数()()()2511x ax x f x a x x⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩是R 上的增函数，则a 的取值范围是（ ）A.30a -≤<B.32a -≤≤-C.2a ≤-D.0a < 分析：本题属于分段函数的单调性问题，对于分段函数()f x 在定义域上的增函数问题，则需要考虑()f x 在区间(),1-∞和区间[)1,+∞上都是增函数，还需要考虑()f x 在1x =处两边函数值的大小关系，从而求出参数的取值范围. 【答案】B【练一练趁热打铁】1. 下列函数中，在()0,+∞上单调递减，并且是偶函数的是（ ）A.2y x =B.3y x =-C.lg y x =-D.2x y = 【答案】C2. 已知函数()()3,0ln 1,0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩，若()()22f x f x ->，则实数x 的取值范围是（ ）A.()(),12,-∞-+∞B.()(),21,-∞-+∞C.()1,2-D.()2,1-【答案】D【解析】作出函数()()3,0ln 1,0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩的图象如下图所示，函数的奇偶性 【背一背基础知识】1.函数的奇偶性：一般地，如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()f x f x -=（或()f x -= ()f x -），那么函数()f x 就叫做偶函数（或奇函数）； 2.基本初等函数的奇偶性：3.定义法判断奇偶性的步骤：（1）判断函数的定义域是否关于原点对称；（2）计算()f x -与()f x ±是否具备等量关系；（3）下结论；4.利用性质法来判断奇偶性：（1）奇函数±奇函数=奇函数；（2）偶函数±偶函数=偶函数；（3）奇函数⨯奇函数=偶函数；（4）偶函数⨯偶函数=偶函数；（5）奇函数⨯偶函数=奇函数. 【讲一讲基本技能】1.利用定义判断函数奇偶性的步骤：2．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式()x (x)0f f ＋－＝ (奇函数)或()x (x)0f f -－＝ (偶函数))是否成立．3．通过函数图象的对称关系也可以判断奇偶性．若图象关于原点对称，则函数是奇函数；若图象关于y 轴对称，则函数是偶函数． 4．抽象函数奇偶性的判断方法：(1)利用函数奇偶性的定义，找准方向(想办法出现()()f x f x －，)； (2)巧妙赋值，合理、灵活地变形配凑； (3)找出()f x -与()f x 的关系，得出结论．5.对于含参函数中参数的求值问题，在填空题与选择题中，充分利用结论：若奇函数()f x 在0x =处有定义，则()00f =. 典型例题例1已知函数f(x)＝2200x x x ax bx x ⎧≤⎪⎨>⎪⎩＋，，＋，是奇函数，求a ＋b 的值．分析：本题是函数的奇偶性的判断，对于本题的求解，可以利用定义法来进行判断，按照定义法判断函数奇偶性三步来进行证明.【答案】0例2给出下列函数①cos y x x =②2sin y x =③2y x x =-④x x y e e -=-，其中是奇函数的是（ ）A. ①②B. ①④C. ②④D. ③④分析：本题是考查函数的奇偶性的判断问题，对于简单函数的奇偶性判断，可以利用基本初等函数的奇偶性或定义法来进行判断. 【答案】B.例3 设()f x 为定义在R 上的函数.当0x ≥时，()22x f x x b =++（b 为常数），则()1f -=（ ） A.3- B.1- C.1 D.3 分析：本题是考查分段函数的奇偶性与求值问题，题中已知函数()f x 在区间[)0,+∞上的解析式，但解析式中含有未知的参数，所以可以利用奇函数的结论()00f =来求出b 的值，从而确定函数()f x 区间[)0,+∞上的解析式，先求出()1f 的值，然后结合函数()f x 的奇偶性求出()1f -的值.解析：函数()f x 为定义在R 上的函数，()00f ∴=，即()0022010f b b =+⨯+=+=，解得1b =-，故当0x ≥时，()221xf x x =+-，因此()1122113f =+⨯-=，所以()()113f f -=-=-，故选A. 例4.已知函数()32013f x ax bx =++，若()20144025f =，则()2014f -=（ ）A.1B.4025-C.2013-D.2014 分析：本题是利用函数奇偶性求值问题，首先需要注意到()2014f -与()2014f 中两个自变量之间相反数之间的关系，联想到利用函数的奇偶性来求解，在解题时注意到代数式3ax bx +的奇偶性，通过将2014与2014-之间相反数之间的关系，代值利用加法进行消去，从而求出()2014f -的值.【练一练趁热打铁】1. 定义在R 上的奇函数)(x f y =满足0)3(=f ，且不等式)()(x f x x f '->在),0(+∞上恒成立，则函数)(x g =1lg )(++x x xf 的零点的个数为（ ）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】B【解析】∵不等式)()(x f x x f '->在),0(+∞上恒成立，∴'(())0xf x >，∴函数()y xf x =在(0,)+∞上为增函数，又∵)(x f y =在R 上为奇函数，∴函数()y xf x =在(,0)(0,)-∞+∞上为偶函数，且过(3,0)和(3,0)-和(0,0)，∴函数)(x g =1lg )(++x x xf 的零点的个数为3个.【1-2】 2. 已知函数()2mf x x －＝是定义在区间2[3]m m m －－，－上的奇函数，则f (m )＝________．【答案】1－3.偶函数()y f x =在区间[]0,4上单调递减，则有（ ） A.()()13f f f ππ⎛⎫->>-⎪⎝⎭ B.()()13f f f ππ⎛⎫>->- ⎪⎝⎭C.()()13f f f ππ⎛⎫->>- ⎪⎝⎭D.()()13f f f ππ⎛⎫->-> ⎪⎝⎭【答案】C函数的周期性【背一背基础知识】1．周期函数：对于函数()f x ，如果存在一个非零实数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有()()f x T f x +=，那么函数()f x 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期.2．最小正周期：如果周期函数()f x 的所有周期中存在一个最小的正数，那么最小的正数就叫做()f x 的最小正周期.3．关于函数周期性常用的结论(1)若满足()()f x a f x ＋＝－，则()(2)[()]()f x a f x a a f x a f x ＋＝＋＋＝－＋＝，所以2a 是函数的一个周期(0a ≠)； (2)若满足1()()f x a f x ＋＝，则(2)[()]f x a f x a a ＋＝＋＋＝ 1()f x a +＝()f x ，所以2a 是函数的一个周期(0a ≠)；(3)若函数满足1()()f x a f x +＝-，同理可得2a 是函数的一个周期(0a ≠). （4）如果)(x f y =是R 上的周期函数，且一个周期为T ，那么))(()(Z n x f nT x f ∈=±． （5）函数图像关于b x a x ==,轴对称)(2b a T -=⇒． （6）函数图像关于()()0,,0,b a 中心对称)(2b a T -=⇒．（7）函数图像关于a x =轴对称，关于()0,b 中心对称)(4b a T -=⇒． 【讲一讲基本技能】1．求函数周期的方法求一般函数周期常用递推法和换元法，形如y ＝Asin(ωx ＋φ)，用公式T ＝2π|ω|计算．递推法：若f(x ＋a)＝－f(x)，则f(x ＋2a)＝f[(x ＋a)＋a]＝－f(x ＋a)＝f(x)，所以周期T ＝2a.换元法：若f(x ＋a)＝f(x －a)，令x －a ＝t ，x ＝t ＋a ，则f(t)＝f(t ＋2a)，所以周期T ＝2a ．2．判断函数的周期只需证明f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T ，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．3．根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T 是函数的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是函数的周期．4.关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题，体现了转化思想． 2.典型例题例1已知f （x ）是R 上的奇函数，对x ∈R 都有f （x+4）=f （x ）+f （2）成立，若f （﹣1）=﹣2，则f （2013）等于（ ）A ．2B ．﹣2C ．﹣1D ．2013分析：本题是借助函数的周期性与奇偶性求值问题，对于此种问题的处理，首先是利用特值确定f 20=（﹣），从而利用奇偶性得f 20=（），利用函数的周期性即可求解.【答案】A例2已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()2f x +=()f x -，则()6f -的值为_______.分析：本题是利用函数的周期性与奇偶性求对抽象函数求值，对于此种问题的处理，首先应该从条件()()2f x f x +=-得出函数()f x 的周期，然后利用周期性将所求的函数值对应的自变量的绝对值化小，并结合已知条件求解.【练一练趁热打铁】1. 奇函数()f x 满足对任意x R ∈都有()()2f x f x +=-成立，且()18f =，则(2012)(2013)(2014)f f f ++的值为（ ）A ． 2B ． 4C ． 6D ． 8【答案】D2.已知函数()f x 满足()()21f x f x ⋅+=且()12f =，则()99f = . 【答案】12.（一） 选择题（12*5=60分）1. 函数()log 1(01)a f x x a =+<<的图像大致为（ ）【答案】A【解析】因为()()()()+∞∞-∈=-,00,, x x f x f 所以函数()log 1(01)a f x x a =+<<为偶函数，当0>x 时，()()101log <<+=a x x f a 图像单调递减，且向上平移，据此可知答案选A.2. 下列函数()f x 中，满足对任意1x 、()20,x ∈+∞，当12x x <时都有()()12f x f x >的是（ ） A.()1f x x= B.()()21f x x =- C.()xf x e = D.()()ln 1f x x =+ 【答案】A3. 下列函数中，在(0,)+∞上是单调递增的偶函数的是（ ） A ．cos y x = B ．3y x = C ．x x y e e -=+ D ．212log y x =【答案】 C ．【解析】cos y x =在(0,)+∞上不是单调递增的，3y x =是奇函数，212log y x =在(0,)+∞上是单调递减的，x x y e e -=+在(0,)+∞上是单调递增的偶函数，故选C.4. 已知)(x f 是奇函数、)(x g 是偶函数，且2)1()1(=+-g f ，4)1()1(=-+g f ，则)1(g = A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 【答案】B.【解析】因为)(x f 是奇函数、)(x g 是偶函数，且4)1()1(=-+g f ，所以4)1()1(=+--g f ，又因为2)1()1(=+-g f ，所以3)1(=g ，故应选B.5. 奇函数)(x f 的定义域为R ，若)2(+x f 为偶函数，且)1(f =1，则)8(f +)9(f =（ ） A ．-2 B ．-1 C ．0 D ．1 【答案】D.6. ()tan sin 1f x x x =++，若2)(=b f ，则=-)(b f （ ） A. 0B. 3C. -1D. -2【答案】A.7. 已知函数2()21,()1x f x g x x =-=-，构造函数()F x 的定义如下：当|()|()f x g x ≥时，()|()|F x f x =，当|()|()f x g x <时，()()F x g x =-，则()F x ( )A ．有最小值0，无最大值B ．有最小值－1，无最大值C ．有最大值1，无最小值D ．无最大值，也无最小值 【答案】B【解析】作出函数图象可得，()F x 的图象为图中x 轴上方A 点左侧（含A 点），B 点右侧（含B 点）部分，x 轴下方的红色虚线部分，由图可知，()F x 无最大值，最小值为1-,选B.8.已知函数()y f x =是在闭区间[]0,2上单调递增的偶函数，设()2a f =-，()0b f =，()1c f =-，则（ ）A.b c a <<B.a b c <<C.a c b <<D.c b a << 【答案】A9. 函数()f x 的定义域为{|1}x R x ∈≠，对定义域中任意的x ，都有(2)()f x f x -=，且当1x <时，2()2f x x x =-，那么当1x >时，()f x 的递增区间是（ ）A ．5[,)4+∞ B ．5(1,]4C ．7[,)4+∞ D ．7(1,)4【答案】C10. 已知函数3,0,()ln(1),>0.x x f x x x ⎧≤=⎨+⎩若2(2)()f x f x ->，则实数x 的取值范围是（ ）A.(,1)(2,)-∞-⋃+∞B.(,2)(1,)-∞-⋃+∞C. (1,2)-D. (2,1)- 【答案】D【解析】由题意易知分段函数()f x 为单调递增函数，若2(2)()f x f x ->，则22x x ->，解得21x -<<．11. 已知函数()()()3223110f x mx m x m m =+--+>的单调递减区间是()0,4，则m =（ ）A.3B.13C.2D.12【答案】B【解析】()()2361f x mx m x '=+-，则0与4是方程()0f x '=的两根，则由韦达定理得()214m m-=-， 由于0m >，解得13m =，故选B. 12. 已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，)3|2||(|21)(222a a x a x x f --+-=，若R ∈∀x ，)()1(x f x f ≤-，则实数a 的取值范围为（ ）A.]61,61[-B.]66,66[-C. ]31,31[- D. ]33,33[- 【答案】B（二） 填空题（4*5=20分）13. 已知偶函数()f x 对任意x R ∈均满足(2)(2)f x f x +=-，且当20x -≤≤时，3()log (1)f x x =-，则(2014)f 的值是 . 【答案】114.若函数()221x x af x -=+是奇函数，那么实数a = .【答案】1.【解析】由于函数()221x x a f x -=+是奇函数，且在0x =处有意义，因此()00f =，即()002021af -==+ 102a-=，解得1a =. 15. 已知定义在R 上的函数()f x ，满足1(1)5f =，且对任意的x 都有1(3)()f x f x +=-，则(2014)f = ．【答案】-516. 已知函数32tansin )(x xx x f ++=，)1,1(-∈x ，则满足不等式0)12()1(<-+-a f a f 的实数a 的取值范围是 ． 【答案】2(0,)3【解析】本题函数表面上看比较复杂，但这类问题实质上我们可以不关心函数的具体表达式，只要理解函数的性质即可．研究函数32tansin )(x xx x f ++=，)1,1(-∈x 后发现()f x 是奇函数，也是增函数，因此不等式0)12()1(<-+-a f a f 化为(1)(21)(1)(12)f a f a f a f a -<--⇔-<-11121a a ⇔-<-<-<，所以有203a <<．。