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近似离散化方法(5/6)—例3-12 例 近似离散化方法
对上述近似离散化法的精度可检验如下: 1. 当T=1s时,精确法的计算结果为 1 0.432332 0.283834 G= H = 0 0.135335 0.432332 近似法的计算结果为
1 1 G= 0 −1
3-9, 解 由例3-9,该系统的转移矩阵函数为
t − t0 1 Φ(t, t0 ) = (t +1)(t0 +1) 0 1
线性时变连续系统的离散化(5/6) 线性时变连续系统的离散化
因此,由上述离散化计算公式，可分别计算
x((k +1)T) =Φ(T)x(kT) + ∫
(k +1)T
kT
Φ k +1)T −τ ]dτ Bu(kT) [(
对上式作变量代换,令t=(k+1)T-τ,则上式可记为
x((k +1)T) =Φ(T)x(kT) + ∫ Φ(t)dtBu(kT)
0
T
将上式与线性定常离散系统的状态方程 x((k+1)T)=(I+AT)x(kT)+BTu(kT) 比较,可知两式对任意的x(kT)和u(kT)成立的条件为 G(T)=Φ(T)=eAT
可得线性时变连续系统离散化模型各矩阵如下
G(k) = Φ[(k +1)T, kT] H(k) = ∫
(k +1)T kT
Φ[(k +1)T, τ]B(τ)dτ
线性时变连续系统的离散化(4/6) 线性时变连续系统的离散化
例3-13 试写出下列线性时变连续系统的离散化系统的状态 方程。
1 0 1 ɺ x = (t +1)2 x + u 1 0 0
线性定常连续系统状态空间模型的离散化,实际上是指在采 样周期T下,将状态空间模型 x′ = Ax + Bu y = Cx + Du 变换成离散系统的如下状态空间模型:
x((k +1)T) = G(T)x(kT) + H(T)u(kT) y(kT) = C(T)x(kT) + D(T)u(kT)
3.4 线性连续系统状态空间模型的离散化
离散系统的工作状态可以分为以下两种情况。 整个系统工作于单一的离散状态。 对于这种系统,其状态变量、输入变量和输出变量全 部是离散量,如现在的全数字化设备、计算机集成制 造系统等。 系统工作在连续和离散两种状态的混合状态。 对于这种系统,其状态变量、输入变量和输出变量既 有连续时间型的模拟量,又有离散时间型的离散量， 如连续被控对象的采样控制系统就属于这种情况。
Ch.3 线性系统的时域分析
目录(1/1) 目录
目 录
概述 3.1 线性定常连续系统状态方程的解 3.2 状态转移矩阵及其计算 3.3 线性时变连续系统状态方程的解 3.4 线性定常连续系统的离散化 3.5 线性定常离散系统状态方程的解 3.6 Matlab问题 问题 本章小结
线性连续系统状态空间模型的离散化(1/5) 线性连续系统状态空间模型的离散化
t0 t
现在只考虑在采样时刻t=kT和t=(k+1)T时刻之间的状态 响应,即对于上式,取t0=kT,t=(k+1)T,于是
x(k +1) = Φ[(k +1)T, kT]x(k) + ∫
(k +1)T kT
Φ[(k +1)T, τ]B(τ)u(τ)dτ
考虑到u(t)在采样周期内保持不变,所以有
x(k +1) = Φ[(k +1)T, kT]x(k) + ∫
t0
t
现在只考虑在采样时刻t=kT和t=(k+1)T时刻之间的状态响 应,即对于上式,取t0=kT,t=(k+1)T,于是
x((k +1)T) =Φ(T)x(kT) + ∫
(k +1)T
kT
Φ k +1)T −τ ]Bu(τ )dτ [(
精确离散化方法(2/4) 精确离散化方法
考虑到u(t)在采样周期内保持不变的假定,所以有
近似离散化方法(3/6)—例3-12 例 近似离散化方法
由上述推导过程可知,一般说来,采样周期T越小,则离散化精 度越高。 但考虑到实际计算时的舍入误差等因素,采样周期T不宜 太小。 例3-12 试用近似离散化方法写出下列连续系统的离散化系 统的状态方程:
0 1 0 x′ = x + 1u 0 − 2
近似离散化方法(4/6)—例3-12 例 近似离散化方法
解 由近似离散化法计算公式,对本例有
T 1 G(T) = I + AT = 0 1− 2T
于是该连续系统的离散化状态方程为
0 H(T) = BT = T
1 T 0 x(k +1) = x(k) + T u(k) 0 1- 2T
近似离散化方法(2/6) 近似离散化方法
将上式代入连续系统的状态方程,有 [x((k+1)T)-x(kT)]/T=Ax(kT)+Bx(kT) 即 x((k+1)T)=(I+AT)x(kT)+BTu(kT) 将上式与线性定常离散系统状态空间模型的状态方程比 较,则可得如下近似离散化的计算公式: G(T)=I+AT H(T)=BT 将上述近似离散法和精确离散法比较知, 由于I+AT和BT分别是eAT和∫eAtdtB的Taylor展开式中的一 次近似,因此近似离散化方法其实是取精确离散化方法 的相应计算式的一次Taylor近似展开式。
线性连续系统状态空间模型的离散化(3/5) 线性连续系统状态空间模型的离散化
图3-3所示为连续系统化为离散系统的系统框图。
u(t) 连续系统 x(t) 保持器 x(k) D/A 数字 计算机 A/D 保持器 y(t)
u(k)
y(k)
图 3-3 连续系统离散化的实现
线性连续系统状态空间模型的离散化(4/5) 线性连续系统状态空间模型的离散化
(k +1)T kT
Φ[(k +1)T, τ]B(τ)dτu(k)
线性时变连续系统的离散化(3/6) 线性时变连续系统的离散化
比较下述两式
x(k +1) = G(k) x(k) + H(k)u(k)
x(k +1) = Φ[(k +1)T, kT]x(k) + ∫
(k +1)T kT
Φ[(k +1)T, τ]B(τ)dτu(k)
线性连续系统的时间离散化问题的数学实质,就是在一定的采 样方式和保持方式下,由系统的连续状态空间模型来导出等价 的离散状态空间模型,并建立起两者的各系数矩阵之间的关系 式。 为使连续系统的离散化过程是一个等价变换过程,必须满足如 下条件和假设。 在离散化之后,系统在各采样时刻的状态变量、输入变量 和输出变量的值保持不变。 保持器为零阶的,即加到系统输入端的输入信号u(t)在采 样周期内不变,且等于前一采样时刻的瞬时值,故有 u(t)=u(kT) kT≤t<(k+1)T
0 H = 0.001
从上述计算结果可知,近似离散法只适用于较小的采样周期。
线性时变连续系统的离散化(1/6) 线性时变连续系统的离散化
3.4.2 线性时变连续系统的离散化
线性时变连续系统状态空间模型的离散化,实际上是指在指定 的采样周期T下,将连续系统的状态方程
x′(t) = A(t) x(t) + B(t)u(t)
线性定常连续系统的离散化(1/3) 线性定常连续系统的离散化
3.4.1 线性定常连续系统的离散化
本节主要研究线性定常连续系统状态空间模型的离散化,即 研究如何基于采样将线性定常连续系统进行离散化,建立 相应的线性定常离散系统的状态空间模型。 主要讨论的问题为两种离散化方法: 精确法和 近似法
线性定常连续系统的离散化(2/3) 线性定常连续系统的离散化
线性连续系统状态空间模型的离散化(5/5) 线性连续系统状态空间模型的离散化
采样周期T的选择满足申农(Shannon)采样定理,即 采样频率2π/T大于2倍的连续信号x(k)的上限频率。 满足上述条件和假设,即可推导出连续系统的离散化的状态空 间模型。 下面分别针对 线性定常连续系统和 线性定常连续系统 线性时变连续系统 讨论离散化问题。
解 首先求出连续系统的状态转移矩阵:
1 (1- e−2t )/2 s -1 Φ(t) = L−1[(sI - A)−1] = L−1 = −2t e 0 s + 2 0
−1
精确离散化方法(4/4)—例3-11 例 精确离散化方法
根据精确法计算式有
1 (1- e−2T )/2 G(T) = Φ(T) = −2T e 0 T T 1 ( - e ) / 2 0 1 −2t 1 2T - (1- e−2T ) H(T) = ∫ Φ(t)dtB = ∫ dt = −2t 0 0 0 1 4 2(1- e−2T ) e
H(T) = ∫ Φ t)dtB = ∫ eAtdtB (
0 0TT上两式即为精确离散化法的计算式。
精确离散化方法(3/4)—例3-11 例 精确离散化方法
例3-11 试用精确离散化方法写出下列连续系统的离散化系 统的状态方程:
0 1 0 x′ = x + 1u 0 − 2
线性连续系统状态空间模型的离散化(2/5) 线性连续系统状态空间模型的离散化
对于第2种情况的系统,其状态方程既有一阶微分方程组 又有一阶差分方程组。 为了能对这种系统运用离散系统的分析方法和设计 方法,要求整个系统统一用离散状态方程来描述。 由此,提出了连续系统的离散化问题。 在计算机仿真、计算机辅助设计中利用数字计算机 分析求解连续系统的状态方程,或者进行计算机控制 时,都会遇到离散化问题。
