理论力学第7版达朗贝尔定理

B
在半径为R=100mm的圆周上。如弹簧
的另一端由点B拉至点A和由点A拉至
点D，AC垂直BC，OA和BD为直径。 O
分别计算弹簧力所作的功。
解：对于弹簧作功：
CA D
WBA
由W12
k 2
(12
k 2
(12
22)
22) 0.2（J）
1 2
OB l OA l
0.1 2 0.1（m） 0.1（m）
令：F Fx i Fy j Fzk
dr dxi dyj dzk
W12
M2 F cos ·ds（自然形式）
M1
力 F 在 M1 ~ M2路程上的功： W12
M2 F ·dr （矢量式）
M1
W12
M2 M1
(Fxdx
Fydy
Fzdz)
（直角坐标式）
3. 常见力的功
1)、重力的功
质点：重力在三轴上的投影：
A2 F dr
A1
A2 A1
k(r
l0 )er
dr
er
因
er
dr
r r
dr
1 2r
d(r
r)
1 2r
d(r 2 )
dr
W12
r2 r1
k(r
l0 )dr
弹性力的功只与弹 簧在初始和末了位置
即
W12
k 2
(12
22)
的变形有关，与作用 点路径无关。
式中 1 r1 l0,2 r2 l0
T
1 m
2i
vi2
1 2
vC2
mi
即
T
1 2
mvC2
（2）定轴转动刚体的动能
T
1 2mivi
2
12mi
2ri 2
1
2
2
miri2 即
T
1 2
J z
2
（3）平面运动刚体的动能
速度瞬心：P
T
1 2
J p 2
1 2
(JC
md 2 ) 2
T
1 2
mvC2
1 2
JC 2
平面运动刚体的动能等于随质心平移的动能
W12
C2 C1
FR drC
2 1
M Cd
平面运动刚体上力系的功，等于力系向质心简 化所得的力和力偶作功之和。
说明：1、对任何运动的刚体，上述结论都适用；
2、C点为刚体上任意一点，上述结论仍成立；
3、计算力系的主矢、主矩时，不作功的力可 不考虑。
例：图示弹簧原长l=100mm，刚性系
数k=4.9KN/m,一端固定在点O，此点
WAD
k 2
( '12 '22
)
0.2（J）
'1 OA l 0.1（m） '2 OD l 0.1 2 0.（1 m）
13-2 质点和质点系的动能
1、质点的动能
T 1 m 2
2
瞬时值,与速度方向无关的正标量。单位：J（焦耳）
2、质点系的动能 T
1 2
mii
2
（1）平移刚体的动能
T2 T1
wi
——质点系动能定 理积分形式
质点系在某一段运动过程中，起点和终点的动能改变量，
等于作用于质点系的全部力在这段过程中所作功的和。
3、理想约束 定义：约束力作功等于零的约束为理想约束。
1）光滑固定面约束、活动铰支座、向心轴承、一 端固定的绳索类约束 ——力与位移垂直
W (N) N dr 0 (N dr )
求：轮心C走过路程S时的速度
和加速度
解： T1 0
T2
1 2
J
2
O1
1 2
m22
2
1 2
J
C
2 2
其中：JO m1R12
JC
1 2
m2
R2
2
1
C
R1
,2
C
R2
W12 M m2gSin ·S
S
R1
由W12 T2 T1
已知：轮O的R1、m1,; 均质轮C的R2、m2纯滚动, 初始静止 ;θ, M为 常力偶。 求：轮心C走过路程S时的速度和加速度
13-1 力的功
力的功——是力沿路程累积效应的度量。
1. 常力在直线运动中的功:
W F cos s
力的功是代数量。 时,
正功；
2
时,功为零；
时,负功。 2
2
单位: J（焦耳） 1 J = 1 N·m
2. 变力在曲线运动中的功:
元功 w F cos ·ds
F ·dr
Fxdx Fydy Fzdz
质点系内力作功之和不一定等于零。
1）相互吸引或排斥的质点，两力作功和不为零。 2）当力作用点有滑动摩擦时，滑动摩擦力与
物体的相对位移相反，摩擦力作负功。 刚体（特殊的质点系）所有内力作功的和等于零。
[例1] 已知：轮O的R1、m1, 质量分布在轮缘上; 均质轮C
的R2、m2纯滚动, 初始静止 ;θ, M为常力偶。
3. 定轴转动刚体上作用力的功
令F F cos
w F cos ·ds F ds F Rd M zd
从角1转动到角2过程中力 F的功为：
W12
1 2
M
z
d
若 M z 常量
W12 M z (2 1)
同样适用于刚体上作 用一力偶所作的功。
4. 平面运动刚体上力系的功 当质心由 C1 ~ C2 ，转角由1 ~ 2时，力系的功：
与绕质心转动的动能之和。 [ 习题 P314 13-4 ] 上面结论也适用于刚体的任意运动。
13-3 动能定理
1、质点的动能定理
m d F 两端乘 dt dr ，
dt
m d F dr
d(1 m 2 ) w
2
——质点动能定理 的微分形式
质点动能的增量等于作用在质点上力的元功。
1 2
m22
M
m2 g
Sin ·S
C 2
4
(2m1
3m2 )
(a)
C 2
(M m2gR1 Sin )S
R1(2m1 3m2 )
式(a)是函数关系式，两端对t求导，
1 2 (2m1
3m2 )CaC
M
C
R1
m2 g
Sin ·C
aC
2 (M m2g R1Sin )
2）固定铰支座、固定端约束 ——位移为零
3）光滑铰链、刚体二力杆、不可伸长绳索类约束 ——约束反力成对出现，作功之和为零
W (N) N dr N 'dr
N dr N dr 0
4）不计滚动摩阻时，纯滚动（只滚不滑）的接触点 ——无位移
对理想约束，在动能定理中只计入主动力的功即可。
质点系内力作功问题：
Fx Fy 0, Fz mg
W12
z2 z1
mgdz
mg(z1
z2 )
质点系:
W 12
m g(z z )
i
i1
i2
由 mzC mi zi
W12 mg(zC1 zC2 )
重力的功只与始、末位置有弹性力：
k——弹簧刚度系数 (N/m)
弹性力的功：W12
1 2
m12
W12
——质点动能定理 的积分形式
在质点运动的某个过程中，质点动能的改变量等于
作用于质点的力作的功。
2、质点系的动能定理
d
(1 2
mii2 )
wi
求和 d (12mii2 ) wi
dT
wi
——质点系动能定 理微分形式
质点系动能的增量，等于作用于质点系全部力所作的
元功的和。