第三章 三角函数
3.1任意角三角函数
一、知识导学
1．角：角可以看成由一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的几何图形.角的三要素是：顶点、始边、终边.角可以任意大小，按旋转的方向分类有正角、负角、零角. 2．弧度制：任一已知角α的弧度数的绝对值r
l
=
α，其中l 是以α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为圆的半径.规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制.
3．弧度与角度的换算：rad π2360=ο
；rad 1745.01801≈=π
ο
；1ο
ο
30.57180≈⎪⎭
⎫ ⎝⎛=πrad .用弧度为单位表示角的
大小时，弧度（rad ）可以省略不写.度()ο
不可省略.
4．弧长公式、扇形面积公式：,r l α=
2||2
1
21r lr S α=
＝扇形,其中l 为弧长，r 为圆的半径.圆的周长、面积公式是弧长公式和扇形面积公式中当πα2=时的情形.
5．任意角的三角函数定义：设α是一个任意大小的角，角α终边上任意一点P 的坐标是()y x ,，它与原点的距离是
)0(>r r ，那么角α的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割分别是
y
r
x r y x x y r x r y ======
ααααααcsc ,sec ,cot ,tan ,cos ,sin .这六个函数统称为三角函数. 三角函数
定义域 x y sin =
R x y cos = R
x y tan = ⎭
⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠Z k k x x ,2π
π
x y cot =
{}Z k k x x ∈≠,π
x y sec =
⎭
⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠Z k k x x ,2π
π
x y csc =
{}Z k k x x ∈≠,π
7．三角函数值的符号：各三角函数值在第个象限的符号如图所示（各象限注明的函数为正，其余为负值）
可以简记为“一全、二正、三切、四余”为正. 二、疑难知识导析
1．在直角坐标系内讨论角
（1）角的顶点在原点，始边在x 轴的正半轴上，角的终边在第几象限，就称这个角是第几象限角（或说这个角属于第几象限）.它的前提是“角的顶点为原点，角的始边为x 轴的非负半轴.否则不能如此判断某角为第几象限.若角的终边落在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限. （2）与α角终边相同的角的集合表示.
{}
Z k k ∈+⋅=,360
αββο
，其中α为任意角.终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同，终边相同的角有无
数多个，它们相差ο
360整数倍. 2．值得注意的几种范围角的表示法
“0ο～ο
90间的角”指ο
ο
900<≤θ；“第一象限角”可表示为{}
Z k k k ∈+⋅<<⋅,90360360
οοο
θθ；
“小于90ο的角”可表示为
{}ο
90<θθ.
3．在弧度的定义中
r
l
与所取圆的半径无关，仅与角的大小有关. 4．确定三角函数的定义域时，主要应抓住分母为零时比值无意义这一关键.当终边在坐标轴上时点P 坐标中必有一个为0.
5．根据三角函数的定义可知：（1）一个角的三角函数值只与这个角的终边位置有关，即角α与)(360Z k k ∈⋅=ο
β的同名三角函数值相等；（2）r y r x ≤≤,，故有1sin ,1cos ≤≤αα，这是三角函数中最基本的一组不等关系. 6．在计算或化简三角函数关系式时，常常需要对角的范围以及相应三角函数值的正负情况进行讨论.因此，在解答此类问题时要注意：（1）角的范围是什么？（2）对应角的三角函数值是正还是负？（3）与此相关的定义、性质或公式有哪些？
三、经典例题导讲
[例1] 若A 、B 、C 是ABC ∆的三个内角，且)2
(π≠<①.C A sin sin < ②.C A cot cot < ③.C A tan tan < ④.C A cos cos <
A ．1 B.2 C.3 D.4
正解：法1C A <Θ在ABC ∆中，在大角对大边，A C a c sin sin ,>∴>Θ
法2 考虑特殊情形，A 为锐角，C 为钝角，故排除B 、C 、D ，所以选A . [例2]已知βα,角的终边关于y 轴对称，则α与β的关系为 . 正解：∵βα,角的终边关于y 轴对称 ∴
)(,2
2
Z k k ∈+=
+ππ
β
α即)(,2z k k ∈+=+ππβα
说明：（1）若βα,角的终边关于x 轴对称，则α与β的关系为)(,2Z k k ∈=+πβα
（2）若βα,角的终边关于原点轴对称，则α与β的关系为)(,)12(Z k k ∈++=πβα （3）若βα,角的终边在同一条直线上，则α与β的关系为)(,Z k k ∈+=παβ [例4]已知角α的终边经过)0)(3,4(≠-a a a P ，求ααααcot ,tan ,cos ,sin 的值. 正解：若0>a ，则a r 5=，且角α在第二象限
3
434cot ,4343tan ,5454cos ,5353sin -=-=-=-=-=-===
∴a a a a a a a a αααα 若03
4
34cot ,4343tan ,5454cos ,5353sin -=-=-=-==--=-=-=∴a a a a a a a a αααα
[例5] （1）已知α为第三象限角，则2
α
是第 象限角，α2是第 象限角；
（2）若4-=α，则α是第 象限角.
解：（1）αΘ是第三象限角，即Z k k k ∈+<<+,2
3
22ππαππ
Z k k k ∈+<<+∴,4
3
22ππαππ，Z k k k ∈+<<+,34224ππαππ
当k 为偶数时，2α
为第二象限角
当k 为奇数时，2α
为第四象限角
而α2的终边落在第一、二象限或y 轴的非负半轴上.
（2）因为ππ
-<-<-
42
3，所以α为第二象限角. 点评：α为第一、二象限角时，2α为第一、三象限角，α为第三、四象限角时，2
α
为第二、四象限角，但是它们在
以象限角平分线为界的不同区域.
.
[例7]已知α是第三象限角，化简
α
α
ααsin 1sin 1sin 1sin 1+---+。
解：原式＝α
ααα2
222sin 1)sin 1(sin 1)sin 1(----+＝αα
αααcos sin 2cos sin 1sin 1=+-+ 又α是第三象限角，0cos <∴α 所以，原式＝αα
α
tan 2cos sin 2-=-
。
点评：三角函数化简一般要求是：（1）尽可能不含分母；（2）尽可能不含根式；（3）尽可能 使三角函数名称最少；（4）尽可能求出三角函数式的值.本题的关健是如何应用基本关系式脱去根式，进行化简. [例8] 若角α满足条件0sin cos ,02sin <-<ααα，则α在第（ ）象限 A.一 B.二 C.三 D.四 解：αααααααααα⇔⎩⎨⎧<>⇔⎩⎨⎧<<⇔⎩⎨
⎧<-<0
cos 0
sin sin cos 0cos sin 0sin cos 02sin 角在第二象限.故选B.
四、典型习题导练
1．已知钝角α的终边经过点()θθ4sin ,2sin P ，且5.0cos =θ，则α的值为 ）
A ．⎪⎭
⎫
⎝⎛-
21arctan B ．()1arctan - C ．2
1
arctan
-π D ．43π
2．角α的终边与角β的终边关于y 轴对称，则β为（ ）
A.-α
B.л-α
C.（2k л+1）л-α(k ∈Z)
D.k л-α（k ∈Z ）
