浙江高二下数学试卷及答案

宁波市2023学年第二学期期末考试高二数学试题卷本试卷共4页，19小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项:1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、学校、准考证号填涂在答题卡上。

将条形码横贴在答题卡的“贴条形码区”。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

所有答案必须写在答题卡上，写在试卷上无效。

3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁，不要折叠、不要弄破。

选择题部分(共58分)一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合U ={1，2，3，4，5}，A ={1，2，4}，B ={1，5}，则∁U A ∩B =()A.⌀B.{1}C.{5}D.{1，5}2.已知复数z =1+2i ，则1z 的虚部为()A.25B.25iC.-25i D.-253.已知角α的终边过点-4，3 ，则sin α+cos αsin α=()A.-12B.-13C.14D.734.已知a ，b 为单位向量，则“a ⊥b ”是“a -2b =2a +b”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.对于直线m ，n 和平面α，β，下列说法错误的是()A.若m ⎳α，n ⎳α，m ，n 共面，则m ⎳nB.若m ⊂α，n ⎳α，m ，n 共面，则m ⎳nC.若m ⊥β，且α⎳β，则m ⊥αD.若m ⊥α，且m ⎳β，则α⊥β6.若ln x -ln y >y 2-x 2，则()A.ex -y>1 B.e x -y<1 C.ln x -y >0 D.ln x -y <07.袋子中有n 个大小质地完全相同的球，其中4个为红球，其余均为黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，已知摸出的2个球都是红球的概率为16，则两次摸到的球颜色不相同的概率为()\A.518B.49C.59D.13188.颐和园的十七孔桥，初建于清乾隆年间；永定河上的卢沟桥，始建于宋代；四川达州的大风高拱桥，修建于清同治7年.这些桥梁屹立百年而不倒，观察它们的桥梁结构，有一个共同的特点，那就是拱形结构，这是悬链线在建筑领域的应用.悬链线出现在建筑领域，最早是由十七世纪英国杰出的科学家罗伯特.胡克提出的，他认为当悬链线自然下垂时，处于最稳定的状态，反之如果把悬链线反方向放置，它也是一种稳定的状态，后来由此演变出了悬链线拱门，其中双曲余弦函数就是一种特殊的悬链线函数，其函数表达式为cosh x =e x +e -x 2，相应的双曲正弦函数的表达式为sinh x =e x -e -x2.若关于x 的不等式4m cosh 2x -4sinh 2x -1>0对任意的x >0恒成立，则实数m 的取值范围为()A.2，+∞B.[2，+∞)C.14，+∞ D.14，+∞ 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分。

2022学年第二学期浙江省名校协作体试题高二年级数学学科（答案在最后）考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟；2．答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号．3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；4．考试结束后，只需上交答题卷．选择题部分一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知()1,2,3A -，则点A 关于xOy 平面的对称点的坐标是（）A.()1,2,3-- B.()1,2,3 C.()1,2,3- D.()1,2,3--【答案】B 【解析】【分析】根据坐标平面的对称性求解．【详解】点A 关于xOy 平面的对称点的坐标是(1,2,3)，故选：B ．2.与双曲线2214x y -=有公共焦点，且长轴长为6的椭圆方程为（）A.22194x y += B.22149x y +=C.22196x y += D.22169x y +=【答案】A 【解析】【分析】根据双曲线方程可得焦点坐标，结合椭圆长轴长和,,a b c 的关系可得椭圆方程.【详解】由双曲线方程可得焦点坐标为：()，∴椭圆焦点在x 轴上，且c =，又长轴长为6，即26a =，3a ∴=，2224b a c ∴=-=，∴椭圆方程为：22194x y +=.故选：A.3.在数列{}n a 中，425a =2=，则6a =（）A.121B.100C.81D.64【答案】C 【解析】【分析】根据题意，由条件可得数列是公差为2的等差数列，即可得到结果.2=2=，故数列是公差为2的等差数列，因为425a =22449=⨯=+=，则681a =.故选：C4.直线10x y +-=与圆()2224x y -+=的位置关系是（）A.相离B.相交C.相切D.无法确定【答案】B 【解析】【分析】利用圆心到直线的距离判断即可.【详解】由()2224x y -+=可知圆心为(2,0)，半径为2，则圆心到直线的距离22d ==<，故直线与圆相交.故选：B5.正项等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，则“1q >”是“2021202320222S S S +>”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，利用数列前n 项和的意义，正项等比数列的意义，结合充分条件、必要条件的定义判断作答.【详解】依题意，2021202320222023202220222022201232022S S S S S S S a a +⇔>>->⇔-，而{}n a 是公比为q 的正项等比数列，因此20232022202220221a a a q a q >⇔>⇔>，所以“1q >”是“2021202320222S S S +>”的充要条件.故选：C6.已知抛物线22y px =，点()1,2A 在抛物线上，斜率为1的直线交抛物线于B 、C 两点．直线AB 、AC 的斜率分别记为1k ，2k ，则1211k k +的值为（）A.1 B.2C.3D.4【答案】B 【解析】【分析】由点坐标求得p ，设1122(,),(,)A x y B x y ，直线AB 方程为y x m =+，直线方程与抛物线方程联立方程组消元后应用韦达定理，此结论代入1211k k +后化简可得．【详解】由题意2221p =⨯，2p =，抛物线方程为24y x =，设1122(,),(,)A x y B x y ，直线AB 方程为y x m =+，由24y x y x m⎧=⎨=+⎩得2440y y m -+=，16160m ∆=->，1m <，124y y +=，124y y m =，1212242x x y y m m +=+-=-，2212121212()()()x x y m y m y y m y y m m =--=-++=，所以12122112121211(1)(2)(1)(2)1122(2)(2)x x x y x y k k y y y y ----+--+=+=----211212121212()2()42()4x y x y y y x x y y y y +-+-++=-++2112()()2(42)44x m x x m m m x +++--=-12122()8444x x m x x m m ++-+=-22(42)8444m m m m m +--+=-88244m m -==-．故选：B ．7.已知长方体1111ABCD A B C D -，其中1AA =，AB AD ==P 为底面ABCD 上的动点，1PE A C ⊥于E 且PA PE =，设1A P 与平面ABCD 所成的角为θ，则θ的最大值为（）A.π4B.π2C.π6 D.π3【答案】D 【解析】【分析】确定1A PA ∠是1A P 与平面ABCD 所成的角，不妨设PA PE x ==，求出PC ，利用PA PC AC +≥求得x 的最小值，再由1tan AA APθ=得θ的最大值．【详解】1AA ⊥平面ABCD ，PA ⊂平面ABCD ，所以1AA PA ⊥，又1PE A C ⊥，PA PE =，所以1PAA 1PEA ≅!，11A E AA ==1AC ==11EC AC A E =-=所以P 点轨迹是对角线1AC 的中垂面与底面ABCD 的交线，为一条线段．由1AA ⊥平面ABCD 知1A PA ∠是1A P 与平面ABCD 所成的角，不妨设PA PE x ==，则1A P =，PC =，PA PC x AC +=≥=得3x ≥，2tan xθ=≤π3θ≤，即θ的最大值为π3，故选：D ．8.如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案，图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等分，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线．设原正三角形（图①）的面积为1，把图①，图②，图③，图④，……的面积依次记为1234,,,,S S S S ⋅⋅⋅，则满足()*3N 2n S n ≥∈的n 最小值为（）A.2B.3C.4D.5【答案】C 【解析】【分析】记第n 个图形为n P ，三角形边长为n a ，边数n b ，面积为n S ，由图形归纳出113n n a a -=，14n n b b -=，21134n n n n S S b a --=+⨯．由累加法结合等比数列前n 项和公式得求得n S 的表达式，从而得出结论．【详解】记第n 个图形为n P ，三角形边长为n a ，边数n b ，面积为n S ．由图形作法可知113n n a a -=，14n n b b -=，21134n n n n S S b a --=+⨯．即2221112122121333,,,444n n n n n n n n S S a b S S a b S S a b -------=⋅-=⨯⋅⋅⋅⋅-=⨯⋅利用累加法可得()22211122134n n n n n S S a b a b a b ----=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅因为数列{}n a 是以13为公比的等比数列，数列{}n b 是以4为公比的等比数列，所以{}21n n a b -⋅是以49为公比的等比数列．因为11S =，即21314a =，此时2133a =，224327a =，13b =，所以112212221122144131994519n n n n n n a b a b a b a b -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅-- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅==-，所以1834559n n S -⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭．由183435592n n S -⎛⎫=-⨯≥⎪⎝⎭，得4n ≥．所以n 的最小值是4.故选：C ．【点睛】方法点睛：记第n 个图形为n P ，相应量用一个数列表示，如本题中三角形边长为n a ，边数n b ，面积为n S ，然后由前后两个图形根据归纳推理得出数列的递推关系，再结合数列知识求解．二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的或不选的得0分9.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a >，50a =则（）A.370a a += B.280a a <C.100S = D.当且仅当4n =时，n S 取最大值【答案】AB 【解析】【分析】由等差数列的性质可判断A ，B ，D ；由等差数列的前n 项和公式可判断C .【详解】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，37520a a a +==，故A 正确；因为10a >，50a =，()()2222855533990a a a d a d a d d =-+=-=-<，故B 正确；因为10a >，50a =，所以0d <，故60a <，()()11010566105502a a S a a a +==+=<，故C 错误；由10a >，50a =可知，1234,,,0a a a a >，50a =，67,,0a a < ，故4,5n =时，n S 取最大值，故D 错误.故选：AB .10.已知直线l ：10mx y m +--=，m ∈R 和圆O ：224x y +=，下列说法正确的是（）A.直线l 与圆O 可能相切B.直线l 与圆O 一定相交C.当1m =时，圆O 上存在2个点到直线l 的距离为1D.直线l 被圆O 截得的弦长存在最小值，且最小值为2【答案】BC 【解析】【分析】由直线方程得出直线l 过定点(1,1)P ，它在圆内，由此易得直线与圆的位置关系，可判断AB ，由PO =利用到直线l 的距离为1的直线与圆的位置关系判断C ，由直线l 与PO 垂直时，弦长最小判断D ．【详解】由直线l 方程知直线l 过定点(1,1)P ，又221124+=<，因此P 在圆O 内部，所以直线l 一定与圆O 相交，A 错，B 正确；1m =时，圆心(0,0)O 到直线l的距离为2d ==<12>，因此与直线l 距离为1的两条直线，一条与圆O 相交，一条与圆O 相离，所以圆O 上存在2个点到直线l 的距离为1，C 正确；又PO =l 与PO垂直时，弦长为=l 被圆O 所截得的弦长的最小值为，D 错．故选：BC ．11.设M 为双曲线C ：2213x y -=上一动点，1F ，2F 为上、下焦点，O 为原点，则下列结论正确的是（）A.若点()0,8N ，则MN 最小值为7B.若过点O 的直线交C 于,A B 两点（,A B 与M 均不重合），则13MA MB k k =C.若点()8,1Q ，M 在双曲线C 的上支，则2MF MQ +最小值为2D.过1F 的直线l 交C 于G 、H 不同两点，若7GH =，则l 有4条【答案】BCD 【解析】【分析】结合双曲线的图象与性质，逐项判断，即可确定本题答案.【详解】由双曲线C ：2213x y -=，得12(0,2),(0,2)F F -，设()00,M x y ，则MN =，当且仅当02y =时取等号，所以MN 最小值为，故A 错误；设,A B 两点坐标分别为11(,)x y ，11(,)x y --，所以2201010122010101MA MBy y y y y y K K x x x x x x +--=⋅=+--，又因为222201133,33x y x y =-=-，所以2222010122220101133(33)3MA MBy y y y K K x x y y --===----，故B 正确；211222MF MQ MF MQ QF +=++≥+=+，故C 正确；由双曲线C ：2213x y -=，可得通径长为2267b a=<，且实轴长227a =<，所以这样的直线l 有4条，故D 正确.故选：BCD12.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别为边AB ，CD ，DA 的中点，P ，Q 分别为线段1BB ，1C D 上的动点，下列结论正确的是（）A.BD 与1D F 所夹角的余弦值为10B.二面角11A BD A --的大小为3πC.四面体11A D PF 的体积的最大值为43D.直线1AQ 与平面1D EG 的交点的轨迹长度为2【答案】ABC 【解析】【分析】由11//BD B D 得出异面直线所成的角，由余弦定理计算后判断A ，设1A D ，1AD 交于K ，证明1A K ⊥平面1ABD ，根据定义作出二面角的平面角，计算后判断B ，利用平行线性进行体积转换后，111111*********333F A D P E A D P D A EP A EP A EP A EB V V V A D S S S ---===⋅⋅=≤!!!，从而求得体积的最大值判断C ，作出直线1AQ 与平面1D EG 的交点的轨迹线段MN （如图）由余弦定理计算出线段长判断D ．【详解】A ．因为1BB 与1DD 平行且相等，所以11BB D D 是平行四边形，所以11//BD B D ，从而11B D F ∠是异面直线BD 与1D F 所成的角或其补角，在正方体中，1D F =，11D B =，13B F =，1110cos 10B D F ∠==．A正确；B ．设1A D ，1AD 交于K ，则11A K AD ⊥，由AB ⊥平面11ADD A ，1A K ⊂平面11ADD A ，得1AB A K ⊥，而1,AB AD ⊂平面1ABD 且1AB AD A = ，所以1A K ⊥平面1ABD ，1BD ⊂平面1ABD ，则11A K BD ⊥，作11A L BD ⊥，同理1A K KL ⊥，垂足为L ，连接KL ，因为11,A K A L ⊂平面1A KL 且111A K A L A = ，所以1BD ⊥平面1A KL ，又KL ⊂平面1A KL ，所以1BD KL ⊥，所以1A LK ∠是二面角11A BD A --的平面角，正方体中，1A K =，111113A D A B A L BD ⋅===，直角1A KL !中，1113sin 23A K A LK A L ∠==，1π3A LK ∠=，B 正确；C ．由已知11//EF AD A D ∥，EF ⊄平面11A D P ，11A D ⊂平面11A D P ，则//EF 面11A D P ，11111111111112243333212232F A D P E A D P D A EP A EP A EP A EB V V V A D S S S ---===⋅⋅=≤==⨯⨯⨯!!!，当P 与1B 重合时达到最大值．C 正确；D ．由已知11////EG BD B D ，1B ，1D ，G ，E 四点共面，设11A C 与11D B 交于M ，1A D 与1D G 交于N ，则MN 即为直线1AQ 与平面1D EG 的交点的轨迹．1112A N A D ND DG ==，1124233A N A D ==，12A M =，又11A DC △为正三角形，所以160MA N ∠=︒，由余弦定理，22211111262cos 9MN A M A N A MA N MA N =+-∠=，263MN =．D 错．故选：ABC ．【点睛】求空间角一般有两种方法，一是,空间向量法，二是定义法，本题图形是在正方体中，我们用定义法求异面直线所成的角和二面角，主要是正方体中平行线与垂线较多，容易作出异面直线所成的角和二面角的平面角，从而再解三角形可得．三棱锥的体积问题，常常利用换顶点（换底）法进行转化，目的是使得棱锥的高与底面积易求解．非选择题部分三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中相应的横线上．13.两条直线1l ：20x y -=；2l ：240x y -+=．则1l 与2l 之间的距离为___________．【答案】455【解析】【分析】根据两平行线间的距离公式，即可求得本题答案.【详解】因为两条直线1l ：20x y -=；2l ：240x y -+=，所以两平行线间的距离122222404551(2)C C d A B --===++-.故答案为：5514.若圆1C ：224x y +=与圆2C ：()()2216x a y a -+=∈R 相交于A 、B 两点，且两圆在A 点处的切线互相垂直，则线段AB 的长是___________．【答案】855##855【解析】【分析】画出已知两个圆的图象，利用圆的性质可以得到两切线互相垂直时，满足过对方的圆心，再利用直角三角形进行求解.【详解】如图，由两圆在A 点处的切线互相垂直可知，两条切线分别过两圆的圆心，由相交圆公共弦的性质可知1AB OO ⊥，由切线性质可知1OA AO ⊥，在1Rt OAO 中，1||2,||4OA AO ==，所以1||OO ==又1Rt OAO 斜边上的高为1||2AB ，由等面积法可知，11111||||||||222AO AO AB OO ⋅=⨯，即124||2AB ⨯=⨯，解得||5AB =.故答案为：85515.已知F 1(－c,0)，F 2(c,0)为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点，P 为椭圆上一点，且212PF PF c ⋅= ，则此椭圆离心率的取值范围是________．【答案】,32⎢⎣⎦【解析】【分析】设(,)P x y ，由数量积的坐标表示得出222212PF PF x c y c ⋅=-+= ，再由点P 在椭圆上得出22222b y b x a=-，联立两个方程得出()222223c a a x c -=，再由220,x a ⎡⎤∈⎣⎦化简得出22223c a c ≤≤，结合离心率的公式即可求解.【详解】设(,)P x y ，则222212(,)(,)PF PF c x y c x y x c y c ⋅=---⋅--=-+=①将22222b y b x a=-代入①式解得()()22222222223c b a c a a x c c --==又220,x a ⎡⎤∈⎣⎦，即()2222230ca a a c -≤≤22223c a c∴≤≤32,32c e a ∴=∈⎣⎦.故答案为：,32⎢⎣⎦【点睛】本题主要考查了求椭圆离心率的取值范围，属于中档题.16.如图，在三棱锥-P ABC 中，底面ABC 是正三角形，2BA BP ==，90CBP ∠=︒，120ABP ∠=︒，E ，F 分别是棱AB ，BC 上的动点，且AE BF =，当三棱锥P BEF -的体积取得最大值时，三棱锥P BEF -的外接球表面积为___________．【答案】19π2【解析】【分析】利用均值不等式求出体积最大时,E F 的位置，建立空间直角坐标系，建立方程组求出球心坐标，得球半径即可.【详解】要使三棱锥P ―BEF 的体积最大，则底面△BEF 的面积最大，设BF =a ，则2BE a =-，23323(2)4424BEFx x S x x +-⎛⎫=-≤= ⎪⎝⎭△，当且仅当2x x =-，即1x =时取得最大值，即E ，F 分别为棱的中点．此时，FA BC ⊥，三棱锥P BEF -的体积取得最大值．如图，以BC 中点O 为原点，OA ，OB 分别为x ，y轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0F，)A，()0,1,0B ，()0,1,0C -，1,,0)22E ．设(),,P x y z ，由28PC =，24PB =，212PA =，解得x =1y =，z =．设外接球球心(,,)O m n t '，由O B O E O F O P ''''===，则22222222222222222231(1)()()22(1)2326((1)()33m n t m n t m n t m n t m n t m n t ⎧+-+=-+-+⎪⎪⎪+-+=++⎨⎪⎪++=++-+-⎪⎩，解得1,,6212m n t ===即1,62O ⎛⎫'⎝，故三棱锥P BEF -的外接球半径222198R O F O O ''===．所以，三棱锥P BEF -的外接球表面积为19π2．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.圆M 经过点()1,2A ，()9,2B -，且圆心M 在直线5y x =-上．（1）求圆M 的方程．（2）过点A 作直线l ，直线l 与圆M 的另一个交点是D ，当4AD =时，求直线l 的方程．【答案】（1）()22520x y -+=（2）1x =或3450x y -+=【解析】【分析】（1）根据圆的性质，结合两点间距离公式进行求解即可；（2）根据垂径定理，结合点到直线距离公式进行求解即可.【小问1详解】圆心M 在直线5y x =-上，不妨设圆心M 为(),5a a -，则()()()()2222152952a a a a -+--=-+-+，得5a =，故圆M 的方程为()22520x y -+=；【小问2详解】①当直线l 斜率不存在时，l 方程为1x =,()2215202y y -+=⇒=±，显然满足4AD =，②当l 斜率存在时，设l ：()21y k x -=-即20kx y k -+-=，由（1）可知：圆M的半径为4AD =，所以点M 到l距离344d k ===⇒=．综上，l 的方程为1x =或3450x y -+=．18.已知数列{}n b 是公比大于0的等比数列，1212b b +=，其前4项的和为120．（1）求数列{}n b 通项公式；（2）记21n n nc b b =+，*N n ∈，求数列{}22n n c c -前n 项和．【答案】（1）3nn b =（2）133n +-【解析】【分析】（1）根据等比数列的通项公式，前n 项和公式进行求解即可；（2）根据等比数列前n 项和公式进行求解即可【小问1详解】设数列{}n b 的公比为q ，通项公式为11n n b b q-=⋅，若公比1q =，由1211266n b b b b +=⇒=⇒=，所以前4项的和为24，不符合题意，故1q ≠()21121121b q b b q-+==-，前4项和为()4111201b q q-=-，于是相除得2110q +=，即29q =，又因为0q >，故3q =，13b =，3nn b =；【小问2详解】221133n n n n n c b b =+=+，22244422221111333233233333n n n nn nn n n nn nc c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+=+⋅+-+=⋅ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭前n 项和为()()21333233323313n n n +-⋅++⋅⋅⋅+=⋅=--．19.已知椭圆C ：2212x y +=．（1）直线l ：y x =交椭圆C 于P ，Q 两点，求线段PQ 的长；（2）A 为椭圆C 的左顶点，记直线AP ，AQ ，l 的斜率分别为1k ，2k ，k ，若121k k k+=-，试问直线PQ 是否过定点，若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由．【答案】（1）3（2）直线PQ 过定点()0,0【解析】【分析】（1）将l 与椭圆联立得到2P x 、2Q x 、2P y 和2Q y ，进而得到||PQ ；（2）设直线l ：y kx m =+，联立椭圆与直线得到韦达定理以及∆，利用1k =进而得到2k ，由121k k k+=-得到m 的值，最后舍去不符合题意的m 即可.【小问1详解】将直线l 与椭圆方程联立，即2212y x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2223p Q x x ==，即2223pQ y y ==，故||3PQ ==；【小问2详解】设直线l ：y kx m =+，()11,P x y ，()22,Q x y ，由()22222,21422022y kx m k x kmx m x y =+⎧⇒+++-=⎨+=⎩得，12221224212221km x x k m x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩，()()()2222221642122821k m k m k m ∆=-+-=+-，又1k ==，2k =故12k k +=++++==，由121k k k+=-，得20m =，故()0m m m -=⇒=或0m =，①当m =时，直线l ：(y kx k x =+=+，过定点()A ，与已知不符，舍去；②当0m =时，直线l ：y kx =，过定点()0,0，()2228211680k m k ∆=+-=+>，符合题意．20.已知数列{}n a ，{}n b 满足11a =，243a =，()1121239n n n a a a n +-=-≥，13n n n b a -=，()*N n ∈．（1）求出数列{}n a ，{}n b 的通项公式．（2）证明：对任意的2n >，1234n a a a a a +>++⋅⋅⋅+．【答案】（1）1323n n n a --=，32n b n =-（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由题意可得()1122n n n b b b n +-+=≥，即{}n b 是首项为1，公差为3的等差数列，可求出{}n b ，进而求出{}n a ；（2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，由错位相减法求出n S ，只要证明2n >时，()1220n S a a -+<即可.【小问1详解】因为11a =，243a =，13n n n b a -=，∴11b =，24b =，又∵()1121239n n n a a a n +-=-≥，13n n n b a -=，∴()111221233393n n n n n n b b b n +---=⋅-⋅≥∴()1122n n n b b b n +-+=≥．∴{}n b 是首项为1，公差为3的等差数列．∴32n b n =-，1323n n n a --=．【小问2详解】设数列{}n a 的前n 项和为n S ，∵2147321333n n n S --=+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+①2311473233333n n n S -=+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+②②得：21233332133333n n n n S --=+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-，所以12111121113232331313133333313n n n n nn n S --⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥--⎛⎫⎝⎭⎢⎥=+⨯+++-=+⨯- ⎪⎝⎭⎢⎥-⎢⎥⎣⎦ ，1231325651113233223n n n nn n S --+⎛⎫⎛⎫=+--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则11565443n n n S -+=-⋅，当2n >时，()1211156541165221044331243n n n n n S a a --++⎛⎫-+=--+=--< ⎪⋅⋅⎝⎭∴1234n a a a a a +>++⋅⋅⋅+．21.如图所示，已知四棱锥P ABCD -，满足E 为BD 中点90BAD BCD ∠=∠=︒，AD =，PA PB PD ==．（1）求证PE ⊥平面ABCD （2）若PA 与BD夹角的余弦值为4，且CE AB ∥，求PC 与平面PAD 夹角的正弦值【答案】（1）证明见解析（2）10【解析】【分析】（1）取AD 中点为F ，连接AE ，FE ，FP ，EP ，易证AD ⊥平面PEF ，得到PE AD ⊥，从而PE ⊥平面ABCD ；（2）以A 为坐标原点如图建立空间直角坐标系，设面APD 的法向量为(),,n x y z =，则sin cos ,PC nPC n PC nθ⋅==⋅.【小问1详解】取AD 中点为F ，连接AE ，FE ，FP ，EP ，∵PB PD =，E 为BD 中点，∴PE BD ⊥∵PA PD =，F 为AD 中点，∴PF AD ⊥，又因为EF AD ⊥，EF PF F = ，,EF PF ⊂ 平面PEF ，AD ∴⊥平面PEF ，∴PE AD ⊥．PE BD ⊥ ，AD BD D = ，,AD BD ⊂ 平面ABCD PE ∴⊥平面ABCD ．【小问2详解】解：以A 为坐标原点如图建立空间直角坐标系，设1AB =，AD ∴=，设PE h =，,//CE AB EF AB ∥Q ，所以,,C E F 三点共线，在ABD △中，AD =，90BAD ∠=︒，πtan ,(,π),DAB DAB DAB ∴∠=∠∈∴∠=303πBEC FED ABD ∴∠=∠=∠=3，在Rt BCD 中，E 为BD 中点，BE EE BD ∴==12得(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，33(,,0)22C ，(0,3,0)D ，13(,,0)22E ，13,,22P h ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，有13,,22AP h ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，()1,3,0BD =-，∴221|cos ,|421BD AP BD AP BD AP h ⋅===+得1h =．所以(,,),(,,),(,,)PC AP AD =-==13101103022设面APD 的法向量为(),,n x y z = ，∴0n AD n AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，3013022y x y z ⎧=⎪∴⎨++=⎪⎩，令1z =有()2,0,1n =- ，设PC 与面PAD 的夹角为θ，则3310sin cos ,1025PC nPC n PC nθ⋅====⋅．22.已知双曲线E ：221x y -=，双曲线C 与E 共渐近线且经过点()5,1-（1）求双曲线C 的标准方程．（2）如图所示，点P 是曲线C 上任意一动点（第一象限），直线PA x ⊥轴于点A ，PB y ⊥轴于点B ，直线AB 交曲线E 于点Q （第一象限），过点Q 作曲线E 的切线交PB 于点K ，交y 轴于点J ，求KQA BQJ S S +△△的最小值．【答案】（1）224x y -=（2）2【解析】【分析】（1）由题意设C ：22x y m -=，将()代入解方程即可得出答案.（2）设(),P m n ，(),0A m ，()0,B n ，设AQ QB λ=，表示出Q 点坐标，代入E ：221x y -=方程，即可求得,22m n Q ⎛⎫⎪⎝⎭，进一步求出,K J 的坐标，而KQA BQJ BKJ S S S += ，而12BKJ S KB JB =⋅ ，代入化简结合基本不等式即可得出答案.【小问1详解】由题意设C ：22x y m -=，将()代入得到4m =，∴曲线C ：224x y -=．【小问2详解】设(),P m n ，(),0A m ，()0,B n ，(),Q x y ，则224m n -=（*）设AQ QB λ=，则()(),,AQ x m y QB x n y λλ=-==-- ，解得：,,,1111m n m n x y Q λλλλλλ⎛⎫== ⎪++++⎝⎭，代入E ：221x y -=方程，得()()2221m n λλ-=+，结合（*）式可知()()21130n λλλ⎡⎤-+++=⎣⎦由于0λ>，则()2130n λλ+++>，所以1λ=．所以Q 是A 、B 的中点，,22m n Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭．因为四边形OAPB 是矩形，(),0A m ，,22m n Q ⎛⎫⎪⎝⎭，所以Q 为四边形OAPB 的中心，所以AQ BQ =，在AQK 与BQK △中，AQ BQ =，分别以,AQ BQ 为底时，高相同，所以KQA KQB S S = ，则KQA BQJ KQB BQJ BKJ S S S S S +=+=△△△△△，因为过双曲线221x y -=上一点,22m n Q ⎛⎫⎪⎝⎭的切线方程为122m n x y -=，所以直线KJ 的方程为：122m nx y -=即2mx ny -=，因为K B y y n ==，所以22,n K n m ⎛⎫+⎪⎝⎭，令0x =，所以20,J n ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()222211221222BKJn n S KB JB n m n mn++=⋅=⋅+===，，令222t n =+>，BKJS ==△，令240s t =->，2BKJ S==≥△．当且仅当16s s=，即4s =，28t =，22n =-时，取得最小值．。

2023学年第二学期杭州市高二年级教学质量检测数学试题卷考生须知：1．本试卷分试题卷和答题卡两部分。

满分150分，考试时间120分钟。

2．答题前，必须在答题卡指定位置上用黑笔填写学校名、姓名、试场号、座位号、准考证号，并用2B 铅笔将准考证号所对应的数字涂黑。

3．答案必须写在答题卡相应的位置上，写在其他地方无效。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。

1．已知复数11i =+z ，22i =−z （i 为虚数单位，2i 1=−），则复数21=−z z z 对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．命题“0∃>x ，23100−−>x x ”的否定是（ ） A ．0∀>x ，23100−−>x x B ．0∃>x ，23100−−≤x x C ．0∀≤x ，23100−−≤x xD ．0∀>x ，23100−−≤x x3．下列函数中，以π为最小正周期的奇函数是（ ） A ．sin 2=y xB ．cos =y xC ．2sin =y xD ．2cos =y x4．若甲、乙、丙三人排成一行拍照，则甲不在中间的概率是（ ） A ．14B ．13C ．23D ．345．在正方体1111−ABCD A B C D 中，P ，Q 分别是棱1AA 和1CC 上的点，113=PA AA ，113=BQ BB ，那么正方体中过点D ，P ，Q 的截面形状为（ ） A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形6．在同一个坐标系中，函数()log =a f x x ，()=−g x a x ，()=ah x x 的图象可能．．是（ ） A ． B ． C ． D ．7．已知()sin 23sin 2γβα=+，则tan()tan()αβγαβγ++=−+（ ）A ．2−B ．14 C ．32D ．12−8．已知经过圆锥SO 的轴的截面是顶角为θ的等腰三角形，用平行于底面的截面将圆锥SO 分成两部分，若这两部分几何体都存在内切球（与各面均相切），且上、下两部分几何体的体积之比是1：7，则cos θ=（ ）A ．13B C ．79D 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。

浙江省杭州市2023-2024学年高二下学期数学期末检测试卷考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，则（ ）{}{}31,1e M x x N x x =-<=<≤M N ⋂=A ．B ．C ．D ．{}23x x <≤{}24x x <<{}2e x x <≤{}1e x x <≤2．已知复数，则在复平面内对应的点位于（ ）i 31i z -=-z A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．样本数据的中位数和平均数分别为（ ）27,30,28,34,35,35,43,40A ．34，35B ．34，34C ．34.5，35D ．34.5，344．已知直线与圆有公共点，则的可能取值为（ ）30kx y k --=22:1O x y +=k A ．1B ．C ．D ．131-2-5．在中，角的对边分别是，且，则ABC ,,A B C ,,a b c ()()2sin 2sin 2sin a A b c B c b C=+++（ ）cos A =A ．B ．C ．D ．12-1312236．已知正方体的棱长为为棱的中点，则四面体的体积为1111ABCD A B C D -2,P 1BB 1ACPD （ ）A ．2B C ．D ．837．已知，则（ ）4sin25α=-tan2πtan 4αα=⎛⎫+ ⎪⎝⎭A ．4B ．2C ．D ．2-4-8．已知双曲线的上焦点为，圆的圆心位于，且与的22:1C y x -=F A x C 上支交于两点，则的最小值为（ ）,BD BF DF+A．B CD21-二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知分别是定义域为的偶函数和奇函数，且，设函数()(),f x g x R ()()e xf xg x +=，则（ ）()()()g x G x f x =()G x A ．是奇函数B ．是偶函数C ．在上单调递减D ．在上单调递增R R 10．将函数的图象向左平移个单位长度后，所得的图象关于轴()πsin (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭π3y 对称，则（ ）A ．的图象关于直线对称B ．的最小值为()f x π3x =ω12C ．的最小正周期可以为D ．的图象关于原点对称()f x 4π52π3f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭11．如图，有一个棱台形的容器（上底面无盖），其四条侧棱均相1111ABCD A B C D -1111D C B A 等，底面为矩形，，容器的深度为，容器壁的厚度忽略11111111m 224AB BC A B B C====1m不计，则下列说法正确的是（ ）A ．1AA =B ．该四棱台的侧面积为(2mC ．若将一个半径为的球放入该容器中，则球可以接触到容器的底面0.9m D ．若一只蚂蚁从点出发沿着容器外壁爬到点A 1C 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．的展开式中的系数为 ．（用数字作答）712x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭3x 13．已知椭圆的左、右焦点分别为为上一动点，则的取22224:1(0)3x y C a a a +=>12,,F F A C 12AF AF 值范围是．14．已知两个不同的正数满足，则的取值范围是．,a b 33(1)(1)a b a b ++=ab 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知函数()1e 4xf x =(1)求曲线在点处的切线在轴上的截距；()y f x=()()1,1f l y (2)探究的零点个数．()f x 16．如图，在直三棱柱中，为棱上一点，111ABC A BC -12,1,AB BC AC AA M ====1CC 且．1AM BA ⊥(1)证明：平面平面；AMB ⊥1A BC (2)求二面角的大小．B AM C --17．设数列满足，且．{}n a ()122n n na n a +=+14a=(1)求的通项公式；{}n a(2)求的前项和．{}n a n n S 18．在机器学习中，精确率、召回率、卡帕系数是衡量算法性能的重要指标．科研机Q R k 构为了测试某型号扫雷机器人的检测效果，将模拟战场分为100个位点，并在部分位点部署地雷．扫雷机器人依次对每个位点进行检测，表示事件“选到的位点实际有雷”，表示事A B 件“选到的位点检测到有雷”，定义：精确率，召回率，卡帕系数()Q P A B =()R P B A =，其中．1o ee p p k p -=-()()()()()(),o e p P AB P AB p P A P B P A P B =+=+(1)若某次测试的结果如下表所示，求该扫雷机器人的精确率和召回率．Q R 实际有雷实际无雷总计检测到有雷402464检测到无雷102636总计5050100(2)对任意一次测试，证明：．()212Q R QR k Q R P AB +-=-+-(3)若，则认为机器人的检测效果良好；若，则认为检测效果一般；若0.61k <≤0.20.6k <≤，则认为检测效果差．根据卡帕系数评价（1）中机器人的检测效果．00.2k ≤≤k 19．已知抛物线的焦点为，以点为圆心作圆，该圆与轴的正、负半轴分别2:4C y x =F F x 交于点，与在第一象限的交点为．,H G C P (1)证明：直线与相切．PG C (2)若直线与的另一交点分别为，直线与直线交于点．,PH PF C ,M N MN PG T （ⅰ）证明：；4TM TN=（ⅱ）求的面积的最小值．PNT【分析】求得集合，可求{}24M x x =<<M N⋂【详解】因为，{}{}{}3124,1e M x x x x N x x =-<=<<=<≤所以．{}2e M N x x ⋂=<≤故选：C ．2．B【分析】根据复数的四则运算和共轭复数的概念，以及复数的几何意义即可求解.【详解】因为，()()()()3i 1i i 342i 2i 1i 1i 1i 2z -++---====----+所以，2i z =-+故在复平面内对应的点为位于第二象限．z (2,1)-故选：B.3．D【分析】先将样本数据按从小到大进行排列，再根据样本数据的中位数、平均数概念公式进行计算即可.【详解】将样本数据按照从小到大的顺序排列可得，27,28,30,34,35,35,40,43故中位数为，343534.52+=平均数为．()12728303435354043348⨯+++++++=故选：D.4．B，求解即可.1≤【详解】由直线与圆有公共点，30kx y k --=22:1O x y +=可得圆心到直线的距离为，()0,0O 30kx y k--=1d =≤解得，所以的取值范围为．k ≤≤k ⎡⎢⎣故选：B.【分析】根据题意，利用正弦定理化简得，结合余弦定理，即可求解.222b c a bc +-=-【详解】因为，()()2sin 2sin 2sin a A b c B c b C =+++由正弦定理得，即，()()2222a b c b c b c=+++222b c a bc +-=-又由余弦定理得.2221cos 22b c a A bc +-==-故选：C.6．A【分析】设与交于点，证得平面，得到，且AC BD O AC ⊥11BDD B 113OPD V S AC =⨯中，结合，即可求解.AC =11BDD B 111111BDD B BOP B OP D P D ODD S S S S S =--- 【详解】设与交于点，在正方形中，，AC BD O ABCD AC BD ⊥又由正方体中，平面，1111ABCD A B C D -1DD ⊥ABCD 因为平面，可得，AC ⊂ABCD 1AC DD ⊥又因为且平面，所以平面，1BD DD D = 1,BD DD ⊂11BDD B AC ⊥11BDD B所以四面体的体积为，且，1ACPD 113OPD V S AC =⨯ AC =在对角面中，可得，11BDD B 111111BDD B BOP B D P OPD ODD S S S S S =-=--所以四面体的体积为．1ACPD 123V =⨯=故选：A.7．D【分析】由已知可得，利用，可求值.251tan tan 2αα+=-tan2tan 4απα⎛⎫+ ⎪⎝⎭22tan 1tan 2tan ααα=++【详解】因为，所以，2222sin cos 2tan 4sin2sin cos tan 15ααααααα===-++251tan tan 2αα+=-所以．2tan22tan 1tan tan 4ααπαα=⨯-⎛⎫+ ⎪⎝⎭221tan 2tan 2tan 41tan (1tan )1tan 2tan ααααααα-===-++++故选：D.8．B【分析】设出圆的方程与双曲线方程联立，可得，进而可得，利用两点1212,x x xx +22121x x +=间距离公式求出，并利用不等式方法求出其最小值.BF DF+【详解】由题可知．设圆，，.(F 22:()2A x a y -+=()11,B x y ()22,D x y 联立，得，则，22221()2y x x a y ⎧-=⎨-+=⎩222210x ax a -+-=212121,2a x x a x x -+==因此，故.()22212121221x x x x x x +=+-=222222121212112213y y x x x x +=+++=++=+=因为，所以，同理可得22111y x -=11BF===-.21DF =-故.)122BF DF yy +=+-又，且，故，从而22123y y +=12,1yy≥1y =≤=2y=≤=.())22121y y -≤所以)122BF DF y y +=+-2=2=2=2≥2==当时，有，，此时1a =()0,1B (D 11BF DF +=-+=所以的最小值是BF DF+故选：B.关键点睛：本题解题关键是由圆的方程与双曲线方程联立得到，再用不等式方法求22121x x +=其最小值.9．AD【分析】根据奇、偶性得到方程组求出、的解析式，从而得到的解析式，再()f x ()g x ()G x 由奇偶性的定义判断的奇偶性，利用导数判断函数的单调性.()G x 【详解】因为①，所以，()()e xf xg x +=()()e xf xg x --+-=即②，联立①②，解得，()()e xf xg x --=()()e e e e ,22x x x xf xg x --+-==所以，定义域为，又，()e e e e x x x x G x ---=+R ()()e e e e x xx xG x G x ----==-+所以是奇函数，又，()G x ()()()()()2222ee e e 40eeeexx x x xx xx G x ----+--=+'=>+所以在上单调递增，故A ，D 正确，B 、C 错误．()G x R 故选：AD10．ABD【分析】根据图象平移判断A ，根据关于直线对称可得判断B ，由周π3x =()132k k ω=+∈Z 期计算可判断C ，可先证明函数关于点对称，再由图象平移判断D.ω()f x 2π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭【详解】对于A ，将的图象向左平移个单位长度后，关于轴对称，所以的图()f x π3y ()f x 象关于直线对称，故A 正确；π3x =对于B ，由题可知，解得，又，所以的最小()ππππ332k k ω+=+∈Z ()132k k ω=+∈Z 0ω>ω值为，故B 正确；12对于C ，若最小正周期，则，由B 项可知，不存在满足条件的，故C 错4π5T =2π52T ω==ω误；对于D ，因为，代入，得2π2ππsin 333f ω⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()132k k ω=+∈Z ，()2πsin 2π03f k ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭所以的图象关于点对称，将的图象向右平移个单位长度可以得到()f x 2π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭()f x 2π3的图象，2π3f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭则对称中心对应平移到坐标原点，故的图象关于原点对称，故D 正确．2π,03⎛⎫-⎪⎝⎭2π3f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭故选：ABD 11．BD【分析】由勾股定理即可判断A ，由梯形的面积公式代入计算，即可判断B ，做出轴截面图形代入计算，即可判断C ，将四棱台展开，然后代入计算，即可判断D 【详解】对于A ，由题意可得，故A错误；132AA ==对于B ，梯形11ADD A =所以梯形的面积为11ADD A 242+=梯形，11ABB A=所以梯形的面积为，11ABB A 122+=故该四棱台的侧面积为，故B正确；2⨯=对于C ，若放入容器内的球可以接触到容器的底面，则当球的半径最大时，球恰好与面、面、面均相切，11ADD A 11BCC B ABCD 过三个切点的截面如图（1）所示，由题意可知棱台的截面为等腰梯形，较长的底边上的底角的正切值为，则，12212=-tan 2MPN ∠=-由于互补，故，,MPN MON ∠∠tan 2MON ∠=则，所以，从而球的半径为22tan 21tan MOPMOP ∠=-∠tanMOP ∠=，0.9=<所以将半径为的球放入该容器中不能接触到容器的底面，故C 错误；0.9cm对于D ，将平面与平面展开至同一平面，ABCD 11DCC D 如图（2），则，1AC ==将平面与平面展开至同一平面，如图（3），ABCD 11BCC B 则，145333044AC ⎛=+=< ⎝D 正确．故选：BD难点点睛：解答本题的难点在于选项D 的判断，解答时要将空间问题转化为平面问题，将几何体侧面展开，将折线长转化为线段长，即可求解.12．672【分析】利用二项式定理，求得二项展开式中的通项，把含x 的进行幂运算合并，然后令指数等于3，即可求解.【详解】因为通项为，令，得，712x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭77721771C (2)2C rr r r r rr T x x x ---+⎛⎫== ⎪⎝⎭72r 3-=2r =所以的系数为．3x 72272C 672-=故672.13．1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】先根据椭圆、、之间的关系，求出，再根据椭圆的定义，把换成a b c 12c a=1AF ，最后根据，代入即可.22a AF -[]2,AF a c a c ∈-+【详解】设椭圆的半焦距为，则，C (0)c c >12c a==，12222221AF a AF aAF AF AF -==-因为，即，[]2,AF a c a c ∈-+213,22AF a a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以，即.2211,33a AF ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦121,33AF AF ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦故答案为.1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦14．10,4⎛⎫⎪⎝⎭【分析】本题将条件式化简后结合基本不等式得出关于ab 的不等式，再构造函数并利用函数的单调性求解即可.【详解】将两边展开，33(1)(1)a b a b ++=得到，22113333a a b b a b +++=+++从而，()()221130ab a b a b ⎛⎫-+-+-= ⎪⎝⎭故，而，()130a b a b ab ⎛⎫-++-= ⎪⎝⎭a b¹故，又，130a b ab ++-=00a b ＞，＞故，133a b ab =++>从而．321+<设函数，则，()3223g x x x=+112gg ⎛⎫<= ⎪⎝⎭观察易得在，()g x ()0,∞+12<又，所以．0,0a b >>104ab <<故答案为.10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭关键点点睛：本题考查函数与不等式的综合，其关键是利用均值不等式构造关于ab 的不等式，再构造函数并利用函数的单调性解决问题.321+<()3223g x x x =+15．(1)12-(2)有两个零点()f x【分析】（1）求得，，利用导数的几何意()1e 4x f x '=()e 1142f ='-()e 114f =-义，求得切线方程，进而求得其在轴上的截距；y（2）得到在上递增，结合，得到，()1e 4x f x '=()0,∞+()10,104f f ⎛⎫ ⎪⎝⎭''01,14x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭使得，进而求得单调性，结合零点的存在性定理，即可求解.()00f x '=()f x【详解】（1）解析：由函数，可得，()1e 4x f x =()1e 4x f x '=()e 1142f ='-又，所以的方程为，即，()e 114f =-l ()e 1e 11424y x ⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭e 11422y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭令，可得，所以直线在轴上的截距为．0x =12y =-l y 12-（2）解：因为和上均单调递增，1e 4x y =y =()0,∞+所以在上单调递增，()1e 4x f x '=()0,∞+又因为，所以，使得，()141111e 10,1e 04442f f ⎛⎫=-=''- ⎪⎝⎭01,14x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭()00f x '=所以，当时，，在单调递减；()00,x x ∈()0f x '<()f x ()00,x 当时，，在单调递增，()0,x x ∞∈+()0f x '>()f x ()0,x ∞+又因为，()()14100111e 1e 0,110,4e 2010041044f f f ⎛⎫=->=-=- ⎪⎝⎭所以有两个零点．()f x 方法点睛：已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的三种常用方法：1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决；3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解.结论拓展：与和相关的常见同构模型e xln x①，构造函数或；e ln e ln e ln a a a a b b b b ≤⇔≤()lnf x x x =()e xg x x =②，构造函数或；e e ln ln e ln a a a b b a b b <⇔<()ln x f x x =()e x g x x =③，构造函数或.e ln e ln e ln a a a a b b b b ±>±⇔±>±()lnf x x x =±()e xg x x =±16．(1)证明见解析(2)4π【分析】（1）由线面垂直得到，结合勾股定理逆定理得到，证明出1AA BC ⊥BC AC ⊥平面，得到，结合题目条件证明出平面，得到面面垂直；BC⊥11AA C C AMBC ⊥AM ⊥1A BC （2）建立空间直角坐标系，设点，根据向量垂直得到方程，求出()0,0,M a ，进而求出平面的法向量，得到二面角的余弦值，得到答案.a M ⎛=⎝【详解】（1）在直三棱柱中，平面，111ABC A B C -1AA ⊥ABC ∵平面，BC ⊂ABC ∴，1AA BC ⊥∵2,1,AB BC AC ===∴，222AB AC BC =+∴，BC AC ⊥，平面，1AC AA A⋂=1,AC AA ⊂11AA C C ∴平面．BC ⊥11AA C C 平面，AM ⊂ 11AA C C ∴，AM BC ⊥，平面，11,AM A B A B BC B ⊥= 1,A B BC ⊂1A BC ∴平面．AM ⊥1A BC 又平面，AM ⊂AMB平面平面．∴AMB ⊥1A BC （2）由（1）可知两两垂直，1,,CA CB CC 如图，以点为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标C 1,,CA CB CC x y z 系，Cxyz 则．())()10,0,0,,,0,1,0C AAB设点，()0,0,M a 则．()()()1,,0,1,0,AM a BA CB AB ==-==，解得．11,30AM BA AM BA ⊥∴⋅=-+=a M ⎛=∴ ⎝设平面的法向量为，AMB (),,m x y z =则可取．0,0,m AM z m AB y ⎧⋅==⎪⎨⎪⋅=+=⎩(m = 易知为平面的一个法向量．()0,1,0n CB ==AMCcos ,m n m n m n ⋅〈〉===⋅故由图可知二面角的大小为．B AM C --4π17．(1)()12nn a n n =+⋅(2)()21224+=-+⋅-n n S n n【分析】（1）由已知可得，累乘法可求的通项公式；()122n n n a a n ++={}n a （2）由（1）可得，利用错位相减法可求的前()1212223212nn S n n =⨯⨯+⨯⨯+++⋅ {}n a 项和.n n S 【详解】（1）由题易知，且，0n a ≠()122n n n a a n ++=所以，()2341231212324251231n n n a a a a a a a a n -+⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯- 所以，()()121121212n n n n n a n n a --+⋅==+⋅⨯所以也满足该式，()112,n n a n n a =+⋅所以．()12nn a n n =+⋅（2），①()1212223212nn S n n =⨯⨯+⨯⨯+++⋅ ，②()()2121221212n n n S n n n n +=⨯⨯++-⋅++⋅ ②-①，得．()()11212212222n n n S n n n +=+⋅-⨯⨯+⨯++⋅ 设，③1212222nn T n =⨯+⨯++⋅ 则，④()23121222122n n n T n n +=⨯+⨯++-⋅+⋅ ④-③，得，()()()1121112222222122n n n n n n T n n n ++++=⋅-+++=⋅--=-+ 所以．()()()1121122124224n n n n S n n n n n +++=+⋅--⋅-=-+⋅-18．(1)；．0.625=Q 0.8R =(2)证明见解析(3)0.32【分析】（1）利用条件概率的计算公式计算即可；（2）由条件概率与互斥事件的概率公式证明即可；（3）由（2）计算出的值，判断机器人的检测效果即可.k 【详解】（1），()()()400.62564P AB Q P A B P B ====．()()()400.850P AB R P B A P A ====（2），()()()()()()1111111o e oe e P AB P AB p p p k p p P A P B P A P B ----==-=-----要证明，()212Q R QR k Q R P AB +-=-+-需证明．()()()()()()()1221P AB P AB Q R QR Q R P AB P A P B P A P B --+-=+---等式右边：()()()()()()()()||2||22||2P A B P B A P A B P B A Q R QR Q R P AB P A B P B A P AB +-+-=+-+-．()()()()()()()()()()()()()22P AB P AB P AB P AB P B P A P B P A P AB P AB P AB P B P A +-⨯⨯=+-()()()()()()()22P A P B P AB P A P B P A P B +-=+-等式左边：因为，()()()()()1P A B P AB P A P B P AB ⋃=-=+-所以()()()()()()()()()()()()()121111P AB P AB P A P B P AB P A P B P A P B P A P B P A P B --+-=⎡⎤⎡⎤------⎣⎦⎣⎦．()()()()()()()22P A P B P AB P A P B P A P B +-=+-等式左右两边相等，因此成立．()212Q R QRk Q R P AB +-=-+-（3）由（2）得，因为，0.6250.820.6250.810.320.6250.820.4k +-⨯⨯=-=+-⨯0.20.320.6<<所以（1）中机器人的检测效果一般．19．(1)证明见解析(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）163【分析】（1）根据题意，表示出直线的方程，然后与抛物线方程联立，由即可证明；PG Δ0=（2）（ⅰ）根据题意，设直线的方程为，与抛物线方程联立，即可得到点的PF 1x ty =+,N H 坐标，从而得到直线的方程，再与抛物线方程联立，即可得到点的坐标，再结合相似PH M 三角形即可证明；（ⅱ）由条件可得，再由代入计算，即可43PNTPNES S =△△12PNES EP EN = 证明.【详解】（1）由题意知，()1,0F 设，则，()2,2(0)P n n n >21PF n =+所以，所以，21GF FH n ==+()2,0G n -所以直线的斜率为，方程为．PG 1n ()21y x n n =+联立方程得，()221,4,y x n n y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩22440y ny n-+=因为，所以直线与相切．Δ0=PG C （2）（ⅰ）设直线的方程为，PF 1x ty =+由可得，则，又因为，所以．24,1,y x x ty ⎧=⎨=+⎩2440y ty --=4P N y y =-()2,2P n n 212,N n n ⎛⎫- ⎪⎝⎭由（1）知，点，直线的斜率为，方程为，()22,0H n +PH n -()22y n x n=---由得，由，()224,2,y x y n x n ⎧=⎪⎨=---⎪⎩224480y y n n +--=248P M y y n =--得．22444,2M n n n n ⎛⎫++-- ⎪⎝⎭作，垂足为，则，直线的方程为，NE PG ⊥E EN PM ∥EN 212y n x n n ⎛⎫=---⎪⎝⎭将直线与的方程联立，得解得．EN PG ()2212,1,y n x n n y x n n ⎧⎛⎫=--- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=+⎪⎩11,E n n ⎛⎫-- ⎪⎝⎭所以，所以，2211441,,4,4EN n PM n n n n n ⎛⎫⎛⎫=+--=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 4PM EN =由相似三角形的性质可得．4TM TN=（ⅱ）由（ⅰ）知，所以，故，4TM TN=4TP TE=43PNT PNES S =△△因为，221111,,1,EP n n EN n n n n ⎛⎫⎛⎫=++=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以（当且仅当时等号成立），()323311114222PNEn S EP EN n n n +⎛⎫===+≥ ⎪⎝⎭ 1n =故，即的面积的最小值为．41633PNT PNES S =≥△△PNT 163方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为；()()1122,,,x y x y （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；x y ∆（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；12x x +12x x 12y y +12y y （5）代入韦达定理求解.。

浙江高二高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.设集合则（）A．B．C．D．2.已知是虚数单位，则= （）A．B．C．D．3.已知曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为 ( )A．B．C．D．4.下面四个条件中，使成立的必要而不充分的条件是（）A．B．C．D．5.已知函数，则的图象大致为（）A．B．C．D．6.从这九个整数中同时取四个不同的数，其和为偶数，则不同取法共有（）A．B．C．D．7.已知的大小关系为（）A．B．C．D．的大小关系不确定，与的取值有关8.已知下列各式：①；②；③；④.其中存在函数对任意的都成立的是（）A．①④B．③④C．①②D．①③9.设函数,若存在实数,使得对任意的都有，则的最小值是（）A．B．C．D．10.定义在上的可导函数满足,当时实数满足,则的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题1.若则________,用表示为________.2.已知的展开式中二项式系数和为64，则________,该展开式中常数项为________.3.已知函数.若时方程有两个不同的实根，则实数的取值范围是________；若的值域为，则实数的取值范围是________.4.函数的奇偶性为________,在上的增减性为________(填“单调递增”、“单调递减”或“有增有减”）.5.小明和爸爸妈妈、爷爷奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制，5人坐成一排.若小明的父母至少有一人与小明相邻，则不同的坐法总数为________.6.已知的最小值为，则实数____.7.已知函数在区间上有零点，则的最大值是________.三、解答题1.已知，.(Ⅰ)求；(Ⅱ)猜想与的关系，并用数学归纳法证明.2.(Ⅰ)已知，其中.（i）求；（ii）求.(Ⅱ)2017年5月,北京召开“一带一路”国际合作高峰论坛.组委会将甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者分配到翻译、导游、礼仪、司机四个不同的岗位，每个岗位至少有一人参加，且五人均能胜任这四个岗位.（i）若每人不准兼职，则不同的分配方案有几种？（ii)若甲乙被抽调去别的地方，剩下三人要求每人必兼两职，则不同的分配方案有几种？3.已知,函数满足(Ⅰ)求的解析式,并写出的定义域；(Ⅱ)若在上的值域为，求实数的取值范围.4.已知函数.(Ⅰ)证明: 当时,.(Ⅱ)证明: 当时, .5.已知，函数.(Ⅰ)求函数的最小值；(Ⅱ)已知存在实数对任意总存在两个不同的使得，求证：.浙江高二高中数学期末考试答案及解析一、选择题1.设集合则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】集合A={x|-1≤x≤3}=[-1，3]，B={x|x2-3x+2<0}={x|1<x<2}=[1，2]，B）=[-1，3]∩[2，+∞）∪（-∞，1]=[2，3]∪[-1，1]，则A∩（∁R本题选择B选项.2.已知是虚数单位，则= （）A．B．C．D．【答案】D【解析】本题选择D选项.3.已知曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为 ( )A．B．C．D．【解析】f(x)=lnx的导数为f′(x)=，可得曲线f(x)=lnx在点(2,f(2))处的切线斜率为，切线与直线ax+y+1=0垂直,可得−a⋅=−1，解得a=2.本题选择C选项.4.下面四个条件中，使成立的必要而不充分的条件是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】“a>b”不能推出“a1>b”，故选项A不是“a>b”的必要条件，不满足题意；“a>b”能推出“a+1>b”，但“a+1>b”不能推出“a>b”，故满足题意；“a>b”不能推出“|a|>|b|”，故选项C不是“a>b”的必要条件，不满足题意；“a>b”能推出“a3>b3”，且“a3>b3”能推出“a>b”，故是充要条件，不满足题意；本题选择B选项.点睛：有关探求充要条件的选择题，破题关键是：首先，判断是选项“推”题干，还是题干“推”选项；其次，利用以小推大的技巧，即可得结论．5.已知函数，则的图象大致为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由于，排除.由于，排除.由于，故函数在为减函数，排除.所以选.点睛:本题主要考查函数图像的判断.一般采用特殊值的方法利用选项中图像的特殊性，对进行赋值，然后利用相应函数值来排除错误的选项.本题还可以利用导数来判断，利用导数，可求得原函数的导数为，故当，函数单调递增，当时，函数单调递减.6.从这九个整数中同时取四个不同的数，其和为偶数，则不同取法共有（）A．B．C．D．【解析】根据题意，从1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取四个数，使其和为偶数需要分3种情况讨论： ①当取出的4个数都是奇数,有种情况， ②当取出的4个数有2个奇数、2个偶数,有种情况， ③当取出的4个数都是偶数,当取出的数字没有奇数有种情况，根据分类计数原理总共有5+60+1=66种取法； 本题选择D 选项.7.已知的大小关系为（ ）A ．B ．C ．D ．的大小关系不确定，与的取值有关【答案】C【解析】∵1<a <b ，∴b −1>a −1>0，∴m =a b −1>a a −1>n =b a −1，则m >n ， 本题选择C 选项.8.已知下列各式：①；②；③； ④.其中存在函数对任意的都成立的是 （ ）A ．①④B ．③④C ．①②D ．①③【答案】A【解析】①f (|x |+1)=x 2+1,由t =|x |+1(t ⩾1),可得|x |=t −1,则f (t )=(t −1)2+1， 即有f (x )=(x −1)2+1对x ∈R 均成立； ②，对0<t ⩽1,y =f (t )不能构成函数，故不成立；③f (x 2−2x )=|x |,令t =x 2−2x ，若t <−1时，x ∈∅； t ⩾−1,可得,y =f (t )不能构成函数；④f (|x |)=3x +3−x .当x ⩾0时,f (x )=3x +3−x ；当x <0时,f (−x )=3x +3−x ;将x 换为−x 可得f (x )=3x +3−x ；故恒成立。

2022-2023学年浙江省名校联盟高二（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）集合A ＝{x |ax ＝1}，B ={y|y =√x −1}且A ∩B ＝A ，则a 的取值范围为（ ） A ．[0，+∞）B ．（0，1]C ．[1，+∞）D ．（0，1）2．（5分）若直线a 在平面α内，直线b 在平面α外，则“b ⊥a ”是“b ⊥α”的（ ） A ．充要条件B ．既不充分也不必要条件C ．充分不必要条件D ．必要不充分条件3．（5分）数列{a n }首项为1，接下来3项为13，再接下来5项为15，再后面7项为17，以此类推a 100＝（ ）A ．115B ．117C ．119D ．1214．（5分）已知一组成对数据（x i ，y i ）（i ＝1，2，…，6）中y 关于x 的一元非线性回归方程y ＝bx 2+1，已知∑x i 2=126i=1，∑ 6i=1x i =4，∑ 6i=1y i =18，则b ＝（ ）A ．3B ．1C ．﹣1D ．﹣35．（5分）2022年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行、也是继2002年韩日世界杯之后时隔二十年第二次在亚洲举行的世界杯足球赛．足球由32块黑白相间的皮革缝制而成，其中，黑色的皮块呈正五边形，每一块黑皮的周围都5块白皮相连；而白色的皮块呈正六边形，每一块白皮的周围分别连着3块黑皮、3块白皮．若制作一个半径为10 cm 的足球（正多边形近似看作平面正多边形），则一块黑皮面积约为_____cm 2．（注：边长为a 的正五边形面积≈1.7a 2，边长为a 的正六边形面积≈2.6a 2，取3.14）（ ） A ．32.44B ．31.92C ．30.51D ．29.496．（5分）复数z 满足|z ﹣1|+|z +1|＝4，则|z |的取值范围是（ ） A ．[√3，2]B ．[1，2]C ．[2，3]D ．[1，√3]7．（5分）双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）右焦点为F ，离心率为e ，PO →=kFO →（k ＞1），以P 为圆心，|PF |长为半径的圆与双曲线有公共点，则k ﹣8e 最小值为（ ） A ．﹣9B ．﹣7C ．﹣5D ．﹣38．（5分）已知a =sin√32，b =2√55，c =cos 12，则（ ）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

浙江省宁波市2022-2023学年高二下学期期末数学试题（A）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________由图象可得不等式()2log f x x >解集为1,22æöç÷èø，故选：C【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是正确的作出函数的图象，数形结合，求得不等式解集.．B【分析】由题意得在四棱锥D ABCE ¢-中^AE 平面D CE ¢．作MN AB ^于N ，连D N ¢，可证得AB ^平面D MN ¢．然后作因为几何体是由等高的半个圆所以45Ð=Ð=°，ECD DCG因为//BC EF，BC EF=，所以四边形BCEF为平行四边形，因为BC^平面ABF，BFÌ:(1)(1)0(0)11q x a x a a a x a -+--£>Û-££+．∵p 是q 的充分不必要条件，∴{|210}x x -££是{|11}x a x a -££+的真子集，故有121100a a a -£-ìï+>íï>î或121100a a a -<-ìï+³íï>î，解得9a ³，因此，所求实数a 的取值范围为[9,)+¥．22．（1）1a £；（2）证明见解析.【分析】（1）问题转化为()0f x ¢³对R x "Î恒成立.求导后分离参数得到x a e x £-，设()x h x e x =-，利用导数研究单调性，求得最小值，根据不等式恒成立的意义得到所求范围；（2）由1x ，2x 为两个极值点不妨设12x x >，联立极值点的条件，并结合要证不等式，消去a ，将要证不等式转化为只含有1x ，2x 的不等式，适当变形转化为只含有12x x -的不等式，作换元120t x x =->，转化为关于t 的不等式，构造函数，利用导数研究单调性，进而证明即可.【详解】（1）()f x Q 是R 上是增函数，(),0x x R f x e x a ¢\"Î=--³，()min x a e x \£-，答案第241页，共22页。

2023-2024学年浙江省宁波市高二下册期中数学试题一、单选题1．已知集合{}2N 340A x x x =∈--<，{}N 12B x x =∈-<≤，则A B = （）A ．{}0,1,2B ．{}0,1,2,3C ．∅D ．()1,2-【正确答案】A【分析】计算{}0,1,2,3A =，{}0,1,2B =，再计算交集得到答案.【详解】{}{}{}2N 340N 140,1,2,3A x x x x x =∈--<=∈-<<=，{}{}N 120,1,2B x x =∈-<≤=，故{}0,1,2A B = .故选：A2．设,R x y ∈，则“x y <”是()2“0x y x -⋅<”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】B【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义直接判断作答.【详解】x ，R y ∈，若0,0x y =>满足x y <，则()20x y x -⋅=，即()20x y x -⋅<不成立；若()20x y x -⋅<，即有0x ≠，必有20x >，从而得0x y -<，即x y <成立，所以x y <是()20x y x -⋅<成立的必要不充分条件.故选：B3．已知随机变量()2~20,2X N ，则(16)P X <=（）(附：若()2~,X N μσ，则()0.6827P μσξμσ-≤≤+≈，()220.9545P μσξμσ-≤≤+≈)A ．0.02275B ．0.1588C ．0.15865D ．0.34135【正确答案】A【分析】根据题意结合正态分布的对称性运算求解.【详解】由题意可得：20,2μσ==，则()16240.9545P ξ≤≤≈，所以()1(16)1160.02274522P X P ξ≤≤≈<=-⎡⎤⎣⎦.故选：A.4．如表为某商家1月份至6月份的盈利y （万元）与时间x （月份）的关系，其中123 6.5t t t ++=，其对应的回归方程为 0.7y x a=+，则下列说法正确的是（）x123456y0.31t 2.22t 3t 4.5A ．y 与x 负相关B ． 0.2a=C ．回归直线可能不经过点()3.5,2.25D ．2023年10月份的盈利y 大约为6.8万元【正确答案】D【分析】0.70>，y 与x 正相关，A 错误，计算中心点带入计算得到B 错误，回归直线一定经过中心点，C 错误，带入数据计算得到D 正确，得到答案.【详解】对选项A ：回归方程为 0.7y x a=+，0.70>，y 与x 正相关，错误；对选项B ：1234563.56x +++++==，1235 0.3 2.2 2.64.25y t t t +==++++，故 2.250.7 3.5a=⨯+，解得0.2a =-，错误；对选项C ：回归直线一定经过点()3.5,2.25，错误；对选项D ： 0.70.2y x =-，当10x =时， 6.8y =，正确.故选：D5．函数21()|1|21f x x x x =---+的部分图像大致是（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】C【分析】分析函数的定义域排除A ，利用()()11f x f x +=-判断函数对称性排除D ，再代入特殊点，计算(0)0f =，排除B.【详解】由函数解析式可得，函数()21()|1|1f x x x =---，定义域为()(),11,x ∈-∞+∞ ，所以排除A ；因为()2211(1)|11|11f x x x x x -=---=---，()()2211(1)|11|111f x x x f x x x +=+---=-+-所以函数图像关于直线1x =对称，故排除AD ；又因为()21(0)|01|001f =--=-，所以排除B.故选：C6．我们把各个数位上的数字之和为8的三位数称为“幸运数”，例如“170，332，800”都是“幸运数”.问“幸运数”的个数共有（）A ．35个B ．36个C ．37个D ．38个【正确答案】B【分析】按照首位数字为18 进行分类，相加得到答案.【详解】当首位数字为1时，后两位相加为7，共有8种；当首位数字为2时，后两位相加为6，共有7种；当首位数字为3时，后两位相加为5，共有6种；当首位数字为4时，后两位相加为4，共有5种；当首位数字为5时，后两位相加为3，共有4种；当首位数字为6时，后两位相加为2，共有3种；当首位数字为7时，后两位相加为1，共有2种；当首位数字为8时，后两位相加为0，共有1种；故共有1234567836+++++++=个数.故选：B7．已知随机变量ξ满足(0)1P p ξ==-，(1)P p ξ==，其中01p <<.令随机变量|()|E ηξξ=-，则（）A ．()()E E ηξ>B ．()()E E ηξ<C ．()()D D ηξ>D ．()()D D ηξ<【正确答案】D【分析】根据题意,列表求得随机变量ξ及η的分布列,可知均为两点分布.由两点分布的均值及方差表示出()(),E D ξξ和()E η()D η,根据01p <<比较大小即可得解.【详解】随机变量ξ满足(0)1P p ξ==-,(1)P p ξ==,其中01p <<.则随机变量ξ的分布列为:ξ1P1p-p所以()()(),1E p D p p ξξ==-随机变量|()|E ηξξ=-,所以当0ξ=时,()E p ηξξ=-=,当1ξ=时,()1E pηξξ=-=-所以随机变量|()|E ηξξ=-的分布列如下表所示(当0.5p =时,η只有一个情况,概率为1):ηp1p-P1p-p则()()()()1121E p p p p p pη=-+-=-()()()()22211121D p p p p p p p pη=--⋅-+---⋅⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()2121p p p =--当()()E E ξη=即()21p p p =-,解得12p =.所以A 、B 错误.()()D D ξη-()()()21121p p p p p =----()22410p p =->恒成立.所以C 错误,D 正确故选:D本题考查了随机变量的分布列,两点分布的特征及均值和方差求法,属于中档题.8．设()f x 是定义在D 上的函数，如果12,x x D ∀∈，当12x x <时，都有12()()f x f x ³，则称()f x 为D 上的“非严格递减函数”，已知集合12345{,,,,}A a a a a a =，其中12345a a a a a <<<<，集合*110{N |C 45}n B n +=∈≥，则满足定义域是A ，值域是B 的子集的非严格递减函数有（）个A ．56B ．126C ．252D ．462【正确答案】D【分析】计算17n ≤≤得到1,2,3,4,57{},6,B =，转化为1234511()4()3()2()1()1f a f a f a f a f a ≥+>+>+>+>>，计算得到答案.【详解】281010C C 45==，110C 45n +≥，故218n ≤+≤，17n ≤≤，故集合1,2,3,4,57{},6,B =，由12345a a a a a <<<<，则123457()()()()()1f a f a f a f a f a ≥≥≥≥≥≥，即有1234511()4()3()2()1()1f a f a f a f a f a ≥+>+>+>+>≥，则共有511C 462=个函数，故选：D.二、多选题9．下列命题正确的是（）A ．命题“存在0x >，使得不等式210x x ++<成立”的否定是“任意0x ≤，都有不等式210x x ++≥成立”.B ．若事件A 与B 相互独立，且()01P A <<，()01P B <<，则()()P A B P A =.C ．已知24a b <+<，02a b <-<，则3311a b <+<.D ．在回归分析中，对一组给定的样本数据1122(,),(,),,(,)n n x y x y x y 而言，若残差平方和越大，则模型的拟合效果越差；反之，则模型的拟合效果越好.【正确答案】BD【分析】对于A ：根据特称命题的否定分析判断；对于B ：根据独立事件的概率乘法公式结合条件概率公式分析运算；对于C ：以,a b a b +-为整体表示3a b +，结合不等式的性质分析运算；对于D ：根据残差的定义分析判断.【详解】对于A ：“存在0x >，使得不等式210x x ++<成立”的否定是“任意0x >，都有不等式210x x ++≥成立”，故A 错误；对于B ：由条件概率可知：()()()P AB P A B P B =，∵事件A 与B 相互独立，则()()()P AB P A P B =⋅，∴()()()()()()()P AB P A P B P A B P A P B P B ⋅===，故B 正确；对于C ：∵()()32a b a b a b +=++-，由24a b <+<，02a b <-<，可得()428a b <+<，∴4310a b <+<，故C 错误；对于D ：根据残差的定义可知：残差平方和越大，则模型的拟合效果越差；反之，则模型的拟合效果越好，故D 正确；故选：BD.10．已知关于x 的函数：2()21f x ax ax =-+，其中a ∈R ，则下列说法中正确的是（）A ．当1a =时，不等式()4f x >的解集是(1,3)-.B ．若不等式()0f x ≤的解集为空集，则实数a 的取值范围为(0,1).C ．若方程()0f x =的两个不相等的实数根都在()0,2内，则实数a 的取值范围为()1,+∞.D ．若方程()0f x =有一正一负两个实根，则实数a 的取值范围为(),0∞-.【正确答案】CD【分析】对于A ：解一元二次不等式即可；对于B ：分析可得原题意等价于2210ax ax -+>恒成立，结合恒成立问题运算求解；对于C 、D ：整理可得212x x a-=-，根据题意结合图象分析运算.【详解】对于A ：当1a =时，不等式2()214f x x x =-+>，即2230x x -->，解得3x >或1x <-，即不等式()4f x >的解集是()(),13,-∞-⋃+∞，故A 错误；对于B ：若不等式()0f x ≤的解集为空集，等价于2210ax ax -+>恒成立，当0a =时，则10>恒成立，符合题意；当0a ≠时，则2Δ440a a a >⎧⎨=-<⎩，解得01a <<；综上所述：实数a 的取值范围为[)0,1，故B 错误；若方程2()210f x ax ax =-+=有根，则有：当0a =时，则10=不成立，不符合题意；当0a ≠时，则212x x a -=-，即22y x x =-与1=-y a有交点，结合图象，对于C ：若方程()0f x =的两个不相等的实数都在()0,2内，则22y x x =-与1=-y a有交点横坐标均在()0,2内，可得110a-<-<，解得1a >，所以实数a 的取值范围为(1,)+∞，故C 正确；对于D ：若方程()0f x =有一正一负两个实根，则22y x x =-与1=-y a有交点横坐标一个为正数一个为负数，可得10a->，解得a<0，所以实数a 的取值范围为(),0∞-，故D 正确；故选：CD.11．已知正数x 、y ，满足2x y +=，则下列说法正确的是（）A ．xy 的最大值为1.B 的最大值为2.C ．21x y+的最小值为3.D ．2211x y x y +++的最小值为1.【正确答案】ABD【分析】对于AB ，利用基本不等式及其推论即可判断；对于CD ，利用换元法与基本不等式“1”的妙用即可判断.【详解】对于A ，因为0,0,2x y x y >>+=，所以2x y =+≥1xy ≤，当且仅当x y =且2x y +=，即1x y ==时，等号成立，所以xy 的最大值为1，故A 正确；对于B ，因为()2222222()2()0a b a b a b ab a b +-+=+-=-≥，所以()222()2a b a b +≤+，当且仅当a b =时，等号成立，所以()222224x y ⎡⎤≤+=+=⎣⎦2≤，=且2x y +=，即1x y ==时，等号成立，2，故B 正确；对于C ，211213()313222212y x x y x y y y x x ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++≥+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭当且仅当2y xx y=且2x y +=，即42x y =-=-时等号成立，所以21x y +的最小值为32，故C 错误；对于D ，令1s x =+，1t y =+，则1x s =-，1y t =-，24s t x y +=++=，0,0s t >>，所以()()22221111112211s t x y s t x y s t s t s --+=+=-++-+=+++()11111221444ts s t s t s t ⎛⎛⎫⎛⎫=++=++≥+= ⎪⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当s t =且4s t +=，即2s t ==，即1x y ==时，等号成立，所以2211x y x y +++的最小值为1，故D 正确.故选：ABD.12．已知()f x 为非常值函数，若对任意实数x ，y 均有()()()()()1f x f y f x y f x f y ++=+⋅，且当0x >时，()0f x >，则下列说法正确的有（）A ．()f x 为奇函数B ．()f x 是()0,∞+上的增函数C ．()1f x <D ．()f x 是周期函数【正确答案】ABC【分析】令0x y ==，代入()()()()()1f x f y f x y f x f y ++=+⋅，即可得到()0f 再由()00f =，分别应用函数的奇偶性，单调性，值域和周期性判断A,B,C,D 选项即可【详解】对于A:由题意()()()()()1f x f y f x y f x f y ++=+⋅，令0x y ==，()()()202100f f f =+,解得：()00f =或()01f =±当()01f =时，令0y =，则()()()()()()()1==11100f x f f x f x f x f f x ++=+⋅+恒成立，又已知()f x 为非常值函数故舍去，当()01f =-时，令0y =，则()()()()()()()1==11100f x f f x f x f x f f x +-=-+⋅-恒成立，又已知()f x 为非常值函数故舍去，∴()00f =，令y x =-，则()()()()()=010f x f f f x f x x -+⋅-+=，所以()()=0f x f x +-，即()()=f x f x --，所以()f x 为奇函数，故A 正确；对于C ：令2x x y ==，()2222112222x x f f f f x x x x f f x f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭==⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为212,22x x f f ⎛⎫⎛⎫+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭若12x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,则()222112x f f x x f ⎛⎫⎪⎝⎭==⎛⎫+ ⎪⎝⎭,又()f x 为非常值函数故舍去，所以12x f ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭，所以212,22x x f f ⎛⎫⎛⎫+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以()222112x f f x x f ⎛⎫ ⎪⎝⎭=<⎛⎫+ ⎪⎝⎭,故C 正确:对于B:设任意的12,R x x ∈且120x x <<令21,x x y x ==-所以()()()()()2121211f x f x f x x x x f f +-+⋅--=，又因为()f x 为奇函数，所以()()()()()1122121f x f x f x x f x x f --=-⋅，()()121,1,f x f x <<()()()()11221,10x f x f f x f x ⋅<-⋅>又因为当0x >时，()0f x >，所以()()210,0f x f x >>，210x x ->，()()()()()21212101f x f x f x x f x f x --=>-⋅,即()()21f x f x >，所以()f x 是()0,∞+上的增函数,故B 正确;对于D:因为()f x 是()0,∞+上的增函数,又因为()f x 为奇函数且()00f =,所以()f x 是(),-∞+∞上的增函数,故()f x 不是周期函数,故D 错误.故选:ABC.三、填空题13．已知条件:11p k x k -<<+，3:21x q x -≥+，p 是q 的充分条件，则实数k 的取值范围是_______.【正确答案】[]4,2--【分析】先根据分式不等式求出q ，设条件p 对应的集合为A ，条件q 对应的集合为B ，由p 是q 的充分条件，可得A B ⊆，进而可得出答案.【详解】由321x x -≥+，得501x x +≤+，解得51x -≤<-，设{}{}11,51A x k x k B x x =-<<+=-≤<-，因为p 是q 的充分条件，所以A B ⊆，所以1511k k -≥-⎧⎨+≤-⎩，解得42k -≤≤-，所以实数k 的取值范围是[]4,2--.故答案为.[]4,2--14．已知：8290129(2)(1)(1)(1)x x a a x a x a x -=+-+-++- ，则4a =______.【正确答案】14【分析】变换()()()8881211(11)x x x x x =----+--，再利用二项式定理得到()()3434488C 1C 1a =-+-，计算得到答案.【详解】()()()()()888811111111)1(2x x x x x x x =-+--=---+---，()811x --展开式的通项为()()818C 11rrrr T x -+=--，()()3434488C 1C 1567014a =-+-=-+=.故1415．若函数2(2)3,14(),142,4a x a x f x x x x ax x -+≤⎧⎪⎪<≤⎨⎪-+>⎪⎩是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围为_______．【正确答案】17(2,]8【详解】因为()22,4f x x ax x =-+>，是开口向下的二次函数，故只能是在4x >上单减，故要求整个函数在R 上都是减的，每一段都是减的，则要求20,17234281816a a a a a -<⎧⎪-+≥⇒<≤⎨⎪≥-⎩，故答案为172,8⎛⎤⎥⎝⎦．点睛：这个题目考查了，已知分段函数的单调性求参的问题，一般这类题目要满足两个条件，一是分段函数每一段都是单调的，且要求在定义域上函数是上台阶或下台阶的，即每段的连接点处必须是连接起来的或者都是向下或向上的趋势，不能错位．16．将1，2，3，……，9，10这10个整数分别填入图中10个空格中，样本空间Ω为满足“每一行的最大数比上一行的最大数要大”的所有样本点构成的集合，事件A 为“第四行有一个数字是1”，事件B 为“第三行有一个数字是2”，则在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率为_______.【正确答案】310/0.3【分析】利用排列组合的性质和条件概率公式即可求解.【详解】假设每一行数字由小到大排列（最后再乘每一行的排列数），那么当每一行最后一个数字给定，只需挑出每一行的前几个数字即可，且10在第四行第4个数.当1在第四行时，第四行前3个数字选法28C ，第三行前2个数字选法25C ，第二行第1个数字选法12C .当1在第四行，2在第三行时，第四行前3个数字选法27C ，第三行前2个数字选法14C ，第二行第1个数字选法12C .所以2114321742432122143218524321C C C A A A A ()3(|)()C C C A A A A 10P AB P B A P A ⨯⨯⨯⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯⨯⨯，故答案为.310四、解答题17．在21nx ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（n 为正整数）二项展开式中，若012C C C C 64nn n n n ++++= ，求：(1)展开式中所有项的系数之和；(2)展开式中含21x 的项的系数.【正确答案】(1)729(2)240【分析】（1）根据题意结合二项式系数的性质求得=6n ，再令1x =，求所有项的系数之和；（2）利用二项展开式的通项公式运算求解.【详解】（1）由题意可得0122=C C C C 64n n n n n n ++++= ，可得=6n ，故二项式为621x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，令1x =，可得661237291⎛⎫+== ⎪⎝⎭，所以展开式中所有项的系数之和为729.（2）设621x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的通项为(6521662661C 2C rr rrr r rT x x -+--⎛⎫⋅==⋅ ⎪⎝⎭，令6522r -=-时，则2r =，此时2236422C 240T x x --⋅=⋅=，故展开式中含21x 的项的系数为240.18．为助力乡村振兴，某电商平台为某地的农副特色产品开设直播带货专场，得到天数与直播间人数的数据如下表所示：日期第一天第二天第三天第四天第五天第六天第七天日期代码x 1234567直播间人数y （万人）4122123252728(1)求直播间人数y 和与日期代码x 的样本相关系数（精确到0.01）；(2)若使用ln y c d x =+作为y 关于x 的回归方程模型，计算该回归方程（结果保留1位小数），并预测至少要到哪一天直播间人数可以超过30万人.参考公式和数据：相关系数ni ix y nx yr -⋅=∑，其中711ln ,7i i i i u x u u ===∑，回归直线方程ˆˆˆybx a =+中，1221ˆˆˆ,ni ii nii x y n x yb a y b xxn x ==-⋅⋅==-⋅-⋅∑∑【正确答案】(1)0.93(2)ˆ5.212.3ln y x =+，第8天【分析】（1）根据题意可求得4,20x y ==，结合题中数据和公式运算求解；（2）根据题意令ln u x =，可得y c du =+，结合题中数据和公式求,cd ，进而根据回归方程运算求解.【详解】（1）由题意可得：777117722111114,2140,30,268666,77i i i i i i i i i i i x y x y x x y y ============∑∑∑∑∑，则ni i x ynx yr -⋅=∑530.932.65210.8≈≈⨯⨯，故直播间人数y 和与日期代码x 的样本相关系数为0.93.（2）∵ln y c d x =+，由题意令ln u x =，则y c du =+，可得77211213.20, 1.2,206.4,i i i i i u y u y u ===≈≈≈∑∑，则717221206.47201.2ˆ12.313.27 1.21.2i i ii i u yn u y dunu==-⋅⋅-⨯⨯=≈≈-⨯⨯-∑∑，ˆˆ2012.31.2 5.2cy d u =-⋅≈-⨯≈，所以ˆ 5.212.3yu =+，故y 关于x 的回归方程为 5.212.3ln y x =+⨯$，令 5.212.3ln 30y x =+>$，整理得ln 2.0x >，则2e 7.39x >≈，且*x ∈N ，所以8x ≥，故至少要到第8天才能超过30万人.19．对飞机进行射击，按照受损伤影响的不同，飞机的机身可分为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ三个部分.要击落飞机，必须在Ⅰ部分命中一次，或在Ⅱ部分命中两次，或在Ⅲ部分命中三次.设炮弹击落飞机时，命中Ⅰ部分的概率是16，命中Ⅱ部分的概率是13，命中Ⅲ部分的概率是12，射击进行到击落飞机为止.假设每次射击均击中飞机，且每次射击相互独立.(1)求恰好在第二次射击后击落飞机的概率；(2)求击落飞机的命中次数X 的分布列、数学期望和方差.【正确答案】(1)14(2)分布列见解析，()83E X =，19()18D X =【分析】（1）恰好在第二次射击后击落飞机存在两种情况，一种是连续命中Ⅱ部分两次，另一种情况是第一次击中Ⅱ部分或Ⅲ部分，第二次命中Ⅰ部分，根据这两种情况即可求出概率；（2）根据题意可知，击落飞机的次数可为1，2，3，4四种取值情况，根据四种取值情况求出对应概率即可求出分布列、数学期望和方差.【详解】（1）设恰好在第二次射击后击落飞机为事件A ，满足事件A 的情况有连续命中Ⅱ部分两次，或者第一次击中Ⅱ部分或Ⅲ部分，第二次命中Ⅰ部分，则25111()()6634P A =⨯+=.（2）依题意，X 的可能取值为1，2，3，4，1(1)6P X ==，1(2)4P X ==，12211111111(3)C ()()()32632623P X ==⨯⨯⨯++⨯+=，123111(4)C ()1324P X ==⨯⨯⨯=，所以X 的分布列为：X1234P16141314X 的数学期望()11118123464343E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.2X 14916P16141314()21111491491664346E X =⨯+⨯+⨯+⨯=X 的方差()22496419()(())6918D XE XE X =-=-=20．已知()224ax bx cf x x ++=+是定义在[]22-,上的函数，若满足()()0f x f x +-=且()115f =.(1)求()f x 的解析式；(2)判断函数()f x 在[]22-,上的单调性（不用证明），并求使()()22110f t f t ++-<成立的实数t的取值范围；(3)设函数2()24(R)g x x mx m =-+∈，若对任意12,[1,2]x x ∈，都有21()()g x f x <恒成立，求m 的取值范围.【正确答案】(1)()24x f x x =+(2)单调递增，302t -≤<(3)125m >【分析】（1）确定函数为奇函数，()00f =，()115f =，()115f -=-，代入数据计算得到答案.（2）确定函数单调递增，根据函数的奇偶性得到222212212211t t t t -≤+≤⎧⎪-≤-≤⎨⎪+<-⎩，解得答案.（3）只要2max 1min ()()g x f x <，最小值为1(1)5f =，题目转化为max 1925m x x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭，根据单调性计算最值得到答案.【详解】（1）[]2,2x ∈-，且()()0f x f x +-=，所以()f x 为奇函数，将0x =代入()()0f x f x +-=可得()00f =，即04c=，所以0c =，即()224ax bxf x x +=+，因为()115f =，所以()115f -=-，代入可得155155a b a b +⎧=⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩，解得01a b =⎧⎨=⎩，故()24xf x x =+；()24x f x x =+，()()24xf x f x x -==-+，函数为奇函数，满足，故()24x f x x =+.（2）设1222x x -≤<≤，则()()()()()()211221212222212144444x x x x x x f x f x x x x x ---=-=++++，1222x x -≤<≤ ，211200,4x x x x ∴-->>，()()210f x f x ∴->，即()()21f x f x >，故函数()24x f x x =+在[]22-,上单调递增，因为()24xf x x =+为奇函数，所以()()22110f t f t ++-<，即()()()222111f t f t f t +<--=-，根据单调性及定义域可得：222212212211t t t t -≤+≤⎧⎪-≤-≤⎨⎪+<-⎩，解得312220t t t ⎧-≤≤⎪⎪⎪≤≤⎨⎪-<<⎪⎪⎩302t -≤<.（3）只要2max 1min ()()g x f x <，函数()f x 在[]1,2上单调递增，最小值为1min 1()(1)5f x f ==.法一：21()245g x x mx =-+<在[]1,2上恒成立，只要max 1925m x x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭，195y x x =+在1,5⎡⎢⎥⎣⎦上单调递减，在,25⎛⎤ ⎥ ⎝⎦上单调递增，当1x =时，192455x x +=，当2x =时，1939245105x x +=<，故当1x =时，max 192455x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以125m >.法二：222()24()4g x x mx x m m =-+=-+-，[]1,2x ∈，当32m ≤时，max 1()(2)5g x g =<，14445m -+<，解得3920m >，舍去；当32m >时，max 1()(1)5g x g =<，11245m -+<，解得125m >，因此125m >，综上所述.125m >21．数学兴趣小组为研究本校学生数学成绩与语文成绩的关系，采取有放回的简单随机抽样，从学校抽取样本容量为200的样本，将所得数学成绩与语文成绩的样本观测数据整理如下：语文成绩合计优秀不优秀数学成绩优秀503080不优秀4080120合计90110200(1)根据0.010α=的独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联？(2)根据22⨯列联表的信息，A 表示“选到的学生语文成绩不优秀”，B 表示“选到的学生数学成绩不优秀”，求()|P B A 的值；(3)现从数学成绩优秀的样本中，按分层抽样的方法选出8人组成一个小组，从抽取的8人里再随机抽取3人参加数学竞赛，求这3人中，语文成绩优秀的人数X 的概率分布列及数学期望.附.()()()()22()n ad bc a b c d a c b dχ-=++++α0.0500.0100.001x α3.8416.63510.828【正确答案】(1)能(2)311(3)分布列见解析，158【分析】（1）计算216.498 6.635χ≈>，得到答案.（2）()(|)()P AB P B A P A =，计算得到答案.（3）根据分层抽样比例关系得到人数，确定随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3，计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案.【详解】（1）零假设0H ：数学成绩与语文成绩无关，则22200(50803040)16.498 6.6359011012080χ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，根据小概率值0.010α=的2χ的独立性检验，我们推断0H 不成立，故认为数学成绩与语文成绩有关；（2）()(|)()30311110P AB P B A P A ===，（3）按分层抽样，语文成绩优秀的5人，语文成绩不优秀的3人，随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3.()3338C 10C 56P X ===，()125338C C 151C 56P X ===，()215338C C 30152C 5628P X ====，()3538C 1053C 5628P X ====，故X 的概率分布列为：X0123P15615561528528数学期望()11515510515012356562828568E X =⨯+⨯+⨯+⨯==.22．设0a >，0b >，函数2()f x ax bx a b =--+.(1)求不等式()(1)f x f <的解集；(2)若()f x 在[]0,1上的最大值为b a -，求ba的取值范围；(3)当[0,]x m ∈时，对任意的正实数a ，b ，不等式()(1)|2|f x x b a ≤+-恒成立，求m 的最大值.【正确答案】(1)答案见解析(2)[)1,+∞(3)1【分析】（1）变换得到(1)()0x ax a b -+-<，考虑1b a a ->，1b a a -<，1b aa-=三种情况，解不等式得到答案.（2）确定函数对称轴为2b x a=，考虑1022b a <<和122b a ≥两种情况，计算最值得到范围.（3）注意分类讨论的思想，分当2b a ≥时和当2b a <时两种情况进行讨论，当2b a ≥时2310b b x x a a ⎛⎫---≤ ⎪⎝⎭注意用换元法把b a 换成t ，得到()2310x t x x +--≥又由题意对任意的12t ≥不等式恒成立，而310x +>，只要12t =时不等式成立即可从而解出m 的取值范围，同理可求另一种情况【详解】（1）()(1)f x f <即()0f x <，即(1)()0x ax a b -+-<，()()10x ax a b -+-=的两根为1和b aa-当1b a a ->，即20b a >>时，解集为1,b a a -⎛⎫⎪⎝⎭；当1b a a -<，即02b a <<时，解集为,1b a a -⎛⎫⎪⎝⎭；当1b aa-=，即20b a =>时，解集为∅.综上所述：当20b a >>时，解集为1,b a a -⎛⎫⎪⎝⎭；当02b a <<时，解集为,1b a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭；当20b a =>时，解集为∅.（2）因为0a >，0b >，所以0ba >，2()f x ax bx ab =--+的对称轴为2b x a=，当1022b a <<时，即b a <时，()()max 10f x f b a ==>-，不合题意；当122b a ≥时，即b a ≥时，()()max 0f x f =，而(0)0(1)f b a f =-≥=，符合题意.故ba取值范围为[)1,+∞.（3）①当2b a ≥时，不等式即为：()222ax bx a b b a x b a --+≤-+-，整理得：()230ax b a x b ---≤即：2310b b x x a a ⎛⎫---≤ ⎪⎝⎭，令bt a=，则12t ≥，所以不等式即()2310x t x t ---≤，即：()2310x t x x +--≥，由题意：对任意的12t ≥不等式恒成立，而310x +>，∴只要12t =时不等式成立即可，211022x x ∴--≤，112x ∴-≤≤而[]0x m ∈，，01m ∴<≤；②当2b a <时，同理不等式可整理为：23120b b x x a a ⎛⎫---+≤ ⎪⎝⎭，令b t a =，则102t <<，所以不等式即()21230x t x t ---+≤，即：()2320x t x x ++--≤，由题意：对任意的102t <<不等式恒成立，而30x +>，∴只要12t =时不等式成立即可，211022x x ∴--≤，112x ∴-≤≤而[]0x m ∈，，01m ∴<≤；综上，m 的最大值为1关键点睛：本题考查了解不等式，不等式恒成立问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力。

2023学年第二学期杭州市高二年级教学质量检测数学试题卷（答案在最后）考生须知：1．本试卷分试题卷和答题卡两部分.满分150分，考试时间120分钟.2．答题前，必须在答题卡指定位置上用黑笔填写学校名、姓名、试场号、座位号、准考证号，并用2B 铅笔将准考证号所对应的数字涂黑.3．答案必须写在答题卡相应的位置上，写在其他地方无效.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1.已知复数11iz =+，22i z =-（i 为虚数单位，2i 1=-），则复数21z z z =-对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D 【解析】【分析】利用复数减法运算求解12z i =-，可得复平面对应点的坐标，可得结论.【详解】因为复数11i z =+，22i z =-，所以复数212i (1i)12i z z z =-=--+=-，所以z 对应的点(1,2)Z -在第四象限.故选：D.2.命题“0x ∃>，23100x x -->”的否定是（）A.0x ∀>，23100x x -->B.0x ∃>，23100x x --≤C.0x ∀≤，23100x x --≤D.0x ∀>，23100x x --≤【答案】D 【解析】【分析】根据存在量词命题的否定为特称命题，即可求解.【详解】命题“0x ∃>，23100x x -->”的否定是0x ∀>，23100x x --≤,故选：D3.下列函数中，以π为最小正周期的奇函数是（）A.sin 2y x =B.cos y x= C.2sin y x = D.2cos y x=【答案】A 【解析】【分析】由题意，利用三角函数的奇偶性和周期性，得出结论．【详解】由于sin 2y x =是最小正周期为π的奇函数，则A 正确；由于cos y x =为最小正周期为2π的偶函数，则B 错误；由于2sin y x =是偶函数，不符合题意，C 错误；由于2cos y x =是偶函数，不符合题意，D 错误．故选：A ．4.若甲、乙、丙三人排成一行拍照，则甲不在中间的概率是（）A.14B.13C.23D.34【答案】C 【解析】【分析】根据排列组合计算个数，结合古典概型的概率公式即可求解.【详解】甲、乙、丙三人排成一行，共有33A 6=种方法，甲不在中间的，共有1222A A 4=,故概率为122233A A 2A 3=,故选：C5.在正方体1111ABCD A B C D -中，P ，Q 分别是棱1AA 和1CC 上的点，113PA AA =，113CQ CC =，那么正方体中过点D ，P ，Q 的截面形状为（）A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形【答案】B 【解析】【分析】画出图形，然后判断即可.【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，取1113B M BB =，113BN BB =，连接DP ，DQ ，PN ，CN ，MQ ，PM ，如下图所示：因为在正方体1111ABCD A B C D -中，P ，Q 分别是棱1AA和1CC 上的点，113PA AA =，113CQ CC =，所以//MN CQ ，且MN CQ =，则四边形NCQM 为平行四边形，则//NC MQ ，NC MQ =，又因为//PN CD ，且PN CD =，所以四边形PNCD 为平行四边形，则//PD CN ，PD CN =，所以//DP MQ ，DP MQ =，所以DPMQ 为平行四边形，则正方体中过点D ，P ，Q 的截面形状为四边形DPMQ .故选：B6.在同一个坐标系中，函数()log a f x x =，()xg x a-=，()ah x x =的图象可能是（）A. B. C. D.【答案】C 【解析】【分析】先根据的单调性相反排除AD ，然后根据幂函数图象判断出a 的范围，由此可得答案.【详解】因为在同一坐标系中，所以函数()log a f x x =，()1xxg x a a -⎛⎫== ⎪⎝⎭的单调性一定相反，且图象均不过原点，故排除AD ；在BC 选项中，过原点的图象为幂函数()ah x x =的图象，且由图象可知01a <<，所以()log a f x x =单调递减，()1xxg x a a -⎛⎫== ⎪⎝⎭单调递增，故排除B ，所以C 正确.故选：C.7.已知()sin 23sin 2γβα=+，则tan()tan()αβγαβγ++=-+（）A.2-B.14C.32D.12-【答案】A 【解析】【分析】根据和差角公式以及弦切互化公式即可求解.【详解】()()()()sin 2sin 3sin βαβαβαβαβγγγγ=++--+=+++-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，故()()()()2sin cos 4cos sin γγγγαβαβαβαβ++-+=-++-+，故tan()sin()cos()2tan()cos()sin()αβγαβγαβγαβγαβγαβγ++++-+==--+++-+，故选：A8.已知经过圆锥SO 的轴的截面是顶角为θ的等腰三角形，用平行于底面的截面将圆锥SO 分成两部分，若这两部分几何体都存在内切球（与各面均相切），且上、下两部分几何体的体积之比是1：7，则cos θ=（）A.13B.322C.79D.9【答案】C 【解析】【分析】作出圆锥的轴截面，根据题意推出圆台的上、下底面半径之比为1:2，设圆台上底面半径为r ，圆台存在内切球可得圆台的母线3BD r =，在SAB △中，由余弦定理可求cos θ．【详解】如图，作出圆锥SO 的轴截面SAB ，上部分小圆锥一定有内切球，故只需下部分圆台有内切球即可，设圆台的内切球的球心F ，由上、下两部分几何体的体积之比是1:7，可得截得的小圆锥与原圆锥的体积之比为1:8，从而可得圆台上下底面圆半径之比为1:2，设圆台上底面半径为r ，则圆台下底面半径为2r ，圆台存在内切球时，由切线长定理可得圆台母线长3BD r =，则可得圆锥的母线6SB r =，所以圆锥SO 的轴截面等腰三角形底边4AB r =，在SAB △中，由余弦定理可得22222223636167cos 22369SB SA AB r r r SB SA r θ+-+-===⨯ .故选：C.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.本学期某校举行了有关垃圾分类知识竞赛，随机抽取了100名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（）A.图中x 的值为0.030B.被抽取的学生中成绩在[)70,80的人数为15C.估计样本数据的众数为90D.估计样本数据的平均数大于中位数【答案】AB 【解析】【分析】对于A ，结合频率分布直方图的性质，即可求解，对于B ，结合频率与频数的关系，即可求解，对于C ，结合众数的计算公式，即可求解，对于D ，结合平均数的计算公式，以及中位数的计算公式，即可比较大小求解D ．【详解】对于A ，结合频率分布直方图的性质可得，(0.0050.010.0150.04)101x ++++⨯=，解得0.03x =，故A 正确，对于B ，成绩在区间[)70,80的频率为0.015100.15⨯=，人数为1000.1515⨯=，故B 正确，对于C ，众数为90100952+=，故C 错误，对于D ，平均成绩为550.05650.1750.15850.3950.484⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，低于80分的频率为0.050.10.150.3++=，设样本数据的中位数为n 分，则()800.0300.2n -⨯=，解得86.7n ≈，平均数小于中位数，D 错误，故选：AB ．10.已知向量()()1,3,,2a b x =-=，且()2a b a -⊥ ，则（）A.()1,2b =B.225a b -=C.向量a与向量b 的夹角是45D.向量a在向量b上的投影向量坐标是()1,2【答案】ACD 【解析】【分析】A 选项，根据向量坐标线性运算与垂直关系，列出方程，求出1x =，A 正确；B 选项，利用模长公式进行计算；C 选项，利用向量夹角余弦公式求出夹角；D 选项，利用投影向量公式求出答案.【详解】A 选项，()()1,3,,2a b x =-=，∴()()()21,32,212,1a b x x -=--=---，()2a b a -⊥，∴1230x +-=，解得1x =，故()1,2b =，选项A 正确；B 选项，由A 选项可知()23,1a b -=--，故2a b -= ，选项B 错误；C 选项，1,31,2cos ,2||||a b a b a b -⋅⋅〈〉====⋅，向量a与向量b的夹角是45 ，选项C 正确；D 选项，向量a在向量b 上的投影向量()()()251,21,25||a b b b ⋅==，选项D 正确.故选：ACD.11.已知C z ∈，设函数()f z 满足()()11+-=+f z zf z z ，则（）A.()11f =B.当R z ∈时，()f z 不一定．．．是常数函数C.若13i 222⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭f ，则1313i 2222⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭f D.若1z =，则()()11+-=+zf z f z z 【答案】ACD 【解析】【分析】联立方程可得()()2211z z f z z z -+=-+，即可代入1z =求解A ，根据R z ∈时，210z z -+≠，即可求解B ，取13i 22z =+代入题中式子即可求解C,分类讨论，结合共轭复数的定义，代入即可判断D.【详解】由()()11+-=+f z zf z z 可得()()()112f z z f z z -+-=-，联立两式可得()()2211z z f z z z -+=-+，对于A,取1z =，则()11f =，A 正确，对于B ，若R z ∈时，210z z -+≠，故()1f z =，B 错误，对于C，取1i 22z =+，则1111i i 1i 22222222f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++-=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得11i 2222⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭f ，故C 正确，对于D，若122z ≠+且1i 22z ≠-时，此时210z z -+≠，则()1f z =，故()()11+-=+zf z f z z 显然满足，若13i 22z =+，则13131313i 1i 22222222f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，此时13i 22z =-，故()()11+-=+zf z f z z 成立，若1i 22z =-，则1111i i 1i 22222222f f ⎛⎫⎛⎭⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎛⎫-+-+=+ ⎪ ⎝⎭⎪，此时1i 22z =+，故()()11+-=+zf z f z z 成立，故D 正确，故选：ACD三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.函数ln y x =与e x y =的图象关于直线______对称．【答案】y x =【解析】【分析】根据反函数的性质即可求解.【详解】由于ln y x =与e x y =互为反函数，所以ln y x =与e x y =图象关于y x =对称，故答案为：y x =13.若某扇形的圆心角为π4，面积为π2，则该扇形的半径是______．【答案】2【解析】【分析】根据扇形面积公式直接求解即可.【详解】设扇形的面积为r ，则扇形面积21ππ242S r =⨯=，解得：2r =.故答案为：2.14.记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．已知sin C B =，222a b c +-=，若ABC的面积为3+，则=a ______．【答案】++【解析】【分析】由余弦定理和已知求出,,C B A ，再由正弦定理得出用R 表示出的,,a b c ，利用面积求出R 可得答案.【详解】因为222a b c +-=，由余弦定理得222cos 22a b c C ab +-==，因为0πC <<，所以π4C =，所以sin 2==C B ，可得1cos 2B =，因为0πB <<，所以π3B =，所以5ππ12A B C =--=，5πππππππsin sinsin sin cos sin cos 124646644+⎛⎫==+=+=⎪⎝⎭A ，由正弦定理()20sin sin sin ===>a b cR R A B C，得322,222b R c R =⨯==⨯=，242a R R ==，若ABC 的面积为3，则1sin 243=⨯=bc A解得2R =，所以6222=⨯=a .【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是利用正余弦定理边角转化解三角形.四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数()2cos 2cos f x x x x =+．（1）求()f x 的最小正周期及单调递增区间；（2）求()f x 在区间π5π,612⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值、最小值及相应的x 的值．【答案】（1）πT =，πππ,π36k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈；（2）π6x =-时，()f x 有最小值0，π6x =时，()f x 有最大值3．【解析】【分析】（1）化简函数解析式，由正弦型函数的性质求出周期、单调区间即可；（2）根据自变量的范围，求出π26x +的范围，利用正弦函数求出最值即可得解.【小问1详解】（1）()2πcos 2cos cos212sin 216f x x x x x x x ⎛⎫=⋅+=++=++ ⎪⎝⎭，故2ππ2T ==；由()π2sin 216f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，令πππ2π22π262k x k -+≤+≤+，Z k ∈，则ππππ36k x k -+≤≤+，Z k ∈，故函数()f x 的单调递增区间为πππ,π36k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈；【小问2详解】当π5π,612x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，ππ2,π66x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，则π1sin 2,162x ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即[]()0,3f x ∈，即()f x 在区间π5π,612⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值和最大值分别为0，3，当ππ266x +=-，即π6x =-时，()f x 有最小值0，当ππ262x +=，即π6x =时，()f x 有最大值3．16.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，PD 与底面所成的角为45°，E 为PD 的中点．（1）求证：AE ⊥平面PCD ；（2）若AB =，求平面ABC 与平面PBC 的夹角大小．【答案】（1）证明见解析（2）π6．【解析】【分析】（1）由题意可得PD 与底面所成的角即为PDA ∠，即45PDA ∠=︒，则AE PD ⊥,再由题意得出CD ⊥平面PAD ，则CD AE ⊥，即可得到答案.（2）由二面角的定义可得平面ABC 与平面PBC 的夹角即为PBA ∠，即可得出夹角大小.【小问1详解】因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA CD ⊥，因为PA ⊥平面ABCD ，则PDA ∠为PD 与平面ABCD 所成的角，PD 与平面ABCD 所成的角为45°，所以45PDA ∠=︒，则PA AD =，又E 为PD 的中点，所以AE PD ⊥．因为CD AD ⊥，又CD PA ⊥，AD PA A ⋂=,AD ⊂平面PAD ，PA ⊂平面PAD ，故CD ⊥平面PAD ，AE ⊂平面PAD ，所以CD AE ⊥，,,PD CD D PD CD ⋂=⊂平面PCD ，所以⊥AE 平面PCD ．【小问2详解】因为PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PA BC ⊥，又AB BC ⊥，PA AB A = ，PA ⊂平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，故BC ⊥平面PAB .PB ⊂平面PAB ，所以BC PB ⊥，又BC AB ⊥，则PBA ∠即为所求，由（1）知：PA AD =，而AB =，则=BA ，故tan 3PA PBA AB ∠==,π(0,]2PBA ∠∈,所以π6PBA ∠=．17.已知函数()()2e 2e x x f x a a x =+--，R a ∈．（1）当2a =时，求()f x 在0x =处的切线方程；（2）讨论()f x 的单调性．【答案】（1）32y x =+（2）答案见解析【解析】【分析】（1）求导，可得()02=f ，()03'=f ，结合导数的几何意义分析求解；（2）求导可得()()()e e 211x xf x a '=+-，分0a ≤和0a >两种情况，利用导数分析()f x 的单调性.【小问1详解】当2a =时，则()22e =-x f x x ，()24e 1'=-x f x ，可得()02=f ，()03'=f ，即切点坐标为()0,2，切线斜率3k =，所以()f x 在0x =处的切线方程为：32y x =+．【小问2详解】由题意可得：()()()()22e 1e e 1e 212x x x x f x a a a '=+--=+-，注意到e 0,2e 10x x >+>，①若0a ≤，()0f x '<，则()f x 在(),-∞+∞上单调递减，②若0a >，令()0f x '=时，解得ln x a =-，当ln x a >-，()0f x ¢>；当ln x a <-，()0f x '<；所以()f x 在(ln ,)a -+∞上单调递增，在(,ln )a -∞-上单调递减．18.已知椭圆C 的焦点在x 轴上，上顶点()0,1M ，右焦点F ，离心率2e =．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点．（i ）若直线l 与MF 垂直，求线段PQ 中点的轨迹方程；（ii ）是否存在直线l ，使F 恰为PQM 的垂心？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2212x y +=（2）（i ）12323233y x x ⎛⎫=--<< ⎪ ⎪⎝⎭；（ii ）存在，43y x =-．【解析】【分析】（1）由已知易求,a b ，进而可得椭圆方程；（2）（i ）设直线:l y x m =+，再联立直线与椭圆方程，利用韦达定理得到：1243x x m +=-，212223m x x -=，设线段PQ 中点为(),N x y ，利用中点坐标公式可求中点的轨迹方程；（ii ）由F 恰为PQM 的垂心，有⊥uuu r uu u r MP FQ ，可得212122()(1)0x x x x m m m ++-+-=，代入即可求得直线方程.【小问1详解】由题意得：1b =，2e =，则2212c a =，所以22212a b a -=，解得22a =，故椭圆方程为2212x y +=．【小问2详解】（i ）由题意得：1MF k =-，因为M F l ⊥，所以1=-⋅MF l k k ，则1l k =，设直线:l y x m =+，11(,)P x y ，22(,)Q x y ，联立22121y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得2234220x mx m ++-=，()()222Δ164322830m m m =-⨯⨯-=->，所以m <<，由韦达定理得：1243x x m +=-，212223m x x -=，1212223y y x x m m +=++=，设线段PQ 中点为(),N x y ，则12223+==-x x x m ，12123+=y y m ，则PQ中点的轨迹方程为1233y x x ⎛⎫=--<< ⎪ ⎪⎝⎭．（ii ）因为F 恰为PQM 的垂心，有⊥uuu r uu u r MP FQ所以()()1221110MP FQ x x y y ⋅=-+-=又(1,2)i i y x m i =+=，得1221(1)()(1)0-+++-=x x x m x m ，即212122()(1)0x x x x m m m ++-+-=，代入韦达定理得222242(1)033m m m m m -⋅--+-=，解得43m =-或1m =．经检验43m =-符合条件，则直线l 的方程为：43y x =-．【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，注意∆的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.19.已知数列{}n a 满足()22)434400,N*(-+--=>∈n n n a n a n n a n ，数列{}n b 满足1)32(1N*+=+-∈n n b b n n ，12b =．（1）求{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）定义：已知数列{}n c ，21==∑n n i i Q c ，当*N 4∈n Q 时，称{}n c 为“4一偶数项和整除数列”．（i ）计算n S ，n T ，其中21==∑n n i i S a ，21(2)==+∑n n i i T b i ．（ii ）若(){})N*(λλ+-∈n n b n a 为“4-偶数项和整除数列”，求λ的最小值．【答案】（1）44n a n =+，3n n b n =-．（2）（i ）248n S n n =+，()11998n n T +=-；（ii ）4λ=【解析】【分析】（1）因式分解得到44n a n =+，变形得到()113n n b n b n +++=+，故{}n b n +为公比为3的等比数列，求出通项公式；（2）（i ）利用等差数列求和公式得到21==∑n n i i S a ，并利用等比数列求和公式得到21(2)==+∑n n i i T b i ；（ii ）方法一，根据1191244T S λλ--=得到1λ=，2，3不满足题意，4λ=满足要求，进一步得到()121499482n n n T S n n +-=---，变形后结合二项式定理得到212118C 8C Z n n n n n n +++++--∈L ，并得到243304n n T S n n -≥+>，得到结论；方法二：根据1191244T S λλ--=得到1λ=，2，3不满足题意，4λ=满足要求，当4λ=时，4344nn c n =⋅--，故214=-=∑n n n i i T S c ，根据31Z 4n n c n =--∈且31e 10-->-->n n n n ，证明出结论.【小问1详解】由()2243440n n a n a n n -+--=可得()()440n n a n a n ⎡⎤-++=⎣⎦，根据0n a >可得44n a n =+，由1321+=+-n n b b n 可得()113n n b n b n +++=+，且113b +=，所以{}n b n +是以首项为3，公比为3的等比数列，故3n n b n =-．【小问2详解】（i ）()224221284482n i n n nS a a a a n n ++=+++++==+ ，()()()()()1222919122299198n n n i n T b b i b n +-=+++++++==-- ．（ii ）方法一：当1n =时，()22112912444b a T S λλλ+---==，显然，1λ=，2，3不满足题意，4λ=时，1149412644T S -⨯-==，满足要求，当4λ=时，{}()1222114(2)499482n n i i n n i b i a T S n n +=+-=-=---∑，()()11224119921892488n n n n T S n n n n ++-⎡⎤=---=+---⎣⎦()012211211111C 8C 8C 8C 928n n n n n n n n ++++++⎡⎤=++++---⎣⎦()221121111818C 8C 928n n n n n n n ++++⎡⎤=+++++---⎣⎦ ()221122*********C 8C 28C 8C Z 8n n n n n n n n n n n n n +++++++=+++--=++--∈ ()2122211148C 8C 833042n n n n n n n n T S n n n n n n ++++-=++--≥⨯-=+> ，故*4N 4-∈n n T S ，得证．方法二：当1n =时，()22112912444b a T S λλλ+---==，显然，1λ=，2，3不满足题意．4λ=时，1149412644T S -⨯-==，满足要求，当4λ=时，()44344n n n n c b n a n =+-=⋅--，214=-=∑n n n i i T S c，因为434431Z 44n n n c n n ⋅--==--∈且31e 10-->-->n n n n ，下面证明e 10n n -->对1n ≥恒成立，令()e 1x t x x =--，则()e 1x t x '=-，当0x >时，()e 10xt x ='->，故()e 1x t x x =--在()0,x ∞∈+单调递增，故()()00e 10t x t >=-=，故e 10n n -->对1n ≥恒成立，所以*4N 4-∈n n T S ，得证，故λ最小值为4.【点睛】数列新定义问题，主要针对于等差，等比，递推公式和求和公式等综合运用，对常见的求通项公式和求和公式要掌握牢固，同时涉及数列与函数，数列与解析几何，数列与二项式定理，数列与排列组合等知识的综合，要将“新”性质有机地应用到“旧”性质上，创造性的解决问题.。

2023学年第一学期杭州二中高二期中考试数学（答案在最后）注意事项：1．本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟.2．答题前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.3．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.4．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.5．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，多选、错选或不选都给不分.1.两条平行直线1l ：3450x y +-=与2l：6850x y +-=之间的距离是（）A.0 B.12C.1D.32【答案】B 【解析】【分析】利用平行线间距离公式进行求解即可.【详解】345068100x y x y +-=⇒+-=，12=，故选：B2.已知圆()()()2122292:x m y m m C -+-=-与圆22288340:x y x C y m +--+-=，则“4m =”是“圆1C 与圆2C 外切”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】利用两圆相切圆心距与两半径之和相等，分别证明充分性和必要性是否成立即可得出答案.【详解】根据题意将圆2C 化成标准方程为()()22442x y m -+-=-；易知20m ->，所以可得圆心()12,2C m m，半径为1r =，圆心()24,4C，半径为2r =可得122C C =-，两半径之和12r r +=若4m =，圆心距12C C =，两半径之和12r r +=，此时1212C C r r =+=，所以圆1C 与圆2C 外切，即充分性成立；若圆1C与圆2C外切，则2-=4m =或2m =（舍），所以必要性成立；即“4m =”是“圆1C 与圆2C 外切”的充分必要条件.故选：C3.已知直线y kx m =+（m 为常数）与圆224x y +=交于点M N ，，当k 变化时，若||MN 的最小值为2，则m =A.1±B. C. D.2±【答案】C 【解析】【分析】先求得圆心到直线距离，即可表示出弦长，根据弦长最小值得出m 【详解】由题可得圆心为()0,0，半径为2，则圆心到直线的距离d=，则弦长为||MN =，则当0k =时，MN 取得最小值为2=，解得m =.故选：C.4.直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2222x y -+=上，则ABP 面积的取值范围是A.[]26，B.[]48， C. D.⎡⎣【答案】A 【解析】【详解】分析：先求出A ，B 两点坐标得到AB ，再计算圆心到直线距离，得到点P 到直线距离范围，由面积公式计算即可详解： 直线x y 20++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点()()A 2,0,B 0,2∴--,则AB = 点P 在圆22x 22y -+=（）上∴圆心为（2，0），则圆心到直线距离1d ==故点P 到直线x y 20++=的距离2d 的范围为则[]2212,62ABP S AB d ==∈ 故答案选A.点睛：本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题．5.已知正方形ABCD 的边长为2，点M 在以C 为圆心，1为半径的圆上，则2MB MD +的最小值为（）A.2B.C.172D.【答案】D 【解析】【分析】建立直角坐标系，取点1(0,)2E ，探讨满足条件||2||M D M E ''=的点M '的轨迹，再结合已知，求出两条线段长度和的最小值作答.【详解】依题意，以点C 为原点，直线,CB CD 分别为,x y 轴建立平面直角坐标系，则(2,0),(0,2)B D ，如图，取点1(0,)2E ，设(,)M x y '，当||2||M D M E ''==化简整理得221x y +=，即点M '的轨迹是以C 为圆心，1为半径的圆，而点M 在以C 为圆心，1为半径的圆上，因此||2||MD ME =，显然点B 在圆C ：221x y +=外，则22||2||2(||||)2||MB MD MB ME MB ME BE +=+=+≥，当且仅当M 为线段BE 与圆C 的交点时取等号，而||2BE ==，所以2MB MD +的最小值为2||BE =故选：D【点睛】关键点睛：建立坐标系，取点1(0,2E 并求出满足条件||2||M D M E ''=的点M '的轨迹是解题的关键.6.设椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点为F ，O 为坐标原点，过F 且斜率为1的直线交椭圆于A ，B 两点（A 在x 轴上方）.A 关于x 轴的对称点为D ，连接DB 并延长交x 轴于点E ，若DOF S ，DEF S △，DOE S △成等比数列，则椭圆的离心率e 的值为（）A.12B.2C.2D.12【答案】D 【解析】【分析】根据DOF S ，DEF S △，DOE S △成等比数列，得到2EFOF OE =⋅，设直线AB 的方程为：()()()112211,,,,,,y x c A x x c B x x c D x x c =+++--，与椭圆方程联立，再设直线BD 的方程为：()122221x x cy x c x x x x ++--=--，令0y =结合韦达定理，得到点E 的坐标，代入2EF OF OE =⋅求解.【详解】解：如图所示：设,,DOF DEF DOE 分别以OF ，EF ，OE 为底，高为h ，则111,,222DOF DEF DOE S OF h S EF h S OE h === ，因为DOF S ，DEF S △，DOE S △成等比数列，所以2DEF DOF DEF S S S =⋅ ，即2EFOF OE =⋅，设直线AB 的方程为：()()()112211,,,,,,y x c A x x c B x x c D x x c =+++--，联立22221x y a b y x c ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得()2222222220a b x a cx a c a b +++-=，由韦达定理得：2121222222222,2x x x x a c a c a b a b a b-+=-=++⋅，直线BD 的方程为：()1222212x x cy x c x x x x ++--=--，令0y =得，()12121222E x x c x x x x x c ⋅++=++，则()22121212222222222222222222E x x c x x a x c a c a b a c a b a b a b x x c c c a ⋅-⋅++===-++-++-++，则2EF OF OE =⋅，即为222a a c c c c ⎛⎫⋅=- ⎪⎝⎭，则()22222c a a c =-，即422430a c a c -+=，即42310e e -+=，解得232e =，则512e =，故选：D7.已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，经过1F 的直线交椭圆于A ，B ，2ABF △的内切圆的圆心为I ，若23450++=IB IA IF ，则该椭圆的离心率是（）A.5B.23C.4D.12【答案】A 【解析】【分析】对23450++= IB IA IF 变形得到2351882IB IF IA +=-，进而得到以22::3:4:5AF BF AB =，结合椭圆定义可求出2AF a =，245,33BF a AB a ==，1AF a =，由余弦定理求解,a c 关系式，求出离心率.【详解】因为23450++= IB IA IF ，所以2351882IB IF IA +=-，如图，在2BF 上取一点M ，使得2:5:3BM MF =，连接IM ，则12IM IA =-，则点I 为AM 上靠近点M 的三等分点，所以22::3:4:5IAF IBF IBA S S S = ，所以22::3:4:5AF BF AB =，设23AF x =，则24,5BF x AB x ==，由椭圆定义可知：224AF BF AB a ++=，即124x a =，所以3a x =，所以2AF a =，245,33BF a AB a ==，1AF a =故点A 与上顶点重合，在2ABF △中，由余弦定理得：222222222222516399cos 52523a a a AB F A F B BAF AB F A a +-+-∠===⋅⨯，在12AF F △中，2222243cos 25a a c BAF a +-∠==，解得：5c a =，所以椭圆离心率为故选：A【点睛】对于求解圆锥曲线离心率问题，要结合题目中的条件，直接求出离心率或求出,,a b c 的齐次方程，解出离心率，本题的难点在于如何将23450++=IB IA IF 进行转化，需要作出辅助线，结合内心的性质得到三角形2ABF 三边关系，求出离心率.8.在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线C :y 2=2px (0p >)的焦点为F ，直线x =3与抛物线C 交于A ，B 两点，｜AF |=4，圆E 为FAB 的外接圆，直线OM 与圆E 切于点M ，点N 在圆E 上，则OM ON ⋅的取值范围是（）A.63,925⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B.[]3,21- C.63,2125⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.[]3,27【答案】B 【解析】【分析】由已知及抛物线的定义，可求p ，进而得抛物线的方程，可求A ，B ，F 的坐标，直线AF的方程，可得圆的半径，求得圆心，设N 的坐标，求得M 的坐标，结合向量数量积的坐标表示，以及辅助角公式和正弦函数的值域，可得所求范围．【详解】解：由题意，设(A ，所以||342pAF =+=，解得2p =，所以抛物线的方程为24y x =，(3,A ，(3,B -，(1,0)F ，所以直线AF的方程为1)y x =-，设圆心坐标为0(x ，0)，所以2200(1)(3)12x x -=-+，解得05x =，即(5,0)E ，∴圆的方程为22(5)16x y -+=，不妨设0M y >，设直线OM 的方程为y kx =，则0k >，4=，解得43k =，由2243(5)16y x x y ⎧=⎪⎨⎪-+=⎩，解得912,55M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设(4cos 5,4sin )N θθ+，所以364812cos sin 9(3cos 4sin )9555OM ON θθθθ⋅=++=++ ，因为[]3cos 4sin 5sin()5,5θθθϕ+=+∈-，所以OM ON ⋅∈[]3,21-．故选：B ．【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是：首先求出圆的方程为22(5)16x y -+=，然后利用直线OM 与圆E 切于点M ，求出M 点的坐标，引入圆的参数方程表示N 点坐标，再根据向量数量积的坐标表示及辅助角公式，可得所求范围．.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知直线1l ：230ax y a ++=和直线2l ：()3170x a y a +-+-=，下列说法正确的是（）A.当25a =时，12l l ⊥B.当2a =-时，12l l ∥C.直线1l 过定点()3,0-，直线2l 过定点()1,1-D.当1l ，2l平行时，两直线的距离为【答案】AD 【解析】【分析】A 选项：把a 的值分别代入两直线，根据直线垂直时，斜率相乘为1-，直接判断即可；B 选项，把a 的值分别代入两直线，根据直线平行时，斜率相等判断即可；C 选项，把直线的方程变形，根据直线过定点的定义判断即可；D 选项，由直线平行时，斜率相等，可求得a 得值，排除重合情况，再利用平行直线的距离公式直接求解即可.【详解】对于A ，当25a =时，那么直线1l 为262055x y ++=，直线2l 为3237055x y -+-=，此时两直线的斜率分别为115k =-和25k =，所以有121k k ×=-，所以12l l ⊥，故A 选项正确；对于B ，当2a =-时，那么直线1l 为30x y -+=，直线2l 为30x y -+=，此时两直线重合，故B 选项错误；对于C ，由直线1l ：230ax y a ++=，整理可得：()320a x y ++=，故直线1l 过定点()3,0-，直线2l ：()3170x a y a +-+-=，整理可得：()1370a y x y -+-+=，故直线2l 过定点()2,1-，故C 选项错误；对于D ，当1l ，2l 平行时，两直线的斜率相等，即213a a --=-，解得：3a =或2a =-，当2a =-时，两直线重合，舍去；当3a =时，直线1l 为3290x y ++=，2l 为3240x y ++=，此时两直线的距离13d ==，故D 选项正确.故选：AD .10.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右两焦点分别是12,F F ，其中12||2F F c =.直线()():R l y k x c k =+∈与椭圆交于,A B 两点，则下列说法中正确的有（）A.2ABF △的周长为4aB.若AB 的中点为M ，则22OMb k k a⋅=C.若2124AF AF c ⋅=，则椭圆的离心率的取值范围是6565⎣⎦D.若1k =时，则2ABF △的面积是222ca b +【答案】ACD 【解析】【分析】根据椭圆定义可知2ABF △的周长为4a ，可判断A 正确；联立直线和椭圆方程求出点M 的坐标，表示出斜率公式即可得22OMb k k a⋅=-，可得B 正确；由2124AF AF c ⋅= 易知A 点在以()0,0为圆心，半径为的圆上，即可得圆222115x y c +=与椭圆22221x y a b+=有交点，需满足b a ≤≤，可得离心率,65e ∈⎣⎦，可知C 正确；将1k =代入联立的方程可得2ABF △的面积22212S c x c b x a ==+-，可得D 正确.【详解】由12||2F F c =可知，()()12,0,,0F c F c -；显然直线()():R l y k x c k =+∈过点()1,0F c -，如下图所示：由椭圆定义可知2ABF △的周长为2212214AB AF BF AF AF BF BF a ++=+++=，所以A 正确；设()()1122,,,A x y B x y ，中点()00,Mxy ；将直线和椭圆方程联立()22221x y a b y k x c ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 整理可得()2222222222220b a k x a k cx a k c a b +++-=；由韦达定理可得22122222a k c x x b a k +=-+，所以221202222x x a k cx b a k +==-+，代入直线方程解得20222b cky b a k =+，即222222222,a k c b ck M b a k b a k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭；所以2222222222222200OMb ckb ck b b a k k a kc a k c a k b a k -+==-=---+，可得2222OMk b k a k b k a⋅-==⋅-，所以B 错误；根据B 选项，由2124AF AF c ⋅= 可得()()2222111111,4,c x y c x y x c y c -⋅=+--=---，可得222115x y c +=，即A 点在以()0,0为圆心，半径为的圆上；又A 点在椭圆上，即可得圆222115x y c +=与椭圆22221x y a b+=有交点，根据对称性可知b a ≤≤，即22256c a c ≤≤，所以可得离心率,65e ∈⎥⎣⎦，即C 正确；若1k =时，由选项B 可知联立直线和椭圆方程可得()2222222220b axa cx a c ab +++-=；所以可得22222121222222,a c a c a b x x x x b a b a-+=-=++；所以21222ax x b a -=+易知2ABF △的面积21211221212221122S F F y a F F y cc y y c x b x =+=-=+=-即可得2ABF△的面积是222ca b+，故D 正确.故选：ACD【点睛】方法点睛：在求解圆锥曲线与直线的位置关系时，特别是在研究跟焦点三角形有关的问题时，经常将直线和圆锥曲线联立并利用韦达定理求解，注意变量间的相互转化即可.11.已知斜率为k 的直线交抛物线()220y px p =>于()11,A x y 、()22,B x y 两点，下列说法正确的是（）A.12x x 为定值B.线段AB 的中点在一条定直线上C.11OA OBk k +为定值（OA k 、OB k 分别为直线OA 、OB 的斜率）D.AF BF为定值（F 为抛物线的焦点）【答案】BC 【解析】【分析】分析可知，0k ≠，设直线AB 的方程为y kx m =+，将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理可判断A 选项；求出线段AB 中点的纵坐标，可判断B 选项；利用斜率公式结合韦达定理可判断C 选项；利用抛物线的焦半径公式可判断D 选项.【详解】若0k =，则直线AB 与抛物线()220y px p =>只有一个交点，不合乎题意，则0k ≠，设直线AB 的方程为y kx m =+，联立22y kx m y px=+⎧⎨=⎩可得()222220k x km p x m +-+=，()2222224480km p k m p kmp ∆=--=->，对于A 选项，2122m x x k=不一定是定值，A 错；对于B 选项，设线段AB 的中点为()00,P x y ，则12022x x p kmx k +-==，00p km p y kx m m k k-=+=+=为定值，故线段AB 的中点在定直线py k =上，B 对；对于C 选项，()121212122222111222OA OB p kmmk x x m x x y y k k k y y p p p k -+++++=+====为定值，C 对；对于D 选项，21222222222p km pp x x AF k p p BF x x -+-+==++不一定为定值，D 错.故选：BC.12.已知圆22:(2)1M x y +-=，点P 为x 轴上一个动点，过点P 作圆M 的两条切线，切点分别为A ，B ，直线AB 与MP 交于点C ，则下列结论正确的是（）A.四边形PAMB 周长的最小值为2B.||AB 的最大值为2C.若(1,0)P ，则三角形PAB 的面积为85D.若(,0)4Q ，则||CQ 的最大值为94【答案】CD 【解析】【分析】首先设||MP t =，对于选项A，根据题意，表达四边形PAMB 周长关于t 的函数，由t 的取值范围求函数的最小值可判断A 错误；对于选项B，根据等面积法，求出||AB 关于t 的函数关系，由t 的取值范围求函数的最大值可判断B 错误；对于选项C，根据题意，计算PAB 的底和高，求出面积判断C 正确；对于选项D，设动点(,0)P m ，求出切线AB 的方程与直线PM 的方程，二者联立消去m 得到二者交点C 的轨迹是圆，||CQ 的最大值为圆心1O 与Q 距离加半径，可判断D 正确．【详解】对于选项A，设||MP t =，则||||BP AP ===则四边形PAMB 周长为2，则当t 最小时周长最小，又t 最小值为2，所以四边形PABM 周长最小为2+，故A 错误；对于选项B，12||||2MAP PAMB S S MP AB ==△四边形，即1121||22t AB ⨯⨯=，所以||AB ==，因为2t ，所以)||AB ∈，故B 错误；对于选项C，因为(1,0)P ，所以||MP =t =，所以||AB ==，1||||2AC AB ==，||2AP ==，||PC ==所以三角形PAB 的面积为18||||25AB PC =，故C 正确；对于选项D，设(,0)P m ，()11,A x y ,则切线PA 的方程为()()11221x x y y +--=，又因为直线PA 过点(,0)P m ，代入可得()()112021x m y +--=化简得11230mx y -+=设()22,B x y ,同理可得22230mx y -+=，因此点,A B 都过直线230mx y -+=，即直线AB 的方程为230mx y -+=，MP 的方程为22y x m=-+，二者联立得，22230y x mmx y ⎧=-+⎪⎨⎪-+=⎩①②，由①式解出22x m y =-，代入②式并化简得227302x y y +-+=，配方得2271(416x y +-=，2y ≠，所以点C 的轨迹是以(70,4)为圆心，14为半径的圆，设其圆心为1O ，所以||CQ的最大值为1119||2444O Q R +==+=，故D 正确．故选：CD.【点睛】本题综合性较强，难度较大，具备运动变化的观点和函数思想是解题的关键，对于AB 选项，设变量||MP t =，用t 分别表达周长函数和距离函数求最值，对于D 选项，设出动点(),0P m ，分别表达直线AB 和MP 的方程，联立消去m ，得到动点C 的轨迹，进一步求解答案.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知实数0,0a b ><的取值范围是______.【答案】[)2,1--【解析】【分析】根据题意，设直线l ：0ax by +=的几何意义为，点(1,到直线l 的距离，即可求出取值范围.【详解】根据题意，设直线l ：0ax by +=，设点(1,A那么点(1,A 到直线l的距离为：d =，因为0,0a b ><，所以d =l 的斜率0ak b=->，当直线l的斜率不存在时，1d ==，所以1d >，当OA l ⊥时，max 2d OA ===，所以12d <≤，即12<≤，=21-≤<-，故答案为：[)2,1--.14.形如()0b y ax b x =+≠的函数图象均为双曲线，则双曲线4135y x x=-的一个焦点坐标为______.【答案】,515⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭或,515⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】先确定双曲线的渐近线、对称轴方程，确定焦点位置及实半轴a ，最后由渐近线与对称轴夹角正切值确定b ，利用双曲线性质求出焦点.【详解】由4135-x y =x 知，其两条渐近线分别为403xx =,y =，所以双曲线4135-x y =x 的两条对称轴为403xx =,y =的夹角平分线，令43x y =的倾斜角为0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则4tan 3θ=，且一条对称轴倾斜角为42πθ+，而22tan42tan 31tan 2θθθ==-，则22tan 3tan 2022θθ+-=，解得tan 22θ=-（舍去），1tan 22θ=，所以11tan122tan 31421tan 122θπθθ++⎛⎫+=== ⎪⎝⎭--，即一条对称轴为3y x =，故另一条对称轴为13y x =-，显然13y x =-与4135-x y =x有交点,,,515515⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即为双曲线的顶点，则双曲线的实半轴长3015a ==，而渐近线0x =与对称轴13y x =-夹角的正切值为3，3b a =，又因为3015=a ，所以303033155⨯=b =a =，由2222641553+=c =a +b =，设焦点为1,3m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则221433m m ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，所以305m =±，所以焦点坐标为,,,515515⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：,515⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭或,515⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.15.在椭圆2213x y +=上有点31,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，斜率为1的直线l 与椭圆交于不同的A ，B 两点（且不同于P ），若三角形ABO 的外接圆恰过点P ，则外接圆的圆心坐标为______.【答案】71,88⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【分析】根据题意得到():0AB y x b b =+≠，联立直线AB 与椭圆方程，利用韦达定理求得12x x +，12x x ，12y y +，12y y ；法一：先利用点斜式求得,OP AB 的中垂线方程，联立两者方程即可求得圆心C ，再由半径相等得到2222AC BC OC +=，利用两点距离公式，代入上述式子得到关于b 的方程，解之即可；法二：根据题意得到圆的方程，联立直线AB 与圆的方程，利用韦达定理求得12x x +，12x x ，进而得到,D E 关于b 的表达式，又由点P 在圆上得到关于b 的方程，解之即可.【详解】依题意，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线():0AB y x b b =+≠，联立2213y x bx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得2246330x bx b ++-=，所以1232x x b +=-，()212314b x x -=，则121212y y x b b b x ++=+=+，()()2121234b y y x b b x =+-=+，.法一：因为31,22P ⎛⎫⎪⎝⎭，所以1123302OP k -==-，OP 的中点坐标为3,414⎛⎫ ⎪⎝⎭，OP 中垂线的斜率为3-，所以OP 中垂线方程为113:344l y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，即532y x =-+，因为AB 的斜率为1，AB 的中点坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭，即31,44b b ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以AB 中垂线的斜率为1-，则AB 中垂线方程213:44l y b x b ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，即12y x b =--，联立53212y x y x b ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，解得54354b x b y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=-⎪⎩，则圆心坐标535,44b b C ++⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为22222AC BC OC AC +==，所以222222112253515355354424444b b b b b b x y x y ++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎥⎫⎛⎫+=-+++-++ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭⎡⎤⎢⎥⎢⎣⎦⎝，整理得()()22221212121253522044b b x x x x y y y y ++⎛⎫⎛⎫+-+++++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为1232x x b +=-，()212314b x x -=，1212y y b +=，21234b y y -=，所以()22222112123624x x x x b x x +=+-+=，()2222211212624y b y y y y y -+=+-+=，则2203563614242532244b b b b b b ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++= ⎪⎪- ⎪+⎝⎭⎝+-⨯⎭⎝⎭，整理得22530b b ++=，解得32b =-，1b =-，当1b =-时，直线:1AB y x =-，显然直线AB 过P 点，舍去，当32b =-时，()2299361633361633044b b ⎛⎫∆=--=⨯-⨯-> ⎪⎝⎭，直线3:2AB y x =-，满足题意，又535,44b b C ++⎛⎫-⎪⎝⎭，所以此时圆心坐标71,88C ⎛⎫- ⎪⎝⎭.法二：因为圆过原点()0,0O ，所以设圆的方程为220x y Dx Ey +++=()220D E +>，联立22y x b x y Dx Ey =+⎧⎨+++=⎩，消去y ，得()22220x b D E x b Eb +++++=，所以1222b D E x x +++=-，2122b Ebx x =+，又1232x x b +=-，()212314b x x -=，所以3222b D E b ++-=-，()223142b b Eb -+=，所以1322D b b =+，1322E b b=-，因为P 点在圆上，所以913104422D E +++=，即530D E ++=，所以13135302222b b b b ⎛⎫⎛⎫+++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得22530b b ++=，解得32b =-，1b =-，当1b =-时，直线:1AB y x =-，显然直线AB 过P 点，舍去，当32b =-时，1332722234D ⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1332122234E ⎛⎫⎛⎫=⨯--⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，对于方程2246330x bx b ++-=，有()2299361633361633044b b ⎛⎫∆=--=⨯-⨯-> ⎪⎝⎭，对于方程()22220x b D E x b Eb +++++=，即29152028x x -+=，有2915Δ42028⎛⎫=--⨯⨯> ⎪⎝⎭，满足题意，又因为外接圆的圆心坐标为,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以圆心为71,88⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为：71,88⎛⎫-⎪⎝⎭.【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线位置关系的题目，往往需要联立两者方程，利用韦达定理解决相应关系，其中的计算量往往较大，需要反复练习，做到胸有成竹.16.已知直线l 过抛物线C ：24y x =的焦点F ，与抛物线交于A 、B 两点，线段AB 的中点为M ，过M 作MN 垂直于抛物线的准线，垂足为N ，则2324NF AB +的最小值是______.【答案】【解析】【分析】设直线:1AB x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立抛物线方程得到关于y 的一元二次方程，得到韦达定理式，求出,M N 坐标，利用弦长公式和两点距离公式得到AB 和NF 的表达式，再利用基本不等式即可得到答案.【详解】显然当直线AB 斜率为0时，不合题意；故设直线:1AB x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立抛物线方程有2440y my --=，则216160m ∆=+>，124y y m +=，124y y =-，则1222M y y y m +==，111x my =+，221x my =+，则()21221224221222M m y y x x m x m ++++====+，则()221,2M m m +，准线方程为=1x -，()1,0F ，则()1,2N m -，()212||41AB y m =-=+，()()()22222||1124441||[4,)NF m m m AB =++-=+=+=∈+∞，所以232||32||||4||4NF AB AB AB +=+=，当且仅当32||||4AB AB =，即()2||41AB m =+=时等号成立，此时m =故答案为：【点睛】关键点点睛：本题的关键是采取设线法联立抛物线方程得到韦达定理式，再利用中点公式得到,M N 点坐标，最后利用弦长公式和两点距离公式得到相关表达式，最后利用基本不等式即可得到答案.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知点()1,0A -和点B 关于直线l ：10x y +-=对称．（1）若直线1l 过点B ，且使得点A 到直线1l 的距离最大，求直线1l 的方程；（2）若直线2l 过点A 且与直线l 交于点C ，ABC 的面积为2，求直线2l 的方程．【答案】（1）30x y +-=（2）0y =或=1x -【解析】【分析】根据对称先求出B 点坐标（1）过点B 到点A 距离最大的直线与直线AB 垂直，从而求出直线方程；（2）画出图像，可求出点C 到直线AB 的距离，又点C 在直线l 上，可设出C 点的坐标，利用点到直线的距离公式求出C ，又直线过点A ，利用两点A 、C 即可求出直线2l 的方程.【详解】解：设点(),B m n 则1102211m n n m -+⎧+-=⎪⎪⎨⎪=⎪+⎩，解得：12m n =⎧⎨=⎩，所以点()1,0A -关于直线l ：10x y +-=对称的点的坐标为()1,2B （1）若直线1l 过点B ，且使得点A 到直线1l 的距离最大，则直线1l 与过点AB 的直线垂直，所以1k =-，则直线1l 为：()21y x -=--，即30x y +-=.（2）由条件可知：22AB =，ABC 的面积为2，则ABC 的高为22222h ⨯==，又点C 在直线l 上，直线l 与直线AB 垂直，所以点C 到直线AB 的距离为2.直线AB 方程为1y x =+，设(),C a b ，则有122a b -+=，即1b a =-或3b a =+又1b a =-，解得：10a b =⎧⎨=⎩或12a b =-⎧⎨=⎩则直线2l 为：0y =或=1x -【点睛】本题考查求点关于直线的对称点，考查直线与直线相交的综合应用..方法点睛：（1）设出交点坐标（2）两点的中点在直线上，两点连线与原直线垂直，列方程组；（3）解出点坐标.18.已知圆221:(1)5C x y +-=，圆222:420C x y x y +-+=.（1）求圆1C 与圆2C 的公共弦长；（2）求过两圆的交点且圆心在直线241x y +=上的圆的方程.【答案】（1）（2）22317222x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】【分析】（1）将两圆方程作差可求出公共弦的方程，然后求出圆心1C 到公共弦的距离，再利用弦心距，半径和弦的关系可求得答案，（2）解法一：设过两圆的交点的圆为()()222242240,1x y x y x y y λλ+-+++--=≠-，求出圆心坐标代入241x y +=中可求出λ，从而可求出圆的方程，解法二：将公共弦方程代入圆方程中求出两圆的交点坐标，设所求圆的圆心坐标为(),a b ，然后列方程组可求出,a b ，再求出圆的半径，从而可求出圆的方程.【小问1详解】将两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在的直线方程，即()()222242240x y x y x y y +-+-+--=，化简得10x y --=，所以圆1C 的圆心()0,1到直线10x y --=的距离为d ==，则22215232AB r d ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，解得AB =所以公共弦长为【小问2详解】解法一：设过两圆的交点的圆为()()222242240,1x y x y x y y λλ+-+++--=≠-，则2242240,1111x y x y λλλλλλ-+-+-=≠-+++；由圆心21,11λλλ-⎛⎫- ⎪++⎝⎭在直线241x y +=上，则()414111λλλ--=++，解得13λ=，所求圆的方程为22310x y x y +-+-=，即22317222x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.解法二：由（1）得1y x =-，代入圆222:420C x y x y +-+=，化简可得22410x x --=，解得22x ±=；当22x +=时，2y =；当22x -=时，2y =-；设所求圆的圆心坐标为(),a b ，则2222222222241a b a b a b ⎧⎛⎛⎛⎛-⎪-+-=-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎨⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪+=⎩，解得3212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩；所以222321722222r ⎛⎛+=-+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；所以过两圆的交点且圆心在直线241x y +=上的圆的方程为22317222x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭19.已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的焦距为10，且经过点M ．A ，B 为双曲线E 的左、右顶点，P 为直线2x =上的动点，连接PA ，PB 交双曲线E 于点C ，D （不同于A ，B ）．（1）求双曲线E 的标准方程．（2）直线CD 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．【答案】（1）221169x y -=（2）直线CD 过定点，定点坐标为(8,0)．【解析】【分析】（1）方法一：将M 代入方程，结合222+=a b c 求得,a b 得双曲线方程；方法二：根据双曲线定义求得a 得双曲线方程.（2）方法一：设CD 的方程为x my t =+，与双曲线联立，由A 点与C 点写出AC 方程，求出p y ，由B 点与D 点写出BD 方程，求出p y ，利用两个p y 相等建立关系式，代入韦达定理可求得t 为定值.方法二：设CD 的方程为,(2,)x my t P n =+，与双曲线联立，由P 点与A 点写出AC 方程，由P 点与B 点写出BD 方程，将()()1122,,,C x y D x y 代入以上两方程，两式相比消去n 建立关系式，代入韦达定理可求得t 为定值.【小问1详解】法一．由222225,64271,a b ab ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩解得2216,9a b ==，∴双曲线E 的标准方程为221169x y -=．法二．左右焦点为()()125,0,5,0F F -，125,28c a MF MF ∴==-=，22294,a b c a ∴===-，∴双曲线E 的标准方程为221169x y -=．【小问2详解】直线CD 不可能水平，故设CD 的方程为()()1122,,,,x my t C x y D x y =+，联立221169x my t x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩消去x 得()()2222916189144=0,9160m y mty t m -++--≠，12218916mt y y m -∴+=-，21229144916t y y m -=-，122916y y m -=±-，AC 的方程为11(4)4y y x x =++，令2x =，得1164p y y x =+，BD 的方程为22(4)4y y x x =--，令2x =，得2224p y y x -=-，1221112212623124044y y x y y x y y x x -∴=⇔-++=+-()()21112231240my t y y my t y y ⇔+-+++=()()1212431240my y t y t y ⇔+-++=()()()()12121242480my y t y y t y y ⇔+-++--=()222249144(24)1824(8)9160916916916m t t mt t t m m m m ---⇔-±=---3(8)(0m t t ⇔-±-=(8)30t m ⎡⇔-=⎣，解得8t =3m =±，即8t =或4t =（舍去）或4t =-（舍去），∴CD 的方程为8x my =+，∴直线CD 过定点，定点坐标为(8,0)．方法二．直线CD 不可能水平，设CD 的方程为()()1122,,,,,(2,)x my t C x y D x y P n =+，联立22,1,169x my t x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去x 得()2229161891440m y mty t -++-=，2121222189144,916916mt t y y y y m m --∴+==--，AC 的方程为(4)6n y x =+，BD 的方程为(4)2n y x =--，,C D 分别在AC 和BD 上，()()11224,462n n y x y x ∴=+=--，两式相除消去n 得()211211223462444x y y y x x x y ---=⇔+=+-，又22111169x y -=，()()211194416x x y ∴+-=．将()2112344x y x y --+=代入上式，得()()1212274416x x y y ---=⇔()()1212274416my t my t y y -+-+-=()()221212271627(4)27(4)0m y y t m y y t ⇔++-++-=⇔()22222914418271627(4)27(4)0916916t mt m t m t m m --++-+-=--．整理得212320t t +=-，解得8t =或4t =（舍去）．∴CD 的方程为8x my =+，∴直线CD 过定点，定点坐标为(8,0)．【点睛】圆锥曲线中直线过定点问题通法，先设出直线方程y kx m =+，通过韦达定理和已知条件若能求出m 为定值可得直线恒过定点，若得到k 和m 的一次函数关系式，代入直线方程即可得到直线恒过定点.20.已知双曲线22:154x y Γ-=的左右焦点分别为1F ，2F ，P 是直线8:9l y x =-上不同于原点O 的一个动点，斜率为1k 的直线1PF 与双曲线Γ交于A ，B 两点，斜率为2k 的直线2PF 与双曲线Γ交于C ，D 两点．（1）求1211k k +的值；（2）若直线OA ，OB ，OC ，OD 的斜率分别为OA k ，OB k ，,OC k ，OD k ，问是否存在点P ，满足0OA OB OC OD k k k k +++=，若存在，求出P 点坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）94-；（2）存在98(,)55P -或98(,55P -满足题意．【解析】【分析】（1）设出(9,8)P λλ-，然后计算1211k k +即可得；（2）假设存在，设设00(9,8)P x x -，写出直线AB 方程，设1122(,),(,)A x y B x y ，直线方程代入双曲线方程整理后应用韦达定理得1212,x x x x +，代入到式子OA OB k k +中，同理设3344(,),(,)C x y D x y ，直线CD 方程代入双曲线方程，应用韦达定理，代入计算OC OD k k +，然后由条件0OA OB OC OD k k k k +++=求得0x 得定点坐标．【小问1详解】由已知1(3,0)F -，2(3,0)F ，设(9,8)P λλ-，(0)λ≠，∴1839k λλ=--，2893k λλ-=-，121139939884k k λλλλ---+=+=--；【小问2详解】设00(9,8)P x x -，（00x ≠），∴010893x k x -=+，∴直线AB 的方程是008(3)93x y x x -=++，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，008(3)93x y x x -=++代入双曲线方程得2220203204(69)20(93)x x x x x -++=+，即222200000(549)480(112527045)0x x x x x x x ++--++=，2012200480549x x x x x +=++，20012200112527045549x x x x x x ++=-++，00121212012012883()33(2)[29393OA OB x x y y x x k k x x x x x x x x ++=+=-++=-+++2200002200000083480832(2))93112527045932561x x x x x x x x x x ⋅=-+=--+---+++2000220000082(31)16(31)9325612561x x x x x x x x -+-+=⋅=+++++，同理CD 的方程为008(3)93x y x x -=--，设33(,)C x y ，44(,)D x y ，仿上，直线方程代入双曲线方程整理得：222200000(549)4801125270450x x x x x x x -++-+-=，2034200480549x x x x x +=--+，20034200112527045549x x x x x x -+-=-+，∴2303400423403400083()83480[2](2)9393112527045OC OD y x x x x x y k k x x x x x x x x -+-⋅+=+=-=----+20000220000083216(31)(2)9325613(2561)x x x x x x x x x ---=-=--+-+．由0OA OB OC OD k k k k +++=得00022000016(31)16(31)025613(2561)x x x x x x x -+--+=++-+，整理得200(251)0x x -=，∵00x ≠，∴015x =±，∴存在98(,)55P -或98(,)55P -满足题意．【点睛】方法点睛：是假设定点存在，题中设00(9,8)P x x -，写出直线方程，设出直线与双曲线的交点坐标如1122(,),(,)x y x y ，直线方程代入双曲线方程整理后应用韦达定理得1212,x x x x +，代入到式子OA OB k k +中，最后利用已知条件求得0x ，若求不出结果说明不存在．本题考查了学生的逻辑能力，运算求解能力，属于困难题．21.抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，准线为,l A 为C 上的一点，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于,B D 两点，（1）若90,BFD ABD ∠= 的面积为p 的值及圆F 的方程（2）若直线y kx b =+与抛物线C 交于P ，Q 两点，且OP OQ ⊥，准线l 与y 轴交于点S ，点S 关于直线PQ 的对称点为T ，求||FT 的取值范围.【答案】（1）2p =，圆F 的方程为()2218x y +-=（2）(],4p p 【解析】【分析】（1）由焦半径和圆的半径得到2A p y FA FD +===，结合ABD △面积求出2p =，圆F 的方程为()2218x y +-=；（2）表达出0,2p S ⎛⎫- ⎪⎝⎭关于直线PQ 的对称点的坐标，利用垂直关系列出方程，求出2b p =，从而利用两点间距离公式表达出(],2FT p p ==.【小问1详解】由对称性可知：90,BFD FS BS DS p ∠=︒===，设(),A A A x y ，由焦半径可得：2A p y FA FD +===，112222ABD A p S BD y p ⎛⎫=⋅⋅+=⨯= ⎪⎝⎭ ，解得：2p =圆F 的方程为：()2218x y +-=【小问2详解】由题意得：直线PQ 的斜率一定存在，其中0,2p S ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设0,2p S ⎛⎫- ⎪⎝⎭关于直线PQ 的对称点为(),T m n ，则12222p n m k p n m k b ⎧+⎪=-⎪⎪⎨⎪-⎪=⋅+⎪⎩，解得：221212b p m k k b p p n k +⎧=-⎪+⎪⎨⎪+=-⎪+⎩，联立y kx b =+与22x py =得：2220x pkx pb --=，设()()1122,,,P x y Q x y ，则12122,2x x pk x x pb +==-，则()()()2212121212y y kx b kx b k x x kb x x b =++=+++，则()()22121212121x x y y k x x kb x x b+=++++()222221220pb k pk b b pb b -+++=-+=，解得：0b =（此时O 与P 或Q 重合，舍去）或2b p =，所以FT =(],4p p ==，【点睛】圆锥曲线相关的取值范围问题，一般思路为设出直线方程，与圆锥曲线联立，得到两根之和，两根之积，由题干条件列出方程，求出变量之间的关系，再表达出弦长或面积等，结合基本不等式，导函数，函数单调性等求出最值或取值范围.22.如图，已知点P 是抛物线24C y x =：上位于第一象限的点，点()20A -，，点,M N 是y 轴上的两个动点(点M 位于x 轴上方)，满足,PM PN AM AN ⊥⊥，线段PN 分别交x 轴正半轴、抛物线C 于点,D Q ，射线MP 交x 轴正半轴于点E ．（1）若四边形ANPM 为矩形，求点P 的坐标；（2）记,DOP DEQ △△的面积分别为12S S ，，求12S S ⋅的最大值．【答案】（1）(2,P（2）192【解析】【分析】（1）根据矩形性质，可得对角线互相平分，即AP 的中点在y 轴上，然后点P 在抛物线，即可得(2,P ；（2）联立直线PQ 方程与抛物线C ，根据韦达定理求得,P Q 两点的纵坐标关系，再根据,PM PN AM AN ⊥⊥条件判断MOE △与DON △相似，进而求得,D E 两点的坐标关系，再表示并化简12S S ⋅为关于m 的函数，根据,D E 两点的位置关系，以线段DE 为直径的圆K 与抛物线C 有交点得出关于m 的约束，即可确定12S S ⋅中m 取值范围，最后可得12max ()(4192S S g ⋅=-=-【小问1详解】当四边形ANPM 为矩形时，AP 的中点在y 轴上，则有：2P A x x =-=故(2,P -【小问2详解】设点(,0)D m ，直线PQ 方程：x m ty -=，显然有0,0m t >≠联立直线PQ 与抛物线C ，得：24x m ty y x-=⎧⎨=⎩消去x 得：2440y ty m --=则有：4P Q y y m⋅=-由AM AN ⊥，得：2||||||4OM ON OA ⋅==又由PM PN ⊥，可得：△MOE ∽△DON 则有：||||||||OM OE OD ON =从而||||||||4OE OD OM ON ⋅=⋅=，即4E D x x ⋅=所以4E x m =，进而有：4||E D DE x x m m=-=-结合||,4P Q OD m y y m =⋅=-（注：由E D x x >，得4m m >，故有02m <<）可得：12111(||||)(||||)||||||224P Q P Q S S OD y DE y OD DE y y ⋅=⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅314()444m m m m m m=⋅⋅-⋅=-+又由题意知，存在抛物线上的点P 满足条件，即以线段DE 为直径的圆K 与抛物线C 有交点，且易得圆K 方程：24()()0x m x y m-⋅-+=联立抛物线C 与圆K ，得224()()04x m x y m y x⎧-⋅-+=⎪⎨⎪=⎩消去y 得：24(4)40x m x m-+-+=由0∆≥，结合02m <<，可解得：04m <≤-令3()4g m m m =-+，求导可知()g m在上单调递增又43-≤=故有：()g m在(0,4-上单调递增因此，12max ()(4192S S g ⋅=-=【点睛】解答直线与抛物线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系；在求解相关最值问题时，通常是先建立目标函数，然后应用函数的知识来解决问题；。

衢州市2024年6月高二年级教学质量检测试卷数学考生须知：1.全卷分试卷和答题卷.考试结束后，将答题卷上交.2.试卷共4页，有4大题，19小题.满分150分，考试时间120分钟.3.请将答案做在答题卷的相应位置上，写在试卷上无效.一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目的要求.1. 复数2(1i)+=（ ）A. 22i- B. 22i + C. 2i- D. 2i2. 设随机变量316,4X B ⎛⎫⎪⎝⎭，则X 的数学期望为（ ）A. 3B. 6C. 9D. 123. 已知直线m 和平面α，则“m α⊄”是“直线m 与平面α无公共点”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 某圆锥的轴截面是腰长为1的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为（ ）AB.π2C. πD.5.已知向量(a =- ，且()a ab ⊥+ ，则b 在a 上的投影向量为（ ）A.)1-B. 1⎫-⎪⎪⎭C. (1,D. 1,2⎛ ⎝6. 在ABC 中，π3B =，D 是AB的中点，CD =，则2AB BC +的取值范围为（ ）A.B. (C. (D. (0,7. 若曲线()1ln y ax x =+有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是（ ）A. 210,e ⎛⎫⎪⎝⎭B. ()20,eC. 21,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D. 221,e e ⎛⎫⎪⎝⎭8. 已知曲线1C ：2y x =，曲线2C ：2231022x y x y ++-=，两曲线在第二象限交于点P ，1C ，2C 在P .处的切线倾斜角分别为α，β，则（ ）A. 2π3αβ+=B.3π4αβ+=C.5π4αβ+=D.π2αβ-=二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 下列论述正确的是（ ）A. 样本相关系数0r =时，表明成对样本数据间没有线性相关关系B. 由样本数据得到的经验回归直线y bx a =+$$$必过中心点(),x y C. 用决定系数2R 比较两个回归模型拟合效果时，2R 越大，表示残差平方和越大，模型拟合效果越差D. 研究某两个属性变量时，作出零假设0H 并得到2×2列联表，计算得20.05x χ≥，则有95%的把握能推断0H 不成立10. 已知F 是双曲线22145x y -=右焦点，P 为其左支上一点，点()0,6A -，则（ ）A. 双曲线焦距为6B. 点F 到渐近线的距离为2C. PA PF +的最小值为4+D. 若8PF =，则OPF △的面积为11. 已知函数()f x 的定义域为R ，若()()21322f x f x -+-=，且()2f x -为偶函数，()22f =，则（ ）A. ()()4f x f x +=B. ()20240f =C. ()()392f f += D.()25125i f i ==∑三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.12. 5(2)x y -的展开式中23x y 的系数是______.(用数字作答)13. 甲、乙、丙、丁四人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外三个人中的任何一个人.则4次传球的不同方法总数为_________（用数字作答）；4次传球后球在甲手中的概率为_________.14. 如图，等腰直角三角形ABC 中，ACBC ⊥，4AB =，D 是边AC 上一动点（不包括端点）.将的的的ABD △沿BD 折起，使得二面角1A BD C --为直二面角，则三棱锥1A BCD -的外接球体积的取值范围是_________.四、解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.15. 已知数列{}n a 为等比数列，1a ，14，4a 成等差数列，且524a a a =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n na 的前n 项和n S .16. 如图，在棱长为1的正四面体A BCD -中，E 是AB 的中点，F ，G 分别在棱AD 和CD 上（不含端点），且//FG 平面ABC .（1）证明：//AC 平面EFG ；（2）若F 为AD 中点，求平面EFG 截该正四面体所得截面的面积；（3）当直线EG 与平面BCD 所成角为π6时，求DG .17. 已知函数()e xf x ax b =--.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()0f x ≥，求ab 的最大值.18. 某学校的数学节活动中，其中有一项“抽幸运数字”擂台游戏，分甲乙双方，游戏开始时，甲方有2张互不相同的牌，乙方有3张互不相同的牌，其中的2张牌与甲方的牌相同，剩下一张为“幸运数字牌”.游戏规则为：①双方交替从对方抽取一张牌，甲方先从乙方中抽取；②若抽到对方的牌与自己的某张牌一致，则将这两张牌丢弃；③最后剩一张牌（幸运数字牌）时，持有幸运数字牌的那方获胜.假设每一次从对方抽到任一张牌概率都相同.奖励规则为：若甲方胜可获得200积分，乙方胜可获得100积分.（1）已知某一轮游戏中，乙最终获胜，记X 为甲乙两方抽牌次数之和.（ⅰ）求()2P X =；（ⅱ）求()2P X k =，*k ∈N ；（2）为使获得积分的期望最大，你会选择哪一方进行游戏？并说明理由.19. 已知椭圆C ：()222210y x a b a b +=>>，斜率为12的直线l 与y 轴交于点P ，l 与C 交于A ，B 两点，T 是A 关于x 轴的对称点.当P 与原点O 重合时，ABT 面积为89.（1）求C 的方程；（2）当P 异于O 点时，记直线BT 与x 轴交于点Q ，求OPQ △周长的最小值.的衢州市2024年6月高二年级教学质量检测试卷数学考生须知：1.全卷分试卷和答题卷.考试结束后，将答题卷上交.2.试卷共4页，有4大题，19小题.满分150分，考试时间120分钟.3.请将答案做在答题卷的相应位置上，写在试卷上无效.一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目的要求.1. 复数2(1i)+=（ ）A. 22i - B. 22i + C. 2i- D. 2i【答案】D 【解析】【分析】根据复数乘法计算.【详解】22(1i)12i i 12i 12i +=++=+-=.故选：D2. 设随机变量316,4X B ⎛⎫⎪⎝⎭，则X 的数学期望为（ ）A. 3 B. 6C. 9D. 12【答案】D 【解析】【分析】根据二项分布的变量的期望公式，代入运算得解.【详解】316,4X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭Q :，()316124E X np ∴==⨯=.故选：D.3. 已知直线m 和平面α，则“m α⊄”是“直线m 与平面α无公共点”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据直线与平面的位置关系，结合充分，必要条件关系判断.【详解】因为m α⊄包含m α∥和直线m 与平面α相交两种情况，因此若m α⊄，则直线m 可以与平面α无公共点也可以与平面α有一个公共点，因此“m α⊄”是“直线m 与平面α无公共点”的必要不充分条件. 故选：B ．4. 某圆锥的轴截面是腰长为1的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为（ ）A.B.π2C. πD.【答案】A 【解析】【分析】先求出该圆锥的底面半径和母线长，再求圆锥的侧面积得解.=，母线长为1，所以该圆锥的表面积为12π12⨯⨯=.故选：A.5.已知向量(a =- ，且()a ab ⊥+ ，则b 在a上投影向量为（ ）A.)1-B. 1⎫-⎪⎪⎭C. (1,D. 1,2⎛ ⎝【答案】C 【解析】【分析】先根据条件求出a b ⋅ ，再根据投影向量的概念计算b 在a上的投影向量.【详解】由(a =- ，得：2a =.又()a ab ⊥+ ⇒()0a a b ⋅+= ⇒24a b a ⋅=-=- .所以b 在a 上的投影向量为：(41,2a b a aa ⋅-⋅==.故选：C6. 在ABC 中，π3B =，D 是AB的中点，CD =，则2AB BC +的取值范围为（ ）的A.B. (C. (D. (0,【答案】C 【解析】【分析】根据题意，由正弦定理可得2sin ,2sin BD BCD BC BDC =∠=∠，即可得到π26AB BC BCD ⎛⎫+=∠+ ⎪⎝⎭，再由正弦型函数的值域，代入计算，即可求解.【详解】因为π3B =，CD =，在BCD △中，由正弦定理可得2sin sin sin BD BC CDBCD BDC B====∠∠∠，则2sin ,2sin BD BCD BC BDC =∠=∠，且D 是AB 的中点，则2224sin 4sin AB BC BD BC BCD BDC +=+=∠+∠，又π3B =，则2π3BCD BDC ∠=-∠，则224sin π4sin 3AB BC BDC BDC ⎛⎫+=-∠+∠⎪⎝⎭14sin sin 2BCD BCD BCD ⎫=∠+∠+∠⎪⎪⎭34sin 2BCD BCD ⎛⎫=∠∠ ⎪ ⎪⎝⎭π6BCD ⎛⎫=∠+ ⎪⎝⎭，又20π3BCD ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，，则ππ5π666BCD ⎛⎫∠+∈ ⎪⎝⎭，，所以π1sin 162BCD ⎛⎫⎛⎤∠+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，，则(π6BCD ⎛⎫∠+∈ ⎪⎝⎭，即2AB BC +的取值范围为(.故选：C7. 若曲线()1ln y ax x =+有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是（ ）A. 210,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B. ()20,eC. 21,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D. 221,e e ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】先设切点()()000,1ln x ax x +，再根据导数的几何意义求出切线斜率，利用点斜式得到切线方程；再根据切线过点()0,0，得到0,x a 的关系，利用0x 有两解求a 的取值范围.【详解】设切点()()000,1ln x ax x +，又()11ln 1ln y a x ax a x a x x'=++⋅=++，所以切线斜率为：001ln k a x a x =++.由点斜式，切线方程为：()001ln y ax x -+=()0001ln a x a x x x ⎛⎫++- ⎪⎝⎭.因为切线过点()0,0，所以()001ln ax x -+=()0001ln 0a x a x x ⎛⎫++- ⎪⎝⎭.所以：00ln 10ax x -+=.因为过原点的切线有两条，所以关于x 方程ln 10ax x -+=有两解.由ln 10ax x -+=（0x >）⇒ln 1x a x-=，设()ln 1x h x x-=，则()()221ln 12ln x x x x h x x x ⋅---'==，由()0h x '>得2ln 0x ->⇒2e x <，所以()h x 在()20,e单调递增，在()2e ,+∞单调递减，所以()221e e h =，且当e x >时，()0h x >.所以ln 1x a x -=有两解，则210ea <<.故选：A8. 已知曲线1C ：2y x =，曲线2C ：2231022x y x y ++-=，两曲线在第二象限交于点P ，1C ，2C 在P 处的切线倾斜角分别为α，β，则（ ）A. 2π3αβ+= B.3π4αβ+=C.5π4αβ+=D.π2αβ-=【答案】B 【解析】【分析】易知()1,1P -，利用导数的几何意义可求得tan 2α=-，再根据圆的切线求法可得1tan 3β=，再根据三角恒等变换可判断B 正确.【详解】联立22231022y x x y x y ⎧=⎪⎨++-=⎪⎩，得42230x x x ++=，即()3230x x x ++=，可得()()212230x x x x +-+=，解得10x =，21x =-，可得()1,1P -由1C ：2y x =可知2y x '=；所以曲线1C 在P 处的切线斜率为112tan x k y α=-'==-=|，π3π,24α⎛⎫∈⎪⎝⎭曲线2C 可化为22315448x y ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其圆心为31,44⎛⎫- ⎪⎝⎭，()21143314PC k -==-⎛⎫--- ⎪⎝⎭，所以圆2C 在P 处的切线斜率为21tan 3k β==，π0,4β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π,π2αβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，()tan tan tan 11tan tan αβαβαβ++==--⋅，即3π4αβ+=，故B 正确，A 、C 错误，()()()123tan tan 71123αβαβ---=-==-+-⨯，故D 错误，故选：B.二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 下列论述正确的是（ ）A. 样本相关系数0r =时，表明成对样本数据间没有线性相关关系B. 由样本数据得到的经验回归直线y bx a =+$$$必过中心点(),x y C. 用决定系数2R 比较两个回归模型的拟合效果时，2R 越大，表示残差平方和越大，模型拟合效果越差D. 研究某两个属性变量时，作出零假设0H 并得到2×2列联表，计算得20.05x χ≥，则有95%的把握能推断0H 不成立【答案】ABD 【解析】【分析】对于A ：根据相关系数的性质分析判断；对于B ：根据经验回归方程过样本中心点分析判断；对于C ：根据决定系数的性质分析判断；对于D ：根据独立性检验思想分析判断.【详解】对于选项A ：样本相关系数r 的绝对值越大，线性相关性越强，所以样本相关系数0r =时，表明成对样本数据间没有线性相关关系，故A 正确；对于选项B ：经验回归直线y bx a =+$$$必过中心点(),x y ，故B 正确；对于选项C ：在回归分析中，2R 越大，残差平方和越小，模型拟合效果越好，故C 错误；对于选项D ：因为20.05x χ≥，根据独立性检验的思想可知有95%的把握能推断0H 不成立，故D 正确；故选：ABD.10. 已知F 是双曲线22145x y -=的右焦点，P 为其左支上一点，点()0,6A -，则（ ）A. 双曲线的焦距为6B. 点F 到渐近线的距离为2C. PA PF +的最小值为4+D. 若8PF =，则OPF △的面积为【答案】AC 【解析】【分析】根据双曲线的性质判断A ，利用点到直线的距离公式判断B ，利用双曲线的定义判断C ，求焦点三角形的面积，可判断D.的【详解】如图：由双曲线的标准方程22145x y -=，可知2a =，b =，所以3c ==，所以双曲线的焦距为：26c =，故A 正确；双曲线的渐近线为y x =20y ±=，点()3,0F 到渐近线的距离为：d ==，故B 错误；设双曲线的左焦点为F ',根据双曲线的定义：4PF PF -'=，所以PA PF +4PA PF ='++4AF ≥'+44=+=+，故C 正确；在PFF ' 中，由8PF =，844PF '=-=，6FF '=，由余弦定理得：222cos 2PF PF FF FPF PF PF ''+-=⋅''∠641636284+-=⨯⨯641636284+-=⨯⨯1116=，所以sin FPF '∠=，所以1842FPF S '=⨯⨯= 12OPF FPF S S '== ，故D 错误.故选：AC 11. 已知函数()f x 的定义域为R ，若()()21322f x f x -+-=，且()2f x -为偶函数，()22f =，则（ ）A. ()()4f x f x += B. ()20240f =C. ()()392f f += D. ()25125i f i ==∑【答案】BCD【分析】首先根据函数既是中心对称又是轴对称，求得函数的周期，判断A ，再根据函数周期和对称性求值，并求函数值，判断BCD.【详解】∵()()21322f x f x -+-=，∴()f x 关于()1,1对称∵()2f x -为偶函数，∴()f x 关于2x =-对称∴()f x 的周期()41212T ⎡⎤=--=⎣⎦，故A 错；()()20244f f =-（∵()f x 的周期为12）()()40f f -=（∵()f x 关于2x =-对称）()()0220f f =-=（∵()f x 关于()1,1对称），故B 正确；()()93f f =-（∵()f x 的周期为12）()()31f f -=-（∵()f x 关于2x =-对称）()()123f f -=-（∵()f x 关于()1,1对称）()()132f f -+=，即()()932f f +=，故C 正确；∵()f x 的周期为12∴()()()()()()2313141525f f f f f f ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+，()()312f f +-=，又()()111f f -=，所以()()3112f f +=，同理()()4102f f +=，()()592f f +=，()()682f f +=，()()752f f +-=，又()()57f f -=，所以()272f =，即()71f =，由()()21322f x f x -+-=，令1x =，得()212f =，()11f =，()()1200f f ==，所以()()()()123...1212f f f f ++++=，所以()()()1314...2412f f f +++=，()()2511f f ==，()25124125i f i ==+=∑，故D 正确.【点睛】关键点点睛：本题的关键是通过对称性判断函数的周期.三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.12. 5(2)x y -的展开式中23x y 的系数是______.(用数字作答)【答案】40-【解析】【分析】写出二项展开式的通项，再根据通项赋值即可得展开式中23x y 的系数.【详解】5(2)x y -的展开式的通项()()()555155C 2C 21,0,1,2,5r r r r r r r r r T x y x y r ---+=-=⋅⋅-= 所以展开式中23x y 的系数是()3325C 2140⋅⋅-=-.故答案为：40-.13. 甲、乙、丙、丁四人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外三个人中任何一个人.则4次传球的不同方法总数为_________（用数字作答）；4次传球后球在甲手中的概率为_________.【答案】①. 81 ②. 727【解析】【分析】先求出4次传球的方法总数，再求出4次传球后球在甲手中的方法总数，设n A 表示经过第n 次传球后球在甲手中，设n 次传球后球在甲手中的概率为n P ，依题意利用全概率公式得到11133n n P P +=-，即可得到14n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以14-为首项，13-为公比的等比数列，从而求出n P ，再将4n =代入计算可得.【详解】由题意可知，4次传球总的传球路线种数为4381=种，设n A 表示经过第n 次传球后球在甲手中，设n 次传球后球在甲手中的概率为n P ，1,2,3,n = ，则有10P =，111n n n n n A A A A +++=+，所以()()()11111n n n n n n n n n P P A A A A P A A P A A +++++=+=+()()()()11||n n n n n n P A P A A P A P A A ++=⋅+()()1110133n n n P P P =-⨯+⨯=-，即11133n n P P +=-，所以1111434n n P P +⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，的又111044P -=-≠，所以14n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以14-为首项，13-为公比的等比数列，所以1111443n n P -⎛⎫-=-⨯- ⎪⎝⎭，即1111443n n P -⎛⎫=-⨯- ⎪⎝⎭，当4n =时34111744327P ⎛⎫=-⨯-= ⎪⎝⎭.故答案为：81，727.14. 如图，等腰直角三角形ABC 中，AC BC ⊥，4AB =，D 是边AC 上一动点（不包括端点）.将ABD △沿BD 折起，使得二面角1A BD C --为直二面角，则三棱锥1A BCD -的外接球体积的取值范围是_________.【答案】32π3⎛⎝【解析】【分析】根据两平面互相垂直判断外接球球心的位置，再由已知条件计算出球半径表达式，即可求出体积取值范围.【详解】因为BCD △是直角三角形，所以其外接圆的圆心在Rt BCD 的斜边BD 上，即BD 是该圆的直径，又因为平面1A BD ⊥平面BCD ，所以平面1A BD 必过球心，外接球半径即为1A BD 外接圆的半径，设球的半径为r ，球的体积为V ，在1A BD中，根据正弦定理得，12πsin sin 4BD BD r BA D ===∠，又因为()4BD ∈，所以(124,sin sin BD BD r BA D A ===∈∠，所以3432ππ33V r ⎛=∈ ⎝.故答案为：32π3⎛ ⎝【点睛】关键点点睛：本题关键是通过两平面垂直关系以及三棱锥的底面为直角三角形判断出球心的位置，判断球心在平面1A BD 上，得出球心为1A BD 外接圆的圆心，再求出BD 的取值范围即可解决问题.四、解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.15. 已知数列{}n a 为等比数列，1a ，14，4a 成等差数列，且524a a a =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n na 的前n 项和n S .【答案】（1）13n na -= （2）()21314n nn S -⋅+=【解析】【分析】（1）根据1a ，14，4a 成等差数列，得1428a a +=，再结合524a a a =及等比数列的通项公式，可求1,a q ，从而得到等比数列的通项公式.（2）利用“错位相减求和法”求数列的前n 项和.【小问1详解】由题意可知1428a a +=，即31128a a q +=，又∵43111a q a q a q =⋅，即211a a =，∴11a =或10a =（舍），∴3q =，∴1113n n n a a q --==.【小问2详解】令13n n n b na n -==⋅，∴12n n S b b b =++⋅⋅⋅+，即()121123133n n n S n n --=+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+⋅①∴()213323133n n n S n n -=+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+⋅②①-②得：∴21133121333333132n n n nn nn S n n n ----=+++⋅⋅⋅+-⋅=-⋅=-⋅-∴()21311132444n n n n n S -⋅+⎛⎫=-⋅+= ⎪⎝⎭.16. 如图，在棱长为1的正四面体A BCD -中，E 是AB 的中点，F ，G 分别在棱AD 和CD 上（不含端点），且//FG 平面ABC .（1）证明：//AC 平面EFG ；（2）若F 为AD 中点，求平面EFG 截该正四面体所得截面的面积；（3）当直线EG 与平面BCD 所成角为π6时，求DG .【答案】（1）证明见解析（2）14（3）12DG =【解析】【分析】（1）线面平行的判定定理和性质定理证明即可；（2）取BC 中点H ，则平面EFGH 即为平面EFG 截正四面体A BCD -的截面，求解即可.（3）方法一：取CD 中点M ，连接BM ，过点E 作BM 的垂线，垂足为N ，连接NG ，由线面角的定义可知EGN ∠即为直线EG 与平面BCD 所成角，求解即可；方法二：如图，取CD 中点M ，连接BM ，以M 为坐标原点，MD ，MB 所在直线分别为x ，y 轴，由向量法求解即可.【小问1详解】证明：因为//FG 平面ABC ，FG ⊂平面ACD ，平面ACD 平面ABC AC =，所以//FG AC ，又FG ⊂面EFG ，AC ⊂/面EFG ，所以//AC 平面EFG ；【小问2详解】因为E，F，G为AB，AD，CD中点，取BC中点H，则平面EFGH即为平面EFG截正四面体A BCD-的截面，且EFGH为边长是12的正方形，所以14S=截面；【小问3详解】方法一：取CD中点M，连接BM，过点E作BM的垂线，垂足为N，连接NG 易知，EN⊥平面BCD，所以EGN∠即为直线EG与平面BCD所成角，又EN=，tanEN EGNNG ∠=，所以NG=MN=所以GM=12 DG=±方法二：如图，取CD中点M，连接BM，以M为坐标原点，MD，MB所在直线分别为x，y轴，过点M且与平面BCD垂直的直线为z轴建立空间直角坐标系，E ⎛⎝，设(),0,0DG DCλλ==-，所以1,0,02MG MD DGλ⎛⎫=+=-+⎪⎝⎭，即1,0,02Gλ⎛⎫-+⎪⎝⎭，所以1,2EG λ⎛=-+ ⎝ ，又平面BCD 的法向量为()0,0,1n =，所以1sin cos ,2EG n EG n EG n θ⋅====⋅ ，解得12λ=±12DG =±17. 已知函数()e xf x ax b =--.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()0f x ≥，求ab 的最大值.【答案】（1）答案见解析（2）e2【解析】【分析】（1）求导，分0a ≤和0a >两种情况，利用导数判断()y f x =的单调性；（2）根据题意结合（1）中的单调性可得22ln ,0ab a a a a ≤->，令()()22ln 0g x x x x x =->，利用导数判断其单调性和最值.小问1详解】由题意可知：()e xf x a '=-，①当0a ≤时，()0f x '>，可知()y f x =在R 上单调递增；②当0a >时，令()0f x '>，解得ln x a >；令()0f x '<，解得ln x a <；可知()y f x =在(),ln a ∞-上单调递减，在()ln ,a ∞+上单调递增；【综上所述：当0a ≤时，()y f x =在R 上单调递增；当0a >时，()y f x =在(),ln a ∞-上单调递减，在()ln ,a ∞+上单调递增.【小问2详解】因为()0f x ≥，由（1）可得：①当0a ≤时，可知()y f x =在R 上单调递增，且x 趋近于-∞时，()f x 趋近于-∞，与题意不符；②当0a >时，可知()y f x =在(),ln a ∞-上单调递减，在()ln ,a ∞+上单调递增，则()()ln ln 0f x f a a a a b ≥=--≥，可得ln b a a a ≤-，且0a >，则22ln ab a a a ≤-，令()()22ln 0g x x x x x =->，则()()12ln g x x x =-'，令()0g x '>，解得0x <<；令()0g x '<，解得x >可知()y g x =在(上单调递增，在)∞+上单调递减，则()e 2g x g ≤=，所以当a =b =时，ab 的最大值为e 2.18. 某学校的数学节活动中，其中有一项“抽幸运数字”擂台游戏，分甲乙双方，游戏开始时，甲方有2张互不相同的牌，乙方有3张互不相同的牌，其中的2张牌与甲方的牌相同，剩下一张为“幸运数字牌”.游戏规则为：①双方交替从对方抽取一张牌，甲方先从乙方中抽取；②若抽到对方的牌与自己的某张牌一致，则将这两张牌丢弃；③最后剩一张牌（幸运数字牌）时，持有幸运数字牌的那方获胜.假设每一次从对方抽到任一张牌的概率都相同.奖励规则为：若甲方胜可获得200积分，乙方胜可获得100积分.（1）已知某一轮游戏中，乙最终获胜，记X 为甲乙两方抽牌次数之和.（ⅰ）求()2P X =；（ⅱ）求()2P X k =，*k ∈N ；（2）为使获得积分的期望最大，你会选择哪一方进行游戏？并说明理由.【答案】（1）（ⅰ）23；（ⅱ）12139k -⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭，*k ∈N（2）乙方，理由见解析【解析】【分析】（1）（i ）分析得到甲方抽到的乙方的牌为与自己相同的牌，从而乙方会剩下“幸运数字牌”，求出概率；（ii ）前22k -次抽牌都只抽到对方手中的幸运数字牌，概率均为13，得到概率；（2）方法一：记乙方获胜为事件A ，利用等比数列求和公式和极限得到()34P A =，求出乙方获得积分的期望175E =，求出甲方获胜的概率和积分的期望250E =，根据12E E >选择乙方进行游戏.方法二：设乙方获胜为事件A ，由题意得到()()()21133P A P A =+-，求出()34P A =，求出乙方获得积分的期望175E =，求出甲方获胜的概率和积分的期望250E =，根据12E E >选择乙方进行游戏.【小问1详解】（i ）甲乙两方抽牌次数之和为2，则甲方抽到的乙方的牌为与自己相同的牌，从而乙方会剩下“幸运数字牌”，即乙获胜，()223P X ==；（ii ）前22k -次抽牌都只抽到对方手中的幸运数字牌，概率均为13，甲方在第()21k -次抽到的不是对方手中的幸运数字牌，从而乙方最后获胜，所以()221122123339k k P X k --⎛⎫⎛⎫==⨯=⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，*k ∈N ；【小问2详解】方法一：记乙方获胜为事件A ，则()()1211393132lim 1149419k k k k P A X k ∞∞+→+=⎛⎫⎛⎫⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎛⎫⎝⎭====⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-∑.乙方获得积分的期望为()110075E P A ==，则甲方获胜的概率为()()114P A P A =-=，甲方获得积分的期望为()220050E P A ==，因为12E E >，所以我会选择乙方进行游戏.方法二：记乙方获胜为事件A ，则乙方获胜的概率为()P A ，事件A 可分为甲第一次抽中的牌不是幸运数字牌和是幸运数字牌两种情况，其中若甲第一次抽中的牌不是幸运数字牌，则乙会获胜，概率为23，若甲第一次抽中的牌是幸运数字牌，此时甲乙手中的牌相当于进行了互换，则此时甲获胜的概率与乙获胜的概率相同，则甲不获胜的概率即为()1P A -，则()()()21133P A P A =+-，解得()34P A =，乙方获得积分的期望为()110075E P A ==，则甲方获胜的概率为()()114P A P A =-=，甲方获得积分的期望为()220050E P A ==，因为12E E >，所以我会选择乙方进行游戏.【点睛】关键点点睛：如图求解乙方获胜的概率，可使用等比数列求和公式和极限思想，也可以通过题意得到方程，求出答案.19. 已知椭圆C ：()222210y x a b a b +=>>，斜率为12的直线l 与y 轴交于点P ，l 与C 交于A ，B 两点，T 是A 关于x 轴的对称点.当P 与原点O 重合时，ABT 面积为89.（1）求C 的方程；（2）当P 异于O 点时，记直线BT 与x 轴交于点Q ，求OPQ △周长的最小值.【答案】（1）2212y x +=（21+【解析】【分析】（1）设出各点坐标，表示出面积后，结合面积与离心率计算即可得；（2）要求OPQ △的周长，则需把各边长一一算出，即需把Q x 、P y 算出，设出直线方程与椭圆方程联立得与横坐标有关韦达定理，借助韦达定理表示出Q x 、P y ，可得OPQ △各边边长，结合基本不等式即可求得最值.【小问1详解】当P 与原点O 重合时，可设()()000,0A x y x >，则有()00,B x y --、()00,T x y -，且002x y =，AT BT ⊥，则0011822229ABT S AT BT y x =⋅=⋅⋅= ，即20429y =，∴2029y =，则2089x =，即有2228199a b +=，由离心率，即c a =，则22222a c b c ==+，∴222a b =，即有2218199b b +=，解得21b =，∴22a =，即C 的方程为2212y x +=；【小问2详解】设直线l 方程为2x y t =+，令0x =，有2t y =-，即2P t y =-，设点()11,A x y 、()22,B x y ，则()11,T x y -，联立直线与椭圆方程：22212x y t y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 有2298220y ty t ++-=，有1289t y y +=-，212229t y y -=，()226436220t t =--> ，得33t -<<，BT l 为()212221y y y x x y x x +=-+-，为令0y =，1222122121212Q x y x y x y x y x x y y y y -+=+=++，由2x y t =+中，得()()212211221121212122242241989t y t y y t y x y x y y y t t t y y y y y y t-++++==+=+=-+++，即1Q x t=，则12OPQ P Q tC y x t =++=++1≥=，当且仅当t =时等号成立，故OPQ △1.【点睛】关键点睛：本题的关键点在于把OPQ △各边长一一算出，即需把Q x 、P y 算出，设出直线方程与椭圆方程联立得与横坐标有关韦达定理，借助韦达定理表示出Q x 、P y ，可得OPQ△各边边长，结合基本不等式即可求得最值.。

3.考试结束，只需上交答题卡。

1.设集合A 1,2,4 ，B 3,4 .则集合 A B （）B. 1, 4C. 2,33.函数y log x 1 的定义城是（）A. x x 1B. x x 1C. x x 14.在ABC中，a b c 3bc ，则 A （）a b R，则“a b8.设，D.既不充分也不必要条件D.若m/ / ，则x 3y的最小值是（）11.设实数，满足不等式组12.若是第四象限角，sinA. mx y m 0 C. mx y 1 0B. mx y m 0D. mx y 2 0.则下列说法错误的是（）．．B.若f x ，g x 都是减函数，则函数 F f x ,g x 为减函数C.若f x ，g x 都是奇菌数，则函数 F f x ,g x 为奇函数上一点，Q 是底面ABCD上一点，若1的渐近线与圆x 3a b，则向量，夹角的取值范围是_________.17.已知，是单位向量.若18.已知数列 a 是等差数列， b 是等比数列，数列 a b 的前项和为ABCD BC CD BD，3 AB AC AD 2 P Q ，，点，分21.如图，已知三棱柱ABC A B C ，A A 底面（I）证明： B C / / BA Dn N ，求数列 b 的前n 项和T .MN交于，两点，点为线段的中点。

Q时，求点的横坐标；，求点Q 横坐标的最小值，井求此时直线l 的方程.k（Ⅱ）若对于任意 a 0, ，函数至少有三个零点。

求实数的取值范围.2018学年第二学期杭州市高二年级教学质量检测数学试题参考答案及评分标准17. 0, 18.a n 2n 1D ACDN / / B C ，又因为为的中点，所以因为在面BA D所以B 3,0,0m x, y,z ，4n n 1 4 n n 124.解（Ⅰ）当 a 1时， f xx x a k 1 , x a（Ⅱ）因为 f xx x a k 1 , x a, 上单调递减，在, a 上单调递增，在a, 上单调递减，，在f x的单调性及零点的存在性定, a 和a, 上无零点，由a 0, 恒成立，可知对任意0 或ff f x的单调性及零点的存在性定理1对任意a 0, 成立，x x a ka 0，所以x a ka x .kx x 0, （即线段）上运动，显然存在字图与抛物线y xB显然当点自点向点运动时，两个图象总有M N V，两个交点，故只需要字形图象y x x a 交点即可，。

金华十校2023-2024学年第二学期期末调研考试高二数学试题卷本试卷分选择题和非选择题两部分.考试时间120分钟.试卷总分为150分.请考生按规定用笔将所有试题的答案涂､写在答题纸上.选择题部分（共58分）一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数，则在复平面内对应的点位于（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知向量，且，则（ ）A.11B.-11C.D.3.已知是实数，则“”是“”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知函数的对称中心为，则能使函数单调递增的区间为（）A.B. C. D.5.函数的图象为（）A. B.C. D.122i,12i z z =+=-+12z z -()()1,2,3,a b x x ==-()2a a b ⊥+ x =112112-x 152x x +…2x …()()πcos 202f x x ϕϕ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭π,06⎛⎫ ⎪⎝⎭()f x π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦π3π,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦3π,π4⎡⎤⎢⎥⎣⎦()ln cos x xf x x=6.已知随机变量，且，则（ ）A.0.4B.0.2C.0.8D.0.17.高二某班男生20人，女生30人，男､女生身高平均数分别为，方差分别为170､160，记该班全体同学身高的平均数为，方差为，则（ ）A. B.C.D.8.已知当时，，若函数的定义域为，且有为奇函数，为偶函数，则所在的区间是（ ）A.B. C. D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.9.在正方体中，（ ）A.B.直线与所成角为C.平面D.直线与平面所成角为10.投掷一枚质地均匀的硬币两次，记“第一次正面向上”为事件，“第二次正面向上”为事件，“至少有一次正面向上”为事件，则下列判断正确的是（ ）A.与相互独立B.与互斥C..D.11.在中，已知，则（ ）A.B.C.的外接圆直径为10D.的面积为非选择题部分（共92分）三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.()1,4X N ~()()0.20.1P X a P X ==……19a P X ⎛⎫<<= ⎪⎝⎭170cm 160cm ､X 2s 2165,165X s >>2165,165X s <>2165,165X s ><2165,165X s <<[)0,1x ∈()33xf x =-()f x R ()1f x +()2f x +()3log 300f (),0∞-10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,∞+1111ABCD A B C D -1AC BD ⊥1BD CD π411A C ∥1AB C1BC 11BB D D π6A B C A B A B ()23P BC =∣()()()()P C P A P B P AB =+-ABC ()4cos 3sin 4sin 9,6B B C A AC ++-==A B >2AB BC=ABC ABC I212.已知集合，集合，则__________.13.若，则__________.14.在三棱锥中，，且，若三棱锥的外接球表面积的取值范围为，则三棱锥体积的取值范围为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本题满分13分）某校开展一项名为“书香致远，阅读润心”的读书活动，为了更好地服务全校学生，需要对全校学生的周平均阅读时间进行调查，现从该校学生中随机抽取200名学生，将他们的周平均阅读时间（单位：小时）数据分成5组：，根据分组数据制成了如图所示的频率分布直方图.（1）求的值，并估计全校学生周平均阅读时间的平均数；（2）用分层抽样的方法从周平均阅读时间不小于6小时的学生中抽出6人，从这6人中随机选出2人作为该活动的形象大使，求这2人都来自这组的概率.16.（本题满分15分）如图，在四棱锥中，四边形为正方形，为等边三角形，分别为的中点，，垂足为.（1）证明：平面；（2）若，求平面与平面形成的锐二面角的余弦值.17.（本题满分15分）已知分别为三个内角的对边，且.（1）证明：；{}1,2,3,4,5,6A ={14}B x x =∈-<<R∣A B ⋂=5250125(21)x a a x a x a x +=+++⋯+2a =A BCD -,AC AB BD AB ⊥⊥10,3AC BD AB ===A BCD -661π,409π4⎡⎤⎢⎥⎣⎦A BCD -[)[)[)[)[]2,4,4,6,6,8,8,10,10,12a [)6,8P ABCD -ABCD PAD 2,AB E F =､AD BC ､EG PF ⊥G EG ⊥PBC 3cos 4PAB ∠=-PAB PCD ,,a b c ABC ,,A B C ()()sin 22cos sin A B a cA B Ab++-+=22b a ac -=（2）求的最小值.18.（本题满分17分）已知函数.（1）若，求函数在点处的切线方程；（2）求函数在区间上的最大值的表达式；（3）若函数有两个零点，求实数的取值范围.19.（本题满分17分）二项分布是离散型随机变量重要的概率模型.我们已经知道，若，则.多项分布是二项分布的推广，同样是重复次试验，不同的是每次试验的结果不止2种，而有种，记这种结果为事件，它们的概率分别为，则.现考虑某厂生产的产品分成一等品､二等品､三等品和不合格品，它们出现的概率分别为，从该厂产品中抽出个，研究各类产品出现的次数的情况，就是一个多项分布.由于产品很多，每次抽取可以看作是独立重复的.（1）若从该厂产品中抽出4个，且和分别为和0.05，求抽出一等品1个､二等品2个，三等品1个的概率；（2）现从该厂中抽出个产品，记事件出现的次数为随机变量.为了定出这一多项分布的分布列，只需求出事件的概率，其中为非负整数，.（i ）求；（ii ）对于上述多项分布，求在给定的条件下，随机变量的数学期望.cos aA b+()1eln x f x ax x x -=--2a =()f x ()()1,1M f ()f x []1,3()g a ()f x a (),X B n p ~()C (1)k k n kn P X k p p -==-n m m 12,,,m A A A 12,,,m p p p 120,1i m p p p p +++= …1A 2A 3A 4A 1234,,,p p p p n 123,,p p p 4p 0.15,0.70,0.10n i A ,1,2,3,4i X i ={}11223344,,,B X k X k X k X k =====()1,2,3,4i k i =1233k k k k n +++=()P B 22X k =1X金华十校2023-2024学年第二学期调研考试高二数学卷评分标准与参考答案一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的题号12345678答案D D B C C A B C二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.题号91011答案ACD ACD BCD三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.13.4014.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.解：（1）依题意可得，解得又，即估计全校学生周平均阅读时间的平均数为6.92小时.（2）由频率分布直方图可知和三组的频率的比为所以利用分层抽样的方法抽取6人，这三组被抽取的人数分别为记中的3人为中的2人为中的2人为，从这6人中随机选出2人，则样本空间共15个样本点；设事件选出的2人都来自，则共3个样本点，所以.16.解：（1）如图，连接，在中，，在正方形中，，又因为平面，所以平面.又因为，所以平面，而平面，所以.因为平面，所以平面.{}1,2,3⎡⎤⎣⎦()0.020.050.10.1821a ++++⨯=0.15a =()30.0250.1870.1590.1110.052 6.92⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=[)[)6,88,10､[]10,120.15:0.1:0.053:2:1=3,2,1,[)6,8[)123,,,8,10a a a []12,,10,12b b 1c {}121311121123212221313231121121Ω,,,,,,,,,,,,,,a a a a a b a b a c a a a b a b a c a b a b a c b b b c b c =:A [)6,8{}121323,,A a a a a a a =()31155P A ==,PE EF PAD PE AD ⊥ABCD EF AD ⊥PE EF ⊂､,PEF PE EF E ⋂=AD ⊥PEF BC ∥AD BC ⊥PEF EG ⊂PEF EG BC ⊥BC PF ⊂､,PBC BC PF F ⋂=EG ⊥PBC（2）因为，所以，则，则如图以为原点，分别为轴，过且垂直为轴建系，则，则，设为平面的法向量，则，取，同理平面的法向量.所以，故平面与平面形成的锐二面角的余弦值.17.解：（1）因为所以，即；（2）因为，又，所以，因此，于是，3cos 4PAB ∠=-PB ==PF ==cos PEF ∠==E ,EA EF ,x y E ABCD z ()()1,0,0,1,2,0A B ()()31,0,0,1,2,0,0,2G C P ⎛--- ⎝()30,2,0,1,,2AB PA ⎛== ⎝ ()1111,,n x y z = PAB 11110,230,y x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩)12n =PCD )22n =-12341cos ,77n n -==-PAB PCD 17()()sin 22cos sin A B A B A+-+()()()sin 2cos sin sin sin sin A B A A B AB AA++-+==sin sin B b a cA a b+==22b a ac -=222cos 2b c a A bc+-=22b a ac -=cos 2c a A b +=2cos b A a c =+()2sin cos sin sin sin sin B A C A A B A =+=++即，故，因为，所以，即，所以，当且仅当时，“=”成立.故.18.解：（1）易知函数的定义域为.当时，.，所以在点处的切线斜率，又，即点坐标为，所以点处的切线方程为.（2）因为.所以，当时，易知在上恒成立，所以在上单调递减，故函数在区间上的最大值为.当时，令，则在上单调递增，且当时，，当时，，所以在上有唯一的一个零点.令，则该方程有且只有一个正根，记为，则可得()sin sin B A A -=2B A =ππ3C A B A =--=-π03A <<1cos 12A <<sin 1cos cos cos sin 2cos a A A A A b B A+=+=+…cos A =cos aA b+()f x ()0,∞+2a =()12eln ,0x f x x x x x -=-->()()111112e 2e 112e x x x f x x x x x ---⎛⎫=+--=+- ⎪⎝⎭'M ()()011112e 21k f ⎛⎫==+-⎝'= ⎪⎭()012e 101f =--=M ()1,1M ()21121y x x =-+=-()1e ln ,0xf x ax x x x -=-->()()11111ee 11e x x xf x a ax x a x x ---⎛⎫=+--=+- ⎪⎝⎭'0a …()0f x '<()0,∞+()f x ()0,∞+()f x []1,3()01e 101f a a =--=-0a >()11e,0x g x a x x-=->()g x ()0,∞+0x →()g x ∞→-x ∞→+()g x ∞→+()0g x =()0,∞+11e0x a x--=()000x x >-+单调递减单调递增所以函数在区间上的最大值为，由，有：当时，；当时，.故（3）由（2）可知，当时，在上单调递减，故此时函数至多有一个零点，不符合题意.当时，在时，单调递减，在时，单调递增；且，所以，①又时，，当时，为了满足有两个零点，则有.②对①两边取对数可得，③将①③代入②可得，解得.所以实数的取值范围为19.解：（1）记从该厂产品中抽出4个，且恰好抽出一等品1个､二等品2个，三等品1个为事件，则，（2）（i ），x()00,x ()0,x ∞+()f x '()f x ()f x []1,3()(){}max 1,3f f ()()211,33e 3ln3f a f a =-=--22ln303e 1a +<<-()()11g a f a ==-22ln33e 1a +-…()()233e 3ln3g a f a ==--()2222ln31,3e 12ln33e 3ln3,.3e 1a a g a a a +⎧-<⎪⎪-=⎨+⎪--⎪-⎩…0a …()f x ()0,∞+()f x 0a >()00,x ()f x ()0,x ∞+()f x 0101e0x a x --=0101e x a x -=0x →()f x ∞→+x ∞→+()f x ∞→+()f x ()010000e ln 0x f x ax x x -=--<00ln 1ln a x x =--()010000eln ln 0x f x ax x x a -=--=<1a <a 01a <<M ()12212413213C C C 40.1530.710.10.0882P M p p p ==⨯⨯⨯⨯⨯=(){}()11223344,,,P B PXk X k X k X k =====331122441121231234C C C C k k k k k k k k n n k n k k n k k k p p p p ------=⋅⋅⋅（ii ）若把事件作为一方，则作为另一方，那么随机变量分布列为，即服从二项分布列为，同理可知：.所以.所以在给定的条件下，随机变量服从二项分布，即所以此时，随机变量的数学期望为()()()()()()312411212312341112212334!!!!!!!!!!0!!k k k k n k n k k n k k k n p p p p n k k n k k k n k k k k k ------=⋅⋅⋅⋅-⋅-----⋅331241241234123412341234!111!!!!!!!!!k k k k k k k k n n p p p p p p p p k k k k k k k k =⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅1A 1234A A A A =++1X ()112341,P X k X X X n k =++=-1X ()()()1111111!1!!n kk n P X k p p k n k -==⋅-⋅-()()()22222222!1!!n k k n P X k p p k n k -==⋅-⋅-()()()1212112212121212!,1!!!n k k k k n P X k X k p p p p k k n k k --===⋅⋅--⋅⋅--()()()1122112222,P X k X k P X k X k P X k ======∣()()()()122122121222121222!!1/1!!!!!n k k n k k k k n n p p p p p p k k n k k k n k ---=⋅⋅--⋅-⋅--⋅-()()11221111222!1!!11k n k k n k p p k n k k p p ---⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⋅----⎝⎭⎝⎭22X k =1X 1122,1p X B n k p ⎛⎫~- ⎪-⎝⎭1X ()1221p n k p -⋅-。

2022-2023学年浙江省温州市十校联合体高二（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1．集合A ={x ∈N|log 12x ≥−1}，集合B ＝{x ∈Z |x 2≤4}，则A ∩B ＝（ ）A ．{2}B ．{0，1，2}C ．{1，2}D ．∅2．复数z 的实部与虚部互为相反数，且满足z +a =1+5i1−i ，a ∈R ，则复数z 在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．函数f(x)=sinx ⋅ln x−1x+1的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．4．(x +ax )(x −2x )5的展开式中各项系数的和为﹣2，则该展开式中常数项为（ ） A ．﹣40B ．﹣20C ．20D ．405．冯老师教高二4班和5班两个班的数学，这两个班的人数相等．某次联考中，这两个班的数学成绩均近似服从正态分布，其正态密度函数f(x)=1√2πσ−(x−μ)22σ2的图像如图所示，其中μ是正态分布的期望，σ是正态分布的标准差，且P （|X ﹣μ|≤σ）＝0.6827，P （|X ﹣μ|≤2σ）＝0.9545，P （|X ﹣μ|≤3σ）＝0.9973．关于这次数学考试成绩，下列结论正确的是（ ）A ．4班的平均分比5班的平均分高B ．相对于5班，4班学生的数学成绩更分散C ．4班108分以上的人数约占该班总人数的4.55%D ．5班112分以上的人数与4班108分以上的人数大致相等6．冬季两项是冬奥会的项目之一，是把越野滑雪和射击两种不同特点的竞赛项目结合在一起进行的运动，其中冬季两项男子个人赛，选手需要携带枪支和20发子弹，每滑行4千米射击一轮，共射击4轮，每轮射击5次，若每有1发子弹没命中，则被罚时1分钟，总用时最少者获胜．已知某男选手在一次比赛中共被罚时3分钟，假设其射击时每发子弹命中的概率都相同，且每发子弹是否命中相互独立，记事件A 为其在前两轮射击中没有被罚时，事件B 为其在第4轮射击中被罚时2分钟，那么P （A |B ）＝（ ） A ．12B ．14C ．13D ．387．我们知道：y ＝f （x ）的图象关于原点成中心对称图形的充要条件是y ＝f （x ）为奇函数，有同学发现可以将其推广为：y ＝f （x ）的图象关于（a ，b ）成中心对称图形的充要条件是y ＝f （x +a ）﹣b 为奇函数．若f （x ）＝x 3﹣3x 2的对称中心为（m ，n ），则f （2023）+f （2021）+…+f （3）+f （﹣1）+f （﹣3）+f （﹣5）+f （﹣2019）+f （﹣2021）＝（ ） A ．8088B ．4044C ．﹣4044D ．﹣20228．设a =9109，b ＝ln 1.09，c ＝e 0.09﹣1，则下列关系正确的是（ ） A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．c ＞a ＞bD ．c ＞b ＞a二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2022-2023学年浙江省杭州市高二（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的．1．直线3x +2y ﹣1＝0的一个方向向量是（ ） A ．（2，﹣3）B ．（2，3）C ．（﹣3，2）D ．（3，2）2．若{a →，b →，c →}是空间的一个基底，则也可以作为该空间基底的是（ ） A ．b →+c →，b →，−b →−c →B ．a →，a →+b →，a →−b →C ．a →+b →，a →−b →，c →D ．a →+b →，a →+b →+c →，c →3．“巴赫十二平均律”是世界上通用的音乐律制，它与五度相生律、纯律并称三大律制．“十二平均律”将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于√212．而早在16世纪，明代朱载堉最早用精湛的数学方法近似计算出这个比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．若第一个单音的频率为f ，则第四个单音的频率为（ ） A ．5fB ．214fC ．4fD ．213f4．“点（a ，b ）在圆x 2+y 2＝1外”是“直线ax +by +2＝0与圆x 2+y 2＝1相交”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．第19届亚运会将于2023年9月23日在杭州开幕，因工作需要，还需招募少量志愿者．甲、乙等4人报名参加了“莲花”、“泳镜”、“玉琮”三个场馆的各一个项目的志愿者工作，每个项目仅需1名志愿者，每人至多参加一个项目．若甲不能参加“莲花”场馆的项目，则不同的选择方案共有（ ） A ．6种B ．12种C ．18种D ．24种6．A ，B 两个学科兴趣小组在实验室研究某粒子的运动轨迹，共同记录到粒子的一组坐标信息（x i ，y i ）．A 小组根据表中数据，直接对（x ，y ）作线性回归分析，得到：回归方程y =0.4699x +0.235，决定系数R 2＝0.8732．B 小组先将数据按照变换u ＝x 2，v ＝y 2进行整理，再对u ，v 作线性回归分析，得到：回归方程v =−0.5006u +0.4922，决定系数R 2＝0.9375．根据统计学知识，下列方程中，最有可能是该粒子运动轨迹方程的是（ ） A ．0.4699x ﹣y +0.235＝0 B ．0.5006x +y ﹣0.4922＝0C ．0.5006x 20.4922+y 20.4922=1D ．x 20.4922+0.5006y 20.4922=17．设A ，B ，C ，D 是半径为1的球O 的球面上的四个点．设OA →+OB →+OC →=0→，则|AD |+|BD |+|CD |不可能等于（ ） A ．3 B ．72C ．4D ．3√28．设椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，P 是椭圆上不与顶点重合的一点，记I 为△PF 1F 2的内心．直线PI 交x 轴于A 点，|OA →|=14c ，且PF 1→⋅PF 2→=116a 2，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．12B ．√22C ．34D ．√32二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．若函数f （x ）导函数的部分图象如图所示，则（ ）A ．x 1是f （x ）的一个极大值点B ．x 2是f （x ）的一个极小值点C ．x 3是f （x ）的一个极大值点D ．x 4是f （x ）的一个极小值点10．抛掷一枚质地均匀的骰子（六个面上的数字是1、2、3、4、5、6），抛掷两次．设事件A ：“两次向上的点数之和大于7”，事件B ：“两次向上的点数之积大于20”，事件C ：“两次向上的点数之和小于10”，则（ ）A ．事件B 与事件C 互斥 B ．P(AB)=572C ．P(B|A)=25D ．事件A 与事件C 相互独立11．设双曲线C ：x 2a −y 2a 2−a+4=1(a ＞0)，直线l 与双曲线C 的右支交于点A ，B ，则下列说法中正确的是（ ）A ．双曲线C 离心率的最小值为4B ．离心率最小时双曲线C 的渐近线方程为√3x ±y =0 C ．若直线l 同时与两条渐近线交于点C ，D ，则|AC |＝|BD |D ．若a ＝1，点A 处的切线与两条渐近线交于点E ，F ，则S △EOF 为定值 12．已知曲线f(x)=x e x ，g(x)=lnxx ，及直线y ＝a ，下列说法中正确的是（ ） A ．曲线f （x ）在x ＝0处的切线与曲线g （x ）在x ＝1处的切线平行 B ．若直线y ＝a 与曲线f （x ）仅有一个公共点，则a =1eC ．曲线f （x ）与g （x ）有且仅有一个公共点D ．若直线y ＝a 与曲线f （x ）交于点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），与曲线g （x ）交于点B （x 2，y 2），C（x 3，y 3），则x 1x 3=x 22三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．（x ﹣y ）（x +y ）8展开式中，x 3y 6项的系数为 ．14．曲率是衡量曲线弯曲程度的重要指标．定义：若f ′（x ）是f （x ）的导函数，f ″（x ）是f ′（x ）的导函数，则曲线y ＝f （x ）在点（x ，f （x ））处的曲率K =|f″(x)|[1+(f′(x))2]32．已知f （x ）＝cos （x ﹣1）﹣lnx ，则曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的曲率为 ．15．已知数列{a n }满足a 2＝8，a n =[2(−1)n+n]a n−1(n ≥2，n ∈N ∗)，数列{b n }的前n 项和为S n ，且b n ＝log 2（a 2n +2•a 2n ﹣1）﹣log 2（a 2n •a 2n +1），则满足S n ﹣5＞0的正整数n 的最小值为 ． 16．设函数f(x)=2|x+2|+cos(π2x)，则使得f （x +1）＞f （2x ）成立的x 的取值范围是 ． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）如图，在四面体ABCD 中，AE →=λAB →，AH →=λAD →，CF →=(1−λ)CB →，CG →=(1−λ)CD →，λ∈（0，1）．（1）求证：E 、F 、G 、H 四点共面．（2）若λ=13，设M 是EG 和FH 的交点，O 是空间任意一点，用OA →、OB →、OC →、OD →表示OM →．18．（12分）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4＝4S 2，a 2n =2a n +1(n ∈N ∗)． （1）求数列{a n }的通项公式．（2）若{a n }中的部分项a b n 组成的数列{a b n +1}是以a 1+1为首项，2为公比的等比数列，求数列{b n }的前n 项和T n ．19．（12分）如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，所有棱长均为2，∠A 1AC ＝60°，A 1B =√6． （1）证明：平面A 1ACC 1⊥平面ABC ；（2）求二面角B﹣A1B1﹣C1的正弦值．20．（12分）第19届亚运会将于2023年9月23日在杭州拉开帷幕，为了更好地迎接亚运会，杭州市政府大举加强了城市交通基础设施的建设．至2023年地铁运行的里程数达到516公里，排位全国第六．同时，一张总长464公里、“四纵五横”为骨架、通达“东西南北中”十城区的快速路网也顺利完工准备接待世界各地的来宾．现杭州公共出行的主流方式为地铁、公交、打车、共享单车这四种，基本可以覆盖大众的出行需求．（1）一个兴趣小组发现，来自不同的城市的游客选择出行的习惯会有很大差异，为了验证这一猜想该小组进行了研究．请完成下列2×2列联表，并根据小概率值α＝0.010的独立性检验，分析城市规模是否与出行偏好地铁有关？（精确到0.001）单位：人（2）国际友人David来杭游玩，每日的行程分成M（M∈N*）段，为了更好的体验文化，相邻两段的出行方式不能相同，且选择地铁、公交、打车、共享单车的概率是等可能的．已知他每日从酒店出行的方式一定是从地铁开始，记第n段行程上David坐地铁的概率为p n，易知p1＝1，p2＝0①试证明{p n−14}为等比数列；②设第n次David选择共享单车的概率为q n，比较p5与q5的大小．附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n＝a+b+c+d．21．（12分）设抛物线C：y2＝2px（p＞0），过焦点F的直线与抛物线C交于点A（x1，y1），B（x2，y2）．当直线AB 垂直于x 轴时，|AB |＝2． （1）求抛物线C 的标准方程．（2）已知点P （1，0），直线AP ，BP 分别与抛物线C 交于点C ，D ． ①求证：直线CD 过定点；②求△P AB 与△PCD 面积之和的最小值．22．（12分）设函数f （x ）＝（x ﹣1）2e x ﹣ax ，若曲线f （x ）在x ＝0处的切线方程为y ＝﹣2x +b ． （1）求实数a ，b 的值．（2）证明：函数f （x ）有两个零点．（3）记f ′（x ）是函数f （x ）的导数，x 1，x 2为f （x ）的两个零点，证明：f ′(x 1+x 22)＞−a ．2022-2023学年浙江省杭州市高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的．1．直线3x +2y ﹣1＝0的一个方向向量是（ ） A ．（2，﹣3）B ．（2，3）C ．（﹣3，2）D ．（3，2）解：依题意，（3，2）为直线的一个法向量， ∴则直线的一个方向向量为（2，﹣3）， 故选：A ．2．若{a →，b →，c →}是空间的一个基底，则也可以作为该空间基底的是（ ） A ．b →+c →，b →，−b →−c →B ．a →，a →+b →，a →−b →C ．a →+b →，a →−b →，c → D ．a →+b →，a →+b →+c →，c →解：−b →−c →=−(b →+c →)，则b →+c →，b →，−b →−c →共面，故b →+c →，b →，−b →−c →不能构成基底，故A 错误；a →=12[(a →+b →)+(a →−b →)]，因此向量a →，a →+b →，a →−b →共面，故不能构成基底，故B 错误； 假设c →=λ(a →+b →)+μ(a →−b →)，即c →=(λ+μ)a →+(λ−μ)b →，这与题设矛盾，假设不成立，可以构成基底，故C 正确；(a →+b →)+c →=a →+b →+c →，因此向量a →+b →，a →+b →+c →，c →共面，故不能构成基底，故D 错误． 故选：C ．3．“巴赫十二平均律”是世界上通用的音乐律制，它与五度相生律、纯律并称三大律制．“十二平均律”将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于√212．而早在16世纪，明代朱载堉最早用精湛的数学方法近似计算出这个比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．若第一个单音的频率为f ，则第四个单音的频率为（ ） A ．5fB ．214fC ．4fD ．213f解：由题设可得：依次得到的十三个单音构成首项为f ，公比为√212的等比数列{a n }， 第四个单音的频率为a 4=f ×(√212)3=214f ．故选：B ．4．“点（a ，b ）在圆x 2+y 2＝1外”是“直线ax +by +2＝0与圆x 2+y 2＝1相交”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解：①若点（a ，b ）在圆x 2+y 2＝1外，则a 2+b 2＞1， ∵圆x 2+y 2＝1的圆心（0，0）到直线ax +by +2＝0的距离d =|2|√a 2+b =2√a 2+b ，∴d 与半径1的大小无法确定，∴不能得到直线ax +by +1＝0与圆x 2+y 2＝1相交，∴充分性不成立， ②若直线ax +by +1＝0与圆x 2+y 2＝1相交，则圆x 2+y 2＝1的圆心（0，0）到直线ax +by +1＝0的距离d =|2|√a 2+b =2√a 2+b 1，即a 2+b 2＞4，点（a ，b ）在圆x 2+y 2＝1外．∴点（a ，b ）在圆x 2+y 2＝1外是直线ax +by +1＝0与圆x 2+y 2＝1相交的必要不充分条件． 故选：B ．5．第19届亚运会将于2023年9月23日在杭州开幕，因工作需要，还需招募少量志愿者．甲、乙等4人报名参加了“莲花”、“泳镜”、“玉琮”三个场馆的各一个项目的志愿者工作，每个项目仅需1名志愿者，每人至多参加一个项目．若甲不能参加“莲花”场馆的项目，则不同的选择方案共有（ ） A ．6种B ．12种C ．18种D ．24种解：先从除甲外的3人中选1人参加“莲花”场馆的项目，再安排另外两个项目，若甲不能参加“莲花”场馆的项目，则不同的选择方案共有C 31C 32A 22=18种．故选：C ．6．A ，B 两个学科兴趣小组在实验室研究某粒子的运动轨迹，共同记录到粒子的一组坐标信息（x i ，y i ）．A 小组根据表中数据，直接对（x ，y ）作线性回归分析，得到：回归方程y =0.4699x +0.235，决定系数R 2＝0.8732．B 小组先将数据按照变换u ＝x 2，v ＝y 2进行整理，再对u ，v 作线性回归分析，得到：回归方程v =−0.5006u +0.4922，决定系数R 2＝0.9375．根据统计学知识，下列方程中，最有可能是该粒子运动轨迹方程的是（ ） A ．0.4699x ﹣y +0.235＝0 B ．0.5006x +y ﹣0.4922＝0C ．0.5006x 20.4922+y 20.4922=1D ．x 20.4922+0.5006y 20.4922=1解：由统计学知识可知，R 2越大，拟合效果越好，又A 小组的决定系数R 2＝0.8732，B 小组的决定系数R 2＝0.9375， ∴B 小组的拟合效果好，则回归方程为v =−0.5006u +0.4922，又u ＝x 2，v ＝y 2，∴y 2＝﹣0.5006x 2+0.4922，即0.5006x 20.4922+y 20.4922=1．故选：C ．7．设A ，B ，C ，D 是半径为1的球O 的球面上的四个点．设OA →+OB →+OC →=0→，则|AD |+|BD |+|CD |不可能等于（ ） A ．3B ．72C ．4D ．3√2解：因为AD →+BD →+CD →=（OD →−OA →）+（OD →−OB →）+（OD →−OC →）＝3OD →−（OA →+OB →+OC →）＝3OD →， 且|OD →|＝1，所以|AD →+BD →+CD →|＝3，而|AD →+BD →+CD →|≤|AD →|+|BD →|+|CD →|=|AD|+|BD|+|CD|，当且仅当AD →，BD →，CD →同时时，等号成立，而A ，B ，C ，D 在球面上，不可能共线，即AD →，BD →，CD →不同向， 所以|AD |+|BD |+|CD |＞|AD →+BD →+CD →|＝3，且|AD |，|BD |，|CD |均小于直径长2，即|AD |+|BD |+|CD |＜6， 综上，3＜|AD |+|BD |+|CD |＜6， 根据选项可知A 不符合． 故选：A ． 8．设椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，P 是椭圆上不与顶点重合的一点，记I 为△PF 1F 2的内心．直线PI 交x 轴于A 点，|OA →|=14c ，且PF 1→⋅PF 2→=116a 2，则椭圆C 的离心率为（ ） A ．12B ．√22C ．34D ．√32解：不妨设点P 位于第一象限，如图所示，因为I 为△PF 1F 2的内心，所以P A 为∠F 1PF 2的角平分线， 所以PF 1PF 2=F 1A AF 2，因为|OA →|=14c ，所以|PF 1||PF 2|=|F 1A||AF 2|=53，设|PF 1|＝5t ，则|PF 2|＝3t ，由椭圆的定义可知，|PF 1|+|PF 2|＝8t ＝2a ， 可得t =a 4，所以|PF 1|=5a 4，|PF 2|=3a4，又因为PF 1→⋅PF 2→=|PF 1→|⋅|PF 2→|cos∠F 1PF 2=54a ×34a ⋅cos∠F 1PF 2=116a 2， 所以cos ∠F 1PF 2=115，在△PF 1F 2中，由余弦定理可得，cos∠PF1F2=|PF1|2+|PF2|2−|F1F2|2|PF1||PF2|=17a28−4c215a28=115，所以a2＝2c2，则e=√c2a2=√22．故选：B．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．若函数f（x）导函数的部分图象如图所示，则（）A．x1是f（x）的一个极大值点B．x2是f（x）的一个极小值点C．x3是f（x）的一个极大值点D．x4是f（x）的一个极小值点解：由图象可知，当x＜x1时，f′（x）＞0，函数单调递增，当x1＜x＜x2时，f′（x）＜0，函数单调递减，当x2＜x＜x4时，f′（x）＞0，函数单调递增，当x＞x4时，f′（x）＜0，函数单调递减，故x1，x4是f（x）的极大值点，x2是f（x）的极小值点，x3不是的极值点．故选：AB．10．抛掷一枚质地均匀的骰子（六个面上的数字是1、2、3、4、5、6），抛掷两次．设事件A：“两次向上的点数之和大于7”，事件B：“两次向上的点数之积大于20”，事件C：“两次向上的点数之和小于10”，则（）A．事件B与事件C互斥B．P(AB)=572C．P(B|A)=25D．事件A与事件C相互独立解：抛掷一枚质地均匀的骰子（六个面上的数字是1、2、3、4、5、6），抛掷两次，设第一次、第二次抛掷骰子正面朝上的点数分别为m、n，以（m，n）为一个基本事件，则基本事件的总数为62＝36，事件A 包含的基本事件有：（2，6）、（3，5）、（3，6）、（4，4）、（4，5）、（4，6）、（5，3）、 （5，4）、（5，5）、（5，6）、（6，2）、（6，3）、（6，4）、（6，5）、（6，6），共15种， 事件B 包含的基本事件有：（4，6）、（5，5）、（5，6）、（6，4）、（6，5）、（6，6），共6种， 事件C 包含的基本事件有：（1，1）、（1，2）、（1，3）、（1，4）、（1，5）、（1，6）、（2，1）、 （2，2）、（2，3）、（2，4）、（2，5）、（2，6）、（3，1）、（3，2）、（3，3）、（3，4）、（3，5）、 （3，6）、（4，1）、（4，2）、（4，3）、（4，4）、（4，5）、（5，1）、（5，2）、（5，3）、（5，4）、 （6，1）、（6，2）、（6，3），共30种， 对于A ，事件B 与事件C 互斥，故A 正确；对于B ，事件AB 包含的基本事件有：（4，6）、（5，5）、（5，6）、（6，4）、（6，5）、（6，6），共6种， 所以，P(AB)=636=16，故B 错误； 对于C ，P(B|A)=n(AB)n(A)=615=25，故C 正确； 对于D ，P(A)=1536=512，P(C)=3036=56，事件AC 包含的基本事件有：（2，6）、（3，5）、（3，6）、（4，4）、（4，5）、（5，3）、（5，4）、 （6，2）、（6，3），共9种， 所以，P(AC)=936=14≠P(A)⋅P(C)，故D 错误． 故选：AC ．11．设双曲线C ：x 2a −y 2a 2−a+4=1(a ＞0)，直线l 与双曲线C 的右支交于点A ，B ，则下列说法中正确的是（ ）A ．双曲线C 离心率的最小值为4B ．离心率最小时双曲线C 的渐近线方程为√3x ±y =0 C ．若直线l 同时与两条渐近线交于点C ，D ，则|AC |＝|BD |D ．若a ＝1，点A 处的切线与两条渐近线交于点E ，F ，则S △EOF 为定值 解：由题意可得e 2=a 2+4a =a +4a，因为a ＞0， 所以e 2=a 2+4a =a +4a ≥2√m ⋅4m =4，即e ≥2，当且仅当a =4a，即a ＝2 时，等号成立． 此时双曲线方程是x 22−y 26=1，渐近线方程是√3x ±y =0．故A 错误，B 正确；设直线为x ＝my +n 代入双曲线C ：x 2a −y 2a 2−a+4=1(a ＞0)， 可得（m 2a 2﹣m 2a +4m 2）y 2+2mn （a 2﹣a +4）y +n 2（a 2﹣a +4）﹣a （a 2﹣a +4）＝0，又双曲线的渐近线方程为x 2a−y 2a 2−a+4=0，直线方程代入可得（m 2a 2﹣m 2a +4m 2）y 2+2mn （a 2﹣a +4）y +n 2（a 2﹣a +4）＝0， ∵直线l 与双曲线右支交于两点A ，B ，与渐近线交于两点C ，D ，A 在B ，C 两点之间， ∴AB 、CD 的中点重合，∴|AC |＝|BD |，故C 正确．当a ＝1，双曲线的方程为x 2−y 24=1，双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，设A （m ，n ），故双曲线在A （m ，n ）的切线方程为mx −14ny ＝1， 与y ＝2x 联立可得E 的横坐标为44m−2n， 与y ＝﹣2x 联立可得E 的横坐标为44m+2n，∴S △EOF =12|OE |•|OF |•sin ∠EOF =12×√1+22×44m−2n ×√1+22×44m+2n ×sin ∠EOF =52×1616m 2−4n 2×sin ∠EOF =52×1616×sin ∠EOF =52sin ∠EOF 为定值，故D 正确． 故选：BCD ．12．已知曲线f(x)=x e x ，g(x)=lnxx ，及直线y ＝a ，下列说法中正确的是（ ） A ．曲线f （x ）在x ＝0处的切线与曲线g （x ）在x ＝1处的切线平行 B ．若直线y ＝a 与曲线f （x ）仅有一个公共点，则a =1e C ．曲线f （x ）与g （x ）有且仅有一个公共点D ．若直线y ＝a 与曲线f （x ）交于点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），与曲线g （x ）交于点B （x 2，y 2），C（x 3，y 3），则x 1x 3=x 22解：对于A 选项：f （0）＝0，f ′(x)=x′⋅e x −x⋅(e x )′(e x )2=1−xe x ，f ′（0）＝1，所以曲线f （x ）在x ＝0处的切线为：y ＝x ； 同理g （1）＝0，g ′(x)=1−lnxx 2，g ′（1）＝1，曲线g （x ）在x ＝1处的切线为y ＝x ﹣1， 即曲线f （x ）在x ＝0处的切线与曲线g （x ）在x ＝1处的切线平行，正确； 对于B 选项：f ′(x)=1−xe x，令f ′（x ）＝0，解得x ＝1， 所以曲线f （x ）在（﹣∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，f(1)=1e ， 又当x →﹣∞时f （x ）→﹣∞，当x →+∞时f （x ）→0，若直线y ＝a 与曲线f （x ）仅有一个公共点，则a =1e 或a ≤0，错误； 对于C 选项：曲线g （x ）的定义域为：（0，+∞），g ′(x)=1−lnxx 2，令g ′（x ）＝0，解得x ＝e ，所以g （x ）在（0，e ）上单调递增，在（e ，+∞）上单调递减，且g(1)=0，g(e)=1e， 所以曲线f （x ）与曲线g （x ）的大致图像为：易知当x ∈（0，1）时，f （x ）＞0，g （x ）＜0，即曲线f （x ）与曲线g （x ）在区间（0，1）上无交点； 当x ∈[1，e ]时，f （x ）单调递减，g （x ）单调递增，且f(1)=1e＞g(1)=0，f （e ）＝e 1﹣e ＜g （e ）＝e ﹣1，即曲线f （x ）与曲线g （x ）在区间（1，e ）上有一个交点；当x ∈（e ，+∞）时，记h （x ）＝x ﹣lnx ，ℎ′(x)=1−1x，当x ＞e 时h ′（x ）＞0恒成立， 即h （x ）在（e ，+∞）上单调递增，即h （x ）＞h （e ）＝e ﹣1＞0，即x ＞lnx ＞1， 又曲线f （x ）在（1，+∞）上单调递减，所以f （x ）＜f （lnx ），即x ex＜lnx e lnx=lnx x，即f （x ）＜g （x ）恒成立，即曲线f （x ）与曲线g （x ）在区间（e ，+∞）上没有交点； 所以曲线f （x ）与g （x ）有且仅有一个公共点，正确；对于D 选项：当直线y ＝a 经过曲线f （x ）与g （x ）的交点时，恰好有3个公共点， 且0＜x 1＜1＜x 2＜e ＜x 3，x 1e x 1=x 2e x 2=lnx 2x 2=lnx 3x 3，由f （x 1）＝f （x 2）＝f （lnx 2），所以x 1＝lnx 2， 由g(x 2)=g(x 3)=g(e x 2)，所以x 3=e x 2， 即x 1⋅x 3=lnx 2⋅e x 2=x 22，正确． 故选：ACD ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．（x ﹣y ）（x +y ）8展开式中，x 3y 6项的系数为 ﹣28 ．解：（x ﹣y ）（x +y ）8＝x （x +y ）8﹣y （x +y ）8，二项展开式x （x +y ）8的通项为xC 8r x 8−r y r =C 8r x 9−r y r，二项展开式y （x +y ）8的通项为yC 8k x 8−k y k =C 8k x 8−k y k+1，令{r =6k +1=6，解得{r =6k =5，因此，x 3y 6项的系数为C 86−C 85=28−56=−28， 故答案为：﹣28．14．曲率是衡量曲线弯曲程度的重要指标．定义：若f ′（x ）是f （x ）的导函数，f ″（x ）是f ′（x ）的导函数，则曲线y ＝f （x ）在点（x ，f （x ））处的曲率K =|f″(x)|[1+(f′(x))2]32．已知f （x ）＝cos （x ﹣1）﹣lnx ，则曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的曲率为 0 ． 解：因为f （x ）＝cos （x ﹣1）﹣lnx ， 所以f ′(x)=−sin(x −1)−1x，f ″(x)=1x 2−cos(x −1)， 则f ′(1)=−11−sin0=−1，f ″(1)=11−cos0=0， 所以曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的曲率为K =|f″(1)|[1+(f′(1))2]32=|0|[1+(−1)2]32=0．故答案为：0．15．已知数列{a n }满足a 2＝8，a n =[2(−1)n+n]a n−1(n ≥2，n ∈N ∗)，数列{b n }的前n 项和为S n ，且b n ＝log 2（a 2n +2•a 2n ﹣1）﹣log 2（a 2n •a 2n +1），则满足S n ﹣5＞0的正整数n 的最小值为 63 ． 解：因为a n =[2(−1)n+n]a n−1(n ≥2，n ∈N ∗)，a 2＝8＞0， 所以a n ＞0，a na n−1=2(−1)n +n ， 所以b n ＝log 2（a 2n +2•a 2n ﹣1）﹣log 2（a 2n •a 2n +1）=log 2(a 2n+2⋅a 2n−1a 2n ⋅a 2n+1)=log 2(a 2n+2a 2n+1)−log 2(a2na 2n−1) =log 2(2(−1)2n+2+2n +2)−log 2(2(−1)2n+2n)＝log 2（2n +4）﹣log 2（2n +2）所以S n =log 26−log 24+log 28−log 26+⋯+log 2(2n +4)−log 2(2n +2)=log 22n+44， 因为S n ﹣5＞0，所以log 22n+44＞5=log 232，即n+22＞32，解得n ＞62， 因为n ∈N *，所以正整数n 的最小值为63． 故答案为：63．16．设函数f(x)=2|x+2|+cos(π2x)，则使得f （x +1）＞f （2x ）成立的x 的取值范围是 (−53，1) ． 解：由f(x)=2|x+2|+cos(π2x)向右平移2个单位，得g(x)=2|x|+cos(π2x −π)=2|x|−cos(π2x)为偶函数，所以g （x ）关于y 轴对称， 所以f （x ）关于x ＝﹣2对称，当x ≥0时，g ′(x)=2x ln2+π2sin(π2x)，当x ∈[0，2]时，因为sin(π2x)≥0，所以g ′（x ）＞0， 当x ∈（2，+∞）时，g ′(x)＞22ln2−π2＞0，所以g （x ）在上单调[0，+∞）递增，在（﹣∞，0）上单调递减， 所以f （x ）在（﹣∞，﹣2）上单调递减，在（﹣2，+∞）上单调递增，由f （x +1）＞f （2x ）得|x +1+2|＞|2x +2|，即（x +3）2＞（2x +2）2，解得−53＜x ＜1， 所以使得f （x +1）＞f （2x ）成立的x 的取值范围是(−53，1)． 故答案为：(−53，1)．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）如图，在四面体ABCD 中，AE →=λAB →，AH →=λAD →，CF →=(1−λ)CB →，CG →=(1−λ)CD →，λ∈（0，1）．（1）求证：E 、F 、G 、H 四点共面．（2）若λ=13，设M 是EG 和FH 的交点，O 是空间任意一点，用OA →、OB →、OC →、OD →表示OM →．（1）证明：因为EH →=AH →−AE →=λAD →−λAB →=λBD →， FG →=CG →−CF →=(1−λ)CD →−(1−λ)CB →=(1−λ)BD →， 所以EH →=λ1−λFG →，则EH →∥FG →，因此E 、F 、G 、H 四点共面． （2）解：由（1）知，EH →=13BD →，FG →=23BD →，因此EH →=12FG →，EH 、FG 不在同一条直线上， EH ∥FG ，则EM MG =EH FG =12，则EM →=12MG →，即OM →−OE →=12(OG →−OM →)， 当λ=13时，AE →=13AB →，即OE →−OA →=13(OB →−OA →)，可得OE →=23OA →+13OB →，因为CG →=23CD →，即OG →−OC →=23(OD →−OC →)，可得OG →=13OC →+23OD →，所以，OM →=23OE →+13OG →=23(23OA →+13OB →)+13(13OC →+23OD →)=49OA →+29OB →+19OC →+29OD →．18．（12分）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4＝4S 2，a 2n =2a n +1(n ∈N ∗)． （1）求数列{a n }的通项公式．（2）若{a n }中的部分项a b n 组成的数列{a b n +1}是以a 1+1为首项，2为公比的等比数列，求数列{b n }的前n 项和T n ．解：（1）设差数列{a n }的公差为d ，则由S 4＝4S 2，a 2n =2a n +1(n ∈N ∗)可得{4a 1+6d =8a 1+4d a 1+(2n −1)d =2a 1+2(n −1)d +1，解得{a 1=1d =2，因此a n =2n −1(n ∈N ∗)．（2）由a n ＝2n ﹣1，得a b n =2b n −1，又由{a b n +1}是以a 1+1为首项，2为公比的等比数列，得a b n +1=2n ，因此2b n =2n ， 所以b n =2n−1，所以T n =1−2n1−2=2n −1．19．（12分）如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，所有棱长均为2，∠A 1AC ＝60°，A 1B =√6． （1）证明：平面A 1ACC 1⊥平面ABC ； （2）求二面角B ﹣A 1B 1﹣C 1的正弦值．（1）证明：取AC 中点M ，连接A 1M ，BM ，则BM ⊥AC ． ∵AA 1＝AC ，∠A 1AC ＝60°，∴△A 1AC 为等边三角形， ∴A 1M ⊥AC ，∵A 1M =BM =√3，A 1B =√6， ∴A 1M 2+BM 2=A 1B 2，∴A 1M ⊥BM ， ∵AC ∩BM ＝M ，∴A 1M ⊥平面ABC ，∵A 1M ⊂平面A 1ACC 1，∴平面A 1ACC 1⊥平面ABC ．（2）解：由题可知二面角B ﹣A 1B 1﹣C 1的正弦值与二面角A 1﹣AB ﹣C 正弦值相等． ∵A 1M ⊥平面ABC ，过M 作MN ⊥AB 于点N ，连接A 1N ， ∴∠A 1NM 即为所求二面角A 1﹣AB ﹣C 的平面角， ∵A 1M =√3，MN =A 1M ⋅cos60°=√32，∴A 1N =√3+34=√152， ∴sin∠A 1NM =A 1MA 1N =2√55．故二面角B ﹣A 1B 1﹣C 1的正弦值为2√55．20．（12分）第19届亚运会将于2023年9月23日在杭州拉开帷幕，为了更好地迎接亚运会，杭州市政府大举加强了城市交通基础设施的建设．至2023年地铁运行的里程数达到516公里，排位全国第六．同时，一张总长464公里、“四纵五横”为骨架、通达“东西南北中”十城区的快速路网也顺利完工准备接待世界各地的来宾．现杭州公共出行的主流方式为地铁、公交、打车、共享单车这四种，基本可以覆盖大众的出行需求．（1）一个兴趣小组发现，来自不同的城市的游客选择出行的习惯会有很大差异，为了验证这一猜想该小组进行了研究．请完成下列2×2列联表，并根据小概率值α＝0.010的独立性检验，分析城市规模是否与出行偏好地铁有关？（精确到0.001） 单位：人（2）国际友人David 来杭游玩，每日的行程分成M （M ∈N *）段，为了更好的体验文化，相邻两段的出行方式不能相同，且选择地铁、公交、打车、共享单车的概率是等可能的．已知他每日从酒店出行的方式一定是从地铁开始，记第n段行程上David坐地铁的概率为p n，易知p1＝1，p2＝0①试证明{p n−14}为等比数列；②设第n次David选择共享单车的概率为q n，比较p5与q5的大小．附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n＝a+b+c+d．解：（1）列联表如下：零假设为H0：城市规模与出行偏好地铁无关，χ2=200(80×40−20×60)2100×100×140×60≈9.524＞6.635，根据小概率值α＝0.010的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为城市规模与出行偏好地铁有关，此推断犯错误的概率不大于0.010；（2）①证明：第n段行程上David坐地铁的概率为p n，则当n≥2时，第n﹣1段行程上David坐地铁的概率为p n﹣1，不坐地铁的概率为1﹣p n﹣1，则p n=p n−1⋅0+(1−p n−1)⋅13=−13p n−1+13，从而p n−14=−13(p n−1−14)，又p1−14=34，所以{p n−14}是首项为34，公比为−13的等比数列；②由①可知p n=34(−13)n−1+14，则p5=34(−13)4+14＞14，又q5=13(1−p5)＜14，故p5＞q5．21．（12分）设抛物线C：y2＝2px（p＞0），过焦点F的直线与抛物线C交于点A（x1，y1），B（x2，y2）．当直线AB垂直于x轴时，|AB|＝2．（1）求抛物线C的标准方程．（2）已知点P（1，0），直线AP，BP分别与抛物线C交于点C，D．①求证：直线CD过定点；②求△P AB 与△PCD 面积之和的最小值．解：（1）由题意，当直线AB 垂直于x 轴时，x 1=p2，代入抛物线方程得y 1＝±p ， 则|AB |＝2p ，所以2p ＝2，即p ＝1， 所以抛物线C ：y 2＝2x ．（2）①设C （x 3，y 3），D （x 4，y 4）， 直线AB ：x =my +12，与抛物线C ：y 2＝2x 联立，得y 2﹣2my ﹣1＝0，因此y 1+y 2＝2m ，y 1y 2＝﹣1． 设直线AC ：x ＝ny +1，与抛物线C ：y 2＝2x 联立，得y 2﹣2ny ﹣2＝0， 因此y 1+y 3＝2n ，y 1y 3＝﹣2，则y 3=−2y 1．同理可得y 4=−2y 2．所以k CD =y 3−y4x 3−x 4=y 3−y 4y 322−y 422=2y 3+y 4=2−2y 1+−2y 2=−y 1y2y 1+y 2=12m ，因此直线CD ：x ＝2m （y ﹣y 3）+x 3，由对称性知，定点在x 轴上， 令y ＝0得，x =−2my 3+x 3=−2my 3+y 322=−2m −2y 1+12(−2y 1)2=4m y 1+2y 12=2(y 1+y 2)y 1+2y 12=2+2(y 2y 1+1y 12)=2+2⋅y 1y 2+1y 12=2， 所以直线CD 过定点Q （2，0）．②因为S △PAB =12|PF|⋅|y 1−y 2|=14|y 1−y 2|， S △PCD =12|PQ|⋅|y 3−y 4|=12|−2y 1−−2y 2|=|1y 1−1y 2|=|y 1−y 2y 1y 2|=|y 1−y 2|， 所以S △PAB +S △PCD =54|y 1−y 2|=54√4m 2+4=52√m 2+1≥52， 当且仅当m ＝0时取到最小值52．22．（12分）设函数f （x ）＝（x ﹣1）2e x ﹣ax ，若曲线f （x ）在x ＝0处的切线方程为y ＝﹣2x +b ． （1）求实数a ，b 的值．（2）证明：函数f （x ）有两个零点．（3）记f ′（x ）是函数f （x ）的导数，x 1，x 2为f （x ）的两个零点，证明：f ′(x 1+x 22)＞−a ． 解：（1）由题意可得f ′（x ）＝（x 2﹣1）e x ﹣a ， 由切线方程可知其斜率为﹣2， 所以{f ′(0)=−2，f(0)=b ，，解得{a =1b =1．（2）证明：由f （x ）＝0可得（x ﹣1）2e x ﹣x ＝0，所以(x −1)2−xe x =0； 函数f （x ）有两个零点即函数g(x)=(x −1)2−xe x有两个零点． g ′(x)=(x −1)(2+1e x )，当x ＜1时，g ′（x ）＜0，g （x ）单调递减；当x ＞1时，g ′（x ）＞0，g （x ）单调递增． 又g （0）＝1＞0，g(1)=−1e ＜0，g(2)=1−2e 2＞0， 所以g （0）g （1）＜0，g （1）g （2）＜0， 由零点存在定理可得∃x 1∈（0，1）使得g （x 1）＝0， ∃x 2∈（1，2）使得g （x 2）＝0， 所以函数f （x ）有两个零点．（3）证明：由（1）（2）知f （x ）＝（x ﹣1）2e x ﹣x ， 可得f ′（x ）＝（x 2﹣1）e x ﹣1且0＜x 1＜1＜x 2＜2．要证明f ′(x 1+x 22)＞−a ，即证明((x 1+x 22)2−1)e x 1+x 22−1＞−1，即证明x 1+x 2＞2．令h （x ）＝g （x ）﹣g （2﹣x ）（0＜x ＜1）， 则ℎ′(x)=g ′(x)+g ′(2−x)=(x −1)(2+1e x )+(1−x)(2+1e 2−x )=(1−x)(e x −e 2−x )e 2＜0， 因此h （x ）单调递减，则h （x ）＞h （1）＝0．因此h （x 1）＞0， 即g （x 1）＞g （2﹣x 1），又0＜x 1＜1＜x 2＜2，又g （x 2）＝g （x 1）；所以g （x 2）＞g （2﹣x 1），又x 2，2﹣x 1∈（1，2），且g （x ）在（1，2）上单调递增， 因此x 2＞2﹣x 1，即x 1+x 2＞2．命题得证．。

2022-2023学年浙江省宁波市高二（下）期末数学试卷一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分.1．已知集合A ＝{0，1，2}，B ＝{﹣1，0}，则A ∪B ＝（ ） A ．{﹣1，1，2}B ．{0，1，2}C ．{﹣1，0}D ．{﹣1，0，1，2}2．复数﹣1﹣2i （i 为虚数单位）的虚部是（ ） A ．﹣2B ．﹣1C ．1D ．23．函数f(x)=(x −12)12的定义域是（ ）A ．(−∞，12)B ．[12，+∞)C ．{−∞，−12}D ．[−12，+∞)4．已知tan α＝﹣1，α∈（0，π]，那么α的值等于（ ） A ．π6B ．π4C ．π3D ．3π45．某制药厂正在测试一种减肥药的疗效，有1000名志愿者服用此药，结果如表：如果另有一人服用此药，根据上表数据估计此人体重减轻的概率是（ ） A ．0.57B ．0.33C ．0.24D ．0.196．已知向量a →=（x ，2），b →=（3，6），a →⊥b →，则实数x 的值为（ ） A ．1B ．﹣4C ．4D ．﹣17．球的半径是R ＝3，则该球的体积是（ ） A ．36πB ．20πC ．25πD ．30π8．对数lga 与lgb 互为相反数，则有（ ） A ．a +b ＝0B ．a ﹣b ＝0C ．ab ＝1D ．ab =19．取一条长度为1的线段，将它三等分，去掉中间一段，留下剩下的两段；再将剩下的两段分别分割三等分，各去掉中间一段，留剩下的更短的四段；…；将这样的操作一直继续下去，直至无穷，由于在不断分割舍弃过程中，所形成的线段数目越来越多，长度越来越小，在极限的情况下，得到一个离散的点集，称为康托尔三分集．若在第n 次操作中去掉的线段长度之和不小于160，则n 的最大值为（ ）（参考数据：1.57≈17.1，1.58≈25.6，1.59≈38.4，1.510≈57.7） A ．7B ．8C ．9D ．1010．已知a ，b 为非零实数，则“a ＞b ”是“1a＜1b”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件11．在△ABC 中，|AB |＝3，|AC |＝2，AD →=12AB →+34AC →，则直线AD 通过△ABC 的（ ）A ．垂心B ．外心C ．重心D ．内心12．已知函数f （x ）的定义域为R ，f(x +12)为奇函数，且对于任意x ∈R ，都有f （2﹣3x ）＝f （3x ），则下列结论中一定成立的是（ ） A ．f （1﹣x ）＝f （x ） B ．f （3x +1）＝f （3x ） C ．f （x ﹣1）为偶函数D ．f （3x ）为奇函数二、多项选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，每小题列出的四个备选项中有多个是符合题目要求的，全部选对得4分，部分选对且没错选得2分，不选、错选得0分.） 13．下列函数是增函数的是（ ） A ．y ＝x 3B ．y ＝x 2C ．y =x 12D ．y ＝﹣x ﹣114．已知平面α⊥平面β，且α∩β＝l ，则下列命题不正确的是（ ） A ．平面α内的直线必垂直于平面β内的任意一条直线 B ．平面α内的已知直线必垂直于平面β内的无数条直线C ．平面α内的任意一条直线必垂直于平面βD ．过平面α内的任意一点作交线l 的垂线，则此垂线必垂直于平面β15．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．以下列选项为条件，一定可以推出A =π3的有（ ）A ．a ＝7，b ＝8，c ＝5B ．a =√3，b =√2，B =π4 C ．sinBsinC =34D ．2sin 2B+C2+cos2A =1 16．如图，在棱长为2的正方体AC ′中，点E 为CC ′的中点，点P 在线段A ′C ′（不包含端点）上运动，记二面角P ﹣AB ﹣D 的大小为α，二面角P ﹣BC ﹣D 的大小为β，则（ ）A ．异面直线BP 与AC 所成角的范围是(π3，π2] B ．tan （α+β）的最小值为−43C ．当△APE 的周长最小时，三棱锥B ﹣AEP 的体积为109D ．用平面BEP 截正方体AC ′，截面的形状为梯形 三、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分.）17．已知函数f(x)={2x ，x ≤0f(x −2)，x ＞0，则f （﹣1）＝ ，f （log 23）＝ ．18．在生活中，我们经常可以看到这样的路障，它可以近似地看成由一个直八棱柱、一个圆柱与一个圆台组合而成，其中圆台的上底面直径为4cm ，下底面直径为40cm ，高为80cm ．为了起到夜间行车的警示作用，现要在圆台侧面涂上荧光材料，则涂料部分的面积为 cm 2．19．已知正实数x ，y 满足xy ﹣x ﹣2y ＝0，则x +y 的最小值是 ．20．在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin 2A ＝sin 2B +sin B sin C ，则cb 的取值范围为 ．四、解答题（本大题共3小题，共33分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）21．（11分）随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的手机软件层出不穷．现从某市使用A 款订餐软件的商家中随机抽取100个商家，对它们的“平均配送时间”进行统计，所有数据均在[10，70]范围内，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求a 的值；（2）试估计该市使用A 款订餐软件的商家的“平均配送时间”的第20百分位数．22．（11分）已知函数f （x ）＝sin （ωx +φ）．其中ω＞0．若f （x ）的最小正周期为π，且f(π2)=f(2π3)； （1）求ω，φ的值；（2）若|φ|＜π2，求f （x ）在区间[−π3，π6]上的值域．23．（11分）已知函数f(x)=log a x +ax +1x+1(x ＞0)，其中a ＞1． （1）若a ＝2，求f(14)的值；（2）判断函数f （x ）的零点个数，并说明理由； （3）设f （x 0）＝0，求证：12＜f(√x 0)＜a+12．五、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分每小题列出的四个备选项中有多个是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对且没错选得2分，不选、错选得0分）24．抛掷一枚质地均匀的硬币两次，设事件A ＝“第一次正面朝上”，事件B ＝“第二次正面朝上”，则（ ） A ．P(A)=12B ．P(A +B)=34C ．事件A 与事件B 互斥D ．事件A 与事件B 相互独立25．已知平面向量a →，b →满足|a →|=1，|b →|=2，则（ ） A ．|a →+b →|的最大值为3B ．|a →−b →|的最大值为3 C ．|a →+b →|+|a →−b →|的最大值为6D ．|a →+b →|−|a →−b →|的最大值为226．已知函数f （x ）＝sin x ，g （x ）＝cos x ，若θ满足，对∀x 1∈[0，π2]，都∃x 2∈[−π2，0]使得2f （x 1）＝2g （x 2+θ）+1成立，则θ的值可能为（ ） A ．πB ．5π6C ．2π3D ．π227．已知正实数a 、b 、c 满足log 3a ＝log 5b ，log 3b ＝log 5c ，其中a ＞1，则（ ） A ．log a b ＝log 35 B ．a ＞b ＞cC ．ac ＞b 2D ．2a +2c ＞2b +1六、解答题（本大题共2小题，共30分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，） 28．（15分）如图，正四棱锥P ﹣ABCD 的高为2√2，体积为8√23． （1）求正四棱锥P ﹣ABCD 的表面积；（2）若点E 为线段PB 的中点，求直线AE 与平面ABCD 所成角的正切值； （3）求二面角A ﹣PB ﹣C 的余弦值．29．（15分）已知定义在R 上的函数f （x ）＝﹣x 2+x |x ﹣a |，其中a 为实数． （1）当a ＝3时，解不等式f （x ）≥﹣2；（2）若函数f （x ）在[﹣1，1]上有且仅有两个零点，求a 的取值范围；（3）对于a ∈[4，+∞），若存在实数x 1，x 2（x 1＜x 2），满足f （x 1）＝f （x 2）＝m ，求x 12+mx 2x 1x 2的取值范围．（结果用a 表示）2022-2023学年浙江省宁波市高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分.1．已知集合A ＝{0，1，2}，B ＝{﹣1，0}，则A ∪B ＝（ ） A ．{﹣1，1，2}B ．{0，1，2}C ．{﹣1，0}D ．{﹣1，0，1，2}解：因为A ＝{0，1，2}，B ＝{﹣1，0}，所以A ∪B ＝{﹣1，0，1，2}． 故选：D ．2．复数﹣1﹣2i （i 为虚数单位）的虚部是（ ） A ．﹣2B ．﹣1C ．1D ．2解：因为复数﹣1﹣2i ，所以复数﹣1﹣2i （i 为虚数单位）的虚部是﹣2． 故选：A ．3．函数f(x)=(x −12)12的定义域是（ ）A ．(−∞，12)B ．[12，+∞)C ．{−∞，−12}D ．[−12，+∞)解：因为f(x)=(x −12)12=√x −12，所以x −12≥0，则x ≥12，所以f （x ）的定义域为[12，+∞)． 故选：B ．4．已知tan α＝﹣1，α∈（0，π]，那么α的值等于（ ） A ．π6B ．π4C ．π3D ．3π4解：∵已知tan α＝﹣1，且α∈[0，π），故α的终边在射线 y ＝﹣x （x ≤0）上，∴α=3π4， 故选：D ．5．某制药厂正在测试一种减肥药的疗效，有1000名志愿者服用此药，结果如表：如果另有一人服用此药，根据上表数据估计此人体重减轻的概率是（ ） A ．0.57B ．0.33C ．0.24D ．0.19解：由已知统计表可知在1000名志愿者中， 服药后出现体重减轻的人数为241人， 因此服药后出现体重减轻的频率为2411000=0.241≈0.24．故选：C ．6．已知向量a →=（x ，2），b →=（3，6），a →⊥b →，则实数x 的值为（ ） A ．1B ．﹣4C ．4D ．﹣1解：∵a →=（x ，2），b →=（3，6），a →⊥b →， ∴3x +2×6＝0，即x ＝﹣4． ∴实数x 的值为﹣4． 故选：B ．7．球的半径是R ＝3，则该球的体积是（ ） A ．36πB ．20πC ．25πD ．30π解：∵R ＝3，∴该球的体积V =43πR 3＝36π． 故选：A ．8．对数lga 与lgb 互为相反数，则有（ ） A ．a +b ＝0 B ．a ﹣b ＝0 C ．ab ＝1 D ．ab=1解：∵lga ＝﹣lgb ∴lga +lgb ＝0 ∴lg （ab ）＝0 ∴ab ＝1 故选：C ．9．取一条长度为1的线段，将它三等分，去掉中间一段，留下剩下的两段；再将剩下的两段分别分割三等分，各去掉中间一段，留剩下的更短的四段；…；将这样的操作一直继续下去，直至无穷，由于在不断分割舍弃过程中，所形成的线段数目越来越多，长度越来越小，在极限的情况下，得到一个离散的点集，称为康托尔三分集．若在第n 次操作中去掉的线段长度之和不小于160，则n 的最大值为（ ）（参考数据：1.57≈17.1，1.58≈25.6，1.59≈38.4，1.510≈57.7） A ．7B ．8C ．9D ．10解：第一次操作去掉的线段长度为13， 第二次操作去掉的线段长度之和为23×13，第三次操作去掉的线段长度之和为23×23×13，…，第n 次操作去掉的线段长度之和为(23)n−1⋅13， 由题意知，(23)n−1⋅13≥160，则(23)n ≥130， 则(32)n ≤30， 因为32＞1，所以指数函数y =(32)x 为增函数， 又1.58≈25.6，1.59≈38.4，n ∈N *， 所以n ＝8， 故选：B ．10．已知a ，b 为非零实数，则“a ＞b ”是“1a＜1b ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：当a ＞0＞b 时，1a＞0＞1b，所以由a ＞b 得不出1a＜1b， 若1a＜1b，则1a −1b=b−a ab＜0，若ab ＜0，则b ﹣a ＞0，即a ＜b ，所以由1a＜1b得不出a ＞b ，所以“a ＞b ”是“1a＜1b”的既不充分也不必要条件．故选：D ．11．在△ABC 中，|AB |＝3，|AC |＝2，AD →=12AB →+34AC →，则直线AD 通过△ABC 的（ ）A ．垂心B ．外心C ．重心D ．内心解：∵|AB |＝3，|AC |＝2 ∴|12AB →|＝|34AC →|=32．设AE →=12AB →，AF →=34AC →， 则|AE →|＝|AF →|，∴AD →=12AB →+34AC →=AE →+AF →．由向量加法的平行四边形法则可知，四边形AEDF 为菱形． ∴AD 为菱形的对角线， ∴AD 平分∠EAF ．∴直线AD通过△ABC的内心．故选：D．12．已知函数f（x）的定义域为R，f(x+12)为奇函数，且对于任意x∈R，都有f（2﹣3x）＝f（3x），则下列结论中一定成立的是（）A．f（1﹣x）＝f（x）B．f（3x+1）＝f（3x）C．f（x﹣1）为偶函数D．f（3x）为奇函数解：由f(x+12)是奇函数，得f(x+12)=−f(−x+12)，即f（x）＝﹣f（1﹣x），选项A错误；由f（2﹣3x）＝f（3x），得f（2﹣x）＝f（x），所以f（2﹣x）＝﹣f（1﹣x），即f（x+1）＝﹣f（x），则f（3x+1）＝﹣f（3x），B错；由f（x+1）＝﹣f（x）可得f（x+2）＝﹣f（x+1）＝f（x）可得函数f（x）的周期为T＝2，f（x）＝﹣f（1﹣x）与f（x+1）＝﹣f（x）可得f（x+1）＝f（1﹣x），即函数f（x）的图象关于x＝1对称，根据周期为2可得函数f（x）的图象关于x＝﹣1对称，即f（﹣1+x）＝f（﹣1﹣x），所以f（x﹣1）为偶函数，C正确；因为f（2﹣3x）＝f（3x）且函数f（x）的周期为T＝2，所以f（2﹣3x）＝f（﹣3x）＝f（3x），f（3x）为偶函数，故选项D错误．故选：C．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，每小题列出的四个备选项中有多个是符合题目要求的，全部选对得4分，部分选对且没错选得2分，不选、错选得0分.）13．下列函数是增函数的是（）A．y＝x3B．y＝x2C．y=x 12D．y＝﹣x﹣1解：对于A，函数y＝x3的定义域为R，函数y＝x3在R上单调递增，A正确；对于B，函数y＝x2的定义域为R，函数y＝x2在（﹣∞，0]上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，B错误；对于C，函数y=x 12的定义域为[0，+∞），函数y=x 12在[0，+∞）上单调递增，C正确；对于D，函数y＝﹣x﹣1的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），函数y＝﹣x﹣1在（﹣∞，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递增，但f（﹣1）＝﹣1＞1＝f（1），D错误；故选：AC．14．已知平面α⊥平面β，且α∩β＝l，则下列命题不正确的是（）A．平面α内的直线必垂直于平面β内的任意一条直线B．平面α内的已知直线必垂直于平面β内的无数条直线C．平面α内的任意一条直线必垂直于平面βD．过平面α内的任意一点作交线l的垂线，则此垂线必垂直于平面β解：对于A，平面α内取平行于交线的直线时，该直线与平面β平行，不垂直于平面β内的任意一条直线，故A错误；对于B，取平面β内无数条与交线垂直的直线，平面α内的已知直线与这无数条直线垂直，故B正确；对于C，平面α内取与l平行的直线，不垂直于平面β，故C错误；对于D，若α内的任意一点取在交线l上，所作垂线可能不在平面α内，所以不一定垂直于平面β，故D错误．故选：ACD．15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．以下列选项为条件，一定可以推出A=π3的有（）A．a＝7，b＝8，c＝5B．a=√3，b=√2，B=π4C．sinBsinC=34D．2sin2B+C2+cos2A=1解：对于A，由余弦定理可得cosA=b2+c2−a22bc=64+25−492×8×5=12，又A∈（0，π），所以A=π3，A正确；对于B，由正弦定理可得asinA =bsinB，又a=√3，b=√2，B=π4，所以sinA=√3×√22√2=√32，又A∈（0，π），所以A=π3或A=2π3，B错误；对于C，取B=π2，C为锐角，且sinC=34，可得A为锐角，且cosA=34，此时A≠π3，C错误；对于D，由2sin2B+C2+cos2A=1可得2sin2(π2−A2)+cos2A=1，所以cos2A=1−2sin2(π2−A2)=cos(π−A)=−cosA，所以2cos 2A +cos A ﹣1＝0，解得cosA =12或cos A ＝﹣1（舍）， 又A ∈（0，π），所以A =π3，D 正确． 故选：AD ．16．如图，在棱长为2的正方体AC ′中，点E 为CC ′的中点，点P 在线段A ′C ′（不包含端点）上运动，记二面角P ﹣AB ﹣D 的大小为α，二面角P ﹣BC ﹣D 的大小为β，则（ ）A ．异面直线BP 与AC 所成角的范围是(π3，π2] B ．tan （α+β）的最小值为−43C ．当△APE 的周长最小时，三棱锥B ﹣AEP 的体积为109D ．用平面BEP 截正方体AC ′，截面的形状为梯形 解：对于A ，因为AC ∥A ′C ′，所以异面直线BP 与AC 所成角为∠BP A ′或∠BPC ′中的锐角或直角，又BA ′＝A ′C ′＝BC ′， 所以△BA ′C ′为等边三角形，因为点P 在线段A ′C ′（不包含端点）上运动，所以当P 为线段A ′C ′的中点时，∠BPA ′=∠BPC ′=π2， 此时异面直线BP 与AC 所成角为π2，当点P 趋近A ′或C ′时，异面直线BP 与AC 所成角趋近π3，所以异面直线BP与AC所成角的范围是(π3，π2]，选项A正确；对于B，过点P作PF∥A′A，PF∩AC＝F，因为A′A⊥平面ABCD，所以PF⊥平面ABCD，过点F作FG⊥AB，FH⊥BC，垂足为G，H，所以∠PGF为二面角P﹣AB﹣D的平面角，∠PHF为二面角P﹣BC﹣D的平面角，故∠PGF＝α，∠PHF＝β，设A′P=√2x，则FG＝AG＝x，GB＝FH＝2﹣x，0＜x＜2，所以tanα=PFGF=2x，tanβ=PFFH=22−x，所以tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ=2x+22−x1−2x×22−x=42x−x2−4，因为0＜x＜2，所以2x﹣x2﹣4∈（﹣4，﹣3]，所以tan(α+β)=42x−x2−4∈[−43，−1)，所以当x＝1时，tan（α+β）取最小值，最小值为−43，选项B正确；对于C，延长EC′到点M，使得EC′＝MC′，则PE＝PM，所以AP+PE+AE＝AP+PM+AE≥AM+AE，当且仅当A ，P ，M 三点共线时等号成立，所以当点P 为线段AM 与A ′C ′的交点时，△APE 的周长最小， 因为PC ′∥AC ， 所以△PC ′M ∽△ACM ， 所以PC′AC=MC′MC=13，又AC =2√2， 所以PC ′=2√23，所以△APE 的面积S =S ACC′A′−S △ACE −S △EC′P −S △AA′P =4√2−√2−√23−4√23=4√23， 又BO ⊥AC ，BO ⊥AA ′，AC ∩AA ′＝A ，AC ，AA ′⊂平面ACC ′A ′， 所以BO ⊥平面ACC ′A ′， 所以点B 到平面APE 的距离为BO ，所以当△APE 的周长最小时，三棱锥B ﹣AEP 的体积为V =13×4√23×√2=89，选项C 错误； 对于D ，延长BE ，B ′C ′，两直线交于点Q ，连接PQ ，设PQ ∩C ′D ′＝S ，PQ ∩A ′B ′＝T ，连接BT ，SE ， 因为平面ABB ′A ′∥平面DCC ′D ′，平面BEP ∩平面ABB ′A ′＝BT ，平面BEP ∩平面DCC ′D ′＝ES ， 所以BT ∥ES ， 又BT ≠ES ，所以四边形BEST 为梯形，所以用平面BEP 截正方体AC ′，截面的形状为梯形，D 正确． 故选：ABD ．三、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分.）17．（6分）已知函数f(x)={2x ，x ≤0f(x −2)，x ＞0，则f （﹣1）＝ 12 ，f （log 23）＝ 34 ．解：因为f(x)={2x ，x ≤0f(x −2)，x ＞0，则f(−1)=2−1=12；因为1＝log 22＜log 23＜log 24＝2，所以，﹣1＜log 23﹣2＜0， 所以，f(log 23)=f(log 23−2)=2log 23−2=2log 2322=34．故答案为：12；34．18．在生活中，我们经常可以看到这样的路障，它可以近似地看成由一个直八棱柱、一个圆柱与一个圆台组合而成，其中圆台的上底面直径为4cm ，下底面直径为40cm ，高为80cm ．为了起到夜间行车的警示作用，现要在圆台侧面涂上荧光材料，则涂料部分的面积为 1804π cm 2．解：作圆台的轴截面如下：过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，由已知，AE ＝80，BE =12×(40−4)=18， 所以AB =√AE 2+BE 2=82， 所以圆台的母线长为82cm ，由已知圆台的上底半径为2cm ，下底半径为20cm ， 所以圆台的侧面积S ＝π×（2+20）×82＝1804π（cm 2）． 故答案为：1804π．19．已知正实数x ，y 满足xy ﹣x ﹣2y ＝0，则x +y 的最小值是 3+2√2 ． 解：因为xy ﹣x ﹣2y ＝0，所以x +2y ＝xy ， 所以2x +1y=1，所以x +y =(x +y)(2x+1y)=2+x y+2y x +1≥3+2√x y ⋅2y x=3+2√2， 当且仅当xy =2y x，2x+1y=1时等号成立，即x =2+√2，y =√2+1时等号成立，所以x +y 的最小值是3+2√2． 故答案为：3+2√2．20．在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin 2A ＝sin 2B +sin B sinC ，则cb的取值范围为 （1，2） ．解：因为sin 2A ＝sin 2B +sin B sin C ，由正弦定理可得a 2＝b 2+bc ，由余弦定理a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ，所以bc ＝c 2﹣2bc cos A ，即b ＝c ﹣2b cos A ， 由正弦定理可得sin B ＝sin C ﹣2sin B cos A ， 所以sin B ＝sin （A +B ）﹣2sin B cos A ， 即sin B ＝sin A cos B +cos A sin B ﹣2sin B cos A ， 所以sin B ＝sin （A ﹣B ），因为0＜A ＜π2，0＜B ＜π2，所以−π2＜A −B ＜π2， 所以B ＝A ﹣B ，即A ＝2B ，所以C ＝π﹣3B ，由△ABC 为锐角三角形，所以0＜A =2B ＜π2，0＜C =π−3B ＜π2，可得π6＜B ＜π4，所以√22＜cosB ＜√32，12＜cos 2B ＜34， 由正弦定理得c b=sinC sinB=sin3B sinB=sin(2B+B)sinB=sin2BcosB+cos2BsinBsinB＝2cos 2B +cos2B ＝4cos 2B ﹣1∈（1，2）， 即cb 的取值范围为（1，2）．故答案为：（1，2）．四、解答题（本大题共3小题，共33分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）21．（11分）随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的手机软件层出不穷．现从某市使用A 款订餐软件的商家中随机抽取100个商家，对它们的“平均配送时间”进行统计，所有数据均在[10，70]范围内，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求a 的值；（2）试估计该市使用A 款订餐软件的商家的“平均配送时间”的第20百分位数．解：（1）依题意可得（0.004+0.02+0.056+a +0.004+0.002）×10＝1， 解得a ＝0.014．（2）因为0.04＜0.2＜0.04+0.2，所以第20百分位数位于[20，30）之间， 设为x ，则0.04+（x ﹣20）×0.02＝0.2，解得x ＝28， 故第20百分位数为28．22．（11分）已知函数f （x ）＝sin （ωx +φ）．其中ω＞0．若f （x ）的最小正周期为π，且f(π2)=f(2π3)； （1）求ω，φ的值；（2）若|φ|＜π2，求f （x ）在区间[−π3，π6]上的值域．解：（1）因为f （x ）＝sin （ωx +φ）的最小正周期为π，ω＞0， 所以2πω=π，所以ω＝2，所以f （x ）＝sin （2x +φ）， 因为f(π2)=f(2π3)， 所以sin(π+φ)=sin(4π3+φ)， 所以−sinφ=−√32cosφ−12sinφ，所以tanφ=√3， 所以φ=kπ+π3，k ∈Z ，（2）由（1）φ=kπ+π3，k ∈Z ，又|φ|＜π2， 所以φ=π3，所以f(x)=sin(2x +π3)，由已知−π3≤x ≤π6，所以−π3≤2x +π3≤2π3，所以−√32≤sin(2x+π3)≤1，所以f（x）在区间[−π3，π6]上的值域为[−√32，1]．23．（11分）已知函数f(x)=log a x+ax+1x+1(x＞0)，其中a＞1．（1）若a＝2，求f(14)的值；（2）判断函数f（x）的零点个数，并说明理由；（3）设f（x0）＝0，求证：12＜f(√x0)＜a+12．解：（1）当a＝2时，f（x）=log2x+2x+1x+1（x＞0），∴f(14)=log214+2×14+114+1=−710；（2）f′(x)=1xlna+a−1(x+1)2，∵a＞1，x+1＞1，∴lna＞0，1(x+1)2＜1＜a，∴f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，∵a＞1，∴1a2＜1，a2a2+1＜1，则f(1a2)=−2+1a+a2a2+1＜0，又f(1)=a+12＞0，由函数零点存在性定理可知，f（x）在（0，+∞）内有唯一零点；（3）证明：由（2）可知，x0∈(1a2，1)，∵f(x0)=log a x0+ax0+1x0+1=0，∴log a x0=−ax0−1x0+1，∴f(√x0)=12log a x0+a√x0+1x+1=−12ax0−12(x0+1)+a√x01x+1，令√x0=t，则f(t)=−12at2−12(t2+1)+at+1t+1=−a2[(t−1)2−1]+2t2−t+12(t2+1)(t+1)，t∈(1a，1)，令g(t)=−a2[(t−1)2−1]，∵2t 2−t+12(t 2+1)(t+1)=2[(t−14)2+716]2(t 2+1)(t+1)＞0，∴f （t ）＞g （t ），易知g （t ）在(1a ，1)上单调递增， 又a ＞1，12a＜12，∴f(t)＞g(t)＞g(1a )=−a2[(1a −1)2−1]=1−12a ＞12， ∵g(t)=−a2[(t −1)2−1]＜g(1)=a 2，∴要证f(t)＜a+12，只需证2t 2−t+12(t 2+1)(t+1)＜12，即证2t 2﹣t +1＜（t 2+1）（t +1），令h （t ）＝（t 2+1）（t +1）﹣（2t 2﹣t +1）＝t 3﹣t 2+2t ， ∵ℎ′(t)=3t 2−2t +2=3[(t −13)2+59]＞0， ∴h （t ）在（0，1）单调递增，∴h （t ）＞h （0）＝0，即（t 2+1）（t +1）＞2t 2﹣t +1，即f(t)＜a+12． 综上，12＜f(t)＜a+12，即12＜f(√x 0)＜a+12．五、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分每小题列出的四个备选项中有多个是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对且没错选得2分，不选、错选得0分）24．抛掷一枚质地均匀的硬币两次，设事件A ＝“第一次正面朝上”，事件B ＝“第二次正面朝上”，则（ ） A ．P(A)=12B ．P(A +B)=34C ．事件A 与事件B 互斥D ．事件A 与事件B 相互独立解：对于A ，试验的样本空间为：Ω＝{（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）}，共4个样本点， 所以P(A)=12，故P(A)=12，故A 正确；对于B ，试验的样本空间为：Ω＝{（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）}，共4个样本点，事件A +B 含有（正，正），（正，反），（反，正），这三种结果，故P(A +B)=34，故B 正确；对于C ，A ＝{（正，正），（正，反）}，B ＝{（正，正），（反，正）}，显然事件A ，事件B 都含有“（正，正）这一结果，事件A ，事件B 能同时发生，因此事件A 与事件B 不互斥，故C 不正确； 对于D ，P(A)=12，P(B)=12，P(AB)=14，所以P （AB ）＝P （A ）P （B ）， 所以事件A 与事件B 为相互独立事件，故D 正确．故选：ABD ．25．已知平面向量a →，b →满足|a →|=1，|b →|=2，则（ ） A ．|a →+b →|的最大值为3B ．|a →−b →|的最大值为3 C ．|a →+b →|+|a →−b →|的最大值为6D ．|a →+b →|−|a →−b →|的最大值为2解：设a →，b →的夹角为θ，θ∈[0，π]，|a →|=1，|b →|=2，a →⋅b →=|a →||b →|cosθ=2cosθ，∵|a →+b →|=√(a →+b →)2=√a →2+2a →⋅b →+b →2=√5+4cosθ， ∵θ∈[0，π]，∴cos θ∈[﹣1，1]，∴当cos θ＝1时，|a →+b →|有最大值3，故A 正确；∵|a →−b →|=√(a →−b →)2=√a →2−2a →⋅b →+b →2=√5−4cosθ， ∵θ∈[0，π]，∴cos θ∈[﹣1，1]，∴当cos θ＝﹣1时，|a →−b →|有最大值3，故B 正确； ∵|a →+b →|−|a →−b →|=√5+4cosθ−√5−4cosθ，要使|a →+b →|−|a →−b →|取最大值，只需考虑|a →+b →|−|a →−b →|≥0的情形， 此时(|a →+b →|−|a →−b →|)2=10−2√25−16cos 2θ， ∵θ∈[0，π]，∴cos 2θ∈[0，1]，∴当cos 2θ＝1时，(|a →+b →|−|a →−b →|)2有最大值10﹣2×3＝4， 所以|a →+b →|−|a →−b →|的最大值为2，故D 正确． ∵|a →+b →|+|a →−b →|=√5+4cosθ+√5−4cosθ， ∴(|a →+b →|+|a →−b →|)2=10+2√25−16cos 2θ， ∵θ∈[0，π]，∴cos 2θ∈[0，1]，∴当cos 2θ＝0时，(|a →+b →|+|a →−b →|)2有最大值10+2×5＝20， 所以|a →+b →|+|a →−b →|的最大值为2√5，故C 错误． 故选：ABD ．26．已知函数f （x ）＝sin x ，g （x ）＝cos x ，若θ满足，对∀x 1∈[0，π2]，都∃x 2∈[−π2，0]使得2f （x 1）＝2g （x 2+θ）+1成立，则θ的值可能为（ ）A ．πB ．5π6C ．2π3D ．π2解：因为对∀x 1∈[0，π2]，都∃x 2∈[−π2，0]使得2f （x 1）＝2g （x 2+θ）+1成立，所以f （x ）＝2sin x ，x ∈[0，π2]的值域包含于函数y ＝2cos （t +θ）+1，t ∈[−π2，0]的值域， 函数f （x ）＝2sin x ，x ∈[0，π2]的值域为[0，2]，所以S ＝4πR 2＝12π，t ∈[−π2，0]的值域包含区间[0，2]， 由−π2≤t ≤0，可得−π2+θ≤t +θ≤θ， 当θ＝π时，π2≤t +π≤π，﹣1≤cos （t +π）≤0，所以S ＝4πR 2＝12π，t ∈[−π2，0]的值域为[﹣1，1]不满足要求，A 错误； 当θ=5π6时，π3≤t +5π6≤5π6，−√32≤cos(t +5π6)≤12， 所以y =2cos(t +5π6)+1，t ∈[−π2，0]的值域为[−√3+1，2]满足要求，B 正确； 当θ=2π3时，π6≤t +2π3≤2π3，−12≤cos(t +2π3)≤√32，所以y =2cos(t +2π3)+1，t ∈[−π2，0]的值域为[0，√3+1]满足要求，C 正确； 当θ=π2时，0≤t +π2≤π2，0≤cos(t +π2)≤1，所以y =2cos(t +π2)+1，t ∈[−π2，0]的值域为[1，3]不满足要求，D 错误． 故选：BC ．27．已知正实数a 、b 、c 满足log 3a ＝log 5b ，log 3b ＝log 5c ，其中a ＞1，则（ ） A ．log a b ＝log 35 B ．a ＞b ＞cC ．ac ＞b 2D ．2a +2c ＞2b +1解：对于A 选项，因为a ＞1，所以log 3a ＞0， 由log 3a ＝log 5b ，可得lna ln3=lnb ln5，则lnblna=ln5ln3，所以log a b ＝log 35，故A 对；对于B 选项，设log 3a ＝log 5b ＝m ＞0，则a ＝3m ，b ＝5m ，因为幂函数y ＝x m 在（0，+∞）上为增函数，所以3m ＜5m ，即a ＜b ， 设log 5c ＝log 3b ＝n ＞0，则b ＝3n ，c ＝5n ， 因为幂函数y ＝x n 在（0，+∞）上为增函数， 所以3n ＜5n ，即b ＜c ，则a ＜b ＜c ，故B 错； 对于C 选项，因为b ＝5m ＝3n ，且m ＞0，n ＞0，所以mln 5＝nln 3，所以n m =ln5ln3＞1，则m ＜n ，故m ﹣n ＜0， 所以acb 2=3m ⋅5n5m ⋅3n =(35)m−n ＞1，即ac ＞b 2，故C 对；对于D 选项，由基本不等式，可得a +c ＞2√ac ＞2b ，所以，2a +2c ＞2√2a+c ＞2√22b =2b+1，故D 对．故选：ACD ．六、解答题（本大题共2小题，共30分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，）28．（15分）如图，正四棱锥P ﹣ABCD 的高为2√2，体积为8√23． （1）求正四棱锥P ﹣ABCD 的表面积；（2）若点E 为线段PB 的中点，求直线AE 与平面ABCD 所成角的正切值；（3）求二面角A ﹣PB ﹣C 的余弦值．解：（1）连接AC ∩BD ＝O ，连接PO ，如图，因为在正四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是正方形，则AC ⊥BD ，且O 是AC 与BD 的中点，PO ⊥底面ABCD ，因为正四棱锥P ﹣ABCD 的高为2√2，体积为8√23， 则PO =2√2，设底面ABCD 边长为t ，则S ABCD =t 2，所以由V P−ABCD =13S ABCD ⋅PO ，得8√23=13t 2×2√2， 解得t ＝2，因为PO ⊥底面ABCD ，OC ⊂底面ABCD ，故PO ⊥OC ，在Rt △POC 中，OC =12AC =√2，则PC =√PO 2+OC 2=√10，同理PB =√10，所以在△PBC 中，PB =PC =√10，BC =2，则S △PBC =12×2×√10−1=3， 同理：S △P AB ＝S △P AD ＝S △PCD ＝S △PBC ＝3，所以正四棱锥P ﹣ABCD 的表面积为S ＝S ABCD +4S △PBC ＝4+4×3＝16．（2）由（1）可得，以O 为原点，OA →，OB →，OP →为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，如图， 则A(√2，0，0)，C(−√2，0，0)，B(0，√2，0)，D(0，−√2，0)，P(0，0，2√2)， 因为点E 为线段PB 的中点，所以E(0，√22，√2)， 则AE →=(−√2，√22，√2)，易知平面ABCD 的一个法向量为n 0→=(0，0，1)，设直线AE 与平面ABCD 所成角为θ，则0＜θ＜π2，所以sinθ=|cos〈AE →，n 0→〉|=|AE →⋅n 0→||AE →||n 0→|=√2√2+12+2×1=23， 故cosθ=√1−sin 2θ=√53，tanθ=2√5=2√55， 所以直线AE 与平面ABCD 所成角的正切值为2√55． （3）由（2）知AB →=(−√2，√2，0)，PB →=(0，√2，−2√2)，BC →=(−√2，−√2，0)，设平面APB 的一个法向量为m →=(a ，b ，c)，则{AB →⋅m →=0PB →⋅m →=0，即{−√2a +√2b =0√2b −2√2c =0， 则可取m →=(2，2，1)，设平面PBC 的一个法向量为n →=(x ，y ，z)，则{PB →⋅n →=0BC →⋅n →=0，即{√2y −2√2z =0−√2x −√2y =0， 则可取n →=(−2，2，1)，设二面角A ﹣PB ﹣C 为φ，则由图形可知π2＜φ＜π， 所以cosφ=−|cos〈m →，n →〉|=−|m →⋅n →||m →||n →|=19×9=−19， 所以二面角A ﹣PB ﹣C 的余弦值为−19．29．（15分）已知定义在R 上的函数f （x ）＝﹣x 2+x |x ﹣a |，其中a 为实数．（1）当a ＝3时，解不等式f （x ）≥﹣2；（2）若函数f （x ）在[﹣1，1]上有且仅有两个零点，求a 的取值范围；（3）对于a ∈[4，+∞），若存在实数x 1，x 2（x 1＜x 2），满足f （x 1）＝f （x 2）＝m ，求x 12+mx 2x 1x 2的取值范围．（结果用a 表示）解：（1）因为a ＝3，所以f （x ）＝﹣x 2+x |x ﹣3|，当x ≥3时，f （x ）＝﹣3x ，所以f （x ）≥﹣2⇔﹣3x ≥﹣2，解得x ≤23，不满足x ≥3，所以此时不等式f （x ）≥﹣2的解集为∅；当x ＜3时，f （x ）＝﹣2x 2+3x ，所以f （x ）≥﹣2⇔﹣2x 2+3x ≥﹣2⇔2x 2﹣3x ﹣2≤0，解得−12≤x ≤2，满足x ＜3； 所以不等式f （x ）≥﹣2的解集为[−12，2]；（2）令f （x ）＝﹣x 2+x |x ﹣a |＝0，则有x （﹣x +|x ﹣a |）＝0，x 1＝0∈[﹣1，1]，如果a ＝0，则有﹣x +|x |＝0，当x ≥0时都能成立，不满足题意；当a ≠0时，﹣x +|x ﹣a |＝0，x ＝|x ﹣a |，x 2＝（x ﹣a ）2，解得x 2=a 2，又因为0＜x 2≤1，即0＜a 2≤1，解得0＜a ≤2，所以a 的取值范围为（0，2]；（3）对于a ≥4，令f （x ）＝﹣x 2+x |x ﹣a |＝m 有2个不同的实数解x 1，x 2，并且x 1＜x 2，当x≥a时，f（x）＝﹣ax，当x＜a时，f（x）＝﹣2x2+ax，函数的大致图像如下：当﹣a2＜m＜a28，并且m≠0时，有﹣2x2+ax＝m，即2x2﹣ax+m＝0，解得x1=a−√a2−8m4，x2=a+√a2−8m4，令t=√a2−8m，则m=a2−t28，并且t∈（0，a）∪（a，3a），x1=a−t4，x2=a+t4，x1x2=m2，令y=x12+mx2x1x2，则y=2x12m+2x2=(a−t)28m+a+t2=1−2ta+t+a+t2，y t′=12−2a(a+t)2，显然y t′是关于t的增函数，即y t′＞y t＝0′=12−1a，因为a≥4，所以y t′≥0，所以y是关于t的增函数，所以1+a2＜y＜2a−12，并且y≠a，即y∈（1+a2，a）∪（a，2a−12）；当m≤﹣a2时，x1=a−√a2−8m4，x2=−m a，同理令t=√a2−8m，m=a2−t28，t≥3a，y=x1x2+mx1=−2aa+t+a+t2，y t′=12+2a(a+t)2＞0，所以y是关于t的增函数，y≥y|t＝3a＝2a−12，所以x12+mx2x1x2的取值范围是（1+a2，a）∪（a，+∞）．。

浙江高二下数学试卷及答案注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．当时，复数在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．已知全集，集合，，则集合( )A ．B ．C ．D ．3．函数的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．1m <()21i m +-U =R4．已知向量、的夹角为，，，则（ ）A ．B ．C ．D ．5．甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为，其中，若，就称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（ ） A ．B ．C ．D ．6．已知双曲线C 的中心在坐标原点，一个焦点到渐近线的距离等于2，则C 的渐近线方程为（ ） A ．B ．C ．D ． 7．在中，内角的对边分别为，已知，，，则（ ） A ．B ．C ．D ．或8．《数书九章》是我国宋代数学家秦九韶的著作，其中给出了求多项式的值的秦九韶算法，如图所示的程序框图给出了一个利用秦九韶算法求某多项式值的实例，若输入的，输出的，则判断框“”中应填入的是（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知一圆锥的底面直径与母线长相等，一球体与该圆锥的所有母线和底面 都相切，则球与圆锥的表面积之比为（ ）a b 2=a 1=b -=a b 112512251325142512y x =±23y x =±32y x =±2y x =±ABC △π3A =3π4π6π4π43π4A ．B ．C D ．10．把函数的图像向左平移个单位长度，再把所得的图像上每个点的横、纵坐标都变为原来的2倍，得到函数的图像，并且的图像如图所示，则的表达式可以为（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知椭圆C 的方程为，焦距为，直线与 椭圆C 相交于A ，B 两点，若，则椭圆C 的离心率为（ ）A B ．C ．D ．12．已知函数为上的奇函数，且图象关于点对称，且当时，，则函数在区间上的（ ）A ．最小值为B ．最小值为C ．最大值为0D ．最大值为234926827()y f x =2π3()g x ()g x ()f x ()2sin π6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()sin 4π6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()sin 4π6f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()2sin 4π6f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()222210x y a b a b+=>>2:4l y x =3341214R ()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭34-78-78第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．设曲线在点处的切线方程为，则____．14．若，满足约束条件，则的最小值为_______．15．已知，_______．16．圆锥的底面半径为，母线长为．正四棱柱的上底面的顶点均在圆锥的侧面上，棱柱下底面在圆锥的底面上，则此正四棱柱体积的最大值为_____．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）记公差不为零的等差数列的前n 项和为，已知，是与的等比中项．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前n 项和．x y 220100x y x y y --≤-+≥≤⎧⎪⎨⎪⎩15y z x -=+tan 24πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭2sin2cos αα+=则1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭18．（12分）某小区为了调查居民的生活水平，随机从小区住户中抽取6个家庭，得到数据如下：家庭编号 1 2 3 4 5 6 月收入x （千元） 20 30 35 40 48 55 月支出y （千元）4568811参考公式：回归直线的方程是：，其中，，．（1）据题中数据，求月支出（千元）关于月收入（千元）的线性回归方程（保留一位小数）；（2）从这个家庭中随机抽取个，记月支出超过千家庭个数为，求的分布列与数学期望．()()()1122211ˆnniii i i i nniii i x x y y x y nxybx x xnx ====---==--∑∑∑∑19．（12分）如图，在几何体中，四边形是矩形，平面，，，，分别是线段，的中点．GF∥（1）求证：平面；（1）求平面与平面所成角的余弦值．20．（12分）已知抛物线经过点，其焦点为F ．M 为抛物线上除了原点外的任一点，过M 的直线l 与x 轴，y 轴分别交于A ，B ． （1）求抛物线C 的方程以及焦点坐标；（2）若△BMF 与△ABF 的面积相等，求证：直线l 是抛物线C 的切线．()1,2P21．（12分）设函数． （1）若，求的单调区间； （2）若当时，恒成立，求实数a 的取值范围．()()2e 1x f x x ax =--12a =()f x 0x >()0f x ≥请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求曲线的普通方程和的直角坐标方程； （2）已知曲线的极坐标方程为，，，点是曲线与的交点，点是曲线与的交点，且，均异于原点，且，求实数的值．2cos 22sin x y ϕϕ==+⎧⎨⎩ϕρ∈R23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知．（1）当时，求不等式的解集；（2）若不等式的解集为实数集，求实数的取值范围．()2221f x x x a =+-+R答案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】D【解析】∵，∴，∴复数在复平面内对应的点位于第四象限，故选D ． 2．【答案】A 【解析】由，可得或，故，由，解得，∴，∴，故选A ．3．【答案】C 【解析】当时，，故排除选项B ；，故排除D ；，令，得或，则当变化时，的变化情况如下表：x0 (0，+∞)f ′(x) − 0 + 0 + f(x) 单调递减极小值单调递增单调递增又因为，故在的切线为轴，故排除选项A ，所以选C ．4．【答案】A 【解析】A ．5．【答案】C【解析】甲乙两人猜数字时互不影响，故各有5种可能，故基本事件是种，“心1m <10m -<()21i m +-()2,1m -()1e 1f =>()()323e x f x x x =+'3x =-(),3-∞-3-()3,0-()3f -()222242cos6013-=--⋅+-⋅︒+a b a b a a b b a b有灵犀”的情况包括：，，，，，，，，，，，，共13种，故他们“心有灵犀”概率为，故选． 6．【答案】D【解析】设双曲线的方程为，其渐近线方程为，依题意可知，解得，∴双曲线C 的渐近线方程为，故选D ．7．【答案】C【解析】，，， 由余弦定理可得：，由正弦定理可得：，为锐角，．故选C ． 8．【答案】C【解析】模拟程序的运行过程如下， 输入，，， ， 此时不满足循环条件，输出， 则判断框中应填入的是．故选C ．9．【答案】B132522221x y a b-=b y x a =±2222552a b ba b ⎧+==+⎪⎨⎪⎩31c Q 2b =π3A =∴∴32sin 22sin 6b AB a⋅===π4B ∴=114111333x k y ===⨯+=，，411321339k y ==⨯+=，131********k y ==⨯+=，4011214127381k y ==⨯+=，12181y =【解析】设圆锥底面圆半径为R ，球的半径为r ，由题意知，圆锥的轴截面是边长为2R 的等边三角形，球的大圆是该等边三角形的内切圆，所以，， ，所以球与圆锥的表面积之比为，故选B ． 10．【答案】B【解析】∵，即， ∴或,（舍去），则， 又，，，当，， 即，把函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，得到，再把纵坐标缩短到原来的，得到，再把所得曲线向右平移个单位长度得到函数的图象， 即，故选B ． 11．【答案】A【解析】设直线与椭圆在第一象限内的交点为，则，3r =22234π4π4π3S r R ⎫=⋅=⎪⎪⎝=⎭球的表面积22π2π3πS R R R R =⋅+=圆锥表面积224π4393πRR=()02sin 1g ϕ==1sin 2ϕ=5π2π6k ϕ=+2ππ6k ϕ=+k ∈Z ()5π2sin 6g x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭7π5π2π126k ω+=k ∈Z 512267k ω⎛⎫∴=-⨯ ⎪⎝⎭1k =2ω=()5π2sin 26g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()g x 125π2sin 46y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭125πsin 46y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2π3()f x ()2π5π8π5π11ππsin 4sin 4sin 4sin 4363666f x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+=-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎣⎦24y =由，可知，解得， 所以，把点代入椭圆方程得到， 整理得，即，因，所以可得，故选A 项． 12．【答案】A 【解析】因为函数的图象关于点对称，所以．又函数为奇函数，所以，所以函数是周期为6的周期函数，又函数的定义域为，且为奇函数，故，，依次类推，．作出函数的大致图象，如图所示，根据周期性可知，函数在区间上的图象与在区间上的图象完全一样， 可知函数在上单调递减，且，所以函数在区间上的最小值为．选A ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】 【解析】因为曲线，所以，2224x x c ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭22x =221,3A c ⎫⎪⎪⎝⎭222222131c a b ⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=3e =R ()()330f f -==()30f -=34-1-()11af x x =-+'因为曲线在点处的切线方程为，所以，． 14．【答案】【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数其几何意义表示点与可行域内的点连线的斜率， 据此可知目标函数在点A 处取得最小值，联立直线方程，可得点的坐标为，据此可知目标函数的最小值为，故答案为． 15．【答案】【解析】， 所以． 16．【答案【解析】设正四棱柱的底面边长为x ，设棱柱的高h ，()01121af a =-=-='1a =-4-()5,1P -22010x y x y --=-+=⎧⎨⎩()4,3A --min 31445z --==--+4-710tan tan2144tan tan 344121tan tan 44ππππππαααα⎛⎫+- ⎪⎡⎤--⎛⎫⎝⎭=+-=== ⎪⎢⎥-⎛⎫⎝⎭⎣⎦++ ⎪⎝⎭2222222sin cos cos 2tan 12317sin2cos =10sin cos tan 131ααααααααα++⨯++===+++643根据相似性可得：，解得（其中． ∴此正四棱柱体积为，，令，解得， 易得：在上递增，在上递减， ． 三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）由已知，得，又，解得，．（2）由（1）得，，， ． 18．【答案】（1）；（2）见解析．【解析】（1），，， ，所以月支出关于月收入的线性回归方程是：． （2）的可能取值为，，， 2232223h -=436x h -=022x <<22436x V x h x -==28336x x V -'=0V '=42x =2436xV x -=42⎛ ⎝⎭42,22⎝6431n nT n =+()()12212n n n S n n n -⨯=+=+()111111n S n n n n ∴==-++11111111223111n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 0.2.6ˆ0y x =-203035404855386x +++++==456881176y +++++==()2222222204305356408488551163870.2203035404855638ˆb⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-⨯⨯=≈+++++-⨯0.2.6ˆ0yx =-()303336C C 1020C P ξ⋅===()213336C C 9120C P ξ⋅===，，故的分布列为：ξ0123P数学期望．19．【答案】（1）见证明；（2）．【解析】（1）如图，取的中点连接，，又是的中点，所以，且，又是中点，所以，由四边形是矩形得，，，所以且．从而四边形是平行四边形，所以，∵DH⊂平面ADE，GF⊄平面ADE，∴GF∥平面ADE．（2）如图，在平面内，过点作，()123336C C9220CPξ⋅===()033336C C1320PCξ⋅===120920920120 ()19910123 1.520202020Eξ=⨯+⨯+⨯+⨯=23HG AB∥12HG AB=12DF CD=AB CD∥GH DF∥GF DH∥BQ EC∥因为，所以． 又平面，所以，．以为原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，设，则，，，．因为平面，所以为平面的法向量，设为平面的法向量．又，， ，即，取， ， 所以平面与平面所成角的余弦值为．20．【答案】（1）抛物线C 的方程为，焦点F 点坐标为；（2）见解析． 【解析】（1）因为抛物线经过点，所以．所以抛物线C 的方程为，焦点F 点坐标为．（2）证明：因为△BMF 与△ABF 的面积相等， 所以，所以B 为AM 的中点． 设（），则．BE u u u r BQ u u u r BA u u u r()0,0,4BA =u u u r(),,x y z =n ()4,0,4AE =-u u u r ()4,4,2AF =-u u u r 0n AE n AF ⎧⎪⎨⎪⋅=⋅=⎩u u u ru u ur 4404420x z x y z -=+-=⎧⎨⎩()2,1,2=-n 242cos 43,3BA BA BA 〉⋅⨯∴〈===⨯u u u ru u u r u u u rn n n 23()1,0()1,2P ()1,0BM AB =()00,M x y 000x y ≠()00,A x -所以直线l 的方程为， 与抛物线联立得， ，所以直线l 是抛物线C 的切线．21．【答案】（1）在，上单调递增，在上单调递减；（2）． 【解析】（1）时，，， 当时，； 当时，； 当时，．故在，上单调递增，在上单调递减． （2）．令，则，若，则当时，，为增函数，而，从而当时，，即．若，则当时，，为减函数，而， 从而当时，，即． 综上可得a 的取值范围是．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．【答案】（1）的普通方程为，的直角坐标方程为；()0002y y x x x =+2000840x y y x y -+=2200002006464161604x x Δx x x y =-=-=()f x (),1-∞-()0,+∞()1,0-(],1-∞12a =()()2112e x f x x x =--()()()111e e e x x x f x x x x '=-+-=-+(),1x ∈-∞-()0f x '>()1,0x ∈-()0f x '<()0,x ∈+∞()0f x '>()f x (),1-∞-()0,+∞()1,0-()()()2e 11e x x f x x ax x ax =--=--()e 1x g x ax =--()e xg x a '=-()0,x ∈+∞()0g x '>()g x ()00g =()0g x ≥()0f x ≥1a >()0,ln x a ∈()0g x '<()g x ()00g =()0,ln x a ∈()0g x <()0f x <(],1-∞（2）． 【解析】（1）由曲线的参数方程为（为参数），消去参数得曲线的普通方程为，因为曲线的极坐标方程为，所以，所以的直角坐标方程为，整理得．（2）：化为极坐标方程，所以，所以，所以，即， 又因为，所以． 23．【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）当时，，当时，由得，得，或，所以． 当时，由，得，解得或，所以； 当时，由得，解得或，所以， 综上：当时，的解集为．（2）的解集为实数集，3π42cos 22sin x y ϕϕ==+⎧⎨⎩ϕ=4sin cos =422πn 4A B AB ρρααα⎛⎫-=--= ⎪⎝⎭sin 14πα⎛⎫-=± ⎪⎝⎭()π42ππk k α-=+∈Z ()3ππ4k k α=+∈Z 3π4α=1171x x x ⎧-+⎪<->⎨⎪⎪⎩⎭或1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭102x <≤317x -<317x +>x ∈∅12x >117x --<117x -+>117x -+>1171x x x ⎧-+⎪<->⎨⎪⎪⎩⎭或()0f x ≥2221R a x x ⇔≥---第 21 页 共 21 页 当时，， 当时，， 的最大值为． 实数的取值范围为．12x ≥2221312212212222x x x x x ⎛⎫---=--+=-++≤- ⎪⎝⎭12x <2221112212212222x x x x x ⎛⎫---=-+-=---<- ⎪⎝⎭2221x x ∴---12-1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭。

浙江省杭州市2021-2022高二数学下学期期末考试试题（含解析）一、选择题：本大题共15小题，每小题4分，共60分，每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选，错选均不得分 1.设集合{}1,2,4A =，{}3,4B =，则集合A B =（ ）A. {}4B. {}1,4C. {}2,3D.{}1,2,3,4【答案】A 【解析】 【分析】利用交集的运算律可得出集合AB 。

【详解】由题意可得{}4A B ⋂=，故选：A 。

【点睛】本题考查集合的交集运算，考查计算能力，属于基础题。

2.直线340x y ++=的斜率为（ ） A. 13- B.13C. 3-D. 3【答案】A 【解析】 【分析】将直线方程化为斜截式，可得出直线的斜率。

【详解】将直线方程化为斜截式可得1433y x =--，因此，该直线的斜率为13-，故选：A 。

【点睛】本题考查直线斜率的计算，计算直线斜率有如下几种方法： （1）若直线的倾斜角为α且α不是直角，则直线的斜率tan k α=； （2）已知直线上两点()11,A x y 、()()2212,B x y x x ≠，则该直线的斜率为1212y y k x x -=-；（3）直线y kx b =+的斜率为k ；（4）直线()00Ax By C B ++=≠的斜率为A k B=-.3.函数()22log 1y x =-的定义城是（ ） A. {}1x x > B. {}1x x <C. {}1x x ≠D. R【答案】C 【解析】 【分析】根据对数的真数大于零这一原则得出关于x 的不等式，解出可得出函数的定义域。

【详解】由题意可得()210x ->，解得1x ≠，因此，函数()22log 1y x =-的定义域为{}1x x ≠，故选：C 。

【点睛】本题考查对数型函数的定义域的求解，求解时应把握“真数大于零，底数大于零且不为1”，考查计算能力，属于基础题。

第二学期北斗联盟期中联考高二年级数学学科试题考生须知：1．本卷共四页满分150分，考试时间120分钟；2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。

3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效：4．考试结束后，只需上交答题纸。

一、单选题（每小题5分共40分）1．集合{}1,2,3,4A =，{}25B x x =∈<<N ，则A B = （ ）A ．{}234，，B ．{}34，C ．{}345，，D ．{}2345，，，2．已知空间两条不同直线m 、n ，两个不同平面α、β，下列命题正确的是（ ）①m α⊥，n α⊥则m n ∥②m α∥，n β∥，αβ∥则m n ∥③m α⊥，m β⊥则αβ∥④n α⊥，n β∥则αβ⊥A ．①③B ．②④C ．①③④D ．①④3．已知非零向量a ，b ，则“两向量a ，b 数量积大于0”是“两向量a ，b夹角是锐角”的（ ）条件A ．必要B ．充分C ．充要D ．即不充分也不必要4．东阳市一米阳光公益组织主要进行“敬老”和“助学”两项公益项目，某周六，组织了七名大学生开展了“筑梦前行，阳光助学”活动后，大家合影留念，其中米一同学想与佳艳、刘西排一起，且要排在她们中间，则全部排法有（ ）种。

A ．120B ．240C ．480D ．7205．已知等差数列{}n a ，前n 项和为n S ，5a 、2020a 是方程2230x x --=两根，则2024S =（ ）A ．2020B ．2022C ．2023D ．20246．空间点()1,1,1A -，()1,2,3B -，()1,2,4C 则点A 到直线BC 的距离d =（）A B C D 7．已知4tan 3θ=-，()3π,4πθ∈，则sin θ=（ ）A ．45B ．45-C ．35D ．35-8．三棱锥P ABC -中，PA PB PC ===，1AC AB ==，120CAB ∠=︒则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（ ）A ．9πB ．9π2C ．18πD ．36π二、多选题（每小题6分，共18分，多选．错选0分少选则根据比例得分）9．已知直线1l ：1110A x B y C ++=和直线2l ：2220A x B y C ++=，则下列说法正确的是（ ）A ．若20A =，则2l 表示与x 轴平行或重合的直线B ．直线1l 可以表示任意一条直线C ．若12210A B A B -=，则12l l ∥D ．若12120A A B B +=，则12l l ⊥10．已知正项等比数列{}n a 的公比为()0q q >，前n 项积为n T ，且满足71a >，781a a <，则下列说法正确的是（ ）A ．01q <<B ．1q >C ．14131T T <<D ．{}n T 存在最大值11．已知定义域为R 的函数()f x 不恒为零，满足等式()()()2xf x x f x '=+，则下列说法正确的是（ ）A ．()00f =B ．()f x 在定义域上单调递增C ．()f x 是偶函数D ．函数()f x '有两个极值点三、填空题（每小题5分共15分）12．复数34i z =+，则2iz+的虚部为______．13．一学校对高二女生身高情况进行采样调查，抽取了10个同学的身高：161，160，152，155，170，157，178，175，172，162，则估计这些女生的上四分位数是______14．三角形ABC ，AB c =，BC a =，CA b =，D 为AB 边上一点，2CD =，AC CD ⊥，45BCD ∠=︒，则)b +的最大值为______四、解答题（共77分）15．（本题13分）函数()212ln 2f x x x x =--，[]1,3x ∈，求()f x 的最大值和最小值16．（本题15分）如图多面体ABCDEF ，底面ABCD 为菱形，EF AB ∥，22AB AF EF ===，120FAB ∠=︒，60ABC ∠=︒，平面ABEF ⊥平面ABCD（1）求证BD CE⊥（2）求平面BDE 与平面ADF 所成锐角的余弦值17．（本题15分）（1）求圆O ：221x y +=和圆M ：22680x y y +-+=的公切线 （2）若 与抛物线24xy =相交，求弦长18．（本题17分）在高等数学中对于二阶线性递推式21n n n a pa qa ++=+求数列通项，有一个特殊的方法特征根法：我们把递推数列21n n n a pa qa ++=+的特征方程写为2x px q =+①，若①有两个不同实数根α，β，则可令1112n n n a c c αβ--=+；若①有两个相同的实根α，则可令()112n n a c nc α-=+，再根据1a ，2a 求出1c ，2c ，代入即可求出数列{}n a 的通项。