浙江省丽水市2020-2021学年高二下学期期末数学试题

浙江省丽水市2020-2021学年高二上学期期末教学质量监控地理试题卷 2021.2考生须知：本试题卷分选择题和非选择题两部分，共8页，满分100分，考试时间90分钟。

答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填涂在试卷和答题纸规定的位置上。

请考生按规定用笔将所有题目的答案涂、写在答题纸上。

一、选择题I （本大题共20小题，每小题2分，共40分。

在每题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的）2020年6月21日，天空上演“日环食”天文景象。

日环食进入我国的时间大约是北京时间13点左右，最后从太平洋海域离开地球表面。

右图为我国某地某时段多次曝光形成的日环食葫芦串（部分食相）图。

完成1、2题。

1．食甚阶段看到的亮环是太阳的A.光球层B.色球层C.日冕层D.太阳核心2．日环食发生时，地月（白色为光照面）相对位置示意图为A.①B.②C.③D.④位于澳大利亚的库伯佩迪是当地一个小镇，镇上居民早期多居住在地下。

库伯佩迪始建于1915年，当时这里发现了大量的猫眼石，吸引大批矿工前来采矿。

下图为澳大利亚略图。

完成3、4题。

3．当地人们早期多居住在地下主要是为了第1、2题图食甚150°20° 23.5° 40°120°库伯佩迪图例沙漠丘吉尔港温尼伯湖湖尼伯湖港哈得孙湾湖港苏必利尔湖伯湖港 第7、8 题图A.充分利用废弃矿洞B.躲避炎热的天气C.避免遭到野兽侵袭D.躲避殖民者迫害4．库伯佩迪土壤肥力低，主要是由于A.长期采矿，地表碎石多B.气候炎热，有机质分解快C.植被稀疏，有机质来源少D.雨季降水多，水土流失严重目前，中国是印度铁矿石出口的最大买家，右图为印度局部地区铁矿石资源分布示意图。

完成5、6题。

5．一月份，一艘从印度出发的货轮把甲地附近铁矿石运往上海，途经乙海区时总体情况是A.顺风顺水B.顺风逆水C.逆风逆水D.逆风顺水 6．图中甲地附近的自然植被类型为A.热带雨林B.热带草原C.热带季雨林D.热带荒漠温尼伯湖是加拿大南部最大的湖泊，第四纪大冰期时由冰川穿掘而成。

2020-2021学年浙江省丽水市学院附属中学高二数学文下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知，，则的最小值是（A）（B）（C）（D）参考答案：C2. 已知椭圆的离心率为，焦点是(-3,0)，(3,0)，则椭圆方程为（）A．B．C．D．参考答案：A略3. 下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B．若p∨q为真命题，则p，q均为真命题C．命题“存在x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“对任意x∈R，均有x2+x+1＜0”D．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题参考答案：D【考点】命题的真假判断与应用．【专题】简易逻辑．【分析】A．利用否命题的定义即可判断出；B．利用“或”命题的定义可知：若p∨q为真命题，则p与q至少有一个为真命题；C．l利用命题的否定即可判断出；D．由于命题“若x=y，则sinx=siny”为真命题，而逆否命题与原命题是等价命题，即可判断出．【解答】解：对于A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1”，因此不正确；对于B．若p∨q为真命题，则p与q至少有一个为真命题，因此不正确；对于C．“存在x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“对任意x∈R，均有x2+x+1≥0”，因此不正确对于D．由于命题“若x=y，则sinx=siny”为真命题，因此其逆否命题为真命题，正确．故选：D．【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法，考查了推理能力，属于基础题．4. 已知方程表示的曲线是焦点在x轴上的椭圆,则实数m的取值范围为 ( )(A) (B)(C) (D)参考答案：D5. 将两颗骰子各掷一次，设事件A=“两个点数不相同”，B=“至少出现一个6点”，则概率等于（）A. B. C. D.参考答案：A解：由题意事件A={两个点数都不相同}，包含的基本事件数是36-6=30至少出现一个6点的情况分二类，给两个骰子编号，1号与2号，若1号是出现6点，2号没有6点共五种2号是6点，一号不是6点有五种，若1号是出现6点，2号也是6点，有1种，故至少出现一个6点的情况是11种∴=6. 圆上的点到直线的最大距离是A. 1B.2C.3D.4参考答案：D7. 若圆的半径为1，圆心在第一象限，且与直线和轴都相切，则该圆的标准方程是( )A． B．C． D．参考答案：A略8. 若命题p：?x0＞0，|x0|≤1，则命题p的否定是（）A．?x＞0，|x|＞1 B．?x＞0，|x|≥1C．?x≤0，|x|＜1 D．?x≤0，|x|≤1参考答案：A【考点】命题的否定．【分析】利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解：∵特称命题的否定是全称命题．∴命题p：?x0＞0，|x0|≤1的否定是：?x＞0，|x|＞1故选：A9. 将甲，乙两名同学5次数学测验的成绩用茎叶图表示如图，若甲，乙两人成绩的中位数分别是x 甲，x乙，则下列说法正确的是（）A．x甲＜x乙，乙比甲成绩稳定B．x甲＞x乙；甲比乙成绩稳定C．x甲＞x乙；乙比甲成绩稳定D．x甲＜x乙；甲比乙成绩稳定参考答案：A【考点】茎叶图．【分析】利用茎叶图中的数据和中位数的定义即可得出结论．【解答】解：根据茎叶图中的数据，得甲、乙二人的中位数分别是x甲=79，x乙=82，且在茎叶图中，乙的数据更集中，∴x甲＜x乙，乙比甲成绩稳定．故选：A．【点评】本题考查了中位数的求法与方差的判断问题，是基础题．解题时要注意茎叶图的性质的灵活运用．10. 下列表述正确的是（）①归纳推理是由特殊到一般的推理；②演绎推理是由一般到特殊的推理；③类比推理是由特殊到一般的推理；④分析法是一种间接证明法；⑤若，且，则的最小值是3A．①②③④B．②③④C．①②④⑤ D．①②⑤参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设函数若函数为偶函数，则实数a的值为.参考答案：12. 已知某人连续5次投掷飞镖的环数分别为9，10，8，10，8，则该组数据的方差为▲．参考答案：略13. 已知向量 , , 若向量，则= .参考答案：略14. 椭圆的焦距是___________________。

2021-2022学年浙江省丽水市中学高二数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知等比数列{a n}中，公比q是整数，，则数列{a n}的前8项和为( )A．514 B．513 C．512 D．510参考答案：D2. 6张没有区别的卡片上分别写有数字1，1，2，3，4，5，从中取4张排成一排，可以组成不同的4位奇数的个数为（）A．180 B．126 C．93 D．60参考答案：B3. “”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件参考答案：A4. 等差数列{ a n }的前n项和为S n，且S3=6，a3=0，则公差d等于A．2 B．1 C．-1 D．-2参考答案：D5. 如果方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是（）A．a＞3 B．a＜﹣2 C．a＞3或a＜﹣2 D．a＞3或﹣6＜a＜﹣2参考答案：D【考点】椭圆的简单性质；椭圆的标准方程．【分析】利用方程表示焦点在x轴上的椭圆，建立不等式，即可求得实数a 的取值范围．【解答】解：由题意，∵方程表示焦点在x轴上的椭圆，∴a2＞a+6＞0，解得a＞3或﹣6＜a＜﹣2∴实数a的取值范围是a＞3或﹣6＜a＜﹣2故选D．6. 定积分cosxdx=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．π参考答案：B【考点】67：定积分．【分析】根据微积分基本定理，计算即可【解答】解： cosxdx=sinx=sinπ﹣sin0=0﹣0=0故选：B7. 如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高度是60 m，则河流的宽度BC等于( )A．240(－1)mB．180(－1)mC．120(－1)mD．30(＋1)m参考答案：C8. 已知随机变量ξi满足P（ξi=1）=p i，P（ξi=0）=1﹣p i，i=1，2．若0＜p1＜p2＜，则（）A．E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2）B．E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＞D（ξ2）C．E（ξ1）＞E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2）D．E（ξ1）＞E（ξ2），D（ξ1）＞D（ξ2）参考答案：A【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差．【分析】由已知得0＜p1＜p2＜，＜1﹣p2＜1﹣p1＜1，求出E（ξ1）=p1，E（ξ2）=p2，从而求出D（ξ1），D（ξ2），由此能求出结果．【解答】解：∵随机变量ξi满足P（ξi=1）=p i，P（ξi=0）=1﹣p i，i=1，2，…，0＜p1＜p2＜，∴＜1﹣p2＜1﹣p1＜1，E（ξ1）=1×p1+0×（1﹣p1）=p1，E（ξ2）=1×p2+0×（1﹣p2）=p2，D（ξ1）=（1﹣p1）2p1+（0﹣p1）2（1﹣p1）=，D（ξ2）=（1﹣p2）2p2+（0﹣p2）2（1﹣p2）=，D（ξ1）﹣D（ξ2）=p1﹣p12﹣（）=（p2﹣p1）（p1+p2﹣1）＜0，∴E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2）．故选：A．9. （）A. 45B. 55C. 65D. 以上都不对参考答案：B10. 如果对定义在上的函数，对任意两个不相等的实数，都有，则称函数为“函数”.给出下列函数①;②;③;④.以上函数是“函数”的共有（）A.1个B.2个C.3个D.4个参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知双曲线的左，右焦点分别为，点P在双曲线的右支上，且，则此双曲线的离心率e的取值范围为．参考答案：解一：由定义知，又已知，解得，，在中，由余弦定理，得，要求的最大值，即求的最小值，当时，解得．即的最大值为．解二：设，由焦半径公式得，∵，∴，∴，∵，∴，∴的最大值为．12. 如图是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为_________.参考答案：6.813. 已知，则________；参考答案：略14. 函数f（x）=x2+2x+3在自变量x从1变化到3的过程中的平均变化率是．参考答案：6【考点】变化的快慢与变化率．【分析】求出自变量x的改变量，求出函数值的改变量，由函数值的改变量除以自变量的改变量即可得到答案．【解答】解：△x=3﹣1=2，△y=32+6+3﹣（12+2+3）=12．所以函数的平均变化率为=6．故答案为：6．15. （5分）按边对三角形进行分类的结构图，则①处应填入_________ ．参考答案：等边三角形16. 二次方程+（）+-2=0有一个根比1大，另一个根比1小,则的取值围是 .参考答案：略17. 如图，已知正三棱柱的各条棱长都相等，是侧棱的中点，则异面直线所成的角的大小是参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。

浙江省丽水市2020年高二(下)数学期末质量检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．6名学生站成一排,若学生甲不站两端,则不同站法共有( ) A ．240种B ．360种C ．480种D ．720种2．某几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图的上半部分均为半圆，下半部分为等腰直角三角形，则该几何体的表面积为（ ）A ．(2042)π+B ．(2022)π+C ．(4042)π+D ．(4082)π+3．函数()()()2f x x ax b =-+为偶函数，且在()0,∞+单调递增，则()20f x ->的解集为 A ．{}|22x x -<< B ．{|2x x >或}2x <- C ．{}|04x x <<D ．{|4x x >或}0x <4．设15a =315b =2log 15c =，则下列正确的是 A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．b c a <<5．F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点，过点F 向C 的一条渐近线引垂线，垂足为A ，交另一条渐近线于点B ，若2AF FB =u u u r u u u r，则C 的离心率是（ ） A 23B ．143C 2D ．26．在平面直角坐标系中，设点(),P x y ，定义[]OP x y =+，其中O 为坐标原点，对于下列结论： ()1符合[]2OP =的点P 的轨迹围成的图形面积为8； ()2设点P 3220x y +-=上任意一点，则[]1min OP =；()3设点P 是直线：()1y kx k R =+∈上任意一点，则使得“[]OP 最小的点有无数个”的充要条件是1k =；()4设点P 是椭圆2219x y +=上任意一点，则[]10max OP =．其中正确的结论序号为( ) A ．()()()123B ．()()()134C ．()()()234D ．()()()1247．某产品的广告费用x 万元与销售额y 万元的统计数据如下表：根据以上数据可得回归直线方程y bx a =+$$$，其中9.4b=$，据此模型预报广告费用为6万元时，销售额为65.5万元，则$a ，m 的值为（ ） A ．$9.4a=，52m = B ．$9.2a=，54m = C ．$9.1a=，54m = D ．$9.1a=，53m = 8．设123log 2,ln 2,5a b c -===则 A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．c b a <<9．从标有1、2、3、4、5的五张卡片中，依次不放回地抽出2张，则在第一次抽到奇数的情况下，第二次抽到偶数的概率为( ) A ．14B ．12C ．13D ．2310．设函数()2e +xf x ax =(a R ∈)有且仅有两个极值点12x x ，(12x x <)，则实数a 的取值范围是( ) A ．e e,2⎛⎫--⎪⎝⎭B ．e ,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭C ．()e,-+∞D ．e e,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦11．对于偶函数()()y f x x =∈R ，“()y f x =的图象关于直线1x =对称”是“()y f x =是周期为2的周期函数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．既不充分也不必要条件D ．充要条件12．函数的定义域为R ，()f 22022-=，对任意的x R ∈，都有()f'x 2x <成立，则不等式()2f x x 2018<+的解集为( ) A ．()2,∞-+B ．()2,2-C ．(),2∞--D ．R二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．已知某程序框图如图所示，则该程序运行后输出S 的值为__________．14．定积分12(1)ex x dx --⎰的值为__________.15．执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值为____________.16．在复数范围内，方程210x x ++=的根为________. 三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．已知函数()ln(1)f x x =+.()1证明：()1xf x x x≤≤+； ()2已知111,,ln na n n n n a a a eb a n -+==+=-，证明：1n n b b +<.18．某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当S 中%x （0100x <<）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为()30030180029030100x f x x x x <≤⎧⎪=⎨+-<<⎪⎩，，（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受x 影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：（1）当x 在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？（2）求该地上班族S 的人均通勤时间()g x 的表达式；讨论()g x 的单调性，并说明其实际意义．19．（6分） 已知函数f(x)＝|x ＋a|＋|x －2|. (1)当a ＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集；(2)若f(x)≤|x －4|的解集包含[1，2]，求a 的取值范围．20．（6分）已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的上顶点为P ，右顶点为Q ，直线PQ 与圆2245x y +=相切于点24,55M ⎛⎫⎪⎝⎭. （Ⅰ）求椭圆E 的标准方程；（Ⅱ）设椭圆E 的左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 且斜率存在的直线l 与椭圆E 相交于A ，B 两点，且222AF BF AB +=，求直线l 的方程.21．（6分）设不等式的解集为，且.（1）试比较与的大小；（2）设表示数集中的最大数，且，求的范围.22．（8分）已知函数232()(1)f x a x a x x b =-+++在1x =处取得极小值1．（1）求()f x 的解析式； （2）求()f x 在[0,2]上的最值．参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．C 【解析】 【分析】先选2人（除甲外）排在两端，其余的4人任意排，问题得以解决． 【详解】先选2人(除甲外)排在两端,其余的4人任意排,故2454480A A ⋅=种，故选：C. 【点睛】本题考查排列、组合及简单计数问题，常用的方法有元素优先法、插空法、捆绑法、分组法等，此题考查元素优先法，属于简单题. 2．A 【解析】根据三视图知：几何体为半球和圆柱和圆锥的组合体，计算表面积得到答案. 【详解】根据三视图知：几何体为半球和圆柱和圆锥的组合体.(212311424342022S S S S ππππ=++=⨯⋅+⨯+⨯=+.故选：A . 【点睛】本题考查了根据三视图求表面积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 3．D 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性得到2b a =，在()0,+∞单调递增，得0a >，再由二次函数的性质得到()200f x f ->=（），【详解】函数()()222f x ax b a x b =+--为偶函数，则20b a -=，故()()()2422f x ax a a x x =-=-+，因为在()0,+∞单调递增，所以0a >. 根据二次函数的性质可知，不等式()202f x f ->=（），或 者()202f x f ->=-（），的解集为{2222}{|04}x x x x x x --<-=或或， 故选D. 【点睛】此题考查了函数的对称性和单调性的应用，对于抽象函数，且要求解不等式的题目，一般是研究函数的单调性和奇偶性，通过这些性质将要求的函数值转化为自变量的大小比较，直接比较括号内的自变量的大小即可. 4．B 【解析】 【分析】根据15xy =得单调性可得a b >；构造函数())2log 0f x x x =>，通过导数可确定函数的单调性，根据单调性可得()()15160f f >=，得到c a >，进而得到结论.由15xy =的单调递增可知：11321515>> a b ∴>令())2log 0f x x x =>，则()()1220ln 22ln 2f x x x x '==> 令()0f x '=，则22ln 2x ⎛⎫= ⎪⎝⎭当220,ln 2x ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()0f x '>；当22,ln 2x ⎛⎫⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()0f x '< 即：()f x 在220,ln 2⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递增，在22,ln 2⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递减 23ln 2ln e =>=Q 2ln 23> 229ln 2⎛⎫∴< ⎪⎝⎭()()21516log 160f f ∴>==，即：2log 15> c a ∴>综上所述：b a c << 本题正确选项：B 【点睛】本题考查根据函数单调性比较大小的问题，难点在于比较指数与对数大小时，需要构造函数，利用导数确定函数的单调性；需要注意的是，在得到导函数的零点22ln 2x ⎛⎫= ⎪⎝⎭后，需验证零点与15之间的大小关系，从而确定所属的单调区间. 5．A 【解析】试题分析：由题意得,2,3;,2AF b BF b AB b OA a OB a =====，因此222222224(2)(3)33()3a a b a b c a e e =+⇒==-⇒=⇒=，选A. 考点：双曲线离心率【名师点睛】求双曲线的离心率（取值范围）的策略求双曲线离心率是一个热点问题．若求离心率的值，需根据条件转化为关于a ，b ，c 的方程求解，若求离心率的取值范围，需转化为关于a ，b ，c 的不等式求解，正确把握c 2＝a 2＋b 2的应用及e ＞1是求解的关键． 6．D 【解析】()1根据新定义由[]1OP x y =+=，讨论x 、y 的取值，画出分段函数的图象，求出面积即可；()2运用绝对值的含义和一次函数的单调性，可得[]OP 的最小值；()3根据k 等于1或1-都能推出[]OP 最小的点P 有无数个可判断其错误；()4把P 的坐标用参数表示，然后利用辅助角公式求得[]OP x y =+的最大值说明命题正确． 【详解】()1由[]2OP =，根据新定义得：2x y +=，由方程表示的图形关于,x y 轴对称和原点对称，且()202,02x y x y +=≤≤≤≤，画出图象如图所示：四边形ABCD 为边长是228，故()1正确；()()2,P x y 为直线3220x y +-=上任一点，可得31y x =， 可得31x y x +=+， 当0x ≤时，[]31112OP x ⎛⎫=-+≥ ⎪ ⎪⎝⎭；当03x <<时，[]31123OP x ⎛⎫⎛=+-∈ ⎪ ⎪⎝⎝⎭； 当3x ≥时，可得[]3113OP x ⎛=-++≥ ⎝⎭[]OP 的最小值为1，故()2正确； ()()311x y x y k x +≥+=++Q ，当1k =-时，11x y +≥=，满足题意；而()11x y x y k x +≥-=--，当1k =时，11x y +≥-=，满足题意，即1k =±都能 “使[]OP 最小的点P 有无数个”，()3不正确；()4Q 点P 是椭圆2219x y +=上任意一点，因为求最大值，所以可设3cos x θ=，sin y θ=，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，[]()3cos sin 10sin OP x y θθθϕ=+=+=+，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，[]10max OP ∴=()4正确． 则正确的结论有：()1、()2、()4，故选D ．此题考查学生理解及运用新定义的能力，考查了数形结合的数学思想，是中档题．新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决. 7．C 【解析】分析：根据回归直线过样本中心和条件中给出的预测值得到关于ˆa，m 的方程组，解方程组可得所求． 详解：由题意得()()()17114235,5026381144244x y m m =+++==+++=+， 又回归方程为9.4ˆˆyx a =+， 由题意得()171149.44265.59.46ˆˆm a a ⎧+=⨯+⎪⎨⎪=⨯+⎩，解得5ˆ9.14a m =⎧⎨=⎩． 故选C ．点睛：线性回归方程过样本中心是一个重要的结论，利用此结论可求回归方程中的参数，也可求样本数据中的参数．根据回归方程进行预测时，得到的数值只是一个估计值，解题时要注意这一点． 8．C 【解析】 【分析】由ln 2ln 2ln 3a b =<=及311log ,22a c >==<=可比较大小. 【详解】∵2031a ln ln =＞，＞，∴ln 2ln 2ln 3a b =<=，即a b <．又3311log 2log ,22a c =>==<=．∴a c >．综上可知：c ab << 故选C. 【点睛】本题主要考查了指数与对数的运算性质及对数函数的单调性比较大小，属于中档题. 9．B 【解析】由题意，记“第一次抽到奇数”为事件A ，记“第二次抽到偶数”为事件B ，则()131535C P A C ==，()11321154310C C P AB C C =⨯=，所以()()()12P AB P A B P A ==.故选B. 10．B 【解析】 【分析】函数()2e +xf x ax =(a R ∈)有且仅有两个极值点，即为()0f x '=在R 上有两个不同的解，进而转化为两个图像的交点问题进行求解． 【详解】解：因为函数()2e +xf x ax =(a R ∈)有且仅有两个极值点，所以()0f x '=在R 上有两个不同的解， 即2ax ＋e x ＝0在R 上有两解，即直线y ＝－2ax 与函数y ＝e x 的图象有两个交点，设函数()g x kx =与函数()xh x e =的图象相切，切点为(x 0，y 0)，作函数y ＝e x 的图象，因为()x h x e '= 则0x e k =，所以0000x x y e k e x x ===， 解得x 0＝1，即切点为(1，e)，此时k ＝e ，由图象知直线()y g x kx ==与函数y ＝e x 的图象有两个交点时， 有k e >即－2a ＞e ， 解得a ＜e 2-， 故选B. 【点睛】本题考查了函数极值点的问题，解决此类问题的方法是将函数问题转化为方程根的问题，再通过数形结合的思想方法解决问题． 11．D 【解析】 【分析】将两个条件相互推导，根据推导的结果选出正确选项. 【详解】依题意，函数()f x 为偶函数，即()()f x f x -=.“()y f x =的图象关于直线1x =对称”⇔()()11f x f x -=+⇔()()()21111f x f x f x +=++=-+⎡⎤⎣⎦[]()f x f x =-=⇔“()y f x =是周期为2的周期函数”.故为充要条件，即本小题选D.【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查函数的奇偶性、对称性和周期性，属于中档题. 12．A 【解析】 【分析】把原不等式化为右侧为0的形式，令左侧为()g x ，利用导数得到()g x 的单调性，得解集． 【详解】原不等式化为()2f x x 20180--<，令()()2g x f x x 2018=--，则()()g'x f'x 2x =-，Q 对任意的x R ∈，都有()f'x 2x <成立，()g'x 0∴<恒成立， ()g x ∴在R 上递减，()()2g 2f 2(2)2018-=----Q 2022420180=--=，()g x 0∴<的解集为()2,∞-+，故选：A ． 【点睛】此题考查了利用导数研究单调性，解决不等式问题，难度适中．对于没有解析式或者表达式比较复杂的不等式，通常采取的方法是，研究函数的单调性和零点，进而得到解集。

2020年浙江省丽水市数学高二(下)期末经典试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．若12i +是关于x 的实系数一元二次方程20x bx c ++=的一个根，则（ ） A ．2b =，5c = B ．2b =-，5c = C ．2b =-，5c =-D ．2b =，1c =-2．下列函数中，与函数||3x y =-的奇偶性相同，且在(,0)-∞上单调性也相同的是（ ） A ．21y x =-B ．2log ||y x =C ．1y x=-D ．31y x =-3．已知函数()sin()(0)3f x x πωω=->，若函数()f x 在区间3(,)2ππ上为单调递减函数，则实数ω的取值范围是（ ） A ．211[,]39B ．511[,]69C ．23[,]34D ．25[,]364．在含有2件次品的6件产品中任取3件，恰有1件次品的概率为（） A ．35B ．13C ．45D ．235．设集合(){}2log 10M x x =-<，集合{}2N x x =≥-，则M N ⋃=（ ） A ．{}22x x -≤< B ．{}2x x ≥-C ．{}2x x <D ．{}12x x ≤<6．一个盒子里有7只好的晶体管、5只坏的晶体管，任取两次，每次取一只，每一次取后不放回，在第一次取到好的条件下，第二次也取到好的概率（ ） A ．38B ．722C ．611D ．7127．若220a x dx =⎰，230b x dx =⎰，20sin c xdx =⎰，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．c a b <<B ．a b c <<C ．c b a <<D ．a c b <<8．若0k m n ≤≤≤，且,,m n k N ∈，则mn m k n k n k CC --==∑（ ）A ．2m n+B ．2mn m CC ．2n mn C D ．2m mn C9．已知向量OA OB u u u v u u u v，满足2OA OB ==u u u v u u u v ，点C 在线段AB 上，且OC u u u v，则()tOA OB t R -∈u u u v u u u v的最小值为（ ）ABCD ．210．若曲线2y x mx n =++在点（0，n ）处的切线方程x-y+1=0，则（ ） A ．m 1=，n 1= B ．1m =-，n 1= C ．m 1=，n 1=-D ．m 1=-，n 1=-11．用反证法证明“方程()200++=≠ax bx c a 至多有两个解”的假设中，正确的是（ ）A ．至少有两个解B ．有且只有两个解C ．至少有三个解D ．至多有一个解12．在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若角A ，C ，B 成等差数列，且2sin sin sin C A B =，则ABC V 的形状为（ ） A ．直角三角形 B ．等腰非等边三角形 C ．等边三角形D ．钝角三角形二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．已知函数22log (3),2()2,2x x x f x x --<⎧=⎨≥⎩，则2(log 12)f =_________ 14．已知()f x 是定义在R 上的函数，()'f x 是()f x 的导函数，若()()'0f x f x +>，且()01f =，则不等式()xf x e-<的解集为_____．15．用五种不同的颜色给图中A 、B 、C 、D 、E 、F 六个区域涂色，要求有公共边的区域不能涂同一种颜色且颜色齐全，则共有涂色方法__________种．16．定义函数{}()max ,f x x x λλ=-，x ∈R ，其中0λ>，符号max{,}a b 表示数,a b 中的较大者，给出以下命题： ①()f x 是奇函数；②若不等式(1)(2)1f x f x -+-≥对一切实数x 恒成立，则1λ≥③=1λ时，()()(1)(2)(100)F x f x f x f x f x =+-+-++-L 最小值是2450 ④“0xy >”是“()()()f x f y f x y +≥+”成立的充要条件 以上正确命题是__________．（写出所有正确命题的序号） 三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．选修4-5：不等式选讲已知函数()()2log 12f x x x m =++--. （Ⅰ）当5m =时，求函数()f x 的定义域；（Ⅱ）若关于x 的不等式()1f x ≥的解集是R ，求m 的取值范围.18．某市房地产数据研究所的数据显示，2016年该市新建住宅销售均价走势如图所示，3月至7月房价上涨过快，政府从8月采取宏观调控措施，10月份开始房价得到很好的抑制.（1）地产数据研究所发现，3月至7月的各月均价y （万元/平方米）与月份x 之间具有较强的线性相关关系，试求y 关于x 的回归直线方程；（2）若政府不调控，按照3月份至7月份房价的变化趋势预测12月份该市新建住宅的销售均价. 参考数据：5125,i ii x===∑515.36,i ii y===∑51()()0.64;i i i i x x y y ==--=∑参考公式：51521()()ˆ,()i i ii i ii x x yy bx x ====--=-∑∑ˆˆa y bx=-. 19．（6分）已知函数()()()1ln a f x x a x a R x =-+-∈，()212x x g x x e xe =+-. （1）当[]1,x e ∈时，求()f x 的最小值；（2）当1a <时，若存在21,x e e ⎡⎤∈⎣⎦，使得对任意的[]()()2122,0,x f x g x ∈-<恒成立，求a 的取值范围．20．（6分）设函数3221()23(01)3f x x ax a x b a =-+-+<<． (Ⅰ)求函数f(x)的单调区间和极值；(Ⅱ)若当[]12x a a ∈++，时，恒有()f x a '≤，试确定a 的取值范围； (Ⅲ)当23a =时，关于x 的方程f(x)＝0在区间[1,3]上恒有两个相异的实根，求实数b 的取值范围． 21．（6分）已知函数2()(2)1x xf x te t e =++-，t ∈R .（Ⅰ）当1t =-时，求()f x 的单调区间与极值；（Ⅱ）当0t >时，若函数()()41xg x f x e x =--+在R 上有唯一零点，求t 的值 22．（8分）已知集合{}{}222|340,|240A x x x B x x mx m =--≤=-+-≤. （1）若[]1,4A B ⋂=，求实数m 的值； （2）若R A C B ⊆，求实数m 的取值范围.参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．B 【解析】 【分析】由题意可知，关于x 的实系数一元二次方程20x bx c ++=的两个虚根分别为12i +和12i -，然后利用韦达定理可求出实数b 与c 的值. 【详解】由题意可知，关于x 的实系数一元二次方程20x bx c ++=的两个虚根分别为12i +和12i -，由韦达定理得()()()()12121212b i i c i i ⎧-=++-⎪⎨=+⋅-⎪⎩，解得25b c =-⎧⎨=⎩. 故选B. 【点睛】本题考查利用实系数方程的虚根求参数，解题时充分利用实系数方程的两个虚根互为共轭复数这一性质，并结合韦达定理求解，也可以将虚根代入方程，利用复数相等来求解，考查运算求解能力，属于中等题. 2．A 【解析】 【分析】先分析||3x y =-的奇偶性以及在(,0)-∞的单调性，然后再对每个选项进行分析. 【详解】函数||3x y =-为偶函数,且在(,0)-∞上为增函数，对于选项A ,函数21y x =-为偶函数，在(,0)-∞上为増函数，符合要求； 对于选项B ,函数2log ||y x =是偶函数，在(,0)-∞上为减函数，不符合题意； 对于选项C ,函数1y x=-为奇函数，不符合题意； 对于选项D ,函数31y x =-为非奇非偶函数，不符合要求； 只有选项A 符合要求，故选A . 【点睛】奇偶函数的判断：（满足定义域关于原点对称的情况下）若()()f x f x -=-，则()f x 是奇函数； 若()()f x f x -=，则()f x 是偶函数. 3．B 【解析】因为32x ππ<<，所以33323x ππωππωπω-<-<-，由正弦函数的单调性可得32{33232ππωπωπππ-≥-≤，即1132{313232ωω-≥-≤，也即56{31126ωω≥≤，所以51169ω≤≤，应选答案B 。

丽水市2020学年第一学期普通高中教学质量监控高二数学答案 （2021.02）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选项 A CBCADCDDBCD二．填空题 13. 52；x y 21±= 14.32；21或 15.20；25 16.35 17.3218.]33,21[ 19.22π三．解答题 20.解：（Ⅰ）证明： ⊥1CC 平面ABC ∴BC CC ⊥1又5=AB ，3=AC ，4=BC∴222AB BC AC =+，即AC BC ⊥又C CC AC =1∴⊥BC 平面C C AA 11又⊂AM 平面C C AA 11∴AM BC ⊥………………………………………………………………7分（Ⅱ）过点N 作1//BB NE 交1AB 于点E ，连ME11//CC BB∴1//CC NE .即四边形NEMC 为平面图形.又//CN 平面M AB 1，⊂CN 平面NEMC ，且平面 NEMC 平面M AB 1ME =∴ME CN //∴四边形NEMC 为平行四边形 ∴CM NE =，且CM NE //又点M 为1CC 中点，∴121BB CM =，且1//BB CM E∴121BB NE =，且1//BB NE ∴2521==AB BN …………………………………………………………14分21.解：（1）由241y x y x =-⎧⎨=-⎩，得32x y =⎧⎨=⎩，所以圆心()3,2C .又圆C 过原点O ，13r OC ∴==∴圆C 的方程为：()()223213x y -+-=6分.（2）设(),M x y ，由2MA MO =，得：()222232x y x y +-=+， 化简，得：()2214x y ++=.∴点M 在以()0,1D -为圆心，半径为2的圆上.又点M 在圆()()222:32C x y r -+-=上，22r CD r ∴-≤≤+，即2322r r -≤≤+， 322322r ∴-≤≤+.14分.22.解法一：(1)∵CA BC AB ==，F 是AC 中点；∴AC BF ⊥ ∵AC PA ⊥， F E ,分别是PC ，AC 的中点；∴AC EF ⊥ 又∵F EF BF = ，∴BEF AC 面⊥………………………………7分 (2)过A 作PC AH ⊥于H ∵BEF AC 面⊥，BEF BE 面⊂，∴BE AC ⊥∵PB=BC ，E 为PC 中点，∴PC BE ⊥ 又∵C PC AC = ∴PAC BE 面⊥ ∴AH BE ⊥，又PC AH ⊥，∴PBC AH 面⊥∴AM 在平面PBC 上的射影是HM∴∠AMH 即为AM 与平面PBC 所成的角 △PAC 中，732=AH ，△PAB 中，43922133=⋅≤AM ， FE APM HFE APM ∴91918439732sin =≥=∠AMAHAMH ……………………………………14分 解法二：解：（Ⅰ）建系如图，则)0,1,3(B ，)0,2,0(C ，)0,1,0(FAC PA ⊥，设),0,(c a P则3|222=+=c a PA ，41)3(||222=++-=c a PB解得23=a ，23=c ∴)23,0,23(P ，)43,1,43(E ∴)43,0,433(-=，)0,0,3(-=BF ，)0,2,0(=AC ∴0=⋅，0=⋅∴⊥AC 平面BEF ……………………………………………………………………7分（Ⅱ）)0,1,3(-=，)23,2,23(-=CP ，设平面PBC 的一个法向量),,(z y x = )3,3,1(02322303=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+-=⋅=+-=⋅z y x y x 设)23,,23()23,1,23(λλλλλ--=--==BM 则)23,1,233(λλλ--=AM 设直线AM 与平面PBC 所成角为θ919184397324547327454|23333233|sin 22=⋅≤+-⋅=⋅+-+-+-=λλλλλλλθ…………………………………………………………………………14分23. 解：（I ）x y 42=…………………………………………4分 （II ）由已知得：0204x y =，Q )0,(a ，设A ),(11y x ，B ),(22y x ， 1212124y y x x y y K AB +=--=， 同理可得104y y K MA +=，204y y K MB +=ax y K MQ -=00AB MQ ⊥1-=•∴AB MQ K K 即ax y y y --=+00214 ①………………………………7分直线MA: 0010)(4y x x y y y +-+=即1010104y y y y x y y y +++=由MA 与圆Q 相切得d=r 即11614101010=++++y y y y y y a整理得01616)28()1(2021002120=--+-+-y a y y ay y y 同理可得01616)28()1(2022002220=--+-+-y a y y ay y y所以21,y y 是关于y 的方程01616)28()1(20200220=--+-+-y a y y ay y y 的两根1)14(220021---=+∴y a y y y ②……………………11分由①②得a x y --0041)14(2200---=y a y 又=2y 19484162>---a a a ( 因10>y ) 化简得094)14(2>--a a9a………………………………………14分所以4。

2020-2021学年丽水市高二上学期期末数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.设函数和，已知时恒有，则实数a的取值范围为()A. B. 或C. D.2.如两圆C1：x2+y2=r2与C2：(x−3)2+(y+1)2=r2(r>0)相切，则r的值为()A. √10−1B. √102C. √10D. √10−1或√10+13.已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2=π3，记椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则1e12+3e22的值为()A. 1B. 2C. 3D. 44.已知命题：对任意，有，则()A. 存在，使B. 对任意，有C. 存在，使D. 对任意，有5.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线与圆(x−3)2+y2=4相切，且双曲线以该圆的圆心为焦点，则双曲线的方程为A. x24−y25=1 B. x25−y24=1 C. x216−y225=1 D. x225−y216=16.“a>4”是“a2>16”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7.在同一平面直角坐标系中，直线y=k(x−1)+2和圆x2+y2−4x−2ay+4a−1=0的位置关系不可能是()A. ①③B. ①④C. ②④D. ②③8.在△ABC中，∠BAC=90°，PA⊥平面ABC，AB=AC，D是BC的中点，则图中直角三角形的个数是()A. 5B. 8C. 10D. 69.曲线y2=4x关于直线x=2对称的曲线方程是()A. y2=8−4xB. y2=4x−8C. y2=16−4xD. y2=4x−1610.已知sin(π2+θ)=35，则cos(π−2θ)等于()A. 1225B. −1225C. −725D. 72511.已知长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2BC=2AA1=2，E，F分别是线段A1D1，CC1的中点，若E′是E在平面BDD1B1上的射影，点F′在线段BB1上，FF′//BC，则|E′F′|=()A. √21515B. √21510C. √43015D. √4301012.椭圆的一条弦被平分，那么这条弦所在的直线方程是()A. B.C. D.二、单空题（本大题共4小题，共16.0分）13.多面体的三视图如图所示，则该多面体体积为(单位cm)______．14. 已知直线y =kx +m 与抛物线y 2=4x 相交于P ，Q 两点，线段PQ 的中点坐标为(x 0,2)，则k 等于______．15. 在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是A 1A 和B 1B 的中点，则异面直线CM 和D 1N 所成的角的余弦值为______ ． 16. 已知P 为椭圆x 29+y 28=1上一个动点，直线l 过圆(x −1)2+y 2=1的圆心与圆相交于A ，B 两点，则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为______． 三、多空题（本大题共3小题，共18.0分） 17. 双曲线y 2−x 22=1的焦距是 ，渐近线方程是 ．18. 已知两条直线l 1：kx +y +2=0，l 2：3x −4y +7=0，那么当k = 时，l 1⊥l 2，当k = 时，l 1//l 2，此时l 1和l 2之间的距离d = ．19. 设x ，y 满足约束条件{2x −y +1≥0x −2y ≤0x ≤1，则z =2x +3y 的最大值为 (1) ；满足条件的x ，y 构成的平面区域的面积是 (2) ．四、解答题（本大题共4小题，共56.0分）20. 已知圆C 的半径为3，圆心C 在直线2x +y =0上且在x 轴的下方，x 轴被圆C 截得的弦长BD 为2√5． (1)求圆C 的方程；(2)若圆E 与圆C 关于直线2x −4y +5=0对称，P(x,y)为圆E 上的动点，求√(x −1)2+(y +2)2的取值范围．21. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，底面四边形ABCD 为直角梯形，AB//CD ，∠ADC =90°，PA =AD =CD =2AB ，M 为PC 的中点．(Ⅰ)求证：BM//平面PAD；(Ⅱ)求证：BM⊥平面PCD．22.如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA=AD，M，N分别是AB，PC的中点．(1)求证：MN//平面PAD；(2)求证：平面MND⊥平面PCD．23.如图，抛物线C1：y2=8x与双曲线C2：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)有公共焦点F2，点A是曲线C1，C2在第一象限的交点，且|AF2|=5．(1)求双曲线C2的方程；(2)以F1为圆心的圆M与双曲线的一条渐近线相切，圆N：(x−2)2+y2=1，已知点P(1,√3)，过点P作互相垂直且分别与圆M圆N相交的直线l1，l2，设l1被圆M截得的弦长为s，l2被圆N截得的弦长为t，st是否为定值？请说明理由．参考答案及解析1.答案：C解析：解：由，得，变形得，令，，变形得，即表示以(−2,0)为圆心，2为半径的圆的上半圆，表示斜率为，纵截距为的平行直线系，若不等式成立，则直线在半圆上方，∴，解得．故选C．2.答案：B解析：解：∵圆圆C1：x2+y2=r2，圆心为C(0,0)，半径r，∵圆x2+y2=r2的圆心为O(0,0)，半径为r，C2：(x−3)2+(y+1)2=r2圆心(3,−1)，半径为：r，由两圆相切，得半径和2r，圆心距：√32+12=√10，∴2r=√10解得r =√102．故选：B ．算出两圆的圆心，半径，根据两圆相切，可得两圆圆心的距离等于它们的半径之和，由此利用两点间的距离公式加以计算，即可得到r 的值．本题给出两圆相切，求其中一个圆的半径．考查了圆的标准方程和直线与圆的位置关系等知识，属于基础题．3.答案：D解析：解：如图，设椭圆的长半轴长为a 1，双曲线的半实轴长为a 2，则根据椭圆及双曲线的定义：{|PF 1|+|PF 2|=2a 1|PF 1|−|PF 2|=2a 2； ∴|PF 1|=a 1+a 2，|PF 2|=a 1−a 2，设|F 1F 2|=2c ，∠F 1PF 2=π3，则：在△PF 1F 2中由余弦定理得，4c 2=(a 1+a 2)2+(a 1−a 2)2−2(a 1+a 2)(a 1−a 2)⋅cos π3；∴化简得：a 12+3a 22=4c 2，该式可变成：a 12c 2+3a 22c 2=4；∴1e 12+3e 22=4．故选D ．先设椭圆的长半轴长为a 1，双曲线的半实轴长a 2，焦距2c.因为涉及椭圆及双曲线离心率的问题，所以需要找a 1，a 2，c 之间的关系，而根据椭圆及双曲线的定义可以用a 1，a 2表示出|PF 1|，|PF 2|，并且|F 1F 2|=2c,∠F 1PF 2=π3，在△F 1PF 2中根据余弦定理可得到：a 12c 2+3a 22c 2=4，所以1e 12+3e 22=4． 考查椭圆及双曲线的交点，及椭圆与双曲线的定义，以及它们离心率的定义，余弦定理．4.答案：C解析：试题分析：由全称命题的否定知，命题的否定为存在，使，故选C．考点：全称命题的否定5.答案：B解析：本题考查双曲线的标准方程，渐近线，直线与圆相切问题.由已知可直接得双曲线的焦点坐标，由焦点到渐近线的距离等于圆的半径从而求出b值，因此求出双曲线的标准方程．解：由已知得：c=3，右焦点为F(3,0)，双曲线的渐近线方程为y=bax，即bx−ay=0，由F到bx−ay=0的距离等于2得：√b2+a2=2，即b=2，所以a2=5，所以双曲线的标准方程为x25−y24=1．故选B．6.答案：A解析：解：由a2>16得a>4或a<−4，则“a>4”是“a2>16”的充分不必要条件，故选：A．根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．7.答案：D解析：解：由题知，直线y=k(x−1)+2过定点(1,2)，且当x，y各自为0时，直线与x，y轴交点的坐标分别为(0,2−k)，(1−2k,−0)，圆x2+y2−4x−2ay+4a−1=0可化为(x−2)2+(y−a)2=(a−2)2+1，圆心C 为(2,a)，半径R =√(a −1)2+1，(a >0) 由图①可知图③，由图②知图④， 所以圆心C 到直线的距离d =√1+k 2，对①而言有，①图中k >0，2−k >0，1−2k <0，得0<k <2， a >√(a −1)2+1，即a >54， ①图中可知圆与直线相交两点， 有d =√1+k 2<√(a −2)2+1，在上述条件上恒成立，即d <R 的最小值，R =√(a −2)2+1的最小值为1，此时a =2，代入d =√1+k 2<1， 解得0<1符合条件，∴①可能推出③不可能， 对②而言有k <0，2−k >0，1−2k >0，解得k <0， ②图中圆与直线相交，有d =R ，a <√(a −1)2+1，得a <54， 得R =√(a −2)2+1的最小值为54， 即R >54，得d =√1+k 2=R >54，所以|k +2−a|>54√1+k 2， 因为54√1+k 2最大值为54， 所以解得|k +2−a|>54，①当k +2−a >0时，有k +2−a >0，k +2−a >54，解得k =24=12， 不成立，同理当k +2−a <0时，有−(k +2−a)>54解得a =134不成立，所以②不可能． 故选：D ．根据直线和圆的位置关系等价条件进行求解即可本题主要考查直线和圆的位置关系的判断，点线距离公式是解决本题的关键．8.答案：B解析：本题考查了线面垂直的性质定理和等腰三角形的性质，属于基础题．利用线面垂直的性质定理和等腰三角形的性质即可判断出．解：①∵PA ⊥平面ABC ，AB,AD,AC ⊂平面ABC ∴PA ⊥AB ，PA ⊥AD ，PA ⊥AC ，∴△PAB ，△PAD ，△PAC 都是直角三角形；②∵∠BAC =90°，∴△ABC 是直角三角形；③∵AB =AC ，D 是BC 的中点，∴AD ⊥BC.∴△ABD ，△ACD 是直角三角形． ④由三垂线定理可知：BC ⊥PD ，∴△PBD ，△PCD 也是直角三角形． 综上可知：直角三角形的个数是8个． 故选：B ．9.答案：C解析：解：设曲线y 2=4x 关于直线x =2对称的曲线为C ， 在曲线C 上任取一点P(x,y)，则P(x,y)关于直线x =2的对称点为Q(4−x,y)． 因为Q(4−x,y)在曲线y 2=4x 上， 所以y 2=4(4−x)， 即y 2=16−4x ． 故选C ．要求曲线y 2=4x 关于直线x =2对称的曲线方程，我们可采用坐标法，即设出待求曲线上任一点为P(x,y)，然后根据P 点关于直线x =2对称的Q(4−x,y)在曲线y 2=4x 上，然后将Q 点代入曲线y 2=4x 中，即可得到x ，y 之间的关系，即为所求曲线的方程．本题考查的知识点是轨迹方程的求法--坐标法，其步骤为：设动点坐标为P(x,y)，然后根据已知条件用x ，y 表示与P 点相对应的在已知曲线上的点Q 的坐标，将Q 的坐标代入已知曲线的方程，得到x ，y 的关系，即为所求曲线的方程．10.答案：D解析：解：∵sin(π2+θ)=cosθ=35，∴cos(π−2θ)=−cos2θ=1−2cos 2θ=1−2×(35)2=725． 故选：D ．利用诱导公式化简已知的等式，求出cosθ的值，将所求式子利用诱导公式变形后，再利用二倍角的余弦函数公式化简，把cosθ的值代入计算，即可求出值．此题考查了二倍角的余弦函数公式，以及运用诱导公式化简求值，熟练掌握公式是解本题的关键．11.答案：D解析：解：过点E作EE′⊥B1D1，垂足为E′，取BB1的中点F′，连接FF′，则EF′=√B1E′2+B1F′2=√(B1D1−D1E′)2+B1F′2=√(√5−1√5×12)2+(12)2=√(9√510)2+(12)2=√43010，故选：D．过点E作EE′⊥B1D1，垂足为E′，取BB1的中点F′，连接FF′，在△B1E′F′中求解．本题考查了空间问题转化为平面问题的思想，属于中档题．12.答案：D解析：试题分析：设直线为，与椭圆联立整理得关于x的二次方程，直线为考点：直线与椭圆的位置关系点评：本题还可用点差法求解13.答案：323cm3解析：解：如图所示，由三视图可知：该几何体为三棱锥P−ABC．该几何体可以看成是两个底面均为△PCD ，高分别为AD 和BD 的棱锥形成的组合体， 由几何体的俯视图可得：△PCD 的面积S =12×4×4=8cm 2， 由几何体的正视图可得：AD +BD =AB =4cm ， 故几何体的体积V =13×8×4=323cm 3，故答案为：323cm 3如图所示，由三视图可知：该几何体为三棱锥P −ABC.该几何体可以看成是两个底面均为△PCD ，高分别为AD 和BD 的棱锥形成的组合体，进而可得答案．本题考查由三视图求几何体的体积和表面积，根据已知的三视图分析出几何体的形状是关键．14.答案：1解析：本题考查了直线与抛物线的位置关系，点差法的运用，属于基础题．设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，代入抛物线方程相减可得(y 1+y 2)(y 1−y 2)=4(x 1−x 2)，再根据斜率公式计算即可．解：设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，则{y 12=4x 1y 22=4x 2，∴y 12−y 22=4(x 1−x 2)，即(y 1+y 2)(y 1−y 2)=4(x 1−x 2)，∵PQ 的中点坐标为(x 0,2)，∴y 1+y 2=4． ∴y 1−y 2=x 1−x 2，∴直线PQ 的斜率k =y 1−y2x 1−x 2=1，故答案为：1．15.答案：19解析：先建立空间直角坐标系，再分别求相关点的坐标，再求相关向量的坐标，最后用向量的夹角求解．本题主要考查用向量法求解异面直线所成的角．对于本题来讲，利用向量法比较简单，一定要注意异面直线所成角的范围与向量的夹角范围不同．解：设棱长为2，则AN =D 1N ，以D 为原点，分别以DA ，DC ，DD 1为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则C(0,2,0)，D 1(0,0,2)，M(2,0,1)，N(2,2,1)，则CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−2,1)，D 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2,−1)，则|cos <CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,D 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅D 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗||CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|D 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|4−4−1|√22+22+1⋅√22+22+1=1√9×√9=19，故答案为19．16.答案：[3,15]解析：解：设P(3cosθ,2√2sinθ)．圆(x −1)2+y 2=1的圆心C(1,0)，半径r =1． ∵PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ −PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴PA⃗⃗⃗⃗⃗ 2+PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =4PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2，PA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−2PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2． ∴4PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =4PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2．∴PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(3cosθ−1)2+(2√2sinθ)2−14×4=cos 2θ+6cosθ+8=(cosθ+3)2−1，当cosθ=−1时取得最小值3， 当cosθ=1时取得最大值15， 则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为[3,15]． 故答案为：[3,15]．设P(3cosθ,2√2sinθ)，由圆(x −1)2+y 2=1的圆心C(1,0)，半径r =1，由于PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ −PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，利用数量积的运算性质和余弦函数的单调性、二次函数的最值，即可得出所求范围． 本题考查了向量的平行四边形法则、三角形法则、数量积的运算性质和余弦函数的单调性、圆的对称性、椭圆的参数方程，考查了推理能力和计算能力，属于难题．17.答案：2√3y =±√22x 解析：本题考查双曲线的简单性质，考查计算能力，利用双曲线方程，求出双曲线的几何量，然后求解即可．解：双曲线y 2−x 22=1可得a =1，b =√2，双曲线的焦距是2c =2√1+2=2√3． 双曲线的渐近线方程为：y =±√22x ．故答案为：2√3；y =±√22x ．18.答案：43−343解析：解：直线l 1的斜率是−k ，直线l 2的斜率是34， 若l 1⊥l 2，则−34k =−1，解得：k =43； 若l 1//l 2，则3k =−41，解得：k =−34，故直线l 1：3x −4y −8=0，l 2：3x −4y +7=0， 故d =|−8−7|√9+16=3，故答案为：43，−34，3．根据直线的垂直关系求出k 的值即可，根据直线的平行关系求出k 的值即可，根据平行线的距离公式求出其距离即可．本题考查了直线的平行，垂直关系，考查平行线间的距离，是一道基础题．19.答案：112512解析：解：作出x ，y 满足约束条件{2x −y +1≥0x −2y ≤0x ≤1，对应的平面区域(阴影部分)，由z =2x +3y ，得y =−23x +z3，平移直线y =−23x +z3，由图象可知当直线y =−23x +z3经过点C 时，直线y =−23x +z3的截距最大，此时z 最大．由{2x −y +1=0x −2y =0，解得A(23,13). {x −2y =0x =1，解得B(1,12)； {x =12x −y +1=0，解得C(1,3)． 此时z 的最大值为z =2×1+3×3=11， 可行域的面积为：12×(3−12)×(1+23)=2512， 故答案为：11；2512．作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z 的最大值． 本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．20.答案：解：(1)由题意设圆心坐标(a,−2a)，则圆方程为(x −a)2+(y +2a)2=9，作CA ⊥x 轴于点A ，在Rt △ABC 中，CB =3，AB =√5，∴CA =2， 所以|−2a|=2，解得a =±1又因为点C 在x 轴的下方，所以a =1，即C(1,−2)， 所以圆方程为：(x −1)2+(y +2)2=9;(2)设圆心E(m,n)，由题意可知点E 与点C 是关于直线2x −4y +5=0对称， 所以有{2×1+m 2−4×n−22+5=0n+2m−1×12=−1，可解得m =−2，n =4， 所以点E(−2,4)且圆E 的半径为3，所以圆E 的方程为(x +2)2+(y −4)2=9，√(x −1)2+(y +2)2表示圆E 上的点与(1,−2)的距离．因为(1,−2)与点E(−2,4)的距离为√(1+2)2+(−2−4)2=3√5，所以√(x−1)2+(y+2)2的取值范围为[3√5−3,3√5+3]．解析：(1)由题意可设方程为(x−a)2+(y+2a)2=9，由条件可得a=1，进而可得方程；(2)设圆心E(m,n)，由对称关系可得m=−2，n=4，半径为3，√(x−1)2+(y+2)2表示圆E上的点与(1,−2)的距离，即可求出√(x−1)2+(y+2)2的取值范围．．本题考查直线和圆的位置关系，以及对称问题，考查学生分析解决问题的能力，属中档题．21.答案：证明：(Ⅰ)取PD中点N，连接MN，AN，CD，∵M为PC的中点，∴MN//CD，且MN=12又AB//CD，且CD=2AB，∴MN//AB且MN=AB，∴四边形ABMN是平行四边形，∴BM//AN，∵BM⊄平面PAD，AN⊂平面PAD，∴BM//平面PAD．(Ⅱ)∵PA⊥底面ABCD，CD⊂底面ABCD，∴PA⊥CD，∵∠ADC=90°，即CD⊥AD，PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD，∵AN⊂平面PAD，∴AN⊥CD，∵PA=AD，PD中点为N，∴AN⊥PD，又∵PD∩CD=D，∴AN⊥平面PDC，∵BM//AN，∴BM⊥平面PDC．解析：(Ⅰ)取PD中点N，连接MN，AN，推导出四边形ABMN是平行四边形，从而可得BM//AN，利用线面平行的判定定理即可得证；(Ⅱ)推导出AN⊥CD，AN⊥PD，由线面垂直的判定定理可得AN⊥平面PDC，由BM//AN，即可得证．本题主要考查线面平行与垂直的判定，考查数形结合思想与逻辑推理能力，属于中档题．22.答案：证明：(1)取CD中点E，连接ME，NE，则：ME//AD，NE//PD，AD⊂平面PAD，PD⊂平面PAD；∴ME//平面PAD，NE//平面PAD，NE∩ME=E；∴平面MNE//平面PAD，MN⊂平面MNE；∴MN//平面PAD．(2)∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD；∴PA⊥AB，即AB⊥PA；又AB⊥AD，PA∩AD=A；∴AB⊥平面PAD，CD//AB；∴CD⊥平面PAD，∵MN//平面PAD，CD⊥平面PAD；∴CD⊥MN，即MN⊥CD，连接PM，CM；∵AM=BM，PA=CB，∠PAM=∠CBM；∴△PAM≌△CBM，∴PM=CM，N是PC中点；∴MN⊥PC，PD∩CD=C，PD，CD⊂平面PCD；∴MN⊥平面PCD，MN⊂平面MNE；∴平面MND⊥平面PCD．解析：(1)要证明MN//平面PAD，可以想着找一个MN所在平面和平面PAD平行，取CD中点E，连接ME，NE，则容易证明ME//平面PAD，NE//平面PAD，所以平面MNE//平面PAD，这样就能得到MN//平面PAD；(2)只要在平面MNE内找一直线和平面PCD垂直即可，通过观察MN像是所找直线，容易证明MN⊥CD，连接PM，CM，能得到PM=CM，所以MN⊥PC，这样这条直线就找到了，也就能证出平面MND⊥平面PCD了．本题考查线面平行的判定定理，面面平行的判定定理，面面平行的性质，线面垂直的性质，线面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理．23.答案：解：(1)∵抛物线C1：y2=8x的焦点为F2(2,0)，∴双曲线C2的焦点为F1(−2,0)、F2(2,0)，设A(x0,y0)在抛物线C1：y2=8x上，且|AF2|=5，由抛物线的定义得，x0+2=5，∴x0=3，∴y02=8×3，∴y0=±2√6，∴|AF1|=√(3+2)2+(±2√6)2=7，又∵点A在双曲线上，由双曲线定义得，2a=|7−5|=2，∴a=1，∴双曲线的方程为：x2−y2=1．3(2)s为定值．下面给出说明．t设圆M 的方程为：(x +2)2+y 2=r 2，双曲线的渐近线方程为：y =±√3x ， ∵圆M 与渐近线y =±√3x 相切，∴圆M 的半径为r =√3√1+(√3)2=√3，故圆M ：(x +2)2+y 2=3，显然当直线l 1的斜率不存在时不符合题意，设l 1的方程为y −√3=k(x −1)，即kx −y +√3−k =0， 设l 2的方程为y −√3=−1k (x −1)，即x +ky −√3k −1=0， ∴点M 到直线l 1的距离为d 1=√3|√1+k 2，点N 到直线l 2的距离为d 2=√3k−1|√1+k 2，∴直线l 1被圆M 截得的弦长s =2(3k−√3√1+k2)=2√6√3k−6k21+k 2， 直线l 2被圆N 截得的弦长t =2(√3k−1√1+k2)=2√2√3k−2k 21+k 2， ∴st =√6√3k−6k 22√3k−2k 2=√6(√3k−k 2)2(√3k−k 2)=√3，故st 为定值√3．解析：(1)根据抛物线C 1的焦点为F 2(2,0)，得出双曲线C 2的焦点为F 1(−2,0)、F 2(2,0)，再设A(x 0,y 0)在抛物线C 1上，根据|AF 2|=5结合抛物线的定义得，x 0、y 0的值，最后根据双曲线定义结合点A 在双曲线上，得a =1，可求双曲线方程；(2)设圆M 的方程为：(x +2)2+y 2=r 2，根据双曲线的渐近线方程和直线与圆相切的条件，得圆M 的半径为r =√3√1+(√3)2=√3，从而求出圆M 的方程．过点P 作互相垂直且分别与圆M 、圆N 相交的直线l 1和l 2，设其中的一条斜率为k ，则另一条的斜率为−1k ，利用直线的点斜式方程，将直线l 1和l 2的方程与圆M 方程联解，可以得出弦长为s 和t 关于k 的表达式，将其代入st 进行化简，可以得到定值√3． 本题考查了圆方程、直线方程、圆锥曲线的基本量和圆与圆锥曲线的关系等知识点，属于难题．解决本题一方面要求对圆方程、直线方程、圆锥曲线的方程有熟悉的理解，另一方面要求对含有字母的代数式化简、计算要精确到位，具有较强的综合性．。

2020-2021学年高二数学下学期期末考试试题一、 选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知随机变量X 服从正态分布N (μ,σ2),且P (μ-2σ<X<μ+2σ)=0．954 4,P (μ-σ<X<μ+σ)=0．682 6．若μ=4,σ=1,则P (5<X<6)=( )A ．0．135 9B ．0．135 8C ．0．271 8D ．0．271 6 1．(文科做)若f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4)上是减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．a <－3B ． a >－3C ． a ≤－3D ．a ≥－32．集合A ＝｛1，2，3，a ｝，B ＝｛3，a ｝，则使A ∪B ＝A 成立的a 的个数是 （ ） A ．2个 B ．5个 C ．3个 D ． 4个3．设集合U ＝{1,2,3,4,5,6}，A ＝{1,3,5}，B ＝{3,4,5}，则∁U (A ∪B )＝( )A ．{3,6}B ．{2,6}C ．{1,3,4,5}D ．{1,2,4,6}4．已知随机变量ξ,η满足ξ+η=8,且ξ服从二项分布B (10,0．6),则E (η)和D (η)的值分别是( ) A ．6和2．4B ．2和5．6C ．2和2．4D ．6和5．64．(文科做)函数y ＝f (2x －1)的定义域为[0,1]，则y ＝f (x )的定义域为( )A ． [0,1]B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 C ． [－1,1] D ．[]－1，0其线性回归方程一定过的定点是（ ） A ．(2,2) B ．(1,2) C ．(1．5,0)D ．(1．5,5)6．已知集合A={x|2<x<4},B={x|x<3或x>5},则A ∩B=( )A ．{x|2<x<3}B ．{x|x<4或x>5}C ．{x|2<x<5}D ．{x|x<2或x>5}7．设x ∈R ，则“1<x <2”是“|x －2|<1”的( )A ．必要而不充分条件B ．充分而不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 8．(文科做)已知某四个家庭xx 上半年总收入x (单位：万元)与总投资y (单位：万元)的对照数据如表所示：根据上表提供的数据，若用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程为y ^＝0．7x ＋0．35，则m 的值为( )A ． 3B ． 5C ． 4D ．68．有10件产品，其中3件是次品，从这10件产品中任取两件，用ξ表示取到次品的件数，x 0 1 2 3 y2468x 3 4 5 6y 2．5 3 m 4．5则E (ξ)等于( )A ．35B ．815C ．1415D ．1 9． 甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为0．6，乙被录取的概率为0．7，两人是否被录取互不影响，则其中至少有一人被录取的概率为( )A ．0．12B ．0．42C ．0．46D ．0．889．(文科做)函数f (x )＝x 2＋x －6的单调增区间是( )A ．(－∞，－3)B ．[2，＋∞)C ．[0,2)D ．[－3,2]10(文科做)．函数f (x )＝ax 2＋bx ＋2a －b 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，则a ＋b ＝( )A ．13B ．0C ．－13D ．1 10．箱子里有5个黑球，4个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱中，重新取球；若取出白球，则停止取球，那么在第4次取球之后停止的概率为( )A ．C 35C 14C 45B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫593×49C ．35×14D ．C 14×⎝ ⎛⎭⎪⎫593×4911． f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (3)＝1， 当f (x )＋f (x －8)≤2时，x 的取值范围是( )A ．(8，＋∞) B．[8,9] C ．(8,9] D ．(0,8) 12．函数f (x )＝log 2(x 2＋2x －3)的定义域是( )A ．[－3,1]B ．(－3,1)C ． (－∞，－3)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．从装有3个红球,2个白球的袋中随机取出2个球,用ξ表示取到白球的个数,则P (ξ=1)= 13．（文科做）下列不等式：①x <1；②0<x <1；③－1<x <0；④－1<x <1．其中可以作为“x 2<1”的一个充分条件的所有序号为_______14,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割为125个同样大小的小正方体．经过搅匀后,从中随机取一个小正方体,记它的涂漆面数为X ,则X 的均值E (X )=14(文科做)．已知f (x )＝ax 3＋bx ＋xx ，且f (xx)＝xx ，则f (－xx)＝________．15．下列是关于男婴与女婴出生时间调查的列联表：那么a= ,b= ,c= ,d= ,e= ．16．已知命题“∀x ∈R ，x 2－5x ＋152a >0”的否定为假命题，则实数a 的取值范围是________三．解答题：（本大题共６小题，共70分）17．（本题满分10分）已知集合P ＝{x |a ＋1≤x ≤2a ＋1}，Q ＝{x |x 2－3x ≤10}．(1)若a ＝3，求(∁R P )∩Q ；(2)若P ∪Q ＝Q ，求实数a 的取值范围．18．（本题满分12分）设命题p ：函数f (x )＝lg (ax 2－4x ＋a )的定义域为R ；命题q ：不等式2x 2＋x >2＋ax 在x ∈(－∞，－1)上恒成立，如果命题“p ∨q ”为真命题，命题“p ∧q ”为假命题，求实数a 的取值范围．19．（本题满分12分）甲、乙两人各进行3次射击,甲每次击中目标的概率为1/2，乙每次击中目标的概率为2/3 (1)记甲击中目标的次数为X ,求X 的概率分布列及数学期望E (X ); (2)求乙至多击中目标2次的概率; (3)求甲恰好比乙多击中目标2次的概率19(文科做)已知p ：A ＝{x |x 2－2x －3≤0，x ∈R }，q ：B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2－9≤0，x ∈R ，m ∈R }．(1)若A ∩B ＝[1,3]，求实数m 的值；(2)若p 是非q 的充分条件，求实数m 的取值范围20（本题满分12分）将编号为1,2,3,4的四个材质和大小都相同的球，随机放入编号为1,2,3,4的四个盒子中，每个盒子放一个球，ξ表示球的编号与所放入盒子的编号正好相同的个数． (1)求1号球恰好落入1号盒子的概率；(2)求ξ的分布列．20(文科做)某城市随机抽取一年(365天)内100天的空气质量指数API 的监测数据，结果统计如下： API [0， 50] (50， 100] (100， 150] (150， 200] (200， 250] (250， 300] (300， ＋∞) 空气 质量 优 良 轻微 污染 轻度 污染 中度 污染 中度 重污染 重度 污染 天数413183091115(1)若某企业每天由空气污染造成的经济损失S (单位：元)与空气质量指数API(记为ω)的关系式为S ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，0≤ω≤100，3ω－200，100<ω≤300，2000，ω>300.试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失S 大于400元且不超过700元的概率；(2)若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染，完成下面2×2列联表，并判断能否有95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关？附：P (K 2≥k 0)0．25 0．15 0．10 0．05 0．025 0．010 0．005 0．001 k 0 1．323 2．072 2．706 3．841 5．024 6．635 7．87910．828K 2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d非重度污染重度污染合计供暖季非供暖季合计10021．（本题满分12分）已知函数f(x)＝x·|x|－2x．(1)求函数f(x)＝0时x的值；(2)画出y＝f(x)的图象，并结合图象写出f(x)＝m有三个不同实根时，实数m的取值范围．22．已知关于x的不等式|2x＋1|－|x－1|≤log2a(其中a>0)．(1)当a＝4时，求不等式的解集；(2)若不等式有解，求实数a的取值范围．西宁市第四高级中学xx —17xx 第二学期期末测试试题答案高二数学1 2 3 4 5 6 A DABCD7 8 9 10 11 12 AB D D D B （13)0.6 13文(2)(3)(4) （14)6/5 文 xx （15)47 92 88 82 53 （16) a>5/617. 解 (1)因为a ＝3，所以P ＝{x |4≤x ≤7}，∁R P ＝{x |x <4或x >7}．又Q ＝{x |x 2－3x －10≤0}＝{x |－2≤x ≤5}，所以(∁R P )∩Q ＝{x |x <4或x >7}∩{x |－2≤x ≤5}＝{x |－2≤x ＜4}．(2)当P ≠∅时，由P ∪Q ＝Q 得P ⊆Q ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥－2，2a ＋1≤5，2a ＋1≥a ＋1，解得0≤a ≤2；当P ＝∅，即2a ＋1<a ＋1时，有P ⊆Q ，得a <0. 综上，实数a 的取值范围是(－∞，2]． 18.对于命题p ：Δ<0且a >0，故a >2；对于命题q ：a >2x －2x＋1在x ∈(－∞，－1)上恒成立，又函数y ＝2x －2x＋1为增函数，所以⎝⎛⎭⎪⎫2x －2x＋1<1，故a ≥1，命题“p ∨q ”为真命题，命题“p ∧q ”为假命题，等价于p ，q 一真一假．故1≤a ≤2.19. (1)X 的概率分布列为X 0 1 2 3 PE (X )=0E (X )=3(2)乙至多击中目标2次的概率为1(3)设甲恰好比乙多击中目标2次为事件A ,甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标0次为事件B 1,甲恰好击中目标3次且乙恰好击中目标1次为事件B 2,则A=B 1+B 2.B 1,B 2为互斥事件,P (A )=P (B 1)+P (B 2)19 文科做(1)A ＝{x |－1≤x ≤3，x ∈R }，B ＝{x |m －3≤x ≤m ＋3，x ∈R ，m ∈R }，∵A ∩B ＝[1,3]，∴m ＝4.(2)∵p 是綈q 的充分条件，∴A ⊆∁R B ，∴m >6或m ＜－4.20.(1)设事件A 表示“1号球恰好落入1号盒子”，P (A )＝A 33A 44＝14，所以1号球恰好落入1号盒子的概率为14.(2)ξ的所有可能取值为0,1,2,4.P (ξ＝0)＝3×3A 44＝38，P (ξ＝1)＝4×2A 44＝13， P (ξ＝2)＝C 24A 44＝14，P (ξ＝4)＝1A 44＝124.所以随机变量ξ的分布列为20．文科做(1)记“在本年内随机抽取一天，该天经济损失S 大于400元且不超过700元”为事件A .由400<S ≤700，即400<3ω－200≤700，解得200<ω≤300，其满足条件天数为20.所以P (A )＝20100＝15. (2)根据以上数据得到如下列联表：非重度污染重度污染合计 供暖季 22 8 30 非供暖季 63 7 70 合计85 15100K 2＝100×63×8－22×7285×15×30×70≈4.575>3.841，所以有95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关．21.(1)由f (x )＝0可解得x ＝0，x ＝±2，所以函数f (x )＝0时x 的值为－2,0,2. (2)f (x )＝x |x |－2x ，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0.图象如图由图象可得实数m ∈(－1,1)．22. (1)当a ＝4时，不等式为|2x ＋1|－|x －1|≤2.当x <－12时，－x －2≤2，解得－4≤x <－12；当－12≤x ≤1时，3x ≤2，解得－12≤x ≤23；当x >1时，x ≤0，此时x 不存在，∴原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－4≤x ≤23. (2)令f (x )＝|2x ＋1|－|x －1|，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －2，x <－12，3x ，－12≤x ≤1，x ＋2，x >1.故f (x )∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32，＋∞，即f (x )的最小值为－32. 若f (x )≤log 2a 有解，则log 2a ≥－32，解得a ≥24，即a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫24，＋∞ 【感谢您的阅览，下载后可自由编辑和修改，关注我 每天更新】。

丽水市2020学年第一学期普通高中教学质量监控高二数学试题卷选择题部分（共60分）一，选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.直线y x = ）A. 45B. 60C.120 D. 135 A设直线的倾斜角为(0180)αα≤<，解方程tan 1α=即得解.设直线的倾斜角为(0180)αα≤<，由题得直线的斜率为tan 1,45k αα==∴=.所以直线的倾斜角为45.故选：A.本题主要直线的方程，考查直线的斜率和倾斜角的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.2. 在空间直角坐标系中，(2,3,5)A ，(3,1,4)B ，则A ，B 两点的距离是（ ）A. 6B. 4C. D. 2 C由空间两点间的距离公式直接求解即可由(2,3,5)A ，(3,1,4)B 则AB ==故选：C 3. 若实数x ，y 满足不等式组0022x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则3z x y =+的取值范围是（ ）A. [0,2]B. [0,3]C. [2,)+∞D. [3,)+∞B根据约束条件作出可行域，然后将3z x y =+变形得3y x z =-+，画出直线3y x =-，平移判断在点(0,0)处取得最小值，在点(1,0)处取得最大值.根据约束条件作出可行域如图所示，将3z x y =+变形得3y x z =-+，画出直线3y x =-，则由图可知，3z x y =+在点(0,0)处取得最小值min 0z =，在点(1,0)处取得最大值max 3z =， 所以取值范围为[0,3].故选：B.4. 经过圆锥的轴的截面是面积为2的等腰直角三角形，则圆锥的侧面积是（ ） A. 42πB. 4πC. 22πD. 2π C由轴截面是面积为2的等腰直角三角形，得到底面半径及母线长即可得到该圆锥的侧面积. 设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，则2l r =， 由题可知()21222r ⨯=， ∴2,2r l ==， 侧面积为22rl ππ=，故选：C.5. “1m =”是“直线(1)30x m y +++=与直线240mx y ++=平行”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件 A直接利用两直线平行的方法判定.“直线(1)30x m y +++=与直线240mx y ++=平行”的充要条件是：()1210m m ⨯-+⨯=且143m ⨯≠⨯或()4123m +≠⨯，解得：m =1或m =2.因为{}|1m m =是{}|1,2m m m ==的真子集，所以“1m =”是“直线(1)30x m y +++=与直线240mx y ++=平行”的充分不必要条件.故选：A 结论点睛：有关充要条件类问题的判断，一般可根据如下规则判断：(1)若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集；(2)若p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集；(3)若p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；(4)若p 是q 的既不充分又不必要条件，q 对应集合与p 对应集合互不包含．6. 直线l 过点()1,3P 且与圆()2224x y -+=交于A 、B两点，若||AB =，则直线l 的方程为（ ）A. 43130x y +-=B. 34150x y +-=C. 34150x y +-=或1x =D. 43130x y +-=或1x =D由||AB =可根据垂径定理得圆心到直线l 的距离,再分直线l 斜率不存在与存在两种情况讨论即可. 由垂径定理得,圆心()2,0到直线l的距离1d ==. 当直线l 的斜率不存在时, l ：1x =满足条件.当直线l 的斜率存在时,设l ：3(1)y k x -=-,即30kx y k -+-=.22416913k k k k =⇒++=+⇒=-. 代入得44304313033x y x y --++=⇒+-=.故选：D 本题主要考查了直线与圆的位置关系,需要利用垂径定理求圆心到直线的距离再分情况求解直线的方程即可.属于中等题型.7. 已知m ，n 是两条直线，α，β是两个平面，则下列命题中错误的是（ ）A. 若m n ⊥，m α⊥，n β⊥，则αβ⊥B. 若m α⊂，//αβ，则//m βC. 若m n ⊥，m α⊥，βn//，则αβ⊥D. 若l αβ=，//m α，//m β，则//m lC 利用直二面角可判断A 的正误，利用面面平行或线面平行性质定理即判断定理可判断BD 的正误，从而可得正确的选项，利用反例可判断C 是错误的.对于A ，如图，设l αβ=，空间中取一点O （O 不在平面,αβ内，也不在直线,m n 上）， 过O 作直线,a b ，使得,////a m b n ，且,a A b B αβ⋂=⋂=，故a b ⊥.因为m α⊥，故a α⊥，而l α⊂，故a l ⊥，同理b l ⊥,因为a b O ⋂=，故l ⊥平面OAB .设平面OAB 交l 与C ，连接,AC BC ，因为,AC BC ⊂平面OAB ，故,,l AC l BC ⊥⊥所以ACB ∠为l αβ--的平面角.因为a α⊥，AC α⊂，故OA AC ⊥，同理OB BC ⊥，而OA OB ⊥，故在四边形OACB 中，90ACB ∠=︒即αβ⊥，故A 正确.对于B ，由面面平行的性质可得若m α⊂，//αβ，则//m β，故B 正确. 对于D ，如图，过m 作平面γ，使得a γα=，过m 作平面η，使得b ηβ⋂=，因为//m α，m γ⊂，故//a m ，同理//b m ，故//a b ，而a β⊄，b β⊂，故//a β，而a α⊂，l αβ=，故//a l ，所以//m l ，故D 正确.对于C ，在如图所示的正方体中，//AD 平面11A D CB ，1AA ⊥平面ABCD ，1AD AA ⊥，但是平面11A D CB 与平面ABCD 不垂直，故C 错误.故选：C.思路点睛：对于立体几何中与位置有关的命题的真假判断，一般根据性质定理和判定定理来处理，反例一般可得正方体中寻找.8. 如图，正三角形ACB 与正三角形ACD 所在平面互相垂直，则二面角B CD A --的余弦值是（ ）A. 1 2B.22C.33D.55D取AC的中点E，连接BE,DE,证明BE垂直于平面ACD，以点E为原点建立空间直角坐标系，分别求出平面BCD和平面CDA的法向量，利用空间向量公式即可求出所求二面角的余弦.如图示，取AC中点E，连结BE、DE，在正三角形ACB与正三角形ACD中，BE⊥AC，DE⊥AC，因为面ACB⊥面ACD，面ACB面=ACD AC，所以BE⊥面ADC,以E为原点，ED为x轴正方向，EC为y轴正方向，EB为z轴正方向，建立空间直角坐标系，设AC=2，则())()()(0,0,0,3,0,0,0,1,0,0,1,0,3E D C A B-,平面ACD 的一个法向量为(3EB=而()()0,1,3,3,1,0CB CD=-=-，设(),,n x y z=为面BCD的一个法向量，则：·0·0n CBn DC⎧=⎨=⎩即3030y zy x⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，不妨令x=1，则()1,3,1n=设二面角B CD A--的平面角为θ，则θ为锐角，所以cos |cos ,|||||5||||3EB n EB n EB n θ⋅====.故选：D 向量法解决立体几何问题的关键：(1)建立合适的坐标系；(2)把要用到的向量正确表示；(3)利用向量法证明或计算.9. 已知直线1l ：+10x my +=与直线2l ：320mx y m --+=分别过定点A ，B ，且交于点P ，则PA PB ⋅的最大值是（ ）B. 5C. 8D. 10D先根据直线方程求出,A B 的坐标，再根据两条直线垂直得到22+=20PA PB ，利用基本不等式可求PA PB ⋅的最大值.因为1l ：+10x my +=，故()1,0A -， 因为2:l 320mx y m --+=，故()3,2B ，因为()110m m ⨯+⨯-=，故12l l ⊥，故222+=20PA PB AB =， 因为22+2PA PB PA PB ≥⋅，故10PA PB ⋅≤，当且仅当PA PB ==故PA PB ⋅的最大值为10，故选：D.方法点睛：对于含参数的直线的方程，注意挖掘它们隐含的条件与关系，如直线过定点或直线之间彼此平行或垂直.利用基本不等式求最值时注意对取等条件的验证.10. 已知点A 是抛物线24x y =的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线的焦点，点P 在抛物线上，且满足||||PA m PF =，则m 的最大值是（ ）A. 1B. C. 2 D. 4 B由抛物线的对称性可不妨设P 在第一象限或为原点，过P 作准线1y =-的垂线，垂足为E ，利用抛物线的定义可得1sin PAE m=∠，求出sin PAE ∠的最小值后可得m 的最大值. 由抛物线24x y =可得准线方程为：1y =-，故()0,1A -.如图，由抛物线的对称性可不妨设P 在第一象限或为原点，过P 作准线1y =-的垂线，垂足为E ，则PE PF =， 故1||||sin ||||PF PE PAE m PA PA ===∠， 当直线AP 与抛物线相切时，PAE ∠最小，而当P 变化时，02PAE π<∠≤，故当直线AP 与抛物线相切时sin PAE ∠最小，设直线:1AP y kx =-，由241x y y kx ⎧=⎨=-⎩得到2440x kx -+=，216160k ∆=-=， 故1k =或1k =-（舍），所以直线AP 与抛物线相切时4PAE π∠=， 故1m 的最小值为22即m 2，故选：B. 方法点睛：与抛物线焦点有关的最值问题，可利用抛物线的定义把到焦点的距离问题转化为到准线的距离问题.11. 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为线段1B C 的中点，F 是棱11C D 上的动点，若点P 为线段1BD 上的动点，则PE PF +的最小值为（ ）A. 526B. 122C. 62D. 322A 连接1BC ,得出点,,P E F 在平面11BC D 中，问题转化为在平面内直线1BD 上取一点P ，求点P 到定点E 的距离与到定直线的距离的和的最小值问题，建立平面直角坐标系，问题转化为点E 关于直线1BD 到直线11C D 的距离，从而可得结果.图1连接1BC ,则11BC B C E =，点,,P E F 在平面11BC D 中，且111111,1,2BC C D C D BC ⊥==，如图1所示，在11Rt BC D ∆中，以11C D 为x 轴，1C B 为y 轴，建立平面直角坐标系，如图2所示，图2()(11,0,,0,2D B E ⎛ ⎝⎭, 设点E 关于直线1BD 的对称点为'E ，1BD的方程为1x =，①'2EE k ∴==， ∴直线'EE的方程为22y x =+，②由①②组成方程组，解得13x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩直线'EE 与1BD的交点13M ⎛ ⎝⎭， ∴对称点2',36E ⎛ ⎝⎭，'PE PF PE PF ∴+=+，最小值为'E 到直线11C D的距离为6，故选A. 求最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.12. 已知1F ，2F 是离心率为13的椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点，M 是椭圆上第一象限的点，若I 是12MF F △的内心，G 是12MF F △的重心，记12IF F △与1GF M △的面积分别为1S ，2S ，则（ ）A. 12S SB. 122S S =C. 1232S S =D. 1243S S =D设12MF F △的面积为S ，内切圆半径为r ，则可得4S r c =，从而可得1121122244S S F F r c S c ==⋅⋅=，再由G 是12MF F △的重心，可得11222213323MOF MF F SS S S ==⨯=，进而可得结果 解：由于椭圆的离心率为13，所以13c a =，即3a c =，设12MF F △的面积为S ，内切圆半径为r ，则121211()(22)422S MF MF F F r a c r cr =++=+=，所以4Sr c =，所以1121122244S S F F r c S c ==⋅⋅=， 因为G 是12MF F △的重心， 所以11222213323MOF MF F S S S S ==⨯=， 所以1234S S =，即1243S S =，故选：D关键点点睛：此题考查椭圆的性质的应用，解题的关键是设12MF F △的面积为S ，内切圆半径为r ，然后求出4Sr c=，进而可表示出1S ，2S ，从而可得结果，属于中档题 非选择题部分（共90分）二、填空题：本大题共7小题，其中多空题每题6分，单空题每题4分，共34分．13. 双曲线2214x y-=的焦距为__________；渐近线方程为__________．(1). (2). 12y x =±由双曲线2214x y -=可知，224,1,a b ==故2225c a b =+=,焦距2c =,渐近线:12b y x x a =±=±,故答案为(1) ， (2) 12y x =±.14. 已知直线l ：20ax y a +-+=，若直线l 过点(2,0)，则a =________；若直线l 在两坐标轴上的截距相等，则a =_______． (1).23(2). 1或2 代入点(2,0)，计算a ；然后利用截距相等，分别计算直线的纵截距与横截距，列式求解.由题意，直线l 过点(2,0)，所以220-+=a a ，得23a =；直线l 在两坐标轴上的截距相等，已知0a =不成立，则22aa a -=-，得1a =或2a =； 故答案为：23；1或2. 15. 若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是______cm 3，最长的棱长是_______cm ．(1). 20 (2). 2根据三视图可得如图所示的空间几何体，利用四棱锥的体积公式可求体积，根据几何体的特征可求最长棱的棱长.三视图对应的几何体为如图所示的四棱锥11B D C CD -，其中几何体1111ABCD A B C D -为长方体，且1115,4,3CC D C BC ===，故111345203B DC CD V -=⨯⨯⨯=，最长的棱为长方体的体对角线222135452BD =++= 故答案为：216. 如图，在侧棱垂直于底面的三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，1AB BC CC ==，E ，F 分别是BC ，11B C 的中点，则异面直线AF 与1C E 所成角的余弦值是___．53连结BF ，则异面直线AF 与1C E 所成角为∠AFB ，在直角三角形ABF 中，解三角形即可.连结BF ，在三棱柱111ABC A B C -中，因为E ，F 分别是BC ，11B C 的中点， 所以BF ∥1C E ,则∠AFB （或其补角）即为异面直线AF 与1C E 所成角. 在三棱柱111ABC A B C -中,因为侧棱垂直于底面，即1BB ABC ⊥,所以1BB AB ⊥.又AB BC ⊥，且1BB BC B =,所以AB ⊥平面11BB C C ，而BF ⊂平面平面11BB C C ，所以AB BF ⊥ 不妨设AB =2,在直角三角形ABF 中，AB =2,3BF AF =====所以异面直线AF 与1C E 所成角的余弦值为：cos θ=.故答案为：3思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：(1)平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； (2)认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； (3)计算：求该角的值，常利用解三角形；(4)取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．17. 四棱锥S ABCD -的底面是平行四边形，2SE EC =，若BE x AB y AD z AS =++，则x y z ++= ________．23把AB AD AS ，，看成空间的一组基底向量，利用空间向量的加减法，由平面向量的基本定理用AB AD AS ，，将BE 表示出来，可得出答案.由2SE EC =，则13CE CS =四棱锥S ABCD -的底面是平行四边形,即ABCD 为平行四边形，则AD AB AC +=则()1133BE BC CE AD CS AD AS AC =+=+=+-()11213333AD AS AB AD AS AD AB =+--=+-又BE x AB y AD z AS =++所以121,,333x y z =-==，故23x y z ++=故答案为：2318. 已知1(,0)F c -，2(,0)F c 是椭圆2222:1x y C a b+=的焦点，若椭圆C 上存在点P ，使2122PF PF c ⋅=，则椭圆C 的离心率的取值范围是_______．13[,23设(,)P x y ，由数量积的坐标表示得出2222122PF PF x c y c ⋅=-+=，再由点P 在椭圆上得出22222b y b x a =-，联立两个方程得出()222224c a a x c-=，再由220,x a ⎡⎤∈⎣⎦化简得出22234c a c ≤≤，结合离心率的公式即可求解.设(,)P x y ，则222212(,)(,)2PF PF c x y c x y x c y c ⋅=---⋅--=-+=①将22222b y b x a=-代入①式解得()()22222222234c b a c a a x cc--==又220,xa ⎡⎤∈⎣⎦，即()2222240c a a a c -≤≤22234c a c ∴≤≤1323c e a ⎡∴=∈⎢⎣⎦.故答案为：13,23⎡⎢⎣⎦19. 如图，在ABC ∆中，10AB ，4AC =，32BC =AC 中点M 的动直线l 与线段AB交于点N ，将AMN ∆沿直线l 向上翻折至A MN '∆，使点A '在平面BCMN 内的射影H 落在线段BC 上，则直线l 运动时，点A '的轨迹长度是_____．22π 建立如图所示的平面直角坐标系，在ABC 中过A 作BM 的垂线，垂足为E 且交x 轴于G ，连接MG ，利用坐标法可求,,AE EG GC 的长度.在空间中，可证A '的轨迹为一段圆弧，从而可求轨迹的长度.在平面ABC 中，建立如图（1）所示的空间直角坐标系，过A 作BM 的垂线，垂足为E 且交x 轴于G ，连接MG . 在ABC 中，由余弦定理可得2cos 22432ACB ∠==⨯⨯， 而ACB ∠为三角形内角，故4ACB π∠=，因为4AC =，故(2,22A，而()32,0C ，所以(22,2M ，故直线:20BM x y -=且直线(:2222242AG y x x =--+=-+. 故2423105AE -==.又()G，故AG ==5GE =又GC =2MC =，4ACG π∠=，由余弦定理可得2422222MG =+-⨯=即GM =， 故222GM GC MC +=，故MG GC ⊥. 在空间中，当直线l 运动时，2MA MA '==，故A '在以M 为球心，2为半径的球面上， 又A '在过BC 且与平面BCMN 垂直的平面α上， 故A '在平面α与球面M （半径为2）的截线（圆）上. 因为N 在线段AB 上变化，故A '的轨迹为一段圆弧.如图，在平面A MN '内过A '作A T MN '⊥，且垂足为T ，连接HT ， 因为A H '⊥平面BCMN ，MN ⊂平面BCMN ，故A H MN '⊥， 而A T AH A '''⋂=，故MN ⊥平面A TH '，而TH ⊂平面A TH '，故AT MN⊥且,,A T H 三点共线.当N 与B 重合时点A '为1A ，则T 即为平面直角坐标系中的点E ，H 即为点G ， 且155A E EG ==，故1A G == 当N 与AB 的中点S 重合时，MN 为ABC 的中位线， 故A 关于直线MN 的对称点2A 在BC 上， 设点A '在平面BCMN 内的射影H 就是2A . 下面计算12A A 的长度.由平面直角坐标系中的讨论可知MG BC ⊥，而1A G ⊥平面BCMN ，MG ⊂平面BCMN ，所以1AG MG ⊥， 因1BC AG G ⋂=，故MG ⊥平面12A A G ， 所以G 为12A A 所在的圆的圆心，故12A A 的长度为22π=.故答案为：2π. 思路点睛：空间中动点的轨迹，一般从两个角度来处理：（1）空间中动点的轨迹转化为平面中动点的轨迹，注意根据曲线的定义等来判断，必要时建立平面直角坐标系来处理；（2）考虑空间中动点是否满足一定几何性质，从而直接得到动点的轨迹.三、解答题：本大题共4小题，共56分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 20. 如图，三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，5AB =，3AC =，14BC CC ==，M 是1CC 的中点．（Ⅰ）求证：BC AM ⊥；（Ⅱ）若N 是AB 上的点，且//CN 平面1AB M ，求BN 的长． （Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）52. （Ⅰ）可证BC ⊥平面11AAC C ，从而可得BC AM ⊥. （Ⅱ）可证N 为AB 的中点，从而可得BN 的长.（Ⅰ）证明：1CC ⊥平面ABC ，BC ⊂平面平面ABC ，∴1CC BC ⊥.又5AB =，3AC =，4BC =，∴222AC BC AB +=，即BC AC ⊥.又1AC CC C =，∴BC ⊥平面11AAC C ，又AM ⊂平面11AAC C ，∴BC AM ⊥. （Ⅱ）过点N 作1//NE BB 交1AB 于点E ，连ME ，由三棱柱111ABC A B C -可得11//BB CC ，∴1//NE CC 即四边形NEMC 为平面图形. 又//CN 平面1AB M ，CN ⊂平面NEMC ，且平面NEMC 平面1AB M ME =，∴//CN ME ，∴四边形NEMC 为平行四边形， ∴NE CM =，且//NE CM ，又点M 为1CC 中点，∴112CM BB =，且1//CM BB ，∴112NE BB =，且1//NE BB ， ∴1522BN AB ==. 思路点睛：线面垂直的判定可由线线垂直得到，注意线线是相交的，也可由面面垂直得到，注意线在面内且线垂直于两个平面的交线.由线面平行得到线线平行时，注意构造过线的平面. 21. 设圆C 的半径为r ，圆心C 是直线24y x =-与直线1y x =-的交点． （1）若圆C 过原点O ，求圆C 的方程；（2）已知点()0,3A ，若圆C 上存在点M ，使2=MA MO ，求r 的取值范围．（1）()()223213x y -+-=；（2）322,322⎡⎤+⎣⎦.（1）联立两直线方程，可求得圆心C 的坐标，求出圆C 的半径，由此可得出圆C 的方程； （2）设点(),M x y ，由2=MA MO 可求得点M 轨迹为圆D ，利用圆C 与圆D 有公共点可得出关于r 的不等式，由此可解得r 的取值范围．（1）由241y x y x =-⎧⎨=-⎩，得32x y =⎧⎨=⎩，所以圆心()3,2C .又圆C 过原点O ，13r OC ∴==，∴圆C 的方程为：()()223213x y -+-=；（2）设(),M x y ，由2=MA MO ，得：()222232x y x y +-=+，化简得()2214x y ++=.∴点M 在以()0,1D -为圆心，半径为2的圆上.又点M 在圆()()222:32C x y r -+-=上，22r CD r ∴-≤≤+， 即2322r r -≤≤+，322322r ∴-≤≤+.结论点睛：圆与圆的位置关系：设圆1C 与圆2C 的半径长分别为1r 和2r . （1）若1212C C r r <-，则圆1C 与圆2C 内含； （2）若1212C C r r =-，则圆1C 与圆2C 内切； （3）若121212r r C C r r -<<+，则圆1C 与圆2C 相交； （4）若1212C C r r =+，则圆1C 与圆2C 外切； （5）若1212C C r r >+，则圆1C 与圆2C 外离.22. 如图，在三棱锥P ﹣ABC 中，2AB BC CA PB ====，3PA =，PA AC ⊥，E ，F 分别是PC ，AC 的中点，M 是PB 上一点．（Ⅰ）求证：AC ⊥平面BEF ；（Ⅱ）求直线AM 与平面PBC 所成角的正弦值的最大值． （Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）89191. （Ⅰ）由AB BC CA ==可得BF AC ⊥，又,E F 分别是PC ，AC 的中点，且PA AC ⊥可得EF AC ⊥，从而可证.（Ⅱ）先证明BE ⊥平面PAC ，过A 作AH PC ⊥于H ，从而可得AH ⊥平面PBC ，∠AMH 即为AM 与平面PBC 所成的角，然后求解.(Ⅰ)∵AB BC CA ==，F 是AC 中点；所以BF AC ⊥,E F 分别是PC ，AC 的中点,则//EF AC又PA AC ⊥，所以EF AC ⊥又∵⋂=BF EF F ，∴AC ⊥ 平面BEF(Ⅱ)过A 作AH PC ⊥于H∵AC ⊥平面BEF ，BE ⊂平面BEF ，∴AC BE ⊥∵PB = BC ，E 为PC 中点，∴BE PC ⊥又∵AC PC C = ∴BE ⊥平面PAC ，且AH ⊂平面PAC∴BE AH ⊥，又AH PC ⊥，且PC BE E ⋂=∴AH ⊥平面PBC∴AM 在平面PBC 上的射影是HM∴∠AMH 即为AM 与平面PBC 所成的角在直角AMH 中，sin AH AMH AM∠=， PAC △中，AH =，所以要使得sin AMH ∠的值最大，即要AM 最小. 设N 为AP 的中点，由2AB PB ==，则AN PA ⊥所以2AN ===当AM PB ⊥时，AM最小，此时22AP BN AM PB ⨯===所以sin AH AMH AM ∠=≤=思路点睛：求线面角的常见方法有（1）定义法；（2）向量法 .其中定义法的关键是找出直线在平面内的射影，具体步骤如下：（1）作（找）垂线：过直线上一点作出（找出）平面的垂线；（2）连射影：将斜足和垂足连接起来得到斜线在平面上的射影；（3）计算：求该角的值，常利用解直角三角形；23. 已知抛物线:C 22y px =的焦点为(1,0)F ，且点()()000,1M x y y >是抛物线C 上的动点，过M 作圆:Q 22()1x a y -+=的两条切线，分别交抛物线C 于A ，B 两点．（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）当直线MQ 垂直于直线AB 时，求实数a 的取值范围．（Ⅰ）24y x =；（Ⅱ）9(,)4+∞.（Ⅰ）由抛物线C 的焦点为:(1,0)F ，得12p =，求得p ，则抛物线方程可求； （Ⅱ）设1122(,),(,)A x y B x y ，由题意可知，,MA MB 不与y 轴垂直，设010:()MA x x m y y -=-，020:()MB x x m y y -=-，分别与抛物线方程联立，利用根与系数的关系求得,A B 的纵坐标，得到AB 的斜率，再由直线MA 与圆相切，可得2220000(1)2()()10y m y a x a x -+-+--=，得到0012202()1y x a m m y -+=-，写出MQ 的斜率，再由MQ AB ⊥，结合点M 在抛物线上，求得20421494a a x a --=>-，由此求解实数a 的取值范围. （Ⅰ）因为抛物线22C y px =：的焦点为:(1,0)F ，所以12p =，则2p =， 所以抛物线方程为：24y x =；（Ⅱ）设1122(,),(,)A x y B x y ，由题意可知，,MA MB 不与y 轴垂直，设010:()MA x x m y y -=-，020:()MB x x m y y -=-， 由20104()y x x x m y y ⎧=⎨-=-⎩，得21004440y m y y x -+-=， 则1014y y m +=，得1104y m y =-，同理可得2204y m y =-， 所以121222121212120422()44AB y y y y k y y x x y y m m y --====-++--， 若过M1=，化简得2220000(1)2()()10y m y a x a x -+-+--=， 则0012202()1y x a m m y -+=-， 又00MQ y k x a=-，MQ AB ⊥， 所以01200212()AB MQ y k k m m y x a ⋅=⋅=-+--， 所以012002()2y m m y x a -+=-，即00002002()21y y x a y x x a--=--， 将2004y x =代入，化简得20(49)42a x a a -=--，即24249a axa--=-，因为1y>，所以2421494a axa--=>-，即2(41)4(49)aa->-，得94a>，所以实数a的取值范围是9(,)4+∞.该题考查的是有关直线与抛物线的综合题，解题方法如下：（1）结合抛物线的焦点坐标求得p的值，得到抛物线的方程；（2）根据题意，设出直线方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理求得点的纵坐标，利用斜率坐标公式求得其斜率；（3）根据直线与圆相切，得到等量关系式；（4）根据两直线垂直得到其斜率乘积等于1-；（5）根据坐标的范围得到不等关系，求得参数的取值范围.。

丽水市2023学年第二学期普通高中教学质量监控高二数学试题卷2024.6本试题卷分选择题和非选择题两部分。

全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。

请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。

注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上。

2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}01234M =,,,,，{}14N x x =<≤，则M N = A ．{}2B ．{}2,3C ．{}2,3,4D ．{}1,2,3,42．已知复数1i1iz +=-，其中i 为虚数单位，则z =A ．0B ．1C ．2D3．已知,a b ∈R，则“a b >A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知直线a ，b 和平面α，则下列判断中正确的是A ．若a α ，b α ，则a bB ．若a b ，b α ，则a αC ．若a α ，b α⊥，则a b⊥D ．若a b ⊥，b α ，则a α⊥5．若样本1x ，2x ，3x ，L ，n x 的平均数为10，方差为20，则样本()122x -，()222x -，()322x -，L ，()22n x -的平均数和方差分别为A ．16，40B ．16，80C ．20，40D ．20，806．已知0.43a =，30.4b =，0.4log 3c =，则A ．c b a<<B ．b c a<<C ．c a b<<D ．b a c<<7．一个袋子中有标号分别为1，2，3，4的4个球，除标号外没有其他差异．采用不放回方式从中任意摸球两次，设事件A=“第一次摸出球的标号小于3”，事件B=“第二次摸出球的标号小于3”，事件C=“第一次摸出球的标号为奇数”，则A ．A 与B 互斥B ．A 与B 相互独立C ．A 与C 互斥D ．A 与C 相互独立8．已知函数()f x 的定义域为R ，()f x 的图象关于()10,中心对称，()22f x +是偶函数，则A ．()00f =B ．102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．()20f =D ．()30f =二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知向量()21a =- ,，()12b =,，()31c =- ,，则A ．a cB ．a b⊥C ．10a b += D ．向量b 在向量c 上的投影向量为31,1010⎛⎫- ⎪⎝⎭10．在ABC ∆中，角A B C ,,所对的边分别为a b c ,,，π3B =，2c =，以下判断正确的是A ．若4a =，则ABC ∆的面积为B ．若π4C =，则b =C ．若b =，则3a =D ．若ABC ∆有两解，则)2b ∈11．如图，在矩形ABCD 中，22AB AD ==，E 是AB 的中点，沿直线DE 将ADE ∆翻折成1A DE ∆（1A 不在平面BCD 内），M 是1AC 的中点，设二面角1A DE C --的大小为θ．A 1A ．若π=2θ，则1A C DE ⊥B ．直线BM 与1A E 所成的角为定值C ．若2π=3θ，则三棱锥1A CDE -的外接球的表面积为14π3D ．设直线1A D 与平面BCDE 所成的角为α，则sin θα=三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知函数()22010x f x x x x ⎧≤⎪=-⎨⎪>⎩,,，则()()1=f f -.13．已知π02α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,，2sin cos2αα=，则tan α=.14．已知0x y >>，321x y x y+=+-，则2x y +的最小值为．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（满分15分）已知函数2()22cos 1f x x x =+-．（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）当π02x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，求函数()f x 的最大值，以及相应x 的值．16．（满分15分）本学期初，某校对全校高二学生进行数学测试，并从中随机抽取了100名学生的成绩，被抽取的成绩全部介于40分到100分之间（满分100分），将统计结果按照如下方式分成六组：第一组[)4050,，第二组[)5060,，…，第六组[]90100,，画（1）求频率分布直方图中a 的值；（2）求该样本的中位数；（3）为进一步了解学生的学习情况，从分数位于[)5080,的学生中，按照第二组，第三组，第四组分层抽样6人，再从6人中任取2人，求此2人分数不在同一组内的概率．17．（满分15分）如图，在四棱锥P ABCD -中，BC AD ，112BC CD AD ===，AD CD ⊥，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．（1）求证：CE 平面PAB ；（2）若三棱锥P ABD -的体积为23，求PA 与平面PBC 所成角的正弦值．18．（满分16分）已知1a ≥，函数()()ln 3ln f x x x a =+++．EBAD PC（1）若1a =，解不等式()1f x x <+；（2）证明：函数()f x 有唯一零点；（3）设()00f x =，证明：()003ln 303ax x -+>+．19．（满分16分）设n 为正整数，()12n x x x α= ,,,，()12n y y y β= ,,,，记()()()()111122221,2n n n n M x y x y x y x y x y x y αβ⎡⎤=+--++--+++--⎣⎦ ．（1）当2n =时，若()10α=,，()01β=,，求()M αβ,的值；（2）当3n =时，设集合(){}{}123=|01123kP t t t t k αα=∈=,,,,,,,，设Q 是P 的子集，且满足：对于Q 中的任意两个不同的元素αβ,，()0M αβ=,．写出一个集合Q ，使其元素个数最多；（3）当3n =时，()sin sin sin A B C α=,,，()cos cos cos A B C β=,,，其中,,A B C 是锐角ABC ∆的三个内角，证明：()4coscos cos 222A B CM αβ<,．丽水市2023学年第二学期普通高中教学质量监控高二数学答案（2024.06）一、单项选择题1-4CBBC5-8BADD 二、多项选择题9．BD 10．ACD11．BCD三、填空题12．113．2214．11622+四、解答题15．（满分15分）（1）由题2()22cos 1f x x x =+-2cos 2x x =+π2sin(2)6x =+所以周期T π=，……………………7分（2）因为[0,]2x π∈，所以72[,]666x πππ+∈，则1sin(2[62x π+∈-，所以当π262x π+=，即π6x =时，()f x 有最大值2.……………………15分16．（满分15分）（1）由频率分布直方图可得：(0.0050.010.020.0250.01)101a +++++⨯=，得0.03a =；……………………4分（2）设中位数为该样本的中位数为x所以0.3(70)0.050.10.20.510x -+++=，得75x =；……………………9分（3）由分层抽样知，第二组中抽1人，记作a ，第三组中抽2人，记作12,b b ，第四组中抽3人，记作123,,c c c ，这6人中抽取2人有()1,a b ，()2,a b ，()1,a c ，()2,a c ，()3,a c ，()12,b b ，()11,b c ，()12,b c ，()13,b c ，()21,b c ，()22,b c ，()23,b c ，()12,c c ，()13,c c ，()23,c c ，共15个样本点；2人来自同一组的有()12,b b ，()12,c c ，()13,c c ，()23,c c 共4个样本点，所以2人来自不同组的的概率41115511P -==；………………15分17．（满分15分）（1）证明：取PA 的中点F ,连结,BF EF ,又E 为PD的中点，所以EF AD ，12EF AD =，又BC AD ，12BC AD =，所以四边形BCEF 是平行四边形，所以CE BF ，又BF ⊂平面PAB ，CE ⊄平面PAB 所以CE 平面PAB ；……………7分（2）过A 作直线BC 的垂线AH ，H 为垂足，连结PH ，由三棱锥P ABD -的体积为23，得1233ABD S PA ∆⨯=,解得2PA =，因为PA ⊥平面ABCD ，所以BC PA ⊥，又BC ⊥AH ，所以BC ⊥平面PAH ，又BC ⊂平面PBC ，所以平面PAH ⊥平面PBC ，所以直线PA 在平面PBC 上的射影为直线PH ，所以APH ∠即为PA 与平面PBC 所成角θ，在Rt APH ∆中，1,2AH AP ==,所以sin 5AH PH θ==，所以PA 与平面PBC 所成角的正弦值为55.……………15分EBAD PC18．（满分16分）（1）当1a =时，不等式即为()ln 31x x x ++<+，即()ln 31x +<所以3>03ex x +⎧⎨+<⎩解得3e 3x -<<-……………4分（2）()f x 在定义域内单调递增，又()0ln 3ln 0f a =+>，11113ln 3ln 30f a a a a a ⎛⎫-=+-+=-< ⎪⎝⎭，所以由零点存在定理得，函数()f x 有唯一零点，且零点在13,0a ⎛⎫- ⎪⎝⎭内.…………10分（3）由()00f x =知，()00ln 3ln x x a +=--因为030,1x a +>≥，所以()000033ln 3ln 33a ax x a x x -+=++++00333ln 3ax a x =++-++3ln a≥+3ln 0a =-+>…………16分19．（满分16分）（1）因为()10α=,，()01β=,所以()()()111122221,2M x y x y x y x y αβ⎡⎤=+--++--⎣⎦()()11010010102⎡⎤=+--++--=⎣⎦…………4分（2）满足条件的集合()()()(){}000100010001Q =，，，，，，，，，，，…………8分（3）因为()sin sin sin A B C α=,,，()cos cos cos A B C β=,,，所以()()()()1,sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos 2M A A A A B B B B C C C C αβ⎡⎤=+--++--++--⎣⎦sin sin sin cos cos cos 2A B C A B C+++++<又因为,,A B C 是锐角ABC ∆的三个内角，所以π2A B +>，所以πππ0sin sin cos 222A B A B B ⎛⎫>>->⇒>-= ⎪⎝⎭同理sin cos B C >,sin cos C A >，所以sin sin sin cos cos cos 2A B C A B C+++++sin sin sin A B C<++又sin sin sin A B C ++2sincos 2sin cos 2222A B A B C C+-=⋅+2cos cos 2cos cos 2222C A B A B C -+=⋅+2cos cos cos 222C A B A B -+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭4coscos cos 222A B C =所以()4coscos cos 222A B CM αβ<,．…………16分。