课时跟踪检测(二十七) 函数的零点与方程的解

第四章 指数函数与对数函数 4.5 函数的应用（二） 4.5.1函数的零点与方程的解教学设计一、教学目标1.了解函数零点的概念：能够结合具体方程（如一元二次方程），说明方程的根、函数的零点、函数图象与x 轴的交点三者之间的关系，达到数学抽象核心素养学业质量水平二的层次.2.理解函数零点存在定理：了解函数图象连续不断的意义及作用，知道函数零点存在定理只是函数存在零点的一个充分条件，了解函数零点可能不止一个，达到逻辑推理核心素养学业质量水平二的层次.3.能利用函数图象和性质判断某些函数的零点个数及所在区间，达到直观想象、数学抽象核心素养学业质量水平一的层次. 二、教学重难点 1.教学重点理解函数零点的概念，掌握函数零点与相应方程根的求法. 掌握函数零点存在定理并能应用. 2.教学难点数形结合思想，转化与化归思想的培养与应用. 函数零点存在定理的理解. 三、教学过程 （一）新课导入观察下列三组方程与函数：方程函数2230x x --=223y x x =-- 2210x x -+= 221y x x =-+ 22+30x x -=22+3y x x =-大家利用函数图像探究方程的根与函数图像与x 轴的交点之间的关系.教师以第一题为例阐述二者之间的关系，方程2230x x --=的根为-1和3，函数223y x x =--的图像与x 轴交于点（-1,0），（3,0）.学生思考回答下面两组关系.学生：2210x x -+=有两个相等的实根为1，函数221y x x =-+的图像与x 轴有唯一的交点（1,0）.22+30x x -=没有实根，函数22+3y x x =-的图像与x 轴无交点.教师讲解：由方程与函数的关系，接下来我们开始学习今天的内容. 探究一：零点的概念教师讲解:我们通俗地称函数图象与轴交点的横坐标为函数的零点，请同学们归纳函数零点的定义.学生思考并归纳：零点的概念：对于一般函数y =f （x ），我们把使f （x ）=0的实数x 叫做函数y =f （x ）的零点. 提问：考察函数（1）lg y x =；（2）2log (1)y x =+；（3）2x y =；（4）22xy =-的零点.学生思考回答：（1）零点是x =1；（2）零点是x =0；（3）没有零点；（4）零点是x =1. 教师引导学生思考归纳函数的零点与方程的根的关系：方程f （x ）=0有实数根⇔函数y =f （x ）的图像与x 轴有交点⇔函数y =f （x ）有零点. 探究二：二次函数零点的判定提问：我们已经知道了函数的零点与方程的根的关系，那么对于二次函数来说，方程有一个根，说明函数有一个零点，方程有两个根，说明函数有两个零点；那么大家思考：二次函数的零点与一元二次方程的根的判别式之间有什么关系呢?学生思考并由教师归纳总结：二次函数零点的判定.对于二次函数2y ax bx c =++与一元二次方程20ax bx c ++=，其判别式2Δ4b ac =-.师：大家思考下列问题：（1）如何求函数的零点?（2）函数零点与函数图像的关系怎样?学生回答，教师点评.生：（1）零点即函数值为零时对应的自变量的值，求零点可转化为求对应方程的根.（2）零点即函数图像与x 轴交点的横坐标.探究三：函数零点存在定理提问：探究函数245y x x =+-的零点所在区间及零点所在区间的端点对应函数值的正负情况?教师引导学生思考解决.师：利用图像观察零点所在区间，区间端点一般取整数.生：零点-5(6,4)∈--，零点1(0,2)∈，且(6)(4)0,(0)(2)0f f f f --<⋅<. 师：那么其他函数的零点是否具有相同规律呢? 观察下列函数的零点及零点所在区间： （1）()2 1.f x x =- （2）2()log (1)f x x =-.生：（1）函数()2 1.f x x =-的零点为12且(0)(1)0f f <，所以零点所在区间为（0,1）； （2）函数2()log (1)f x x =-的零点为2，2(1,3)∈且(1)(3)0f f <，所以零点所在区间为（1,3）.教师讲解，由特殊到一般，由此我们可以归纳出函数零点存在定理.如果函数()y f x =在区间[a ，b ]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f （a ）f （b ）<0，那么，函数()y f x =在区间（a ，b ）内至少有一个零点，即存在(,)c a b ∈，使得f （c ）=0，这个c 也就是方程f （x ）=0的解.师生合作分析，并剖析定理中的关键词： （1）连续不断；（2）f （a ）f （b ）<0.教师讲解：由于函数图象连续不断，若f （a ）>0，f （b ）<0，则函数y = f （x ）的图象将从x 轴上方变化到下方，这样必通过x 轴，即与x 轴有交点.对定义的进一步理解：（1）函数在区间[a ，b ]上的图象连续不断，且它在区间[a ，b ]端点的函数值异号，则函数在[a ，b ]上一定存在零点；（2）函数值在区间[a ，b ]上连续且存在零点，则它在区间[a ，b ]端点的函数值可能异号也可能同号；（3）定理只能判定零点的存在性，不能判断零点的个数.例题：函数2()2f x x ax =-+在（0,3）内（1）由2个零点（2）有1个零点，分别求a 得取值范围.学生求解：（1）()f x 在（0,3）内有两个零点，则(0)0(3)0Δ0032f f a >⎧⎪>⎪⎪⎨>⎪⎪<-<⎪⎩622a ⇒-<<-；（2）()f x 在（0,3）内有一个零点，则(0)0(3)0f f >⎧⎨<⎩113a ⇒>.通过实例分析，进一步理解定理. （三）课堂练习例1.求函数3222y x x x =--+的零点，并画出他们的图像.解：因为3222x x x --+()22(2)(2)(2)1(2)(1)(1)x x x x x x x x =---=--=--+，所以这个函数的零点为-1，1，2.这三个零点把x 轴分为4个区间：(,1],[1,1],[1,2],[2,)∞∞---+. 在这4个区间内，取x 得一些值（包括零点），列出这个函数的对应值表. x … -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 … y…-4.381.8821.13-0.632.63…在直角坐标系中描点连线，这个函数的大致图像如图：例2.利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根?2(1)350x x -++=；(2)2(2)3x x -=-；2(3)44x x =-； 22(4)5235x x x +=+.解：（1）令2()35f x x x =-++，做出函数()f x 的图像，它与x 轴有两个交点，所以方程2350x x -++=有两个不相等的实数根.（2）2(2)3x x -=-可以化为22430x x -+=，令2()243f x x x =-+，作出函数()f x 的图像，它与x 轴没有交点，所以方程22430x x -+=没有实数根.（3）244x x =-可化为2440x x -+=，做出函数()f x 的图像，它与x 轴有一个交点，所以方程244x x =-有两个相等的实数根.（4）225235x x x +=+可以化为22250x x +-=，令2()225f x x x =+-做出函数()f x 的图像，它与x 轴有两个交点，所以方程22250x x +-=有两个不相等的实数根. （四）小结作业 小结：本节课我们主要学习了哪些内容? 1.数学知识：零点的概念、求法以及判定.2.数学思想：函数与方程的相互转化，即转化思想；借助图象探寻规律，即数形结合思想. 四、板书设计1.零点的概念、求法以及判定.2.函数与方程的相互转化，借助图象探寻规律.。

§2.9函数的零点与方程的解学习目标1.理解函数的零点与方程的解的联系.2.理解函数零点存在定理，并能简单应用.3.了解用二分法求方程的近似解．知识梳理1．函数的零点与方程的解(1)函数零点的概念对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．(2)函数零点与方程实数解的关系方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点．(3)函数零点存在定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．2．二分法对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．(×)(2)连续函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，则f(a)·f(b)<0.(×)(3)函数y＝f(x)为R上的单调函数，则f(x)有且仅有一个零点．(×)(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，若b2－4ac<0，则f(x)无零点．(√)教材改编题1．(多选)已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：x 1234567f(x)－4－2142－1－3在下列区间中，函数f(x)必有零点的区间为()A．(1,2) B．(2,3) C．(5,6) D．(5,7)答案 BCD解析 由所给的函数值表知， f (1)f (2)>0，f (2)f (3)<0，f (5)f (6)<0， f (5)f (7)<0，∴f (x )在区间(2,3)，(5,6)，(5,7)内各至少有一个零点．2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －2，x ≤0，－1＋ln x ，x >0，则f (x )的零点为________．答案 －2，e解析 ⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤0，x 2＋x －2＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，－1＋ln x ＝0，解得x ＝－2或x ＝e.3．方程2x ＋x ＝k 在(1,2)内有解，则实数k 的取值范围是________． 答案 (3,6)解析 设f (x )＝2x ＋x ， ∴f (x )在(1,2)上单调递增， 又f (1)＝3，f (2)＝6， ∴3<k <6.题型一 函数零点所在区间的判定例1 (1)(多选)(2022·菏泽质检)函数f (x )＝e x －x －2在下列哪个区间内必有零点( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1) D ．(1,2)答案 AD解析 f (－2)＝1e 2>0，f (－1)＝1e －1<0，f (0)＝－1<0，f (1)＝e －3<0， f (2)＝e 2－4>0，因为f (－2)·f (－1)<0，f (1)·f (2)<0， 所以f (x )在(－2，－1)和(1,2)内存在零点．(2)若a <b <c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )·(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( )A ．(a ，b )和(b ，c )内B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内 答案 A解析 函数y ＝f (x )是开口向上的二次函数，最多有两个零点，由于a <b <c ，则a －b <0，a －c <0，b －c <0，因此f (a )＝(a －b )(a －c )>0，f (b )＝(b －c )(b －a )<0，f (c )＝(c －a )(c －b )>0.所以f (a )f (b )<0，f (b )f (c )<0，即f (x )在区间(a ，b )和区间(b ，c )内各有一个零点． 教师备选(2022·湖南雅礼中学月考)设函数f (x )＝13x －ln x ，则函数y ＝f (x )( )A ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1，(1，e)内均有零点 B ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1，(1，e)内均无零点C ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1内有零点，在区间(1，e)内无零点D ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1内无零点，在区间(1，e)内有零点 答案 D解析 f (x )的定义域为{x |x >0}， f ′(x )＝13－1x ＝x －33x，令f ′(x )>0⇒x >3，f ′(x )<0⇒0<x <3，∴f (x )在(0,3)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增， 又f ⎝⎛⎭⎫1e ＝13e ＋1>0，f (1)＝13>0， ∴f (x )在⎝⎛⎭⎫1e ，1内无零点．又f (e)＝e3－1<0，∴f (x )在(1，e)内有零点．思维升华 确定函数零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点存在定理：首先看函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是否连续，再看是否有f (a )·f (b )<0.若有，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内必有零点．(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断． 跟踪训练1 (1)(2022·太原模拟)利用二分法求方程log 3x ＝3－x 的近似解，可以取的一个区间是( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3)D ．(3,4)答案 C解析 设f (x )＝log 3x －3＋x ， 当x →0时，f (x )→－∞，f (1)＝－2， 又∵f (2)＝log 32－1<0， f (3)＝log 33－3＋3＝1>0， 故f (2)·f (3)<0，故方程log 3x ＝3－x 在区间(2,3)上有解，即利用二分法求方程log 3x ＝3－x 的近似解，可以取的一个区间是(2,3)．(2)已知2<a <3<b <4，函数y ＝log a x 与y ＝－x ＋b 的交点为(x 0，y 0)，且x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N *，则n ＝________. 答案 2解析 依题意x 0为方程log a x ＝－x ＋b 的解， 即为函数f (x )＝log a x ＋x －b 的零点， ∵2<a <3<b <4，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增， 又f (2)＝log a 2＋2－b <0， f (3)＝log a 3＋3－b >0， ∴x 0∈(2,3)，即n ＝2. 题型二 函数零点个数的判定例2 (1)(2022·绍兴模拟)若函数y ＝f (x )(x ∈R )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且x ∈[－1,1]时，f (x )＝1－x 2，已知函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，x >0，e x ，x <0，则函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－6,6]内的零点个数为( )A ．14B ．13C ．12D ．11 答案 C解析 因为f (x ＋1)＝－f (x )，所以函数y ＝f (x )(x ∈R )是周期为2函数， 因为x ∈[－1,1]时，f (x )＝1－x 2，所以作出它的图象，则y ＝f (x )的图象如图所示．(注意拓展它的区间)再作出函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，x >0，e x ，x <0的图象，容易得出交点为12个．(2)函数f (x )＝36－x 2·cos x 的零点个数为______． 答案 6解析 令36－x 2≥0，解得－6≤x ≤6， ∴f (x )的定义域为[－6,6]．令f (x )＝0得36－x 2＝0或cos x ＝0， 由36－x 2＝0得x ＝±6， 由cos x ＝0得x ＝π2＋k π，k ∈Z ，又x ∈[－6,6]，∴x 为－3π2，－π2，π2，3π2.故f (x )共有6个零点． 教师备选函数f (x )＝2x |log 2x |－1的零点个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．4 答案 C解析 令f (x )＝0，得|log 2x |＝⎝⎛⎭⎫12x ，分别作出y ＝|log 2x |与y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象(图略)， 由图可知，y ＝|log 2x |与y ＝⎝⎛⎭⎫12x的图象有两个交点，即原函数有2个零点． 思维升华 求解函数零点个数的基本方法(1)直接法：令f (x )＝0，方程有多少个解，则f (x )有多少个零点； (2)定理法：利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等；(3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数．跟踪训练2 (1)函数f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，当0≤x <2时f (x )＝x 2－x ，则函数y ＝f (x )的图象在区间[－3,3]上与x 轴的交点个数为( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 答案 B解析 令f (x )＝x 2－x ＝0，所以x ＝0或x ＝1，所以f (0)＝0，f (1)＝0， 因为函数的最小正周期为2， 所以f (2)＝0，f (3)＝0，f (－2)＝0，f (－1)＝0，f (－3)＝0.所以函数y ＝f (x )的图象在区间[－3,3]上与x 轴的交点个数为7.(2)(2022·泉州模拟)设定义域为R 的函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，x >0，－x 2－2x ，x ≤0，则关于x 的函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点的个数为( ) A ．3 B ．7 C ．5 D ．6 答案 B解析 根据题意，令2f 2(x )－3f (x )＋1＝0， 得f (x )＝1或f (x )＝12.作出f (x )的简图：由图象可得当f (x )＝1和f (x )＝12时，分别有3个和4个交点，故关于x 的函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点的个数为 7. 题型三 函数零点的应用命题点1 根据函数零点个数求参数例3 (2022·武汉模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x 2＋2x |，x ≤0，1x ，x >0，若关于x 的方程f (x )－a (x ＋3)＝0有四个不同的实根，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，4－23) B ．(4＋23，＋∞) C ．[0,4－23] D ．(0,4－23)答案 D解析 画出f (x )的函数图象，设y ＝a (x ＋3)，该直线恒过点(－3,0)， 结合函数图象，若y ＝a (x ＋3)与y ＝－x 2－2x 相切，联立得x 2＋(a ＋2)x ＋3a ＝0， Δ＝(a ＋2)2－12a ＝0， 得a ＝4－23(a ＝4＋23舍)， 若f (x )＝a (x ＋3)有四个不同的实数根， 则0<a <4－2 3.命题点2 根据函数零点范围求参数例4 (2022·北京顺义区模拟)已知函数f (x )＝3x －1＋axx .若存在x 0∈(－∞，－1)，使得f (x 0)＝0，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－∞，43 B.⎝⎛⎭⎫0，43 C ．(－∞，0) D.⎝⎛⎭⎫43，＋∞ 答案 B解析 由f (x )＝3x －1＋ax x ＝0，可得a ＝3x －1x，令g (x )＝3x －1x ，其中x ∈(－∞，－1)，由于存在x 0∈(－∞，－1)，使得f (x 0)＝0，则实数a 的取值范围即为函数g (x )在(－∞，－1)上的值域．由于函数y ＝3x ，y ＝－1x 在区间(－∞，－1)上均单调递增，所以函数g (x )在(－∞，－1)上单调递增．当x ∈(－∞，－1)时， g (x )＝3x －1x <3－1＋1＝43，又g (x )＝3x －1x>0，所以函数g (x )在(－∞，－1)上的值域为⎝⎛⎭⎫0，43. 因此实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，43. 教师备选1．函数f (x )＝xx ＋2－kx 2有两个零点，则实数k 的值为________．答案 －1解析 由f (x )＝xx ＋2－kx 2＝x ⎝⎛⎭⎫1x ＋2－kx ，函数f (x )＝x x ＋2－kx 2有两个零点，即函数y ＝1x ＋2－kx 只有一个零点x 0，且x 0≠0.即方程1x ＋2－kx ＝0有且只有一个非零实根．显然k ≠0，即1k＝x 2＋2x 有且只有一个非零实根．即二次函数y ＝x 2＋2x 的图象与直线y ＝1k 有且只有一个交点(横坐标不为零)．作出二次函数y ＝x 2＋2x 的图象，如图．因为1k ≠0，由图可知，当1k>－1时，函数y ＝x 2＋2x 的图象与直线y ＝1k 有两个交点，不满足条件．当1k＝－1，即k ＝－1时满足条件． 当1k <－1时，函数y ＝x 2＋2x 的图象与直线y ＝1k无交点，不满足条件． 2．若函数f (x )＝(m －2)x 2＋mx ＋2m ＋1的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则m 的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎭⎫14，12解析 依题意，结合函数f (x )的图象分析可知，m 需满足⎩⎪⎨⎪⎧m ≠2，f (－1)·f (0)<0，f (1)·f (2)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≠2，(m －2－m ＋2m ＋1)(2m ＋1)<0，(m －2＋m ＋2m ＋1)·[4(m －2)＋2m ＋2m ＋1]<0， 解得14<m <12.思维升华 已知函数有零点求参数值或取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围． (2)分离参数法：将参数分离，转化成求函数值域的问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．跟踪训练3 (1)(多选)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|ln x |，x >0，e x (x ＋1)，x ≤0.若函数g (x )＝f (x )－b 有三个零点，则实数b 可取的值可能是( ) A ．0 B.13 C.12 D ．1答案 BCD解析 函数g (x )＝f (x )－b 有三个零点等价于函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝b 有三个不同的交点， 当x ≤0时，f (x )＝(x ＋1)e x ， 则f ′(x )＝e x ＋(x ＋1)e x ＝(x ＋2)e x ，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2,0]上单调递增，且f (－2)＝－1e 2，f (0)＝1，x →－∞时，f (x )→0，从而可得f (x )的图象如图所示，通过图象可知，若函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝b 有三个不同的交点，则b ∈(0,1]． (2)已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)－1x ＋m 在区间(1,3]上有零点，则m 的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎫－53，0 B.⎝⎛⎭⎫－∞，－53∪(0，＋∞) C.⎝⎛⎦⎤－∞，－53∪(0，＋∞) D.⎣⎡⎭⎫－53，0 答案 D解析 由于函数y ＝log 2(x ＋1)，y ＝m －1x 在区间(1,3]上单调递增，所以函数f (x )在(1,3]上单调递增，由于函数f (x )＝log 2(x ＋1)－1x＋m 在区间(1,3]上有零点，则⎩⎪⎨⎪⎧f (1)<0，f (3)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧m <0，m ＋53≥0，解得－53≤m <0.因此，实数m 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－53，0.课时精练1．函数f (x )＝x 3－⎝⎛⎭⎫12x －2的零点所在的区间为( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)答案 B解析 由题意知，f (x )＝x 3－⎝⎛⎭⎫12x －2，f (0)＝－4，f (1)＝－1，f (2)＝7，因为f (x )在R 上连续且在R 上单调递增，所以f (1)·f (2)<0，f (x )在(1,2)内有唯一零点．2．设函数f (x )＝4x 3＋x －8，用二分法求方程4x 3＋x －8＝0近似解的过程中，计算得到f (1)<0，f (3)>0，则方程的近似解落在区间( )A.⎝⎛⎭⎫1，32 B.⎝⎛⎭⎫32，2 C.⎝⎛⎭⎫2，52 D.⎝⎛⎭⎫52，3 答案 A解析 取x 1＝2，因为f (2)＝4×8＋2－8＝26>0，所以方程近似解x 0∈(1,2)，取x 2＝32， 因为f ⎝⎛⎭⎫32＝4×278＋32－8＝7>0， 所以方程近似解x 0∈⎝⎛⎭⎫1，32. 3．(2022·武汉质检)若函数f (x )＝x 2－ax ＋1在区间⎝⎛⎭⎫12，3上有零点，则实数a 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．[2，＋∞) C.⎣⎡⎭⎫2，52 D.⎣⎡⎭⎫2，103 答案 D解析 由题意知方程ax ＝x 2＋1在⎝⎛⎭⎫12，3上有实数解，即a ＝x ＋1x 在⎝⎛⎭⎫12，3上有解， 设t ＝x ＋1x，x ∈⎝⎛⎭⎫12，3， 则t 的取值范围是⎣⎡⎭⎫2，103. 所以实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫2，103. 4．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 4(x －1)，x >1，－3x －m ，x ≤1存在2个零点，则实数m 的取值范围为( ) A ．[－3,0)B ．[－1,0)C ．[0,1)D ．[－3，＋∞)答案 A 解析 因为函数f (x )在(1，＋∞)上单调递增，且f (2)＝0，即f (x )在(1，＋∞)上有一个零点，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 4(x －1)，x >1，－3x －m ，x ≤1存在2个零点， 当且仅当f (x )在(－∞，1]上有一个零点，x ≤1时，f (x )＝0⇔m ＝－3x ，即函数y ＝－3x 在(－∞，1]上的图象与直线y ＝m 有一个公共点，而y ＝－3x 在(－∞，1]上单调递减，且有－3≤－3x <0，则当－3≤m <0时，直线y ＝m 和函数y ＝－3x (x ≤1)的图象有一个公共点．5．(2022·重庆质检)已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x －log 2x ，设0<a <b <c ，且满足f (a )·f (b )·f (c )<0，若实数x 0是方程f (x )＝0的一个解，那么下列不等式中不可能成立的是( )A ．x 0<aB ．x 0>cC ．x 0<cD ．x 0>b答案 B解析 f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x －log 2x 在(0，＋∞)上单调递减，由f (a )·f (b )·f (c )<0， 得f (a )<0，f (b )<0，f (c )<0或f (a )>0，f (b )>0，f (c )<0.∴x 0<a 或b <x 0<c ，故x 0>c 不成立．6．(2022·北京西城区模拟)若偶函数f (x )(x ∈R )满足f (x ＋2)＝f (x )且x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，则方程f (x )＝log 3|x |的根的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．多于4答案 C解析 f (x )＝log 3|x |的解的个数，等价于y ＝f (x )的图象与函数y ＝log 3|x |的图象的交点个数，因为函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，所以周期T ＝2，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，且f (x )为偶函数，在同一平面直角坐标系中画出函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝log 3|x |的图象，如图所示．显然函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝log 3|x |的图象有4个交点．7．(多选)函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝k 的交点个数可能是( )A ．1B ．2C ．4D ．6答案 ABC解析 由题意知，f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0,2π]，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3sin x ，x ∈[0，π]，－sin x ，x ∈(π，2π]， 在坐标系中画出函数f (x )的图象如图所示．由其图象知，直线y ＝k 与y ＝f (x )的图象交点个数可能为0,1,2,3,4.8．(多选)(2022·南京模拟)在数学中，布劳威尔不动点定理可应用到有限维空间，并是构成一般不动点定理的基石，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔(L.E.J.Brouwer)，简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数f (x )，存在一个点x 0，使得f (x 0)＝x 0，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是( )A ．f (x )＝2x ＋xB ．g (x )＝x 2－x －3C ．f (x )＝12x ＋1D ．f (x )＝|log 2x |－1答案 BCD解析 选项A ，若f (x 0)＝x 0，则02x ＝0，该方程无解，故A 中函数不是“不动点”函数；选项B ，若g (x 0)＝x 0，则x 20－2x 0－3＝0，解得x 0＝3或x 0＝－1，故B 中函数是“不动点”函数；选项C ，若f (x 0)＝x 0，则120x ＋1＝x 0，可得x 20－3x 0＋1＝0，且x 0≥1，解得x 0＝3＋52，故C 中函数是“不动点”函数； 选项D ，若f (x 0)＝x 0，则|log 2x 0|－1＝x 0，即|log 2x 0|＝x 0＋1，作出y ＝|log 2x |与y ＝x ＋1的函数图象，如图，由图可知，方程|log 2x |＝x ＋1有实数根x 0，即|log 2x 0|＝x 0＋1，故D 中函数是“不动点”函数．9．若函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 是奇函数，且有三个不同的零点，写出一个符合条件的函数：f (x )＝________.答案 x 3－x (答案不唯一)解析 f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 为奇函数，故a ＝c ＝0，f (x )＝x 3＋bx ＝x (x 2＋b )有三个不同零点，∴b <0，∴f (x )＝x 3－x 满足题意．10．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x <0，若函数y ＝f (x )－m 有三个不同的零点，则实数m 的取值范围是________．答案 (1,2)解析 画出函数y ＝f (x )与y ＝m 的图象，如图所示，注意当x ＝－1时，f (－1)＝－1＋2＋1＝2，f (0)＝1，∵函数y ＝f (x )－m 有三个不同的零点，∴函数y ＝f (x )与y ＝m 的图象有3个交点，由图象可得m 的取值范围为1<m <2.11．(2022·枣庄模拟)已知函数f (x )＝|ln x |，若函数g (x )＝f (x )－ax 在区间(0，e 2]上有三个零点，则实数a 的取值范围是______________．答案 ⎣⎡⎭⎫2e 2，1e 解析 ∵函数g (x )＝f (x )－ax 在区间(0，e 2]上有三个零点，∴y ＝f (x )的图象与直线y ＝ax 在区间(0，e 2]上有三个交点，由函数y ＝f (x )与y ＝ax 的图象可知，k 1＝2－0e 2－0＝2e2， f (x )＝ln x (x ＞1)，f ′(x )＝1x， 设切点坐标为(t ，ln t )，则ln t －0t －0＝1t ， 解得t ＝e.∴k 2＝1e. 则直线y ＝ax 的斜率a ∈⎣⎡⎭⎫2e 2，1e .12．(2022·济南质检)若x 1是方程x e x ＝1的解，x 2是方程x ln x ＝1的解，则x 1x 2＝________. 答案 1解析 x 1，x 2分别是函数y ＝e x ，函数y ＝ln x 与函数y ＝1x的图象的交点A ，B 的横坐标，所以A ⎝⎛⎭⎫x 1，1x 1，B ⎝⎛⎭⎫x 2，1x 2两点关于y ＝x 对称，因此x 1x 2＝1.13．已知函数f (x )＝2x ＋x －1，g (x )＝log 2x ＋x －1，h (x )＝x 3＋x －1的零点分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小为( )A ．c >b >aB ．b >c >aC ．c >a >bD ．a >c >b答案 B解析 令f (x )＝0，则2x ＋x －1＝0，得x ＝0，即a ＝0，令g (x )＝0，则log 2x ＋x －1＝0，得x ＝1，即b ＝1，因为函数h (x )＝x 3＋x －1在R 上为增函数，且h (0)＝－1<0，h (1)＝1>0，所以h (x )在区间(0,1)上存在唯一零点c ，且c ∈(0,1)，综上，b >c >a .14．(2022·厦门模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0，则函数y ＝f (f (x ))的所有零点之和为________．答案 12 解析 当x ≤0时，x ＋1＝0，x ＝－1，由f (x )＝－1，可得x ＋1＝－1或log 2x ＝－1，∴x ＝－2或x ＝12；当x >0时，log 2x ＝0，x ＝1，由f (x )＝1，可得x ＋1＝1或log 2x ＝1，∴x ＝0或x ＝2；∴函数y ＝f (f (x ))的所有零点为－2，12，0,2，∴所有零点的和为－2＋12＋0＋2＝12.15．若关于x 的方程|x |x ＋4＝kx 2有四个不同的实数解，则k 的取值范围为() A ．(0,1) B.⎝⎛⎭⎫14，1C.⎝⎛⎭⎫14，＋∞ D ．(1，＋∞)答案 C解析 因为|x |x ＋4＝kx 2有四个实数解，显然，x ＝0是方程的一个解，下面只考虑x ≠0时有三个实数解即可．若x >0，原方程等价于1＝kx (x ＋4)，显然k ≠0，则1k ＝x (x ＋4)．要使该方程有解，必须k >0，则1k ＋4＝(x ＋2)2，此时x >0，方程有且必有一解；所以当x <0时必须有两解，当x <0时，原方程等价于－1＝kx (x ＋4)，即－1k＝x (x ＋4)(x <0且x ≠－4)，要使该方程有两解， 必须－4<－1k<0， 所以k >14. 所以实数k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫14，＋∞. 16．已知M ＝{α|f (α)＝0}，N ＝{β|g (β)＝0}，若存在α∈M ，β∈N ，使得|α－β|<n ，则称函数f (x )与g (x )互为“n 度零点函数”．若f (x )＝32－x －1与g (x )＝x 2－a e x 互为“1度零点函数”，则实数a 的取值范围为________．答案 ⎝⎛⎦⎤1e ，4e 2解析 由题意可知f (2)＝0，且f (x )在R 上单调递减，所以函数f (x )只有一个零点2，由|2－β|<1，得1<β<3，所以函数g (x )＝x 2－a e x 在区间(1,3)上存在零点．由g (x )＝x 2－a e x ＝0，得a ＝x 2e x . 令h (x )＝x 2e x ，则h ′(x )＝2x －x 2e x ＝x (2－x )e x，所以h (x )在区间(1,2)上单调递增，在区间(2,3)上单调递减，且h (1)＝1e ，h (2)＝4e 2，h (3)＝9e 3>1e，要使函数g (x )在区间(1,3)上存在零点，只需a ∈⎝⎛⎦⎤1e ，4e 2.。

课时跟踪检测（二十七） 函数的零点与方程的解A 级——学考合格性考试达标练1．函数f (x )＝2x 2－3x ＋1的零点是( )A ．－12，－1 B ．12，1 C ．12，－1 D ．－12，1 解析：选B 方程2x 2－3x ＋1＝0的两根分别为x 1＝1，x 2＝12，所以函数f (x )＝2x 2－3x ＋1的零点是12，1. 2．函数y ＝x 2－bx ＋1有一个零点，则b 的值为( )A ．2B ．－2C ．±2D ．3解析：选C 因为函数有一个零点，所以Δ＝b 2－4＝0，所以b ＝±2.3．若函数f (x )的图象是一条连续不断的曲线，且f (0)>0，f (1)>0，f (2)<0，则y ＝f (x )有唯一零点需满足的条件是( )A ．f (3)<0B ．函数f (x )在定义域内是增函数C ．f (3)>0D ．函数f (x )在定义域内是减函数解析：选D 因为f (1)>0，f (2)<0，所以函数f (x )在区间(1，2)上一定有零点．若要保证只有一个零点，则函数f (x )在定义域内必须是减函数．4．在下列区间中，函数f (x )＝e x ＋4x －3的零点所在的区间为( )A ．(－2，－1)B ．(－1，0)C ．⎝⎛⎭⎫0，12D ．⎝⎛⎭⎫12，1解析：选C 因为f (0)＝e 0－3<0，f ⎝⎛⎭⎫12＝e 12＋2－3>0，所以函数的零点所在的区间为⎝⎛⎭⎫0，12，故选C. 5．若函数f (x )＝ax ＋1在区间(－1，1)上存在一个零点，则实数a 的取值范围是( )A ．a >1B ．a <1C ．a <－1或a >1D ．－1<a <1解析：选C 函数f (x )＝ax ＋1在区间(－1，1)上存在一个零点，则f (－1)·f (1)<0，即(1－a )·(1＋a )<0，解得a <－1或a >1，故选C.6．函数f (x )＝(x －1)(x 2＋3x －10)的零点有______个．解析：∵f (x )＝(x －1)(x 2＋3x －10)＝(x －1)(x ＋5)(x －2)，∴由f (x )＝0得x ＝－5或x ＝1或x ＝2.答案：37．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －1，x ≥2或x ≤－1，1，－1<x <2，则函数g (x )＝f (x )－x 的零点为________． 解析：由f (x )＝x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2或x ≤－1，x 2－x －1＝x 或⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <2，x ＝1， 解得 x ＝1＋2或x ＝1.答案：1，1＋ 28．函数f (x )＝ln x ＋3x －2的零点个数是________．解析：由f (x )＝ln x ＋3x －2＝0，得ln x ＝2－3x ，设g (x )＝ln x ，h (x )＝2－3x ，图象如图所示，两个函数的图象有一个交点，故函数f (x )＝ln x ＋3x －2有一个零点．答案：19．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．(1)f (x )＝－x 2＋2x －1；(2)f (x )＝x 4－x 2；(3)f(x)＝4x＋5；(4)f(x)＝log3(x＋1)．解：(1)令－x2＋2x－1＝0，解得x1＝x2＝1，所以函数f(x)＝－x2＋2x－1的零点为1.(2)因为f(x)＝x2(x－1)(x＋1)＝0，所以x＝0或x＝1或x＝－1，故函数f(x)＝x4－x2的零点为0，－1和1.(3)令4x＋5＝0，则4x＝－5＜0，∵4x＞0恒成立，∴方程4x＋5＝0无实数解．所以函数f(x)＝4x＋5不存在零点．(4)令log3(x＋1)＝0，解得x＝0，所以函数f(x)＝log3(x＋1)的零点为0.10．已知函数f(x)＝2x－x2，问方程f(x)＝0在区间[－1，0]内是否有解，为什么？解：有解．因为f(－1)＝2－1－(－1)2＝－12＜0，f(0)＝20－02＝1＞0，且函数f(x)＝2x－x2的图象是连续曲线，所以f(x)在区间[－1，0]内有零点，即方程f(x)＝0在区间[－1，0]内有解．B级——面向全国卷高考高分练1．函数f(x)＝x3－4x的零点为()A．(0，0)，(2，0)B．(－2，0)，(0，0)，(2，0)C．－2，0，2 D．0，2解析：选C令f(x)＝0，得x(x－2)(x＋2)＝0，解得x＝0或x＝±2，故选C.2．函数y＝x2＋a存在零点，则a的取值范围是()A．a＞0 B．a≤0C．a≥0 D．a＜0解析：选B 函数y ＝x 2＋a 存在零点，则x 2＝－a 有解，所以a ≤0.3．函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若f (1)>0，f (2)<0，则f (x )在(1，2)上的零点( )A ．至多有一个B ．有一个或两个C ．有且仅有一个D ．一个也没有解析：选C 若a ＝0，则f (x )＝bx ＋c 是一次函数，由f (1)·f (2)<0得零点只有一个；若a ≠0，则f (x )＝ax 2＋bx ＋c 为二次函数，若f (x )在(1，2)上有两个零点，则必有f (1)·f (2)>0，与已知矛盾．故选C.4．方程log 3x ＋x ＝3的解所在的区间为( )A ．(0，2)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，4)解析：选C 令f (x )＝log 3x ＋x －3，则f (2)＝log 32＋2－3＝log 323＜0，f (3)＝log 33＋3－3＝1＞0，那么方程log 3x ＋x ＝3的解所在的区间为(2，3)．5．函数f (x )＝|x －2|－ln x 的零点的个数为________．解析：由题意知，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，函数f (x )在(0，＋∞)内的零点就是方程|x －2|－ln x ＝0的根．令y 1＝|x －2|，y 2＝lnx (x >0)，在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象，由图知，两个函数图象有两个交点，故方程|x －2|－ln x ＝0有2个根，即对应函数有2个零点．答案：26．已知函数f (x )是定义域为R 的奇函数，－2是它的一个零点，且在(0，＋∞)上是增函数，则该函数有________个零点，这几个零点的和等于________．解析：因为函数f (x )是定义域为R 的奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，所以f (0)＝0.又因为f (－2)＝0，所以f (2)＝－f (－2)＝0，故该函数有3个零点，这3个零点之和等于0.答案：3 07．已知函数f (x )＝x 2－bx ＋3.(1)若f (0)＝f (4)，求函数f (x )的零点．(2)若函数f (x )一个零点大于1，另一个零点小于1，求b 的取值范围．解：(1)由f (0)＝f (4)得3＝16－4b ＋3，即b ＝4，所以f (x )＝x 2－4x ＋3，令f (x )＝0即x 2－4x ＋3＝0得x 1＝3，x 2＝1.所以f (x )的零点是1和3.(2)因为f (x )的零点一个大于1，另一个小于1，如图．需f (1)＜0，即1－b ＋3＜0，所以b ＞4.故b 的取值范围为(4，＋∞)．C 级——拓展探索性题目应用练已知函数f (x )＝log 12x ＋12x －172. (1)用单调性的定义证明：f (x )在定义域上是单调函数； (2)证明：f (x )有零点； (3)设f (x )的零点x 0落在区间⎝⎛⎭⎫1n ＋1，1n 内，求正整数n 的值． 解：(1)证明：显然，f (x )的定义域为(0，＋∞)．任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，不妨设x 1<x 2，则x 2－x 1>0，x 1x 2>0，则12x 1－12x 2＝x 2－x 12x 1x 2>0，log 12x 1>log 12x 2，即log 12x 1－log 12x 2>0，所以f (x 1)－f (x 2)＝(log 12x 1－log 12x 2)＋⎝⎛⎭⎫12x 1－12x 2>0，所以f (x 1)>f (x 2)．故f (x )在定义域(0，＋∞)上是减函数．(2)证明：因为f (1)＝0＋12－172＝－8<0，f ⎝⎛⎭⎫116＝4＋8－172＝72>0，所以f (1)·f ⎝⎛⎭⎫116<0，又因为f (x )在区间⎝⎛⎭⎫116，1上是连续的，所以f (x )有零点． (3)f ⎝⎛⎭⎫111＝log 12111＋112－172 ＝log 211－3>log 28－3＝0，f ⎝⎛⎭⎫110＝log 12110＋5－172＝log 210－72＝log 25－52 ＝log 225－log 232<0，所以f ⎝⎛⎭⎫110f ⎝⎛⎭⎫111<0，所以f (x )的零点x 0落在区间⎝⎛⎭⎫111，110内．故n ＝10.。

课时跟踪检测 （二十八） 函数的零点与方程的解层级(一) “四基”落实练1．若函数y ＝f (x )的图象是连续不断的，有如下的对应值表：则函数y ＝f (x )在x ∈[1,6]上的零点至少有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：选B 由表得f (1)f (2)＜0，f (4)f (5)＜0， 因为函数的图象是连续不断的，所以函数在(1,2)内至少有一个零点，在(4,5)内至少有一个零点， 所以函数y ＝f (x )在x ∈[1,6]上的零点至少有两个．2．若函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若f (1)＞0，f (2)＜0，则f (x )在(1,2)上的零点( ) A ．至多有一个 B ．有一个或两个 C ．有且仅有一个D ．一个也没有解析：选C 若a ＝0，则f (x )＝bx ＋c 是一次函数，由f (1)·f (2)＜0得零点只有一个；若a ≠0，则f (x )＝ax 2＋bx ＋c 为二次函数，若有两个零点，则必有f (1)·f (2)＞0，与已知矛盾．3．在下列区间中，函数f (x )＝e x ＋4x －3的零点所在的区间为( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C.⎝⎛⎭⎫0，12 D ．⎝⎛⎭⎫12，1解析：选C ∵函数f (x )＝e x ＋4x －3在R 上连续且单调递增， 且f (0)＝e 0－3＝－2＜0，f ⎝⎛⎭⎫12＝e ＋2－3＝e －1＝e 12－e 0＞0， ∴f (0)·f ⎝⎛⎭⎫12＜0，∴函数f (x )＝e x ＋4x －3的零点所在的区间为⎝⎛⎭⎫0，12. 4．方程x ＋log 3x ＝3的解为x 0，若x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N ，则n ＝( ) A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C 设f (x )＝x ＋log 3x －3，则f (1)＝1＋log 31－3＝－2＜0，f (2)＝2＋log 32－3＝log 32－1＜0，f (3)＝3＋log 33－3＝1＞0，又易知f (x )为单调增函数，∴方程x ＋log 3x ＝3的解在(2,3)内，因此n ＝2.故选C.5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x ＞0，2x ，x ≤0，若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不等的实根，则实数k 的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，1)C ．(1，＋∞)D ．(0,1]解析：选D 作出函数f (x )的图象，由图象知，当0＜k ≤1时，y ＝k 与y ＝f (x )的图象有两个交点，此时方程f (x )＝k 有两个不等实根，所以0＜k ≤1，故选D.6．已知函数f (x )＝ln x －m 的零点位于区间(1，e)内，则实数m 的取值范围是________． 解析：由题意，令f (x )＝ln x －m ＝0，得m ＝ln x ， 因为x ∈(1，e)，所以ln x ∈(0,1)，故m ∈(0,1)． 答案：(0,1)7．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x －4，x ≤1，x 2－4x ＋3，x ＞1的图象和函数g (x )＝log 2x 的图象的交点个数是________．解析：作出g (x )与f (x )的图象如图，由图知f (x )与g (x )有3个交点．答案：38．若abc ≠0，且b 2＝ac ，则函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的零点的个数是________． 解析：∵ax 2＋bx ＋c ＝0的根的判别式Δ＝b 2－4ac ，b 2＝ac ，且abc ≠0，∴Δ＝－3b 2＜0， ∴方程ax 2＋bx ＋c ＝0无实根． ∴函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 无零点． 答案：09．求函数f (x )＝log 2x ＋2x －7的零点个数，并写出它的一个大致区间． 解：设g (x )＝log 2x ，h (x )＝－2x ＋7， 作出g (x )，h (x )的图象如图所示．由图可知g (x )与h (x )只有一个交点，则log 2x ＋2x －7＝0有一个根， ∴函数f (x )有一个零点．f (2)＝log 22＋22－7＝－2，f (3)＝log 23＋23－7＞0， ∴f (2)·f (3)＜0.∴零点的一个大致区间为(2,3)．10．已知函数f (x )＝x 2－(k －2)x ＋k 2＋3k ＋5有两个零点． (1)若函数的两个零点是－1和－3，求k 的值； (2)若函数的两个零点是α和β，求α2＋β2的取值范围． 解：(1)－1和－3是函数f (x )的两个零点，故－1和－3是方程x 2－(k －2)x ＋k 2＋3k ＋5＝0的两个实数根．则⎩⎪⎨⎪⎧－1－3＝k －2，－1×(－3)＝k 2＋3k ＋5，解得k ＝－2.(2)函数的两个零点为α和β，则α和β是方程x 2－(k －2)x ＋k 2＋3k ＋5＝0的两根． ∴⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＝k －2，αβ＝k 2＋3k ＋5，Δ＝(k －2)2－4×(k 2＋3k ＋5)≥0.则－4≤k ≤－43，且α2＋β2＝(α＋β)2－2αβ＝－k 2－10k －6在－4≤k ≤－43上单调递减，∴α2＋β2在区间⎣⎡⎦⎤－4，－43上的最大值是18，最小值是509.层级(二) 素养提升练1．若函数y ＝⎝⎛⎭⎫13|x －1|＋m 有零点，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1] B ．[－1，＋∞) C ．[－1,0)D ．(0，＋∞)解析：选C 因为函数y ＝⎝⎛⎭⎫13|x －1|＋m 有零点，所以方程⎝⎛⎭⎫13|x －1|＋m ＝0有解，即方程⎝⎛⎭⎫13|x －1|＝－m 有解，因为|x －1|≥0，所以0＜⎝⎛⎭⎫13|x －1|≤1，即0＜－m ≤1，因此－1≤m ＜0，故选C.2．若函数f (x )＝ax 2－2x ＋1在x ∈[0,1]上存在唯一零点，则实数a 的取值范围是________．解析：当a ＝0时，函数的零点为12，满足题意．当a ≠0时，f (0)＝1＞0.①当函数的对称轴不在区间内时，由函数f (x )＝ax 2－2x ＋1在x ∈[0,1]上存在唯一零点， 得f (1)＝a －1＜0，可得a ＜1，且a ≠0； ②当函数的对称轴在区间[0,1]内时， 由函数f (x )＝ax 2－2x ＋1的对称轴为x ＝1a ，可得⎩⎨⎧0≤1a ≤1，f ⎝⎛⎭⎫1a ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≥1，1a －2a ＋1＝0，解得a ＝1. 综上，实数a 的取值范围是(－∞，1]． 答案：(－∞，1]3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋k ，x ＜0，x 2－1，x ≥0，其中k ≥0.(1)若k ＝2，则f (x )的最小值为______；(2)若关于x 的函数y ＝f (f (x ))有两个不同零点，则实数k 的取值范围是________． 解析：(1)当x ＜0时，f (x )＝－x ＋2在区间(－∞，0)上单调递减，则f (x )＞2； 当x ≥0时，f (x )＝x 2－1在区间(0，＋∞)上单调递增，则f (x )≥f (0)＝－1. 则f (x )的最小值为－1. (2)令f (x )＝t ，则y ＝f (t )．当k ∈[0,1)时，函数f (x )的图象如图①所示．则f (t )＝0⇒t ＝1，则函数f (x )的图象与直线y ＝1有两个交点，则k ∈[0,1)满足题意． 当k ∈[1，＋∞)时，函数f (x )的图象如图②所示．则f (t )＝0⇒t ＝1，则函数f (x )的图象与直线y ＝1只有一个交点，则k ∈[1，＋∞)不满足题意．综上，k ∈[0,1)． 答案：(1)－1 (2)[0,1)4．已知f (x )＝log 3(3x ＋1)＋12kx (x ∈R )是偶函数．(1)求k 的值；(2)若函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝12x ＋a 有公共点，求a 的取值范围．解：(1)∵y ＝f (x )是偶函数，∴f (－x )＝f (x )， ∴log 3(3－x ＋1)－12kx ＝log 3(3x ＋1)＋12kx ，化简得log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫3－x ＋13x ＋1＝kx ，即log 313x ＝kx ，∴log 33－x ＝kx ，∴－x ＝kx ，即(k ＋1)x ＝0对任意的x ∈R 都成立，∴k ＝－1. (2)由题意知，方程log 3(3x ＋1)－12x ＝12x ＋a 有解，亦即log 3(3x＋1)－x ＝log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋13x ＝a 有解，∴log 3⎝⎛⎭⎫1＋13x ＝a 有解．由13x ＞0，得1＋13x ＞1，∴log 3⎝⎛⎭⎫1＋13x ＞0， 故a ＞0，即a 的取值范围是(0，＋∞)． 5．已知函数f (x )＝2x ，g (x )＝log 2x .(1)若x 0是方程f (x )＝32－x 的根，证明2x 0是方程g (x )＝32－x 的根；(2)设方程f (x －1)＝52－x ，g (x －1)＝52－x 的根分别是x 1，x 2，求x 1＋x 2的值．解：(1)证明：因为x 0是方程f (x )＝32－x 的根，所以2x 0＝32－x 0，即x 0＝32－2x 0，则g (2x 0)＝log 22x 0＝x 0＝32－2x 0.所以2x 0是方程g (x )＝32－x 的根．(2)由题意知，方程2x －1＝52－x ，log 2(x －1)＝52－x 的根分别是x 1，x 2，即方程2x －1＝32－(x －1)，log 2(x －1)＝32－(x －1)的根分别为x 1，x 2，令t ＝x －1，则方程2t ＝32－t ，log 2t ＝32－t 的根分别为t 1＝x 1－1，t 2＝x 2－1.由(1)知t 1是方程2t ＝32－t 的根，则2t 1是方程log 2t ＝32－t 的根．令h (t )＝log 2t ＋t －32，则2t 1是h (t )的零点，又因为h (t )是(0，＋∞)上的增函数，所以2t 1是h (t )的唯一零点，即2t 1是方程log 2t ＝32－t 的唯一根．所以2t 1＝t 2，所以t 1＋t 2＝t 1＋2t 1＝32，即(x 1－1)＋(x 2－1)＝32，所以x 1＋x 2＝32＋2＝72.。

课时跟踪检测（二十九） 函数的零点与方程的解层级(一) “四基”落实练1．若函数y ＝x 2－bx ＋1有一个零点，则b 的值为( ) A ．2 B ．－2 C ．±2D ．3解析：选C 因为函数有一个零点，所以Δ＝b 2－4＝0，所以b ＝±2.2．(多选)若方程x 2＋2x ＋λ＝0在区间(－1,0)上有实数根，则实数λ的取值可以是( ) A ．－3 B.18 C.14D ．1解析：选BC 方程x 2＋2x ＋λ＝0对应的二次函数为：f (x )＝x 2＋2x ＋λ，它的对称轴为：x ＝－1，所以函数在(－1,0)上是增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)<0，f (0)>0，可得⎩⎪⎨⎪⎧1－2＋λ<0，λ>0，解得λ∈(0,1)．结合选项知选B 、C.3．函数f (x )＝x 3＋3x －15的零点所在的区间为( ) A ．(－1,0) B ．(0,1) C ．(1,2)D ．(2,3)解析：选D 函数f (x )＝x 3＋3x －15是连续的单调递增函数， ∵f (1)＝1＋3－15＝－11＜0， f (2)＝8＋6－15＝－1＜0， f (3)＝27＋9－15＝21＞0， ∴f (2)f (3)＜0，由函数零点存在定理可知函数的零点所在区间为(2,3)．4．根据表格中的数据，可以判定方程e x －2x －5＝0的一个根所在的区间是( )A.(0,1) C ．(2,3)D ．(3,4)解析：选C 设f (x )＝e x －2x －5， 此函数的图象是连续不断的， 由表可知f (0)＝1－5＝－4<0， f (1)＝2.72－7＝－4.28<0， f (2)＝7.39－9＝－1.61<0， f (3)＝20.09－11＝9.09>0， f (4)＝54.60－13＝41.60>0， 所以f (2)·f (3)<0，所以函数f (x )的一个零点，即方程e x －2x －5＝0的一个根所在的区间为(2,3)．5．已知函数若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不等的实根，则实数k 的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，1)C ．(1，＋∞)D ．(0,1]解析：选D 作出函数f (x )的图象，由图象知，当0＜k ≤1时，y ＝k 与y ＝f (x )的图象有两个交点，此时方程f (x )＝k 有两个不等实根，所以0＜k ≤1，故选D.6．函数f (x )＝(x －1)ln xx －3的零点是________．解析：令f (x )＝0，即(x －1)ln xx －3＝0，即x －1＝0或ln x ＝0，∴x ＝1，故函数f (x )的零点为1.答案：17．若abc ≠0，且b 2＝ac ，则函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的零点的个数是________． 解析：∵ax 2＋bx ＋c ＝0的根的判别式Δ＝b 2－4ac ，b 2＝ac ，且abc ≠0，∴Δ＝－3b 2＜0， ∴方程ax 2＋bx ＋c ＝0无实根． ∴函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 无零点． 答案：08．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－2x ＋1.(1)求f (x )的解析式；(2)讨论函数g (x )＝f (x )－m (m ∈R )的零点个数．解：(1)当x ＜0时，－x ＞0，f (－x )＝(－x )2－2(－x )＋1＝x 2＋2x ＋1， ∵f (x )是R 上的偶函数，∴f (x )＝x 2＋2x ＋1，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋1，x <0，x 2－2x ＋1，x ≥0.(2)函数f (x )的图象如图所示． 当m ＜0时，g (x )没有零点；当m ＝0或m ＞1时，g (x )有2个零点； 当0＜m ＜1时，g (x )有4个零点； 当m ＝1时，g (x )有3个零点． 层级(二) 能力提升练1．函数f (x )＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(1,2)C ．(0,3)D ．(0,2)解析：选C 因为函数f (x )＝2x －2x －a 在区间(1,2)上单调递增，又函数f (x )＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1,2)内，则有f (1)·f (2)<0，所以(－a )(4－1－a )<0，即a (a －3)<0.所以0<a <3.2．(多选)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|ln x |，x >0，－x 2－4x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有四个零点，则实数m 可取( )A ．－1B ．1C ．3D ．5解析：选BC 令g (x )＝0得f (x )＝m ，作出函数f (x )的图象如图所示．∵函数f (x )的图象与y ＝m 有四个交点， ∴m 的取值范围为(0,4)，结合选项知选B 、C.3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋4，x ≤0，2x －2，x >0，若函数y ＝f (f (x )＋m )有四个零点，则实数m 的取值范围是________．解析：令f (x )＝0⇒x ＝－2或1.令f (f (x )＋m )＝0得f (x )＋m ＝－2或f (x )＋m ＝1，∴f (x )＝－2－m 或f (x )＝1－m .作出y ＝f (x )的图象，如图所示． ∵y ＝f (f (x )＋m )有四个零点，∴f (x )＝－2－m ，f (x )＝1－m 各有两个根，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1<－2－m ≤4，－1<1－m ≤4，解得－3≤m <－1. 答案：[－3，－1)4．已知函数f (x )＝x 2－(k －2)x ＋k 2＋3k ＋5有两个零点． (1)若函数的两个零点是－1和－3，求k 的值； (2)若函数的两个零点是α和β，求α2＋β2的取值范围． 解：(1)－1和－3是函数f (x )的两个零点，故－1和－3是方程x 2－(k －2)x ＋k 2＋3k ＋5＝0的两个实数根．则⎩⎪⎨⎪⎧－1－3＝k －2，－1×(－3)＝k 2＋3k ＋5，解得k ＝－2.(2)函数的两个零点为α和β，则α和β是方程x 2－(k －2)x ＋k 2＋3k ＋5＝0的两根． ∴⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＝k －2，αβ＝k 2＋3k ＋5，Δ＝(k －2)2－4×(k 2＋3k ＋5)≥0.则－4≤k ≤－43，且α2＋β2＝(α＋β)2－2αβ＝－k 2－10k －6在－4≤k ≤－43上单调递减，∴α2＋β2在区间⎣⎡⎦⎤－4，－43上的最大值是18，最小值是509. 5．已知f (x )＝log 3(3x ＋1)＋12kx (x ∈R )是偶函数．(1)求k 的值；(2)若函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝12x ＋a 有公共点，求a 的取值范围．解：(1)∵y ＝f (x )是偶函数，∴f (－x )＝f (x )， ∴log 3(3－x ＋1)－12kx ＝log 3(3x ＋1)＋12kx ，化简得log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫3－x ＋13x ＋1＝kx ，即log 313x ＝kx ，∴log 33－x ＝kx ，∴－x ＝kx ，即(k ＋1)x ＝0对任意的x ∈R 都成立，∴k ＝－1. (2)由题意知，方程log 3(3x ＋1)－12x ＝12x ＋a 有解，亦即log 3(3x＋1)－x ＝log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋13x ＝a 有解，∴log 3⎝⎛⎭⎫1＋13x ＝a 有解． 由13x ＞0，得1＋13x ＞1，∴log 3⎝⎛⎭⎫1＋13x ＞0， 故a ＞0，即a 的取值范围是(0，＋∞)．层级(三) 素养培优练 已知函数f (x )＝2x ，g (x )＝log 2x .(1)若x 0是方程f (x )＝32－x 的根，证明2x 0是方程g (x )＝32－x 的根；(2)设方程f (x －1)＝52－x ，g (x －1)＝52－x 的根分别是x 1，x 2，求x 1＋x 2的值．解：(1)证明：因为x 0是方程f (x )＝32－x 的根，所以2x 0＝32－x 0，即x 0＝32－2x 0，则g (2x 0)＝log 22x 0＝x 0＝32－2x 0.所以2x 0是方程g (x )＝32－x 的根．(2)由题意知，方程2x －1＝52－x ，log 2(x －1)＝52－x 的根分别是x 1，x 2， 即方程2x －1＝32－(x －1)，log 2(x －1)＝32－(x －1)的根分别为x 1，x 2，令t ＝x －1，则方程2t ＝32－t ，log 2t ＝32－t 的根分别为t 1＝x 1－1，t 2＝x 2－1.由(1)知t 1是方程2t ＝32－t 的根，则2t 1是方程log 2t ＝32－t 的根．令h (t )＝log 2t ＋t －32，则2t 1是h (t )的零点，又因为h (t )是(0，＋∞)上的增函数，所以2t 1是h (t )的唯一零点，即2t 1是方程log 2t ＝32－t 的唯一根．所以2t 1＝t 2，所以t 1＋t 2＝t 1＋2t 1＝32，即(x 1－1)＋(x 2－1)＝32，所以x 1＋x 2＝32＋2＝72.。

《4.5.1 函数的零点与方程的解》分层同步练习（一）基础巩固1.函数y=4x-2的零点是( ) (A)2(B)(-2,0) (C)（,0） (D)2.下列图象表示的函数中没有零点的是( )3.函数f(x)=ln x+x 2+a-1有唯一的零点在区间(1,e)内,则实数a 的取值范围是( )(A)(-e 2,0) (B)(-e 2,1) (C)(1,e) (D)(1,e 2) 4.函数f(x)=πx+log 2x 的零点所在区间为( ) (A)[14,12] (B)[18,14] (C)[0,18] (D)[12,1]5.函数f(x)=|x-2|-ln x 在定义域内零点的个数为( ) (A)0(B)1(C)2(D)36.函数f(x)=ax 2+2ax+c(a ≠0)的一个零点为-3,则它的另一个零点是( ) (A)-1(B)1(C)-2 (D)27.方程|x 2-2x|=a 2+1(a>0)的解的个数是 .8.关于x 的方程mx 2+2(m+3)x+2m+14=0有两实根,且一个大于4,一个小于4,求m 的取值范围.能力提升9.如果关于x 的方程2x+1-a=0有实数根,则a 的取值范围是( ) (A)[2,+∞) (B)(-1,2] (C)(-2,1] (D)(0,+∞)10.已知函数f(x)是奇函数,且满足f(2-x)=f(x)(x ∈R),当0<x ≤11212时,f(x)=√x -12,则函数f(x)在(-2,2]上零点的个数是( ) (A)5 (B)6(C)7(D)811.已知函数f(x)={|x |,x ≤m ,x 2-2mx +4m ,x >m ,其中m>0.若存在实数b,使得关于x 的方程f(x)=b 有三个不同的根,则m 的取值范围是 . 12.已知函数f(x)={(x -2a )(a -x ),x ≤1,√x +a -1,x >1.(1)若a=0,x ∈[0,4],求f(x)的值域; (2)若f(x)恰有三个零点,求实数a 的取值范围.素养达成13.已知函数f(x)=|x(x+3)|,若y=f(x)-x+b 有四个零点,求实数b 的取值范围是.【答案解析】基础巩固1.函数y=4x-2的零点是( ) (A)2 (B)(-2,0) (C)（,0） (D)【答案】D【解析】令y=4x-2=0,得x=.所以函数y=4x-2的零点为.故选D. 2.下列图象表示的函数中没有零点的是( )【答案】A【解析】因为B,C,D 项函数的图象均与x 轴有交点,所以函数均有零点,A 项的图12121212象与x 轴没有交点,故函数没有零点,故选A.3.函数f(x)=ln x+x 2+a-1有唯一的零点在区间(1,e)内,则实数a 的取值范围是( )(A)(-e 2,0) (B)(-e 2,1) (C)(1,e) (D)(1,e 2) 【答案】A【解析】因为f(x)在其定义域内是增函数,且f(x)有唯一的零点在(1,e)内, 所以{f (1)=a <0,f (e )=e 2+a >0,解得-e 2<a<0.故选A.4.函数f(x)=πx+log 2x 的零点所在区间为( ) (A)[14,12] (B)[18,14] (C)[0,18] (D)[12,1] 【答案】A【解析】因为f(14)=π4+log 214<0,f(12)=π2+log 212>0,所以f(14)·f(12)<0,故函数f(x)=πx+log 2x 的零点所在区间为[14,12].故选A. 5.函数f(x)=|x-2|-ln x 在定义域内零点的个数为( ) (A)0(B)1(C)2(D)3【答案】C【解析】由题意,函数f(x)的定义域为(0,+∞).由函数零点的定义,f(x)在(0,+∞)内的零点即是方程|x-2|-ln x=0的根. 令y 1=|x-2|,y 2=ln x(x>0),在一个坐标系中画出两个函数的图象.由图得,两个函数图象有两个交点,故方程有两个根,即对应函数有两个零点. 6.函数f(x)=ax 2+2ax+c(a ≠0)的一个零点为-3,则它的另一个零点是( ) (A)-1 (B)1 (C)-2 (D)2【答案】B【解析】由根与系数的关系得方程f(x)=0的两根x 1,x 2满足x 1+x 2=-2aa =-2,所以方程的另一个根为1.故选B.7.方程|x 2-2x|=a 2+1(a>0)的解的个数是 . 【答案】2【解析】因为a>0,所以a 2+1>1.而y=|x 2-2x|的图象如图所示,所以y=|x 2-2x|的图象与y=a 2+1的图象总有两个交点. 即方程|x 2-2x|=a 2+1(a>0)有两个解.8.关于x 的方程mx 2+2(m+3)x+2m+14=0有两实根,且一个大于4,一个小于4,求m 的取值范围.【答案】m 的取值范围是(-1913,0). 【解析】令f(x)=mx 2+2(m+3)x+2m+14.依题意得{m >0,f (4)<0或{m <0,f (4)>0,即{m >0,26m +38<0或{m <0,26m +38>0,解得-1913<m<0. 即m 的取值范围是(-1913,0).能力提升9.如果关于x 的方程2x+1-a=0有实数根,则a 的取值范围是( ) (A)[2,+∞) (B)(-1,2] (C)(-2,1] (D)(0,+∞) 【答案】D【解析】由方程2x+1-a=0变形为a=2x+1,因为2x+1>0,所以a>0.10.已知函数f(x)是奇函数,且满足f(2-x)=f(x)(x ∈R),当0<x ≤1时,f(x)=√x -12,则函数f(x)在(-2,2]上零点的个数是( ) (A)5(B)6(C)7(D)8【答案】B【解析】法一 由√x -12=0,解得x=14,所以f(14)=0.因为f(2-x)=f(x),所以f(14)=f(2-14)=f(74)=0.因为f(x)是奇函数,f(-14)=-f （14）=0,f(0)=0,f(2)=f(0)=0, 所以f(x)在(-2,2]上零点为-74,-14,0,14,74,2,共6个.法二 依题意,作出函数f(x)的图象,如图所示.由图象可知,f(x)的图象在(-2,2]内与x 轴的交点有6个. 所以f(x)在(-2,2]上的零点有6个. 11.已知函数f(x)={|x |,x ≤m ,x 2-2mx +4m ,x >m ,其中m>0.若存在实数b,使得关于x 的方程f(x)=b 有三个不同的根,则m 的取值范围是 . 【答案】(3,+∞)【解析】作出f(x)的大致图象(图略). 当x>m 时,x 2-2mx+4m=(x-m)2+4m-m 2,所以要使方程f(x)=b 有三个不同的根,则4m-m 2<m,即m 2-3m>0. 又m>0,解得m>3. 12.已知函数f(x)={(x -2a )(a -x ),x ≤1,√x +a -1,x >1.(1)若a=0,x ∈[0,4],求f(x)的值域;(2)若f(x)恰有三个零点,求实数a 的取值范围. 【答案】(1) [-1,1] (2)a 的取值范围是(-∞,0). 【解析】(1)若a=0,则f(x)={-x 2,x ≤1,√x -1,x >1,当x ∈[0,1]时,f(x)=-x 2是减函数.所以-1≤f(x)≤0; 当x ∈(1,4]时,f(x)=√x -1是增函数.所以0<f(x)≤1. 于是当x ∈[0,4]时,f(x)的值域为[-1,1]. (2)由(x-2a)(a-x)=0解得x=a 或x=2a. 由√x +a-1=0解得x=(1-a)2.因为f(x)恰有三个零点,所以{a ≤1,2a ≤1,(1-a )2>0,解得a<0.所以实数a 的取值范围是(-∞,0).素养达成13.已知函数f(x)=|x(x+3)|,若y=f(x)-x+b 有四个零点,求实数b 的取值范围是.【答案】(-4,-3). 【解析】令f(x)-x+b=0, 所以b=x-|x(x+3)|, 作出y=x-|x(x+3)|的图象, 要使函数y=f(x)-x+b 有四个零点,则y=x-|x(x+3)|与y=b 的图象有四个不同的交点,所以-4<b<-3.《4.5.1 函数的零点与方程的解》同步练习（二）[合格基础练]一、选择题1．函数y ＝x 2－bx ＋1有一个零点，则b 的值为( ) A ．2 B ．－2 C ．±2D ．3C [因为函数有一个零点，所以Δ＝b 2－4＝0，所以b ＝±2.] 2．函数f (x )＝2x －1x的零点所在的区间是( )A ．(1，＋∞) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，13 B [由f (x )＝2x －1x，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝212－2<0，f (1)＝2－1＝1>0， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12·f (1)<0.∴零点所在区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.]3．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x－1，x ≤1，1＋log 2x ，x >1，则函数f (x )的零点为( )A.12，0 B ．－2,0 C.12D ．0D [当x ≤1时，由f (x )＝0，得2x －1＝0，所以x ＝0；当x >1时，由f (x )＝0，得1＋log 2x ＝0，所以x ＝12，不成立，所以函数的零点为0，故选D.]4．函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若f (1)>0，f (2)<0，则f (x )在(1,2)上的零点( )A ．至多有一个B ．有一个或两个C ．有且仅有一个D ．一个也没有C [若a ＝0，则f (x )＝ax 2＋bx ＋c 是一次函数，由已知f (1)·f (2)<0，得只有一个零点；若a ≠0，则f (x )＝ax 2＋bx ＋c 为二次函数，若有两个零点，则应有f (1)·f (2)>0，与已知矛盾．故仅有一个零点．]5．若a <b <c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( )A ．(b ，c )和(c ，＋∞)内B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(a ，b )和(b ，c )内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内C [∵a <b <c ，∴f (a )＝(a －b )(a －c )>0，f (b )＝(b －c )(b －a )<0， f (c )＝(c －a )(c －b )>0，∴f (x )的零点分别位于(a ，b )和(b ，c )内．]二、填空题 6．函数f (x )＝(x －1)ln xx －3的零点是________．1 [令f (x )＝0，即(x －1)ln xx －3＝0，即x －1＝0或ln x ＝0，∴x ＝1，故函数f (x )的零点为1.]7．设x 0是方程ln x ＋x ＝4的根，且x 0∈(k ，k ＋1)，k ∈Z ，则k ＝________. 2 [令f (x )＝ln x ＋x －4， 且f (x )在(0，＋∞)上递增，∵f (2)＝ln 2＋2－4<0，f (3)＝ln 3－1>0， ∴f (x )在(2,3)内有解，∴k ＝2.]8．奇函数f (x )，偶函数g (x )的图象分别如图(1)，(2)所示，函数f (g (x ))，g (f (x ))的零点个数分别为m ，n ，则m ＋n ＝________.图(1) 图(2)10 [由题中函数图象知f (±1)＝0，f (0)＝0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫±32＝0，g (0)＝0，g (±2)＝1，g (±1)＝－1，所以f (g (±2))＝f (1)＝0，f (g (±1))＝f (－1)＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫g ⎝ ⎛⎭⎪⎫±32＝f (0)＝0，f (g (0))＝f (0)＝0，所以f (g (x ))有7个零点，即m ＝7.又g (f (0))＝g (0)＝0，g (f (±1))＝g (0)＝0，所以g (f (x ))有3个零点，即n ＝3.所以m ＋n ＝10.]三、解答题9．判断函数f (x )＝ln x ＋x 2－3的零点的个数．[解] 法一(图象法)：函数对应的方程为ln x ＋x 2－3＝0，所以原函数零点的个数即为函数y ＝ln x 与y ＝3－x 2的图象交点个数．在同一坐标系下，作出两函数的图象(如图)．由图象知，函数y ＝3－x 2与y ＝ln x 的图象只有一个交点，从而ln x ＋x 2－3＝0有一个根，即函数y ＝ln x ＋x 2－3有一个零点．法二(判定定理法)：由于f (1)＝ln 1＋12－3＝－2<0，f (2)＝ln 2＋22－3＝ln 2＋1>0，∴f (1)·f (2)<0，又f (x )＝ln x ＋x 2－3的图象在(1,2)上是不间断的，所以f (x )在(1,2)上必有零点，又f (x )在(0，＋∞)上是递增的，所以零点只有一个．10．若函数f (x )＝ax 2－x －1有且仅有一个负零点，求实数a 的取值范围． [解] ①当a ＝0时，由f (x )＝－x －1＝0得x ＝－1，符合题意； ②当a >0时，函数f (x )＝ax 2－x －1为开口向上的抛物线，且f (0)＝－1<0，对称轴x ＝12a>0，所以f (x )必有一个负实根，符合题意； ③当a <0时，x ＝12a <0，f (0)＝－1<0，所以Δ＝1＋4a ＝0，即a ＝－14， 此时f (x )＝－14x 2－x －1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋12＝0，所以x ＝－2，符合题意．综上所述，a 的取值范围是a ≥0或a ＝－14.[等级过关练]1．若函数f (x )＝x 2－ax ＋b 的两个零点是2和3，则函数g (x )＝bx 2－ax －1的零点是( )A ．－1和16B ．1和－16C.12和13D ．－12和 3B [∵函数f (x )＝x 2－ax ＋b 的两个零点是2和3， ∴⎩⎨⎧2＋3＝a ，2×3＝b ，即⎩⎨⎧a ＝5，b ＝6，∴g (x )＝6x 2－5x －1，∴g (x )的零点为1和－16，故选B.]2．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧e x，x ≤0，ln x ，x ＞0，g (x )＝f (x )＋x ＋a .若g (x )存在2个零点，则a 的取值范围是( )A ．[－1,0)B ．[0，＋∞)C ．[－1，＋∞)D ．[1，＋∞)C [函数g (x )＝f (x )＋x ＋a 存在2个零点，即关于x 的方程f (x )＝－x －a 有2个不同的实根，即函数f (x )的图象与直线y ＝－x －a 有2个交点，作出直线y ＝－x －a 与函数f (x )的图象，如图所示，由图可知，－a ≤1，解得a ≥－1，故选C.]3．若方程|x 2－4x |－a ＝0有四个不相等的实根，则实数a 的取值范围是________．(0,4) [由|x 2－4x |－a ＝0，得a ＝|x 2－4x |，作出函数y ＝|x 2－4x |的图象，则由图象可知，要使方程|x 2－4x |－a ＝0有四个不相等的实根，则0＜a ＜4.]4．已知函数f (x )＝3x ＋x ，g (x )＝log 3x ＋2，h (x )＝log 3x ＋x 的零点依次为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系是________．a ＜b ＜c [画出函数y ＝3x ，y ＝log 3x ，y ＝－x ，y ＝－2的图象，如图所示， 观察图象可知，函数f (x )＝3x ＋x ，g (x )＝log 3x ＋2，h (x )＝log 3x ＋x 的零点依次是点A ，B ，C 的横坐标，由图象可知a ＜b ＜c .]5．已知函数f (x )＝x 2－bx ＋3.(1)若f (0)＝f (4)，求函数f (x )的零点；(2)若函数f (x )一个零点大于1，另一个零点小于1，求b 的取值范围． [解] (1)由f (0)＝f (4)得3＝16－4b ＋3，即b ＝4，所以f (x )＝x 2－4x ＋3，令f (x )＝0，即x 2－4x ＋3＝0得x 1＝3，x 2＝1，所以f (x )的零点是1和3.(2)因为f (x )的零点一个大于1，另一个小于1，如图． 需f (1)<0，即1－b ＋3<0，所以b >4. 故b 的取值范围为(4，＋∞).《4.5.1 函数的零点与方程的解》同步练习（三）一、选择题1．函数的零点所在区间为( ) A ．（0，1） B ．（1，2） C ．（2，3）D ．（3，4）2．函数的零点个数是（ ） A ．B ．C ．D ．3．（2019·全国高一课时练）函数 f(x)＝|x|－k 有两个零点，则( ) A.k ＝0 B.k>0 C.0≤k<1D.k<04．已知函数f （x ）、g （x ）：x 0 1 2 3 f （x ） 231x 0 1 2 33()5f x x x =+-22()(1)4f x x x =--1234则函数y =f （g （x ）的零点是 A.0B.1C.2D.35．设函数与的图象的交点为，则所在的区间为( ) A. B. C.D.6．若函数的两个零点是2和3，则函数的零点是( )A ．和B ．和C ．和D ．二、填空题 7．已知函数的图象是连续不断的曲线，有如下的与的对应值表：那么，函数在区间上的零点至少有8．设是方程的解，且，则________. 9．已知二次函数数的图象与轴有两个交点，且只有一个交点在区间上，则实数的取值范围是 __________.10．已知函数．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是 三、解答题()13xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭()3g x x =-()00,x y 0x ()0,1()1,2()2,3()3,4()2f x x ax b =-+()21g x bx ax =--1-16116-121312-0x ln 4x x +=()0,1,x k k k Z ∈+∈k =221y x ax =-+x ()2,2-a e 0()ln 0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，，，，()()g x f x x a =++11．函数在R 上无零点，求实数a 的取值范围．12．对于函数，若存在，使成立，则称为函数的不动点，已知.(1)若有两个不动点为，求函数的零点；(2)若时，函数没有不动点，求实数的取值范围．【答案解析】 一、选择题1．函数的零点所在区间为( ) A ．（0，1） B ．（1，2） C ．（2，3） D ．（3，4）【答案】B【解析】由函数f （x ）＝x 3+x –5可得f （1）＝1+1–5＝–3<0，f （2）＝8+2–5＝5>0，故有f （1）f （2）<0，根据函数零点的判定定理可得，函数f （x ）的零点所在区间为（1，2），故选B ．2．函数的零点个数是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】要使函数有意义，则x 2﹣4≥0，即x 2≥4，x ≥2或x ≤﹣2．由f （x ）＝0得x 2﹣4＝0或x 2﹣1＝0（不成立舍去）．即x ＝2或x ＝﹣2，∴函数的零点个数为2个．3．函数 f(x)＝|x|－k 有两个零点，则( ) A.k ＝0 B.k>0 C.0≤k<1 D.k<0【答案】B2()1f x ax ax =+-()f x 0x ()00f x x =0x ()f x ()2f x x bx c =++()f x 3,2-()f x 214c b =()f x b 3()5f x x x =+-2()(f x x =-1234【解析】令，变为，画出和的图像如下图所示，由图可知可以取任何的正数，故选B.4．已知函数f （x ）、g （x ）：则函数y =f （g （x ）的零点是 A.0 B.1C.2D.3【答案】B【解析】由题意，函数的零点，令，可得，解得，选B ．5．设函数与的图象的交点为，则所在的区间为( ) A. B. C. D.【答案】C()0f x =x k =y x =y k =k (())y f g x =(())0f g x =()1g x =1x =()13xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭()3g x x =-()00,x y 0x ()0,1()1,2()2,3()3,4【解析】令，则，故的零点在内，因此两函数图象交点在内，故选C.6．若函数的两个零点是2和3，则函数的零点是( )A ．和B ．和C ．和D ．【答案】B【解析】因为函数的两个零点是2和3，所以的两根为2和3，因此有，所以，于是或，所以函数的零点是和;二、填空题 7．已知函数的图象是连续不断的曲线，有如下的与的对应值表：那么，函数在区间上的零点至少有【答案】3【解析】观察对应值表可知，f (x )=x ，f (x )=x ，f (x )=x ，f (x )=x ，f (x )=x ，f (x )=x ，f (x )=x ，∴函数(0,1)在区间(0,1)上的零点至少有3个. 8．设是方程的解，且，则________. 【答案】【解析】令，且在上递增，()()133xh x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()()()()58102,1,2,33927g g g g =-=-=-=()h x ()2,3()2,3()2f x x ax b =-+()21g x bx ax =--1-16116-121312-()2f x x ax b =-+20=x ax b -+235,623aa b b+=⎧⇒==⎨⨯=⎩()2651g x x x =--()2165101g x x x x =--=⇒=216x =-()21g x bx ax =--116-0x ln 4x x +=()0,1,x k k k Z ∈+∈k =2()ln 4f x x x =+-()f x ()0,∞+()2ln 2240,f =+-<，在内有解，，故答案为.9．已知二次函数数的图象与轴有两个交点，且只有一个交点在区间上，则实数的取值范围是 __________.【答案】【解析】由函数图象与轴只有一个交点在区间上，所以当时和当时函数值异号，得，即，解得或;10．（已知函数．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是 【答案】[–1，+∞）【解析】：画出函数的图像，在y 轴右侧的去掉，再画出直线，之后上下移动，可以发现当直线过点A 时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程有两个解，也就是函数有两个零点，此时满足，即，三、解答题()3ln310f =->()f x ∴()2,32k ∴=2221y x ax =-+x ()2,2-a 55,,44⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x ()2,2-2x =-2x =()()4414410a a ++-+<()()54540a a +-<54a <-54a >e 0()ln 0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，，，，()()g x f x x a =++()f x x y e =y x =-()f x x a =--()g x 1a -≤1a ≥-11．函数在R 上无零点，求实数a 的取值范围． 【答案】（–4，0]【解析】（1）当a ＝0时，f （x ）＝–1，符合题意；（2）若a ≠0，则f （x ）为二次函数，∴＝a 2+4a <0，解得–4<a <0．故a 的范围是（–4，0]． 12．对于函数，若存在，使成立，则称为函数的不动点，已知.(1)若有两个不动点为，求函数的零点；(2)若时，函数没有不动点，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）. 【解析】 (1)由题意知：f(x)＝x ，即x2＋(b －1)x ＋c ＝0有两根，分别为－3,2.所以，所以，从而f(x)＝x2＋2x －6，由f(x)＝0得x1＝－1，x2＝－1. 故f(x).(2)若c ＝，则f(x)＝x2＋bx ＋，又f(x)无不动点，即方程＋bx ＋＝x 无解，所以 即－2b ＋1<0，所以b>.故b 的取值范围是b>.《4.5.1 函数的零点与方程的解》同步练习（四）2()1f x ax ax =+-∆()f x 0x ()00f x x =0x ()f x ()2f x x bx c =++()f x 3,2-()f x 214c b =()f x b 1-12b >()32132b c ⎧-+=--⎨-⨯=⎩26b c =⎧⎨=-⎩24b 24b 2x 24b 22(1)0b b --<1212一．选择题4．函数在区间内有零点，则( )A ．B ．C ．在区间内，存在使D ．以上说法都不正确()f x ()0,2()()00,20f f ><()()020f f <()0,212,x x ()()120f x f x <7．根据表格中数据，可以断定方程 的一个根所在的区间( )A ．(－1,0)B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(2,3)8．一元二次方程的两根均大于，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．二．填空题9．已知函数在区间上有零点，则a 的取值范围为______．10．函数零点的个数为________．三．解答题【参考答案】 一．选择题()()240 2.7x e x e -+=≈2510x x m -+-=2m 21,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭(),5-∞-21,54⎡⎫--⎪⎢⎣⎭21,54⎛⎫-- ⎪⎝⎭()()20f x x x a a =++<()0,1()223,02ln ,0x x x f x x x ⎧+-≤=⎨-+>⎩1．函数的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】D【答案】B【答案】D4．函数在区间内有零点，则( ) A ． B ．C ．在区间内，存在使D ．以上说法都不正确 【答案】D()3f x x x =-()f x ()0,2()()00,20f f ><()()020f f <()0,212,x x ()()120f x f x <【答案】C【答案】A7．根据表格中的数据，可以断定方程的一个根所在的区间为( )A．(－1,0) B．(0,1)C．(1,2) D．(2,3)【答案】D8．一元二次方程的两根均大于，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C二．填空题9．已知函数在区间上有零点，则a的取值范围为______．【答案】(－2,0)10．函数零点的个数为________．【答案】2()()240 2.7xe x e-+=≈2510x x m-+-=2m21,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭(),5-∞-21,54⎡⎫--⎪⎢⎣⎭21,54⎛⎫--⎪⎝⎭()()20f x x x a a=++<()0,1()223,02ln,0x x xf xx x⎧+-≤=⎨-+>⎩三．解答题11．判断函数的零点个数，并判断该零点所在区间．【答案】令f (x )＝x －3＋ln x ＝0，则ln x ＝－x ＋3，在同一平面直角坐标系内画出函数y ＝ln x 与y ＝－x ＋3的图象，如图所示：由图可知函数y ＝ln x ，y ＝－x ＋3的图象只有一个交点，即函数f (x )＝x －3＋ln x 只有一个零点．12． 已知关于的方程，求方程实数根的个数？【答案】如图，根据图像可得跟的个数()3ln f x x x =-+x ()243f x x x =-+()f x a =。

4.5函数的应用(二) 4.5.1函数的零点与方程的解课程标准核心素养1．结合学过的函数图象，了解函数零点与方程解的关系．2．结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理.通过对函数的零点与方程的解的学习，提升“数学抽象”、“逻辑推理”、“数学运算”的核心素养.[对应学生用书P71]知识点1函数的零点1．对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．2．函数的零点与方程的根的联系：方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共交点．[微思考]函数的零点是函数与x轴的交点吗？提示：不是．函数的零点不是个点，而是一个数，该数是函数图象与x轴交点的横坐标．[微体验]1．函数y＝2x－1的零点是()A．12B．⎝⎛⎭⎫12，0C．⎝⎛⎭⎫0，12D．2A[由2x－1＝0得x＝12.]2．二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a·c<0，则函数有________个零点．解析由Δ＝b2－4ac>0得二次函数y＝ax2＋bx＋c有两个零点．答案两知识点2函数零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0. 这个c 也就是方程f(x)＝0的解．[微思考]该定理具备哪些条件？提示：定理要求具备两条：①函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②f (a )·f (b )<0.[微体验] 1．思考辨析(1)在闭区间[a ，b ]上连续的曲线y ＝f (x )，若f (a )·f (b )＜0，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内仅有一个零点．( )(2)在闭区间[a ，b ]上连续的曲线y ＝f (x )，若f (a )·f (b )＞0，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内没有一个零点．( )答案 (1)× (2)×2．函数f (x )＝3x －4的零点所在区间为( ) A ．(0,1) B ．(－1,0) C ．(2,3)D ．(1,2)D [由f (1)＝3－4＝－1<0，f (2)＝9－4＝5>0得f (x )的零点所在区间为(1,2)．][对应学生用书P 71]探究一 求函数的零点(1)求函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3，x ≤0，－2＋ln x ，x >0的零点；(2)已知函数f (x )＝ax －b (a ≠0)的零点为3，求函数g (x )＝bx 2＋ax 的零点. 解 (1)当x ≤0时，令x 2＋2x －3＝0，解得x ＝－3； 当x >0时，令－2＋ln x ＝0，解得x ＝e 2.所以函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3，x ≤0，－2＋ln x ，x >0的零点为－3和e 2.(2)由已知得f (3)＝0即3a －b ＝0，即b ＝3a . 故g (x )＝3ax 2＋ax ＝ax (3x ＋1)．令g (x )＝0，即ax (3x ＋1)＝0，解得x ＝0或x ＝－13.所以函数g (x )的零点为0和－13.[方法总结]函数零点的求法(1)代数法：求方程f (x )＝0的实数根；(2)几何法：与函数y ＝f (x )的图象联系起来，图象与x 轴的交点的横坐标即为函数的零点．[跟踪训练1] 判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出． (1)f (x )＝－x 2－4x －4；(2)f (x )＝(x －1)(x 2－4x ＋3)x －3；(3)f (x )＝4x ＋5；(4)f (x )＝log 3(x ＋1)．解 (1)令－x 2－4x －4＝0，解得x ＝－2. 所以函数的零点为x ＝－2.(2)令(x －1)(x 2－4x ＋3)x －3＝0，解得x ＝1.所以函数的零点为x ＝1.(3)令4x ＋5＝0，则4x ＝－5<0，而4x ＞0，所以方程4x ＋5＝0无实数根．所以函数不存在零点．(4)令log 3(x ＋1)＝0，解得x ＝0.所以函数的零点为x ＝0. 探究二 判断函数零点所在区间问题(1)函数f (x )＝ln x －2x的零点所在的大致区间是( )A ．(1,2)B ．(2,3)C ．⎝⎛⎭⎫1，1e 和(3,4) D ．(e ，＋∞)(2)若x 0是方程e x ＋x ＝2的解，则x 0属于区间( )A ．(－2，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1,2)(1)B [∵f (1)＝－2＜0，f (2)＝ln 2－1＜0，又f (x )在(0，＋∞)上为增函数，∴在(1,2)内f (x )无零点，排除A ．又f (3)＝ln 3－23＞0，∴f (2)·f (3)＜0. ∴f (x )在(2,3)内有一个零点．](2) C [构造函数f (x )＝e x ＋x －2，由f (0)＝－1，f (1)＝e －1>0，显然函数f (x )是单调函数，有且只有一个零点，则函数f (x )的零点在区间(0,1)上，所以方程e x ＋x ＝2的解在区间(0,1)上．][方法总结]1．确定函数零点所在区间的方法确定函数的零点、方程的根所在的区间时，通常利用零点存在性定理，转化为判断区间两端点对应的函数值的符号是否相反．2．判断函数零点所在区间的三个步骤(1)代：将区间端点代入函数求出函数的值． (2)判：把所得函数值相乘，并进行符号判断．(3)结：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点．[跟踪训练2] (1)使得函数f (x )＝ln x ＋12x －2有零点的一个区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)C [函数f (x )的图象在(0，＋∞)上连续不断，且f (2)＝ln 2－1<ln e －1＝0，f (3)＝ln 3－12>ln e －12＝12>0，∴f (2)·f (3)<0.] (2)若函数f (x )＝x ＋ax (a ∈R )在区间(1,2)上有零点，则a 的值可能是( )A ．－2B ．0C ．1D ．3A [f (x )＝x ＋ax (a ∈R )的图象在(1,2)上是连续不断的，逐个选项代入验证，当a ＝－2时，f (1)＝1－2＝－1<0，f (2)＝2－1＝1>0.故f (x )在区间(1,2)上有零点，同理，其他选项不符合．]探究三 函数零点的个数判断函数f (x )＝2x ＋lg(x ＋1)－2的零点个数．解 方法一：∵f (0)＝1＋0－2＝－1<0， f (2)＝4＋lg 3－2>0，∴f (x )在(0,2)上必定存在零点．又f (x )＝2x ＋lg(x ＋1)－2在(0，＋∞)上为增函数， 故f (x )有且只有一个零点．方法二：在同一坐标系下作出h (x )＝2－2x 和g (x )＝lg(x ＋1)的草图，如图所示． 由图象知g (x )＝lg(x ＋1)的图象和h (x )＝2－2x 的图象有且只有一个交点， 即f (x )＝2x ＋lg(x ＋1)－2有且只有一个零点．[变式探究] 将本例中函数解析式改为f (x )＝x －3＋ln x 呢？ 解 方法一：令f (x )＝x －3＋ln x ＝0，则ln x ＝3－x .在同一平面直角坐标系内画出函数y ＝ln x 与y ＝－x ＋3的图象，如图所示．由图可知函数y ＝ln x ，y ＝－x ＋3的图象只有一个交点，即函数f (x )＝x －3＋ln x 只有一个零点．方法二：因为f (3)＝ln 3>0，f (2)＝－1＋ln 2＝ln 2e <0，所以f (3)·f (2)<0，说明函数f (x )＝x －3＋ln x 在区间(2,3)内有零点．又f (x )＝x －3＋ln x 在(0，＋∞)上是增函数，所以函数只有一个零点． [方法总结]判断函数零点个数的方法方法一：直接求出函数的零点进行判断； 方法二：结合函数图象进行判断；方法三：借助函数的单调性进行判断．若函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象是一条连续不断的曲线，且在区间(a ，b )上单调，满足f (a )·f (b )<0，则函数f (x )在区间(a ，b )上有且仅有一个零点，如图所示．[对应学生用书P 73]1．方程f (x )＝g (x )的根是函数f (x )与g (x )的图象交点的横坐标，也是函数y ＝f (x )－g (x )的图象与x 轴交点的横坐标．2．在函数零点存在性定理中，要注意三点(1)函数是连续的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一个零点． 3．解决函数的零点存在性问题常用的办法有三种 (1)用定理；(2)解方程；(3)用图象．4．函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时化为方程问题求解，这正是函数与方程思想的基础．课时作业(二十九)函数的零点与方程的解[见课时作业(二十九)P 172]1．若函数f (x )＝x 2＋2x ＋a 没有零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ＜1 B ．a ＞1 C ．a ≤1D ．a ≥1B [由题意知，Δ＝4－4a ＜0，∴a ＞1.] 2．对于函数f (x )，若f (－1)·f (3)<0，则( ) A ．方程f (x )＝0一定有实数解 B ．方程f (x )＝0一定无实数解C ．方程f (x )＝0一定有两实根D ．方程f (x )＝0可能无实数解D [∵函数f (x )的图象在(－1,3)上未必连续，故尽管f (－1)·f (3)<0，但方程f (x )＝0在(－1,3)上可能无实数解．]3．已知函数f (x )的图象是连续不断的，有如下的x ，f (x )对应值表：x 1 2 3 4 5 6 7 f (x )123.521.5－7.8211.57－53.7－126.7－129.6那么函数f (x )在区间[1,6]上的零点至少有( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个D ．5个B [由表可知f (2)·f (3)<0，f (3)·f (4)<0，f (4)·f (5)<0. ∴f (x )在[1,6]上至少有3个零点．]4．已知x 0是函数f (x )＝2x －log 13x 的零点，若0<x 1<x 0，则f (x 1)的值满足( )A ．f (x 1)>0B ．f (x 1)<0C ．f (x 1)＝0D ．f (x 1)>0与f (x 1)<0均有可能B [由于f (x )在(0，＋∞)上是增函数，所以f (x 1)<f (x 0)＝0.]5．已知函数f (x )＝6x －log 2x ，在下列区间中，包含f (x )的零点的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,4)D ．(4，＋∞)C [方法一：对于函数f (x )＝6x －log 2x ，因为f (2)＝2＞0，f (4)＝－0.5＜0，根据零点的存在性定理知选C ．方法二：在同一坐标系中作出函数h (x )＝6x 与g (x )＝log 2x 的大致图象，如图所示，可得f (x )的零点所在的区间为(2,4)．]6．函数f (x )＝x 2－4x －2的零点是________．解析 由f (x )＝(x ＋2)(x －2)x －2＝x ＋2＝0，解得x ＝－2，所以f (x )的零点是－2.答案 －27．方程lg x ＋x －1＝0有________个实数根．解析 由原方程得lg x ＝－x ＋1，问题转化为函数y ＝lg x 的图象与函数y ＝－x ＋1的图象交点的个数．作出相应函数的图象，如图．由图可知，有一个交点，故原方程有且仅有一个根．答案 18．若函数f (x )＝a x －x －a (a >0，且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是________．解析 函数f (x )的零点的个数就是函数y ＝a x 与函数y ＝x ＋a 交点的个数，由函数的图象可知a >1时两函数图象有两个交点，0<a <1时两函数图象有唯一交点，故a >1.答案 (1，＋∞)9．已知函数f (x )＝log a (1－x )＋log a (x ＋3)(0<a <1)． (1)求函数f (x )的定义域； (2)求函数f (x )的零点．解 (1)要使函数有意义，则有⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＞0，x ＋3＞0，解得－3<x <1，所以函数的定义域为(－3,1)．(2)函数可化为f (x )＝log a [(1－x )(x ＋3)]＝log a (－x 2－2x ＋3)，由f (x )＝0，得－x 2－2x ＋3＝1，即x 2＋2x －2＝0，解得x ＝－1±3.因为－1±3∈(－3,1)，所以f (x )的零点是－1±3. 10．已知函数f (x )＝－3x 2＋2x －m ＋1.(1)当m 为何值时，函数有两个零点、一个零点、无零点？ (2)若函数恰有一个零点在原点处，求m 的值．解 (1)函数有两个零点，则对应方程－3x 2＋2x －m ＋1＝0有两个不相等的实数根，易知Δ＞0，即4＋12(1－m )＞0，可解得m ＜43.由Δ＝0，可解得m ＝43；由Δ＜0，可解得m ＞43.故当m ＜43时，函数有两个零点；当m ＝43时，函数有一个零点；当m ＞43时，函数无零点．(2)因为0是对应方程的根，所以有1－m ＝0，解得m ＝1.1．已知f (x )＝(x －a )(x －b )－2，并且α，β是函数f (x )的两个零点，则实数a ，b ，α，β的大小关系可能是( )A ．a <α<b <βB ．a <α<β<bC ．α<a <b <βD ．α<a <β<bC [因为α，β是函数f (x )的两个零点，所以f (α)＝f (β)＝0. 又f (a )＝f (b )＝－2<0，结合二次函数的图象，如图所示．可知a ，b 必在α，β之间．]2．若函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f (x )为偶函数，又f (x )在(0，＋∞)上是减函数，f (2)＝0，则函数f (x )的零点有( )A ．一个B ．两个C ．至少两个D ．无法判断B [依据给出的函数性质，易知f (－2)＝0，画出函数的大致图象如图：可知f (x )有两个零点．]3．设x 0是方程ln x ＋x ＝4的解，且x 0∈(k, k ＋1)，k ∈Z ，则k ＝________.解析 令f (x )＝ln x ＋x －4，且f (x )在(0，＋∞)上递增，因为f (2)＝ln 2＋2－4<0，f (3)＝ln 3－1>0. 所以f (x )在(2,3)内有解，所以k ＝2.答案 24．(拓广探索)已知函数f (x )＝x 2－(k －2)x ＋k 2＋3k ＋5有两个零点． (1)若函数的两个零点是－1和－3，求k 的值；(2)若函数的两个零点是α和β，求α2＋β2的取值范围． 解 (1)∵－1和－3是函数f (x )的两个零点，∴－1和－3是方程x 2－(k －2)x ＋k 2＋3k ＋5＝0的两个实数根．则⎩⎪⎨⎪⎧－1－3＝k －2，－1×(－3)＝k 2＋3k ＋5，解得k ＝－2. (2)若函数的两个零点为α和β，则α和β是方程x 2－(k －2)x ＋k 2＋3k ＋5＝0的两根， ∴⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＝k －2，αβ＝k 2＋3k ＋5，Δ＝(k －2)2－4(k 2＋3k ＋5)≥0.则⎩⎪⎨⎪⎧α2＋β2＝(α＋β)2－2αβ＝－k 2－10k －6，－4≤k ≤－43， ∴α2＋β2在区间⎣⎡⎦⎤－4，－43上的最大值是18， 最小值是509，即α2＋β2的取值范围为⎣⎡⎦⎤509， 18.。

课时跟踪检测（二十八） 函数的零点与方程的解A 级——学考水平达标练1．y ＝2x －1的图象与x 轴的交点坐标及其零点分别是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1212B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，012C.⎝⎛⎭⎪⎫0，－12 －12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0 －12 解析：选B 函数的零点是函数图象与x 轴交点的横坐标．2．若函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若f (1)＞0，f (2)＜0，则f (x )在(1,2)上的零点( )A ．至多有一个B ．有一个或两个C ．有且仅有一个D ．一个也没有 解析：选C 若a ＝0，则f (x )＝bx ＋c 是一次函数，由f (1)·f (2)＜0得零点只有一个；若a ≠0，则f (x )＝ax 2＋bx ＋c 为二次函数，若有两个零点，则必有f (1)·f (2)＞0，与已知矛盾．3．函数f (x )＝x 2＋ln x －4的零点所在的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4) 解析：选B f (1)＝12＋ln 1－4＝－3＜0，f (2)＝22＋ln 2－4＝ln 2＞0，∴f (x )的零点在(1,2)内，故选B.4．方程x ＋log 3x ＝3的解为x 0，若x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N ，则n ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C 设f (x )＝x ＋log 3x －3，则f (1)＝1＋log 31－3＝－2＜0，f (2)＝2＋log 32－3＝log 32－1＜0，f (3)＝3＋log 33－3＝1＞0，又易知f (x )为单调增函数，∴方程x ＋log 3x ＝3的解在(2,3)内，因此n ＝2.故选C.5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ log 12x ，x ＞0，2x ，x ≤0，若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不等的实根，则实数k 的取值X 围是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，1)C ．(1，＋∞)D ．(0,1]解析：选D 作出函数f (x )的图象，由图象知，当0＜k ≤1时，y ＝k 与y ＝f (x )的图象有两个交点，此时方程f (x )＝k 有两个不等实根，所以0＜k ≤1，故选D.6．若函数f (x )＝ax ＋1－2a 的零点是1，则a ＝________.解析：依题意得f (1)＝0，即a ＋1－2a ＝0，解得a ＝1.答案：17．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 4x －4，x ≤1，x 2－4x ＋3，x ＞1的图象和函数g (x )＝log 2x 的图象的交点个数是________．解析：作出g (x )与f (x )的图象如图，由图知f (x )与g (x )有3个交点．答案：38．若abc ≠0，且b 2＝ac ，则函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的零点的个数是________．解析：∵ax 2＋bx ＋c ＝0的根的判别式Δ＝b 2－4ac ，b 2＝ac ，且abc ≠0，∴Δ＝－3b 2＜0，∴方程ax 2＋bx ＋c ＝0无实根．∴函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 无零点．答案：09．求函数f (x )＝log 2x ＋2x －7的零点个数，并写出它的一个大致区间．解：设g (x )＝log 2x ，h (x )＝－2x ＋7，作出g (x )，h (x )的图象如图所示．由图可知g (x )与h (x )只有一个交点，则log 2x ＋2x －7＝0有一个根，∴函数f (x )有一个零点．f (2)＝log 22＋22－7＝－2，f (3)＝log 23＋23－7＞0，∴f (2)·f (3)＜0.∴零点的一个大致区间为(2,3)．10．关于x 的方程mx 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14＝0有两实根，且一个大于4，一个小于4，某某数m 的取值X 围．解：原方程可化为：x 2＋2(m ＋3)m x ＋14m＋2＝0， 令f (x )＝x 2＋2(m ＋3)m x ＋14m＋2，则f (4)＜0， 即16＋8(m ＋3)m ＋14m ＋2＜0，即19m＜－13， 解得－1913＜m ＜0.故实数m 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－1913，0. B 级——高考水平高分练1．若函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|x －1|＋m 有零点，则实数m 的取值X 围是( ) A ．(－∞，－1]B ．[－1，＋∞)C ．[－1,0)D ．(0，＋∞)解析：选C 因为函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|x －1|＋m 有零点，所以方程⎝ ⎛⎭⎪⎫13|x －1|＋m ＝0有解， 即方程⎝ ⎛⎭⎪⎫13|x －1|＝－m 有解，因为|x －1|≥0，所以0＜⎝ ⎛⎭⎪⎫13|x －1|≤1，即0＜－m ≤1，因此－1≤m ＜0，故选C.2．设f (x )与g (x )是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若函数y ＝f (x )－g (x )在x ∈[a ，b ]上有两个不同的零点，则称f (x )和g (x )在[a ，b ]上是“关联函数”，区间[a ，b ]称为“关联区间”．若f (x )＝x 2－3x ＋4与g (x )＝2x ＋m 在[0,3]上是“关联函数”，则m 的取值X 围是( ) A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2 B ．[－1,0]C ．(－∞，－2]D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－94，＋∞ 解析：选A 由题意可得函数y ＝f (x )－g (x )＝x 2－5x ＋4－m 在[0,3]上有两个不同的零点，函数图象的对称轴为直线x ＝52，所以函数的最小值为－94－m .当x ＝0时，y ＝4－m ，当x ＝3时，y ＝－2－m ＜4－m ，所以－94－m ＜0≤－2－m ，解得－94＜m ≤－2. 3．若函数f (x )＝|x 2－2x |－a 有4个零点，某某数a 的取值X 围．解：函数f (x )＝|x 2－2x |－a 的零点就是方程|x 2－2x |－a ＝0的解．由|x 2－2x |－a ＝0，得|x 2－2x |＝a .在平面直角坐标系中，画出函数y ＝|x 2－2x |的图象，再作出直线y ＝a ，使它们有4个交点，如图，则实数a 的取值X 围是(0,1)．4．已知函数f (x )＝－3x 2＋2x －m ＋1.(1)当m 为何值时，函数有两个零点、一个零点、无零点；(2)若函数恰有一个零点在原点处，求m 的值．解：(1)函数有两个零点，则对应方程－3x 2＋2x －m ＋1＝0有两个不相等的实数根，易知Δ＞0，即4＋12(1－m )＞0，可解得m ＜43；由Δ＝0，可解得m ＝43； 由Δ＜0，可解得m ＞43. 故当m ＜43时，函数有两个零点； 当m ＝43时，函数有一个零点； 当m ＞43时，函数无零点． (2)因为0是对应方程的根，有1－m ＝0，可解得m ＝1.5．已知函数f (x )＝log 12x ＋12x －172. (1)用单调性的定义证明：f (x )在定义域上是单调函数；(2)证明：f (x )有零点；(3)设f (x )的零点x 0落在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1，1n 内，求正整数n 的值． 解：(1)证明：显然，f (x )的定义域为(0，＋∞)．任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，不妨设x 1<x 2，则x 2－x 1>0，x 1x 2>0，则12x 1－12x 2＝x 2－x 12x 1x 2>0，log 12x 1>log 12x 2，则log 12x 1－log 12x 2>0，所以f (x 1)－f (x 2)＝(log 12x 1－log 12x 2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 1－12x 2>0，所以f (x 1)>f (x 2)．故f (x )在定义域(0，＋∞)上是减函数． (2)证明：因为f (1)＝0＋12－172＝－8<0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116＝4＋8－172＝72>0，所以f (1)·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116<0，又因为f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫116，1上是连续的，所以f (x )有零点． (3)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫111＝log 12111＋112－172 ＝log 211－3>log 28－3＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫110＝log 12110＋5－172＝log 210－72＝log 25－52＝log 225－log 232<0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫110f ⎝ ⎛⎭⎪⎫111<0， 所以f (x )的零点x 0落在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫111，110内．故n ＝10.。

第四章 4.5 4.5.1一、选择题1．下列函数的图象中没有零点的是( D )[解析] 从图中观察知，只有D 中函数图象与x 轴没有交点，故选D ． 2．已知函数f (x )的图象是连续不断的，有如下的x ，f (x )对应值表： x 1 2 3 4 5 6 7 f (x )136.13615.552－3.9210.88－52.488－232.06411.238A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个[解析] ∵f (2)·f (3)<0，f (3)·f (4)<0，f (4)·(5)<0，f (6)·f (7)<0，∴函数f (x )存在零点的区间有4个．3．对于函数f (x )，若f (－1)·f (3)<0，则( D ) A ．方程f (x )＝0一定有实数解 B ．方程f (x )＝0一定无实数解 C ．方程f (x )＝0一定有两实根 D ．方程f (x )＝0可能无实数解[解析] ∵函数f (x )的图象在(－1,3)上未必连续，故尽管f (－1)·f (3)<0，但方程f (x )＝0在(－1,3)上不一定有实数解．4．函数f (x )＝x ＋1x 的零点的个数为( A )A ．0B ．1C ．2D ．3[解析] 函数f (x )的定义域为{x |x ≠0}， 当x ＞0时，f (x )＞0；当x ＜0时，f (x )＜0， 但此函数在定义域内的图象不连续， 所以函数没有零点，故选A ． 二、填空题5．若一次函数f (x )＝x ＋b 的零点是2，那么函数g (x )＝bx 2＋x 的零点是__0，12__.[解析] ∵f (x )＝x ＋b 的零点是2， ∴2＋b ＝0，∴b ＝－2，∴g (x )＝－2x 2＋x ，令g (x )＝0，得x ＝0或x ＝12.6．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－x －1(x ≤0)3x －4(x ＞0)的零点的个数为__2__.[解析] 当x ≤0时，令2x 2－x －1＝0，解得x ＝－12(x ＝1舍去)；当x ＞0时，令3x －4＝0，解得x ＝log 34，所以函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－x －1(x ≤0)3x －4(x ＞0)有2个零点．三、解答题7．求下列函数的零点．(1)y ＝－x 2－x ＋20；(2)y ＝x 3＋8； (3)y ＝(x 2－2)(x 2－3x ＋2)；(4)y ＝x 2＋4x －12x －2.[解析] (1)令y ＝0，有－x 2－x ＋20＝0，解得x 1＝－5，x 2＝4.故所求函数的零点为－5,4. (2)y ＝x 3＋8＝(x ＋2)(x 2－2x ＋4)． 令(x ＋2)(x 2－2x ＋4)＝0，解得x ＝－2. 故所求函数的零点为－2. (3)令(x 2－2)(x 2－3x ＋2)＝0，解得x 1＝－2，x 2＝2，x 3＝1，x 4＝2. 故所求函数的零点为－2，2，1,2. (4)由题意知y ＝x 2＋4x －12x －2＝(x ＋6)(x －2)x －2.令(x ＋6)(x －2)x －2＝0，解得x ＝－6.故所求函数的零点为－6.B 组·素养提升一、选择题1．(2019·山东临沂高一期末测试)函数f (x )＝ln x ＋12x －2有零点的一个区间是( C )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)[解析] f (1)＝12－2＝－32<0，f (2)＝ln2＋1－2＝ln2－1<0， f (3)＝ln3＋32－2＝ln3－12>0.∴f (2)·f (3)<0，故选C ．2．(多选题)若函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象为一条连续不断的曲线，则下列说法正确的是( CD )A ．若f (a )·f (b )>0，则不存在实数c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0B ．若f (a )·f (b )<0，则存在且只存在一个实数c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0C ．若f (a )·f (b )>0，则有可能存在实数c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0D ．若f (a )·f (b )<0，则在(a ，b )内的零点个数不确定[解析] 根据函数零点存在定理可判断，若f (a )·f (b )<0，则一定存在实数c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0，但c 的个数不确定，故B 错误，D 正确；若f (a )·f (b )>0，则有可能存在实数c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0，如f (x )＝x 2－1，f (－2)·f (2)>0，但f (x )＝x 2－1在(－2,2)内有两个零点，故A 错误，C 正确．故选CD ．二、填空题3．已知定义在R 上的偶函数y ＝f (x )，当x ≥0时，f (x )＝lg(x 2＋3x ＋2)，则f (x )在R 上的零点个数为__0__.[解析] 由题知，当x ≥0时，f (x )＝lg(x 2＋3x ＋2)，令lg(x 2＋3x ＋2)＝0，即x 2＋3x ＋1＝0，解得x ＝－3±52(舍去)．因为函数y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，所以函数的零点个数为0.4．已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx ，若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是__(12，1)__.[解析] 画出函数f (x )的图象，如图所示．若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则函数f (x )与g (x )的图象有两个交点．由图可知12<k <1.三、解答题5．已知二次函数y ＝(m ＋2)x 2－(2m ＋4)x ＋(3m ＋3)有两个零点，一个大于1，一个小于1，求实数m 的取值范围．[解析] 设f (x )＝(m ＋2)x 2－(2m ＋4)x ＋(3m ＋3)，如图，有两种情况．第一种情况，⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋2＞0f (1)＜0，解得－2＜m ＜－12.第二种情况，⎩⎪⎨⎪⎧m ＋2＜0f (1)＞0，此不等式组无解．综上，m 的取值范围是－2＜m ＜－12.由Ruize收集整理。

4.5函数的应用(二)4.5.1函数的零点与方程的解基础达标一、选择题1.下列函数没有零点的是()A.f(x)＝0B.f(x)＝2C.f(x)＝x2－1D.f(x)＝x－1 x解析函数f(x)＝2，不能满足方程f(x)＝0，因此没有零点.答案 B2.对于函数f(x)，若f(－1)·f(3)<0，则()A.方程f(x)＝0一定有实数解B.方程f(x)＝0一定无实数解C.方程f(x)＝0一定有两实数解D.方程f(x)＝0可能无实数解解析∵函数f(x)的图象在(－1，3)上未必连续，故尽管f(－1)·f(3)<0，但未必函数y＝f(x)在(－1，3)上有实数解.答案 D3.已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下的x，f(x)对应值表x 1234567 f(x)136.13615.552－3.9210.88－52.488－232.06411.238A.1个B.2个C.3个D.4个解析∵f(2)·f(3)<0，f(3)·f(4)<0，f(4)·f(5)<0，f(6)·f(7)<0，∴函数f(x)存在零点的区间有4个，故选D.答案 D4.函数f (x )＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1，2)内，则实数a 的取值范围是( )A.(1，3)B.(1，2)C.(0，3)D.(0，2)解析 由条件可知f (1)f (2)<0，即(2－2－a )(4－1－a )<0，即a (a －3)<0，解得0<a <3. 答案 C5.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －1，x ≤1，1＋log 2x ，x >1，则函数f (x )的零点为( ) A.12，0B.－2，0C.12D.0解析 当x ≤1时，令2x －1＝0，得x ＝0.当x >1时，令1＋log 2x ＝0, 得x ＝12(舍).综上所述，函数零点为0.答案 D二、填空题6.若函数f (x )＝x 2－ax －b 的两个零点是2和3，则函数g (x )＝bx 2－ax －1的零点是________.解析 函数f (x )＝x 2－ax －b 的零点是2和3，由函数的零点与方程的根的关系，知方程x 2－ax －b ＝0的两根为2和3，再由根与系数的关系得a ＝2＋3＝5，－b ＝2×3＝6.所以g (x )＝－6x 2－5x －1.解得g (x )的零点为－12，－13.答案 －12，－137.函数f (x )＝x －ln(x ＋1)－1的零点个数是________.解析 函数f (x )＝x －ln(x ＋1)－1的零点个数，即为函数y ＝ln(x ＋1)与y ＝x －1图象的交点个数.在同一坐标系内分别作出函数y ＝ln(x ＋1)与y ＝x －1的图象，如图，由图可知函数f(x)＝x－ln(x＋1)－1的零点个数是2.答案 28.若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________. 解析因为y＝f(x)有两个零点，所以|2x－2|－b＝0有两个实根.即|2x－2|＝b有两个实根.令y1＝|2x－2|，y2＝b，则y1与y2的图象有两个交点.由图可知b∈(0，2)时y1与y2有两个交点.答案(0，2)三、解答题9.已知函数f(x)＝1＋1x－xα(α∈R)，且f(3)＝－53.(1)求α的值；(2)求函数f(x)的零点.解(1)由f(3)＝－5 3，得1＋13－3α＝－53，∴α＝1.(2)由(1)得f(x)＝1＋1x－x，令f(x)＝0，得1＋1x－x＝0，即x2－x－1x＝0，∴x＝1±52，∴f(x)的零点为1±52.10.已知函数f(x)＝2a·4x－2x－1.(1)当a ＝1时，求函数f (x )的零点；(2)若f (x )有零点，求a 的取值范围.解 (1)当a ＝1时，f (x )＝2·4x －2x －1.令f (x )＝0，即2·(2x )2－2x －1＝0，解得2x ＝1或2x ＝－12(舍去). ∴x ＝0，∴函数f (x )的零点为0.(2)若f (x )有零点，则方程2a ·4x －2x －1＝0有解，于是2a ＝2x ＋14x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ， 令⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝t ，则g (t )＝t ＋t 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122－14. ∵t >0，∴g (t )在(0，＋∞)上为增函数，其值域为(0，＋∞)，∴2a >0，即a 的取值范围是(0，＋∞).能力提升11.已知函数f (x )＝x 2－2x －3，x ∈[－1，4].(1)画出函数y ＝f (x )的图象，并写出其值域；(2)当m 为何值时，函数g (x )＝f (x )＋m 在[－1，4]上有两个零点？解 (1)依题意：f (x )＝(x －1)2－4，x ∈[－1，4]，其图象如图所示.由图可知，函数f (x )的值域为[－4，5].(2)∵函数g (x )＝f (x )＋m 在[－1，4]上有两个零点.∴方程f (x )＝－m 在x ∈[－1，4]上有两相异的实数根，即函数y ＝f (x )与y ＝－m 的图象有两个交点.由(1)所作图象可知，－4＜－m ≤0，∴0≤m ＜4.∴当0≤m ＜4时，函数y ＝f (x )与y ＝－m 的图象有两个交点，即当0≤m ＜4时，函数g (x )＝f (x )＋m 在[－1，4]上有两个零点.12.已知函数f (x )＝－3x 2＋2x －m ＋1.(1)当m 为何值时，函数有两个零点、一个零点、无零点；(2)若函数恰有一个零点在原点处，求m 的值；(3)若f (x )＝0有两个根，且一个根大于2，一个根小于2，求实数m 的取值范围. 解 (1)函数有两个零点，则对应方程－3x 2＋2x －m ＋1＝0有两个不相等的实数根，易知Δ>0，即4＋12(1－m )>0，可解得m <43.由Δ＝0，可解得m ＝43；由Δ<0，可解得m >43.故当m <43时，函数有两个零点；当m ＝43时，函数有一个零点；当m >43时，函数无零点.(2)由题意知0是对应方程的根，故有1－m ＝0，可解得m ＝1.(3)由题意可得f (2)>0，即－7－m >0，则m <－7.故实数m 的取值范围为(－∞，－7).。

2024-2025学年高一上数学课时作业42函数的零点与方程的解基础强化1.函数f (x )＝ln x －1的零点是()A ．1B ．e C ．(e ，0)D ．42．已知2是函数f (x )＝x n －8(n 为常数)的零点，且f (m )＝56，则m 的值为()A ．－3B ．－4C ．4D ．33．函数f (x )＝log 3x ＋x －5的零点所在的区间为()A ．(2，3)B ．(3，4)C ．(4，5)D ．(5，6)4．已知f (x )，g (x )均为[－1，3]上连续不断的曲线，根据下表能判断方程f (x )＝g (x )有实数解的区间是()x －10123f (x )－0.670 3.011 5.432 5.9807.651g (x )－0.530 3.451 4.890 5.241 6.892A.(－1，0)B ．(0，1)C ．(1，2)D ．(2，3)5．(多选)已知函数f (x )的图象是一条连续的曲线，则下列说法正确的有()A ．若f (0)f (1)>0，则f (x )在(0，1)内没有零点B ．若f (0)f (1)>0，则无法确定f (x )在(0，1)内有无零点C ．若f (0)f (1)<0，则f (x )在(0，1)内有且仅有一个零点D ．若f (0)f (1)≤0，则f (x )在[0，1]内有零点6．(多选)已知函数s (x )，x >0，x ＝01，x <0，则函数h (x )＝s (x )－x 的零点是()A ．－1B ．0C ．1D7．函数f (x )2－2，x ≤0x ，x >0的零点个数是________.8．若函数f (x x 2－2x ＋a 只有一个零点，则实数a 的值为________．9．函数f (x )＝x 2－ax －b 的两个零点是1和2，求函数g (x )＝ax 2－bx －1的零点．10．函数f (x )＝x 2－2x ＋a 在区间(－2，0)和(2，3)内各有一个零点，求实数a 的取值范围．能力提升11.方程e x －4x ＋1＝0的实数解所在的一个区间是()A ．(－12，0)B ．(0，12)C ．(12，1)D ．(1，32)12．已知函数f (x )＝12－x －lg x 在区间(n ，n ＋1)上有唯一零点，则正整数n ＝()A ．8B ．9C ．10D ．1113．已知函数f (x )＝x 2＋2bx －b 的零点为x 1，x 2，满足－1<x 1<x 2<1，则b 的取值范围为()A ．(－1，13)B ．(0，13)C ．(－∞，－1)∪(0，13)D ．(－∞，－1)∪(0，1)14．(多选)已知函数f (x )＝x ＋a x －2，则下列结论正确的是()A ．当a >1时，f (x )无零点B ．当a ＝1时，f (x )只有一个零点C ．当a <1时，f (x )有两个零点D ．若f (x )有两个零点x 1，x 2，则x 1＋x 2＝215.若函数f (x )＝a ＋log 7x 在区间(1，7)上有零点，则实数a 的取值范围为________．16．已知函数f (x )＝|4x －x 2|－a ，(1)若f (x )有三个零点，求实数a 的值；(2)若f (x )有零点，求实数a 的取值范围．答案解析1．解析：令f(x)＝ln x－1＝0，解得x＝e，故函数f(x)＝ln x－1的零点是e.故选B.答案：B2．解析：因为2是函数f(x)＝x n－8(n为常数)的零点，所以2n＝8，得n＝3，所以f(x)＝x3－8，因为f(m)＝56，所以m3－8＝56，得m＝4，故选C.答案：C3．解析：f(x)在(0，＋∞)上单调递增，f(3)＝－1<0，f(4)＝log34－1>0，所以f(x)的零点在区间(3，4)上．故选B.答案：B4．解析：令h(x)＝f(x)－g(x)，可得：h(0)＝f(0)－g(0)<0，h(1)＝f(1)－g(1)>0，由题意得h(x)连续，根据函数的零点判定定理可知：h(x)在(0，1)上有零点，故f(x)＝g(x)在(0，1)上有解．故选B.答案：B5．解析：∵f(x)的图象是一条连续的曲线，且f(0)f(1)>0，∴不能确定f(x)在(0，1)内零点的情况，A错误，B正确；若f(x)的图象是一条连续的曲线，且f(0)f(1)<0，由零点存在定理知：f(x)在(0，1)内至少有一个零点，C错误；若f(x)的图象是一条连续的曲线，且f(0)f(1)≤0，由零点存在定理知：f(x)在[0，1]内有零点，D正确．故选BD.答案：BD6．解析：令h(x)＝s(x)－x＝0，当x>0时，有1－x＝0，则x＝1；当x＝0时，有0－x＝0，则x＝0；当x<0时，有－1－x＝0，则x＝－1；故函数h(x)＝s(x)－x的零点是－1，0，1.故选ABC.答案：ABC7．解析：当x≤0时，由x2－2＝0解得x＝－2，当x>0时，由ln x＝0解得x＝1，所以函数f(x)2－2，x≤0x，x>0的零点个数是2个．答案：28．解析：因为函数f(x)＝x2－2x＋a只有一个零点，所以Δ＝4－4a＝0，解得a＝1.答案：19．解析：因为函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是1和2，＝1＋2b＝1×2＝3＝－2，所以g(x)＝3x2＋2x－1，令g(x)＝0，解得x＝－1或13，故函数g(x)的零点为－1和1 3 .10．解析：因为函数f(x)＝x2－2x＋a在区间(－2，0)和(2，3)内各有一个零点，（－2）＝4－2×（－2）＋a>0（0）＝a<0（2）＝4－2×2＋a<0（3）＝9－2×3＋a>0，解得－3<a<0，所以a的取值范围为(－3，0).11．解析：设f(x)＝e x－4x＋1,f(－12)＝e－12＋4×12＋1>0，f(0)＝e0－4×0＋1＝2>0，＝e12－4×12＋1＝e－1>0，f(1)＝e－4＋1＝e－3<0，f(32)＝e32－4×32＋1＝e3－25< 2.83－25＝21.952－25<0，所以f(12)·f(1)<0，所以存在x∈(12，1)，使f(x)＝0，所以方程e x－4x＋1＝0的实数解所在的一个区间是(12，1).故选C.答案：C12．解析：函数f(x)＝12－x－lg x的定义域为(0，＋∞)，且在(0，＋∞)上是减函数；易得f(11)＝12－11－lg11＝1－lg11<0，f(10)＝12－10－lg10＝1>0，∴f(11)f(10)<0，根据零点存在性定理及其单调性，可得函数f(x)的唯一零点所在区间为(10，11)，∴n＝10.故选C.答案：C13．解析：f(x)＝x2＋2bx－b开口向上，对称轴为x＝－b，要想满足－1<x1<x2<1＝4b2＋4b>0（－1）＝1－3b>0（1）＝1＋b>01<－b<1，解得：b∈(0，13).故选B.答案：B14．解析：令f(x)＝0，则x＋ax－2＝0，即x2－2x＋a＝0(x≠0)，即a＝－x2＋2x(x≠0).考察直线y＝a和抛物线y＝－x2＋2x(x≠0)的位置关系，由图可知，当a>1时，f(x)无零点；当a＝1或a＝0时，f(x)只有一个零点，当a<1且a≠0时，f(x)有两个零点；若f(x)有两个零点x1，x2，则x1，x2是方程x2－2x＋a＝0的两根，由韦达定理，得x1＋x2＝2.故选ABD.答案：ABD15．解析：函数f(x)在区间(1，7)上为增函数，若函数f(x)在区间(1，7)上有零点，则f(1)<0，f(7)>0，＋log71<0＋log77>0，解得－1<a<0.答案：(－1，0)16．解析：(1)由题意知，方程|4x－x2|＝a有三个不同的解，即函数y＝|4x－x2|和y＝a的图象有三个不同的交点，又y＝|4x－x2|2－4x，x<0x－x2，0≤x≤42－4x，x>4，作出函数图象如图所示：又y＝|4x－x2|和y＝a有三个不同的交点，∴a＝4.(2)由f(x)有零点，即函数y＝|4x－x2|和y＝a有交点，由图象可得a≥0，∴a的取值范围是[0，＋∞).。

4.5函数的应用(二)4.5.1函数的零点与方程的解【课前预习】知识点一f(x)=0零点诊断分析(1)√(2)×(3)×(4)×[解析] (1)令x21=0,解得x=±1,所以f(x)=x21的零点是±1.(2)若方程f(x)=0有两个不等实根x1,x2,则函数y=f(x)的零点为x1,x2.(3)如函数f(x)=1(x∈R)无零点.(4)因为函数y=x3+1的零点是1,所以函数y=x3+1(x∈[0,2])没有零点.知识点二实数解公共点的横坐标有零点x轴有公共点知识点三连续不断f(a)f(b)<0f(c)=0f(x)=0诊断分析(1)×(2)×(3)×[解析] (1)f(x)=1x 的图象在[1,1]上不是一条连续不断的曲线,f(x)=1x在[1,1]内没有零点.(2)设函数f(x)=x2,x∈[1,1],则f(1)f(1)>0,但f(x)在(1,1)内有零点0.(3)若函数y=f(x)在(a,b)内有零点,则y=f(x)在x=a或x=b处可能无定义,即使有定义,也可能f(a)f(b)>0,如函数f(x)=(x1)2在(0,2)内有零点,但f(0)f(2)>0.【课中探究】探究点一例1(1)1,12(2)2 [解析] (1) 令2x23x+1=0,解得x=1或x=12,∴函数y=2x23x+1的零点为1,12.(2)令f(x)=21-x4=0,解得x=1,即f(x)的零点为1.令g(x)=1log2(x+3)=0,解得x=1,即g(x)的零点为1,所以函数f(x)的零点与g(x)的零点之和为2.变式(1)A(2)D[解析] (1)令f(x)=log3(x1)2=0,得log3(x1)=2=log332,因为函数f(x)在(1,+∞)上单调递增,所以x1=32,因此x=10,所以函数f(x)=log3(x1)2的零点为10,故选A.(2)方法一:当x≤1时,由f(x)=2x1=0,解得x=0;当x>1时,由f(x)=1+log2x=0,解得x=12(舍去).综上,函数f(x)的零点为0.方法二:作出函数f(x) ={2x-1,x≤1,1+log2x,x>1的图象,如图所示,由图可知,函数f(x)的零点为0.探究点二例2 (1)C (2)B [解析] (1)由题意得f (x )=ln x+x 6为连续函数,且在(0,+∞)上单调递增,f (2)=ln 24<0,f (3)=ln 33<0,f (4)=ln 42<0,f (5)=ln 51>ln e1=0,所以f (4)·f (5)<0,根据函数零点存在定理,可得f (x )的零点所在的区间为(4,5).故选C .(2)由题可知,f (x )在R 上单调递增,由表可得,函数f (x )=e x +3x 8的零点在(1.25,1.5)内,则方程e x +3x 8=0的根所在的区间是(1.25,1.5).故选B .变式 (1)C (2)C [解析] (1)易知函数f (x )在(0,+∞)上单调递增,由所给的数据可得f (e)<0,f (3)>0,∴f (e)·f (3)<0,故函数f (x )的零点所在的区间为(e,3),故选C .(2)∵函数f (x )=2x +x 32在R 上单调递增,f (0)=1+02=1<0,f (1)=2+12=1>0,∴f (0)f (1)<0.根据函数零点存在定理,可得函数f (x )=2x +x 32的零点所在的区间是(0,1),故选C .探究点三例3 解:令f (x )=0得3x =lo g 12x.在同一平面直角坐标系中作出y=3x 和y=lo g 12x 的图象如图,由图可知,y=3x 和y=lo g 12x 的图象有1个交点,∴f (x )=3x lo g 12x 有1个零点. 变式 (1)B (2)C [解析] (1)方法一:令f (x )=0,可得x 12=(12)x ,在同一平面直角坐标系中,画出幂函数y=x 12和指数函数y=(12)x 的图象(图略),可得交点只有一个,所以f (x )的零点只有一个,故选B .方法二:因为y=x 12与y=(12)x 在[0,+∞)上均单调递增,所以f (x )=x 12(12)x 在[0,+∞)上单调递增.因为f (0)=1,f (1)=12,所以f (x )在(0,1)上有一个零点,故函数f (x )=x 12(12)x的零点个数为1,故选B . (2)当x ≤0时,令x 22x+3x=0,解得x=0或x=1,符合题意;当x>0时,令1+1x +3x=0,得3x 2+x+1=0,因为Δ=112<0,所以该方程无解.故函数y=f (x )+3x 有2个零点.例4 (1)D (2)0或14 [解析] (1)设f (x )=|a x 1|,关于x 的方程|a x 1|=2a (a>0且a ≠1)有两个不等实根等价于函数f (x )=|a x 1|与函数y=2a 的图象有两个交点.当a>1时,在同一直角坐标系内,函数f (x )=|a x 1|与函数y=2a 的图象如图所示,显然函数f (x )=|a x 1|与函数y=2a 的图象只有一个交点,不符合题意;当0<a<1时,在同一直角坐标系内,函数f (x )=|a x 1|与函数y=2a 的图象如图所示,若函数f (x )=|a x 1|与函数y=2a 的图象有两个交点,则0<2a<1,解得0<a<12.故选D .(2)若a=0,则f (x )=x 1为一次函数,易知函数f (x )仅有一个零点.若a ≠0,则f (x )为二次函数,若它仅有一个零点,则方程ax 2x 1=0有两个相等的实数根,故Δ=1+4a=0,即a=14.综上所述,a=0或a=14.变式 (1)C (2)D [解析] (1)因为4x +2x+1+a=0,所以a=4x +2x+1=(2x )2+2×2x ,令t=2x (t>0),则a=t 2+2t (t>0).要使方程4x +2x+1+a=0有实数解,只需y=a 与f (t )=t 2+2t 的图象有交点即可.f (t )=t 2+2t=(t+1)21,当t>0时,f (t )单调递增,所以f (t )>f (0)=0,故a>0,解得a<0,故a 的取值范围为(∞,0).故选C .(2)作出函数f (x )={|lnx |,x >0,2e x -1,x ≤0的图象如图所示.由图可知,当1<a<0时,直线y=a 与f (x )的图象仅有一个交点,即关于x 的方程f (x )=a 有且仅有一个实数根,所以1<a<0.故选D .。