A因式分解的常用方法(目前最牛最全的教(学)案)

因式分解方法大全因式分解是数学中非常重要的一种运算方法，它在解题中具有广泛的应用。

本文将为你介绍常见因式分解的方法，希望可以帮助你更好地理解和运用因式分解。

一、提取公因数法提取公因数法是因式分解中最基本的方法，它适用于多项式的每一项都有公因数的情况。

具体步骤如下：1.找出多项式中的最大公因数。

2.将最大公因数提取出来，剩下的部分即为因式分解后的结果。

例如，对于多项式4x+8，我们可以提取出公因数4，得到4(x+2)。

二、公式法公式法是基于一些常见的公式进行因式分解的方法。

以下是一些常见的公式：1.平方差公式：a²-b²=(a+b)(a-b)。

2. 完全平方公式：a² + 2ab + b² = (a + b)²。

3. 二次差分公式：a² - 2ab + b² = (a - b)²。

4.二次平方差公式：a⁴-b⁴=(a²+b²)(a²-b²)。

5. 立方和公式：a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)。

6. 立方差公式：a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)。

根据这些公式，我们可以快速进行因式分解。

例如，对于多项式x²-4，我们可以使用平方差公式得到(x+2)(x-2)。

三、分组法分组法是一种常用的因式分解方法，适用于多项式中含有多个项时。

具体步骤如下：1.将多项式按照其中一种规则分成两组，使得每一组内的项有相同的因式。

2.对每一组内的项进行提取公因数的操作。

3.对两组提取出的因式进行化简。

例如，对于多项式x³-x²+x-1，我们可以将其分成两组：(x³-x²)+(x-1)。

然后，我们可以对每一组内的项进行提取公因数，得到x²(x-1)+1(x-1)。

因式分解的经常使用方法之迟辟智美创作第一部份：方法介绍因式分解：因式分解是指将一个多项式化成几个整式的积的形式，主要有提公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法，换元法等因式分解的一般步伐是：（1）通常采纳一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步伐.即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步伐都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；（2）若上述方法都行欠亨，可以检验考试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法；.注意：将一个多项式进行因式分解应分解到不能再分解为止.一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中经常使用的公式，例如：(1) (a+b)(a-b) =a2-b2-----------a2-b2=(a+b)(a-b)；(2)(a±b)2=a2±2ab+b2---------a2±2ab+b2=(a±b)2；(3)(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3---------a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4)(a-b)(a2+ab+b2) =a3-b3--------a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．下面再弥补两个经常使用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；，，是ABCa b c∆的三边，且222++=++，a b c ab bc ca则ABC∆的形状是（）A.直角三角形B等腰三角形 C 等边三角形D等腰直角三角形解：222222++=++⇒++=++a b c ab bc ca a b c ab bc ca222222三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：bn++am+anbm分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系.解：原式=)++anam+)(bn(bm=)nma+++每组之间b()(nm还有公因式！=)m+n+)((ba例2、分解因式：bx-5102+byayax-解法一：第一、二项为一组；解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组. 第二、三项为一组.解：原式=)ax-5(-原式ay+)102(bxby=)ayax+-+-bx510()2(by=)5xya-b--5()(2yx=)ax-2(-b-y)5a2(b=)2(y)(x-a-b-=)5(b2x-5)(ay练习：分解因式1、bc22、-+aca-abxxy-y+-1（二）分组后能直接运用公式例3、分解因式：ay2+-2x+axy分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组.解：原式=)()(22ay ax y x ++-=)())((y x a y x y x ++-+=))((a y x y x +-+例4、分解因式：2222c b ab a -+-解：原式=222)2(c b ab a -+-=22)(c b a --=))((c b a c b a +---练习：分解因式3、y y x x 3922--- 4、yz z y x 2222---综合练习：（1）3223y xy y x x --+ （2）b a ax bx bx ax -+-+-22（3）181696222-+-++a a y xy x （4）a b b ab a 4912622-++-（5）92234-+-a a a （6）y b x b y a x a 222244+--（7）222y yz xz xy x ++-- （8）122222++-+-ab b b a a（9）)1)(1()2(+---m m y y （10）)2())((a b b c a c a -+-+（11）abc b a c c a b c b a 2)()()(222++++++（12）abc c b a 3333-++四、十字相乘法.（一）二次项系数为1的二次三项式直接利用公式——))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++进行分解.特点：（1）二次项系数是1；（2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和.思考：十字相乘有什么基本规律？例.已知0＜a ≤5，且a 为整数，若223x x a ++能用十字相乘法分解因式，求符合条件的a .解析：凡是能十字相乘的二次三项式ax2+bx+c ，都要求24b ac ∆=->0而且是一个完全平方数.于是98a ∆=-为完全平方数，1a =例5、分解因式：652++x x分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要即是5.由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5. 1 2解：652++x x =32)32(2⨯+++x x 1 3=)3)(2(++x x 1×2+1×3=5用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要即是一次项的系数.例6、分解因式：672+-x x解：原式=)6)(1()]6()1[(2--+-+-+x x 1-1=)6)(1(--x x 1 -6（-1）+（-6）= -7练习5、分解因式(1)24142++x x (2)36152+-a a(3)542-+x x练习6、分解因式(1)22-+x x (2)1522--y y(3)24102--x x（二）二次项系数不为1的二次三项式——c bx ax ++2条件：（1）21a a a =1a 1c（2）21c c c =2a 2c（3）1221c a c a b +=1221c a c a b +=分解结果：c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++例7、分解因式：101132+-x x分析： 1 -23 -5（-6）+（-5）= -11解：101132+-x x =)53)(2(--x x练习7、分解因式：（1）6752-+x x （2）2732+-x x（3）317102+-x x （4）101162++-y y（三）二次项系数为1的齐次多项式例8、分解因式：221288b ab a --分析：将b 看成常数，把原多项式看成关于a 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解.1 8b1 -16b8b+(-16b)= -8b解：221288b ab a --=)16(8)]16(8[2b b a b b a -⨯+-++=)16)(8(b a b a -+练习8、分解因式(1)2223y xy x +-(2)2286n mn m +-(3)226b ab a --（四）二次项系数不为1的齐次多项式例9、22672y xy x +- 例10、2322+-xy y x1 -2y 把xy 看作一个整体 1 -12 -3y 1-2(-3y)+(-4y)= -7y (-1)+(-2)= -3解：原式=)32)(2(y x y x -- 解：原式=)2)(1(--xy xy练习9、分解因式：（1）224715y xy x -+ （2）8622+-ax x a综合练习10、（1）17836--x x （2）22151112y xy x --（3）10)(3)(2-+-+y x y x （4）344)(2+--+b a b a（5）222265x y x y x -- （6）2634422++-+-n m n mn m（7）3424422---++y x y xy x （8）2222)(10)(23)(5b a b a b a ---++（9）10364422-++--y y x xy x （10）2222)(2)(11)(12y x y x y x -+-++思考：分解因式：abc x c b a abcx +++)(2222五、换元法.(1)、换单项式例1 分解因式x6 + 14x3 y + 49y2.分析：注意到x6=（x3）2，若把单项式x3换元，设x3 = m ，则x6= m2，原式变形为m2 + 14my + 49y2= (m + 7y)2 = ( x3 + 7y)2.(2)、换多项式例2 分解因式(x2+4x+6) + (x2+6x+6) +x2.分析：本题前面的两个多项式有相同的部份，我们可以只把相同部份换元，设x2 +6= m，则x2+4x+6= m+4x，x2+6x+6= m+6x，原式变形为(m+4x)(m+6x)+x2= m2 +10mx+24x2+x2= m2 +10mx+25x2= (m+5x)2= ( x2 +6+5x)2= [(x+2)(x+3)]2= (x+2) 2 (x+3)2.以上这种换元法，只换了多项式的一部份，所以称为“局部换元法”. 固然，我们还可以把前两个多项式中的任何一个全部换元，就成了“整体换元法”. 比如，设x2+4x+6=m，则x2+6x+6=m+2x，原式变形为m(m+2x)+ x2 = m2+2mx+x2= (m+x)2= ( x2+4x+6+x)2= ( x2+5x+6)2= [(x+2)(x+3)]2= (x+2) 2 (x+3)2.另外，还可以取前两个多项式的平均数进行换元，这种换元的方法被称为“均值换元法”，可以借用平方差公式简化运算. 对本例，设m= 1 2[(x2+4x+6) + (x2+6x+6)]= x2+5x+6，则x2+4x+6=m-x，x2+6x+6=m+x，(m+x)(m-x)+x2= m2-x2+x2 = m2= (x2+5x+6)2= [(x+2)(x+3)]2= (x+2) 2 (x+3)2.例3 分解因式(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)+24.分析：这道题的前面是四个多项式的乘积，可以把它们分成两组相乘，使之转化成为两个多项式的乘积. 无论如何分组，最高项都是x2，常数项不相等，所以只能设法使一次项相同. 因此，把(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)分组为[(x-1) (x+2)][(x-3)(x+4)] = (x2+x-2) (x2+x-12)，从而转化成例2形式加以解决.我们采纳“均值换元法”，设m= 12[ (x2+x-2)+(x2+x-12)]=x2+x-7，则x2+x-2=m+5，x2+x-2= m-5，原式变形为(m+5)(m-5)+24=m2-25+24=m2-1=(m+1)(m-1)=( x2+x-7+1)( x2+x-7-1)= ( x2+x-6)( x2+x-8)= (x-2)(x+3)( x2+x-8).(3)、换常数例1 分解因式x2(x+1)-2003×2004x.分析：此题若依照一般思路解答，很难奏效. 注意到2003、2004两个数字之间的关系，把其中一个常数换元. 比如，设m=2003，则2004=m+1. 于是，原式变形为x2(x+1) –m(m+1)x= x[x(x+1)-m(m+1)] = x(x2+x-m2-m)= x[(x2 -m2) +(x-m)]= x[(x+m) (x-m)+(x-m)]= x(x-m)(x+m+1)= x(x-2003)(x+2003+1)= x(x-2003)(x+2004).例13、分解因式（1）2005)12005(200522---x x（2）2)6)(3)(2)(1(x x x x x +++++解：（1）设2005=a ，则原式=a x a ax ---)1(22 =))(1(a x ax -+=)2005)(12005(-+x x（2）型如的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘.原式=222)65)(67(x x x x x +++++设A x x =++652，则x A x x 2672+=++∴原式=2)2(x A x A ++=222x Ax A ++=2)(x A +=22)66(++x x练习13、分解因式（1）)(4)(22222y x xy y xy x +-++（2）90)384)(23(22+++++x x x x（3）222222)3(4)5()1(+-+++a a a例14、分解因式（1）262234+---x x x x 观察：此多项式的特点——是关于x 的降幂排列，每一项的次数依次少1，而且系数成“轴对称”.这种多项式属于“等距离多项式”.方法：提中间项的字母和它的次数，保管系数，然后再用换元法. 解：原式=)1162(222x x x x x +---=[]6)1()1(2222-+-+x x x x x 设t x x =+1，则21222-=+t xx ∴原式=[]6)2222---t t x （=()10222--t t x=()()2522+-t t x =⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+215222x x x x x=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+21··522·x x x x x x =()()1225222+++-x x x x =)2)(12()1(2--+x x x（2）144234+++-x x x x解：原式=22241(41)x x x x x -+++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+1141222x x x x x 设y x x =-1，则21222+=+y xx ∴原式=22(43)x y y -+=2(1)(3)x y y --=)31)(11(2----xx x x x =()()13122----x x x x 练习14、（1）673676234+--+x x x x（2）)(2122234x x x x x +++++六、添项、拆项、配方法.例15、分解因式（1）4323+-x x解法1——拆项.解法2——添项.原式=33123+-+x x 原式=444323++--x x x x=)1)(1(3)1)(1(2-+-+-+x x x x x =)44()43(2++--x x x x =)331)(1(2+-+-+x x x x =)1(4)4)(1(++-+x x x x =)44)(1(2+-+x x x =)44)(1(2+-+x x x=2)2)(1(-+x x =2)2)(1(-+x x（2）3369-++x x x解：原式=)1()1()1(369-+-+-x x x=)1()1)(1()1)(1(333363-++-+++-x x x x x x=)111)(1(3363+++++-x x x x=)32)(1)(1(362++++-x x x x x练习15、分解因式（1）893+-x x （2）4224)1()1()1(-+-++x x x（3）1724+-x x （4）22412a ax x x -+++（5）444)(y x y x +++（6）444222222222c b a c b c a b a ---++七、待定系数法.例16、分解因式613622-++-+y x y xy x分析：原式的前3项226y xy x -+可以分为)2)(3(y x y x -+，则原多项式肯定可分为)2)(3(n y x m y x +-++解：设613622-++-+y x y xy x =)2)(3(n y x m y x +-++ ∵)2)(3(n y x m y x +-++=mn y m n x n m y xy x --+++-+)23()(622 ∴613622-++-+y x y xy x =mn y m n x n m y xy x --+++-+)23()(622比较左右两边相同项的系数可得⎪⎩⎪⎨⎧-==-=+613231m n m n n m ，解得⎩⎨⎧=-=32n m ∴原式=)32)(23(+--+y x y x例17、（1）当m 为何值时，多项式6522-++-y mx y x 能分解因式，并分解此多项式.（2）如果823+++bx ax x 有两个因式为1+x 和2+x ，求b a +的值.（1）分析：前两项可以分解为))((y x y x -+，故此多项式分解的形式必为))((b y x a y x +-++解：设6522-++-y mx y x =))((b y x a y x +-++则6522-++-y mx y x =ab y a b x b a y x +-+++-)()(22比力对应的系数可得：⎪⎩⎪⎨⎧-==-=+65ab a b m b a ，解得：⎪⎩⎪⎨⎧==-=132m b a 或⎪⎩⎪⎨⎧-=-==132m b a∴那时1±=m ，原多项式可以分解；那时1=m ，原式=)3)(2(+--+y x y x ；那时1-=m ，原式=)3)(2(--++y x y x（2）分析：823+++bx ax x 是一个三次式，所以它应该分成三个一次式相乘，因此第三个因式必为形如c x +的一次二项式.解：设823+++bx ax x =))(2)(1(c x x x +++则823+++bx ax x =c x c x c x 2)32()3(23+++++∴⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=82323c c b c a 解得⎪⎩⎪⎨⎧===4147c b a ，∴b a +=21练习17、（1）分解因式2910322-++--y x y xy x（2）分解因式6752322+++++y x y xy x（3）已知：p y x y xy x +-+--1463222能分解成两个一次因式之积，求常数p 而且分解因式.（4）k 为何值时，253222+-++-y x ky xy x 能分解成两个一次因式的乘积，并分解此多项式.第二部份：习题年夜全经典一：一、填空题1. 把一个多项式化成几个整式的_______的形式，叫做把这个多项式分解因式.2分解因式： m3-4m= .3.分解因式： x2-4y2= _______.4、分解因式：244x x ---=_________________.5.将xn-yn 分解因式的结果为(x2+y2)(x+y)(x-y)，则n 的值为 .6、若5,6x y xy -==，则22x y xy -=_________，2222x y +=__________.二、选择题7、多项式3222315520m n m n m n +-的公因式是( )A 、5mnB 、225m nC 、25m nD 、25mn8、下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是( )A 、()()2339a a a +-=-B 、()()22a b a b a b -=+-C 、()24545a a a a --=--D 、23232m m m m m ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭ 10.下列多项式能分解因式的是（）(A)x2-y (B)x2+1 (C)x2+y+y2 (D)x2-4x+411．把（x－y）2－（y－x）分解因式为（）A．（x－y）（x－y－1）B．（y－x）（x－y －1）C．（y－x）（y－x－1）D．（y－x）（y－x ＋1）12．下列各个分解因式中正确的是（）A．10ab2c＋6ac2＋2ac＝2ac（5b2＋3c）B．（a－b）2－（b－a）2＝（a－b）2（a－b＋1）C．x（b＋c－a）－y（a－b－c）－a＋b－c＝（b ＋c－a）（x＋y－1）D．（a－2b）（3a＋b）－5（2b－a）2＝（a－2b）（11b－2a）13.若k-12xy+9x2是一个完全平方式，那么k应为（）A.2B.4 C三、把下列各式分解因式：14、nx ny - 15、2294n m -16、()()m m n n n m -+- 17、3222a a b ab -+ 18、()222416x x +- 19、22)(16)(9n m n m --+；五、解答题20、如图，在一块边长a =的正方形纸片中，挖去一个边长b =的正方形.求纸片剩余部份的面积.21、如图，某环保工程需要一种空心混凝土管道，它的规格是内径45d cm =，外径75D cm =，长3l =方米的混凝土？(π取3.14字)22、观察下列等式的规律，并根据这种规律写出第(5)个等式.经典二：1. 通过基本思路到达分解多项式的目的 例1. 分解因式x x x x x 54321-+-+-分析：这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把x x x x x 54321-+-+-和分别看成一组，此时六项式酿成二项式，提取公因式后，再进一步分解；也可把x x 54-，x x 32-，x -1分别看成一组，此时的六项式酿成三项式，提取公因式后再进行分解.解一：原式=-+--+()()x x x x x 54321解二：原式=()()()x x x x x 54321-+-+-2. 通过变形到达分解的目的例1. 分解因式x x 3234+-解一：将32x 拆成222x x +，则有解二：将常数-4拆成--13，则有3. 在证明题中的应用例：求证：多项式()()x x x 2241021100--++的值一定是非负数分析：现阶段我们学习了两个非负数，它们是完全平方数、绝对值.本题要证明这个多项式是非负数，需要变形成完全平方数.证明：()()x x x 2241021100--++设y x x =-25，则4. 因式分解中的转化思想例：分解因式：()()()a b c a b b c ++-+-+2333分析：本题若直接用公式法分解，过程很复杂，观察a+b ，b+c 与a+2b+c 的关系，努力寻找一种代换的方法.解：设a+b=A ，b+c=B ，a+2b+c=A+B说明：在分解因式时，灵活运用公式，对原式进行“代换”是很重要的.中考点拨∆ABC 中，三边a,b,c 满足a b c ab bc 222166100--++= 求证：a c b +=2证明： a b c ab bc 222166100--++=说明：此题是代数、几何的综合题，难度不年夜，学生应掌握这类题不能丢分.例2. 已知：x x x x +=+=12133，则__________ 解：x x x x x x 3321111+=+-+()() 说明：利用x x x x 222112+=+-()等式化繁为易.题型展示1. 若x 为任意整数，求证：()()()7342---x x x 的值不年夜于100.解：100)4)(3)(7(2----x x x说明：代数证明问题在初二是较为困难的问题.一个多项式的值不年夜于100，即要求它们的差小于零，把它们的差用因式分解等方法恒等变形成完全平方是一种经常使用的方法.2. 将a a a a 222222216742++++++()()分解因式，并用分解结果计算。

因式分解的12种方法精讲因式分解是将一个代数式拆分成多个因子的过程。

在学习因式分解时，我们通常用到以下的12种因式分解方法。

1.公因式提取法：对于一个代数式，如果其中存在公共因子，可以将公共因子提取出来。

例如，对于表达式6x+9y，可以提取出公因式3，得到3(2x+3y)。

2.公式法：使用平方差公式、平方和公式、立方差公式等数学公式对代数式进行因式分解。

例如，对于一个二次多项式x^2+5x+6，我们可以使用平方和公式(x+2)(x+3)进行因式分解。

3.因式定理法：当一个多项式F(x)中有一个因子(x-a)时，可以使用因式定理法进行因式分解，将F(x)除以(x-a)得到商式和余式。

例如，对于多项式x^2-2x-3，我们可以使用因式定理法进行因式分解，得到(x-3)(x+1)。

4.分组分解法：对于含有多个项的代数式，可以将其进行分组，然后再分别对每个组进行因式分解。

例如，对于代数式x^3+x^2+x+1，我们可以将其分组为(x^3+x^2)+(x+1)，然后分别因式分解为x^2(x+1)+1(x+1)，得到(x+1)(x^2+1)。

5.提取完全平方根法：对于一个二次多项式，如果其形式符合完全平方根的形式，可以使用提取完全平方根法进行因式分解。

例如，对于多项式x^2+6x+9，我们可以将其因式分解为(x+3)^26.平方差公式法：对于一个二次多项式，如果其形式符合平方差公式的形式，可以使用平方差公式进行因式分解。

例如，对于多项式4x^2-9，我们可以使用平方差公式进行因式分解，得到(2x-3)(2x+3)。

7.代入因式法：对于一个二次多项式，如果已知一根或两根的值，可以使用代入因式法进行因式分解。

例如，对于多项式x^2-5x+6，如果我们已经知道其中一根是2，可以使用代入因式法进行因式分解，得到(x-2)(x-3)。

8.辗转相除法：对于一个不是二次多项式的代数式，可以使用辗转相除法进行因式分解。

辗转相除法的思想是将一个代数式除以一个因子，得到一个商式和余式，然后再对商式进行继续因式分解，直到余式无法再进行因式分解为止。

因式分解的常用方法第一部分：方法介绍因式分解：因式分解是指将一个多项式化成几个整式的积的形式，主要有提公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法，换元法等因式分解的一般步骤是：（1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。

即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；（2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法；。

注意：将一个多项式进行因式分解应分解到不能再分解为止。

一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：(1) (a+b)(a-b) = a 2-b 2 -----------a 2-b 2=(a+b)(a-b)；(2) (a ±b)2 = a 2±2ab+b 2 ---------a 2±2ab+b 2=(a ±b)2；(3) (a+b)(a 2-ab+b 2) =a 3+b 3---------a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)；(4) (a-b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3 --------a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2)．下面再补充两个常用的公式：(5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca)；例.已知a bc ，，是ABC ∆的三边，且222a b c ab bc ca ++=++， 则ABC ∆的形状是（ ）A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形解：222222222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++⇒++=++ 222()()()0a b b c c a a b c ⇒-+-+-=⇒==三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：bn bm an am +++分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。

因式分解的常用方法第一部分：方法介绍因式分解：因式分解是指将一个多项式化成几个整式的积的形式，主要有提公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法，换元法等因式分解的一般步骤是：（1 ）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。

即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；（2 ）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法；。

注意：将一个多项式进行因式分解应分解到不能再分解为止。

一、提公因式法. ：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：( 1 ) (a+b)(a - b) = a 2 - b 2 ----------- a 2 - b 2 =(a+b)(a - b) ；(2) (a ± b) 2 = a 2 ± 2ab+b 2 --------- a 2 ± 2ab+b 2 =(a ± b) 2 ；(3) (a+b)(a 2 - ab+b 2 ) = a 3 +b 3 --------- a 3 +b 3 =(a+b)(a 2 - ab+b 2 ) ；(4) (a - b)(a 2 +ab+b 2 ) = a 3 - b 3 -------- a 3 - b 3 =(a - b)(a 2 +ab+b2 ) ．下面再补充两个常用的公式：(5)a 2 +b 2 +c 2 +2ab+2bc+2ca=(a+b+c) 2 ；(6)a 3 +b 3 +c 3 - 3abc=(a+b+c)(a 2 +b 2 +c 2 - ab - bc - ca) ；例. 已知是的三边，且，则的形状是（）A. 直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形解：三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例1 、分解因式：分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有 a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。

因式分解的常用方法第一部分：方法介绍因式分解：因式分解是指将一个多项式化成几个整式的积的形式，主要有提公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法，换元法等因式分解的一般步骤是：（1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。

即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；（2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法；。

注意：将一个多项式进行因式分解应分解到不能再分解为止。

一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：(1) (a+b)(a-b) = a2-b2 -----------a2-b2=(a+b)(a-b)；(2) (a±b)2 = a2±2ab+b2 ---------a2±2ab+b2=(a±b)2；(3) (a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3---------a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4) (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 --------a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．下面再补充两个常用的公式：(5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca)；例.已知a b c ，，是ABC ∆的三边，且222a b c ab bc ca ++=++， 则ABC ∆的形状是（ ）A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形 解：222222222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++⇒++=++ 222()()()0a b b c c a a b c ⇒-+-+-=⇒==三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：bn bm an am +++分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。

因式分解的常用方法第一部分：方法介绍因式分解：因式分解是指将一个多项式化成几个整式的积的形式， 主要有提公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法，换元法等 因式分解的一般步骤是：（1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。

即首先看有 无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式； 如前两个步骤都不能实施， 可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法 继续分解；（2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数 法、试除法、拆项（添项）等方法；。

注意：将一个多项式进行因式分解应分解到不能再分解为止。

、提公因式法.:ma+mb+mc=m （a+b+c ） 、运用公式法•2 2 2在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因 式分解中常用的公式，例如：2 2(1) (a+b)(a-b) = a -b -2 2 2(2) (a ±b) = a ±2ab+b ------------- a 22 33(3) (a+b)(a -ab+b ) =a +b -------------- 2233(4) (a-b)(a +ab+b ) = a -b -------------- 下面再补充两个常用的公式：22 2(5) a +b +c +2ab+2bc+2ca=(a+b+c) 33 322 (6) a +b3 3+c -3abc=(a+b+c)(a 例.已知a ，2 2-b =(a+b)(a-b)；2 2 2±2ab+b =(a ±b)；3322+b =(a+b)(a -ab+b )；3 3 2-b =(a-b)(a +ab+b 2 )•2；— 2+b +c -ab-bc-ca)b, c 是ABC 的三边，且a 2 b 2 c 2 ab bc ca ，ABC 的形状是（）A.直角三角形B 等腰三角形C 等边三角形D 等腰直角三角形2 2 2解：a b c ab bc ca2 2 22a 2b 2c 2ab 2bc 2ca(a b) (b c) (c a) 0三、分组分解法•（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：am an bm bn分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。

因式分解的常用方法第一部分：方法介绍多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：（1）(a+b)(a-b) = a2-b2 ---------a2-b2=(a+b)(a-b)；(2) (a±b)2 = a2±2ab+b2———a2±2ab+b2=(a±b)2；(3) (a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3------a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4) (a-b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3------a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2)．下面再补充两个常用的公式：(5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca)；例.已知a b c ，，是ABC ∆的三边，且222a b c ab bc ca ++=++，则ABC ∆的形状是（ ）A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形解：222222222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++⇒++=++222()()()0a b b c c a a b c ⇒-+-+-=⇒==三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：bn bm an am +++分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。

因式分解教案（优秀5篇）因式分解教案篇一【教学目标】1、了解因式分解的概念和意义；2、认识因式分解与整式乘法的相互关系——相反变形，并会运用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法。

【教学重点、难点】重点是因式分解的概念，难点是理解因式分解与整式乘法的相互关系，并运用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法。

【教学过程】㈠、情境导入看谁算得快：（抢答）（1）若a=101,b=99,则a2-b2=___________；（2）若a=99,b=-1,则a2-2ab+b2=____________；（3）若x=-3,则20x2+60x=____________。

㈡、探究新知1、请每题答得最快的同学谈思路，得出最佳解题方法。

（多媒体出示答案）(1)a2-b2=(a+b)(a-b)=(101+99)(101-99)=400；(2)a2-2ab+b2=(a-b) 2=(99+1)2 =10000；(3)20x2+60x=20x（x+3）=20x(-3)(-3+3)=0。

2、观察：a2-b2=(a+b)(a-b)，a2-2ab+b2 = (a-b)2，20x2+60x=20x(x+3)，找出它们的特点。

（等式的左边是一个什么式子，右边又是什么形式？）3、类比小学学过的因数分解概念，得出因式分解概念。

（学生概括，老师补充。

）板书课题：§6.1 因式分解因式分解概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式分解，也叫分解因式。

㈢、前进一步1、让学生继续观察：(a+b)(a-b)= a2-b2, (a-b)2= a2-2ab+b2，20x(x+3)= 20x2+60x,它们是什么运算？与因式分解有何关系？它们有何联系与区别？2、因式分解与整式乘法的关系：因式分解结合：a2-b2 （a+b）（a-b）整式乘法说明：从左到右是因式分解其特点是：由和差形式（多项式）转化成整式的积的形式；从右到左是整式乘法其特点是：由整式积的形式转化成和差形式（多项式）。

因式分解的几种常用方法因式分解是数学中的一个重要概念，常被用于简化复杂的表达式、解方程等。

在进行因式分解时，我们需要找到一个表达式的因式，使其能够被写成几个较小的乘积形式。

以下是几种常用的因式分解方法。

1.提取公因式法提取公因式法是因式分解的最基本方法，适用于多项式中存在公共因子的情况。

该方法的关键在于找到给定多项式中的最大公因子，然后将其提取出来。

例如，对于表达式3x^2+6x，我们可以提取公因式3x，得到3x(x+2)。

2.公式法公式法是利用一些常见的代数公式进行因式分解的方法。

常见的公式包括平方差公式、平方和公式、差的平方等。

根据需要，选择适当的公式进行因式分解。

例如，对于表达式x^2 + 5x + 6，我们可以应用平方和公式(x +a)(x + b) = x^2 + (a + b)x + ab，找到使得a + b = 5，ab = 6的解，得到表达式(x + 2)(x + 3)。

3.分组法分组法是常用的因式分解方法之一，适用于多项式中存在多项式因子的情况。

该方法通过对多项式中的项进行分组，然后进行提取公因式和合并同类项的操作，最终得到因式分解后的表达式。

例如，对于表达式x^3+x^2+2x+2，我们可以将其进行分组为(x^3+x^2)+(2x+2)，然后对每个组进行公式法或提取公因式法等方法进行因式分解，得到表达式x^2(x+1)+2(x+1)，再次提取公因式(x+1)，得到(x+1)(x^2+2)。

4.换元法换元法是一种较为高级的因式分解方法，适用于一些特定的表达式。

该方法通过将表达式中的变量进行换元，将原本复杂的表达式转化成较简单的形式，然后进行因式分解。

例如，对于表达式x^2+4x+4，我们可以通过换元y=x+2，将其转化为y^2，然后得到因式分解后的表达式(x+2)^25.核心变换法核心变换法是一种较为特殊的因式分解方法，适用于一些特殊的表达式。

该方法通过对表达式进行变量变换，使得原本复杂的表达式可以转化为核心部分与一些较简单的额外项的和。

2023年实用的因式分解教案4篇因式分解教案篇1教学设计思想：本小节依次介绍了平方差公式和完全平方公式，并结合公式讲授如何运用公式进行多项式的因式分解。

第一课时的内容是用平方差公式对多项式进行因式分解，首先提出新问题：x2-4与y2-25怎样进行因式分解，让学生自主探究，通过整式乘法的平方差公式，逆向得出用公式法分解因式的方法，发展学生的逆向思维和推理实力，然后让学生独立去做例题、练习中的题目，并对结果通过展示、说明、相互点评，达到能较好的运用平方差公式进行因式分解的目的。

其次课时利用完全平方公式进行多项式的因式分解是在学生已经学习了提取公因式法及利用平方差公式分解因式的基础上进行的，因此在教学设计中，重点放在推断一个多项式是否为完全平方式上，实行启发式的教学方法，引导学生主动思索问题，从中培育学生的.思维品质。

教学目标学问与技能：会用平方差公式对多项式进行因式分解;会用完全平方公式对多项式进行因式分解;能够综合运用提公因式法、平方差公式、完全平方公式对多项式进行因式分解;提高全面地视察问题、分析问题和逆向思维的实力。

过程与方法：经验用公式法分解因式的探究过程，进一步体会这两个公式在因式分解和整式乘法中的不同方向，加深对整式乘法和因式分解这两个相反变形的相识，体会从正逆两方面相识和探讨事物的方法。

情感看法价值观：通过学习进一步理解数学学问间有着亲密的联系。

教学重点和难点重点：①运用平方差公式分解因式;②运用完全平方式分解因式。

难点：①敏捷运用平方差公式分解因式，正确推断因式分解的彻底性;②敏捷运用完全平方公式分解因式关键：把握住因式分解的基本思路，视察多项式的特征，敏捷地运用换元和划归思想。

因式分解教案篇2教学目标:1、理解运用平方差公式分解因式的方法。

2、驾驭提公因式法和平方差公式分解因式的综合运用。

3、进一步培育学生综合、分析数学问题的实力。

教学重点:运用平方差公式分解因式。

教学难点:高次指数的转化，提公因式法，平方差公式的敏捷运用。

因式分解教案(优秀9篇)因式分解教案篇一教学目标：1、进一步巩固因式分解的概念；2、巩固因式分解常用的三种方法3、选择恰当的方法进行因式分解4、应用因式分解来解决一些实际问题5、体验应用知识解决问题的乐趣教学重点：灵活运用因式分解解决问题教学难点：灵活运用恰当的因式分解的方法，拓展练习2、3教学过程：一、创设情景：若a=101,b=99,求a2-b2的值利用因式分解往往能将一些复杂的运算简单化，那么我们先来回顾一下什么是因式分解和怎样来因式分解。

二、知识回顾1、因式分解定义：把一个多项式化成几个整式积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式。

判断下列各式哪些是因式分解？（让学生先思考，教师提问讲解，让学生明确因式分解的概念以及与乘法的关系）（1）。

x2-4y2=(x+2y)(x-2y)因式分解(2)。

2x(x-3y)=2x2-6xy整式乘法（3）。

(5a-1)2=25a2-10a+1整式乘法(4)。

x2+4x+4=(x+2)2因式分解（5）。

(a-3)(a+3)=a2-9整式乘法(6)。

m2-4=(m+4)(m-4)因式分解（7）。

2πR+2πr=2π(R+r)因式分解2、。

规律总结（教师讲解）:分解因式与整式乘法是互逆过程。

分解因式要注意以下几点:(1)。

分解的对象必须是多项式。

（2）。

分解的结果一定是几个整式的乘积的形式。

(3)。

要分解到不能分解为止。

3、因式分解的方法提取公因式法：-6x2+6xy+3x=-3x(2x-2y-1)公因式的概念；公因式的求法公式法:平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)24、强化训练教学引入师：教材在《四边形》这一章《引言》里有这样一句话：把一个长方形折叠就可以得到一个正方形。

现在请同学们拿出一个长方形纸条，按动画所示进行折叠处理。

动画演示：场景一：正方形折叠演示师：这就是我们得到的正方形。

下面请同学们拿出三角板（刻度尺）和圆规，我们来研究正方形的几何性质—边、角以及对角线之间的关系。

因式分解的常用方法因式分解是数学中的一个重要概念，它在代数运算、方程求解、函数图像等方面都有广泛的应用。

因式分解的常用方法有以下几种：一、公因式提取法公因式提取法是因式分解中最基础、最常用的方法之一、它的基本思想是将多项式中的公因式提取出来，然后分别提取出的公因式与剩下部分相乘，即可完成因式分解。

例如，对于多项式3x+6y，我们可以看出公因式为3，可以将多项式写成3(x+2y)的形式，其中(x+2y)即为因式分解后的形式。

二、配方法配方法是另一个常用的因式分解方法。

它的基本思想是通过“补全平方”或者“交换两项位置”的方式，将一个多项式转化成一个平方的形式，从而进行因式分解。

例如，对于多项式x^2+5x+6，我们可以通过“补全平方”的方式将其转化为(x+3)(x+2)的形式，即完成了因式分解。

三、分组分解法分组分解法是适用于四项多项式的一种因式分解方法。

它的基本思想是将多项式按照一定规则分组，然后分别对每个组进行因式分解，最后再进行合并。

例如，对于四项多项式x^3+2x^2+3x+6，我们可以将其作为两组进行分组，即(x^3+2x^2)和(3x+6)，然后分别对每个组进行因式分解，最后得到x^2(x+2)+3(x+2)，即完成了因式分解。

四、差平方公式差平方公式是指两个平方数相减得到一个差的平方公式，它在因式分解中有广泛的应用。

通过运用差平方公式，我们可以将多项式转化为差的平方，从而进行因式分解。

例如，对于多项式x^2-4y^2，我们可以使用差平方公式将其转化为(x+2y)(x-2y)的形式，即完成了因式分解。

以上所述的四种方法是因式分解中常用的方法，但并不是全部的方法。

在实际应用中，根据题目条件和多项式的形式，还可以有其他一些特定的因式分解方法。

因此，在进行因式分解时，我们应根据具体情况选择合适的方法，灵活运用，以便高效地完成因式分解。

因式分解的常用方法第一部分：方法介绍因式分解：因式分解是指将一个多项式化成几个整式的积的形式，主要有提公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法，换元法等因式分解的一般步骤是：（1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。

即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；（2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法；。

注意：将一个多项式进行因式分解应分解到不能再分解为止。

一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：(1) (a+b)(a-b) = a 2-b 2 -----------a 2-b 2=(a+b)(a-b)；(2) (a ±b)2 = a 2±2ab+b 2 ---------a 2±2ab+b 2=(a ±b)2；(3) (a+b)(a 2-ab+b 2) =a 3+b 3---------a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)；(4) (a-b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3 --------a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2)．下面再补充两个常用的公式：(5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca)；例.已知a bc ，，是ABC ∆的三边，且222a b c ab bc ca ++=++， 则ABC ∆的形状是（ ）A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形 解：222222222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++⇒++=++ 222()()()0a b b c c a a b c ⇒-+-+-=⇒==三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：bn bm an am +++分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。

因式分解的常用方法第一部分：方法介绍因式分解：因式分解是指将一个多项式化成几个整式的积的形式，主要有提公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法，换元法等因式分解的一般步骤是：（1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。

即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；（2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法；。

注意：将一个多项式进行因式分解应分解到不能再分解为止。

一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：(1) (a+b)(a-b) = a 2-b 2 -----------a 2-b 2=(a+b)(a-b)；(2) (a ±b)2 = a 2±2ab+b 2 ---------a 2±2ab+b 2=(a ±b)2；(3) (a+b)(a 2-ab+b 2) =a 3+b 3---------a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)；(4) (a-b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3 --------a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2)．下面再补充两个常用的公式：(5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca)；例.已知a bc ，，是ABC ∆的三边，且222a b c ab bc ca ++=++， 则ABC ∆的形状是（ ）A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形 解：222222222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++⇒++=++ 222()()()0a b b c c a a b c ⇒-+-+-=⇒==三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：bn bm an am +++分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。

因式分解的常用方法第一部分：方法介绍因式分解：因式分解是指将一个多项式化成几个整式的积的形式，主要有提公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法，换元法等因式分解的一般步骤是：（1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。

即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；（2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法；。

注意：将一个多项式进行因式分解应分解到不能再分解为止。

一、提公因式法.：ma+mb+mc=m（a+b+c）二、运用公式法. 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因2-b 2=(a+b)(a-b) ；3 (a+b)(a 2-ab+b 2) =a 3+b 34 (a-b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 32±2ab+b 2=(a ±b) 2；a 3 4+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2) ； a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2)．式分解中常用的公式，例如：(1) (a+b)(a-b) = a 2-b 2 ----------- a(2) (a ±b) 2= a 2±2ab+b 2 -------------- a面再补充两个常用的公式：(5) a 2+b 2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c) 2；(6) a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca) ；ab bc ca ，例.已知a，b，c是ABC 的三边，且a2 b2 c2则ABC 的形状是( )A.直角三角形B等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形2 2 2 2 2 2解：a2b2 c2ab bc ca 2a22b22c22ab 2bc 2ca(a b)2 (b c)2 (c a)2 0 a b c三、分组分解法.(一)分组后能直接提公因式例 1 、分解因式：am an bm bn 分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。

因式分解的常用方法第一部分：方法介绍多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：（1）(a+b)(a -b) = a 2-b 2 ---------a 2-b 2=(a+b)(a -b)；(2) (a ±b)2 = a 2±2ab+b 2 ——— a 2±2ab+b 2=(a ±b)2；(3) (a+b)(a 2-ab+b 2) =a 3+b 3------ a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)；(4) (a -b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3 ------a 3-b 3=(a -b)(a 2+ab+b 2)．下面再补充两个常用的公式：(5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab -bc -ca)；例.已知a b c ，，是ABC ∆的三边，且222a b c ab bc ca ++=++，则ABC ∆的形状是（ ）A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形解：222222222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++⇒++=++222()()()0a b b c c a a b c ⇒-+-+-=⇒==三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：bn bm an am +++分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。

因式分化的经常使用办法之五兆芳芳创作第一部分：办法介绍因式分化：因式分化是指将一个多项式化成几个整式的积的形式，主要有提公因式法，公式法，十字相乘法，分组分化法，换元法等因式分化的一般步调是：（1）通常采取一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步调.即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步调都不克不及实施，可用分组分化法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法持续分化；（2）若上述办法都行欠亨，可以测验考试用配办法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等办法；.注意：将一个多项式进行因式分化应分化到不克不及再分化为止.一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分化中经常使用的公式，例如：(1) (a+b)(a-b) =a2-b2-----------a2-b2=(a+b)(a-b)；(2)(a±b)2=a2±2ab+b2---------a2±2ab+b2=(a±b)2；(3)(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3---------a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4)(a-b)(a2+ab+b2) =a3-b3--------a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．下面再弥补两个经常使用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；a b c ，，是ABC ∆的三边，且222a b c ab bc ca ++=++，则ABC ∆的形状是（ ）A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形D 等腰直角三角形解：222222222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++⇒++=++三、分组分化法.（一）分组后能直接提公因式例1、分化因式：bn bm an am +++阐发：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不克不及运用公式分化，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分化，然后再考虑两组之间的联系.解：原式=)()(bn bm an am +++=)()(n m b n m a +++ 每组之间还有公因式！=))((b a n m ++例2、分化因式：bx by ay ax -+-5102解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组.第二、三项为一组.解：原式=)5()102(bx by ay ax -+- 原式=)510()2(by ay bx ax +-+-=)5()5(2y x b y x a --- =)2(5)2(b a y b a x ---=)2)(5(b a y x -- =)5)(2(y x b a --练习：分化因式1、bc ac ab a -+-2 2、1+--y x xy（二）分组后能直接运用公式例3、分化因式：ay ax y x ++-22阐发：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能持续分化，所以只能另外分组.解：原式=)()(22ay ax y x ++-=)())((y x a y x y x ++-+=))((a y x y x +-+例4、分化因式：2222c b ab a -+-解：原式=222)2(c b ab a -+-=22)(c b a --=))((c b a c b a +---练习：分化因式3、y y x x 3922--- 4、yz z y x 2222---综合练习：（1）3223y xy y x x --+ （2）b a ax bx bx ax -+-+-22（3）181696222-+-++a a y xy x （4）a b b ab a 4912622-++- （5）92234-+-a a a （6）y b x b y a x a 222244+--（7）222y yz xz xy x ++-- （8）122222++-+-ab b b a a（9）)1)(1()2(+---m m y y （10）)2())((a b b c a c a -+-+（11）abc b a c c a b c b a 2)()()(222++++++（12）abc c b a 3333-++四、十字相乘法.（一）二次项系数为1的二次三项式直接利用公式——))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++进行分化.特点：（1）二次项系数是1；（2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和.思考：十字相乘有什么根本纪律？例.已知0＜a ≤5，且a 为整数，若223x x a ++能用十字相乘法分化因式，求合适条件的a .解析：但凡能十字相乘的二次三项式ax2+bx+c ，都要求24b ac ∆=->0并且是一个完全平方数.于是98a ∆=-为完全平方数，1a =例5、分化因式：652++x x阐发：将6分红两个数相乘，且这两个数的和要等于5.由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发明只有2×3的分化适合，即2+3=5. 1 2解：652++x x =32)32(2⨯+++x x 1 3=)3)(2(++x x 1×2+1×3=5用此办法进行分化的关头：将常数项分化成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数.例6、分化因式：672+-x x解：原式=)6)(1()]6()1[(2--+-+-+x x 1-1=)6)(1(--x x 1 -6（-1）+（-6）= -7练习5、分化因式(1)24142++x x (2)36152+-a a(3)542-+x x练习6、分化因式(1)22-+x x (2)1522--y y(3)24102--x x（二）二次项系数不为1的二次三项式——c bx ax ++2条件：（1）21a a a =1a 1c（2）21c c c =2a 2c（3）1221c a c a b +=1221c a c a b +=分化结果：c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++例7、分化因式：101132+-x x阐发： 1 -23 -5（-6）+（-5）= -11解：101132+-x x =)53)(2(--x x练习7、分化因式：（1）6752-+x x （2）2732+-x x（3）317102+-x x （4）101162++-y y（三）二次项系数为1的齐次多项式例8、分化因式：221288b ab a --阐发：将b 看成常数，把原多项式看成关于a 的二次三项式，利用十字相乘法进行分化.1 8b1 -16b8b+(-16b)= -8b解：221288b ab a --=)16(8)]16(8[2b b a b b a -⨯+-++ =)16)(8(b a b a -+练习8、分化因式(1)2223y xy x +-(2)2286n mn m +-(3)226b ab a --（四）二次项系数不为1的齐次多项式例9、22672y xy x +- 例10、2322+-xy y x1 -2y 把xy 看作一个整体 1 -12 -3y 1-2(-3y)+(-4y)= -7y(-1)+(-2)= -3解：原式=)32)(2(y x y x -- 解：原式=)2)(1(--xy xy练习9、分化因式：（1）224715y xy x -+ （2）8622+-ax x a综合练习10、（1）17836--x x （2）22151112y xy x --（3）10)(3)(2-+-+y x y x （4）344)(2+--+b a b a（5）222265x y x y x -- （6）2634422++-+-n m n mn m（7）3424422---++y x y xy x （8）2222)(10)(23)(5b a b a b a ---++（9）10364422-++--y y x xy x （10）2222)(2)(11)(12y x y x y x -+-++思考：分化因式：abc x c b a abcx +++)(2222五、换元法.(1)、换单项式例1 分化因式x6 + 14x3 y + 49y2.阐发：注意到x6=（x3）2，若把单项式x3换元，设x3 = m ，则x6= m2，原式变形为m2 + 14my + 49y2= (m + 7y)2 = ( x3 + 7y)2.(2)、换多项式例2 分化因式(x2+4x+6) + (x2+6x+6) +x2. 阐发：本题前面的两个多项式有相同的部分，我们可以只把相同部分换元，设x2 +6= m，则x2+4x+6= m+4x，x2+6x+6= m+6x，原式变形为(m+4x)(m+6x)+x2= m2 +10mx+24x2+x2= m2 +10mx+25x2= (m+5x)2= ( x2 +6+5x)2= [(x+2)(x+3)]2= (x+2) 2 (x+3)2.以上这种换元法，只换了多项式的一部分，所以称为“局部换元法”. 当然，我们还可以把前两个多项式中的任何一个全部换元，就成了“整体换元法”. 比方，设x2+4x+6=m，则x2+6x+6=m+2x，原式变形为m(m+2x)+ x2 = m2+2mx+x2= (m+x)2= ( x2+4x+6+x)2= ( x2+5x+6)2= [(x+2)(x+3)]2= (x+2) 2 (x+3)2.另外，还可以取前两个多项式的平均数进行换元，这种换元的办法被称为“均值换元法”，可以借用平方差公式简化运算. 对于本例，设m= 1 2[(x2+4x+6) + (x2+6x+6)]= x2+5x+6，则x2+4x+6=m-x，x2+6x+6=m+x，(m+x)(m-x)+x2= m2-x2+x2 = m2= (x2+5x+6)2= [(x+2)(x+3)]2= (x+2) 2 (x+3)2.例3 分化因式(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)+24.阐发：这道题的前面是四个多项式的乘积，可以把它们分红两组相乘，使之转化成为两个多项式的乘积. 无论如何分组，最高项都是x2，常数项不相等，所以只能设法使一次项相同. 因此，把(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)分组为[(x-1) (x+2)][(x-3)(x+4)] = (x2+x-2) (x2+x-12)，从而转化成例2形式加以解决.我们采取“均值换元法”，设m= 12[ (x2+x-2)+(x2+x-12)]=x2+x-7，则x2+x-2=m+5，x2+x-2=m-5，原式变形为(m+5)(m-5)+24=m2-25+24=m2-1=(m+1)(m-1)=( x2+x-7+1)( x2+x-7-1)= ( x2+x-6)( x2+x-8)=(x-2)(x+3)( x2+x-8).(3)、换常数例1 分化因式x2(x+1)-2003×2004x.阐发：此题若依照一般思路解答，很难奏效. 注意到2003、2004两个数字之间的关系，把其中一个常数换元. 比方，设m=2003，则2004=m+1. 于是，原式变形为x2(x+1) – m(m+1)x= x[x(x+1)-m(m+1)] = x(x2+x-m2-m)= x[(x2 -m2) +(x-m)]= x[(x+m) (x-m)+(x-m)]= x(x-m)(x+m+1)= x(x-2003)(x+2003+1)= x(x-2003)(x+2004).例13、分化因式（1）2005)12005(200522---x x（2）2)6)(3)(2)(1(x x x x x +++++解：（1）设2005=a ，则原式=a x a ax ---)1(22 =))(1(a x ax -+=)2005)(12005(-+x x（2四个因式两两分组相乘.原式=222)65)(67(x x x x x +++++设A x x =++652，则x A x x 2672+=++∴原式=2)2(x A x A ++=222x Ax A ++=2)(x A +=22)66(++x x练习13、分化因式（1）)(4)(22222y x xy y xy x +-++（2）90)384)(23(22+++++x x x x（3）222222)3(4)5()1(+-+++a a a例14、分化因式（1）262234+---x x x x 不雅察：此多项式的特点——列，每一项的次数依次少1，并且系数成“轴对称”.这种多项式属于“等距离多项式”.办法：提中间项的字母和它的次数，保存系数，然后再用换元法. 解：原式=)1162(222x x x x x +---=[]6)1()1(2222-+-+x x x x x 设t xx =+1，则21222-=+t x x ∴原式=[]6)2222---t t x （=()10222--t t x=()()2522+-t t x =⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+215222x x x x x=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+21··522·x x x x x x =()()1225222+++-x x x x =)2)(12()1(2--+x x x（2）144234+++-x x x x解：原式=22241(41)x x x x x -+++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+1141222x x x x x 设y x x =-1，则21222+=+y xx ∴原式=22(43)x y y -+=2(1)(3)x y y --=)31)(11(2----xx x x x =()()13122----x x x x 练习14、（1）673676234+--+x x x x（2）)(2122234x x x x x +++++六、添项、拆项、配办法.例15、分化因式（1）4323+-x x解法1——拆项.解法2——添项.原式=33123+-+x x 原式=444323++--x x x x=)1)(1(3)1)(1(2-+-+-+x x x x x =)44()43(2++--x x x x =)331)(1(2+-+-+x x x x =)1(4)4)(1(++-+x x x x =)44)(1(2+-+x x x =)44)(1(2+-+x x x=2)2)(1(-+x x =2)2)(1(-+x x（2）3369-++x x x解：原式=)1()1()1(369-+-+-x x x=)1()1)(1()1)(1(333363-++-+++-x x x x x x=)111)(1(3363+++++-x x x x=)32)(1)(1(362++++-x x x x x练习15、分化因式（1）893+-x x （2）4224)1()1()1(-+-++x x x（3）1724+-x x （4）22412a ax x x -+++（5）444)(y x y x +++（6）444222222222c b a c b c a b a ---++七、待定系数法.例16、分化因式613622-++-+y x y xy x阐发：原式的前3项226y xy x -+可以分为)2)(3(y x y x -+，则原多项式肯定可分为)2)(3(n y x m y x +-++ 解：设613622-++-+y x y xy x =)2)(3(n y x m y x +-++ ∵)2)(3(n y x m y x +-++=mn y m n x n m y xy x --+++-+)23()(622 ∴613622-++-+y x y xy x =mn y m n x n m y xy x --+++-+)23()(622对比左右两边相同项的系数可得⎪⎩⎪⎨⎧-==-=+613231m n m n n m ，解得⎩⎨⎧=-=32n m ∴原式=)32)(23(+--+y x y x例17、（1）当m 为何值时，多项式6522-++-y mx y x 能分化因式，并分化此多项式.（2）如果823+++bx ax x 有两个因式为1+x 和2+x ，求b a +的值.（1）阐发：前两项可以分化为))((y x y x -+，故此多项式分化的形式必为))((b y x a y x +-++解：设6522-++-y mx y x =))((b y x a y x +-++则6522-++-y mx y x =ab y a b x b a y x +-+++-)()(22比较对应的系数可得：⎪⎩⎪⎨⎧-==-=+65ab a b m b a ，解得：⎪⎩⎪⎨⎧==-=132m b a 或⎪⎩⎪⎨⎧-=-==132m b a∴当1±=m 时，原多项式可以分化；当1=m 时，原式=)3)(2(+--+y x y x ；当1-=m 时，原式=)3)(2(--++y x y x（2）阐发：823+++bx ax x 是一个三次式，所以它应该分红三个一次式相乘，因此第三个因式必为形如c x +的一次二项式.解：设823+++bx ax x =))(2)(1(c x x x +++则823+++bx ax x =c x c x c x 2)32()3(23+++++∴⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=82323c c b c a 解得⎪⎩⎪⎨⎧===4147c b a ，∴b a +=21练习17、（1）分化因式2910322-++--y x y xy x（2）分化因式6752322+++++y x y xy x（3）已知：p y x y xy x +-+--1463222能分化成两个一次因式之积，求常数p 并且分化因式.（4）k 为何值时，253222+-++-y x ky xy x 能分化成两个一次因式的乘积，并分化此多项式.第二部分：习题大全经典一：一、填空题1. 把一个多项式化成几个整式的_______的形式，叫做把这个多项式分化因式.2分化因式： m3-4m= .3.分化因式： x2-4y2= _______.4、分化因式：244x x ---=_________________.5.将xn-yn 分化因式的结果为(x2+y2)(x+y)(x-y)，则n 的值为 .6、若5,6x y xy -==，则22x y xy -=_________，2222x y +=__________.二、选择题7、多项式3222315520m n m n m n +-的公因式是( )A 、5mnB 、225m nC 、25m nD 、25mn8、下列各式从左到右的变形中，是因式分化的是( )A 、()()2339a a a +-=-B 、()()22a b a b a b -=+-C 、()24545a a a a --=--D 、23232m m m m m ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭ 10.下列多项式能分化因式的是（）(A)x2-y (B)x2+1 (C)x2+y+y2(D)x2-4x+411．把（x －y ）2－（y －x ）分化因式为（ ）A ．（x －y ）（x －y －1）B ．（y －x ）（x －y －1）C ．（y －x ）（y －x －1）D ．（y －x ）（y －x ＋1）12．下列各个分化因式中正确的是（ ）A ．10ab2c ＋6ac2＋2ac ＝2ac （5b2＋3c ）B ．（a －b ）2－（b －a ）2＝（a －b ）2（a －b ＋1）C ．x （b ＋c －a ）－y （a －b －c ）－a ＋b －c ＝（b ＋c －a ）（x ＋y －1）D ．（a －2b ）（3a ＋b ）－5（2b －a ）2＝（a －2b ）（11b －2a ）13.若k-12xy+9x2是一个完全平方法，那么k 应为（ ）A.2B.4 C三、把下列各式分化因式：14、nx ny - 15、2294n m -16、()()m m n n n m -+- 17、3222a a b ab -+18、()222416x x +- 19、22)(16)(9n m n m --+；五、解答题20、如图，在一块边长a =的正方形纸片中，挖去一个边长b =的正方形.求纸片剩余部分的面积.21、如图，某环保工程需要一种空心混凝土管道，它的规格是内径45d cm =，外径75D cm =，长3l m =.利方米的混凝土？(π取3.14字)22、不雅察下列等式的纪律，并按照这种纪律写出第(5)个等式.经典二：1. 通过根本思路达到分化多项式的目的 例1. 分化因式x x x x x 54321-+-+-阐发：这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把x x x x x 54321-+-+-和辨别看成一组，此时六项式酿成二项式，提取公因式后，再进一步分化；也可把x x 54-，x x 32-，x -1辨别看成一组，此时的六项式酿成三项式，提取公因式后再进行分化.解一：原式=-+--+()()x x x x x 54321解二：原式=()()()x x x x x 54321-+-+-2. 通过变形达到分化的目的例1. 分化因式x x 3234+-解一：将32x 拆成222x x +，则有解二：将常数-4拆成--13，则有3. 在证明题中的应用例：求证：多项式()()x x x 2241021100--++的值一定是非正数阐发：现阶段我们学习了两个非正数，它们是完全平方数、绝对值.本题要证明这个多项式是非正数，需要变形成完全平方数.证明：()()x x x 2241021100--++设y x x =-25，则4. 因式分化中的转化思想例：分化因式：()()()a b c a b b c ++-+-+2333阐发：本题若直接用公式法分化，进程很庞杂，不雅察a+b ，b+c 与a+2b+c 的关系，努力寻找一种代换的办法.解：设a+b=A ，b+c=B ，a+2b+c=A+B说明：在分化因式时，灵活运用公式，对原式进行“代换”是很重要的.中考点拨∆ABC 中，三边a,b,c 满足a b c ab bc 222166100--++= 求证：a c b +=2证明： a b c ab bc 222166100--++=说明：此题是代数、几何的综合题，难度不大，学生应掌握这类题不克不及丢分.例2. 已知：x x x x +=+=12133，则__________ 解：x xx x x x 3321111+=+-+()() 说明：利用x x x x 222112+=+-()等式化繁为易. 题型展示1. 若x 为任意整数，求证：()()()7342---x x x 的值不大于100.解：100)4)(3)(7(2----x x x说明：代数证明问题在初二是较为困难的问题.一个多项式的值不大于100，即要求它们的差小于零，把它们的差用因式分化等办法恒等变形成完全平方是一种经常使用的办法.2. 将a a a a 222222216742++++++()()分解因式，并用分解结果计算。