初中数学因式分解的常用方法(精华例题详解)

初中阶段因式分解的常用方法（例题详解）

因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，它和整式乘法互为逆运算，在初中代数中占有重要的地位和作用，在其它学科中也有广泛应用，学习本章知识时，应注意以下几点。

1.因式分解的对象是多项式；

2.因式分解的结果一定是整式乘积的形式；

3.分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止；

4.公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式；

5.结果如有相同因式，应写成幂的形式；

6.题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解；

7.因式分解的一般步骤是：

（1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；

（2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法.

因式分解的方法多种多样，现将初中阶段因式分解的常用方法总结如下：

一、提公因式法.

如多项式am+bm+cm=m(a+b+c),

其中m叫做这个多项式各项的公因式，m既可以是一个单项式，也可以是一个多项式．

二、运用公式法.

运用公式法，即用

a2-b2=(a+b)(a-b),

a2±2ab+b2=(a±b)2,

a3±b3=(a±b)(a2ab+b2)

写出结果．

三、分组分解法.

（一）分组后能直接提公因式

例1、分解因式：am+an+bm+bn

分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑

两组之间的联系。

解：原式=(am+an)+(bm+bn)

=a(m+n)+b(m+n)每组之间还有公因式！

=(m+n)(a+b)

思考：此题还可以怎样分组？

此类型分组的关键：分组后，每组内可以提公因式，且各组分解后，组与组之间又有公因式可以提。

例2、分解因式：2ax-10ay+5by-bx

解法一：第一、二项为一组；解法二：第一、四项为一组；

第三、四项为一组。第二、三项为一组。

解：原式=(2ax-10ay)+(5by-bx)原式=(2ax-bx)+(-10ay+5by)

=2a(x-5y)-b(x-5y)=x(2a-b)-5y(2a-b)

=(x-5y)(2a-b)=(2a-b)(x-5y)

练习：分解因式1、a2-ab+ac-bc2、xy-x-y+1

（二）分组后能直接运用公式

例3、分解因式：x2-y2+ax+ay

分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。

解：原式=(x2-y2)+(ax+ay)

=(x+y)(x-y)+a(x+y)

=(x+y)(x-y+a)

例4、分解因式：a2-2ab+b2-c2

解：原式=(a2-2ab+b2)-c2

=(a-b)2-c2

=(a-b-c)(a-b+c)

注意这两个例题的区别！

练习：分解因式3、x2-x-9y2-3y4、x2-y2-z2-2yz

综合练习：（1）x3+x2y-xy2-y3（2）ax2-bx2+bx-ax+a-b

（3）x2+6x y+9y2-16a2+8a-1（4）a2-6ab+12b+9b2-4a

（5）a4-2a3+a2-9（6）4a2x-4a2y-b2x+b2y

（7）x2-2x y-xz+yz+y2（8）a2-2a+b2-2b+2ab+1

（9）y(y-2)-(m-1)(m+1)（10）(a+c)(a-c)+b(b-2a)

（11）a2(b+c)+b2(a+c)+c2(a+b)+2abc（12）a3+b3+c3-3abc

四、十字相乘法.

（一）二次项系数为1的二次三项式

直接利用公式——x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)进行分解。

特点：（1）二次项系数是1；

（2）常数项是两个数的乘积；

（3）一次项系数是常数项的两因数的和。

例5、分解因式：x2+5x+6

分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。

由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5。12

解：x2+5x+6=x2+(2+3)x+2⨯313

=(x+2)(x+3)1×2+1×3=5

用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。

例6、分解因式：x2-7x+6

解：原式=x2+[(-1)+(-6)]x+(-1)(-6)1-1

=(x-1)(x-6)1-6

（-1）+（-6）=-7

练习5、分解因式(1)x2+14x+24(2)a2-15a+36(3)x2+4x-5

练习6、分解因式(1)x2+x-2(2)y2-2y-15(3)x2-10x-24

（二）二次项系数不为1的二次三项式——ax2+bx+c

条件：（1）a=a a a c

1211

（2）c=c c a c

1222

（3）b=a c+a c b=a c+a c

12211221

分解结果：ax2+bx+c=(a x+c)(a x+c)

1122

例7、分解因式：3x2-11x+10

分析：1-2

3-5

（-6）+（-5）=-11

解：3x2-11x+10=(x-2)(3x-5)

练习7、分解因式：（1）5x2+7x-6（2）3x2-7x+2

（3）10x2-17x+3（4）-6y2+11y+10

（三）二次项系数为1的齐次多项式

例8、分解因式：a2-8ab-128b2

分析：将b看成常数，把原多项式看成关于a的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。

18b

1-16b

8b+(-16b)=-8b

解：a2-8ab-128b2=a2+[8b+(-16b)]a+8b⨯(-16b)

=(a+8b)(a-16b)

练习8、分解因式(1)x2-3xy+2y2(2)m2-6mn+8n2(3)a2-ab-6b2

（四）二次项系数不为1的齐次多项式

例9、2x2-7x y+6y2例10、x2y2-3xy+2

1-2y把xy看作一个整体1-1

2-3y1-2

(-3y)+(-4y)=-7y(-1)+(-2)=-3

解：原式=(x-2y)(2x-3y)解：原式=(x y-1)(x y-2)

练习9、分解因式：（1）15x2+7x y-4y2（2）a2x2-6ax+8

综合练习10、（1）8x6-7x3-1（2）12x2-11xy-15y2

（3）(x+y)2-3(x+y)-10（4）(a+b)2-4a-4b+3

（5）x2y2-5x2y-6x2（6）m2-4mn+4n2-3m+6n+2