第二章 连续系统的时域分析

第二章连续系统的时域分析求响应：经典法：已知f（t）、x{0}全响应y（t）= y f（t）+y x（t）卷积积分法：先求n（t），已知f（t）y f（t）=h（t） f（t）主要内容：一经典法求LTI系统的响应：齐次解自由响应瞬态零输入特解强迫响应稳态（阶跃、周期）零状态二冲击响应与阶跃响应：（定义、求解方法仍为经典法）三卷积积分：（定义、图示法求卷积）四卷积积分的性质：§2.1 LTI 系统的响应（经典法）一 常系数线性微分方程的经典解n 阶：y )(n (t)+ a n-1y )1(-n (t)+…+ a 1y )1((t)+ a 0y(t)= b m f )(m (t)+ b m-1 f )1(-m (t)+……+ b 1 f)1((t)+ b 0f(t) 全解：y(t)=齐次解y h (t)+ 特解y p (t)1 齐次解：y h (t)=∑=ni t e i C i 1λ（形式取决于特征根） 特征方程： λ)(n (t)+ a n-1λ)1(-n (t)+… + a 1 λ(t)+ a 0=0特征根：决定齐次解的函数形式，表2-1 如为2个单实根λ1、λ2， y h （t ）=e C t 11λ +e C t 22λ如为2重根(λ+1)2=0，λ= - 1，y h (t)=C 1te -t +C 0e -t系数C i ：求得全解后，由初始条件确定2 特解：函数形式：由激励的函数形式决定，与特征根有关系，表2-2 如：f(t)为常数 )(t ε， y p (t)=P 0f(t)=t 2， y p (t)= P 2t 2+ P 1t+ P 0f(t)=e -t ，λ= - 2，不等 y p (t)=P e -tf(t)= e -t ，λ= - 1，相等 y p (t)=P 1te -t +P 0e -t系数P i ：由原微分方程求出3 全解：y(t)= y h (t)+ y p (t)=∑=ni t e i C i 1λ+ y p (t) 此时利用y(0)，y ‘(0)，求出系数C i例2.1-1: y‘‘(t)+ 5y‘(t)+ 6y(t)= f(t) f(t)= 2e-t，y(0)= 2 y‘(0)= -1解:(1) ○1齐次解：y h(t)= C1e-2t+C2e-3tλ2+5λ+6 = 0，λ= - 2，λ2= - 31○2特解：y p(t)= e-t设y p(t)= Pe-t代入原方程：Pe-t+5(- Pe-t)+6 Pe-t = 2e-t P=1 ○3全解：y(t)= C1e-2t+C2e-3t+ e-t求C i：y‘(t)= - 2 C1e-2t - 3C2e-3t - e-t齐次解特解数学角度y(t)= 3e-2t - 2C2e-3t + e-t t≥0自由响应强迫响应系统角度(2)[P44]例2.1-2: y‘’(t)+ 5y‘(t)+ 6y(t)= f(t) f(t)=10cost y(0)= 2 y‘(0)= 0 解: ○1y h(t)= C1e-2t + C2e-3tπ）○2y p(t)= Pcost+Qsint=cost+sint=2cos（t-4y p‘‘(t)、y p‘(t)、y p(t)代入方程，求得P=Q=1π）○3y(t)= C1e-2t + C2e-3t +2cos（t-4由初始条件可解得C1=2，C2 = - 1π）t≥0y(t)=2e-2t - C2e-3t + 2cos（t-4二 关于0-和0+初始值若f(t)在t=0时接入系统，方程的解适用t ≥0求解的初始条件：严格是指t=0+时刻的值，y(0+)、y ‘(0+)… 已知系统初始状态：t=0-时，激励未接入，y(0-)、y ‘(0-)…，反映系统的历史情况。

求解微分方程时，要先从y i (0-)−−→−求出y i (0+)例2.1-3: y ‘‘(t)+3y ‘(t)+2y(t)=2 f ‘(t)+6 f(t)已知：f(t)=)(t ε，y(0-)=2 ，y ‘(0-)=0，求： y(0+)、y ‘(0+)解：y ‘‘(t)+3y ‘(t)+2y (t)=2)(t δ+6)(t ε⎰+-00y ‘‘(t)dt + 3⎰+-00y ‘(t)dt + 2⎰+-00y(t)dt =2⎰+-00)(t δdt + 6⎰+-00)(t εdt[y ‘(0+)- y ‘(0-)] + 3 [y(0+)- y(0-)] + 2×0 = 2×1 + 6×0 y(t)在t =0是连续的⇒ y(0+)=y(0-)=2y ‘(t)在t =0是跃变的⇒ y ‘(0+)=y ‘(0-)+2=2结论：当方程右端含有)(t δ及)()(t n δ函数时，y(t)及各阶导数有些将发生跃变；当方程右端不含有)(t δ及)()(t n δ函数时，y(t)及各阶导数一般不发生跃变，可直接等。

三 零输入响应和零状态响应y(t) = y x (t) + y f (t) =∑=n i t e xi C i 1λ +∑=n i t e fi C i 1λ+ y p (t)=∑=ni t e i C i 1λ + y p (t) 初始值: y )(j (0-) = y x )(j (0-) + y f )(j (0-)y )(j (0+) = y x )(j (0+) + y f )(j (0+)对零状态响应: y f )(j (0-)=0 x )(j (0-)= y )(j (0-)对零输入响应:由于f(t)=0，故: y x )(j (0+) = y x )(j (0-)= y )(j (0-) 1 经典法求y x (t) 和y f (t)例2.1-4: y ‘‘(t) + 3y ‘(t)+2 y(t)=2 f ‘(t)+6 f(t)已知：f(t)= )(t ε，y(0-)=2 ，y ‘(0-)=0解：○1求y x (t) 即f(t)=0满足y x ‘‘(t) + 3y x ‘(t)+2 y x (t)=0,且满足y ‘(0+)的解初始值: y x (0+)=y x (0-)= y (0-)=2y x ‘(0+)=y x ‘(0-)= y ‘(0-)=0响应形式：y x (t)= C x1e -t +C x2e -2t ⇒ C x1 +C x2=2y x ‘(t)= -C x1e -t -2C x2e -2t -C x1 -2C x2 =0⇒ C x1 =4C x2 =-2∴y x (t)= 4e -t -2e -2t =[4e -t -2e -2t ]·)(t ε○2 求y f (t) f(t)=)(t ε,初始状态为零满足: y f ‘‘(t) + 3y f ‘(t)+2 y f (t)=2)(t δ+6)(t ε 且y f ‘(0-)=y f (0-)=0 同前可求得: y f (0+)=y f (0-)=0y f ‘(0+)=2+y f ‘(0-)=2对于t ＞0时,方程写为: y f ‘‘(t) + 3y f ‘(t)+2 y f (t)= 6齐次解: C f1e -t +C f2e -2t特解: 设为P 0,求得P 0=3y f (t)= C f1e -t +C f2e -2t +3, 求得: C f1= -4, C f2=1∴ y f (t)= -4e -t +e -2t +3 t ≥0全响应y(t) = y x (t) + y f (t)= 4e -t -2e -2t -4e -t +e -2t +3= - e -2t +32 用LTI 系统零状态响应的线形性质和微分性质求y f (t) 例: y ‘(t) +2y(t)= f ‘‘(t) + f ‘(t)+2 f(t) f(t)=)(t ε 求y f (t) 输入分为3部分：设 ○11(t)=T[0,f(t)]满足方程: y 1‘(t) +2y 1(t)= f(t) 且y 1(0-)=0 y 1(0+)=0齐次解: C 1e -2t ⇒ y 1(t )=C 1e -2t +21=-21e -2t +21=21[ 1-e -2t])(t ε特解: P 0=1○2f ‘1‘(t)y 1‘(t)= 21(1-e -2t )·)(t δ+ e -2t )(t ε= e -2t )(t ε○3f ‘‘y 1‘‘(t)y 1‘‘(t)= e -2t )(t δ-2 e -2t )(t ε=)(t δ-2 e -2t )(t εy f (t)= y 1‘‘(t)+ y 1‘ (t)+2 y 1 (t)=)(t δ+(1-2 e -2t ))(t ε§2.2 冲击响应和阶跃响应求零状态响应的一种重要方法是卷积积分法.在这种方法中,冲击响应和阶跃响应是非常重要的概念.是系统的基本响应,反映系统特性.一 冲击响应h(t)def T[{0},{)(t δ}]1 定义:2 h(t)的求解方法:情况一: 等号右端只含激励f(t), ------经典法y )(n (t)+ a n-1y )1(-n (t)+…+ a 1y (t)=f(t)h )(n (t)+ a n-1h )1(-n (t)+…+ a 1h (t)=)(t δ 输入为)(t δ h )(j (0-)=0, j=0、1、2 … n-1 初始状态为00+初始值 h )(j (0+)= h )(j (0-)=0 j=0、1、2 … n-2h )1(-n (0+)= h )1(-n (0-)+1=1h(t)的形式: h(t)= (∑=ni t e i C i 1λ)·)(t ε例: 2.2-1○1 h(t) 满足 h ‘‘(t)+5 h ‘(t)+6 h(t)=)(t δh ‘(0-)= h (0-)=0○2 确定0+初始值：方程两端奇异函数平衡h (t)连续，h (0+) =h (0-)h ‘(t)跃变， h ‘(0+)≠h ‘(0-)方程两边积分：⎰+-00h ‘‘(t)dt+5⎰+-00h ‘ (t)dt+6⎰+-00h (t)=⎰+-00)(t δdt [h ‘(0+)- h ‘(0-)]+5[ h (0+)- h (0-)]+0=1∴ h (0+) =h (0-)=0h ‘(0+)=h ‘(0-)+1=1○3 考虑t ＞0(或t=0+以后)的系统响应，此时激励为0 [P 52] 齐次方程：h ‘‘(t)+5 h ‘(t)+6 h(t)=0解的形式：h(t)= C 1e -2t + C 2e -3t t ≥0h ‘(t)= -2C 1e -2t -3C 2e -3th(0+)= C 1+ C 2 =0 ⇒ C 1 =1h ‘(0+)= -2C 1 -3C 2 =1 C 2 = - 1∴ h(t)= (e -2t - e -3t )·)(t ε情况二：等号右端除f(t)外,还有f )(m (t)y )(n (t)+ a n-1y )1(-n (t)+…+ a 1y )1((t)+ a 0y(t)= b m f )(m (t)+ b m-1 f )1(-m (t)+……+ b 1 f )1((t)+ b 0f(t)h )(n (t)+ a n-1h )1(-n (t)+…+ a 1h )1((t)+ a 0h (t)= b m δ)(m (t)+ b m-1δ )1(-m (t)+……+ b 1δ)1((t)+ b 0δ(t)h )(j (0-)=0, j=0、1、2 … n-1求0+初始值较复杂,求解思路分二步：第一步：输入仅为)(t δ时，设响应为h 1(t)h 1)(n (t)+ a n-1h 1)1(-n (t)+…+ a 1h 1)1((t)+ a 0h 1 (t)=)(t δh 1(t)用方法一求出第二步：用线性性质和微分特征h (t) = b m h 1)(m (t)+ b m-1 h 1)1(-m (t)+……+ b 1h 1)1((t)+ b 0h 1(t)例：2.2-2 y ‘‘(t)+5y ‘(t)+6y(t)= f ‘‘(t)+2 f ‘(t)+3 f(t) 解：○1 设)(t δ→ h 1(t) h 1‘‘(t)+5h 1‘(t)+6 h 1(t)=)(t δ−−−→−同上例h 1(t)= (e -2t - e -3t )·)(t ε○2 h(t)=h 1‘‘(t)+2h 1‘(t)+3 h 1(t) ∵ h 1‘(t) = (-2e -2t +3e -3t )·)(t ε+ (e -2t - e -3t )·)(t δ=(-2e -2t +3e -3t )·)(t ε h 1‘‘(t) = (4e -2t -9e -3t )·)(t ε+ (-2e -2t +3 e -3t )·)(t δ=(4e -2t -9e -3t )·)(t ε+)(t δ∴ h(t)=)(t δ+(3 e -2t -6e -3t )·)(t ε二 阶跃响应1 定义：g(t)def T[{0},{)(t ε}]2 g(t)的求解：情况一：等号右端只含f(t)=)(t ε满足g )(n (t)+ a n-1 g )1(-n (t)+……+ a 0g(t)=)(t εg )(j (0-)=0, j=0、1、2 … n-10+初始值 g )(j (0+)= g )(j (0-)=0当t ＞0+时,g(t)=齐次解+特解=∑=ni t e i C i 1λ+01a 情况二：等号右端含f(t)及各阶导数，求0+较困难由线性性质和微分性质求g(t) 第一步：)(t ε→g 1(t) 第二步：用性质例2.2-3：[P 55]解：(1) 列写微分方程:左○∑：x ‘‘(t)+3x ‘(t)+2x(t)=f(t)右○∑：2y(t) =-2x ‘(t)+2x(t) 3y ‘(t) = -3x ‘‘(t)+6x ‘(t)y ‘‘(t)= - x ‘‘‘(t)+2x ‘‘(t)y ‘‘(t)+3 y ‘(t)+2 y(t) = - [x ‘‘(t)+3x ‘(t)+2x(t)]‘+2[x ‘‘(t)+3x ‘(t)+2x(t)] ∴ y ‘‘(t)+3 y ‘(t)+2 y(t) = -f ‘(t)+2f(t)(2) 求g(t)，属情况二第一步：设输入为)(t ε时，响应为g 1(t)g 1‘‘(t)+3g 1‘(t)+2g 1(t)=)(t ε g 1(t) = C 1e -t + C 2e -2t +21g 1‘(0+)=3g 1 (0+)=0 g 1‘(t)= - C 1e -t -2C 2e -2t g 1(0+)=C 1+ C 2 +21=0⇒ C 1 = - 1g 1‘(0+)= - C 1 -2C 2=0 C 2 = 21 ∴ g 1(t) =( - e -t +21e -2t +21)·)(t ε 第二步：用线性和微分特性g(t) = - g 1‘(t)+2g 1(t)= - ( -e -t +21e -2t +21)·)(t δ- ( - e -t - e -2t )·)(t ε+( -2e -t +e -2t +1)·)(t ε =( -3e -t +2e -2t +1) ·)(t ε三 h(t)与g(t)的关系)(t δ=dtt d )(ε LTI h(t)= dtt dg )()(t ε=⎰∞-t)(x δdx 微积分特性 g(t)=⎰∞-th(x)dx四 典型二阶电路的h(t)和g(t)通过一个典型的实例,得出典型二阶电路h(t)和g(t)，与电路参数R 、L 、C 的关系例 2.2-4：电路如图：解：(1) 列出)(t S u 与)(t C u 的微分方程 （书）u C ‘‘(t)+6u C ‘(t)+25u C (t)=25)(t S u (2) 求h(t)，令)(t S u =)(t δh ‘‘(t)+6h ‘(t)+25h(t)=25)(t δh ‘(0+)=h(0-)=0 0+初始值 h(0+)= h(0-)=0h ‘(0+)= h(0-)+25=25λ2+6λ+25=0⇒λ1，2= - 3±j4 （查表2-1，P 43）h(t)= e -3t [Ccos(4t)+Dsin(4t)]·)(t εh ‘(t)= e -3t [-4Csin(4t)+4Dcos(4t)]-3e -3t [Ccos(4t)+Dsin(4t)] h(0+)= C=0⇒ C=0h ‘(0+)= 4D-3C=25 D=6.25 ∴ h(t)= e -3t ×6.25×sin(4t) t ≥0 (3) 求g(t) 令 )(t S u =)(t εg ‘‘(t)+6g ‘(t)+25g(t)=25)(t εg(0+)=g ‘(0+)=0g(t)= e -3t [Ccos(4t)+Dsin(4t)]+1g ‘(t)= e -3t [-4Csin(4t)+4Dcos(4t)]-3e -3t [Ccos(4t)+Dsin(4t)]g(0+)= C+1=0⇒ C=0g ‘(0+)= 4D-3C=2 D=43-= - 0.75 ∴ g(t)={1- e -3t [cos(4t)+0.75sin(4t)]}·)(t ε t ≥0 典型二阶电路：（图2.2-5）特征根：λ1，2= -α±202ωα-， 四种情况（书图2.2-6） ○1 α＞ω0，λ1、λ2为实负根，衰减，过阻尼 ○2 α=ω0， λ为2重负根， 临界 ○3 α＜ω0， 一对共轭复根， 欠阻尼 ○4 α=0， 图(a),取R=0，一对共轭虚根±j ω0，等幅振荡 (4) h(t)= g ‘(t) = {1- e -3t cos(4t)-0.75sin(4t)}·)(t ε-e -3t [-4sin(4t)+3cos(4t)]·)(t ε+3e -3t [cos(4t)+0.75sin(4t)]·)(t ε = )(t δ-)(t δ-0+[4e -3t sin(4t)+2.25e -3t sin(4t)]·)(t ε = 6.25e -3t sin(4t)·)(t ε§2.3卷积积分一卷积积分的定义:1. 提出的思路:对不同的f(t)：(t m、e-t、sint)，设不同的特解，求多次微分方程 y f(t) 对复杂的f(t)= t·e-t求解困难经典法的缺点：○1求解微分方程的次数多；○2对复杂的f(t)较困难优点：可求y x(t)解决的办法：将复杂的信号f(t)分解为简单信号之和2f(t)的分解：第k 个波形： 宽度 △τ=n2 幅度 f(k ·△τ) 位置 p n (t-k ·△τ)f(t)≈∑∞-∞=k f(k ·△τ) ·△τ·p n(t-k ·△τ)3 求y f(t) 对LTI 系统，自变量为ty f (t)= T[f(t)]=T[∑∞-∞=k f(k ·△τ) ·△τ·p n(t-k ·△τ)]=∑∞-∞=k f(k ·△τ) ·△τ·T[p n(t-k ·△τ)] =∑∞-∞=k f(k ·△τ) ·△τ·h n (t-k ·△τ)令△τ→0，△τ→d τ，k ·△τ→τf(t)=lim00→→k τς ∑∞-∞=k f(k ·△τ) ·△τ·p n (t-k ·△τ)= ⎰∞∞-f(τ)·δ(τ)d τ→f(t)y f (t)= lim00→→k τς∑∞-∞=k f(k ·△τ) ·△τ·h n (t-k ·△τ)=⎰∞∞-f(τ)·h(t-τ)·d τ=f(t) * h(t) 即:零状态响应y f(t)是激励f(t)与冲击响应h(t)的卷积积分4 用卷积积分求y f(t)的步骤：○1 先求系统的单位冲击响应h(t),用经典法. ○2 y f (t)=f(t) * h(t)优点：灵活、简便、适用于复杂信号，是时域分析中的重要方法。