圆锥曲线离心率(取值范围)的求法(教师版、学生版)

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;. 圆锥曲线离心率（取值范围）的求法（教师版）

知识储备：

离心率：ace；椭圆的离心率10e，双曲线的离心率1e，抛物线的离心率1e．

一、离心率的求法

方法一：直接求出a、c，求解e

已知圆锥曲线的标准方程或a、c易求时，可利用率心率公式ace来解决。

例1：若椭圆经过原点，且焦点为0,11F、0,32F，则其离心率为（）

A. 43 B. 32 C. 21 D. 41

解：由0,11F、0,32F知 132c，∴1c，又∵椭圆过原点，∴1ca，3ca，∴2a，1c，所以离心率21ace.故选C.

变式练习1：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为（）

A. 23 B. 26 C. 23 D 2

解：由题设2a，62c，则3c，23ace，因此选C

方法二：构造a、c的齐次式，解出e

根据题设条件，借助a、b、c之间的关系，构造a、c的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e的一元方程，从而解得离心率e。

例2：已知1F、2F是双曲线12222byax（0,0ba）的两焦点，以线段21FF为边作正三角形21FMF，若边1MF的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ D ）

A. 324 B. 13 C. 213 D. 13

变式练习1：设双曲线12222byax（ba0）的半焦距为c，直线L过0,a，b,0两点.已知原点到直线的距离为c43，则双曲线的离心率为( )

A. 2 B. 3 C. 2 D. 332

解：由已知，直线L的方程为0abaybx，由点到直线的距离公式，得cbaab4322，又222bac, ∴234cab,两边平方，得4222316caca，整理得01616324ee，得42e或342e，又ba0 ，∴2122222222ababaace，∴42e，∴2e，故选A .

;. 变式练习2：双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为1F、2F，021120MFF，则双曲线的离心率为（）

A 3

B

26

C

36

D

33

解：如图所示，不妨设bM,0，0,1cF，0,2cF，则

2221bcMFMF，又cFF221，

在21MFF中，由余弦定理，得212212221212cosMFMFFFMFMFMFF,

即22222222421bccbcbc，∴212222cbcb，

∵222acb，∴212222aca，∴2223ca，∴232e，∴26e，故选B

方法三：采用离心率的定义以及椭圆的定义求解

例3：设椭圆的两个焦点分别为1F、2F，过2F作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若21PFF为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________。

解：12121222222221cccPFPFcacace

变式训练1：如图，1F和2F分别是双曲线12222byax（0,0ba）的两个焦点，A和B是以O为圆心，以1OF 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且ABF2是等边三角形，则双曲线的离心率为（ D ）

A 3 B 5 C 25 D 13

变式训练2：设1F、2F分别是双曲线12222byax的左、右焦点，若双曲线上存在点A，使02190AFF，且213AFAF，则双曲线离心率为（ B ）

A 25 B 210 C 215 D 5

二、离心率的取值范围求法

唐生指点：求离心率的取值范围，事实上就是一个构造a，c的齐次不等式的问题，所以掌握基本的构造不等式的方式至关重要！

方法一：利用圆与圆锥曲线的位置关系构造不等式

例1：设椭圆 12222byax（0ba）的左右焦点为F1，F2,若椭圆上存在点P，使∠F1PF2=90°，则椭圆的离心率e的取值范围为 [22 ,1) 。

方法二：利用焦半径的取值范围构造不等式 .

;. 例2：已知双曲线12222byax（0,0ba）的左右焦点分别为F1，F2,P为双曲线右支上一点，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线的离心率e的取值范围为：

（1,3] 。

方法三：利用题设中的已知条件构造不等式

例3:已知双曲线12222byax（0,1ba）焦距为2c，直线l过,0,0,ab点，且点（1,0）到直线l的距离与（-1,0）到直线l的距离之和s≥45c，则双曲线的离心率的取值范围为：

5,52 。

方法四：利用直线与圆锥曲线的位置关系构造不等式

例4：已知双曲线12222byax（0,0ba）的右焦点为F，若过点F且倾斜角为060的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ C ）

A 2,1 B 2,1 C ,2 D ,2

方法五：利用函数的值域造不等式

例5：设1a，则双曲线22221(1)xyaa离心率的取值范围 2,5 。

巩固练习：

1．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（）

A． 31 B．33 C．21 D．23

2．已知双曲线12222byax的一条渐近线方程为xy34，则双曲线的离心率为（）

A 35 B 34 C 45 D 23

3．双曲线22221xyab（0a，0b）的左、右焦点分别是12FF，，过1F作倾斜角为30o的直线交双曲线右支于M点，若2MF垂直于x轴，则双曲线的离心率为___________。

4.设点P在双曲线)0,0(12222babyax的右支上，双曲线两焦点，，则双曲线离心率的取值范围为。 .

;. 5.已知椭圆的方程22221(0)xyabab，F1,F2是椭圆左右两个焦点，P是椭圆上的一点

若12PFPF，则椭圆离心率的取值范围为。

6.已知椭圆的方程22221(0)xyabab，F1,F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的一点

若123FPF，则椭圆离心率的取值范围为。

7.已知F1,F2是椭圆22221(0)xyabab的两个焦点，P是椭圆上的一点若满足120MFMFuuuruuuur的点总在椭圆的内部，则椭圆离心率的取值范围为。

8.已知斜率为2的直线l经过双曲线22221(0,0)xyabab的右焦点F，并与双曲线的左右支分别相交，则双曲线离心率e的范围为。

9.已知椭圆22221(0)xyabab，F1,F2是椭圆左右两个焦点，P是椭圆的任一点

若122FPF，则椭圆离心率的取值范围为。

10.已知椭圆22221(0)xyabab，F1,F2是椭圆左右两个焦点，以F1F2 为边做正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的两边，则椭圆离心率为。

11.椭圆22221(0)xyabab，斜率为1，且过椭圆右焦点F直线交椭圆于A,B两点，OAOBuuruur与(3,1)ar共线，则椭圆离心率为。

12.已知椭圆22221(0)xyabab的两焦点为F1(-c,0),F2(c,0),P是直线2:alxc上的一点，1FP的垂直平分线恰过2F点，则椭圆离心率的取值范围为。

13.已知双曲线22221(0,0)xyabab的两条渐近线的夹角为60°，则双曲线离心率

为。

14.椭圆中心在原点，焦点在x轴上，若存在过椭圆左焦点的直线L交椭圆于P、Q两点，使得OP⊥OQ，则椭圆离心率的取值范围为。

15.椭圆22221(0,0)xyabab的左焦点为F，若过点F且倾斜角为45o的直线与椭圆交于A、B两点且F分BAuur的比为23，则椭圆的离心率为。

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;. 圆锥曲线离心率（取值范围）的求法（学生版）

知识储备：

离心率：

；椭圆的离心率

，双曲线的离心率

，抛物线的离心率

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