高中数学一道课本习题的应用——谈基本不等式的延伸

高中数学《基本不等式》的真正妙用
《基本不等式》是高中数学中的一门基础课程，它是学习数学的
重要工具之一，用于解决复杂的数学问题。

它的定义是“当两个值或
表达式的意义不同时，就可以使用不等式来描述它们之间的差异”。

基本不等式有五种基本形式，分别是等号（=）、大于等号（>）、大于（>）、小于等号（< ），小于（<）。

但无论哪种形式，都能够
提供明确的准确信息，从而帮助我们推导出更复杂的问题。

基本不等式的妙用在于，它可以帮助我们推算出给定条件下可能
出现的情况，因此可以拓展我们对某一特定问题的解决思路。

例如，
可以利用不等式来构建数学模型，建立清晰的统计关系，深入了解数
据分析，从而解决复杂的数学问题。

此外，基本不等式也是非常适用于组合概念和论证概念的工具。

我们可以利用不等式来组织我们的概念，这样便于我们模拟出更复杂
的情况。

同时，也可以将不等式应用于证明某些概念的有效性，从而
使用不等式来测试其有效性。

基本不等式的另一个好处是，它可以用于做出正确的决策。

假设
我们有个问题需要做出决定，那么我们可以使用不等式来比较不同的
选择，从而作出优化的，正确的决策。

总之，《基本不等式》是一门高中数学的重要课程，它是理解和
处理复杂问题的有力工具。

它可以帮助我们推导出更复杂的数学结论，帮助我们组织逻辑思维，方便有效地做出正确的决策，是理解复杂问
题不可或缺的重要工具。

基本不等式及应用的实际应用情况背景介绍基本不等式是数学中常见的一类不等式，它们可以帮助我们描述和解决各种实际问题，从而在许多领域中发挥着重要作用。

基本不等式包括线性不等式、二次函数不等式和绝对值不等式等。

在实际应用中，我们经常需要根据给定的条件和目标，通过建立和求解基本不等式来得到满足特定条件的解集。

应用过程下面将分别介绍线性不等式、二次函数不等式和绝对值不等式的应用过程及效果。

1. 线性不等式线性不等式是形如ax + b > 0或ax + b < 0的一次方程组，其中a、b为已知系数，x为未知数。

线性不等式在实际应用中广泛存在，例如：a. 生产问题假设某工厂生产两种产品A和B，并且单位时间内生产A产品所需的材料成本为10元，生产B产品所需的材料成本为20元。

如果工厂每天最多能使用500元购买原材料，而单位时间内生产A产品利润为5元，生产B产品利润为8元。

我们需要确定每种产品的最大生产量，以最大化利润。

设A产品的生产量为x，B产品的生产量为y。

根据题目中的条件，我们可以列出以下不等式：10x + 20y ≤ 500 （材料成本限制）5x + 8y ≥ 0 （利润要求）通过求解这个线性不等式组，我们可以得到A和B产品的最大生产量，从而实现最大化利润。

b. 资金问题假设某人有两个银行账户A和B，在一段时间内账户A每天存款增加10元，账户B 每天存款增加15元。

如果初始时两个账户的余额分别为1000元和2000元，并且他希望在一定时间后至少有6000元的总余额。

我们需要确定这个时间段内至少需要存款多少天。

设经过x天后，账户A和B的余额分别为a和b。

根据题目中的条件，我们可以列出以下不等式：a = 1000 + 10xb = 2000 + 15x a + b ≥ 6000通过求解这个线性不等式组，我们可以得到至少需要存款多少天才能达到目标总余额。

2. 二次函数不等式二次函数不等式是形如ax^2 + bx + c > 0或ax^2 + bx + c < 0的二次方程，其中a、b、c为已知系数，x为未知数。

基本不等式在高中数学中的地位与作用篇一：嘿，朋友！你知道吗？基本不等式在咱们高中数学里那可是有着相当重要的地位和作用啊！就像一座大厦的基石，基本不等式为解决各种数学问题提供了坚实的基础。

你想想，在数学的海洋里，我们要寻找那些隐藏的宝藏——正确的答案，基本不等式不就是那把关键的钥匙嘛！还记得我们在课堂上，老师讲解基本不等式时的情景吗？大家都瞪大了眼睛，竖起耳朵，生怕错过任何一个细节。

为啥？因为它太重要啦！它就像一位贴心的小助手，在求最值的问题中发挥着巨大的作用。

比如说，要计算一个函数的最大值或者最小值，基本不等式一登场，往往就能让难题迎刃而解。

这就好比在黑暗中突然亮起了一盏明灯，照亮了我们前行的道路，难道不是吗？而且啊，基本不等式在实际生活中的应用也不少呢！比如，要规划一个工厂的生产，怎么才能用最少的成本获得最大的利润？这时候，基本不等式就派上用场啦！它能帮助我们算出最优的方案，让资源得到最合理的利用。

这不就像一个精明的管家，把家里的一切都安排得井井有条吗？再说说我们做数学题的时候，和同学一起讨论，大家为了一个基本不等式的应用争得面红耳赤。

“我觉得应该这样用！”“不对不对，应该那样！”最后老师给出正确答案，我们才恍然大悟。

这种共同探讨的过程多有趣啊！还有啊，基本不等式和其他数学知识的联系也非常紧密。

它就像一条纽带，把众多的数学概念串联在了一起。

比如说和函数、几何，甚至是概率统计都有着千丝万缕的联系。

没有基本不等式，这些知识就像散落的珍珠，难以形成美丽的项链。

总之，基本不等式在高中数学中简直就是一颗璀璨的明星！它不仅帮助我们解决了无数难题，还让我们学会了如何更高效地思考和分析问题。

它就像一位无声的老师，默默地指引着我们在数学的道路上不断前进。

朋友，难道你还不觉得基本不等式在高中数学中的地位和作用无比重要吗？我反正坚信，掌握好了基本不等式，就等于握住了打开数学世界大门的一把金钥匙！篇二：嘿，朋友！你知道吗？在咱们高中数学那浩渺的知识海洋里，基本不等式就像是一座坚固的灯塔，指引着我们在解题的航道上勇往直前。

高中数学基本不等式讲解一、教学任务及对象1、教学任务本次教学任务是围绕高中数学中的重要内容——基本不等式进行讲解。

基本不等式不仅是解决数学问题的有力工具，而且对于培养学生的逻辑思维能力和解决问题的策略选择能力具有重要意义。

通过本节课的学习，学生将掌握基本不等式的性质、应用条件及其在解题中的应用策略。

2、教学对象本次教学的对象是高中二年级的学生。

经过之前的学习，他们已经具备了一定的代数运算能力和逻辑推理能力，但对于基本不等式的理解可能还停留在表面，缺乏深入的认知和灵活的运用。

因此，本节课将针对学生的实际情况，通过启发式教学、案例分析等方式，帮助学生更好地理解基本不等式，提高解题能力。

二、教学目标1、知识与技能（1）理解基本不等式的定义及其证明过程，掌握基本不等式的表达形式；（2）能够运用基本不等式解决实际问题，如求最值、证明不等式等；（3）掌握基本不等式的应用条件，了解其在解决高中数学问题中的重要性；（4）通过基本不等式的学习，提高学生的运算速度和准确率，增强代数变形能力。

2、过程与方法（1）采用启发式教学方法，引导学生主动探究基本不等式的性质和证明过程，培养学生的自主学习能力；（2）通过典型例题的讲解和练习，使学生掌握基本不等式的应用方法，提高解决问题的策略选择能力；（3）组织小组讨论，让学生在合作交流中碰撞出思维的火花，相互学习，共同提高；（4）注重培养学生从特殊到一般、从具体到抽象的思维方式，提高学生的逻辑推理能力。

3、情感，态度与价值观（1）激发学生对数学学科的兴趣，培养学生的探究精神和创新意识；（2）通过基本不等式的学习，使学生认识到数学知识在实际生活中的应用价值，增强学生的实用主义观念；（3）培养学生严谨、细致的学习态度，使学生养成认真审题、规范解题的良好习惯；（4）教育学生遵循数学的客观规律，尊重事实，树立正确的价值观；（5）通过团队合作解决问题，培养学生的团队协作能力和沟通能力，提高学生的综合素质。

２０２４年１月上半月㊀案例赏析㊀㊀㊀㊀关注应用㊀提升素养 对基本不等式教学的几点建议◉山东省济南市莱芜第一中学㊀陈㊀霞㊀㊀基本不等式a＋b２ȡa b(aȡ０,bȡ０)是高考的一个重要考点,它在证明不等式与求函数最值中都有着重要的应用,它是一个值得深入研究的知识点．在基本不等式教学中,大多教师会从教学实际出发,设计符合学生认知的教学情境来激发学生探究的积极性,并提供时间和空间让学生经历公式的推导过程,以此让学生理解和掌握基本不等式．不过,学生虽然理解并掌握了基本不等式,但是在具体应用中还是会出现一错再错 或 无从入手 的情况．基于此,笔者从应用的角度出发,提出了几点教学意见,仅供参考．１巧借错误,形成正确认识为了让学生能够灵活应用基本不等式这一知识点解决问题,首先要让学生形成正确的认识．在基本不等式的教学过程中,教师会重点强调 一正㊁二定㊁三相等 这一重要的适用条件,但是学生在具体应用中还是会发生遗忘,从而引发错误．为了减少或避免遗忘,教师不妨主动 示错 ,让学生在 纠错 的过程中形成正确的㊁深刻的认识,以此提高解题准确率．案例１㊀判断以下题目的解答过程是否正确?若有错误,请写出纠正过程．(１)已知x,y都是正数,且x＋２y＝１,求１x＋１y 的最小值．解:由x＋２y＝１,得１x＋１y＝(x＋２y)(１x＋１y)ȡ２x ２y ２１x １y＝４２．故１x＋１y的最小值为４２．(２)设y＝x２＋２x＋５＋１x２＋２x＋５,求函数的最小值．解:因为x２＋２x＋５＞０,则由基本不等式可得yȡ２,所以函数的最小值为２．问题给出后,让学生独立纠错,教师巡视,并进行个别点拨,然后呈现学生的纠错过程．师:谁来说一说,问题(１)的解题过程正确吗?为什么?生１:问题(１)的解答是错误的,在应用基本不等式解决问题时,忽视了 相等 这一条件．若想让等号成立,则需x＝２y和x＝y同时成立,显然这是不可能的,所以该解法是错误的．师:分析得非常好!你是如何求解的呢?生１:由x＋２y＝１,得１x＋１y＝(x＋２y)(１x＋１y)＝１＋２y x＋x y＋２＝３＋２y x＋x yȡ３＋２y x x y＝３＋２２,当且仅当２y x＝x y时,等号成立．又x＋２y＝１,解得x＝２－１,y＝１－２２．所以,当x＝２－１,y＝１－２２时,１x＋１y取最小值,最小值为３＋２２．生１的解题过程给出后,教师让学生点评,以此进一步深化对基本不等式的理解．学生理解并掌握问题(１)后,再继续呈现问题(２)的分析过程．师:谁来说一说问题(２)?生２:问题(２)的解题过程也是错的,与问题(１)的错误本质是相同的,也是忽视了基本不等式的取等条件．要想取得最小值２,当且仅当x２＋２x＋５＝１x２＋２x＋５,显然该等式不成立,所以问题(２)的解题过程是错误的．师:具体说一说,你是如何求解的．生２:我是利用函数单调性来求解的．令u＝x２＋２x＋５(uȡ４),则函数f(u)＝u＋１u．若u１＞u２ȡ４,则f(u１)－f(u２)＝(u１－u２)(１－１u１u２)＞０,可见f(u)在[４,＋ɕ)上单调递增,因此当u＝４时取最小值,其５３案例赏析２０２４年１月上半月㊀㊀㊀最小值为４＋１４＝１７４,此时x ＝－１．所以,当x ＝－１时,函数取最小值,最小值为１７４．师:很好,运用基本不等式时一定要注意等号成立的条件．虽然利用基本不等式求最值是一种重要的解题方法,但是这并不代表所有的求最值问题都可以用基本不等式来求解．解题时切勿盲目套用,要充分考虑公式的适用条件．在实际教学中,有些易错点㊁重难点,教师是反复讲㊁重复练,但是解题效果依然难以达到预期．基于此,教师不妨主动呈现错误,让学生在错误中思考,在思考中深化,以此有效规避或减少错误的发生,培养学生的批判性思维能力．２巧借应用,促进知识深化基本不等式在函数㊁不等式中有着重要的应用,是高考中极其重要的知识点．引导学生运用所学知识解决问题是数学教学的落脚点,也是提高学生学习能力,发展学生数学素养的必经之路．基本不等式的用法比较灵活,教师有必要引导学生从不同角度出发,思考不同的解决方法,让学生学会顺用㊁逆用㊁灵活用,以此提高学生解决问题的能力．另外,教学中,教师应重视呈现学生的思维过程,以此通过对比分析发现不同解决的策略,提高学生数学应用水平．案例２㊀已知a ＋b ＝１,且a ＞０,b ＞０,求证:１a＋１bȡ４．分析:本题若直接从结论出发,很难看到基本不等式的 身影 ,因为在条件 a ＋b ＝１ 的作用下,基本不等式被隐藏了起来,学生对 a ＋b ＝１ 这一条件的处理直接影响着解题效果．本题求解时,不妨将 １ 化身为 a ＋b ,由此可见基本不等式的 真面目 ,从而顺利地解决问题．解题时,让学生独立解决,并鼓励学生应用不同的方法证明．现将学生的证法总结如下:证法一:因为a ＞０,b ＞０,所以a ＋b ȡ２a b (当a ＝b 时取等号),１a ＋１b ȡ２１a b(当a ＝b 时取等号)．两式相乘,得(a ＋b )(１a ＋１b )ȡ４a b １a b＝４．又a ＋b ＝１,所以１a ＋１bȡ４．证法二:因为a ＋b ＝１,所以１a ＋１b ＝a ＋ba＋a ＋b b ＝２＋(b a ＋ab)ȡ２＋４＝４(当a ＝b 时取等号)．教师呈现学生的解题过程,并让学生进行归纳整理,然后给出如下变式问题．变式１㊀已知a ＋b ＝１,且a ＞０,b ＞０．求证:(２a ＋b )(a ＋２b )ɤ９２．变式２㊀已知a ＋b ＝１,且a ＞０,b ＞０．求证:a ＋１２＋b ＋１２ɤ２．变式３㊀已知a ＋b ＝１,且a ＞０,b ＞０．求证:(a ＋２)２＋(b ＋２)２ȡ２５２．在日常教学中,适度地运用变式训练,不仅可以帮助学生巩固知识㊁强化技能,而且可以凸显问题的本质,提升学生举一反三的能力．其实,基本不等式中蕴含着丰富的数学思想方法,如逆向思维㊁转化与化归㊁数形结合等．在日常教学中,教师应创造机会让学生总结归纳,以此感悟思想㊁提炼方法,提高学生的思维品质,提升学生解题能力．３联系实际,促进知识升华在课堂教学中,教师应提供机会让学生利用所学知识去解决实际问题,以此激发学生学习的动机,提高学生学习兴趣． 学以致用 既是数学教学的出发点,也是数学教学的落脚点,教学中要引入一些学生熟悉的㊁感兴趣的生活实例,以此引发学生情感共鸣,激发学生学习积极性．案例３㊀小明和小刚每个月都会相约到一家超市购买两次大米,他们采用了不同的购买方式,小刚每次购买１０k g 大米,小明每次购买１０元大米．假设大米的价格是有波动的,第一次购买时的价格为x 元/k g ,第二次购买时的价格为y 元/k g,试问以上两种购买方式,哪种更划算?分析:要想知道哪种购买方式更划算,其实就是要算出两次购买大米的均价．根据已知,小刚购买大米的均价为x ＋y ２元/k g,小明购买大米的均价为２x yx ＋y元/k g ．接下来利用基本不等式知识探讨,发现小明购买大米的方式划算．这样从学生熟悉的生活情境出发,不仅可以调动学生参与的积极性,而且可以培养学生的应用意识．其实,生活中有许多关于最值问题都可以应用基本不等式来解决,教师要合理引入,以此让学生全面㊁系统地理解基本不等式．Z６３。

⾼中数学_基本不等式教学设计学情分析教材分析课后反思教学设计本节课⾸先运⽤2002年国际数学家⼤会会标引⼊，让学⽣动⼿拼图，能让学⽣进⼀步体会中国优秀的数学传统⽂化，感受数学与⽣活的联系，激发学⽣的学习兴趣.运⽤此图标能较容易的观察出⾯积之间的关系，引⼊基本不等式很直观.随后设置⼀系列的问题.学⽣⽴⾜问题，围绕⽬标，借助教材先独⽴思考，归纳概括，尝试知识建构.这些问题，让学⽣直接回答和⿊板板演，提⾼学⽣的数学表达和交流能⼒.通过⼏何图形中⾯积关系获得基本不等式后，让学⽣及时记录，强化记忆.基本不等式的证明过程以填空形式出现，学⽣能够独⽴完成，并能加深学⽣对基本不等式的理解；此种证明⽅法是“分析法”，在选修教材的《推理与证明》⼀章中会重点讲解，此处有必要让学⽣初步了解.由于⼏何直观能启迪思路，帮助理解，因此，借助⼏何直观学习和理解数学，是数学学习中的重要⽅⾯.引导学⽣得出基本不等式的⼏何解释.这样就从三个不同⾓度引导学⽣归纳并认识基本不等式，加深对基本不等式的理解，渗透数形结合的数学思想.课堂练习的设置，可以巩固基本不等式，让学⽣熟悉公式，并学会应⽤.学⽣分组讨论、纠正、争辩，合作交流.引导学⽣体会基本不等式应⽤.强调基本不等式成⽴的前提条件“正”,并为下⼀步利⽤基本不等式求最值奠定基础.课本上的例1，,多数学⽣都会仿照课本上的思路加以解决,学⽣能够加深对基本不等式的理解.并强调解题步骤的完整性,使学⽣体会利⽤基本不等式求最值的条件“正”、“定”和“等”.接着利⽤练习巩固学⽣所学的新知识，将学⽣的思维向外延伸，激发学⽣的发散思维．达到熟练使⽤基本不等式的⽬的，进⼀步巩固利⽤不等式求最值的关键点：“正”“定”“等”.最后让学⽣畅所欲⾔,⾃⼰归纳总结⼀堂课的收获.通过作业,巩固本堂所学知识.总之，本节课的教学通过设问提出问题，引导学⽣发现问题，经历思考交流概括归纳概念，由问题的提出进⼀步加深理解；这⼀过程能够培养学⽣发现问题、分析问题、解决问题的能⼒.学情分析在认知上，学⽣已经掌握了不等式的基本性质，并能够根据不等式的性质进⾏数、式的⼤⼩⽐较，也具备了⼀定的平⾯⼏何的基本知识. 如何让学⽣再认识“基本”⼆字，是本节学习的前提. 事实上，该不等式反映了实数的两种基本运算（即加法和乘法）所引出的⼤⼩变化，这⼀本质不仅反映在其代数结构上，⽽且也有⼏何意义，由此⽽⽣发出的问题在训练学⽣的代数推理能⼒和⼏何直观能⼒上都发挥了良好的作⽤. 因此，必须从基本不等式的代数结构和⼏何意义两⽅⾯⼊⼿，才能让学⽣深刻理解它的本质.另外，在⽤基本不等式解决最值时，学⽣往往容易忽视基本不等式使⽤的前提条件和等号成⽴的条件，因此，在教学过程中，应借助辨误的⽅式让学⽣充分领会基本不等式成⽴的三个限制条件（⼀正⼆定三相等）在解决最值问题中的作⽤.通过对新课程标准的解读，教材内容的解析，并结合学⽣的实际情况，我认为结果固然重要，但数学学习过程更重要，所以在探究本节课的重点，即进⾏基本不等式的推导时，更加注重了培养学⽣的数学思维和探究能⼒。

基本不等式的应用课后篇巩固提升合格考达标练1.(2021江苏南京高一期末)设实数x 满足x>0,函数y=2+3x+4x+1的最小值为( )A.4√3-1B.4√3+2C.4√2+1D.6x>0,∴x+1>0,∴y=2+3x+4x+1=2+3(x+1)-3+4x+1=3(x+1)+4x+1-1≥2√3(x +1)·4x+1-1=4√3-1,当且仅当3(x+1)=4x+1,即x=2√33-1>0时,等号成立,∴函数y=2+3x+4x+1的最小值为4√3-1.故选A .2.(2020辽宁凤城高一期中)已知a<0,b<0,a+b=-2,则y=1a +1b 的最大值为( ) A.-1 B .-32C .-4D .-2解析a<0,b<0,a+b=-2,∴1a+1b=-121a +1b(a+b )=-122+b a +a b≤-122+2√b a ·a b=-2,当且仅当a=b=-1时,等号成立,故y=1a+1b 的最大值为-2,故选D .3.(多选题)(2021广东番禺高一期末)已知a>0,b>0,且a 2+b 2=1,则( ) A.a+b ≤√2 B.a+b ≤12C.a+b>√2D.1a 2+1b2≥4(a+b )2=a 2+b 2+2ab=1+2ab ≤1+(a 2+b 2)=2(当且仅当a=b 时,等号成立),又a>0,b>0,则a+b ≤√2,故A 正确;1a 2+1b2=a 2+b 2a 2+a 2+b2b2=1+b 2a 2+a 2b2+1≥2+2√a 2b2·b2a 2=2+2=4,当且仅当b2a2=a 2b2,即a=b 时,等号成立,故D 正确.故选AD .4.一批救灾物资随51辆汽车从某市以v km/h 的速度匀速直达灾区,已知两地公路线长400 km,为了安全起见,两辆汽车的间距不得小于v 2800 km,那么这批物资全部到达灾区最少需要 h .解析当最后一辆汽车出发,第一辆汽车行驶50·v 2800v =v 16 h,最后一辆车驶完全程共需要400v h,所以一共需要400v +v16h,由基本不等式,得400v +v 16≥2√400v ·v16=10,故最少需要10 h .5.已知a ,b 都是正数,满足2a+b=3,则a+2bab的最小值为 .a ,b 都是正数,满足2a+b=3,则a+2bab=1b +2a =13(2a+b )2a +1b=135+2b a +2a b ≥13(5+4)=3,当且仅当2ba =2ab 且2a+b=3,即a=b=1时,a+2bab 取得最小值3. 6.已知正数a ,b ,x ,y 满足a+b=10,ax +by =1,x+y 的最小值为18,求a ,b 的值.(x+y )(ax +by )=a+bxy +ayx +b=10+bxy +ayx . 因为x ,y>0,a ,b>0,所以x+y ≥10+2√ab =18,即√ab =4. 当且仅当bx y =ayx时,等号成立. 又a+b=10,所以{a =2,b =8或{a =8,b =2.7.运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米,按交通法规限制50≤x ≤100(单位:千米/时).假设汽油的价格是每升6元,而汽车每小时耗油2+x 2360升,司机的工资是每小时14元. (1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式;(2)当x 为何值时,这次行车的总费用最低?并求出最低费用的值.设所用时间为t=130x 小时,则y=130x ×6×(2+x 2360)+14×130x ,50≤x ≤100.所以,这次行车总费用y 关于x 的表达式是y=3 380x +136x ,50≤x ≤100. (2)y=3 380x +136x ≥263√390, 当且仅当3 380x =136x ,即x=2√390时,等号成立.又2√390<50,所以当x=50时,这次行车的总费用最低,最低费用的值为y=3 38050+136×50=2 63915(元).等级考提升练8.已知a>0,b>0,且2a+b=1,若不等式2a+1b≥m 恒成立,则m 的最大值等于( ) A.10 B.9 C.8 D.7解析2a +1b =2a +1b (2a+b )=5+2ba +2ab ≥5+2√2b a ·2ab =9,当且仅当2ba =2ab ,即a=b=13时,等号成立.所以2a +1b的最小值为9,又因为2a +1b ≥m 恒成立,所以m ≤9,即m 的最大值为9.9.(2021浙江温州高一期末)已知正数a ,b 满足a+b=1,则4a1-a +b1-b 的最小值是( ) A.1 B .2 C .4 D .8a ,b 满足a+b=1,则4a1-a +b1-b =4ab +ba ≥2√4ab ·ba =4, 当且仅当4ab =ba ,即b=2a=23时,等号成立. 故4a1-a +b 1-b 的最小值是4, 故选C .10.(2021云南师大附中高三期末)如果两个正方形的边长之和为1,那么它们的面积之和的最小值是( ) A.14 B .12C .1D .2x ,y ,则x>0,y>0,且x+y=1, 由基本不等式可得x 2+y 2≥2xy ,所以2(x 2+y 2)≥x 2+y 2+2xy=(x+y )2=1,所以x 2+y 2≥12,当且仅当x=y=12时,等号成立,因此,两个正方形的面积之和x 2+y 2的最小值为12.故选B .11.(多选题)(2021浙江湖州高一期末)已知a>0,b>0.若4a+b=1,则( ) A.14a +1b 的最小值为9 B .1a +1b 的最小值为9 C .(4a+1)(b+1)的最大值为94 D .(a+1)(b+1)的最大值为94,14a +1b =(14a +1b )(4a+b )=2+b4a +4ab ≥2+2√b4a ·4ab =4,当b4a =4ab ,即b=4a 且4a+b=1时,等号成立,故14a +1b 的最小值是4,故A 不正确;1a +1b=(1a +1b )(4a+b )=5+b a +4a b ≥5+2√b a ·4a b =9,当b a =4a b ,即b=2a 且4a+b=1时,等号成立,1a +1b的最小值为9,故B 正确;(4a+1)(b+1)≤[(4a+1)+(b+1)2]2=94,当4a+1=b+1,即b=4a=12时,等号成立,故C 正确;(a+1)(b+1)=14[(4a+4)(b+1)]≤14[(4a+4)+(b+1)2]2=94,当且仅当4a+4=b+1时,等号成立,又因为4a+b=1,因此当a=-14,b=2时,等号成立,但a>0,所以等号不能成立,故D 不正确.故选BC . 12.设函数y=x+ax (a>0).(1)若a=1,求当x>0时,函数y 的最小值为 ;(2)当x>2时,该函数存在最小值,则满足条件的一个a 的值为 .(2)5(答案不唯一,只要a>4即可)当a=1时,由基本不等式得x+1x≥2√x ·1x=2,当且仅当x=1x,即x=1时等号成立,故最小值为2.(2)由基本不等式得x+ax ≥2√x ·ax =2√a ,当且仅当x=ax ,x=√a 时等号成立,故√a >2,即a>4.填a>4的任意一个a 都符合题意.13.对任意m ,n 为正实数,都有m 2-amn+2n 2≥0,则实数a 的最大值为 .√2m ,n 为正实数,都有m 2-amn+2n 2≥0,∴m 2+2n 2≥amn , 即a ≤m 2+2n 2mn=m n +2nm 恒成立.∵mn +2nm ≥2√m n ·2nm =2√2, ∴a ≤2√2,即最大值为2√2.14.经观测,某公路段在某时段内的车流量y (单位:千辆/时)与汽车的平均速度v (单位:千米/时)之间有如下关系:y=920vv 2+3v+1 600(v>0).在该时段内,当汽车的平均速度v 为 时车流量y 最大,最大车流量为 千辆/时(精确到0.01).11.08 y=920v v 2+3v+1 600=920v+1 600v +3≤2√v ·1 600v+3=92083≈11.08.当v=1 600v ,即v=40千米/时,车流量最大,最大值为11.08千辆/时.新情境创新练15.中欧班列是推进与“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措,作为中欧铁路在东北地区的始发站,沈阳某火车站正在不断建设.目前车站准备在某仓库外,利用其一侧原有墙体,建造一间墙高为3米,底面积为12平方米,且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙,无需建造费用,因此甲工程队给出的报价为:屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元,左右两面新建墙体报价为每平方米150元,屋顶和地面以及其他报价共计7 200元.设屋子的左右两侧墙的长度均为x 米(2≤x ≤6).(1)当左右两面墙的长度为多少时,甲工程队报价最低?(2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标,其给出的整体报价为900a (1+x )x元(a>0),若无论左右两面墙的长度为多少米,乙工程队都能竞标成功,试求a 的取值范围.设甲工程队的总造价为y 元,则y=3150×2x+400×12x+7 200=900x+16x+7 200(2≤x ≤6),900x+16x+7200≥900×2×√x ·16x +7 200=14 400.当且仅当x=16x,即x=4时,等号成立.即当左右两面墙的长度为4米时,甲工程队的报价最低为14 400元.(2)由题意可得,当2≤x ≤6时,900x+16x+7 200>900a (1+x )x恒成立,即(x+4)2x>a (1+x )x, ∴a<(x+4)2x+1=(x+1)+9x+1+6,又x+1+9x+1+6≥2√(x +1)·9x+1+6=12, 当且仅当x+1=9x+1,即x=2时,等号成立. ∴a 的取值范围为{a|0<a<12}.。