高考数学第1部分重点强化专题专题1三角函数与平面向量突破点3平面向量教学案

教学设计：《平面向量及其应用》一、教学目标1.知识与技能：使学生理解平面向量的基本概念，包括向量的定义、表示方法（有向线段、坐标表示）、向量的模、方向角等；掌握向量的加法、减法、数乘及数量积的运算法则和几何意义；能运用向量知识解决简单的几何与物理问题。

2.过程与方法：通过观察、实验、推理等数学活动，培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力；引导学生运用数形结合的思想，理解向量运算的几何背景，提高解决实际问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生严谨的科学态度和勇于探索的精神；通过团队合作解决问题，增强学生的沟通能力和团队协作能力。

二、教学重点和难点●重点：平面向量的基本概念、向量的基本运算（加法、减法、数乘、数量积）及其几何意义。

●难点：理解向量数量积的概念、性质及其在解决实际问题中的应用；向量运算的坐标表示法及其应用。

三、教学过程1.导入新课o情境创设：通过展示风力发电机叶片的运动、航海中的航向与速度变化等实例，引出向量的概念，说明向量在现实生活中的应用价值。

o问题引入：提问学生如何描述这些运动中的方向和大小，引导学生思考向量的必要性。

o概念引入：正式给出平面向量的定义，强调其作为“有方向的量”的特性。

2.新知讲授o基本概念讲解：详细解释向量的表示方法（有向线段、坐标表示）、模长、方向角等概念，并通过图示加深理解。

o向量运算教学：●加法与减法：通过“平行四边形法则”和“三角形法则”演示向量的加法与减法，强调其几何意义。

●数乘：讲解数乘的定义，通过伸缩变换的直观演示，理解数乘对向量方向和大小的影响。

●数量积：引入数量积的概念，通过投影长度的计算，讲解其计算公式和性质，强调其在度量角度、判断方向等方面的应用。

3.例题解析o选取典型例题，覆盖向量运算的所有类型，逐步引导学生分析、解题，重点讲解解题思路和方法。

o强调解题过程中向量运算的几何背景，促进学生数形结合思维的发展。

4.学生活动o小组讨论：分组讨论向量在日常生活或专业领域的应用实例，每组选代表分享，增强课堂互动性。

专题一 平面向量、三角函数与解三角形[研高考·明考点]2016卷Ⅱ ———T 9·诱导公式、三角恒等变换求值问题T 13·同角三角函数的基本关系、两角和的正弦公[析考情·明重点]第一讲 小题考法——平面向量[典例感悟][典例] (1)(2017·合肥质检)已知向量a ＝(1,3)，b ＝(－2，k )，且(a ＋2b )∥(3a －b )，则实数k ＝( )A ．4B ．－5C ．6D ．－6(2)(2018届高三·湘中名校联考)若点P 是△ABC 的外心，且PA ―→＋PB ―→＋λPC ―→＝0，∠ACB ＝120°，则实数λ的值为( )A.12B ．－12C ．－1D ．1[解析] (1)a ＋2b ＝(－3,3＋2k )，3a －b ＝(5,9－k )，由题意可得－3(9－k )＝5(3＋2k )，解得k ＝－6.(2)设AB 的中点为D ，则PA ―→＋PB ―→＝2PD ―→.因为PA ―→＋PB ―→＋λPC ―→＝0，所以2PD ―→＋λPC ―→＝0，所以向量PD ―→，PC ―→共线．又P 是△ABC 的外心，所以PA ＝PB ，所以PD ⊥AB ，所以CD ⊥AB .因为∠ACB ＝120°，所以∠APB ＝120°，所以四边形APBC 是菱形，从而PA ―→＋PB ―→＝2PD ―→＝PC ―→，所以2PD ―→＋λPC ―→＝PC ―→＋λPC ―→＝0，所以λ＝－1，故选C.[答案] (1)D (2)C[方法技巧]解决以平面图形为载体的向量线性运算问题的方法(1)充分利用平行四边形法则与三角形法则，结合平面向量基本定理、共线定理等知识进行解答．(2)如果图形比较规则，向量比较明确，则可考虑建立平面直角坐标系，利用坐标运算来解决．[演练冲关]1．(2017·南昌调研)设a ，b 都是非零向量，下列四个选项中，一定能使a |a |＋b|b |＝0成立的是( )A ．a ＝2bB ．a ∥bC ．a ＝－13bD ．a ⊥b解析：选C “a |a |＋b|b |＝0，且a ，b 都是非零向量”等价于“非零向量a ，b 共线且反向”，结合各选项可知选C.2．(2017·福州模拟)已知△ABC 和点M 满足MA ―→＋MB ―→＋MC ―→＝0.若存在实数m ，使得AB ―→＋AC ―→＝m AM ―→成立，则m ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选B 由MA ―→＋MB ―→＋MC ―→＝0知，点M 为△ABC 的重心，设点D 为边BC 的中点，则AM ―→＝23AD ―→＝23×12(AB ―→＋AC ―→)＝13(AB ―→＋AC ―→)，所以AB ―→＋AC ―→＝3AM ―→，则m ＝3，故选B. 3．(2017·沈阳质检)已知向量AC ―→，AD ―→和AB ―→在正方形网格中的位置如图所示，若AC ―→＝λAB ―→＋μAD ―→，则λμ＝( )A ．－3B ．3C ．－4D ．4解析：选A 建立如图所示的平面直角坐标系xAy ，设网格中小正方形的边长为1，则AC ―→＝(2，－2)，AB ―→＝(1,2)，AD ―→＝(1,0)，由题意可知(2，－2)＝λ(1,2)＋μ(1，0)，即⎩⎪⎨⎪⎧2＝λ＋μ，－2＝2λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝3，所以λμ＝－3.故选A.[典例感悟][典例] (1)(2018届高三·广西三市联考)已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝23，a 与b 的夹角的余弦值为sin 17π3，则b ·(2a －b )＝( )A ．2B ．－1C ．－6D ．－18(2)(2017·全国卷Ⅱ)已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则PA ―→·(PB ―→＋PC ―→)的最小值是( )A ．－2B ．－32C ．－43D ．－1(3)(2018届高三·湖北七市(州)联考)平面向量a ，b ，c 不共线，且两两所成的角相等，若|a |＝|b |＝2，|c |＝1，则|a ＋b ＋c |＝________.[解析] (1)∵|a |＝1，|b |＝23，a 与b 的夹角的余弦值为sin 17π3＝－32，∴a ·b ＝－3，则b ·(2a －b )＝2a ·b －b 2＝－18.(2)如图，以等边三角形ABC 的底边BC 所在直线为x 轴，以BC的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，则A (0，3)，B (－1,0)，C (1,0)，设P (x ，y )，则PA ―→＝(－x, 3－y )，PB ―→＝(－1－x ，－y )，PC ―→＝(1－x ，－y )，所以PA ―→·(PB ―→＋PC ―→)＝(－x ，3－y )·(－2x ，－2y )＝2x 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322－32，故当x ＝0，y ＝32时，PA ―→·(PB ―→＋PC ―→)取得最小值，为－32.(3)∵平面向量a ，b ，c 不共线，且两两所成的角相等，∴它们两两所成的角为120°，∴|a＋b ＋c |2＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b ＋2b ·c ＋2a ·c ＝|a |2＋|b |2＋|c |2＋2|a ||b |·cos120°＋2|b ||c |cos 120°＋2|a ||c |cos 120°＝22＋22＋12＋2×2×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋2×2×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋2×2×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝1，故|a ＋b ＋c |＝1.[答案] (1)D (2)B (3)1[方法技巧]解决以平面图形为载体的向量数量积问题的方法(1)选择平面图形中的模与夹角确定的向量作为一组基底，用该基底表示构成数量积的两个向量，结合向量数量积运算律求解．(2)若已知图形中有明显的适合建立直角坐标系的条件，可建立直角坐标系将向量数量积运算转化为代数运算来解决．[演练冲关]1．(2017·云南调研)平面向量a 与b 的夹角为45°，a ＝(1,1)，|b |＝2，则|3a ＋b |＝( ) A ．13＋6 2 B ．2 5 C.30D.34解析：选D 依题意得|a |＝2，a ·b ＝2×2×cos 45°＝2，则|3a ＋b |＝a ＋b2＝9a 2＋6a ·b ＋b 2＝18＋12＋4＝34，故选D.2．(2018届高三·湖南五市十校联考)△ABC 是边长为2的等边三角形，向量a ，b 满足AB ―→＝2a ，AC ―→＝2a ＋b ，则向量a ，b 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析：选C BC ―→＝AC ―→－AB ―→＝2a ＋b －2a ＝b ，则向量a ，b 的夹角即为向量AB ―→与BC ―→的夹角，故向量a ，b 的夹角为120°.3．(2017·天津高考)在△ABC 中，∠A ＝60°，AB ＝3，AC ＝2.若BD ―→＝2DC ―→，AE ―→＝λAC ―→－AB ―→ (λ∈R)，且AD ―→·AE ―→＝－4，则λ的值为________．解析：法一：AD ―→＝AB ―→＋BD ―→＝AB ―→＋23BC ―→＝AB ―→＋23(AC ―→－AB ―→)＝13AB ―→＋23AC ―→.又AB ―→·AC ―→＝3×2×12＝3，所以AD ―→·AE ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13AB ―→＋23AC ―→·(－AB ―→＋λAC ―→)＝－13AB ―→2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13λ－23AB ―→·AC ―→＋23λAC ―→2＝－3＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫13λ－23＋23λ×4＝113λ－5＝－4，解得λ＝311.法二：以点A 为坐标原点，AB ―→的方向为x 轴正方向，建立平面直角坐标系(图略)，不妨假设点C 在第一象限，则A (0,0)，B (3,0)，C (1，3)． 由BD ―→＝2DC ―→，得D ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，233，由AE ―→＝λAC ―→－AB ―→，得E (λ－3，3λ)，则AD ―→·AE ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫53，233·(λ－3，3λ)＝53(λ－3)＋233×3λ＝113λ－5＝－4，解得λ＝311.答案：311[必备知能·自主补缺] (一) 主干知识要记牢 1．平面向量的两个充要条件若两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则 (1)a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. (2)a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. 2．平面向量的性质(1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a ·a ＝x 2＋y 2. (2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB ―→|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.(3)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22. (4)|a ·b |≤|a |·|b |. (二) 二级结论要用好 1．三点共线的判定(1)A ，B ，C 三点共线⇔AB ―→，AC ―→共线．(2)向量PA ―→，PB ―→，PC ―→中三终点A ，B ，C 共线⇔存在实数α，β使得PA ―→＝αPB ―→＋βPC ―→，且α＋β＝1.[针对练1] 在▱ABCD 中，点E 是AD 边的中点，BE 与AC 相交于点F ，若EF ―→＝m AB ―→＋n AD ―→(m ，n ∈R)，则mn＝________.解析：如图，AD ―→＝2AE ―→，EF ―→＝m AB ―→＋n AD ―→，∴AF ―→＝AE ―→＋EF―→＝m AB ―→＋(2n ＋1)AE ―→，∵F ，E ，B 三点共线，∴m ＋2n ＋1＝1，∴mn＝－2. 答案：－22．中点坐标和三角形的重心坐标(1)设P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则线段P 1P 2的中点P 的坐标为x 1＋x 22，y 1＋y 22.(2)三角形的重心坐标公式：设△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，则△ABC 的重心坐标是G ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2＋x 33，y 1＋y 2＋y 33.3．三角形“四心”向量形式的充要条件设O 为△ABC 所在平面上一点，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，则 (1)O 为△ABC 的外心⇔|OA ―→|＝|OB ―→|＝|OC ―→|＝a2sin A.(2)O 为△ABC 的重心⇔OA ―→＋OB ―→＋OC ―→＝0.(3)O 为△ABC 的垂心⇔OA ―→·OB ―→＝OB ―→·OC ―→＝OC ―→·OA ―→. (4)O 为△ABC 的内心⇔a OA ―→＋b OB ―→＋c OC ―→＝0. (三) 易错易混要明了1．要特别注意零向量带来的问题：0的模是0，方向任意，并不是没有方向；0与任意向量平行；λ0＝0(λ∈R)，而不是等于0；0与任意向量的数量积等于0，即0·a ＝0；但不说0与任意非零向量垂直．2．当a ·b ＝0时，不一定得到a ⊥b ，当a ⊥b 时，a ·b ＝0；a ·b ＝c ·b ，不能得到a ＝c ，即消去律不成立；(a ·b )·c 与a ·(b ·c )不一定相等，(a ·b )·c 与c 平行，而a ·(b·c )与a 平行．3．两向量夹角的范围为[0，π]，向量的夹角为锐角与向量的数量积大于0不等价． [针对练2] 已知向量a ＝(－2，－1)，b ＝(λ，1)，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是________．解析：依题意，当a 与b 的夹角为钝角时，a ·b ＝－2λ－1<0，解得λ>－12.而当a 与b 共线时，有－2×1＝－λ，解得λ＝2，即当λ＝2时，a ＝－b ，a 与b 反向共线，此时a 与b 的夹角为π，不是钝角，因此，当a 与b 的夹角为钝角时，λ的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2∪(2，＋∞)． 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2∪(2，＋∞) [课时跟踪检测]A 组——12＋4提速练一、选择题1．(2017·沈阳质检)已知平面向量a ＝(3,4)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，12，若a ∥b ，则实数x 为( ) A ．－23B.23C.38D ．－38解析：选C ∵a ∥b ，∴3×12＝4x ，解得x ＝38，故选C.2．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足c ⊥(a ＋b )，且b ∥(a －c )，则c ＝( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫79，73B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－79，73C.⎝ ⎛⎭⎪⎫79，－73D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－79，－73解析：选A 设c ＝(x ，y )，由题可得a ＋b ＝(3，－1)，a －c ＝(1－x,2－y )．因为c ⊥(a ＋b )，b ∥(a －c )，所以⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝0，－y ＋－x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝79，y ＝73，故c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫79，73.3．已知平面直角坐标系内的两个向量a ＝(1,2)，b ＝(m,3m －2)，且平面内的任一向量c 都可以唯一的表示成c ＝λa ＋μb (λ，μ为实数)，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，＋∞)D ．(－∞，2)∪(2，＋∞)解析：选D 由题意知向量a ，b 不共线，故2m ≠3m －2，即m ≠2.4．(2017·西安模拟)已知向量a 与b 的夹角为120°，|a |＝3，|a ＋b |＝13，则|b |＝( ) A ．5 B ．4 C ．3D ．1解析：选B 因为|a ＋b |＝13，所以|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝13，即9＋2×3×|b |cos 120°＋|b |2＝13，得|b |＝4.5．(2018届高三·西安八校联考)已知点A (－1,1)，B (1,2)，C (－2，－1)，D (3,4)，则向量CD ―→在AB ―→方向上的投影是( )A.322B ．－322C ．3 5D ．－3 5解析：选C 依题意得，AB ―→＝(2,1)，CD ―→＝(5,5)，AB ―→·CD ―→＝(2,1)·(5,5)＝15，|AB ―→|＝5，因此向量CD ―→在AB ―→方向上的投影是AB ―→·CD ―→|AB ―→|＝155＝3 5.6．已知A ，B ，C 三点不共线，且点O 满足OA ―→＋OB ―→＋OC ―→＝0，则下列结论正确的是( ) A ．OA ―→＝13AB ―→＋23BC ―→B ．OA ―→＝23AB ―→＋13BC ―→C ．OA ―→＝13AB ―→－23BC ―→D ．OA ―→＝－23AB ―→－13BC ―→解析：选D ∵OA ―→＋OB ―→＋OC ―→＝0，∴O 为△ABC 的重心，∴OA ―→＝－23×12(AB ―→＋AC ―→)＝－13(AB ―→＋AC ―→)＝－13(AB ―→＋AB ―→＋BC ―→)＝－23AB ―→－13BC ―→，故选D. 7．已知向量a ＝(3，1)，b 是不平行于x 轴的单位向量，且a ·b ＝3，则b ＝( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫32，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，334 D ．(1,0)解析：选B 设b ＝(cos α，sin α)(α∈(0，π)∪(π，2π))，则a ·b ＝(3，1)·(cos α，sin α)＝3cos α＋sin α＝2sin π3＋α＝3，得α＝π3，故b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.8．(2018届高三·广东五校联考)已知向量a ＝(λ，1)，b ＝(λ＋2,1)，若|a ＋b |＝|a －b |，则实数λ的值为( )A ．－1B ．2C ．1D ．－2解析：选A 由|a ＋b |＝|a －b |可得a 2＋b 2＋2a ·b ＝a 2＋b 2－2a ·b ，所以a ·b ＝0，即a ·b ＝(λ，1)·(λ＋2,1)＝λ2＋2λ＋1＝0，解得λ＝－1.9．(2017·惠州调研)若O 为△ABC 所在平面内任一点，且满足(OB ―→－OC ―→)·(OB ―→＋OC ―→－2OA ―→)＝0，则△ABC 的形状为( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．正三角形D ．等腰直角三角形解析：选A (OB ―→－OC ―→)·(OB ―→＋OC ―→－2OA ―→)＝0，即CB ―→·(AB ―→＋AC ―→)＝0，∵AB ―→－AC ―→＝CB ―→，∴(AB ―→－AC ―→)·(AB ―→＋AC ―→)＝0，即|AB ―→|＝|AC ―→|，∴△ABC 是等腰三角形，故选A.10．(2017·日照模拟)如图，在△ABC 中，AB ＝BC ＝4，∠ABC ＝30°，AD 是BC 边上的高，则AD ―→·AC ―→＝( )A ．0B ．4C ．8D ．－4解析：选B 因为AB ＝BC ＝4，∠ABC ＝30°，AD 是BC 边上的高，所以AD ＝4sin 30°＝2，所以AD ―→·AC ―→＝AD ―→·(AB ―→＋BC ―→)＝AD ―→·AB ―→＋AD ―→·BC ―→＝AD ―→·AB ―→＝2×4×cos 60°＝4，故选B.11．(2017·全国卷Ⅲ)在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP ―→＝λAB ―→＋μAD ―→，则λ＋μ的最大值为( )A ．3B ．2 2 C. 5D ．2解析：选A 以A 为坐标原点，AB ，AD 所在直线分别为x 轴，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，B (1,0)，C (1,2)，D (0,2)，可得直线BD 的方程为2x ＋y －2＝0，点C 到直线BD 的距离为212＋22＝25，所以圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝45. 因为P 在圆C 上，所以P ⎝⎛⎭⎪⎫1＋255cos θ，2＋255sin θ. 又AB ―→＝(1,0)，AD ―→＝(0,2)，AP ―→＝λAB ―→＋μAD ―→＝(λ，2μ)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋255cos θ＝λ，2＋255sin θ＝2μ，则λ＋μ＝2＋255cos θ＋55sin θ＝2＋sin(θ＋φ)≤3(其中tan φ＝2)，当且仅当θ＝π2＋2k π－φ，k ∈Z 时，λ＋μ取得最大值3. 12．如图，△ABC 的外接圆的圆心为O ，AB ＝2，AC ＝7，BC ＝3，则AO ―→·BC ―→的值为( )A.32B.52 C ．2D ．3解析：选A 取BC 的中点为D ，连接AD ，OD ，则OD ⊥BC ，AD ―→＝12(AB―→＋AC ―→)，BC ―→＝AC ―→－AB ―→，所以AO ―→·BC ―→＝(AD ―→＋DO ―→)·BC ―→＝AD ―→·BC ―→＋DO ―→·BC ―→＝AD ―→·BC ―→＝12(AB ―→＋AC ―→)·(AC ―→－AB ―→)＝12(AC―→2－AB ―→2)＝12×(7)2－22＝32.故选A.二、填空题13．(2017·山东高考)已知e 1，e 2是互相垂直的单位向量．若3e 1－e 2与e 1＋λe 2的夹角为60°，则实数λ的值是________．解析：因为3e 1－e 2与e 1＋λe 2的夹角为60°，所以cos 60°＝3e 1－e 2e 1＋λe 2|3e 1－e 2|·|e 1＋λe 2|＝3－λ21＋λ2＝12， 解得λ＝33. 答案：3314．已知非零向量m ，n 满足4|m |＝3|n |，且m ，n 夹角的余弦值为13，若n ⊥(tm ＋n )，则实数t 的值为________．解析：∵n ⊥(tm ＋n )，∴n ·(tm ＋n )＝0，即tm ·n ＋|n |2＝0.又4|m |＝3|n |，∴t ×34|n |2×13＋|n |2＝0，解得t ＝－4.答案：－415．(2017·石家庄质检)已知AB ―→与AC ―→的夹角为90°，|AB ―→|＝2，|AC ―→|＝1，AM ―→＝λAB ―→＋μAC ―→ (λ，μ∈R)，且AM ―→·BC ―→＝0，则λμ的值为________．解析：根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，B (0,2)，C (1,0)，所以AB ―→＝(0,2)，AC ―→＝(1,0)，BC ―→＝(1，－2)．设M (x ，y )，则AM ―→＝(x ，y )，所以AM ―→·BC ―→＝(x ，y )·(1，－2)＝x －2y ＝0，所以x ＝2y ，又AM ―→＝λAB ―→＋μAC ―→，即(x ，y )＝λ(0,2)＋μ(1,0)＝(μ，2λ)，所以x ＝μ，y ＝2λ，所以λμ＝12y x ＝14.答案：1416．(2017·北京高考)已知点P 在圆x 2＋y 2＝1上，点A 的坐标为(－2,0)，O 为原点，则AO ―→·AP ―→的最大值为________．解析：法一：由题意知，AO ―→＝(2,0)，令P (cos α，sin α)，则AP ―→＝(cos α＋2，sin α)，AO ―→·AP ―→＝(2,0)·(cos α＋2，sin α)＝2cos α＋4≤6，当且仅当cos α＝1，即α＝0，P (1,0)时等号成立，故AO ―→·AP ―→的最大值为6.法二：由题意知，AO ―→＝(2,0)，令P (x ，y )，－1≤x ≤1，则AO ―→·AP ―→＝(2,0)·(x ＋2，y )＝2x ＋4≤6，当且仅当x ＝1，P (1,0)时等号成立，故AO ―→·AP ―→的最大值为6.答案：6B 组——能力小题保分练1．已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF ―→·BC ―→的值为( )A ．－58B.18C.14D.118解析：选B 如图所示，AF ―→＝AD ―→＋DF ―→.又D ，E 分别为AB ，BC 的中点，且DE ＝2EF ，所以AD ―→＝12AB ―→，DF―→＝12AC ―→＋14AC ―→＝34AC ―→，所以AF ―→＝12AB ―→＋34AC ―→.又BC ―→＝AC ―→－AB ―→，则AF ―→·BC ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB ―→＋34AC ―→ · (AC ―→－AB ―→)＝12AB ―→·AC ―→－12AB ―→2＋34AC ―→2－34AC ―→·AB ―→＝34AC ―→2－12AB ―→2－14AC ―→·AB ―→＝34|AC ―→|2－12|AB ―→|2－14×|AC ―→|×|AB ―→|×cos∠BAC . 又|AB ―→|＝|AC ―→|＝1，∠BAC ＝60°， 故AF ―→·BC ―→＝34－12－14×1×1×12＝18.故选B.2．(2017·长春质检)已知a ，b 是单位向量，且a·b ＝－12.若平面向量p 满足p·a ＝p ·b＝12，则|p |＝( ) A.12B ．1 C. 2D ．2解析：选B 由题意，不妨设a ＝(1,0)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，p ＝(x ，y )，∵p ·a ＝p ·b ＝12，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝12，－12x ＋32y ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝32.∴|p |＝x 2＋y 2＝1，故选B.3．(2017·浙江高考)如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝3，AC 与BD 交于点O .记I 1＝OA ―→·OB ―→，I 2＝OB ―→·OC ―→，I 3＝OC ―→·OD ―→，则( )A ．I 1<I 2<I 3B ．I 1<I 3<I 2C ．I 3<I 1<I 2D ．I 2<I 1<I 3解析：选C 如图所示，四边形ABCE 是正方形，F 为正方形的对角线的交点，易得AO <AF ，而∠AFB ＝90°，∴∠AOB 与∠COD 为钝角，∠AOD与∠BOC 为锐角．根据题意，I 1－I 2＝OA ―→·OB ―→－OB ―→·OC ―→＝OB ―→·(OA ―→－OC ―→)＝OB ―→·CA ―→＝|OB ―→|·|CA ―→|cos ∠AOB <0，∴I 1<I 2，同理得，I 2>I 3，作AG ⊥BD 于点G ，又AB ＝AD ， ∴OB <BG ＝GD <OD ，而OA <AF ＝FC <OC ， ∴|OA ―→|·|OB ―→|<|OC ―→|·|OD ―→|， 而cos ∠AOB ＝cos ∠COD <0， ∴OA ―→·OB ―→>OC ―→·OD ―→，即I 1>I 3， ∴I 3<I 1<I 2.4．(2018届高三·湖北八校联考)如图，O 为△ABC 的外心，AB ＝4，AC＝2，∠BAC 为钝角，M 为BC 边的中点，则AM ―→·AO ―→的值为( )A ．2 3B ．12C ．6D ．5解析：选D 如图，分别取AB ，AC 的中点D ，E ，连接OD ，OE ，可知OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，∵M 是BC 边的中点，∴AM ―→＝12(AB ―→＋AC ―→)，∴AM ―→·AO ―→＝12(AB ―→＋AC ―→)·AO ―→＝12AB ―→·AO ―→＋12AC ―→·AO ―→＝AD ―→·AO ―→＋AE ―→·AO ―→.由数量积的定义可得AD ―→·AO ―→＝|AD ―→||AO ―→|·cos〈AD ―→，AO ―→〉，而|AO ―→|cos 〈AD ―→，AO ―→〉＝|AD ―→|，故AD ―→·AO ―→＝|AD ―→|2＝4，同理可得AE ―→·AO ―→＝|AE ―→|2＝1，故AD ―→·AO ―→＋AE ―→·AO ―→＝5，即AM ―→·AO ―→＝5，故选D.5．在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC ―→＝3CD ―→，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，若AO ―→＝x AB ―→＋(1－x )AC ―→，则x 的取值范围是________．解析：依题意，设BO ―→＝λBC ―→，其中1<λ<43，则有AO ―→＝AB ―→＋BO ―→＝AB ―→＋λBC ―→＝AB ―→＋λ(AC ―→－AB ―→)＝(1－λ)AB ―→＋λAC ―→.又AO ―→＝x AB ―→＋(1－x )AC ―→，且AB ―→，AC ―→不共线，于是有x ＝1－λ，由λ∈⎝⎛⎭⎪⎫1，43知，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－13，0，即x 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－13，0.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，06．(2017·江苏高考)如图，在同一个平面内，向量OA ―→，OB ―→，OC ―→的模分别为1,1，2，OA ―→与OC ―→的夹角为α，且tan α＝7，OB ―→与OC ―→的夹角为45°.若OC ―→＝m OA ―→＋n OB ―→(m ，n ∈R)，则m ＋n ＝________.解析：法一：如图，以O 为坐标原点，OA 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则A (1，0)，由tan α＝7，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，得sin α＝752，cos α＝152，设C (x C ，y C )，B (x B ，y B )，则x C ＝|OC ―→|cos α＝2×152＝15，y C ＝|OC ―→|sin α＝2×752＝75，即C ⎝ ⎛⎭⎪⎫15，75.又cos(α＋45°)＝152×12－752×12＝－35，sin(α＋45°)＝752×12＋152×12＝45，则x B ＝|OB ―→|cos(α＋45°)＝－35，y B ＝|OB ―→|sin(α＋45°)＝45，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45. 由OC ―→＝m OA ―→＋n OB ―→，可得⎩⎪⎨⎪⎧15＝m －35n ，75＝45n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝54，n ＝74，所以m ＋n ＝54＋74＝3.法二：由tan α＝7，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，得sin α＝752，cos α＝152，则cos(α＋45°)＝152×12－752×12＝－35，所以OB ―→·OC ―→＝1×2×22＝1，OA ―→·OC ―→＝1×2×152＝15，OA ―→·OB ―→＝1×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－35， 由OC ―→＝m OA ―→＋n OB ―→，得OC ―→·OA ―→＝m OA ―→2＋n OB ―→·OA ―→，即15＝m －35n .①同理可得OC ―→·OB ―→＝m OA ―→·OB ―→＋n OB ―→2， 即1＝－35m ＋n .②①＋②得25m ＋25n ＝65，即m ＋n ＝3. 答案：3第二讲 小题考法——三角函数的图象与性质考点(一) 主要考查三角函数的图象变换或根据图象求解析式或参数三角函数的图象及应用[典例感悟][典例] (1)(2017·合肥质检)要想得到函数y ＝sin 2x ＋1的图象，只需将函数y ＝cos 2x 的图象( )A ．向左平移π4个单位长度，再向上平移1个单位长度B ．向右平移π4个单位长度，再向上平移1个单位长度C ．向左平移π2个单位长度，再向下平移1个单位长度D ．向右平移π2个单位长度，再向下平移1个单位长度(2)(2017·贵阳检测)函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为π，若其图象向左平移π3个单位长度后关于y 轴对称，则( )A ．ω＝2，φ＝π3B ．ω＝2，φ＝π6C ．ω＝4，φ＝π6D ．ω＝2，φ＝－π6(3)(2017·贵阳检测)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)，其导数f ′(x )的图象如图所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2的值为( )A ．2 2B ． 2C ．－22D ．－24[解析] (1)先将函数y ＝cos 2x 的图象向右平移π4个单位长度，得到y ＝sin 2x 的图象，再向上平移1个单位长度，即得y ＝sin 2x ＋1的图象，故选B.(2)依题意得，T ＝2πω＝π，ω＝2，则f (x )＝sin(2x ＋φ)，其图象向左平移π3个单位长度得到函数fx ＋π3＝sin2x ＋2π3＋φ的图象关于y 轴对称，于是有2π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝k π－π6，k ∈Z.又|φ|<π2，因此φ＝－π6，故选D.(3)依题意得f ′(x )＝A ωcos(ωx ＋φ)，结合函数y ＝f ′(x )的图象可知，T ＝2πω＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8－π8＝π，ω＝2.又A ω＝1，因此A ＝12，则f ′⎝⎛⎭⎪⎫3π8＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋φ＝－1.因为0<φ<π，所以3π4<3π4＋φ<7π4，所以3π4＋φ＝π，φ＝π4，故f (x )＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π4＝－12×22＝－24，故选D. [答案] (1)B (2)D (3)D[方法技巧]1．函数表达式y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的确定方法2．三角函数图象平移问题处理的“三看”策略[演练冲关]1．(2017·全国卷Ⅰ)已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3，则下面结论正确的是( ) A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2解析：选D 易知C 1：y ＝cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2，把曲线C 1上的各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2的图象，再把所得函数的图象向左平移π12个单位长度，可得函数y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋π2＝sin2x ＋2π3的图象，即曲线C 2.2．(2017·云南模拟)函数f (x )＝sin ωx ()ω>0的图象向左平移π3个单位长度，所得图象经过点⎝⎛⎭⎪⎫2π3，0，则ω的最小值是( )A.32B ．2C ．1 D.12解析：选 C 依题意得，函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝sin ωx ＋π3(ω>0)的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0，于是有f2π3＋π3＝sin ω2π3＋ π3＝sin ωπ＝0(ω>0)，则ωπ＝k π，k ∈Z ，即ω＝k ∈Z ，因此正数ω的最小值是1，故选C.3．(2017·陕西质检)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2≤φ≤π2的图象上的一个最高点和它相邻的一个最低点的距离为22，且过点⎝⎛⎭⎪⎫2，－12，则函数f (x )＝________.解析：依题意得22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫πω2＝22，则πω＝2，即ω＝π2，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋φ，由于该函数图象过点2，－12，因此sin(π＋φ)＝－12，即sin φ＝12，而－π2≤φ≤π2，故φ＝π6，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2x ＋π6. 答案：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π64.(2017·兰州模拟)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，△EFG (点G 是图象的最高点)是边长为2的等边三角形，则f (1)＝________.解析：由题意得，A ＝3，T ＝4＝2πω，ω＝π2.又∵f (x )＝A cos(ωx ＋φ)为奇函数，∴φ＝π2＋k π，k ∈Z ，∵0<φ<π，则φ＝π2，∴f (x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π2，∴f (1)＝－ 3.答案：－ 3[典例感悟][典例] (1)(2017·沈阳质检)已知f (x )＝2sin 2x ＋2sin x cos x ，则f (x )的最小正周期和一个单调递减区间分别为( )A ．2π，⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8，7π8B ．π，⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8，7π8C ．2π，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，3π8D ．π，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，3π8(2)(2017·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则下列结论错误的是( )A ．f (x )的一个周期为－2πB ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称C ．f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6D ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递减 (3)(2016·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，则ω的最大值为( )A ．11B ．9C ．7D ．5[解析] (1)f (x )＝2sin 2x ＋2sin x cos x ＝1－cos 2x ＋sin 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋1，则T＝2π2＝π.由π2＋2k π≤2x －π4≤3π2＋2k π(k ∈Z)，得3π8＋k π≤x ≤7π8＋k π(k ∈Z)，令k ＝0得f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8，7π8上单调递减，故选B.(2)根据函数解析式可知函数f (x )的最小正周期为2π，所以函数的一个周期为－2π，A 正确；当x ＝8π3时，x ＋π3＝3π，所以cos x ＋π3＝－1，所以B 正确；f (x ＋π)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π＋π3＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋4π3，当x ＝π6时，x ＋4π3＝3π2，所以f (x ＋π)＝0，所以C 正确；函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，2π3上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，π上单调递增，故D 不正确．(3)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－π4ω＋φ＝k 1π，k 1∈Z ，π4ω＋φ＝k 2π＋π2，k 2∈Z ，且|φ|≤π2，则ω＝2k ＋1，k ∈Z ，φ＝π4或φ＝－π4.对比选项，将选项各值依次代入验证：若ω＝11，则φ＝－π4，此时f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫11x －π4，f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，3π44上单调递增，在区间⎝⎛⎭⎪⎫3π44，5π36上单调递减，不满足f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调；若ω＝9，则φ＝π4，此时f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9x ＋π4，满足f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调递减，故选B.[答案] (1)B (2)D (3)B[方法技巧]1．求函数单调区间的方法(1)代换法：求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)(或y ＝A cos(ωx ＋φ))(A ，ω，φ为常数，A ≠0，ω>0)的单调区间时，令ωx ＋φ＝z ，得y ＝A sin z (或y ＝A cos z )，然后由复合函数的单调性求得．(2)图象法：画出三角函数的图象，结合图象求其单调区间． 2．判断对称中心与对称轴的方法利用函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点这一性质，通过检验f (x 0)的值进行判断．3．求三角函数周期的常用结论(1)y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝tan ()ωx ＋φ的最小正周期为π|ω|.(2)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是12个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期；正切曲线相邻两对称中心之间的距离是12个周期．[演练冲关]1．(2017·洛阳模拟)下列函数中，是周期函数且最小正周期为π的是( ) A ．y ＝sin x ＋cos xB ．y ＝sin 2x －3cos 2xC ．y ＝cos|x |D ．y ＝3sin x 2cos x2解析：选B 对于A ，函数y ＝sin x ＋cos x ＝2sin x ＋π4的最小正周期是2π，不符合题意；对于B ，函数y ＝sin 2x －3cos 2x ＝121－cos 2x －32(1＋cos 2x )＝1－32－1＋32cos 2x 的最小正周期是π，符合题意；对于C ，y ＝cos|x |＝cos x 的最小正周期是2π，不符合题意；对于D ，函数y ＝3sin x 2cos x 2＝32sin x 的最小正周期是2π，不符合题意．故选B.2．(2017·长春质检)关于函数y ＝2sin3x ＋π4＋1，下列叙述有误的是( )A ．其图象关于直线x ＝－π4对称B ．其图象可由y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋1图象上所有点的横坐标变为原来的13得到C ．其图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫11π12，0对称 D ．其值域是[－1,3]解析：选C 由3x ＋π4＝π2＋k π(k ∈Z)解得x ＝π12＋k π3，k ∈Z ，取k ＝－1，得函数y ＝2sin3x＋π4＋1的一个对称轴为x ＝－π4，故A 正确；由图象变换知识可得横坐标变为原来的13，就是把x 的系数扩大3倍，故B 正确；由3x ＋π4＝k π(k ∈Z)解得x ＝－π12＋k π3，k ∈Z ，取k ＝3，得x＝11π12，此时y ＝1，所以函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4＋1的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12，1，故C 错误；由于－1≤sin3x ＋π4≤1，所以函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π4＋1的值域为[－1,3]，故D 正确．3．(2018届高三·湘中名校联考)已知函数f (x )＝sin ωx －π6＋12，ω>0，x ∈R ，且f (α)＝－12，f (β)＝12.若|α－β|的最小值为3π4，则函数的单调递增区间为________．解析：由f (α)＝－12，f (β)＝12，|α－β|的最小值为3π4，知T 4＝3π4，即T ＝3π＝2πω，所以ω＝23，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x －π6＋12.由－π2＋2k π≤23x －π6≤π2＋2k π(k ∈Z)，得－π2＋3k π≤x ≤π＋3k π()k ∈Z ，即函数f (x )的单调递增区间为－π2＋3k π，π＋3k π，k ∈Z.答案：－π2＋3k π，π＋3k π，k ∈Z[典例感悟][典例] (1)(2016·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝cos 2x ＋6cos π2－x 的最大值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7(2)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域为________． [解析] (1)∵f (x )＝cos 2x ＋6cos π2－x ＝cos 2x ＋6sin x ＝1－2sin 2x ＋6sin x ＝－2⎝⎛⎭⎪⎫sin x －322＋112，又sin x ∈[－1,1]，∴当sin x ＝1时，f (x )取得最大值5. (2)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，4π3，∴当2x ＋π3＝π2，即x ＝π12时，f (x )max ＝1.当2x ＋π3＝4π3，即x ＝π2时，f (x )min ＝－32，∴f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1. [答案] (1)B (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1 [方法技巧]求三角函数的值域(最值)的常见类型及方法[演练冲关]1．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6时，函数y ＝3－sin x －2cos 2x 的最小值是________，最大值是________．解析：y ＝3－sin x －2cos 2x ＝3－sin x －2(1－sin 2x )＝2⎝⎛⎭⎪⎫sin x －142＋78.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，∴sin x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1.∴当sin x ＝14时，y min ＝78，当sin x ＝－12或sin x ＝1时，y max ＝2.答案：7822．设x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则函数y ＝sin 2x 2sin 2x ＋1的最大值为________． 解析：因为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以tan x >0，所以函数y ＝sin 2x 2sin 2x ＋1＝2sin x cos x 3sin 2x ＋cos 2x ＝2tan x 3tan 2x ＋1＝23tan x ＋1tan x ≤223＝33，当且仅当3tan x ＝1tan x 时等号成立，故函数的最大值为33. 答案：33 3．(2017·南宁模拟)已知函数f (x )＝cos3x ＋π3，其中x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤ π6，m ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ∈R 且m >π6，若f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－32，则m 的取值范围是________． 解析：由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，m ，可知5π6≤3x ＋π3≤3m ＋π3，∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝cos 5π6＝－32，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π9＝cos π＝－1，∴要使f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－32，需要π≤3m ＋π3≤7π6，即2π9≤m ≤5π18. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π9，5π18[必备知能·自主补缺] (一) 主干知识要记牢 1．三角函数的图象及常用性质2．三角函数的两种常见的图象变换 (1)y ＝sin x ――――――→向左φ或向右φ平移|φ|个单位y ＝sin(x ＋φ)――――――――――――→横坐标变为原来的1ω纵坐标不变y ＝sin(ωx ＋φ) ――→纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)．(2)y ＝sin x 错误!y ＝sin ωx ――→向左φ或向右φ 平移⎪⎪⎪⎪⎪⎪φω个单位y ＝sin(ωx ＋φ)――――――→纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)． (二) 二级结论要用好1．sin α－cos α＞0⇔α的终边在直线y ＝x 上方(特殊地，当α在第二象限时有 sin α－cos α＞1)．2．sin α＋cos α＞0⇔α的终边在直线y ＝－x 上方(特殊地，当α在第一象限时有sin α＋cos α>1)．(三) 易错易混要明了求y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，要注意ω，A 的符号．ω<0时，应先利用诱导公式将x 的系数转化为正数后再求解；在书写单调区间时，弧度和角度不能混用，需加2k π时，不要忘掉k ∈Z ，所求区间一般为闭区间．如求函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 的单调减区间，应将函数化为f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3，转化为求函数y ＝sin x －π3的单调增区间．[课时跟踪检测]A 组——12＋4提速练一、选择题1．(2017·宝鸡质检)函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z)B.⎝⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z) C.⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z)D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z) 解析：选B 由k π－π2<2x －π3<k π＋π2(k ∈Z)得，k π2－π12<x <k π2＋5π12(k ∈Z)，所以函数f (x )＝tan2x －π3的单调递增区间为k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z)，故选B.2.函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)x ∈R ，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4B ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4C ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π4 D ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π4 解析：选A 由题图可知， 函数f (x )的最小正周期为T ＝2πω＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8－π8×4＝π，所以ω＝2，即f (x )＝sin(2x ＋φ)．又函数f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，1，所以sin π4＋φ＝1，则π4＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z)，解得φ＝2k π＋π4(k ∈Z)，又|φ|<π2，所以φ＝π4，即函数f (x )＝sin2x＋π4，故选A. 3．(2017·天津高考)设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω>0，|φ|<π.若f ⎝⎛⎭⎪⎫5π8＝2，f ⎝⎛⎭⎪⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π，则( )A ．ω＝23，φ＝π12B ．ω＝23，φ＝－11π12C ．ω＝13，φ＝－11π24D ．ω＝13，φ＝7π24解析：选A 法一：由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8＝2，得5π8ω＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z)，①由f ⎝⎛⎭⎪⎫11π8＝0，得11π8ω＋φ＝k ′π(k ′∈Z)，②由①②得ω＝－23＋43(k ′－2k )．又最小正周期T ＝2πω>2π，所以0<ω<1，ω＝23.又|φ|<π，将ω＝23代入①得φ＝π12.选项A 符合．法二：∵f ⎝⎛⎭⎪⎫5π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π， ∴f (x )的最小正周期为4⎝⎛⎭⎪⎫11π8－5π8＝3π，∴ω＝2π3π＝23，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋φ.由2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23×5π8＋φ＝2，得φ＝2k π＋π12，k ∈Z.又|φ|<π，∴取k ＝0，得φ＝π12.故选A.4．(2017·湖北荆州质检)函数f (x )＝2x －tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上的图象大致为( )解析：选C 因为函数f (x )＝2x －tan x 为奇函数，所以函数图象关于原点对称，排除选项A ，B ，又当x →π2时，y <0，排除选项D ，故选C.5．(2017·安徽芜湖模拟)若将函数y ＝sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象向右平移m (m >0)个单位长度后所得的图象关于直线x ＝π4对称，则m 的最小值为( )A.π12B.π6C.π4D.π3解析：选B 平移后所得的函数图象对应的解析式是y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －m ＋π6，因为该函数的图象关于直线x ＝π4对称，所以2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－m ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z)，所以m ＝π6－k π2(k ∈Z)，又m >0，故当k ＝0时，m 最小，此时m ＝π6.6．(2017·云南检测)函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则f (x )的单调递增区间为( )A ．(－1＋4k π，1＋4k π)，k ∈ZB ．(－3＋8k π，1＋8k π)，k ∈ZC ．(－1＋4k,1＋4k )，k ∈ZD ．(－3＋8k,1＋8k )，k ∈Z解析：选D 由题图，知函数f (x )的最小正周期为T ＝4×(3－1)＝8，所以ω＝2πT ＝π4，所以f (x )＝sin π4x ＋φ.把(1,1)代入，得sin π4＋φ＝1，即π4＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z)，又|φ|<π2，所以φ＝π4，所以f (x )＝sin π4x ＋π4.由2k π－π2≤π4x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z)，得8k －3≤x ≤8k＋1(k ∈Z)，所以函数f (x )的单调递增区间为(8k －3,8k ＋1)(k ∈Z)，故选D.7．(2017·全国卷Ⅲ)函数f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的最大值为( )A.65 B ．1 C.35D.15解析：选A 因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3－π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，所以f (x )＝65sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，于是f (x )的最大值为65.8．(2017·武昌调研)若f (x )＝cos 2x ＋a cos π2＋x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2上是增函数，则实数a 的取值范围为( )A ．[－2，＋∞)B ．(－2，＋∞)C ．(－∞，－4)D ．(－∞，－4]解析：选D f (x )＝1－2sin 2x －a sin x ，令sin x ＝t ，t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，则g (t )＝－2t 2－at ＋1，t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，因为f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2上单调递增，所以－a 4≥1，即a ≤－4，故选D.9．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(0<φ<π)，若将函数f (x )的图象向左平移π6个单位长度后所得图象对应的函数为偶函数，则φ＝( )A.5π6B.2π3C.π3 D.π6解析：选 D 函数f (x )的图象向左平移π6个单位长度后所得图象对应的函数解析式为y ＝sin2x ＋π6＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋φ，由于该函数是偶函数，∴π3＋φ＝π2＋k π(k ∈Z)，即φ＝π6＋k π(k ∈Z)，又0<φ<π，∴φ＝π6，故选D.10．若函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (ω>0)满足f (α)＝－2，f (β)＝0，且|α－β|的最小值为π2，则函数f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3B ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3C ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6D ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6 解析：选A f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx ＝2sin ωx ＋π3.因为f (α)＝－2，f (β)＝0，且|α－β|min ＝π2，所以T 4＝π2，得T ＝2π(T 为函数f (x )的最小正周期)，故ω＝2πT＝1，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，故选A.11．(2018届高三·广西三市联考)已知x ＝π12是函数f (x )＝3sin(2x ＋φ)＋cos(2x ＋φ)(0<φ<π)图象的一条对称轴，将函数f (x )的图象向右平移3π4个单位长度后得到函数g (x )的图象，则函数g (x )在－π4，π6上的最小值为( )A ．－2B ．－1C ．－ 2D ．－ 3解析：选 B f (x )＝3sin(2x ＋φ)＋cos(2x ＋φ)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋φ.∵x ＝π12是f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋φ图象的一条对称轴，∴2×π12＋π6＋φ＝k π＋π2(k ∈Z)，即φ＝π6＋k π(k ∈Z)，∵0<φ<π，∴φ＝π6，则f (x )＝2sin2x ＋π3，∴g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3π4＋π3＝－2sin2x －π6，则g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6上的最小值为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝－1，故选B.12．(2017·广州模拟)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)是奇函数，直线y ＝2与函数f (x )的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为π2，则( )A ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上单调递减B ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，3π8上单调递减C ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上单调递增D ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，3π8上单调递增 解析：选D f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)＝2sin ωx ＋φ＋π4，因为0<φ<π且f (x )为奇函数，所以φ＝3π4，即f (x )＝－2sin ωx ，又直线y ＝2与函数f (x )的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为π2，所以函数f (x )的最小正周期为π2，由2πω＝π2，可得ω＝4，故f (x )＝－2sin 4x ，由2k π＋π2≤4x ≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π2＋π8≤x ≤k π2＋3π8，k ∈Z ，令k ＝0，得π8≤x ≤3π8，此时f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，3π8上单调递增，故选D.。

一．考场传真1. 【2017课标1，文11】△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=，a =2，cC = A ．π12B ．π6C ．π4D ．π3【答案】B2．【2017课标3，文6】函数1ππ()sin()cos()536f x x x =++-的最大值为（ ） A ．65B ． 1C ．35D ．15【答案】A【解析】由诱导公式可得：cos cos sin 6233x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ，则：()16sin sin sin 53353f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ,函数的最大值为65 .所以选A.3．【2017课标II ，文3】函数π()sin(2)3f x x =+的最小正周期为 A.4π B.2π C. π D.π2【答案】C 【解析】由题意22T ππ==，故选C.4．【2017课标3，文4】已知4sin cos 3αα-=，则sin 2α=（ ） A ．79-B ．29-C ． 29D ．79【答案】A【解析】()2sin cos 17sin 22sin cos 19ααααα--===-- .所以选A.5．【2017课标3，文15】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知C =60°，b c =3，则A =_________. 【答案】75°6．【2017课标II ，文4】设非零向量a ，b 满足+=-b b a a 则 A.a ⊥b B. =b a C. a ∥b D. >b a【答案】A【解析】由||||a b a b +=-平方得2222()2()()2()a ab b a ab b ++=-+，即0ab =，则a b ⊥，故选A. 7．【2017课标3，文13】已知向量(2,3),(3,)a b m =-=，且a b ⊥，则m = . 【答案】2【解析】由题意可得：2330,2m m -⨯+=∴=.8．【2017课标II ，文16】ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若2cos cos cos bc B a C c A =+,则B = 【答案】3π【解析】由正弦定理可得1π2sin cos sin cos sin cos sin()sin cos 23B B AC C A A C B B B =+=+=⇒=⇒= 9．【2017课标II ，文13】函数()2cos sin f x x x =+的最大值为 .【解析】()f x ≤=10．【2017课标1，文13】已知向量a =（–1，2），b =（m ，1）．若向量a +b 与a 垂直，则m =________．【答案】7【解析】由题得(1,3)a b m +=-，因为()0a b a +⋅=，所以(1)230m --+⨯=，解得7m = 11．【2017课标1，文15】已知π(0)2a ∈，，tan α=2，则πcos ()4α-=__________．【答案】10二．高考研究 【考纲解读】 1.考纲要求 考纲要求： 三角函数：①了解任意角、弧度制的概念，理解任意角三角函数的定义；②理解同角三角函数的基本关系式，能用诱导公式进行化简求值证明；③掌握三角函数的图像与性质，了解函数()ϕω+=x A y sin 的图像，了解参数ϕω,,A 对函数图像变化的影响；④掌握和差角、二倍角公式，能运用公式进行简单的恒等变换；⑤掌握正弦定理、余弦定理和面积公式，并能解决一些简单的三角形度量问题. 平面向量：掌握向量的加法和减法，掌握实数与向量的积，解两个向量共线的充要条件，解平面向量基本定，解平面向量的坐标概念，掌握平面向量的坐标运算，掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处有关长度、角度和垂直问题，掌握向量垂直的条件. 【命题规律】(1)高考对三角函数图象的考查主要包括三个方面：一是用五点法作图，二是图象变换，三是已知图象求解析式或求解析式中的参数的值，常以选择题或填空题的形式考查．(2)高考对三角函数性质的考查是重点，以解答题为主，考查y ＝Asin(ωx ＋φ)的周期性、单调性、对称性以及最值等，常与平面向量、三角形结合进行综合考查，试题难度属中低档．（3）三角恒等变换包括三角函数的概念，诱导公式，同角三角函数间的关系，和、差角公式和二倍角公式，要抓住这些公式间的内在联系，做到熟练应用.（4）解三角形既是对三角函数的延伸又是三角函数的主要应用，因此，在一套高考试卷中，既有选择题、填空题，还有解答题．（5）平面向量的命题以客观题为主，主要考查平面向量的基本概念、向量的线性运算、向量的平行与垂直、向量的数量积，考查数形结合的数学思想，在解答题中常与三角函数相结合，或作为解题工具应用到解析几何问题中.3．学法导航1. 已知函数y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置．2. 在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量x而言的，如果x的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向．3. 函数y＝A sin(ωx＋φ)的性质及应用的求解思路：第一步：先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y＝A sin(ωx＋φ)＋B的形式；第二步：把“ωx＋φ”视为一个整体，借助复合函数性质求y＝A sin(ωx ＋φ)＋B的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题．4. (1)三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等变换公式的熟记和灵活应用，要善于观察各个角之间的联系，发现题目所给条件与恒等变换公式的联系，公式的使用过程要注意正确性，要特别注意公式中的符号和函数名的变换，防止出现“张冠李戴”的情况．(2)求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解．5．关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口．6．(1)对于平面向量的线性运算，要先选择一组基底，同时注意平面向量基本定理的灵活运用．(2)运算过程中重视数形结合，结合图形分析向量间的关系．7．数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义，坐标运算，数量积的几何意义．可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中模和夹角已知的向量进行计算．8．在平面向量与三角函数的综合问题中，一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题，如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系，利用向量模表述三角函数之间的关系等；另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题，在解决此类问题的过程中，只要根据题目的具体要求，在向量和三角函数之间建立起联系，就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题．一．基础知识整合 基础知识：一．基础知识整合1．三角函数的图象及常用性质(表中k ∈Z )2.(1)y ＝sin x ――→向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移|φ|个单位y ＝sin (ωx ＋φ)――→纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)．y ＝sin ωx ――→向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移⎪⎪⎪⎪φω个单位y ＝sin(ωx ＋φ)――→纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变y ＝A sin (ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)．3．正弦型函数y ＝A sin (ωx ＋φ)的对称中心是函数图象与x 轴的交点，对称轴是过函数图象的最高点或者最低点且与x 轴垂直的直线；正切型函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的图象是中心对称图形，不是轴对称图形.4．三角形面积公式：(1)S ＝12ah a (h a 为BC 边上的高)；(2)S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ；(3)S ＝abc4R (R 为△ABC外接圆的半径)；(4)S ＝2R 2sin A sin B sin C (R 为△ABC 外接圆的半径)；(5)S ＝p (p －a )(p －b )(p －c )⎝⎛⎭⎫p ＝12(a ＋b ＋c )；(6)S ＝12(a ＋b ＋c )r ＝pr (p ＝12(a ＋b ＋c )，r 为△ABC 内切圆的半径)．5．四边形面积公式：S ＝12l 1l 2sin θ(l 1，l 2为对角线长，θ为对角线夹角)．6．正弦定理及其变形：a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝2R (2R 为△ABC 外接圆的半径)．7．余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ；c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C . 8．常用边角互化方法：sin A ＝a 2R ；sin B ＝b 2R ；sin C ＝c2R ；cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab .9．平面向量中的四个基本概念(1)零向量模的大小为0，方向是任意的，它与任意非零向量都共线，记为0. (2)长度等于1个单位长度的向量叫单位向量，与a 同向的单位向量为a|a |.(3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量)．(4)向量的投影：|b |cos 〈a ，b 〉叫做向量b 在向量a 方向上的投影．10．平面向量的两个重要定理：(1)向量共线定理：向量a (a ≠0)与b 共线当且仅当存在唯一一个实数λ，使b ＝λa .(2)平面向量基本定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中e 1，e 2是一组基底．11．两非零向量平行、垂直的充要条件：设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则： (1)若a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)；a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0； (2)若a ⊥b ⇔a ·b ＝0；a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.12．平面向量的三个性质：(1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a ·a ＝x 2＋y 2.(2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.(3)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角， 则cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22.13．平面向量的三个锦囊：(1)向量共线的充要条件：O 为平面上一点，则A ，B ，P 三点共线的充要条件是OP ＝λ1OA ＋λ2 OB (其中λ1＋λ2＝1)．(2)三角形中线向量公式：若P 为△OAB 的边AB 的中点，则向量OP 与向量OA ，OB 的关系是OP ＝12(OA ＋OB )．(3)三角形重心坐标的求法：G 为△ABC 的重心⇔0GA GB GC ++=⇔G ⎝⎛⎭⎫x A ＋x B ＋x C 3，y A ＋y B ＋y C 3.二．高频考点突破考点1 三角函数的定义、同角三角函数基本关系式、诱导公式的应用【例1】已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，(2)(0)P m m m -≠，是角α终边上的一点，则tan()4απ+的值为（ ）A.3B.13 C.13- D.3-【答案】C【例2】已知1cos sin cos 2sin -=+-αααα，则=αtan .【答案】21 【解析】sin 2cos tan 21sin cos tan 1αααααα--==-⇒++=αtan 21． 【规律方法】1、利用三角函数定义将角的终边上点的坐标和三角函数值建立了联系，但是注意角的顶点在坐标原点，始边在x 轴的非负半轴.2. 正、余弦三兄妹“sin cos x x ±、sin cos x x ⋅”的应用sin cos x x ±与sin cos x x ⋅通过平方关系联系到一起，即2(sin cos )12sin cos x x x x ±=±，2(sin cos )1sin cos ,2x x x x +-=21(sin cos )sin cos .2x x x x --=因此在解题中若发现题设条件有三者之一，就可以利用上述关系求出或转化为另外两个.sin cos αα、的求值技巧：当已知sin 4πα⎛⎫± ⎪⎝⎭，cos 4πα⎛⎫± ⎪⎝⎭时，利用和、差角的三角函数公式展开后都含有sin cos x x +或sin cos αα-，这两个公式中的其中一个平方后即可求出2sin cos αα，根据同角三角函数的平方关系，即可求出另外一个，这两个联立即可求出sin cos αα、的值．或者把sin cos αα+、sin cos αα-与22sin cos αα+=1联立，通过解方程组的方法也可以求出sin cos αα、的值．3.如何利用“切弦互化”技巧（1）弦化切：把正弦、余弦化成切得结构形式，这样减少了变量，统一为“切”得表达式，进行求值. 常见的结构有:① sin ,cos αα的二次齐次式（如22sin sin cos cos a b c αααα++）的问题常采用“1”代换法求解；②sin ,cos αα的齐次分式（如sin cos sin cos a b c d αααα++）的问题常采用分式的基本性质进行变形．（2）切化弦：利用公式tan α=sin cos αα，把式子中的切化成弦.一般单独出现正切、余切的时候，采用此技巧.4．温馨提示：（1）求同角三角函数有知一求三规律，可以利用公式求解，最好的方法是利用画直角三角形速解.（2）利用平方关系求三角函数值时，注意开方时要结合角的范围正确取舍“错误！未找到引用源。

突破点2 解三角形[核心知识提炼]提炼1 常见解三角形的题型及解法(1)已知两角及一边，利用正弦定理求解．(2)已知两边及一边的对角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情况可能不唯一． (3)已知两边及其夹角，利用余弦定理求解． (4)已知三边，利用余弦定理求解. 提炼2 三角形的常用面积公式设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其面积为S . (1)S ＝12ah a ＝12bh b ＝12ch c (h a ，h b ，h c 分别表示a ，b ，c 边上的高)．(2)S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ca sinB.(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形ABC 内切圆的半径)．[高考真题回访]回访1 正、余弦定理的应用1.(2016·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝5，c ＝2，cosA ＝23，则b ＝( )A. 2 B ． 3 C ．2D ．3D [由余弦定理得5＝b 2＋4－2×b ×2×23，解得b ＝3或b ＝－13(舍去)，故选D.]2．(2017·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知C ＝60°，b ＝6，c ＝3，则A ＝________.75° [如图，由正弦定理，得3sin 60°＝6sin B ，∴sin B ＝22.又c >b ，∴B ＝45°，∴A ＝180°－60°－45°＝75°.]3．(2016·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C ＝513，a ＝1，则b ＝________.2113 [在△ABC 中，∵cos A ＝45，cos C ＝513， ∴sin A ＝35，sin C ＝1213，∴sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝35×513＋45×1213＝6365.又∵a sin A ＝b sin B ，∴b ＝a sin Bsin A ＝1×636535＝2113.]回访2 三角形的面积问题4．(2013·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝2，B ＝π6，C＝π4，则△ABC 的面积为( ) A ．23＋2 B.3＋1 C ．23－2D.3－1B [∵B＝π6，C ＝π4，∴A ＝π－B －C ＝π－π6－π4＝7π12.由正弦定理b sin B ＝csin C ，得2sin π6＝csinπ4，即212＝c22，∴c ＝2 2. ∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×2×22sin 7π12＝3＋1.故选B.]回访3 正、余弦定理的实际应用5．(2014·全国卷Ⅰ)如图2­1，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得M 点的仰角∠MAN ＝60°，C 点的仰角∠CAB ＝45°以及∠MAC ＝75°；从C 点测得∠MCA ＝60°.已知山高BC ＝100 m ，则山高MN ＝________m.图2­1150 [根据图示，AC ＝100 2 m.在△MAC 中，∠CMA ＝180°－75°－60°＝45°. 由正弦定理得AC sin 45°＝AMsin 60°⇒AM ＝100 3 m.在△AMN 中，MN AM＝sin 60°， ∴MN ＝1003×32＝150(m)．]热点题型1 正、余弦定理的应用题型分析：利用正、余弦定理解题是历年高考的热点，也是必考点，求解的关键是合理应用正、余弦定理实现边角的互化．【例1】 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且cos A a ＋cos B b ＝sin Cc.(1)证明：sin A sin B ＝sin C ；(2)若b 2＋c 2－a 2＝65bc ，求tanB.【导学号：04024038】[解] (1)证明：根据正弦定理，可设a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝k (k >0)．则a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C ， 代入cos A a ＋cos B b ＝sin C c中，有cos A k sin A ＋cos B k sin B ＝sin Ck sin C， 2分 即sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin(A ＋B )． 4分在△ABC 中，由A ＋B ＋C ＝π， 有sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ， 所以sin A sin B ＝sin C.6分(2)由已知，b 2＋c 2－a 2＝65bc ，根据余弦定理，有cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝35，8分所以sin A ＝1－cos 2A ＝45.9分由(1)知sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ， 所以45sin B ＝45cos B ＋35 sin B ，11分 故tan B ＝sin B cos B ＝4．12分[方法指津]关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口．[变式训练1] (1)(2017·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b cosB ＝a cosC ＋c cos A ，则B ＝________.π3[法一：由2b cos B ＝a cos C ＋c cos A 及正弦定理， 得2sin B cos B ＝sin A cos C ＋sin C cos A .∴2sin B cos B ＝sin(A ＋C )． 又A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋C ＝π－B . ∴2sin B cos B ＝sin(π－B )＝sin B.又sin B ≠0，∴cos B ＝12，∴B ＝π3.法二：∵在△ABC 中，a cos C ＋c cos A ＝b ， ∴条件等式变为2b cos B ＝b ，∴cos B ＝12.又0＜B ＜π，∴B ＝π3.](2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且a cos B ＋b cos(B ＋C )＝0. ①证明：△ABC 为等腰三角形；②若2(b 2＋c 2－a 2)＝bc ，求cos B ＋cos C 的值． [解] ①证明：∵a cos B ＋b cos (B ＋C )＝0， ∴由正弦定理得sin A cos B ＋sin B cos(π－A )＝0， 即sin A cos B －sin B cos A ＝0，3分 ∴sin(A －B )＝0，∴A －B ＝k π，k ∈Z ． 4分∵A ，B 是△ABC 的两内角， ∴A －B ＝0，即A ＝B ， 5分 ∴△ABC 是等腰三角形．6分②由2(b 2＋c 2－a 2)＝bc ，得b 2＋c 2－a 22bc ＝14，7分 由余弦定理得cos A ＝14，8分 cos C ＝cos(π－2A )＝－cos 2A ＝1－2cos 2A ＝78．10分 ∵A ＝B ，∴cos B ＝cos A ＝14，11分 ∴cos B ＋cos C ＝14＋78＝98．12分热点题型2 三角形面积的求解问题题型分析：三角形面积的计算及与三角形面积有关的最值问题是解三角形的重要命题点之一，本质上还是考查利用正、余弦定理解三角形，难度中等． 【例2】 设f (x )＝sin x cos x －cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4. (1)求f (x )的单调区间；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝0，a ＝1，求△ABC面积的最大值．【导学号：04024039】[解] (1)由题意知f (x )＝sin 2x 2－1＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π22＝sin 2x 2－1－sin 2x 2＝sin 2x －12．2分由－π2＋2k π≤2x ≤π2＋2k π，k ∈Z ，可得－π4＋k π≤x ≤π4＋k π，k ∈Z .由π2＋2k π≤2x ≤3π2＋2k π，k ∈Z ，可得π4＋k π≤x ≤3π4＋k π，k ∈Z ．4分所以f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋k π，π4＋k π(k ∈Z )；单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4＋k π，3π4＋k π(k ∈Z )．6分 (2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝sin A －12＝0，得sin A ＝12，7分由题意知A 为锐角，所以cos A ＝32． 8分 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得1＋3bc ＝b 2＋c 2≥2bc ， 10分即bc ≤2＋3，当且仅当b ＝c 时等号成立． 因此12bc sin A ≤2＋34，所以△ABC 面积的最大值为2＋34．12分[方法指津]1．在研究三角函数的图象与性质时常先将函数的解析式利用三角恒等变换转化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋B ，y ＝A tan(ωx ＋φ)＋B )的形式，进而利用函数y ＝sin x (或y ＝cos x ，y ＝tan x )的图象与性质解决问题．2．在三角形中，正、余弦定理可以实现边角互化，尤其在余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 中，有a 2＋c 2和ac 两项，二者的关系a 2＋c 2＝(a ＋c )2－2ac 经常用到，有时还可利用基本不等式求最值．[变式训练2] (2017·深圳二模)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，2b ＝3a sin B ＋b cos A ，c ＝4.(1)求A ；(2)若D 是BC 的中点，AD ＝7，求△ABC 的面积． [解] (1)由2b ＝3a sin B ＋b cos A 及正弦定理， 又0＜B ＜π，可得2＝3sin A ＋cos A ，2分 即有sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6＝1，4分∵0＜A ＜π，∴π6＜A ＋π6＜7π6，∴A ＋π6＝π2，∴A ＝π3．6分(2)设BD ＝CD ＝x ，则BC ＝2x ，由余弦定理得cos ∠BAC ＝b 2＋16－2x 28b＝12， 得4x 2＝b 2－4b ＋16. ①7分∵∠ADB ＝180°－∠ADC ， ∴cos ∠ADB ＋cos ∠ADC ＝0，8分由余弦定理得7＋x 2－1627x ＋7＋x 2－b227x ＝0，得2x 2＝b 2＋2. ②9分 联立①②，得b 2＋4b －12＝0，解得b ＝2(舍负)， 11分∴S △ABC ＝12bc sin ∠BAC ＝12×2×4×32＝23．12分。

热点探究课(三) 三角函数与平面向量[命题解读] 从近五年江苏卷高考试题来看，解答题第1题主要考查三角函数与平面向量的问题．其命题方式主要体现在以下三个层面：一是平面向量与恒等变换的交汇问题；二是恒等变换与解三角形；三是平面向量与解三角形的综合问题．中档难度，在解题过程中应挖掘题目的隐含条件，注意公式的内在联系，灵活地正用、逆用、变形应用公式，并注重转化思想与数形结合思想的应用．热点1 平面向量与恒等变换的交汇问题(答题模板)以平面向量为载体，使平面向量与恒等变换交汇命题，是高考的一个热点，主要考查平面向量的坐标运算、平面向量数量积及三角恒等变换的有关知识，求解的关键是恰当运用平面向量的运算法则建立三角函数的等量关系．(本小题满分14分)(2013·江苏高考)已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0＜β＜α＜π.(1)若|a －b |＝2，求证：a ⊥b ；(2)设c ＝(0,1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值．[规范解答] (1)证明：由题意得|a －b |2＝2，2分即(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝2.又因为a 2＝b 2＝|a |2＝|b |2＝1，所以2－2a ·b ＝2，即a ·b ＝0，故a ⊥b .6分(2)因为a ＋b ＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0,1)，所以⎩⎨⎧cos α＋cos β＝0，sin α＋sin β＝1，8分 由此得，cos α＝cos(π－β)，由0＜β＜π，得0＜π－β＜π.10分又0＜α＜π，故α＝π－β.代入sin α＋sin β＝1，得sin α＝sin β＝12，12分而α＞β，所以α＝5π6，β＝π6.14分[答题模板] 求平面向量与恒等变换交汇问题的一般步骤：第一步：(转化)将向量间的关系式化成三角函数式；第二步：(化简)借助三角恒等变换公式化简三角函数式；第三步：(求值)求三角函数式的值或求角或分析三角函数式的性质．第四步：(结论)明确表述结论．[温馨提示] 1.在第(2)问的解法中，应用了方程的消元思想，其中诱导公式的灵活应用，起到了解题的关键作用．2．要关注题设条件中角的范围，其在解题中起到限定作用，即α＝π－β.[对点训练1]已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，|a－b|＝25 5.(1)求cos (α－β)的值；(2)若0<α<π2，－π2<β<0，且sin β＝－513，求sin α的值. 【导学号：62172176】[解](1)∵a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，∴a2＝1，b2＝1，a·b＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)．又|a－b|＝25 5，∴|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝4 5.即2－2a·b＝45，∴a·b＝35.∴cos(α－β)＝35.6分(2)∵0<α<π2，－π2<β<0，∴0<－β<π2，0<α－β<π.∴sin(α－β)＝1－cos2(α－β)＝1－925＝45.∴cos β＝1－sin2β＝1－25169＝1213.10分∴sin α＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β＝45×1213＋35×⎝⎛⎭⎪⎫－513＝3365.14分热点2三角恒等变换与解三角形的综合问题以三角形为载体，三角恒等变换与解三角形交汇命题，是近几年高考试题的一大亮点，主要考查和、差、倍角公式以及正、余弦定理的综合应用，求解的关键是根据题目提供的信息，恰当地实施边角互化．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos B －2cos A 2a －b＝cos C c. (1)求a b 的值；(2)若角A 是钝角，且c ＝3，求b 的取值范围．[解] (1)由题意及正弦定理得sin C cos B －2sin C cos A ＝2sin A cos C －sin B cos C ，3分∴sin C cos B ＋sin B cos C ＝2(sin C cos A ＋sin A cos C )．∴sin(B ＋C )＝2sin(A ＋C )．∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin A ＝2sin B ，∴a b ＝2.6分(2)由余弦定理得cos A ＝b 2＋9－a 22b ·3＝b 2＋9－4b 26b＝9－3b 26b <0， ∴b > 3. ①10分∵b ＋c >a ，即b ＋3>2b ，∴b <3， ②由①②得b 的范围是(3，3).14分[规律方法] 1.以三角形为载体，实质考查三角形中的边角转化，求解的关键是抓住边角间的关系，恰当选择正、余弦定理．2．解三角形常与三角变换交汇在一起(以解三角形的某一结论作为条件)，此时应首先确定三角形的边角关系，然后灵活运用三角函数的和、差、倍角公式化简转化．[对点训练2] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋A ＝2. (1)求sin 2A sin 2A ＋cos 2A的值； (2)若B ＝π4，a ＝3，求△ABC 的面积．[解] (1)由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋A ＝2，得tan A ＝13， 所以sin 2A sin 2A ＋cos 2A ＝2tan A 2tan A ＋1＝25.6分 (2)由tan A ＝13，A ∈(0，π)，得sin A ＝1010，cos A ＝31010.8分由a ＝3，B ＝π4及正弦定理a sin A ＝b sin B ，得b ＝3 5.10分由sin C ＝sin(A ＋B )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4，得sin C ＝255. 设△ABC 的面积为S ，则S ＝12ab sin C ＝9.14分热点3 平面向量、恒等变换与解三角形的综合应用以平面向量的运算为切入点，融恒等变换与解三角形于一体，综合考查三者间知识的内在联系，求解的关键是借助知识间的内联，实现问题的求解．(2017·启东中学高三第一次月考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos C ＝310.(1)若CB →·CA →＝92，求c 的最小值；(2)设向量x ＝(2sin B ，－3)，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2B ，1－2sin 2 B 2，且x ∥y ，求sin(B －A )的值. 【导学号：62172177】[解] (1)∵CB →·CA →＝92，∴ab cos C ＝92，∴ab ＝15.∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ≥2ab －2ab ·310＝21(当且仅当a ＝b 时取等号)．∵c >0，∴c ≥21，∴c 的最小值为21.6分(2)∵x ∥y ，∴2sin B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2sin 2B 2＋3cos 2B ＝0， 2sin B cos B ＋3cos 2B ＝0，即sin 2B ＋3cos 2B ＝0，∴tan 2B ＝－3，∴2B ＝2π3或5π3，∴B ＝π3或5π6.∵cos C ＝310<32，∴C >π6，∴B ＝5π6(舍去)，∴B ＝π3.∴sin(B －A )＝sin[B －(π－B －C )]＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫C －π3＝sin C cos π3－cos C sin π3 ＝9110×12－310×32＝91－3320.14分 [规律方法] 从本题可以看出，向量在此类问题中起穿针引线的作用，目的是建立三角恒等变换或三角形中的边与角的关系，最终的问题还是化简、求值或证明问题．[对点训练3] 在△ABC 中，已知AB →·AC →＝3BA →·BC →.(1)求证：tan B ＝3tan A ；(2)若cos C ＝55，求A 的值．[解] (1)证明：因为AB →·AC →＝3BA →·BC →，所以AB ·AC ·cos A ＝3BA ·BC ·cos B ，即AC ·cos A ＝3BC ·cos B ．由正弦定理知AC sin B ＝BC sin A ，从而sin B cos A ＝3sin A cos B .又因为0<A ＋B <π，所以cos A >0，cos B >0，所以tan B ＝3tan A ．6分(2)因为cos C ＝55，0<C <π，所以sin C ＝1－cos 2C ＝255，从而tan C ＝2，于是tan [π－(A ＋B )]＝2，即tan(A ＋B )＝－2，亦即tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝－2.由(1)得4tan A 1－3tan 2A＝－2，解得tan A ＝1或tan A ＝－13.因为cos A >0，所以tan A ＝1，所以A ＝π4.14分。

第3讲 平面向量[考情考向分析] 1.考查平面向量的基本定理及基本运算，多以熟知的平面图形为背景进行考查，多为选择题、填空题，且为基础题.2.考查平面向量数量积及模的最值问题，以选择题、填空题为主，难度为中高档，是高考考查的热点内容.3.向量作为工具，还常与解三角形、不等式、解析几何等结合，进行综合考查．热点一 平面向量的线性运算1．在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理选好基底，变形要有方向不能盲目转化．2．在用三角形加法法则时，要保证“首尾相接”，结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量的终点所得的向量；在用三角形减法法则时，要保证“同起点”，结果向量的方向是指向被减向量．例1 (1)如图，在△ABC 中，AB ＝3DB ，AE ＝2EC ，CD 与BE 交于点F .设AB →＝a ，AC →＝b ，AF →＝x a ＋y b ，则(x ，y )为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫25，25B.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，13C.⎝ ⎛⎭⎪⎫37，37 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫25，920 答案 A解析 由D ，F ，C 三点共线，可得存在实数λ，使得DF →＝λDC →，即AF →－AD →＝λ(AC →－AD →)， 则AF →＝(1－λ)AD →＋λAC →＝23(1－λ)AB →＋λAC →＝23(1－λ)a ＋λb . 由E ，F ，B 三点共线，可得存在实数μ，使得EF →＝μEB →， 即AF →－AE →＝μ(AB →－AE →)，则AF →＝μAB →＋(1－μ)AE →＝μAB →＋23(1－μ)AC →＝μa ＋23(1－μ)b .又a ，b 不共线，由平面向量基本定理可得 ⎩⎪⎨⎪⎧23(1－λ)＝μ，λ＝23(1－μ)，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝25，μ＝25，所以AF →＝25a ＋25b .所以x ＝25，y ＝25，即(x ，y )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25，25，故选A. (2)已知A (－1,0)，B (1,0)，C (0,1)，过点P (m,0)的直线分别与线段AC ，BC 交于点M ，N (点M ，N 不同于点A ，B ，C )，且OA →＝xOM →＋yON →(x ，y ∈R )，若2≤|m |≤3，则x ＋y 的取值范围是____________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，－13∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，12解析 设OP →＝λOA →，则有|λ|＝|OP →||OA →|＝|m |.∵M ，N ，P 三点共线，且点O 不在直线MN 上， ∴OP →＝nOM →＋(1－n )ON →.从而有nOM →＋(1－n )ON →＝λxOM →＋λyON →， 又OM →与ON →是不共线向量，∴⎩⎪⎨⎪⎧λx ＝n ，λy ＝1－n ，得x ＋y ＝1λ.由2≤|λ|≤3，得x ＋y 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，－13∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，12.思维升华 (1)对于平面向量的线性运算，要先选择一组基底，同时注意平面向量基本定理的灵活运用．(2)运算过程中重视数形结合，结合图形分析向量间的关系．跟踪演练1 (1)在△ABC 中，AN →＝14NC →，P 是直线BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋25AC →，则实数m的值为( ) A ．－4B ．－1C ．1D ．4答案 B解析 因为AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋kBN →＝AB →＋k ⎝ ⎛⎭⎪⎫15AC →－AB →＝(1－k )AB →＋k 5AC →，且AP →＝mAB →＋25AC →，又AB →，AC →不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－k ＝m ，k 5＝25，解得k ＝2，m ＝－1，故选B.(2)如图，矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，M ，N 分别为线段BC ，CD 上的点，且满足1CM2＋1CN 2＝1，若AC →＝xAM →＋yAN →，则x ＋y 的最小值为________．答案 54解析 连接MN 交AC 于点G .由勾股定理知，MN 2＝CM 2＋CN 2，所以1＝1CM 2＋1CN 2＝MN 2CM 2·CN 2，即MN ＝CM ·CN ，所以C 到直线MN 的距离为定值1，此时MN 是以C 为圆心，1为半径的圆的一条切线(如图所示).AC →＝xAM →＋yAN →＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫x x ＋y AM →＋y x ＋y AN →. 由向量共线定理知， AC →＝(x ＋y )AG →，所以x ＋y ＝|AC →||AG →|＝5|AG →|，又因为|AG →|max ＝5－1＝4，所以x ＋y 的最小值为54.热点二 平面向量的数量积1．数量积的定义：a ·b ＝|a ||b |cos θ. 2．三个结论(1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a ·a ＝x 2＋y 2.(2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.(3)若非零向量a ＝(x 1，y 1)，非零向量b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则cos θ＝a ·b|a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22. 例2 (1)已知在直角梯形ABCD 中，AB ＝AD ＝2CD ＝2，∠ADC ＝90°，若点M 在线段AC 上，则|MB →＋MD →|的取值范围为________． 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤255，22 解析 建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，B (2,0)，C (1,2)，D (0,2)， 设AM →＝λAC →(0≤λ≤1)，则M (λ，2λ)， 故MD →＝(－λ，2－2λ)，MB →＝(2－λ，－2λ)， 则MB →＋MD →＝(2－2λ，2－4λ)， ∴|MB →＋MD →|＝(2－2λ)2＋(2－4λ)2 ＝20⎝⎛⎭⎪⎫λ－352＋45， 当λ＝0时，|MB →＋MD →|取得最大值22， 当λ＝35时，|MB →＋MD →|取得最小值255，∴|MB →＋MD →|∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤255，22.(2)已知AB →⊥AC →，|AB →|＝1t ，|AC →|＝t ，若点P 是△ABC 所在平面内的一点，且AP →＝AB→|AB →|＋4AC →|AC →|，则PB →·PC →的最大值为________． 答案 13解析 建立如图所示的平面直角坐标系，则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，0，C (0，t )，AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，0，AC →＝(0，t )， AP →＝AB→|AB →|＋4AC →|AC →|＝t ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，0＋4t (0，t )＝(1,4)，∴P (1,4)，PB →·PC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －1，－4·(－1，t －4)＝17－⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋4t ≤17－21t·4t ＝13，当且仅当t ＝12时“＝”成立．思维升华 (1)数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义，坐标运算，数量积的几何意义． (2)可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中模和夹角已知的向量进行计算． 跟踪演练2 (1)如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的边长为1，E 为AB 的中点，若F 为正方形内(含边界)任意一点，则OE →·OF →的最大值为________．答案 32解析 ∵E 为AB 的中点，正方形OABC 的边长为1，∴E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，得OE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，又F 为正方形内(含边界)任意一点，设F (x ，y )，∴OF →＝(x ，y )，满足⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤1，则OE →·OF →＝x ＋12y ，结合线性规划知识可知，当F 点运动到点B (1,1)处时，OE →·OF →取得最大值32.(2)已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，∠ADC ＝45°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰CD 上的动点，则||3PA →＋BP →的最小值为__________． 答案522解析 以DA 为x 轴，D 为原点，过D 与DA 垂直的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示．由AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，∠ADC ＝45°，AD ＝2，BC ＝1， 可得D (0,0)，A (2,0)，B (2,1)，C (1,1)， ∵P 在CD 上，∴可设P (t ，t )(0≤t ≤1)， 则PA →＝(2－t ，－t )，BP →＝(t －2，t －1)， 3PA →＋BP →＝(4－2t ，－2t －1)，∴||3PA →＋BP →＝(4－2t )2＋(－2t －1)2＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫t －342＋252≥252＝522(当且仅当t ＝34时取等号)，即||3PA →＋BP →的最小值为522.真题体验1．(2017·浙江)已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，则|a ＋b |＋|a －b |的最小值是________，最大值是________． 答案 4 2 5解析 设a ，b 的夹角为θ， ∵|a |＝1，|b |＝2，∴|a ＋b |＋|a －b |＝(a ＋b )2＋(a －b )2＝5＋4cos θ＋5－4cos θ. 令y ＝5＋4cos θ＋5－4cos θ. 则y 2＝10＋225－16cos 2θ. ∵θ∈[0，π]，∴cos 2θ∈[0,1]， ∴y 2∈[16,20]，∴y ∈[4,25]，即|a ＋b |＋|a －b |∈[4,25]．2．(2017·浙江改编)如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝3，AC 与BD 交于点O ，记I 1＝OA →·OB →，I 2＝OB →·OC →，I 3＝OC →·OD →，则I 1，I 2，I 3的大小关系是________________．答案 I 3<I 1<I 2解析 ∵I 1－I 2＝OA →·OB →－OB →·OC →＝OB →·(OA →－OC →)＝OB →·CA →， ∵AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝3， ∴OB →与CA →所成的角为钝角， ∴I 1－I 2<0，即I 1<I 2. ∵I 1－I 3＝OA →·OB →－OC →·OD →＝|OA →||OB →|cos∠AOB －|OC →||OD →|cos∠COD ＝cos∠AOB (|OA →||OB →|－|OC →||OD →|)， 又∠AOB 为钝角，OA <OC ，OB <OD ， ∴I 1－I 3>0，即I 1>I 3.∴I 3<I 1<I 2.3．(2016·浙江)已知向量a ，b ，|a |＝1，|b |＝2.若对任意单位向量e ，均有|a·e |＋|b·e |≤6，则a·b 的最大值是________． 答案 12解析 由于e 是任意单位向量，可设e ＝a ＋b|a ＋b |，则|a·e |＋|b·e |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a·(a ＋b )|a ＋b |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪b·(a ＋b )|a ＋b |≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪a·(a ＋b )|a ＋b |＋b·(a ＋b )|a ＋b |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪(a ＋b )·(a ＋b )|a ＋b |＝|a ＋b |.∵|a·e |＋|b·e |≤6，∴|a ＋b |≤6， ∴(a ＋b )2≤6，∴|a |2＋|b |2＋2a·b ≤6. ∵|a |＝1，|b |＝2，∴1＋4＋2a·b ≤6， ∴a·b ≤12，∴a·b 的最大值为12.4．(2017·北京)已知点P 在圆x 2＋y 2＝1上，点A 的坐标为(－2,0)，O 为原点，则AO →·AP →的最大值为________． 答案 6解析 方法一 根据题意作出图象，如图所示，A (－2,0)，P (x ，y )．由点P 向x 轴作垂线交x 轴于点Q ，则点Q 的坐标为(x,0)． AO →·AP →＝|AO →|·|AP →|cos θ， |AO →|＝2，|AP →|＝(x ＋2)2＋y 2， cos θ＝AQ AP＝x ＋2(x ＋2)2＋y2，所以AO →·AP →＝2(x ＋2)＝2x ＋4.点P 在圆x 2＋y 2＝1上，所以x ∈[－1,1]． 所以AO →·AP →的最大值为2＋4＝6. 方法二 因为点P 在圆x 2＋y 2＝1上， 所以可设P (cos α，sin α)(0≤α<2π)， 所以AO →＝(2,0)，AP →＝(cos α＋2，sin α)， AO →·AP →＝2cos α＋4≤2＋4＝6，当且仅当cos α＝1，即α＝0，P (1,0)时“＝”成立． 押题预测1．已知向量a ，b 满足|a |＝3，且向量b 在向量a 方向上的投影为2，则a·(a －b )的值为( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1押题依据 向量的数量积是高考命题的热点，常常考查平面向量的运算、化简、证明及其几何意义和平面向量平行、垂直的充要条件及其应用等几个方面． 答案 B解析 由向量b 在向量a 方向上的投影为2，得a·b |a |＝2，即a·b ＝6，则a·(a －b )＝a 2－a·b ＝9－6＝3.2．如图，在△ABC 中，AD →＝13AB →，DE ∥BC 交AC 于点E ，BC 边上的中线AM 交DE 于点N ，设AB→＝a ，AC →＝b ，用a ，b 表示向量AN →，则AN →等于( )A.12(a ＋b ) B.13(a ＋b ) C.16(a ＋b ) D.18(a ＋b ) 押题依据 平面向量基本定理是向量表示的基本依据，而向量表示(用基底或坐标)是向量应用的基础． 答案 C解析 因为DE ∥BC ，所以DN ∥BM ， 则△AND ∽△AMB ，所以AN AM ＝ADAB.因为AD →＝13AB →，所以AN →＝13AM →.因为M 为BC 的中点，所以AM →＝12(AB →＋AC →)＝12(a ＋b )，所以AN →＝13AM →＝16(a ＋b )．故选C.3．已知两个单位向量OA →，OB →的夹角为60°，向量OP →＝λOA →＋μOB →，且1≤λ≤2,1≤μ≤2，设向量OA →，OP →的夹角为α，则cos α的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤55，255B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤64，63 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤277，5714 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤328，528押题依据 平面向量基本定理在向量中应用广泛，可与数量积等知识结合起来应用． 答案 C解析 如图，由题意知，动点P 在平行四边形CDEF 区域(含边界)内运动．易知∠AOD ≤α≤∠FOA . ∵|OF →|＝|OA →＋2OB →| ＝OA →2＋4OA →·OB →＋4OB →2＝7，∴cos∠FOA ＝OF →·OA →|OF →|·|OA →|＝OA →2＋2OA →·OB →7＝277.∵|OD →|＝|2OA →＋OB →| ＝4OA →2＋4OA →·OB →＋OB →2＝7，∴cos∠DOA ＝OD →·OA →|OD →|·|OA →|＝2OA →2＋OA →·OB →7＝5714.故277≤cos α≤5714，故选C. 4．如图，在半径为1的扇形AOB 中，∠AOB ＝60°，C 为弧上的动点，AB 与OC 交于点P ，则OP →·BP →的最小值是_________________________________________________．押题依据 本题将向量与平面几何、最值问题等有机结合，体现了高考在知识交汇点命题的方向，本题解法灵活，难度适中． 答案 －116解析 因为OP →＝OB →＋BP →，所以OP →·BP →＝(OB →＋BP →)·BP →＝OB →·BP →＋BP →2. 又因为∠AOB ＝60°，OA ＝OB ， 所以∠OBA ＝60°，OB ＝1.所以OB →·BP →＝|BP →|cos 120°＝－12|BP →|.所以OP →·BP →＝－12|BP →|＋|BP →|2＝⎝⎛⎭⎪⎫|BP →|－142－116≥－116，当且仅当|BP →|＝14时，OP →·BP →取得最小值－116.A 组 专题通关1．(2018·全国Ⅰ)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →等于( ) A.34AB →－14AC → B.14AB →－34AC →C.34AB →＋14AC →D.14AB →＋34AC → 答案 A解析 作出示意图如图所示．EB →＝ED →＋DB →＝12AD →＋12CB →＝12×12(AB →＋AC →)＋12(AB →－AC →)＝34AB →－14AC →. 故选A.2．设向量a ＝(1,2)，b ＝(－3,5)，c ＝(4，x )，若a ＋b ＝λc (λ∈R )，则λ＋x 的值为( ) A ．－112 B.112 C ．－292 D.292答案 C解析 由已知可得(1,2)＋(－3,5)＝λ(4，x )⇒⎩⎪⎨⎪⎧4λ＝－2，x λ＝7⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－12，x ＝－14⇒λ＋x ＝－292，故选C.3．已知向量a ，b ，其中a ＝(－1，3)，且a ⊥(a －3b )，则b 在a 方向上的投影为( ) A.43 B ．－43 C.23 D ．－23 答案 C解析 由a ＝(－1，3)，且a ⊥(a －3b )，得a ·(a －3b )＝0， 即a 2－3a ·b ＝4－3a·b ＝0，a·b ＝43，所以b 在a 方向上的投影为a·b |a |＝432＝23，故选C.4.(2018·天津)在如图所示的平面图形中，已知OM ＝1，ON ＝2，∠MON ＝120°，BM →＝2MA →，CN →＝2NA →，则BC →·OM →的值为( )A ．－15B ．－9C ．－6D ．0答案 C解析 如图，连接MN .∵BM →＝2MA →， CN →＝2NA →， ∴AM AB ＝13＝AN AC， ∴MN ∥BC ，且MN BC ＝13，∴BC →＝3MN →＝3(ON →－OM →)，∴BC →·OM →＝3(ON →·OM →－OM →2)＝3(2×1×cos 120°－12)＝－6.故选C.5．(2018·宁波模拟)已知向量OA →，OB →满足|OA →|＝1，|OB →|＝2，∠AOB ＝π3，M 为△OAB 内一点(包括边界)，OM →＝xOA →＋yOB →，若OM →·BA →≤－1，则以下结论一定成立的是( ) A.23≤2x ＋y ≤2 B.12x ≤y C ．－1≤x －3y D.23≤x ＋y ≤1 答案 B解析 因为|OA →|＝1，|OB →|＝2，∠AOB ＝π3，则不妨设OA →＝(1,0)，OB →＝(1，3)，则OM →＝xOA →＋yOB →＝(x ＋y ，3y )，BA →＝(0，－3)， 所以OM →·BA →＝－3y ≤－1，解得y ≥13.又因为点M 为△OAB 内一点(包含边界)，所以x ，y 满足的关系式为⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥13，x ＋y ≤1，取x ＝0，y ＝13，此时2x ＋y ＝13<23，故A 选项不一定成立；由y ≥13，x ＋y ≤1，得x ≤23，所以x 2≤13≤y ，故B 选项一定成立；取x ＝0，y ＝1，此时x －3y ＝－3<－1，故C 选项不一定成立；取x ＝0，y ＝13，此时x ＋y ＝13<23，故D 选项不一定成立，综上所述，选B.6．(2018·浙江省金丽衢十二校联考)已知向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，a 与b 的夹角为π3，则|a ＋2b |＝________；a 与a －2b 的夹角为__________． 答案 2 3π3解析 由题意得a ·b ＝|a |·|b |cos π3＝1，所以|a ＋2b |＝(a ＋2b )2＝|a |2＋4a ·b ＋4|b |2＝23，|a －2b |＝(a －2b )2＝|a |2－4a ·b ＋4|b |2＝2，则cos 〈a ，a －2b 〉＝a ·(a －2b )|a ||a －2b |＝|a |2－2a ·b |a ||a －2b |＝12，所以a 与a －2b 的夹角为π3. 7．若平面向量a ，b 满足|2a －b |≤3，则a ·b 的最小值是________． 答案 －98解析 由向量减法的三角形法则知，当a 与b 共线且反向时，|2a －b |的最大值为3. 此时设a ＝λb (λ<0)，则有|2a －b |＝|2λb －b |＝3， ∴|b |＝3|2λ－1|，|a |＝3|λ||2λ－1|.又由a ·b ＝|a |·|b |cos 〈a ，b 〉，知 当a 与b 共线且反向时，a ·b 最小． ∴a ·b ＝|a |·|b |·cos π＝－9|λ|(2λ－1)2＝9λ4λ2－4λ＋1＝9－⎝ ⎛⎭⎪⎫－4λ－1λ－4≥－98⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当λ＝－12时取“＝”， ∴a ·b 的最小值为－98.8.如图，半圆的直径AB ＝6，O 点为圆心，C 为半圆上不同于A ，B 的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则(PA →＋PB →)·PC →的最小值是________．答案 －92解析 ∵PA →＋PB →＝2PO →， ∴(PA →＋PB →)·PC →＝2PO →·PC →＝2|PO →|·|PC →|cos π＝－2|PO →|·|PC →|， 由AB ＝6，得|CO →|＝3. 设|PO →|＝x (0≤x ≤3)，则－2|PO →|·|PC →|＝－2x (3－x )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322－92，当x ＝32时有最小值，最小值为－92.9．已知平面内三个单位向量OA →，OB →，OC →，〈OA →，OB →〉＝60°，若OC →＝mOA →＋nOB →，则m ＋n 的最大值是______． 答案233解析 由已知条件OC →＝mOA →＋nOB →，两边平方可得1＝m 2＋mn ＋n 2＝(m ＋n )2－mn ，∴(m ＋n )2－1＝mn ，根据向量加法的平行四边形法则，判断出m ，n >0， ∴(m ＋n )2－1＝mn ≤14(m ＋n )2，当且仅当m ＝n 时取等号．∴34(m ＋n )2≤1，则m ＋n ≤233， 即m ＋n 的最大值为233.10．(2018·浙江省重点中学联考)已知矩形ABCD ，AB ＝2，BC ＝1，点E 是AB 的中点，点P 是对角线BD 上的动点，若AC →＝xAP →＋yDE →，则AC →·AP →的最小值是________，x ＋y 的最大值是________． 答案 1 5解析 如图，建立平面直角坐标系，则AC →＝(2,1)，DE →＝(1，－1)，直线BD 的方程为x 2＋y ＝1，∴设点P (2－2t ，t )(0≤t ≤1)， 则AP →＝(2－2t ，t )，∴AC →·AP →＝4－4t ＋t ＝4－3t (0≤t ≤1)， ∴当t ＝1时，AC →·AP →取得最小值1. 由AC →＝xAP →＋yDE →，得⎩⎪⎨⎪⎧(2－2t )x ＋y ＝2，tx －y ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32－t ，y ＝4t －22－t ，∴x ＋y ＝4t ＋12－t ＝92－t －4(0≤t ≤1)，∴当t ＝1时，x ＋y 取得最大值5.B 组 能力提高11.(2018·天津)如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD ＝120°，AB ＝AD ＝1.若点E 为边CD 上的动点，则AE →·BE →的最小值为( )A.2116B.32C.2516 D ．3 答案 A解析 如图，以D 为坐标原点，DA ，DC 所在直线分别为x 轴，y 轴，建立平面直角坐标系．连接AC ，由题意知∠CAD ＝∠CAB ＝60°，∠ACD ＝∠ACB ＝30°，则D (0,0)，A (1,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，C (0，3)．设E (0，y )(0≤y ≤3)，则AE →＝(－1，y )，BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，y －32，∴AE →·BE →＝32＋y 2－32y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y －342＋2116(0≤y ≤3)，∴当y ＝34时，AE →·BE →有最小值2116. 故选A.12.如图，已知圆O 的半径为2，A ，B 是圆O 上任意两点，且∠AOB ＝2π3，PQ 是圆O 的直径，若点C 满足OC →＝3λOA →＋3(1－λ)OB →(λ∈R )，当CP →·CQ →取得最小值时，λ的值为( )A.12 B.13 C.14 D.15答案 A解析 由已知得OP →＋OQ →＝0，OP →·OQ →＝－4，OA →·OB →＝2×2×cos 2π3＝－2，OA →2＝OB →2＝4，所以CP →·CQ →＝(CO →＋OP →)·(CO →＋OQ →)＝CO →2＋(OP →＋OQ →)·CO →＋OQ →·OP →＝CO →2＋OQ →·OP →＝[3λOA →＋3(1－λ)·OB →]2－4＝9λ2OA →2＋9(1－λ)2OB →2＋18λ(1－λ)OA →·OB →－4＝36λ2＋36(1－λ)2－36λ(1－λ)－4＝36(3λ2－3λ＋1)－4＝108⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－122＋5≥5，当且仅当λ＝12时取等号，所以当λ＝12时，CP →·CQ →取得最小值5.故选A.13．(2018·嘉兴市、丽水市教学测试)已知|c |＝2，向量b 满足2|b －c |＝b ·c .当b ，c 的夹角最大时，|b |＝________________________________________________________________________. 答案 2 2解析 设〈b ，c 〉＝θ，则由2|b －c |＝b ·c 得 4(b －c )2＝(b ·c )2，即4|b |2sin 2θ－16|b |cos θ＋16＝0，则4cos θ＝|b |sin 2θ＋4|b |≥2|b |sin 2θ·4|b |＝4sin θ，当且仅当|b |sin 2θ＝4|b |，即|b |＝2sin θ时，等号成立， 则tan θ＝sin θcos θ≤1，所以θ≤π4，当θ＝π4时，|b |＝2 2.14．已知平面向量α，β(α≠0，α≠β)满足|β|＝1，且α与β－α的夹角为120°，则|α|的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎦⎥⎤0，233解析 如图所示，记θ＝〈β，β－α〉，由正弦定理得|β|sin 60°＝|α|sin θ，∴|α|＝sin θ×23＝233sin θ. 又0°<θ<120°，∴0<sin θ≤1. 即0<|α|≤233.15．已知平面向量a ＝(sin x ，cos x )，b ＝(sin x ，－cos x )，c ＝(－cos x ，－sin x )，x ∈R ，函数f (x )＝a·(b －c )． (1)求函数f (x )的单调递减区间； (2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝22，求sin α的值．解 (1)因为a ＝(sin x ，cos x )，b ＝(sin x ，－cos x )，c ＝(－cos x ，－sin x )，所以b －c ＝(sin x ＋cos x ，sin x －cos x )，f (x )＝a·(b －c )＝sin x (sin x ＋cos x )＋cos x (sin x －cos x )＝sin 2x ＋2sin x cos x －cos 2x ＝sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4. 当2k π＋π2≤2x －π4≤2k π＋3π2，k ∈Z ，即k π＋3π8≤x ≤k π＋7π8，k ∈Z 时，函数f (x )单调递减．所以函数f (x )的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋3π8，k π＋7π8，k ∈Z .(2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝22，则2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝22，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝12. 因为sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝1， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝±32. 又sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＋π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4cos π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4sin π4，所以当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝32时，sin α＝12×22＋32×22＝2＋64；当cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝－32时， sin α＝12×22－32×22＝2－64.综上，sin α＝2±64. 16．已知向量m ＝(sin x ，－1)，向量n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3cos x ，－12，函数f (x )＝(m ＋n )·m . (1)求f (x )的单调递减区间；(2)已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，A 为锐角，a ＝23，c ＝4，且f (A )恰是f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值，求A ，b 和△ABC 的面积S .解 (1)f (x )＝(m ＋n )·m ＝sin 2x ＋1＋3sin x cos x ＋12＝1－cos 2x 2＋1＋32sin 2x ＋12 ＝32sin 2x －12cos 2x ＋2 ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋2.由2k π＋π2≤2x －π6≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得k π＋π3≤x ≤k π＋5π6(k ∈Z )．所以f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π3，k π＋5π6(k ∈Z )．(2)由(1)知f (A )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6＋2，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－π6≤2x －π6≤5π6，由正弦函数图象可知，当2x －π6＝π2时f (x )取得最大值3.所以2A －π6＝π2，A ＝π3.由余弦定理，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 得12＝b 2＋16－2×4b ×12，所以b ＝2.所以S ＝12bc sin A ＝12×2×4sin 60°＝2 3.。

突破点2 解三角形(对应学生用书第11页)[核心知识提炼]提炼1常见解三角形的题型及解法(1)已知两角及一边，利用正弦定理求解．(2)已知两边及一边的对角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情况可能不唯一． (3)已知两边及其夹角，利用余弦定理求解． (4)已知三边，利用余弦定理求解. 提炼2三角形形状的判断(1)从边出发，全部转化为边之间的关系进行判断．(2)从角出发，全部转化为角之间的关系，然后进行恒等变形，再判断．注意：要灵活选用正弦定理或余弦定理，且在变形的时候要注意方程的同解性，如方程两边同除以一个数时要注意该数是否为零，避免漏解. 提炼3三角形的常用面积公式设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其面积为S . (1)S ＝12ah a ＝12bh b ＝12ch c (h a ，h b ，h c 分别表示a ，b ，c 边上的高)．(2)S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ca sin B .(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形ABC 内切圆的半径)．[高考真题回访]回访1 正、余弦定理的应用1．(2017·浙江高考)已知△ABC ，AB ＝AC ＝4，BC ＝2.点D 为AB 延长线上一点，BD ＝2，连接CD ，则△BDC 的面积是________，cos ∠BDC ＝________.152104[依题意作出图形，如图所示，则sin ∠DBC ＝sin ∠ABC .由题意知AB ＝AC ＝4，BC ＝BD ＝2， 则sin ∠ABC ＝154，cos ∠ABC ＝14. 所以S △BDC ＝12BC ·BD ·sin∠DBC＝12×2×2×154＝152.因为cos ∠DBC ＝－cos ∠ABC ＝－14＝BD 2＋BC 2－CD 22BD ·BC＝8－CD28，所以CD ＝10.由余弦定理，得cos ∠BDC ＝4＋10－42×2×10＝104.]2．(2013·浙江高考)在△ABC 中，∠C ＝90°，M 是BC 的中点．若sin ∠BAM ＝13，则sin ∠BAC ＝________.63 [因为sin ∠BAM ＝13， 所以cos ∠BAM ＝223.如图，在△ABM 中，利用正弦定理，得BM sin ∠BAM＝AMsin B，所以BM AM ＝sin ∠BAM sin B ＝13sin B ＝13cos ∠BAC.在Rt △ACM 中，有CM AM ＝sin ∠CAM ＝sin(∠BAC －∠BAM )．由题意知BM ＝CM ，所以13cos ∠BAC＝sin(∠BAC －∠BAM )．化简，得22sin ∠BAC cos ∠BAC －cos 2∠BAC ＝1. 所以22tan ∠BAC －1tan 2∠BAC ＋1＝1，解得tan ∠BAC ＝ 2. 再结合sin 2∠BAC ＋cos 2∠BAC ＝1，∠BAC 为锐角可解得sin ∠BAC ＝63.] 3．(2016·浙江高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b ＋c ＝2a cosB .(1)证明：A ＝2B ；(2)若△ABC 的面积S ＝a 24，求角A 的大小．【导学号：68334039】[解] (1)证明：由正弦定理得sin B ＋sin C ＝2sin A cos B ， 故2sin A cos B ＝sin B ＋sin(A ＋B ) ＝sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ， 于是sin B ＝sin(A －B ).3分又A ，B ∈(0，π)，故0<A －B <π， 所以B ＝π－(A －B )或B ＝A －B ，因此A ＝π(舍去)或A ＝2B ，所以A ＝2B . 6分(2)由S ＝a 24得12ab sin C ＝a 24，故有sin B sin C ＝12sin A ＝12sin 2B ＝sin B cos B .因为sin B ≠0，所以sin C ＝cos B ． 8分 又B ，C ∈(0，π)，所以C ＝π2±B .11分当B ＋C ＝π2时，A ＝π2；当C －B ＝π2时，A ＝π4.综上，A ＝π2或A ＝π4.14分回访2 三角形的面积问题4．(2015·浙江高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋A ＝2.(1)求sin 2Asin 2A ＋cos 2A的值；(2)若B ＝π4，a ＝3，求△ABC 的面积．[解] (1)由tan ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋A ＝2，得tan A ＝13，2分 所以sin 2A sin 2A ＋cos 2A ＝2tan A 2tan A ＋1＝25.5分(2)由tan A ＝13，A ∈(0，π)，得sin A ＝1010，cos A ＝31010. 8分由a ＝3，B ＝π4及正弦定理a sin A ＝bsin B，得b ＝3 5.10分由sin C ＝sin(A ＋B )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4，得sin C ＝255.12分 设△ABC 的面积为S ，则S ＝12ab sin C ＝9.14分5．(2015·浙江高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知A ＝π4，b2－a 2＝12c 2.(1)求tan C 的值；(2)若△ABC 的面积为3，求b 的值． [解] (1)由b 2－a 2＝12c 2及正弦定理得sin 2B －12＝12sin 2C ，所以－cos 2B ＝sin 2C . 2分又由A ＝π4，即B ＋C ＝34π，得－cos 2B ＝sin 2C ＝2sin C cos C ， 解得tan C ＝2.5分(2)由tan C ＝2，C ∈(0，π)，得 sin C ＝255，cos C ＝55.8分因为sin B ＝sin(A ＋C )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C ，所以sin B ＝31010.10分由正弦定理得c ＝22b3，12分又因为A ＝π4，12bc sin A ＝3，所以bc ＝62，故b ＝3.14分6．(2014·浙江高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ≠b ，c ＝3，cos 2A －cos 2B ＝3sin A cos A －3sin B cos B .(1)求角C 的大小；(2)若sin A ＝45，求△ABC 的面积.【导学号：68334040】[解] (1)由题意得1＋cos 2A 2－1＋cos 2B 2＝32sin 2A －32sin 2B ， 即32sin 2A －12cos 2A ＝32sin 2B －12cos 2B ， 2分sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π6.由a ≠b ，得A ≠B .又A ＋B ∈(0，π)，得2A －π6＋2B －π6＝π，即A ＋B ＝2π3，所以C ＝π3.5分 (2)由c ＝3，sin A ＝45，a sin A ＝c sin C ，得a ＝85.8分由a <c 得，A <C ，从而cos A ＝35，故sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝4＋3310，11分所以，△ABC 的面积为S ＝12ac sin B ＝83＋1825. 14分(对应学生用书第12页)热点题型1 正、余弦定理的应用题型分析：利用正、余弦定理解题是历年高考的热点，也是必考点，求解的关键是合理应用正、余弦定理实现边角的互化.【例1】 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且cos A a ＋cos B b ＝sin Cc.(1)证明：sin A sin B ＝sin C ； (2)若b 2＋c 2－a 2＝65bc ，求tan B .[解] (1)证明：根据正弦定理，可设a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝k (k >0)．则a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C ， 代入cos A a ＋cos B b ＝sin Cc中，有cos A k sin A ＋cos B k sin B ＝sin Ck sin C， 2分 即sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin(A ＋B ). 4分在△ABC 中，由A ＋B ＋C ＝π， 有sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ， 所以sin A sin B ＝sin C ．6分(2)由已知，b 2＋c 2－a 2＝65bc ，根据余弦定理，有cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝35，8分 所以sin A ＝1－cos 2A ＝45.9分由(1)知sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ， 所以45sin B ＝45cos B ＋35 sin B ，12分 故tan B ＝sin Bcos B ＝4.14分[方法指津]关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口．[变式训练1] (1)(2017·温州市普通高中高考模拟考试)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，记S 为△ABC 的面积．若A ＝60°，b ＝1，S ＝334，则c ＝________，cos B ＝________. 【导学号：68334041】 35714 [因为S ＝12bc sin A ＝12×1×c ×32＝334，所以c ＝3；由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝1＋9－6×12＝7，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝7＋9－12×7×3＝5714.(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且a cos B ＋b cos(B ＋C )＝0. ①证明：△ABC 为等腰三角形；②若2(b 2＋c 2－a 2)＝bc ，求cos B ＋cos C 的值． [解] ①证明：∵a cos B ＋b cos (B ＋C )＝0， ∴由正弦定理得sin A cos B ＋sin B cos(π－A )＝0， 即sin A cos B －sin B cos A ＝0，3分∴sin(A －B )＝0，∴A －B ＝k π，k ∈Z . 4分∵A ，B 是△ABC 的两内角， ∴A －B ＝0，即A ＝B ， 5分 ∴△ABC 是等腰三角形.6分②由2(b 2＋c 2－a 2)＝bc ，得b 2＋c 2－a 22bc ＝14，7分 由余弦定理得cos A ＝14，8分 cos C ＝cos(π－2A )＝－cos 2A ＝1－2cos 2A ＝78.10分 ∵A ＝B ，∴cos B ＝cos A ＝14，12分 ∴cos B ＋cos C ＝14＋78＝98.14分热点题型2 三角形面积的求解问题题型分析：三角形面积的计算及与三角形面积有关的最值问题是解三角形的重要命题点之一，本质上还是考查利用正、余弦定理解三角形，难度中等. 【例2】 设f (x )＝sin x cos x －cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4. (1)求f (x )的单调区间；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝0，a ＝1，求△ABC 面积的最大值． 【解题指导】 (1)f x――――→恒等变换化归思想f x ＝A sin ωx ＋φ＋k ―→求f x 的单调区间(2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝0――→锐角三角形求A ――→余弦定理建立b ，c 的等量关系――→基本不等式求bc 的最大值――→正弦定理求△ABC 的面积[解] (1)由题意知f (x )＝sin 2x 2－1＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π22＝sin 2x 2－1－sin 2x 2＝sin 2x －12.2分由－π2＋2k π≤2x ≤π2＋2k π，k ∈Z ，可得－π4＋k π≤x ≤π4＋k π，k ∈Z .由π2＋2k π≤2x ≤3π2＋2k π，k ∈Z ，可得π4＋k π≤x ≤3π4＋k π，k ∈Z .4分所以f (x )的单调递增区间是－π4＋k π，π4＋k π(k ∈Z )；单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4＋k π，3π4＋k π(k ∈Z ).6分 (2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝sin A －12＝0，得sin A ＝12，7分由题意知A 为锐角，所以cos A ＝32. 8分由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得1＋3bc ＝b 2＋c 2≥2bc ， 12分即bc ≤2＋3，当且仅当b ＝c 时等号成立． 因此12bc sin A ≤2＋34，所以△ABC 面积的最大值为2＋34.14分[方法指津]1．在研究三角函数的图象与性质时常先将函数的解析式利用三角恒等变换转化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋B ，y ＝A tan(ωx ＋φ)＋B )的形式，进而利用函数y ＝sin x (或y ＝cos x ，y ＝tan x )的图象与性质解决问题．2．在三角形中，正、余弦定理可以实现边角互化，尤其在余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 中，有a 2＋c 2和ac 两项，二者的关系a 2＋c 2＝(a ＋c )2－2ac 经常用到，有时还可利用基本不等式求最值．[变式训练2] (名师押题)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＋1a＝4cos C ，b ＝1.(1)若sin C ＝217，求a ，c ； (2)若△ABC 是直角三角形，求△ABC 的面积． [解] (1)∵sin C ＝217，∴cos 2C ＝1－sin 2C ＝47，cos C ＝27. 1分∵4cos C ＝a ＋1a，∴87＝a ＋1a ，解得a ＝7或a ＝77.3分又1a ＋a ＝4cos C ＝4×a 2＋b 2－c 22ab ＝4×a 2＋1－c 22a ，∴a 2＋1＝2(a 2＋1－c 2)，即2c 2＝a 2＋1. 5分 ∴当a ＝7时，c ＝2； 当a ＝17时，c ＝27.6分(2)由(1)可知2c 2＝a 2＋1.又△ABC 为直角三角形，C 不可能为直角． ①若角A 为直角，则a 2＝b 2＋c 2＝c 2＋1， ∴2c 2－1＝c 2＋1， ∴c ＝2，a ＝3， 8分 ∴S ＝12bc ＝12×1×2＝22.9分②若角B 为直角，则b 2＝a 2＋c 2，a 2＋c 2＝1. ∴2c 2＝a 2＋1＝(1－c 2)＋1，∴c 2＝23，a 2＝13，即c ＝63，a ＝33，12分∴S ＝12ac ＝12×63×33＝26.14分。

专题1 三角函数与平面向量【知识网络】【考情分析】近几年高考降低了对三角变换的考查要求，而加强了对三角函数的图象与性质的考查，因为函数的性质是研究函数的一个重要内容，是学习高等数学和应用技术学科的基础，又是解决生产实际问题的工具，因此三角函数的图象与性质是本专题复习的重点. 在复习时要充分运用数形结合的思想，把图象与性质结合起来，即利用图象的直观性得出函数的性质，或由单位圆上线段表示的三角函数值来获得函数的性质，同时也要能利用函数的性质来描绘函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练地运用数形结合的思想方法.本专题内容一般以选择、填空题、解答题形式进行考查，且难度不大，从考查的内容看，大致可分为四类问题（1）与三角函数图象与性质有关的问题；（2）应用同角变换、诱导公式和两角和差公式求值、求角及进行化简和证明；（3）三角函数与平面向量的综合运用；（4）应用正、余弦定理解三角形及解决三角函数型模型的应用题.预测2011年高考对本专题内容的考察为： 1．题型为1道选择题（求值或图象变换），1道解答题（求值或图像变换）；2．热点问题是三角函数的图象和性质，特别是sin()y A x ωϕ=+的图象及其变换；三角函数知识的综合应用和实际应用，也是新课标教材的热点内容.第1讲 三角函数的图象与性质【领悟高考】1．考纲要求（1）能画出sin y x =，cos y x =，tan y x =的图象，了解三角函数的周期性.（2）理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2]π上的性质（如单调性、最大值和最小值以及与x 轴的交点等），理解正切函数在(,)22ππ-内的单调性.（3）了解函数sin()y A x ωϕ=+的物理意义，能画出sin()y A x ωϕ=+的图象，了解参数A ，ω，ϕ对函数图象变化的影响.2．考题展望本讲考题多见于中档题，三角函数的图象与性质主要考查三角函数的概念、周期性、单调性、有界性及图象的平移和伸缩变换等；考查形如sin()y A x ωϕ=+的函数图象及性质；考查利用sin()y A x ωϕ=+求解三角函数表达式的最值等. 题型上多以小而活的选择题、填空题形式出现，有时也会出现以函数性质为主的几何图象的综合题，估计该部分在2011年高考中仍是热点，应高度重视.3．高考真题[考题1]（2010江苏卷）定义在区间(0,)2π上的函数6cos y x =的图象与5tan y x =的图象的交点为P ，过点P 作1PP x ⊥轴于点1P ，直线1PP 与sin y x =的图像交于点2P ，则线段12P P 的长为 .[解析]线段12P P 的长即为sin x 的值，且其中的x 满足6cos 5tan x x =，解得2sin 3x =. 线段12P P 的长为23. [命题立意]考查三角函数的图象、数形结合思想.[考题2]（2010山东理数17）已知函数211()sin 2sin cos cos sin 22f x x x ϕϕ=+-()(0)2πϕϕπ+<<，其图象过点(,)62π1.（1）求ϕ的值；（2）将函数()y f x =的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，求函数()g x 在[0,]4π上的最大值和最小值.[解析]（1）因为已知函数图象过点1(,)62π，所以有2111sin 2sin cos cos sin()(0)226622πππϕϕϕϕπ=⨯+-+<<，即有 331sin cos cos (0)sin()226πϕϕϕϕπϕ=+-<<=+，所以62ππϕ+=，解得3πϕ=.（2）由（1）知3πϕ=，所以211()sin 2sin cos cos sin()(0)233223f x x x ππππϕπ=+-+<< 2311311cos 211sin 2cos sin 2sin(2)424422426x x x x x π+=+-=+⨯-=+， 所以1()sin(4)26g x x π=+，因为[0,]4x π∈，所以54[,]666x πππ+∈，所以当462x ππ+=时，即12π=x 时()g x 取最大值12； 当466x ππ+=或56π时，即6π或o x =时()g x 取最小值14.[命题意图]本题考查三角函数的诱导公式及二倍角等基本公式的灵活应用、图象变换以及三角函数的最值问题、分析问题与解决问题的能力.【备考要点】1．三角函数的图象与性质的常考点定义域 值域 周期性 奇偶性 单调性sin y x =R[1,1]- T =2π 奇函数递增区间[2,2]22k k ππππ-+ 递减区间3[2,2]22k k ππππ++()k Z ∈cos y x =R[1,1]- T =2π 偶函数递增区间[2,2]k k πππ-递减区间 [2,2]k k πππ+()k Z ∈tan y x = {|x x ∈R 且2x k ππ≠+，k ∈Z }RT =π 奇函数在每一个区间(,)22k k ππππ-+()k Z ∈ 内都是增函数2．三角函数图象与性质的易错点（1）利用三角函数图象变换中的周期变换与相位变换时，易将w 与ϕ求错. 由sin y x =得到sin()y wx ϕ=+(0)w >时，若先进行相位变换，即平移||ϕ个单位；若后进行相位变换，则平移||wϕ个单位. 在做周期变换时，弄错ω的值的变化，做周期变换只改变x 前的系数，不改变初相相ϕ． （2）对正弦型sin()y A wx ϕ=+及余弦型cos()y A wx ϕ=+的性质，如对称轴、对称中心等性质理解不透彻.sin()y A wx ϕ=+的对称轴一定经过图象的波峰与波谷，且与y 轴平行，两条相邻对称轴的距离为周期的一半；而对称中心是图象与x 轴的交点，两个相邻对称中心的距离为周期的一半，相邻对称轴与对称中心距离为周期的14. 【典例精析】1．三角函数图像[例1]（09年天津卷·文7变式题）已知函数()sin()(,0)4f x x x R πωω=+∈>的对称中心与对称轴的距离最小值为4π，将()y f x =的图像向左平移||ϕ个单位长度，所得图像关于y 轴对称，则ϕ的一个值是（ ）A ．2πB ．38π C ．4πD ．8π ［答案］D［解析］由题意，周期为π，所以2ππω=，2ω=，则结合平移公式和诱导公式可知平移后是偶函数. sin[2()]cos24x x πϕ++=±，故选D.[点评]1. 本试题考查了三角函数的周期性和三角函数的平移公式运用以及诱导公式的运用.2.熟记（1）函数sin()y A x ωϕ=+对称中心与对称轴的距离最小值为最小正周期的14；（2）若函数图像关于y 轴对称，则此函数为偶函数.[例2]（09年辽宁卷·文14变式题）已知函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>的图象如图所示，则(2010)f π= .［答案］1 [解析]由图可知43T π=,43T π=,232T πω==,3023πϕ⨯+=,2πϕ=-,33()sin()cos 222f x x x π=-=-,3(2010)cos(2010)cos3015cos 12f ππππ=-⨯=-=-=.[点评]由三角函数图像求解析式,一般是根据2Tπω=,0x ϕω=-,(0x 为”五点法”中的第一个零点的横坐标)求解.2.三角函数的性质[例3]（山东省枣庄市2009年4月模拟题）已知函数()cos sin f x x x =，给出下列四个说法：①若12()()f x f x =-，则12x x =-；②()f x 的最小正周期是2π；③()f x 在区间[,]44ππ-上是增函数；④()f x 的图象关于直线34x π=对称. 其中正确说法的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4［答案］B[解析]1()cos sin sin 22f x x x x == ，由于①，举反例：1()s i n 22f ππ==，1(2)sin 402f ππ==，∴①错误；对于②，()f x 的最小正周期是π，∴②错误；对于③，由22222k x k ππππ-≤≤+，得44k x k ππππ-≤≤+，令1k =，知③正确；对于④，由22x k ππ=+，得24k x ππ=+，令1k =，知④正确. [点评]一般来说，求解三角函数的性质，都是先利用三角变换将函数化为sin()y A x ωϕ=+形式，再研究函数的性质.3. 三角函数图像与性质的综合[例4]（09陕西卷·文17变式题）已知函数()sin()f x A x ωϕ=+，x R ∈（其中0,0,02A πωϕ>><<）的周期为π且图像上一个最低点为2(,2)3M π-. （1）求()f x 的解析式，并求()f x -单调递减区间； （2）当[0,]12x π∈，求()f x 的最值；（3）求最小正实数h ，使得函数()f x 的图像按向量(,0)m h =平移所对应的函数()g x 是奇函数.[解析]（1）由最低点为2(,2)3M π-得2A =，由T π=得222T ππωπ===， 由点2(,2)3M π-在图像上得42sin()3πϕ+2=-即4sin()13πϕ+=-， 4232k ππϕπ∴+=-即1126k πϕπ=-，k Z ∈，又(0,)2πϕ∈，6πϕ∴=. ()2sin(2)6f x x π∴=+.()2sin(2)2sin(2)66f x x x ππ∴-=-+=--，由222262k x k πππππ-≤-≤+，解得63k x k ππππ-≤≤+，()f x ∴-单调递减区间为[,]63k k ππππ-+ k Z ∈.（2）[0,]12x π∈ ，2[,]663x πππ∴+∈，∴当266x ππ+=，即0x =时，()f x 取得最小值1；当263x ππ+=，即12x π=时，()f x 取得最大值3.（3）()f x 的图像按向量(,0)m h = 平移所对应的函数()2sin[2()]6g x x h π=-+2sin(22)6x h π=-+，()g x 为奇函数，26h k ππ∴-+=，212k h ππ=-+ k Z ∈，∴最小正实数h 为12π.[点评]1. 求三角函数的单调区间时，首先要看ω是否为正，若ω为负，则应先使用诱导公式化为正，然后再根据整体代换法求出单调区间.2. 熟记：曲线(,)0f x y =按(,)m h k =平移所对应的曲线方程为(,)0f x h y k --=.【备选例题】[例5]（浙江省2009年十校联考模拟题） 设函数2()2cos 23sin cos f x x x x m =++()x R ∈（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）若[0,]2x π∈，是否存在实数m ，使函数()f x 的值域恰为17[,]22？若存在，请求出m 的取值；若不存在，请说明理由.[解析]（1）2()2cos 23sin cos 1cos23sin 2f x x x x m x x m =++=+++2sin(2)16x m π=+++，∴函数()f x 的最小正周期T π=.（2）假设存在实数m 符合题意，[0,]2x π∈ ，72666x πππ∴≤+≤，则1sin(2)[,1]62x π+∈-， ()2sin(2)1[,3]6f x x m m m π=+++∈+，又17()[,]22f x ∈ ，解得12m =，∴存在实数12m =，使函数()f x 的值域恰为17[,]22.【规律总结】1．最基本的三角函数图象的形状和位置特征，要准确掌握，它是利用数形结合思想解决三角函数问题的关键.（1）给出sin()y A x ωϕ=+的图象，求它的解析式，常从寻找“五点法”中的第一个零点(,0)ϕω-作为突破口，要从图象的升降找准第一个零点的位置（同理也可以找最高点等）. （2）函数s i n ()y Ax ωϕ=+图像向左平移(0)h h >个单位所对应的函数为sin[()]y A x h ωϕ=++，不是sin[]y A x h ωϕ=++.2．三角函数性质中最值、奇偶性、对称性、单调区间及其周期是高考命题的一个热点. （1）．三角函数值域的求法 三角函数的值域问题，实质上大多是含有三角函数的复合函数值域问题，常用的方法为：化为代数函数的值域，也可以通过三角恒等变形化为求sin()y A x B ωϕ=++的值域；或化为关于sin x （或cos x ）的二次函数式，再利用换元、配方等方法转化为二次函数在限定区间上的值域．（2）三角函数的奇偶性问题1）．函数sin()y A x ωϕ=+(0)ω≠为奇函数的充要条件为,k k ϕπ=∈Z ，为偶函数的充要条件为,2k k πϕπ=+∈Z ．2）．函数cos()(,0)y A x A ωϕω=+≠为奇函数的充要条件为,2k k πϕπ=+∈Z ；偶函数的充要条件为,kx k ϕ=∈Z ．3）．函数tan()(,0)y A x A ωϕω=+≠为奇函数的充要条件为2k πϕ=，k ∈Z ，它不可能是偶函数．4）．判断函数的奇偶性，应首先判定函数的定义域关于原点的对称性．（3）．三角函数的对称性函数sin()y A x ωϕ=+与cos()y A x ωϕ=+的对称轴必过最值点，对称中心是函数图象与x 轴的交点，函数tan()y x ωϕ=+无对称轴，对称中心除了和x 轴的交点外，还有0(,0)x ，其中满足02x k πωϕπ+=+，k ∈Z ．1）．函数sin()y A x ωϕ=+的图象关于直线k x x =成轴对称，则()2k x kx k πωϕ+==∈Z ．2）．函数sin()y A x ωϕ=+的图象关于点(,0)i x 成中心对称，则()i x k k ωϕπ+=∈Z （4）．三角函数单调区间的求法及单调性的应用1）．函数sin()y A x ωϕ=+(0,0)A ω>>的单调区间的确定，基本思路是把x ωϕ+看作一个整体，比如：由22()22k x k k πππωϕπ-≤+≤+∈Z 解出x 的范围所得区间即为增区间，由322()22k x k k ππωϕππ+≤+≤+∈Z 解出x 的范围，所得区间即为减区间． 2）．若函数sin()y A x ωϕ=+中0A >，0ω<，可用诱导公式将函数变为sin()y A x ωϕ=---，则sin()y A x ωϕ=--的增区间为原函数的减区间，减区间为原函数的增区间．对于函数cos()y A x ωϕ=+的单调性的讨论与上类似．3）．比较三角函数值的大小，往往是利用奇偶性或周期性转化为属于同一单调区间上的两个同名函数，再利用单调性比较． （5）．三角函数的周期性1）．函数sin()y A x ωθ=+，cos()y A x ωθ=+，周期2||T πω=．2）．函数tan()y A x ωθ=+，周期||T πω=． 3）．|s i n |y x =，|cos |y x =，周期T π=，但|tan |y x =，周期T π=.【强化训练】1．已知函数()sin (0,)2y x πωϕωϕ=+><的部分图象如题图所示，则A.ω=1 ϕ=6π B. ω=1 ϕ=- 6π C. ω=2 ϕ= 6π D. ω=2 ϕ= -6π[答案]D[解析]2=∴=ϖπT 由五点作图法知232πϕπ=+⨯，ϕ= -6π 2．函数22()sin ()cos ()144f x x x ππ=++--是（ ） A ．周期为π的奇函数 B ．周期为π的偶函数 C ．周期为2π的奇函数D ．周期为2π的偶函数[答案]A[解析]1cos(2)1cos(2)22()122x x f x ππ-++-=+- 11sin 2sin 2sin 222x x x =+=，T π∴=，且()f x 为奇函数.3．函数sin cos y x x =的单调减区间是（ ） A ．[,]44k k ππππ-+()k z ∈B ．3[,]44k k ππππ++()k z ∈ C ．[2,2]()42k k k z ππππ++∈D ．[,]()42k k k z ππππ++∈[答案]D[解析]1()sin cos sin 22f x x x x =⋅=sin 20222x k x k πππ≥⇒≤≤+2k x k πππ⇒≤≤+（k Z ∈），此为函数的定义域．由x y 2sin =的图象可知sin 2y x =的递减区间为[,]()42k k k Z ππππ++∈，这也是原函数的单调减区间．4．（09年浙江，文10）已知a 是实数，则函数()1sin f x a ax =+的图像不可能是（ ）[答案]D[解析]对于振幅大于1时，三角函数的周期为2||T a π=，||1a > ，2T π∴<，而D 不符合要求，它的振幅大于1，但周期反而大于了2π.5．先将函数sin 2y x =的图象向右平移3π个单位长度，再将所得图象作关于y 轴的对称变换，则所得函数图象对应的解析式为 .[答案]2sin(2)3y x π=--[解析]sin 2y x =向右平移3π个单位，得sin 2()3y x π=-，再作关于y 轴的对称变换得2sin(2)3y x π=--.6．（2010福建理数）已知函数()3sin()(0)6f x x πωω=->和()2cos(2)g x x ϕ=++1的图象的对称轴完全相同. 若[0,]2x π∈，则()f x 的取值范围是 .[答案]3[,3]2-[解析]由题意知，2ω=，因为[0,]2x π∈，所以2[,]666x πππ5-∈-，由三角函数图象知：()f x 的最小值为33sin()62π-=-，最大值为3sin 33π=，所以()f x 的取值范围是3[,3]2-.7．下列命题：①函数sin y x =在第一象限是增函数； ②函数1|cos |2y x =+的最小正周期是π； ③函数tan 2xy =的图象的对称中心是(,0),k k Z π∈；④2sin(2)([0,])6y x x ππ=-∈为增函数的区间为5[,]36ππ.⑤在同一坐标系中，sin y x =的图象与tan y x =的图象在[2,2]ππ-上交点个数为5个.其中正确的命题序号是 .[答案]③④⑤[解析]①举反例：若1300x =-︒，230x =︒，12x x <，但12sin sin x x >，所以sin y x =在第一象限为增函数是错的.∴①错误；②由图象可知1|cos |2y x =+的最小正周期为2π；∴②错误； ③tan y t =的图象的对称中心为(,0)2k π()k Z ∈， tan2xy ∴=的图象的对称中心为(,0)k π()k Z ∈.∴③正确； ④求2sin(2)6y x π=-的增区间即转化为求2sin(2)6y x π=-的减区间，3222()262k x k k Z πππππ∴+≤-≤+∈ 55[,][0,][,]3636k k πππππππ∴++= .∴④正确；⑤ 在(0,)2π内，tan sin x x >.sin y x ∴=与tan y x =在[2,22]π-上交点为(0,0),(,0),(2,0),(,0),(2,0ππππ--.∴⑤正确.8．已知函数()cos()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+>≤≤是R 上的奇函数，且最小正周期为x . （1）求ϕ和ω的值；（2）求()()3()4g x f x f x π=++取最小值时的x 的集合.[解析]（1） 函数最小正周期为π，且0ω>，2ω∴=.又()f x 是奇函数，且0ϕπ≤≤，由(0)0f =得2πϕ=.（2）由（1）()cos(2)sin 22f x x x π=+=-.所以()sin 23sin 2()sin 23cos22sin(2)43g x x x x x x ππ=--+=--=-+，当sin(2)13x π+=时，()g x 取得最小值，此时2232x k πππ+=+，解得,12x k k Z ππ=+∈.所以，()g x 取得最小值时x 的集合为{|,}12x x k k Z ππ=+∈.9．已知函数23()3sin cos cos (,)2f x x x x R x R ωωωω=⋅-+∈∈的最小正周期为π，且其图象关于直线6x π=对称. （1）求()f x 的解析式； （2）求使()f x 12≤的x 的取值范围； （3）若把()y f x =的图象向下平移1个单位，再向右平移6π个单位，得到()y g x =的图象，画出()y g x =在[0,]π上的图象.[解析]（1）23313()3sin cos cos sin 2(1cos 2)2222f x x x x x x ωωωωω=⋅-+=-++ 31sin 2cos 21sin(2)1226x x x πωωω=-+=-+， 由()f x 的周期为π，21|2|ππωω∴=⇒=±，()sin(2)16f x x π∴=±-+.当1ω=时，()sin(2)16f x x π∴=-+，3()sin 1662f ππ=+= 不是最大值也不是最小值，其图象不关于6x π=对称，舍去；当1ω=-时，()sin(2)16f x x π∴=-++，()sin 1062f ππ=-+= 是最小值，其图象关于6x π=对称，故()sin(2)16f x x π=-++为所要求的解析式.（2）由1()2f x ≤，得1sin(2)62x π+≥ 5222666k x k πππππ∴+≤+≤+()3k x k k Z πππ∴≤≤+∈.1()2f x ∴≤的x 取值范围是{}|,3x k x k k Z πππ≤≤+∈（3）由平移可得()2sin(2)6g x x π=--，图略.10.已知向量a (2cos ,tan())4x x πωω=+,b (2sin()4x πω=+,tan())4x πω-，其中8πω>，设()f x =a ·b .（1）化简函数()f x ，并求出当1ω=，(0,)2x π∈时()f x 的值域；（2）若把函数()f x 的图象向右平移a 个单位后得到的图象关于点(1,0)a +对称，且()f x 在[,1]8πω上是单调函数，求ω的值. [解析]（1）()2cos 2sin()tan()tan()444f x x x x x πππωωωω=⋅+++⋅-12cos (sin cos )tan()4tan()4x x x x x πωωωωπω=+-+⋅+2sin 22cos 1sin 2cos22sin(2)4x x x x x πωωωωω=+-=+=+.当1ω=时，()2sin(2)4f x x π=+，02x π<<，2444x πππ5∴<+<. 2sin(2)124x π∴-<+≤. ()f x ∴的值域是(1,2]-.（2）由题意知()2sin[2()]4f x x a πω=-+的图象关于点(1,0)a +对称，2sin[2(1)]04a a πω∴+-+=， 2()4k k Z πωπ∴+=∈.又()f x 在[,1]8πω上是单调函数，令24t x πω=+， 则()2sin g t t =在[,2]24ππω+上是单调函数，32242πππω∴≤+≤， 24πωπ∴+=.38πω∴=.第2讲 三角变换及三角形中的三角函数问题【领悟高考】 1．考纲要求 （1）理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义. （2）能利用单位圆中的三角函数线推导出2πα±，πα+的正弦、余弦、正切的诱导公式.（3）理解同角三角函数的基本关系式：22sin cos 1x x +=，sin tan cos xx x=. （4）和与差的三角函数的公式. ①会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.②能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦公式、正切公式.③能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系. （5）简单的三角恒等变换.能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差，和差化积，半角公式，但这三组公式不要求记忆）. 2．考题展望从近年高考的考查方向来看，这部分常常以选择题和填空题的形式出现，有时也会以大题形式出现，占分约5%，估计在今后高考中对本讲知识的考查仍保持稳定，仍将以容易题和中档题为主. 解答题则常以融图象与性质、正弦、余弦定理、平面向量于一体的综合性较强的问题出现. 估计2011年高考中此部分仍是重点. 3. 高考真题[考题1]（2010全国卷2理数）已知a 是第二象限的角，4tan(2)3a π+=-，则tan a = .[答案]12-[解析]由4tan(2)3a π+=-得4tan 23a =-，又22t a n 4t a n 21t a n 3a αα==--，解得1tan 2α=-或tan 2α=，又a 是第二象限的角，所以1tan 2α=-.[命题意图]本试题主要考查三角函数的诱导公式、正切的二倍角公式和解方程，考查考生的计算能力.[考题2]（2010湖南理数）已知函数2()3sin 22sin f x x x =-. （1）求函数()f x 的最大值；（2）求函数()f x 的零点的集合. [解析]（1）因为()3sin 2(1cos2)2sin(2)6f x x x x π=--=+，所以，当2266x k πππ+=+，即()6x k k Z ππ=+∈时，函数()f x 取最大值1.（2）解法1：由（1）及()0f x =得1sin(2)62x π+=，所以2266x k πππ+=+，或52266x k πππ+=+，即x k π=，或3x k ππ=+.（Z k ∈）故求函数()f x 的零点的集合为{|x x k π=，或3x k ππ=+，}k Z ∈解法2：由()0f x =得223sin cos 2sin x x x =，于是sin 0x =，或3cos sin x x =， 即tan 3x =.由sin 0x =可知x k π=，即tan 3x =可知，3x k ππ=+.故求函数()f x 的零点的集合为{|x x k π=，或3x k ππ=+，}k Z ∈.[命题意图]本题考查三角函数的恒等变形，简单三角方程，二倍角公式、两角和差的正余弦公式，考察学生三角运算能力.属中档题【备考要点】1．三角恒等变换常考点.（1）同角三角函数关系——可实现函数名称的转化．αααααcos sin tan ,1cos sin 22==+ （2）诱导公式及和、差、倍角的三角函数——可实现角的形式的转化． 诱导公式的口诀：奇变偶不变，符号看象限． 和、差、倍角公式：s i n()s i n c o s c o s αβαβαβ+=±； cos()cos cos sin sin c αβαβαβ+= ；tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±= （α，β，,2k k Z παβπ±≠+∈）；sin 22sin cos ααα=；2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-；22tan tan 21tan ααα=-；22sin cos sin()a b a b αααϕ+=++（其中tan baϕ=）. （3）倍角公式及其变形公式——可实现三角函数式的升幂或降幂的转化，同时也可以完成角的形式的转化．2．三角恒等变换易错点 （1）“给角求值”时没有发现角的内在联系造成错解.一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定的关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合三角公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．（2）“给值求值”时没有运用整体思想造成繁解.给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．（3）“给值求角”时忽视对角的范围的限制造成增解. “给值求角”实质上是转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角． 【典例精析】1．给角求值.[例1]求值：sin 50(13tan10)cos 20cos801cos 20︒+︒-︒︒⋅-︒.[解析]cos103sin102sin 40sin 50(13tan10)sin 50sin 501cos10cos10︒+︒︒︒+︒=︒⋅=︒⋅=︒︒，22cos801cos20sin102sin 102sin 10︒⋅-︒=︒⋅︒=︒ ∴原式21cos2022sin 10-︒==︒.[点评]对于给角求值问题，往往所给角都是非特殊角，解决这类问题的基本思路有： （1）化为特殊角的三角函数值． （2）化为正负相消的项，消去求值．（3）化分子、分母使之出现公约数进行约分而求值． 2．给值求值.[例2]已知35sin cos 5αα+=，3sin()45πβ-=，(0,)4πα∈，(,)42ππβ∈.（1）求sin2α和tan2α的值；（2）求cos(2)αβ+的值.[解析]（1）由题意得29(sin cos )5αα+=， 即91sin 25α+=，4sin 25α∴=.又2(0,)2πα∈，23cos21sin 25αα∴=-=，sin 24tan 2cos23ααα∴==.（2）(,)42ππβ∈ ，(0,)44ππβ∴-∈，4cos()45πβ∴-=，于是24sin 2()2sin()cos()44425πππβββ-=--=.又sin 2()cos24πββ-=-，24cos225β∴=-.又2(,)2πβπ∈，7sin 225β∴=.又21cos24cos 25αα+==，(0,)4πα∈. 2cos 5α∴=，1sin 5α=. 252457115cos(2)cos cos 2sin sin 2()52552525αβαβαβ∴+=-=⨯--⨯=-. [点评]给值求值的关键是找出已知式与欲求式之间的差异，一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；同时也要注意变换欲求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的．同时要特别注意角的范围，从而确定三角函数的符号.3.给值求角[例3]已知锐角ABC ∆中，三个内角为,,A B C ，两向量(22sin ,cos sin )p A A A =-+，(sin cos ,1sin )q A A A =-+，若p 与q 是共线向量.（1）求角A 的大小； （2）若=x sin C 使1(0)2y x x x=+>取得最小值，求角C 的大小； （3）若函数232sin cos()2C By B -=+存在最大值，求角B 的大小. [解析]（1）(22sin ,cos sin )p A A A =-+ ，(sin cos ,1sin )q A A A =-+， //p q，(22sin )(1sin )(cos sin )(sin cos )0A A A A A A ∴-+-+-=.化简得，23sin 4A =，090A ︒<<︒ ，3sin 2A ∴=，60A ∴=︒. （2）当22x =时，使12y x x =+最小，2sin 2C ∴=.C 为锐角ABC ∆的内角 ， ∴45C =︒.（3）22318032sin cos()2sin cos()22C B B A B y B B -︒---=+=+ 当60A =︒，则)260cos(sin 22B B y -+==232sin 212cos 2cos 1⋅+⋅+-B B B =1+),302sin( -B 60=∴B 时可以使得函数取得最大值2.[点评]熟记在三角形中，.cos )cos(,sin )sin(C B A C B A C B A -=+=+⇔=++π【备选例题】[例4]（2010·苏北四市模拟）已知sin(2)3sin αββ+=，设tan x α=，tan y β=，记()y f x =. （1）求证：tan()2tan αβα+=； （2）求()f x 的解析表达式；（3）若角α是一个三角形的最小内角，试求函数()f x 的值域.[解析]（1）由sin(2)3sin αββ+=，得sin[()]3sin[()]αβααβα++=+-， 即sin()cos cos()sin 3sin()cos 3cos()sin αβααβααβααβα+++=+-+， sin()cos 2cos()sin αβααβα∴+=+， tan()2tan αβα∴+=.（2）由（1）得tan tan 2tan 1tan tan αβααβ+=-，即21x y x xy +=-，∴212x y x =+，即2()12xf x x=+. （3） 角α是一个三角形的最小内角，03πα∴<≤，03x <≤，设1()2g x x x =+，则1()222g x x x =+≥（当且仅当22x =时取“=”）.故函数()f x 的值域为2(0,]4. [点评]本题的关键是第（1）小题的恒等式证明，对于三角条件恒等式的证明，我们要注意观察、分析条件恒等式与目标恒等式的异同，特别是分析已知和要求的角之间的关系，再分析函数名之间的关系，则容易找到思路. 对于第（2）小题同样要从角的关系入手，利用两角和的正切公式可得关系. 第（3）小题则利用基本不等式求解即可. 【规律总结】 1．要能熟练推证公式，熟悉公式的正用、逆用，还要熟练掌握公式的变形应用. 如两角和与差的正切公式可变形为：tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ+=+-，tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ-=-+. 余弦二倍角公式有多种形式，即2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-，变形公式21cos2sin 2αα-=，21cos2cos 2αα+=. 它的双向应用分别起到缩角升幂和扩角降幂的作用.2．对于形如sin cos a b αα+的式子，都可通过合理地变形，借助两角和与差的三角函数公式的逆用，化为只含有一个三角函数的形式，即22sin cos sin()a b a b αααϕ+=++（其中tan baϕ=），这个公式称为辅助角公式，它的解决三角函数问题中具有广泛的应用. 3．三角恒等变换常用方法：正切化弦、常数代换、角的变换、降幂转化、逆用公式、变形后用公式等.（1）要注意拆角、拼角技巧. 例如：2()()ααβαβ=++-，()ααββ=+-，22αβαββ+-=-，()22αββα-=+()2αβ-+等.（2）注意倍角的相对性，如α是2α的倍角，3α32α的倍角等. （3）要注意公式间的内在联系及特点，解题过程中，要善于观察差异，寻找联系，实现转化，要熟悉公式的正用、逆用和变形应用，也应注意公式成立的条件.【强化训练】1．已知1sin cos 2x y =，则cos sin x y 的取值范围是（ ）A ．11[,]22-B ．31[,]22-C ．13[,]22-D ．[1,1]-[答案]A[解析]设cos sin x y t =，则1(s i n c o s )(c o s s i n )2x y x y t=，可得sin 2sin 22x y t =，由|sin 2sin 2|1x y ≤即|2|1t ≤ 1122t ∴-≤≤.[错解]B 、C [错因]将1sin cos 2x y =与cos sin x y t =相加得1sin()2x y t +=+由1sin()1x y -≤+≤得1112t -≤+≤得3122t -≤≤选B ，相减时选C ，没有考虑上述两种情况均须满足.2．已知奇函数()f x 在(1,0)-上为递减函数，又α，β为锐角三角形内角，则（ ） A ．(cos )(cos )f f αβ> B ．(sin )(sin )f f αβ> C ．(sin )(cos )f f αβ< D ．(sin )(cos )f f αβ> [答案]C[解析]()f x 在(1,0)-上为递减函数，又()f x 为奇函数()f x ∴在(0,1)上也为递减函数. α ，β为锐角三角形内角 90900αβ∴︒>>︒->︒， s i n c o s αβ∴> (s i n )(c o sf f αβ∴<. [错因]综合运用函数的有关性质的能力不强.3．设sin15cos15a =︒+︒，sin17cos17b =︒+︒，则下列各式中正确的是（ ）A ．222a b a b +<<B ．222a b a b +<<C ．222a b b a +<<D ．222a b b a +<<[答案]B[解析]2sin(1545)2sin60a =︒+︒=︒，2sin(1745)2sin62b =︒+︒=︒，.b a ∴>2222sin 60sin 622sin60sin623sin622a b +=︒+︒>︒︒=︒ ，222a b b a +∴>>.故选B.4．在ABC ∆中，3sin 4cos 6A B +=，3cos 4sin 1A B +=，则C ∠的大小为（ ）A ．6πB ．56πC ．6π或56πD ．6π或23π[解析]由3sin 4cos 63cos 4sin 1A B A B +=⎧⎨+=⎩平方相加得1sin()2A B +=，1sin 2C ∴=， 6C π∴=或56π ． 若56C π= ， 则6A B π+=．13cos 4sin 0A B -=> ， 1c o s3A ∴< ． 又1132<， 3A π∴> ， 56C π∴≠ ， 6C π∴= ． 故选A.[错解]C[错因]此题极易错选为C ，条件1cos 3A <比较隐蔽，不易发现. 这里提示我们要注意对题目条件的挖掘.5．（2009上海青浦区）把cos3cos5αα+化为积的形式，其结果为 .[答案]2cos4cos αα⋅[解析]cos3cos5cos(4)cos(4)2cos4cos αααααααα+=-++=⋅.6．（祥云一中二次月考理）若1tan()42πα-=，且(0,)2a π∈，则sin cos αα+= .[答案]2105[解析]1tan()42πα-= ，tan 111tan 2αα-∴=+，tan 3α∴=．,2,0⎪⎭⎫ ⎝⎛∈πα 3sin 10α∴=， 1cos 10α=，425sin cos 510αα∴+==. 7．（祥云一中三次月考理）()y f x =是关于3x =对称的偶函数，(1)1f =，32cos sin 5x x -=，若15sin 2cos()4x t x π=+，则()f t = .[答案]1[解析][215cos(2)152cos ()1]24cos()cos()44x x t x x ππππ-+-+-==++， 32cos sin 2cos()45x x x π-=+=3c o s ()45x π∴+= ． 1815[1]2535t --∴=71525735--⨯== ． ()(7)(1)(1)f t f f f ∴==-==．8．（2008江苏）如图，在平面直角坐标系xoy 中，以ox 轴为始边做两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆相交于,A B 两点，已知,A B 的横坐标分别为225,105. （1）求tan()αβ+的值；（2）求2αβ+的值.[解析]由条件的2cos 10α=，25cos 5β=，因为α，β为锐角，所以72sin 10α=，5sin 5β=，因此tan 7α=，1tan 2β=. （1）tan tan tan()31tan tan αβαβαβ++==--. （2）22tan 4tan 21tan 3βββ==-，所以tan tan 2tan(2)11tan tan 2αβαβαβ++==--. ,αβ 为锐角，3022παβ∴<+<，324παβ∴+=. 9．关于x 的方程2sin 2sin tan 0x x θθθ+⋅-=的两根为α、β，且02θπ<<.若数列211111,(),()αβαβ++，…，的前100项和为0，求θ的值.[解析]11sin 2()2sin sin αβθθαβαβθ+-+===- ， 2s i n q θ∴=. 而数列的首项为1，由等比数列的前n 项和公式得1001001(2sin )012sin S θθ-==-，100(2sin )1θ∴=，2sin 1θ=-.（当2sin 1θ=时，1000S ≠）又221(sin 2)4sin 4cos (1sin cos )0tan θθθθθθ∆=+⋅=+>， 21sin cos 0θθ+> ， c o s 0θ∴> . 02,θπ<< 116πθ∴=. 10．已知,A B 为锐角，(2cos ,sin )22A B A B a +-=，6||2a =. （1）试问tan tan A B ⋅是否为定值？若为定值，请求出；否则，说明理由. （2）求tan()A B +的最小值，并求此时A B +的值. [解析]（1）6||2a =，23||2a ∴=. 223(2cos )(sin )222A B A B +-∴+=.2232cos sin 222A B A B +-∴+=. 1cos()3cos()122A B A B --∴+++=.1cos()cos()02A B A B ∴+--=. cos cos 3sin sin A B A B ∴⋅=⋅.sin sin 1tan tan cos cos 3A B A B A B ⋅⋅==⋅为定值.（2）tan tan 33tan()(tan tan )2tan tan 1tan tan 22A B A B A B A B A B ++==+≥⋅⋅-⋅1333==. ∴当3tan tan 2A B ==时，tan()A B +取得最小值为3. A 、B 为锐角，此时3A B π+=.第3讲 平面向量及其应用【领悟高考】 1．考纲要求 （1）平面向量的实际背景及其本概念 ①了解向量的实际背景.②理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义. ③理解向量的几何表示. （2）向量的线性运算①掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义.②掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义. ③了解向量线性运算的性质及其几何意义. （3）平面向量的基本定理及坐标表示 ①了解平面向量的基本定理及其意义. ②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.③会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算. ④理解用坐标表示的平面向量共线的条件. （4）平面向量的数量积①理解平面向量数量积的含义及其物理意义. ②了解平面向量的数量积与向量投影的关系.③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. （5）向量的应用①会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.②会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题. 2．考题展望高考对平面向量的考查主要体现在：第一，考查平面向量的概念及平面向量的和、差、数乘和数量积的运算，主要以选择题、填空题的形式考查，向量与平面几何相结合是命题的一个亮点；第二，考查平面向量与其他知识的综合应用，主要以解答题的形式考查. 平面向量具有代数与几何形式的“双重性”，是中学数学知识网络的重要交汇点，平面 向量与三角函数、解析几何的整合成为近几年高考的热点，要予以足够的重视. 3．高考真题[考题1]（2010天津理数）如图，在ABC ∆中，,3AD AB BC BD ⊥= ，||1AD =，则AC AD ⋅=.[答案]3[解析]以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴建立直角坐标系.令),1,0(),,(),0,(D y x C x B C C B ,3),1,(),,(BD BC x BD y x x BC B C B C =-=-=∴∴3(),3,c B B C x x x y ⎧-=-⎪⎨=⎪⎩.3,)31(=-=∴C B C y x x ),1,0(),3,)31((=-=AD x AC B 则.3=⋅AD AC或||||cos ||cos ||sin AC AD AC AD DAC AC DAC AC BAC ⋅=⋅∠=⋅∠=∠.33sin 3sin ====AD B BD B BC[点评]1. 本题主要考查平面向量的基本运算与解三角形的基础知识，属于难题.应加强平面向量的基本运算的训练，尤其是与三角形综合的问题.2. 利用向量的坐标运算，好处在于将向量的几何特征转化为代数特征，运算过程也就代数化、程序化，从而降低了思维难度. 在进行向量的运算时，若能建立坐标系使用坐标运算，应尽量采用坐标运算.[考题2]（2010江苏卷）在平面直角坐标系xOy 中，点(1,2)A --、(2,3)B 、(2,1)C --.（1）求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长；（2）设实数t 满足()0AB tOC OC -⋅=，求t 的值. [解析]（1）（方法一）由题设知(3,5),(1,1)AB AC ==-，则(2,6),(4,4)AB AC AB AC +=-=. 所以||210AB AC += ，||42AB AC -=.故所求的两条对角线的长分别为42、210.（方法二）设该平行四边形的第四个顶点为D ，两条对角线的交点为E ，则： E 为B 、C 的中点，(0,1)E又(0,1)E 为A 、D 的中点，所以(1,4)D故所求的两条对角线的长分别为42BC =、210AD =；（2）由题设知：(2,1),(32,5)OC AB tOC t t =---=++. 由()0AB tOC OC -⋅=，得(32,5)(2,1)0t t ++⋅--=，从而511t =-，所以115t =-. 或者：AB OC ⋅ 2tOC = ，211(3,5),5||AB OC AB t OC ⋅===-[点评]本小题考查平面向量的几何意义、线性运算、数量积，考查运算求解能力.【备考要点】1．平面向量常考点（1）向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则； （2）向量减法的法则：三角形法则；（3）实数λ与向量a 的积是一个向量，记作a λ ，规定：||||||a a λλ=⋅ ；（4）向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有目仅有一个实数λ，使得b a λ=，即//(0)b a b a a λ⇔=≠；（5）平面向量基本定理：如果2,e e是同一平面内两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且仅有一对实数12,λλ，使1122a e e λλ=+. 其中不共线的向量12,e e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.（6）已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，则a 与b 的数量积||||cos a b a b θ⋅=⋅⋅.（7）设11(,)a x y = ，22(,)b x y =则： ①1212(,)a b x x y y ±=±±； ②11(,)a x y λλλ=； ③1212a b x x y y ⋅=+；④2211||a x y =+；⑤121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=； ⑥1221//0a b x y x y ⇔-=.2．平面向量的易错点（1）向量的数量积运算不满足结合律. c b a c b a ⋅⋅=⋅⋅)()(不正确. （2）非零向量的平行性才具有传递性.//,////a b b c a c ⇒不正确.（3）向量不满足消去律.c b c a b a =⇒⋅=⋅不正确. （4）平面向量的基本定理的前提是12,e e不共线.（5）两个向量的夹角不一定为三角形的内角.例如ABC ∆中，BC AB ,的夹角不是三角形的内角.B（6）若1122(,),(,)x y x y ==a b ，则//a b 的充要条件不能表示成1122x y x y =，因为22,x y 有。