第三章 不等式
一、选择题
1．已知x ≥2
5
，则f (x )＝4－25＋4－2x x x 有( )．
A ．最大值45
B ．最小值4
5
C ．最大值1
D ．最小值1
2．若x ＞0，y ＞0，则221＋)(y x ＋221
＋)(x
y 的最小值是( )．
A ．3
B ．
2
7 C ．4 D ．
2
9 3．设a ＞0，b ＞0 则下列不等式中不成立的是( )． A ．a ＋b ＋
ab
1≥22
B ．(a ＋b )(
a 1＋b
1
)≥4 C
22
≥a ＋b
D ．
b
a ab
+2≥ab 4．已知奇函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，且f (1)＝0，则不等式x
x f x f )
()(－－＜0
的解集为( )．
A ．(－1，0)∪(1，＋∞)
B ．(－∞，－1)∪(0，1)
C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
D ．(－1，0)∪(0，1)
5．当0＜x ＜2
π时，函数f (x )＝x x
x 2sin sin 8＋2cos ＋12的最小值为( )．
A ．2
B ．32
C ．4
D ．34
6．若实数a ，b 满足a ＋b ＝2，则3a ＋3b 的最小值是( )． A ．18
B ．6
C ．23
D ．243
7．若不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧4≤ 34 ≥
30 ≥
y x y x x ＋＋，所表示的平面区域被直线y ＝k x ＋34分为面积相等的两部分，则k 的值是( )．
A ．
7
3
B ．
37
C ．
43
D ．
34
8．直线x ＋2y ＋3＝0上的点P 在x －y ＝1的上方，且P 到直线2x ＋y －6＝0的距离为
35，则点P 的坐标是( )．
A ．(－5，1)
B ．(－1，5)
C ．(－7，2)
D ．(2，－7)
9．已知平面区域如图所示，z ＝mx ＋y (m ＞0)在平面区域内取得最优解(最大值)有无数多个，则m 的值为( )．
A ．－207
B ．
20
7 C ．
2
1
D ．不存在
10．当x ＞1时，不等式x ＋1
1
-x ≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是( )．
A ．(－∞，2]
B ．[2，＋∞)
C ．[3，＋∞)
D ．(－∞，3]
二、填空题
11．不等式组⎩⎨⎧ 所表示的平面区域的面积是 ．
12．设变量x ，y 满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧ 若目标函数z ＝ax ＋y (a ＞0)仅在点(3，
0)处取得最大值，则a 的取值范围是 ．
13．若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是 ． 14．设a ，b 均为正的常数且x ＞0，y ＞0，x
a
＋y b ＝1，则x ＋y 的最小值为 ．
15．函数y ＝log a (x ＋3)－1(a ＞0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn ＞0，则
m 1
＋n
2的最小值为 ． 16．某工厂的年产值第二年比第一年增长的百分率为p 1，第三年比第二年增长的百分率为p 2，若p 1＋p 2为定值，则年平均增长的百分率p 的最大值为 ．
(x －y ＋5)(x ＋y )≥0
0≤x ≤3 x ＋2y －3≤0 x ＋3y －3≥0， y －1≤0
(第9题)
三、解答题
17．求函数y ＝1
＋10
＋7＋2x x x (x ＞－1)的最小值．
18．已知直线l 经过点P (3，2)，且与x 轴、y 轴正半轴分别交于A ，B 两点，当△AOB 面积最小时，求直线l 的方程．
(第18题)
19．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨，B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨，B 原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，销售每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨，B 原料不超过18吨.那么该企业可获得最大利润是多少？
20．(1)已知x ＜45，求函数y ＝4x －1＋5
－41x 的最大值； (2)已知x ，y ∈R ＊
(正实数集)，且x 1＋y 9＝1，求x ＋y 的最小值；
(3)已知a ＞0，b ＞0，且a 2＋
2
2
b ＝1，求2＋1b a 的最大值．
参考答案
1．D
解析：由已知f (x )＝4－25＋4－2x x x ＝)()(2－21＋2－2x x ＝
2
1
⎥⎦⎤⎢⎣
⎡2－1＋2－x x )(， ∵ x ≥
2
5
，x －2＞0， ∴
2
1⎥⎦
⎤⎢⎣⎡2－1＋2－x x )(≥21·2－12－2x x ⋅)(＝1， 当且仅当x －2＝
2
－1
x ，即x ＝3时取等号． 2．C 解析：221＋
)(y x ＋221＋)(x
y ＝x 2＋2
2
241＋＋＋41＋
x x y y y
y x ＝⎪⎭⎫ ⎝
⎛
22
41＋
x x ＋⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2241＋y y ＋⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛x y y x ＋． ∵ x 2＋
241x ≥22241x x ⋅＝1，当且仅当x
2＝2
41x ，x ＝22时取等号； 41＋
2
2y y ≥22
241y y ⋅＝1，当且仅当y 2＝241y ，y ＝22时取等号； x y
y x ＋≥2x y y x ⋅＝2(x ＞0，y ＞0)，当且仅当y x ＝x
y
，y 2＝x 2时取等号． ∴⎪⎭⎫ ⎝⎛2241＋x x ＋⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2241＋y y ＋⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛x y y x ＋≥1＋1＋2＝4，前三个不等式的等号同时成立时，原式取最小值，故当且仅当x ＝y ＝
2
2
时原式取最小值4． 3．D 解析：
方法一：特值法，如取a ＝4，b ＝1，代入各选项中的不等式，易判断只有b
a ab
+2≥ab 不成立．
