抛物线焦点弦的性质

重点解析Z H O N G D I A N J I E X I在圆锥曲线的教学中，笔者发现抛物线的焦点弦有很多性质，如果能掌握这些性质，处理有关抛物线的切线问题就会变得很简单.性质1抛物线焦点弦的两端点处交点的轨迹是抛物线的准线证明设A B为抛物线y2=2px(p>0)过焦点F(p2,0)的弦，点A(x1,y1)，B(x2,y2)的切线方程分别为yy1=px+px1，yy2=px+px2，设切线的交点坐标M(x0,y)，则有，yy1=px+px1，yy2=px+px2，从而A，B两点都在直线y0y=px+px上，故直线A B的方程是y0y=px+px，又弦A B过焦点F(p2,0)，所以px0+pp2=0，即x=-p2，所以点M的轨迹方程是x=-p2，点M的轨迹是抛物线的准线.推论：过M点向抛物线y2=2px(p>0)引两切线，切点分别为A,B，若直线A B过定点P(m,0)（m≠0），则点M的轨迹方程为x=-m.性质2设A B为抛物线y2=2px(p>0)过焦点F(p2,0)的弦，E为准线与x轴的交点，则EF平分∠A EB证明过A,B两点分别作准线的垂线，垂足分别为A1,B1，则||A F||BF=||A A1||BB1.又因为||A F||BF=||A1E||B1E，从而| |A A1| |BB1=||A1E||B1E，由∠A A1E=∠BB1E=90°知，△A A1E与△BB1E相似，从而∠A1A E=∠B1BE，即∠A EF=∠BEF，即EF平分∠A EB.实际上，这个性质的逆命题也成立推论：设A B为抛物线y2=2px(p>0)过焦点F(p2,0)的弦，点E在x轴上，若EF平分∠A EB，则E必为准线与x轴的交点.性质3从抛物线外一点P引抛物线的两条切线P A,PB，切点分别为A,B，若F是抛物线的焦点，则有∠PF A=∠P FB证明设抛物线的方程为x2=2py(p>0)，点P(x,y)，点A(x1,y1)，B(x2,y2)，则切线PA：x1x-py-py1=0，切线PB：x2x-py-py2=0，则有，x1x-py-py1=0，x2x-py-py2=0.F A=(x1,y1-p2),F B=(x2,y2-p2)，FP=(x,y-p2)，所以cos∠PF A=FA FP||FA||FB=x1x+(y1-p2)(y-p2)||FP(y1+p2)=p(y1+y)+(y1-p2)(y-p2)||F P(y1+2)=(y1+p2)(y+p2)||FP(y1+2)=y+p2||FP，同理cos∠PF B=y+p2||F P，所以∠P FA=∠PF B.推论1：从抛物线外一点P引抛物线的两条切线P A，PB，切点分别为A，B，若弦A B经过抛物线的焦点F，则有P F⊥A B.推论2：从抛物线外一点P引抛物线的两条切线P A，P B，切点分别为A，B，则有|P F|2=|FA||FB|.在椭圆、双曲线中也应有类似的性质，可探讨线弦质抛焦的物点性⊙大冶一中黄俊峰袁方程善疑者，不疑人之所疑，而疑人之所不疑。

抛物线的焦点弦的几何特征（18条）过抛物线的焦点的弦——抛物线的焦点弦：1．抛物线的焦点弦两端点的横坐标之积为定值，纵坐标之积也为定值；2．过抛物线焦点弦两端点的切线互相垂直；3．过抛物线焦点弦两端点的切线的交点在准线上；过抛物线准线上的一点做抛物线的两条切线交抛物线于两点，两交点的连线的线段是焦点弦；4．连接抛物线焦点弦两端点的切线的交点和焦点弦中点的线段平行与抛物线的对称轴且被抛物线平分；5．连接抛物线焦点弦两端点的切线的交点和焦点的线段垂直于焦点弦。

------------------------------------------------------------------------------与抛物线相交与两点a a A x y (,)、b b B x y (,)，AB 中点坐标为d d D x y (,)即a b a b x x y y D ,22++⎛⎫ ⎪⎝⎭，分别过两交点做抛物线的切线a a x x p x x 2()=+、b b x x p x x 2()=+，两切线的交于点c c C x y (,)，连接则CD 交抛物线与点(,)k k K x y ，分别过A B 、两点准线做垂线分别交于G H 、两点，则会得到下列9①a b x x p 2=，a b y y p 24=-；111FA FB FA FB p FA FB ++==，1p =，FA FB FA FB +=； ②AC BC 0=即AC BC ⊥；③c x p =-即点c c C x y (,)在抛物线的准线上；④c d y y =即cd k 0=亦CD 平行于抛物轴y 0=；⑤,2c d c x x K y +⎛⎫ ⎪⎝⎭即点E 为CD 的中点； ⑥CF AB 0=即CF AB ⊥； ⑦以D 为圆心，DA 为半径作圆，则点C 在D 上；AB CD 2=；AD BD CD ==； ⑧以K 为圆心，DK 为半径作圆，则点F 在E 上；2CD KF =；CK DK FK ==； ⑨以C 为圆心，CG 为半径作圆，则点F 在C 上；GH CF 2=。

证明抛物线焦点弦的18个结论
抛物线是一种椭圆形的函数图形，它是由抛物线焦点弦决定的。

抛物线焦点弦是指抛物线的两个焦点和连接它们的弦段。

围绕抛物线焦点弦可以建立18个结论。

1. 两个焦点之间的距离与抛物线弦段长度相同，即它们之间的距离等于抛物线弦段的1倍。

2. 弦段连接抛物线的两个焦点，因此，任何一点的垂直距离都等于其焦点的距离。

3. 对抛物线的焦点取中对称，则其两点之间的距离一定是直线的1倍．
5. 相对于一个焦点而言，另一个焦点总是处于弦段的同一边，而且位于弦段上面。

6. 抛物线是对称的，即抛物线的对称轴是连接两个焦点的直线段。

8. 抛物线准线与切线交于抛物线的焦点。

12. 对任意点A而言，从A点向任意点B连线便构成一条直线，此直线连接A点和B 点的距离有正有负，正值表示线段到抛物线焦点的距离是它的弦段长度所乘以2倍的直线段距离，负值则表示抛物线焦点到线段的距离也是它的弦段长度乘以2倍的直线段距离。

17. 抛物线的对称轴与它的弦段垂直，因此它的弦段将对称轴分为2个相等的距离。

以上就是抛物线焦点弦的十八个结论，也是其对称性规律、准确性和完整性的总结。

抛物线焦点弦的这些结论，既给抛物线函数提供了数学化的更直观的解释，又为描述抛物线的属性提供了一定的参考依据。

抛物线焦点弦22条结论抛物线是一种经典的数学曲线，被广泛应用于物理学、工程学、计算机图形学等领域。

在研究抛物线的性质和应用过程中，焦点和弦是两个重要的概念。

本文将介绍抛物线焦点弦的22条结论。

1. 抛物线的焦点是由平行于抛物线的直线反射后汇聚而成的点。

2. 抛物线的焦点是离抛物线顶点等距离的点。

3. 抛物线的焦点是所有平行于抛物线的直线的交点。

4. 抛物线的焦点是所有过抛物线的顶点的对称轴的交点。

5. 抛物线的焦点是所有与抛物线相切的直线的交点。

6. 抛物线的焦点是所有过抛物线的顶点并且与抛物线平行的直线的交点。

7. 抛物线的焦点是所有过抛物线的顶点并且与抛物线垂直的直线的交点。

8. 抛物线的焦点是所有经过抛物线的两个端点并且与抛物线垂直的直线的交点。

9. 抛物线的焦点是所有过抛物线的顶点且与抛物线切线垂直的直线的交点。

10. 抛物线的焦点是所有过抛物线的顶点且与抛物线切线平行的直线的交点。

11. 抛物线的焦点是所有与抛物线相交的直线的交点。

12. 抛物线的焦点是所有通过抛物线的两个端点且与抛物线相交的直线的交点。

13. 抛物线的焦点是所有过抛物线的顶点且与抛物线切线相交的直线的交点。

14. 抛物线的焦点是所有过抛物线的顶点且与抛物线切线平行且相交于抛物线的焦点的直线的交点。

15. 抛物线的焦点是所有过抛物线的顶点且与抛物线切线垂直且相交于抛物线的焦点的直线的交点。

16. 抛物线的焦点是所有过抛物线的顶点并且与抛物线切线平行于抛物线的对称轴的直线的交点。

17. 抛物线的焦点是所有过抛物线的顶点并且与抛物线切线垂直于抛物线的对称轴的直线的交点。

18. 抛物线的焦点是所有过抛物线的顶点且与抛物线对称轴平行的直线的交点。

19. 抛物线的焦点是所有过抛物线的顶点且与抛物线对称轴垂直的直线的交点。

20. 抛物线的焦点是所有通过抛物线的两个端点且与抛物线对称轴平行的直线的交点。

21. 抛物线的焦点是所有通过抛物线的两个端点且与抛物线对称轴垂直的直线的交点。

证明抛物线焦点弦的18个结论1. 抛物线焦点弦的两个焦点与抛物线的焦点重合。

证明：根据抛物线的定义，焦点到定点和定点到直线的距离相等。

所以，焦点到直线的距离与直线到焦点的距离相等，因此两个焦点与焦点弦重合。

2. 抛物线焦点弦的两个端点与抛物线的准线的焦点重合。

证明：由于抛物线的准线与直线平行，所以准线到焦点的距离与焦点到直线的距离相等。

因此，抛物线焦点弦的两个端点与抛物线的准线的焦点重合。

3. 抛物线焦点弦与抛物线的法线平行。

证明：由于抛物线的定义，法线通过焦点并垂直于准线。

而抛物线焦点弦是抛物线的切线，与法线平行。

4. 抛物线焦点弦的中点位于抛物线的准线上。

证明：由于抛物线的准线与抛物线的焦点重合，所以抛物线焦点弦的中点与抛物线准线的焦点重合。

5. 抛物线焦点弦的两个焦点与抛物线焦点弦的中点共线。

证明：根据抛物线的定义，焦点到定点和定点到直线的距离相等。

所以焦点与抛物线焦点弦的中点共线。

6. 抛物线焦点弦与抛物线的切线平行。

证明：抛物线焦点弦是抛物线的切线，而抛物线的切线与准线平行。

7. 抛物线焦点弦在抛物线的对称轴上。

证明：由于抛物线的对称轴与准线重合，而抛物线焦点弦与准线重合，所以抛物线焦点弦在抛物线的对称轴上。

8. 抛物线焦点弦是抛物线的一个特殊弦，它经过焦点，并且与抛物线的对称轴垂直。

证明：由抛物线的定义可知，焦点到定点和定点到直线的距离相等。

所以抛物线焦点弦经过焦点。

另外，抛物线的对称轴与准线垂直，而抛物线焦点弦与准线重合，所以抛物线焦点弦与抛物线的对称轴垂直。

9. 抛物线焦点弦是抛物线的一条切线，且与抛物线的直径垂直。

证明：由抛物线的定义可知，抛物线的焦点到直线和焦点到定点的距离相等，所以抛物线焦点弦是抛物线的切线。

另外，根据抛物线的性质可知，直径与对称轴垂直，而抛物线焦点弦与对称轴重合，所以抛物线焦点弦与抛物线的直径垂直。

10. 抛物线焦点弦与抛物线的切线平行，并且经过抛物线的焦点。

1. 以AB 90(AC 2. 3. '90A FB ∠('A F 4.C F '⊥5.BC '垂直平分B F ' 6.AC '垂直平分A F ' 7.抛物线的准线与x 轴相交于点P ，则.BPF APF ∠=∠ 8.B 、O 、A '三点共线 9. A 、O 、B '三点共线10. 2124p x x = 11. 212y y p =-12. 123222()22sin p p AB x x p x d α=++=+==弦中点到准线 11'('')22CC AB AA BB ==+ 13. 123222()22cos p p AB y y p y d α=++=+==弦中点到准线14. 焦点弦弦长|AB|=x 1+x 2+p,当x 1=x 2时，叫通径，焦点弦弦长最短为2p. 有2AB p ≥15. 112AF BF P +=； 1cos P AF α=-； 1cos P BF α=+16. 243p OB OA -=⋅17. 22sin AOB P S α=18. ⇔⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∆AF BF BF AF p S AOB 42弦AB 过焦点 19. 23()2AOB S P AB = 20. ||||||2FB FA F C ⋅='; 2A'B'4AF BF =⋅; 1C'F A'B'2=21. AB 3P K =y ； 2p 22y tan =x -α 22. 切点在抛物线上的切线方程 ()x x p y y +=0023. 点)0,(p D 处的结论：点)0,(p 是抛物线px y 22=上到点)0,(a A 的距离最近的点为顶点的分界点： )0,(a A 在点)0,(p 左边时顶点O 到点)0,(a A 的距离最近，最近距离为a ;)0,(a A 在点)0,(p 右边时横坐标为p a -的两个抛物线上的点到点)0,(a A 的距离最近，最近距离为22p ap -.24. 设过点()0,p D 的直线交抛物线px y 22=于A 、B ,则=+2211DB DA 21p 25. 点)0,2(p E 处的结论：),(11y x A 、),(22y x B 是抛物线)0(22>=p px y 上的两点，O 为抛物线的顶点，（1）090=∠AOB ⇔直线AB 过点)0,2(p .（2）2214p x x =，2214p y y -=. 26. 准线上的有关结论：过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点B A ,，再以B A ,为切点作抛物线的切线，其交点在抛物线的准线上，且两切线垂直。

抛物线的焦点弦公式
抛物线的焦点弦公式是抛物线的一个重要的数学概念，这个概念在研究动力学、设计机器以及物理分析等方面有重要的意义。

抛物线可以用焦点弦公式表达，即直线弦长等于2倍小数点到顶点的距离。

为了更加清楚地表达这一概念，我们先来看看抛物线的几何特性，抛物线的定义为一条由原点出发的双曲线，它的端点可以是一个极值点，到极值点的距离叫做焦点弦。

这个焦点弦的长度可以用焦点弦公式来表达：
焦点弦公式为：弦长等于2倍小数点到顶点的距离。

其中，顶点用(h，k)表示，h和k分别代表x轴和y轴的坐标值；焦点弦公式
可以简单地用距离公式表示出：D = √((x–h)^2+(y–k)^2)。

有了这条焦点弦公式，我们就可以轻松地解决很多抛物线的问题，例如找出抛物线的最高点以及整条抛物线右侧的总长度等等。

甚至，可以使用抛物线的焦点弦公式证明一些重要的数学定理。

总的来说，抛物线的焦点弦公式是一个重要的数学概念，它不仅可用于解决抛物线的数学问题，而且也可应用于不同的领域，以期达到更好的精确度，研究出更多新奇的数学定理。

抛物线焦点弦8个常用结论
，
弦与抛物线的关系是最常见的平面曲线，由此可得出8个常用的结论，这对于求解抛物线和计算它的相关特性是非常有帮助的。

抛物线与弦的结论一：抛物线的根与弦的焦点、顶点与因弦而开的弦同线。

其中，焦点所在的弦和根所在的因弦相互垂直，且它们之间距离相等。

抛物线与弦的结论二：可在抛物线上定义满足恒等式的两个特点弦。

这两条弦包括了抛物线的上准线和下准线，它们经过抛物线的关键位置。

抛物线与弦的结论三：所有抛物线的焦点弦的斜率是抛物线的解析根。

这种斜率表明抛物线的方程是关于两个变数的二阶方程。

抛物线与弦的结论四：考虑抛物线和它的焦点弦时，它们必定有一些共线点，这个点也就是抛物线因弦所垂直的焦点弦的根处。

抛物线与弦的结论五：任一焦点弦上的点都是抛物线上准线或是抛物线下准线的顶点所确定的弦同线上的一点。

抛物线与弦的结论六：如果焦点弦的斜率与因弦弦同线的斜率不相等，那么在焦点弦上的任一点P都是抛物线的一个顶点。

抛物线与弦的结论七：若抛物线的焦点F1、F2分别与弦A存在关系，则另一顶点V1也在弦A上，那么另一顶点V2也在弦A上。

抛物线与弦的结论八：若抛物线在它的两个上下准线上都有一个点，那么这个点必定位于该抛物线的焦点弦上。

总的来说，抛物线与弦的关系是一种极其重要的数学关系，可以为解决抛物线特性和其它一些复杂问题提供有力的帮助。

高等教育学与高校，可以用到上述8个结论，有助于更好地搞好教学、科研，进而更好地提升教育水平，密切社会实际。

抛物线焦点弦的性质1、焦点弦定义：过焦点的直线割抛物线所成的相交弦。

2、焦点弦公式：设两交点),(),(2211y x B y x A ，可以通过两次焦半径公式得到： 当抛物线焦点在x 轴上时，焦点弦只和两焦点的横坐标有关：(0)p >若抛物线22y px =，)(21x x p AB ++=抛物线22y px =-，)(21x x p AB +-=当抛物线焦点在y 轴上时，焦点弦只和两焦点的纵坐标有关：(0)p >若抛物线22x py =，)(21y y p AB ++=抛物线22x py =-，)(21y y p AB +-=3、通径：过焦点且垂直于对称轴的相交弦 直接应用抛物线定义，得到通径：p d 2=4、焦点弦常用结论：结论1：韦达定理⎪⎩⎪⎨⎧=-=pxy p x k y 2)2(20222=--⇒p y k p y 和04)2(22222=++-p k x p p k x k 221p y y -=⇒和421px x =结论2：p x x AB ++=21证：p x x px p x BF AF AB ++=+++=+=2121)2()2( 结论3：假设直线L 的倾斜角为θ，那么弦长θ2sin 2pAB = 证: (1)假设2πθ=时,直线L 的斜率不存在，此时AB 为抛物线的通径,结论得证∴=∴p AB 2(2)假设2πθ≠时, 那么⎪⎩⎪⎨⎧=-=px y p x k y 2)2(20222=--⇒p y k p y ⎪⎩⎪⎨⎧-==+⇒221212py y k p y y θsin 24422221p p kp y y =+=-⇒θθ221sin 2sin 1p y y AB =-=⇒ 结论4： 过焦点的弦中通径长最小p p2sin 21sin 22≥∴≤θθ ∴AB 的最小值为p 2,即过焦点的弦长中通径长最短. 结论4： )(832为定值p AB S oAB =∆011sin sin 22OAB OBF AF S S S OF BF OF AF θϑ∆∆∆=+=⋅⋅+⋅⋅()21112sin sin sin 2222sin p p OF AF BF OF AB θθθθ=⋅+=⋅⋅=⋅⋅⋅22sin p θ=238OABS P AB ∆∴=结论5：以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切 证：设M 为AB 的中点，过A 点作准线的垂线AA 1， 过B 点作准线的垂线BB 1， 过M 点作准线的垂线MM 1，由梯形的中位线性质和抛物线的定义知 222111AB BFAF BB AA MM =+=+=故结论得证结论6：连接A 1F 、B 1 F 那么 A 1F ⊥B 1F FA A FO A FO A F AA OF AA AFA F AA AF AA 11111111//,∠=∠∴∠=∠∴∠=∠∴=同理︒=∠∴∠=∠901111FB A FB B FO B ∴A 1F ⊥B 1 F 结论7：〔1〕AM 1⊥BM 1 〔2〕M 1F ⊥AB 〔3〕BF AF F M ⋅=21〔4〕设AM 1 与A 1F 相交于H ，M 1B 与 FB 1相交于Q 那么M 1，Q ，F ，H 四点共圆〔5〕2121214M M B M AM =+证：由结论〔6〕知M 1 在以AB 为直径的圆上∴ AM 1⊥BM 1 11FB A ∆为直角三角形， M 1 是斜边A 1 B 1 的中点111111111AFA F AA F A M FA M F M M A ∠=∠∠=∠∴=∴ ︒=∠=∠+∠9011111M AA M FA F AA ︒=∠+∠∴90111FM A AFA ∴M 1F ⊥ABBF AF FM ⋅=∴21 AM 1⊥BM 1 F B F A 90111⊥︒=∠∴ 又B AM︒=∠∴90FB A 11 所以M 1，Q ，F,H 四点共圆，22121AB B M AM =+()()()2121211242MM MM BB AABFAF ==+=+=结论8： 〔1〕、A O 、B 1 三点共线 〔2〕B ，O ，A 1 三点共线〔3〕设直线AO 与抛物线的准线的交点为B 1，那么BB 1平行于X 轴〔4〕设直线BO 与抛物线的准线的交点为A 1，那么AA 1平行于X 轴证：因为p y p y k y p py y x y k oB oA 2212111122,221-=-====，而221p y y -=所以122222oB oA k p y y p pk =-=-=所以三点共线。

抛物线焦点弦的性质及其应用2000.1～2口知识应用抛物线焦点弦的性质及其应闻广东省湛江一中(524038)王增生抛物线焦点弦具有不少性质,均散见在各类书刊上.本文将系统地归纳集中,以期对焦点弦的几条最主要的性质有一个更全面的,更深刻的了解.从而进一步提高运用这些性质去解决相关问题的数学素质和应用能力.1.焦点弦(通径)的定义通过抛物线焦点的直线(不与抛物线对称轴平行)被抛物线截得的线段,叫做抛物线的焦点弦,如图(1).线段…D图B叫做抛物线Y=2px(户>O)的焦点弦?当AB垂直于抛物线的对称轴时.AB叫做抛物线的通径.2.焦点弦的性质定理l抛物线焦点弦长等于2户(1+古)或.并且以通径长为最小,最小值为2户.(其中,S1n.口或口为焦点弦的斜率或倾斜角O.<a<180.)证:AB所在直线为y=k(x一号)代人y2—2px,整理得:屉2X2--(屉:+2)户+:o.这里.+:=(1+吾)户.据图(1)和抛物线的定义知,IABI---- IAFI+II=laAI+IBBI=十号)+(z十号)=2户(1+吉)或令^=tg口,则IABI=2户(1+ 去)=i2_nL:.显然当屉+..或a专时,焦点弦AB即为通径,其长度为最小值2户.定理2抛物线焦点弦的两个端点的同名坐标之积分别为常数譬和一户.证:由图(1),不妨设A(1,y.),B(.2,Y2),据定理1证明过程知??.=等,将y=k(x一号)(≠o)改写成=T1(+譬)代人2=2px,整理得亭大界(一由It)一2py--/,k=O,.Y1Y2=一声.定理3抛物线焦点弦的两个蛸点在准线上的射影和焦点的莲线互相垂直.证明:如图(2)记A,B分别是焦点弦A(,y1),B(:,Y:)在准线上的射影,则,(一,y1),B(一粤,y2).因为kA'F=二,Kt,=?警JI.,_一A/….一竣.2)及定理2知?弛=--.I'可得屉,,'kB'F~--1,...AF上BF.定理4抛物线焦点弦为直径的圆必切此抛物线的准线.证:如图(3),M为弦AB的中点,A,M:B在准线=一号上的投影分别是A,M,B,据抛物线的定义,得IBFI=IBBl,J;_一lAFI=lAA,I,IABl=f从I+fBB1.村为梯形ABBA的中位线,...IMMI=÷(IAAI+I●1船1)=÷IA引,焦点弦为直径的圆必与准线相6 切..定理5抛物线焦点弦的两个端点的切线互相垂直.并且交点必在准线上.让:郊幽【4),凼切点锾AB过焦点F(詈,0),以由定理2知1.y2一户?又屉柚,屉=蚩?..屉柚'鼬==兰一1,...AQ~BQ,故有切线百相垂富.I/.5l数掌大世界(一巾版)设两切线的交点为Q(x.,Y.).易知切点弦方程为=户(+Xo).将(告,O)t~A,得户(Xo+告)=0.-..0=一告,即Q(.,.)在准线一一告上.特别地,当焦点弦为抛物线的通径时,其切线的交点即为对称轴与准线的交点.定理6如果抛物线两条切线的交点在准线上.则切点弦必为焦点弦.证;由定理5证明过程知,切点弦的方程为Y oY=P(+0).令=0,则=一.因为点Q(0,)在准线上,..一一告.一告,即切点弦必过焦点.3.应用举例例1设.为抛物线的顶点,F为焦点,且PQ为过F的弦.已知lOFl—a,lPQl一6.求/xOPQ的j,r.图(5)面积.(91年全国高中联赛试题)解:由题意知P一2a,所以抛物线可设为Y=4n(n>0)据定理1,lQ『=.sinn一旦鱼,记Y,Yz分别为P,Q两点的纵坐标,则S△P0.=÷l OFl(1Ytl+lY21)一÷lOFllPQl?sina=÷absinO一.~/,.?例2抛物线Y=4p(+户)(户>0)中有两条过原点且互相垂直的直线分别交抛物线于A,B,C, D,试求IABl+lCDl的最小值.解:设AB与抛物线的对称轴OX的倾斜角为n (0,<180.),由坐标平移性质知,原点.恰为抛物线的焦点F?因此由定理1知lABl=,ICDI=4p(0.<口-(180.)...IABI+ICDI一4户(sin+COS'口'口)=≥16户.这里当且仅当n一7r一_~347r时取等号,.'.1ABl+lCDl的最小值是16p.例3过抛物线焦点F的直线交抛物线于P,Q两点,PQ的垂直平分线交抛物线的对称轴于R.求证:lFRl=÷lPQl(97广东赛题)证:为不失一般性,设抛物线方程为Y=2px(户>0)如图(6),由定理1知,lPQl一乞.直线PQ的S2?2000.1～2-q参数方程为{专+0s(f为参数).代入22(y=tsina2px整理得t2sin口一2ptcosa--p=0.依题意,lFl=1l:1一....IFRI一:一1lPQ1.例4如图(7),A,B为抛物线Y一2px焦点弦AB在准线上的射影,Q是焦点弦端点的两条切线的交点.求证,Q,K,F,S四点共圆.证:由定理3知AF上BF,由定理5,AQJ-BQ,所以Q,K,F,S四点共圆.例5过抛物线Y一4x的焦点F弦AB的中点的纵坐标为4,求AOB的大小.(o为坐标原点)L'..《JF..<马图(7)证:由定理5易知AOB必为钝角,lOAf=} +},lOBl一l+Yl,lABl:(l—2)+(—Y2),一兰兰±!而~/(l2)+(lY2)+(lY2)+(2Y1)由定理2知12—1,YlY2=一4且一lY2,Yl2,一0.'.COSAOB一——=====兰l-=~/17-t-y~-t-y;.:一一3~/17+(l+她)一2ylY2因为Yl+Y2=8,-..COSAOB=一—,即,.~/890.fAOB一一arccos—兰=.~/89例6从抛物线=2px的准线上任取一点P,作抛物线的两条切线PA,PB,A召为切点.求/xPAB外接圆面积的最小值.解:由定理6知,切点弦即为焦点弦AB.由定理5知,焦点弦AB为直径的圆必与准线相切...-点P 即为直线=一要和以A8为直径的圆相切时的切●l点,再由定理1知,当焦点弦为通径时,△APB的外接圆面积将最小.此时R—P,因此面积最小值为玎户.例7如图(8),从抛物线Y一2px(户>O)的准线上一点Q引两条切线QA,QB,A,B为切点.且A,B在准线上的射影为D,D,连结QF.求证:(1)DQA:AQF,FJ:D——…//Q\——图(8)一BQD,(2)线段IAFI,IQFJ,IBFI成等比数列.证:(1)记点Q(一鲁,Y o).由定理6知,切点弦AB必过焦点F,.AB方程可写为一(一等),一一,又.,一Y o,五.五.,一一1,?QF上AB.由抛物线定义知IAFI=IADI,IBFI=IBDI,.'.AQ,BQ分别平分FQD,FQD,...ADQ:AQF,BQF=BQD.(2)由定理5知AQ上BQ,.在Rf/xAQB中有fOFI=IAF}.IBFI,故lAFI,IOFI,lBFI成等比数列.例8定长为3的线段AB的两个端点在抛物线上移动,记线段AB的中点为M.求点M到Y轴的最短距离,并求此时点M的坐标.解:这是87年高考理科的一道压轴题,解法甚多,如果用上述定理解可以说比任何一种方法都简捷明快得多.事实上,点M到Y轴的距离最短,等价于以AB为直径的圆的圆心到准线一一÷的距离最短,由定理4知当线段AB经过焦点(÷,o)且以AB为直径的圆恰好与准线相切,此时易知圆的半径为R—llABl=32....点M到轴最短距离为3一1一C.÷.由定理5知,焦点弦端点的切线交点必在准线上....其中必有FMY.,注意到切点弦的斜率五=A._一2z一,又五=五一=一一一,即一....一士.因此所求点M的坐标为(辜,士).口学生习作数学大世界(■{ll版)甥发觉陶锚解江西莲花中学高三)(337100)周雁一,理解性错解例1设,(,z)一1+2+3+…+,z,求lira器的值错解:..'f(n)=1+22"+…+,z一÷(+1)(2n+1),(,z)]一(1+2+…+,z);÷,z(,z+1).而f(nz)==2(1+)(2+)——_一03n(1+)析':这是由于对f(n)的理解而导致的错解.其实,f(n)表示前,z个自然数的和,即f(n.)一1+2 +…+(,z2—1)+,z2一÷,z(,z+1),故告=2.,例21+2i是方程+tx+8=0的一个根,求t的值.错解:...1+2是方程的一个根,所以1—2i也是方程的一个根,故t一一((1+2)+(1—2)]=一2.析:这是由于把t错认为是实数,而本题并没有说明t是实数,其实,(1+2)+t(1+2i)+8—0,.t 1—4+4+85+4i6i一13一—主一一丁二,忽视定义域而导致的镶解例3函数,()的定义域关于原点对称,且对于定义域中任意两个不同的值.,,都有f(x一)=今毒,求,)是何种函数?错解:设是定义域中的一个值,令=0,一得f(--x)=再令Xl—,=0得,,)一今:一一一,c—...厂)是奇函数.析:显见,函数,(奎)的定义域不一定包含零. 正解:由已知式fCT--X一今毒,说明-与z的差.--X一在定义域内,因其它义域是关于原点对称的,所以一=z—也在定义域内,则有f(一.)f7(x2)f=(x7z)+1一一f(x1),(2)+1一f(x2)一f(x1)于是f(xl--X2)+f(x2一1)一0即f()+f(--)=0.因此,,()是奇函数.53。

抛物线焦点弦性质总结基本性质 已知抛物线22y px =的图像如图所示，则有以下基本结论：1、以AB 为直径的圆与准线L 相切；2、2124p x x ⋅=且212y y p ⋅=-；3、90AC B '∠=︒，90A FB ''∠=︒；4、123222()2sin p p AB x x p x α=++=+=；5、112AF BF P +=；6A 、O 、B '三点共线，B 、O 、A '三点共线；7、22sin AOB p S α=△，322AOB S p AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭△(定值)； 8、1cos p AF α=-，1cos p BF α=+； 9、BC '垂直平分B F '，AC '垂直平分A F '， C F AB '⊥；10、2AB p ≥；11、11()22CC AB AA BB '''==+； 12、3AB p k y =，22tan 2y p x α=-； 13、24A B AF BF ''=⋅，12C F A B '''=. 14、切线方程：()x x m y y +=00性质深究一、焦点弦与切线结论1、过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线，两切线交点在准线上．特别地，当弦x AB ⊥轴时，则点P 的坐标为,02p ⎛⎫- ⎪⎝⎭． 结论2、切线交点与弦中点连线平行于对称轴结论3、弦AB 不过焦点即切线交点P 不在准线上时，切线交点与弦中点的连线也平行于对称轴．结论4、过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点．特别地，过准线与x 轴的交点作抛物线的切线，则过两切点AB 的弦必过焦点．结论5、过准线上任一点作抛物线的切线，过两切点的弦最短时，即为通径．AB 是抛物线px y 22=（p ＞0）焦点弦，Q 是AB 的中点，l 是抛物线的准线，l AA ⊥1，l BB ⊥1，过A ，B 的切线相交于P ，PQ 与抛物线交于点M ．则有结论6、PA ⊥PB ．结论7、PF ⊥AB ． 结论8、M 平分PQ ． 结论9、PA 平分∠A 1AB ，PB 平分∠B 1BA ．结论102PF =结论11、PAB S ∆2min p =二、非焦点弦与切线 当弦AB 不过焦点，切线交于P 点时，也有与上述结论类似结果：结论12、①p y y x p 221=，221y y y p += 结论13、PA 平分∠A 1AB ，同理PB 平分∠B 1BA ．结论14、PFB PFA ∠=∠结论15、点M 平分PQ结论162=。

抛物线焦点弦性质及推导过程抛物线是一个非常常见的二次曲线，其方程可以表示为y=ax^2+bx+c，其中a、b和c是常数，a不等于0。

抛物线的焦点是一个特殊的点，它在抛物线的对称轴上，距离抛物线顶点的距离与到抛物线焦点的距离相等。

在本文中，我们将研究抛物线焦点的弦性质及其推导过程。

首先，我们来定义抛物线的焦点和顶点，并给出抛物线方程的标准形式。

我们可以通过完成平方的方式将一般形式的抛物线方程转化为标准形式的方程。

标准形式的抛物线方程为：y=a(x-h)^2+k其中(h,k)是抛物线的顶点，a决定了抛物线的开口方向和形状。

焦点的坐标为：F(h,k+p)其中p是焦距，p=1/(4a)。

现在，我们来研究抛物线焦点的弦性质。

假设抛物线上有两个不同的点P(x1,y1)和Q(x2,y2)，我们要证明直线PQ的中垂线经过焦点F。

首先，我们计算点P和点Q到焦点F的距离。

根据平面几何的距离公式，点P和点Q到焦点F的距离分别为：d1=√((x1-h)^2+(y1-k+p)^2)d2=√((x2-h)^2+(y2-k+p)^2)根据抛物线的定义，点P和点Q到抛物线的顶点的距离应该相等。

所以我们有：d1=√((x1-h)^2+(y1-k+p)^2)=√((x1-h)^2+(y1-k-p)^2)d2=√((x2-h)^2+(y2-k+p)^2)=√((x2-h)^2+(y2-k-p)^2)将这两个等式相减，我们得到：(d1)^2-(d2)^2=[(x1-h)^2+(y1-k+p)^2]-[(x2-h)^2+(y2-k-p)^2]=(x1-h)^2+(y1-k+p)^2-(x2-h)^2-(y2-k-p)^2=(x1^2-2x1h+h^2)+(y1^2-2y1k+2y1p+p^2)-(x2^2-2x2h+h^2)-(y2^2-2y2k-2y2p+p^2)=x1^2-2x1h+h^2+y1^2-2y1k+2y1p+p^2-(x2^2-2x2h+h^2)-(y2^2-2y2k-2y2p+p^2)=x1^2-2x1h+y1^2-2y1k+2y1p+p^2-x2^2+2x2h+y2^2-2y2k-2y2p+p^2 =x1^2-2x1h+x2^2-2x2h+y1^2-2y1k-2y2k+2y1p-2y2p=(x1^2+x2^2-2x1h-2x2h)+(y1^2-2y1k-2y2k+2y1p-2y2p)=x1^2+x2^2-2(x1+x2)h+(y1-y2)^2+2(y1p-y2p)=(x1^2+x2^2-2(x1+x2)h+(y1-y2)^2)+2(y1p-y2p)我们知道，抛物线都满足方程y=a(x-h)^2+k。

抛物线的焦点弦二级结论
抛物线是一种非常经典的数学曲线，其具有许多重要的性质和特征，其中一个重要的性质便是抛物线的焦点弦二级结论。

焦点弦二级结论是指在抛物线上，焦点到直线的距离与焦点至该直线所垂直的切线在焦点上方的垂线段的乘积等于常数。

这个结论在解决许多几何问题中非常有用，同时也是研究抛物线性质的基础。

具体来说，当焦点到直线的距离为x，焦点至该直线所垂直的切线在焦点上方的垂线段为y时，焦点弦二级结论可以表示为y²=4ax。

其中，a为抛物线的焦点到准线的距离，也就是抛物线的常数项。

这个公式说明了，对于任何一条直线，它与抛物线的交点到抛物线的焦点的距离和焦点与准线的距离的乘积是一个常数，也就是抛物线的焦距2a的值。

这个结论的应用非常广泛，例如在光学领域中，我们可以将抛物面镜作为光学系统的参数进行分析和设计。

此时焦点弦二级结论有助于我们计算抛物面镜的光学特性，例如焦距、成像质量等等，从而优化抛物面镜的设计和使用。

同样的，这个结论在建筑设计中也非常有用，可以帮助我们更好地设计建筑结构和使用建筑材料。

总之，抛物线的焦点弦二级结论是一个非常重要而有用的数学工具，不仅广泛应用于数学、物理、光学、建筑设计等领域，同时也是理性思维和数学能力的良好锻炼方式。

我们应当认真学习和掌握这个
结论，将其应用到实际的问题中，从而更好地为人类的进步和发展做出贡献。