怎样证明根号2是一个无理数
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无穷递降法证明根号2是无理数
根号2(√2)为什么是无理数,我们有什么办法去计算它。
当我冒出这个想法的时候,其实大部分人的反映都一样1+1开根号就是啊,至于为什么,就是规定呗,当然把根号作为一种符号确实如此,但是离结果还差了很远。
这个问题追根溯源,会发现远比我们想象的要复杂,得追溯到古希腊时期。
毕达哥拉斯(Pythagoras,约公元前580年至公元前500年间)是古希腊的大数学家,他提出“万物皆为数”的观点。
公元前500年,毕达哥拉斯学派的弟子希伯索斯(Hippasus)突然发现好像有些情况解释不了,比如一个正方形的对角线与其一边的长度,这明显与毕氏学派的“万物皆为数”(指有理数)的哲理大相径庭,使得学派领导人很惶恐,最后被毕氏门徒残忍地投入了水中杀害。
要去计算根号2的值,我们可以拆分为两个问题。
1)怎么证明根号2是无理数
2)根号2的无理数值是怎么计算出来的?
我们来从求知的角度来证明下根号2(√2)为什么是无理数?
方法1:尾数证明法:
假设根号2是一个有理数,那么根号2就可以使用a/b的形式来标识,其中(a,b)=1,(表示a与b最大的公因数是1),a和b都是正整数,明确了这些条件,我们就开始证明了。
反证法的一般步骤例子反证法是一种常用的数学证明方法,它通过假设所要证明的命题为假,然后推导出矛盾的结论,从而证明原命题为真。
下面将以反证法的一般步骤为题,列举一些具体的例子来说明。
一、反证法的一般步骤反证法的一般步骤包括以下几个步骤:1. 假设待证命题的反命题为真;2. 利用已知条件或已证明的命题推导出与反命题相矛盾的结论;3. 由此得出结论,待证命题为真。
二、具体例子1. 证明根号2是一个无理数假设根号2是一个有理数,即可以表示为两个整数的比值。
设根号2=a/b,其中a和b互质,且b不等于0。
由此可得2=a^2/b^2,即2b^2=a^2。
根据整除的性质可知,a^2必然是2的倍数,而根据素因子分解的唯一性可知,a也必然是2的倍数。
设a=2k,则可得到4k^2=2b^2,化简得到2k^2=b^2。
同样地,可知b也是2的倍数。
这与a和b互质的假设相矛盾,因此假设不成立,根号2是一个无理数。
2. 证明素数有无穷多个假设存在有限个素数,记为p1、p2、p3、…、pn。
考虑数M=p1p2p3…pn+1,显然M大于任何一个已知的素数。
根据素数的定义,M必然是一个合数。
而根据合数的定义可知,M必然可以被某个素数pi整除。
然而,pi不能整除M,因为p1p2p3…pn+1除以pi的余数必然为1。
这与假设相矛盾,因此假设不成立,素数有无穷多个。
3. 证明根号3是一个无理数假设根号3是一个有理数,即可以表示为两个整数的比值。
设根号3=a/b,其中a和b互质,且b不等于0。
由此可得3=a^2/b^2,即3b^2=a^2。
根据整除的性质可知,a^2必然是3的倍数,而根据素因子分解的唯一性可知,a也必然是3的倍数。
设a=3k,则可得到9k^2=3b^2,化简得到3k^2=b^2。
同样地,可知b也是3的倍数。
这与a和b互质的假设相矛盾,因此假设不成立,根号3是一个无理数。
4. 证明根号5是一个无理数假设根号5是一个有理数,即可以表示为两个整数的比值。
√2是无理数的证明方法
要证明√2是无理数,需要使用反证法。
即假设√2是有理数,可以表示为p/q,其中p和q都是整数,并且它们没有公共因数。
则根据等式√2=p/q,两边平方得到:2=p^2/q^2。
将等式的两边乘以q^2,得到:2q^2=p^2。
由此可知,p^2必定是2的偶数倍。
因为偶数的平方仍然是偶数,奇数的平方是奇数。
所以,p必须是偶数,即p=2k(k为整数)。
代入原方程中,得到2q^2 = (2k)^2,即 q^2 = 2k^2。
同理,q^2也是2的偶数倍。
这与最初的假设矛盾,因为p和q 不可能同时为2的偶数倍,否则它们就有公共因数2,与最初的前提矛盾。
因此,√2不能表示成两个整数的比值,即√2是无理数。
怎样证明 是一个无理数 22 是一个非常著名的无理数,第一个发现并坚持这个结果的希帕索斯因此付出了生命的 代价——后世的数学史家所说的“第一次数学危机”盖源于此.风暴过去后,唤醒的却是数学家 们对数的重新认识,实数的概念开始确立,在此意义上讲, 2 的发现是人们对真理的追求、 探索以致明朗的一个极好例证.换一个角度来看这个数,我们可以把它看作一根 “晾衣绳”,上面挂着许多有趣的方法, 值得你仔细玩味.我们准备从不同的角度来证明 2 是一个无理数,从而体会这一点.a 证法 1:尾数证明法.假设 2 是一个有理数,即 2 可以表示为一个分数的形式 2 = . b其中(a ,b )=1,且 a 与 b 都是正整数.则 2 .由于完全平方数 的尾数只能是 0、1、4、5、a 2b 2 b 2 6、9 中的一个,因此 2 的尾数只能是 0、2、8 中的一个.因为 2 ,所以 与2 的尾 b 2 a 2 b 2 a 2 b 2 数都是 0,因此 的尾数只能是 0 或 5,因此 a 与 b 有公因数 5,与(a ,b)=1 矛盾!因此 2 是 b 2 无理数.这个证法可以证明被开方数的尾数是 2、3、7、8 的平方根都是无理数.a 证法 2:奇偶分析法.假设 2 = .其中(a ,b )=1,且 a 与 b 都是正整数.则 2 .可知 aa 2b 2 b 是偶数,设 a=2c ,则 4 2 , 2 ,可知 b 也是偶数,因此 a 、b 都是偶数,这与(a,b )=1 c 2 b 2 b 2 c 2 矛盾!因此 2 是无理数.希帕索斯就是用这种方法证明了 2 不是有理数,动摇了毕达哥拉斯学派的“万物皆数(任 何数都可表示成整数之比)”的数学信仰,使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌,希帕索斯因此葬 身海底.证法 3:仿上,得到 2 ,易见 b>1,否则 b=1,则 2 =a 是一个整数,这是不行的. a 2 b 2 a a 改写成 2 .因为 b>1,因此 b 有素因子 p ,因此 p 整除 或 a ,总之,p 整除 a , a 2 2b 2 b a 2 2因此 p 同时整除 a 与 b ,这与(a ,b )=1 矛盾.证法 4:仿上,得到 2 ,等式变形为b a b (a b )(a b) ,因为 b>1,因此a 2b 2 2 2 2 ,存在素因子 p p 整除 a+b 或 a-b 之一,则同时整除 a+b 与 a-b ,因此 p 整除 a ,因此 p 是 a 、 b 的公因数,与(a ,b )=1 矛盾.证法 5:利用代数基本定理,如果不考虑素因子的顺序,任何一个正整数都可以唯一地写成素数幂的积的形式,因此 a p p p ,b q q q ,其中 , , 与 , , p p q q r r r m s s s 1 2 1 2 n 1 2 m 1 2 n1 1 m n都是素数, r , ,r 与 s , s 都是正整数,因此 p p p =2q q q ,素数 2 n2 2r 2 2r m 2 2s 22 r s s 1 1 n 1 m 1 n 1 2 1 2 m 在等式左边是偶数次幂,但在右边是奇数次幂,矛盾,因此 2 是无理数.a a 证法 6:假设 2 = ,其中右边是最简分数,即在所有等于 的分数中,a 是最小的正整b b数分子,在 2 的两边减去 ab 有 2 , ( ) (2 ) ,即 a 2 b 2 a 2 ab b 2 ab a a b b ba a 2b a 2 b a b b a a ,右边的分子 2 - < ,这与 是最小的分子矛盾,因此 2 是无理数.a 1 证法 7:连分数法.因为( 2 1)( 2 1) =1,因此 2 1, 1 2 1 1 1 2 1 ,将分母中的 2 用1 代替,有 2 1 ,不断重复这个 1 1 2 1 2 2 1 2,这是一个无限连分数.而任何有理数都可以表示为分子都是 1 1 过程,得 2 =1 1 2 1 2 2分母为正整数的有限连分数,因此 2 是无理数.证法 8:构图法。
gowers 根号2 证明假设根号2是一个有理数,那么根号2就可以使用a/b的形式来标识,其中(a,b)=1,(表示a与b最大的公因数是1),a和b都是正整数,明确了这些条件,我们就开始证明了。
第1步:√2=a/b那么可以得到a*a=2*b*b第2步:从数的平方我们可以很快得到,b*b的尾数范围是(0,1,4,5,6,9)中的一个数,不可能是2,3,7,8,这个道理不难理解;第3步:2*b*b的尾数范围是(0,2,8)中的一个数,第4步:因为a*a=2*b*b,那么a*a的尾数范围可以排除2和8,只有0第5步:因为2*b*b得到的值肯定是一个偶数,那么b*b的尾数范围是(0,5)第6步:按照目前的尾数可选项,a和b存在公因数5,和(a,b)=1是相矛盾的。
所以根号2是一个无理数。
方法2:奇偶分析法假设√2=a/b那么可以得到a*a=2*b*b,(a,b)=1,(表示a与b最大的公因数是1,a和b都是正整数1)根据2*b*b可以推得a是一个偶数,我们可以设置a=2c2)4*c*c=2*b*b得到b*b=2*c*c,可以得到b也是偶数3)a,b都是偶数,这和(a,b)=1相矛盾所以根号2是一个无理数,可以说明的是希帕索斯就是用这种方法证明的。
还有很多种方法补充,差不多有8种左右,我就不一一罗列了。
如何计算根号2的值呢,查找了不少资料,我觉得这几种方法还是能消化的。
方法1:(√2+1)(√2-1)=1,这是我们参考的一个基准,可以按照这种方式不断的展开。
√2-1=1/(√2+1)√2=1+1/(√2+1),继续带入根号2的对等公式√2=1+1/(1+1/(√2+1)+1)=1+1/(2+1/(√2+1))继续推导:√2=1+1/(2+1/(√2+1))=1+1/(2+1/(1+1/(√2+1)+1))=1+1/(2+1/(2+1/(√2+1)))这种方式叫做连分数法,我们可以通过这种不断的迭代可以得到更加精确的值。
无理数的经典例题无理数是指不能表示为两个整数的比值的实数。
它是实数中的一类特殊的数,不属于有理数的范畴。
无理数在数学中有着广泛的应用,其中包括几何、物理学和金融学等领域。
下面将介绍一些与无理数相关的经典例题,以及其解决方法和相关的数学概念。
1. 证明根号 2 是无理数设根号2是有理数,即可以写成 m/n(最简分数形式),其中m 和 n 是整数,且它们没有公共的因子。
则有 (m/n)^2 = 2,即 m^2 = 2n^2。
由此可知,m^2 是 2 的倍数,因此 m 也是 2的倍数。
设 m = 2k,其中 k 是整数。
代入方程中得到 (2k)^2 = 2n^2,即 2k^2 = n^2。
同样的道理,n 也是 2 的倍数。
这与最简分数要求矛盾,因此根号 2 是无理数。
2. 求根号 3 的近似值根号 3 是一个无理数,我们可以通过数值逼近来求得一个近似值。
一种常用的方法是二分法。
假设根号 3 的近似值为 x,我们可以选择一个区间 [a, b],使得根号 3 落在该区间内。
然后计算中点 c,即 (a + b)/2,并比较 c^2 和 3 的大小关系。
如果c^2 大于 3,则将 c 更新为新的上界 b,否则更新为新的下界 a。
重复上述步骤直到满足要求。
3. 证明 e 和π 的和是无理数假设 e 和π 的和是有理数,即e + π = m/n,其中 m 和 n 是整数,且它们没有公共的因子。
将等式两边均乘以 n,得到 ne + nπ = m。
由于 e 和π 都是无理数,因此它们的乘积ne + nπ 也是无理数。
但等式右边是一个有理数,这与无理数的定义相矛盾。
所以 e 和π 的和是无理数。
4. 证明根号 2 + 根号 3 是无理数假设根号 2 + 根号 3 是有理数,即可以写成 m/n(最简分数形式),其中 m 和 n 是整数,且它们没有公共的因子。
通过移项可以得到 (m/n - 根号 2)^2 = 3。
展开并化简等式得到m^2/n^2 - 2m根号 2/n + 2 = 3,继续整理得到 m^2 - 2mn根号2 + 2n^2 = 3n^2。
无理数是不能表示为两个整数的比例的实数,它们的小数部分是无限不循环的。
以下是一些关于无理数的经典例题:
1. **证明根号2 是无理数:**
考虑方程\(x^2 = 2\),证明它没有整数解。
这可以通过反证法,假设存在整数解,然后导出一个矛盾,证明根号2 是无理数。
2. **证明\(e\) 是无理数:**
证明自然对数的底\(e\) 是无理数是一个复杂的问题,通常需要使用数学分析的方法。
这个证明是由瑞士数学家乔治·庞加莱提出的,使用了连分数等技巧。
3. **证明\(\pi\) 是无理数:**
证明圆周率\(\pi\) 是无理数是一个著名的问题。
这个证明最初由德国数学家弗朗茨·利希滕贝尔格在18世纪提出,后来由英国数学家罗杰·阿普利顿于1882年完成。
4. **证明黄金比例\( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \) 是无理数:**
这个数通常用希腊字母\(\phi\) 表示,它是黄金比例的一个代表。
证明\(\phi\) 是无理数可以通过构造与其相关的方程并应用数学归谬法。
5. **证明平方根为质数的无理数性质:**
例如,证明\(\sqrt{3}\)、\(\sqrt{5}\)、\(\sqrt{7}\) 等为无理数。
这可以通过反证法,假设它是有理数,然后导出矛盾。
这些问题都涉及到一些高级的数学知识,通常需要运用代数、数论、分析等多个数学分支的方法。
证明一个数是无理数往往需要使用反证法,也可能需要一些创造性的构造和证明技巧。
如何证明√2是无理数?大学学历未必会,看完这个初中学历足矣!像是很多希腊神话中的英雄一样,哲学家希帕索斯曾被天神处以致命的惩罚,但他到底犯下了什么罪行呢?希帕索斯的罪过是一个数学证明,他发现了无理数!希帕索斯属于一个被称为“毕达哥拉斯主义数学家”的群体,他们对数学有着宗教式的崇敬,他们的格言是“一切都是数学”,数字是构建宇宙的基石。
而这个信念其中一条就是从宇宙学,形而上学,音乐知道道德的一切,都遵从不变的规则,称之为数字的比值。
因此,任何一个数字都可以被写成比例的形式。
比如,5等于5/1,0.5等于1/2。
即便是无限循环小数,比如0.3333(无限循环),也可以被精确地表达为1/3!所有的这些,我们现在都称之为有理数。
但是希帕索斯发现了一个违背这个和谐的规则的数字,它被认为是不应该存在的,比如说π和√2。
这个问题起始自一个非常简单的图形,一个边长为一个单位的正方形。
根据勾股定理,正方形对角线的长度是√2.但是在尽力尝试后,希帕索斯无法将其表达为两个整数的比值,但与其因此而放弃,他决心证明这是不可能做到的事。
首先,希帕索斯假设毕达哥拉斯的世界观是正确的,即可以用两个整数的比来表达√2,他用p和q表示这两个假设的数,假设这个比值已经被公约到其最简形式,p和q之间就不存在任何公约数。
为了证明√2不是有理数,希帕索斯只需要证明p/q是不存在的,所以,他在等式两边都乘以q,然后将两边平方,就得到这样一个等式:2q²=p²任何一个数乘以2都将得到一个偶数,所以p的平方只能是偶数。
如果p是奇数,那p的平方就不可能是偶数,因为奇数的平方永远是奇数,所以p也是偶数,因此p可以写成2a(这里a是一个整数)。
我们把2a代入等式并简化,就得到这个等式:q²=2a²再说一次,2乘以任何整数都将得到一个偶数,所以,既然q²一定是偶数,那么q也一定是偶数,这样p和q都是偶数!但如果真的是这样,它们就有了公约数:2,这和最初的假设(p 和q不存在任何公约数)相矛盾。
怎样证明2是一个无理数
2是一个非常著名的无理数,第一个发现并坚持这个结果的希帕索斯因此付出了生命的代价——后世的数学史家所说的“第一次数学危机”盖源于此.风暴过去后,唤醒的却是数学家们对数的重新认识,实数的概念开始确立,在此意义上讲,2的发现是人们对真理的追求、探索以致明朗的一个极好例证.
换一个角度来看这个数,我们可以把它看作一根“晾衣绳”,上面挂着许多有趣的方法,值得你仔细玩味.我们准备从不同的角度来证明2是一个无理数,从而体会这一点.
证法1:尾数证明法.假设2是一个有理数,即2可以表示为一个分数的形式2=b a .其中(a,b )=1,且a 与b 都是正整数.则222b a =.由于完全平方数2b 的尾数只能是0、1、4、5、6、9中的一个,因此22b 的尾数只能是0、2、8中的一个.因为222b a =,所以2a 与22b 的尾数都是0,因此2b 的尾数只能是0或5,因此a 与b 有公因数5,与(a,b )=1矛盾!因此2是无理数.
这个证法可以证明被开方数的尾数是2、3、7、8的平方根都是无理数.
证法2:奇偶分析法.假设2=b
a .其中(a,
b )=1,且a 与b 都是正整数.则222b a =.可知a 是偶数,设a =2
c ,则2224b c =,222c b =,可知b 也是偶数,因此a 、b 都是偶数,这与(a,b )=1矛盾!因此2是无理数. 希帕索斯就是用这种方法证明了2不是有理数,动摇了毕达哥拉斯学派的“万物皆数(任何数都可表示成整数之比)”的数学信仰,使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌,希帕索斯因此葬身海底.
证法3:仿上,得到222b a =,易见b >1,否则b=1,则2=a 是一个整数,这是不行
的.222b a =改写成a a b ⋅=
22.因为b >1,因此b 有素因子p ,因此p 整除2
a 或a ,总之,p 整除a ,因此p 同时整除a 与
b ,这与(a,b )=1矛盾. 证法4:仿上,得到222b a =,等式变形为))((222b a b a b a b -+=-=,因为b >1,因此存在素因子p ,p 整除a+b 或a-b 之一,则同时整除a+b 与a-b ,因此p 整除a ,因此p 是a 、b 的公因数,与(a,b )=1矛盾.
证法5:利用代数基本定理,如果不考虑素因子的顺序,任何一个正整数都可以唯一地写成素数幂的积的形式,因此m r m r r p p p a 2121=,n s n s s q q q b 2121=,其中m p p ,,1 与n q q ,,1 都是素数,m r r ,,1 与n s s ,1都是正整数,因此m r m r r p p p 2222121 =2n s n s s q q q 2222121 ,素数2在等式左边是偶数次幂,但在右边是奇数次幂,矛盾,因此2是无理数.
证法6:假设2=b a ,其中右边是最简分数,即在所有等于b a 的分数中,a 是最小的正整数分子,在222b a =的两边减去ab 有ab b ab a -=-222,)2()(a b b b a a -=-,即b
a a
b b a --==22,右边的分子2b -a <a ,这与a 是最小的分子矛盾,因此2是无理数. 证法7:连分数法.因为)12)(12(-+=1,因此211
12+=
-, 211
12++=,将分母中的2用2111++代替,有211
2112+++=,不断重复这
个过程,得2= +++
+21
2121
1,这是一个无限连分数.而任何有理数都可以表示为分子都是
1分母为正整数的有限连分数,因此2是无理数.
证法8:构图法。
以上诸多证法的关键之处在于,证明222b a =没有正整数解。
若不然,可以b 、a 为边构造正方形(b<a ),因为222b a =,因此图中空白部分的面积等于中间黑色阴影部分的面积,它们都是正方形,这就找到了一组更小的正整数(a,b )满足222b a =,无穷递降下去,这个过程可以无限进行,矛盾!。