第5讲为什么说根号2不是有理数

令⼈称奇的简单证明：五种⽅法证明根号2是⽆理数令⼈称奇的简单证明：五种⽅法证明根号2是⽆理数我喜欢各种各样的证明。

⼈们很难想到这样⼀些完全找不到突破⼝的东西竟然能够证明得到。

说“没有突破⼝”还不够确切。

准确地说，有些命题多数⼈认为“怎么可能能够证明”却⽤了⼀些技巧使得证明变得⾮常简单。

我看了五⾊定理的证明，定理宣称若要对地图进⾏染⾊使得相邻区域不同⾊，五种颜⾊就够了。

没看证明之前，我⼀直在想这个玩意⼉可以怎么来证明。

直到看了证明过程后才感叹居然如此简单，并且⽴即意识到四⾊定理基本上也是这种证明⽅法。

还有，像“⼀个单位正⽅形⾥不可能包含两个互不重叠且边长和超过1的⼩正⽅形”这样的命题竟然完全⽤初中学的那些平⾯⼏何知识证明到了，简单得不可思议。

关键是，我们能够读懂证明过程，但只有⽜⼈才能想到这个证明过程。

今天在OIBH上看到了这个帖⼦，帖⼦中哲⽜分享的⼀篇⽂章The Power Of Mathematics恰好说明了这⼀点。

⽂章中包含有⼀个推翻“万物皆数”的新思路，相当有启发性。

今天我想把我已经知道的四种证明连同新学到的这⼀个⼀起写下来。

如何证明存在⼀种不能表⽰为两个整数之⽐的数？古希腊曾有“万物皆数”的思想，这种认为“⼤⾃然的⼀切皆为整数之⽐”的思想统治了古希腊数学相当长的⼀段时间，许多⼏何命题都是根据这⼀点来证明的。

当时的很多数学证明都隐性地承认了“所有数都可以表⽰为整数之⽐”，“万物皆数”的思想是古希腊数学发展的奠基。

直到有⼀天，毕达哥拉斯的学⽣Hippasus告诉他，单位正⽅形的对⾓线长度不能表⽰为两个整数之⽐。

被⼈们公认的假设被推翻了，⼤半命题得证的前提被认定是错的，古希腊时代的数学⼤厦轰然倒塌，数学陷⼊了历史上的第⼀次危机。

最后，Eudoxus的出现奇迹般地解决了这次危机。

今天我们要看的是，为什么单位正⽅形的对⾓线长度不能表⽰为两个整数之⽐。

单位正⽅形的对⾓线长度怎么算呢？从上⾯的这个图中我们可以看到，如果⼩正⽅形的⾯积是1的话，⼤正⽅形的⾯积就是2。

7.3 √2是有理数吗
学习目标：
1．理解无理数的概念．
2．能用无理数估计√2的大致范围，明确无理数与有理数的区别与联系．
3．理解无理数也可以用数轴上的点表示．
学习要点：
1．无理数的概念
无限不循环小数叫做无理数．
判断一个数是不是无理数，就看这个数是否满足定义中的三条：（1）小数；（2）无限；（3）不循环三个条件缺一不可．
常见无理数的三种表现形式：
（1）开方开不尽的数，如√2，√3等．
（2）含有π的一类数，如π/2，-2π+1等．
（3）特殊形式的无限不循环小数，如0.2121121112…（小数点后面相邻的两个2之间依次多1个）等．
2．作长度为无理数的线段
作形如√2，√3，√5这些长度为无理数的线段可以通过构造直角三角形，借助勾股定理来确定，也可以在数轴上用几何作图的方法在数轴上表示出来．
注意：并不是所有的无理数都能用尺规作图的方法在数轴上作出对应的点，如π，
0.1010010001…（小数点后面相邻两个1之间依次多1个0）等．
3．有理数与无理数的区别
有理数是有限小数或无限循环小数，都能写成分数的形式；无理数是无限不循环小数，不能写成分数的形式．
有理数和无理数与数轴上的点是一一对应的，即数轴上的任意一点都表示一个有理数或无理数；每一个有理数或无理数都可以用数轴上的点来表示．
拓展：整数、分数统称为有理数．无理数与有理数的和、差仍为无理数，无理数与不为0的有理数的积、商是无理数．。

怎样证明 是一个无理数 22 是一个非常著名的无理数，第一个发现并坚持这个结果的希帕索斯因此付出了生命的 代价——后世的数学史家所说的“第一次数学危机”盖源于此.风暴过去后，唤醒的却是数学家 们对数的重新认识，实数的概念开始确立，在此意义上讲， 2 的发现是人们对真理的追求、 探索以致明朗的一个极好例证.换一个角度来看这个数，我们可以把它看作一根 “晾衣绳”，上面挂着许多有趣的方法， 值得你仔细玩味.我们准备从不同的角度来证明 2 是一个无理数，从而体会这一点.a 证法 1：尾数证明法.假设 2 是一个有理数，即 2 可以表示为一个分数的形式 2 = . b其中(a ,b )=1，且 a 与 b 都是正整数.则 2 .由于完全平方数 的尾数只能是 0、1、4、5、a 2b 2 b 2 6、9 中的一个，因此 2 的尾数只能是 0、2、8 中的一个.因为 2 ，所以 与2 的尾 b 2 a 2 b 2 a 2 b 2 数都是 0，因此 的尾数只能是 0 或 5，因此 a 与 b 有公因数 5，与(a ,b)=1 矛盾！因此 2 是 b 2 无理数.这个证法可以证明被开方数的尾数是 2、3、7、8 的平方根都是无理数.a 证法 2：奇偶分析法.假设 2 = .其中(a ,b )=1，且 a 与 b 都是正整数.则 2 .可知 aa 2b 2 b 是偶数，设 a=2c ,则 4 2 ， 2 ，可知 b 也是偶数，因此 a 、b 都是偶数，这与(a,b )=1 c 2 b 2 b 2 c 2 矛盾！因此 2 是无理数.希帕索斯就是用这种方法证明了 2 不是有理数，动摇了毕达哥拉斯学派的“万物皆数(任 何数都可表示成整数之比)”的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌，希帕索斯因此葬 身海底.证法 3：仿上，得到 2 ，易见 b>1，否则 b=1，则 2 =a 是一个整数,这是不行的. a 2 b 2 a a 改写成 2 .因为 b>1，因此 b 有素因子 p ，因此 p 整除 或 a ，总之，p 整除 a ， a 2 2b 2 b a 2 2因此 p 同时整除 a 与 b ，这与(a ,b )=1 矛盾.证法 4：仿上，得到 2 ，等式变形为b a b (a b )(a b) ，因为 b>1，因此a 2b 2 2 2 2 ，存在素因子 p p 整除 a+b 或 a-b 之一，则同时整除 a+b 与 a-b ，因此 p 整除 a ，因此 p 是 a 、 b 的公因数，与(a ,b )=1 矛盾.证法 5：利用代数基本定理，如果不考虑素因子的顺序，任何一个正整数都可以唯一地写成素数幂的积的形式，因此 a p p p ，b q q q ，其中 , , 与 , , p p q q r r r m s s s 1 2 1 2 n 1 2 m 1 2 n1 1 m n都是素数， r , ,r 与 s , s 都是正整数，因此 p p p =2q q q ，素数 2 n2 2r 2 2r m 2 2s 22 r s s 1 1 n 1 m 1 n 1 2 1 2 m 在等式左边是偶数次幂，但在右边是奇数次幂，矛盾，因此 2 是无理数.a a 证法 6：假设 2 = ，其中右边是最简分数，即在所有等于 的分数中，a 是最小的正整b b数分子，在 2 的两边减去 ab 有 2 ， ( ) (2 ) ，即 a 2 b 2 a 2 ab b 2 ab a a b b ba a 2b a 2 b a b b a a ，右边的分子 2 - < ，这与 是最小的分子矛盾，因此 2 是无理数.a 1 证法 7：连分数法.因为( 2 1)( 2 1) =1，因此 2 1， 1 2 1 1 1 2 1 ，将分母中的 2 用1 代替，有 2 1 ，不断重复这个 1 1 2 1 2 2 1 2，这是一个无限连分数.而任何有理数都可以表示为分子都是 1 1 过程，得 2 =1 1 2 1 2 2分母为正整数的有限连分数，因此 2 是无理数.证法 8：构图法。

根号2的故事古希蜡有一位著名的数学家叫毕达哥拉斯,当时他成立“毕达哥拉斯学派”。

毕达哥拉斯学派的理论基础就是我们上学期学过的有理数理论，他们相信宇宙万物总可以归结为简单的整数和整数之比。

并且毕达戈拉斯还发现并证明了“直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方”，证明了这个定理后，他们学派内外都非常高兴，宰了100头牛大肆庆贺，这个定理在欧洲叫“毕达戈拉斯定理”或“百牛定理”，我国叫勾股定理。

毕达戈拉斯有一个学生叫西伯斯，他勤奋好学，一天，他研究了这样的问题：“边长为1的正方形，其对角线的长是多少呢？”他根据毕达戈拉斯定理，发现了对角线的长度就是根号2，但是根号2却不能用整数或整数之比来表示，他非常兴奋同时又感到迷惑，因为根据老师的观点，根号 2 是不应该存在的，但对角线又是客观地存在，他无法解释，他把自己的研究结果告诉了老师，并请求给予解释。

毕达戈拉斯思考了很久，都无法解释这种“怪”现象，他惊骇极了，又不敢承认根号2 是一种新数，否则，这就动摇了他们“万物皆数”的根本信念，整个学派的理论体系将面临崩溃，最后，他采取了错误的方式：下令封锁消息，也不准西佰斯再研究和谈论此事。

西佰斯后来通过长时间的思考，他认为根号 2 是客观存在的，只是老师的理论体系无法解释它，这说明老师的观点有问题。

后来，他不顾一切的将自己的发现和看法传扬了出去，毕达戈拉斯恼羞成怒，无法容忍这个“叛逆”。

决定对西伯斯严加惩罚。

西伯斯听到风声后，连夜乘船逃走了。

然而，他没想到，毕达戈拉斯学派的打手最后追上了他，并将他投入到了浩瀚无边的大海之中，西佰斯为根号2的诞生献出了自己的宝贵的生命！然而，真理是不会被淹没的。

人们很快发现不可公度并非罕见：面积等于3，5，6，17等等的正方形的边不可公度。

新的问题促使人们重新认识曾经被看成是完美无缺的有理数理论，数学发展出现了“第一次危机”，这次危机使毕达哥拉斯学派迅速瓦解。