第5讲为什么说根号2不是有理数

令⼈称奇的简单证明：五种⽅法证明根号2是⽆理数令⼈称奇的简单证明：五种⽅法证明根号2是⽆理数我喜欢各种各样的证明。

⼈们很难想到这样⼀些完全找不到突破⼝的东西竟然能够证明得到。

说“没有突破⼝”还不够确切。

准确地说，有些命题多数⼈认为“怎么可能能够证明”却⽤了⼀些技巧使得证明变得⾮常简单。

我看了五⾊定理的证明，定理宣称若要对地图进⾏染⾊使得相邻区域不同⾊，五种颜⾊就够了。

没看证明之前，我⼀直在想这个玩意⼉可以怎么来证明。

直到看了证明过程后才感叹居然如此简单，并且⽴即意识到四⾊定理基本上也是这种证明⽅法。

还有，像“⼀个单位正⽅形⾥不可能包含两个互不重叠且边长和超过1的⼩正⽅形”这样的命题竟然完全⽤初中学的那些平⾯⼏何知识证明到了，简单得不可思议。

关键是，我们能够读懂证明过程，但只有⽜⼈才能想到这个证明过程。

今天在OIBH上看到了这个帖⼦，帖⼦中哲⽜分享的⼀篇⽂章The Power Of Mathematics恰好说明了这⼀点。

⽂章中包含有⼀个推翻“万物皆数”的新思路，相当有启发性。

今天我想把我已经知道的四种证明连同新学到的这⼀个⼀起写下来。

如何证明存在⼀种不能表⽰为两个整数之⽐的数？古希腊曾有“万物皆数”的思想，这种认为“⼤⾃然的⼀切皆为整数之⽐”的思想统治了古希腊数学相当长的⼀段时间，许多⼏何命题都是根据这⼀点来证明的。

当时的很多数学证明都隐性地承认了“所有数都可以表⽰为整数之⽐”，“万物皆数”的思想是古希腊数学发展的奠基。

直到有⼀天，毕达哥拉斯的学⽣Hippasus告诉他，单位正⽅形的对⾓线长度不能表⽰为两个整数之⽐。

被⼈们公认的假设被推翻了，⼤半命题得证的前提被认定是错的，古希腊时代的数学⼤厦轰然倒塌，数学陷⼊了历史上的第⼀次危机。

最后，Eudoxus的出现奇迹般地解决了这次危机。

今天我们要看的是，为什么单位正⽅形的对⾓线长度不能表⽰为两个整数之⽐。

单位正⽅形的对⾓线长度怎么算呢？从上⾯的这个图中我们可以看到，如果⼩正⽅形的⾯积是1的话，⼤正⽅形的⾯积就是2。

7.3 √2是有理数吗
学习目标：
1．理解无理数的概念．
2．能用无理数估计√2的大致范围，明确无理数与有理数的区别与联系．
3．理解无理数也可以用数轴上的点表示．
学习要点：
1．无理数的概念
无限不循环小数叫做无理数．
判断一个数是不是无理数，就看这个数是否满足定义中的三条：（1）小数；（2）无限；（3）不循环三个条件缺一不可．
常见无理数的三种表现形式：
（1）开方开不尽的数，如√2，√3等．
（2）含有π的一类数，如π/2，-2π+1等．
（3）特殊形式的无限不循环小数，如0.2121121112…（小数点后面相邻的两个2之间依次多1个）等．
2．作长度为无理数的线段
作形如√2，√3，√5这些长度为无理数的线段可以通过构造直角三角形，借助勾股定理来确定，也可以在数轴上用几何作图的方法在数轴上表示出来．
注意：并不是所有的无理数都能用尺规作图的方法在数轴上作出对应的点，如π，
0.1010010001…（小数点后面相邻两个1之间依次多1个0）等．
3．有理数与无理数的区别
有理数是有限小数或无限循环小数，都能写成分数的形式；无理数是无限不循环小数，不能写成分数的形式．
有理数和无理数与数轴上的点是一一对应的，即数轴上的任意一点都表示一个有理数或无理数；每一个有理数或无理数都可以用数轴上的点来表示．
拓展：整数、分数统称为有理数．无理数与有理数的和、差仍为无理数，无理数与不为0的有理数的积、商是无理数．。

怎样证明 是一个无理数 22 是一个非常著名的无理数，第一个发现并坚持这个结果的希帕索斯因此付出了生命的 代价——后世的数学史家所说的“第一次数学危机”盖源于此.风暴过去后，唤醒的却是数学家 们对数的重新认识，实数的概念开始确立，在此意义上讲， 2 的发现是人们对真理的追求、 探索以致明朗的一个极好例证.换一个角度来看这个数，我们可以把它看作一根 “晾衣绳”，上面挂着许多有趣的方法， 值得你仔细玩味.我们准备从不同的角度来证明 2 是一个无理数，从而体会这一点.a 证法 1：尾数证明法.假设 2 是一个有理数，即 2 可以表示为一个分数的形式 2 = . b其中(a ,b )=1，且 a 与 b 都是正整数.则 2 .由于完全平方数 的尾数只能是 0、1、4、5、a 2b 2 b 2 6、9 中的一个，因此 2 的尾数只能是 0、2、8 中的一个.因为 2 ，所以 与2 的尾 b 2 a 2 b 2 a 2 b 2 数都是 0，因此 的尾数只能是 0 或 5，因此 a 与 b 有公因数 5，与(a ,b)=1 矛盾！因此 2 是 b 2 无理数.这个证法可以证明被开方数的尾数是 2、3、7、8 的平方根都是无理数.a 证法 2：奇偶分析法.假设 2 = .其中(a ,b )=1，且 a 与 b 都是正整数.则 2 .可知 aa 2b 2 b 是偶数，设 a=2c ,则 4 2 ， 2 ，可知 b 也是偶数，因此 a 、b 都是偶数，这与(a,b )=1 c 2 b 2 b 2 c 2 矛盾！因此 2 是无理数.希帕索斯就是用这种方法证明了 2 不是有理数，动摇了毕达哥拉斯学派的“万物皆数(任 何数都可表示成整数之比)”的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌，希帕索斯因此葬 身海底.证法 3：仿上，得到 2 ，易见 b>1，否则 b=1，则 2 =a 是一个整数,这是不行的. a 2 b 2 a a 改写成 2 .因为 b>1，因此 b 有素因子 p ，因此 p 整除 或 a ，总之，p 整除 a ， a 2 2b 2 b a 2 2因此 p 同时整除 a 与 b ，这与(a ,b )=1 矛盾.证法 4：仿上，得到 2 ，等式变形为b a b (a b )(a b) ，因为 b>1，因此a 2b 2 2 2 2 ，存在素因子 p p 整除 a+b 或 a-b 之一，则同时整除 a+b 与 a-b ，因此 p 整除 a ，因此 p 是 a 、 b 的公因数，与(a ,b )=1 矛盾.证法 5：利用代数基本定理，如果不考虑素因子的顺序，任何一个正整数都可以唯一地写成素数幂的积的形式，因此 a p p p ，b q q q ，其中 , , 与 , , p p q q r r r m s s s 1 2 1 2 n 1 2 m 1 2 n1 1 m n都是素数， r , ,r 与 s , s 都是正整数，因此 p p p =2q q q ，素数 2 n2 2r 2 2r m 2 2s 22 r s s 1 1 n 1 m 1 n 1 2 1 2 m 在等式左边是偶数次幂，但在右边是奇数次幂，矛盾，因此 2 是无理数.a a 证法 6：假设 2 = ，其中右边是最简分数，即在所有等于 的分数中，a 是最小的正整b b数分子，在 2 的两边减去 ab 有 2 ， ( ) (2 ) ，即 a 2 b 2 a 2 ab b 2 ab a a b b ba a 2b a 2 b a b b a a ，右边的分子 2 - < ，这与 是最小的分子矛盾，因此 2 是无理数.a 1 证法 7：连分数法.因为( 2 1)( 2 1) =1，因此 2 1， 1 2 1 1 1 2 1 ，将分母中的 2 用1 代替，有 2 1 ，不断重复这个 1 1 2 1 2 2 1 2，这是一个无限连分数.而任何有理数都可以表示为分子都是 1 1 过程，得 2 =1 1 2 1 2 2分母为正整数的有限连分数，因此 2 是无理数.证法 8：构图法。

根号2的故事古希蜡有一位著名的数学家叫毕达哥拉斯,当时他成立“毕达哥拉斯学派”。

毕达哥拉斯学派的理论基础就是我们上学期学过的有理数理论，他们相信宇宙万物总可以归结为简单的整数和整数之比。

并且毕达戈拉斯还发现并证明了“直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方”，证明了这个定理后，他们学派内外都非常高兴，宰了100头牛大肆庆贺，这个定理在欧洲叫“毕达戈拉斯定理”或“百牛定理”，我国叫勾股定理。

毕达戈拉斯有一个学生叫西伯斯，他勤奋好学，一天，他研究了这样的问题：“边长为1的正方形，其对角线的长是多少呢？”他根据毕达戈拉斯定理，发现了对角线的长度就是根号2，但是根号2却不能用整数或整数之比来表示，他非常兴奋同时又感到迷惑，因为根据老师的观点，根号 2 是不应该存在的，但对角线又是客观地存在，他无法解释，他把自己的研究结果告诉了老师，并请求给予解释。

毕达戈拉斯思考了很久，都无法解释这种“怪”现象，他惊骇极了，又不敢承认根号2 是一种新数，否则，这就动摇了他们“万物皆数”的根本信念，整个学派的理论体系将面临崩溃，最后，他采取了错误的方式：下令封锁消息，也不准西佰斯再研究和谈论此事。

西佰斯后来通过长时间的思考，他认为根号 2 是客观存在的，只是老师的理论体系无法解释它，这说明老师的观点有问题。

后来，他不顾一切的将自己的发现和看法传扬了出去，毕达戈拉斯恼羞成怒，无法容忍这个“叛逆”。

决定对西伯斯严加惩罚。

西伯斯听到风声后，连夜乘船逃走了。

然而，他没想到，毕达戈拉斯学派的打手最后追上了他，并将他投入到了浩瀚无边的大海之中，西佰斯为根号2的诞生献出了自己的宝贵的生命！然而，真理是不会被淹没的。

人们很快发现不可公度并非罕见：面积等于3，5，6，17等等的正方形的边不可公度。

新的问题促使人们重新认识曾经被看成是完美无缺的有理数理论，数学发展出现了“第一次危机”，这次危机使毕达哥拉斯学派迅速瓦解。

为什么⼩⼩的根号2却引发了数学史上⼤⼤的危机1、危机的出现说到第⼀次数学危机，就不得不说⼀下毕达哥拉斯这个⼈。

毕达哥拉斯(Pythagoras，约公元前580年~约前500(490)年)古希腊数学家、哲学家，尤其对⼏何有着深⼊的研究。

他曾到意⼤利南部宣传他的思想，并且和他的信徒们成⽴了⼀个学派，叫做毕达哥拉斯派。

这个学派有着许多先进的地⽅，⽐如倡导男⼥同等受教育权利。

该学派有⼀条被当时公认为正确的信仰条例：⼀切数均可表成整数或整数之⽐。

这句话的意思，按现在的语⾔来说，就是数只分为整数和分数，排除了⽆理数。

但其实现在我们知道有⽆理数的存在。

恐怕有⼈要问：如果⼀直不出现⽆理数，不就不会出现这次数学危机吗？起初这个⽆理数是怎么产⽣的呢？其实说起这个问题，只能说毕达哥拉斯派是搬起⽯头砸了⾃⼰的脚。

毕达哥拉斯曾经发现了⼀个定理，也就是我国早就出现的勾股定理：直⾓三⾓形的两直⾓边的平⽅和等于斜边的平⽅。

当时他的学派中的⼀个成员叫希帕索斯，就考虑了⼀个到了问题：边长为1的正⽅形其对⾓线长度是多少？拿到现在来说就是根号2，可是在当时根号2是从未出现过的数。

⽽且这个数⽆法⽤整数或者整数之⽐来表⽰，这与毕达哥拉斯派的信仰起了冲突。

由此，数学史上第⼀次数学危机产⽣了。

2、数学危机的解决⼀般出现错误的情况，有两种解决⽅法：⼀个是内部的，就是以原始条件的正确性出发，从⽽解决现有的问题；另⼀个外部的，就是以原始条件的错误性出发，提出新的成⽴条件，这样问题也能解决。

很显然，在这个问题⾥，第⼀种⽅法已经⽆法⽤来证明根号2究竟是哪个整数或者哪两个整数的⽐值。

所以当时的数学家采取了第⼆种⽅法，通过扩充数系的⽅法来合理解决了这⼀危机。

于是，数从原始的有理数域扩充到了实数域，实数包括了有理数和⽆理数。

根号2就是属于⽆理数中的⼀个数，⽤⼀种新⽅法来表⽰：√￣。

由此，在⼀条数轴上，也能够⽤实数把所有的点代表的数字都表⽰出来。

数系的扩充以后还会讲到，并不是简单的扩充到了实数就结束了。

第05讲 实数与二次根式知识点梳理考点01 平方根一、平方根1.平方根的概念：如果一个数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个数x 就叫作a 的平方根（或二次方根）。

2.平方根的表示方法：正数a 的平方根可记作a ±，读作：正负根号a ，读作根号，a 是被开方数。

3.平方根的性质：若a x =2，那么a x =-2）（，则也是a 的平方根，所以正数a 的平方根有两个，它们互为相反数，0的平方根是0；因为相同的两个数的乘积为正，所以任何数的平方都不是负数，所以负数没有平方根（即0≥±a a ，）。

二、算数平方根1.算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个正数x 就叫作a 的算术平方根。

2.算术平方根的表示方法：正数a 的算术平方根可记作，读作：根号a 。

3.算术平方根的性质：正数有一个正的算术平方根；0的算术平方根是0，负数没有算术平方根。

一个正数a 的正的平方根就是它的算术平方根。

三、开平方1.求一个数a （0≥a ）的平方根的运算叫作开平方，其中a 叫作被开方数。

开平方运算是已知指数和幂求底数。

2.因为平方与开平方互为逆运算，所以可以通过平方来寻找一个数的平方根。

3.正数、负数、0都可以进行平方运算，且平方的结果只有一个；但开平方只有正数和0可以，负数不能开平方。

考点02 立方根1.立方根的概念：一般地，如果一个数x 的立方等于a ，即a x =3，那么这个数x 就叫作a 的立方根（或三次方根）。

2.立方根的表示方法：a 的立方根可记作3a ，读作：三次根号a ，其中“3”是根指数，a 是被开方数，注意根指数“3”不能省略。

3.立方根的性质：（1）一个正数有一个正的立方根；（2）一个负数有一个负的立方根；（3）0的立方根是0；4.开立方：求一个数a 的立方根的运算叫作开立方。

5.立方根中被开方数可以是正数、负数和0,；开立方运算与立方运算互为逆运算；求一个带分数的立方根时，必须把带分数化成假分数，再求它的立方根。

根号2不是有理数的证明根号2是一个著名的数学问题，即它是否是有理数。

本文将通过证明来说明，根号2不是有理数。

1. 引言数学中的有理数指的是可以写成两个整数的比值的数，例如1/2、2/3等。

而根号2是一个无限不循环小数，因此不能被表示为有理数。

2. 证明方法一：反证法假设根号2是有理数，即可以写成两个整数的比值，设其为p/q （其中p和q互质）。

我们假设p和q都是偶数，可以进行如下推导：根号2 = p/q2 = (p*q)^2/q^2 （两边平方）2q^2 = p^2 （移项）由此可知，p^2必为偶数，因为p为偶数。

因此可以继续推导： p^2 = (2k)^2 = 4k^2 （设p=2k，其中k为整数）2q^2 = 4k^2q^2 = 2k^2这说明q^2也是偶数，而这与p和q互质的假设相矛盾。

因此假设不成立，根号2不是有理数。

3. 证明方法二：无理数定义证明根号2可以通过无理数的定义来证明。

无理数定义为不能表示为两个整数的比值的数。

假设根号2是有理数，同样设为p/q（其中p和q互质，q不为0）。

我们可以进行如下推导：根号2 = p/q2 = p^2/q^2 （平方）2q^2 = p^2这意味着p^2是2的倍数，因此p也必为2的倍数。

设p=2k，其中k为整数，继续推导：2q^2 = (2k)^2 = 4k^2q^2 = 2k^2同样，这说明q^2也是2的倍数，因此q也必为2的倍数。

这与p 和q互质的假设相矛盾。

因此，根号2不是有理数。

4. 结论综上所述，根号2不是有理数。

无论是通过反证法还是无理数定义证明，都可以说明根号2无法被表示为两个整数的比值，因此不是有理数。

5. 实际应用尽管根号2不是有理数，但在数学和物理等领域中，我们经常需要使用它。

比如，在勾股定理中，直角三角形的斜边与两条直角边的关系就涉及到根号2。

根号2的存在也拓宽了数学的世界，使其变得更加丰富多彩。

在本文中，我们通过反证法和无理数定义证明了根号2不是有理数。

什么是无理数及其定义是什么什么是无理数及其定义是什么无理数最早是由毕达哥拉斯学派弟子希伯索斯发现，那么什么是无理数?下面店铺就带大家一起来详细了解下吧。

无理数基本定义无理数，即非有理数之实数，不能写作两整数之比。

若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。

常见的无理数有大部分的平方根、π和e(其中后两者同时为超越数)等。

无理数的另一特征是无限的连分数表达式。

传说中，无理数最早由毕达哥拉斯学派弟-子希伯斯发现。

他以几何方法证明无法用整数及分数表示。

而毕达哥拉斯深信任意数均可用整数及分数表示，不相信无理数的存在。

但是他始终无法证明不是无理数，后来希伯斯将无理数透露给外人——此知识外泄一事触犯学派章程——因而被处死，其罪名等同于“渎神”。

无理数是无限不循环小数和开方开不尽的数. 如圆周率、√2(根号2)等。

有理数是所有的分数，整数，它们都可以化成有限小数，或无限循环小数。

如22/7等。

实数(real number)分为有理数和无理数(irrational number)。

有理数可分为整数(正整数、0、负整数)和分数(正分数、负分数) 也可分为正有理数，0，负有理数。

除了无限不循环小数以外的数统称有理数。

1、把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成整数、小数或无限循环小数，比如4=4.0, 4/5=0.8, 1/3=0.33333……而无理数只能写成无限不循环小数，比如√2=1.414213562…………根据这一点,人们把无理数定义为无限不循环小数。

2、无理数不能写成两整数之比。

利用有理数和无理数的主要区别，可以证明√2是无理数。

证明：假设√2不是无理数，而是有理数。

既然√2是有理数，它必然可以写成两个整数之比的形式：√2=p/q再假设p和q没有公因数可以约，所以可以认为p/q 为最简分数,即最简分数形式。

把√2=p/q 两边平方得 2=(p^2)/(q^2)即 2(q^2)=p^2由于2q^2是偶数，p 必定为偶数，设p=2m由 2(q^2)=4(m^2)得 q^2=2m^2同理q必然也为偶数，设q=2n既然p和q都是偶数，他们必定有公因数2，这与前面假设p/q 是最简分数矛盾。

一题多解教学案例：五种方法证明2是无理数 古希腊曾有“万物皆数”的思想，这种认为“大自然的一切皆为整数之比”的思想统治了古希腊数学相当长的一段时间，许多几何命题都是根据这一点来证明的。

当时的很多数学证明都隐性地承认了“所有数都可以表示为整数之比”，“万物皆数”的思想是古希腊数学发展的奠基。

直到有一天，毕达哥拉斯的学生Hippasus告诉他，单位正方形的对角线长度不能表示为两个整数之比。

被人们公认的假设被推翻了，大半命题得证的前提被认定是错的，古希腊时代的数学大厦轰然倒塌，数学陷入了历史上的第一次危机。

最后，Eudoxus的出现奇迹般地解决了这次危机。

今天我们要看的是，为什么单位正方形的对角线长度不能表示为两个整数之比。

单位正方形的对角线长度怎么算呢？从上面的这个图中我们可以看到，如果小正方形的面积是1的话，大正方形的面积就是2。

于是单位正方形的对角线是面积为2的正方形的边长。

换句话说，Hippasus认为不可能存在某个整数与整数之比，它的平方等于2。

中学课程中安排了一段反证法。

当时有个题目叫我们证根号2是无理数，当时很多人打死了也想不明白这个怎么可能证得到，这种感觉正如前文所说。

直到看了答案后才恍然大悟，数学上竟然有这等诡异的证明。

当然，我们要证明的不是“根号2是无理数”。

那个时候还没有根号、无理数之类的说法。

我们只能说，我们要证明不存在一个数p/q使得它的平方等于2。

证明过程地球人都知道：假设p/q已经不能再约分了，那么p2=2q2，等式右边是偶数，于是p必须是偶数。

p是偶数的话，p2就可以被4整除，约掉等式右边的一个2，可以看出q2也是偶数，即q是偶数。

这样，p也是偶数，q也是偶数，那么p和q就还可以继续约分，与我们的假设矛盾。

根号2是无理数，我们证明到了。

根号3呢？根号5呢？你可能偶尔看到过，Theodorus曾证明它们也是无理数。

但Theodorus企图证明17的平方根是无理数时却没有继续证下去了。

怎样证明2是一个无理数2是一个非常著名的无理数，第一个发现并坚持这个结果的希帕索斯因此付出了生命的代价——后世的数学史家所说的“第一次数学危机”盖源于此.风暴过去后，唤醒的却是数学家们对数的重新认识，实数的概念开始确立，在此意义上讲，2的发现是人们对真理的追求、探索以致明朗的一个极好例证.换一个角度来看这个数，我们可以把它看作一根“晾衣绳”，上面挂着许多有趣的方法，值得你仔细玩味.我们准备从不同的角度来证明2是一个无理数，从而体会这一点.证法1：尾数证明法.假设2是一个有理数，即2可以表示为一个分数的形式2=b a .其中(a,b )=1，且a 与b 都是正整数.则222b a =.由于完全平方数2b 的尾数只能是0、1、4、5、6、9中的一个，因此22b 的尾数只能是0、2、8中的一个.因为222b a =，所以2a 与22b 的尾数都是0，因此2b 的尾数只能是0或5，因此a 与b 有公因数5，与(a,b )=1矛盾！因此2是无理数.这个证法可以证明被开方数的尾数是2、3、7、8的平方根都是无理数.证法2：奇偶分析法.假设2=ba .其中(a,b )=1，且a 与b 都是正整数.则222b a =.可知a 是偶数，设a =2c ,则2224b c =，222c b =，可知b 也是偶数，因此a 、b 都是偶数，这与(a,b )=1矛盾！因此2是无理数. 希帕索斯就是用这种方法证明了2不是有理数，动摇了毕达哥拉斯学派的“万物皆数(任何数都可表示成整数之比)”的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌，希帕索斯因此葬身海底.证法3：仿上，得到222b a =，易见b >1，否则b=1，则2=a 是一个整数,这是不行的.222b a =改写成a a b ⋅=22.因为b >1，因此b 有素因子p ，因此p 整除2a 或a ，总之，p 整除a ，因此p 同时整除a 与b ，这与(a,b )=1矛盾.证法4：仿上，得到222b a =，等式变形为))((222b a b a b a b -+=-=，因为b >1，因此存在素因子p ，p 整除a+b 或a-b 之一，则同时整除a+b 与a-b ，因此p 整除a ，因此p 是a 、b 的公因数，与(a,b )=1矛盾.证法5：利用代数基本定理，如果不考虑素因子的顺序，任何一个正整数都可以唯一地写成素数幂的积的形式，因此m r m r r p p p a 2121=，n sn s s q q q b 2121=，其中m p p ,,1 与n q q ,,1都是素数，m r r ,,1 与n s s ,1都是正整数，因此m r m r r p p p 2222121 =2n s n s s q q q 2222121 ，素数2在等式左边是偶数次幂，但在右边是奇数次幂，矛盾，因此2是无理数.证法6：假设2=b a ，其中右边是最简分数，即在所有等于ba 的分数中，a 是最小的正整数分子，在222b a =的两边减去ab 有ab b ab a -=-222，)2()(a b b b a a -=-，即ba ab b a --==22，右边的分子2b -a <a ，这与a 是最小的分子矛盾，因此2是无理数. 证法7：连分数法.因为)12)(12(-+=1，因此21112+=-，21112++=，将分母中的2用2111++代替，有2112112+++=，不断重复这个过程，得2= ++++2121211，这是一个无限连分数.而任何有理数都可以表示为分子都是1分母为正整数的有限连分数，因此2是无理数.证法8：构图法。

如何证明 2 是一个无理数2 是一个特别有名的无理数， 第一个发现并坚持这个结果的希帕索斯所以付出了生命的代价 —— 后代的数学史家所说的 “第一次数学危机 ”盖源于此 .风暴过去后，唤醒的倒是数学家们对数的从头认识，实数的观点开始确定，在此意义上讲， 2 的发现是人们对真谛的追求、探究致使明亮的一个极好例证 .换一个角度来看这个数，我们能够把它看作一根 “晾衣绳 ”，上边挂着很多风趣的方法， 值得你认真玩味 .我们准备从不一样的角度来证明 2 是一个无理数，进而领会这一点 .证法 1：尾数证明法 .假定 2 是一个有理数，即 2 能够表示为一个分数的形式2 = a.b此中 (a,b)=1，且 a 与 b 都是正整数 .则 a 22因为完整平方数 2 的尾数只好是 、 、 、 、2b . b 0 1 4 56、 9 中的一个，所以 2b 2 的尾数只好是0、2、8 中的一个 .因为 a 2 2b 2 ，所以 a 2 与 2b 2的尾 数都是 0，所以 b 2的尾数只好是 0，所以 a 与 b 有公因数 5，与 (a,b)=1 矛盾！所以2 是或 5 无理数 .这个证法能够证明被开方数的尾数是2、 3、7、8 的平方根都是无理数 .证法 2：奇偶剖析法 .假定a 此中 ，且 与 都是正整数 则 a 22b2 可知 2=b . (a,b)=1a b ..a是偶数，设 a=2c,则 4c 2 2b 2 ，b 2 2c 2 ，可知 b 也是偶数，所以 、 都是偶数， 这与(a,b)=1a b 矛盾！所以2 是无理数 .希帕索斯就是用这类方法证了然2 不是有理数，摇动了毕达哥拉斯学派的 “万物皆数 (任何数都可表示成整数之比 ) ”的数学崇奉，使毕达哥拉斯学派为之大为惊慌，希帕索斯所以葬 身海底 .证法 3：仿上，获得 a 2 2b 2 ，易见 ，不然 ，则2 =a 是一个整数 这是不可以的 . b>1 b=1 , a 2 2b 2 改写成 b 2a a 因为 ，所以b 有素因子 ，所以 p 整除 a或 a ，总之，p 整除 a ，2 . b>1 p 2所以 p 同时整除 a 与 b ，这与 (a,b)=1 矛盾 .证法 4：仿上，获得 a 2 2b 2，等式变形为 b 2 a 2 b 2(a b)( a b) ，因为 ，所以b>1 ， 或 a-b 之一，则同时整除 a+b 与 a-b ，所以 p 整除 a ，所以 p 是 a 、存在素因子 p p 整除 a+bb 的公因数，与 (a,b)=1 矛盾 .证法 5：利用代数基本定理，假如不考虑素因子的次序，任何一个正整数都能够独一地写成素数幂的积的形式， 所以 ap 1 r 1 p 2 r 2p m r m，bq 1 s1 q2 s 2 q n s n ，此中 p 1 , , p m 与 q 1 , , q n都是素数， r1 , , r m与 s1 , s n都是正整数，所以p1 2r1 p2 2 r2 p m 2r m =2 q1 2s1 q2 2 s2 q n 2 s n ，素数2 在等式左侧是偶数次幂，但在右侧是奇数次幂，矛盾，所以 2 是无理数 .证法 6：假定 2 =a，此中右侧是最简分数，即在全部等于a的分数中，a是最小的正整b b数分子，在 a 2 2b 2的两边减去 ab 有 a 2 ab 2b 2 ab ， a( a b) b(2b a) ，即2 a 2b a，右侧的分子 2b-a<a，这与 a 是最小的分子矛盾，所以 2 是无理数.b a b证法 7：连分数法 .因为( 2 1)( 2 1) =1，所以 2 111，22 11，将分母中的 2 用112 11，不停重复这个1取代，有11 2 2 21 2过程，得 2 =11 ，这是一个无穷连分数而任何有理数都能够表示为分子都是11 .2122分母为正整数的有限连分数，所以 2 是无理数.证法 8：构图法。