2.1无理数背景知识

八年级数学 认识无理数温故知新1、什么叫有理数 和 统称为有理数.2,把下列各数写在相应的横线上整数有____________；分数有____________________；正数有____________；负数有______________；有理数有____________________________________。

学习目标：1、通过拼图感受无理数的产生，认识数是有理数还是无理数。

）2、了解无理数的概念和意义，能正确识别无理数自学指导一1、自学课本第P21页图2—1有两个边长为1的小正方形，剪，拼，设法得到一个大正方形。

（3分钟）完成下列问题并与同伴交流。

（1）设大正方形的边长为a ，a 满足什么条件（2） a 可能是整数吗说说你的理由。

（3）a 可能是分数吗说说你的理由，并与同伴交流。

：结论：在等式a 2=2中，a 既不是____，也不是_____，所以a 不是_________。

自学指导二 自学课本P21页图2—2 完成下列问题并与同伴交流。

（1）以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少（2）设该正方形的边长为b ，b 满足什么条件（3） b 是有理数吗总结：在等式 b 2=5 中，b 既不是_____，也不是_____，所以b 不是_______。

巩固练习在下列正方形网格中，先找出长度为有理数的线段，再找出长度不是有理数的线段~自学指导三：根据下列要求阅读并完成书第22页内容中，），个之间依次多两个32312(232332.0,6.3,0135.0,135,2,14.3,21,0⋅⋅⋅---•π（1）3个正方形的边长之间有怎样的大小关系（2）边长a 的取值范围大致是多少如何估算的(参照22页小明的探索过程)(3) 是否存在一个小数的平方等于2 说说你的理由归纳总结:a 是介于_______之间的一个数，既不是整数，也不是分数，则a 一定不是________数.如果写成小数形式，它是______小数.自学指导四：1、根据下列要求自学书第23页议一议（1） 把下列各数表示成小数____________________________________（2） 这几个小数的形式有哪几种情况________小数和_______小数【事实上，有理数总可以用______小数和____________小数表示。

2.1认识无理数教学目标【知识与能力】感受无理数产生的实际背景和引入的必要性.【过程与方法】经历动手拼图过程,发展动手能力和探索精神.【情感态度价值观】通过现实中的实例,让学生认识到无理数与实际生活是紧密联系的,数学是来源于实践又应用于实践的.教学重难点【教学重点】感受无理数产生的背景.【教学难点】会判断一个数是不是无理数.教学准备两张边长为1的正方形纸片,多媒体课件.教学过程第一环节：情境引入导入一:七年级的时候,我们学习了有理数,知道了整数和分数统称为有理数,考虑下面的问题:(1)一个整数的平方一定是整数吗?(2)一个分数的平方一定是分数吗?[设计意图]做必要的知识回顾,为第二环节埋下伏笔,便于后续问题的说理,为后续环节的进行起了很好的铺垫作用.导入二:一个等腰直角三角形的直角边长为1,那么它的斜边长等于多少?利用勾股定理计算一下.【总结】我们在小学学了非负数,在七年级发现数不够用了,引入了负数,即把小学学过的正数、零扩充到有理数的范围,有理数包括整数和分数,那么有理数范围是否能满足我们实际生活的需要呢?第二环节：新知构建探究活动问题:x是整数(或分数)吗?2.把边长为1的两个小正方形,通过剪、拼,设法拼成一个大正方形,你会吗?出示教材P21图2 - 1.图2 - 1是两个边长为1的小正方形,剪一剪、拼一拼,设法得到一个大的正方形.问题1:拼成后的正方形是什么样的呢?问题2:拼成后的大正方形面积是多少?问题3:若新的大正方形边长为a,a2=2,则:①a可能是整数吗?②a可能是分数吗?【总结】没有两个相等的整数的积等于2,也没有两个相等的分数的积等于2,因此a 不可能是有理数.[设计意图]选取客观存在的“无理数”实例,让学生深刻感受“数不够用了”.巧设问题背景,顺利引入本节课题.思路一(1)如图所示,以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少? (2)设该正方形的边长为b,b满足什么条件?(3)b是有理数吗?【问题解答】(1)由勾股定理可知,直角三角形的斜边的平方为5,所以正方形的面积是5.(2) b2=5.(3)没有一个整数或分数的平方为5,也就是没有一个有理数的平方为5,所以b不是有理数.思路二在下列正方形网格中,先找出长度为有理数的线段,再找出长度不是有理数的线段.【问题解答】构造直角三角形,利用勾股定理可得,长度为有理数的线段有AB,EF.长度不是有理数的线段有CD,GH,MN.[设计意图]创设从感性到理性的认知过程,让学生充分感受“新数”(无理数)的存在,从而激发学习新知的兴趣 ,让学生感受到无理数产生的过程,确定存在一种数与以往学过的数不同,了解学习“新数”的必要性.[知识拓展] 正方形网格中的线段既可以表示有理数,也可以表示有理数之外的数.数轴上的点可以表示有理数,也可以表示有理数之外的数.比如正方形OCBA 的对角线长度就不是有理数,数轴上的点P 表示的就是这个非有理数.网格上长方形(包括正方形)的对角线的长度都不一定是有理数.第三环节：课堂小结通过生活中的实例,证实了确实存在不是有理数的数.第四环节：检测反馈1.在直角三角形中两个直角边长分别为2和3,则斜边的长 ( )A .是有理数B .不是有理数C .不确定D .4答案:B2.下列面积的正方形,边长不是有理数的是 ( )A .16B .25C .2D .4答案:C3.在右面的正方形网格中,按照要求连接格点的线段:长度是有理数的线段为 ,长度不是有理数的线段为 .答案:略第五环节：布置作业一、教材作业【必做题】教材随堂练习及教材习题2.1第1题.【选做题】教材第22页习题2.1第2题.二、课后作业【基础巩固】1.在正方形网格中,每个小正方形的边长为1,则网格上的ΔABC 中,边长不是有理数的线段有 ,在图中再画一条边长不是有理数的线段.【能力提升】2.在任意两个有理数之间都有无数个有理数. 假设a ,b 是两个有理数,且a <b ,在a ,b 两数之间插入一个数为 .【拓展探究】3.把下列小数化成分数.(1)0.6;(2)0.7·;(3)0.3·4·.4.你会在下面的正方形网格(每个小正方形面积为1)中画出面积为10的正方形吗?试一试.【答案与解析】1.AB ,BC ,AC 略(解析:AB 2=42+12=17,BC 2=22+32=13,AC 2=22+42=20.)2.a+b 2(解析:答案不唯一,如插入a 和b 正中间的数.)3.解析:(1)0.6=35; (2)设0.7·=x ,则10x =7.7·,∴9x =7,从而x =79;(3)设0.3·4·=x ,则100x =34.3·4·,∴99x =34,从而x =3499.解:(1)0.6=35. (2) 0.7·=79. (3) 0.3·4·=3499.4.略板书设计2.1.1认识无理数1.拼接正方形.2.做一做.3.a ,b 存在,但不是有理数.教学设计反思成功之处大量事实证明,与生活贴得越近的东西就越容易引起学生的浓厚兴趣,更能激发学生学习的积极性.为此,本课时通过拼图游戏引发学生学习的欲望,把课程内容通过学生的生活经验呈现出来,然后进行大胆质疑.不足之处在教学过程中,没有刻意安排一些环节,帮助理解能力差的学生加深对“新数”的理解. 再教设计设计更多的实例让理解能力差的学生较好地理解“新数”.为进一步学习“新数”,即第二课时的教学埋下伏笔.。

2.1认识无理数（一）一、教材解读《2.1认识无理数（一）》是北师大版八年级上第二章第一节第一课时，在此之前学生已经经历了数系从非负有理数到有理数的扩充，学习了勾股定理，本节课学生将经历数系的第二次扩充，既是对前面有理数的一个扩展，也是前一章勾股定理内容的一个重要应用，同时是后续深入学习实数的基础，是承前启后的一个重要知识节点。

二、学情分析学生已经有了数系扩充的经验，本次数学的扩充同样是有实际的背景和必要性，前面勾股定理的学习为本次无理数产生提供了很好的知识储备。

学生具备了操作经历产生无理数的知识基础和基本经验。

三、教学目标1、知识与技能：感受无理数的存在，初步把握无理数的特征。

能够说明一个数既不是整数，也不是分数，不是前面学习的有理数。

2、过程与方法：通过观察、计算、探索，经历无理数产生的实际背景和必要性。

通过方格纸画图进一步感受无理数的存在事实和可操作性。

学会用勾股定理这一工具构造长度为无理数的线段，进一步研究无理数。

经历由具体到抽象，由特殊到一般的概念形成过程。

3、情感态度价值观：让学生在构造无理数的过程中感受到数学学习的乐趣，让学生感受到数学来源于生活和实际，具有看得见，摸得着，可操作的特点，改变以往学生心目中数学枯燥，乏味的观念。

四、教学设计 【回顾迎新】1． 整数和___________统称为有理数.整数又可分为正整数，_________，________. 2． 下列不是分数的是（ ）A ．3.14 B.5% C.π D. ..11.0 3． 下列说法错误的是（ ）A ．两个整数的乘积一定是整数B ．最简分数的平方一定是分数C ．有限小数和无限循环小数不是分数D ．一个数既不是整数又不是分数，则这个数不是有理数4. 如图，斜边所在的正方形面积2b =___________．我们知道，如果22243<<m （m 为正数），则43<<m ，根据这个例子，我们可以判断 < b < （填两个整数），b 可能是整数吗？ （填“可能”或“不可能”）.【新课教学】一、感受新数如图，设每个小方格的边长为1个单位.问题1：图中有几种面积不同的正方形？它们的面积分别是多少？问题2：如果记正方形ABCD 的边长为a ，则2a =________. 问题3：a 整数吗？a 是分数吗？与同伴交流你的想法.训练：下列各数中，不是有理数的是（ ） A ．722 B. 2b =4中的b 值 C.0π D. 72=m 中的m 值 二、走进新数探究一：如图1，设每个小方格的边长为1个单位.线段AB ，CD ，EF 的长度是有理数吗？说明你的理由.请在图2的方格纸上仿照图1的方式，画出两条线段，使线段的长度不是有理数.探究二：创建新数（1）骰子创建：（2）人造创建：三、应用新数1. 如图是由个边长为的小正方形拼成的，任意连结 这些小正方形的若干个顶点，可得到一些线段，在线段 AB 、AC 、AD 、AE 、BE 五条线段中，长度是有理数的线 段有__________________，长度不是有理数的线段 有______________________．2.如图所示，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点O 到达点O ′，点O ′对应的数是多少？它是有理数吗？161ABCDAB CE DF 图1 图2 DCBEAO3.正△ABC 的边长为2，高为h ，h 可能是整数吗？可能是分数吗？4.如图：在长方形ABCD 中，，AD=， 则AE ，BE 的长是有理数吗？△ABE 的面积是有理数吗？五、教学反思1.数学来源于生活新数（无理数）不是人为构造，庸人自扰，它是来源于活生生的生活实践的。

希伯斯发现无理数的故事摘要：一、无理数的背景知识二、希伯斯与无理数的发现三、无理数的影响和意义四、总结正文：【一、无理数的背景知识】在古希腊时代，数学家们一直在探索宇宙的奥秘。

在数学领域，一个长期困扰着学者们的问题就是圆周率π的性质。

当时的数学家们普遍认为圆周率是一个有理数，即可以表示为两个整数的比值。

然而，这一观点在公元前3世纪，由古希腊数学家、哲学家希帕索斯（Hippasus）提出疑问。

【二、希伯斯与无理数的发现】希伯斯（Hippasus）是一位古希腊数学家，他在探索圆周率的过程中，发现了著名的“不可公度”问题。

这个问题是指，假设有一个边长为1的正方形，它的对角线长度无法用两个整数的比值表示。

为了解决这个问题，希伯斯对当时的数学理论进行了挑战，他提出了一种新的观点：某些长度无法用整数比值表示，即所谓的无理数。

【三、无理数的影响和意义】希伯斯的发现对数学领域产生了深远的影响。

无理数的提出，使得数学家们开始重新审视之前的理论。

在此基础上，后来的数学家们进一步发展了无理数理论，如著名的数学家欧几里得（Euclid）就在其《几何原本》中系统地阐述了无理数的概念。

无理数的研究推动了数学的发展，为实数理论、微积分等领域的建立奠定了基础。

【四、总结】希伯斯发现无理数的故事，反映了人类在探索数学真理过程中的艰辛和勇敢。

无理数的发现，不仅打破了之前对圆周率等数学概念的认知，也为后来的数学研究提供了新的视角。

这一故事告诉我们，勇于质疑权威、敢于挑战传统观念，是人类不断进步的动力。

在我国古代，也有许多数学家对无理数进行了研究，如刘徽的《九章算术》中就涉及到了无理数的概念。

八年级数学上册2.1认识无理数教案新版北师大版一. 教材分析本节课的主题是“认识无理数”，是无理数概念的学习。

无理数是实数的重要组成部分，与有理数相对应。

学生在学习有理数的基础上，进一步认识无理数，理解无理数的性质和无理数在实际生活中的应用。

教材通过引入π、√2等具体例子，让学生感受无理数的存在，并通过观察、实验、推理等方法，引导学生认识无理数的概念。

二. 学情分析八年级的学生已经学习了有理数，对实数的概念有了一定的了解。

但无理数作为实数的一个分支，与有理数有很大的不同，学生可能难以理解。

因此，在教学过程中，需要结合学生的认知水平，采用生动形象的例子和直观的演示，引导学生理解和接受无理数的概念。

三. 教学目标1.让学生理解无理数的概念，认识无理数的存在。

2.让学生掌握无理数的性质，了解无理数在实际生活中的应用。

3.培养学生的观察能力、实验能力和推理能力。

四. 教学重难点1.教学重点：无理数的概念和性质。

2.教学难点：无理数的理解和应用。

五. 教学方法采用问题驱动法、情境教学法、观察实验法、小组合作法等教学方法。

通过生动形象的例子和直观的演示，引导学生观察、实验、推理，从而理解和掌握无理数的概念。

六. 教学准备1.准备相关例题和练习题。

2.准备多媒体教学设备，如投影仪、电脑等。

3.准备相关教学素材，如π、√2等。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问方式引导学生回顾有理数的概念，进而引出无理数的概念。

提问：“同学们，我们已经学习了有理数，那么你们知道有理数有哪些特点吗？今天我们将要学习一种新的数——无理数，你们猜猜无理数有哪些特点呢？”2.呈现（10分钟）利用多媒体展示无理数的定义和性质，让学生直观地感受无理数的存在。

呈现无理数的定义：“无理数是不能表示为两个整数比的数。

”呈现无理数的性质：“无理数是实数的一部分，与有理数相对应。

无理数不能精确表示，它们的小数部分是无限不循环的。

”3.操练（15分钟）让学生通过观察、实验、推理等方法，加深对无理数概念的理解。

知识点总结一、认识无理数1.无理数的定义：无限不循环小数称为无理数.2.无理数类型：（1）化简后含有π的（2）特殊结构的，如：0.101 001 000 1…（两个1之间依次多1个0）（3）开方开不尽的3、实数的概念及分类①实数的分类②无理数无限不循环小数叫做无理数。

在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：开方开不尽的数，如√7 ,3 √2等；有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如π /?+8等；有特定结构的数，如0.1010010001…等;某些三角函数值，如sin60°等4、实数的倒数、相反数和绝对值①相反数实数与它的相反数是一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b 互为相反数，则有a+b=0，a=-b，反之亦成立。

②绝对值在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。

|a|≥0。

0的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0。

③倒数如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。

倒数等于本身的数是1和-1。

0没有倒数。

④数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。

解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。

⑤估算微课精讲易错辨析：一.明确无理数的存在无理数来自实践，无理数并不“无理”，也不是人们臆想出来的，它是实实在在存在的，例如：（1）一个直角三角形，两条直角边长分别为1和2，由勾股定理知，它的斜边长为；（2）任何一个圆，它的周长和直径之比为一常数等等；像这样的数，在我们周围的生活中，不是只有少数几个，而是像有理数一样有无限个。

二.弄清无理数的定义教材中指出：无限不循环小数叫无理数，这说明无理数是具有两个基本特征的小数：一是小数位数是无限的；二是不循环的。

2．1 认识无理数1．了解无理数的概念及意义，会判断一个数是有理数还是无理数；(重点) 2．会对一个无理数进行估算．(难点) 一、情境导入 拼图发现新数——无理数 请大家四个人为一组，拿出自己准备好的两个边长为1的正方形纸片和剪刀，按虚线剪开拼成一个大的正方形． 因为两个小正方形面积之和等于大正方形的面积，所以根据正方形面积公式可知a 2＝2，那么a 是整数吗？a 是分数吗？ 二、合作探究 探究点一：无理数的概念及认识 下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？ 3．14，－53，0.58··，－0.125，－5π，0.35，227，5.3131131113…(相邻两个3之间1的个数逐次加1)．解析：准确理解有理数和无理数的概念是解答本题的关键．任何有限小数或无限循环小数都是有理数；无限不循环小数称为无理数，故－5π，5.3131131113…是无理数，其他都是有理数．解：有理数：3.14，－53，0.58··，－0.125，0.35，227；无理数：－5π，5.3131131113…(相邻两个3之间1的个数逐次加1)．方法总结：有理数与无理数的主要区别．(1)无理数是无限不循环小数，而有理数可以用有限小数或无限循环小数表示．(2)任何一个有理数都可以化为分数形式，而无理数则不能．探究点二：借助计算器用“夹逼法”求无理数的近似值正数x 满足x 2＝17，则x 精确到十分位的值是________．解析：已知x 2＝17，所以4<x<5，4.12＝16.81<17，4.22＝17.64>17，所以4.1<x<4.2.又因为 4.122＝16.9744<17，4.132＝17.0569>17，所以4.12<x<4.13.故x精确到十分位是4.1.方法总结：估计x 2＝a(a>0)中的正数x各位上的数字的方法：(1)估计x 的整数部分，看它在哪两个连续整数之间，较小数即为整数部分；(2)确定x 的十分位上的数，同样寻找它在哪两个连续整数之间；(3)按照上述方法可以依次确定x 的百分位、千分位、…上的数，从而确定x 的值． 三、板书设计无理数⎩⎪⎨⎪⎧定义：无限不循环小数识别 让学生通过估计、借助计算器进行探索和讨论，体会数学学习的乐趣，体会无限逼近的数学思想，得到无理数的概念；同时引导学生回顾旧知、探索新知，形成一定的数学探究能力，进一步培养学生的分类和归纳的思想，为今后的数学学习打下坚实的基础．。