为什么说根号2不是有理数？

二次根式知识点总结二次根式是高中数学中重要的知识点之一，它在解决一元二次方程、求解勾股定理以及图形的面积计算等问题中起到了重要的作用。

本文将对二次根式的定义、性质以及相关的数学运算进行总结，并探讨其在实际问题中的应用。

一、二次根式的定义二次根式是指形如√a的代数式，其中a为非负实数。

它可以表示为一个单独的根号表达式，也可以是两个或多个二次根式之间的运算。

二、二次根式的性质1. 二次根式与有理数的关系：二次根式可以是有理数或无理数。

当根号内的数可以化简为有理数时，二次根式即为有理数；否则，二次根式为无理数。

2. 二次根式的相等性：两个二次根式相等的条件是它们的被开方数相等。

3. 二次根式的大小比较：对于非负实数a和b，若a > b，则有√a >√b。

4. 二次根式的运算性质：对于非负实数a和b，有以下运算性质：- 加法：√a + √b = √(a + b)- 减法：√a - √b = √(a - b)，其中a ≥ b- 乘法：√a * √b = √(a * b)- 除法：√a / √b = √(a / b)，其中b ≠ 0三、二次根式的化简当二次根式存在可以化简的情况时，可以通过以下方法进行化简：1. 提取因子法：将根号内的数分解为两个数的乘积，其中一个数是完全平方数，并提取出完全平方数的根号作为整体。

2. 有理化分母法：对于含有二次根式的分数，可以通过有理化分母的方法化简，即将分母有理化为一个有理数或二次根式。

四、二次根式的应用1. 解一元二次方程：一元二次方程的形如ax^2 + bx + c = 0，其中a ≠ 0。

通过二次根式的求解方法，可以求得方程的解，并通过图像分析得到方程的根的性质。

2. 求解勾股定理：在平面几何中，勾股定理是指在直角三角形中，直角边的平方等于两个其他边的平方之和。

通过二次根式的运算，可以准确计算出直角三角形的边长。

3. 计算图形的面积：在几何问题中，经常需要计算图形的面积，而某些图形的面积计算涉及到二次根式。

第5讲学习目标1.了解无理数产生的背景；2.3..重点与难点. 一、无理数产生的背景公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派有一种观点，即“万物皆数”，一切量都可以用整数或整数的比（分数）表示.后来，当这一学派中的希帕索斯（Hippasus ）发现边长为1哥拉斯学派感到惊恐不安.由此引发了第一次数学危机.据传希帕索斯被抛入大海而葬身鱼腹..法国数学家笛卡尔（R.Descartes ）于1637. 二、P41探究：能否用两个面积为1dm 2的小正方形拼成一个面积为2dm 2的大正方形？三、P41∵221=1,2=4，∴12<;∵221.4=1.96,1.5=2.25，∴1.4 1.5<;∵221.41=1.9881,1.42=2.0164，∴1.41 1.42;∵221.414=1.999396,1.415=2.002225，∴1.414 1.415<;…….⋅⋅⋅，它是一个无限不循环小数..四、P54以单位长度为边长画一个正方形（如图所示），以原点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与正与负半轴的五、P58下面给出欧几里得《原本》中的证明方法.p q，，使得pq,于是p=，两边平方，得222p q=.由22q是偶数，可得2p是偶数.而只有偶数的平方才是偶数，所以p也是偶数.因此可设2p s=，代入上式，得2242s q=，即222q s=.所以q也是偶数.这样，p和q都是偶数，不互质，这与假设p，q互质矛盾...事实上，无理数只是一种命名，并非“无理”，而是实际存在的不能写成分数形式的数，它和有理数一样，都是现实世界中客观存在的量的反映.如何理解“理”的含义？《几何原本》是我国最早译自拉丁文的数学著作，明朝科学家徐光启在翻译时没有现成的、可以对照的词，许多译名都是从无到有创造出来的.徐光启将“ratio（比）”译成了“理”，即“理”就是比的意思.所以，“有理数”应理解为“可以写成两个整数之比的数”，不应理解为“有道理的数”；同样，“无理数”应理解为“不可以写成两个整数之比的数”，不应该理解为“没有道理的数”.因此，有人建议，把“有理数”和“无理数”改称为“比数”和“非比数”.六、一试身手习题见PPT课件内容七、课堂小结说一说你本节课的感受与体会.。

带根号的数未必是无理数鹿泉市获鹿镇第三中学崔怀平在新教材七年级数学下册第十章第三节讲到：“很多数的平方根和立方根都是无限不循环小数。

”接着引出定义：“无限不循环小数又叫无理数。

”例如：2，3，是无理数，π=3.14159265......,也是无理数。

时间一长，有的学生把无理数和带根号的数混淆起来，误认为带根号的数就是无理数。

其实带根号的数不一定是无理数，无理数也不一定都是带根号的数得来的。

无理数的定义是：“无限不循环小数叫无理数”。

最本质特征是无限不循环。

我们知道，开方开不尽的数，开方后可以得到无限不循环小数，既无理数。

但是无限不循环小数不一定非得由开方得来，例如圆周率=3.14159265．．．．．．，它不是开放得来的，它是圆的周长除以直径得到的，它是一个比值。

还有自然对数的底数e=2.718……也是无理数；它是通过求极限的方法得到的。

还有我们也可以有意识地构造一些无理数，如：0.101001000…..，（构成的规律是1后面0的个数逐次增加一个），显然这个数是无限不循环的小数，也是一个无理数。

就是说无理数并不都是开方开不尽而得来，还有其他方式可以形成无理数。

另一方面，虽然很多带根号的数都是无理数，例如：2、45、33等，但不是带根号的数就一定是无理数。

例如：352++352-，从感觉上看，这个数很像无理数，但是他确实是一个有理数。

现在证明一下：设x= 352++352-两边3次方得：3x=3335252⎪⎭⎫⎝⎛-++=3352⎪⎭⎫⎝⎛++3•⎪⎭⎫⎝⎛+•2352352-+3•+•3522352⎪⎭⎫⎝⎛-+3352⎪⎭⎫ ⎝⎛- =2+5+33352()52)(52(+•-+•+)523-+25- =4x •-•+3543=4x 3-即 x x 343-=0433=-+x x分解因式：0443=-+-x x x()()01412=-+-x x x ()()()01411=-++-x x x x()()()0411=++-x x x()()0412=++-x x x042=++x x 在实数内无解所以，x=1也就是说 352++352-=1 ，它是一个有理数。

怎样证明 是一个无理数 22 是一个非常著名的无理数，第一个发现并坚持这个结果的希帕索斯因此付出了生命的 代价——后世的数学史家所说的“第一次数学危机”盖源于此.风暴过去后，唤醒的却是数学家 们对数的重新认识，实数的概念开始确立，在此意义上讲， 2 的发现是人们对真理的追求、 探索以致明朗的一个极好例证.换一个角度来看这个数，我们可以把它看作一根 “晾衣绳”，上面挂着许多有趣的方法， 值得你仔细玩味.我们准备从不同的角度来证明 2 是一个无理数，从而体会这一点.a 证法 1：尾数证明法.假设 2 是一个有理数，即 2 可以表示为一个分数的形式 2 = . b其中(a ,b )=1，且 a 与 b 都是正整数.则 2 .由于完全平方数 的尾数只能是 0、1、4、5、a 2b 2 b 2 6、9 中的一个，因此 2 的尾数只能是 0、2、8 中的一个.因为 2 ，所以 与2 的尾 b 2 a 2 b 2 a 2 b 2 数都是 0，因此 的尾数只能是 0 或 5，因此 a 与 b 有公因数 5，与(a ,b)=1 矛盾！因此 2 是 b 2 无理数.这个证法可以证明被开方数的尾数是 2、3、7、8 的平方根都是无理数.a 证法 2：奇偶分析法.假设 2 = .其中(a ,b )=1，且 a 与 b 都是正整数.则 2 .可知 aa 2b 2 b 是偶数，设 a=2c ,则 4 2 ， 2 ，可知 b 也是偶数，因此 a 、b 都是偶数，这与(a,b )=1 c 2 b 2 b 2 c 2 矛盾！因此 2 是无理数.希帕索斯就是用这种方法证明了 2 不是有理数，动摇了毕达哥拉斯学派的“万物皆数(任 何数都可表示成整数之比)”的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌，希帕索斯因此葬 身海底.证法 3：仿上，得到 2 ，易见 b>1，否则 b=1，则 2 =a 是一个整数,这是不行的. a 2 b 2 a a 改写成 2 .因为 b>1，因此 b 有素因子 p ，因此 p 整除 或 a ，总之，p 整除 a ， a 2 2b 2 b a 2 2因此 p 同时整除 a 与 b ，这与(a ,b )=1 矛盾.证法 4：仿上，得到 2 ，等式变形为b a b (a b )(a b) ，因为 b>1，因此a 2b 2 2 2 2 ，存在素因子 p p 整除 a+b 或 a-b 之一，则同时整除 a+b 与 a-b ，因此 p 整除 a ，因此 p 是 a 、 b 的公因数，与(a ,b )=1 矛盾.证法 5：利用代数基本定理，如果不考虑素因子的顺序，任何一个正整数都可以唯一地写成素数幂的积的形式，因此 a p p p ，b q q q ，其中 , , 与 , , p p q q r r r m s s s 1 2 1 2 n 1 2 m 1 2 n1 1 m n都是素数， r , ,r 与 s , s 都是正整数，因此 p p p =2q q q ，素数 2 n2 2r 2 2r m 2 2s 22 r s s 1 1 n 1 m 1 n 1 2 1 2 m 在等式左边是偶数次幂，但在右边是奇数次幂，矛盾，因此 2 是无理数.a a 证法 6：假设 2 = ，其中右边是最简分数，即在所有等于 的分数中，a 是最小的正整b b数分子，在 2 的两边减去 ab 有 2 ， ( ) (2 ) ，即 a 2 b 2 a 2 ab b 2 ab a a b b ba a 2b a 2 b a b b a a ，右边的分子 2 - < ，这与 是最小的分子矛盾，因此 2 是无理数.a 1 证法 7：连分数法.因为( 2 1)( 2 1) =1，因此 2 1， 1 2 1 1 1 2 1 ，将分母中的 2 用1 代替，有 2 1 ，不断重复这个 1 1 2 1 2 2 1 2，这是一个无限连分数.而任何有理数都可以表示为分子都是 1 1 过程，得 2 =1 1 2 1 2 2分母为正整数的有限连分数，因此 2 是无理数.证法 8：构图法。

根号2的故事古希蜡有一位著名的数学家叫毕达哥拉斯,当时他成立“毕达哥拉斯学派”。

毕达哥拉斯学派的理论基础就是我们上学期学过的有理数理论，他们相信宇宙万物总可以归结为简单的整数和整数之比。

并且毕达戈拉斯还发现并证明了“直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方”，证明了这个定理后，他们学派内外都非常高兴，宰了100头牛大肆庆贺，这个定理在欧洲叫“毕达戈拉斯定理”或“百牛定理”，我国叫勾股定理。

毕达戈拉斯有一个学生叫西伯斯，他勤奋好学，一天，他研究了这样的问题：“边长为1的正方形，其对角线的长是多少呢？”他根据毕达戈拉斯定理，发现了对角线的长度就是根号2，但是根号2却不能用整数或整数之比来表示，他非常兴奋同时又感到迷惑，因为根据老师的观点，根号 2 是不应该存在的，但对角线又是客观地存在，他无法解释，他把自己的研究结果告诉了老师，并请求给予解释。

毕达戈拉斯思考了很久，都无法解释这种“怪”现象，他惊骇极了，又不敢承认根号2 是一种新数，否则，这就动摇了他们“万物皆数”的根本信念，整个学派的理论体系将面临崩溃，最后，他采取了错误的方式：下令封锁消息，也不准西佰斯再研究和谈论此事。

西佰斯后来通过长时间的思考，他认为根号 2 是客观存在的，只是老师的理论体系无法解释它，这说明老师的观点有问题。

后来，他不顾一切的将自己的发现和看法传扬了出去，毕达戈拉斯恼羞成怒，无法容忍这个“叛逆”。

决定对西伯斯严加惩罚。

西伯斯听到风声后，连夜乘船逃走了。

然而，他没想到，毕达戈拉斯学派的打手最后追上了他，并将他投入到了浩瀚无边的大海之中，西佰斯为根号2的诞生献出了自己的宝贵的生命！然而，真理是不会被淹没的。

人们很快发现不可公度并非罕见：面积等于3，5，6，17等等的正方形的边不可公度。

新的问题促使人们重新认识曾经被看成是完美无缺的有理数理论，数学发展出现了“第一次危机”，这次危机使毕达哥拉斯学派迅速瓦解。