《数乘向量 》公开课教学PPT课件【高中数学必修4(北师大版)】

(4)若 b＝λa(a≠0)，则 a 与 b 方向相同或相反。( ) (5)若 a∥b，则存在 λ∈R，使得 b＝λa。( )
随堂练习
【解析】 由数乘向量的意义知，(1)正确，(2)正确，(3)正确；
(4)当 λ＝0，b＝0 时，不能判断方向相同或相反，因 而(5)错误；(6)当 a＝0，b≠0 时，就不存在实数 λ， 使 b＝λa，故(6)错误。
2．向量也可以通过列方程来解，把所求向量当做未知量，利用解代数方程 的方法求解。
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1．已知 2(x－13a)－13(c＋b－3x)＋b＝0，试用向量 a，b，c 表示向量 x。
【解】 由已知得，2x－23a－13c－13b＋x＋b＝0 3x－23a＋23b－13c＝0 3x＝23a－23b＋13c
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【解】 (1)证明：由已知得： B→D＝C→D－C→B＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2
∵A→B＝2e1－8e2， ∴A→B＝2B→D，又A→B与B→D有公共点 B。 ∴A，B，D 三点共线。
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(2)由(1)可知B→D＝e1－4e2，由B→F＝3e1－ke2， 且 B，D，F 三点共线， 得B→F＝λB→D， 即 3e1－ke2＝λe1－4λe2。 得λ－＝k3＝，－4λ， 解得 k＝12。
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已知 O 是坐标原点，过△OAB 的重心的直线交 OA 于 点 P，交 OB 于点 Q，O→A＝a，O→B＝b，O→P＝m a，O→Q＝n b，求证： m1 ＋1n＝3
【精彩点拨】
解答本题可先利用三角形重心性质，共线向量基本定理 把O→G用O→F表示出来，再用向量求和法则，将其用 a，b 表示出来，然后表示出Q→G，G→P，最后利用 Q，G，P 三 点共线，即可得证。
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(2)向量数乘的运算律 设 a，b 为向量，λ，μ 为实数，则数乘向量满足： ①结合律：λ(μa)＝ (λμ)a ； ②分配律：(λ＋μ)a＝ λa＋μa ；λ(a＋b)＝ λa＋λb 。
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2．共线向量定理 (1)判定定理 a 是一个 非零 向量，若存在一个实数 λ，使得 b＝ λ a，则向量 b 与 非零向量 a 共线。 (2)性质定理
【自主解答】 (1)原式＝122a＋32b－a－34b ＝a＋34b－a－34b＝0
(2)联立得3－x－4x2＋y＝3ya＝①b②
①×3＋②×2，得 x＝3a＋2b。 ①×4＋②×3，得 y＝4a＋3b。
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1．向量数乘的运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”“提 取公因式”，这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看成向量的系数。
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1．本题充分利用了向量共线定理，即 b 与 a(a≠0)共线⇔b＝λa，因此用它
既可以证明点共线或线平行问题，也可以根据共线求参数的值。 2．向量共线的判断(证明)是把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相
表示，从而判断共线。
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2．设 e1，e2 是两个不共线向量，已知A→B＝2e1－8e2，C→B＝e1＋3e2，C→D＝2e1－e2。 (1)求证：A，B，D 三点共线。 (2)若B→F＝3e1－ke2，且 B，D，F 三点共线，求 k 的值。
∵Q，G，P 三点共线，则存在实数 k 使Q→G＝kG→P， ∴13a＋31－nb＝km－13a－13kb， ∴31－km－k3a＋13－n＋31kb＝0。 又∵a 与 b 不共线， ∴1331－ －knm＋ －13k3k＝ ＝00 化简得 m＋n＝3mn， ∴1m＋1n＝3。
若向量 b 与 非零 向量 a 共线，则存在一个实数 λ，使得 b＝ λ a。
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判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)实数 λ 与向量 a 的积还是向量。( )
(2)对于非零向量 a，向量－6a 与向量 2a 方向相反。( ) (3)向量－8a 的模是向量 4a 的模的 2 倍。( )
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【自主解答】 如图，设 G 是△ABC 的重心，连接 OG 并延长， 交 AB 于点 F，则
O→G＝23O→F＝23×12(a＋b)＝13(a＋b) Q→G＝O→G－O→Q＝13(a＋b)－n b＝13a＋13－nb G→P＝O→P－O→G＝m a－13(a＋b)＝m－13a－13b
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【答案】 (1)√ (2)√ (3)√ (4)× (5)×
随堂练习
(1)化简123a＋2b－a＋12b－212a＋38b； (2)已知向量 a，b，x，y 满足 3x－2y＝a，－4x＋3y＝b，
试用向量 a，b 表示向量 x，y。
【ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ彩点拨】 根据向量加法、减法、数乘的运算法则进行运算。
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探究 1 若存在实数 λ，使A→B＝λB→C，则 A，B，C 三点的位置关系如何？
【提示】 A，B，C 三点共线。
探究 2 向量共线定理有哪两个方面的应用？
【提示】 (1)判断两个向量共线，若存在一个实数 λ，使 b＝λa(a≠0)， 则 a 与 b 共线。(2)表示两个共线向量之间的关系。若 a 与 b 共线(a≠0)则必存在一个实数 λ，使 b＝λa。
北师大版·统编教材高中数学必修4
第二章·平面向量
数乘向量
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教材整理：数乘向量 阅读教材 P82～P84“例 3”以上部分，完成下列问题。
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1．数乘向量及运算律 (1)向量数乘的定义 一般地，实数 λ 与向量 a 的积是一个向量，记作 λa 它的长度和方向规定如下： ①|λa|＝ |λ||a| ； ②当 λ>0 时，λa 与 a 的方向相同 ；当 λ<0 时，λa 与 a 的方向 相反 ； 当 λ＝0 时，λa＝ 0 。
∴x＝29a－29b＋19c。
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已知 e1，e2 是不共线的向量，a＝3e1＋4e2，b＝6e1－8e2，判断 a 与 b 是否共线？
【精彩点拨】 利用向量共线定理进行判断。
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【自主解答】 若 a 与 b 共线，则存在 λ∈R，使 a＝λb，即 3e1＋4e2＝λ(6e1－8e2)， 所以(3－6λ)e1＋(4＋8λ)e2＝0 因为 e1 与 e2 不共线，所以34－ ＋68λλ＝ ＝00， ， 所以 λ 不存在。 所以 a 与 b 不共线。