数值分析课程设计题目(10级)

一、单项选择题（每小题3分,共15分）1. 和分别作为π(de)近似数具有（ ）和（ ）位有效数字. A ．4和3 B ．3和2 C ．3和4 D ．4和42. 已知求积公式()()211211()(2)636f x dx f Af f ≈++⎰,则A ＝（ ）A ． 16B ．13C ．12D ．233. 通过点()()0011,,,x y x y (de)拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足（ ）A ．()00l x ＝0,()110l x =B ．()00l x ＝0,()111l x =C ．()00l x ＝1,()111l x = D ．()00l x ＝1,()111l x =4. 设求方程()0f x =(de)根(de)牛顿法收敛,则它具有（ ）敛速.A ．超线性B ．平方C ．线性D ．三次5. 用列主元消元法解线性方程组1231231220223332x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪--=⎩ 作第一次消元后得到(de)第3个方程（ ）.A ．232x x -+=B ．232 1.5 3.5x x -+=C ．2323x x -+=D ．230.5 1.5x x -=-二、填空题（每小题3分,共15分）1. 设TX )4,3,2(-=, 则=1||||X ,2||||X = .2. 一阶均差()01,f x x =3. 已知3n =时,科茨系数()()()33301213,88C C C ===,那么()33C = 4. 因为方程()420x f x x =-+=在区间[]1,2上满足 ,所以()0f x =在区间内有根.5. 取步长0.1h =,用欧拉法解初值问题()211y y yx y ⎧'=+⎪⎨⎪=⎩(de)计算公式 .0,1,2分 人三、计算题（每题15分,共60分）1. 已知函数211y x =+(de)一组数据：求分段线性插值函数,并计算()1.5f (de)近似值.1. 解 []0,1x ∈,()1010.510.50110x x L x x --=⨯+⨯=---[]1,2x ∈,()210.50.20.30.81221x x L x x --=⨯+⨯=-+--所以分段线性插值函数为()[][]10.50,10.80.31,2x x L x x x ⎧-∈⎪=⎨-∈⎪⎩ ()1.50.80.3 1.50.35L =-⨯=2. 已知线性方程组1231231231027.21028.35 4.2x x x x x x x x x --=⎧⎪-+-=⎨⎪--+=⎩（1） 写出雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式；（2） 对于初始值()()00,0,0X =,应用雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式分别计算()1X （保留小数点后五位数字）.1.解 原方程组同解变形为1232133120.10.20.720.10.20.830.20.20.84x x x x x x x x x =++⎧⎪=-+⎨⎪=++⎩雅可比迭代公式为()()()()()()()()()1123121313120.10.20.720.10.20.830.20.20.84m m m m m m m m m x x x x x x x x x +++⎧=++⎪⎪=-+⎨⎪=++⎪⎩(0,1...)m =高斯－塞德尔迭代法公式()()()()()()()()()1123112131113120.10.20.720.10.20.830.20.20.84m m m m m m m m m x x x x x x x x x ++++++⎧=++⎪⎪=-+⎨⎪=++⎪⎩ (0,1...)m =用雅可比迭代公式得()()10.72000,0.83000,0.84000X =用高斯－塞德尔迭代公式得()()10.72000,0.90200,1.16440X =3. 用牛顿法求方程3310x x --=在[]1,2之间(de)近似根（1）请指出为什么初值应取2 （2）请用牛顿法求出近似根,精确到. 3. 解()331f x x x =--,()130f =-<,()210f =>()233f x x '=-,()12f x x ''=,()2240f =>,故取2x =作初始值4. 写出梯形公式和辛卜生公式,并用来分别计算积分111dxx+⎰.四、证明题（本题10分）确定下列求积公式中(de)待定系数,并证明确定后(de)求积公式具有3次代数精确度()()()()1010hhf x dx A f h A f A f h --=-++⎰证明：求积公式中含有三个待定系数,即101,,A A A -,将()21,,f x x x =分别代入求一、 填空（共20分,每题2分）1. 设2.3149541...x *=,取5位有效数字,则所得(de)近似值x= .2.设一阶差商()()()21122114,321f x f x f x x x x --===---,()()()322332615,422f x f x f x x x x --===--则二阶差商 ()123,,______f x x x =3. 设(2,3,1)TX =--, 则2||||X = ,=∞||||X .4．求方程 21.250x x --= (de)近似根,用迭代公式 1.25x x =+,取初始值 01x =, 那么 1______x =。

《数值分析》课程设计负责老师：刘瑞华、许安见、牛普 面向对象：0811-1、-2班级全体同学 时 间：第十八周周一至周五全天 地 点：实验楼B503 要求：(1) 4人一小组做一个设计题目，按照上次分组顺利，依次做下面的设计； (2) 每小组推选一位同学参加答辩，答辩不通过者，成绩等级将视为不及格； (3) 课程设计期间严格实行考勤记录，要求同学们到指定教室；(4) 严格按照课程设计的要求提交课程设计论文，需要制作封面，打印成绩评定书，其中成绩评定书装订在第2页；(5) 论文于第十八周周四下午5点前以班为单位收齐后交到实验楼B501，第十八周周五上午8:30在实验楼B502进行答辩。

题目（一）1、考虑两点边值问题()()⎪⎩⎪⎨⎧==<<=+.11,00,10,22y y a a dx dydx y d ε 容易知道它的精确解为.1111ax e e a y x +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=--εε为了把微分方程离散，把[]1,0区间n 等分，令nh 1=，ih x i =，,1,,2,1-=n i 得到差分方程 ,21211a h y y hy y y ii i i i =-++-++-ε简化为()(),2211ah y y h y h i i i =++-+-+εεε从而离散后得到的线性方程组的系数矩阵为()()()()⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-++-++-++-=h h h h h h h A εεεεεεεεεε2222对1=ε，4.0=a ，200=n ，分别用1=ω、5.0=ω和5.1=ω的超松弛迭代法求解线性方程组，要求有4位有效数字，然后比较与精确解的误差，探讨使超松弛迭代法收敛较快的ω取值，对结果进行分析。

改变n ，讨论同样问题。

题目（二）2、先用你所熟悉的计算机语言将不选主元、列主元和完全主元Gauss 消去法编写成通用的子程序，然后用你编写的程序求解下面的方程组（考虑n 从120到130）123216186186186186186n n n x x x x x x --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ =71515151514⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦； 对上述方程组还可以采用哪些方法求解？选择其中一些方法编程上机求解上述方程组，说明最适合的是什么方法；将计算结果进行比较分析，谈谈你对这些方法的看法。

数值分析课后习题部分参考答案Chapter 1（P10）5. 求2的近似值*x ，使其相对误差不超过%1.0。

解： 4.12=。

设*x 有n 位有效数字，则n x e -⨯⨯≤10105.0|)(|*。

从而，1105.0|)(|1*nr x e -⨯≤。

故，若%1.0105.01≤⨯-n，则满足要求。

解之得，4≥n 。

414.1*=x 。

（P10）7. 正方形的边长约cm 100，问测量边长时误差应多大，才能保证面积的误差不超过12cm 。

解：设边长为a ，则cm a 100≈。

设测量边长时的绝对误差为e ，由误差在数值计算的传播，这时得到的面积的绝对误差有如下估计:e ⨯⨯≈1002。

按测量要求，1|1002|≤⨯⨯e 解得，2105.0||-⨯≤e 。

Chapter 2（P47）5. 用三角分解法求下列矩阵的逆矩阵：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=011012111A 。

解：设()γβα=-1A。

分别求如下线性方程组：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001αA ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010βA ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100γA 。

先求A 的LU 分解（利用分解的紧凑格式），⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----3)0(2)1(1)1(2)0(1)1(2)2(1)1(1)1(1)1(。

即，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=121012001L ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=300210111U 。

经直接三角分解法的回代程，分别求解方程组，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001Ly 和y U =α，得，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=100α；⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010Ly 和y U =β，得，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=323131β；⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100Ly 和y U =γ，得，；⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=313231γ。

所以，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-3132132310313101A。

（P47）6. 分别用平方根法和改进平方根法求解方程组：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----816211515311401505231214321x x x x 解:平方根法：先求系数矩阵A 的Cholesky 分解（利用分解的紧凑格式），⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----1)15(2)1(1)5(3)3(3)14(2)0(1)1(1)5(2)2(1)1(，即，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=121332100120001L ，其中，TL L A ⨯=。

课程 设 计我再也回不到大二了，大学是那么短暂设计题目 数值分析 学生姓名 李飞吾 学 号 x x x x x x x x 专业班级 信息计x x x x x 班 指导教师设 计 题 目共15题如下成绩数值分析课程设计1．1 水手、猴子和椰子问题：五个水手带了一只猴子来到南太平洋的一个荒岛上，发现那里有一大堆椰子。

由于旅途的颠簸，大家都很疲惫，很快就入睡了。

第一个水手醒来后，把椰子平分成五堆，将多余的一只给了猴子，他私藏了一堆后便又去睡了。

第二、第三、第四、第五个水手也陆续起来，和第一个水手一样，把椰子分成五堆，恰多一只猴子，私藏一堆，再去入睡，天亮以后，大家把余下的椰子重新等分成五堆，每人分一堆，正好余一只再给猴子，试问原先共有几只椰子？（15621） 试分析椰子数目的变化规律，利用逆向递推的方法求解这一问题 解：算法分析：解该问题主要使用递推算法，关于椰子数目的变化规律可以设起初的椰子数为0p ，第一至五次猴子在夜里藏椰子后，椰子的数目分别为01234,,,,p p p p p 再设最后每个人分得x 个椰子,由题:14(1)5k k p p +=- （k=0,1,2,3,4）51(1)5x p =-所以551p x =+,11k k p p +=+利用逆向递推方法求解151,4k k p p +=+ （k=0,1,2,3,4）MATLAB 代码： n=input('n= '); n= 15621 for x=1:n p=5*x+1; for k=1:5 p=5*p/4+1; endif p==fix(p), break end enddisp([x,p])1．2 设，15nn x I dx x=+⎰ （1）从0I 尽可能精确的近似值出发，利用递推公式：115(1,2,20)n n I I n n-=-+=计算机从1I 到20I 的近似值；（2）从30I 较粗糙的估计值出发，用递推公式：111(30,29,,3,2)55n n I I n n-=-+=计算从1I 到20I 的近似值；解：首先第一步，估计0I 和30I 的值：syms x n;int (x^0/(5+x),0,1) ans=log(2)+log(3)-log(5) eval(ans) ans= 0.1823则取0I 为0.18 syms x n;int(x^30/(5+x),0,1) ans =931322574615478515625*log(2)+931322574615478515625*log(3)-931322574615478515625*log(5)-79095966183067699902965545527073/465817912560 eval(ans) ans = 0MATLAB 中小数点后保留四位，由上面计算知道积分的值不为了零。

数值分析习题（含答案）第一章绪论姓名学号班级习题主要考察点：有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。

1 若误差限为5105.0-?,那么近似数0.003400有几位有效数字？（有效数字的计算）解：2*103400.0-?=x ，325*10211021---?=?≤-x x 故具有3位有效数字。

2 14159.3=π具有4位有效数字的近似值是多少？（有效数字的计算）解：10314159.0?= π，欲使其近似值*π具有4位有效数字，必需41*1021-?≤-ππ，3*310211021--?+≤≤?-πππ，即14209.314109.3*≤≤π即取（3.14109 , 3.14209）之间的任意数，都具有4位有效数字。

3 已知2031.1=a ，978.0=b 是经过四舍五入后得到的近似值，问b a +，b a ?有几位有效数字？（有效数字的计算）解：3*1021-?≤-aa ，2*1021-?≤-b b ，而1811.2=+b a ，1766.1=?b a 2123****102110211021)()(---?≤?+?≤-+-≤+-+b b a a b a b a故b a +至少具有2位有效数字。

2123*****10210065.01022031.1102978.0)()(---?≤=?+?≤-+-≤-b b a a a b ba ab 故b a ?至少具有2位有效数字。

4 设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差和相对误差？（误差的计算）解：已知δ=-**xx x ，则误差为δ=-=-***ln ln xx x x x则相对误差为******ln ln 1ln ln ln xxx x xxx x δ=-=-5测得某圆柱体高度h 的值为cm h 20*=，底面半径r 的值为cm r 5*=，已知cm h h 2.0||*≤-，cm r r 1.0||*≤-，求圆柱体体积h r v2π=的绝对误差限与相对误差限。

习题参考答案习题一1．(1) 0.05ε=，0.0185r ε=，有2位有效数字 (2) 0.0005ε=，0.000184r ε=，有4位有效数字 (3) 0.000005ε=，0.000184r ε=，有4位有效数字 (4) 0.0000005ε=，0.000184r ε=，有4位有效数字 2．0.0005ε=，0.00016r ε≈；有4位有效数字 3．|d | 1.210.005 3.650.0050.0050.02930.03a ≤⨯+⨯+≈≤4．*1x 有5位有效数字，*2x 有2位有效数字，*3x 有4位有效数字，*4x 有5位有效数字5．(1) ***124()x x x ε++31.0510−=⨯ (2) ***123()x x x ε=0.21479 (3) *2*4()x x ε50.8865410−=⨯6．略。

7．最小刻度x 满足0.002cm x ≤ 8．*3()10000 mm V επ=，*()0.02r V ε= 9．设正方形边长为a ，*2()0.510a ε−≤⨯10．*1()1%0.00333r R ε=⨯≈11．1||||14x =，2||||9.89949x ≈，||||9x ∞= 12．1|||||1.25||0.02|| 5.15||0| 6.42x =++−+=22221/22||||[(1.25)(0.02)( 5.15)(0)] 5.2996x =++−+=||||| 5.15| 5.15x ∞=−=13．||||10A ∞=，1||||9A =，2||||82.05125A ≈14．||||16A ∞=，1||||16A =，2||||12A =15．(1) ||()||1f x ∞=，1||()||8f x =，2||()||f x π=(2) ||()||23f x ∞=，1||()||17f x =，2||()||10.6427f x ≈ 16．略。

要使其为极f ⑷©4!研10《数值分析》答案填空(每空2分)(1)50.005 0.0000102; (2)4 0; (3) 2/一丄 4 (4)6 7 15 + 5^5 ； (5) 3 + 2血；(6) aw (-希,希)；(7)|C /|Y 1;(8)0Y 〃Y 0.02一.推导计算1. 解(待定参数法):根据节点条件及多项式性质，设所求函数为 H(x) = /(0) + /［0,l ］(x-0) + /［0,l,2］(x-0)(x-l) + A(x-0)(x-l)(x-2)代入导数条件，求出A=1.-.H(X ) = X 3+1 设余项为 R(x) = f(x) - H(x) = K(x)x(x -1)2 (x- 2) 当 xe ［l,2］且不同于0,1,2时,构造关于变量t 的函数g(0 = /(0-H(t)-K (aa-1)2(— 2)- 此函数是充分光滑的，且有零 点:0,l,2,x(l 是2重零点)-在4个零点的3个区间上反复运用Rolle 定理， 可知至少有一倚赖于0, 1, 2, x 的点使g ⑷ © 二严 ©- 4! g) = 0 = g)= 马°双—1)2(—2),兵(0,2)［本题H(x)的推出也可以用［1］重节点的差商表方法；［2］直接设为 3次多项式一般式，代入条件建立方程组求出。

2. 解：由过原点条件，可知拟合函数形如：尹(兀)=ax+bx 2故需按最小二乘法定义来推导。

3 2设最小二乘拟合误差为32 = £»(和-卯 i=0必需符合da 3£ db [\fxco(x)dx = 0 : 积分展开并令x o + %! = V, X Q X { = U 解相应方程组 £ yfxco(x)xdx = 0 z H _ 5 _10 u — —, v —— 是应有由韦达定理, 知亦是方程/号+春=0的根。

信计101 郭英贵 学号：201000901031信计、数应专业10级数值方法计算实习题一、在区间[-1,1]上分别取10,20n =用两组等距节点对龙格函数2()125f x x =+作多项式插值及三次样条插值，对每个n 值，分别画出插值函数即()f x 的图形。

解：（1）多项式插值①先建立一个多项式插值的M-file ；输入如下的命令（如牛顿插值公式）：function [C,D]=newpoly(X,Y)n=length(X);D=zeros(n,n)D(:,1)=Y'for j=2:nfor k=j:nD(k,j)=(D(k,j-1)- D(k-1,j-1))/(X(k)-X(k-j+1));endendC=D(n,n);for k=(n-1):-1:1C=conv(C,poly(X(k)))m=length(C);C(m)= C(m)+D(k,k);end②当n=10时，我们在命令窗口中输入以下的命令：clear,clf,hold on;X=-1:0.2:1;Y=1./(1+25*X.^2);[C,D]=newpoly(X,Y);x=-1:0.01:1;y=polyval(C,x);plot(x,y,X,Y ,'.');grid on;xp=-1:0.2:1;z=1./(1+25*xp.^2);plot(xp,z,'r')得到插值函数和f （x ）图形：③当n=20时，我们在命令窗口中输入以下的命令：clear,clf,hold on;X=-1:0.1:1;Y=1./(1+25*X.^2);[C,D]=newpoly(X,Y);x=-1:0.01:1;y=polyval(C,x);plot(x,y,X,Y,'.');grid on;xp=-1:0.1:1;z=1./(1+25*xp.^2);plot(xp,z,'r')得到插值函数和f（x）图形：（2）三次样条插值①先建立一个多项式插值的M-file；输入如下的命令:function S=csfit(X,Y,dx0,dxn)N=length(X)-1;H=diff(X);D=diff(Y)./H;A=H(2:N-1);B=2*(H(1:N-1)+H(2:N));C=H(2:N);U=6*diff(D);B(1)=B(1)-H(1)/2;U(1)=U(1)-3*(D(1));B(N-1)=B(N-1)-H(N)/2;U(N-1)=U(N-1)-3*(-D(N));for k=2:N-1temp=A(k-1)/B(k-1);B(k)=B(k)-temp*C(k-1);U(k)=U(k)-temp*U(k-1);endM(N)=U(N-1)/B(N-1);for k=N-2:-1:1M(k+1)=(U(k)-C(k)*M(k+2))/B(k);endM(1)=3*(D(1)-dx0)/H(1)-M(2)/2;M(N+1)=3*(dxn-D(N))/H(N)-M(N)/2;for k=0:N-1S(k+1,1)=(M(k+2)-M(k+1))/(6*H(k+1));S(k+1,2)=M(k+1)/2;S(k+1,3)=D(k+1)-H(k+1)*(2*M(k+1)+M(k+2))/6;S(k+1,4)=Y(k+1);end②当n=10时，我们在命令窗口中输入以下的命令：clear,clcX=-1:0.2:1;Y=1./(25*X.^2+1);dx0= 0.0739644970414201;dxn= -0.0739644970414201; S=csfit(X,Y,dx0,dxn)x1=-1:0.01:-0.5;y1=polyval(S(1,:),x1-X(1));x2=-0.5:0.01:0;y2=polyval(S(2,:),x2-X(2));x3=0:0.01:0.5; y3=polyval(S(3,:),x3-X(3));x4=0.5:0.01:1;y4=polyval(S(4,:),x4-X(4));plot(x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4, X,Y,'.')结果如图：②当n=20时，我们在命令窗口中输入以下的命令：clear,clcX=-1:0.1:1;Y=1./(25*X.^2+1);dx0= 0.0739644970414201;dxn= -0.0739644970414201; S=csfit(X,Y,dx0,dxn)x1=-1:0.01:-0.5;y1=polyval(S(1,:),x1-X(1));x2=-0.5:0.01:0;y2=polyval(S(2,:),x2-X(2));x3=0:0.01:0.5; y3=polyval(S(3,:),x3-X(3));x4=0.5:0.01:1;y4=polyval(S(4,:),x4-X(4));plot(x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4, X,Y,'.')结果如图：二、已知Wilson 矩阵1078775658610975910A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，且向量32233331b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则方程组Ax b =有准确解[]1111Tx =。

课程设计1‎（三个人，用不同方法‎） 土木工程和‎环境工程师‎在设计一条‎排水渠道时‎必须考虑渠‎道的各种参‎数（如宽度，深度，渠道内壁光‎滑度）及水流速度‎、流量、水深等物理‎量之间的关‎系。

假设修一条‎横断面为矩‎形的水渠，其宽度为B ‎，假定水流是‎定常的，也就是说水‎流速度不随‎时间而变化‎。

根据质量守‎恒定律可以‎得到 Q=UBH （1.1）其中Q 是水的流量‎（s m /3），U 是流速（s m /），H 是水的深‎度（m ）。

在水工学中‎应用的有关‎流速的公式‎是3/23/22/1)2()(1H B BH S n U += （1.2）这里n 是M ‎a nnin ‎g 粗糙系数‎，它是一个与‎水渠内壁材‎料的光滑性‎有关的无量‎纲量；S 是水渠的‎斜度系数，也是一个无‎量纲量，它代表水渠‎底每米内的‎落差。

把（1.2）代入（1.1）就得到3/23/52/1)2()(1H B BH S n U += （1.3）为了不同的‎工业目的（比如说要把‎污染物稀释‎到一定的浓‎度以下，或者为某工‎厂输入一定‎量的水），需要指定流‎量Q 和B ，求出水的深‎度。

这样，就需要求解‎0)2()(1)(3/23/52/1=-+=Q H B BH S n H f （1.4）一个具体的‎案例是s m Q S n m B /5 ,0002.0 ,03.0 ,203====求出渠道中‎水的深度H ‎。

所涉及的知‎识——非线性方程‎解法。

课程设计2‎ （三个人，用不同方法‎） 在化学工程‎中常常研究‎在一个封闭‎系统中同时‎进行的两种‎可逆反应CD A CB A ⇔+⇔+2其中A ，B ，C 和D 代表‎不同的物质‎。

反应达到平‎衡是有如下‎的平衡关系‎：d a cba c C C C k C C C k ==221 , 其中称为平‎2241107.3 ,104--⨯=⨯=k k 衡常数，),,,(d c b a n C n =代表平衡状‎态时该物质‎的浓度。

数值分析试题及答案一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 线性代数中，矩阵A的逆矩阵记作（）。

A. A^TB. A^-1C. A^+D. A*答案：B2. 插值法中，拉格朗日插值多项式的基函数是（）。

A. 多项式B. 指数函数C. 正弦函数D. 余弦函数答案：A3. 在数值积分中，梯形规则的误差是（）阶的。

A. O(h^2)B. O(h^3)C. O(h)D. O(1/h)答案：A4. 求解线性方程组时，高斯消元法的基本操作不包括（）。

A. 行交换B. 行乘以非零常数C. 行加行D. 行除以非零常数答案：D5. 非线性方程f(x)=0的根的迭代法中，收敛的必要条件是（）。

A. f'(x)≠0B. f'(x)=0C. |f'(x)|<1D. |f'(x)|>1答案：C6. 利用牛顿法求解非线性方程的根时，需要计算（）。

A. 函数值B. 函数值和导数值C. 函数值和二阶导数值D. 函数值、一阶导数值和二阶导数值答案：B7. 矩阵的特征值和特征向量是（）问题中的重要概念。

A. 线性方程组B. 特征值问题C. 线性规划D. 非线性方程组答案：B8. 在数值分析中，条件数是衡量矩阵（）的量。

A. 稳定性B. 可逆性C. 正交性D. 稀疏性答案：A9. 利用龙格现象说明，高阶插值多项式在区间端点附近可能产生（）。

A. 振荡B. 收敛C. 稳定D. 单调答案：A10. 雅可比迭代法和高斯-塞德尔迭代法都是求解线性方程组的（）方法。

A. 直接B. 迭代C. 精确D. 近似答案：B二、填空题（每题4分，共20分）11. 线性代数中，矩阵A的行列式记作________。

答案：det(A) 或 |A|12. 插值法中，牛顿插值多项式的基函数是________。

答案：差商13. 在数值积分中，辛普森规则的误差是________阶的。

答案：O(h^4)14. 求解线性方程组时，迭代法的基本思想是从一个初始近似解出发，通过不断________来逼近精确解。

《数值分析》课程设计—作业实验一1.1水手、猴子和椰子问题：五个水手带了一只猴子来到南太平洋的一个荒岛上，发现那里有一大堆椰子。

由于旅途的颠簸，大家都很疲惫，很快就入睡了。

第一个水手醒来后，把椰子平分成五堆，将多余的一只给了猴子，他私藏了一堆后便又去睡了。

第二、第三、第四、第五个水手也陆续起来，和第一个水手一样，把椰子分成五堆，恰多一只猴子，私藏一堆，再去入睡，天亮以后，大家把余下的椰子重新等分成五堆，每人分一堆，正好余一只再给猴子，试问原先共有几只椰子？试分析椰子数目的变化规律，利用逆向递推的方法求解这一问题。

解：一、问题分析：对于本题，比较简单，我们只需要判断原来椰子的个数及每个人私藏了一份之后剩下的是否能被5除余1，直到最后分完。

对于第一个程序，n取2000；对于第二个程序，n取20001，就能得到我们想要的结果，即原先一共有15621个椰子，最终平均每人得4092个椰子。

1.2 当0,1,2,,100n =时，选择稳定的算法计算积分10d 10nxn xe I x e --=+⎰. 解：一、问题分析：由10d 10nxn xe I x e --=+⎰知： 1101001==+⎰dx I I 以及： )1(11010101010)1(1nnx x nx x n n n e ndx e dx e e e I I ----+-+-==++=+⎰⎰ 得递推关系： ⎪⎩⎪⎨⎧--=-=-+n nn I e n I I I 10)1(1101101， 但是通过仔细观察就能知道上述递推公式每一步都将误差放大十倍，即使初始误差很小，但是误差的传播会逐步扩大，也就是说用它构造的算法是不稳定的，因此我们改进上述递推公式（算法）如下：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=-=+-))1(1(101)1(101110n n n I e n I I I通过比较不难得出该误差是逐步缩小的，即算法是稳定的。

二、问题求解：为了利用上面稳定的算法，需要我们估计初值100I 的值。

数值分析课程设计报告设计题1、2、3、5学院、系：专业：姓名：学号：任课教师：提交日期：电子邮箱：目录[设计题一]31.1问题分析与设计思路31.2程序清单41.4 结果分析71.5设计总结7[设计题二]82.1问题分析与设计思路82.2程序清单82.3 运行结果102.4结果分析与设计总结10 [设计题三]113.1问题分析与设计思路113.2程序清单113.3 运行结果133.4结果分析与设计总结13 [设计题五]144.1问题分析与设计思路144.2程序清单154.3 运行结果204.4结果分析21【数值分析课程设计总结】22[设计题一]设计实验验证Hilbert矩阵的病态性。

1.1问题分析与设计思路在求解任何反问题的过程中通常会遇到病态矩阵问题，而且病态矩阵问题还未有很好的解决方法，尤其是长方形、大型矩阵。

目前主要有Tikhonov、奇异值截断、奇异值修正等方法。

求解方程组时对数据的小扰动很敏感的矩阵就是病态矩阵。

解线性方程组Ax=b时，若对于系数矩阵A及右端项b的小扰动δA、δb,方程组(A+δA>χ=b+δb的解χ与原方程组Ax=b的解差别很大，则称矩阵A为病态矩阵。

方程组的近似解χ一般都不可能恰好使剩余r=b-Aχ为零，这时χ亦可看作小扰动问题Aχ=b-r(即δA=0，δb=-r>的解,所以当A为病态时,即使剩余很小,仍可能得到一个与真解相差很大的近似解。

因此，设计思路如下：令x0=<1,1…..1），计算出b=Hx0，求出b，然后再用高斯消去法球解Hx=b，得到近似解x，然后利用标准差：比较x与x0之间的误差。

截图是取了几个n<程序中设置为1至30）去计算，看一下随着n的增大误差的变化情况。

1.2程序清单共两个文件qm1.mgauss_liezhu1.m <在qm1.m中调用此程序）qm1.mgauss_liezhu1.m1.4 结果分析N=14按照N的递增顺序取了9个误差数据，制成散点折线图如上所示。

数值分析课程设计思考题一、教学目标本节课的教学目标是让学生掌握数值分析的基本概念和方法，培养学生运用数值分析解决实际问题的能力。

具体来说，知识目标包括：了解数值分析的基本概念、原理和方法；掌握常用的数值计算算法及其优缺点。

技能目标包括：能够运用数值分析方法解决实际问题；能够使用相关软件进行数值计算和数据分析。

情感态度价值观目标包括：培养学生对数值分析的兴趣和好奇心，提高学生学习的积极性；培养学生的团队合作意识和科学精神。

二、教学内容本节课的教学内容主要包括数值分析的基本概念、原理和方法。

具体来说，教学大纲如下：1.数值分析的基本概念：数值分析的定义、特点和意义。

2.数值计算算法：插值法、最小二乘法、数值积分和数值微分。

3.误差分析：误差的定义和来源、误差的估计和减少方法。

4.稳定性分析：稳定性的定义和判定方法。

5.实际应用案例：利用数值分析方法解决实际问题。

三、教学方法为了达到本节课的教学目标，我们将采用多种教学方法进行教学。

具体来说，包括以下几种：1.讲授法：通过讲解数值分析的基本概念、原理和方法，使学生掌握相关知识。

2.案例分析法：通过分析实际应用案例，使学生了解数值分析在解决实际问题中的应用。

3.讨论法：学生进行小组讨论，培养学生的团队合作意识和科学精神。

4.实验法：让学生利用相关软件进行数值计算和数据分析，提高学生的实践能力。

四、教学资源为了支持本节课的教学内容和教学方法的实施，我们将准备以下教学资源：1.教材：数值分析教材，用于引导学生学习基本概念和原理。

2.参考书：提供额外的学习资料，帮助学生深入理解数值分析方法。

3.多媒体资料：制作PPT、视频等多媒体资料，生动展示数值分析的原理和应用。

4.实验设备：计算机和相关软件，供学生进行数值计算和数据分析实践。

五、教学评估为了全面、客观地评估学生的学习成果，本节课的评估方式包括以下几个方面：1.平时表现：通过观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，评估学生的学习态度和理解程度。

问题的提出3.3 用SOR 方法解下列方程组（去松弛因子w=1.2），要求14||||10k k X X +-∞-<。

12142145x x x x +=⎧⎨-=⎩ 3.4 设 411011A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，计算()cond A ∞。

3.5 用选列主元Gauss 消元法求解方程组12312312334721320x x x x x x x x x -+=⎧⎪-+-=-⎨⎪-+=⎩3.6 用追赶法解三对角方程组12345210001121000012100001210000120x x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 3.7 用三角分解法解方程组123248541816862207x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪--= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭3.8 用选主元消元法计算下列行列式126324951。

一、问题分析1. 超松弛法是迭代方法的一种加速方法，其计算公式简单，但需要选择合适的松弛因子，以保证迭代过程有较快的收敛速度。

2. A 的条件数计算首先要获得A 的逆，而求A 的逆可以转化为求n 个方程组。

3. 完全主元消元法在计算过程中花费了大量的时间用于寻找主元。

同时，各变量的位置在消元过程中也可能会发生变化。

而列选主元法则可消除这个弊病。

4. 追赶法主要是解三对角方程组。

所谓追指消元过程，赶指回代过程。

5. Gauss 消元法是通过逐步消元过程，将方程组的系数矩阵A 转变为一个上三角矩阵。

三角分解法，就是把系数矩阵分解为两个三角阵。

6.将某一向量坐标同乘以某非零实数，加到另一向量上，行列式的值不变。

用选主元法将行列式矩阵变为三角阵，对角线上的数值相乘即为行列式的值。

二、编程解决3.3Sor法c语言编程：#include<stdio.h>#include<math.h>#include<stdlib.h>#define omega 1.2 //取值不合适结果可能发散void main(){double a[5][5];double b[5],x[5],f,t,y[5]={0,0,0,0,0};int i,j,n,cnt=0;printf("阶数:");scanf("%d",&n);printf("请输入%d阶的A矩阵\n",n);for(i=0;i<n;i++)for(j=0;j<n;j++)scanf("%lf",&a[i][j]);printf("请输入B矩阵\n");for(i=0;i<n;i++)scanf("%lf",&b[i]);printf("count\t");for(i=0;i<n;i++)printf("x[%d]\t\t",i);printf("收敛程度\n");do{for(i=0;i<n;i++)x[i]=y[i];for(i=0;i<n;i++){t=0;for(j=0;j<n;j++)t=t+a[i][j]*(j<i?y[j]:x[j]);y[i]=x[i]+omega*(b[i]-t)/a[i][i];printf("%d",cnt++);for(i=0;i<n;i++)printf("\t%lf",x[i]);f=0;for(i=0;i<n;i++)f+=fabs(y[i]-x[i]);printf("\t%g\n",f);}while(f>1e-4 && cnt<100);}所得结果：3.4 求逆、算条件数编程：#include <stdio.h>#include <math.h>#include <stdlib.h>#define N 5 //可修改，以改变可解决的最大维数。

数值分析报告试的题⽬及问题详解51093数值分析试题⼀、填空题（2 0×2′）1.-=?-=32,1223X A 设x =0.231是精确值x *=0.229的近似值，则x 有 2 位有效数字。

2. 若f (x )=x 7－x 3＋1，则f [20,21,22,23,24,25,26,27]= 1 ，f [20,21,22,23,24,25,26,27,28]= 0 。

3. 设，‖A ‖∞＝___5 ____，‖X ‖∞＝__ 3_____，‖AX ‖∞≤_15_ __。

4. ⾮线性⽅程f (x )=0的迭代函数x =?(x )在有解区间满⾜ |?’(x )| <1 ，则使⽤该迭代函数的迭代解法⼀定是局部收敛的。

5. 区间[a ,b ]上的三次样条插值函数S (x )在[a ,b ]上具有直到 2 阶的连续导数。

6. 当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近⾸节点，应该选⽤等距节点下⽜顿差商公式的前插公式，若所求节点靠近尾节点，应该选⽤等距节点下⽜顿差商公式的后插公式；如果要估计结果的舍⼊误差，应该选⽤插值公式中的拉格朗⽇插值公式。

7. 拉格朗⽇插值公式中f (x i )的系数a i (x )的特点是：=∑=ni i x a 0)( 1 ；所以当系数a i (x )满⾜ a i (x )>1 ，计算时不会放⼤f (x i )的误差。

8. 要使20的近似值的相对误差⼩于0.1%，⾄少要取 4 位有效数字。

9. 对任意初始向量X (0)及任意向量g ，线性⽅程组的迭代公式x (k +1)=Bx (k )+g (k =0,1,…)收敛于⽅程组的精确解x *的充分必要条件是ρ(B)<1 。

10. 由下列数据所确定的插值多项式的次数最⾼是 5 。

11. ⽜顿下⼭法的下⼭条件为 |f(xn+1)|<|f(xn)| 。

12. 线性⽅程组的松弛迭代法是通过逐渐减少残差r i (i =0,1,…,n )来实现的，其中的残差r i ＝ (b i -a i1x 1-a i2x 2-…-a in x n )/a ii ，(i =0,1,…,n )。