因式分解(九)

【初中数学】因式分解的九种方法一、运用公式法我们知道整式乘法与因式分解互为逆变形。

如果把乘法公式反过来就是把多项式分解因式。

于是有：a -b =(a+b)(a-b)a +2ab+b =(a+b)a -2ab+b =(a-b)如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式。

这种分解因式的方法叫做运用公式法。

二、平方差公式1、式子：a -b =(a+b)(a-b)2、语言：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。

这个公式就是平方差公式。

三、因式分解1.因式分解时，各项如果有公因式应先提公因式，再进一步分解。

2.因式分解，必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止。

四、完全平方公式1、把乘法公式(a+b) =a +2ab+b 和(a-b) =a -2ab+b 反过来，就可以得到： a +2ab+b =(a+b) 和a -2ab+b =(a-b) ，这两个公式叫完全平方公式。

这就是说，两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方。

把a +2ab+b 和a -2ab+b 这样的式子叫完全平方式。

2、完全平方式的形式和特点：①项数：三项；②有两项是两个数的的平方和，这两项的符号相同；③有一项是这两个数的积的两倍。

3、当多项式中有公因式时，应该先提出公因式，再用公式分解。

4、完全平方公式中的a、b可表示单项式，也可以表示多项式。

这里只要将多项式看成一个整体就可以了。

5、分解因式，必须分解到每一个多项式因式都不能再分解为止。

五、分组分解法我们看多项式am+an+bm+bn，这四项中没有公因式，所以不能用提取公因式法，再看它又不能用公式法分解因式。

如果我们把它分成两组(am+an)和(bm+bn)，这两组能分别用提取公因式的方法分别分解因式。

原式=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)做到这一步不叫把多项式分解因式，因为它不符合因式分解的意义。

因式分解的十二种方法因式分解是代数中的一个非常重要的概念，它可以帮助我们将一个复杂的代数表达式简化为更简单的乘积形式。

在因式分解的过程中，有许多不同的方法可以使用。

下面将介绍因式分解的十二种常见方法。

一、公因式提取法（通用方法）：公因式提取法是因式分解中最基础也是最常见的一种方法。

它的基本思想是通过提取出一个或多个公因式，将原表达式分解为因子相乘的形式。

例如，对于表达式6x+9y，可以提取出3作为公因式，从而得到3(2x+3y)。

二、配方法（分组法）：配方法是一种将高次项与低次项相乘的方法。

通过将原表达式分组，然后将每组中的项相乘，最后将各组之间的结果相加。

例如，对于表达式x^2+5x+6，可以将其写成(x^2+2x)+(3x+6)，然后将每组中的项相乘，即得到x(x+2)+3(x+2)，再进行合并得到(x+2)(x+3)。

三、分解差平方：分解差平方是一种将平方差分解为两个因数相乘的方法。

它的基本思想是将一项的平方与另一项的平方的差分解为两个因数的乘积。

例如，对于表达式x^2-4，可以将其分解为(x+2)(x-2)。

四、分解和差平方：分解和差平方是一种将平方和分解为两个因数相乘的方法。

它的基本思想是将一项的平方与另一项的平方的和分解为两个因数的乘积。

例如，对于表达式x^2+4，可以将其分解为(x+2i)(x-2i)，其中i是虚数单位。

五、完全平方差公式：完全平方差公式是一种将二次三项式分解为两个完全平方的差的方法。

它的基本形式可以表示为a^2-b^2，其中a和b可以是任意代数式。

根据完全平方差公式，可以将a^2-b^2分解为(a+b)(a-b)。

例如，对于表达式x^2-4，可以将其分解为(x+2)(x-2)。

六、分组分解法：分组分解法是一种将多项式分解为若干个二次三项式相加的方法。

它的基本思想是通过分组，将多项式分成多个二次三项式的和，然后对每个二次三项式进行因式分解。

例如，对于表达式x^3+x^2+x+1，可以将其分为(x^3+x^2)+(x+1)，然后对每个二次三项式进行因式分解，得到x^2(x+1)+1(x+1)，再进行合并得到(x^2+1)(x+1)。

因式分解的9种方法因式分解是指将一个多项式表达式分解成两个或多个因子的过程。

常见的因式分解方法主要有以下九种：1.公因式提取法：对于一个多项式表达式，如果各个单项式有相同的因子，可以将这个公因式提取出来。

例如：2x+4y，可以提取出公因式2，得到2(x+2y)。

2.化简差方差法：当一个多项式是两个数的平方差时，可以使用差方差公式进行因式分解。

例如：x^2-y^2，使用差方差公式，可以分解为(x+y)(x-y)。

3.化简完全平方差法：当一个多项式是两个数的完全平方差时，可以使用完全平方差公式进行因式分解。

例如：x^2 + 2xy + y^2，使用完全平方差公式，可以分解为(x + y)^24.化简立方差法：当一个多项式是两个数的立方差时，可以使用立方差公式进行因式分解。

例如：x^3 - y^3，使用立方差公式，可以分解为(x - y)(x^2 + xy + y^2)。

5.根据二次差公式进行因式分解：当一个二次多项式不能通过公因式提取，差方差或完全平方差公式进行因式分解时，可以使用二次差公式进行因式分解。

例如：x^2+x-6，可以使用二次差公式x^2+x-6=(x+3)(x-2)进行因式分解。

6.和差化积法：对于一些特定形式的多项式表达式，可以通过和差化积的方法进行因式分解。

例如：x^2+3x+2，可以通过和差化积的方法将其分解为(x+1)(x+2)。

7.分组分解法：对于一个四项式或多项式，如果存在可以分组的单项式，可以使用分组分解法进行因式分解。

例如：x^3+3x^2+3x+1，可以将其分组为(x^3+1)+(3x^2+3x)，然后进行因式分解为(x+1)(x^2-x+1)+3x(x+1)=(x+1)(x^2+2x+1)+3x(x+1)=(x+1)^3+3x(x+1)。

8.分解有理根法：对于一个多项式，在求根过程中找到有理根（整数根或分数根），然后使用带余除法进行因式分解。

例如：x^3+3x-2=0，假设有理根为x=1，可以使用带余除法将其分解为(x-1)(x^2+x+2)。

因式分解所有公式因式分解是数学中常用的一种运算方法，它可以将一个复杂的代数式分解成更简单的乘积形式。

在代数学中，我们经常需要对各种公式进行因式分解，以便更好地理解和运用它们。

一、平方差公式的因式分解平方差公式是一种常见且重要的公式，它用于将两个完全平方数的差分解为两个因数的乘积。

平方差公式的一般形式为：a² - b² = (a + b)(a - b)。

其中，a和b可以是任意实数或变量。

这个公式可以用来解决各种代数问题，比如求解方程、简化算式等。

二、完全平方公式的因式分解完全平方公式是将一个二次多项式进行因式分解的方法。

它的一般形式为：a² + 2ab + b² = (a + b)²。

这个公式可以用来求解二次方程、简化算式等。

通过将二次多项式转化为完全平方形式，我们可以更方便地进行计算和推导。

三、差的平方公式的因式分解差的平方公式是平方差公式的逆运算，它用于将两个因数的乘积分解为两个完全平方数的差。

差的平方公式的一般形式为：a² - 2ab + b² = (a - b)²。

这个公式可以用来求解二次方程、简化算式等。

通过将乘积转化为差的平方形式，我们可以更方便地进行计算和推导。

平方根公式是将一个二次方程进行因式分解的方法。

它的一般形式为：x² - a² = (x + a)(x - a)。

这个公式可以用来求解二次方程、简化算式等。

通过将二次方程转化为平方根形式，我们可以更方便地进行计算和推导。

五、立方差公式的因式分解立方差公式是一种用来分解两个立方数之差的公式。

它的一般形式为：a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)。

这个公式可以用来求解立方方程、简化算式等。

通过将立方数之差分解为两个因数的乘积，我们可以更方便地进行计算和推导。

六、立方和公式的因式分解立方和公式是立方差公式的逆运算，它用于将两个因数的乘积分解为两个立方数的和。

因式分解的多种方法——--知识延伸，向竞赛过度1. 提取公因式：这种方法比较常规、简单，必须掌握.常用的公式:完全平方公式、平方差公式例一：0322=-x x解：x(2x-3）=0， x1=0，x2=3/2这是一类利用因式分解的方程.总结：要发现一个规律：当一个方程有一个解x=a 时，该式分解后必有一个(x —a ）因式,这对我们后面的学习有帮助。

2. 公式法常用的公式:完全平方公式、平方差公式。

注意:使用公式法前,部分题目先提取公因式。

例二：42-x 分解因式分析:此题较为简单，可以看出4=2 2，适用平方差公式a 2 -b 2 =（a+b)(a —b) 2解:原式=（x+2）(x —2）3. 十字相乘法是做竞赛题的基本方法，做平时的题目掌握了这个也会很轻松。

注意:它不难。

这种方法的关键是把二次项系数a 分解成两个因数a1，a2的积a1•a2，把常数项c 分解成两个因数c1,c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b ，那么可以直接写成结果例三： 把3722+-x x 分解因式.分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项,分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数。

分解二次项系数（只取正因数）： 2＝1×2＝2×1;分解常数项： 3=1×3=3×1=(-3)×(-1）=（-1）×（—3）.用画十字交叉线方法表示下列四种情况:经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后,两项代数和恰等于一次项系数－7.解 原式=（x —3)(2x —1).总结：对于二次三项式ax^2+bx+c(a≠0）,如果二次项系数a 可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项c 可以分解成两个因数之积,即c=c1c2，把a1，a2,c1,c2,排列如下：a1 c1╳a2 c2a1c2+a2c1按斜线交叉相乘,再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax2+bx+c 的一次项系数b,即a1c2+a2c1=b ，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即ax2+bx+c=（a1x+c1)（a2x+c2）.这种方法要多实验，多做,多练。

初中中考数学因式分解的九种方法解析初中中考数学因式分解的九种方法解析把一个多项式在一个范围（如实数范围内分解，即所有项均为实数）化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。

xx小编整理了初中中考数学因式分解的九种方法，希望能帮助到您。

一、运用公式法我们知道整式乘法与因式分解互为逆变形。

如果把乘法公式反过来就是把多项式分解因式。

于是有：a^2-b^2=（a+b）（a-b）a^2+2ab+b^2=（a+b）^2a^2-2ab+b^2=（a-b）^2如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式。

这种分解因式的方法叫做运用公式法。

二、平方差公式1、式子：a^2-b^2=（a+b）（a-b）2、语言：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。

这个公式就是平方差公式。

三、因式分解1.因式分解时，各项如果有公因式应先提公因式，再进一步分解。

2.因式分解，必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止。

四、完全平方公式1、把乘法公式（a+b）^2=a^2+2ab+b^2 和（a-b）^2=a^2-2ab+b^2反过来，就可以得到：a^2+2ab+b^2=（a+b）^2 和 a^2-2ab+b^2=（a-b）^2，这两个公式叫完全平方公式。

这就是说，两个数的平方和，加上（或者减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或者差）的平方。

把a^2+2ab+b^2和a^2-2ab+b^2这样的式子叫完全平方式。

2、完全平方式的形式和特点：①项数：三项；②有两项是两个数的的平方和，这两项的符号相同；③有一项是这两个数的积的两倍。

3、当多项式中有公因式时，应该先提出公因式，再用公式分解。

4、完全平方公式中的a、b可表示单项式，也可以表示多项式。

这里只要将多项式看成一个整体就可以了。

5、分解因式，必须分解到每一个多项式因式都不能再分解为止。

五、分组分解法我们看多项式am+an+bm+bn，这四项中没有公因式，所以不能用提取公因式法，再看它又不能用公式法分解因式。

因式分解的十二种方法学
引言：
因式分解是代数学中重要的概念，可以将多项式分解为较简单
的因子。

掌握因式分解的方法对于解决各种代数问题至关重要。

本
文介绍了因式分解的十二种方法学。

方法一：公因式提取法
将多项式中的公因式提取出来，使其成为因式分解的一个因子。

方法二：配方法
对多项式进行配方，使其成为一个完全平方或差两个平方的形式，进而进行因式分解。

方法三：差两个立方和的分解法
将多项式化为两个立方和的差的形式，然后进行因式分解。

方法四：平方差公式法
利用平方差公式将多项式分解为两个因子的平方差的形式。

方法五：线性因式分解法
将多项式分解为线性因子的乘积。

方法六：因式定理法
利用因式定理，将多项式分解为一个因式和一个余式的乘积。

方法七：综合法
结合多种因式分解方法，根据多项式的特点灵活选择分解方法。

方法八：换元法
通过合理的代换将多项式转化为易于因式分解的形式。

方法九：质因数分解法
将多项式中的各项进行质因数分解，然后进行合并、化简。

方法十：分组法
对多项式进行适当的分组，然后进行因式分解。

方法十一：特殊公式法
应用特殊公式，将多项式分解为已知公式的形式。

方法十二：幂函数分解法
将多项式化为幂函数的形式，然后进行因式分解。

结论：
因式分解的十二种方法学提供了多种解决代数问题的工具。

掌握这些方法可帮助我们在解决问题时更加有效和灵活地进行因式分解操作。

因式分解十二种方法公式因式分解是数学中的一个重要概念，它可以将一个多项式分解为若干个因子的乘积。

在因式分解中，有许多不同的方法和公式可以使用。

下面将介绍十二种因式分解的方法和公式。

一、公式法公式法是一种较为常用和简便的因式分解方法。

它利用一些已知的公式，将多项式分解为更简单的形式。

例如，我们可以利用平方差公式将一个二次多项式分解为两个一次多项式的乘积。

又如，利用差平方公式可以将一个二次多项式分解为两个一次多项式的乘积。

二、提公因式法提公因式法是一种常见的因式分解方法。

它利用多项式中的公因式，将多项式分解为公因式和余项的乘积。

通过提取公因式，可以简化多项式的形式，便于后续的计算和分解。

三、配方法配方法是一种常用的因式分解方法，它适用于多项式中存在二次项的情况。

配方法通过将多项式中的一部分进行配方，从而将多项式分解为两个简化的多项式的乘积。

这种方法常用于分解二次多项式，可以将其分解为两个一次多项式的乘积。

四、分组分解法分组分解法是一种适用于四项多项式的因式分解方法。

它通过将多项式中的项进行分组，从而将多项式分解为多个简化的多项式的乘积。

这种方法常用于分解四项多项式，可以将其分解为两个二次多项式的乘积。

五、和差化积法和差化积法是一种常用的因式分解方法，它适用于多项式中存在和差项的情况。

和差化积法通过将多项式中的和差项进行化简，从而将多项式分解为简化的多项式的乘积。

这种方法常用于分解多项式中的高次项。

六、平方差公式平方差公式是一种常用的因式分解公式，它用于将一个二次多项式分解为两个一次多项式的乘积。

平方差公式的形式为(a-b)(a+b)=a^2-b^2，其中a和b可以是任意实数或变量。

七、差平方公式差平方公式是一种常用的因式分解公式，它用于将一个二次多项式分解为两个一次多项式的乘积。

差平方公式的形式为(a-b)(a+b)=a^2-b^2，其中a和b可以是任意实数或变量。

八、立方差公式立方差公式是一种常用的因式分解公式，它用于将一个立方多项式分解为两个一次多项式的乘积。

因式分解知识点总结九年级因式分解知识点总结九年级因式分解是初中数学中的重要内容之一，是解决代数问题的基础。

在九年级学习中，同学们要深入理解因式分解的概念、方法和应用，并进行大量的练习，以提高解题能力。

下面是对九年级因式分解知识点的总结。

一、因式分解的基本概念因式分解是将多项式写成乘积形式的过程，其中乘积的每一项叫做因式。

因式分解可以简化计算，方便解决问题。

因式分解有时需要运用因式分解公式，如二次差式的因式分解公式和完全平方公式等。

二、基本的因式分解方法1. 因式分解法则（1）最大公因式法则：将多项式中的公因式提取出来。

（2）公式法则：根据已知的因式分解公式进行因式分解。

（3）零点法则：利用多项式的零点实际解出因式。

2. 因式定理法则因式定理是因式分解的基础，它告诉我们，如果 a 是 f(x)的一个因式，则 f(a) = 0。

这个定理可以用来确定因式分解的一个因式。

三、因式分解的常见方法1. 公因式提取法如果多项式的各项有一个公因式，可以把它提取出来作为公因式，然后把去掉公因式后的多项式再分解。

例如：2x^2 + 4x = 2x(x+2)6a^3 + 3a^2b = 3a^2(2a+b)2. 公式法利用因式分解的公式将多项式进行分解。

例如：x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)x^2 + 2xy + y^2 = (x+y)^23. 平方差公式平方差公式可以用来分解差的平方。

例如：a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)x^2 - 9 = (x-3)(x+3)4. 完全平方式完全平方公式可以用来分解平方的和。

例如：a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2x^2 - 10x + 25 = (x-5)^2四、因式分解的应用1. 方程解的求取因式分解可以用来解方程，将方程因式分解后，可以很方便地求出方程的解。

例如：x^2 - 7x + 10 = 0，可以因式分解为(x-2)(x-5)=0，得到方程的解为x=2或x=5。

因式分解的9种方法因式分解是代数学中的一项重要内容，可以将一个复杂的代数表达式分解成简单的乘积形式，从而便于计算和理解。

在因式分解过程中，根据不同的情况和不同的代数表达式，可以采用多种方法进行分解。

下面将介绍常见的九种因式分解方法。

一、公因式法公因式法是因式分解中最常用的方法之一、公因式法适用于含有公因式的多项式表达式。

它的基本思想是找出多项式表达式中所有项的最高次幂的公因式，然后将整个表达式除以这个公因式进行分解。

例如：4x^3+2x^2-6x可以分解为2x(2x^2+x-3)。

二、配方法配方法适用于含有二次项和一次项的多项式表达式。

它的基本思想是通过增加一个适当的常数因子，使得多项式表达式可以分解成两个完全平方的形式相加或相减。

例如：x^2+2x+1可以分解为(x+1)(x+1)。

三、平方差公式平方差公式适用于含有二次项且系数为1的多项式表达式。

它的基本思想是将多项式表达式表示为两个完全平方的差。

例如：x^2-4可以分解为(x+2)(x-2)。

四、差两个平方公式差两个平方公式适用于含有平方项的多项式表达式。

它的基本思想是利用两个完全平方的差进行分解。

例如：x^4-16可以分解为(x^2+4)(x^2-4)。

五、两项平方和公式两项平方和公式适用于含有平方项和常数项的多项式表达式。

它的基本思想是将多项式表达式表示为两个平方项的和。

例如：x^2+6x+9可以分解为(x+3)(x+3)。

六、组合法组合法适用于含有三项或三项以上的多项式表达式。

它的基本思想是根据多项式表达式中各项间的关系，将表达式分解为不同的组合。

例如：x^3+x^2+x+1可以分解为(x^2+1)(x+1)。

七、分组法分组法适用于含有四项或四项以上的多项式表达式。

它的基本思想是将多项式表达式进行适当的分组，然后在每一组内进行因式分解。

例如：x^3+2x^2+x+2可以分解为(x^3+x)+(2x^2+2)=x(x^2+1)+2(x^2+1)=(x+2)(x^2+1)。

因式分解的九种方法因式分解可是数学里的一门大学问呀！它就像是一把神奇的钥匙，能打开很多数学难题的大门。

今天咱就来聊聊因式分解的九种方法，让你在数学的海洋里畅游无阻！咱先来说说提公因式法，这可是最基础的啦！就好像从一堆水果里把相同的水果挑出来一样。

比如式子 ax+bx，那公因式 x 不就一下子被提出来啦，变成 x(a+b)，是不是很简单呀！然后是公式法，平方差公式和完全平方公式那可都是经典中的经典呀！就像是武林秘籍里的绝招，一用一个准。

遇到像a²-b²这样的式子，马上就能用平方差公式变成(a+b)(a-b)，这多厉害呀！再来讲讲分组分解法，这就像是把一群小伙伴分成小组来完成任务。

比如对于式子 ab+ac+bd+cd，可以把它分成两组，(ab+ac)和(bd+cd)，然后分别进行处理，最后就能成功分解啦！十字相乘法也很有意思哦！就像是在玩拼图游戏，要把合适的数字凑到一起。

比如 x²+5x+6，通过十字相乘就能变成(x+2)(x+3)，是不是很神奇呀！还有双十字相乘法，这可比十字相乘法复杂一点，但也难不倒咱呀！就像解开一个更复杂的谜题，需要多一些耐心和技巧。

换元法呢，就像是变个魔法，把一个复杂的式子用一个新的字母来代替，让问题变得简单明了。

等解决完了再变回来，是不是很有趣呀！拆项法就像是拆礼物，把一个式子拆成几个部分，然后再重新组合，说不定就能找到分解的方法啦！配方法可是个厉害的角色，就像给式子化个妆，让它变得更加漂亮和容易处理。

最后是主元法，这是个很特别的方法哦！把某个字母当成主要的，其他的都围绕着它来，就像众星捧月一样。

你看呀，这九种方法各有各的特点和用处，就像我们生活中的各种工具一样。

在遇到不同的数学问题时，我们要灵活运用这些方法，就像战士选择合适的武器去战斗一样。

别害怕遇到难题，只要我们掌握了这些方法，再难的式子也能被我们征服！因式分解的世界丰富多彩，充满了挑战和乐趣。

因式分解的13种方法因式分解是将多项式分解成几个因式的乘积的过程。

它是代数中的一个重要技巧，可以帮助我们简化计算、解方程、求根等。

以下是13种常见的因式分解方法。

方法一：提公因式法提公因式法是将多项式的共同因子提出来，使得多项式可以分解为几个因子的乘积。

例如，对于多项式2x^2+4x，我们可以提取公因式2x，得到2x(x+2)。

方法二：分组提公因式法分组提公因式法是将多项式中的项按照一定的规则进行分组，然后分别提取每组的公因式。

例如，对于多项式2x^3+4x^2+3x+6，可以将其分组为(2x^3+4x^2)+(3x+6)，然后对每个组提取公因式，得到2x^2(x+2)+3(x+2)，再提取公因式(x+2)，最终得到(x+2)(2x^2+3)。

方法三：差平方公式差平方公式是指a^2-b^2=(a+b)(a-b)。

如果我们遇到一个差平方的形式，可以直接利用差平方公式进行因式分解。

例如，对于多项式x^2-4，可以利用差平方公式得到(x+2)(x-2)。

方法四：和差化积公式和差化积公式是指a^3±b^3=(a±b)(a^2∓ab+b^2)。

如果我们遇到一个和差的形式，可以直接利用和差化积公式进行因式分解。

例如，对于多项式x^3+8，可以利用和差化积公式得到(x+2)(x^2-2x+4)。

方法五：平方差公式平方差公式是指a^2±2ab+b^2=(a±b)^2、如果我们遇到一个平方差的形式，可以直接利用平方差公式进行因式分解。

例如，对于多项式x^2+4x+4，可以利用平方差公式得到(x+2)^2方法六：二次差公式二次差公式是指a^2-b^2=(a-b)(a+b)。

如果我们遇到一个二次差的形式，可以直接利用二次差公式进行因式分解。

例如，对于多项式x^2-9，可以利用二次差公式得到(x-3)(x+3)。

方法七：完全平方公式完全平方公式是指a^2±2ab+b^2=(a±b)^2、如果我们遇到一个完全平方的形式，可以直接利用完全平方公式进行因式分解。

高中物理力学公式因式分解方法大全(十二种)(范本模板)引言力学是物理学的一个重要分支，研究物体的运动和受力情况。

在力学的研究中，公式因式分解是一种常用的方法，可以简化计算，提高解题效率。

本文将介绍十二种常见的物理力学公式因式分解方法。

一、两个力的合力公式的因式分解对于两个力的合力公式 F = F1 + F2 ，可以将公式因式分解为 F = F1(1 + F2/F1) 或 F = F2(1 + F1/F2) ，其中 F1 和 F2 分别是两个力的大小。

二、平衡条件公式的因式分解对于物体处于平衡状态的条件ΣF = 0 ，可以将公式因式分解为ΣFx = 0 和ΣFy = 0 ，其中ΣFx 和ΣFy 分别表示物体在 x 轴和 y 轴上受到的合力。

三、无摩擦面上斜平面问题的因式分解在无摩擦面上斜平面问题中，当物体受到斜面的重力分解时，可以将公式因式分解为Fx = mg*sinα 和Fy = mg*cosα ，其中 m 是物体的质量，α 是斜面的倾角。

四、摩擦力公式的因式分解对于摩擦力公式Ff = μN ，可以将公式因式分解为Ff = μmg ，其中μ 是摩擦系数，N 是物体受到的法向力，m 是物体的质量，g 是重力加速度。

五、牛顿第二定律公式的因式分解对于牛顿第二定律公式 F = ma ，可以将公式因式分解为 F = m(dv/dt) ，其中 m 是物体的质量，a 是物体的加速度，v 是物体的速度，t 是时间。

六、万有引力公式的因式分解对于万有引力公式 F = G * m1 * m2 / r^2 ，可以将公式因式分解为 F = (G * m1 * m2) / r^2 ，其中 G 是万有引力常数，m1 和 m2 是两个物体的质量，r 是两个物体之间的距离。

七、功公式的因式分解对于功公式W = F * s * cosθ ，可以将公式因式分解为 W = F *s * cosα ，其中 F 是力的大小，s 是力的位移，θ 是力和位移的夹角。

因式分解法是一种常用的数学方法，用于将一个多项式分解为几个因式的乘积。

在九年级上册数学中，因式分解法通常用于解决一元二次方程和分式方程等问题。

因式分解法的步骤如下：
1.观察多项式，尝试将其分解为几个因式的乘积。

2.通过提取公因式、利用平方差公式或完全平方公式等方法进行因式分解。

3.反复进行因式分解，直到无法再分解为止。

4.检查因式分解的结果是否正确，可以通过代入法或比较系数法等方法进行
验证。

例如，对于多项式x^2 - 4，我们可以将其分解为(x + 2)(x - 2)。

这是一个典型的平方差公式，其中a = x, b = 2。

在九年级上册数学中，因式分解法通常用于解决以下问题：
1.一元二次方程：通过因式分解法将一元二次方程化为两个一次方程，从而
求解。

例如，对于方程x^2 - 5x + 6 = 0，我们可以将其因式分解为(x - 2)(x - 3) = 0，从而得到x = 2 或x = 3。

2.分式方程：通过因式分解法将分式方程化为整式方程，从而求解。

例如，
对于方程x/(x - 1) = 2x/(3x - 3) + 1，我们可以将其化为整式方程(3x -
3)/(x - 1) = 2x/(x - 1) + 1，从而得到x = 2。

总之，因式分解法是一种非常重要的数学方法，在九年级上册数学中有着广泛的应用。

通过掌握因式分解法，可以更好地解决各种数学问题。

九年级数学因式分解一、因式分解的概念。

1. 定义。

- 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。

例如，x^2-4=(x + 2)(x - 2)，就是将多项式x^2-4因式分解为两个整式(x + 2)和(x - 2)的积的形式。

2. 与整式乘法的关系。

- 因式分解与整式乘法是互逆的恒等变形。

整式乘法是把几个整式相乘化为一个多项式，如(a + b)(a - b)=a^2-b^2；而因式分解则是把一个多项式化为几个整式相乘，如a^2-b^2=(a + b)(a - b)。

二、因式分解的基本方法。

1. 提公因式法。

- 公因式的确定。

- 系数：取各项系数的最大公因数。

例如，在多项式6x^2+9x中，系数6和9的最大公因数是3。

- 字母：取各项相同的字母。

在上述多项式中，相同的字母是x。

- 字母的指数：取相同字母的最低次幂。

这里x的最低次幂是1。

所以公因式是3x。

- 提公因式的步骤。

- 先确定公因式。

- 然后将多项式除以公因式得到另一个因式。

对于6x^2+9x，提公因式3x后得到3x(2x + 3)。

2. 公式法。

- 平方差公式。

- 公式：a^2-b^2=(a + b)(a - b)。

- 应用示例：分解因式9x^2-16y^2，这里a = 3x，b=4y，所以9x^2-16y^2=(3x + 4y)(3x - 4y)。

- 完全平方公式。

- 公式：a^2+2ab + b^2=(a + b)^2，a^2-2ab + b^2=(a - b)^2。

- 应用示例：分解因式x^2+6x + 9，其中a=x，b = 3，因为x^2+6x+9=x^2+2×3x + 3^2，所以x^2+6x + 9=(x + 3)^2；再如分解因式4x^2-12x+9，这里a = 2x，b=3，因为4x^2-12x + 9=(2x)^2-2×3×2x+3^2，所以4x^2-12x + 9=(2x -3)^2。

因式分解的13种方法因式分解可以说是代数学中的基础知识，它是解方程、简化分数、展开多项式、求出多项式的根等等问题的基础。

在因式分解的过程中，我们将一个复杂的代数式表示成两个或者多个简单的代数式的乘积形式。

下面我们来介绍13种常见的因式分解方法。

一、提取公因式法对于一个代数式，如果其中的每一项都含有一些因子a，那么我们就可以将这个公因子a提取出来，然后将剩下的部分进行因式分解。

例如：2x^2 + 4xy可以进行提取公因式为2x(x + 2y)。

二、配方法对于一些二次三项式或者四项式，我们可以采用配方法将其因式分解。

例如：x^2+5x+6可以进行配方法为(x+2)(x+3)。

三、平方差公式对于一些二次多项式的和或差，我们可以利用平方差公式进行因式分解。

例如：x^2-4可以进行因式分解为(x+2)(x-2)。

四、平方和公式对于一些二次多项式的和，我们可以利用平方和公式进行因式分解。

例如：x^2+4可以进行因式分解为(x+2i)(x-2i)。

五、差平方公式对于一些二次多项式的差，我们可以利用差平方公式进行因式分解。

例如：x^2-4可以进行因式分解为(x+2)(x-2)。

六、分组分解法对于一些多项式，我们可以将其表达式分为两组，然后分别提取公因式进行因式分解。

例如：5xy + 10x + 3y + 6可以进行分组分解为(5xy + 10x) + (3y + 6)，再进行因式分解为5x(y + 2) + 3(y + 2)，再提取公因子得到(5x + 3)(y + 2)。

七、立方和差公式对于一些立方多项式的和或差，我们可以利用立方和差公式进行因式分解。

例如：x^3+8可以进行因式分解为(x+2)(x^2-2x+4)。

八、平方根公式对于一些二次多项式或四次多项式，我们可以利用平方根公式进行因式分解。

例如：x^4-y^4可以进行因式分解为(x^2+y^2)(x^2-y^2)，再进一步因式分解为(x^2+y^2)(x+y)(x-y)。

因式分解 例题讲解及练习例题精选：132********y x y x y x ++评析：先查各项系数其它字母暂时不看;确定5;15;20的最大公因数是5;确定系数是5 ;再查各项是否都有字母X;各项都有时;再确定X 的最低次幂是几;至此确认提取X 2;同法确定提Y;最后确定提公因式5X 2Y..提取公因式后;再算出括号内各项..解：3223220155y x y x y x ++=)431(522y xy y x -+ 223229123y x yz x y x -+- 评析：多项式的第一项系数为负数;应先提出负号;各项系数的最大公因数为3;且相同字母最低次的项是X 2Y解:23229123y x yz x y x -+- =)3129(2223y x yz x y x +-- =)43(32223y x yz x y x +--=)1423(32+--xy y x3y-xc-b-a-x-y2a+b-c-x-yb-2a评析：在本题中;y-x 和x-y 都可以做为公因式;但应避免负号过多的情况出现;所以应提取y-x解：原式=y-xc-b-a+y-x2a+b-c+y-xb-2a=y-xc-b-a+2a+b-c+b-2a=y-xb-a（4） 4 把343232x y x -分解因式评析：这个多项式有公因式2x 3;应先提取公因式;剩余的多项式16y 4-1具备平方差公式的形式解：343232x y x -=2)116(43-y x =2)14)(14(223+-y y x =)14)(12)(12(223++-y y y x（5） 5 把827xy y x -分解因式评析：首先提取公因式xy 2;剩下的多项式x 6-y 6可以看作2323)()(y x -用平方差公式分解;最后再运用立方和立方差公式分解..对于x 6-y 6也可以变成3232)()(y x -先运用立方差公式分解;但比较麻烦..解：827xy y x -=xy 2x 6-y 6= xy 22323)()(y x -=))((33332y x y x xy +-=))()()((22222y xy x y x y xy x y x xy +-+++- 6把2236)(12)(z z y x y x ++-+分解因式评析：把x+y 看作一个整体;那么这个多项式相当于x+y 的二次三项式;并且为降幂排列;适合完全平方公式..对于本例中的多项式切不可用乘法公式展开后再分解;而要注意观察分析;善于把x+y 代换完全平方公式中的a;6Z 换公式中的解：2236)(12)(z z y x y x ++-+=22)6()6)((2)(z z y x y x ++-+=x+y-6z 2（7） 7 把42222222)2(2)2(21y y y x y x +---分解因式评析：把x 2-2y 2和y 2看作两个整体;那么这个多项式就是关于x 2-2y 2和y 2的二次三项式;但首末两项不是有理数范围内的完全平方项;不能直接应用完全平方公式;但注意把首项系数提出后;括号里边实际上就是一个完全平方式.. 解：42222222)2(2)2(21y y y x y x +---=])2(2)2(2)2[(2122222222y y y x y x +•---=2222222)4(21)22(21y x y y x -=--=22)2()2(21y x y x -+（8） 8 分解因式a 2-b 2-2b-1评析：初看;前两项可用平方差公式分解..采用“二、二”分组;原式=a+ba-b-2b+1;此时无法继续分解..再仔细看;后三项是一个完全平方式;应采用“一、三”分组..解：a 2-b 2-2b-1= a 2-b 2-2b+1=a 2-b+12=a+b+1a-b+1=a-b-1a+b+1一般来说;四项式“一、三”分解;最后要用“平方差”..四项式“二、二”分组;只有前后两组出现公因式;才是正确的分组方案..（9） 9 把a 2-ab+ac-bc 分解因式解法一：a 2-ab+ac-bc=a 2-ab+ac-bc=aa-b+ca-b=a-ba+c解法二：a 2-ab+ac-bc=a 2+ac-ab+bc=aa+c-ba+c =a-ba+c（10） 10 把y x xy x 33222--+分解因式解法一：y x xy x 33222--+=)32)(()(3)(2)33()22(2-+=+-+=+-+x y x y x y x x y x xy x 解法二：y x xy x 33222--+ =))(32()32()32()32()32(2y x x x y x x y xy x x +-=-+-=-+- 说明：例2和例3的解法一和解法二虽然分组不同;但却有着相同的内在联系;即两组中的对应系数成比例..2题解法一 1：1;解法二也是1：1；3题解法一是1：1;解法二是2：-311 分解因式123+--x x x评析：四项式一般先观察某三项是否是完全平方式..如是;就考虑“一、三”分组；不是;就考虑“二、二”分组解法一：123+--x x x=)1()1()1()(223---=+-+-x x x x x x =)1()1()1)(1)(1()1)(1(22+-=+--=--x x x x x x x解法二：123+--x x x =)1()1()1(2223---=+-+-x x x x x x=)1()1()1)(1)(1()1)(1(22+-=-+-=--x x x x x x x 解法三：123+--x x x =)1()1)(1()()1(223+-+-+=+-+x x x x x x x x=222)1)(1()12)(1()1)(1(-+=+-+=-+-+x x x x x x x x x（12） 12 分解因式a-b 2-1-2ca-b+c 2评析：本题将a-b 看作一个整体;可观察出其中三项是完全平方式;可以“一、三”分组解：a-b 2-1-2ca-b+c 2=a-b 2-2ca-b+c 2-1=a-b-c 2-1=a-b-c 2-1-a-b-c+1a-b-c-113分解因式8a 2-5ab-42b 2 8a -21b解：8a 2-5ab-42b 2 a +2b=8a-21ba+2b -21ab+16ab=-5ab（14） 14 分解因式a 6-10a 3+16解：a 6-10a 3+16 a 3 -2= a 3-2 a 3-8 a 3 -8= a 3-2a-2a 2+2a+4 -8a 3-2a 3 =-10a 3（15） 15 分解因式-x 2+x+30解：-x 2+x+30 先提出负号 x +5=- x 2-x-30 x -6=-x+5x-6 +5x-6x=-x（16） 16 分解因式12x+y 2-8x+y-7解：12x+y 2-8x+y-7 2x+y +1=2x+y+16x+y-7 6x+y -7=2x+2y+16x+6y-7 -14+6=817把2233y xy x y x ----分解因式评析：此题是一个五项式;它能否分组分解;要看分组后组与组之间是否出现公因式或是否符合公式..本题注意到后三项当把-1提出后;实际上是33y x -按立方差公式分解后的一个因式：解：2233y xy x y x ----=)()(2233y xy x y x ++-- =)())((2222y xy x y xy x y x ++-++-=)1)((22--++y x y xy x（18） 18 把122222+----x yz z y x 分解因式评析：把122+-x x 看成一组符合完全平方公式;而剩下的三项把-1提出之后恰好也是完全平方式;这样分组后又可用平方差公式继续分解..解：122222+----x yz z y x =)2()12(222z yz y x x ++-+- =22)()1(z y x +--=)1)(1(z y x z y x ---++-19分解因式6)2)(1(22-++++x x x x 评析：先不要把前面两个二次三项式的乘积展开;要注意到这两个二次三项式的前两项都是x x +2这一显著特点;我们不妨设x x +2=a可得a+1a+2-6即a 2+3a+2-6;即a 2+3a-4;此时可分解为a+4a-1解：6)2)(1(22-++++x x x x=62)(3)(222-++++x x x x=4)(3)(222-+++x x x x=]1)][(4)[(22-+++x x x x =)1)(4(22-+++x x x x 20把8)32)(42(22--+++x x x x 分解因式 解：8)32)(42(22--+++x x x x =812)2()2(222--+++x x x x=20)2()2(222-+++x x x x=]4)2][(5)2[(22-+++x x x x=)42)(52(22-+++x x x x 21把72)209)(23(22-+-++x x x x 分解因式 评析：它不同于例31的形式;但通过观察;我们可以对这两个二次三项式先进行分解;有)5)(4)(2)(1()209)(23(22--++=+-++x x x x x x x x ..它又回到例31的形式;我们把第一项和第三项结合在一起;第二、四项结合在一起;都产生了x 2-3x解：72)209)(23(22-+-++x x x x=72)5)(4)(2)(1(---++x x x x=72)]5)(2)][(4)(1[(--+-+x x x x=72)103)(43(22-----x x x x=32)3(14)3(222----x x x x =]2)3][(16)3[(22+---x x x x =)1)(2)(163()23)(163(222----=+---x x x x x x x x 22把2)6)(3)(2)(1(a a a a a +++++分解因式评析：不要轻易展开前四个一次因式的积;要注意到常数有1×6=2×3=6 利用结合律会出现a 2+6解：2)6)(3)(2)(1(a a a a a +++++=2)]3)(2)][(6)(1[(a a a a a =++++=222)56)(76(a a a a a +++++=222222)66(36)6(12)6(a a a a a a ++=++++ 23把x+1x+3x+5x+7-9分解因式评析：不要轻易地把前四个一次因式的乘积展开;要注意到1+7=3+5;如果利用乘法结合律;把x+1x+7和x+3x+5分别乘开就会出现9)158)(78(22-++++x x x x 的形式;这就不难发现x 2+8x 作为一个整体a 同时出现在两个因式中;即a+7a+15-9的形式;展开后有a 2+22a+96;利用十字相乘616⨯a a ;得到a+6a+16而分解..解：x+1x+3x+5x+7-9=x+1x+7x+3x+5-9=9)158)(78(22-++++x x x x 以下同于例3=9]105)8(22)8[(222-++++x x x x=)8(22)8(222x x x x ++++96=]6)8)][(16)8[(22++++x x x x=)68)(168(22++++x x x x 24把xx+1x+2x+3-24分解因式评析：通过观察第一项和第四项两上一次式相乘出现x 2+3x;第二和第三个一次式相乘出现x 2+3x..可以设x 2+3x=a;会有aa+2-24;此时已易于分解解：xx+1x+2x+3-24=xx+3x+1x+2-24=24)23)(3(22-+++x x x x=24]2)3)[(3(22-+++x x x x=24)3(2)3(222-+++x x x x=)43)(63(22-+++x x x x 25把10)3(2)13(222-+-++x x x x 分解因式 评析：不要急于展开22)13(++x x ;通过观察前两项;发现它们有公共的x 2+3x;此时把它看成一个整体将使运算简化..解：10)3(2)13(222-+-++x x x x =10)3(21)3(2)3(2222-+-++++x x x x x x=)33)(33(9)3(2222-+++=-+x x x x x x26把分解因式))((4)(2d c b a d c b a +++--+评析：我们可以观察到+前后的两项都有a+b 和c+d..据此可把它们看作为一个整体..解：))((4)(2d c b a d c b a +++--+ =))((4)]()[(2d c b a d c b a ++++-+ =))((4)())((2)(22d c b a d c d c b a b a +++++++-+ =22)())((2)(d c d c b a b a ++++++=22)()]()[(d c b a d c b a +++=+++27把32)1()1()1(1+++++++a a a a a a a 分解因式评析：把1+a 看成一个整体;第一项1与第二项a 也合成一个整体1+a解：32)1()1()1(1+++++++a a a a a a a=])1()1(1)[1(2a a a a a a ++++++=)]1(1)[1)(1(a a a a a +++++=4)1()1)(1)(1)(1(a a a a a +=++++28把41126222-++-+y x y xy x 分解因式 评析：此题容易想到分组分解法;但比较困难;考虑到 )2)(32(6222y x y x y xy x +-=-+ 此时可设411262)2)(32(22-++-+=+++-y x y xy x n y x m y x 再用待定系数法求出m 和n解：设41126222-++-+y x y xy x = mn y m n x n m y xy x n y x m y x ++-+++-+=+++-)23()2(62)2)(32(22 比较两边对应系数 得到m+2n=2 ①-3n+2m=11 ②mn=-4 ③由①和② 得到m=4;n=-1 代入③也成立∴41126222-++-+y x y xy x =2x-3y+4x+2y-129把31048222+---+y x y xy x 分解因式解：31048222+---+y x y xy x =3104)2)(4(+---+y x y x y x=x+4y+mx-2y+n=mn y m n x n m y xy x +-+++-+)24()(8222 有 m+n=-4 ①4n-2m=-10 ②mn=3 ③由①和② 得到m=-3;n=-1 代入③也成立∴31048222+---+y x y xy x =x+4y-3x-2y-130当x+y=2时;求336y xy x ++的值评析：∵x+y=2这是唯一的条件..∴要从336y xy x ++中找到x+y或有关x+y 的表达式解：336y xy x ++=x+y 22y xy x +-+6xy∵x+y=2∴原式=xy y xy x 622222++-=)2(22422222y xy x y xy x ++=++ =222)2(2)(⨯=+y x =831己知x x 1+=2 求331x x +的值 解：331x x +=]3)1)[(1()11)(1(222-++=+-+x x x x x x x x ∵x x 1+=2∴原式=222-3=232己知x-y=2;求)62(12222a xy ay ax y x a --+-+的值 解：)62(12222a xy ay ax y x a --+-+=]6)()2[(12222a ay ax y xy x a ---+-=]6)()[(1222a y x a y x a ---- x-y -3a=)]2)(3[(12a y x a y x a +--- x-y +2a∵x-y=a∴原式=6)6(1)3)(2(1222-=-=-a a a a a初中因式分解的常用方法例题详解一、提公因式法.如多项式),(c b a m cm bm am ++=++其中m 叫做这个多项式各项的公因式; m 既可以是一个单项式;也可以是一个多项式．二、运用公式法.运用公式法;即用))((,)(2),)((223322222b ab a b a b a b a b ab a b a b a b a +±=±±=+±-+=-写出结果．三、分组分解法.一分组后能直接提公因式例1、分解因式：bn bm an am +++分析：从“整体”看;这个多项式的各项既没有公因式可提;也不能运用公式分解;但从“局部”看;这个多项式前两项都含有a ;后两项都含有b ;因此可以考虑将前两项分为一组;后两项分为一组先分解;然后再考虑两组之间的联系..解：原式=)()(bn bm an am +++=)()(n m b n m a +++ 每组之间还有公因式=))((b a n m ++思考：此题还可以怎样分组此类型分组的关键：分组后;每组内可以提公因式;且各组分解后;组与组之间又有公因式可以提..例2、分解因式：bx by ay ax -+-5102解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组.. 第二、三项为一组..解：原式=)5()102(bx by ay ax -+- 原式=)510()2(by ay bx ax +-+-=)5()5(2y x b y x a --- =)2(5)2(b a y b a x ---=)2)(5(b a y x -- =)5)(2(y x b a --练习：分解因式1、bc ac ab a -+-2 2、1+--y x xy二分组后能直接运用公式例3、分解因式：ay ax y x ++-22分析：若将第一、三项分为一组;第二、四项分为一组;虽然可以提公因式;但提完后就能继续分解;所以只能另外分组..解：原式=)()(22ay ax y x ++-=)())((y x a y x y x ++-+=))((a y x y x +-+例4、分解因式：2222c b ab a -+-解：原式=222)2(c b ab a -+-=22)(c b a --=))((c b a c b a +---注意这两个例题的区别练习：分解因式3、y y x x 3922--- 4、yz z y x 2222---综合练习：13223y xy y x x --+ 2b a ax bx bx ax -+-+-223181696222-+-++a a y xy x 4a b b ab a 4912622-++-592234-+-a a a 6y b x b y a x a 222244+--7222y yz xz xy x ++-- 8122222++-+-ab b b a a9)1)(1()2(+---m m y y 10)2())((a b b c a c a -+-+11abc b a c c a b c b a 2)()()(222++++++12abc c b a 3333-++四、十字相乘法.一二次项系数为1的二次三项式直接利用公式——))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++进行分解..特点：1二次项系数是1；2常数项是两个数的乘积；3一次项系数是常数项的两因数的和..例5、分解因式：652++x x分析：将6分成两个数相乘;且这两个数的和要等于5..由于6=2×3=-2×-3=1×6=-1×-6;从中可以发现只有2×3的分解适合;即2+3=5.. 1 2解：652++x x =32)32(2⨯+++x x 1 3=)3)(2(++x x 1×2+1×3=5用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积;且这两个因数的代数和要等于一次项的系数..例6、分解因式：672+-x x解：原式=)6)(1()]6()1[(2--+-+-+x x 1 -1=)6)(1(--x x 1 -6-1+-6= -7练习5、分解因式124142++x x 236152+-a a 3542-+x x练习6、分解因式122-+x x 21522--y y 324102--x x二二次项系数不为1的二次三项式——c bx ax ++2条件：121a a a = 1a 1c221c c c = 2a 2c31221c a c a b += 1221c a c a b +=分解结果：c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++例7、分解因式：101132+-x x分析： 1 -2 3 -5-6+-5= -11解：101132+-x x =)53)(2(--x x练习7、分解因式：16752-+x x 22732+-x x3317102+-x x 4101162++-y y三二次项系数为1的齐次多项式 例8、分解因式：221288b ab a --分析：将b 看成常数;把原多项式看成关于a 的二次三项式;利用十字相乘法进行分解.. 1 8b1 -16b8b+-16b= -8b解：221288b ab a --=)16(8)]16(8[2b b a b b a -⨯+-++=)16)(8(b a b a -+练习8、分解因式12223y xy x +-22286n mn m +-3226b ab a --四二次项系数不为1的齐次多项式例9、22672y xy x +- 例10、2322+-xy y x1 -2y 把xy 看作一个整体 1 -12 -3y 1 -2-3y+-4y= -7y -1+-2= -3解：原式=)32)(2(y x y x -- 解：原式=)2)(1(--xy xy练习9、分解因式：1224715y xy x -+ 28622+-ax x a综合练习10、117836--x x 222151112y xy x -- 310)(3)(2-+-+y x y x 4344)(2+--+b a b a5222265x y x y x -- 62634422++-+-n m n mn m73424422---++y x y xy x 82222)(10)(23)(5b a b a b a ---++910364422-++--y y x xy x 102222)(2)(11)(12y x y x y x -+-++思考：分解因式：abc x c b a abcx +++)(2222五、主元法.例11、分解因式：910322++--x y xy x解法一：以x 为主元 解：原式=)2910()13(22+----y y y x x 2 1 -5y-2=)]12()][25([-+--y x y x 1 2y-1=)12)(25(-++-y x y x -5y-2+2y-1= -3y-1解法二：以y 为主元解：原式=)93(102+---x y y =)93(10[2-+-y x y =2- 2 x -1=- 5 -x +2=)25)(12(---+-x y x y 5x -1-2x +2=3x -9练习11、分解因式156422-++-y x y x 267222-+--+y x y xy x3613622-++-+y x y xy x 436355622-++-+b a b ab a六、双十字相乘法..定义：双十字相乘法用于对F Ey Dx Cy Bxy Ax +++++22型多项式的分解因式..条件：121a a A =;21c c C =;21f f F =2B c a c a =+1221;E f c f c =+1221;D f a f a =+1221即： 1a 1c 1f2a 2c 2f B c a c a =+1221;E f c f c =+1221;D f a f a =+1221则=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 22))((222111f c x a f y c x a ++++例12、分解因式12910322-++--y x y xy x2613622-++-+y x y xy x解：12910322-++--y x y xy x应用双十字相乘法： x y 5- 2x y 2 1-xy xy xy 352-=-;y y y 945=+;x x x =+-2∴原式=)12)(25(-++-y x y x2613622-++-+y x y xy x应用双十字相乘法： x y 2- 3x y 3 2- xy xy xy =-23;y y y 1394=+;x x x =+-32∴原式=)23)(32(-++-y x y x练习12、分解因式167222-+--+y x y xy x222227376z yz xz y xy x -+---七、换元法..例13、分解因式12005)12005(200522---x x22)6)(3)(2)(1(x x x x x +++++解：1设2005=a ;则原式=a x a ax ---)1(22=))(1(a x ax -+=)2005)(12005(-+x x2型如e abcd +的多项式;分解因式时可以把四个因式两两分组相乘..原式=222)65)(67(x x x x x +++++设A x x =++652;则x A x x 2672+=++∴原式=2)2(x A x A ++=222x Ax A ++ =2)(x A +=22)66(++x x练习13、分解因式1)(4)(22222y x xy y xy x +-++290)384)(23(22+++++x x x x 3222222)3(4)5()1(+-+++a a a例14、分解因式1262234+---x x x x观察：此多项式的特点——是关于x 的降幂排列;每一项的次数依次少1;并且系数成“轴对称”..这种多项式属于“等距离多项式”..方法：提中间项的字母和它的次数;保留系数;然后再用换元法..解：原式=)1162(222x x x x x +---=[]6)1()1(2222-+-+x x xx x 设t x x =+1;则21222-=+t xx ∴原式=[]6)2222---t t x （=()10222--t t x =()()2522+-t t x =⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+215222x x x x x =⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+21··522·x x x x x x =()()1225222+++-x x x x =)2)(12()1(2--+x x x 2144234+++-x x x x 解：原式=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-2221414x x x x x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+1141222x x x x x 设y x x =-1;则21222+=+y xx ∴原式=()3422+-y y x =()()312--y y x=)31)(11(2----xx x x x =()()13122----x x x x 练习14、1673676234+--+x x x x 2)(2122234x x x x x +++++ 八、添项、拆项、配方法..例15、分解因式14323+-x x解法1——拆项.. 解法2——添项..原式=33123+-+x x 原式=444323++--x x x x=)1)(1(3)1)(1(2-+-+-+x x x x x =)44()43(2++--x x x x=)331)(1(2+-+-+x x x x =)1(4)4)(1(++-+x x x x=)44)(1(2+-+x x x =)44)(1(2+-+x x x=2)2)(1(-+x x =2)2)(1(-+x x23369-++x x x解：原式=)1()1()1(369-+-+-x x x=)1()1)(1()1)(1(333363-++-+++-x x x x x x=)111)(1(3363+++++-x x x x=)32)(1)(1(362++++-x x x x x练习15、分解因式1893+-x x 24224)1()1()1(-+-++x x x31724+-x x 422412a ax x x -+++5444)(y x y x +++ 6444222222222c b a c b c a b a ---++九、待定系数法..例16、分解因式613622-++-+y x y xy x分析：原式的前3项226y xy x -+可以分为)2)(3(y x y x -+;则原多项式必定可分为)2)(3(n y x m y x +-++解：设613622-++-+y x y xy x =)2)(3(n y x m y x +-++∵)2)(3(n y x m y x +-++=mn y m n x n m y xy x --+++-+)23()(622∴613622-++-+y x y xy x =mn y m n x n m y xy x --+++-+)23()(622 对比左右两边相同项的系数可得⎪⎩⎪⎨⎧-==-=+613231mn m n n m ;解得⎩⎨⎧=-=32n m ∴原式=)32)(23(+--+y x y x例17、1当m 为何值时;多项式6522-++-y mx y x 能分解因式;并分解此多项式..2如果823+++bx ax x 有两个因式为1+x 和2+x ;求b a +的值..1分析：前两项可以分解为))((y x y x -+;故此多项式分解的形式必为))((b y x a y x +-++解：设6522-++-y mx y x =))((b y x a y x +-++则6522-++-y mx y x =ab y a b x b a y x +-+++-)()(22 比较对应的系数可得：⎪⎩⎪⎨⎧-==-=+65ab a b m b a ;解得：⎪⎩⎪⎨⎧==-=132m b a 或⎪⎩⎪⎨⎧-=-==132m b a∴当1±=m 时;原多项式可以分解；当1=m 时;原式=)3)(2(+--+y x y x ；当1-=m 时;原式=)3)(2(--++y x y x2分析：823+++bx ax x 是一个三次式;所以它应该分成三个一次式相乘;因此第三个因式必为形如c x +的一次二项式..解：设823+++bx ax x =))(2)(1(c x x x +++则823+++bx ax x =c x c x c x 2)32()3(23+++++ ∴⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=82323c c b c a ;解得⎪⎩⎪⎨⎧===4147c b a ;∴b a +=21练习17、1分解因式2910322-++--y x y xy x2分解因式6752322+++++y x y xy x3已知：p y x y xy x +-+--1463222能分解成两个一次因式之积;求常数p 并且分解因式..4k 为何值时;253222+-++-y x ky xy x 能分解成两个一次因式的乘积;并分解此多项式..初二因式分解练习题 5 单元测试 姓名一、 填空题：5分 4=20分1 分解因式； ；2 分解因式： ；3 分解因式： ；4 分解因式： ；二、 选择题：5分 6=30分1下列变形;是因式分解的是-----------------------------------------------------------A BC D2下列各式中;不含因式的是-----------------------------------------------------A B C D3下列各式中;能用平方差分解因式的式子是---------------------------------------A B C D4已知;则的值是---------------------------A ;BCD ;5如果是一个完全平方式;那么的值是-------------------------- A B C D6已知;则的值是--A 0BC 3D 9三、把下列各式因式分解：6分5=30分1 23 45四、10分已知;求证：五、10分求证：每个奇数的平方被8除必余1。

因式分解16种方法因式分解是代数学中的一项重要内容，它是将一个多项式写成几个因子相乘的形式。

在代数中，我们可以使用不同的方法来进行因式分解，下面将介绍16种常用的因式分解方法。

一、常数公因子法：当多项式中的每一项都有一个相同的因子时，可以将这个公因子提取出来。

二、提公因式法：可以将多项式中的公因子提取出来，并分别乘在每一项的前面。

三、平方差公式：平方差公式可以将两个平方差分解为两个因子相乘的形式。

四、求和差公式：求和差公式可以将两个数的和或差分解为两个因子相乘的形式。

五、特殊公式：特殊公式是一些特定形式的因式分解规律，如完全平方公式、立方差公式等。

六、分组法：将多项式中的项分成若干组，每一组内部有一个公因子，然后进行合并、提公因子的操作。

七、配方法：如果多项式中存在二次项或一次项，可以使用配方法将其转化为完全平方或完全立方。

八、三项因式分解法：将三个项的多项式进行因式分解，可以根据其特征进行分解，如完全平方三项式、卷积三项式等。

九、因式分解公式：在代数学中，有一些常见的因式分解公式，如平方差公式、和差的立方公式等。

十、分式因式分解法：将分式分解为最简形式，可以进行因式分解，然后进行约分、合并等操作。

十一、二次三项式分解法：将二次三项式进行因式分解，可以根据特定的形式进行分解，如完全平方三项式、卷积三项式等。

十二、差的立方公式：差的立方公式可以将两个数的差分解为两个因子相乘的形式。

十三、平方根的平方差公式：平方根的平方差公式可以将平方根的平方差分解为两个因子相乘的形式。

十四、特殊三项式分解法：特殊三项式分解法是针对特定形式的三项式进行因式分解，如完全平方三项式、卷积三项式等。

十五、分场因子法：将多项式中的每一项提取出一个因子，并按照对应的规律进行提取。

十六、根与系数的关系：多项式的根与系数之间存在一定的关系，可以通过观察根与系数之间的关系进行因式分解。

以上是常用的16种因式分解方法，每一种方法都适用于特定的情况和形式的多项式。