Jacobi Gauss-Seidel 共轭梯度算法比较

解决大规模稀疏线性方程组的迭代法在计算科学和工程学领域中，大规模稀疏线性方程组是一种常见的问题，包括许多领域，如电力系统、材料科学、药物发现、计算流体力学等。

这些问题的解决对科学研究和工程设计都具有重要意义。

然而，当问题规模增大时，求解这些线性方程组变得困难。

因此，研究高效的迭代算法和求解方法是至关重要的。

稀疏线性方程组求解的挑战：大规模稀疏线性方程组求解是一个复杂的问题，其中最主要的挑战是如何有效地处理稀疏矩阵。

由于其稀疏性，大多数元素都为零，这使得传统的直接求解方法，如高斯消元，LU分解等不再适用。

因此，迭代算法是求解该类问题的首选方法。

迭代算法的工作原理：迭代算法的基本思想是利用一个初值解，通过不断地逐次修正，最终得到线性方程组的解。

其基本工作原理是计算误差的后效性，也就是说，每次求解都是在上一次求解结果的基础上进行修正。

最受欢迎的迭代算法：- Jacobi迭代：该方法使用对角矩阵的逆作为迭代矩阵。

这个逆矩阵只需要在算法的一开始计算一次，随后每次迭代都可以直接使用。

这使得Jacobi算法特别适用于在处理较小的稀疏线性方程组时。

- Gauss-Seidel迭代：该方法是Jacobi算法的改进版本。

Gauss-Seidel算法会在每次迭代中更新解向量的所有元素，而不是只更新一个，从而使得每次迭代都较为精确。

- 共轭梯度法：是一种迭代算法，旨在求解系数矩阵为对称、正定矩阵的线性方程组。

其聚焦于求解富有特色的欧几里得范数下的误差最小化问题，使用一种成熟的迭代策略来加速计算。

提高矩阵向量乘和解向量稠密化：在实际应用中，稀疏矩阵向量乘和解向量的稠密化是影响迭代算法效率的两个主要瓶颈。

一些技术，如并行计算、矩阵压缩、矩阵重排序、缓存预取等，可以大大提高矩阵向量乘的效率。

此外，在解向量稠密化方面，使用过渡方案或基于层次的内存管理方案可以大大减少内存使用量，并提高迭代算法的效率。

总结：大规模稀疏线性方程组的迭代算法是一个十分重要的研究领域，具有广泛的应用前景。

雅可比迭代法和高斯塞德尔迭代法对比引言雅可比迭代法和高斯塞德尔迭代法是数值分析中常用的迭代求解线性方程组的方法。

它们都是通过迭代更新变量的值，逐渐逼近方程组的真实解。

本文将详细讨论这两种迭代法的原理、特点和适用情况，并给出一些比较和应用实例。

雅可比迭代法（Jacobi Iteration）雅可比迭代法是一种逐个更新变量的值的迭代方法。

对于线性方程组Ax = b，雅可比迭代法的更新公式如下：x i(k+1)=1a ii(b i−∑a ijnj=1j≠ix j(k))其中，aii表示系数矩阵A的第i行第i列的元素，而bi表示方程组的第i个方程的右侧常数。

特点1.雅可比迭代法的计算过程简单，容易理解和实现。

2.每次迭代只更新一个变量的值，相邻两次迭代之间没有数据依赖关系，可以并行计算。

3.雅可比迭代法收敛的条件是系数矩阵A满足严格对角占优条件或对称正定条件。

优缺点•优点：简单易懂，在一些特定情况下收敛速度较快。

•缺点：收敛速度相对较慢，尤其是在系数矩阵A的条件数较大时；不适用于对角占优条件较弱的问题。

高斯塞德尔迭代法（Gauss-Seidel Iteration）高斯塞德尔迭代法是一种逐个更新变量的值，并立即使用最新的值进行下一个变量的更新的迭代方法。

对于线性方程组Ax = b，高斯塞德尔迭代法的更新公式如下：x i(k+1)=1a ii(b i−∑a iji−1j=1x j(k+1)−∑a ijnj=i+1x j(k))特点1.高斯塞德尔迭代法相较于雅可比迭代法，每次迭代可以使用当前迭代步骤中已更新的变量值，因此收敛速度更快。

2.如果系数矩阵A是严格对角占优或对称正定的，高斯塞德尔迭代法一定收敛。

优缺点•优点：相较于雅可比迭代法，收敛速度更快，对于条件数较大的问题也有较好的效果。

•缺点：实现稍微复杂一些，每次迭代的计算依赖于之前已更新的变量值，无法并行计算。

雅可比迭代法和高斯塞德尔迭代法的比较收敛速度在一些特定的问题中，雅可比迭代法可以比高斯塞德尔迭代法更快地收敛。

三维泊松方程的高精度求解方法三维泊松方程是一种常见的偏微分方程，广泛应用于自然科学与工程领域的建模和计算。

解决三维泊松方程的高精度方法是很有挑战性的，因为它涉及到大规模的计算和内存需求。

本文将介绍几种常见的高精度求解三维泊松方程的方法。

一、直接方法直接方法是通过离散化三维泊松方程，并利用线性代数方法求解线性方程组。

其中最常用的方法是基于有限差分法的离散化方法。

具体而言，我们可以将泊松方程转化为一个线性方程组Ax=b的形式，其中A是一个稀疏矩阵，x是未知量，b是常数向量。

对于高精度求解，可以使用稀疏矩阵的特殊性质进行优化，如共轭梯度法（Conjugate Gradient Method）、预条件共轭梯度法（Preconditioned Conjugate Gradient Method）等。

这些方法可以充分利用矩阵的稀疏性，减少计算复杂度和存储空间。

二、迭代方法迭代方法是通过迭代更新解的数值，直到达到预设的收敛条件。

常见的迭代方法包括雅可比迭代法（Jacobi Method）、高斯-赛德尔迭代法（Gauss-Seidel Method）和多重网格法（Multigrid Method）等。

对于高精度求解，可以选择迭代方法的高阶或者加速版本，如SOR迭代法（Successive Over-Relaxation Method）、MGCG迭代法（Multigrid Conjugate Gradient Method）等。

这些方法可以加快收敛速度，提高数值精度。

三、谱方法谱方法是基于函数的全局性质进行求解的方法。

将输入函数在一组合适的基函数上展开，并选择合适的权重，然后通过将展开系数带入泊松方程，得到一组线性方程，进而求解出解。

对于高精度求解，可以选择具有较高收敛阶的基函数，如拉格朗日插值基函数和切比雪夫基函数等。

此外，合理地选择基函数的数量和位置，可以进一步提高数值精度。

四、混合方法混合方法是将上述不同的方法结合在一起，以充分发挥各自的优点。

Jacobi 迭代法与Gauss-Seidel迭代法算法比较目录1 引言 (1)1.1Jacobi迭代法 (2)1.2Gauss-Seidel迭代法 (2)1.3逐次超松弛（SOR）迭代法 (3)2算法分析 (3)3 结论 (5)4 附录程序 (5)参考文献 (8)Jacobi 迭代法与Gauss-Seidel 迭代法比较1 引言解线性方程组的方法分为直接法和迭代法，直接法是在没有舍入误差的假设下，能在预定的运算次数内求得精确解，而迭代法是构造一定的递推格式，产生逼近精确值的序列。

这两种方法各有优缺点，直接法普遍适用，但要求计算机有较大的存储量，迭代法要求的存储量较小，但必须在收敛性得以保证的情况下才能使用。

对于高阶方程组，如一些偏微分方程数值求解中出现的方程组，采用直接法计算代价比较高，迭代法则简单又实用，所以比较受工程人员青睐。

迭代法求解方程组就是构造一个无限的向量序列，使它的极限是方程组的解向量。

即使计算机过程是精确的，迭代法也不能通过有限次算术运算求得方程组的精确解，而只能逐步逼近它。

因此迭代法存在收敛性与精度控制的问题。

迭代法是常用于求解大型稀疏线性方程组（系数矩阵阶数较高且0元素较多），特别是某些偏微分方程离散化后得到的大型稀疏方程组的重要方法。

设n 元线性微分方程组b Ax = (1)的系数矩阵A 非奇异，右端向量0≠b ,因而方程组有唯一的非零解向量。

而对于这种线性方程组的近似解，前辈们发展研究了许多种有效的方法，有Jacobi 迭代法、Gauss —Seidel 迭代法，逐次超松弛迭代法（SOR 法），这几种迭代方法均属一阶线性定常迭代法，即若系数矩阵A 分解成两个矩阵N 和P 的差，即P N A -=；其中N 为可逆矩阵，线性方程组(1)化为：b x P N =-)（b Px Nx +=b N Px N x 11--+=可得到迭代方法的一般公式：d Gx xk k +=+))1(（ （2）其中：P N G 1-=，b N d 1-=，对任取一向量)0(x 作为方程组的初始近似解，按递推公式产生一个向量序列)1(x ，)2(x ，...，）k x(，...，当k 足够大时，此序列就可以作为线性方程组的近似解。

分别用 jacobi 迭代法和 gauss-seidel 迭代法,求解方程组【jacobi 迭代法和 gauss-seidel 迭代法分别应用于方程组的求解】1. 引言在数学领域中，方程组的求解一直是一个重要的课题。

为了解决复杂的线性方程组，人们提出了各种迭代方法，其中 jacobi 迭代法和gauss-seidel 迭代法是两种常见的方法。

本文将探讨这两种迭代方法在求解方程组中的应用。

2. jacobi 迭代法的原理和应用jacobi 迭代法是一种基于逐次逼近的迭代方法。

对于线性方程组AX=B，其中 A 是系数矩阵，X 是未知数向量，B 是已知向量。

我们可以通过以下公式进行逐次逼近：X(k+1) = D^(-1)*(B - (L+U)X(k))其中，D、L、U 分别是 A 的对角线、下三角和上三角矩阵。

jacobi 迭代法的优点在于易于理解和实现，但在收敛速度上较慢，需要进行多次迭代才能得到精确解。

在实际应用中，需要根据实际情况选择合适的迭代次数。

3. gauss-seidel 迭代法的原理和应用与 jacobi 迭代法类似，gauss-seidel 迭代法也是一种基于逐次逼近的迭代方法。

不同之处在于，gauss-seidel 迭代法在计算 X(k+1) 时利用了已经得到的 X(k) 的信息，即：X(k+1)_i = (B_i - Σ(A_ij*X(k+1)_j，j≠i))/A_ii这种方式使得 gauss-seidel 迭代法的收敛速度较快，通常比 jacobi 迭代法更快，尤其是对于对角占优的方程组。

4. 分别用 jacobi 迭代法和 gauss-seidel 迭代法求解方程组为了更具体地说明 jacobi 迭代法和 gauss-seidel 迭代法的应用，我们分别用这两种方法来求解以下方程组：2x1 + x2 = 9x1 + 3x2 = 11我们将该方程组写成矩阵形式 AX=B：|2 1| |x1| |9||1 3| * |x2| = |11|我们根据 jacobi 迭代法和 gauss-seidel 迭代法的原理，依次进行迭代计算，直到满足收敛条件。

雅可比迭代法与高斯—塞德尔迭代法的比较赵连云(03211085)包头师范学院数学科学学院摘要：在求解线性代数方程组的许多实际问题中，尤其在偏微分方程的差分方法与有限方法的求解问题之中，用迭代法去解线形方程组有明显的优点.其中最主要的是雅可比（Jacobi ）迭代法和高斯-塞得尔（Gauss-Seidel ）迭代法，本文就这两种方法及它们的收敛判别条件作了较系统的归纳总结，并给出典型例子加以分析.对具体的求解中，选用那一种方法使解题更快速，更有效有着重要意义.关键词：Jacobi 迭代法； Gauss-Seidel 迭代法； 收敛； 比较.一 预备知识定义1 设()nn ij a A ⨯=为n 阶矩阵.① ①如果n,...,i ,a a ni j ij ij ii 21=∑>≠= (13)即A 的每一行对角元素的绝对值都严格大于同行其他元素绝对值之和，则称A 为严格对角优势矩阵.② ②如果n,...,i ,a a ni j i j ij ii 21=∑≥≠=且至少有一个不等式严格成立,则称A 为弱对角优势矩阵.例如⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-31131012是严格对角优势矩阵，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--310121011是弱对角优势矩阵.定义2 设()nn ij a A ⨯=是n 阶矩阵，如果经过行的互换及相应列的互换可化为⎥⎦⎤⎢⎣⎡221211A A A , 即存在n 阶排列矩阵P,使⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2212110A A A AP P T其中2211A ,A 为方阵，则称A 是可约的,否则称A 为不可约的. 二 具体内容 （一） 雅可比迭代法设线性方程组b Ax = (1)的系数矩阵A 可逆且主对角元素nn a ,...,a ,a 2211均不为零,令 ()nna ,...,a ,a diag D 2211=并将A 分解成()D D A A +-= (2) 从而(1)可写成()b x A D Dx +-= 令11f x B x +=其中b D f ,A D I B 1111--=-=. (3)以1B 为迭代矩阵的迭代法(公式)()()111f xB xk k +=+ (4)称为雅可比(Jacobi)迭代法(公式),用向量的分量来表示,(4)为⎩⎨⎧[],...,,k ,n ,...,i xab ax nij j )k (jji i ii)k (i21021111==∑-=≠=+ (5)其中()()()()()Tnx ,...x ,x x002010=为初始向量.由此看出,雅可比迭代法公式简单,每迭代一次只需计算一次矩阵和向量的乘法.在电算时需要两组存储单元,以存放()k x 及()1+k x.例1 用雅可比迭代法求解下列方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--=-+-=--2453821027210321321321.x x x .x x x .x x x解 将方程组按雅可比方法写成⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=++=840202083020107202010213312321.x .x .x .x .x .x .x .x .x取初始值()()()()()()TT,,,x ,x ,x x0000302010==按迭代公式()()()()()()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=++=+++840202083020107202010211331123211.x .x .x .x .x .x .x .x .x k k k k k k k k k进行迭代，其计算结果如表1所示表1（二） 高斯—塞德尔迭代法由雅可比迭代公式可知,在迭代的每一步计算过程中是用()k x 的全部分量来计算()1+k x的所有分量,显然在计算第i 个分量()1+k ix 时,已经计算出的最新分量()()1111+-+k i k x ,...,x 没有被利用，从直观上看,最新计算出的分量可能比旧的分量要好些.因此，对这些最新计算出来的第1+k 次近似()1+k x的分量()1+k jx 加以利用,就得到所谓解方程组的高斯—塞德（Gauss-Seidel ）迭代法.把矩阵A 分解成U L D A --= (6)其中()nna ,...,a ,a diagD 2211=,U ,L --分别为A 的主对角元除外的下三角和上三角部分,于是,方程组(1)便可以写成 ()b Ux x L D +=- 即22f x B x +=其中()()b L D f ,U L D B 1212---=-= (7)以2B 为迭代矩阵构成的迭代法(公式)()()221f xB xk k +=+ (8)称为高斯—塞德尔迭代法(公式),用 量表示的形式为⎩⎨⎧[],...,,k ,n ,,i x a x a b a x i j ni j )k (jij )k (jij i ii)k (i21021111111==∑∑--=-=+=++ (9)由此看出,高斯—塞德尔迭代法的一个明显的优点是,在电算时,只需一组存储单元(计算出()1+k ix 后()k ix 不再使用,所以用()1+k ix 冲掉()k ix ,以便存放近似解.例2 用高斯——塞德尔迭代法求解例1. 解 取初始值()()()()()()TT,,,x ,x ,x x0000302010==，按迭代公式()()()()()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=++++++840202083020107202010121113311123211.x .x .x .x .x .x .x .x .x k k k k k k k k k进行迭代，其计算结果如下表2表2从此例看出,高斯—塞德尔迭代法比雅可比迭代法收敛快(达到同样的精度所需迭代次数少),但这个结论,在一定条件下才是对的,甚至有这样的方程组,雅可比方法收敛，而高斯—塞德尔迭代法却是发散的. （三）迭代收敛的充分条件定理1 在下列任一条件下,雅可比迭代法(5)收敛.①111<∑=≠=∞ni j j ii ij ia a max B ;②1111<∑=≠=nij i iiij ja a max B ;③ 111<∑=-≠=∞-nji i jjij jTa a max AD I定理2 设21B B ,分别为雅可比迭代矩阵与高斯—塞德尔迭代矩阵,则∞∞≤12B B (10)从而，当111<∑=≠=∞ni j j iiij ia a max B时，高斯—塞德尔迭代法(8)收敛. 证明 由21B B ,的定义,它们可表示成()U L DB +=-11()()U D L D I U L D B 11112-----=-=用e 表示n 维向量()T,...,,e 111=,则有不等式eB e B ∞≤11UD LD B 111--+=这里,记号｜·｜表示其中矩阵的元素都取绝对值,而不等式是对相应元素来考虑的,于是()()()Ie B L D I eL D B e U D ∞------≤-=111111容易验证()011==--nnLD L D所以,L D I 1--及LD I 1--可逆，且()()()1111111111-----------=++≤+++=-L D I LD ...L D I L D ...L D I LD I n n()I L D I≥---11从而有()()((){}e I B L D I LD I eU D L D I e B ∞----------≤⋅-≤111111121{()()}eB eLD II B I ∞--∞≤-⋅--=11111因此必有∞∞≤12B B因为已知11<∞B 所以12<∞B .即高斯—塞德尔迭代法收敛.若矩阵A 为对称，我们有定理3 若矩阵A 正定,则高斯—塞德尔迭代法收敛. 证明 把实正定对称矩阵A 分解为 TL L D A --=()TLU=,则D 为正定的,迭代矩阵()TL L D B 12--=设λ是2B 的任一特征值,x 为相应的特征向量,则()()x x L L D Tλ=--1以L D -左乘上式两端,并由TL L D A --=有()Ax x LTλλ=-1用向量x 的共轭转置左乘上式两端,得()Ax x x L xTTT--=-λλ1 (11)求上式左右两端的共轭转置,得Ax x x L x T T----=⎪⎭⎫ ⎝⎛-λλ1以λ--1和λ-1分别乘以上二式然后相加,得()()Axx x L L x TT T -----⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+⎪⎭⎫ ⎝⎛--λλλλλλ211由TL L D A --=,得()()Axx x A D x TT -----⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-⎪⎭⎫ ⎝⎛--λλλλλλ211即()Axxx L x TT---=-λλλ2211 (12)因为A 和D 都是正定的,且x 不是零向量,所以由(11)式得1≠λ,而由(12)式得012>-λ, 即1<λ,从而()12<B ρ,因而高斯—塞德尔迭代法收敛.定理4如果A 为严格对角优势矩阵或为不可约弱对角优势矩阵,则对任意()0x,雅可比迭代法(4)与高斯—塞德尔迭代法(8)均为收敛的.证明 下面我们以A 为不可约弱对角优势矩阵为例，证明雅可比迭代法收敛.要证明雅可比迭代法收敛，只要证()11<B ρ,1B 是迭代矩阵.用反证法,设矩阵1B 有某个特征值μ,使得1≥μ,则()01=-B I det μ,由于A 不可约,且具有弱对角优势，所以1-D 存在，且()()D A D DA D I IB I -+=--=---μμμ111从而()0=-+D A D det μ另一方面，矩阵()D A D -+μ与矩阵A 的非零元素的位置是完全相同的，所以()D A D-+μ也是不可约的,又由于1≥μ,且A 弱对角优势，所以n,...,i ,a a a nij i j ij ii ii 21=∑≥≥≠=μ并且至少有一个i 使不等号严格成立.因此,矩阵()D A D -+μ弱对角优势，故()D A D-+μ为不可约弱对角优势矩阵.从而()0≠-+D A D det μ 矛盾，故1B 的特征值不能大于等于1，定理得证. （四）典型例题例 设Ax=其系数矩阵A =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡143434314343431证明：它的Jacobi 迭代公式发散，而 Gauss-Seidel 迭代公式收敛. 证：矩阵A 的Jacobi 迭代公式B = -D 1-（L+U ）⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------043434304343430B 1＞１ B ∞＞１∴只能用 ρ（Ｂ）.ｆ（λ）＝B I -λ＝⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡λλλ434343434343＝λ3－３⎪⎭⎫⎝⎛432λ＋２⎪⎭⎫⎝⎛433＝０ 即0322716273=+-λλ∴431=λ432=λ233-=λ∴23)(max 31==≤≤λρiB i ＞１所以 其Jacobi 迭代公式发散. A 的高斯-塞得尔迭代矩阵G = -()L D +-1U()⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⨯⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=+-6445649016316904343000043004343014316301430011U L D ∴G=-()⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=+-64456490163169434301U L DG 1>1 G ∞>1∴只能用()G ρ=)(λf 06445649016316904343=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=-λλλλG I ∴01=λi 146.0633.02+=λi 146.0633.03-=λ∴ 1)(<G ρ所以 高斯-塞得尔迭代法收敛. 三 总结以上给出了雅可比迭代法和高斯－塞得尔迭代法及判断它们收敛的各种方法，通过例题可以看出雅可比迭代法的收敛性和高斯－塞得尔迭代法的收敛性之间没有必然的联系.这些知识让我们对迭代法有了更广泛更深入的了解.特别是在解线性方程组时，怎样选择合适的方法去解题有实际意义. 四 参考文献1 《数植分析原理》［M ］ 吴勃英编 科学出版社 2003年8月2 《数值计算方法和算法》［M ］ 张韵华等编 科学出版社 2000年1月3 《计算方法》［M ］ 姚敬之等编 河海大学出版社 2002年4 《计算机数值方法》［M ］ 施吉林等编 高等教育出版社 1999年5 《算法语言与计算方法基础》［M ］ 刘水强编 科学出版社 2005年4月。

迭代方法在大型稀疏线性方程组求解中的应用随着科技的不断进步和计算力的提升，大型稀疏线性方程组求解成为科学计算和工程领域中的重要问题。

在这方面，迭代方法因其高效性和适应性成为了研究的热点。

本文将介绍迭代方法在大型稀疏线性方程组求解中的具体应用，并探讨其优缺点。

一、背景介绍近年来，随着科学模拟、数据分析和机器学习等领域的快速发展，对大型稀疏线性方程组的求解需求日益增加。

相比于密集线性方程组，稀疏线性方程组矩阵的核心特征是大部分元素为零，而非零元素相对较少。

传统的直接解法，如高斯消元法和LU分解，在处理大规模稀疏线性方程组时，由于需要存储和操作大量的零元素，会导致计算和存储资源的浪费。

而迭代方法则通过迭代逼近的方式，逐步逼近方程组的解，以较小的计算和存储开销达到较高的求解精度。

二、迭代方法的基本原理迭代方法是一种基于迭代逼近的求解方法，其核心思想是将线性方程组的解逐步逼近，并通过迭代次数的增加逐渐提高逼近的精度。

通常情况下，迭代方法的计算过程可以表达为：x_{k+1} = M^{-1}(b - N x_k)其中，x_k表示第k次迭代的逼近解，M为某种矩阵的逆，N为M与线性方程组系数矩阵之差，b为线性方程组的右端向量。

迭代方法的关键在于选择合适的迭代矩阵M和N，以提高迭代的稳定性和收敛速度。

三、常用的迭代方法1. Jacobi迭代法Jacobi迭代法是最简单和最基础的迭代方法之一。

它的迭代矩阵M选取为线性方程组的对角矩阵，N则为对角矩阵与系数矩阵的差。

Jacobi迭代法的迭代格式为：x_{k+1} = D^{-1}(b - (L+U)x_k)其中，D、L和U分别为对角矩阵、严格下三角矩阵和严格上三角矩阵。

Jacobi迭代法的优点是简单易于实现，缺点是收敛速度较慢。

2. Gauss-Seidel迭代法Gauss-Seidel迭代法是Jacobi迭代法的改进版，其迭代矩阵M选取为线性方程组的下三角矩阵，N则为下三角矩阵与系数矩阵的差。

数值计算方法实验报告（五）班级：地信10801 序号：姓名：一、实验题目：jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法二、实验学时: 2学时三、实验目的和要求：1．掌握迭代法的基础原理。

2．掌握jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的步骤。

3．能用程序语言对jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法进行编程实现。

四、实验过程代码及结果1、代码：#include<iostream.h>#include<math.h>float x[100],xk[100];float e;int N,M=1000;float a[100][101];void initdata(){cout<<"输入方程阶数：";cin>>N;cout<<"输入误差限e：";cin>>e;cout<<"输入方程系数："<<endl;for(int i=1;i<=N;i++)for(int j=1;j<=N+1;j++)cin>>a[i][j];cout<<"输入初始解向量x0:"<<endl;for(i=1;i<=N;i++)cin>>xk[i];}void jocobi(){int Nx=0,times=0;while(Nx<N){times++; Nx=0;if(times>=M){cout<<"发散"<<endl; break;}for(int i=1;i<=N;i++){float sum=0;for(int j=1;j<=N;j++)if(i!=j)sum+=xk[j]*a[i][j];x[i]=(a[i][N+1]-sum)/a[i][i];if(fabs(x[i]-xk[i])<e)Nx++;}for(i=1;i<=N;i++)xk[i]=x[i];}cout<<"times="<<times<<endl;for(int i=1;i<=N;i++)cout<<"x["<<i<<"]="<<x[i]<<endl;}void guass_seidel(){int Nx=0,times=0;while(Nx<N){times++;Nx=0;if(times>=M){cout<<"发散"<<endl;break;}for(int i=1;i<=N;i++){float sum1=0;float sum2=0;for( int j=i+1;j<=N;j++){sum1+=xk[j]*a[i][j];}for( j=1;j<=i-1;j++){sum2+=a[i][j]*xk[j];}x[i]=(a[i][N+1]-sum1-sum2)/a[i][i];if(fabs(x[i]-xk[i])<e)Nx++;}for(i=1;i<=N;i++)xk[i]=x[i];}cout<<"times="<<times<<endl;for(int i=1;i<=N;i++)cout<<"x["<<i<<"]="<<x[i]<<endl;}void main(){char ch;initdata();cout<<"请选择解方程的方法：\n";cout<<"A:jocobi B:guass_seidel \n";cin>>ch;if(ch=='A')jocobi();else if(ch=='B')guass_seidel();}2．结果：欢迎您的下载，资料仅供参考！。

Jacobi 迭代法与Gauss-Seidel迭代法算法比较目录1 引言 (1)1.1Jacobi迭代法 (2)1.2Gauss-Seidel迭代法 (2)1.3逐次超松弛（SOR）迭代法 (3)2算法分析 (3)3 结论 (5)4 附录程序 (5)参考文献 (8)Jacobi 迭代法与Gauss-Seidel 迭代法比较1 引言解线性方程组的方法分为直接法和迭代法，直接法是在没有舍入误差的假设下，能在预定的运算次数内求得精确解，而迭代法是构造一定的递推格式，产生逼近精确值的序列。

这两种方法各有优缺点，直接法普遍适用，但要求计算机有较大的存储量，迭代法要求的存储量较小，但必须在收敛性得以保证的情况下才能使用。

对于高阶方程组，如一些偏微分方程数值求解中出现的方程组，采用直接法计算代价比较高，迭代法则简单又实用，所以比较受工程人员青睐。

迭代法求解方程组就是构造一个无限的向量序列，使它的极限是方程组的解向量。

即使计算机过程是精确的，迭代法也不能通过有限次算术运算求得方程组的精确解，而只能逐步逼近它。

因此迭代法存在收敛性与精度控制的问题。

迭代法是常用于求解大型稀疏线性方程组（系数矩阵阶数较高且0元素较多），特别是某些偏微分方程离散化后得到的大型稀疏方程组的重要方法。

设n 元线性微分方程组b Ax = (1)的系数矩阵A 非奇异，右端向量0≠b ,因而方程组有唯一的非零解向量。

而对于这种线性方程组的近似解，前辈们发展研究了许多种有效的方法，有Jacobi 迭代法、Gauss —Seidel 迭代法，逐次超松弛迭代法（SOR 法），这几种迭代方法均属一阶线性定常迭代法，即若系数矩阵A 分解成两个矩阵N 和P 的差，即P N A -=；其中N 为可逆矩阵，线性方程组(1)化为：b x P N =-)（b Px Nx +=b N Px N x 11--+=可得到迭代方法的一般公式：d Gx xk k +=+))1(（ （2）其中：P N G 1-=，b N d 1-=，对任取一向量)0(x 作为方程组的初始近似解，按递推公式产生一个向量序列)1(x ，)2(x ，...，）k x(，...，当k 足够大时，此序列就可以作为线性方程组的近似解。

我们要使用共轭梯度法来求解高斯-赛德尔迭代。

首先，我们需要了解共轭梯度法和高斯-赛德尔迭代的基本概念。

共轭梯度法是一种迭代算法，用于求解无约束优化问题。

对于给定的初始点x0，该方法通过迭代来找到最优解。

高斯-赛德尔迭代是用于求解线性方程组的迭代方法。

给定系数矩阵A和向量b，该方法通过迭代来找到向量x，使得Ax = b。

现在，我们将使用共轭梯度法来求解高斯-赛德尔迭代。

现在我们可以使用这个函数来求解高斯-赛德尔迭代问题。

例如，考虑以下线性方程组：
(100x1 - 2x2 - 3x3 = 10)
(-2x1 + 110x2 - 4x3 = 20)
(-3x1 - 4x2 + 160*x3 = 30)
我们可以使用高斯-赛德尔迭代来求解这个方程组。

给定系数矩阵A和向量b如下：
A = [[100, -2, -3],
[-2, 110, -4],
[-3, -4, 160]]
b = [10, 20, 30]
我们可以使用以下代码来求解这个方程组：
所以，通过使用共轭梯度法求解高斯-赛德尔迭代，我们得到了方程组的解为[2.55555556 9.33333333 4.44444444]。

计算方法实验报告Jacobi,Gauss_Seidel迭代法班级：学号：姓名：一、实验目的利用Jacobi(Gauss-Seidel)迭代法的算法，解n阶线性方程组。

二、程序功能输入方程组(矩阵A,b)，最大迭代次数以及误差限若结果可以收敛，则输出，若不可收敛则返回迭代失败信息。

三、迭代算法流程图Jacobi Gauss-Seidel四、代码（见附录）五、运行情况分析Jacobi（freopen） Gauss_Seidel（手动输入数据）比较分析：相同的测试数据，Gauss_Seldel的迭代次数明显要比Jacobi少得多。

六、附录#include <iostream>#include <cstdio>#include <cstring>#include <cmath>#define N 1000using namespace std;double A[N][N],b[N],ans[N],ans_f[N],e;int n,num;bool ansnot(){for(int i=1;i<=n;i++){if(fabs(ans[i]-ans_f[i])>e)return 1;}return 0;}void inputX(){for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%lf",&ans[i]);}bool Jacobi(){int i,j,k;printf("-----请输入最大迭代次数和误差线:-----\n");scanf("%d%lf",&num,&e);printf("-----请输入ans初始值:-----\n");inputX();i=0; //迭代次数do{for(j=1;j<=n;j++)ans_f[j]=ans[j];for(j=1;j<=n;j++){if(A[j][j]==0){printf("算法失败,");return 0;}ans[j]=b[j];for(k=1;k<=n;k++){if(k!=j)ans[j]-=A[j][k]*ans_f[k];//Gauss_seldel修改ans[k]}ans[j]/=A[j][j]; }i++;}while(ansnot()&&i<num);if(i<=num){printf("迭代次数为:%d\n",i);return 1;}printf("迭代失败,");return 0;}void init(){memset(A,0,sizeof(A));memset(b,0,sizeof(b));memset(ans,0,sizeof(ans));printf("请输入矩阵A：\n");for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++)scanf("%lf",&A[i][j]);printf("请输入矩阵b：\n");for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%lf",&b[i]);//Print();}int main(){freopen("in.txt","r",stdin);int index=1;while(1){printf("请输入阶数n：\n");scanf("%d",&n);if(n<1) break;printf("------------------test %d------------------\n",index++); init();if(!Jacobi())printf("no answer!!!");elsefor(int i=1;i<=n;i++)printf("x[%d] = %lf\n",i,ans[i]); printf("\n\n");}return 0;}。