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牛顿—柯特斯(Newton-Cotes)求积公式

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牛顿—柯特斯(Newton-Cotes)求积公式

牛顿—柯特斯(Newton-Cotes)求积公式

2
t(t
0
2)dt
2 3
C2
(1) 0 2 2!0!
2
t(t 1)dt
0
1 6
P130 表６-1给出了n从1～8的柯特斯系数。
当n = 8时，从表中可以看出出现了负系数，从 而影响稳定性和收敛性，因此实用的只是低阶公式。
数值计算方法
b
1dx 1
a
显然, Ck是不依赖于积分区间[a,b]以及被积函数
f(x)的常数,只要给出n,就可以算出柯特斯系数,譬
如当n=1时
C0
1 1 0!1!
1
(t
0
1)dt
1 2
C1
1
tdt
1
0
2
当n=2时
C0
(1) 2 2 0!2!
2
(t 1)(t 2)dt
0
1 6
C1
(1)1 2 1!1!
k!(n k)!hn 0
(b a) (1)nk
nn
( (t i))dt
nk!(n k)! 0 i0
ik
引进记号
Ck
(1) nk nk!(n k )!
nn
(
0 i0
(t i))dt
ik
( k=0,1…,n )
则
Ak (b a)Ck ( k=0,1…,n )
代入插值求积公式(6.4)有
这里 lk (x) 是插值基函数。即有
Ak
b
a lk (x)dx
bn a
i0
x xi dx xk xi
ik
将积分区间[a,b] 划分为n等分, 步长 h b a
n
求积节点为 xk a kh(k 由于 xk xi (k i)h , 所以

newton-cotes 公式

newton-cotes 公式

newton-cotes 公式牛顿-科特斯（Newton-Cotes）公式是用来在有限的数据点上进行数值积分的公式，它有助于解决一些数学里复杂的积分问题。

牛顿-科特斯（Newton-Cotes）公式是建立在具有固定的插值点的基础上的，它的基本思想是将积分区间上的函数值用一个多项式曲线表示，根据多项式的函数值，通过运用权重系数求出函数对应积分区间上的积分值。

牛顿-科特斯（Newton-Cotes）公式具有理论可靠性和可计算性，可以用来计算任何一类好的函数在有限积分区间上的数值积分值。

牛顿-科特斯（Newton-Cotes）公式有如下几种：前向 - 望厄（Forward-Newton-Cotes）公式，中间 - 望厄（Midpoint-Newton-Cotes）公式，后向 - 望厄（Backwards-Newton-Cotes）公式和梯形 - 望厄（Trapezoid-Newton-Cotes）公式，每种公式都是以一定的格式形式来进行积分计算的，它们在实用水平上是相通的，可以用来求取给定函数在有限划分区间上的近似数值积分值。

不同的是，每种公式都有不同的特点，比如，前向 - 望厄（Forward-Newton-Cotes）公式算法效率高但精度低，后向 - 望厄（Backwards-Newton-Cotes）公式算法精度高但效率低，梯形 - 望厄（Trapezoid-Newton-Cotes）公式精度取决于区间的分段数，而中间 - 望厄（Midpoint-Newton-Cotes）公式适合单次积分的计算。

牛顿-科特斯（Newton-Cotes）公式可以用来解决一些数学里比较复杂的积分问题，它对于提高程序自动执行效率也必不可少，所以它在很多地方都有实际应用。

chap4第1节 Cotes型求积公式

chap4第1节 Cotes型求积公式

令：Ak
ba n
k i dt
0 i 0 i k
n
n
t i
b a ( 1) n
b
(t i )dt k! ( n k )!
0 i 0 i k
n k 0
n k
n n
则得定积分的近似计算公式： f ( x )dx Ak f ( x k )
a
1 0 2
(
4
1 0 11

利用 Simpson 公式

b
a
ba ab f ( x )dx f ( a ) 4 f ( 2 ) f ( b ) 6
1 4 1 0 4 4 0 1 x 2 dx 6 4 4 1 1 1 3.1333 1 4 利用Cotes公式得
R1[ f ]
12
f ( )
(a , b)
为了估计误差限，设
M 2 max f ( x )
a x b
则得到
R1 f
M2 12
(b a )
3
二、抛物线(辛普森-Simpson)公式（n=2）

b
a
f ( x )dx Ak f ( x k ) A0 f ( x0 ) A1 f ( x1 ) A2 f ( x2 )
R2 [ f ]
(b a ) 2880
5
f
(4)
( ) , (a , b)
Cotes求积公式

b
f ( x )dx
ba 90
a
7 f ( x0 ) 32 f ( x1 ) 12 f ( x4 ) 32 f ( x3 ) 7 f ( x4 )

牛顿—柯特斯(Newton-Cotes)求积公式

牛顿—柯特斯(Newton-Cotes)求积公式
k =0
n
n)
f ( xk )
( ckn)
称为柯特斯求积系数 称为柯特斯求积系数
∫ f ( x ) dx ≈ ( b a ) ∑ c
b a k =0
n
(n)
k
f ( xk )
c
(n) k
n＝1时
C
(1) 0
n n (1)nk = ∫0 ∏(t j) dt k ! (n k )!n j =0 j ≠k
3 b
2 b
∫
b
a
a
( x b)2 dx ] 2
a
(b a ) 3 f ′′(η ) = 12
定理的其它证明从略。 定理的其它证明从略。
复合求积公式
Newton—Cotes求积方法的缺陷： 求积方法的缺陷 求积方法的缺陷： 从余项公式可以看出， 从余项公式可以看出，要提高求积公式的代数精 增加节点个数 必须增加节点个数，而节点个数的增加， 度，必须增加节点个数，而节点个数的增加，会导致 现象； （1）插值多项式出现 ）插值多项式出现Runge现象； 现象 数值稳定性不能保证。（ （2）Newton—Cotes数值稳定性不能保证。（ ） 数值稳定性不能保证。（n>7） ）
I4 ( f ) =
(b a ) [7 f ( x0) + 32 f ( x1) + 12 f ( x 2) + 32 f ( x3) + 7 f ( x 4)] 90
柯特斯公式
n=1时的求积公式 时的求积公式
1
梯形公式/*Trapezoidal Formula */ 梯形公式/*
I1 ( f ) = ∑ Ak f ( xk ) = A0 f ( x0 ) + A1 f ( x1 )

Newton-Cotes求积公式

Newton-Cotes求积公式

Ck( n )称为Cotes系数,独立于区间[a,b]和被积函数, 只与等分区间数n有关，从而与求积问题本身没有关系.
所以Newton-Cotes公式化为
(n) ( b a ) C I n ( f ) Ak f ( xk ) k f ( xk ) k 0 k 0 n n
Nowton-Cotes型求积公式的误差分析
不同的 插值方 法 有不同 的 基函数, 不同的 表示形 式
用Ln ( x)作为被积函数 f ( x)的近似, 有

b
a
f ( x)dx Ln ( x)dx
a
n b k 0 a
b
b n
a
f ( x )l ( x)dx
k 0 k k
f ( xk ) lk ( x)dx

x xj xk x j
dx
令
I n ( f ) Ak f ( xk )
k 0
n
n阶Newton-Cotes求积公式 Newton-Cotes公式的余项(误差)
R( I n ) Rn ( x)dx
a
b
即有
I ( f ) I n ( f ) R( I n )
I ( f ) In ( f )

b
a
f ( x )dx f ( xi )h Ai f i
i 0 i 0
n 1
n
(1)
(b a ) A0 A1 A2 An 1 h , An 0 n
y
f ( x) f0
a=x0
f1
x1
f2
x2
fi
xi
fi+1
xi+1

4.2牛顿-柯特斯公式

4.2牛顿-柯特斯公式

函数值f ( xk )的计算引起
只需讨论f ( xk )的舍入误差对公式的影 响
假设f ( xk )为精确值, 而以f ( xk )作为f ( xk )的近似值 (计算值)
k f ( xk ) f ( xk ) 为误差
记
(n) ( b a ) C In k f ( xk ) k 0 n n
梯形(trapezia)公式具有1次代数精度
2.Simpson公式及其余项
ba ba 取n 2 , 则x0 a , x1 , x2 b , h 2 2
Cotes系数为
C
(2) 0
1 2 1 (t 1)( t 2 )dt 4 0 6 1 2 4 t (t 2 )dt 0 2 6 1 2 1 (t 1)tdt 4 0 6
n
n
n 2
n
n 2
2
被积函数 ( j )是奇函数
n 2
n 2
n n n n g ( ) ( j ) ( )( 1) ( 1)( ) 2 2 2 2 n 2 n n n n g ( ) ( )( 1) ( ) ( 1)( ) 2 2 2 2 g ( ) (1) n1 g ( ) g ( )
上式称为Simpson求积公式，也称三点公式或抛物线公式 记为
S I2 ( f )
4.5 4 3.5
Simpson公式的余项为
3 2.5
R( S ) R( I 2 ) a R2 ( x)dx
b a b a 4 (4) ( ) f ( ) 180 2
b
2 1.5 1 0.5 0 -0.5

newton-cotes求积公式

newton-cotes求积公式


f ( (a ~t h))
1
t(t 1)dt

f ()
0
0
6
其中 (a ~t h) (a,b) 。
因此，梯形公式
b f (x)dx b a [ f (a) f (b)]
a
2
的截断误差为
R1
(b a)3 12
f (),
(a,b)


1 x2
1
ex
f
( x)

(
2 x3

1 x4
1
)e x
max f (x) f (1) 8.1548
1 x2
截断误差估计为
R1

(2 1)3 12
max
1 x2
f (x)
0.6796
用Simpson公式计算，得
2 1
e x dx

2
1 (e

1
4e1.5
b
f (x)dx (b a)
a
n
C (n) k
f
( xk
)
④
k 0
这就是一般的牛顿—科茨公式，
其中 C (n) k
称为科茨系数。
从科茨系数公式③可以看出，科茨系数
C (n) k
的值与积分区间及被积函数都无关。只要给出了
积分区间的等分数n，就能算出 C0(n) , C1(n) , , Cn(n)
在实际计算中，我们常用以下公式进行计算。
梯形公式
b f (x)dx b a [ f (a) f (b)]
a
2
辛普森公式
b f (x)dx b a [ f (a) 4 f ( a b) f (b)]

牛顿-柯特斯公式

牛顿-柯特斯公式

(a, b )
3 . 柯特斯公式的余项
若f
( x ) 在 [ a , b ]上连续 , 则柯特斯公式的余项为
6 (6)
2 (b a ) b a R4 [ f ] I C f 945 4
( ), [ a , b ]. (2.8)
四 复化求积公式
所以I = S，表明辛卜生公式对于次数不超过三次的多 项式准确成立，用同样的方法可以验证对于f (x)=x4，辛 卜生公式不成立，因此辛卜生公式的代数精度可以达到三 次。
定理3
2 n 阶 N C 公式至少具有 2 n 1次代数精度 .
2 n1
证明 : 设 f ( x ) a 2 n 1 x R2 n ( f )

b a
H ( x ) dx
ba 6
( H (a ) H (
a b 2
) H ( b ))
因此，辛卜生公式的误差就是对上述误差公式的积分： (4) f ( ) ab 2 b
RS I S
a
2
由于 ( x a )( x
ab
4!
( x a )( x
2
0 t ( t 2 ) dt
2
4 6

( 1)
1
2 1! 1!
0 t ( t 2 ) dt
2
1 6
当 n 2 时 , 得到 辛普森(Simpso n)公式 6 当 n 4 时 ,得到 柯特斯(cotes) 公式
C ba 90
a f ( x )d x S
此时复化梯形公式为
12
( b a ) k 1
f ( k ) n

数值分析 -牛顿-科特斯公式

数值分析 -牛顿-科特斯公式

n
[
k 1
f
( k
)
h]
h2 b f ( x)dx h2 [ f (b) f (a)]
12 a
12
上例中若要求 | I Tn ，| 则106
|
Rn[
f
]|
h2 12
|
f
(1)
f
(0) |
h2 6
106
h 0.00244949 即：取 n = 409
阶
~ ~ ~ Tn O(h2 ) , Sn O(h4 ) , Cn O(h6 )
1
例：计算

dx 4
0 1 x2
解：
T8

1 16

f
(0)
7
2
k 1
f
( xk
)
f
(1)
其中
k xk 8
运算量基 本相同
= 3.138988494
S4

1 24

f
(0)
)

f ( xi1)]
i0
b f (x) dx
a

h 6

f
(a)

4
n1 i0
n1
f
(
xi

1 2
)

2
i1
f (xi)
f (b)
Sn
xk
余项：
xk

1 2
x k 1
4
4
4
4
4
I[ f ]
Sn

n1

h5 2880
f (4)(i )

牛顿科特斯求积公式的系数之和

牛顿科特斯求积公式的系数之和

牛顿-科特斯求积公式是数学中的一种用于数值积分的方法。

在使用牛顿-科特斯求积公式进行数值积分时，需要首先确定所需的阶数，然后计算对应的系数。

在这篇文章中，我们将讨论牛顿-科特斯求积公式的系数之和，以及与其相关的一些重要概念和应用。

一、牛顿-科特斯求积公式的概念和原理牛顿-科特斯求积公式是一种数值积分方法，通常用于对定积分进行数值近似计算。

其原理是在给定的区间上，将被积函数进行插值，然后计算插值函数的积分，从而近似原函数的定积分值。

具体来说，对于给定的区间[a, b]和积分函数f(x)，牛顿-科特斯求积公式可以表示为：∫f(x)dx ≈ h/2 * [f(x0) + 2∑(i=1 to n-1) f(x_i) + f(x_n)]其中，h = (b-a)/n，n为插值节点的数量，x0 = a，x_i = a + i*h，x_n = b。

二、牛顿-科特斯求积公式的系数之和我们现在来讨论牛顿-科特斯求积公式中系数之和的计算。

我们知道，在牛顿-科特斯求积公式中，系数h/2是一个常数项，而f(x0)和f(x_n)分别是被积函数在区间端点的函数值，其系数也为1。

我们只需要关注∑(i=1 to n-1) f(x_i)部分的系数之和。

定义∑(i=1 to n-1) f(x_i)的系数之和为Cn，即：Cn = 2∑(i=1 to n-1) 1其中，1为每个f(x_i)前的系数，而2为相邻节点之间的权重，其作用是对函数进行等距离的插值。

通过对Cn进行计算和分析，我们可以得到牛顿-科特斯求积公式中系数之和的具体表达式，从而帮助我们更好地理解和应用该数值积分方法。

三、牛顿-科特斯求积公式系数之和的计算为了计算牛顿-科特斯求积公式中系数之和的表达式，我们首先将∑(i=1 to n-1) 1进行展开，得到：∑(i=1 to n-1) 1 = 1 + 1 + ... + 1 (共计n-1项)根据等差数列的求和公式，上式可以进一步化简为：∑(i=1 to n-1) 1 = (n-1)牛顿-科特斯求积公式中系数之和的表达式可以写为：Cn = 2*(n-1)这就是牛顿-科特斯求积公式中系数之和的具体表达式。

等距节点的牛顿柯特斯公式.

等距节点的牛顿柯特斯公式.

n
(b a)
C(n) k

g(
xk
)
k 0
(g(x) 1)

b
g(x)dx
b
dx
(b a)
a
a
即
In In (b a)
Newton-Cotes公式的舍入误差只是函数值误差的
(b a)倍
即 k n , Ck(n) 0时, Newton Cotes公式是稳定的
则
Ai (b a)Ci(n) 于是相应的插值型求积公式为
b a
f (x)dx (b a)
n
Ci(n) f (xi )
(2)
i0
这种等距节点的插值型求积公式(2)称为牛顿—柯特斯公式
Ci(n)叫柯特斯系数 .
在Newton-Cotes公式中,n=1,2时的公式是梯形公式和 Simpson公式
记
n
I n (b a) Ck(n) f (xk )
k 0
为I
的近似值
n
(计算值
)
n
而理论值为 In (b a) Ck(n) f (xk )
k 0
I
n与I
的误差为
n
n
In In (b a) Ck(n)[ f (xk ) f (xk )] k 0
n
In In (b a) Ck(n) k k 0
1.梯形公式
取n 1,则x0 a , x1 b , h b a
Cotes系数为 于是
C (1) 0


1
(t
0
1)dt
1 2
C 1( 1 )

7.1 牛顿-科特斯求积公式

7.1 牛顿-科特斯求积公式

f
]
2(b a) 945
(
b
4
a
)6
f
(6)
( )
[ (a, b)]
计算方法
牛顿-科特斯求积公式几何意义（单击播放）
计算方法
例：分别用梯形公式，辛普生公式和柯特斯公式计算
1 sin x dx
0x
准确值为：0.9460831
x 0 0.25
0.5
0.75
1
f(x) 1 0.9896158 0.958851 0.9088516 0.8414709
注 ： 不 难 验 证 ， 若 求 积公 式 对1，x, x2, xn均 准 确 成 立 ， 则 其 对 任 意次 数 n的 多 项 式 准确成立。
例1 考察求积公式
计算方法
1
1
f (x)dx
1f
2
(1)
2
f
(0)
f
(1)
的代数精度。
可以验证, 对于f(x)=1, x时公式两端相等,
再将f(x)=x2代入公式
k0
求积系数
b
Ak a lk ( x)dx
计算方法
（一）公式的推导
设将积分区间[a,b]n等分，求积节点为 { xk }nk0
那么，
x0
a, xn
b, xj
a
jh,
j 0,1,, n, h b a n
令x=a+th，则t=(x-a)/h，且由 x [a, b]
可知 t [0, n]．
解：利用梯形公式可得：
1 sin x dx 1 0 ( f (0) f (1))
0x
2
1 (1 0.8414709) 0.9207355

newton-cotes计算积分近似值

newton-cotes计算积分近似值

newton-cotes计算积分近似值
Newton-Cotes求积公式是一种数值积分方法，用于近似计算定积分的值。

其基本思想是将积分区间分成若干个子区间，然后在每个子区间上选择一个点作为代表点，用该点的函数值乘以子区间的宽度，再将所有代表点的函数值乘以相应子区间的宽度求和，最后将求和结果作为积分值的近似值。

具体来说，Newton-Cotes求积公式可以分为以下几种形式：
梯形公式：将积分区间分成n个等长的子区间，每个子区间的宽度为h，然后在每个子区间的中点处取值并乘以相应的宽度h/2，将所有中点的函数值乘以相应子区间的宽度求和，即可得到积分值的近似值。

辛普森公式：将积分区间分成n个等长的子区间，每个子区间的宽度为h，然后在每个子区间的左端点和右端点处取值并乘以相应的宽度h/3，将所有端点的函数值乘以相应子区间的宽度求和，即可得到积分值的近似值。

复合梯形公式：将整个积分区间分成若干个子区间，然后在每个子区间上采用梯形公式进行计算，最后将所有子区间的近似值相加即可得到积分值的近似值。

复合辛普森公式：将整个积分区间分成若干个子区间，然后在每个子区间上采用辛普森公式进行计算，最后将所有子区间的近似值相加即可得到积分值的近似值。

需要注意的是，Newton-Cotes求积公式的收敛性和误差估计取决于子区间的数目和选择的位置，因此在实际应用中需要选择适当的子区间数目和位置以提高近似值的精度。

此外，Newton-Cotes求积公式适用于被积函数在积分区间上连续的情况，如果被积函数在积分区间上不连续或者存在奇点，则可能需要采用其他数值积分方法进行处理。

牛顿-柯特斯求积公式

牛顿-柯特斯求积公式

b
n
n
f ( x)dx
a
Ai f ( xi ) R( f )
Ai f ( xi ) (1)
i0
i0
其中
b
Ai a li ( x)dx i 0,1,L , n
(2)
li(x)为Lagrange插值基函数。
截断误差或余项为
R( f ) 1
(n 1)!
b a
f
(n1) ( ( x))wn1( x)dx
工程数学
辛卜生公式的几何意义是用抛物线y=P2(x)围成 的曲边梯形面积代替由y=f(x)围成的曲边梯形面积图
2。
y
y=P2(x)
y=f(x)
0 x0
x1
图2
b
f
x2
(x)dx
b
a
x
(f
(a)
4
f
(a
b)
f
(b))
a
6
2
工程数学
工程数学
例 ： 用梯形公式与辛卜生公式
求
3 x
I e 2 dx
1
(3)
工程数学
工程数学
数值求积公式的一般形式
b
n
f ( x)dx
a
Ai f ( xi )
i0
Ai (i=0,1,…,n)称为求积系数， xi (i=0,1,…,n)称为求积节点。
工程数学
工程数学
第一节 等距节点的牛顿—柯特斯求积公式
当求积节点等距分布时，插值型求积公式称为
牛顿—柯特斯(Newton-Cotes) 求积公式。
例如，对概率积分 2 t e x2 dx
0
t [0, )
由于被积函数的原函数F(x)不可能找到，牛顿莱布尼兹公式也就无能为力了。

数值分析Newton-Cotes公式

数值分析Newton-Cotes公式

常用复化求积公式 1. 复化梯形公式 2. 复化辛普生公式
3. 复化柯特斯公式
© 2009, Henan Polytechnic University §2 Newton-Cotes公式
2222
第四章 数值积分与数值微分
1.复化梯形公式
在每个小区间 [ xk 1 , xk ]上应用梯形公式得：

1111
第四章 数值积分与数值微分 a b
3. n=4时的Cotes求积公式
x0 x1 x2 x3 x4
按Newton-Cotes系数公式可以计算出
C
(4) 0
7 16 ( 4 ) 2 16 ( 4 ) 7 (4) (4) , C1 , C2 , C3 , C4 , 90 45 15 45 90
上述公式称为Simpson求积公式。 容易验证Simpson求积公式具有３次的代数精确度． 余项公式为：
(b a) ( 4 ) R2[ f ] f ( ) [ ( a, b)] 2880
5
© 2009, Henan Polytechnic University §2 Newton-Cotes公式
Cotes系数性质
(1) C
n
( n) k
C
( n) n k
(对称性)
( 2)
( n) C k 1 k 0
几种常用的Newton-Cotes求积公式
梯形公式，辛普生公式，Cotes公式
© 2009, Henan Polytechnic University §2 Newton-Cotes公式
k 0
求积系数
© 2009, Henan Polytechnic University §2 Newton-Cotes公式

数值分析6.2 牛顿—柯特斯公式

数值分析6.2 牛顿—柯特斯公式

6 41/840 216/840 27/840 272/840 27/840 216/840 41/840
当n=1时，柯特斯系数为
C (1) 0


1
(t
0
1)dt


1 (t 2
1)2
1 0

1, 2
C (1) 1

1
tdt

1
t2
1

1
,
0
202
这时的牛顿-柯特斯公式为一阶求积公式，就是我们 所熟悉的梯形公式，即
显然, 柯特斯系数与被积函数 f (x) 和积分区间
[a,b]无关, 且为容易计算的多项式积分.
常用的) k
2
1/6
4/6
1/6
3
1/8
3/8
3/8
1/8
4
7/90 32/90 12/90 32/90 7/90
5 19/288 75/288 50/288 50/288 75/288 19/288
I b x3dx b4 a4 .
a
4
这时有S=I，即辛普森公式对不超过三次的多项式均 能精确成立，又容易验证它对f(x)=x4通常是不精确 的(如取a=0,b=1进行验证有，S=3/8≠I=1/5)，因此， 辛普森公式实际上具有三次代数精度.
一般地，我们可以证明下述论断：
*定理3： n 阶牛顿-柯特斯公式的代数精度至少为
[ 1

1 0.62

1
1 12
]

0.2470588
由辛普森公式得
1 0.6 1
1
1
IS
6
[ 1

牛顿-科特斯(Newton-Cotes)求积公式

牛顿-科特斯(Newton-Cotes)求积公式

教案一 牛顿－科特斯（Newton-Cotes ）求积公式基本内容提要1 数值积分的基本思想2 代数精度的概念3 牛顿－科特斯求积公式及其余项4 牛顿－科特斯求积公式的稳定性和收敛性教学目的和要求1 理解机械型求积公式的意义及代数精度的概念2 掌握插值型求积公式基本思想及基本的牛顿－科特斯求积公式: 梯形求积公式、辛普森(Simpson)求积公式或抛物线求积公式、牛顿求积公式、柯特斯求积公式及其余项公式3 了解牛顿－科特斯求积公式的稳定性和收敛性教学重点1 插值型求积公式的基本思想2 牛顿－科特斯求积公式的构造过程3 分析牛顿－科特斯求积公式的稳定性和收敛性4 低阶牛顿－科特斯求积公式及其积分余项公式教学难点1 数值积分公式代数精度概念的理解和应用2 牛顿－科特斯求积公式的稳定性和收敛性的证明课程类型新知识理论课教学方法结合提问，以讲授法为主教学过程问题引入我们可以构造一个多项式近似代替某个未知函数或复杂函数。

据此，可以推导用来近似计算该未知函数或复杂函数的定积分或导数的公式。

这就是数值积分与数值微分的基本内容.推导积分和导数的数值计算公式的重要性是显而易见的。

以定积分的计算为例，要计算定积分∫b a dx x f )( 理论上可以用Newton-Leibniz 公式： ()()()ba f x dx Fb F a =−∫其中)(x F 是被积函数的某个原函数。

但对很多实际问题，上述公式却无能为力。

这是因为：1） 被积函数)(x f 的原函数理论上存在，但无法知道它可用于计算的表达式,如2x e sin ,x x等初等函数。

2） 被积函数)(x f 本身没有可用于计算的表达式，而仅仅是一种数表函数，即只知道该函数在部分特殊点的函数值。

因此，借助于插值理论是解决数值计算定积分的有效途径之一。

§3.1 牛顿-柯特斯求积公式3.1.1 数值积分的基本思想首先利用积分中值定理：()()(),[,]ba f x dx fb a a b ξξ=−∈∫导出矩形求积公式、梯形求积公式。

牛顿-柯特斯公式

牛顿-柯特斯公式

牛顿-柯特斯公式牛顿-柯特斯公式是数值分析中重要的求积公式之一，它可以用于近似计算定积分的值。

牛顿-柯特斯公式是利用插值多项式的积分公式，在积分节点选取相同的情况下，通过不同的插值多项式形式，可以达到不同的精度要求。

牛顿-柯特斯公式的一般形式可以表示为：∫[a,b]f(x)dx = w_0f(x_0)+w_1f(x_1)+...+w_nf(x_n)+R_n其中，x_0, x_1,...,x_n 是n+1个等距节点，a = x_0 < x_1< ... < x_n = b，f(x)是要求积分的函数，w_i是相应的权重系数，R_n是余项，用于表示估计误差。

牛顿-柯特斯公式的权重系数w_i和余项R_n与插值多项式的形式有关。

下面将介绍牛顿-柯特斯公式的一些常见形式。

1. 矩形公式当n = 0时，牛顿-柯特斯公式的形式为：∫[a,b]f(x)dx ≈ (b-a)f(a)这个公式称为矩形公式或矩形法则。

它的准确度为一阶，即误差为O((b-a)^2)。

2. 梯形公式当n = 1时，牛顿-柯特斯公式的形式为：∫[a,b]f(x)dx ≈ (b-a)[(f(a)+f(b))/2]这个公式称为梯形公式或梯形法则。

它的准确度为一阶，即误差为O((b-a)^2)。

3. 辛普森公式当n = 2时，牛顿-柯特斯公式的形式为：∫[a,b]f(x)dx ≈ (b-a)[(f(a)+4f((a+b)/2)+f(b))/6]这个公式称为辛普森公式或辛普森法则。

它的准确度为二阶，即误差为O((b-a)^3)。

4. 三点闭合公式当n = 3时，牛顿-柯特斯公式的形式为：∫[a,b]f(x)dx ≈ (b-a)[(f(a)+3f(a+h)+3f(b-h)+f(b))/8]其中，h = (b-a)/3。

这个公式的准确度为三阶，即误差为O((b-a)^4)。

通过不断增加插值节点的数量n，可以得到更高阶的牛顿-柯特斯公式。

数值分析(16)牛顿-柯特斯求积公式

数值分析(16)牛顿-柯特斯求积公式



i0
n
Ai f ( x i )
(n 1) !
1
f
a
(n1)
( ( x )) w n 1 ( x ) d x
数值分析
Hale Waihona Puke 数值分析b a
f ( x )d x

i0
n
Ai f ( x i )
(n 1) !
1
b
f
a
(n1)
( ( x )) w n 1 ( x ) d x
m 1

b a
x dx
k

i0
n
A i x i , k 0 , 1, , m
k
对 f (x) x
,有
对 f (x)

k0 b a
m

b
x
a
m 1
dx

i0
n
Ai x i
m 1
,
k x ， 有
k


b a
f ( x )d x
m n

k0
n
m
k x dx
例如，对概率积分
2


t
e
0
x
2
dx
t [0 , )
由于被积函数的原函数F(x)不可能找到，牛顿莱布尼兹公式也就无能为力了。
数值分析
数值分析
所谓数值积分，从近似计算的角度看，就是在区 间 [ a , b ]上 适 当 地 选 取 若 干 个 点 x i ， 然 后 用 这 些 节 点 上 的 函 数 值 f ( x i )的 加 权 平 均 方 法 获 得 定 积 分 的 近 似 值 ， 即
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( c 02 ) =
1/8 16/45 25/144 34/105
2989/ 17280 10496/ 28350
7/90 25/96 9/280
2989/ 17280 -4540/ 28350
19/288 9/35
1323/ 17280 10496/ 28350
41/840
3577/ 17280 -928/ 28350 751/ 17280 5888/ 28350 989/ 28350
k
xj
dx
在[a, b]作等距的插值基点 a=x0<x1<……<xn=b ， 作等距的插值基点
A =∫ ∏ dx k a j=0 x x j k
j≠k
b n
xxj
ba , x k = a + kh , k = 0,1 , n 设节点步长 h = n
积分作变量替换x= 积分作变量替换 a+th
步长
当x=a时 当x=b时
t=0， t=n，
t (t 1)(t k + 1)(t k 1)(t n) Ak = ∫ lk ( x)dx = h∫ dt nk 0 a k !(n k )!(1) (1)nk n = h ∫0 t (t 1)(t k + 1)(t k 1)(t n)dt k !(n k )! nk n (1) =nh ∫0 t (t 1)(t k + 1)(t k 1)(t n)dt k !(n k )!n
Newton-Cotes公式 公式
牛顿—柯特斯 牛顿 柯特斯(Newton-Cotes)求积公式 柯特斯 求积公式
Newton—Cotes公式是插值型求积公式的特殊形式： 公式是插值型求积公式的特殊形式： 公式是插值型求积公式的特殊形式
在插值求积公式
n
∫
b
a
f ( x )dx ≈ ∫ P ( x ) dx = ∑ Ak f ( x k )
的误差） 定理 2（柯特斯公式的误差）设f(x)在[a,b]上具有连续的 （柯特斯公式的误差 在 上具有连续的 六阶导数， 柯特斯求积公式的误差为 六阶导数，则柯特斯求积公式的误差为 8 b a 7 (6) R4 ( f ) = ( ) f (η ) , η ∈ (a, b) 945 4
1 b 证 R1 ( f ) = ∫ f ′′ (ξ )( x a )( x b ) dx 2 a 中连续， 中连续 由于(x-a)(x-b)在[a, b] 中不变号， f ′′(ξ ( x )) 在[a, b ]中连续， 中不变号， 由于 在
1
12
辛普生） 定理 2（抛物线 辛普生）公式的误差）设f(x)在[a,b]上具 （抛物线(辛普生 公式的误差） 在 上具 有连续的四阶导数， 有连续的四阶导数，则抛物线求积公式的误差为
1 b a 5 (4) (b a )5 (4) R2 ( f ) = ( ) f (η ) = f (η ) , η ∈ (a, b) 90 2 2880
ba T( f ) = [ f ( a ) + f ( b )] 2
梯形面积近似 用梯形面积近似
k =0
1次代数精度 次
-y = f (x)
a
b
n=2时的求积公式 时的求积公式
2
Simpson公式 公式
I2 ( f ) = ∑ Ak f ( xk ) = A0 f ( x0 ) + A1 f ( x1 ) + A2 f ( x2 )
近似等于曲边梯形的面积 近似等于曲边梯形的面积 等于
-y = f (x)
a
b
P163 表7.2.1给出了 从1～8的柯特斯系数 给出了n从 ～ 的柯特斯系数 的柯特斯系数。 给出了
柯特斯求积系数表： 柯特斯求积系数表： c ( n ) k
n 1 2 3 4 5 6
7 8
( ( ( c0n ) , c1 n ) , ......, c nn )
x–xj=(t–j )h, dx=hdt,
xk x j = (k j) h
(xk x0)(xk xk1)(xk xk+1)(xk xn)
=k(k-1)…1(-1)(-2)…(-(n-k))hn = (-1)n-k k! (n-k)! hn
(xx0)(xxk1)(xxk+1)(xxn)
= t(t-1)…t-k+1)(t-k-1)(t-n) hn 若变量替换为x= 若变量替换为 a+th, 则
求积公式 定理7.2.1 对于Newton—Cotes求积公式 定理5.2.2 对于 Th
In ( f ) = (b a)∑C f (a + kh)
k=0 ( n) k
n
时至少具有n次代数精度 当n为奇数时至少具有 次代数精度；当n为偶数时至少 为奇数时至少具有 次代数精度； 为偶数时至少 具有n+1次代数精度。 次代数精度。 具有 次代数精度
3 b
2 b
∫
b
a
a
( x b)2 dx ] 2
a
(b a ) 3 f ′′(η ) = 12
定理的其它证明从略。 定理的其它证明从略。
复合求积公式
Newton—Cotes求积方法的缺陷： 求积方法的缺陷 求积方法的缺陷： 从余项公式可以看出， 从余项公式可以看出，要提高求积公式的代数精 增加节点个数 必须增加节点个数，而节点个数的增加， 度，必须增加节点个数，而节点个数的增加，会导致 现象； （1）插值多项式出现 ）插值多项式出现Runge现象； 现象 数值稳定性不能保证。（ （2）Newton—Cotes数值稳定性不能保证。（ ） 数值稳定性不能保证。（n>7） ）
1 解： a = 0, b = 1, f ( x ) = 1+ x 1 0 1 T( f ) = [ f (0) + f (1)] = [1 + 0.5] = 0.75 2 2 1 0 1 S( f ) = f (0) + 4 f ( 2 ) + f (1) ≈ 0.69444444 6 1 1 1 3 C( f ) = 7 f (0) + 32 f ( ) +12 f ( ) + 32 f ( ) + 7 f (1) 90 4 2 4
根据定积分的第二中值定理,存在一点 ∈ 根据定积分的第二中值定理 存在一点η∈[a,b],使 存在一点 使
f ′′(η ) b R1 ( f ) = ∫a ( x a )( x b) dx 2
f ′′(η ) ( x b) [( x a ) = 2 2
f ′′(η ) ( x b ) = 2 6
例如： 例如：n=2时，有 时 n=3时，有 时
( c 03 )
1 ( 2) 4 ( 2) 1 , c1 = , c2 = 6 6 6 1 ( 3 ( 3 ( 1 = , c1 3 ) = , c 23 ) = , c 33 ) = 8 8 8 8
分别利用梯形公式、 梯形公式 公式、 例1：分别利用梯形公式、 Simpson公式、 Cotes公式 公式 公式
b x =) k
与步长h无关，可以预先求出
∴ Ak = (b a) c ,
( n) k
( ckn)
n n (1)nk = ∫0 ∏(t j) dt k ! (n k )!n j =0 j ≠k
得牛顿－柯特斯求积公式 牛顿－
∫
b
a
( f ( x ) dx ≈ ( b a ) ∑ c k
I4 ( f ) =
(b a ) [7 f ( x0) + 32 f ( x1) + 12 f ( x 2) + 32 f ( x3) + 7 f ( x 4)] 90
柯特斯公式
n=1时的求积公式 时的求积公式
1
梯形公式/*Trapezoidal Formula */ 梯形公式/*
I1 ( f ) = ∑ Ak f ( xk ) = A0 f ( x0 ) + A1 f ( x1 )
i=0
理由：取f(x)≡1，则 f(n+1)(x)≡0, Rn(f)≡0，于是 理由：
∫
b
a
1 dx = ( b a ) ∑ c
i=0
n
(n) i
,
ci( n ) = 1 ∑
i =0
n
( (2) 系数有对称性。 ci( n ) = c nn )i 系数有对称性。
(3) 当n≥8时开始出现负值的柯特斯系数。 时开始出现负值的柯特斯系数。 时开始出现负值的柯特斯系数
1/2 1/6 1/8 7/90 19/288 41/840
751/ 17280 989/ 28350
1/2 4/6 3/8 16/45 25/96 9/35
3577/ 17280 5888/ 28350
1/6 3/8 2/15 25/144 9/280
1323/ 17280 -928/ 28350
( 2) 0
ba I3 [ f ] = ( f (a ) + 3 f (a + h) + 3 f (a + 2h) + f (b)) 8 ba 其中h = 。 3
n＝4时
(4) C0 =
n=3时
Simpson3/8公式
7 32 12 32 (4) 7 (4) C1(4) == C2 = C3(4) = C4 = 90 90 90 90 90
C1(1)
1 = ∫ (t 1)dt = 0 2 1 1 = ∫ tdt = 0 2
1
1 1 I1 ( f ) = (b a ) f (a ) + (b a ) f (b) 2 2
n＝2时
梯形公式 1 2 1 C = ∫ (t 1)(t 2)dt = 6 4 0 1 2 4 ( 2) C1 = ∫ t (t 2)dt = 2 0 6 1 2 1 ( 2) C2 = ∫ t (t 1)dt = 4 0 1 6 4 b+a 1 I 2 ( f ) = (b a )[ f (a ) + (b a ) f ( ) + (b a ) f (b)] 6 6 2 6 Simpson公式 (b a ) b+a [ f (a) + 4 f ( ) + f (b)] = 6 2