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§3.1.1不等关系与不等式（第一课时）教学重点：理解不等式的意义，建立适当的不等式（组）表示不等关系．教学难点：如何从具体问题情境中抽象出数学模型并建立不等式．教学过程：一、设置情境，引发思考学生辅助学习素材1．视频：（1）国庆50周年阅兵式；（2）祖国大地山川秀美；（3）道路限速路标；（4）天平测质量；（5）跷跷板游戏．【制作提示】用数学的眼光看世界，认识世界，感受现实世界中相等关系与不等关系普遍存在，感受数学之美，增强用数学的意识．等量关系体现了数学的对称美、统一美、和谐美、平衡美，不等关系则如同仙苑奇葩呈现出数学的奇异美、层次美．2．你还能举出哪些更多的不等关系的实例？3．你能否用所学过的哪种数学知识来表示和研究这些不等关系？二、提出问题，激发探究学生活动：尝试用适当的不等式表示下列问题中所蕴含的不等关系：1．设点A与平面的距离为d，B为平面上的任意一点，表示d与|AB|之间的不等关系．2．某种杂志原以每本世纪末2.5元的价格销售，可以售出8万本．据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本．若把提价后杂志的定价设为x元，使销售总收入不低于20万元应怎样表示？3．小圆的半径为r，大圆的半径为R，两圆的圆心距离为d，若两圆相交，则d应满足什么关系？4．学习素材中蕴含不等关系的表示．建构数学：把生活中的具体问题转化成数学问题，并用恰当的数学模型（不等式）表示出来即为本节课的核心问题．其具体步骤为：实际问题：不等关系→（抽象概括）→数学问题：不等式数学模型：不等式→（刻画）→实际问题：不等关系三、巩固结论，尝试应用〖例1〗某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种，按照生产的要求，600mm钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍，怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢？〖问题〗（1）本例涉及哪几个变量？（2）哪句话中体现了不等关系？〖例2〗某单位计划10月份组织员工到泰山旅游，人数估计在10~25人之间．甲、乙两旅行社的服务质量相同，且组织到泰山旅游的价格都是每人200元，甲旅行社表示可给予每位旅客七五折优惠；乙旅行社表示先免去一位旅客的旅游费用，其余游客八折优惠．问该单位怎样选择，使其支付的旅游费用较少？〖问题〗（1）若有10人，应选择哪家旅行社？（2）满足什么条件，选择甲旅行社更优惠？（3）满足什么条件，选择乙旅行社更优惠？（4）你对解决本例中的问题有什么想法？〖例3〗由下表给出了甲、乙、丙三种食物的维生素含量及其成本．现欲将三种食物混合成100kg的食品，要使混合食品中至少含有35000单位的维生素A 和40000单位的维生素B，设甲、乙两种食物各取x kg、y kg，那么x、y应满怎样的关系？〖问题〗（1）从这段话中可以抽象出哪几种不等关系？（2）混合食品有哪几中成分组成，含量各为多少？（3）各成分中的维生素A和维生素B的含量又是多少？四、反思小结，理论升华（1）解决实际问题的常规步骤：实际问题：不等关系→（抽象概括）→数学问题：不等式数学模型：不等式→（刻画）→实际问题：不等关系（2）一个重要数学模型：不等关系．【反馈练习】（只列出不等关系，不求解）（1）a与b的和是非负数；（2）某公路立交桥对通过车辆的高度h“限高4m”；（3）在一个面积为350m2的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地．仓库的长Ｌ大于宽Ｗ的4倍．（4）有一个两位数大于50而小于60，其个位数字比十位数字大2．试用不等式表示上述关系，并求出这个两位数（用a、b分别表示这个两位数的十位数字和个位数字）．（5）某种植物适宜生长在温度在18°～20°的山区，已知山区海拔每升高100米，气温下降0.55°．现测得山脚下的平均温度为22°，试问该植物种植在山区多高处较为适宜？（6）某市政府准备投资1800万元兴办一所中学,经调查,班级数量以20到30个为宜，每个初、高中班硬件配置分别为28万元与58万元，该学校的规模(初、高中班级数量）所满足的条件是什么？五、布置作业1．书面作业：教材P83习题3．1 A组第4、5题B组第3题2．课外思考：b克糖水中有a克糖（b>a>0），若再加入m克（m>0）糖，则糖水更甜了，为什么？你能否用不等式的知识给出合理的解释？。
教学设计:高中数学人教A版必修五第三章第一节§3.1不等关系与不等式（第一课时）【教学目标】一知识技能1通过具体问题情境,感受到现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系.2会用不等式（组）表示实际问题中的不等关系.二过程与方法通过大量的现实世界和日常生活中例子,使学生感受到不等关系确实处处存在:同时也让学生去认真思考如何用不等式表示现实中的不等关系.三情感、态度与价值观1培养学生数形结合的思想:2培养学生严谨科学的态度:3培育学生的爱国情感和创新意识:4在参与观察、实验、猜想、证明等活动中发展演绎推理能力,培养学生观察问题、提出问题、分析问题、解决问题的科学探究能力.【教学重点】用不等式（组）表示实际问题中的不等关系,并用不等式（组）研究含有不等关系的问题.理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值.【教学难点】用不等式（组）正确表示出不等关系.【教学方法】通过让学生观察、思考、交流、讨论、发现现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系.【教学手段】多媒体辅助教学．【教学过程】一创设情境,导入课题课前循环播放一组庐山照片,启发学生想到了苏轼的诗:“横看成岭侧成峰,远近高低各不同”.二新授过程,形成认识（一）不等关系:1 诗人苏轼有两句著名的诗句“横看成岭侧成峰,远近高低各不同”,从正面看庐山,它是一道横长的山岭:从侧面看庐山,它是一座高耸的山峰.你再从不同距离、不同高度去看吧,呈现在你眼前的庐山,都是各种互不相同的形象.标注:相对于庐山优美的风景,四川西部山区却是经常有洪灾发生,都江堰就是水利工程的一个典型代表.公元前256年,秦国人李冰作为蜀首,奉命治理岷江,李冰先用了3年的时间勘察水情、调查地形,制订了一整套凝聚着人类智慧与科学的治水方案.）标注:利用ppt播放《都江堰》的视频.让学生通过视频找出里面存在的不等关系,并随时记录在练习本上.（学生回答后出示答案:山区地势高低不同,内江、外江地势高低不同、水量不同、沙石不同（80%外江）,水只有高出飞沙堰时,通过飞沙堰流出,有分洪和排沙的作用……）德育教育:都江堰建成后,成都平原的粮食产量成倍增长,这也为秦国统一中国奠定了物质基础.都江堰的设计和改造,最大程度的尊重和保护了自然,即使是2000多年后的今天,仍是水利专家追求的生态水利建设的最高境界.李冰用了3年时间攀登了700多里山路勘察水情、调查地形,他的坚韧不拔的毅力,科学严谨的治学精神, 我们就要应用到学习和生活中.2 （过渡:古代科学家凭借他们坚韧不拔的毅力充分利用了各种不等关系,创造了一个又一个的人类奇迹,在刚刚过去的奥运会上,我国奥运健儿摘金夺银,也取得了巨大的成绩,叶诗文就是其中的一个典型代表.）标注:2012年,伦敦奥运会上16岁的叶诗文以4分28秒43的成绩破世界纪录获得400米女子混合泳冠军,为中国摘得伦敦奥运会第四枚金牌. 随后,在200米女子混合泳的半决赛、决赛中,两次打破奥运会纪录,以2分07秒57夺冠,成为奥运会双冠王,创造中国泳坛历史.德育教育:叶诗文只有16岁,比我们同学都还小,就取得了如此大的成绩,不过同学们也不要不好意思,你们在很多方面比叶诗文还要强.练习1:观察图中存在的不等关系.叶诗文叶诗文与罗切特成绩比较标注:主要看红框中的两个数字和两人的总成绩.德育教育:通过两人成绩的比较,叶诗文在最后50m甚至超过了男子世界冠军的成绩,尽管西方媒体对此提出质疑,但最终的结论证明,她的成绩就是她努力训练的结果,如果要进一步改变西方媒体对中国人的看法,还需要同学们的拼搏努力.（过渡:我们再次回到我国古代）3 材料1:中国最早的一部数学著作——《周髀算经》中记载着在公元前1100年左右,我国古代数学家就已经发现了勾股定理.这比古希腊数学家毕达哥拉斯发现的时间早了500多年.德育教育:这足以说明我们的祖先早已经具有了超人的智慧.世界上最早对勾股定理进行证明的,是我国三国时期吴国的数学家赵爽.赵爽创制了一幅弦图,用形数结合的方法证明了勾股定理.德育教育:中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明,在世界数学史上具有独特的贡献和地位.尤其是其中体现出来的“形数统一”的思想方法,更具有科学创新的重大意义.当代中国数学家吴文俊曾经说过“在中国的传统数学中,数量关系与空间形式往往是形影不离地并肩发展着的......十七世纪笛卡儿解析几何的发明,正是中国这种传统思想与方法在几百年停顿后的重现与继续.”请同学们在赵爽的弦图中寻找一些不等关系.学生口答:直角三角形的三边不等,三个角不等,大小正方形的边长不等……,更重要的是要总结出222+≥.老师要说明这个公式a b ab非常重要,我们以后还要继续学习.练习2:请同学们自己举出现实世界和日常生活中存在的一些不等关系.（二）用不等式表示不等关系（过渡:通过刚才大量的图表和事实,我们可以感受到现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系,其中有很多是可以用不等式表示的.）材料2: 观察下表,请同学们说出x、y、z的范围.2010 39.8 10.3 3.02011 47.2 9.2 3.3德育教育:这个表格隐含着的信息很多,2011年GDP是2006年的2倍还多,说明我国经济发展速度很快；另外,据统计我国1978年国民生产总值为3600亿元,而2011年国民生产总值为47.2万亿元,是1978年的130倍左右,这不仅仅是一个不等关系,更是一个巨大的增长,同时这也是改革开放的重大成就,所以我们只有坚持改革开放,才有可能取得如此大的成就.假设以后我国每年的经济增长率按8%计算,那么多少年后GDP总量将超过130万亿元？答案: 47.21.08130x>,解得14x≥,所以到2025年,我国的GDP将超过130万亿元.德育教育:如果按照现在美国的经济总量和发展速度计算,到2025年我国将超过美国,成为世界第一经济大国.到那时同学们已经是而立之年,各个事业有成!有的已经是著名的企业家,有的成了科学家,有的成了党政岗位上的重要领导人……但是这一切美好的前景都是建立在同学们努力拼搏的基础之上的.练习3:观察以下图形,写出图片中蕴含的不等关系:（过渡:食品中有不等关系,那么市场中有没有不等关系.）例1 某种杂志原以每本2.5元的价格销售,可以售出8万本.据市场调查,若单价每提高0.1元,销售量就可能相应减少2000本.若把提价后杂志的定价设为x 元,怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？（总收入＝单价×销售量）答案:2.58*0.2200.1x x -⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭例2 某钢铁厂要把长度为4000mm 的钢管截成500mm 和600mm 的两种.按照生产的要求,600mm 钢管的数量不能超过500mm 钢管的3倍.怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢？解:设截得500mm 钢管x 根,截得600mm 钢管y 根,则:三 检测反馈,巩固知识1用不等式表示右图的不等关系:德育教育:我们在过马路的时候,一定要注意安全,要走人行横道,500600400030x y x y x y +≤⎧⎪≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩要走斑马线；如果我们以后开车,也一定按照要求行驶,看看图中,车多人乱,确实很危险!我们应该切实注意自己和他人的安全.（2）某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中的脂肪含量 f 应不少于2.5%,蛋白质的含量 p 应不少于2.3%． 答案: 2.5%2.3%f p ≥⎧⎨≥⎩（3）如图,在一个面积为3502m 的矩形地基上建造一个仓库,四周是绿地.仓库的长L 大于宽W 的4倍.【归纳小结】（过渡:请同学自己总结本节课所学内容,先小组讨论,再请一个同学典型发言.）1通过同学们的总结,我们可以发现古今中外日常生活时时、事事、处处都存在着各种不等关系,通过我们的慧眼要发现并利用这些关系,就会取得超出前人的更大的成就.2 我们要善于利用不等式（组）表示实际问题中的不等关系.【作业】1．P75习题3.1A 组 第4、5题:2．课外探究:（1）有一个两位数大于50而小于60,其个位数字比十位数字大(10)(10)3504L W L W++=⎧⎨≥⎩2.试用不等关系表示上述关系,并求出这个两位数（用a和b分别表示两位数的个位数字和十位数字）.（2）一辆汽车原来每天行驶x km,如果这辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km,那么8天内它的行程就超过2200 km,写出不等式为_______________:如果它每天行驶的路程比原来少12 km,那么它原来行驶8天的路程就得花9天多的时间,用不等式表示为_______________.不等式学情分析高中数学新授课是对数学概念、定理、公式与性质的学习,课上不仅仅要让学生掌握一些基本的数学结论,更重要的是要让学生理解数学问题是怎样提出来的,概念是如何在具体背景中形成的,结论是怎样探索和猜测到的. 要充分利用数学的科学性和严谨性,让学生尊重知识,崇尚科学,坚定科学信念,学会科学思想方法,同时教师要更加关注学生在数学学习中所表现出来的情感、态度、价值观.树立一切为了“每一位学生的发展”的新课程理念,不但要关注每一位学生的数学学习,而且要关注每一位学生的道德生活和人格养成,发展学生的创新意识.只有在创新、求活的发展变化中才能真正提高学生的数学素养,培养学生的创新精神与个性品质.高中数学教材中,有丰富的爱国主义教育素材,在教学中应当适时地、自然地利用它们对学生进行思想教育,会达到事半功倍的效果.高中生正处于世界观逐渐形成的阶段,为了让学生有一个正确的世界观,用辩证唯物主义思想去认识世界,教师在讲授相应新课的同时,适时地、恰当地渗透些辩证唯物主义思想教育,不仅有利于学生对数学知识的深刻理解和对数学方法的熟练掌握,更重要的是有助于学生形成良好的思维品质和科学的世界观.不等式效果分析在课堂上应用的一个材料是有关都江堰工程的介绍，这一中国历史上的壮举，通过视频的形式让学生从视觉、听觉上得到冲击，探究、发现其中的不等关系的同时，也感悟中华文明的伟大与魅力，感悟中国人民的智慧与创新，同时激发学生学习李冰父子勤劳、坚毅、勇于创造的精神。
3.1《不等关系与不等式》（第1课时）一、选择题：1．设M ＝x 2，N ＝－x －1，则M 与N 的大小关系是( )A ．M >NB ．M ＝NC ．M <ND ．与x 有关 【答案】A【解析】 M －N ＝x 2＋x ＋1＝(x ＋12)2＋34>0，∴M >N .2．若a <b <0，则下列不等式不能成立的是( )A ．1a >1bB ．2a >2bC ．|a |>|b |D ．(12)a >(12)b 【答案】B【解析】 ∵a <b ，y ＝2x 单调递增，∴2a <2b，故选B ． 3．已知a <0，－1<b <0，则下列各式正确的是( )A ．a >ab >ab 2B ．ab >a >ab 2C ．ab 2>ab >a D ．ab >ab 2>a 【答案】D【解析】 ∵－1<b <0，∴1>b 2>0>b >－1，即b <b 2<1，两边同乘以a 得，∴ab >ab 2>a .故选D ．4．如果a 、b 、c 满足c <b <a ，且ac <0，那么下列选项中不一定．．．成立的是( ) A ．ab >ac B ．bc >ac C ．cb 2<ab 2D ．ac (a －c )<0 【答案】C【解析】 ∵c <b <a ，且ac <0，∴a >0，c <0.∴ab －ac ＝a (b －c )>0，bc －ac ＝(b －a )c >0，ac (a －c )<0，∴A、B 、D 均正确．∵b 可能等于0，也可能不等于0. ∴cb 2<ab 2不一定成立．5．已知：a ，b ，c ，d ∈R ，则下列命题中必成立的是( )A ．若a >b ，c >b ，则a >cB ．若a >－b ，则c －a <c ＋bC ．若a >b ，c <d ，则a c >bdD ．若a 2>b 2，则－a <－b【答案】B【解析】 选项A ，若a ＝4，b ＝2，c ＝5，显然不成立；选项C 不满足倒数不等式的条件，如a >b >0，c <0<d时，不成立；选项D 只有a >b >0时才可以．否则如a ＝－1，b ＝0时不等成立，故选B ．6．下列各式中，对任何实数x 都成立的一个式子是( )A ．lg(x 2＋1)≥lg(2x ) B ．x 2＋1>2x C ．1x 2＋1≤1 D．x ＋1x≥2 【答案】C【解析】 A 中x >0；B 中x ＝1时，x 2＋1＝2x ；C 中任意x ，x 2＋1≥1，故1x 2＋1≤1；D 中当x <0时，x ＋1x≤0.7．若a >b >0，c <d <0，则一定有( )A ．a c >b dB ．a c <b dC ．a d >b cD ．a d <b c【答案】D【解析】本题考查不等式的性质，a c －b d ＝ad －bccd，cd >0，而ad －bc 的符号不能确定，所以选项A 、B 不一定成立.a d －b c ＝ac －bddc，dc >0，由不等式的性质可知ac <bd ，所以选项D 成立．本题也可以对实数a 、b 、c 、d 进行适当的赋值逐一排查．8．设a ＝sin15°＋cos15°，b ＝sin16°＋cos16°，则下列各式正确的是( )A ．a <a 2＋b 22<b B ．a <b <a 2＋b 22C ．b <a <a 2＋b 22D ．b <a 2＋b 22<a【答案】B【解析】a ＝sin15°＋cos15°＝2sin60°，b ＝sin16°＋cos16°＝2sin61°，∴a <b ，排除C 、D 两项．又∵a ≠b ，∴a 2＋b 22－ab ＝a －b22>0，∴a 2＋b 22>ab ＝2sin60°×2sin61°＝3sin61°>2sin61°＝b ，故a <b <a 2＋b 22成立．9．已知－1<a <0，A ＝1＋a 2，B ＝1－a 2，C ＝11＋a ，比较A 、B 、C 的大小结果为( ) A ．A <B <C B ．B <A <C C ．A <C <B D ．B <C <A【答案】B【解析】 不妨设a ＝－12，则A ＝54，B ＝34，C ＝2，由此得B <A <C ，排除A 、C 、D ，选B ．具体比较过程如下：由－1<a <0得1＋a >0，A －B ＝(1＋a 2)－(1－a 2)＝2a 2>0得A >B ， C －A ＝11＋a－(1＋a 2)＝－a a 2＋a ＋11＋a＝－a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋122＋341＋a>0，得C >A ，∴B <A <C ．二、填空题：10．若x ＝(a ＋3)(a －5)，y ＝(a ＋2)(a －4)，则x 与y 的大小关系是________． 【答案】x ＜y【解析】x －y ＝(a ＋3)(a －5)－(a ＋2)(a －4)＝(a 2－2a －15)－(a 2－2a －8)＝－7＜0，∴x ＜y . 11．给出四个条件：①b ＞0＞a ，②0＞a ＞b ，③a ＞0＞b ，④a ＞b ＞0，能推得1a ＜1b成立的是________．【答案】①、②、④【解析】 1a ＜1b ⇔b －aab＜0，∴①、②、④能使它成立．12．a ≠2、b ≠－1、M ＝a 2＋b 2、N ＝4a －2b －5，比较M 与N 大小的结果为________． 【答案】M ＞N【解析】 ∵a ≠2，b ≠－1，∴M －N ＝a 2＋b 2－4a ＋2b ＋5＝(a －2)2＋(b ＋1)2＞0，∴M >N . 三、解答题13．某矿山车队有4辆载重为10 t 的甲型卡车和7辆载重为6 t 的乙型卡车，有9名驾驶员．此车队每天至少要运360 t 矿石至冶炼厂．已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，写出满足上述所有不等关系的不等式． 【答案】见解析【解析】 设每天派出甲型卡车x 辆，乙型卡车y 辆．根据题意，应有如下的不等关系：(1)甲型卡车和乙型卡车的总和不能超过驾驶员人数． (2)车队每天至少要运360 t 矿石．(3)甲型车不能超过4辆，乙型车不能超过7辆．要同时满足上述三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤910×6x ＋6×8y ≥3600≤x ≤40≤y ≤7，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤95x ＋4y ≥300≤x ≤40≤y ≤7.14.有粮食和石油两种物质，可用轮船与飞机两种方式运输，每天每艘轮船和每架飞机的运输效果如下表：关系的不等式． 【答案】见解析【解析】设需安排x 艘轮船和y 架飞机，则⎩⎪⎨⎪⎧300x ＋150y ≥2 000250 x ＋100 y ≥1 500x ≥0y ≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧6x ＋3y ≥405x ＋2y ≥30x ≥0y ≥0.15．设a >0，b >0且a ≠b ，试比较a a b b与a b b a的大小． 【答案】见解析【解析】 根据同底数幂的运算法则．a a b b a b b a ＝a a －b ·b b －a ＝(a b)a －b，当a >b >0时，ab >1，a －b >0，则(a b)a －b>1，于是a a b b>a b b a . 当b >a >0时，0<a b <1，a －b <0，则(a b)a －b>1，于是a a b b>a b b a.综上所述，对于不相等的正数a 、b ，都有a a b b>a b b a.。
