集合的定义及表示(第1课时)(2018-2019)

（新课标）2018-2019学年度苏教版高中数学必修一§1.1 集合的含义及其表示（1）课后训练【感受理解】1．给出下列命题(其中N 为自然数集) ：①N 中最小的元素是1 ②若a ∈N 则-a ∉N ③ 若a ∈N,b ∈N ，则a+b 的最小值是2（4）x x 212=+的解可表示为}1,1{， 其中正确的命题个数为 . 2．用列举法表示下列集合.①小于12的质数构成的集合；②平方等于本身的数组成的集合；③由||||(,)a b a b R a b+∈所确定的实数的集合； ④抛物线221y x x =-+ (x 为小于5的自然数)上的点组成的集合.3. 若方程x 2-5x+6=0和方程x 2-x-2=0的解为元素的集合为M ，则M 中元素的个数为4．由2,2,4a a -组成一个集合A ，A 中含有3个元素，则a 的取值可以是【思考应用】5．由实数332,,,x x x x --所组成的集合里最多有 个元素.6. 由“,x xy 0,||,x y ”组成的集合是同一个集合，则实数,x y 的值是否确定的？若确定，请求出来，若不确定，说明理由.7．定义集合运算：},),({B y A x y x xy z z B A ∈∈+==Θ，设集合}3,2{},1,0{==B A ，求集合B A Θ.8．关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠，当,,a b c 分别满足什么条件时，解集为空集、含一个元素、含两个元素？9. 已知集合{,}A x x m m Z N Z ==+∈∈.(1)证明：任何整数都是A 的元素；(2)设12,,x x A ∈求证：12,x x A ⋅∈【拓展提高】9.设S 是满足下列两个条件的实数所构成的集合： ①1S ∉，②若a S ∈，则11S a∈-， 请解答下列问题：（1）若2S ∈，则S 中必有另外两个数，求出这两个数；（2）求证：若a S ∈，则11S a-∈ （3）在集合S 中元素能否只有一个？请说明理由；（4）求证：集合S 中至少有三个不同的元素.§1.1集合的含义及其表示（2）课后训练1． 设a ，b ，c 均为非零实数，则x=||||||||a b c abc a b c abc+++的所有值为元素组成集合是________ 2． 集合}9,7,5,3,1{用描述法表示为 .3． 下列语句中，正确的是 .（填序号）（1）0与{0}表示同一个集合；（2）由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，1，2}；（3）方程0)2()1(22=--x x 的所有解的集合可表示为{1，1，2，2} （4）集合}54{<<x x 可以用列举法表示.4．所有被3整除的数用集合表示为 .5．下列集合中表示同一集合的是` （填序号）（1）M={3，2}，N={2，3} （2）M={(3，2)}，N={（2，3）}（3）M={(,)1},{(,)1}x y x y N y x x y +==+= (4) M={1，2}，N={(1,2)}6.下列可以作为方程组⎩⎨⎧-=-=+13y x y x 的解集的是 （填序号） （1）{1,2},x y ==(2){1,2}(3){(1,2)} （4）{(,)12}(5){(,)12}x y x y x y x y ====且或（6）}0)2()1(),{(22=-+-y x y x7．用另一种方法表示下列集合.（1）{绝对值不大于2的整数} （2）{能被3整除，且小于10的正数}（3）}5,{Z x x x x x ∈<=且 （4）*},*,6),{(N y N x y x y x ∈∈=+（5）{5,3,1,1,3--}8．已知{}{}0|,0|22=+-==++=q px x x B q px x x A .当{}2=A 时，求集合B9．用描述法表示图中阴影部分（含边界）的点的坐标集合.10．对于*,N b a ∈,现规定：⎩⎨⎧⨯+=)()(*的奇偶性不同与的奇偶性相同与b a b a b a b a b a ，集合{(,)*36,,*}M a b a b a b N ==∈ （1） 用列举法表示b a ,奇偶性不同时的集合M.（2） 当b a ,奇偶性相同时的集合M 中共有多少个元素？【拓展提高】11 设元素为正整数的集合A 满足“若x A ∈,则10x A -∈”.（1）试写出只有一个元素的集合A ；（2）试写出只有两个元素的集合A ；（3）这样的集合A 至多有多少个元素？（4）满足条件的集合A 共有多少个？§1.2 子集·全集·补集（1）课后训练【感受理解】1． 设M 满足{1，2，3}⊆M ≠⊂{1，2，3，4，5，6}，则集合M 的个数为 2．下列各式中，正确的个数是 ①0={0}；②0∈{0}；③{1}∈{1，2，3}；④{1，2}⊆{1，2，3}；⑤{a ，b}⊆{a ，b}．3．设{|12}A x x =<< ，{|}B x x a =<，若A 是B 的真子集，则a 的取值范围是 .4．若集合A ={1，3，x}，B ={x 2，1}，且B ⊆A ，则满足条件的实数x 的个数为 .5．设集合M ={(x,y)|x+y<0，xy>0}和N ={(x,y)|x<0，y<0}，那么M 与N 的关系为______________．6．集合A ={x|x=a 2-4a+5，a ∈R}，B ={y|y=4b 2+4b+3，b ∈R} 则集合A 与集合B 的关系是________．【思考应用】7.设x ，y ∈R ，B={(x,y)|y-3=x-2}，A={(x,y)|32y x --=1}，则集合A 与B 的关系是_______ ____． 8.已知集合{}{}|21,,|41,,A x x n n Z B x x n n Z ==+∈==±∈则,A B 的关系是 .9．设集合{}{}21,3,,1,,1,A a B a a a ==-+,A B =若则________=a . 10．已知非空集合P 满足：(){}11,2,3,4;P ⊆()2,5a P a P ∈-∈若则，符合上述要求的集合P 有 个.11．已知A={2，4，x 2-5x+9}，B={3，x 2+ax+a}，C={x 2+(a+1)x-3，1}. 求（1）当A={2，3，4}时，求x 的值；（2）使2∈B ，B A ，求x a ,的值；（3）使B= C 的x a ,的值．【拓展提高】12．已知集合{}{},121|,52|-≤≤+=≤≤-=m x m x B x x A 满足,A B ⊆求实数m 的取值范围.⊂ ≠(变式)已知集合{}{}|25,|121,A x x B x m x m =-<<=+<<-满足,A B ⊆求实数m 的取值范围.§1.2 子集·全集·补集（2）课后训练【感受理解】1．设集合{}{},,3|,,4|22R b b y y B R a a x x A ∈+-==∈+-==则A ，B 间的关系为 . 2若U={x|x 是三角形}，P={x|x 是直角三角形}则U C P = . 3已知全集+=R U ，集合{}|015,,A x x x R =<-≤∈则_______.U C A = 4．已知全集}{非零整数=U ，集合}},42{U x x x A ∈>+=，则=A C U .5．设},61{},,5{N x x x B N x x x A ∈<<=∈≤=，则=B C A .【思考应用】6．设全集U={1，2，3，4，5}，M={1，4}，则U C M 的所有子集的个数是 .7．已知全集},21{*N n x x U n ∈==，集合}*,21{2N n x x A n∈==，则=A C U .8．已知A A y ax y x A Z a ∉-∈≤-=∈)4,1(,)1,2(}3),{(,且，则满足条件a 的值为 .9．设U=R ，}1{},31{+≤≤=≥≤=m x m x B x x x P 或，记所有满足P C B U ⊆的m 组成的集合为M ，求M C U .10.（1）设全集{}{},1|,1|,+>=≤==a x x B x x A R U 且U C A B ⊆，求a 的范围.（2）已知全集{}{}{}22,3,23,2,,5,U U a a A b C A =+-==求实数b a 和的值.【拓展提高】10．已知全集}5{的自然数不大于=U ，集合}1,0{=A ，}1{<∈=x A x x B 且，}1{U x A x x C ∈∉-=且．（1）求U B ，U C ．（2）若}{A x x D ∈=，说明D B A ,,的关系.§1.3 交集·并集（1）课后训练【感受理解】1．设全集{1,2,3,4,5},{1,3,5},{2,4,5}U A B ===,则()()U U C A C B = . 2．设集合{|5,},{|1,}A x x x N B x x x N =≤∈=>∈，那么AB = . 3．若集合22{|21,},{|21,}P y y x x x N Q y y x x x N ==+-∈==-+-∈，则下列各式中正确的是 .(1);(2){0};(3){1};(4)P Q P Q P Q P Q N =∅==-=4．已知集合A={x|-5<x<5}，B={x|-7<x<a}，C={x|b<x<2}，且A ∩B=C ，则 a ，b 的值分别为 .【思考应用】5．设全集U={1，2，3，4}，A 与B 是U 的子集，若A ∩B ＝{1，3 }，则称(A,B)为一个“理想配集”.（若A ＝B ，规定(A,B)＝(B, A)；若A ≠B ，规定(A,B)与(B, A)是两个不同的“理想配集”）.那么符合此条件的“理想配集”的个数是 .6．记{}{},361T ,的三角形，至少有一内角为至少有一边为等腰三角形。

集合的概念及表示
嘿，朋友！今天咱就来讲讲“集合的概念及表示”。

集合呀，就好比是一个大口袋，里面装着一堆有某种共同特征的东西。

比如说，咱班喜欢打篮球的同学，这就是一个集合！（咱班那几个篮球迷不就都在这个集合里啦。

）
集合是有它自己的表示方法的哟！可以用列举法，把集合里的元素一个一个地列出来，就像把口袋里的东西都倒出来给你看看一样。

比如说那些质数组成的集合，就可以写成｛2，3，5，7，11……｝。

（这不就很清楚了嘛！）
还有描述法呢，通过描述元素具有的特征来表示集合。

比如大于 10 的偶数组成的集合，就可以表示成｛xx>10 且 x 是偶数｝。

（哎呀，是不是
很巧妙呀！）
你想想，生活中不是到处都有集合的影子吗？像你喜欢的那些歌曲，不也能组成个集合嘛！（你的歌单不就是一个生动的集合例子嘛。

）总之，集合真的是超级有趣又超级有用的东西呢！你难道不这么觉得吗？。

1.1集合的概念及表示【知识储备】1．集合的概念(1)含义：一般地，我们把所研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)．(2)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，即这两个集合中的元素完全相同，就称这两个集合相等．[知识点拨]集合中的元素必须满足如下性质：(1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属于或不属于这个集合是确定的，要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一．(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．(3)无序性：集合中的元素是没有顺序的，比如集合{1,2,3}与{2,3,1}表示同一集合．2．元素与集合的关系关系概念记法读法属于如果a是集合A中的元素，就说a属于集合Aa∈A a属于集合A不属于如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合Aa∉A a不属于集合A[知识点拨]符号“∈”和“∉”只能用于元素与集合之间，并且这两个符号的左边是元素，右边是集合，具有方向性，左右两边不能互换．3．集合的表示法(1)自然语言表示法：用文字语言形式来表示集合的方法．例如：小于3的实数组成的集合．(2)字母表示法：用一个大写拉丁字母表示集合，如A，B，C等，用小写拉丁字母表示元素，如a，b，c等．常用数集的表示：名称非负整数集(自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号N N*或N＋Z Q R(3)列举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．(4)描述法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.这种用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法．【题型精讲】【题型一集合概念的理解】必备技巧判断一组对象是否能构成集合的三个依据判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合．同时还要注意集合中元素的互异性、无序性．例1下列对象中不能构成一个集合的是（）A．某校比较出名的教师B．方程−2=0的根C．不小于3的自然数D．所有锐角三角形例2（多选）下列各组对象能构成集合的是（）A．拥有手机的人B．2024年高考数学难题C．所有有理数D．小于π的正整数【题型精练】1.给出下列说法：①在一个集合中可以找到两个相同的元素；②好听的歌能组成一个集合；③高一（1）班所有姓氏能构成集合；④把1，2，3三个数排列，共有6种情况，因此由这三个数组成的集合有6个.其中正确的个数为（）A．0B．1C．2D．32．下列各组对象中能构成集合的是（）A．充分接近的实数的全体B．数学成绩比较好的同学C．小于20的所有自然数D．未来世界的高科技产品【题型二用列举法表示集合】例3用列举法表示下列集合(1)11以内非负偶数的集合；(2)方程(+1)(2−4)=0的所有实数根组成的集合；(3)一次函数=2与=+1的图象的交点组成的集合．【题型精练】1.用列举法表示下列给定的集合：(1)大于1且小于6的整数组成的集合A；(2)方程2−9=0的实数根组成的集合B；(3)一次函数=+2与=−2+5的图象的交点组成的集合C.2.用列举法表示下列集合．(1)不大于10的非负偶数组成的集合A；(2)小于8的质数组成的集合B；(3)方程22−−3=0的实数根组成的集合C；(4)一次函数=+3与=−2+6的图象的交点组成的集合D．【题型三用描述法表示集合】必备技巧利用描述法表示集合的关注点(1)写清楚该集合代表元素的符号．(2)所有描述的内容都要写在花括号内．(3)在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写．例4用适当的方法表示下列集合：（1）方程组2314,328x y x y -=⎧⎨+=⎩的解集；（2）方程2210x x -+=的实数根组成的集合；（3）平面直角坐标系内所有第二象限的点组成的集合；（4）二次函数2210y x x =+-的图象上所有的点组成的集合；（5）二次函数2210y x x =+-的图象上所有点的纵坐标组成的集合.【题型精练】1．用描述法表示下列集合：(1)不等式3+2>5的解集；(2)平面直角坐标系中第二象限的点组成的集合；(3)二次函数=2−2+3图象上的点组成的集合．(4)平面直角坐标系中第四象限内的点组成的集合；(5)集合1,12,13,14(6)所有被3整除的整数组成的集合；(7)方程2++1=0的所有实数解组成的集合.2.试说明下列集合各表示什么？1|A y yx ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭；{|B x y ==；()1,|C x y y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭(),|13y D x y x ⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭；{}0,1E x y ===；{}1,1F x y x y =+=-=-.【题型四元素与集合的关系】必备技巧判断元素和集合关系的两种方法(1)直接法：集合中的元素是直接给出的．(2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．例5用符号“∈”或“∉”填空：（1）0______∅；（2）2-_______2{|5}x x <；（3）(2,3)_______{(,)|23}x y x y +=；（4）2017_______{|41,}x x n n =-∈Z .例6（吉林长春市期中）已知集合M=6*,5a N a ⎧∈⎨-⎩且}a Z ∈，则M 等于（）A ．{2，3}B ．{1，2，3，4}C ．{1，2，3，6}D ．{1-，2，3，4}【题型精练】1．（多选）（浙江高一期末）若集合{}22|,,A x x m n m n ==+∈Z ，则（）A ．1A∈B ．2A∈C ．3A∈D ．4A∈2.已知集合{},M m m a a b Q ==+∈,则下列四个元素中属于M 的元素的个数是（）①1+;;A ．4B ．3C ．2D ．1【题型五确定集合中的元素】必备技巧确定集合中的元素（1）充分理解集合的描述法，（2）注意检验元素互异性.例7（1）（山东济南高一期末）已知集合(){},2,,A x y x y x y N =+≤∈，则A 中元素的个数为（）A ．1B ．5C ．6D ．无数个（2）集合*12|x N Z x ⎧⎫∈∈⎨⎬⎩⎭中含有的元素个数为（）A ．4B ．6C ．8D ．12例8（1）（江苏苏州市期中）设集合{123}{45}}A C x B y x A y B ===+∈∈，，，，，，，则C 中元素的个数为（）A ．3B ．4C ．5D ．6（2）（江苏南通市月考）已知集合(){},2,,A x y x y x Z y Z =+≤∈∈，则A 中元素的个数为（）A ．9B ．10C ．12D ．13（3）（黑龙江大庆市期中）由实数2,,|,x x x -所组成的集合，最多可含有（）个元素A ．2B ．3C ．4D ．51．若集合()(){}326A x N x x =∈--<，则A 中的元素个数为（）A ．3B ．4C ．5D ．62.若集合{}0123A =，，，，()}{,,B x y x A y A x y A =∈∈-∈，，则B 中所含元素的个数为（）A ．4B ．6C ．7D ．103.（青海高一月考）已知集合{1,2,3,4,5}A ={},(,),,B x y x A y A x y A =∈∈-∈,则B 中所含元素的个数为（）A ．3B ．6C ．8D ．10【题型六元素特性中的求参问题】必备技巧利用集合中元素的确定性、互异性求参数的策略及注意点(1)策略：根据集合中元素的确定性，可以解出参数的所有可能值，再根据集合中元素的互异性对求得的参数值进行检验．(2)注意点：利用集合中元素的互异性解题时，要注意分类讨论思想的应用．例9（上海市进才中学高一期末）已知集合22{2,(1),33}Aa a a =+++，且1A∈，则实数a 的值为________．例10（山东济南月考）已知集合{}2210,A x ax x a R =++=∈．（1）若A 中只有一个元素，求a 的值；（2）若A 中至少有一个元素，求a 的取值范围；（3）若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围.1．（吴起高级中学高一月考）若{}22111a a ∈++，，，则a =（）A ．2B ．1或－1C ．1D ．－12.已知{}222,(1),33A a a a a =++++，若1A∈，则实数a 构成的集合B 的元素个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．33.（云南丽江市期末）若集合2{|210}A x kx x =++=中有且仅有一个元素，则k 的值为___________.。

集合的概念详细讲解集合是数学中的一个基本概念，它指的是由多个元素组成的一个整体。

集合中的元素可以是任何类型，例如整数、实数、字符串、对象等等。

集合的概念在数学中有着广泛的应用，例如在集合论、函数论、代数、拓扑学等学科中都有重要的应用。

一、集合的定义集合的定义通常是指在一个特定的范围内，由一个或多个元素组成的整体。

集合中的元素可以是任何类型，例如整数、实数、字符串、对象等等。

在数学中，我们通常用大写字母来表示集合，例如A、B、C等等。

二、集合的表示集合的表示通常有两种方式：列举法和描述法。

列举法是将集合中的所有元素一一列举出来，例如{1, 2, 3}表示一个包含三个整数的集合。

描述法是用一个数学表达式来描述集合中的元素，例如{x|x^2+1=0}表示一个包含所有满足方程x^2+1=0的实数的集合。

三、集合的性质集合具有以下性质：1.确定性：一个元素要么属于某个集合，要么不属于某个集合，不存在第三种情况。

2.互异性：集合中的元素互不相同，即集合中没有重复的元素。

3.无序性：集合中的元素没有固定的顺序，即任意两个元素可以交换位置而不改变集合本身。

4.封闭性：如果一个新元素与集合中的某个元素相等，则该新元素也属于该集合。

5.空集存在性：没有任何元素的集合称为空集，空集是任何非空集合的真子集。

6.反身性：任何非空集合是其本身的子集。

7.幂等律：若一集合有n个元素，则其幂集（所有子集的集合）的元素个数为2^n个。

8.互补律：若一集合有n个元素，则其补集（不属于该集合的元素组成的子集）的元素个数为(n-1)个。

9.子集基数量定律：任何一个集合都必须包含它自身作为子集，并且至多包含两个其他不同的子集（空集和全集）。

10.子集完全互补定律：任何一个集合都必须包含它的所有子集作为元素的并集，并且至多包含两个其他不同的子集（空集和全集）。

11.互补完全性定律：任何一个集合都必须包含它的所有补集作为元素的并集，并且至多包含两个其他不同的子集（空集和全集）。

集合的含义与表示 1.1.1集合的概念知识点一元素与集合的概念，…表示．，b，c(1)把研究对象统称为元素，通常用小写拉丁字母a，…表示．B，C把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，通常用大写拉丁字母A，(2)元素与集合的关系知识点二1 是整数吗？有没有这样一个数，它既是整数，又不是整数？1是整数吗？思考21 1是整数；不是整数．没有．答案 2. ∈、?梳理元素与集合的关系有且只有两种，分别为属于、不属于，数学符号分别为知识点三元素的三个特性厘米的男生某班所有的“帅哥”能否构成一个界限清楚的群体？某班身高高于175思考呢？某班所有的“帅哥”不能构成界限清楚的群体，因“帅哥”无明确的标准，难以判定答案厘米的男生能构成一个界限清楚的群体，该班某男生是否属于“帅哥”这一群体．高于175 因为标准确定．元素的三个特性是指确定性、互异性、无序性．梳理常用数集及表示符号知识点四实数集正整数集自然数集名称有理数集整数集*N或N符号RN Q Z＋) .((1,2)∈A√，则点＋．1y＝x1上所有点构成集合A*).(但．20∈NN0?√) k3．由形如2－1，其中×.(－4A的数组成集合，则k1?Ak∈Z类型一判断给定的对象能否构成集合例考察下列每组对象能否构成一个集合．12 (2)不超过20的非负数；方程在实数范围内的解；＝0x－9(1) (4)(3)某班的所有高个子同学；3的近似值的全体．“(1)解对任意一个实数能判断出是不是不超过，所以能构成集合；”20的非负数(2)能构成集合；无明确的标准，对于某个人算不算高个子无法客观地判断，因此不能构成一个(3)“”高个子集合；是不是它的近似值，”2“因此很难判断一个数如不明确精确到什么程度，”的近似值3“(4)．所以不能构成集合．) 跟踪训练1下列各组对象可以组成集合的是(．数学必修1课本中所有的难题B．小于8的所有素数A C．平面直角坐标系内第一象限的一些点D．所有小的正数无明确能构成集合；C中“一些点”解析A中“难题”的标准不确定，不能构成集合；B平面直角坐标系内第一象限的一的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“B ”不能构成集合；D答案中没有明确的标准，所以不能构成集合．些点元素与集合的关系类型二判定元素与集合的关系命题角度11 ，Q；⑤0?；④；③|－3|?N|N－3|2例给出下列关系：①∈R∈；②2?Q24 ．C．3 D()A．1 B．2 其中正确的个数为1 对；对；2不是有理数，②解析是实数，① 2 错；是无理数，－3|④＝|－3|＝3是自然数，③错；|3B.错．故选是自然数，⑤0 ”填空．“∈”或“?2用符号跟踪训练－2________R；－3________Q；－1________N；π________Z.答案∈∈??命题角度2根据已知的元素与集合的关系推理6例3集合A中的元素x满足∈N，x∈N，则集合A中的元素为________．x3－6解析∵x∈N，∈N，∴0≤x≤2且x∈N.x3－6666当x＝0时，＝＝2∈N；当x＝1时，＝＝3∈N；31－xx3－33－66当x＝2时，＝＝6∈N.∴A中元素为0,1,2.答案0,1,223x3－－反思与感悟判断元素和集合关系的两种方法(1)直接法①使用前提：集合中的元素是直接给出的．②判断方法：首先明确集合是由哪些元素构成，然后再判断该元素在已知集合中是否出现．(2)推理法①使用前提：对于某些不便直接表示的集合．②判断方法：首先明确已知集合的元素具有什么特征，然后判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征．跟踪训练3已知集合A中元素满足2x＋a>0，a∈R，若1?A，2∈A，则()A．a>－4 B．a≤－2 C．－4<a<－2 D．－4<a≤－22.－≤a4<－∴，4－>a，>0a＋2×2∴，A∈2∵又2－≤a，0≤a＋1×2∴，A?1∵解析．类型三元素的三个特性的应用2＋1，集合B也有三个元素：0,1，xa－3,2a－1，a. 例4已知集合A有三个元素：2∈B，求实数x的值；(3)是否存在实数ax，x，使A＝B. (1)若－3∈A，求a的值；(2)若2＋1≥1，可知a－3＝－3或2a－1解(1)由－3∈A且a＝－3，当a－3＝－3时，a＝0；当2a－1＝－3时，a＝－1.经检验，0与－1都符合要求．∴a＝0或－1.2∈B，但考虑到集合元素的互异性，x≠0，x≠1，故x＝－(2)当x＝0,1，－1时，都有x1.2＋1≠0.由集合元素的无序性，只可能a－3＝0或2(3)显然aa－1＝0.2＋1}＝{0,5,10}≠－1，aB. ，0，则a＝3A＝{a－3,2a若a－3＝551??20，－，≠Ba.＋1}＝，A＝{a－3,2a－1，1若2a－＝0，则a＝??422??故不存在这样的实数a，x，使A ＝B.反思与感悟元素的无序性主要体现在：①给出元素属于某集合，则它可能等于集合中的任一元素；②给出两集合相等，则其中的元素不一定按顺序对应相等．元素的互异性主要体现在求出参数后要代入检验，同一集合中的元素要互不相等．2，且b2，N中含有三个元素：2a,，已知集合M中含有三个元素：2，ab，集合跟踪训练4M＝N，求a，b的值．解方法一根据集合中元素的互异性，1?，＝a24，0aa＝2a，a＝b，a＝0，＝?????????有或解得或或????210＝b，b＝2ab＝1b＝b?????????.b＝21?，＝a4，＝0a???再根据集合中元素的互异性，得或?11b＝???.b＝22，ba＋a＋b＝2??∴∵两个集合相等，则其中的对应元素相同．方法二?2，b＝2a·ba·??①ba＋b?－1?＝0，??即?②1－?＝0，ab·?2b??∵集合中的元素互异，∴a，b不能同时为零．1当b≠0时，由②得a＝0或b＝.2当a＝0时，由①得b＝1或b＝0(舍去)．11当b＝时，由①得a＝.当b＝0时，a＝0(舍去)．42．1?，＝a4，a＝0???或∴?11b＝???.＝b 21．下列给出的对象中，能组成集合的是()A．一切很大的数B．好心人C．漂亮的小女孩D．清华大学2018年入学的全体学生答案 D2．下面说法正确的是()**中的数都在Z中B．所有不在NN中的元素都在N中．所有在AC．所有不在Q中的实数都在R中D．方程4x＝－8的解既在N中又在Z中答案 C3．由“book”中的字母构成的集合中元素个数为________．答案34．下列结论不正确的是________．(填序号)1①0∈N; ②∈Q; ③0?Q; ④－1∈Z.答案③32－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，求实数．已知集合A是由0，m，mm的值．522－3m＋2＝02∈A可知：若m＝，则m，这m 解由元素互异性知m≠0，0.－3m＋2≠由222－3m＋2＝2，则m＝0或mm3－m＋2≠0相矛盾；若m＝3，与当m＝0时，与m≠0相矛盾，当m＝3时，此时集合A中的元素为0,3,2，符合题意．故实数m＝2.)(或标准或标准)，依此特征1．考察对象能否构成一个集合，就是要看是否有一个确定的特征( 就不能构成集合．如果没有，能确定任何一个个体是否属于这个总体，如果有，能构成集合，. Aa?之间只有两种关系：Aa∈A，．元素2a与集合3．集合中元素的三个特性确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元(1)素属不属于这个集合是确定的．要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否构成集合．互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素(2) 都是不同的．组成的集，ac，与由元素，，无序性：集合与其中元素的排列顺序无关，如由元素(3)abcb 合是相等的集合．这个性质通常用来判断两个集合的关系．一、选择题．) 1．已知集合A由x<1的数构成，则有( ?A．0∈A D．－1BA．3∈A ．1∈A C 1满足不等式．C解析很明显3,1不满足不等式，而0，－答案) 中只有一个元素a(a≠0)，则(2．集合A Aa∈A D．a?A．0∈A B．a＝A C．错．0，∴0?A，选项A解析∵A中只有一个元素a且a≠C. A∵a为元素，为集合，故B错误．由已知选)3．下列结论中，不正确的是(32a D．若a∈R，则a Z∈C．若a∈Q，则|a|∈Q N A．若a∈，则－a?N B．若a∈Z，则R∈. ，－不对．反例：0∈N0∈N解析Ayx)＋的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是(4．已知x，y为非零实数，代数式|||xy| D．2∈MB．1∈M C．－2?M ?A．0Myxyx的代数式＋，y为一正一负时，x当，y为正数时，代数式＋的值为2；②当x解析①|y|x|||y|||xyx ，＋的值为－2值为0；③当x，y均为负数时，代数式||||xyD.，故选3个：－2,0,2所以集合M中的元素共有) (a，b，c是△ABC的三边长，那么△ABC一定不是5．已知集合S中三个元素D．等腰三角形A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D答案解析由元素的互异性知a，b，c均不相等．) －1，k∈Z，则下列表示正确的是(中元素满足6．已知Ax＝3k2 AA D．－34CB．－11∈A ．3k?－1∈A．－1?A∴－1∈A；，令3k－1＝－1，解得k＝0∈Z解析1022；1∴k∈∈Z，∴3kA－Z k令3k－1＝－11，解得＝－－?Z，∴11?A；∵k∈，3C 答案，11∈Z∴－34∈A.＝－令3k－134，解得k＝－332) ，－(xx|7．由实数x，－x，x|所组成的集合，最多含，个元素个元素D．54．A．2个元素B3个元素C．332之中总有两个相等，所以最多含|x，|，－xxx＝－，并且x，－±|解析由于x|＝xx，x＝||A2个元素．答案＋3，则(2＝) ，．由不超过85的实数组成集合Aa12∈A C.?A aB ∈．AaA ．D．a＋1?A a.Aa＋11<4∈＋4＋1＝5，解析a∴＝2a＋＋3<4＋4＝4<5，∴a∈A.2－31122222－?A.＝3＋＝(3)＝＝5＋3a2＝6>5.(2)∴＋a22·a?2??3＋3－?2＋32<5.1A. 故选∈A.∴ a ．9．下列所给关系正确的个数是________**D.∈/N；④|－4|π∈R；②3D∈N/Q；③0∈①不正③④是正整数，∴①②正确，不是正整数，|－4|＝4解析∵π是实数，3是无理数，02.确，正确的个数为2．x的取值范围是，x________－x，则实数10．如果有一集合含有三个元素：1，x51±22－x≠x，解得x≠0,1,21，，x.－x≠1，x解析由集合元素的互异性可得x≠2b2，a＋b,B中含有a0三个元素，∈R，集合A中含有a，，1三个元素，集合11．已知a，b a若A＝B，则a＋b＝____.b2,0}．{a，a0，则b＝0.∴B＝0＝B,0∈B，∴0∈A.又a≠，∴＝∵解析A a2＝1，a＝－1或1(舍)．由元素的互异性知，a＝－1，a≠1，∴a，∴a＋b＝－1. B∵1∈2＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A，求实数a的值．12．已知集合A是由a－2,2a32＋5a，∴a＝－1或a＝a－2或－3＝2a＝－.∈解由－3A，可得－322＋5a＝－3，不满足集合中元素的互异性，故a＝－a－2＝－3,2a1舍去．时，当a＝－13732＋5a＝－3，满足题意．2a∴实数a的值为－.＝－当a＝－时，a－2，222四、探究与拓展13．已知集合A中有3个元素a，b，c，其中任意2个不同元素的和的集合中的元素是1,2,3.则集合A中的任意2个不同元素的差的绝对值的集合中的元素是________．，11＝，a＝a＋b??????，＝b02b＋c＝，解得解析由题意知????，2，c＝3ac＋＝∴集合A＝{0,1,2}，则集合A中的任意2个不同元素的差的绝对值分别是1,2.故集合A中的任意2个不同元素的差的绝对值的集合是{1,2}．。