圆周卷积与周期卷积、线性卷积的关系与计算

信号分析与处理答案第二版HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】第二章习题参考解答求下列系统的阶跃响应和冲激响应。

(1)解当激励为时，响应为，即：由于方程简单，可利用迭代法求解：，，…，由此可归纳出的表达式：利用阶跃响应和冲激响应的关系，可以求得阶跃响应：(2)解 (a)求冲激响应，当时，。

特征方程，解得特征根为。

所以：…(2.1.2.1)通过原方程迭代知，，，代入式(2.1.2.1)中得：解得，代入式(2.1.2.1)：…(2.1.2.2)可验证满足式(2.1.2.2)，所以：(b)求阶跃响应通解为特解形式为，，代入原方程有，即完全解为通过原方程迭代之，，由此可得解得，。

所以阶跃响应为：(3)解(4)解当t>0时，原方程变为：。

…(2.1.3.1)…(2.1.3.2)将(2.1.3.1)、式代入原方程，比较两边的系数得：阶跃响应：求下列离散序列的卷积和。

(1)解用表格法求解(2)解用表格法求解(3)和如题图2.2.3所示解用表格法求解(4)解(5)解(6)解参见右图。

当时：当时：当时：当时：当时：(7) ，解参见右图：当时：当时：当时：当时：当时：(8) ，解参见右图当时：当时：当时：当时：(9) ，解(10)，解或写作：求下列连续信号的卷积。

(1) ，解参见右图：当时：当时：当时：当时：当时：当时：(2) 和如图2.3.2所示解当时：当时：当时：当时：当时：(3) ，解(4) ，解(5) ，解参见右图。

当时：当时：当时：当时：(6) ，解(7) ，解(8) ，解(9) ，解试求题图示系统的总冲激响应表达式。

解已知系统的微分方程及初始状态如下，试求系统的零输入响应。

(1) ；解，，(2) ；，解，，，，可定出(3) ；，解，，，可定出某一阶电路如题图所示，电路达到稳定状态后，开关S 于时闭合，试求输出响应。

解由于电容器二端的电压在ｔ＝０时不会发生突变，所以。

数字信号处理简答题 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】1.一般模拟信号的D F T过程连续时间信号的傅里叶变换所得信号的频谱函数是模拟角频率Ω的连续函数；而对连续时间信号进行时域采样所得序列的频谱是数字角频率ω的连续函数。

而将采样序列截断为有限长序列后做离散傅里叶变换是对被截断后序列频谱函数的等间隔采样。

由于DFT是一种时域和频域都离散化了的变换，因此适合做数值运算，成为分析信号与系统的有力工具。

但是，用DFT对连续时间信号做频谱分析的过程中，做了两步工作，第一是采样；第二是截断。

因此，最后所得到的离散频谱函数和原连续信号的连续频谱肯定存在误差。

下面我们就来分析这些误差究竟产生在哪些地方。

首先由傅里叶变换的理论可知，对于模拟信号来说，若信号持续时间有限长，则其频谱无限宽；若信号的频谱有限宽，则其持续时间无限长。

所以严格来讲，持续时间有限的带限信号是不存在的。

实际中，对频谱很宽的信号，为防止时域采样后产生频谱混叠，先用采样预滤波的方法滤除高频分量。

那么必然会导致滤波后的信号持续时间无限长。

设前置滤波器的输出信号为xa (t)，其频谱函数Xa(jΩ)，它们都是连续函数，其中xa (t)为无限长，而Xa(jΩ)为有限长。

首先对该信号作时域采样，采样周期为T，将得到离散的无限长的序列x(nT)。

由于习惯上描述序列的频谱时用ω作为频率变量，因此必须探寻x(n)的频谱X(e jω)与xa (t)的频谱Xa(jΩ)之间的关?系。

理论上已推得，X(e jω)就是Xa(jΩ)以2π/T的周期延拓后再将频率轴Ω作T倍的伸缩后得到的图形再乘以一个常数1/T得到。

也就是X(e jω)= X(e jΩT)=1/T*∑Xa[j(Ω-k*2π/T)]这一个过程中，只要采样频率足够大，即T足够小，理论上是可以保证无混叠的，也就是能由序列的频谱X(e jω)完全恢复模拟信?号的频谱Xa(jΩ)。

电子信息与自动化学院《数字信号处理》实验报告学号： 姓名：实验名称： 实验四 有限长序列的线性卷积、圆周卷积及分段卷积一、 实验目的(1) 在理论学习的基础上，通过本实验，加深对线性卷积、圆周卷积、分段卷积的理解；(2) 掌握计算线性卷积、圆周卷积、分段卷积的方法；(3) 体会有限长序列卷积运算的关系；二、 实验原理1、有限长序列卷积有两种形式：线性卷积和圆周卷积然而现实中要解决的实际问题是要计算两个有限长序列的线性卷积，如信号通过线性系统，系统的输出 y(n)是输入信号 x(n)与系统抽样响应 h(n)的线性卷积：y(n)=x(n)*h(n)。

设n x 1和n x 2是两个长度分别为 M 和 N 的有限长序列，则其线性卷积为)(*)()(211n x n x n y =。

)(1n y 是一个长度为 L1=N+M-1 点的有限长序列．将n x 1和n x 2均补零成 L 点的有限长序列，其中 L ≥max(M,N),则其 L 点的圆周卷积为)(]))(()([)()()(1021212n R m n x m x n x n x n y L L m L ∑-=-=⊗=，现在讨论)(1n y 和)(2n y 的关系。

显然]∑∑∑∑∑∑∑∑∞-∞=∞-∞=∞∞=-=-=∞-∞=-=-=+=+=+-=+-=-=-=r r L r M m L M m L r L M m L L L m L rL n y n R rL n x n xn R rL m n x n R rL m n x m x n R m n x m x n R m n x m x n y )([)()](*)([)()()()()()(]))(()([)(]))(()([)(121102102112110212由此可见，L 点的圆周卷积)(2n y 是线性卷积)(2n y 以 L 为周期，进行周期延拓后在区间 0 到 L-1 范围内所取的主值序列。

实验三线性卷积与圆周卷积的计算一、 实验目的1、掌握计算机的使用方法和常用系统软件与应用软件的使用。

2、通过编程，上机调试程序，进一步增强使用计算机解决问题的能力。

3、掌握线性卷积与循环卷积软件实现的方法，并验证二者之间的关系。

二、实验原理1、线性卷积：线性时不变系统（Linear Time-Invariant System, or L. T. I 系统）输入、输出间的关系为：当系统输入序列为)(n x ，系统的单位脉冲响应为)(n h ，输出序列为)(n y ，则系统输出为：∑∞-∞==-=m n h n x m n h m x n y )(*)()()()(或∑+∞-∞==-=m n x n h m n x m h n y )(*)()()()(上式称为离散卷积或线性卷积。

图1.1示出线性时不变系统的输入、输出关系。

)(n δ→ L. T. I —→)(n h —→—→图1.1 线性时不变系统的输入、输出关系2、圆周卷积设两个有限长序列)(1n x 和)(2n x ，均为N 点长)(1n x )(1k X )(2n x )(2k X如果)()()(213k X k X k X ⋅=)(n x 0L. T. I∑+∞-∞=-=m m n h m x n y )()()(D F T D F T则)()(~)(~)(10213n R m n x m x n x N N m ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=∑-=[]∑---=1021)()(N m N m n x m x)(1n x =N 10)(2-≤≤N n n x上式称为圆周卷积。

注：)(~1n x 为)(1n x 序列的周期化序列；)()(~1n R n x N 为)(~1n x 的主值序列。

上机编程计算时，)(3n x 可表示如下：∑∑-+==-++-=11210213)()()()()(N n m nm m n N xm x m n x m x n x3、两个有限长序列的线性卷积序列)(1n x 为L 点长，序列)(2n x 为P 点长，)(3n x 为这两个序列的线性卷积，则)(3n x 为∑+∞-∞=-=m m n xm x n x )()()(213且线性卷积)(3n x 的最大长1-+P L ，也就是说当1-≤n 和1-+≥P L n 时0)(3=n x 。

数字信号处理实验报告实验二：卷积定理班级：10051041姓名：学号：10051041一、实验目的通过本实验，验证卷积定理，掌握利用DFT和FFT计算线性卷积的方法。

二、实验原理时域圆周卷积在频域上相当于两序列DFT的相乘，因而可以采用FFT的算法来计算圆周卷积，当满足121L N N≥+-时，线性卷积等于圆周卷积，因此可利用FFT计算线性卷积。

三、实验内容和步骤1．给定离散信号()x n和()h n，用图解法求出两者的线性卷积和圆周卷积；2．编写程序计算线性卷积和圆周卷积；3．比较不同列长时的圆周卷积与线性卷积的结果，分析原因。

四、实验设备计算机、Matlab软件五、实验报告要求1．整理好经过运行并证明是正确的程序，并且加上详细的注释。

2．给出笔算和机算结果对照表，比较不同列长时的圆周卷积与线性卷积的结果对照，作出原因分析报告。

3．给出用DFT计算线性卷积的方法。

六、实验结果与分析X=[0 0.5 1 1.5]Y=[1 1 1]笔算结果线性卷积：[0 0.5 1.5 3 2.5 1.5 0]圆周卷积：N=10 时[0 0.5 1.5 3 2.5 1.5 0 0 0 0 ]N=5 [1.5 0.5 1.5 3 2.5]机算结果线性卷积：[0 0.5 1.5 3 2.5 1.5 0]圆周卷积：N=10 时[0 0.5 1.5 3 2.5 1.5 0 0 0 0 ]N=5 [1.5 0.5 1.5 3 2.5]原因分析：循环卷积是线性卷积以L为周期的周期延拓序列的主值序列。

由于线性卷积的长度是N1+N2-1,所以只有当121L N N≥+-时，线性卷积以L为周期进行周期延拓时才不会发生混叠，周期序列的主值序列才等于线性卷积，即L点循环卷积代替线性卷积的条件是121L N N≥+-。

具体计算结果图示如下程序：用DFT 计算线性卷积的方法：七、实验体会通过本次实验，验证了卷积定理，熟悉了线性卷积与圆周卷积的计算方法，并验证了两者之间的关系。

信号、系统与信号处理实验Ⅱ实验报告实验名称：线性卷积与圆周卷积的计算一、实验目的1、通过编程，上机调试程序，进一步增强使用计算机解决问题的能力。

2、掌握线性卷积与圆周卷积软件实现的方法，并验证两者之间的关系。

二、实验内容与要求已知两个有限长序列：x(n)= δ(n)+2δ(n-1)+3δ(n-2)+4δ(n-3)+5δ(n-4)；h(n)= δ(n)+2δ(n-1)+δ(n-2)+2δ(n-3)1.编制一个计算两个线性卷积的通用程序，计算x(n)*h(n)。

2.编制一个计算圆周卷积的通用程序，计算上述4种情况下两个序列x(n)与h(n)的圆周卷积。

3.上机调试并打印或记录实验结果。

4.将实验结果与预先笔算的结果比较，验证真确性。

三、实验程序与结果1、计算两个线性卷积的通用程序，计算x(n)*h(n)。

xn=[1 2 3 4 5]hn=[1 2 1 2]N=length(xn);M=length(hn);L=N+M-1;for(n=1:L)y(n)=0;for(m=1:M)k=n-m+1;if(k>=1&k<=N)y(n)=y(n)+hn(m)*xn(k);endendendy=conv(xn,hn);ny=0:L-1;stem(ny,y) ;xlabel('n ');ylabel('y(n) ');figurestem(ny,yn) ;xlabel('n ');ylabel('y ');根据定义编写循环实现线性卷积结果：01234567n y (n )Conv 函数实现线性卷积结果：01234567n y2. 计算圆周卷积的通用程序，计算上述4种情况下两个序列x(n)与h(n)的圆周卷积。

主程序：clear allN=[5 6 9 10];xn=[1 2 3 4 5];hn=[1 2 1 2];yc1=circonv(xn,hn,N(1))yc2=circonv(xn,hn,N(2))yc3=circonv(xn,hn,N(3))yc4=circonv(xn,hn,N(4))figurestem(0:N(1)-1,yc1);xlabel('时间序号n');ylabel('信号幅度');title('5点圆周卷积');figurestem(0:N(2)-1,yc2);xlabel('时间序号n');ylabel('信号幅度');title('6点圆周卷积');figurestem(0:N(3)-1,yc3);xlabel('时间序号n');ylabel('信号幅度');title('9点圆周卷积');figurestem(0:N(4)-1,yc4);xlabel('时间序号n');ylabel('信号幅度');title('10点圆周卷积');定义函数：function yc=circonv(x1,x2,N)if length(x1)>Nerror('N必须大于等于x1的长度'); endif length(x2)>Nerror('N必须大于等于x2的长度'); endx1=[x1,zeros(1,N-length(x1))];x2=[x2,zeros(1,N-length(x2))];n=[0:N-1];x2=x2(mod(-n,N)+1);H=zeros(N,N);for n=1:1:NH(n,:)=cirshiftd(x2,n-1,N);yc=x1*H';function y=cirshiftd(x,m,N)if length(x)>Nerror('x 的长度必须小于N');endx=[x,zeros(1,N-length(x))];n=[0:1:N-1];y=x(mod(n-m,N)+1);时间序号n 信号幅度5点圆周卷积00.51 1.52 2.533.54 4.55时间序号n 信号幅度时间序号n 信号幅度时间序号n 信号幅度四、仿真结果分析编写的线性卷积程序和conv 函数的结果相同，也与笔算结果相同。

信号分析与处理答案第二版HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】第二章习题参考解答求下列系统的阶跃响应和冲激响应。

(1)解当激励为时，响应为，即：由于方程简单，可利用迭代法求解：，，…，由此可归纳出的表达式：利用阶跃响应和冲激响应的关系，可以求得阶跃响应：(2)解 (a)求冲激响应，当时，。

特征方程，解得特征根为。

所以：…(2.1.2.1)通过原方程迭代知，，，代入式(2.1.2.1)中得：解得，代入式(2.1.2.1)：…(2.1.2.2)可验证满足式(2.1.2.2)，所以：(b)求阶跃响应通解为特解形式为，，代入原方程有，即完全解为通过原方程迭代之，，由此可得解得，。

所以阶跃响应为：(3)解(4)解当t>0时，原方程变为：。

…(2.1.3.1)…(2.1.3.2)将(2.1.3.1)、式代入原方程，比较两边的系数得：阶跃响应：求下列离散序列的卷积和。

(1)解用表格法求解(2)解用表格法求解(3)和如题图2.2.3所示解用表格法求解(4)解(5)解(6)解参见右图。

当时：当时：当时：当时：当时：(7) ，解参见右图：当时：当时：当时：当时：当时：(8) ，解参见右图当时：当时：当时：当时：(9) ，解(10)，解或写作：求下列连续信号的卷积。

(1) ，解参见右图：当时：当时：当时：当时：当时：当时：(2) 和如图2.3.2所示解当时：当时：当时：当时：当时：(3) ，解(4) ，解(5) ，解参见右图。

当时：当时：当时：当时：(6) ，解(7) ，解(8) ，解(9) ，解试求题图示系统的总冲激响应表达式。

解已知系统的微分方程及初始状态如下，试求系统的零输入响应。

(1) ；解，，(2) ；，解，，，，可定出(3) ；，解，，，可定出某一阶电路如题图所示，电路达到稳定状态后，开关S 于时闭合，试求输出响应。

解由于电容器二端的电压在ｔ＝０时不会发生突变，所以。

关于线性卷积及圆周卷积的简便竖式法计算
线性卷积和圆周卷积是数字信号处理中常见的两种卷积操作。

简单来说，线性卷积可以把两个信号之间的关系映射到输出上，而圆周卷积是一种更为复杂的运算，它可以寻找两个旋转的信号之间的关系。

下面就描述一下这两种卷积的简便竖式法计算。

线性卷积：
输入：
f(n)=x(n)*h(n)
f：输入信号；
x：样本函数；
h：滤波器。

步骤：
（1）将输入信号f分段；
（2）用滤波器在f的每一段输入取值上乘以x；
（3）对f的每一段结果求和，最终得到f的线性卷积输出。

圆周卷积：
输入：
F(n)=X(n)*H(n)
F：输入信号；
X：变换函数；
H：滤波器。

步骤：
（1）将输入信号F分段，每一段变换为正弦、余弦等函数；
（2）对每一段变换后的函数，用滤波器H乘以X；
（3）对每一段变换后函数结果求叠加和，以得到F的圆周卷积输出。

总结：
上述简便竖式法计算描述了两种卷积的计算步骤，即线性卷积和圆周卷积，在结果求叠加和时，用来表示信号实际上与自身的旋转有关的圆周卷积结果是不同的。

因此，这两种卷积的计算采用的步骤也有所不同。

以上就是线性卷积及圆周卷积的简便竖式法计算的长文描述。

数字信号处理期末考试复习题简答题1.抽样定理：若xa(t)频带宽度有限，要想抽样后能不失真的还原出原信号，则抽样频率必须大于等于两倍信号谱的最高频率即fs≥2fn否则抽样后会发生频谱混叠。

2.无限长单位冲激响应滤波器IIR的特点：系统的单位冲击响应h(n)是无限长的；系统函数H(z)在有限z平面（0<|z|<∝）上有极点存在；结构上存在着输出到输入的反馈，也就是结构上是递归的。

3.圆周卷积和线性卷积之间的关系：设x1(n)、x2(n)分别为N1、N2点有限长序列，周期卷积是线性卷积以L为周期的周期延拓序列，圆周序列、圆周卷积是周期卷积的主值区间，当L≥N1+N2-1时，圆周卷积能代表线性卷积。

4.全通系统零极点分布特点：关于单位圆呈镜像共轭对称分布，其中极点在单位圆内，零点在单位圆外。

5.窗函数选择条件，设计步骤：条件：窗谱主瓣尽可能地窄，以获得较陡的过渡带；尽可能的减小窗谱最大旁瓣的相对幅度，也就是能量尽量集中于主瓣，这样使肩峰和波纹减小，就可增大阻带的衰减。

步骤：给定所要求的理想的频率响应函数Hd(e jω);利用Hd(e jω)的傅里叶反变换导出hd(n),hd(n)=1/2∏∫-ππHd(e jω) e jωn dw；有过渡带宽及阻带最小衰减的要求来选择窗函数w(n)的形状及N的大小；求所设计的FIR滤波器的单位抽样响应h(n)=hd(n).w(n) n=0,1,…N-1;求H(ejw)=∑n=0,N-1h(n) e-jωn检验是否满足设计要求。

6.线性相位滤波器的特点：h(n)是实函数h(n)=±h(N-n-1);h(n)关于对称中心N-1/2奇偶对称。

7.因果系统零极点的分布特点：极点在单位圆内。

最小相位延时系统，零点在圆内；最大相位超前系统，零点在圆外。

非因果系统：极点在单位圆外。

最小相位超前系统，零点在圆外；最大相位超前系统，零点在圆内。

8.冲击响应不变法的优点：使得数字滤波器的冲击响应完全模仿模拟滤波器的冲激响应，也就是时域逼近良好，而且模拟频率Ω和数字频率w之间呈线性关系w=ΩT；缺点：有频率响应混叠效应，冲击响应不变法只适用于限带的模拟滤波器，高通和带阻滤波器不宜采用9.阶跃响应不变法优点：频率响应的混叠现象随着Ω的增加比冲击响应不变法的小；缺点：仍存在混叠失真10.双线性变换法优点：避免了频率响应混叠现象；缺点：Ω增加时变换关系是非线性的，频率Ω和w之间存在严重非线性关系11.冲击响应不变法和阶跃响应不变法适合低通，带通滤波器；双线性变换适合低通、高通、带通、带阻。

数字信号卷积常用关系数字信号处理中，卷积是一种基本的操作，常常用于信号滤波、系统分析、信号处理等领域。

数字信号卷积常用关系是指常见的数字信号卷积公式或定理，下面将介绍几种常用的数字信号卷积关系。

1. 离散时间序列卷积离散时间序列卷积是指对两个离散时间序列进行卷积。

设序列x[n]和h[n]长度分别为N和M，则它们的卷积y[n]的长度为N+M-1，且有如下式子：$$y[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty}x[k]h[n-k] \quad \quad\quad (1)$$其中，k的取值范围是无限的，但由于卷积的性质，可以将k的取值范围缩小到0~N-1。

2. 离散时间序列卷积的对称性离散时间序列卷积具有对称性，即：$$x[n] * h[n] = h[n] * x[n] \quad \quad \quad (2)$$这个定理可以推广到多个序列的卷积中。

3. 线性卷积与循环卷积对于离散时间序列x[n]和h[n]，它们的长度分别为N和M。

当N≠M时，它们的卷积称为线性卷积。

当N=M时，它们的卷积称为循环卷积，记为x[n]⊙h[n]，也可以表示为：$$x[n]\circledast h[n]=\sum_{k=0}^{N-1}x[k]h[(n-k)\bmod N] \quad \quad \quad (3)$$循环卷积的性质很多，比如可以用卷积定理、分解成快速傅里叶变换（FFT）等方法来实现。

4. 卷积定理卷积定理是指卷积与傅里叶变换之间的关系。

设序列x[n]、h[n]的傅里叶变换分别为X(k)、H(k)，则它们的卷积y[n]的傅里叶变换为：$$Y(k)=X(k)\cdot H(k) \quad \quad \quad (4)$$其中，k表示频率，它取值范围是0~N-1，N是信号的长度。

卷积定理的重要性在于，可以通过傅里叶变换把卷积变成乘法，从而简化计算和提高效率。

5. 卷积的性质除了以上介绍的关系外，卷积还具有一些重要的性质，比如：（1）卷积满足结合律和交换律；（2）卷积具有分配律，即a(x[n]+y[n])=ax[n]+ay[n]，其中a 为常数；（3）卷积对时间颠倒是不变的，即x[n]*h[n]=x[-n]*h[-n]；（4）序列中的一次旋转对应于频谱上的一次相位旋转；（5）时域相乘对应于频域的卷积，时域卷积对应于频域相乘。

语⾳信号处理⼊门系列（2）——信号处理中的⼏个关键概念数字信号 信号是信息的物理载体，信息是信号的具体内容。

连续时间信号：在连续时间范围内定义的信号，信号的幅度可以是连续的（模拟信号），也可以是离散的离散时间信号：时间为离散变量的信号，即独⽴变量时间被量化了，⽽幅度仍是连续变化的数字信号：时间离散⽽幅度量化的信号从模拟信号到数字信号我们经常处理语⾳的时候会发现两个常⽤的格式：“pcm”和“wav”，这两种格式其实本质上是⼀样的，pam是脉冲编码调制(p ulse c odem odulation)的⼀个缩写，pcm的实质就是这三个步骤：采样量化编码。

数字信号基本运算移位：设某⼀序列x(n)，当m>0 时，x(n-m) 表⽰序列x(n) 逐项依次延时（右移）m 位。

(左加右减)翻褶：设某⼀序列x(n)，则x(-n) 是以n=0 的纵轴为对称轴将x(n) 加以翻褶。

和：z(n)=x(n)+y(n)积：z(n)=x(n)·y(n)累加：y(n)=\sum_{k=-\infty}^{n}x(k)差分 (⼀阶)：y(n)=x(n)-x(n-1)尺度变换：对于序列x(n), 形如x(mn)或者x(\frac{n}{m})（m为正整数）的序列为x(n)的尺度变换序列。

以x(2n)为例，是以低⼀倍的抽样频率从x(n)中每隔两点取⼀点，这种运算称为抽取，常⽤于语⾳信号的下采样，通常在抽取之前要加⼊⼀个防混叠的滤波器。

类似的，x(\frac{n}{2})称为插值，在语⾳信号每两个点之间插⼊⼀个值，因为我们不知道这个插⼊的值是多少，⼀般插0，本⾝信息并没有增加，通常在插值之后我们还需要⼀个平滑，也就是在插⼊这些零点之后，后接⼀个平滑滤波器，利⽤相邻采样点之间的取值，把插⼊的值算出来，常⽤于语⾳升采样。

线性卷积 (linear convolution) : y(n)=\sum_{m=-\infty}^{\infty} x(m) h(n-m)=x(n) * h(n)由卷积的定义可知，卷积在图形表⽰上可分为四步：翻褶、移位、相乘、相加。

圆周卷积与周期卷积、线性卷积的关系及计算一、三者关系设：1122()01()01x n n N x n n N ≤≤-≤≤-N ：圆周卷积的点数⏹ 圆周卷积是周期卷积的主值序列。

周期卷积：1120()()()N m y n x m x n m -==-∑ （1）圆周卷积：1120()()()[()(())]()N c N N N m y n y n R n x m x n m R n -===-∑1210[()(())]()N N N m x m x n m R n -==-∑ （2）注意：（2）式直接使用的前提是圆周卷积的点数N 应满足：12max[,]N N N ≥（一般题目均符合此种情况）⏹ 周期卷积是线性卷积的周期延拓。

线性卷积：1112120()()*()()()N l m y n x n x n x m x n m -===-∑212121()()()*()N m x m x n m x n x n -==-=∑ （4）圆周卷积与线性卷积的关系：()[()]()c l N r y n y n rN R n ∞=-∞=+∑ （5）注意：上述关系式对任意长度的圆周卷积均适合。

二、举例说明1、对于12max[,]N N N ≥的情况，各教材例题很多，不再举例。

2、12N N N N <<或的情况。

习题8.已知序列()()2(1)(4)3(5)x n n n n n δδδδ=+-+-+-,4()()y n R n =，求：（1）()()*()z n x n y n =（2）()()f n x n =○5()y n （5点圆周卷积）。

解：(){1,2,0,0,4,3},(){1,1,1,1}x n y n ==（1）()()(){1,3,3,3,3,4,4,4,3}z n x n y n =*=（过程略） （2）()()f n x n =○5()y n （5点圆周卷积），N =5。

数字信号处理实验报告黎美琪 2 13通信2实验一名称：周期卷积、循环卷积和线性卷积比较 一、实验目的1.理解周期卷积、循环卷积、线性卷积的定义2.用图像显示上述几种卷积并对其进行直观的比较 二、实验步骤 自行设定：）它们的线性卷积（）求它们的循环卷积（求它们的周期卷积（两个有限长序列3)8(2)8)1(2012,81,1129,1)(,2012,81,0129,8)(21==⎩⎨⎧≤≤≤≤-≤≤=⎩⎨⎧≤≤≤≤≤≤-=N N n n n n x n n n n n x实验代码：（大部分语句为图像显示处理）%循环卷积&线性卷积&周期卷积 %%线性卷积 figure(1);set(gcf, 'color', 'w')%将图的背景设置为白色x1=[zeros(1,8),[1:4],zeros(1,4),zeros(1,8)];%原有限长序列x1（n ） x2=[zeros(1,8),ones(1,4),zeros(1,4),zeros(1,8)] ; %原有限长序列x2（n ） L=length(x1)%长度L M=length(x2)%长度My1=conv(x1,x2) %线性卷积 subplot(311) stem(x1);title('有限长序列x1（n ）') axis([1 L 0 5]) subplot(312) stem(x2);title('有限长序列x2（n ）') axis([1 M 0 1]) subplot(313) stem(y1);grid on ; title('线性卷积')axis([1 L+M-1 0 11]) %%循环卷积(圆周卷积) figure(2);set(gcf, 'color', 'w')%将图的背景设置为白色%x11=[[1:4],zeros(1,4),[1:4],zeros(1,4),[1:4],zeros(1,4)];x11=[[1:4],zeros(1,2),[1:4],zeros(1,2),[1:4],zeros(1,2),[1:4],zeros(1,2)];y2=conv(x2,x11)P=length(x22)%长度Psubplot(311);stem(x11);title('有限长序列x1的周期延拓x11（n）')axis([1 L 0 5])subplot(312)stem(x2);title('有限长序列x2（n）')axis([1 M 0 1])subplot(313)stem(y2);grid on;title('循环卷积')axis([1 P+M-1 0 11])%%周期卷积figure(3);set(gcf, 'color', 'w')%将图的背景设置为白色x22=[ones(1,4),zeros(1,4),ones(1,4),zeros(1,4),ones(1,4),zeros(1,4)]; y2=conv(x1,x22)Q=length(x22)%长度Qsubplot(311)%stem(x11);stem(x11);%title('有限长序列x1（n）')title('有限长序列x1的周期延拓x11（n）')axis([1 L 0 5])subplot(312);stem(x22);title('有限长序列x2的周期延拓x2（n）')axis([1 Q 0 1])subplot(313)stem(y2);grid on;title('周期卷积')%axis([1 L+Q-1 0 15])axis([1 P+Q-1 0 11])(一)线性卷积1.线性卷积步骤1）将序列x2（n）翻褶2）平行向右移位3）被卷积两序列对应序号值相乘，再相加X2(-m)X2(1-m) 1 Y(8)=1X2(2-m)000011 11 Y(9)=3X2(3-m)00001 111 Y(10)=6X2(4-m)0000 1111 Y(11)=10X2(5-m)000 01111 Y(12)=9X26-m)00 001111 Y(13)=7X2(7-m) 0 Y(14)=4X2(8-m) Y(15)=0X2(9-m) 0000111 1 Y(6)=0X2(10-m) 000011 11 Y(17)=0X2(11-m) 00001 111 Y(18)=0X2(12-m) 0000 1111 Y(19)=0X2(13-m) 000 01111 Y(20)=0X2(14-m) 00 001111 Y(21)=0X2(15-m) 0 Y(22)=0注意：为方便比较几种不同卷积的结果，设定的序列的初始位置在n=9。

1、线性卷积和圆周卷积的关系（参考书P122）dsp31：ppt91设)(1n x 是1N 点的有限长序列)10(1-≤≤N n ，设)(2n x 是2N 点的有限长序列)10(2-≤≤N n ，（A ）)(1n x 和)(2n x 的线性卷积为∑∑-=∞-∞=-=-=1021211)()()()()(N m m l m n x m x m n x m x n y 则线性卷积)(n y l 的长度为121-+N N 。

（B ）两个有限长序列)(1n x 和)(2n x 做L 点的圆周卷积：首先将两个序列补零，扩成长度为L 的序列： ⎩⎨⎧-≤≤-≤≤=1,010),()(1111L n N N n n x n x ⎩⎨⎧-≤≤-≤≤=1,010),()(2222L n N N n n x n x 圆周卷积为：)(]))(()([)(1021n R m n x m x n y L L m L ⋅-=∑-=这里必须将一个序列变成L 点周期延拓序列，这里采用)(2n x 序列：∑∞-∞=+==r L rL n x n x n x )())(()(~222 把它带入到)(n y 中并考虑到前面的线性卷积公式，可得到：)(])()([)(]))(()([)(10211021n R m rL n x m x n R m n x m x n y L L m r L L m L ⋅-+=⋅-=∑∑∑-=∞-∞=-=)(])()([2101n R m rL n x m x Lr L m ⋅-+=∑∑∞-∞=-= )(])([n R rL n y L r l ⋅+=∑∞-∞=所以L 点圆周卷积)(n y 是线性卷积)(n y l 以L 为周期的周期延拓序列的主值序列。

因为)(n y l 有121-+N N 个非零值，所以延拓周期L 必须满足：121-+≥N N L 。

这时各延拓周期才不会交叠，而)(n y 的前121-+N N 个值正好是)(n y 的全部非零序列值，也正是线性卷积)(n y l 。

线性卷积与圆周卷积伦敦奥运会也将接近尾声，中国体育代表团获得的⾦牌屈居第⼆，貌似后⾯也没有⼏个夺⾦点了，不过这已经很不错了。

然⽽奥运期间⼏场⽐赛却让⼈难忘。

⼥双打“假球”事件惹来国内⼀⽚哗然，有骂她们的，也有为她们不值的，其实错也不应该让她们承担，奥运作为竟技⽐赛，不可能完全不考虑胜负⽽每场⽐赛却拼个你死我活，当然得考虑战略战术，谁愿意⼀上来就和本国另⼀队拼个你死我活，想想当年中国队与中国⾹港队⾜球在⼩组中为让中国队出线打成7:0，就觉得这确实没什么；林丹决赛和李宗伟那场巅峰对决确实扣⼈⼼弦，不愧是超级丹！中国⼥排进四强⽐赛中在2:3情况下不敌⽇本队，让⼈觉得挽惜，中国⼥排打得也不错，貌似第⼀局有点轻敌，更没有想到的是⽇本⼥排异常的顽强；刘翔摔倒那⼀刻估计很多⼈像会不禁惊叫出来，当时为了看刘翔⽐赛，提前离开教研室去吃饭，回来在正好在⼤屏幕上看到刘翔马上要⽐赛，⼤屏幕前已经站了很多同学，当时⼼想进决赛应该没问题，但摔倒那⼀刻许多⼈都表⽰失望，其实也不是怪刘翔，⽽是当希望变成失望时⼀时⽆法接受，因此刘翔承载了太多⼈的希望，也可能是由于⼤家让刘翔承载太多，让他折断飞翔的两翼.....继续关注奥运⽐赛。

话⼊正题，前两天看了下线性卷积和圆周卷积，并对他们之间的关系作出验证。

线性卷积与圆周卷积离散线性卷积的定义：设长度为N1的序列x(n)和长度为N2的序列h(n)进⾏线性卷积，得到长度为N1+N2-1的y(n):离散圆周卷积的定义：圆周卷积是定义在有限长序列之间的。

设有限长序列x(n)和h(n)的长度分别为N1和N2，取N>=max(N1,N2)，定义它们的N点圆周卷积为：圆周卷积定理：设有限长序列x(n)和h(n)的长度分别为N1和N2，取N>=max(N1,N2)，分别对x(n)和h(n)取N点的DFT，将结果取N点的IDFT得到y(n)，且y(n)=.圆周卷积定理建⽴起圆周卷积与DFT之间的关系，因此求圆周卷积只须⽤DFT进⾏计算即可，⽽DFT可⽤FFT实现。

圆卷积定理1. 简介圆卷积定理（Circular Convolution Theorem）是信号处理中的一个重要定理，它描述了两个周期信号的卷积运算与它们的循环卷积运算之间的关系。

在实际应用中，这个定理被广泛用于数字滤波、图像处理、通信系统等领域。

2. 卷积运算在了解圆卷积定理之前，我们首先需要了解卷积运算。

卷积运算是信号处理中常用的一种数学操作，它将两个函数（可以是连续函数或离散函数）合并成一个新的函数。

对于连续函数，设有两个函数f(t)和g(t)，它们的卷积定义为：∞(f∗g)(t)=∫f(τ)g(t−τ)dτ−∞对于离散函数，设有两个序列f[n]和g[n]，它们的卷积定义为：∞(f∗g)[n]=∑f[m]g[n−m]m=−∞可以看出，卷积运算将两个函数进行加权平均，并通过移动一个函数来计算输出结果。

3. 循环卷积运算循环卷积运算（Circular Convolution）是卷积运算的一种特殊形式，它在离散信号处理中经常用到。

循环卷积运算是通过对输入序列进行周期延拓来计算的。

设有两个长度为N的离散序列f[n]和g[n]，它们的循环卷积定义为：N−1(f⊛g)[n]=∑f[m]g[(n−m) mod N]m=0可以看出，循环卷积运算中，当计算超出序列长度N时，会将索引取模N后继续计算。

这种循环延拓的方式使得卷积结果也具有周期性。

4. 圆卷积定理圆卷积定理描述了两个周期信号的卷积运算与它们的循环卷积运算之间的关系。

具体而言，圆卷积定理指出：两个周期信号的卷积运算等于它们的循环卷积运算。

设有两个长度为N的周期序列f[n]和g[n]，它们分别表示为：f[n]=∑FN−1k=0[k]exp(j2πnkN)g[n]=∑GN−1k=0[k]exp(j2πnkN)其中，F[k]和G[k]是f[n]和g[n]的离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform, DFT）系数。

根据圆卷积定理，两个周期序列的卷积运算可以通过以下步骤计算：1.对f[n]和g[n]分别进行离散傅里叶变换，得到它们的DFT系数F[k]和G[k]。