数字信号处理实验4——线性卷积与圆周卷积的计算

实验四线性卷积实验[实验目的]1．熟悉并验证卷积的性质2．利用卷积生成新的波形，建立波形间的联系3．验证卷积定理[实验原理]信号的卷积是针对时域信号处理的一种分析方法。

信号的卷积一般用于求取信号通过某系统后的响应。

在信号与系统中，我们通常求取某系统的单位冲激响应，所求得的h(k)可作为系统的时域表征。

任意系统的系统响应可用卷积的方法求得：hky*=kx(k))()(两个序列的线性卷积可经过下列步骤：①将x(n)和h(n)用x(m)和h(m)表示，并将h(m)进行翻转，形成h(-m)；②②将h(-m)移位n，得到h(n-m)。

当n>0时，序列右移；n<0时，序列左移；③③将x(m)和h(n-m)相同m的序列值对应相乘后④求和，将以上所有对应点的乘积累加起来，可得到卷积结果y(n)。

[实验内容]1．MATLAB提供了一个内部函数conv来计算两个有限长序列的卷积。

conv函数假定两个序列都从n=0开始。

给出序列x=[3,11,7,0,-1,4,2]；h=[2,3,0,-5,2,1]；求两者的卷积y 。

解：>> x=[3,11,7,0,-1,4,2]x = 3 11 7 0 -1 4 2>> h=[2,3,0,-5,2,1]h = 2 3 0 -5 2 1>> y=conv(x,h)y = 6 31 47 6 -51 -5 41 18 -22 -3 8 22．将函数conv稍加扩展为函数conv_m，它可以对任意基底的序列求卷积。

格式如下：function [y,ny]=conv_m(x1,x2)% 信号处理的改进卷积程序% [y,ny]=conv_m(x1,x2)% [y,ny]=卷积结果% [x,nx1]=第一个信号% [h,nx2]=第二个信号解：function [y,ny]=conv_m(x1,x2)x1=input('x1=');x2=input('x2=');N1=length(x1);M=length(x2);L=N1+M-1;ny=0:L-1for(n=1:L)y(n)=0;for(m=1:M)k=n-m+1;if(k>=1&k<=N1)y(n)=y(n)+x2(m)*x1(k);endendendyy1=conv(x1,x2);nx1=0:N1-1;nx2=0:M-1;subplot(221);stem(nx1,x1,'.k');ylabel('x1(n)');xlabel('n');grid on;title('x1');subplot(222);stem(nx2,x2,'.k');ylabel('x2(n)');xlabel('n');grid on;title('x2');subplot(223);stem(ny,y,'.k');ylabel('y(n)');xlabel('n');grid on;title('y');subplot(224);stem(y1);ylabel('y1');xlabel('n');grid on;title('y1');246x 1(n )n x1x 2(n )n x251015y (n )ny051015-100-50050y 1ny1根据线性卷积分析，参考程序流程为3.对下面三个序列，用conv_m 函数，验证卷积特性（交换律、结合律、分配 律、同一律）)()()()(1221n x n x n x n x *=* 交换律 )]()([)()()]()([321321n x n x n x n x n x n x **=** 结合律 )()()()()]()([)(3121321n x n x n x n x n x n x n x *+*=+* 分配律 )()()(0101n n x n n n x -=-*δ 同一律 其中：x 1(n)=n[u(n+10)-u(n-20)] x 2(n)=)1.0cos(n π [u(n)-u(n-30)] x 3(n)=(1.2)n [u(n+5)-u(n-10)]x 1(n )n x1x 2(n )n x2204060y (n )ny204060y 1ny1。

电子信息与自动化学院《数字信号处理》实验报告学号： 姓名：实验名称： 实验四 有限长序列的线性卷积、圆周卷积及分段卷积一、 实验目的(1) 在理论学习的基础上，通过本实验，加深对线性卷积、圆周卷积、分段卷积的理解；(2) 掌握计算线性卷积、圆周卷积、分段卷积的方法；(3) 体会有限长序列卷积运算的关系；二、 实验原理1、有限长序列卷积有两种形式：线性卷积和圆周卷积然而现实中要解决的实际问题是要计算两个有限长序列的线性卷积，如信号通过线性系统，系统的输出 y(n)是输入信号 x(n)与系统抽样响应 h(n)的线性卷积：y(n)=x(n)*h(n)。

设n x 1和n x 2是两个长度分别为 M 和 N 的有限长序列，则其线性卷积为)(*)()(211n x n x n y =。

)(1n y 是一个长度为 L1=N+M-1 点的有限长序列．将n x 1和n x 2均补零成 L 点的有限长序列，其中 L ≥max(M,N),则其 L 点的圆周卷积为)(]))(()([)()()(1021212n R m n x m x n x n x n y L L m L ∑-=-=⊗=，现在讨论)(1n y 和)(2n y 的关系。

显然]∑∑∑∑∑∑∑∑∞-∞=∞-∞=∞∞=-=-=∞-∞=-=-=+=+=+-=+-=-=-=r r L r M m L M m L r L M m L L L m L rL n y n R rL n x n xn R rL m n x n R rL m n x m x n R m n x m x n R m n x m x n y )([)()](*)([)()()()()()(]))(()([)(]))(()([)(121102102112110212由此可见，L 点的圆周卷积)(2n y 是线性卷积)(2n y 以 L 为周期，进行周期延拓后在区间 0 到 L-1 范围内所取的主值序列。

数字信号处理实验线性卷积圆周卷积⼤连理⼯⼤学实验报告学院（系）：电信专业：⽣物医学⼯程班级：**1101姓名：**** 学号：201181*** 组：___实验时间：实验室：实验台：指导教师签字：成绩：实验⼀线性卷积和圆周卷积⼀、实验程序1.给出序列x=[3,11,7,0,-1,4,2]，h=[2,3,0,-5,2,1]；⽤两种⽅法求两者的线性卷积y，对⽐结果。

a)直接调⽤matlab内部函数conv来计算。

b)根据线性卷积的步骤计算。

clear;clc;x=[3 11 7 0 -1 4 2];n1=0:1:length(x)-1;h=[2 3 0 -5 2 1];n2=0:1:length(h)-1;y=conv(x,h);n3=0:1:length(x)+length(h)-2;figure(1);subplot(121);stem(n1,x,'.');axis([0 6 -15 15]);title('x(n)序列');grid;subplot(122);stem(n2,h,'.');axis([0 5 -10 10]);title('h(n)序列');grid;figure(2);subplot(121);stem(n3,y,'.');axis([0 12 -60 60]);title('调⽤conv函数的线性卷积后序列');grid;N=length(x);M=length(h);L=N+M-1;for(n=1:L)y1(n)=0;for(m=1:M)k=n-m+1; if(k>=1&k<=N)y1(n)=y1(n)+h(m)*x(k); end; end; end;subplot(122);stem(n3,y1,'*');axis([0 12 -60 60]);title('按步骤计算的线性卷积后序列');grid; 结果2.卷积后结果y=[ 6 , 31 , 47 , 6 , -51 , -5 , 41 , 18 , -22 , -3 , 8 , 2]。

圆周卷积计算方法圆周卷积是数字信号处理中的重要概念，它在图像处理、语音识别、通信系统等领域都有着广泛的应用。

在实际应用中，我们经常需要对信号进行圆周卷积运算，因此了解圆周卷积的计算方法对于数字信号处理工程师来说是非常重要的。

本文将介绍圆周卷积的基本概念和计算方法，希望能够对读者有所帮助。

圆周卷积的基本概念。

圆周卷积是指两个周期信号进行卷积运算后得到的周期信号。

在时域上，两个周期信号的卷积结果是它们的卷积和在一个周期内的重复。

在频域上，圆周卷积可以通过傅里叶变换来进行计算，即将两个信号分别进行傅里叶变换，然后相乘得到卷积结果的傅里叶变换，最后再进行逆变换得到圆周卷积结果。

圆周卷积的计算方法。

圆周卷积的计算方法可以分为时域计算和频域计算两种。

下面将分别介绍这两种计算方法。

时域计算方法。

时域计算方法是直接利用卷积的定义进行计算。

假设有两个周期信号x(n)和h(n)，它们的周期分别为N1和N2，那么它们的圆周卷积y(n)可以通过以下公式进行计算：y(n) = Σx(k)h(n-k) mod N。

其中，k的取值范围为0到N-1，mod N表示取模运算。

这种计算方法的复杂度较高，适用于信号长度较短的情况。

频域计算方法。

频域计算方法是利用傅里叶变换将卷积运算转化为乘法运算。

假设有两个周期信号x(n)和h(n)，它们的傅里叶变换分别为X(k)和H(k)，那么它们的圆周卷积y(n)可以通过以下公式进行计算：y(n) = IDFT{DFT(x(n)) DFT(h(n))}。

其中，表示乘法运算，DFT表示离散傅里叶变换，IDFT表示离散傅里叶逆变换。

这种计算方法的复杂度较低，适用于信号长度较长的情况。

圆周卷积的应用。

圆周卷积在数字信号处理中有着广泛的应用。

在图像处理中，圆周卷积常常用于图像的模糊处理和边缘检测；在语音识别中，圆周卷积常常用于语音信号的特征提取和语音识别；在通信系统中，圆周卷积常常用于信道均衡和信号恢复。

数字信号处理实验报告实验二：卷积定理班级：10051041姓名：学号：10051041一、实验目的通过本实验，验证卷积定理，掌握利用DFT和FFT计算线性卷积的方法。

二、实验原理时域圆周卷积在频域上相当于两序列DFT的相乘，因而可以采用FFT的算法来计算圆周卷积，当满足121L N N≥+-时，线性卷积等于圆周卷积，因此可利用FFT计算线性卷积。

三、实验内容和步骤1．给定离散信号()x n和()h n，用图解法求出两者的线性卷积和圆周卷积；2．编写程序计算线性卷积和圆周卷积；3．比较不同列长时的圆周卷积与线性卷积的结果，分析原因。

四、实验设备计算机、Matlab软件五、实验报告要求1．整理好经过运行并证明是正确的程序，并且加上详细的注释。

2．给出笔算和机算结果对照表，比较不同列长时的圆周卷积与线性卷积的结果对照，作出原因分析报告。

3．给出用DFT计算线性卷积的方法。

六、实验结果与分析X=[0 0.5 1 1.5]Y=[1 1 1]笔算结果线性卷积：[0 0.5 1.5 3 2.5 1.5 0]圆周卷积：N=10 时[0 0.5 1.5 3 2.5 1.5 0 0 0 0 ]N=5 [1.5 0.5 1.5 3 2.5]机算结果线性卷积：[0 0.5 1.5 3 2.5 1.5 0]圆周卷积：N=10 时[0 0.5 1.5 3 2.5 1.5 0 0 0 0 ]N=5 [1.5 0.5 1.5 3 2.5]原因分析：循环卷积是线性卷积以L为周期的周期延拓序列的主值序列。

由于线性卷积的长度是N1+N2-1,所以只有当121L N N≥+-时，线性卷积以L为周期进行周期延拓时才不会发生混叠，周期序列的主值序列才等于线性卷积，即L点循环卷积代替线性卷积的条件是121L N N≥+-。

具体计算结果图示如下程序：用DFT 计算线性卷积的方法：七、实验体会通过本次实验，验证了卷积定理，熟悉了线性卷积与圆周卷积的计算方法，并验证了两者之间的关系。

信号、系统与信号处理实验Ⅱ实验报告实验名称：线性卷积与圆周卷积的计算一、实验目的1、通过编程，上机调试程序，进一步增强使用计算机解决问题的能力。

2、掌握线性卷积与圆周卷积软件实现的方法，并验证两者之间的关系。

二、实验内容与要求已知两个有限长序列：x(n)= δ(n)+2δ(n-1)+3δ(n-2)+4δ(n-3)+5δ(n-4)；h(n)= δ(n)+2δ(n-1)+δ(n-2)+2δ(n-3)1.编制一个计算两个线性卷积的通用程序，计算x(n)*h(n)。

2.编制一个计算圆周卷积的通用程序，计算上述4种情况下两个序列x(n)与h(n)的圆周卷积。

3.上机调试并打印或记录实验结果。

4.将实验结果与预先笔算的结果比较，验证真确性。

三、实验程序与结果1、计算两个线性卷积的通用程序，计算x(n)*h(n)。

xn=[1 2 3 4 5]hn=[1 2 1 2]N=length(xn);M=length(hn);L=N+M-1;for(n=1:L)y(n)=0;for(m=1:M)k=n-m+1;if(k>=1&k<=N)y(n)=y(n)+hn(m)*xn(k);endendendy=conv(xn,hn);ny=0:L-1;stem(ny,y) ;xlabel('n ');ylabel('y(n) ');figurestem(ny,yn) ;xlabel('n ');ylabel('y ');根据定义编写循环实现线性卷积结果：01234567n y (n )Conv 函数实现线性卷积结果：01234567n y2. 计算圆周卷积的通用程序，计算上述4种情况下两个序列x(n)与h(n)的圆周卷积。

主程序：clear allN=[5 6 9 10];xn=[1 2 3 4 5];hn=[1 2 1 2];yc1=circonv(xn,hn,N(1))yc2=circonv(xn,hn,N(2))yc3=circonv(xn,hn,N(3))yc4=circonv(xn,hn,N(4))figurestem(0:N(1)-1,yc1);xlabel('时间序号n');ylabel('信号幅度');title('5点圆周卷积');figurestem(0:N(2)-1,yc2);xlabel('时间序号n');ylabel('信号幅度');title('6点圆周卷积');figurestem(0:N(3)-1,yc3);xlabel('时间序号n');ylabel('信号幅度');title('9点圆周卷积');figurestem(0:N(4)-1,yc4);xlabel('时间序号n');ylabel('信号幅度');title('10点圆周卷积');定义函数：function yc=circonv(x1,x2,N)if length(x1)>Nerror('N必须大于等于x1的长度'); endif length(x2)>Nerror('N必须大于等于x2的长度'); endx1=[x1,zeros(1,N-length(x1))];x2=[x2,zeros(1,N-length(x2))];n=[0:N-1];x2=x2(mod(-n,N)+1);H=zeros(N,N);for n=1:1:NH(n,:)=cirshiftd(x2,n-1,N);yc=x1*H';function y=cirshiftd(x,m,N)if length(x)>Nerror('x 的长度必须小于N');endx=[x,zeros(1,N-length(x))];n=[0:1:N-1];y=x(mod(n-m,N)+1);时间序号n 信号幅度5点圆周卷积00.51 1.52 2.533.54 4.55时间序号n 信号幅度时间序号n 信号幅度时间序号n 信号幅度四、仿真结果分析编写的线性卷积程序和conv 函数的结果相同，也与笔算结果相同。

关于线性卷积及圆周卷积的简便竖式法计算
线性卷积和圆周卷积是数字信号处理中常见的两种卷积操作。

简单来说，线性卷积可以把两个信号之间的关系映射到输出上，而圆周卷积是一种更为复杂的运算，它可以寻找两个旋转的信号之间的关系。

下面就描述一下这两种卷积的简便竖式法计算。

线性卷积：
输入：
f(n)=x(n)*h(n)
f：输入信号；
x：样本函数；
h：滤波器。

步骤：
（1）将输入信号f分段；
（2）用滤波器在f的每一段输入取值上乘以x；
（3）对f的每一段结果求和，最终得到f的线性卷积输出。

圆周卷积：
输入：
F(n)=X(n)*H(n)
F：输入信号；
X：变换函数；
H：滤波器。

步骤：
（1）将输入信号F分段，每一段变换为正弦、余弦等函数；
（2）对每一段变换后的函数，用滤波器H乘以X；
（3）对每一段变换后函数结果求叠加和，以得到F的圆周卷积输出。

总结：
上述简便竖式法计算描述了两种卷积的计算步骤，即线性卷积和圆周卷积，在结果求叠加和时，用来表示信号实际上与自身的旋转有关的圆周卷积结果是不同的。

因此，这两种卷积的计算采用的步骤也有所不同。

以上就是线性卷积及圆周卷积的简便竖式法计算的长文描述。

写在前面：本文主要讨论圆周卷积的一种特殊情况：圆周卷积的点数小于参与卷积的序列的长度的情况。

这种情况在大多数《数字信号处理》教材和习题中都没有专门提及或涉及，所以在计算过程中给很多同学带来了困惑。

结课后这两天终于能轻松一点，重新把这个问题思考了一下，整理成文，供大家学习讨论。

从信号与系统的角度来考虑，“圆周卷积的点数小于参与卷积的序列的长度的情况”不具有太多的实际意义，因为在这种情况下信号周期化的过程中存在混叠，运算前信号已经产生失真。

但从理论的角度来看，作为圆周卷积的一种特殊情况还是值得讨论的，通过讨论可以更好的理解圆周卷积与周期卷积、线性卷积的关系及计算方法。

另外，本文与考试无关，仅希望通过本文让大家更好的理解三种卷积之间的关系。

如有疑问，可继续讨论。

黄勇坚2011年7月3日圆周卷积与周期卷积、线性卷积的关系及计算一、三者关系设：1122()01()01x n n N x n n N ≤≤-≤≤-N ：圆周卷积的点数⏹ 圆周卷积是周期卷积的主值序列。

周期卷积：1120()()()N m y n x m x n m -==-∑ （1）圆周卷积：1120()()()[()(())]()N c N N N m y n y n R n x m x n m R n -===-∑1210[()(())]()N N N m x m x n m R n -==-∑ （2）注意：（2）式直接使用的前提是圆周卷积的点数N 应满足：12max[,]N N N ≥（一般题目均符合此种情况）若12N N N N <<或时，则不能直接用（2）式计算，否则分别用（2）式中的两个公式计算，即在12()()x n x n 、卷积顺序不同时，会出现计算结果不一致的问题。

这种情况下应从圆周卷积与周期卷积的关系出发，将（2）式改为：1120()()()[(())(())]()N c N N N N m y n y n R n x m x n m R n -===-∑1210[(())(())]()N N N N m x m x n m R n -==-∑（3）即在此种情况下，首先需对12()()x n x n 、都进行周期为N 的延拓，然后再取主值序列进行计算。

1.设计基本原理1.1课题研究的背景卷积运算广泛的应用于通讯、电子、自动化等领域的线性系统的仿真、分析及数字信号处理等方面。

在MATLAB中可以使用线性卷积和圆周卷积实现离散卷积。

线性卷积是工程应用的基础，但圆周卷积实现线性离散卷积具有速度快等优势。

圆周卷积采用循环移位，在MATLAB中没有专用函数，需要根据圆周卷积的运算过程编制程序代码。

本实验主要围绕线性卷积和圆周卷积的演示程序设计来展开，给出了线性卷积和圆周卷积演示的程序及动态实现。

在线性时不变连续系统中，利用系统的冲激响应和叠加原理来求系统对任意激励信号作用时的零状态响应，这就是卷积方法的原理。

因此，在时域内，卷积运算是求解线性非时变系统零状态响应的重要方法，特别是激励信号为时限信号时尤其如此。

卷积运算的计算比较复杂，是信号与系统分析中的重点和难点，特别适合用于计算机来计算。

以往的卷积积分多用fortran、c、VB等语言编程，不仅编程繁琐，而且可视性差。

用MATLAB来计算卷积积分问题要比用C、FORTRAN 等语言完成相同的事情简洁的多。

在MATLAB中，有很多现成的函数可以直接调用，而且在计算机方面，可以直接用相应的计算机符号即可。

在编写程序语言方面，它与其他语言相比更为简单。

正因为上述原因，使他深受工程技术人员及科学专家的欢迎，并很快成为应用学科计算机辅助分析、设计、仿真、教学等领域不仅可缺少的基础软件。

1.2课题研究意义本课程为电子信息工程专业的独立实践课，是建立在信号与系统、数字信号处理等课程的基础上，加强实践环节而开设的。

其目的在于通过本课程设计使学生进一步巩固数字信号处理的基本概念、理论、分析方法和实现方法；使学生能有效地将理论和实际紧密结合；增强学生软件编程实现能力和解决实际问题的能力。

通过课程设计，主要达到以下的目的：（1）使学生增进对MATLAB的认识，加深对信号处理理论的理解。

（2）使学生掌握数字信号处理中频谱分析的概念和方法。

线性卷积与圆周卷积伦敦奥运会也将接近尾声，中国体育代表团获得的⾦牌屈居第⼆，貌似后⾯也没有⼏个夺⾦点了，不过这已经很不错了。

然⽽奥运期间⼏场⽐赛却让⼈难忘。

⼥双打“假球”事件惹来国内⼀⽚哗然，有骂她们的，也有为她们不值的，其实错也不应该让她们承担，奥运作为竟技⽐赛，不可能完全不考虑胜负⽽每场⽐赛却拼个你死我活，当然得考虑战略战术，谁愿意⼀上来就和本国另⼀队拼个你死我活，想想当年中国队与中国⾹港队⾜球在⼩组中为让中国队出线打成7:0，就觉得这确实没什么；林丹决赛和李宗伟那场巅峰对决确实扣⼈⼼弦，不愧是超级丹！中国⼥排进四强⽐赛中在2:3情况下不敌⽇本队，让⼈觉得挽惜，中国⼥排打得也不错，貌似第⼀局有点轻敌，更没有想到的是⽇本⼥排异常的顽强；刘翔摔倒那⼀刻估计很多⼈像会不禁惊叫出来，当时为了看刘翔⽐赛，提前离开教研室去吃饭，回来在正好在⼤屏幕上看到刘翔马上要⽐赛，⼤屏幕前已经站了很多同学，当时⼼想进决赛应该没问题，但摔倒那⼀刻许多⼈都表⽰失望，其实也不是怪刘翔，⽽是当希望变成失望时⼀时⽆法接受，因此刘翔承载了太多⼈的希望，也可能是由于⼤家让刘翔承载太多，让他折断飞翔的两翼.....继续关注奥运⽐赛。

话⼊正题，前两天看了下线性卷积和圆周卷积，并对他们之间的关系作出验证。

线性卷积与圆周卷积离散线性卷积的定义：设长度为N1的序列x(n)和长度为N2的序列h(n)进⾏线性卷积，得到长度为N1+N2-1的y(n):离散圆周卷积的定义：圆周卷积是定义在有限长序列之间的。

设有限长序列x(n)和h(n)的长度分别为N1和N2，取N>=max(N1,N2)，定义它们的N点圆周卷积为：圆周卷积定理：设有限长序列x(n)和h(n)的长度分别为N1和N2，取N>=max(N1,N2)，分别对x(n)和h(n)取N点的DFT，将结果取N点的IDFT得到y(n)，且y(n)=.圆周卷积定理建⽴起圆周卷积与DFT之间的关系，因此求圆周卷积只须⽤DFT进⾏计算即可，⽽DFT可⽤FFT实现。

大连理工大学实验报告学院（系）：电子信息与电气工程学部专业：电子信息工程(英语强化) 班级：电英1001班姓名：刘志旋学号：201081510 组：___ 实验时间：实验室：实验台：指导教师签字：成绩：实验二电话拨号音的合成与识别五、实验数据记录和处理在函数num1_OpeningFcn中定义全局变量handles.NUM实验程序如下:1.数字键1的代码wl1=2*pi*697/8192; %数字1 的行频wh1=2*pi*1209/8192; %数字1 的列频n=[1:410]; % 每个数字用410 个采样点表示d1=sin(wl1*n)+sin(wh1*n); % 对应行频列频叠加space=zeros(1,410); %410 个0 模拟静音信号phone=[handles.NUM,d1];handles.NUM=[phone, space]; %将得到的820点存入全局变量handles.NUM中n1=strcat(get(handles.numshow,'string'),'1'); % 获取数字号码set(handles.numshow,'string',n1); % 显示号码guidata(hObject, handles); %刷新wavplay(d1,8192); %按键音其他的数字键同1，只需要修改其中的行列频和显示数字2.删除键（*键）的代码wl1=2*pi*941/8192; %*键的行频wh1=2*pi*1209/8192; %*键的列频n=[1:410];d1=sin(wl1*n)+sin(wh1*n);num=get(handles.numshow,'string'); %得到屏幕上的内容l=length(num); %得到长度n11=strrep(num,num,num(1:l-1)); %删除最后的一个字符set(handles.numshow,'string',n11); %显示现在的结果L=length(handles.NUM);handles.NUM=handles.NUM(1:L-820); %删除820点，该为要删除点的采样值guidata(hObject, handles);wavplay(d1,8192);3.全部清除键（#键）的代码wl1=2*pi*941/8192;wh1=2*pi*1477/8192;n=[1:410]; % 每个数字用 410 个采样点表示d1=sin(wl1*n)+sin(wh1*n); % 对应行频列频叠加handles.NUM=[]; %将全局变量handles.NUM清空set(handles.numshow,'string',[]); % 将显示清空guidata(hObject, handles);wavplay(d1,8192);4.识别键（receive 键）的代码L=length(handles.NUM);n=L/820;number=zeros(1,n);for i=1:nj=(i-1)*820+1;d=handles.NUM(j:(j+410-1)); % 截取出每个数字f=fft(d,8192); % 以N=2048 作FFT 变换a=abs(f);p=a.*a/8192; % 计算功率谱num(1)=find(p(1:1000)==max(p(1:1000))); % 找行频%找列频num(2)=1000+find(p(1000:1700)==max(p(1000:1700)));if (num(1) < 730)row=1; % 确定行数elseif (num(1) < 810)row=2;elseif (num(1) < 900)row=3;elserow=4;endif (num(2) < 1260)column=1; % 确定列数elseif (num(2) < 1400)column=2;elsecolumn=3;end z=[row,column]; % 确定数字if z==[4,2]phone=0;elseif z==[1,1]phone=1;elseif z==[1,2]phone=2;elseif z==[1,3]phone=3;elseif z==[2,1]phone=4;elseif z==[2,2]phone=5;elseif z==[2,3]phone=6;elseif z==[3,1]phone=7;elseif z==[3,2]phone=8;elseif z==[3,3]phone=9;end%将整型数转化成字符number=strcat(number,int2str(phone)); end% 显示号码set(handles.shownum1,'string',number);5.数字拨号音的频谱图产生代码a=handles.NUM(1:420);a=fft(a,8192);a=abs(a);figure(1)stem(a)title('第一个输入数字拨号音的频谱图')xlabel('频率Hz'),ylabel('幅度')figure(2)a=a(1:1700);stem(a)title('第一个输入数字拨号音的频谱图')xlabel('频率Hz'),ylabel('幅度')六、实验结果与分析1．GUI下的实验结果图上面的六张图从左到右，从上到下分别是：运行程序后的界面、输入1008611后的界面、按1次*键（删除键）后的界面、按1次Receive（识别键）后的界面、按1次#键（清除键）后的界面、再按1次Receive（识别键）后的界面。

数字信号处理卷积公式一、离散序列的卷积公式。

1. 定义。

- 设离散序列x(n)和h(n)，它们的卷积y(n)定义为：y(n)=∑_m =-∞^∞x(m)h(n - m)- 这里m是求和变量，n表示卷积结果y(n)的序列序号。

2. 计算步骤示例。

- 例如，已知x(n)={1,2,3}（n = 0,1,2时的值，其他n时x(n)=0），h(n)={2,1}（n = 0,1时的值，其他n时h(n)=0）。

- 当n = 0时：- y(0)=∑_m =-∞^∞x(m)h(0 - m)=x(0)h(0)=1×2 = 2- 当n = 1时：- y(1)=∑_m =-∞^∞x(m)h(1 - m)=x(0)h(1)+x(1)h(0)=1×1+2×2=1 + 4=5- 当n = 2时：- y(2)=∑_m =-∞^∞x(m)h(2 - m)=x(0)h(2)+x(1)h(1)+x(2)h(0)=1×0+2×1+3×2=0 + 2+6 = 8- 当n = 3时：- y(3)=∑_m =-∞^∞x(m)h(3 - m)=x(1)h(2)+x(2)h(1)=2×0+3×1 = 3- 当n>3时，y(n)=0。

所以y(n)={2,5,8,3}。

3. 卷积的性质。

- 交换律：x(n)*h(n)=h(n)*x(n)，即∑_m =-∞^∞x(m)h(n - m)=∑_m =-∞^∞h(m)x(n - m)。

- 结合律：(x(n)*h_1(n))*h_2(n)=x(n)*(h_1(n)*h_2(n))。

- 分配律：x(n)*(h_1(n)+h_2(n))=x(n)*h_1(n)+x(n)*h_2(n)。

二、连续信号的卷积公式。

1. 定义。

- 设连续时间信号x(t)和h(t)，它们的卷积y(t)定义为：y(t)=∫_-∞^∞x(τ)h(t-τ)dτ- 这里τ是积分变量，t表示卷积结果y(t)的时间变量。

实验四 循环卷积和线性卷积的实现一、实验目的1.进一步了解并掌握循环卷积与线性卷积的概念2.掌握线性卷积与循环卷积软件实现的方法，理解掌握二者的关系 二、实例分析与计算 实验原理：两个序列的N 点循环卷积定义为)())(()()]()([N n m n x m h n x n h N k NN <≤-=⊗∑-=01从定义中可以看出，循环卷积和线性卷积的不同之处在于：两个N 点序列的N 点循环卷积的结果认为N 点序列，而它们的线性卷积的结果的长度则为2N-1；循环卷积对序列的移位采取循环移位，而线性卷积对序列采取线性移位。

圆卷积与线卷积结果完全不同，出现这种差异的实质是：线卷积过程中，经反褶再向右平移的序列，在左端将依次留出空位，而圆卷积过程中，经反褶做圆移的序列，向右移去的样值又从左端循环出现，这样就使两种情况下相乘、叠加所得之数值截然不同。

根据DFT 循环卷积性质中的卷积定理)]([)]([})]()({[n h DFT n x DFT n x n h DFT N ∙=⊗可通过两种方法求两个序列的循环卷积：一是直接根据定义计算；二是根据性质先分别求两个序列的N 点DFT ，并相乘，然后取IDFT 以得到循环卷积。

第二种方法看起来要经过若干个步骤，但由于求序列的DFT 和IDFT 都有快速算法，因此它的效率比第一种方法高得多。

已知有线长序列)(n x 如图题5-8所示，试画出（1）)(n x与)(n x的线卷积；（2）)(n x与)(n x的4点圆卷积；（3）)(n x与)(n x的10点圆卷积；（4）欲使)(n x与)(n x的圆卷积和线卷积相同，求长度L之最小值解:(1)线卷积m 0 1 2 3X(m) 0.5 1 1 0.5H(m) 0.5 0 0 0 y(0)=0.5x0.5=0.251 0.5 0 0 y(1)=1x0.5+1x0.5=11 1 0.5 0 y(2)=1x0.5+1x1+1x0.5=20.5 1 1 0.5 y(3)=0.5x0.5+1x1+1x1+0.5x0.5=2.50 0.5 1 1 y(4)=0.5x1+1x1+0.5x1=20 0 0.5 1 y(5)=0.5x1+0.5x1=10 0 0 0.5 y(6)=0.5x0.5=0.250 0 0 0 y(7)=0(2)44))((,))((n h n xm 0 1 2 3)(m x 0.5 1 1 0.5)(m h - 0.5 0.51 1y(0)=0.5x0.5+1x0.5+1x1+0.5x1=49m 0 1 2 3)(m x 0.5 1 10.5)(m h - 1 0.5 0.5 1y(1)=0.5x1+1x0.5+1x0.5+0.5x1=2m 0 1 2 3)(m x 0.5 1 1 0.5 )(m h - 1 1 0.50.5y(2)=0.5x1+1x1+1x0.5+0.5x0.5=49m 0 1 2 3)(m x 0.5 1 1 0.5 )(m h - 0.5 1 10.5y(3)=0.5x0.5+1x1+1x1+0.5x0.5=2.5(3)1010))((,))((n x n xm 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9)(m x 0.5 1 1 0.5 0 0 0 0 0 0 )(m h - 0.5 0 00 0 0 0 0.5 1 1y(0)=0.5x0.5=0.25m 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9)(m x 0.5 1 1 0.5 0 0 0 0 0 0 )(m h - 1 0.5 00 0 0 0 0 0.5 1y(1)=0.5x1+1x0.5=1m 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9)(m x )(m h - 1 1 0.50 0 0 0 0 0 0.5y(2)=0.5x1+1x1+1x0.5=2m 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9)(m x 0.5 1 1 0.5 0 0 0 0 0 0 )(m h - 0.5 1 10.5 0 0 0 0 0 0y(3)=0.5x0.5+1x1+1x1+0.5x0.5=2.5m 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9)(m x 0.5 1 1 0.5 0 0 0 0 0 0 )(m h - 0 0.5 11 0.5 0 0 0 0 0y(4)=1x0.5+1x1+0.5x1=2m 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9)(m x 0.5 1 1 0.5 0 0 0 0 0 0 )(m h - 0 0 0.51 1 0.5 0 0 0 0y(5)=1x0.5+0.5x1=1m 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9)(m x 0.5 1 1 0.5 0 0 0 0 0 0 )(m h - 0 0 00.5 1 1 0.5 0 0 0y(6)=0.5x0.5=0.25m 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9)(m x )(m h - 0 0 00 0.5 1 1 0.5 0 0y(7)=0m 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9)(m x 0.5 1 1 0.5 0 0 0 0 0 0 )(m h - 0 0 00 0 0.5 1 1 0.5 0y(8)=0m 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9)(m x 0.5 1 1 0.5 0 0 0 0 0 0 )(m h - 0 0 00 0 0 0.5 1 1 0.5y(9)=0 （4）L ≥M+N-1=4+4-1=7 所以L 的最小长度为7三、应用MATLAB 仿真所用程序实现如下：首先得有计算循环卷积的函数function y = circonv1(x1,x2,N)if length(x1)>Nerror('N must not be less than length of x1') endif length(x2)>Nerror('N must not be less than length of x2') endx1=[x1,zeros(1,N-length(x1))]; x2=[x2,zeros(1,N-length(x2))]; n=[0:1:N-1];x2=x2(mod(-n,N)+1); H=zeros(N,N);for n=1:1:NH(n,:)=cirshiftd(x2,n-1,N); endy=x1*H';function y=cirshiftd(x,m,N)% 输出序列含循环移位（y=Output sequence contains circular shift 。