周期卷积、循环卷积和线性卷积比较

数字信号处理知识点总结《数字信号处理》辅导一、离散时间信号和系统的时域分析 （一） 离散时间信号（1）基本概念信号：信号传递信息的函数也是独立变量的函数，这个变量可以是时间、空间位置等。

连续信号：在某个时间区间，除有限间断点外所有瞬时均有确定值。

模拟信号：是连续信号的特例。

时间和幅度均连续。

离散信号：时间上不连续，幅度连续。

常见离散信号——序列。

数字信号：幅度量化，时间和幅度均不连续。

（2）基本序列（课本第7——10页）1）单位脉冲序列 1,0()0,0n n n δ=⎧=⎨≠⎩2）单位阶跃序列 1,0()0,0n u n n ≥⎧=⎨≤⎩3）矩形序列 1,01()0,0,N n N R n n n N ≤≤-⎧=⎨<≥⎩ 4）实指数序列 ()n a u n5）正弦序列 0()sin()x n A n ωθ=+ 6）复指数序列 ()j n n x n e e ωσ= （3）周期序列1）定义：对于序列()x n ，若存在正整数N 使()(),x n x n N n =+-∞<<∞ 则称()x n 为周期序列，记为()x n ，N 为其周期。

注意正弦周期序列周期性的判定（课本第10页）2）周期序列的表示方法： a.主值区间表示法 b.模N 表示法 3）周期延拓设()x n 为N 点非周期序列，以周期序列L 对作()x n 无限次移位相加，即可得到周期序列()x n ，即()()i x n x n iL ∞=-∞=-∑当L N ≥时，()()()N x n x n R n =当L N <时，()()()N x n x n R n ≠（4）序列的分解序列共轭对称分解定理：对于任意给定的整数M ，任何序列()x n 都可以分解成关于/2c M =共轭对称的序列()e x n 和共轭反对称的序列()o x n 之和，即()()(),e o x n x n x n n =+-∞<<∞并且1()[()()]2e x n x n x M n *=+-1()[()()]2o x n x n x M n *=--（4）序列的运算 1）基本运算2）线性卷积：将序列()x n 以y 轴为中心做翻转，然后做m 点移位，最后与()x n 对应点相乘求和——翻转、移位、相乘、求和定义式：1212()()()()()m y n x m x n m x n x n ∞=-∞=-=*∑线性卷积的计算：A 、图解B 、解析法C 、不进位乘法（必须掌握）3）单位复指数序列求和（必须掌握）/2/2/2/2/2/21/2/2/2/2/2/2(1)/21()()/(2)1()()/(2)sin(/2)sin(/2)j N j N j N j N j N j N j N N j nj j j j j j j n j N e e e e e e e j ee e e e e e e j N e ωωωωωωωωωωωωωωωωωω------------=-----===---=∑如果2/k N ωπ=，那么根据洛比达法则有sin(/2)(0)(0)(()())sin(/2)N N k N N k N ωδδω===或可以结合作业题3.22进行练习（5）序列的功率和能量能量：2|()|n E x n ∞=-∞=∑功率：21lim |()|21NN n NP x n N →∞=-=+∑（6）相关函数——与随机信号的定义运算相同（二） 离散时间系统1．系统性质 （1）线性性质定义：设系统的输入分别为1()x n 和2()x n ，输出分别为1()y n 和2()y n ，即1122()[()],()[()]y n T x n y n T x n ==统的输对于任意给定的常数a、b ，下式成立1212()[()()]()()y n T ax n bx n a y n by n =+=+则该系统服从线性叠加原理，为线性系统，否则为非线性系统。

1.举例说明什么是因果序列和逆因果序列，并分别说明它们z 变换的收敛域。

答：因果序列定义为x （n ）＝0，n<0，例如x （n ）＝)(n u a n ⋅，其z 变换收敛域：∞≤<-z R x 。

逆因果序列的定义为x (n)=0,n>0。

例如x （n ）＝()1--n u a n ，其z 变换收敛域：+<≤x R z 02.用差分方程说明什么是IIR 和FIR 数字滤波器，它们各有什么特性？ 答： 1）冲激响应h （n ）无限长的系统称为IIR 数字滤波器，例如()()()1)(21)(1021-++-+-=n x b n x b n y a n y a n y 。

IIR DF 的主要特性：①冲激响应h （n ）无限长；②具有反馈支路，存在稳定性问题；③系统函数是一个有理分式，具有极点和零点；④一般为非线性相位。

（2）冲激响应有限长的系统称为FIR DF 。

例如()2)1()()(21-+-+=n x b n x b n x n y 。

其主要特性：①冲激响应有限长；②无反馈支路，不存在稳定性问题；③系统函数为一个多项式，只存在零点；④具有线性相位。

3.用数学式子说明有限长序列x （n ）的z 变换X （z ）与其傅里叶变换X )(ωj e 的关系，其DFT 系数X （k ）与X （z ）的关系。

答： （1）x （n ）的z 变与傅里叶变换的关系为()()ωωj e Z e X z X j== （2）x （n ）的DFT 与其z 变换的关系为()()K X z X k N j K N e w Z ===- 2 π4.设x （n ）为有限长实序列，其DFT 系数X （k ）的模)(k X 和幅角arg[X （k ）]各有什么特点？答：有限长实序列x （n ）的DFT 之模()k x 和幅角[])(arg k X 具有如下的性质：（1）)(k X 在0-2π之间具有偶对称性质，即)()(k N X k X -=（2）[])(arg k x 具有奇对称性质，即[]()[]k N X k X --=arg )(arg5.欲使一个FIR 数字滤波器具有线性相位，其单位取样响应)(n h 应具有什么特性？具有线性相位的FIR 数字滤器系统函数的零点在复平面的分布具有什么特点？答： 要使用FIR 具有线性相位，其h （n ）应具有偶对称或奇对称性质，即h(n)=h(N-n-1)或h(n)=-h(N-n-1)。

数字信号处理简答题 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】1.一般模拟信号的D F T过程连续时间信号的傅里叶变换所得信号的频谱函数是模拟角频率Ω的连续函数；而对连续时间信号进行时域采样所得序列的频谱是数字角频率ω的连续函数。

而将采样序列截断为有限长序列后做离散傅里叶变换是对被截断后序列频谱函数的等间隔采样。

由于DFT是一种时域和频域都离散化了的变换，因此适合做数值运算，成为分析信号与系统的有力工具。

但是，用DFT对连续时间信号做频谱分析的过程中，做了两步工作，第一是采样；第二是截断。

因此，最后所得到的离散频谱函数和原连续信号的连续频谱肯定存在误差。

下面我们就来分析这些误差究竟产生在哪些地方。

首先由傅里叶变换的理论可知，对于模拟信号来说，若信号持续时间有限长，则其频谱无限宽；若信号的频谱有限宽，则其持续时间无限长。

所以严格来讲，持续时间有限的带限信号是不存在的。

实际中，对频谱很宽的信号，为防止时域采样后产生频谱混叠，先用采样预滤波的方法滤除高频分量。

那么必然会导致滤波后的信号持续时间无限长。

设前置滤波器的输出信号为xa (t)，其频谱函数Xa(jΩ)，它们都是连续函数，其中xa (t)为无限长，而Xa(jΩ)为有限长。

首先对该信号作时域采样，采样周期为T，将得到离散的无限长的序列x(nT)。

由于习惯上描述序列的频谱时用ω作为频率变量，因此必须探寻x(n)的频谱X(e jω)与xa (t)的频谱Xa(jΩ)之间的关?系。

理论上已推得，X(e jω)就是Xa(jΩ)以2π/T的周期延拓后再将频率轴Ω作T倍的伸缩后得到的图形再乘以一个常数1/T得到。

也就是X(e jω)= X(e jΩT)=1/T*∑Xa[j(Ω-k*2π/T)]这一个过程中，只要采样频率足够大，即T足够小，理论上是可以保证无混叠的，也就是能由序列的频谱X(e jω)完全恢复模拟信?号的频谱Xa(jΩ)。

绪论:本章介绍数字信号处理课程的基本概念。

0.1信号、系统与信号处理1.信号及其分类信号是信息的载体，以某种函数的形式传递信息.这个函数可以是时间域、频率域或其它域，但最基础的域是时域。

分类：周期信号/非周期信号确定信号/随机信号能量信号/功率信号连续时间信号/离散时间信号/数字信号按自变量与函数值的取值形式不同分类：2.系统系统定义为处理（或变换）信号的物理设备,或者说,凡是能将信号加以变换以达到人们要求的各种设备都称为系统。

3。

信号处理信号处理即是用系统对信号进行某种加工。

包括：滤波、分析、变换、综合、压缩、估计、识别等等。

所谓“数字信号处理”,就是用数值计算的方法，完成对信号的处理.0.2 数字信号处理系统的基本组成数字信号处理就是用数值计算的方法对信号进行变换和处理。

不仅应用于数字化信号的处理，而且也可应用于模拟信号的处理。

以下讨论模拟信号数字化处理系统框图。

（1）前置滤波器将输入信号x a（t)中高于某一频率（称折叠频率,等于抽样频率的一半）的分量加以滤除。

（2)A/D变换器在A/D变换器中每隔T秒（抽样周期)取出一次x a(t)的幅度，抽样后的信号称为离散信号。

在A/D 变换器中的保持电路中进一步变换为若干位码。

（3）数字信号处理器（DSP）(4）D/A变换器按照预定要求,在处理器中将信号序列x（n)进行加工处理得到输出信号y（n）。

由一个二进制码流产生一个阶梯波形，是形成模拟信号的第一步.（5）模拟滤波器把阶梯波形平滑成预期的模拟信号；以滤除掉不需要的高频分量，生成所需的模拟信号y a(t）.0.3 数字信号处理的特点（1）灵活性.(2）高精度和高稳定性。

(3)便于大规模集成。

（4）对数字信号可以存储、运算、系统可以获得高性能指标。

0。

4 数字信号处理基本学科分支数字信号处理（DSP)一般有两层含义，一层是广义的理解，为数字信号处理技术-—DigitalSignalProcessing,另一层是狭义的理解,为数字信号处理器—-DigitalSignalProcessor.0。

第三章离散傅里叶变换及其快速算法习题答案参考3.1 图P3.1所示的序列(xn 是周期为4的周期性序列。

请确定其傅里叶级数的系数(X k。

解:(111*0((((((N N N nk nk nk N N N n n n X k x n W x n W x n W X k X k −−−−−=====−= =−=∑∑∑3.2 (1设(xn 为实周期序列,证明(x n 的傅里叶级数(X k 是共轭对称的,即*((X k X k =− 。

(2证明当(xn 为实偶函数时,(X k 也是实偶函数。

证明:(1 111**((([(]((N nk N n N N nk nkNNn n Xk x n W Xk x n W xn W X−−=−−−==−=−===∑∑∑ k(2因(xn 为实函数,故由(1知有 *((Xk X k =− 或*((X k X k −= 又因(xn 为偶函数,即((x n x n =− ,所以有(111*0((((((N N N nk nk nk N N N n n n X k x n W x n W x n W X k X k −−−−−=====−= =−=∑∑∑3.3 图P3.3所示的是一个实数周期信号(xn 。

利用DFS 的特性及3.2题的结果,不直接计算其傅里叶级数的系数(Xk ,确定以下式子是否正确。

(1,对于所有的k; ((10Xk X k =+ (2((Xk X k =− ,对于所有的k; (3; (00X=(425(jkX k eπ,对所有的k是实函数。

解:(1正确。

因为(x n 一个周期为N =10的周期序列,故(X k 也是一个周期为N=10的周期序列。

(2不正确。

因为(xn 一个实数周期序列,由例3.2中的(1知,(X k 是共轭对称的,即应有*((Xk X = k −,这里(X k 不一定是实数序列。

(3正确。

因为(xn (0n ==在一个周期内正取样值的个数与负取样值的个数相等,所以有 10(0N n Xx −=∑ (4不正确。

循环卷积与线性卷积的实现一、实验目的（1）进一步理解并掌握循环卷积与线性卷积的概念。

（2）理解掌握二者的关系。

二、实验原理两个序列的N 点循环卷积定义为[h(n)○*x(n)]N =∑-=10k N h(m)x((n-m))N N)n 0(<≤从定义中可以看到，循环卷积和线性卷积的不同之处在于：两个N 点序列的N 点循环卷积的结果仍为N 点序列，而它们的线性卷积的结果长度则为2N-1；循环卷积对序列的移位采取循环移位，而线性卷积对序列采取线性移位。

正是这些不同，导致了线性卷积和循环卷积有不同的结果和性质。

循环卷积和线性卷积虽然是不同的概念，但是它们之间有一个有意义的公式联系在一起y(n)=[h(n)○*x(n)]N =(∑∞-∞=r 'y (n-rN))G N (n)其中'y (n)=h(n)*x(n)。

也就是说，两个序列的N 点循环卷积是它们的线性卷积以N 为周期的周期延拓。

设序列h(n)的长度为N 1，序列x(n)的长度为N 2，此时，线性卷积结果的序列的点数为'N =N 1+N 2-1；因此如果循环卷积的点数N 小于N 1+N 2-1，那么上述周期性延拓的结果就会产生混叠，从而两种卷积会有不同的结果。

而如果N 满足'N N =的条件，就会有)n ('y )n (y = （N <≤n 0）这就意味着在时域不会产生混叠。

因此我们得出结论：若通过在序列的末尾填充适当的零值，使得x(n)和h(n)成为N 1+N 2-1点序列，并作出这两个序列的N 1+N 2-1循环卷积，那么循环卷积与线性卷积的结果在N <≤n 0范围内相同。

根据DFT 循环卷积性质中的卷积定理DFT{[h(n)○*x(n)]N }=DFT[x(n)]∙DET[h(n)] 便可通过两种方法求两个序列的循环卷积：一是直接根据定义计算；二是根据性质先分别求两个序列的N 点DFT ，并相乘，然后取IDFT 以得到循环卷积。

实验五 循环卷积与线性卷积的实现一、实验目的（1） 进一步理解并掌握循环卷积与线性卷积的概念；（2） 理解掌握二者的关系。

二、实验原理两个序列的N 点的循环卷积定义为10[()()]()(())N N Nk h n x n h m x n m -=⊗=-∑ (0)n N ≤<从定义中可以看到,循环卷积和线性卷积的不同之处在于：两个N 点序列的N 点循环卷积结果仍为N 点序列,而它们的线性卷积的结果长度则为2N -1；循环卷积对序列的移位采取循环移位,而线性卷积对序列采取线性移位。

正是这些不同,导致了线性卷积和循环卷积有不同的结果和性质。

两个序列的N 点循环卷积是它们的线性卷积以N 为周期的周期延拓。

设序列()h n 的长度为1N ,序列()x n 的长度为2N ,此时线性卷积结果的序列点数为'121N N N =+-；因此如果循环卷积的点数N 小于121N N +-,那么上述周期性延拓的结果就会产生混叠,从而两种卷积会有不同的结果。

而如果满足'N N =的条件,就有循环卷积与线性卷积的结果在0n N ≤<范围内相同。

根据DFT 循环卷积性质中的卷积定理{[()()]}[()][()]N DFT h n x n DFT x n DFT h n ⊗=•因此可以根据性质先分别求两个序列的N 点DFT,并相乘,然后取IDFT 以得到循环卷积。

三、实验分析例题：已知有限长序列()x n 与()h n 如下图所示,（1） 画出两者之间的线性卷积（2） 8点圆卷积。

（3） 5点圆卷积。

解析如下：（1）()x n 与()h n 的线性卷积,由公式可知：()*()()()m h n x n x m h n m ∞=-∞=-∑()x m 与()h m -的图形如下：利用方格平移法：11 1 1 13 2 1 0 0当0n =时,()*()0h n x n =当1n =时,()*()0h n x n =当2n =时,()*()0*11*11h n x n =+=当3n =时,()*()2*11*10*13h n x n =++=当4n =时,()*()3*12*11*10*16h n x n =+++=当5n =时,()*()3*12*11*10*16h n x n =+++=当6n =时,()*()3*12*11*16h n x n =++=当7n =时,()*()3*12*15h n x n =+=当8n =时,()*()3*13h n x n ==得到图形如下：（2）()x n 与()h n 的8点圆卷积,由公式可知：78880()()(())(())()n x n h n x m h n m G n =⊗=-∑8(())x m 与8(())h m -的图形如下：根据下面图表可计算得到圆卷积：当0n =时：1 1 1 1 1 00 0 0 0 0 0 3 21 0 0 0 0 0 3 00 0 取和得到圆卷积为3。

1.举例说明什么是因果序列和逆因果序列，并分别说明它们z 变换的收敛域。

答：因果序列定义为（n ）＝0，n<0，例如（n ）＝，其z 变换收x x )(n u a n ⋅敛域：。

逆因果序列的定义为(n)=0,n>0。

例如（n ）＝∞≤<-z R x x x ，其z 变换收敛域：()1--n u a n +<≤x R z 02.用差分方程说明什么是IIR 和FIR 数字滤波器，它们各有什么特性？ 答：1）冲激响应h （n ）无限长的系统称为IIR 数字滤波器，例如。

()()()1)(21)(1021-++-+-=n x b n x b n y a n y a n y IIR DF 的主要特性：①冲激响应h （n ）无限长；②具有反馈支路，存在稳定性问题；③系统函数是一个有理分式，具有极点和零点；④一般为非线性相位。

（2）冲激响应有限长的系统称为FIRDF 。

例如。

()2)1()()(21-+-+=n x b n x b n x n y 其主要特性：①冲激响应有限长；②无反馈支路，不存在稳定性问题；③系统函数为一个多项式，只存在零点；④具有线性相位。

3.用数学式子说明有限长序列（n ）的z 变换X （z ）与其傅里叶变换X x 的关系，其DFT 系数X （k ）与X （z ）的关系。

)(ωj e 答： （1）（n ）的z 变与傅里叶变换的关系为x ()()ωωj e Z e X z X j == （2）（n ）的DFT 与其z 变换的关系为x ()()K X z X k Nj K New Z ===- 2 π4.设（n ）为有限长实序列，其DFT 系数X （k ）的模和幅角arg[X （k ）]各x )(k X 有什么特点？答：有限长实序列（n ）的DFT 之模和幅角具有如下的性质：x ()k x [])(arg k X （1）在0-2之间具有偶对称性质，即)(k X π)()(k N X k X -=（2）具有奇对称性质，即[])(arg k x []()[]k N X k X --=arg )(arg 5.欲使一个FIR 数字滤波器具有线性相位，其单位取样响应应具有什么特)(n h 性？具有线性相位的FIR 数字滤器系统函数的零点在复平面的分布具有什么特点？答： 要使用FIR 具有线性相位，其h （n ）应具有偶对称或奇对称性质，即h(n)=h(N-n-1)或h(n)=-h(N-n-1)。

实验二线性卷积与循环卷积（1）线性卷积n=[0:1:3]%N1=length(n);%xnn=ones(1,N1);xn=(n+1).*((n>=0)-(n>=4));hn=(4-n).*((n>=0)-(n>=4));subplot(311);stem(n,xn,'.');axis([0 6 0 6]);title('x(n)=（）');subplot(312);stem(n,hn,'.');axis([0 6 0 6]);title('h(n)');yn=conv(xn,hn);N2=[0:1:length(yn)-1]subplot(313);stem(N2,yn,'.');axis([0 6 0 30])title('y(n)=x(n)*h(n)');x(n)=(n+1)R4(n)0123456h(n)=(4-n)R4(n)0123456y(n)=x(n)*h(n)0123456（2）循环卷积n=[0:1:3]N1=length(n);xnn=ones(1,N1);xn=(n+1).*xnn;hn=(4-n).*xnn;yln=conv(xn,hn);ycn5=circonv(xn,hn,5); ycn6=circonv(xn,hn,6); ycn7=circonv(xn,hn,7); ycn8=circonv(xn,hn,8);ny1=[0:1:length(yln)-1]; ny5=[0:1:length(ycn5)-1]; ny6=[0:1:length(ycn6)-1]; ny7=[0:1:length(ycn7)-1]; ny8=[0:1:length(ycn8)-1];subplot(321);stem(ny1,yln,'.');title('yln');axis([0 8 0 40]);subplot(322);stem(ny5,ycn5,'.');title('5µãycn');axis([0 8 0 40]);subplot(323);stem(ny6,ycn6,'.');title('6µãycn');axis([0 8 0 40]);subplot(324);stem(ny7,ycn7,'.');title('7µãycn');axis([0 8 0 40]);subplot(325);stem(ny8,ycn8,'.');title('8µãycn');axis([0 8 0 40]);（3）fft 函数实现圆卷积n=[0:1:3] N1=length(n); xnn=ones(1,N1); xn=(n+1).*xnn; hn=(4-n).*xnn; N1=length(xn); N2=length(hn); N=N1+N2-1; NN1=5; NN2=6; NN3=7; NN4=8; XK=fft(xn,N); HK=fft(hn,N); YK=XK.*HK;x=0:N-1; yn=ifft(YK,N); subplot(321);02468yln024685点ycn024686点ycn024687点ycn8点ycnstem(x,yn,'.');axis([0 8 0 40]);title('yln');x=0:NN1-1;yn=ifft(YK,NN1);subplot(322);stem(x,yn,'.');axis([0 8 0 40]);title('5µãycn');x=0:NN2-1;yn=ifft(YK,NN2);subplot(323);stem(x,yn,'.');axis([0 8 0 40]);title('6µãycn');x=0:NN3-1;yn=ifft(YK,NN3);subplot(324);stem(x,yn,'.');axis([0 8 0 40]);title('7µãycn');x=0:NN4-1;yn=ifft(YK,NN4);subplot(325);stem(x,yn,'.');axis([0 8 0 40]);title('8µãycn');附：function yc=circonv(x1,x2,N)if length(x1)>Nerror('N must not be less than length of x1'); endif length(x2)>Nerror('N must not be less than length of x2'); endx1=[x1,zeros(1,N-length(x1))];x2=[x2,zeros(1,N-length(x2))];n=[0:1:N-1];x2=x2(mod(-n,N)+1);H=zeros(N,N); for n=1:1:NH(n,:)=cirshiftd(x2,n-1,N); end yc=x1*H';function y=cirshiftd(x,m,N) if length(x)>Nerror('length of x must be less than N'); endx=[x,zeros(1,N-length(x))]; n=[0:1:N-1]; y=x(mod(n-m,N)+1);02468yln024685点ycn024686点ycn024687点ycn024688点ycn。