江苏省启东市高中数学第一章三角函数第1课时1.1任意角教案苏教版必修4

1．1.1 任意角作者：杨周萍，江苏省羊尖高级中学教师，本教学设计获江苏省教学设计大赛二等奖．整体设计设计思想当今世界随着知识经济的不断发展，对人的整体素质提出了前所未有的要求，尤其是对人的主动性、创造性、批判性思维的重视超过了以往任何时代．作为现代科学技术的基础和工具的数学，其修养是21世纪高科技时代人才必备的素养，调查表明年级越高，对数学学习感兴趣的学生越少，究其原因，大多是因为在数学学习中经历了太多的失败，逐步丧失学习信心．数学是抽象的，难学的，数学教育要通过数学学习活动本身来提高学习的兴趣就显得更为重要．所以在本课的设计中以理解学生、尊重学生为前提，从学生的原认知出发，以学生熟知的生活现象创设问题情境，导入新课，发动学生，营造和谐的师生关系和课堂氛围、为学生的智慧生成留下足够的空间．在教师的引导下，让学生学会用客观环境所提供的信息来加工自己的知识，完善自己的知识结构并在对问题不断地讨论和探索过程中自主地思考问题并提出问题、构建数学、应用数学、回顾反思所学，培养学生发现问题、研究问题、解决问题、应用反思的数学学习能力，学生在教师的引导下一旦投入活动，各个不同层次的学习者都会有发现和创新的机会和成果，有向同学、教师展示自己成果和才能的机会，能经常体验到数学学习的乐趣，从而增强学习数学的信心和兴趣，并进入良性循环，终身学习的欲望得以孕育、成长．让课堂教学真正成为学生终生学习的成长阶梯，真正“实现不同的人在数学学习中得到不同的发展”，特别是新课程所提出的对学生思维方法的培养，为学生进一步学习提供必要的数学准备．教学内容分析本课时教学内容为引言和1.1.1 任意角，是三角函数的开篇．“引言”提出了本章的中心问题，它是本章知识的生长点，特别是周期现象贯穿了本章教学内容的始终，它可以帮助学生很好的探索、理解同终边角、同直线角、范围角的集合表示的抽象形式．同时，周期也是三角函数的一个非常重要的性质，是把三角函数一个周期的性质推广到整个定义域的理论依据，是研究三角函数的核心概念，为学生学习、理解周期的抽象的代数定义作了一个很好的铺垫．因此，笔者认为，在三角函数的开篇课中，应该按照引言中所提出的对周期性的研究大纲，把周期现象这一变化规律作为教学内容的一个重要组成部分实施教学，不能一带而过或不讲，要让学生对周期现象形成初步的感性认识和理性认识，为进一步学习与周期性相关的内容和理解周期的抽象含义打下坚实的基础，起到统领全章教学的核心作用．引言中所提出的“用什么样的数学模型来刻画圆上点P运动的变化规律”以及“如何表示点P”等问题在以后的教学中会自然的解决，因此，这些问题在本节课中没有必要作为重点，只是略作分析，通过用角α表示圆上围绕圆心的旋转点P的实际意义的需要，自然过渡到任意角这一教学环节，这样的处理符合了新课标中提出的螺旋上升的教学原则．任意角的概念是本节课的重点，关于正、负角的引入，可以从实际事例(如体操中“向前翻腾两周半”“向后翻腾两周半”)引入，这样处理比较自然，学生也能够体会到引入正、负角的必要性和它的实际意义．然后再与正、负数类比，建立角度与实数一一对应的关系．在讲解任意角时，要注意把即时的画图和描述相结合起来，给学生以直观，以形助数，数形结合，体会任意角的旋转运动的实际意义．把终边相同的角用集合和符号语言正确地表示出来，是本节课的一个难点，理解终边相同的角的意义，是学好这一小节的关键，同时这一知识也是同直线角、范围角以及诱导公式等知识的生长点．因此，这一环节的教学，要引导学生结合周期现象通过对足够的特例进行观察、分析、研究最终探索一般的知识规律——“同终边角相差周期‘360°’的整数倍”，并及时地让学生去运用这一数学知识，使学生强化理解知识，为后续学习铺路．问题与例题的设计给学生留下了比较多的思维空间，通过设疑来激发学生的思维，教师要让学生体会从具体到抽象，从特殊到一般，逐步归纳的思考方法；体会转化、分类讨论、数形结合等数学解题思想．教学目标分析知识目标1．初步理解周期现象的含义．2．使学生理解用“旋转”定义的任意角的概念．3．理解并掌握“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义，是本节的教学重点．能力目标1．学会在平面内建立适当的坐标系来讨论任意角．2．掌握所有与α角终边相同的角(包括α角)的集合的表示方法，是本节的教学难点．3．能在0°到360°范围内，找出一个与已知角终边相同的角，并能判定其为第几象限角．4．学会用“特殊到一般、具体到抽象”研究问题的学习方法，体会分类讨论等数学思想．情感态度与价值观通过本节的学习，使同学们对角的概念有了一个新的认识；树立运动变化的观点，学会运用运动变化的观点认识事物；揭示知识背景，引发学生学习兴趣；创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度；让学生感受图形的对称美、运动美，培养学生对美的追求．教学过程(一)引言流程：(创设问题情境——探索发现规律——揭示数学本质)问题情境：大家知道我每个星期的这一天的同一时间都要来高一7班做一件什么事吗？师生合作：讨论分析，探索发现规律．问题1：同学们能不能用自己的语言来描述一下什么叫周期呢？问题2：你们能再举例说明周期现象吗？问题3：数学问题中有这样的周期现象吗？小结：我们把这种按一定规律不断重复出现的现象称为周期现象．这种现象一般与周期运动有关，一个简单又基本的数学周期现象便是“圆周上一点的运动”．设计意图：创设生活情境，符合学生实际，有利于营造和谐的、活跃的氛围，激发学生学习的兴趣；有利于学生“从无到有”的创造性的探索、发现知识的规律，揭示实际问题的数学本质．使学生充分地认识和理解周期现象，有利于学生对整章的学习，起到了关键性的作用．(二)任意角的概念流程：(创设问题情境——合作探究——建构数学)问题情境：如图1，若点P从水平位置绕圆心O逆时针旋转一周半，点P的变化规律用数学方法如何刻画呢？图1问题3：在体操运动中有“翻腾两周半”这样的动作名称，这里的“翻腾两周半”表示什么呢？问题4：“向前翻腾两周半”“向后翻腾两周半”又分别如何用角度来表示呢？小结：一般情况下，把向前、向上、向右、逆时针的方向规定为正方向，相反则为负方向．(此时，我们头脑中的角度也不再是0°到360°之间的角了，角度的范围随着实际的应用开始推广到了任意角．)任意角包括正角、负角、零角(学生描述三种角的定义，老师板书并分别画图演示)．任意角和实数可以建立一一对应的关系．设计意图：创设问题情境，自然过渡，从学生已有的认知出发，暴露学生的“思维定势”，引导学生质疑、批判的去思考问题，以形象的生活实际，引入正、负角的概念，有利于学生理解和接受新知识；有利于学生自觉地、创造性地去研究数学、构建数学．(三)同终边角的集合表示流程：(创设问题情境——自主探究——建构数学)师：为了便于研究，今后我们常以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，如果角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．(画图分析说明)问题：－300°，－150°，－60°，60°，210°，300°，420°，180°，540°，900°，－900°角分别是第几象限角？其中哪些角的终边是相同的？探究题组：(1)终边相同的角是否相等？不同角的终边是否不同？(2)相同终边的角彼此之间有什么关系？(3)你能写出与60°角终边相同的角的集合吗？(4)求与角α终边相同的角的集合．小结：一般地，与角α终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}(β与α相差周期的整数倍)．作用：可以把不在0°到360°范围内的角转化为0°到360°范围内的角．设计意图：创设问题情境，从特殊到一般，从具体到抽象，有利于学生探究问题、发现问题、归纳问题的一般规律，培养学生探究学习数学的方法和能力；有利于学生深刻地理解同终边角集合的抽象的表示形式．(四)数学应用流程：(问题情境——自主实践——合作交流——疑难点拨——解题回顾)例1在0°到360°的范围内，找出与下列各角终边相同的角，并分别判断它们是第几象限角：(1)650°；(2)－150°；(3)－990°15′.示范(1)：方法一：因为650°＝360°＋290°，所以650°的角与290°的角终边相同，是第四象限角．方法二：表示与650°同终边角的集合，对k 取值验证．方法三：表示与650°同终边角的集合，解不等式求k 的值．(2)、(3)略．例2已知α与240°角的终边相同，判断α2是第几象限角． 方法一：分类讨论，化为同终边的角判断．方法二：利用周期性，数形结合画出终边判断．设计意图：创设问题情境，通过解题示范，增强学生的解题规范意识，树立学习数学的科学态度；通过一题多解的解题方法，渗透数学思想方法，提高学生的解题能力，揭示数学问题的本质规律．(五)回顾反思(1)知识要点回顾：周期现象；任意角；同终边角的集合表示；象限的判断．(2)思想方法回顾：探索研究问题的一般思想方法——(一般到特殊)特殊到一般；判断象限时——转化思想；分类讨论、数形结合的数学思想的运用；周期应用．(3)反思存在的问题(由学生提出疑问或问题改进的办法)．(4)补充说明：(教师：一般情况下我们还可以用弧长，半径以及方向来刻化圆上点P 运动的变化规律．)设计意图：让学生谈学习体会，反思所学，反馈课堂教学信息，使学生的学习得到进一步的升华，从而提高课堂教学的效率．(六)课后拓展(1)终边落在x 轴上的角的集合如何表示？终边落在坐标轴上的角的集合如何表示？(2)终边落在第一象限的角的集合如何表示？(3)若α是第三象限角，则α2是第几象限角？ (七)作业布置(略)附录(教学实录两个片段)(一)引言(教学过程实录)流程：(创设问题情境——探索发现规律——揭示数学本质)师：大家知道我每个星期的这一天的同一时间都要来高一7班做一件什么事吗？ 生：议论但没有回答．师：答案就是：给你们上数学课．(学生笑)你们知道这一个很平常的生活现象表明了一个什么规律吗？生：周期．师：你们能用一个数字来刻化这个规律并说明你的理由吗？生：四，因为今天是星期四．师：那么，这一现象的周期是“四”对吗？(学生思考)生：应该是“7”，因为老师要每隔“7”天才会再次在今天的同一时间上课．师：还有其他数字吗？(学生一起答道“14”)好，同学们能不能用自己的语言来描述一下什么叫周期呢？生：每隔相同时间重复相同事情的现象(教师引导：我们把这种现象称为周期现象，那么周期是什么呢？学生齐答：间隔的时间．教师引导：我们把7就叫做这一现象的一个周期．)师：好，你们能再举例说明周期现象吗？生：每天太阳早上升起，傍晚降落；年复一年，春夏秋冬四个季节；潮起潮落．师：数学问题中有这样的周期现象吗？生：循环小数如13＝0.33··； 圆上的一点绕圆心旋转．师：如图2，点P 是半径为r 的圆O 上一点，点P 的运动可以形象地描述为“周而复始”．那么点P 运动的一个周期是什么？图2生：点P 运动的一个周期是360°.小结：我们把这种按一定规律不断重复出现的现象称为周期现象．这种现象一般与周期运动有关，一个简单又基本的数学周期现象便是“圆周上一点的运动”．(二)任意角的概念(教学过程实录)流程：(创设问题情境——合作探究——建构数学)师：如图3，若点P从水平位置绕圆心O逆时针旋转一周半，点P的变化规律用数学方法如何刻画呢？图3生：建立直角坐标系，用坐标(x，y)表示．师：还可以用什么刻画呢？生：角度．师：用多少度来表示呢？生甲：180°师：为什么？生甲：因为点P绕圆心O旋转一周半后终边与始边形成了一个平角，所以是180°.生乙：不对，应该是540°.师：为什么？生乙：180°应该表示旋转半周，而旋转一周半表示旋转了360°＋180°＝540°(老师画图演示)．师：大家认为用哪个角度表示合理呢？生：540°.师：在体操运动中有“翻腾两周半”这样的动作名称，这里的“翻腾两周半”表示什么呢？生：是用来表示旋转900°的角度．(老师画图演示)师：“向前翻腾两周半”“向后翻腾两周半”又分别如何用角度来表示呢？生：“向前翻腾两周半”用900°表示；“向后翻腾两周半”用－900°表示．师：“－”表示什么意思？生：表示方向．师：为什么“向后翻腾两周半”表示负的呢？怎样画－900°呢？(学生分析，老师画图) 师生共同小结：一般情况下，把向前、向上、向右、逆时针的方向规定为正方向，相反则为负方向．(此时，我们头脑中的角度也不再是0°到360°之间的角了，角度的范围随着实际的应用开始推广到了任意角．)任意角包括正角、负角、零角(学生描述三种角的定义，老师板书并分别画图演示)．任意角和实数可以建立一一对应的关系．。

1．2.1 任意角的三角函数教学分析学生已经学过锐角三角函数，它是用直角三角形边长的比来刻画的．锐角三角函数的引入与“解三角形”有直接关系．任意角的三角函数是刻画周期变化现象的数学模型，它与“解三角形”已经没有什么关系了．因此，与学习其他基本初等函数一样，学习任意角的三角函数，关键是要使学生理解三角函数的概念、图象和性质，并能用三角函数描述一些简单的周期变化规律，解决简单的实际问题．本节以锐角三角函数为引子，利用单位圆上点的坐标定义三角函数．由于三角函数与单位圆之间的这种紧密的内部联系，使得我们在讨论三角函数的问题时，对于研究哪些问题以及用什么方法研究这些问题等，都可以从圆的性质(特别是对称性)中得到启发．三角函数的研究中，数形结合思想起着非常重要的作用．利用信息技术，可以很容易地建立角的终边和单位圆的交点坐标、单位圆中的三角函数线之间的联系，并在角的变化过程中，将这种联系直观地体现出来，所以信息技术可以帮助学生更好地理解三角函数的本质；激发学生对数学研究的热情，培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神；通过学生之间、师生之间的交流合作，实现共同探究、教学相长的教学情境．三维目标1．通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义，理解三角函数是以实数为自变量的函数，并从任意角的三角函数定义认识正弦、余弦、正切函数的定义域，理解并掌握正弦、余弦、正切函数在各象限内的符号．2．正确利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值表示出来，即用正弦线、余弦线、正切线表示出来．3．能初步应用定义分析和解决与三角函数值有关的一些简单问题．重点难点教学重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义．教学难点：用角的终边上的点的坐标来刻画三角函数；三角函数符号的掌握；利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值用几何形式表示．课时安排2课时第1课时导入新课我们把角的范围推广了，锐角三角函数的定义还能适用吗？譬如三角形内角和为180°，那么sin200°的值还是三角形中200°的对边与斜边的比值吗？类比角的概念的推广，怎样修正三角函数定义？由此展开新课．另外用“单位圆定义法”单刀直入给出定义，然后再在适当时机联系锐角三角函数，这也是一种不错的选择．推进新课任意角的三角函数1．任意角的三角函数的定义．角α的终边上任意一点P 的坐标是(x ，y)，它与原点的距离为r(r>0)，则角α的三角函数定义为：2．各象限角的三角函数值的符号如下图所示．图1 三角函数正值口诀：Ⅰ全正，Ⅱ正弦，Ⅲ两切，Ⅳ余弦．教师提示：前面我们对角的概念已经进行了扩充，并且学习了弧度制，知道了角的集合与实数集是一一对应的，在此基础上，我们来研究任意角的三角函数．教师在直角三角形所在的平面上建立适当的坐标系，画出角α的终边；学生给出相应点的坐标，并用坐标表示锐角三角函数．如图2.设锐角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的正半轴重合，那么它的终边在第一象限．在α的终边上任取一点P(x ，y)，它与原点的距离r ＝x 2＋y 2>0.过P 作x 轴的垂线，垂足为M ，则线段OM 的长度为x ，线段MP 的长度为y.图2根据初中学过的三角函数定义，我们有sinα＝MP OP ＝y r ，cosα＝OM OP ＝x r ，tanα＝MP OM ＝y x. 怎样将锐角的三角函数推广到任意角的三角函数呢？教师先让学生们相互讨论，并让他们动手画出图形，看看从图形中是否能找出某种关系来．然后提问学生，由学生回答教师的问题，教师再引导学生选几个点，计算一下对应的比值，获得具体认识，并由相似三角形的性质来证明．最后可以发现，由相似三角形的知识，对于确定的角α，这三个比值不会随点P 在α的终边上的位置的改变而改变．也就是说，对于确定的角α，比值y r 和x r 都惟一确定，故正弦、余弦都是角α的函数．当α＝π2＋kπ(k∈Z )时，角α的终边在y 轴上，故有x ＝0，这时tanα无意义．除此之外，对于确定的角α(α≠π2＋kπ，k∈Z )，比值y x也是惟一确定的，故正切也是角α的函数．sinα、cosα、tanα分别叫做角α的正弦函数、余弦函数、正切函数．以上三种函数都称为三角函数(trigonometric function)．由定义可知，正弦函数、余弦函数、正切函数的值在各象限的符号，如图3所示．图3与学生一起讨论得到以上结论后，教师可以引导学生通过分析三角函数定义中的自变量是什么，对应关系有什么特点，函数值是什么．特别注意α既表示一个角，又是一个实数(弧度数)：“它的终边与单位圆交于点P(x ，y)”包含两个对应关系．从而可以把三角函数看成是自变量为实数的函数．值得注意的是：(1)正弦、余弦、正切、余切、正割、余割都是以角为自变量，以比值为函数值的函数．(2)sinα不是sin 与α的乘积，而是一个比值；三角函数的记号是一个整体，离开自变量的“sin”“tan”等是没有意义的．研究函数我们首先要考虑它的定义域，教师要注意引导学生从定义出发，利用坐标平面内点的坐标的特征得定义域．对于正弦函数sinα＝y r，因为y 恒有意义，即α取任意实数，y 恒有意义，也就是说sinα恒有意义，所以正弦函数的定义域是R ；类似地可写出余弦函数的定义域；对于正切函数tanα＝y x ，因为x ＝0时，y x无意义，即tanα无意义，又当且仅当角α的终边落在纵轴上时，才有x ＝0，所以当α的终边不在纵轴上时，y x恒有意义，即tanα恒有意义，所以正切函数的定义域是α≠π2＋kπ(k∈Z )．(由学生填写下表)三角函数的定义告诉我们，各三角函数在各象限内的符号，取决于x ，y 的符号，当点P 在第一、二象限时，纵坐标y>0，点P 在第三、四象限时，纵坐标y<0，所以正弦函数值对于第一、二象限角是正的，对于第三、四象限角是负的(可制作课件展示)；同样地，余弦函数在第一、四象限是正的，在第二、三象限是负的；正切、余切函数在第一、三象限是正的，在第二、四象限是负的．从而完成上面结论的探究．思路1例1已知角α的终边经过点P(2，－3)，求α的正弦、余弦和正切值．图4解：因为x ＝2，y ＝－3，所以r ＝22＋－32＝13. 所以sinα＝y r ＝－313＝－31313，cosα＝x r ＝213＝21313， tanα＝y x ＝－32. 点评：本例是已知角α终边上一点的坐标，求角α的三角函数值问题．可以先根据三角形相似将这一问题化归到单位圆上，再由定义得解. 变式训练求5π3的正弦、余弦和正切值． 解：在平面直角坐标系中，作∠AOB＝5π3，如图5. 图5易知∠AOB 的终边与单位圆的交点坐标为(12，－32)． 所以sin 5π3＝－32，cos 5π3＝12，tan 5π3＝－ 3. 例2见课本本节例2.变式训练1．求证：当且仅当下列不等式组成立时，角θ为第三象限角．证明：我们证明如果①②式都成立，那么θ为第三象限角．因为①sinθ<0成立，所以θ角的终边可能位于第三或第四象限，也可能位于y 轴的非正半轴上；又因为②式tanθ>0成立，所以θ角的终边可能位于第一或第三象限．因为①②式都成立，所以θ角的终边只能位于第三象限．于是角θ为第三象限角．反过来请同学们自己证明． 点评：本例的目的是认识不同位置的角对应的三角函数值的符号，其条件以一个不等式出现，在教学时要让学生把问题的条件、结论弄清楚，然后再给出证明．这一问题的解决可以训练学生的数学语言表达能力.2.已知cosθtanθ<0，那么角θ是( ) A ．第一或第二象限角 B ．第二或第三象限角C ．第三或第四象限角D ．第一或第四象限角 答案：C思路2例1已知角α的终边在直线y ＝－3x 上，则10sinα＋3secα＝________. 活动：要让学生独立思考这一题目，本题虽然是个填空题，看似简单但内含分类讨论思想，教师可以找两个学生来板演这个例题．对解答思路正确的学生给以鼓励，对思路受阻的学生教师要引导其思路的正确性，并适时地点拨学生：假如是个大的计算题应该怎样组织步骤？解析：设角α终边上任一点为P(k ，－3k)(k≠0)，则x ＝k ，y ＝－3k ，r ＝k 2＋－3k 2＝10|k|.(1)当k>0时，r ＝10k ，α是第四象限角， sinα＝y r ＝－3k 10k＝－31010，secα＝r x ＝10k k ＝10， ∴10sinα＋3secα＝10×(－31010)＋310＝－310＋310＝0. (2)当k<0时，r ＝－10k ，α为第二象限角，sinα＝y r ＝－3k －10k ＝31010，secα＝r x ＝－10k k＝－10， ∴10sinα＋3secα＝10×31010＋3×(－10)＝310－310＝0.综合以上两种情况均有10sinα＋3secα＝0.答案：0点评：本题的解题关键是要清楚当k>0时，P(k ，－3k)是第四象限内的点，角α的终边在第四象限；当k<0时，P(k ，－3k)是第二象限内的点，角α的终边在第二象限内，这与角α的终边在y ＝－3x 上是一致的．例2求函数y ＝sinα＋tanα的定义域．活动：教师让学生先回顾求函数的定义域需要注意哪些特点，并让学生归纳出一些常见函数有意义的要求，根据函数有意义的特征来求自变量的范围．对于三角函数这种特殊的函数在解三角不等式时要结合三角函数的定义进行．求含正切函数的组合型三角函数的定义域时，正切函数本身的定义域往往被忽略，教师提醒学生应注意这种情况．同时，函数的定义域是一个集合，所以结论要用集合形式表示．解：要使函数y ＝s inα＋tanα有意义，则sinα≥0且α≠kπ＋π2(k∈Z )． 由正弦函数的定义知道，sinα≥0就是角α的终边与单位圆的交点的纵坐标非负． ∴角α的终边在第一、二象限或在x 轴上或在y 轴非负半轴上，即2kπ≤α≤π＋2kπ(k∈Z )．∴函数的定义域是{α|2kπ≤α<π2＋2kπ，或π2＋2kπ<α≤(2k＋1)π，k∈Z }． 点评：本题的关键是弄清楚要使函数式有意义，必须sinα≥0，且tanα有意义，由此推导出α的取值范围就是函数的定义域.课本本节练习1～6.本节课我们给出了任意角三角函数的定义，并且讨论了正弦、余弦、正切函数的定义域，任意角的三角函数实质上是锐角三角函数的扩展，是将锐角三角函数中边的比变为坐标与距离、坐标与坐标的比，记忆方法可用锐角三角函数类比记忆，至于三角函数的定义域可由三角函数的定义分析得到． 课本习题1.2 1,5,6.关于三角函数定义法，总的来说就两种：“单位圆定义法”与“终边定义法”．这两种方法本质上是一致的．正因为这样，各种数学出版物中，两种定义方法都有采用．在学习本节的过程中可以与初中学习的三角函数定义进行类比、学习．理解任意角三角函数的定义不但是学好本节内容的关键，也是学好本章内容的关键．在教学中，教师应该充分调动学生独立思考和总结的能力，以巩固对知识的理解和掌握．教师在教学中，始终引导学生紧扣三角函数的定义，善于利用数形结合．在利用三角函数定义进行求值时，应特别强调要注意横向联系，即不仅仅能求出该值，还要善于观察该值与其他三角函数值之间的联系，找出规律来求解．一、关于余切、正割、余割函数设α是一个任意大小的角，角α的终边与单位圆的交点P(x ，y)，那么除角α的正弦、余弦、正切外，还可定义角α的余切、正割、余割，它们分别是 cotα＝x y ，secα＝r x ，cscα＝r y. 角α的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割统称为角α的三角函数．二、备用习题1．角α的终边经过点P(2a,3a)(a≠0)，则cosα的值是( )A.1313B.1312C ．±1313 D ．±213132．已知tanαcosα>0，且tanαsinα<0，则α在( ) A ．第二象限 B ．第三象限 C ．第四象限 D ．第三、四象限3．下列各三角函数值中，负值的个数是( )①sin(－660°) ②tan160° ③cos(－740°) ④sin(－420°)cos570°A ．1B ．2C ．3D ．44.tan －150°cos －210°cos420°tan －600°sin －330°＝__________. 5．确定下列各式的符号：(1)sin105°cos230°；(2)cos6tan6；(3)tan191°－cos191°.6．已知tanx>0，且sinx ＋cosx>0，则角x 是第__________象限角．参考答案：1.D 2.A 3.A 4.325．解：(1)∵105°、230°分别是第二、三象限角，∴sin105°>0，cos230°<0.∴sin105°cos230°<0.(2)∵3π2<6<2π，∴6是第四象限角． ∴cos6>0，tan6<0.∴cos6tan6<0.(3)∵tan191°>0，cos191°<0，∴tan191°－cos191°>0.6．一 解析：由tanx>0，知x 为第一或第三象限角，而当x 是第三象限角时，sinx 与cosx 都取负值，这与sinx ＋cosx>0矛盾，故知角x 是第一象限角．(设计者：房增凤)第2课时导入新课思路1.(情境导入)同学们都在一些旅游景地或者在公园中见过大观览车，大家是否想过大观览车在转动过程中，座椅离地面的高度随着转动角度的变化而变化，二者之间有怎样的相依关系呢？由此导入新课．思路2.(复习导入)我们研究了三角函数在各象限内的符号，前面还分析讨论了三角函数的定义域，这些内容的研究，都是建立在任意角的三角函数定义之上的，这些知识在以后我们继续学习“三角”内容时，是经常、反复运用的，请同学们务必在理解的基础上要加强记忆．由三角函数的定义我们知道，对于角α的各种三角函数我们都是用比值来表示的，或者说是用数来表示的，今天我们再来学习正弦、余弦、正切函数的另一种表示方法——几何表示法．我们知道，直角坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关．因此自然产生一个想法是以坐标轴的方向来规定有向线段的方向，以使它们的取值与点的坐标联系起来．推进新课活动：1.任意角的三角函数的几何表示，即三角函数线．2．有向线段，有向线段的数量及单位圆来表示三角函数．教师指导学生在平面直角坐标系内作出单位圆，设任意角α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P(x ，y)，x 轴的正半轴与单位圆相交于A(1,0)，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ；过A 作单位圆的切线，这条切线必平行于y 轴(垂直于同一条直线的两直线平行)，设它与角α的终边或其反向延长线交于点T.教师点拨学生观察线段的方向与点P 的坐标．显然，线段OM 的长度为|x|，线段MP 的长度为|y|，它们都只能取非负值．当角α的终边不在坐标轴上时，我们可以把OM 、MP 都看作带有方向的线段：如果x>0，OM 与x 轴同向，规定此时OM 具有正值x ；如果x<0，OM 与x 轴正向相反(即反向)，规定此时OM 具有负值x ，所以不论哪一种情况，都有OM ＝x.如果y>0，把MP 看作与y 轴同向，规定此时MP 具有正值y ；如果y<0，把MP 看作与y 轴反向，规定此时MP 具有负值y ，所以不论哪一种情况，都有MP ＝y.引导学生观察OM 、MP 都是带有方向的线段，这种被看作带有方向的线段叫做有向线段．于是，根据正弦、余弦函数的定义，就有sinα＝y r ＝y 1＝y ＝MP ，cosα＝x r ＝x 1＝x ＝OM. 这两条与单位圆有关的有向线段MP 、OM 分别叫做角α的正弦线、余弦线．类似地，我们把OA 、AT 也看作有向线段，那么根据正切函数的定义和相似三角形的知识，就有tanα＝y x ＝AT OA＝AT. 这条与单位圆有关的有向线段AT ，叫做角α的正切线(如图6、7)．当角α终边在y 轴的右侧时(图6)，在角α终边上取点T(1，y′)，则tanα＝y′1＝y′＝AT(A 为单位圆与x 轴正半轴的交点)；当角α终边在y 轴的左侧时(图7)，在角α终边的反向延长线上取点T(1，y′)，由于它关于原点的对称点Q(－1，－y′)在角α终边上，故有tanα＝－y′－1＝y′＝AT.图6 图7即总有tanα＝AT.因此，我们把有向线段AT叫做角α的正切线．有向线段MP、OM、AT都称为三角函数线．当角α的终边在不同象限时，其三角函数线如图8所示．图8师生共同讨论探究，最后一致得出以下几点：(1)当角α的终边在y轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在．(2)当角α的终边在x轴上时，正弦线、正切线都变成点．(3)正弦线、余弦线、正切线都是与单位圆有关的有向线段，所以作某角的三角函数线时，一定要先作单位圆．(4)线段有两个端点，在用字母表示正弦线、余弦线、正切线时，要先写起点字母，再写终点字母，不能颠倒；或者说，含原点的线段，以原点为起点，不含原点的线段，以此线段与x轴的公共点为起点．(5)三种有向线段的正负与坐标轴正反方向一致，三种有向线段的数量与三种三角函数值相同．正弦线、余弦线、正切线统称为三角函数线．例1如图9，α、β的终边分别与单位圆交于点P、Q，过A(1,0)作切线AT，交射线OP 于点T，交射线OQ的反向延长线于点T′，点P、Q在x轴上的射影分别为点M、N，则sinα＝________，cosα＝________，tanα＝________，sinβ＝________，cosβ＝________，tanβ＝________.图9活动：根据三角函数线的定义，可知sinα＝MP，cosα＝OM，tanα＝AT，sinβ＝NQ，cosβ＝ON，tanβ＝AT′.答案：MP OM AT NQ ON AT′点评：掌握三角函数线的作法，注意用有向线段表示三角函数线时，字母的书写顺序不能随意颠倒.例2证明恒等式11＋sin 2α＋11＋cos 2α＋11＋sec 2α＋11＋csc 2α＝2. 活动：引导学生总结证明恒等式的方法与步骤，特别地，在证明三角恒等式时，一般地是从较繁的一边推向较简的一边．从方向上来推证三角恒等式主要有三种推证方法，即从左边推向右边；从右边推向左边；左、右两边同推向第三个式子． 证法一：设M(x ，y)为角α终边上异于原点的一点，|OM|＝r ，由三角函数定义，有sinα＝y r ，cosα＝x r ，secα＝r x ，cscα＝r y. 原式左边＝11＋y 2r 2＋11＋x 2r 2＋11＋r 2x 2＋11＋r 2y 2 ＝r 2r 2＋y 2＋r 2r 2＋x 2＋x 2r 2＋x 2＋y 2r 2＋y2 ＝r 2＋y 2r 2＋y 2＋r 2＋x 2r 2＋x2 ＝2＝右边．∴原等式成立．证法二：左边＝11＋sin 2α＋11＋cos 2α＋11＋1cos 2α＋11＋1sin 2α ＝11＋sin 2α＋11＋cos 2α＋cos 2α1＋cos 2α＋sin 2α1＋sin 2α＝1＋sin 2α1＋sin 2α＋1＋cos 2α1＋cos 2α ＝2＝右边．∴左边＝右边．∴原等式成立．点评：根据本题的特点，被证式的左边比较复杂，故可由左边证向右边.证明：设M(x ，y)为α终边上异于原点的一点，|OM|＝r ，由三角函数定义，有sinα＝y r，cosα＝x r ，tanα＝y x ，secα＝r x. 左边＝1＋r x ＋y x 1＋r x －y x＝x ＋r ＋y x ＋r －y ＝x ＋r ＋y x ＋r ＋y x ＋r －y x ＋r ＋y＝x ＋r ＋y 2x ＋r 2－y 2＝2r 2＋2xy ＋2xr ＋2ry 2x 2＋2xr＝r ＋y r ＋x x r ＋x ＝r ＋y x ， 右边＝1＋y r x r＝r ＋y x，∴左边＝右边，故原等式成立. 课本本节练习7、8.本节课我们学习了有向线段的定义，正弦线、余弦线、正切线的定义，这三种三角函数线都是一些特殊的有向线段，其之所以特殊，一是其与坐标轴平行(或重合)，二是其与单位圆有关，这些线段分别都可以表示相应三角函数的值，所以说它们是三角函数的一种几何表示．三角函数线是利用数形结合的思想解决有关问题的重要工具，利用三角函数线可以解或证明三角不等式，求函数的定义域以及比较大小，三角函数线也是后面将要学习的三角函数的图象的作图工具．利用单位圆和三角函数线证明：若α为锐角，则(1)sinα＋cosα>1；(2)sin 2α＋cos 2α＝1.证明：如图10，记角α与单位圆的交点为P ，过P 作PM⊥x 轴于M ，则sinα＝MP ，cosα＝OM.图10(1)在Rt△OMP 中，MP ＋OM>OP ，即sinα＋cosα>1.(2)在Rt△OMP 中，MP 2＋OM 2＝OP 2，即sin 2α＋cos 2α＝1.对于三角函数线，开始时学生可能不是很理解，教师应该充分发挥好图象的直观作用，让学生通过图形来感知、了解三角函数线的定义．在学生理解了正弦线、余弦线、正切线的定义后，教师应引导学生会利用三角函数线来发现、总结、归纳正弦函数、余弦函数、正切函数的性质，以便为了以后更好地学习三角函数的图象和性质打下良好的基础．教师要让学生对三角函数线了解即可，要让学生利用任意角的三角函数线来感知对应的三角函数图象的变化趋势，不要再向深处挖掘，因为三角函数线能解决的问题都可以用三角函数的图象来解决．教师在教学中要搞好师生互动，让学生自己动脑、动手，多启发学生善于发现问题、提出问题、解决问题的能力，让学生学会独立思考和归纳总结知识的能力．一、一个三角不等式的证明已知θ∈(0，π2)，求证：sinθ<θ<tanθ. 证明：如图11，设锐角θ的终边交单位圆于点P ，过单位圆与x 轴正半轴的交点A 作圆的切线交OP 于点T ，过点P 作PM⊥x 轴于点M ，则MP ＝sinθ，AT ＝tanθ，的长为θ，连结PA.图11∵S △OPA <S 扇形OPA <S △OAT ，∴12|OA||MP|<12|OA|2·θ<12|OA||AT|. ∴|MP|<θ<|AT|，则MP<θ<AT，即sinθ<θ<tanθ.二、备用习题1．若π4<θ<π2，则sinθ，cosθ，tanθ的大小关系是( ) A ．tanθ<cosθ<sinθ B．sinθ<tanθ<cosθ C ．cosθ<tanθ<sinθ D．cosθ<sinθ<tanθ2．若0<α<2π，则使sinα<32和cosα>12同时成立的α的取值范围是( ) A ．(－π3，π3) B ．(0，π3) C ．(5π3，2π) D．(0，π3)∪(5π3，2π) 3．在(0,2π)内，使sinx>cosx 成立的x 的取值范围是__________．4．设0<β<α<π2，求证：α－β>sinα－sinβ. 5．当α∈[0,2π)时，试比较sinα与cosα的大小．参考答案：1.D 2.D 3.(π4，5π4) 4．证明：如图12，设单位圆与角α、β的终边分别交于P 1、P 2，作P 1M 1⊥x 轴于M 1，作P 2M 2⊥x 轴于M 2，作P 2C⊥P 1M 于C ，连结P 1P 2，图12则sinα＝M 1P 1，sinβ＝M 2P 2，α－β＝， ∴α－β＝>P 1P 2>CP 1＝M 1P 1－M 1C ＝M 1P 1－M 2P 2＝sinα－sinβ，即α－β>sinα－sinβ.5．解：如图13.(1)当0≤α<π4时，设角α的终边与单位圆交于点P 1(x 1，y 1)，此时x 1>y 1，而sinα＝y 1，图13cosα＝x 1，∴cosα>sinα.(2)当α＝π4时，x 1＝y 1，此时sinα＝cosα. (3)当π4<α≤π2时，设角α的终边与单位圆交于点P 2(x 2，y 2)，此时y 2>x 2，而sinα＝y 2，cosα＝x 2，∴sinα>cosα.(4)当π2<α≤π时，s inα≥0，cosα<0，∴sinα>cosα. (5)当π<α<5π4时，设角α的终边与单位圆交于点P 3(x 3，y 3)，此时x 3<y 3<0，而sinα＝y 3，cosα＝x 3，∴sinα>cosα.(6)当α＝5π4时，有sinα＝cosα. (7)当5π4<α≤3π2时，设角α的终边与单位圆交于点P 4(x 4，y 4)，此时y 4<x 4<0，而sinα＝y 4，cosα＝x 4，∴sinα<cosα.(8)当3π2<α<2π时，cosα≥0，sinα<0， ∴cosα>sinα.综上所述，当α∈(π4，5π4)时，sinα>cosα；当α＝π4或5π4时，sinα＝cosα；当π4)∪(5π4，2π)时，sinα<cosα.α∈[0，。

一、课题：任意角(1)二、教学目标：1.理解任意角的概念；2.学会建立直角坐标系讨论任意角，判断象限角，掌握终边相同角的集合的书写。

三、教学重、难点：1．判断已知角所在象限；2．终边相同的角的书写。

四、教学过程：（一）复习引入：1．初中所学角的概念。

2．实际生活中出现一系列关于角的问题。

（二）新课讲解：1．角的定义：一条射线绕着它的端点O ，从起始位置OA 旋转到终止位置OB ，形成一个角α，点O 是角的顶点，射线,OA OB 分别是角α的终边、始边。

说明：在不引起混淆的前提下，“角α”或“α∠”可以简记为α．2．角的分类：正角：按逆时针方向旋转形成的角叫做正角；负角：按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；零角：如果一条射线没有做任何旋转，我们称它为零角。

说明：零角的始边和终边重合。

3．象限角：在直角坐标系中，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的非负轴重合，则（1）象限角：若角的终边（端点除外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。

例如：30,390,330-都是第一象限角；300,60-是第四象限角。

（2）非象限角（也称象限间角、轴线角）：如角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。

例如：90,180,270等等。

说明：角的始边“与x 轴的非负半轴重合”不能说成是“与x 轴的正半轴重合”。

因为x 轴的正半轴不包括原点，就不完全包括角的始边，角的始边是以角的顶点为其端点的射线。

4．终边相同的角的集合：由特殊角30看出：所有与30角终边相同的角，连同30角自身在内，都可以写成30360k +⋅()k Z ∈的形式；反之，所有形如30360k +⋅()k Z ∈的角都与30角的终边相同。

从而得出一般规律：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合{}|360,S k k Z ββα==+⋅∈，即：任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和。

说明：终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同。

第1课时§1.1 任意角【教学目标】一、知识与技能1.推广角的概念，引入正角、负角、零角的定义；象限角、坐标轴上的角的概念；终边相同角的表示方法．2.理解并掌握正角、负角、零角的定义；理解任意角的概念，掌握所有与α角终边相同的角(包括α角)的表示方法．二、过程与方法：渗透数形结合的数学思想，考虑问题要细致，说理要明确三、情感、态度与价值观：体会运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念。

【教学重点难点】：（1）正角、负角、零角的定义；（2）终边相同的角的表示方法【教学过程】【问题情境】通过周期运动的实例引人三角函数．让学生对本章有一个初步印象．【学生活动】初中我们已给角下了定义．我们把“有公共端点的两条射线组成的图形叫做角α．角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置的图形(先后用教具和多媒体给学生演示：逆时针转动形成角，顺时针转动而成角，转几圈也形成角，为推广角的概念做好准备)．讲解新课：1．角的概念的推广⑴“旋转”形成角一条射线OA绕着______________________，就形成角α．____ _叫做角α的始边，______叫做角α的终边，_____叫做角α的顶点．⑵．“正角”与“负角”“0角”我们把_______________________叫做正角，把_______________________叫做负角，如图，以OA为始边的角α=210°，β=-150°，γ=660°，⑶意义用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。

1角有正负之分 2 角可以任意大 3 可以为零角2．“象限角及轴线角”建立平面直角坐标系,角的顶点重合于___________，角的始边重合于_______，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限,称之为________）3．终边相同的角(1)在平面直角坐标系中作出30, 390，330角⑴观察：390，330角，它们的终边都与________角的终边相同⑵探究：终边相同的角都可以表示成一个0到360的角与)(Z k k ∈个周角的和： 390=______+____360 330=______+_____360⑶结论：所有与终边相同的角连同在内可以构成一个集合：}{__________==ββS例题分析：例1、在0到360度范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角(1)120(2)640(3)95012'-︒︒-︒例2、写出与下列各角终边相同的角的集合S ，并把S 中在360~720-︒︒间的角写出来：（1）60︒ （2）21-︒ （3）36314︒'。

1 / 3§1.2.1 任意角的三角函数（1）教学目标：理解并掌握任意角三角函数的定义； 理解三角函数是以实数为自变量的函数； 理解并掌握各种三角函数在各象限内的符号； 强化数形结合的数学思想.教学重点：任意角三角函数的定义； 各种三角函数在各象限内的符号.教学难点：任意角三角函数的定义及根据定义求任意角的三角函数值. 教学过程： 一、问题情境1．情境引入：作PMO Rt ∆，回顾初中三角函数的定义. 2．提出问题： POM ∠的三角函数有哪些？分别如何定义的？ 二、学生活动问题1：将POM ∠放到直角坐标系中，点P 的坐标分别表示什么？ 问题2：当点P 在终边OP 上移动时，POM ∠的三角函数值是否发生变化？ 三、建构数学问题3：此时POM ∠的各三角函数值是否可以由点P 的坐标),(y x P 以及点P 到原点的距离r （022>+=y x r ）来表示？正弦r y=αsin , 余弦r x=αcos ,正切x y=αtan .问题4：这样将锐角三角函数推广到任意角？ 四、数学理论 1.任意角的三角函数：一般地，对任意角α，我们规定： （1）比值ry叫做α的正弦，记作αsin ，即 αMOP),(y x P αMOxyryx),(y x P αOryx。

2 / 3r y =αsin ； （2）比值r x叫做α的余弦，记作αcos ，即r x=αcos ，（3）比值)0(≠x x y叫做α的正切，记作αtan ，即x y=αtan .2.回顾反思：（1）以后我们在平面直角坐标系内研究角的问题，其顶点都在原点，始边都与x 轴的非负半轴重合.（2）书写及读法名称，α为自变量，αsin ，αcos ，αtan 分别叫做α的正弦函数，余弦函数，正切函数，以上三种都称为三角函数，三角函数是以“比值”为函数值的函数.（3）对αsin 的理解，符号是不可分的，不能认为是α⋅sin . （4）αtan 中规定0≠x 的理解，即Z k k ∈+≠,2ππα.（5）一些特殊角的三角函数值，P16练习3.α 0︒ 30︒ 45︒ 60︒ 90︒ 120︒ 135︒ 150︒ 180︒ 270︒ 360︒ 弧度αsinαcosαtan3.三角函数在各象限内的符号α 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 αsinαcosαtan+—+ + +++—————αsinαcosαtan3 / 3总结规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦. 3.三角函数的定义域五、数学运用 1.例题例1．课本P15例1（变题：0),3,2(<-t t t P ） 例2．课本P15例2例3．确定下列条件的角α是第几象限角.（1）0cos ,0sin <>αα （2）0tan ,0sin <<αα （3）0tan ,0cos <>αα 2．练习：可以讨论课本P15练习1，2，4，5，6；P16链接. 六、总结反思任意角三角函数的定义及求任意角的三角函数值，各种三角函数在各象限内的符号.。

江苏省射阳县盘湾中学高中数学 第1章《三角函数》任意角的三角函
数(1)教学案 苏教版必修4 教学目标：掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义。

掌握正弦、余弦、正切函数的定义域和这
三种函数的值在各象限的符号。

教学重点：正弦、余弦、正切的定义 教学难点：正弦、余弦、正切的定义
教学过程：
一、问题情境： 在Rt ABC 中sin α=__________
cos α=_________,tan α=_________. 二、学生活动：
１、在直角坐标系中，设α（锐角）终边上任意一点P （x,y ）到原点距离为r (r=22a b +)，则sin α=_______,cos α=________,tan α=_______.
你能将锐角三角函数推广到任意角吗？
三、知识建构：
1、正弦：
余弦：
正切：
思考：它们的值与终边上的点P 的选取有关吗？
2、三角函数：
3、三角函数定义域：
4、三角函数值在各象限符号：
四、知识运用：
例1、已知角α的终边经过点P(2,-3) ，求α的正弦、余弦、正切值。

A C
B x y
x y α α
变式训练：若角θ的终边过点P(4a,-3a)(a≠0),求sinθ和cosθ的值。

小结：
例2、确定下列三角函数值的符号。

（1）cos
7
12
π（2）sin（-465°）（3）tan
11
3
π。

§1.1.1 任意角学习目标：⒈推广角的概念，引入正角、负角、零角的定义．⒉了解任意角的概念，理解象限角、终边相同的角的概念．⒊掌握所有与α角终边相同的角(包括α角)的表示方法．教学重点：将角0360～范围的角推广到任意角．教学难点：角的概念的推广、终边相同的角的表示．教学方法：讲授．44-17/26-36教具准备：用《几何画板》演示任意角、终边相同的角、终边相同角的集合．教学过程：（I）新课引入：问题1.如果手表慢了5分钟应该如何校准？如果手表快了1小时15分钟应该如何校准呢？当时间校准后，分针旋转了多少度？(手表慢了5分钟应该将分针按逆时针方向旋转30 ；手表快了1.25小时应该将分针按顺时针方向旋转一周再加上90 ．)问题2.过去我们研究过0360～范围的角，但是现实中还有其它的角．你可以举出一些例子吗？(校准手表时，分针旋转的角度；体操运动中的“转体720 ”等．) 这些角会出现一些超出了0360～范围的角，这就需要我们将角的概念加以推广．本节课我们的任务就是将角的概念加以推广，得到任意角概念．如）如⒈任意角我们知道，角可以看成是平面内一条射线绕其端点旋转而成的图形．如右图，射线OA绕其端点按逆时针方向旋转到射线OB位置，就形成一个角α，射线OA、射线OB分别成为角α的始边和终边．但是射线OA绕其端点O的旋转会有不同的方向，因此要准确地描述这样的角就必须知道旋转量和旋转方向．我们规定．．：按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角.如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角．这样，零角的始边与终边重合．如果α是零角，那么 ＝0°.（用《几何画板》演示）问题3.你可以举出一些正角、负角的实例吗？这样，我们就把角的概念推广到了任意角，包括正角、负角、零角.思考1：为什么逆时针方向旋转为正角, 顺时针旋转为负角?探究：正角、负角的引入是从正负数类比而来. 正角、负角是用来表示具有相反意义的旋转量的.逆时针为正, 顺时针为负是人为规定的,象正负数的规定一样,更多地是出于习惯.思考2：始边与终边重合的角一定是零角吗?探究：零角的始边与终边重合，如果α是零角，那么其始边与终边重合,但始边与终边重合的角不一不定是零度角,如α＝360°、720°、-360°等.思考3：角的终边旋转的圈数与角的大小有什么关系? 旋转圈数越多，角越大吗?探究：在角的定义里，射线绕端点旋转的圈数影响着角的大小.射线绕端点旋转的方向，若是逆时针方向旋转，则旋转圈数越多，角越大；若顺时针方向旋转，则旋转圈数越多，角越小.几点补充说明：①钟表的时针和分针一般均是顺时针旋转，因而它们其终边旋转所形成的角总是负角；②为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角α”或“∠α”可以简记成“α”.③角将平面分为三部分.即角的外部、角的内部、和角的两边及顶点.⒉象限角今后我们常在直角坐标系内讨论角．为了讨论问题方便，我们使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限角.例如，图⑴中的30 、390 、330- 都是第一象限角，图⑵中的300 、- 都是第四象限角，585 角是第三象限角．如果角的终边在坐标轴60上，就认为这个角不属于任一象限（有的书上把这种角称为象限界角）.练习:(课时训练P1例1)下列命题中,正确的是( )A.终边相同的角一定相等B.第一象限角都是锐角C.小于900的角都是锐角D.锐角都是第一象限角答案:D⒊终边相同的角观察：390︒，-330︒角，它们的终边都与30︒角的终边相同. 思考：还有哪些角与30︒角的终边相同?如何表示?探究：终边与30︒角终边相同的角可以表示如下:390︒=30︒+360︒ )1(=k-330︒=30︒-360︒ )1(-=k30︒=30︒+0×360︒ )0(=k1470︒=30︒+4×360︒ )4(=k-1770︒=30︒-5×360︒ )5(-=k结论: 与30︒角终边相同的角可以表示成30︒角与)(Z k k ∈个周角的和.与30 角终边相同的角都可以表示成30 的角与k 个()k Z ∈360 角的和，那么390 ，330- 的角分别可以写成30360+ 和30360- 的形式．反之，形如30360k +⋅ ()k Z ∈的角显然与32- 角终边相同．一般地，我们有：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合{|360,}S k k Z ββα==+⋅∈ ，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.说明：在与角α终边相同的一般形式k ·360°＋α中,要注意： ①k ∈Z ; ② α是任意角 ;③0360⋅k 与α之间是“+”号，如0360⋅k -30°，应看成0360⋅k +(-30°)；④终边相同的角不一定相等,但相等的角终边一定相同,终边相同的角有无限个,它们相差3600的整数倍.例1(教材P6例1)练习: (课时训练P1例2)(1)试写出所有终边与300角终边互为反向延长线的角的集合;(2)试写出所有与300角终边在同一直线上的角的集合.答案: (1) 00{|30(21)180,}x x k k Z =++⋅∈ ;(2) 00{|30180,}x x k k Z =+⋅∈ .(课时训练P1例3)思考2：如何用终边相同的角来表示各象限角?探究：要表示终边在各个象限内只需用不等式列出象限角终边所在的射线,用不等式表示即可得各象限角.在第一象限的角表示为{α|k ⋅360︒<α<k ⋅360︒+90︒，（k ∈Z ）}； 第二象限的角表示为{α|k ⋅360︒+90︒<α<k ⋅360︒+180︒，（k ∈Z ）}； 第三象限的角表示为{α|k ⋅360︒+180︒<α<k ⋅360︒+270︒，（k ∈Z ）}； 第四象限的角表示为{α|k ⋅360︒+270︒<α<k ⋅360︒+360︒，（k ∈Z ）}； 或{α|k ⋅360︒-90︒<α<k ⋅360︒，（k ∈Z ）}.例2. (课本P6例2)已知α与2400角的终边相同,判断2α是第几象限角.练习1. (课时训练P1练习1)若α是第四象限角,则α-是 ( )A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角答案: 作图可得答案A.2. 角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合,则角α与角α+1800的终边关系为A.一定关于x 轴对称B.一定关于y 轴对称C.可能关于原点对称D.随α的变化可以有不同的对称性解析 画出角α与角α+1800的终边验证答案.对于A 、B,如300与2100的终边既不关于x 轴对称,也不关于y 轴对称;由于角α与角α+1800的终边互为反向延长线,故一定关于坐标原点对称;角α与角α+1800的终边除关于原点对称外,在一些特殊的情况下,变关于x 轴或y 轴对称.答案D.（Ⅲ）课后练习：课本7P 练习 1~ 5（Ⅳ）课时小结：⒈正角、负角是用射线绕端点的旋转方向定义的，零角是射线没有做任何旋转．一个角是第几象限角，关键是看这个角的终边落在第几象限．⒉终边相同的角的表示有两方面的内容：⑴与角α终边相同的角的集合为{|360,}S k k Z ββα==+⋅∈ ； ⑵在0°到360 内找与已知角α终边相同的角的方法是：用所给角除以360 ，所得的商为k ，余数为α (α必须为正数)，α即为所找的角．终边相同的角未必相等．（Ⅴ）课后作业：⒈课本10P 习题1.1 ⒈2⒉预习课本7P ，思考下列问题：⑴什么叫弧度制？1弧度的角是怎样定义的？⑵怎样计算一个角的弧度数？⑶怎样进行角度与弧度的换算？⑷角的集合与实数集之间有什么关系？板书设计：教学后记:。

§1.2 任意角的三角函数1．2.1 任意角的三角函数(一)课时目标1．借助单位圆理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)定义.2.熟记正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号．1．任意角三角函数的定义设角α终边上任意一点的坐标为(x ，y )，它与原点的距离为r ，则sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________. 2．正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号一、填空题1．若角α的终边过点P (5，－12)，则sin α＋cos α＝________. 2．点A (x ，y )是300°角终边上异于原点的一点，则y x的值为________．3．若sin α<0且tan α>0，则α是第____象限角．4．角α的终边经过点P (－b,4)且cos α＝－35，则b 的值为________．5．已知x 为终边不在坐标轴上的角，则函数f (x )＝|sin x |sin x ＋cos x |cos x |＋|tan x |tan x的值域是________．6．α是第一象限角，P (x ，5)为其终边上一点且cos α＝24x ，则x ＝________.7．已知α终边经过点(3a －9，a ＋2)，且sin α>0，cos α≤0，则a 的取值范围为________． 8．代数式：sin 2cos 3tan 4的符号是________．9．已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 34π，cos 34π落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为________．10．若角α的终边与直线y ＝3x 重合且sin α<0，又P (m ，n )是α终边上一点，且OP ＝10，则m －n ＝________. 二、解答题11．确定下列各式的符号：(1)tan 120°·sin 273°；(2)tan 108°cos 305；(3)sin 5π4·cos 4π5·tan 116π.12．已知角α终边上一点P (－3，y )，且sin α＝34y ，求cos α和tan α的值．能力提升13．若θ为第一象限角，则能确定为正值的是________．①sin θ2；②cos θ2；③tan θ2；④cos 2θ；⑤sin 2θ.14．已知角α的终边上一点P (－15a,8a ) (a ∈R 且a ≠0)，求α的各三角函数值．1．三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点P (x ，y )在终边上的位置无关，只由角α的终边位置确定．即三角函数值的大小只与角有关． 2．符号sin α、cos α、tan α是一个整体，离开“α”，“sin”、“cos”、“tan”不表示任何意义，更不能把“sin α”当成“sin”与“α”的乘积．§1.2 任意角的三角函数 1．2.1 任意角的三角函数(一)知识梳理 1.y r x ryx作业设计1．－713 2.－ 33．三解析 ∵sin α<0，∴α是第三、四象限角．又tan α>0， ∴α是第一、三象限角，故α是第三象限角． 4．3解析 r ＝b 2＋16，cos α＝－b r ＝－b b 2＋16＝－35.∵α的终边经过点P ，cos α＝－35，∴α为第二象限角， ∴b >0，∴b ＝3. 5．{－1,3}解析 若x 为第一象限角，则f (x )＝3； 若x 为第二、三、四象限，则f (x )＝－1. ∴函数f (x )的值域为{－1,3}． 6. 3解析 r ＝x 2＋5，cos α＝xx 2＋5， 由2x 4＝xx 2＋5(x >0)， 解得x ＝ 3. 7．－2<a ≤3解析 ∵sin α>0，cos α≤0，∴α位于第二象限或y 轴正半轴上，∴3a －9≤0，a ＋2>0，∴－2<a ≤3. 8．负号解析 ∵π2<2<π，∴sin 2>0，∵π2<3<π，∴cos 3<0，∵π<4<32π，∴tan 4>0. ∴sin 2cos 3tan 4<0. 9.7π4解析 由任意角三角函数的定义，tan θ＝yx ＝cos 34πsin 34π＝－2222＝－1.∵sin 34π>0，cos 34π<0，∴点P 在第四象限．∴θ＝74π.10．2解析 ∵y ＝3x ，sin α<0，∴点P (m ，n )位于y ＝3x 在第三象限的图象上，且m <0，n <0，n ＝3m .∴OP ＝m 2＋n 2＝10|m |＝－10m ＝10. ∴m ＝－1，n ＝－3，∴m －n ＝2.11．解 (1)∵120°是第二象限角，∴tan 120°<0. ∵273°是第四象限角，∴sin 273°<0.从而tan 120°·sin 273°>0，∴式子符号为正． (2)∵108°是第二象限角，∴tan 108°<0. ∵305°是第四象限角，∴cos 305°>0.从而tan 108°cos 305°<0，∴式子符号为负．(3)∵5π4是第三象限角，4π5是第二象限角，11π6是第四象限角，∴sin 5π4<0，cos 4π5<0，tan 11π6<0，从而sin 5π4·cos 4π5·tan 11π6<0，∴式子符号为负．12．解 sin α＝y 3＋y 2＝34y . 当y ＝0时，sin α＝0，cos α＝－1，tan α＝0.当y ≠0时，由y 3＋y 2＝3y 4，解得y ＝±213. 当y ＝213时，P ⎝⎛⎭⎪⎫－3，213，r ＝433. ∴cos α＝－34，tan α＝－73.当y ＝－213时，P (－3，－213)，r ＝433， ∴cos α＝－34，tan α＝73.13．③⑤解析 ∵θ为第一象限角，∴2k π<θ<2k π＋π2，k ∈Z .∴k π<θ2<k π＋π4，k ∈Z ，4k π<2θ<4k π＋π，k ∈Z .sin 2θ>0.当k ＝2n (n ∈Z )时，2n π<θ2<2n π＋π4(n ∈Z )．∴θ2为第一象限角，∴sin θ2>0，cos θ2>0，tan θ2>0.当k ＝2n ＋1 (n ∈Z )时，2n π＋π<θ2<2n π＋54π (n ∈Z )．∴θ2为第三象限角， ∴sin θ2<0，cos θ2<0，tan θ2>0，从而tan θ2>0，而4k π<2θ<4k π＋π，k ∈Z ，cos 2θ有可能取负值．14．解 ∵x ＝－15a ，y ＝8a ，∴r ＝－15a 2＋a 2＝17|a | (a ≠0)． (1)若a >0，则r ＝17a ，于是sin α＝817，cos α＝－1517，tan α＝－815.(2)若a <0，则r ＝－17a ，于是sin α＝－817，cos α＝1517，tan α＝－815.1．2.1 任意角的三角函数(二)课时目标1．掌握正弦、余弦、正切函数的定义域.2.了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切.3.会用三角函数线比较三角函数值的大小．1．三角函数的定义域正弦函数y ＝sin x 的定义域是________；余弦函数y ＝cos x 的定义域是________；正切函数y ＝tan x 的定义域是________________． 2．三角函数线如图，设单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，与角α的终边交于P 点．过点P 作x 轴的垂线PM ，垂足为M ，过A 作单位圆的切线交OP 的延长线(或反向延长线)于T 点．单位圆中的有向线段________、________、________分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线．记作：sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________.一、填空题 1.如图在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是________．①正弦线PM ，正切线A ′T ′；②正弦线MP ，正切线A ′T ′；③正弦线MP ，正切线AT ；④正弦线PM ，正切线AT .2．角α(0<α<2π)的正、余弦线的长度相等，且正、余弦符号相异，那么α的值为________．3．在[0,2π]上满足sin x ≥12的x 的取值范围为______．4．利用正弦线比较sin 1，sin 1.2，sin 1.5的大小关系是________(用“>”连接)． 5．集合A ＝[0,2π]，B ＝{α|sin α<cos α}，则A ∩B ＝________________.6．若0<α<2π，且sin α<32，cos α>12，则角α的取值范围是________．7．如果π4<α<π2，那么sin α，tan α，cos α按从小到大的顺序排列为________．8．不等式tan α＋33>0的解集是______________． 9．已知α，β均为第二象限角，若sin α<sin β，则tan α与tan β的大小关系是tan α____tan β.10．求函数f (x )＝lg(3－4sin 2x )的定义域为________． 二、解答题11．在单位圆中画出适合下列条件的角α终边的范围，并由此写出角α的集合．(1)sin α≥32； (2)cos α≤－12.12．设θ是第二象限角，试比较sin θ2，cos θ2，tan θ2的大小．能力提升13．求下列函数的定义域．f (x )＝1－2cos x ＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －22.14．如何利用三角函数线证明下面的不等式？当α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，求证：sin α<α<tan α.1．三角函数线的意义三角函数线是用单位圆中某些特定的有向线段的长度和方向表示三角函数的值，三角函数线的长度等于三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负，具体地说，正弦线、正切线的方向同纵坐标轴一致，向上为正，向下为负；余弦线的方向同横坐标轴一致，向右为正，向左为负，三角函数线将抽象的数用几何图形表示出来了，使得问题更形象直观，为从几何途径解决问题提供了方便． 2．三角函数的画法定义中不仅定义了什么是正弦线、余弦线、正切线，同时也给出了角α的三角函数线的画法即先找到P 、M 、T 点，再画出MP 、OM 、AT .注意三角函数线是有向线段，要分清始点和终点，字母的书写顺序不能颠倒．1．2.1 任意角的三角函数(二)知识梳理1．R R {x |x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z }2．MP OM AT MP OM AT 作业设计 1．③ 2.3π4或7π4解析 角α终边落在直线y ＝－x 上． 3.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π64．sin 1.5>sin 1.2>sin 1解析 ∵1,1.2,1.5均在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2内，正弦线在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2内随α的增大而逐渐增大，∴sin 1.5>sin 1.2>sin 1. 5.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4∪⎝ ⎛⎦⎥⎤54π，2π 6.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3，2π7．cos α<sin α<tan α 解析如图所示，在单位圆中分别作出α的正弦线MP 、余弦线OM 、正切线AT ，很容易地观察出OM <MP <AT ，即cos α<sin α<tan α. 8.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|k π－π6<α<k π＋π2，k ∈Z解析 不等式的解集如图所示(阴影部分)，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|k π－π6<α<k π＋π2，k ∈Z .9．>解析 作出符合题意的正弦线后，再作出α，β的正切线得tan α>tan β.10.⎝⎛⎭⎪⎫k π－π3，k π＋π3，k ∈Z 解析 如图所示．∵3－4sin 2x >0，∴sin 2x <34，∴－32<sin x <32.∴x ∈⎝⎛⎭⎪⎫2k π－π3，2k π＋π3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋2π3，2k π＋4π3 (k ∈Z )． 即x ∈⎝⎛⎭⎪⎫k π－π3，k π＋π3 (k ∈Z )． 11．解 (1)图1作直线y ＝32交单位圆于A 、B ，连结OA 、OB ，则OA 与OB 围成的区域(图1阴影部分)，即为角α的终边的范围． 故满足条件的角α的集合为{α|2k π＋π3≤α≤2k π＋2π3，k ∈Z }．(2)图2作直线x ＝－12交单位圆于C 、D ，连结OC 、OD ，则OC 与OD 围成的区域(图2阴影部分)，即为角α的终边的范围．故满足条件的角α的集合为{α|2k π＋2π3≤α≤2k π＋4π3，k ∈Z }．12．解 ∵θ是第二象限角，∴2k π＋π2<θ<2k π＋π (k ∈Z )，故k π＋π4<θ2<k π＋π2(k ∈Z )．作出θ2所在范围如图所示．当2k π＋π4<θ2<2k π＋π2 (k ∈Z )时，cos θ2<sin θ2<tan θ2.当2k π＋5π4<θ2<2k π＋32π (k ∈Z )时，sin θ2<cos θ2<tan θ2.13．解 由题意，自变量x 应满足不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧1－2cos x ≥0，sin x －22>0. 即⎩⎪⎨⎪⎧sin x >22，cos x ≤12.则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π＋π3≤x <2k π＋34π，k ∈Z .14．证明如图所示，在直角坐标系中作出单位圆，α的终边与单位圆交于P ，α的正弦线、正切线为有向线段MP ，AT ，则MP ＝sin α，AT ＝tan α.因为S △AOP ＝12OA ·MP＝12sin α，S 扇形AOP ＝12αOA 2＝12α，S △AOT ＝12OA ·AT ＝12tan α，又S △AOP <S 扇形AOP <S △AOT ，所以12sin α<12α<12tan α，即sin α<α<tan α.1．2.2 同角三角函数关系课时目标1．理解同角三角函数的基本关系式.2.会运用平方关系和商的关系进行化简、求值和证明．1．同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：________________.(2)商数关系：________________(α≠k π＋π2，k ∈Z )2．同角三角函数基本关系式的变形(1)sin 2α＋cos 2α＝1的变形公式：sin 2α＝________；cos 2α＝________；(sin α＋cos α)2＝________________；(sin α－cos α)2＝________________；(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝________； sin α·cos α＝____________＝__________.(2)tan α＝sin αcos α的变形公式：sin α＝____________；cos α＝____________.一、填空题1．化简sin 2α＋cos 4α＋sin 2αcos 2α的结果是________．2．已知α是第四象限角，tan α＝－512，则sin α＝______.3．若sin α＋sin 2α＝1，，则cos 2α＋cos 4α＝________.4．若sin α＝45，且α是第二象限角，则tan α的值等于________．5．已知tan α＝－12，则1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α的值为________． 6．已知sin α－cos α＝－52，则tan α＋1tan α的值为________． 7．已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝______.8．已知sin αcos α＝18且π4<α<π2，则cos α－sin α＝________.9．若sin θ＝k ＋1k －3，cos θ＝k －1k －3，且θ的终边不落在坐标轴上，则tan θ的值为________．10．若cos α＋2sin α＝－5，则tan α＝____. 二、解答题11．化简：1－cos 4α－sin 4α1－cos 6α－sin 6α.12．求证：1－2sin 2x cos 2x cos 2 2x －sin 22x ＝1－tan 2x1＋tan 2x.能力提升 13．证明：(1)1－cos 2αsin α－cos α－sin α＋cos αtan 2α－1＝sin α＋cos α； (2)(2－cos 2α)(2＋tan 2α)＝(1＋2tan 2α)(2－sin 2α)．14．已知sin θ、cos θ是关于x 的方程x 2－ax ＋a ＝0的两个根(a ∈R )．(1)求sin 3θ＋cos 3θ的值；(2)求tan θ＋1tan θ的值．1．2.2 同角三角函数关系知识梳理1．(1)sin 2α＋cos 2α＝1 (2)tan α＝sin αcos α2．(1)1－cos 2α 1－sin 2α 1＋2sin αcos α1－2sin αcos α 2 sin α＋cos α2－121－sin α－cos α22 cos αtan α sin αtan α作业设计1．1 2.－513 3.1 4.－435．－13解析 1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝α＋cos αα＋cos αα＋cos αα－cos α＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝－12＋1－12－1＝－13. 6．－8解析 tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α.∵sin αcos α＝1－α－cos α22＝－18，∴tan α＋1tan α＝－8.7.45解析 sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ ＝tan 2θ＋tan θ－2tan 2θ＋1， 又tan θ＝2，故原式＝4＋2－24＋1＝45.8．－32解析 (cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝34，∵π4<α<π2，∴cos α<sin α.∴cos α－sin α＝－32. 9.34解析 ∵sin 2θ＋cos 2θ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k －32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫k －1k －32＝1， ∴k 2＋6k －7＝0，∴k 1＝1或k 2＝－7. 当k ＝1时，cos θ不符合，舍去．当k ＝－7时，sin θ＝35，cos θ＝45，tan θ＝34.10．2 解析 方法一 由⎩⎨⎧cos α＋2sin α＝－5cos 2α＋sin 2α＝1联立消去cos α后得(－5－2sin α)2＋sin 2α＝1.化简得5sin 2α＋45sin α＋4＝0∴(5sin α＋2)2＝0，∴sin α＝－255.∴cos α＝－5－2sin α＝－55. ∴tan α＝sin αcos α＝2.方法二 ∵cos α＋2sin α＝－5，∴cos 2α＋4sin αcos α＋4sin 2α＝5，∴cos 2α＋4sin αcos α＋4sin 2αcos 2α＋sin 2α＝5， ∴1＋4tan α＋4tan 2α1＋tan 2α＝5， ∴tan 2α－4tan α＋4＝0，∴(tan α－2)2＝0，∴tan α＝2.11．解 原式＝－cos 4α－sin 4α－cos 6α－sin 6α ＝－cos 2α＋cos 2α－sin 4α－cos 2α＋cos 2α＋cos 4α－sin 6α＝sin 2α＋cos 2α－sin 4αsin 2α＋cos 2α＋cos 4α－sin 6α＝1＋cos 2α－sin 2α1＋cos 2α＋cos 4α－sin 4α＝2cos 2α1＋cos 2α＋2α＋sin 2α2α－sin 2α＝2cos 2α1＋cos 2α＋cos 2α－sin 2α＝2cos 2α3cos 2α＝23. 12．证明 左边＝cos 2 2x ＋sin 22x －2sin 2x cos 2xcos 22x －sin 22x＝x －sin 2x 2x －sin 2x x ＋sin 2x＝cos 2x －sin 2x cos 2x ＋sin 2x ＝1－tan 2x 1＋tan 2x ＝右边． ∴原等式成立．13．证明 (1)左边＝sin 2αsin α－cos α－sin α＋cos αsin 2αcos 2α－1 ＝sin 2αsin α－cos α－sin α＋cos αsin 2α－cos 2αcos 2α＝sin 2αsin α－cos α－cos 2αα＋cosαsin 2α－cos 2α＝sin 2αsin α－cos α－cos 2αsin α－cos α＝sin 2α－cos 2αsin α－cos α＝sin α＋cos α＝右边． ∴原式成立．(2)∵左边＝4＋2tan 2α－2cos 2α－sin 2α＝2＋2tan 2α＋2sin 2α－sin 2α＝2＋2tan 2α＋sin 2α，右边＝(1＋2tan 2α)(1＋cos 2α)＝1＋2tan 2α＋cos 2α＋2sin 2α＝2＋2tan 2α＋sin 2α ∴左边＝右边，∴原式成立．14．解 (1)由韦达定理知：sin θ＋cos θ＝a ，sin θ·cos θ＝a .∵(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，∴a 2＝1＋2a . 解得：a ＝1－2或a ＝1＋ 2 ∵sin θ≤1，cos θ≤1， ∴sin θcos θ≤1，即a ≤1， ∴a ＝1＋2舍去．∴sin 3θ＋cos 3θ＝(sin θ＋cos θ)(sin 2θ－sin θcos θ＋cos 2θ) ＝(sin θ＋cos θ)(1－sin θcos θ) ＝a (1－a )＝2－2.(2)tan θ＋1tan θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝sin 2θ＋cos 2θsin θcos θ＝1sin θcos θ＝1a ＝11－2＝－1－ 2.1．2.3 三角函数的诱导公式(一)课时目标1．借助单位圆及三角函数定义理解三组公式的推导过程.2.运用所学四组公式进行求值、化简与证明．1．设α.相关角 终边之间的对称关系 π＋α与α 关于________对称－α与α 关于________对称 π－α与α关于________对称2.诱导公式一～四(1)公式一：sin(α＋2k π)＝________， cos(α＋2k π)＝________，tan(α＋2k π)＝________，其中k ∈Z . (2)公式二：sin(－α)＝________， cos(－α)＝________， tan(－α)＝________.(3)公式三：sin(π－α)＝________， cos(π－α)＝________， tan(π－α)＝________.(4)公式四：sin(π＋α)＝________，cos(π＋α)＝______， tan(π＋α)＝________.一、填空题1．sin 585°的值为________．2．已知cos(π6＋θ)＝33，则cos(5π6－θ)＝________.3．若n 为整数，则代数式n π＋αn π＋α的化简结果是________．4．三角函数式α＋π2α＋3πα＋π3－α－π的化简结果是______. 5．若cos(π＋α)＝－12，32π<α<2π，则sin(2π＋α)＝________.6．tan(5π＋α)＝2，则α－3π＋π－α－α－π＋α的值为________．7．记cos(－80°)＝k ，那么tan 100°＝________.(用k 表示)8．代数式1＋2sin 290°cos 430°sin 250°＋cos 790°的化简结果是______．9．设f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)＋2，其中a 、b 、α、β为非零常数．若f (2 011)＝1，则f (2 012)＝____.10．若sin(π－α)＝log 8 14，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则cos(π＋α)的值为________． 二、解答题11．若cos(α－π)＝－23，求α－2π＋－α－3πα－3ππ－α－－π－αα－4π的值．12．已知sin(α＋β)＝1，求证：tan(2α＋β)＋tan β＝0. 能力提升13．化简：k＋π＋θk＋π－θ]kπ－θkπ＋θ(其中k∈Z)．14．在△ABC中，若sin(2π－A)＝－2sin(π－B)，3cos A＝－2cos(π－B)，求△ABC的三个内角．1．2.3 三角函数的诱导公式(一)知识梳理1．原点 x 轴 y 轴2．(1)sin α cos α tan α (2)－sin α cos α －tan α (3)sin α －cos α －tan α (4)－sin α －cos α tan α 作业设计1．－22 2.－33 3.tan α4．tan α解析 原式＝－cos α·sin 2αtan α·cos 3α＋π＝－cos α·sin 2α－tan α·cos 3α ＝cos α·sin 2αsin α·cos 2α＝sin αcos α＝tan α. 5．－32解析 由cos(π＋α)＝－12，得cos α＝12，∴sin(2π＋α)＝sin α＝－1－cos 2α＝－32 (α为第四象限角)．6．3解析 原式＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝2＋12－1＝3.7．－1－k2k解析 ∵cos(－80°)＝k ，∴cos 80°＝k ，∴sin 80°＝1－k 2.∴tan 80°＝1－k 2k.∴tan 100°＝－tan 80°＝－1－k2k.8．－1 解析 原式＝1＋＋＋＋＋＋＝1－2sin 110°cos 70°－sin 70°＋cos 70°＝1－2sin 70°cos 70°cos 70°－sin 70°＝|sin 70°－cos 70°|cos 70°－sin 70°＝sin 70°－cos 70°cos 70°－sin 70°＝－1.9．3解析 f (2 011)＝a sin(2 011π＋α)＋b cos(2 011π＋β)＋2＝a sin(π＋α)＋b cos(π＋β)＋2＝2－(a sin α＋b cos β)＝1， ∴a sin α＋b cos β＝1，f (2 012)＝a sin(2 012π＋α)＋b cos(2 012π＋β)＋2 ＝a sin α＋b cos β＋2＝3.10．－53解析 ∵sin(π－α)＝sin α＝232log 2＝－23，∴cos(π＋α)＝－cos α＝－1－sin 2α＝－1－49＝－53.11．解 原式＝－π－α－π＋απ－α－cos α－－cos αα＝sin α－sin αcos α－cos α＋cos 2α＝sin α－cos α－cos α－cos α ＝－tan α.∵cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cos α＝－23，∴cos α＝23.∴α为第一象限角或第四象限角．当α为第一象限角时，cos α＝23，sin α＝1－cos 2α＝53， ∴tan α＝sin αcos α＝52，∴原式＝－52.当α为第四象限角时，cos α＝23，sin α＝－1－cos 2α＝－53， ∴tan α＝sin αcos α＝－52，∴原式＝52.综上，原式＝±52. 12．证明 ∵sin(α＋β)＝1，∴α＋β＝2k π＋π2 (k ∈Z )，∴α＝2k π＋π2－β (k ∈Z )．tan(2α＋β)＋tan β＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π2－β＋β＋tan β ＝tan(4k π＋π－2β＋β)＋tan β ＝tan(4k π＋π－β)＋tan β ＝tan(π－β)＋tan β ＝－tan β＋tan β＝0， ∴原式成立．13．解 当k 为偶数时，不妨设k ＝2n ，n ∈Z ，则原式＝n ＋π＋θn ＋π－θ]nπ－θn π＋θ＝π＋θπ－θ－sin θ·cos θ＝－sin θ－cos θ－sin θ·cos θ＝－1.当k 为奇数时，设k ＝2n ＋1，n ∈Z ，则原式＝n ＋π＋θn ＋π－θ]n ＋π－θn ＋π＋θ]＝n ＋π＋θn ＋π－θ]π－θπ＋θ＝sin θ·cos θsin θ－cos θ＝－1. ∴原式的值为－1.14．解 由条件得sin A ＝2sin B ，3cos A ＝2cos B ，平方相加得2cos 2A ＝1，cos A ＝±22，又∵A ∈(0，π)，∴A ＝π4或34π.当A ＝34π时，cos B ＝－32<0，∴B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， ∴A ，B 均为钝角，不合题意，舍去．∴A ＝π4，cos B ＝32，∴B ＝π6，∴C ＝712π.1．2.3 三角函数的诱导公式(二)课时目标1．借助单位圆及三角函数定义理解公式五、公式六的推导过程.2.运用公式五、公式六进行有关计算与证明．1．诱导公式五～六(1)公式五：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝________； cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝________. 以－α替代公式五中的α，可得公式六．(2)公式六：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝________； cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝________. 2．诱导公式五～六的记忆π2－α，π2＋α的三角函数值，等于α的________三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的________，记忆口诀为“函数名改变，符号看象限”．一、填空题1．已知f (sin x )＝cos 3x ，则f (cos 10°)的值为______．2．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝13，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋7π12＝________. 3．若sin(3π＋α)＝－12，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫72π－α＝________. 4．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α的值等于________． 5．若sin(π＋α)＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－m ，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＋2sin(2π－α)的值为________．6．代数式sin 2(A ＋15°)＋sin 2(A －45°)的化简结果是________．7．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝32，且|φ|＜π2，则tan φ＝______. 8．已知cos(75°＋α)＝13，则sin(α－15°)＋cos(105°－α)的值是________． 9．sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 288°＋sin 289°＝________.10．已知tan(3π＋α)＝2，则α－3π＋π－α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－－α＋π＋α＝________. 二、解答题11．求证：π－α－2π－απ－αsin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋3π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝－tan α.12．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2－α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π2－α＝60169，且π4<α<π2，求sin α与cos α的值．能力提升13．化简：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k －14π－α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k ＋14π－α (k ∈Z )．14．是否存在角α，β，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，β∈(0，π)，使等式⎩⎪⎨⎪⎧ π－α＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β3－α＝－2π＋β同时成立．若存在，求出α，β的值；若不存在，说明理由．1．2.3 三角函数的诱导公式(二)知识梳理1．(1)cos α sin α (2)cos α －sin α2．异名 符号作业设计1．－12解析 f (cos 10°)＝f (sin 80°)＝cos 240° ＝cos(180°＋60°)＝－cos 60°＝－12. 2．－13解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π12＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12 ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12＝－13. 3．－12解析 ∵sin(3π＋α)＝－sin α＝－12，∴sin α＝12. ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α ＝－sin α＝－12. 4．－13解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝－13. 5．－3m 2解析 ∵sin(π＋α)＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α ＝－sin α－sin α＝－m ，∴sin α＝m 2.cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＋2sin(2π－α) ＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－32m . 6．1解析 原式＝sin 2(A ＋45°)＋sin 2(45°－A )＝sin 2(A ＋45°)＋cos 2(A ＋45°)＝1.7．－ 3解析 由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝－sin φ＝32， 得sin φ＝－32， 又∵|φ|<π2，∴φ＝－π3，∴tan φ＝－ 3. 8．－23解析 sin(α－15°)＋cos(105°－α)＝sin[(75°＋α)－90°]＋cos[180°－(75°＋α)]＝－sin[90°－(75°＋α)]－cos(75°＋α)＝－cos(75°＋α)－cos(75°＋α)＝－2cos(75°＋α)＝－23. 9.892 解析 原式＝(sin 21°＋sin 289°)＋(sin 22°＋sin 288°)＋…＋(sin 244°＋sin 246°)＋sin 245°＝44＋12＝892. 10．2解析 原式＝sin αsin α－cos α＝tan αtan α－1＝22－1＝2. 11．证明 左边＝－α－α－αsin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α·cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α ＝－tan α－sin ααsin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α ＝sin 2α－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α ＝sin 2α－cos α·sin α＝－sin αcos α＝－tan α＝右边． ∴原等式成立．12．解 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2－α＝－cos α， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π2－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π2＋α＝－sin α. ∴sin α·cos α＝60169，即2sin α·cos α＝120169.① 又∵sin 2α＋cos 2α＝1，②①＋②得(sin α＋cos α)2＝289169， ②－①得(sin α－cos α)2＝49169， 又∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，∴sin α>cos α>0， 即sin α＋cos α>0，sin α－cos α>0，∴sin α＋cos α＝1713，③ sin α－cos α＝713，④ ③＋④得sin α＝1213，③－④得cos α＝513. 13．解 原式＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α. 当k 为奇数时，设k ＝2n ＋1 (n ∈Z )，则原式＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α ＋cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝0； 当k 为偶数时，设k ＝2n (n ∈Z )，则原式＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝0. 综上所述，原式＝0.14．解 由条件，得⎩⎨⎧ sin α＝2sin β， ①3cos α＝2cos β. ②①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2，③又因为sin 2α＋cos 2α＝1，④由③④得sin 2α＝12，即sin α＝±22， 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，所以α＝π4或α＝－π4. 当α＝π4时，代入②得cos β＝32，又β∈(0，π)， 所以β＝π6，代入①可知符合． 当α＝－π4时，代入②得cos β＝32，又β∈(0，π)， 所以β＝π6，代入①可知不符合． 综上所述，存在α＝π4，β＝π6满足条件．。

1.2.1 任意角的三角函数1．理解三角函数的定义，会使用定义求三角函数值．(重点、易错点) 2．会判断给定角的三角函数值的符号．(重点)3．会利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小及表示角的范围．(难点)[基础·初探]教材整理1 任意角三角函数的定义阅读教材P 11～P 12第一自然段的有关内容，完成下列问题．在平面直角坐标系中，设α的终边上任意一点P 的坐标是(x ，y )，它与原点的距离是r (r ＝x 2＋y 2>0)，那么名称 定义 定义域正弦 sin α＝y r R 余弦cos α＝x rR正切tan α＝yx⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪α≠π2＋k π，k ∈Zsin α，cos α，tan α分别称为正弦函数、余弦函数、正切函数，统称为三角函数．若角α的终边经过点P ⎝⎛⎭⎪⎫22，－22，则sin α＝________；cos α＝________；tan α＝________. 【解析】 由题意可知 |OP |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22－02＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－22－02＝1，∴sin α＝－221＝－22；cos α＝221＝22；tan α＝－2222＝－1.【答案】 －22 22－1 教材整理2 三角函数值的符号阅读教材P 12第二自然段的有关内容，完成下列问题． 三角函数在各象限符号：图1­2­1(1)若α在第三象限，则sin αcos α________0；(填“＞”，“＜”) (2)若α在第二象限，则sin αtan α________0.(填“＞”“＜”) 【解析】 (1)∵α在第三象限， ∴sin α＜0，cos α＜0， ∴sin αcos α＞0. (2)∵α在第二象限， ∴sin α＞0，tan α＜0. ∴sin αtan α＜0. 【答案】 (1)＞ (2)＜ 教材整理3 三角函数线阅读教材P 12第三自然段～P 14例1以上部分的内容，完成下列问题． 1．有向线段：规定了方向(即规定了起点和终点)的线段． 2．三角函数线判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)α一定时，单位圆的正弦线一定．( )(2)在单位圆中，有相同正弦线的角必相等．( )(3)α与α＋π有相同的正切线．( )【解析】结合三角函数线可知(1)(3)正确，(2)错误．【答案】(1)√(2)×(3)√[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]三角函数的定义及应用在平面直角坐标系中，角α的终边在直线y＝－2x上，求sin α，cos α，tan α的值．【精彩点拨】以α的终边分别在第二、四象限为依据，分别取特殊点求sin α，cos α，tan α的值．【自主解答】当α的终边在第二象限时，在α终边上取一点P(－1,2)，则r＝－12＋22＝5，所以sin α＝25＝255，cos α＝－15＝－55，tan α＝2－1＝－2.当α的终边在第四象限时， 在α终边上取一点P ′(1，－2)， 则r ＝12＋－22＝5，所以sin α＝－25＝－255，cos α＝15＝55，tan α＝－21＝－2.1．已知角α的终边在直线上的问题，常分两类情况分别计算sin α，cos α，tan α的值．2．当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．[再练一题]1．已知角α的终边上有一点P (－3a,4a )(a ≠0)，求2sin α＋cos α的值.【导学号：06460006】【解】 ∵x ＝－3a ，y ＝4a ， ∴r ＝－3a2＋4a2＝5|a |.当a ＞0时，r ＝5a ，角α为第二象限角，∴sin α＝y r ＝4a 5a ＝45，cos α＝x r ＝－3a 5a ＝－35，∴2sin α＋cos α＝2×45－35＝1.当a ＜0时，r ＝－5a ，角α为第四象限角， ∴sin α＝y r ＝4a －5a ＝－45，cos α＝x r ＝－3a －5a ＝35，∴2sin α＋cos α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＋35＝－1.三角函数值的符号判断下列各式的符号：(1)α是第四象限角，sin α·tan α；(2)si n 3·cos 4·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π4.【精彩点拨】 先确定各角所在象限，再判定各个三角函数值符号，然后判定三角函数式的符号．【自主解答】 (1)∵α是第四象限角， ∴sin α<0，tan α<0， ∴sin α·tan α>0. (2) ∵π2<3<π，π<4<3π2，∴sin 3>0，cos 4<0. 又∵－23π4＝－6π＋π4，∴tan ⎝⎛⎭⎪⎫－23π4>0，∴sin 3·cos 4·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π4<0.对于已知角α，判断α的相应三角函数值的符号问题，常依据三角函数的定义，或利用口诀“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来处理.[再练一题]2．确定下列式子的符号：(1)tan 108°·cos 305°；(2)cos 5π6·tan11π6sin2π3；(3)tan 120°·sin 269°.【解】 (1)∵108°是第二象限角，∴tan 108°＜0. ∵305°是第四象限角，∴cos 305°＞0. 从而tan 108°·cos 305°＜0.(2)∵5π6是第二象限角，11π6是第四象限角，2π3是第二象限角，∴cos 5π6＜0，tan 11π6＜0，sin 2π3＞0.从而cos 5π6·tan11π6sin2π3＞0.(3)∵120°是第二象限角，∴tan 120°＜0， ∵269°是第三象限角，∴sin 269°＜0. 从而tan 120°sin 269°＞0.[探究共研型]应用三角函数线解三角不等式探究1 在单位圆中，满足sin α＝12的正弦线有几条？试在图中明确．图1­2­2【提示】 两条，如图所示，MP 1与NP 2都等于12.探究2 满足sin α≥12的角的范围是多少？试在上述单位圆中给予明确．【提示】 如图中阴影部分所示，所求角α的取值范围为α⎪⎪⎪2k π＋π6≤α≤2k π＋5π6，k ∈Z .求函数f (x )＝1－2cos x ＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －22的定义域． 【精彩点拨】 借助单位圆解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1－2cos x ≥0sin x －22＞0便可．【自主解答】 由题意，自变量x 应满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1－2cos x ≥0，sin x －22＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧cos x ≤12，sin x ＞22.则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，∴⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π3≤x ＜2k π＋34π，k ∈Z.求三角函数定义域时，一般应转化为求不等式组的解的问题.利用数轴或三角函数线是解三角不等式常用的方法.解多个三角不等式时，先在单位圆中作出使每个不等式成立的角的范围，再取公共部分.[再练一题]3．在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合： (1)sin α≥32；(2)cos α≤－12. 【解】 (1)作直线y ＝32交单位圆于A ，B 两点，连接OA ，OB ，则OA 与OB 围成的区域(图①阴影部分)即为角α的终边的范围，故满足条件的角α的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π＋π3π≤α≤2k π＋2π3π，k ∈Z.(2)作直线x ＝－12交单位圆于C 、D 两点，连接OC 、OD ，则OC 与OD 围成的区域(图②阴影部分)即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z. [构建·体系]1．若角α的终边经过点P (－2,2)，则sin θ＝________. 【解析】 由题意可知，OP ＝－22＋22＝8，∴sin θ＝28＝22. 【答案】222．若sin α＜0，tan α＞0，则α为第________象限角．【解析】 由sin α＜0可知α的终边落在第三、四象限及y 轴的负半轴上． 由tan α＞0可知α的终边落在第一、三象限内． 故同时满足sin α＜0，tan α＞0的角α为第三象限角． 【答案】 三3．角α的终边经过点P (－b,4)且cos α＝－35，则b 的值为________.【导学号：06460007】【解析】 由三角函数的定义可知 －bb 2＋16＝－35，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＞0，b 2b 2＋16＝925，解得b ＝3.【答案】 34．利用三角函数线比较下列各组数的大小(用“＞”或“＜”连接)： (1)sin 2π3________sin 4π5；(2)cos 2π3________cos 4π5；(3)tan 2π3________tan 4π5.【解析】 借助单位圆中的三角函数线易得sin 2π3＞sin 4π5；cos 2π3＞cos 4π5；tan 2π3＜tan 4π5.【答案】 (1)＞ (2)＞ (3)＜5．已知角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，求sin α，cos α，tan α的值． 【解】 ∵角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，∴在角α的终边上任取一点P (4t ，－3t )(t ≠0)，则x ＝4t ，y ＝－3t ，r ＝x 2＋y 2＝4t 2＋－3t 2＝5|t |，当t ＞0时，r ＝5t ，sin α＝y r ＝－3t 5t ＝－35，cos α＝x r ＝4t 5t ＝45，tan α＝y x ＝－3t4t＝－34. 当t ＜0时，r ＝－5t ，sin α＝y r ＝－3t －5t ＝35，cos α＝x r ＝4t －5t ＝－45，tan α＝y x ＝－3t4t＝－34.综上可知，sin α＝－35，cos α＝45，tan α＝－34；或sin α＝35，cos α＝－45，tan α＝－34.我还有这些不足：(1) (2)我的课下提升方案： (1) (2)学业分层测评(三) 任意角的三角函数(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．已知sin α＝35，cos α＝－45，则角α终边在第________象限．【解析】 由sin α＝35＞0得，角α的终边在第一或第二象限；由cos α＝－45＜0得，角α的终边在第二或第三象限，故角α的终边在第二象限．【答案】 二2．若角α的终边落在y ＝－x 上，则tan α的值为________． 【解析】 设P (a ，－a )是角α上任意一点， 若a >0，P 点在第四象限，tan α＝－aa ＝－1，若a <0，P 点在第二象限，tan α＝－aa＝－1. 【答案】 －13．有三个结论：①π6与5π6的正弦线相等；②π3与4π3的正切线相等；③π4与5π4的余弦线相等．其中正确的是________．【解析】 在单位圆中画出相应角的正弦线、正切线，余弦线，分析可知①正确，②正确，③错误．【答案】 ①②4．在△ABC 中，若sin A ·cos B ·tan C ＜0，则△ABC 是________三角形． 【解析】 ∵A ，B ，C 是△ABC 的内角，∴sin A ＞0. ∵sin A ·cos B ·tan C ＜0，∴cos B ·tan C ＜0， ∴cos B 和tan C 中必有一个小于0，即B ，C 中必有一个钝角，故△ABC 是钝角三角形． 【答案】 钝角5．(2016·扬州高一检测)如果α的终边过点P (2sin 30°，－2cos 30°)，则sin α的值等于________．【解析】 ∵P (1，－3)，∴r ＝12＋－32＝2，∴sin α＝－32. 【答案】 －326．(2016·南通高一检测)在(0,2π)内，使sin α＞cos α成立的α的取值范围是________．【解析】 如图所示，当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5π4时，恒有MP ＞OM ，而当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4，2π时，则是MP ＜OM . 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5π4 7．若α为第二象限角，则|sin α|sin α－cos α|cos α|＝________. 【解析】 由已知sin α>0，cos α<0，∴|sin α|sin α－cos α|cos α|＝sin αsin α－cos α－cos α＝1＋1＝2. 【答案】 28．(2016·无锡高一检测)已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且sin α＞0，cos α≤0，则α的取值范围是________．【解析】 因为cos α≤0，sin α＞0，所以角α的终边在第二象限或y 轴非负半轴上．因为α的终边过点(3a －9，a ＋2)，所以{ 3a －9≤0，a ＋2＞0，所以－2＜a ≤3.【答案】 (－2,3]二、解答题9．判断下列各式的符号：(1)sin 340°cos 265°；(2)sin cos θcos sin θ(θ为第二象限角). 【导学号：06460008】 【解】 (1)∵340°是第四象限角，265°是第三象限角，∴sin 340°＜0，cos 265°＜0，∴sin 340°cos 265°＞0.(2)∵θ为第二象限角，∴0＜sin θ＜1＜π2，－π2＜－1＜cos θ＜0， ∴sin(cos θ)＜0，cos(sin θ)＞0，∴sin cos θcos sin θ＜0. 10．已知1|sin α|＝－1sin α，且lg cos α有意义． (1)试判断角α所在的象限；(2)若角α的终边上一点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，m ，且|OM |＝1(O 为坐标原点)，求m 的值及sin α的值．【解】 (1)由1|sin α|＝－1sin α可知sin α＜0， ∴α是第三或第四象限角或终边在y 轴的负半轴上的角．由lg cos α有意义可知cos α＞0，∴α是第一或第四象限角或终边在x 轴的正半轴上的角．综上可知角α是第四象限的角．(2)∵|OM |＝1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫352＋m 2＝1， 解得m ＝±45. 又α是第四象限角，故m ＜0，从而m ＝－45. 由正弦函数的定义可知sin α＝y r ＝m |OM |＝－451＝－45. [能力提升]1．(2016·南京高一检测)若α为第四象限角，则下列函数值一定是负值的是________．(填序号)①sin α2；②cos α2；③tan α2；④cos 2α. 【解析】 由α为第四象限角，得2k π＋3π2＜α＜2k π＋2π(k ∈Z )，故k π＋3π4＜α2＜k π＋π(k ∈Z )．当k ＝2n (n ∈Z )时，α2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π＋3π4，2n π＋π， 此时，α2是第二象限角； 当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，α2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π＋7π4，2n π＋2π，此时，α2是第四象限角． 故无论α2落在第二还是第四象限，tan α2＜0恒成立． 又4k π＋3π＜2α＜4k π＋4π，(k ∈Z )．故cos 2α有可能为正也有可能为负．【答案】 ③2．若角α的终边与直线y ＝3x 重合，且sin α<0，又P (m ，n )是角α终边上一点，且|OP |＝10，则m －n 等于________．【解析】 由题意得{ n ＝3m ＜0，m 2＋n 2＝10， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝－1，n ＝－3，∴m －n ＝2.【答案】 23．点P 从(1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1逆时针方向运动23π弧长到达点Q ，则点Q 的坐标为________． 【解析】 设Q (cos α，sin α)，由2π3＝α·1可知α＝2π3， 所以Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π3，sin 2π3，即Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32. 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 4．已知：cos α＜0，tan α＜0. (1)求角α的集合； (2)试判断角α2是第几象限角； (3)试判断sin α2，cos α2，tan α2的符号． 【解】 (1)因为cos α＜0，所以角α的终边位于第二或第三象限或x 轴负半轴上．因为tan α＜0，所以角α的终边位于第二或第四象限，所以角α的终边只能位于第二象限．故角α的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪ π2＋2k π＜α＜π＋2k π，k ∈Z . (2)因为π2＋2k π＜α＜π＋2k π(k ∈Z )， 所以π4＋k π＜α2＜π2＋k π(k ∈Z )． 当k ＝2n (n ∈Z )时，π4＋2n π＜α2＜π2＋2n π(n ∈Z )． 所以α2是第一象限角；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )，5π4＋2n π＜α2＜3π2＋2n π(n ∈Z )， 所以α2是第三象限角． (3)当α2为第一象限角时， sin α2＞0，cos α2＞0，tan α2＞0. 当α2为第三象限角时， sin α2＜0，cos α2＜0，tan α2＞0.。

1．1 任意角、弧度1．1.1 任意角[学习目标] 1.了解角的概念.2.掌握正角、负角和零角的概念，理解任意角的意义.3.熟练掌握象限角、终边相同的角的概念，会用集合符号表示这些角．[知识链接]1．闹钟慢了5分钟，如何校准？闹钟快了1.5小时，又如何校准？答可将分针顺时针方向旋转30°；可将时针逆时针方向旋转45°.2．在初中角是如何定义的？答定义1：有公共端点的两条射线组成的几何图形叫做角．定义2：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角．3．初中所学角的范围是什么？答角的范围是[0°，360°]．[预习导引]1．角的概念(1)角的概念：角可以看做平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．(2)角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类：2.以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴正半轴，建立平面直角坐标系．这样，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角．3．终边相同的角一般地，与角α终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}.要点一任意角概念的辨析例1 在下列说法中：①第二象限角大于第一象限角；②钝角都是第二象限角；③小于90°的角都是锐角．其中错误说法的序号为________(错误说法的序号都写上)．答案②④解析①120°是第二象限角，390°是第一象限角，显然390°>120°，所以①不正确．②钝角的范围是(90°，180°)，显然是第二象限角，所以②正确．③锐角的范围是(0°，90°)，小于90°的角也可以是零角或负角，所以③不正确．规律方法判断说法错误，只需举一个反例即可．解决本题关键在于正确理解各类角的定义．随着角的概念的推广，对角的认识不能再停留在初中阶段，否则判断容易出错．跟踪演练1 设A＝{小于90°的角}，B＝{锐角}，C＝{第一象限角}，D＝{小于90°而不小于0°的角}，那么下列正确的是________．①B C A；②B A C；③D A∩C)；④C∩D＝B.答案④解析锐角、0°～90°的角、小于90°的角及第一象限角的范围，如下表所示.要点二象限角的判定例2 在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.解(1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．(3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角．规律方法本题要求在0°～360°范围内，找出与已知角终边相同的角，并判断其为第几象限角，这是为以后证明恒等式、化简及利用诱导公式求三角函数的值打基础．跟踪演练2 给出下列四个说法：①－75°角是第四象限角；②225°角是第三象限角；③475°角是第二象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的为________．答案①②③④解析对于①：如图1所示，－75°角是第四象限角；对于②：如图2所示，225°角是第三象限角；对于③：如图3所示，475°角是第二象限角；对于④：如图4所示，－315°角是第一象限角．要点三终边相同的角的应用例3 在与角10 030°终边相同的角中，求满足下列条件的角．(1)最大的负角；(2)最小的正角；(3)(360°，720°)的角．解(1)与10 030°终边相同的角的一般形式为β＝k·360°＋10 030°(k∈Z)，由－360°<k·360°＋10 030°<0°，得－10 390°<k·360°<－10 030°，解得k＝－28，故所求的最大负角为β＝－50°.(2)由0°<k·360°＋10 030°<360°，得－10 030°<k·360°<－9 670°，解得k＝－27，故所求的最小正角为β＝310°.(3)由360°<k·360°＋10 030°<720°，得－9 670°<k·360°<－9 310°，解得k＝－26，故所求的角为β＝670°.规律方法求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值．跟踪演练3 写出与α＝－1 910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β<360°的元素β写出来．解由终边相同的角的表示知，与角α＝－1 910°终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°－1 910°，k ∈Z }． ∵－720°≤β<360°，即－720°≤k ·360°－1 910°<360°(k ∈Z )， ∴31136≤k <61136(k ∈Z )．故取k ＝4,5,6. k ＝4时，β＝4×360°－1 910°＝－470°； k ＝5时，β＝5×360°－1 910°＝－110°； k ＝6时，β＝6×360°－1 910°＝250°.要点四 区域角的表示例4 写出终边落在阴影部分的角的集合．解 设终边落在阴影部分的角为α，角α的集合由两部分组成： ①{α|k ·360°＋30°≤α<k ·360°＋105°，k ∈Z }． ②{α|k ·360°＋210°≤α<k ·360°＋285°，k ∈Z }． ∴角α的集合应当是集合①与②的并集： {α|k ·360°＋30°≤α<k ·360°＋105°，k ∈Z } ∪{α|k ·360°＋210°≤α<k ·360°＋285°，k ∈Z } ＝{α|2k ·180°＋30°≤α<2k ·180°＋105°，k ∈Z } ∪{α|(2k ＋1)180°＋30°≤α<(2k ＋1)180°＋105°，k ∈Z }＝{α|2k ·180°＋30°≤α<2k ·180°＋105°或(2k ＋1)·180°＋30°≤α<(2k ＋1)180°＋105°，k ∈Z }＝{α|n ·180°＋30°≤α<n ·180°＋105°，n ∈Z }．规律方法 解答此类题目应先在0°～360°上写出角的集合，再利用终边相同的角写出符合条件的所有角的集合，如果集合能化简的还要化成最简．本题还要注意实线边界与虚线边界的差异．跟踪演练4 已知集合A ＝{α|k ·180°＋30°<α<k ·180°＋90°，k ∈Z }，集合B ＝{β|k ·360°－45°<β<k ·360°＋45°，k ∈Z }． 求：(1)A ∩B ；(2)A ∪B .解 在直角坐标系中，分别画出集合A ，B 所包含的区域，结合图形可知，A∩B＝{θ|30°＋k·360°<θ<45°＋k·360°，k∈Z}，A∪B＝{γ|k·360°－45<γ<k·360°＋90°或k·360°＋210°<γ<k·360°＋270°，k∈Z}.1．－361°的终边落在第________象限．答案四2．下列各角中与330°角终边相同的角有________．(填写所有正确的序号)①30°；②－390°；③－690°；④1 050°.答案②④3．若角α满足180°<α<360°，角5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，那么角α＝________.答案270°解析由于5α与α的始边和终边相同，所以这两角的差应是360°的整数倍，即5α－α＝4α＝k·360°.又180°<α<360°，令k＝3，得α＝270°.4．写出终边落在坐标轴上的角的集合S.解终边落在x轴上的角的集合：S1＝{β|β＝k·180°，k∈Z}；终边落在y轴上的角的集合：S2＝{β|β＝k·180°＋90°，k∈Z}；∴终边落在坐标轴上的角的集合：S＝S1∪S2＝{β|β＝k·180°，k∈Z}∪{β|β＝k·180°＋90°，k∈Z}＝{β|β＝2k·90°，k∈Z}∪{β|β＝(2k＋1)·90°，k∈Z}＝{β|β＝n·90°，n∈Z}．1.对角的理解，初中阶段是以“静止”的眼光看，高中阶段用“运动”的观点下定义，理解这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转量”决定角的“绝对值大小”．2．关于终边相同角的认识一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．注意：(1)α为任意角；(2)k·360°与α之间是“＋”号，k·360°－α可理解为k·360°＋(－α)；(3)相等的角终边一定相同；终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍；(4)k∈Z这一条件不能少．一、基础达标1．与405°角终边相同的角是________．答案k·360°＋45°，k∈Z2．如图，终边落在直线y＝±x上的角α的集合是__________________．答案{α|α＝k·90°＋45°，k∈Z}3．若α是第四象限角，则180°－α是第________象限角．答案三解析可以给α赋一特殊值－60°，则180°－α＝240°，故180°－α是第三象限角．4．在－390°，－885°，1 351°，2 012°这四个角中，其中第四象限角的个数为________．答案 2解析∵－390°＝－360°＋(－30°)，－30°是第四象限角，∴－390°是第四象限角；∵－885°＝－3×360°＋195°，195°是第三象限角，∴－885°是第三象限角；∵1 351°＝3×360°＋271°，271°是第四象限角，∴1 351°是第四象限角；∵2 012°＝5×360°＋212°，212°是第三象限角，∴2 012°是第三象限角．5．已知α∈(0°，360°)，α的终边与－60°角的终边关于x轴对称，则α＝________. 答案60°6．下列说法中，正确的是________(填序号)．①终边落在第一象限的角为锐角；②锐角是第一象限的角； ③第二象限的角为钝角； ④小于90°的角一定为锐角； ⑤角α与－α的终边关于x 轴对称． 答案 ②⑤解析 终边落在第一象限的角不一定是锐角，如400°的角是第一象限的角，但不是锐角，故①的说法是错误的；同理第二象限的角也不一定是钝角，故③的说法也是错误的；小于90°的角不一定为锐角，比如负角，故④的说法是错误的． 7．在与角－2 013°终边相同的角中，求满足下列条件的角． (1)最小的正角； (2)最大的负角；(3)[－720°，720°)内的角．解 (1)∵－2 013°＝－6×360°＋147°， ∴与角－2 013°终边相同的最小正角是147°. (2)∵－2 013°＝－5×360°＋(－213°)， ∴与角－2 013°终边相同的最大负角是－213°. (3)∵－2 013°＝－6×360°＋147°，∴与－2 013°终边相同也就是与147°终边相同． 由－720°≤k ·360°＋147°<720°，k ∈Z ， 解得k ＝－2，－1,0,1.代入k ·360°＋147°依次得：－573°，－213°，147°，507°. 二、能力提升 8．集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k ·180°2±45°，k ∈Z ，P ＝x |x ＝k ·180°4±90°，k ∈Z ，则M 、P 之间的关系为________． 答案 MP解析 对集合M 来说，x ＝(2k ±1)·45°，即45°的奇数倍；对集合P 来说，x ＝(k ±2)·45°，即45°的倍数．9．集合{α|k ·180°＋45°≤α≤k ·180°＋90°，k ∈Z }中，角所表示的范围(阴影部分)正确的是________．答案③10．角α，β的终边关于y轴对称，若α＝30°，则β＝________.答案150°＋k·360°，k∈Z解析∵30°与150°的终边关于y轴对称，∴β的终边与150°角的终边相同．∴β＝150°＋k·360°，k∈Z.11．已知角x的终边落在图示阴影部分区域，写出角x组成的集合．解(1){x|k·360°－135°≤x≤k·360°＋135°，k∈Z}．(2){x|k·360°＋30°≤x≤k·360°＋60°，k∈Z}∪{x|k·360°＋210°≤x≤k·360°＋240°，k∈Z}＝{x|2k·180°＋30°≤x≤2k·180°＋60°或(2k＋1)·180°＋30°≤x≤(2k＋1)·180°＋60°，k∈Z}＝{x|n·180°＋30°≤x≤n·180°＋60°，n∈Z}．12．已知角β的终边在直线3x－y＝0上．(1)写出角β的集合S；(2)写出S中适合不等式－360°<β<720°的元素．解(1)如图，直线3x－y＝0过原点，倾斜角为60°，在0°～360°范围内，终边落在射线OA上的角是60°，终边落在射线OB上的角是240°，所以以射线OA、OB为终边的角的集合为S1＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}，S2＝{β|β＝240°＋k·360°，k∈Z}，所以，角β的集合S ＝S 1∪S 2＝{β|β＝60°＋k ·360°，k ∈Z }∪{β|β＝60°＋180°＋k ·360°，k ∈Z }＝{β|β＝60°＋2k ·180°，k ∈Z }∪{β|β＝60°＋(2k ＋1)·180°，k ∈Z }＝{β|β＝60°＋n ·180°，n ∈Z }．(2)由于－360°<β<720°，即－360°<60°＋n ·180°<720°，n ∈Z .解得－73<n <113，n ∈Z ，所以n ＝－2，－1,0,1,2,3.所以S 中适合不等式－360°<β<720°的元素为 60°－2×180°＝－300°；60°－1×180°＝－120°； 60°＋0×180°＝60°；60°＋1×180°＝240°； 60°＋2×180°＝420°；60°＋3×180°＝600°. 三、探究与创新13．若α是第一象限角，问－α，2α，α3是第几象限角？解 ∵α是第一象限角，∴k ·360°<α<k ·360°＋90°(k ∈Z )． (1)－k ·360°－90°<－α<－k ·360°(k ∈Z )， ∴－α所在区域与(－90°，0°)范围相同， 故－α是第四象限角．(2)2k ·360°<2α<2k ·360°＋180°(k ∈Z )， ∴2α所在区域与(0°，180°)范围相同，故2α是第一、二象限角或终边在y 轴的非负半轴上． (3)k ·120°<α3<k ·120°＋30°(k ∈Z )．方法一 (分类讨论)当k ＝3n (n ∈Z )时，n ·360°<α3<n ·360°＋30°(n ∈Z )，∴α3是第一象限角； 当k ＝3n ＋1(n ∈Z )时，n ·360°＋120°<α3<n ·360°＋150°(n ∈Z )，∴α3是第二象限角；当k ＝3n ＋2(n ∈Z )时，n ·360°＋240°<α3<n ·360°＋270°(n ∈Z )，∴α3是第三象限角．综上可知：α3是第一、二或第三象限角．方法二 (几何法)如图，先将各象限分成3等份，再从x 轴的非负半轴的上方起，依次将各区域标上1,2,3,4，则标有1的区域即为α3终边所落在的区域，故α3为第一、二或第三象限角.。

第3课时 §1。

1 任意角的三角函数(1）【教学目标】一、知识与技能1、掌握任意角的三角函数的定义,理解角与=2k +（k Z)的同名三角函数值相等。

2、掌握用单位圆中的线段表示三角函数值,从而对三角函数的定义域、值域有更深的理解。

3、通过启发根据三角函数的定义，确定三角函数在各象限的符号，并熟练地处理一些问题。

二、过程与方法三、情感态度价值观教学重点难点：三角函数值的符号判断【教学过程】一、任意角的三角函数1．设是一个任意角，在的终边上任取(异于原点的）一点P （x,y ） 则P 与原点的距离02222>+=+=y x y x r 2．比值r y 叫做的正弦 记作：r y =αsin ； 比值r x 叫做的余弦 记作： r x =αcos 比值x y 叫做的正切 记作：x y =αtan ; 比值yx 叫做的余切 记作： y x =αcot 比值x r 叫做的正割 记作：x r =αsec ； 比值y r 叫做的余割 记作: yr =αcsc 注意几个问题：① 角是“任意角”，当=2k +（k Z)时，与的同名三角函数值应该是相 等的,即凡是终边相同的角的三角函数值相等。

① 实际上，如果终边在坐标轴上，上述定义同样适用.③三角函数是以“比值”为函数值的函数④0>r ，而x ，y 的正负是随象限的变化而不同，故三角函数的符号应由象限确定⑤定义域：αααtan cos sin ===y y y )(2Z k k R R ∈+≠ππα αααcsc sec cot ===y y y )()(2)(Z k k Z k k Z k k ∈≠∈+≠∈≠παππαπα 例1、 已知的终边经过点P(2,3),(1）求的六个三角函数值 （2）求2sin+cos 的值若点P 为（2a,3a ）(a 0)呢？例2、 求下列各角的六个三角函数值（1） 0 （2） （3）23π （4） 2π二、三角函数的符号由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知：①正弦值y r 对于第一、二象限为正（0,0y r >>）,对于第三、四象限为负（0,0y r <>）； ②余弦值x r对于第一、四象限为正（0,0x r >>)，对于第二、三象限为负（0,0x r <>)； ③正切值y x对于第一、三象限为正（,x y 同号)，对于第二、四象限为负(,x y 异号）． y y y+ + - + - +x x x- - - + + —sin α csc α cos α sec α tan α cot α说明：若终边落在轴线上,则可用定义求出三角函数值。

第1课时任意角【学习目标】1．了解任意角的概念;正确理解正角、零角、负角的概念2．正确理解终边相同的角的概念，并能判断其为第几象限角，熟悉掌握终边相同的角的集合表示【学习重点、难点】用集合与符号语言正确表示终边相同的角【自主学习】一、复习引入问题1：回忆初中我们是如何定义一个角的？____________________________________________________ __所学的角的范围是什么？____________________________________________________ __问题2：在体操、跳水中，有“转体0720”,720”这样的动作名词,这里的“0怎么刻画？____________________________________________________ __二、建构数学1．角的概念角可以看成平面内一条______绕着它的_____从一个位置_____到另一个位置所形成的图形。

射线的端点称为角的________,射线旋转的开始位置和终止位置称为角的______和______。

2．角的分类按__________方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做_________。

如果一条射线没有作任何旋转,我们称它形成了一个_________,它的______和_______重合。

这样,我们就把角的概念推广到了_______,包括_______、________和________.3.终边相同的角所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个_________，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成。

4．象限角、轴线角的概念我们常在直角坐标系内讨论角。

为了讨论问题的方便，使角的________与__________重合，角的___________与_______________________重合。

那么，角的_________(除端点外）落在第几象限,我们就说这个角是__________________.如果角的终边落在坐标轴上,则称这个角为____________________。