2018-2019学年最新高中数学苏教版必修4教案：第一章 三角函数 第4课时 1.1任意角的三角函数(2)

第1章 三角函数任意角的三角函数概念(1)已知角α的终边过点P (－4m,3m )(m ≠0)，则2sin α＋cos α的值是________． (2)函数y ＝sin x ＋2cos x －1的定义域是________． 思路点拨：(1)根据三角函数的定义求解，注意讨论m 的正负． (2)利用三角函数线求解．(1)25或－25 (2)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π≤x ≤2k π＋π3，k ∈Z[(1)r ＝|OP |＝(－4m )2＋(3m )2＝5|m |.当m >0时，sin α＝y r ＝3m 5m ＝35，cos α＝x r ＝－4m 5m ＝－45，∴2sin α＋cos α＝25.当m <0时，sin α＝y r ＝3m －5m ＝－35，cos α＝x r ＝－4m －5m ＝45，∴2sin α＋cos α＝－25.故2sin α＋cos α的值是25或－25.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，2cos x －1≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，cos x ≥12，如图，结合三角函数线知：⎩⎪⎨⎪⎧2k π≤x ≤2k π＋π(k ∈Z )，2k π－π3≤x ≤2k π＋π3(k ∈Z )，解得2k π≤x ≤2k π＋π3(k ∈Z )，∴函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π≤x ≤2k π＋π3，k ∈Z.]三角函数的概念所涉及的内容主要有以下两方面：(1)任意角和弧度制.理解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算. (2)任意角的三角函数.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及三角函数线，能够利用三角函数线判断三角函数的符号，借助三角函数线求三角函数的定义域.1．(1)已知角α的顶点在原点，始边为x 轴的非负半轴．若角α的终边经过点P (－3，y )，且sin α＝34y (y ≠0)，判断角α所在的象限，并求cos α和tan α的值； (2)若角α的终边在直线y ＝－3x 上，求10sin α＋3cos α的值． [解] (1)依题意，点P 到原点O 的距离为|PO |＝(－3)2＋y 2，∴sin α＝y r＝y3＋y2＝34y . ∵y ≠0，∴9＋3y 2＝16，∴y 2＝73，∴y ＝±213. ∴点P 在第二或第三象限． 当点P 在第二象限时，y ＝213，cos α＝x r ＝－34，tan α＝－73.当点P 在第三象限时，y ＝－213，cos α＝x r ＝－34， tan α＝73. (2)设角α终边上任一点为P (k ，－3k )(k ≠0)， 则r ＝x 2＋y 2＝k 2＋(－3k )2＝10|k |. 当k >0时，r ＝10k . ∴sin α＝－3k10k＝－310，1cos α＝10k k ＝10.∴10s in α＋3cos α＝－310＋310＝0.当k <0时，r ＝－10k .∴sin α＝－3k －10k ＝310，1cos α＝－10kk ＝－10.∴10sin α＋3cos α＝310－310＝0.综上，10sin α＋3cos α＝0.同角三角函数的基本关系与诱导公式已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋m ＝0的两根为sin θ，cos θ，θ∈(0,2π)．求：(1)cos 2⎝⎛⎭⎪⎫3π2－θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＋cos (－π－θ)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ1＋tan (π－θ)；(2)m 的值；(3)方程的两根及此时θ的值．思路点拨：先利用根与系数的关系得到sin θ＋cos θ与sin θcos θ，再利用诱导公式和三角函数的基本关系式求解．[解] 由根与系数的关系，得 sin θ＋cos θ＝3＋12，sin θcos θ＝m2. (1)原式＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－tan θ＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－sin θcos θ＝sin 2θsin θ－cos θ－cos 2θsin θ－cos θ＝sin θ＋cos θ＝3＋12.(2)由sin θ＋cos θ＝3＋12，两边平方可得1＋2sin θcos θ＝4＋234，1＋2×m2＝1＋32，m ＝32. (3)由m ＝32可解方程2x 2－(3＋1)x ＋32＝0， 得两根12和32.∴⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝12，cos θ＝32或⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝32，cos θ＝12.∵θ∈(0,2π)， ∴θ＝π6或π3.同角三角函数的基本关系和诱导公式是三角恒等变换的主要依据，主要应用方向是三角函数式的化简、求值和证明.常用以下方法技巧：(1)化弦：当三角函数式中三角函数名称较多时，往往把三角函数化为弦，再化简变形.(2)化切：当三角函数式中含有正切及其他三角函数时，有时可将三角函数名称都化为正切，再化简变形.(3)“1”的代换：在三角函数式中，有些会含有常数1，常数1虽然非常简单，但有些三角函数式的化简却需要利用三角函数公式将1代换为三角函数式.2．已知f (α)＝sin 2(π－α)·cos (2π－α)·tan (－π＋α)sin (－π＋α)·tan (－α＋3π).(1)化简f (α)；(2)若f (α)＝18，且π4<α<π2，求cos α－sin α的值；(3)若α＝－47π4，求f (α)的值．[解] (1)f (α)＝sin 2α·cos α·tan α(－sin α)(－tan α)＝sin α·cos α.(2)由f (α)＝sin α·cos α＝18可知，(cos α－sin α)2＝cos 2α－2sin α·cos α＋sin 2α＝1－2sin α·cos α＝1－2×18＝34.又∵π4<α<π2，∴cos α<sin α，即cos α－sin α<0，∴cos α－sin α＝－32. (3)∵α＝－47π4＝－6×2π＋π4，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－47π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－47π4·sin ⎝⎛⎭⎪⎫－47π4 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6×2π＋π4·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6×2π＋π4＝cos π4·sin π4＝22×22＝12.三角函数的图象与性质已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋1ω>0，A >0,0<φ<π2的周期为π，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝3＋1，且f (x )的最大值为3.(1)写出f (x )的表达式；(2)写出函数f (x )的对称中心，对称轴方程及单调区间；(3)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值．思路点拨：(1)由T ＝2πω求ω，由f (x )的最大值为3求A ，由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝3＋1，求φ. (2)把ωx ＋φ看作一个整体，结合y ＝sin x 的单调区间与对称性求解．(3)由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2求出ωx ＋φ的X 围，利用单调性求最值．[解] (1)∵T ＝π，∴ω＝2πT＝2.∵f (x )的最大值为3，∴A ＝2. ∴f (x )＝2sin(2x ＋φ)＋1.∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝3＋1， ∴2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋φ＋1＝3＋1，∴cos φ＝32. ∵0<φ<π2，∴φ＝π6.∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1. (2)由f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1，令2x ＋π6＝k π，得x ＝k π2－π12(k ∈Z )，∴对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫k π2－π12，1(k ∈Z )．由2x ＋π6＝k π＋π2，得x ＝k π2＋π6(k ∈Z )，∴对称轴方程为x ＝k π2＋π6(k ∈Z )．由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )，∴f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )．由2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2，得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3(k ∈Z )，∴f (x )的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )．(3)当0≤x ≤π2时，π6≤2x ＋π6≤7π6，∴－12≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≤1，∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为3，最小值为0.三角函数的图象是研究三角函数性质的基础，又是三角函数性质的具体体现.在平时的考查中，主要体现在三角函数图象的变换和解析式的确定，以及通过对图象的描绘、观察来讨论函数的有关性质.具体要求：(1)用“五点法”作y ＝A sin (ωx ＋φ)的图象时，确定五个关键点的方法是分别令ωx ＋φ＝0，π2，π，3π2，2π. (2)对于y ＝A sin (ωx ＋φ)的图象变换，应注意先“平移”后“伸缩”与先“伸缩”后“平移”的区别.(3)已知函数图象求函数y ＝A sin (ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的解析式时，常用的解题方法是待定系数法.3．函数f (x )＝cos(πx ＋φ)0<φ<π2的部分图象如图所示．(1)求φ及图中x 0的值；(2)设g (x )＝f (x )＋fx ＋13，求函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，13上的最大值和最小值．[解] (1)由题图得f (0)＝32，所以cos φ＝32， 因为0<φ<π2，故φ＝π6.由于f (x )的最小正周期等于2，所以由题图可知1<x 0<2. 故7π6<πx 0＋π6<13π6，由f (x 0)＝32得cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx 0＋π6＝32，所以πx 0＋π6＝11π6，x 0＝53. (2)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13＋π6＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π2＝－sin πx ， 所以g (x )＝f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π6－sin πx ＝cos πx cos π6－sin πx sin π6－sin πx ＝32cos πx －12sin πx －sin πx ＝32cos πx －32sin πx ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－πx .当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，13时，－π6≤π6－πx ≤2π3.所以－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－πx ≤1，故π6－πx ＝π2，即x ＝－13时，g (x )取得最大值3； 当π6－πx ＝－π6，即x ＝13时，g (x )取得最小值－32. 数形结合思想【例4】 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R 其中A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2在一个周期内的简图如图所示，求函数g (x )＝f (x )－lg x 零点的个数．思路点拨：识图→求A ，ω，φ→ 画出f (x )及y ＝lg x 的图象→下结论 [解] 显然A ＝2.由图象过(0,1)点，则f (0)＝1，即sin φ＝12，又|φ|＜π2，则φ＝π6.又⎝⎛⎭⎪⎫11π12，0是图象上的点，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12＝0， 即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12ω＋π6＝0，由图象可知，⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12，0是图象在y 轴右侧部分与x 轴的第二个交点．∴11π12ω＋π6＝2π，∴ω＝2，因此所求函数的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.在同一坐标系中作函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6和函数y ＝lg x 的示意图如图所示：∵f (x )的最大值为2，令lg x ＝2，得x ＝100，令1112π＋k π＜100(k ∈Z )，得k ≤30(k ∈Z )，而1112π＋31π＞100，∴在区间(0,100]内有31个形如⎣⎢⎡⎦⎥⎤1112π＋k π，1712π＋k π(k ∈Z,0≤k ≤30)的区间，在每个区间上y ＝f (x )与y ＝lg x 的图象都有2个交点，故这两个函数图象在⎣⎢⎡⎦⎥⎤11π12，100上有2×31＝62个交点，另外在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1112π上还有1个交点，∴方程f (x )－lg x ＝0共有实根63个， ∴函数g (x )＝f (x )－lg x 共有63个零点．数形结合常用于解方程、解不等式、求函数的值域、判断图象交点的个数、求参数X 围等题目中.本章中，常常利用单位圆中的三角函数线或三角函数的图象解答三角问题，是典型的“以形助数”的方法，而利用三角公式证明三角函数中的几何性质问题，又是典型的“以数助形”的解题策略.4．若集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪sin θ≥12，0≤θ≤π，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪cos θ≤12，0≤θ≤π，求M ∩N .[解] 首先作出正弦函数与余弦函数以及直线y ＝12的图象，如图①②.结合图象得集合M ，N 分别为：M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪π6≤θ≤5π6，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪π3≤θ≤π. 得M ∩N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪π3≤θ≤56π.。

第1课时三角函数的周期性问题1：今天是周三，66天后的那一天是周几？你是如何推算的？提示：66天后的那一天是周六，因为每隔七天，周一到周日依次循环，而66＝7×9＋3，所以66天后的那一天是周六．问题2：在三角函数中：(1)终边相同的角的正弦函数值相等，即sin(x＋k·2π)＝sin x(k∈Z)．(2)终边相同的角的余弦函数值相等，即cos(x＋k·2π)＝cos x(k∈Z)．上述两个结论说明正弦函数和余弦函数有什么共同性质？提示：正弦函数和余弦函数都具有周期性．1．周期函数对于函数f(x)，如果存在一个非零的常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．2．最小正周期(1)定义：对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数叫做f(x)的最小正周期．(2)正弦函数和余弦函数都是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它们的周期，它们的最小正周期都是2π.(3)正切函数y＝tan x也是周期函数，并且最小正周期是π.问题：由周期函数的定义可知y＝sin x，y＝sin 2x，y＝sin 3x，y＝sin x2，y＝sinx3的周期分别为2π，π，2π3，4π，6π.你能猜出y ＝sin 4x ，y ＝sin 14x 的周期吗？那么y ＝sin ωx (ω>0)的周期又是什么？提示：y ＝sin 4x ，y ＝sin 14x 的周期分别为π2，8π；y ＝sin ωx (ω>0)的周期为2πω.(1)若函数y ＝f (x )的周期为T ，则函数y ＝Af (ωx ＋φ)的周期为T|ω|(其中A ，ω，φ为常数，且A ≠0，ω≠0)．(2)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)及y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中A ，ω，φ为常数，且A ≠0，ω>0)的周期T ＝2πω.1．对周期函数与周期定义中的“对定义域内的任意一个x ”，要特别注意“任意一个”的要求，如果只是对某些x 有f (x ＋T )＝f (x )成立，那么T 就不是函数f (x )的周期．例如：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π2＝sin π4，但是sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π2≠sin π3，也就是说，π2不能对x 在定义域内的每一个值都有sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝sin x 成立，因此π2不是函数y ＝sin x 的周期． 2．从等式f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)来看，应强调的是与自变量x 相加的常数才是周期，如f (2x ＋T )＝f (2x )，T 不是最小正周期，而应写成f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋T 2＝f (2x )，则T2是f (x )的最小正周期．3．若f (x )是周期函数，则其图象平移周期的整数倍后，一定与原图象完全重合，即周期函数的周期不唯一．[例1] 求下列函数的最小正周期．(1)f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋π3； (2)f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3x ＋π4； (3)f (x )＝14sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3； (4)f (x )＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ax ＋π4(a ≠0)． [思路点拨] 直接利用周期公式求解． [精解详析] (1)T ＝2π13＝6π，∴最小正周期为6π. (2)T ＝2π|－3|＝23π，∴最小正周期为2π3. (3)T ＝2π12＝4π，∴最小正周期为4π. (4)T ＝2π|2a |＝π|a |，∴最小正周期为π|a |. [一点通] 利用公式求y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期时，要注意ω的正负，公式可记为T ＝2π|ω|；函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的最小正周期为T ＝π|ω|.1．函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π4的最小正周期为________． 解析：T ＝2π12＝4π.答案：4π2．函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3x ＋π6的最小正周期为________． 解析：T ＝π|－3|＝π3.答案：π33若f (x )＝－5sin ⎝⎛⎭⎪⎫kx －π3的最小正周期为π5，求k . 解：由T ＝2π|k |＝π5.∴|k |＝10，∴k ＝±10.[例2] 若f (x )是以π2为周期的奇函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝1，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π6. [思路点拨] 利用奇偶性、周期性将－5π6转化可求．[精解详析] f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π6＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＝－f ⎝⎛⎭⎪⎫π－π6＝－f ⎝⎛⎭⎪⎫2×π2－π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π3 ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝－1.[一点通] 函数的周期性与其它性质相结合是一类热点问题，一般在条件中，周期性起到变量值转化作用，也就是将所求函数值转化为已知求解．4．设f (x )是定义在R 上的以4为周期的奇函数，且f (1)＝－1，则f (2 015)＝________. 解析：∵f (x )的周期为4，f (x )为奇函数，且f (1)＝－1. ∴f (2 015)＝f (4×504－1)＝f (－1)＝－f (1)＝－(－1)＝1. 答案：15．若f (x )是R 上周期为5的奇函数，且满足f (1)＝1，f (2)＝2，则f (3)－f (4)＝________. 解析：由于f (x )的周期为5， 所以f (3)－f (4)＝f (－2)－f (－1)． 又f (x )为R 上的奇函数，∴f (－2)－f (－1)＝－f (2)＋f (1)＝－2＋1＝－1. 答案：－16．已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，求f (7)的值．解：∵f (x ＋4)＝f (x )，∴f (x )是周期为4的函数， ∴f (7)＝f (2×4－1)＝f (－1)，又∵f (x )在R 上是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， ∴f (－1)＝－f (1)，而当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2， ∴f (1)＝2×12＝2，∴f (7)＝f (－1)＝－f (1)＝－2.1．求三角函数的周期的常用方法正弦函数和余弦函数的周期性实质是由终边相同的角所具有的周期性决定的．求三角函数的周期的常用方法有：(1)公式法：对形如函数y ＝A sin(ωx ＋φ)及y ＝A cos(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ≠0，ω>0)的周期直接用公式T ＝2πω求解； (2)定义法：用周期函数的定义求解；(3)图象法：周期函数的图象总是周而复始地重复同一个形状，因而观察图象是不是周期性的循环也是判断周期性的常用方法．2．周期函数的一些常见结论由周期函数的定义“函数f (x )满足f (x )＝f (a ＋x )(a >0)，则f (x )是周期为a 的周期函数”得：(1)若函数f (x )满足－f (x )＝f (a ＋x )，则T ＝2a ； (2)若f (x ＋a )＝1f x(f (x )≠0)恒成立，则T ＝2a ；(3)若f (x ＋a )＝f x ＋1f x －1(f (x )≠1)，则T ＝2a .课下能力提升(七)一、填空题1．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x 的最小正周期为________． 解析：T ＝2π|－2|＝π.答案：π2．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4的最小正周期为________． 解析：T ＝π3.答案：π33．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 4x ＋π3(k >0)的最小正周期不大于2，则正整数k 的最小值应是________．解析：∵T ＝2πk4＝8πk≤2，∴k ≥4π，∴k min ＝13.答案：134．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx －π2－1，则下列命题正确的是________．①f (x )是周期为1的函数 ②f (x )是周期为2的函数 ③f (x )是周期为12的函数④f (x )是周期为π的函数解析：f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx －π2－1＝－cos πx －1， ∴f (x )的周期为2ππ＝2. 答案：②5．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，则f (6)的值为________． 解析：∵f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴f (0)＝0.又f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝f (x )， ∴函数f (x )是周期为4的周期函数， ∴f (6)＝f (2)．由f (2)＝－f (0)＝0，得f (6)＝0. 答案：0 二、解答题6．求下列函数的最小正周期．(1)f (x )＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－16x ； (2)f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎪⎫mx ＋π6(m ≠0)． 解：(1)T ＝2π⎪⎪⎪⎪⎪⎪－16＝12π， 即函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－16x 的最小正周期为12π. (2)T ＝2π|m |，即函数f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎪⎫mx ＋π6(m ≠0)的最小正周期为2π|m |. 7．已知函数f (n )＝sin n π6(n ∈Z)，求f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (102)．解：由诱导公式知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋126π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π6＋2π＝sin n π6，∴f (n ＋12)＝f (n )，且f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (12)＝0,102＝12×8＋6， ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (102) ＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (6) ＝sinπ6＋sin 2π6＋…＋sin 6π6＝2＋ 3.8．若单摆中小球相对静止位置的位移x (cm)随时间t (s)的变化而周期性变化，如下图所示，请回答下列问题：(1)单摆运动的周期是多少？(2)从O 点算起，到曲线上的哪一点表示完成了一次往复运动？如从A 点算起呢？ (3)当t ＝11 s 时，单摆小球相对于静止位置的位移是多少？ 解：(1)从图象可以看出，单摆运动的周期是0.4 s.(2)若从O 点算起，到曲线上的D 点表示完成了一次往复运动；若从A 点算起，到曲线上的E 点表示完成了一次往复运动．(3)11＝0.2＋0.4×27，所以小球经过11 s 相对于静止位置的位移是0 cm.第2课时 三角函数的图象与性质问题1：作函数图象的基本步骤是什么？ 提示：列表、描点、连线．问题2：正弦函数值与正弦线有关系吗？ 提示：有关系，正弦函数值可以用正弦线表示．问题3：若在直角坐标系的x 轴上取一点O 1，以O 1为圆心，单位长为半径作圆，从⊙O 1与x 轴的交点A 起，把⊙O 1分成12等份，过⊙O 1上各分点作x 轴的垂线，得到对应于0，π6，π3，π2，…，2π等角的正弦线．相应地，再把x 轴上从0到2π这一段分成12等份，把角x 的正弦线向右平移，使它的起点与x 轴上的点x 重合，再把这些正弦线的终点用光滑的曲线连接起来，如图，所得函数图象是什么图象？提示：函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象． 问题4：由此你能作出y ＝sin x ，x ∈R 的图象吗？提示：能．因sin(x ＋2k π)＝sin x (k ∈Z)，这样只要将函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象向左、向右平行移动(每次平移2π个单位长度)，可得y ＝sin x ，x ∈R 的图象．1．正弦曲线正弦函数的图象叫做正弦曲线．如图：2．正弦曲线的作法(1)几何法——借助三角函数线； (2)描点法——五点法．用“五点法”画正弦曲线在[0,2π]上的图象时所取的五个关键点为(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0)．由于cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2，x ∈R.想一想，你能通过y ＝sin x ，x ∈R 的图象变换得到y ＝cos x ，x ∈R 的图象吗？提示：能．只要把y ＝sin x ，x ∈R 的图象向左平移π2个单位即可．1．余弦曲线余弦函数的图象叫做余弦曲线．如图所示：2．余弦曲线的画法(1)要得到y ＝cos x 的图象，只需把y ＝sin x 的图象向左平移π2个单位长度便可，这是由于cos x ＝sin(x ＋π2)．(2)用“五点法”画出余弦曲线y ＝cos x 在[0,2π]上的图象时所取的五个关键点分别为：(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1)．1．正弦曲线、余弦曲线的作法 (1)正弦、余弦函数图象的几何作法．作图时，函数自变量要用弧度制．这样自变量与函数值均为实数，因此在x 轴、y 轴上可以统一单位，作出图象正规、准确，但较繁琐．(2)五点法：在要求不太高的情况下，可用五点法作出，对y ＝sin x 取(0,0)、⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1、(π，0)、⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1、(2π，0)；对y ＝cos x 取(0,1)、⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0、(π，－1)、⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0、(2π，1)． 然后用平滑曲线将它们连接起来，就得到[0,2π]内的简图． 2．正弦曲线、余弦曲线的对称性正弦曲线是中心对称图形，其所有的对称中心坐标为(k π，0)(k ∈Z)，正弦曲线也是轴对称图形，其所有的对称轴方程是x ＝k π＋π2(k ∈Z)．余弦曲线是中心对称图形，其所有的对称中心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0(k ∈Z)，余弦曲线也是轴对称图形，其所有的对称轴方程是x ＝k π(k ∈Z)．[例1] 用“五点法”作出下列函数的简图：(1)y ＝－sin x ；(2)y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3.[思路点拨] 取五个关键点利用列表、描点、连线的作法即可画出简图． [精解详析] (1)列表：描点画图，然后由周期性得整个图象，如图所示：(2)列表：描点、连线得y ＝sin(x －π3)在一个周期内的图象，然后由周期性得整个图象，如图所示：[一点通] 画函数的图象一般先根据函数的解析式判断函数的特点，再采用列表描点的方法进行画图．根据与其有关的已知曲线的特点列出关键的五个点，再描点连线即可．用“五点法”作图要注意画出一个周期的图象后，再利用周期性作平移才能得到整个函数图象．1．作出函数y ＝|sin x |的图象． 解：由y ＝|sin x |，得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ， 2k π≤x ≤2k π＋πk ∈，－sin x ， 2k π＋π<x ≤2k π＋2πk ∈(k ∈Z)．其图象如图所示，2．作出函数y ＝sin|x |的图象．解：y ＝sin|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ， x ≥0.－sin x ， x <0，其图象如图所示，3．用“五点法”作函数y ＝1－cos x (0≤x ≤2π)的简图． 解：列表：描点并用光滑的曲线连接起来，如图所示：[例2] 求方程sin x ＝1x在区间[－π，π]内的解的个数．[思路点拨] 利用数形结合，画出两个函数y ＝sin x 和y ＝1x在[－π，π] 内的图象，两图象交点的个数即为方程解的个数．[精解详析] 根据条件只需在同一直角坐标系中画出y ＝sin x 与y＝1x在区间[－π，π]上的图象．如图，根据图象可知，两个函数图象有4个交点，即方程有4个实根．[一点通] 本题如果没有范围限制就还需要继续补充图象，由正弦函数图象的无限延续及反比例函数无限接近于x 轴与y 轴的特点可知，方程应有无数个解．不管有没有范围限制，我们在解决这一类问题时都不可能画出全部图象，而是画出一部分图象，根据图象的趋势判断解的个数．4．求方程x 2＝cos x 的实数解的个数．解：作函数y ＝cos x 与y ＝x 2的图象如图所示，由图象可知原方程有两个实数解．5．判断方程x4－cos x ＝0的根的个数．解：设f (x )＝x4，g (x )＝cos x ，在同一直角坐标系中画出f (x )与g (x )的图象，如图所示．由图象可知，f (x )与g (x )的图象有三个交点， 故方程x4－cos x ＝0有三个根.[例3] 利用正弦曲线，求满足12＜sin x ≤32的x 的集合．[思路点拨] 作出正弦函数y ＝sin x 在一个周期内的图象，然后借助图象求解． [精解详析] 首先作出y ＝sin x 在[0,2π]上的图象，如图所示，作直线y ＝12，根据特殊角的正弦值，可知该直线与y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的交点横坐标为π6和5π6；作直线y ＝32，该直线与y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的交点横坐标为π3和2π3.观察图象可知，在[0,2π]上，当π6＜x ≤π3，或2π3≤x ＜5π6时，不等式12＜sin x ≤32成立． 所以12＜sin x ≤32的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫π6＋2k π＜x ≤π3＋2k π或2π3＋2k π≤x ＜5π6＋2k π，k ∈Z .[一点通] 利用正弦曲线、余弦曲线解三角不等式的一般步骤为： (1)画出正弦函数y ＝sin x 或余弦函数y ＝cos x 在[0,2π]上的图象； (2)写出适合不等式的在区间[0,2π]上的解集； (3)把此解集推广到整个定义域上去．6．求满足cos x ≤12的x 集合．解：作出余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象，如图．由图形可以得到，满足条件的x 的集合为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3＋2k π，5π3＋2k π(k∈Z)．7．求满足sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤12的x 的范围．解：令z ＝x ＋π4，sin z ≤12，在同一直角坐标系中作出y ＝sin z ，z ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π2，π2与直线y ＝12的图象，如图所示，然后观察图象可知，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π2，π2内适合sin z ≤12的z ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π6，π6，故当z ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π6＋2k π，π6＋2k π，k ∈Z ，即－7π6＋2k π≤x ＋π4≤π6＋2k π，k ∈Z 时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤12成立．∴17π12＋2k π≤x ≤－π12＋2k π，k ∈Z . 即满足sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤12的x 的范围为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－17π12＋2k π，－π12＋2k π，k ∈Z .1．“五点法”作图(1)“五点法”是画三角函数图象的基本方法，作图的实质是选取函数的一个周期，将其四等分(即取五个点)，分别找到函数图象的最高点、最低点及“平衡点”．这五个点大致确定了函数图象的位置与形状，因此可以画出函数的简图．(2)由于“五点法”作图时，精确度较差，因此画图之前要做到心中有图，明确正弦曲线的变化趋势和规律．正弦函数的图象是“波浪状”，在连线时一定要注意这一点，不要画成“折线”．2．利用三角函数图象解简单的三角不等式 利用正弦函数的图象解sin x >a 的方法(1)作出直线y ＝a 和正弦函数y ＝sin x 的图象； (2)在一个周期内确定sin x ＝a 的x 值； (3)确定sin x >a 的解集．课下能力提升(八)一、填空题1．已知sin x ＝m －1且x ∈R ，则m 的取值范围是________． 解析：由y ＝sin x ，x ∈R 的图象知， －1≤sin x ≤1，即－1≤m －1≤1，所以0≤m ≤2.答案：0≤m ≤2 2．函数y ＝log 12sin x 的定义域是________．解析：由题意可得，⎩⎪⎨⎪⎧log 12sin x ≥0，sin x ＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≤1，sin x ＞0，∴0＜sin x ≤1，由正弦函数图象可得{x |2k π＜x ＜(2k ＋1)π，k ∈Z}． 答案：{x |2k π＜x ＜(2k ＋1)π，k ∈Z} 3．方程sin x ＝lg x 的解有________个．解析：如图所示，y ＝sin x 与y ＝lg x 的图象有3个交点，故方程有3个解．答案：34．已知y ＝cos x (0≤x ≤2π)的图象和直线y ＝1围成一个封闭的平面图形，则该图形的面积为________．解析：S ＝2×2π×12＝2π.答案：2π 5．若cos x ≥22，则x 的取值范围为________． 解析：当cos x ＝22时， x ＝π4＋2k π或x ＝－π4＋2k π，k ∈Z.借助余弦曲线可知，x 的取值范围为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2k π－π4≤x ≤2k π＋π4，k ∈Z .答案：⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2k π－π4≤x ≤2k π＋π4，k ∈Z二、解答题6．用五点法在同一坐标系中作出下列函数一个周期上的简图：(1)y ＝sin x ； (2)y ＝2sin x ； (3)y ＝2sin x2.解：(1)(2)五点选取列表如下，图象如下图：(3)五点选取列表如下，图象如下图：7．设sin θ>cos θ，θ∈[0,2π]，借助正弦曲线和余弦曲线求θ的取值范围． 解：作出正弦函数y ＝sin x 和余弦函数y ＝cos x 在一个周期[0,2π]上的图象如图所示，由图象可知：满足不等式sin θ>cos θ的θ的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5π4.8．函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，求k 的取值范围．解：f (x )＝sin x ＋2|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧3sin x ，x ∈[0，π]，－sin x ，x ∈π，2π]，如下图，则k 的取值范围是(1,3)．第3课时 正、余弦函数的图象与性质观察分析正弦函数图象如图．问题1：你能说出正弦函数y ＝sin x 的定义域、值域、周期性及奇偶性吗？ 提示：能．定义域为R ，值域为[－1,1]，最小正周期为2π，是奇函数． 问题2：你能写出正弦函数y ＝sin x ，x ∈R 的单调区间吗？提示：能．在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π(k ∈Z)上为增函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋2k π，3π2＋2k π(k ∈Z)上为减函数．正、余弦函数的性质1．正弦函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π(k ∈Z)上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋2k π，3π2＋2k π(k ∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1；类似地，余弦函数在区间[2k π－π，2k π](k ∈Z)上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个区间[2k π，2k π＋π](k ∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1.2．正弦函数在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上是增函数，但不能说正弦函数在第一象限内是增函数．例如x 1＝π6＋2π，x 2＝π3，都是第一象限角，而sin x 1＝12，sin x 2＝32，从而有x 1>x 2，sin x 1<sin x 2，这不符合增函数定义．所以正弦函数、余弦函数的单调性，只能针对区间而言，不能针对象限而言．3．正、余弦函数都不是单调函数，但是它们有无数个单调区间，利用其单调性，可以比较同一个单调区间内两个角的同名三角函数值的大小．[例1] 求下列函数的单调区间：(1)y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3； (2)y ＝cos 2x .[思路点拨] 可依据y ＝sin x (x ∈R)和y ＝cos x (x ∈R)的单调区间． [精解详析] (1)令u ＝x －π3，函数y ＝sin u 的递增、递减区间分别为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z)，⎣⎢⎡2k π＋π2，⎦⎥⎤2k π＋3π2(k ∈Z)．∴y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的递增、递减区间分别由下面的不等式确定： 2k π－π2≤x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ， 2k π＋π2≤x －π3≤2k π＋3π2，k ∈Z ， 得2k π－π6≤x ≤2k π＋5π6，k ∈Z ，2k π＋5π6≤x ≤2k π＋11π6，k ∈Z. ∴函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的递增区间、递减区间分别是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋5π6(k ∈Z)、⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋5π6，2k π＋11π6(k ∈Z)．(2)函数y ＝cos2x 的单调递增区间、单调递减区间分别由下面的不等式确定： 2k π－π≤2x ≤2k π，k ∈Z,2k π≤2x ≤2k π＋π，k ∈Z. ∴k π－π2≤x ≤k π，k ∈Z ，k π≤x ≤k π＋π2，k ∈Z.∴函数y ＝cos2x 的单调递增区间、单调递减区间分别为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π2，k π(k ∈Z)、⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2(k ∈Z)．[一点通] 求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)(其中A ≠0，ω>0)的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法来解答，列不等式的原则是：①把“ωx ＋φ”视为一个“整体”(若ω<0，可利用三角函数的诱导公式化x 系数为正)；②根据A 的符号选取y ＝sin x 的单调区间．1．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递减区间是________．解析：2k π≤2x －π3≤2k π＋π，2k π＋π3≤2x ≤2k π＋4π3，k π＋π6≤x ≤k π＋4π3，k ∈Z. 即递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z)． 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z) 2．求函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的单调递增区间．解：y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4，令z ＝x －π4，则y ＝－2sin z .∴要求y ＝－2sin z 的单调递增区间，即求y ＝sin z 的单调递减区间． 即2k π＋π2≤z ≤2k π＋3π2(k ∈Z)．∴2k π＋π2≤x －π4≤2k π＋3π2(k ∈Z)，即2k π＋3π4≤x ≤2k π＋7π4(k ∈Z)，∴函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋3π4，2k π＋7π4(k ∈Z).[例2] 比较下列各组三角函数值的大小： (1)sin 250°与sin 260°； (2)cos15π8与cos 14π9； (3)sin 11°，cos 10°，sin 168°.[思路点拨] (1)250°和260°在函数y ＝sin x 的单调递减区间[π2，3π2]内，可比较大小；(2)利用诱导公式将已知角转化为y ＝cos x 同一单调区间内，然后比较大小； (3)先转化为同名三角函数再比较大小．[精解详析] (1)∵函数y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2上单调递减，且90°<250°<260°<270°，∴sin 250°>sin 260°.(2)cos 15π8＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π－π8＝cos π8， cos14π9＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π－4π9＝cos 4π9. ∵函数y ＝cos x 在[0，π]上单调递减， 且0<π8<4π9<π，∴cos π8>cos 4π9， ∴cos15π8>cos 14π9. (3)sin 168°＝sin(180°－12°)＝sin 12°， cos 10°＝sin(90°－10°)＝sin 80°. 又因为y ＝sin x 在x ∈[0，π2]上是增函数，所以sin 11°<sin 12°<sin 80°， 即sin 11°<sin 168°<cos 10°.[一点通] 比较两个三角函数值的大小，一般应先化为同名三角函数，并运用诱导公式把它们化为在同一单调区间上的同名三角函数，以便运用函数的单调性进行比较．3．比较下列各组数的大小．(1)sin 2016°和cos 160°；(2)sin 74和cos 53.解：(1)sin 2 016°＝sin(360°×5＋216°)＝sin 216°＝ sin(180°＋36°)＝－sin 36°.cos 160°＝cos(180°－20°)＝－cos 20°＝－sin 70°. ∵sin 36°＜sin 70°，∴－sin 36°＞－sin 70°， 即sin 2 016°＞cos 160°.(2)cos 53＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋53，又π2<74<π2＋53<3π2，y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2上是减函数， ∴sin 74>sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋53＝cos 53，即sin 74>cos 53.4．若△ABC 是锐角三角形，试比较sin A 与cos B 的大小． 解：因为△ABC 是锐角三角形，A ＋B ＝π－C ，且0<C <π2，所以A ＋B >π2，所以0<π2－B <A <π2，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B <sin A ，即cos B <sin A . 5．比较sin ⎝⎛⎭⎪⎫sin3π8和sin ⎝⎛⎭⎪⎫cos 3π8的大小． 解：∵cos 3π8＝sin π8，∴0＜cos 3π8＜sin 3π8＜1＜π2.而y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2内递增， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫cos3π8＜sin ⎝⎛⎭⎪⎫sin 3π8.[例3] 求下列函数的最大值和最小值，并写出取得最值时的x 取值集合． (1)y ＝1－12sin x ； (2)y ＝3＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3； (3)y ＝2cos 2x ＋5sin x －4.[思路点拨] 解答本题中的(1)可先根据sin x 的范围，求出1－12sin x 的范围．解答本题中的(2)可由2x ＋π3∈R ，得到sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的范围．解答本题中的(3)可先减少函数名，即利用sin 2x ＋cos 2x ＝1消去cos 2x 便可转化成关于sin x 的二次函数问题．[精解详析] (1)∵⎩⎪⎨⎪⎧1－12sin x ≥0，－1≤sin x ≤1，∴－1≤sin x ≤1. ∴当sin x ＝－1时，y max ＝62， 此时x 的取值集合为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝－π2＋2k π，k ∈Z ；当sin x ＝1时，y min ＝22， 此时x 的取值集合为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝π2＋2k π，k ∈Z .(2)∵－1≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1，∴当sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝1时，y max ＝5， 此时2x ＋π3＝π2＋2k π(k ∈Z)，即x ＝π12＋k π(k ∈Z)，故x 的取值集合为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝π12＋k π，k ∈Z .当sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝－1时，y min ＝1，此时2x ＋π3＝－π2＋2k π(k ∈Z)，即x ＝－5π12＋k π，故x 的取值集合为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝－5π12＋k π，k ∈Z .(3)y ＝2cos 2x ＋5sin x －4＝－2sin 2x ＋5sin x －2 ＝－2⎝⎛⎭⎪⎫sin x －542＋98.∵sin x ∈[－1,1]，∴当sin x ＝－1，即x ＝－π2＋2k π(k ∈Z)时，y 有最小值－9， 此时x 的取值集合为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝－π2＋2k π，k ∈Z ；当sin x ＝1，即x ＝π2＋2k π(k ∈Z)时，y 有最大值1，此时x 的取值集合为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝π2＋2k π，k ∈Z .[一点通] (1)求有关y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b ，x ∈R 的最值或值域这类题目的关键在于充分利用好正弦函数y ＝sin x 的有界性，即|sin x |≤1.(2)形如y ＝p sin 2x ＋q sin x ＋r (p ≠0)形式的三角函数最值问题常利用二次函数的思想转化成在给定区间[m ，n ]上求二次函数最值的问题，解答时依然采用数形结合的思想加以分析，必要时要分区间讨论转化成常见的“轴变区间定”或“轴定区间变”问题．6．函数y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3⎝ ⎛⎭⎪⎫π6≤x ≤2π3的最小值是________．解析：由π6≤x ≤2π3，得－π6≤x －π3≤π3，所以y ＝2cos(x －π3)在x ＝π3时有最大值2， 在x ＝2π3时有最小值1.答案：17．求函数y ＝cos 2x －4cos x ＋5的值域． 解：y ＝cos 2x －4cos x ＋5＝(cos x －2)2＋1. ∵－1≤cos x ≤1，∴当cos x ＝－1时，y 取最大值(－1－2)2＋1＝10； 当cos x ＝1时，y 取最小值(1－2)2＋1＝2. ∴函数y ＝cos 2x －4cos x ＋5的值域为[2,10]． 8．已知函数f (x )＝2a sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋b 的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，函数的最大值为1，最小值为－5，求a 和b 的值．解：∵0≤x ≤π2，∴－π3≤2x －π3≤2π3.∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1.若a ＞0，则⎩⎨⎧ 2a ＋b ＝1，－3a ＋b ＝－5.解得⎩⎨⎧ a ＝12－63，b ＝－23＋12 3.若a ＜0，则⎩⎨⎧2a ＋b ＝－5，－3a ＋b ＝1.解得⎩⎨⎧a ＝－12＋63，b ＝19－12 3.综上知⎩⎨⎧a ＝12－63，b ＝－23＋123或⎩⎨⎧a ＝－12＋63，b ＝19－12 3.1．正、余弦函数的单调性(1)求y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，首先把x 的系数化为正数，再利用整体代换，即把ωx ＋φ代入相应不等式中，求解相应的变量x 的范围．(2)求复合函数的单调区间时，要先求定义域，同时还要注意内层、外层函数的单调性． 2．正、余弦函数的最值(或值域)问题求含有正、余弦函数的式子的最值，常见的方法有：(1)可化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋B (A ≠0)的形式，利用三角函数的性质求最值；(2)转化成关于某一三角函数的二次函数的形式，即y ＝A sin 2x ＋B sin x ＋C ，或y ＝A cos 2x ＋B cos x ＋C ，利用配方法求解．课下能力提升(九)一、填空题1．函数y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3的值域是________．解析：∵函数y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上单调递增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2π3上单调递减，∴y max ＝sin π2＝1，y min ＝sin π6＝12.∴该函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 2．函数y ＝cos x 在区间[－π，a ]上为增函数，则a 的取值范围是________． 解析：y ＝cos x 在[－π，0]上为增函数，在[0，π]上为减函数，所以a ∈(－π，0]． 答案：(－π，0]3．将cos 150°，sin 470°，cos 760°按从小到大的顺序排列为______________________． 解析：cos 150°＜0，sin 470°＝sin 110°＝cos 20°＞0， cos 760°＝cos 40°＞0，且cos 20°＞cos 40°， 故cos 150°＜cos 760°＜sin 470°. 答案：cos 150°＜cos 760°＜sin 470°4．若f (x )＝2sin ωx (0＜ω＜1)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上的最大值是2，则ω＝________.解析：由题意知0≤x ≤π3时，0≤ωπ≤ωπ3＜π3，f (x )max ＝2sin ωπ3＝2，sin ωπ3＝22，ωπ3＝π4，ω＝34. 答案：345．若函数f (x )＝sinx ＋φ3(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝________.解析：∵f (x )为偶函数， ∴φ3＝k π＋π2(k ∈Z)， ∴φ＝3k π＋3π2(k ∈Z)．又∵φ∈[0,2π]， ∴φ＝3π2. 答案：3π2二、解答题6．求函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2x ＋π4的单调区间． 解：y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2x ＋π4＝－sin(2x －π4)． 因为2x －π4是关于x 的增函数，所以只需要考虑y ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4关于2x －π4的单调性即可．当2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z)时，y ＝sin(2x －π4)为增函数，y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2x ＋π4为减函数，解得k π－π8≤x ≤k π＋3π8(k ∈Z)，即函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2x ＋π4的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z)；同理，令2k π＋π2≤2x －π4≤2k π＋3π2(k ∈Z)，求得函数y ＝sin(－2x ＋π4)的单调增区间为 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋3π8，k π＋7π8(k ∈Z)． 7．求下列函数的值域：(1)y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6≤x ≤π6； (2)y ＝6－sin x －cos 2x .解：(1)∵－π6≤x ≤π6， ∴0≤2x ＋π3≤2π3，∴0≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1，∴y ∈[0,2]． 即函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6≤π<π6的值域为[0,2]．(2)y ＝6－sin x －cos 2x ＝sin 2x －sin x ＋5 ＝⎝⎛⎭⎪⎫sin x －122＋194∵－1≤sin x ≤1，∴y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤194，7. 即函数y ＝6－sin x －cos 2x 的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤194，7.8．已知ω是正数，函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上是增函数，求ω的取值范围．解：由2k π－π2≤ωx ≤2k π＋π2(k ∈Z)得－π2ω＋2k πω≤x ≤π2ω＋2k πω(k ∈Z)． ∴f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2ω＋2k πω，π2ω＋2k πω(k ∈Z)．据题意：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2ω＋2k πω，π2ω＋2k πω(k ∈Z)．从而有⎩⎪⎨⎪⎧－π2ω≤－π3，π2ω≥π4，ω>0，解得0<ω≤32.故ω的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32.第4课时 正切函数的图象和性质单位圆中的正切线如图所示．问题1：由三角函数的定义知tan α＝y x，此时x ≠0.试想y ＝tan α中，α有什么限制？ 提示：α≠π2＋k π，k ∈Z.问题2：如图甲，当α在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上增大时，正切线AT 如何变化？正切值又如何变化？提示：正切线AT 向Oy 轴的正向逐步延伸，正切值增大且无限增大． 问题3：如图乙，当α在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0上增大时，又该如何？提示：正切线AT 向Oy 轴的正向逐步缩小，正切值增大．问题4：正切函数y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2)单调性如何？提示：递增．函数y ＝tan x 的性质与图象1．正切函数y ＝tan x 的定义域是{x | x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z}，这与正弦、余弦函数不同．2．正切函数y ＝tan x 的最小正周期是π，这与正弦函数、余弦函数不同．3．正切函数无单调减区间，在每一个单调区间内都是递增的，并且每个单调区间均为开区间，不能写成闭区间．[例1] 观察正切函数图象，写出下列不等式的解集： (1)tan x >0；(2)|tan x |≤1. [思路点拨] 画出正切函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内的图象，结合图象求解集．[精解详析] (1)设y ＝tan x ，则它在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内的图象如图所示：由图可知满足不等式tan x >0的解集为 {x |k π<x <k π＋π2，k ∈Z}．(2)设y ＝|tan x |，则它在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内的图象如图所示：由图可知满足不等式|tan x |≤1的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫k π－π4≤x ≤k π＋π4，k ∈Z .[一点通] (1)正切函数的图象是由被互相平行的直线x ＝π2＋k π(k ∈Z)所隔开的无数多支曲线组成的，这些直线叫作正切曲线各支的渐近线．(2)正切函数的图象向上、向下无限延伸，但永远不与x ＝π2＋k π(k ∈Z)相交，与x 轴交于点(k π，0)(k ∈Z)．1．函数y ＝sin x 与y ＝tan x 的图象在区间[0,2π]上的交点个数是________． 解析：作出y ＝sin x 与y ＝tan x 的图象知有1个交点． 答案：12．观察正切曲线，满足条件|tan x |>3的x 的取值范围是________． 解析：画出函数y ＝|tan x |的图象可知π3＋k π<x <π2＋k π或－π2＋k π<x <－π3＋k π，k ∈Z.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，－π3＋k π∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋k π，π2＋k π(k ∈Z)[例2] 求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫3x －π3的定义域、值域，并指出它的单调区间． [思路点拨] 利用换元法，把3x －π3看做一个整体来求其单调区间．[精解详析] 令3x －π3≠k π＋π2(k ∈Z)，得x ≠k π3＋5π18(k ∈Z)， ∴函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R ，且x ≠k π3＋5π18，k ∈Z ，值域为R.令k π－π2<3x －π3<k π＋π2(k ∈Z)， 得k π3－π18<x <k π3＋5π18(k ∈Z)． ∴函数的单调递增区间为⎝⎛⎭⎪⎫k π3－π18，k π3＋5π18(k ∈Z)．[一点通] 正切函数在每一个单调区间内都是增函数，不存在减区间．因此在求单调区间时，若ω<0，应先由诱导公式把x 的系数化成正值，再用换元法整体代换，最后求出x 的范围即可．3．函数y ＝11＋tan x的定义域是________．解析：要使函数y ＝11＋tan x 有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x ≠π2＋k π，k ∈Z ，tan x ≠－1，即x ≠π2＋k π，且x ≠－π4＋k π，k ∈Z.答案：⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠π2＋k π，且x ≠－π4＋k π，k ∈Z4．y ＝tan x2满足下列哪些条件________(填序号)． ①在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增；②为奇函数；③以π为最小正周期；④定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠π4＋k π2，k ∈Z . 解析：令x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则x 2∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4， 所以y ＝tan x 2在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增正确；tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2＝－tan x 2，故y ＝tan x 2为奇函数； T ＝πω＝2π，所以③不正确；由x 2≠π2＋k π，k ∈Z 得，x ≠π＋2k π，k ∈Z ，所以④不正确．答案：①②5．求函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 4的单调减区间． 解：∵y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 4＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4－π6， ∴只需求函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4－π6的单调增区间，即为原函数的单调减区间．令μ＝x 4－π6，则μ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，π2＋k πk ∈Z ， 即－π2＋k π<μ<π2＋k π(k ∈Z)．∴－π2＋k π<x 4－π6<π2＋k π(k ∈Z)．解得4k π－4π3<x <4k π＋8π3(k ∈Z)． ∴函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 4的单调减区间为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k π－4π3，4k π＋8π3(k ∈Z).[例3] 利用正切函数的单调性比较下列两个函数值的大小：(1)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6π5与tan ⎝⎛⎭⎪⎫－13π7； (2)tan(－1 280°)与tan1 680°.[思路点拨] 利用诱导公式将角转化到同一单调区间内，再借助正切函数的单调性求解． [精解详析] (1)∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6π5＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π－π5＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π5，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π7＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫－2π＋π7＝tan π7，又函数y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上是增函数，而－π2＜－π5＜π7＜π2.∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π5＜tan π7，即tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6π5＜tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π7. (2)∵tan(－1 280°)＝tan(－4×360°＋160°)＝tan(180°－20°)＝tan(－20°)， tan 1 680°＝tan(4×360°＋240°) ＝tan(180°＋60°)＝tan 60°，而函数y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上是增函数， ∴tan(－20°)＜tan 60°， 即tan(－1 280°)＜tan 1 680°.[一点通] 运用正切函数的单调性比较大小的一般步骤为： (1)利用诱导公式将角化到同一单调区间上； (2)运用单调性得到大小关系．6．记a ＝tan 1，b ＝tan 2，c ＝tan 3，则a ，b ，c 三数的大小关系是________． 解析：∵tan 3＝tan(3－π)，tan 2＝tan(2－π)， 又∵－π2<2－π<3－π<0<1<π2， 且y ＝tan x 在(－π2，π2)上是单调递增的， ∴tan(2－π)<tan(3－π)<tan 1. ∴tan 2<tan 3<tan 1. 答案：a >c >b 7．比较tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4与tan ⎝⎛⎭⎪⎫－12π5的大小．解：∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4＝－tan 13π4＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π＋π4＝－tan π4.tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12π5＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12π5＝－tan ⎝⎛⎭⎪⎫2π＋2π5＝－tan 2π5.又函数y ＝tan x 在( －π2，π2)上是增函数， 且－π2<π4<2π5<π2，∴tan π4<tan 2π5.∴－tan π4>－tan 2π5，即tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4>tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12π5.1．正切函数图象的性质函数y ＝tan x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2的图象过⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，－1，⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，1，(0,0)三点，以直线x ＝±π2为渐近线，根据这三点两线就可以大体勾画出正切函数图象的草图．2．正切函数的单调区间的求法正切函数y ＝tan x 在整个定义域上不具有单调性，但在每一个区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，π2＋k π(k∈Z)上具有单调性，是增函数．在求函数y ＝tan(ωx ＋φ)(ω≠0)的单调区间时，首先保证ω>0，否则就先利用诱导公式化为正的，再利用整体换元的方法求出单调区间．课下能力提升(十)一、填空题1．下列正确命题的序号为________． ①y ＝tan x 为增函数；②y ＝tan(ωx ＋φ)(ω>0)的最小正周期为2πω；③在x ∈[－π，π]上y ＝tan x 是奇函数；④在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上y ＝tan x 的最大值是1，最小值为－1. 解析：函数y ＝tan x 在定义域内不具有单调性，故①错误；函数y ＝tan(ωx ＋φ) (ω>0)的最小正周期为πω，故②错误；当x ＝－π2，π2时，y ＝tan x 无意义，故③错误；由正切函数的图象可知④正确．答案：④2．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象相邻的两支截直线y ＝π4所得线段长为π4，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值是________．解析：T ＝π4，∴πω＝π4，∴ω＝4，∴f (x )＝tan4x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0.答案：03．a ，b 是不等于1的正数，θ∈⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2，若a tan θ＞b tan θ＞1，则下列不等式成立的是________．(填序号)①a ＞b ＞1；②a ＜b ＜1；③b ＜a ＜1；④b ＞a ＞1.解析：∵θ∈⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2，∴tan θ＞0. 又btan θ＞b 0，∴b ＞1，又a tan θ＞btan θ，∴a ＞b ，∴a ＞b ＞1. 答案：①4．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，3π2范围内，函数y ＝tan x 与函数y ＝sin x 的图象交点的个数为________个．解析：在同一坐标系中，首先作出y ＝sin x 与y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内的图象，须明确x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，有sin x ＜x ＜tan x (利用单位圆中的正弦线，正切线就可证明)，然后利用对称性作出x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，3π2的两函数的图象如图，由图象可知它们有三个交点．答案：35．已知函数y ＝tan ωx 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内是减函数，则ω的范围是________．解析：若ω使函数在(－π2，π2)上递减，则ω必小于0，且⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2⊆⎝ ⎛⎭⎪⎫π2ω，－π2ω，故－1≤ω<0.答案：[－1,0) 二、解答题6．求下列函数的单调区间： (1)y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4； (2)y ＝13tan 2x ＋1.解：(1)由－π2＋k π<x －π4<π2＋k π(k ∈Z)，解得－π4＋k π<x <34π＋k π(k ∈Z)， ∴函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的单调增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋k π，3π4＋k π(k ∈Z)．(2)令－π2＋k π<2x <π2＋k π(k ∈Z)，∴－π4＋k π2<x <π4＋k π2(k ∈Z)，∴函数y ＝13tan 2x ＋1的单调增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋k π2，π4＋k π2(k ∈Z)．7．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3时，若使a －2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的值总大于零，求a 的取值范围．解：∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3，∴0≤2x －π3≤π3.又∵y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3内单调递增，∴0≤tan(2x －π3)≤3， ∴0≤2tan(2x －π3)≤2 3. 由题意知a －2tan(2x －π3)>0恒成立， 即a >2tan(2x －π3)，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3恒成立． ∴a >2 3.∴实数a 的取值范围是(23，＋∞)8．已知f (x )＝x 2＋2x ·tan θ－1，x ∈[－1，3]，其中θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2.求θ的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－1，3]上是单调函数．解：函数f (x )＝(x ＋tan θ)2－1－tan 2θ的图象的对称轴为直线x ＝－tan θ. ∵y ＝f (x )在[－1，3]上是单调函数， ∴－tan θ≤－1或－tan θ≥3， 即tan θ≥1或tan θ≤－ 3.。

第4课时 任意角的三角函数（2）【学习目标】1、掌握任意角三角函数的定义，并能借助单位圆理解任意角三角函数的定义2、会用三角函数线表示任意角三角函数的值3、掌握正弦、余弦、正切函数的定义域和这三种函数的值在各象限的符号【学习重点、难点】会用三角函数线表示任意角三角函数的值【自主学习】一、复习回顾1．单位圆的概念：在平面直角坐标系中，以________为圆心，以_______为半径的圆。

2．有向线段的概念：把规定了正方向的直线称为___________________；规定了___________（即规定了起点和终点）的线段称为有向线段。

3．有向线段的数量：若有向线段AB 在有向直线l 上或与有向直线l _____________，根据有向线段AB 与有向直线l 的方向_____________或_____________，分别把它的长度添上______或_______，这样所得的__________叫做有向线段的数量。

4．三角函数线的定义：设任意角α的顶点在原点O ，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点(,)P x y ，过点P 作x 轴的垂线，垂足为M ；过点(1,0)A 作单位圆的切线，设它与α的终边（当α为第_______象限角时）或其反向延长线（当α为第______象限角时）相交于点T 。

根据三角函数的定义：sin y α==________；cos x α==_______；tan y xα==__________。

【典型例题】例1．作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线：()31π()π652()π323-()64π-例2．利用三角函数线比较大小 () 30sin 1______ 150sin : () 25sin 2______ 150sin : ()π32cos 3______π54cos ; ()π32tan 4______π32tan例3．解下列三角方程()23sin 1=x ()21cos 2=x ()1tan 3=x变题1．解下列三角不等式()23sin 1>x ()21cos 2≤x ()1tan 3>x变题2．求函数()x x y cos 211sin 2lg ++-=的定义域.【巩固练习】1．作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线 ()π6111-()π3222．利用余弦线比较cos 64,cos 285的大小；3．若42ππθ<<，则比较sin θ、cos θ、tan θ的大小；4．分别根据下列条件，写出角θ的取值范围：（1）cos θ<； （2）tan 1θ>- ； （3）sin θ>5．当角α，β满足什么条件时，有βαsin sin =6．若cos θ<，sin θ>，写出角θ的取值范围。

第一章三角函数本章复习整体设计知识网络1．任意角的概念是本章的基础，推广了角，扩大了研究的范围．在此基础上，为了计算中的简单，引入了两种度量制度：角度制与弧度制，但是其本质是一样的．其最基本的一个应用就是简化了弧长与扇形面积公式．同时也为定义任意角的三角函数作了前期工作，也就得到了本章的核心问题——任意角的三角函数定义．从这个核心出发，分成四条路线走，研究最基本的比例，就可以得到同角三角函数的基本关系式，同时根据定义就可以推导出诱导公式．知道了核心的本质意义在坐标系里面，可以定义点的坐标，为推导第三章和角公式作了应有的准备．而和角公式的两个特殊方面只是本身的一个推广，由此就得来了复杂多变的三角函数公式，而这些复杂的公式(第三章的倍角公式，差角公式)的本质又是和角公式．抛开比例的式子，应用弧度制的度量作为基础，就有了三角函数的图象和性质，这是三角与函数结合的产物，既有函数的特征，因此可以用函数的知识来解，又具有三角的特性，因此还可以用这一特点进行一些特殊的运算．所有的推导可以应用在计算与化简、证明恒等式上．2．数学的魅力在于系统、严密，学习的兴趣在于环环相扣．本章最为理想的复习方法就是引导学生打通本章中的这张知识网络图，这是进行具体问题具体分析的理论依据，也是解决问题最基本的方法．教师指导学生步步为营，将其引入数学王国，畅游科学殿堂．《三角函数》一章知识网络图三维目标1．通过全章复习，让学生切实掌握三角函数的基本性质，会判定三角函数的奇偶性，确定单调区间及求周期的方法．熟练掌握同角三角函数的基本关系式及六组诱导公式，弄清公式的推导关系和互相联系，让学生做到记准、用熟．2．要求学生会用“五点法”作正、余弦函数的简图，掌握应用基本三角变换公式的求值、化简、证明．3．本章的最终目标是让学生熟练掌握三角函数基础知识、基本技能、基本运算能力，以及数形结合思想、转化与化规思想，激发学生学习兴趣，培养他们善于总结、善于合作、善于创新以及应用数学解决实际问题的能力．重点难点教学重点：三角函数的定义，诱导公式，以及三角函数的图象与性质．教学难点：三角恒等变形及三角函数的图象与性质的综合运用．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(复习导入)了解一下全章的知识网络结构，并回顾思考本章学习了哪些具体内容：首先，我们给出了三角函数的定义，包括任意角的三角函数的符号，同角三角函数的关系式，诱导公式．又共同学习了正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质．接下来，我们又共同探讨了它们的应用，并能运用上述公式和性质进行三角函数式的化简、求值、证明以及它们的综合运用．由此展开全章的系统复习．思路2.(问题导入)你现在已经会求任意角的三角函数值，会画三角函数的图象，会用三角函数模型来解释现实生活中具有周期性变换规律的一些现象．你是如何学习到这些知识的？又是如何提高自己能力的？由此引导学生回顾全章知识的形成过程，进而展开全面复习．推进新课知识巩固①我们是怎样推广任意角的？又是怎样得到任意角的三角函数定义的？②本章学习了哪些同角三角函数的基本关系式？怎样推导的？③本章都学习了哪些诱导公式？各有什么用途？怎样记忆？④你是如何得到正弦曲线、余弦曲线和正切曲线的？⑤你能从图象上说出三角函数的哪些性质？活动：问题①，为了使学生了解知识的形成顺序与过程，教师可引导学生回忆从前的学习情景，让学生感悟数学是在什么样的背景下向前推进的，同时也加强系统数学知识的记忆，居高临下地来掌握全章知识．问题②，教师引导学生回忆三角函数定义，回忆同角三角函数的基本关系式的推导，并回忆这些公式的作用和应用方法技巧．利用平方关系时，往往要开方，因此要先根据角所在象限确定符号，也就是要就角所在象限进行分类讨论．同角三角函数的基本关系式揭示了同一个角的三角函数间的相互关系，利用它可以使解题更方便，但要注意公式成立的前提是角对应的三角函数有意义．sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α.问题③，教师引导学生回顾的同时，最好能利用多媒体或幻灯片来展示这些公式．以前学习的都是孤立的、零碎的，现在是放在一起记忆提高．幻灯片如下：问题④，三角函数性质是通过图象来研究的，而且画图、识图、用图也是对学生的基本要求．教师要让学生亲自动手画一画，以加深学生对三角函数性质的进一步理解提升．让学生明了：利用平移正弦线，可以比较精确地画出正弦函数的图象，利用正弦函数的图象和诱导公式，可以画出余弦函数的图象，可以看出在长度为一个周期的闭区间上有五个点(即函数值最大和最小的点以及函数值为0的点)．这五个点在确定正弦函数、余弦函数图象的形状时起着关键的作用．因此，在精确度不太高时，我们常用“五点法”画正弦、余弦函数以及与它们类似的一些函数〔特别是函数y ＝Asin(ωx ＋φ)〕的简图．教师同时打出幻灯(如图1、图2、图3)：图1图2图3问题⑤，让学生由图象说性质，教师可引导学生从函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、最值、周期性、对称性等方面叙述．教师要强调，正弦、余弦、正切函数的图象以及它们的主要性质非常重要，要牢固掌握，但不要死记硬背．讨论结果：①～⑤略．应用示例例1已知角α终边上一点P 与x 轴的距离和与y 轴的距离之比为3∶4(且均不为零)，求2sin α＋cos α的值．活动：本例属于较为简单的题目，目的是要学生熟悉任意角的三角函数定义，也要明确解题中的一种很重要的方法是回归定义．教师引导学生思考距离与坐标的不同、是否需要对点的坐标进行分类讨论，然后让学生独立完成此题．解：由题意，需对角α终边的位置进行讨论：①若角α终边过点P(4,3)，则2sin α＋cos α＝2×35＋45＝2；②若角α终边过点P(－4,3)，则2sin α＋cos α＝2×35＋－45＝25；③若角α终边过点P(－4，－3)，则2sin α＋cos α＝2×－35＋－45＝－2；④若角α终边过点P(4，－3)，则2sin α＋cos α＝2×－35＋45＝－25.点拨：任意角的三角函数定义不仅是本章的核心，也是整个三角函数的中心问题．要指导学生深刻理解三角函数定义的内涵，它只是一个比值，只与角的大小有关，而与点P 在角的终边上的位置无关.例2已知sin α＋3cos α＝0，求： (1)3cos α－sin α3cos α＋sin α；(2)2sin 2α－3sin αcos α＋2的值．活动：教师引导学生观察本题的条件与结论，关键是求sin α与cos α的值，由sin α＋3cos α＝0及sin 2α＋cos 2α＝1联立方程组即得sin α与cos α的值．教师进一步点拨：根据同角三角函数的基本关系，不直接求sin α与cos α的值，需作怎样的变形即可？对看出本题由已知可得tan α＝－3的同学教师给予鼓励并作进一步探究，对看不出这一步的学生再给予进一步引导，直至其独立解出此题．解：(1)3cos α－sin α3cos α＋sin α＝3－tan α3＋tan α＝3＋33－3＝－2－ 3.(2)2sin 2α－3sin αcos α＋2＝4sin 2α－3sin αcos α＋2cos 2α＝cos 2α(4tan 2α－3tan α＋2)＝11＋tan 2α(4tan 2α－3tan α＋2)＝11＋－2(4×9＋3×3＋2)＝4710.点拨：本题主要考查利用同角三角函数关系式求值．对于只含有正弦、余弦函数的齐次式，在求解时常常转化为只含有正切的式子，这种变形技巧十分重要，也称为“1”的代换，在今后的学习中经常用到，应要求学生仔细体会并熟悉掌握.变式训练1．已知α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝15，求tan α的值．解：由sin α＋cos α＝15平方整理，得sin αcos α＝－1225<0.∵α为三角形的内角，∴0<α<π，sin α>0，cos α<0. ∴sin α－cos α>0.∵(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝4925，∴sin α－cos α＝75.由⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝15sin α－cos α＝75⇒⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝45，cos α＝－35，∴tan α＝－43.点拨：本题主要考查同角三角函数的基本关系式．对于三角求值题目，一定要注意角的范围，有时要根据所给三角函数值的大小，适当缩小所给角的范围，才能求出准确的值．教师要抓住时机就此进一步挖掘，以激起学生的探究兴趣．2．已知sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2m m ＋5，π2<θ<π，则m 的取值范围是… ( )A ．3≤m≤9B ．m≤－5或m≥3C ．m ＝0或m ＝8D ．m ＝8 答案：D例3已知函数y ＝Asin(ωx ＋φ)，x∈R (其中A>0，ω>0)的图象在y 轴右侧的第一个最高点(函数取最大值的点)为M(2,22)，与x 轴正半轴的第一个交点为N(6,0)，求这个函数的解析式．活动：本例是一道经典例题，主要考查三角函数模型的应用及训练学生的分析思维能力，对数形结合的思维要求也较高．教师可引导学生展开思考讨论，怎样根据题目中给出的条件找到思维的切入点．题目中虽然没有直接给出图象，实质是已知图象求解析式问题．指导学生画出草图，利用数形结合来深化题意的理解，事实上，学生很容易看出A 的值．如果学生没找出周期问题，教师可进一步点拨：题目中告诉的x 轴的横坐标2与6表示图象的哪段．根据题意，知道点M 、N 恰是函数y ＝Asin(ωx ＋φ)，x∈R (其中A>0，ω>0)在对应于包含0的周期的那段图象的五个关键点中的两个．由此可知A 、T ，但要注意指导φ的求法．解：方法一：根据题意，可知T4＝6－2＝4，所以T ＝16.于是ω＝2πT ＝π8.又A ＝22，将点M 的坐标(2,22)代入y ＝22sin(π8x ＋φ)，得22＝22sin(π8×2＋φ)，即sin(π4＋φ)＝1.所以满足π4＋φ＝π2的φ为最小正数解．所以φ＝π4.从而所求的函数解析式是y ＝22sin(π8x ＋π4)，x∈R .方法二：由题意可得A ＝22，将两个点M(2,22)，N(6,0)的坐标分别代入y ＝22sin(ωx ＋φ)并化简，得⎩⎪⎨⎪⎧ω＋φ＝1，ω＋φ＝0，故在长度为一个周期且包含原点的闭区间上， 有⎩⎪⎨⎪⎧2ω＋φ＝π2，6ω＋φ＝π，从而所求的函数解析式是y ＝22sin(π8x ＋π4)，x∈R .点拨：由三角函数图象求解析式确定φ时，答案可能不只一个，这里可提醒学生注意，习惯上一般取离x 轴最近的一个，这样的解析式简洁．本例对学生有着很高的训练价值，特别是数形结合思想、转化与化归思想的运用．数形结合是数学中重要的思想方法，对各类函数的研究都离不开图象，在中学阶段，几乎所有函数的性质都是通过观察图象而得到的.例4已知函数f(x)＝12log (sinx －cosx)．(1)求它的定义域；(2)判断它的奇偶性；(3)判断它的周期性．图4活动：这是一组知识性很强的基础题，要求学生全面掌握有关三角函数的定义和性质．教师可先让学生自己动手操作，必要的时候给予点拨帮助．本题的关键是熟悉三角函数线或三角函数图象，利用数形结合直观性训练学生快速解题．如图4、图5.图5解：(1)x 必须满足sinx －cosx>0，利用图4或图5，知2k π＋π4<x<2k π＋5π4(k∈Z )，∴函数定义域为(2k π＋π4，2k π＋5π4)，k∈Z .(2)∵f(x)定义域在数轴上对应的点关于原点不对称， ∴f(x)不具备奇偶性．(3)函数f(x)的最小正周期为T ＝2π.点评：利用单位圆中的三角函数线或正、余弦线可知：以第Ⅰ、Ⅱ象限角平分线为标准，可区分sinx －cosx 的符号；以第Ⅱ、Ⅲ象限角平分线为标准，可区分sinx ＋cosx 的符号．要让学生在深刻理解的基础上记忆这点，因函数的定义域是函数的核心，故研究函数的性质都必须以函数的定义域为前提. 变式训练1．如图6，⊙O 与x 轴的正半轴的交点为A ，点C 、B 在⊙O 上，且点C 位于第一象限，点B 的坐标为(45，－35)，∠AOC＝α(α为锐角)．图6(1)求⊙O 的半径，并用α的三角函数表示C 点的坐标； (2)若|BC|＝2，求tan α的值． 解：(1)⊙O 的半径r ＝452＋－352＝1，点C(cos α，sin α)．(2)在△BOC 中，由于|OB|＝|OC|＝1，|BC|＝2， ∴∠COB 是直角． 由三角函数的定义，知cos(α－90°)＝sin α＝45，且α为锐角，故cos α＝35，tan α＝43.2.已知函数f(x)＝sin(ωx ＋π3)(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象( )A ．关于点(π3，0)对称B ．关于直线x ＝π4对称C ．关于点(π4，0)对称D ．关于直线x ＝π3对称答案：A知能训练教科书复习题1～18.课堂小结提出问题让学生回顾总结，通过本节复习，系统掌握三角函数有关知识，你对三角函数有什么新的认识？三角函数与以前所学函数有什么异同之处？在灵活应用本章知识进行三角函数式的化简、求值、证明方面你都有哪些提高？我们都解决了哪些实际问题？教师与学生一起归纳总结，共同完成本节小结．作业已知函数f(x)＝sin πx 图象的一部分如图7(1)，则图7(2)的函数图象所对应的函数解析式可以为( )图7A ．y ＝f(2x －12) B ．y ＝f(2x －1)C ．y ＝f(12x －1)D ．y ＝f(12x －12)答案：B设计感想1．本章复习课只安排了1课时，课堂设计的容量较大，指导思想是充分利用多媒体，放手让学生根据教师提供的知识网络自己进行归纳总结，教师在知识的交汇处、在思维的提高上给予指导、点拨．建议教师课堂上不要把自己的思路、提前归纳的方法直接告诉学生．2．加强学生的学法指导，因为“在不断变动的世界上，没有任何一门或一套课程可供在可见的未来使用，或可供你终身受用．现在需要的最重要的技能是如何学习”．因此数学课的学习过程，不仅是传授知识、技能的过程，更是教会学生如何学习数学的过程．也就是说，学习数学的过程实际上就是学生获取、整合、储存、运用数学知识和获得学习能力的过程．在本章复习课设计中，就体现了学生如何学习的问题．3．复习不是简单的重复，不是练习堆积的习题课，而是成为学生再发现、再提高、再创造的氛围场所，是学生对所学知识居高临下的掌握和学生身心健康成长的愉悦体验．备课资料一、备用习题1．已知集合A ＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z }，B ＝{β|β＝60°＋k·720°，k∈Z }，C ＝{γ|γ＝60°＋k·180°，k∈Z }，那么集合A ，B ，C 之间的关系是( )A ．B AC B ．A B CC ．B C AD ．C B A2．若α是第四象限角，则π－α是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角3．一扇形的半径与弧长之比是3∶π，则该扇形所含弓形的面积与该扇形的面积之比是A ．(2π－33)∶2πB ．(6π－33)∶6πC ．(4π－33)∶4πD ．(8π－33)∶8π4．把函数y ＝4cos(x ＋π3)的图象向左平移m 个单位，所得图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( )A.π6B.π3C.2π3D.5π65．如果|x|≤π4，设函数f(x)＝cos 2x ＋sinx 的最大值为M ，最小值为m ，则M m的值为… ( ) A ．－54B ．－3－2 2C ．3＋2 2D ．－52＋526．已知函数y ＝Asin(ωx ＋φ)(A>0，ω>0)的周期为1，最大值与最小值之差是3，且函数图象过点(18，34)，则函数表达式为( ) A ．y ＝3sin(2x ＋7π12) B ．y ＝3sin(2x －π12) C ．y ＝32sin(2πx ＋π12) D ．y ＝32sin(2πx －π12) 7．函数f(x)＝tan ωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y ＝π4所得线段的长为π4，则f(π4)＝__________.8．已知α、β∈(0，π2)，且α＋β>π2，求证：对于x∈(0，π)，有f(x)＝(cos αsin β)x ＋(cos βsin α)x <2. 参考答案：1．A 2.C 3.A 4.C 5.D 6.D 7.08．由α＋β>π2，知α>π2－β. 又由α、β∈(0，π2)，知π2－β∈(0，π2)． ∵y＝sinx 在(0，π2)内为增函数，y ＝cosx 在(0，π2)内为减函数， ∴sin α>sin(π2－β)＝cos β，cos α<cos(π2－β)＝sin β.∴0<cos βsin α<1,0<cos αsin β<1. 又∵x∈(0，π)，∴(cos βsin α)x ＜1，(cos αsin β)x ＜1.∴f(x)＝(cos αsin β)x ＋(cos βsin α)x <2. 二、三角函数的拓展1．关于三角函数的发展史三角函数亦称圆函数，是正弦、余弦、正切、余切、正割、余割等函数的总称．在平面直角坐标系xOy 中，在与x 轴正向夹角为α的动径上取点P ，P 的坐标是(x ，y)，OP ＝r ，则正弦函数sin α＝y r ，余弦函数cos α＝x r ，正切函数tan α＝y x ，余切函数cot α＝x y ，正割函数sec α＝r x，余割函数csc α＝r y. 这6种函数在1631年徐光启等人编译的《大测》中已齐备．正弦最早被看作圆内圆心角所对的弦长，公元前2世纪古希腊天文学家希帕霍斯就制造过这种正弦表，公元2世纪托勒密又制造了0°～90°每隔半度的正弦表．公元5世纪时印度最早引入正弦概念，还给出正弦函数表，记载于《苏利耶历数书》(约400年)中．该书中还出现了正矢函数，现在已很少使用它了．约510年印度数学家阿那波多考虑了余弦概念，传到欧洲后有多种名称，17世纪后才统一．正切和余切函数是由日影的测量而引起的，9世纪的阿拉伯计算家哈巴什首次编制了一个正切、余切表.10世纪的艾布·瓦法又单独编制了第一个正切表．哈巴什还首先提出正割和余割概念，艾布·瓦法正式使用．到1551年奥地利数学家、天文学家雷蒂库斯在《三角学准则》中收入正弦、余弦、正切、余切、正割、余割6种函数，并附有正割表．他还首次用直角三角形的边长之比定义三角函数.1748年欧拉第一次以函数线与半径的比值定义三角函数，令圆半径为1，并创用许多三角函数符号．至此现代形式的三角函数开始通行，并不断发展至今．现在的许多教辅资料中，有关三角函数的运算都是6种函数的综合运算．2．关于三角函数的定义法三角函数定义是三角函数的核心内容．关于三角函数定义法，总的说来就两种：“单位圆定义法”与“终边定义法”，这两种方法本质上是一致的．正因为此，各种数学出版物中，两种定义方法都有采用，采用哪一种定义方法是一个取舍问题，没有对错之分，并不存在商榷的问题．因此，“单位圆上的点毕竟是特殊点，用它定义三角函数有失一般性”的认识是不正确的．由上述三角函数发展史已经表明，任意角的三角函数是因研究圆周运动的需要而产生的，数学史上，三角函数曾经被称为“圆函数”，所以，采用“单位圆定义法”能更真实地反映三角函数的发展进程．在老师们熟悉的“终边定义法”中，给出定义后有如下说明：“根据相似三角形的知识，对于确定的角α，这三个比值(如果有的话)都不会随点P在α的终边上的位置的改变而改变等，对于确定的角α，上面三个比值都是惟一确定的．这就是说，正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以比值为函数值的函数．”这恰恰说明了“以角α的终边与单位圆的交点坐标为‘比值’”是不失一般性的．另外，用“单位圆定义法”直截了当、简洁易懂，不需要这样的说明，就更显出其好处了．3．关于《新课程》中的三角函数种类《高中数学课程标准(实验)》只要求正弦、余弦和正切三个函数，其目的是削枝强干，是非常正确的．进一步地，三角函数中正弦、余弦函数是“基本三角函数”，其余都是通过这两个函数的运算(相除、取倒数等)而得到的，或者说是从这两个函数“派生”出来的，因此教师在教学中没有必要对其他的三角函数再作补充．。

高中数学必修4第一章三角函数完整教案4-1.1.1任意角（1）教学目标：要求学生掌握用“旋转”定义角的概念，理解任意角的概念，学会在平面内建立适当的坐标系来讨论角；并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义。

教学重点：理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义教学难点：“旋转”定义角课标要求：了解任意角的概念教学过程：一、引入同学们在初中时，曾初步接触过三角函数，那时的运用仅限于计算一些特殊的三角函数值、研究一些三角形中简单的边角关系等。

三角函数也是高中数学的一个重要内容，在今后的学习中大家会发现三角学有着极其丰富的内容，它能够简单地解决许多数学问题，在中学数学中有着非常广泛的应用。

二、新课1．回忆：初中是任何定义角的？（从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形）这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它的弊端在于“狭隘”师：初中时，我们已学习了0○～360○角的概念，它是如何定义的呢？生：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。

师：如图1，一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到终止位置OB，就形成角α。

旋转开始时的射线OA叫做角的始边，OB叫终边，射线的端点O叫做叫α的顶点。

o师：在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体720” （即转体2周），“转体1080o”（即转体3周）；再如时钟快了5分钟，现要校正，需将分针怎样旋转？如果慢了5分钟，又该如何校正？生：逆时针旋转300；顺时针旋转300. 师：（1）用扳手拧螺母；（2）跳水运动员身体旋转．说明旋转第二周、第三周，则形成了更大范围内的角，这些角显然超出了我们已有的认识范围。

本节课将在已掌握角的范围基础上，重新给出角的定义，并研究这些角的分类及记法．2.角的概念的推广：(1)定义：一条射线OA由原来的位置OA，绕着它的端点O按一定方向旋转到另一位置OB，就形成了角α。

第4课时 §1.1 任意角的三角函数（2）【教学目标】一、知识与技能1、掌握任意角的三角函数的定义，理解角与=2的同名三角函数值相等。

2、掌握用单位圆中的线段表示三角函数值，从而对三角函数的定义域、值域有更深的理解。

3、通过启发根据三角函数的定义，确定三角函数在各象限的符号，并熟练地处理一些问题。

二、过程与方法三、情感态度价值观教学重点难点：三角函数线的作法与表示【教学过程】一、复习回顾（1）六个三角函数定义，定义域（2）六个三角函数值在各象限内的符号二、新课当角的终边上一点(,)P x y 1=时，有三角函数正弦、余弦、正切值的几何表示——三角函数线。

1．单位圆：圆心在圆点O ，半径等于单位长的圆叫做单位圆。

2．有向线段：既有大小又有方向的线段（矢量）坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向。

规定：与坐标轴方向一致时为正，与坐标方向相反时为负。

3．三角函数线的定义：设任意角α的顶点在原点O ，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点P (,)x y ，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ；过点(1,0)A 作单位圆的切线，它与角 α的终边或其反向延长线交与点T .由四个图看出：当角α的终边不在坐标轴上时，有向线段,OM x MP y ==，于是有sin 1y y y MP r α====， cos 1x x x OM r α====， tan y MP AT AT x OM OAα====． 我们就分别称有向线段,,MP OM AT 为正弦线、余弦线、正切线。

说明：①三条有向线段的位置：正弦线为α的终边与单位圆的交点到x 轴的垂直线段；余弦 线在x 轴上；正切线在过单位圆与x 轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中两条在单位圆内，一条在单位圆外。

②三条有向线段的方向：正弦线由垂足指向α的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向与α的终边的交点。

③三条有向线段的正负：三条有向线段凡与x 轴或y 轴同向的为正值，与x 轴或y 轴反向的为负值。

第一章三角函数本章复习整体设计知识网络1．任意角的概念是本章的基础，推广了角，扩大了研究的范围．在此基础上，为了计算中的简单，引入了两种度量制度：角度制与弧度制，但是其本质是一样的．其最基本的一个应用就是简化了弧长与扇形面积公式．同时也为定义任意角的三角函数作了前期工作，也就得到了本章的核心问题——任意角的三角函数定义．从这个核心出发，分成四条路线走，研究最基本的比例，就可以得到同角三角函数的基本关系式，同时根据定义就可以推导出诱导公式．知道了核心的本质意义在坐标系里面，可以定义点的坐标，为推导第三章和角公式作了应有的准备．而和角公式的两个特殊方面只是本身的一个推广，由此就得来了复杂多变的三角函数公式，而这些复杂的公式(第三章的倍角公式，差角公式)的本质又是和角公式．抛开比例的式子，应用弧度制的度量作为基础，就有了三角函数的图象和性质，这是三角与函数结合的产物，既有函数的特征，因此可以用函数的知识来解，又具有三角的特性，因此还可以用这一特点进行一些特殊的运算．所有的推导可以应用在计算与化简、证明恒等式上．2．数学的魅力在于系统、严密，学习的兴趣在于环环相扣．本章最为理想的复习方法就是引导学生打通本章中的这张知识网络图，这是进行具体问题具体分析的理论依据，也是解决问题最基本的方法．教师指导学生步步为营，将其引入数学王国，畅游科学殿堂．《三角函数》一章知识网络图三维目标1．通过全章复习，让学生切实掌握三角函数的基本性质，会判定三角函数的奇偶性，确定单调区间及求周期的方法．熟练掌握同角三角函数的基本关系式及六组诱导公式，弄清公式的推导关系和互相联系，让学生做到记准、用熟．2．要求学生会用“五点法”作正、余弦函数的简图，掌握应用基本三角变换公式的求值、化简、证明．3．本章的最终目标是让学生熟练掌握三角函数基础知识、基本技能、基本运算能力，以及数形结合思想、转化与化规思想，激发学生学习兴趣，培养他们善于总结、善于合作、善于创新以及应用数学解决实际问题的能力．重点难点教学重点：三角函数的定义，诱导公式，以及三角函数的图象与性质．教学难点：三角恒等变形及三角函数的图象与性质的综合运用．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(复习导入)了解一下全章的知识网络结构，并回顾思考本章学习了哪些具体内容：首先，我们给出了三角函数的定义，包括任意角的三角函数的符号，同角三角函数的关系式，诱导公式．又共同学习了正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质．接下来，我们又共同探讨了它们的应用，并能运用上述公式和性质进行三角函数式的化简、求值、证明以及它们的综合运用．由此展开全章的系统复习．思路2.(问题导入)你现在已经会求任意角的三角函数值，会画三角函数的图象，会用三角函数模型来解释现实生活中具有周期性变换规律的一些现象．你是如何学习到这些知识的？又是如何提高自己能力的？由此引导学生回顾全章知识的形成过程，进而展开全面复习．推进新课知识巩固①我们是怎样推广任意角的？又是怎样得到任意角的三角函数定义的？②本章学习了哪些同角三角函数的基本关系式？怎样推导的？③本章都学习了哪些诱导公式？各有什么用途？怎样记忆？④你是如何得到正弦曲线、余弦曲线和正切曲线的？⑤你能从图象上说出三角函数的哪些性质？活动：问题①，为了使学生了解知识的形成顺序与过程，教师可引导学生回忆从前的学习情景，让学生感悟数学是在什么样的背景下向前推进的，同时也加强系统数学知识的记忆，居高临下地来掌握全章知识．问题②，教师引导学生回忆三角函数定义，回忆同角三角函数的基本关系式的推导，并回忆这些公式的作用和应用方法技巧．利用平方关系时，往往要开方，因此要先根据角所在象限确定符号，也就是要就角所在象限进行分类讨论．同角三角函数的基本关系式揭示了同一个角的三角函数间的相互关系，利用它可以使解题更方便，但要注意公式成立的前提是角对应的三角函数有意义．sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α. 问题③，教师引导学生回顾的同时，最好能利用多媒体或幻灯片来展示这些公式．以前学习的都是孤立的、零碎的，现在是放在一起记忆提高．幻灯片如下：问题④，三角函数性质是通过图象来研究的，而且画图、识图、用图也是对学生的基本要求．教师要让学生亲自动手画一画，以加深学生对三角函数性质的进一步理解提升．让学生明了：利用平移正弦线，可以比较精确地画出正弦函数的图象，利用正弦函数的图象和诱导公式，可以画出余弦函数的图象，可以看出在长度为一个周期的闭区间上有五个点(即函数值最大和最小的点以及函数值为0的点)．这五个点在确定正弦函数、余弦函数图象的形状时起着关键的作用．因此，在精确度不太高时，我们常用“五点法”画正弦、余弦函数以及与它们类似的一些函数〔特别是函数y ＝Asin(ωx ＋φ)〕的简图．教师同时打出幻灯(如图1、图2、图3)：图1图2图3问题⑤，让学生由图象说性质，教师可引导学生从函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、最值、周期性、对称性等方面叙述．教师要强调，正弦、余弦、正切函数的图象以及它们的主要性质非常重要，要牢固掌握，但不要死记硬背．讨论结果：①～⑤略．应用示例例1已知角α终边上一点P与x轴的距离和与y轴的距离之比为3∶4(且均不为零)，求2sinα＋cosα的值．活动：本例属于较为简单的题目，目的是要学生熟悉任意角的三角函数定义，也要明确解题中的一种很重要的方法是回归定义．教师引导学生思考距离与坐标的不同、是否需要对点的坐标进行分类讨论，然后让学生独立完成此题．解：由题意，需对角α终边的位置进行讨论：①若角α终边过点P(4,3)，则2sin α＋cos α＝2×35＋45＝2； ②若角α终边过点P(－4,3)，则2sin α＋cos α＝2×35＋－45＝25； ③若角α终边过点P(－4，－3)，则2sin α＋cos α＝2×－35＋－45＝－2； ④若角α终边过点P(4，－3)，则2sin α＋cos α＝2×－35＋45＝－25. 点拨：任意角的三角函数定义不仅是本章的核心，也是整个三角函数的中心问题．要指导学生深刻理解三角函数定义的内涵，它只是一个比值，只与角的大小有关，而与点P 在角的终边上的位置无关.例2已知sin α＋3cos α＝0，求：(1)3cos α－sin α3cos α＋sin α；(2)2sin 2α－3sin αcos α＋2的值． 活动：教师引导学生观察本题的条件与结论，关键是求sin α与cos α的值，由sin α＋3cos α＝0及sin 2α＋cos 2α＝1联立方程组即得sin α与cos α的值．教师进一步点拨：根据同角三角函数的基本关系，不直接求sin α与cos α的值，需作怎样的变形即可？对看出本题由已知可得tan α＝－3的同学教师给予鼓励并作进一步探究，对看不出这一步的学生再给予进一步引导，直至其独立解出此题．解：(1)3cos α－sin α3cos α＋sin α＝3－tan α3＋tan α＝3＋33－3＝－2－ 3.(2)2sin 2α－3sin αcos α＋2＝4sin 2α－3sin αcos α＋2cos 2α＝cos 2α(4tan 2α－3tan α＋2)＝11＋tan 2α(4tan 2α－3tan α＋2)＝11＋－2(4×9＋3×3＋2)＝4710. 点拨：本题主要考查利用同角三角函数关系式求值．对于只含有正弦、余弦函数的齐次式，在求解时常常转化为只含有正切的式子，这种变形技巧十分重要，也称为“1”的代换，在今后的学习中经常用到，应要求学生仔细体会并熟悉掌握.变式训练1．已知α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝15，求tan α的值． 解：由sin α＋cos α＝15平方整理，得sin αcos α＝－1225<0. ∵α为三角形的内角，∴0<α<π，sin α>0，cos α<0.∴sin α－cos α>0.∵(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝4925， ∴sin α－cos α＝75. 由⎩⎪⎨⎪⎧ sin α＋cos α＝15sin α－cos α＝75 ⇒⎩⎪⎨⎪⎧ sin α＝45，cos α＝－35，∴tan α＝－43. 点拨：本题主要考查同角三角函数的基本关系式．对于三角求值题目，一定要注意角的范围，有时要根据所给三角函数值的大小，适当缩小所给角的范围，才能求出准确的值．教师要抓住时机就此进一步挖掘，以激起学生的探究兴趣．2．已知sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2m m ＋5，π2<θ<π，则m 的取值范围是… ( ) A ．3≤m≤9 B ．m≤－5或m≥3C ．m ＝0或m ＝8D ．m ＝8答案：D例3已知函数y ＝Asin(ωx ＋φ)，x∈R (其中A>0，ω>0)的图象在y 轴右侧的第一个最高点(函数取最大值的点)为M(2,22)，与x 轴正半轴的第一个交点为N(6,0)，求这个函数的解析式．活动：本例是一道经典例题，主要考查三角函数模型的应用及训练学生的分析思维能力，对数形结合的思维要求也较高．教师可引导学生展开思考讨论，怎样根据题目中给出的条件找到思维的切入点．题目中虽然没有直接给出图象，实质是已知图象求解析式问题．指导学生画出草图，利用数形结合来深化题意的理解，事实上，学生很容易看出A 的值．如果学生没找出周期问题，教师可进一步点拨：题目中告诉的x 轴的横坐标2与6表示图象的哪段．根据题意，知道点M 、N 恰是函数y ＝Asin(ωx ＋φ)，x∈R (其中A>0，ω>0)在对应于包含0的周期的那段图象的五个关键点中的两个．由此可知A 、T ，但要注意指导φ的求法．解：方法一：根据题意，可知T 4＝6－2＝4，所以T ＝16. 于是ω＝2πT ＝π8.又A ＝22， 将点M 的坐标(2,22)代入y ＝22sin(π8x ＋φ)， 得22＝22sin(π8×2＋φ)， 即sin(π4＋φ)＝1. 所以满足π4＋φ＝π2的φ为最小正数解．所以φ＝π4. 从而所求的函数解析式是y ＝22sin(π8x ＋π4)，x∈R . 方法二：由题意可得A ＝22，将两个点M(2,22)，N(6,0)的坐标分别代入y ＝22sin(ωx ＋φ)并化简，得⎩⎪⎨⎪⎧ ω＋φ＝1，ω＋φ＝0，故在长度为一个周期且包含原点的闭区间上，有⎩⎪⎨⎪⎧ 2ω＋φ＝π2，6ω＋φ＝π，从而所求的函数解析式是y ＝22sin(π8x ＋π4)，x∈R . 点拨：由三角函数图象求解析式确定φ时，答案可能不只一个，这里可提醒学生注意，习惯上一般取离x 轴最近的一个，这样的解析式简洁．本例对学生有着很高的训练价值，特别是数形结合思想、转化与化归思想的运用．数形结合是数学中重要的思想方法，对各类函数的研究都离不开图象，在中学阶段，几乎所有函数的性质都是通过观察图象而得到的.log(sinx－cosx)．例4已知函数f(x)＝12(1)求它的定义域；(2)判断它的奇偶性；(3)判断它的周期性．图4活动：这是一组知识性很强的基础题，要求学生全面掌握有关三角函数的定义和性质．教师可先让学生自己动手操作，必要的时候给予点拨帮助．本题的关键是熟悉三角函数线或三角函数图象，利用数形结合直观性训练学生快速解题．如图4、图5.图5解：(1)x 必须满足sinx －cosx>0，利用图4或图5，知2k π＋π4<x<2k π＋5π4(k∈Z )， ∴函数定义域为(2k π＋π4，2k π＋5π4)，k∈Z . (2)∵f(x)定义域在数轴上对应的点关于原点不对称，∴f(x)不具备奇偶性．(3)函数f(x)的最小正周期为T ＝2π.点评：利用单位圆中的三角函数线或正、余弦线可知：以第Ⅰ、Ⅱ象限角平分线为标准，可区分sinx －cosx 的符号；以第Ⅱ、Ⅲ象限角平分线为标准，可区分sinx ＋cosx 的符号．要让学生在深刻理解的基础上记忆这点，因函数的定义域是函数的核心，故研究函数的性质都必须以函数的定义域为前提.变式训练1．如图6，⊙O 与x 轴的正半轴的交点为A ，点C 、B 在⊙O 上，且点C 位于第一象限，点B 的坐标为(45，－35)，∠AOC＝α(α为锐角)．图6(1)求⊙O 的半径，并用α的三角函数表示C 点的坐标；(2)若|BC|＝2，求tan α的值．解：(1)⊙O 的半径r ＝452＋－352＝1，点C(cos α，sin α)．(2)在△BOC 中，由于|OB|＝|OC|＝1，|BC|＝2，∴∠COB 是直角． 由三角函数的定义，知cos(α－90°)＝sin α＝45，且α为锐角， 故cos α＝35，tan α＝43. 2.已知函数f(x)＝sin(ωx ＋π3)(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象( ) A ．关于点(π3，0)对称 B ．关于直线x ＝π4对称C ．关于点(π4，0)对称D ．关于直线x ＝π3对称 答案：A知能训练教科书复习题1～18.课堂小结提出问题让学生回顾总结，通过本节复习，系统掌握三角函数有关知识，你对三角函数有什么新的认识？三角函数与以前所学函数有什么异同之处？在灵活应用本章知识进行三角函数式的化简、求值、证明方面你都有哪些提高？我们都解决了哪些实际问题？教师与学生一起归纳总结，共同完成本节小结．作业已知函数f(x)＝sin πx 图象的一部分如图7(1)，则图7(2)的函数图象所对应的函数解析式可以为( )图7A ．y ＝f(2x －12) B ．y ＝f(2x －1) C ．y ＝f(12x －1) D ．y ＝f(12x －12) 答案：B设计感想1．本章复习课只安排了1课时，课堂设计的容量较大，指导思想是充分利用多媒体，放手让学生根据教师提供的知识网络自己进行归纳总结，教师在知识的交汇处、在思维的提高上给予指导、点拨．建议教师课堂上不要把自己的思路、提前归纳的方法直接告诉学生．2．加强学生的学法指导，因为“在不断变动的世界上，没有任何一门或一套课程可供在可见的未来使用，或可供你终身受用．现在需要的最重要的技能是如何学习”．因此数学课的学习过程，不仅是传授知识、技能的过程，更是教会学生如何学习数学的过程．也就是说，学习数学的过程实际上就是学生获取、整合、储存、运用数学知识和获得学习能力的过程．在本章复习课设计中，就体现了学生如何学习的问题．3．复习不是简单的重复，不是练习堆积的习题课，而是成为学生再发现、再提高、再创造的氛围场所，是学生对所学知识居高临下的掌握和学生身心健康成长的愉悦体验．备课资料一、备用习题1．已知集合A ＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z }，B ＝{β|β＝60°＋k·720°，k∈Z }，C ＝{γ|γ＝60°＋k·180°，k∈Z }，那么集合A ，B ，C 之间的关系是( )A ．B AC B ．A B C C ．B C AD ．C B A2．若α是第四象限角，则π－α是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角3．一扇形的半径与弧长之比是3∶π，则该扇形所含弓形的面积与该扇形的面积之比是A ．(2π－33)∶2πB ．(6π－33)∶6πC ．(4π－33)∶4πD ．(8π－33)∶8π4．把函数y ＝4cos(x ＋π3)的图象向左平移m 个单位，所得图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( )A.π6B.π3C.2π3D.5π65．如果|x|≤π4，设函数f(x)＝cos 2x ＋sinx 的最大值为M ，最小值为m ，则M m的值为… ( )A ．－54B ．－3－2 2C ．3＋2 2D ．－52＋526．已知函数y ＝Asin(ωx ＋φ)(A>0，ω>0)的周期为1，最大值与最小值之差是3，且函数图象过点(18，34)，则函数表达式为( )A ．y ＝3sin(2x ＋7π12)B ．y ＝3sin(2x －π12) C ．y ＝32sin(2πx ＋π12) D ．y ＝32sin(2πx －π12) 7．函数f(x)＝tan ωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y ＝π4所得线段的长为π4，则f(π4)＝__________.8．已知α、β∈(0，π2)，且α＋β>π2，求证：对于x∈(0，π)，有f(x)＝(cos αsin β)x ＋(cos βsin α)x <2. 参考答案：1．A 2.C 3.A 4.C 5.D 6.D 7.08．由α＋β>π2，知α>π2－β. 又由α、β∈(0，π2)，知π2－β∈(0，π2)． ∵y＝sinx 在(0，π2)内为增函数，y ＝cosx 在(0，π2)内为减函数， ∴sin α>sin(π2－β)＝cos β，cos α<cos(π2－β)＝sin β.∴0<cos βsin α<1,0<cos αsin β<1. 又∵x∈(0，π)，∴(cos βsin α)x ＜1，(cos αsin β)x ＜1.∴f(x)＝(cos αsin β)x ＋(cos βsin α)x <2. 二、三角函数的拓展1．关于三角函数的发展史三角函数亦称圆函数，是正弦、余弦、正切、余切、正割、余割等函数的总称．在平面直角坐标系xOy 中，在与x 轴正向夹角为α的动径上取点P ，P 的坐标是(x ，y)，OP ＝r ，则正弦函数sin α＝y r ，余弦函数cos α＝x r ，正切函数tan α＝y x ，余切函数cot α＝x y，正割函数sec α＝r x ，余割函数csc α＝r y. 这6种函数在1631年徐光启等人编译的《大测》中已齐备．正弦最早被看作圆内圆心角所对的弦长，公元前2世纪古希腊天文学家希帕霍斯就制造过这种正弦表，公元2世纪托勒密又制造了0°～90°每隔半度的正弦表．公元5世纪时印度最早引入正弦概念，还给出正弦函数表，记载于《苏利耶历数书》(约400年)中．该书中还出现了正矢函数，现在已很少使用它了．约510年印度数学家阿那波多考虑了余弦概念，传到欧洲后有多种名称，17世纪后才统一．正切和余切函数是由日影的测量而引起的，9世纪的阿拉伯计算家哈巴什首次编制了一个正切、余切表.10世纪的艾布·瓦法又单独编制了第一个正切表．哈巴什还首先提出正割和余割概念，艾布·瓦法正式使用．到1551年奥地利数学家、天文学家雷蒂库斯在《三角学准则》中收入正弦、余弦、正切、余切、正割、余割6种函数，并附有正割表．他还首次用直角三角形的边长之比定义三角函数.1748年欧拉第一次以函数线与半径的比值定义三角函数，令圆半径为1，并创用许多三角函数符号．至此现代形式的三角函数开始通行，并不断发展至今．现在的许多教辅资料中，有关三角函数的运算都是6种函数的综合运算．2．关于三角函数的定义法三角函数定义是三角函数的核心内容．关于三角函数定义法，总的说来就两种：“单位圆定义法”与“终边定义法”，这两种方法本质上是一致的．正因为此，各种数学出版物中，两种定义方法都有采用，采用哪一种定义方法是一个取舍问题，没有对错之分，并不存在商榷的问题．因此，“单位圆上的点毕竟是特殊点，用它定义三角函数有失一般性”的认识是不正确的．由上述三角函数发展史已经表明，任意角的三角函数是因研究圆周运动的需要而产生的，数学史上，三角函数曾经被称为“圆函数”，所以，采用“单位圆定义法”能更真实地反映三角函数的发展进程．在老师们熟悉的“终边定义法”中，给出定义后有如下说明：“根据相似三角形的知识，对于确定的角α，这三个比值(如果有的话)都不会随点P在α的终边上的位置的改变而改变等，对于确定的角α，上面三个比值都是惟一确定的．这就是说，正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以比值为函数值的函数．”这恰恰说明了“以角α的终边与单位圆的交点坐标为‘比值’”是不失一般性的．另外，用“单位圆定义法”直截了当、简洁易懂，不需要这样的说明，就更显出其好处了．3．关于《新课程》中的三角函数种类《高中数学课程标准(实验)》只要求正弦、余弦和正切三个函数，其目的是削枝强干，是非常正确的．进一步地，三角函数中正弦、余弦函数是“基本三角函数”，其余都是通过这两个函数的运算(相除、取倒数等)而得到的，或者说是从这两个函数“派生”出来的，因此教师在教学中没有必要对其他的三角函数再作补充．。

浅谈高中数学建模核心素养的培养-----以“三角函数的应用”教学为例数学是研究现实生活中数量关系和空间形式的数学。

——恩格斯。

21世纪中叶以来，数学自身发生了巨大的变化。

一方面，数学因其日益公理化、形式化而忽视与现实生活的密切联系。

另一方面，因数学应用的发展，数学几乎渗透到每一个学科领域及人们生活的方方面面。

割断数学与现实生活的联系的教学内容、教学方式，不仅会极大地降低学生数学学习的热情与动力，而且会造成学生对数学学科的错误理解，更无法让学生感受到数学在日常生活中的作用。

因此，必须沟通生活中的数学与教科书上的数学之间的联系，使数学与生活融为一体。

数学建模就很好的搭建了数学与外部世界联系的桥梁，是数学应用的重要形式。

《普通高中数学课程标准2021年版》指出：数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法建构模型解决问题的过程。

数学建模过程主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，确定参数、计算求解，检验结果、改进模型，最终解决实际问题。

数学建模搭建了数学与外部世界联系的桥梁，是数学应用的重要形式。

数学建模是应用数学解决实际问题的基本手段，也是推动数学发展的动力。

从核心素养的角度认识数学建模，这中间有三层意思：一是对现实问题的数学抽象，二是用数学语言表达问题，三是用数学方法构建模型解决问题。

通过高中数学课程的学习，学生能有意识地用数学语言表达现实世界，发现和提出问题，感悟数学与现实之间的关联；学会用数学模型解决实际问题，积累数学实践的经验；认识数学模型在科学、社会、工程技术诸多领域的作用，提升实践能力，增强创新意识和科学精神。

数学建模的学业质量被划分成递进的三个水平，一了解熟悉的数学模型的实际背景及其数学描述，了解数学模型中的参数、结论的实际含义。

知道数学建模的过程包括：提出问题、建立模型、求解模型、检验结果、完善模型。

能够在熟悉的实际情境中，模仿学过的数学建模过程解决问题。

第1课时 任意角的三角函数如图，直角△ABC .问题1：如何表示角A 的正弦、余弦、正切值？ 提示：sin A ＝a c ，cos A ＝b c ，tan A ＝a b.问题2：如图，锐角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，在α终边上任取一点P (a ，b )，作PM ⊥x 轴，如何用图中的数据表示sin α，cos α，tan α？提示：∵PM ⊥x 轴，∴△OPM 为直角三角形， ∴|OP |＝|OM |2＋|PM |2＝a 2＋b 2， ∴sin α＝|PM ||OP |＝b a 2＋b 2，cos α＝|OM ||OP |＝aa 2＋b2， tan α＝|MP ||OM |＝ba.在平面直角坐标系中，设α的终边上任意一点P 的坐标是(x ，y )，它与原点的距离为r (r ＝x 2＋y 2>0)规定：问题1：由三角函数的定义知sin α在什么条件下函数值为正？ 提示：α的终边在第一、二象限或y 轴正半轴． 问题2：tan α在什么情况下为负数？提示：因tan α＝y x，则x 、y 异号为负数，即α的终边在二、四象限为负数．三角函数值在各象限内的符号，如图所示：如图，由单位圆中的三角函数的定义可知sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x. 问题：sin α是否等于PM 的长？若不等，怎样才能相等？提示：不一定，可能等于PM 的长，也可能等于PM 长的相反数，把MP 看成有向线段即可．1．有向线段规定了方向(即规定了起点和终点)的线段．2．有向线段数量根据有向线段AB与有向直线l的方向相同或相反，分别把它的长度添上正号或负号，这样所得的数，叫做有向线段的数量．3．单位圆圆心在原点，半径等于单位长度的圆．4．三角函数线设角α的终边与单位圆的交点为P，过点P作x轴的垂线，垂足为M.(1)则有向线段MP、OM就分别是角α的正弦线与余弦线，即MP＝sin α，OM＝cos α；(2)过点A(1,0)作单位圆的切线，设这条切线与角α的终边或角α终边的反向延长线交于点T，则有向线段AT就是角α的正切线，即AT＝tan_α.1．三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小与点P(x，y)在终边上的位置无关，只由角α的终边位置确定，即三角函数值的大小只与角有关．2．三角函数值的符号，用角α的终边所处的位置确定，即“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．3．正弦线、余弦线、正切线这三种三角函数线都是一些特殊的有向线段，是与坐标轴垂直的线段．这些线段分别可以表示相应三角函数的值，它们是三角函数的一种几何表示．[例1] 已知角α的终边上有一点P(－3a,4a)(a≠0)，求2sin α＋cos α的值．[思路点拨] 由三角函数的定义求三角函数时，应先确定α终边位置．由于含有参数a ，而a 的条件为a ≠0，所以必须对a 进行分类讨论．[精解详析] ∵x ＝－3a ，y ＝4a ， ∴r ＝－3a2＋a2＝5|a |.当a >0时，r ＝5a ，角α为第二象限角， ∴sin α＝y r ＝4a 5a ＝45， cos α＝x r ＝－3a 5a ＝－35，∴2sin α＋cos α＝2×45－35＝1.当a <0时，r ＝－5a ，角α为第四象限角， ∴sin α＝y r ＝4a －5a ＝－45，cos α＝x r ＝－3a －5a ＝35，∴2sin α＋cos α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＋35＝－1.[一点通] 已知角的终边上一点，求该角的三角函数值，一般是先求出该点到原点的距离r ，再由三角函数的定义求出三角函数值．当点的坐标有字母时，由于字母符号未知，所以点所在象限不确定，因此要根据情况进行分类讨论，避免漏解．1．角α的终边过点P (－8m ，－6cos 60°)且cos α＝－45，则m 的值是____________．解析：P (－8m ，－3)，由cos α＝－45可得－8m 64m 2＋9＝－45， 解得m ＝12(m ＝－12不合题意，舍去)．答案：122．已知角α终边上点P (x,3)(x ≠0)，且cos α＝1010x ，求sin α，tan α. 解：∵r ＝x 2＋9，cos α＝x r， ∴1010x ＝xx 2＋9.又x ≠0，则x ＝±1. ∵y ＝3＞0，∴α在第一或第二象限． 当α在第一象限时，sin α＝31010，tan α＝3. 当α在第二象限时，sin α＝31010，tan α＝－3. 3．已知角的终边落在直线y ＝2x 上，求sin α，cos α，tan α的值．解：(1)当角的终边在第一象限时，在角的终边上取点P (1，2)，由r ＝|OP |＝12＋22＝5， 得sin α＝25＝255，cos α＝15＝55，tan α＝2. (2)当角的终边在第三象限时，在角的终边上取点Q (－1，－2)，由r ＝|OQ |＝ －2＋－2＝5，得sin α＝－25＝－255，cos α＝－15＝－55，tan α＝2.[例2] 确定下列式子的符号：(1)tan 108°·cos 305°；(2)cos 5π6·tan11π6sin2π 3；(3)tan 191°－cos 191°；(4)sin 3·cos 4·tan 5.[思路点拨] 角度确定了，所在的象限就确定了，三角函数值的符号也就确定了，因此只需确定角所在象限，即可进一步确定各式的符号．[精解详析] (1)∵108°是第二象限角，∴tan 108°<0. ∵305°是第四象限角，∴cos 305°>0.从而tan 108°·cos 305°<0，∴式子符号为负． (2)∵5π6是第二象限角，11π6是第四象限角，2π3是第二象限角． ∴cos5π6<0，tan 11π6<0，sin 2π3>0. 从而cos 5π6·tan11π6sin2π3>0.∴式子符号为正．(3)∵191°是第三象限角， ∴tan 191°>0，cos 191°<0. ∴tan 191°－cos 191°>0. ∴式子符号为正． (4)∵π2<3<π，π<4<3π2，3π2<5<2π， ∴sin 3>0，cos 4<0，tan 5<0. ∴sin 3·cos 4·tan 5>0. ∴式子符号为正．[一点通] 对于已知角α，判断α的相应三角函数值的符号问题，常依据三角函数的定义，或利用口诀“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来处理．4．判断下列各式的符号： (1)sin 105°·cos 230°； (2)cos 3·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3.解：(1)∵105°、230°分别为第二、第三象限角， ∴sin 105°＞0，cos 230°＜0. 于是sin 105°·cos 230°＜0. (2)∵π2＜3＜π，∴3是第二象限角， ∴cos 3＜0，又－2π3是第三象限角，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3＞0， ∴cos 3·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3＜0. 5．已知sin α·tan α>0，则α是第几象限角？解：∵sin α·tan α>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin α>0，tan α>0，或⎩⎪⎨⎪⎧sin α<0，tan α<0.当sin α>0，且tan α>0时，α为第一象限角； 当sin α<0，且tan α<0时，α为第四象限角． ∴α为第一、四象限角.[例3] 分别作出2π3和4π5的正弦线、余弦线和正切线，并比较sin 2π3与sin 4π5，cos2π3与cos 4π5，tan 2π3与tan 4π5的大小．[思路点拨] 作三角函数线的关键是画出单位圆和角的终边；比较三角函数值的大小时依据三角函数线的长度和正负．[精解详析] 在直角坐标系中作单位圆如图，以Ox 轴正方向为始边作2π3的终边与单位圆交于P 点，作PM ⊥Ox 轴，垂足为M ，由单位圆与Ox 正方向的交点A 作Ox 轴的垂线与OP 的反向延长线交于T 点，则sin 2π3＝MP ，cos 2π3＝OM ，tan 2π3＝AT .同理，可作出4π5的正弦线、余弦线和正切线，sin4π5＝M ′P ′，cos 4π5＝OM ′，tan 4π5＝AT ′. 由图形可知：MP >M ′P ′，符号相同⇒sin2π3>sin 4π5， OM >OM ′，符号相同⇒cos2π3>cos 4π5，AT <AT ′， 符号相同⇒tan2π3<tan 4π5. [一点通] 利用三角函数线比较三角函数值的大小，关键在于准确作出正弦线、余弦线、正切线，并注意它们为有向线段，方向代表三角函数值的符号，然后结合图形作出判断．6．sin 1，sin 1.2，sin 1.5三者的大小关系是________． 解析：在同一单位圆中画出三个角的正弦线作出比较可得． 答案：sin 1.5>sin 1.2>sin 17．利用三角函数线，求满足下列条件的角x 的集合． (1)sin x ≤12； (2)cos x ＜32.解：(1)利用角x 的正弦线，作出满足sin x ≤12的角x 的终边所在位置的范围．如图(1)的阴影部分，由图形得角x 的集合为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2k π－7π6≤x ≤2k π＋π6，k ∈Z .(2)利用角x 的余弦线，作出满足cos x ＜32的角x 的终边所在位置的范围，如图(2)的阴影部分，由图形得角x 的集合为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2k π＋π6＜x ＜2k π＋11π6，k ∈Z .1．准确理解三角函数的定义根据三角函数的定义，各三角函数值的大小与在终边上所取的点的位置无关，只与角α的大小有关，即它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数．定义中的α是任意角，但对于一个确定的角，只要各个三角函数有意义，其值就是唯一的．2．确定三角函数的符号根据三角函数的定义可知，正弦值、余弦值的符号分别取决于纵坐标y 、横坐标x 的符号；正切值则是纵坐标y 、横坐标x 同号时为正，异号时为负．3．三角函数线的应用三角函数线的方向和长短直观反映了三角函数值的符号和绝对值的大小，从三角函数线的方向可以看出三角函数值的符号，从三角函数线的长度可以看出三角函数值的绝对值大小．课下能力提升(三)一、填空题1．若α是第三象限角，则|sin α|sin α－cos α|cos α|＝________.解析：∵α是第三象限角，∴sin α＜0，cos α＜0， ∴|sin α|sin α－cos α|cos α|＝－1－(－1)＝0.答案：0 2．有下列命题：(1)若sin α>0，则α是第一、二象限的角； (2)若α是第一、二象限角，则sin α>0； (3)三角函数线不能取负值；(4)若α是第二象限角，且P (x ，y )是其终边上一点，则cos α＝－xx 2＋y 2.其中正确的序号是________． 解析：只有(2)正确；∵sinπ2＝1>0，但π2不是第一、二象限角，∴(1)不正确；三角函数线是三角函数值的几何表示，其数量可正可负，也可为0，∴(3)不正确；(4)应是cos α＝x x 2＋y 2(∵α是第二象限角，已有x <0)，∴(4)不正确．答案：(2)3．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且sin α＞0，cos α≤0，则α的取值范围是________．解析：由cos α≤0及sin α＞0知角α的终边在第二象限或y 轴的正半轴上．故⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2＞0，∴－2＜a ≤3.答案：(－2,3]4．角α的终边上有一点P (a,4)，且tan α＝43，则3sin α－2cos α的值为________． 解析：∵tan α＝43，∴a ＝3.∴r ＝32＋42＝5，sin α＝45，cos α＝35，∴3sin α－2cos α＝125－65＝65. 答案：655．依据三角函数线，作出如下四个判断： ①sin π6＝sin 7π6；②cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝cos π4； ③tan π8>tan 3π8； ④sin3π5>sin 4π5. 其中判断正确的有________．解析：分别作出各角的三角函数线，可知：sin π6＝－sin 7π6，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝cos π4，tan π8<tan 3π8，sin 3π5>sin 4π5， ∴②④正确． 答案：②④ 二、解答题6．已知角α的顶点在原点，始边为x 轴的正半轴，若角α终边过点P (－3，y )，且sin α＝34y (y ≠0)，判断角α所在的象限，并求cos α的值． 解：依题意，P 到原点O 的距离r ＝|OP |＝－32＋y 2＝3＋y 2. ∴sin α＝yr＝y3＋y2＝34y . ∵y ≠0，∴9＋3y 2＝16. ∴y 2＝73，y ＝±213.∴点P 在第二或第三象限， 且cos α＝－33＋y2＝－33＋73＝－34.7．已知角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，求sin α，cos α，tan α的值．解：∵角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，∴在角α的终边上任取一点P (4t ，－3t )(t ≠0)，则x ＝4t ，y ＝－3t ，r ＝x 2＋y 2＝t2＋－3t2＝5|t |，当t ＞0时，r ＝5t ，sin α＝y r ＝－3t 5t ＝－35，cos α＝x r ＝4t 5t ＝45，tan α＝y x ＝－3t 4t ＝－34；当t ＜0时，r ＝－5t ，sin α＝y r ＝－3t －5t ＝35，cos α＝x r ＝4t －5t ＝－45，tan α＝y x ＝－3t4t＝－34.综上可知，sin α＝－35，cos α＝45，tan α＝－34；或sin α＝35，cos α＝－45，tan α＝－34.8．已知π4<θ<π2，试用三角函数线比较sin θ，cos θ，tan θ的大小．解：如图，在单位圆中作出正弦线、余弦线、正切线， sin θ＝MP >0, cos θ＝OM >0， tan θ＝AT >0，由图知OM <MP <AT ， 即cos θ<sin θ<tan θ.第2课时 同角三角函数关系若角α的终边与单位圆交于P (x ，y )，如图．问题1：角α的三角函数值是什么？ 提示：sin α＝y .cos α＝x .tan α＝y x. 问题2：sin α与cos α有什么关系？ 提示：sin 2α＋cos 2α＝y 2＋x 2＝1.问题3：sin αcos α的值与tan α有什么关系？提示：sin αcos α＝y x＝tan α.同角三角函数的基本关系式同角三角函数的基本关系式成立的条件是使式子两边都有意义．所以sin 2α＋cos 2α＝1对于任意角α∈R 都成立，而tan α＝sin αcos α并不是对任意角α∈R 都成立，此时α≠k π＋π2，k ∈Z.[例1] (1)若sin α＝－45，且α是第三象限角，求cos α，tan α的值；(2)已知tan α＝2，求2sin α－2cos α4sin α－9cos α的值．[思路点拨] 第(1)题应先利用平方关系求余弦，再由商的关系求正切； 第(2)问先把所求式化为只含tan α的代数式，再代入求值． [精解详析] (1)∵sin α＝－45，α是第三象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－452＝－35，tan α＝sin αcos α＝－45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝43.(2)∵tan α＝2， ∴2sin α－2cos α4sin α－9cos α＝2tan α－24tan α－9＝2×2－24×2－9＝－2.[一点通] 已知某角的一个三角函数值，求该角的其他三角函数值时要注意： (1)角所在的象限；(2)用平方关系求值时，所求三角函数的符号由角所在的象限决定；(3)用商数关系时，不要另加符号，只需用公式tan α＝sin αcos α代入sin α、cos α的值即可求得tan α.1．已知sin α＋cos α＝12，则sin αcos α＝________.解析：∵sin α＋cos α＝12，∴(sin α＋cos α)2＝14，即1＋2sin αcos α＝14.∴sin αcos α＝－38.答案：－382．若sin θ－cos θ＝2，则tan θ＋1tan θ＝__________.解析：由已知得(sin θ－cos θ)2＝2， ∴sin θcos θ＝－12.∴tan θ＋1tan θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝1sin θcos θ＝－2.答案：－2 3．若cos α＝513，求sin α和tan α. 解：∵cos α＝513>0，∴α是第一或第四象限角．当α是第一象限角时，sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫5132＝1213，∴tan α＝sin αcos α＝125；当α是第四象限角时， sin α＝－1－cos 2α＝－1－5132＝－1213.∴tan α＝sin αcos α＝－125.4．保持本例(2)的条件不变，求4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α的值． 解：4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α ＝4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2αsin 2α＋cos 2α＝4tan 2α－3tan α－5tan 2α＋1＝4×4－3×2－54＋1＝1.[例2] 化简：tan α＋tan αsin αtan α＋sin α·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1cos α·sin α1＋sin α.[思路点拨] 采用切化弦，减少函数种类，以达到化简的目的． [精解详析]原式＝tan α1＋sin αtan α＋sin α·1＋cos αcos α·sin α1＋sin α＝sin αcos αsin αcos α＋sin α·1＋cos αcos α· sin α＝11＋cos α·1＋cos αcos α·sin α＝sin αcos α＝tan α.[一点通] 化简三角函数式的常用方法：(1)切化弦，即把非正、余弦函数都化成正、余弦函数，从而减少函数种类以便化简． (2)对含有根号的，常把根号下式子化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的． (3)对于化简高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或用“1”的代换，以降低函数次数，达到化简目的．5.sin θ－cos θtan θ－1＝________.解析：sin θ－cos θtan θ－1＝sin θ－cos θsin θcos θ－1＝sin θ－cos θsin θ－cos θcos θ＝cos θ.答案：cos θ6．化简1－2sin 10°cos 10°sin 10°－1－sin 210°的值为________． 解析：原式＝sin 210°－2 sin 10°cos 10°＋cos 210°sin10°－cos 210°＝－cos2sin 10°－cos 10°＝cos 10°－sin 10°sin 10°－cos 10°＝－1.答案：－1 7．若3π2＜α＜2π，化简： 1－cos α1＋cos α＋1＋cos α1－cos α.解：∵3π2＜α＜2π，∴0＜cos α＜1，－1＜sin α＜0，∴原式＝ －cos α21＋cos α1－cos α＋＋cos α21－cos α1＋cos α＝－cos α21－cos 2α＋＋cos α21－cos 2α＝ （1－cos α）2sin 2α＋ （1＋cos α）2sin 2α＝－1－cos αsin α－1＋cos αsin α＝－2sin α.[例3] 求证：sin θ(1＋tan θ)＋cos θ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1tan θ＝1sin θ＋1cos θ.[思路点拨] 从较复杂的一边入手，采用切化弦的方式，即把左边的正切值用tan θ＝sin θcos θ替换． [精解详析] 左边＝sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋sin θcos θ＋cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋cos θsin θ＝sin θ＋sin 2θcos θ＋cos θ＋cos 2θsin θ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ＋cos 2θsin θ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2θcos θ＋cos θ ＝⎝⎛⎭⎪⎫sin 2θ＋cos 2θsin θ＋⎝⎛⎭⎪⎫sin 2θ＋cos 2θcos θ＝1sin θ＋1cos θ＝右边． ∴原式成立．[一点通] 证明三角恒等式的原则是由繁到简，常用的方法有： (1)从一边开始证明它等于另一边； (2)证明左右两边都等于同一个式子；(3)变更论证，采用左右相减，化除为乘等方法，转化成与原结论等价的命题形式．8．求证：1＋2sin x cos x cos 2x －sin 2x ＝1＋tan x1－tan x.证明：法一：右边＝1＋sin x cos x 1－sin x cos x＝cos x ＋sin xcos x －sin x＝x ＋sin x 2cos x －sinx cos x ＋sin x＝cos 2x ＋sin 2x ＋2sin x cos x cos 2x －sin 2x ＝1＋2sin x cos x cos 2x －sin 2x ＝左边，∴原式成立． 法二：左边＝sin 2x ＋cos 2x ＋2sin x cos xcos x －sin x＝x ＋cos x 2cos x ＋sinx cos x －sin x ＝sin x ＋cos xcos x －sin x＝tan x cos x ＋cos x cos x －tan x cos x ＝1＋tan x1－tan x＝右边，∴原式成立．9．求证：sin α－cos α＋1sin α＋cos α－1＝1＋sin αcos α.证明：左边＝α－cos α＋α＋cos α＋sin α＋cos α－α＋cos α＋＝α＋2－cos 2αsin α＋cos α2－1＝sin 2α＋2sin α＋1－cos 2α1＋2sin αcos α－1＝2sin α1＋sinα2sin αcos α＝1＋sin αcos α＝右边．∴原等式成立．1．对同角三角函数的基本关系式的理解“同角”有两层含义，一是“角相同”，如sin 2α＋cos 2β＝1就不一定成立；二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，与角的表达形式无关．如：sin 23α＋cos 23α＝1，tan α2＝sinα2cosα2.2．同角三角函数的基本关系式的应用(1)应用同角三角函数关系式时，应灵活选择和使用．如cos 2α＝1－sin 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos α＝sin αtan α，sin α＝tan α·cos α等，上述关系都必须在定义域允许的范围内才成立．(2)由一个角的任一三角函数值可求出这个角的另外的三角函数值，且因为利用“平方”关系公式，最终需求平方根，会出现两解，所以要注意角所在的象限．这类问题通常会出现以下这几种情况：①如果已知三角函数值，且角的象限已被指定，那么只有一组解；②如果已知三角函数值，但没有指定角所在的象限，那么先由三角函数值确定角所在的象限，然后再求解，这种情况一般有两组解；③如果所给的三角函数值是用字母表示的，且没有指定角所在的象限，则需要分类讨论．课下能力提升(四)一、填空题 1．已知sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2mm ＋5，则m ＝________. 解析：∵sin 2θ＋cos 2θ＝1， ∴⎝⎛⎭⎪⎫m －3m ＋52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4－2m m ＋52＝1.即(m －3)2＋(4－2m )2＝(m ＋5)2，∴4m 2－32m ＝0. ∴m ＝0或m ＝8 答案：0或8 2．若sin α＋cos α2sin α－cos α＝2，则tan α＝________.解析：∵sin α＋cos α2sin α－cos α＝2，∴tan α＋12tan α－1＝2.∴tan α＋1＝4tan α－2 即3tan α＝3，∴tan α＝1. 答案：13．化简：cos 4α＋sin 2α·cos 2α＋sin 2α＝________. 解析：cos 4α＋sin 2αcos 2α＋sin 2α ＝cos 2α(cos 2α＋sin 2α)＋sin 2α ＝cos 2α＋sin 2α＝1.答案：14．已知tan α＝m (π＜α＜3π2)，则sin α＝________. 解析：∵tan α＝m ，π＜α＜3π2. ∴m ＞0且sin α＜0.又tan 2α＝sin 2αcos 2α＝sin 2α1－sin 2α＝m 2. ∴sin 2α＝m 21＋m2.∵sin α＜0，∴sin α＝－m1＋m2.答案：－m1＋m25．若角α的终边在直线x ＋y ＝0上，则sin α1－cos 2α＋1－sin 2αcos α＝________. 解析：∵sin α1－cos 2α＋1－sin 2αcos α＝sin α|sin α|＋|cos α|cos α. 又角α的终边落在x ＋y ＝0上， 故角α的终边在第二、四象限． 当α在第二象限时， 原式＝sin αsin α＋－cos αcos α＝0，当α在第四象限时， 原式＝sin α－sin α＋cos αcos α＝0.答案：0 二、解答题6．已知tan x ＝2，求： (1)cos x ＋sin xcos x －sin x的值；(2)23sin 2x ＋14cos 2x 的值．解：(1)cos x ＋sin x cos x －sin x ＝1＋tan x 1－tan x ＝1＋21－2＝－3.(2)23sin 2x ＋14cos 2x ＝23sin 2x ＋14cos 2x sin 2x ＋cos 2x＝23tan 2x ＋14tan 2x ＋1＝23×4＋144＋1＝712. 7．求证：tan α·sin αtan α－sin α＝tan α＋sin αtan α·sin α.证明：法一：左边＝sin 2αsin α－sin α cos α＝sin α1－cos α，右边＝sin α＋sin α cos αsin 2α＝1＋cos αsin α， 而sin 2α＝1－cos 2α， ∴sin α1－cos α＝1＋cos αsin α，故左边＝右边，∴原式成立．法二：tan α·sin αtan α－sin α－tan α＋sin αtan α·sin α＝tan 2αsin 2α－2α－sin 2αtan α－sin αtan αsin α＝tan 2αsin 2α－＋sin 2αtan α－sin αtan αsin α＝－tan 2αcos 2α＋sin 2αtna α－sin αtan αsin α＝－sin 2α＋sin 2αtan α－sin αtan αsin α＝0，∴tan α·sin αtan α－sin α＝tan α＋sin αtan α·sin α.8．已知－π2<x <0，sin x ＋cos x ＝15.求sin x －cos x 的值．解：法一：由sin x ＋cos x ＝15，平方得sin 2x ＋2sin x cos x ＋cos 2x ＝125，即2sin x cos x ＝－2425，∴(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ＝4925.又∵－π2<x <0，∴sin x <0，cos x >0， ∴sin x －cos x <0， ∴sin x －cos x ＝－75.法二：联立方程⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＋cos x ＝15 ①，sin 2x ＋cos 2x ＝1 ②，由①得sin x ＝15－cos x ，将其代入②，整理得25cos 2x －5cos x －12＝0， 解得cos x ＝－35，或cos x ＝45.∵－π2<x <0，∴⎩⎪⎨⎪⎧cos x ＝45，sin x ＝－35，∴sin x －cos x ＝－75.第3课时 三角函数的诱导公式一～四对于任意角α.问题1：2k π＋α(k ∈Z)与α的三角函数之间有什么关系？提示：由于α与2k π＋α(k ∈Z)的终边相同，所以三角函数值对应相等．问题2：观察下图，角π－α，π＋α，－α的终边与角α的终边之间有什么关系？你能利用它们与单位圆的交点的坐标之间的关系推导出它们的三角函数之间的关系吗？提示：π－α，π＋α，－α的终边与α的终边分别关于y 轴，坐标原点，x 轴对称．能.诱导公式公式一、二、三、四都叫诱导公式，它们可概括如下：(1)记忆方法：2k π＋α，－α，π±α的三角函数值等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，一句话概括：即“函数名不变，符号看象限”．(2)解释：“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名；“符号”是指等号右边是正号还是负号；“看象限”是指假设α是锐角，要看原函数名在本公式中角的终边所在象限是取正值还是负值，如sin(π＋α)，若α看成锐角，则π＋α在第三象限，正弦在第三象限取负值，故sin(π＋α)＝－sin α.[例1] 求下列各三角函数式的值： (1)sin 1 320°；(2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π6；(3)tan(－945°)．[思路点拨] 利用诱导公式进行化简求值．[精解详析] (1)法一：sin 1 320°＝sin(3×360°＋240°)＝sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－32. 法二：sin 1 320°＝sin(4×360°－120°)＝sin(－120°) ＝－sin(180°－60°)＝－sin 60°＝－32. (2)法一：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π6＝cos 31π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋7π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π6＝－cos π6＝－32. 法二：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6π＋5π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π6＝－cos π6＝－32.(3)tan(－945°)＝－tan 945° ＝－tan(225°＋2×360°)＝－tan 225°＝－tan(180°＋45°) ＝－tan 45°＝－1.[一点通] 此问题为已知角求值，主要是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值求解．如果是负角，一般先将负角的三角函数化为正角的三角函数．要准确记忆特殊角的三角函数值．1．tan 690°的值为________．解析：tan 690°＝tan(720°－30°)＝－tan 30°＝－33. 答案：－332．cos29π6＝________. 解析：cos 29π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋5π6＝cos 5π6 ＝cos(⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π6＝－cos π6＝－32.答案：－323．求下列各式的值： (1)sin π4cos 19π6tan 21π4；(2)3sin(－1 200°)tan 19π6－cos 585°tan ⎝⎛⎭⎪⎫－37π4.解：(1)原式＝sin π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋7π6tan ⎝⎛⎭⎪⎫5π＋π4 ＝22cos 7π6tan π4 ＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π6＝22(－cos π6) ＝－22×32＝－64. (2)原式＝－3sin(4×360°－240°)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π＋π6－cos(360°＋225°)⎝ ⎛⎭⎪⎫－tan 37π4＝－3sin(－240°)tan π6－cos 45°tan ⎝⎛⎭⎪⎫9π＋π4＝3×33sin(180°＋60°)－22tan π4 ＝－3×33sin 60°－22＝－2＋32.[例2] 化简下列各式： (1)π＋α·sin α＋2π－α－π－π－α；(2)－－－.[思路点拨] 利用诱导公式一、二、四将函数值化为α角的三角函数值或锐角的三角函数值，再约分化简．[精解详析] (1)原式＝－cos α·sin α－α＋ππ＋α＝－cos α·sin αsin α－cos α＝1.(2)原式＝－－＝＋＋－＋＝－－cos 10°·tan 225°＝sin 30°＋＝sin 30°tan 45°＝12. [一点通] 三角函数式的化简有如下方法：(1)依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角α的三角函数． (2)切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数． (3)注意“1”的应用：1＝sin 2α＋cos 2α＝tanπ4.4．化简：＋α·cos －αα－＝____________.解析：＋α·cos －αα－＝sin[360°＋＋α]cos α－－α＝＋αcos αtan α＝－sin αcos αtan α＝－sin αcos αcos αsin α＝－cos 2α.答案：－cos 2α5．设k 为整数，化简：k π－αcos[k －π－α]k ＋π＋αk π＋α.解：当k 为偶数时，设k ＝2m (m ∈Z)， 原式＝m π－αcos[2m －π－α]m＋π＋αm π＋α＝－αcos π＋απ＋αcos α＝－sin α－cos α－sin αcos α＝－1.当k 为奇数时，设k ＝2m ＋1(m ∈Z)，原式＝m π＋π－αcos 2m π－αm ＋π＋αm ＋π＋α]＝π－αcos －αsin απ＋α＝sin αcos αsin α－cos α＝－1.综上可知，当k为整数时kπ－αcos[k－π－α]k ＋π＋αkπ＋α＝－1.6．若sin(α－π)＝2cos(2π－α)，求π－α＋5cos2π－απ－α－sin－α的值．解：由sin(α－π)＝2cos(2π－α)，得－sin α＝2cos α，所以tan α＝－2.所以原式＝sin α＋5cos α－3cos α＋sin α＝tan α＋5－3＋tan α＝－2＋5－3＋－＝－35.[例3] 判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝3cos x－1；(2)g(x)＝x3sin x；(3)h(x)＝sin2(π＋x)＋cos(π－x)cos(－x)－3.[思路点拨](1)判断函数的定义域是否关于原点对称．(2)通过判断f(－x)与f(x)的关系得出结论．[精解详析] (1)∵x∈R，又f(－x)＝3cos(－x)－1＝3cos x－1＝f(x)，∴f(x)为偶函数．(2)∵x∈R，又g(－x)＝(－x)3sin(－x)＝x3sin x＝g(x)，∴g(x)为偶函数．(3)∵x∈R，h(x)＝sin2x－cos2x－3，又h(－x)＝sin2x－cos2x－3＝h(x)，∴h(x)为偶函数．[一点通] 根据诱导公式可知，正弦函数f(x)＝sin x为奇函数，余弦函数y＝cos x为偶函数，正切函数y＝tan x为奇函数．7．函数y＝cos(sin x)的奇偶性为________．解析：令f(x)＝cos(sin x)，则f(－x)＝cos[sin(－x)]＝cos(－sin x)＝cos(sin x)＝f(x)．∴f(x)为偶函数．答案：偶函数8．若函数f (x )＝2cos 3x －sin 2x ＋π－－x －π＋12＋2cos 7π＋x ＋cos －x ，(1)求证：y ＝f (x )是偶函数；(2)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3的值． 解：(1)证明：∵f (x )＝2cos 3x －sin 2x ＋2cos x ＋12＋2cos 2x ＋cos x ＝2cos 3x －－cos 2x ＋2cos x ＋12＋2cos 2x ＋cos x ＝2cos 3x ＋cos 2x ＋2cos x 2＋2cos x ＋cos x ＝cos x 2cos 2x ＋cos x ＋2cos 2x ＋cos x ＋2＝cos x ，即f (x )＝cos x ，x ∈R.则f (－x )＝cos(－x )＝cos x ＝f (x )， ∴y ＝f (x )是偶函数． (2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝cos π3＝12.诱导公式的应用利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的基本步骤是：任意负角的三角函数――→用公式一或二 任意正角的三角函数――→用公式一0～2π的角的三角函数――→用公式三或四锐角三角函数 可以看出，这些步骤体现了把未知问题化归为已知问题的数学思想．可以简单记为“负化正，大化小，化成锐角再求值”．课下能力提升(五)一、填空题1．sin 480°的值等于________． 解析：sin 480°＝sin(360°＋120°) ＝sin 120°＝sin(180°－60°)＝sin 60°＝32. 答案：322．化简：－αtan 7π＋απ＋α＝________.解析：原式＝cos απ＋απ＋α＝cos αtan α－sin α＝sin α－sin α＝－1.答案：－13．已知cos(π＋α)＝－12，3π2＜α＜2π，则sin(2π－α)的值是________．解析：由cos(π＋α)＝－12，得cos α＝12，又3π2＜α＜2π，∴sin α＝－32， ∴sin(2π－α)＝－sin α＝32. 答案：324．已知cos(508°－α)＝1213，则cos(212°＋α)＝________. 解析：∵cos(508°－α)＝1213， ∴cos[360°＋(148°－α)]＝1213， 即cos(148°－α)＝1213. ∴cos(212°＋α)＝cos[360°－(148°－α)] ＝cos(148°－α)＝1213.答案：12135．设函数f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，其中a ，b ，α，β都是非零实数，且满足f (2 013)＝－1，则f (2 014)的值为________．解析：∵f (2 013)＝a sin(2 013π＋α)＋b cos(2 013π＋β)＝－1， ∴f (2 014)＝a sin(2 014π＋α)＋b cos(2 014π＋β) ＝a sin[π＋(2 013π＋α)]＋b cos[π＋(2 013π＋β)] ＝－[a sin(2 013π＋α)＋b cos(2 013π＋β)]＝1. 答案：1 二、解答题 6．求值： (1)cos25π3＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4；(2)sin 420°cos 750°＋sin(－690°)cos(－660°)． 解：(1)∵cos 25π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋8π＝cos π3＝12， tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4＋－4π＝tan π4＝1，∴cos25π3＋tan ⎝⎛⎭⎪⎫－15π4＝12＋1＝32.(2)原式＝sin(60°＋360°)cos(30°＋2×360°)＋sin[30°＋(－2)×360°]cos[60°＋(－2)×360°]＝sin 60°cos 30°＋sin 30°cos 60° ＝32×32＋12×12＝1.7．已知sin(3π＋θ)＝14，求cos π＋θcos θ[cos π＋θ－1]＋cos θ－2πcos θ＋2πcos π＋θ＋cos －θ的值．解：sin(3π＋θ)＝－sin θ，∴sin θ＝－14.原式＝－cos θcos θ－cos θ－1＋cos θcos θ－cos θ＋cos θ＝11＋cos θ＋11－cos θ＝21－cos 2θ＝2sin 2 θ＝32. 8．已知cos(75°＋α)＝13，其中α为第三象限角．求cos(105°－α)＋sin(α－105°)的值．解：∵cos(105°－α)＝cos[180°－(75°＋α)]＝－cos(75°＋α)＝－13，sin(α－105°)＝－sin(105°－α)＝－sin[180°－(75°＋α)]＝－sin(75°＋α)．又cos(75°＋α)＝13>0，α为第三象限角，可知角75°＋α为第四象限角，则有sin(75°＋α)＝－1－cos 275°＋α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝－223.∴cos(105°－α)＋sin(α－105°)＝－13＋223＝22－13.第4课时 三角函数的诱导公式五～六如图，设角α，π2－α，π2＋α的终边分别与单位圆交于P 1，P 2，P 3.问题1：若点P 1的坐标为(x ，y )，那么P 2，P 3的坐标分别是什么？ 提示：P 2(y ，x )，P 3(－y ，x )．问题2：你能根据P 1，P 2，P 3的坐标间的关系得出α，π2－α，π2＋α的三角函数之间的关系吗？提示：根据三角函数的定义可求出α，π2－α，π2＋α的三角函数值，从而可推出它们之间的关系．诱导公式诱导公式五～六的巧记方法π2±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为“函数名改变，符号看象限”或“正变余，余变正，符号看象限”．[例1] 化简： 错误!＋错误!.[思路点拨] 充分利用诱导公式及同角三角函数的基本关系进行化简． [精解详析] ∵tan(3π－α)＝－tan α， sin(π－α)＝sin α，sin(2π－α)＝－sin α，cos(2π＋α)＝cos α，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝－cos α， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－7π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2－α ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π－π2－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α＝－cos α，∴原式＝－tan αsin α－cos α＋－sin α－sin α－cos α·cos α＝1cos 2α－sin 2αcos 2α＝1－sin 2αcos 2α＝cos 2αcos 2α＝1. [一点通] (1)本题化简主要采用“异角化同角，导名化同名”的解题策略． (2)注意同角三角函数关系的应用，如sin 2α＋cos 2α＝1，tan α＝sin αcos α等．1．化简sin(π＋α)·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·cos(π＋α)＝________. 解析：原式＝(－sin α)·sin α＋cos α·(－cos α) ＝－(sin 2α＋cos 2α)＝－1. 答案：－12．化简：错误!＝________. 解析：原式＝sin α－cos α·sin α－cos α－sin α·cos α＝－tan α.答案：－tan α3．已知α为第三象限角，f (α)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋απ－α－α－π－α－π.(1)化简f (α)；(2)若cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π2＝15，求f (α)的值．解：(1)f (α)＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α·cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－tan απ＋α·sin π＋α＝－cos α·⎣⎢⎡⎦⎥⎤－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－tan αtan α－sin α＝cos α·sin α－sin α＝－cos α.(2)由于cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝－sin α＝15，所以sin α＝－15.又α是第三象限角， 所以cos α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－152＝－265，故f (α)＝－cos α＝265.[例2]若sin α＝55，求π－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2＋α－1＋错误!的值．[思路点拨] 可利用诱导公式首先把所求式进行化简，使化简的结果与已知条件sin α＝55建立联系，最后求得数值．[精解详析]π－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2＋α－1＋错误! ＝cos[2π＋π－α]cos α⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π＋π2＋α－1＋错误! ＝－cos αcos α－cos α－＋cos α－cos αcos α＋cos α＝11＋cos α＋11－cos α＝2sin 2α. ∵sin α＝55，∴2sin 2α＝10. 即原式＝10.[一点通] (1)利用公式五、六化简时一定要注意符号的准确性及名称的变化． (2)求值时整体把握角与角之间的相互关系及恒等变形，这是常用的解题策略．4．若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝12，则sin(3π－α)＝________.解析：∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝12，∴－sin α＝12，即sin α＝－12.∴sin(3π－α)＝sin(π－α)＝sin α＝－12.答案：－125．已知π＋θtanπ＋θtan3π－θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ－π－θ＝1，求3sin 2θ＋3sin θ cos θ＋2cos 2θ的值．解：∵π＋θtan π＋θtan 3π－θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ－π－θ＝sin θtan θπ－θ－sin θπ＋θ＝－sin θtan 2θ－sin θtan θ ＝tan θ＝1. ∴3sin 2θ＋3sin θ cos θ＋2cos 2θ＝3sin 2θ＋3cos 2θsin 2θ＋3sin θcos θ＋2cos 2θ ＝3tan 2θ＋3tan 2θ＋3tan θ＋2 ＝3＋31＋3＋2＝1.6．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝33，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－α的值．解：因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α ＝－33， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝33. ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－α＝－33＋33＝0.[例3] 求证：π－αsin－2π－αcos 6π－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝－tan α.[思路点拨] 解答本题可直接把左边利用诱导公式进行化简推出右边． [精解详析] 左边＝－α·sin －α·cos －αsin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α·cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝－tan α·－sin α·cos αsin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin 2α－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin 2α－cos α·sin α＝－sin αcos α ＝－tan α＝右边． ∴原等式成立．[一点通] 利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活运用，其主要思路是利用诱导公式化同角后，利用同角三角函数关系进行化简证明，可从左边推得右边，也可从右边推得左边．7．已知△ABC 的三个内角分别为A ，B ，C ，求证： sinB ＋C2＝cos A2. 证明：∵A ＋B ＋C ＝π，∴B ＋C ＝π－A . ∴B ＋C 2＝π2－A2∴sinB ＋C2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A 2＝cos A 2.8．求证：2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－3π2cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π2－11－2sin 2π＋θ＝π＋θ＋1π＋θ－1. 证明：左边＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ－sin θ－11－2sin 2θ＝2sin⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝⎛⎭⎪⎫π2－θsin θ－11－2sin2θ＝－2sin⎝⎛⎭⎪⎫π2－θsin θ－11－2sin2θ＝－2cos θsin θ－1 cos2θ＋sin2θ－2sin2θ＝θ＋cos θ2 sinθ－cosθ＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ.右边＝π＋θ＋1π＋θ－1＝tan θ＋1tan θ－1＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ.∴左边＝右边，故原式成立．1．利用诱导公式解决条件求值问题的基本思路化简条件三角代数式的常见思路有：(1)若条件简单，结论复杂，可从化简结论入手，用上条件；(2)若条件复杂，结论简单，可从化简条件入手，转化出结论的形式；(3)若条件、结论都比较复杂，可同时化简它们，直到找出它们间的联系为止．2．利用诱导公式证明三角恒等式(1)三角函数式证明的过程也是化简的过程，它是一个经历多次化归，由负角变正角，由大角变小角，一直变到0°～90°角的过程．对同一角的化归方式可以多种多样．(2)证明条件等式，一般有两种方法：一是从被证等式一边推向另一边的适当时候，将条件代入，推出被证式的另一边，这种方法称作代入法；二是直接将条件等式变形，变形为被证的等式，这种方法称作推出法．课下能力提升(六)一、填空题1．化简cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫52π＋α·sin(α－π)·cos(2π－α)的结果为________．解析：原式＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin ⎝⎛⎭⎪⎫2π＋π2＋α·(－sin α)·cos(－α)＝sin αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·(－sin α)·cos α＝sin αcos α·(－sin α)·cos α ＝－sin 2α. 答案：－sin 2α2．已知tan θ＝2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－π－θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ－π－θ＝________.解析：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－π－θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ－π－θ＝cos θ＋cos θcos θ－sin θ＝2cos θcos θ－sin θ＝21－tan θ＝21－2＝－2.答案：－23．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝a ，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫23π－α＝________.解析：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2π3＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋α＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－a .答案：－a4．若f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋α＋1，且f (2 013)＝2，则f (2 015)＝________.解析：∵f (2 013)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2×2 013＋α＋1＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫1 006π＋π2＋α＋1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＋1＝cos α＋1＝2， ∴cos α＝1.∴f (2 015)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2×2 015＋α＋1 ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫1 007π＋π2＋α＋1＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＋1＝－cos α＋1＝0. 答案：05．f (cos x )＝cos 2x ，则f (sin 15°)的值为________． 解析：∵sin 15°＝cos 75°，∴f (sin 15°)＝f (cos 75°)＝cos 150°＝－32. 答案：－32二、解答题6．若sin(180°＋α)＝－1010(0°<α<90°)， 求－α＋sin－90°－α－α＋cos －270°－α的值．解：由sin(180°＋α)＝－1010(0°<α<90°)， 得sin α＝1010，cos α＝31010， ∴原式＝－sin α－＋α＋180°－α＋cos 270°＋α＝－sin α－cos α－cos α＋sin α＝－1010－31010－31010＋1010＝2.7．已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，且α为第三象限角，求。

某某省射阳县盘湾中学高中数学第1章《三角函数》三角函数的应用教学案苏教版必修4教学目标：会用三角函数的图象及性质解决一些简单的实际问题，体会三角函数是描述周期现象的重要数学模型。

注重渗透化归与转化的数学思想。

教学重点：三角函数模型的建立教学难点：三角函数模型的建立教学过程：一、问题情境：现实生活中有许多周期运动的现象，你能举一些例子吗？三角函数能够模拟许多周期现象，下面我们就研究三角函数在实际生活问题中的应用问题：如图，点O为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向，若已知振幅为3cm，周期为3s，且物体向右运动到距平衡位置最远处时开始计时.（1）求物体对平衡位置的位移x（cm）和时间t（s）之间的函数关系；（2）求物体在t=5s时的位置.二、学生活动：合作解决上述问题：三、知识建构：应用三角函数模型解决实际问题的一般步骤：四、知识运用：例2、一半径为3m的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面2m，已知水轮每分钟转动4圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点P0）开始计算时间.（1）将点P距离水面的高度z (m) 表示为时间t（s）的函数；（2）点P第一次到达最高点大约要多长时间？例3、（P43案例）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐，一般的早潮叫潮，晚潮叫汐. 在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，考近船坞；卸货后落潮时返回海洋. 下面给出了某港口在某季节每天几个时刻的水深.（1）选用一个三角函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，并给出在整点时的水深的近似数值.练习：书P44 1、2、3、4五、回顾反思：知识：思想方法：六、作业布置：书P46 10、11。

江苏省常州市西夏墅中学高中数学第1章三角函数教案新人教版必修4数学（必修4）共有三章内容，第1章《三角函数》，第2章《平面向量》，第3章《三角恒等变换》．各章内容均围绕着对同一个背景进行数学研究的过程而逐层展开，全书的整体结构如下：目标定位1．第1章《三角函数》，首先从自然界广泛的周期性现象中聚焦到圆周上一点的运动，这是一个简单又基本的例子，是一个待解剖的“小麻雀”．于是问题自然地提出：用什么样的数学模型来刻画周期性运动？这就明确了任务：建构这样的数学模型，同时也指明了教学起点：对周期性现象的数学（分析）研究；即建构刻画周期性现象的数学模型的（思维）过程．本章定位为“展示建构刻画周期性现象的数学模型的数学（思维）过程”．2．本章具体的教学目标是：（1）通过“问题链”中问题的不断提出和不断解决，经历和认识“数学发生与发展”的生长过程，感受和体验“人类研究和发现数学”的思维过程．在一系列化问题的指引下，师生可以真正主动地参与建构数学的活动，进而发展学生的数学思维．（2）以“数学地研究”的主线，展示数学研究的一般程序．侧重“模型化”数学思想的运用，使学生在逐步学会研究数学的同时逐步学会学习数学．（3）充分发挥第1章“函数”的作用，在学习过程中尽可能地与“函数”一章密切联系，突出“特殊与一般”的思想方法在学习过程中的重要作用．教材解读1．教材采用了以问题链展开的呈现方式．在提出问题的环节，问题间的逻辑递进，以及问题对强化目标（建构刻画周期性现象的数学模型）的指向作用等方面进行了精心设计．例如，教材在提出：“怎样将锐角三角函数推广到任意角？”的问题之前，还安排了另一个问题：“用怎样的数学模型建立（x,y）与（r,α）之间的关系？”这就是考察锐角三角函数的“理由”．那么，为什么要研究（x,y）与（r,α）间的关系呢？这是因为用（r,α）,（x,y）都可以表示圆周上的点．那么，为什么要表示圆周上的点呢？这是为了刻画圆周上点的运动．那么为什么要刻画圆周上点的运动呢？这是因为它是周期现象的“一个简单又基本的例子”．为什么要研究周期现象呢？这就追到了最根本之处：因为我们的任务就是要“建构刻画周期性现象的数学模型．”这里的问题串，揭示了建构数学模型的思维过程，揭示了数学知识间的联系．2．教材按照数学研究的一般程序展开．数学研究的一般程序即：“问题——建立模型——研究模型——解释、应用与拓展”．特别地，建立“三角函数”的数学模型是本章的难点与重点，而研究“三角函数”则是置于“函数”的大背景之下进行，更进一步的研究将在后续各章节中（特别在第十章）逐步展开．3．教材突出了三角函数的周期性．本章的研究对象是周期性现象，建构的是“刻画周期性现象的数学模型”，教材突出了周期性，它是教材的出发点和归属．首先研究“三角函数的周期性”，为此专门列了一节．三角函数的周期性，不是由图象得到的，而是从三角函数的定义，从终边位置周而复始的出现，从诱导公式，即从以前的研究过程中得到的．相反，三角函数周期性的研究为后续图象与性质的研究起了铺垫作用．在正式研究三角函数的性质之前，教科书就从总体上作出了判断：“周而复始的基本性质必然蕴含在三角函数的性质之中”，因为三角函数就是我们为刻划周期运动而建构的数学模型．这样的判断对不对呢？这就促使我们来研究三角函数具有哪些性质？首先什么是“周而复始的基本性质？“这样就提出了本小节的问题：如何用数学语言刻划函数的周期性？这样的设计，不仅为三角函数性质的学习提供了问题背景，突出了本章“建立刻画周期性现象的数学模型”这一主题，而且充分地发挥了理性思维的作用．周期函数的定义是学习中的一个难点．同学们可以从“周而复始的重复出现”出发，如“白天黑夜、白天黑夜”，一步步地使语言精确化，通过“每隔一定时间出现”、“自变量每增加或减少一个值函数值就重复出现”等逐步抽象出函数周期性的定义．4．加强几何直观，强调形数结合的思想．三角函数的基础是几何中的相似形和圆，而研究方法又主要是代数的，因此三角函数集中地体现了形数结合的思想，在代数和几何之间建立了初步的联系．在本章中，充分渗透了数形结合的思想．一方面是以形助数，突出了几何直观对理解抽象数学概念的作用．如在三角函数及其性质的学习中，注意充分发挥单位圆的直观作用，借助单位圆认识任意角、任意角的三角函数，理解三角函数的周期性、诱导公式、同角三角函数关系式以及三角函数的图象；通过角终边之间的对称关系来研究诱导公式；借助三角函数的图象理解三角函数在一个周期上的单调性、最大和最小值、图象与x 轴的交点等性质；另一方面以数助形．特别值得一提的是诱导公式的推导．首先提出问题：“由三角函数的定义可以知道：终边相同的角的同一三角函数值相等．除此以外还有一些角，它们的终边具有某种特殊关系，如关于坐标轴对称，关于原点对称等，那么它们之间的三角函数值之间具有什么样的关系呢？”导出公式的程序如下：上述推导方式本意有三点： （1）问题是“从对三角函数的性质进行研究”这个主题中派生出来的，是对“模型”研究的一个有机的组成部分，而不是为了将任意角转化为锐角以便查表求值才来讨论诱导公式．（2）三角函数的值是由角的终边的位置决定的，因此从终边的位置关系提出问题就更为合理．（3）突出了形数结合思想．特别是教材中，在小结时，更是深刻地揭示了诱导公式的本质：“诱导公式所揭示的是终边有某种对称关系的两个角三角函数之间的关系．换句话说，诱导公式实质是将终边对称的图形关系“翻译”成三角函数之间的代数关系．教学方法与教学建议1. 要突出数学模型思想．充分利用本章引言提供的情境，利用学习《函数》的经验，自觉地参与建构刻画周期现象的数学模型的活动，在学习之初就建立起从数学模型的角度看三角函数的意识．2．以问题为中心．以“问题串”为载体，充分发挥理性思维在建构数学模型中的作用．在感悟和理解通过问题串，揭示建构数学模型的思维过程，揭示数学知识间的联系的同时，学会提出问题，注重学会发现．3．加强相关知识的联系，注意章节之间的铺垫与呼应，形与数的结合．发挥单位圆、三角函数线、图象的直观作用．4．运用和深化函数思想方法．三角函数是高中阶段系统学习的又一个基本初等函数，应当注意运用《数学（必修l）》中学到的研究函数的方法为指导来学习本章知识，即在函数观点的指导下，学习三角函数．例如：用集合与对应的函数观点看三角函数，这是一种“多对一”的函数；用函数研究中的基本问题（对应关系、定义域、值域、表示方法、图象，单调性、奇偶性等）来理解学习三角函数的进程；在讨论y=A sin(ωx+φ)的图象时，渗透函数变换与图象变换（平移、伸缩）的关系．5．恰当地使用信息技术．有条件应尽量使用计算器（机）．把计算机变成学习的好伙伴．。

第一章三角函数学案1．三角函数的概念重点掌握以下两方面内容：①理解任意角的概念和弧度的意义，能正确迅速进行弧度与角度的换算．②掌握任意的角α的正弦、余弦和正切的定义，能正确快速利用三角函数值在各个象限的符号解题，能求三角函数的定义域和一些简单三角函数的值域．2．同角三角函数的基本关系式能用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值和三角恒等式的证明；能逆用公式sin2α＋cos2α＝1巧妙解题．3．诱导公式能用公式一至公式六将任意角的三角函数化为锐角三角函数，利用“奇变偶不变，符号看象限”牢记所有诱导公式．善于将同角三角函数的基本关系式和诱导公式结合起来使用，通过这些公式进行化简、求值，达到培养推理运算能力和逻辑思维能力提高的目的．4．三角函数的图象与性质函数y＝sin x y＝cos x y＝tan x图象定义域R R (kπ－π2，kπ＋π2)(k∈Z)值域[－1,1][－1,1](－∞，＋∞)最值x＝2kπ＋π2(k∈Z)时，y max＝1；x＝2kπ－π2(k∈Z)时，y min＝－1x＝2kπ(k∈Z)时，y max＝1；x＝2kπ＋π(k∈Z)时，y min＝－1无最大、最小值周期性周期T＝2kπ(k∈Z)周期T＝2kπ(k∈Z)周期T＝kπ(k∈Z)奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在2kπ－π2，2kπ＋π2(k∈Z)上是增函数；在2kπ＋π2，2kπ＋3π2(k∈Z)上是减函数在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是增函数；在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是减函数在(kπ－π2，kπ＋π2)(k∈Z)上是增函数对称性轴对称图形，对称轴方程是x＝kπ＋π2，k∈Z；轴对称图形，对称轴方程是x＝kπ，k∈Z；中心对称图形，对称中心对称图形，对称中心⎝⎛⎭⎪⎫kπ2，0(k∈Z)中心对称图形，对称中心(k π，0)(k ∈Z )中心(k π＋π2，0)(k ∈Z )5.三角函数的图象与性质的应用(1)重点掌握“五点法”，会进行三角函数图象的变换，能从图象中获取尽可能多的信息，如周期、半个周期、四分之一个周期等，如轴对称、中心对称等，如最高点、最低点与对称中心之间位置关系等．能从三角函数的图象归纳出函数的性质．(2)牢固掌握三角函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性和对称性．在运用三角函数性质解题时，要善于运用数形结合思想、分类讨论思想、化归转化思想将综合性较强的试题完整准确地进行解答．题型一 任意角的三角函数的定义及三角函数线掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及三角函数线，能够利用三角函数的定义求三角函数值，利用三角函数线判断三角函数的符号，借助三角函数线求与三角函数有关的定义域． 例1 求函数y ＝sin x ＋ cos x －12的定义域．解 由题意知 ⎩⎪⎨⎪⎧ sin x ≥0，cos x －12≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，cos x ≥12，如图，结合三角函数线知：⎩⎪⎨⎪⎧2k π≤x ≤2k π＋πk ∈Z ，2k π－π3≤x ≤2k π＋π3k ∈Z ，解得2k π≤x ≤2k π＋π3(k ∈Z )，∴函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π≤x ≤2k π＋π3，k ∈Z . 跟踪演练1 设f (x )＝1－2sin x . (1)求f (x )的定义域；(2)求f (x )的值域及取最大值时x 的值． 解 (1)由1－2sin x ≥0，根据正弦函数图象知： 定义域为{x |2k π＋56π≤x ≤2k π＋13π6，k ∈Z }．(2)∵－1≤sin x ≤1， ∴－1≤1－2sin x ≤3， ∵1－2sin x ≥0， ∴0≤1－2sin x ≤3， ∴f (x )的值域为[0，3]，当x ＝2k π＋3π2，k ∈Z 时，f (x )取得最大值．题型二 同角三角函数的关系式及诱导公式(1)牢记两个基本关系式sin 2 α＋cos 2α＝1及sin αcos α＝tan α，并能应用两个关系式进行三角函数的求值、化简、证明．在应用中，要注意掌握解题的技巧，同时要体会数学思想方法，如数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想及函数与方程思想的应用． (2)诱导公式可概括为k ·π2±α(k ∈Z )的各三角函数值的化简公式．记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限．其中的奇、偶是指π2的奇数倍或偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．若是奇数倍，则函数名称变为相应的异名函数(即正余互变)；若是偶数倍，则函数名称不变．符号看象限是指把α看成锐角时原函数值的符号作为结果的符号．例2 已知2＋tan θ－π1＋tan 2π－θ＝－4，求(sin θ－3cos θ)(cos θ－sin θ)的值．解 方法一 由已知2＋tan θ1－tan θ＝－4，∴2＋tan θ＝－4(1－tan θ)，解得tan θ＝2. ∴(sin θ－3cos θ)(cos θ－sin θ) ＝4sin θcos θ－sin 2θ－3cos 2θ ＝4sin θcos θ－sin 2θ－3cos 2θsin 2 θ＋cos 2θ＝4tan θ－tan 2θ－3tan 2θ＋1＝8－4－34＋1＝15. 方法二 由已知2＋tan θ1－tan θ＝－4，解得tan θ＝2.即sin θcos θ＝2，∴sin θ＝2cos θ. ∴(sin θ－3cos θ)(cos θ－sin θ)＝(2cos θ－3cos θ)(cos θ－2cos θ)＝cos 2θ＝cos 2θsin 2 θ＋cos 2θ＝1tan 2θ＋1＝15. 跟踪演练2 已知α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝15.(1)求tan α的值；(2)把1cos 2 α－sin 2α用tan α表示出来，并求其值． 解 (1)方法一 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝15， ①sin 2 α＋cos 2 α＝1， ②由①得cos α＝15－sin α，将其代入②，整理得25sin 2 α－5sin α－12＝0.∵α是三角形内角，∴sin α＞0，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝45，cos α＝－35，∴tan α＝－43.方法二 ∵sin α＋cos α＝15，∴(sin α＋cos α)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫152，即1＋2sin αcos α＝125，∴2sin αcos α＝－2425，∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋2425＝4925.∵sin αcos α＝－1225＜0且0＜α＜π，∴sin α＞0，cos α＜0，∴sin α－cos α＞0， ∴sin α－cos α＝75，由⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝15，sin α－cos α＝75，得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝45，cos α＝－35，∴tan α＝－43.(2)1cos 2α－sin 2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2α－sin 2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2αcos 2α－sin 2αcos 2α ＝tan 2α＋11－tan 2α， ∵tan α＝－43，∴1cos 2α－sin 2α＝tan 2α＋11－tan 2α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－432＋11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－432＝－257. 题型三 三角函数的图象及变换三角函数的图象是研究三角函数性质的基础，又是三角函数性质的具体体现．在平时的考查中，主要体现在三角函数图象的变换和解析式的确定，以及通过对图象的描绘、观察来讨论函数的有关性质．具体要求：(1)用“五点法”作y ＝A sin (ωx ＋φ)的图象时，确定五个关键点的方法是分别令ωx ＋φ＝0，π2，π，3π2，2π.(2)对于y ＝A sin (ωx ＋φ)＋b 的图象变换，应注意先“平移”后“伸缩”与先“伸缩”后“平移”的区别．(3)由已知函数图象求函数y ＝A sin (ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的解析式时，常用的解题方法是待定系数法，由图中的最大值或最小值确定A ，由周期确定ω，由适合解析式的点的坐标来确定φ，但由图象求得的y ＝A sin (ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的解析式一般不是唯一的，只有限定φ的取值范围，才能得出唯一的解，否则φ的值不确定，解析式也就不唯一． 例3 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)在一个周期内的图象如图．(1)求y ＝f (x )的解析式；(2)若函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，求y ＝g (x )的解析式．解 (1)由题意，知A ＝2，T ＝7－(－1)＝8，故ω＝2πT ＝π4.∵图象过点(－1,0)，∴－π4＋φ＝0.∴φ＝π4.∴所求的函数解析式为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4.(2)∵g (x )与f (x )的图象关于直线x ＝2对称，∴g (x )的图象是由f (x )沿x 轴平移得到的，找出f (x )上的点(1,2)关于直线x ＝2的对称点(3,2)，代入g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4x ＋θ得θ＝－π4，∴g (x )的解析式为g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π4.跟踪演练3 若0<x <π2，则2x 与πsin x 的大小关系是________．①2x >πsin x ；②2x <πsin x ；③2x ＝πsin x ；④与x 的取值有关． 答案 ②解析 在同一坐标平面内作出函数y ＝2x 与函数y ＝πsin x 的图象，如图所示．观察图象易知：当x ＝0时，2x ＝πsin x ＝0；当x ＝π2时，2x ＝πsin x ＝π； 当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，函数y ＝2x 是直线段，而曲线y ＝πsin x 是上凸的．所以2x <πsin x .题型四 三角函数的性质三角函数的性质，重点应掌握y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等有关性质，在此基础上掌握函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，y ＝A cos(ωx ＋φ)及y ＝A tan(ωx ＋φ)的相关性质．在研究其相关性质时，将ωx ＋φ看成一个整体，利用整体代换思想解题是常见的技巧．例4 已知f (x )是定义在R 上的偶函数，对任意实数x 满足f (x ＋2)＝f (x )，且f (x )在[－3，－2]上单调递减，而α，β是锐角三角形的两个内角，求证：f (sin α)>f (cos β)． 证明 ∵f (x ＋2)＝f (x )，∴y ＝f (x )的周期为2. ∴f (x )在[－1,0]与[－3，－2]上的单调性相同． ∴f (x )在[－1,0]上单调递减．∵f (x )是偶函数， ∴f (x )在[0,1]上的单调性与[－1,0]上的单调性相反．∴f (x )在[0,1]上单调递增．① ∵α，β是锐角三角形的两个内角， ∴α＋β>π2，∴α>π2－β，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，π2－β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.又∵y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增， ∴sin α>sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β＝cos β，即sin α>cos β.②由①②，得f (sin α)>f (cos β)．跟踪演练 4 已知a ＞0，函数f (x )＝－2a sin(2x ＋π6)＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1.(1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2且lg g (x )＞0，求g (x )的单调区间．解 (1)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6. ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1， ∴－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈[－2a ，a ]．∴f (x )∈[b,3a ＋b ]，又∵－5≤f (x )≤1，∴b ＝－5,3a ＋b ＝1， 因此a ＝2，b ＝－5. (2)由(1)得a ＝2，b ＝－5， ∴f (x )＝－4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1，g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋7π6－1＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1， 又由lg g (x )＞0得g (x )＞1，∴4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1＞1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＞12， ∴2k π＋π6＜2x ＋π6＜2k π＋5π6，k ∈Z ，其中当2k π＋π6＜2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时，g (x )单调递增，即k π＜x ≤k π＋π6，k ∈Z ，∴g (x )的单调增区间为⎝⎛⎭⎪⎫k π，k π＋π6，k ∈Z .又∵当2k π＋π2＜2x ＋π6＜2k π＋5π6，k ∈Z 时，g (x )单调递减，即k π＋π6＜x ＜k π＋π3，k ∈Z .∴g (x )的单调减区间为⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z .三角函数的性质是本章复习的重点，在复习时，要充分利用数形结合思想把图象与性质结合起来，即利用图象的直观性得到函数的性质，或由单位圆中三角函数线表示的三角函数值来获得函数的性质，同时也能利用函数的性质来描述函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练运用数形结合的思想方法．。

２018版高中数学第一章三角函数１.3.4 三角函数的应用学案苏教版必修4编辑整理:尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望(2０1８版高中数学第一章三角函数 1.3．4 三角函数的应用学案苏教版必修４)的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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1.3．4 三角函数的应用学习目标 1.会用三角函数解决一些简单的实际问题。

２.体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.知识点利用三角函数模型解释自然现象在客观世界中,周期现象广泛存在，潮起潮落、星月运转、昼夜更替、四季轮换,甚至连人的情绪、体力、智力等心理、生理状况都呈现周期性变化.思考现实世界中的周期现象可以用哪种数学模型描述？梳理利用三角函数模型解决实际问题的一般步骤:第一步:阅读理解，审清题意.读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字，理解题目所反映的实际背景,在此基础上分析出已知什么、求什么,从中提炼出相应的数学问题．第二步：收集、整理数据，建立数学模型．根据收集到的数据找出变化规律，运用已掌握的三角函数知识、物理知识及相关知识建立关系式,将实际问题转化为一个与三角函数有关的数学问题,即建立三角函数模型,从而实现实际问题的数学化．第三步:利用所学的三角函数知识对得到的三角函数模型予以解答．第四步:将所得结论转译成实际问题的答案.类型一三角函数模型在物理中的应用例1 已知电流Ｉ与时间t的关系为I=A sin(ωt+φ).（１)如图所示的是I=Aｓiｎ（ωt＋φ)（ω〉0,|φ|<＼f(π,2)）在一个周期内的图象，根据图中数据求I＝A sin(ωt+φ)的解析式;(2)如果t在任意一段＼f(1,150)的时间内,电流I=A siｎ(ωt+φ）都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少?反思与感悟此类问题的解决关键是将图形语言转化为符号语言,其中,读图、识图、用图是数形结合的有效途径．跟踪训练１一根细线的一端固定，另一端悬挂一个小球,当小球来回摆动时，离开平衡位置的位移Ｓ(单位:cm)与时间t（单位:s)的函数关系是S＝6ｓin（2πt+＼ｆ（π,６)）.(１)画出它的图象；(2)回答以下问题:①小球开始摆动(即ｔ=0）时，离开平衡位置多少？②小球摆动时,离开平衡位置的最大距离是多少?③小球来回摆动一次需要多少时间？类型二三角函数模型在生活中的应用例2 某游乐园的摩天轮最高点距离地面108米,直径长是98米,匀速旋转一圈需要18分钟．如果某人从摩天轮的最低处登上摩天轮并开始计时,那么:(1)当此人第四次距离地面＼f(69，２) 米时用了多少分钟？(２）当此人距离地面不低于（5９+＼f（49,2)3)米时可以看到游乐园的全貌,求摩天轮旋转一圈中有多少分钟可以看到游乐园的全貌？反思与感悟解决三角函数的实际应用问题必须按照一般应用题的解题步骤执行：(1）认真审题，理清问题中的已知条件与所求结论；(2)建立三角函数模型,将实际问题数学化;(3)利用三角函数的有关知识解决关于三角函数的问题,求得数学模型的解；（4）根据实际问题的意义,得出实际问题的解;(５)将所得结论返回、转译成实际问题的答案.跟踪训练2 如图所示,一个摩天轮半径为１０ m，轮子的底部在距离地面2 m处，如果此摩天轮按逆时针转动,每3０ s转一圈，且当摩天轮上某人经过点P处(点P与摩天轮中心高度相同）时开始计时.（1)求此人相对于地面的高度关于时间的关系式;（２)在摩天轮转动的一圈内,大约有多长时间此人相对于地面的高度不小于17 m。

三角函数一、三角函数的基本概念 1.角的概念的推广(1)角的分类:正角(逆转) 负角(顺转) 零角(不转) (2)终边相同角:)(3600Z k k ∈+⋅=αβ (3)直角坐标系中的象限角与坐标轴上的角. 2.角的度量(1)角度制与弧度制的概念 (2)换算关系:8157)180(1)(180'≈==ππ弧度弧度(3)弧长公式:r l ⋅=α 扇形面积公式:22121r lr S α== 3.任意角的三角函数yxx y x rr x y r r y ======ααααααcot tan sec cos csc sin注:三角函数值的符号规律“一正全、二正弦、三双切、四余弦” 二、同角三角函数的关系式及诱导公式 （一）诱导公式：α-απ- απ+ απ-2απ-2απ+2απ-23 απ+23 αsinαcos αtanαπ±⋅2k )(Z k ∈与α的三角函数关系是“立变平不变，符号看象限”。

如：,27cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ ()⎪⎭⎫⎝⎛--απαπ25sin ;5tan 等。

（二）同角三角函数的基本关系式： ①平方关系1cos sin 22=+αα；αααα2222tan 11cos cos 1tan 1+=⇔=+②商式关系αααtan cos sin =；αααcot sin cos = yxP(x,y)r22>+=y x r 0y全++++sinα和cscαtanα和cotαcosα和secα③倒数关系1cot tan =αα；1sec cos ;1csc sin ==αααα。

关于公式1cos sin 22=+αα的深化()2cos sin sin 1ααα±=±；αααcos sin sin 1±=±；2cos2sinsin 1ααα+=+如：4cos 4sin 4cos 4sin 8sin 1--=+=+；4cos 4sin 8sin 1-=-注：1、诱导公式的主要作用是将任意角的三角函数转化为 0~ 90角的三角函数。

2019-2020年高中数学《三角函数的应用》教案1苏教版必修4【三维目标】：一、知识与技能1. 会由函数的图像讨论其性质；能解决一些综合性的问题。

2.会根据函数图象写出解析式；能根据已知条件写出中的待定系数．3.培养学生用已有的知识解决实际问题的能力二、过程与方法1. 通过具体例题和学生练习，使学生能根据函数图象写出解析式；能根据已知条件写出中的待定系数．2.并根据图像求解关系性质的问题；讲解例题，总结方法，巩固练习。

三、情感、态度与价值观通过本节的学习，渗透数形结合的思想；通过学生的亲身实践，引发学生学习兴趣；创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度；让学生感受数学的严谨性，培养学生逻辑思维的缜密性。

【教学重点与难点】：重点：待定系数法求三角函数解析式;难点：根据函数图象写解析式；根据已知条件写出中的待定系数．【学法与教学用具】：1. 学法：2. 教学用具：多媒体、实物投影仪.【授课类型】：新授课【课时安排】：1课时【教学思路】：一、创设情景，揭示课题复习：1.由函数的图象到的图象的变换方法：方法一：先移相位，再作周期变换，再作振幅变换；方法二：先作周期变换，再作相位变换，再作振幅变换。

2.如何用五点法作的图象？3.对函数图象的影响作用二、研探新知函数[(,),0),sin(+∞∈+=x x A y ϕω其中的物理意义：函数表示一个振动量时：：这个量振动时离开平衡位置的最大距离，称为“振幅”：往复振动一次所需的时间，称为“周期”：单位时间内往返振动的次数，称为“频率”：称为相位：x = 0时的相位，称为“初相”三、质疑答辩，排难解惑，发展思维1．根据函数图象求解析式例1 已知函数（，）一个周期内的函数图象，如下图 所示，求函数的一个解析式。

解：由图知：函数最大值为，最小值为，又∵，∴，由图知,∴，∴，又∵， ∴图象上最高点为，∴，即，可取，所以，函数的一个解析式为．2．由已知条件求解析式例2 已知函数（，，）的最小值是， 图象上相邻两个最高点与最低点的横坐标相差，且图象经过点，求这个函数的解析式。

1.3.4 三角函数的应用整体设计教学分析三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用．三角函数模型的简单应用的设置目的，在于加强用三角函数模型刻画周期变化现象的学习．本节通过例题，循序渐进地从四个层次来介绍三角函数模型的应用，本节在素材的选择上注意了广泛性、真实性和新颖性，同时又关注到三角函数性质(特别是周期性)的应用．通过引导学生解决有一定综合性和思考水平的问题，培养他们综合应用数学和其他学科的知识解决问题的能力．培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力．由于实际问题常常涉及一些复杂数据，因此要鼓励学生利用计算机或计算器处理数据，包括建立有关数据的散点图，根据散点图进行函数拟合等．三维目标1．能正确分析收集到的数据，选择恰当的三角函数模型刻画数据所蕴含的规律．将实际问题抽象为三角函数有关的简单函数模型．2．通过函数拟合得到具体的函数模型，提高数学建模能力，并在探究中激发学生的学习兴趣，培养锲而不舍的钻研精神，培养学生勇于探索、勤于思考的科学精神．3．通过切身感受数学建模的全过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用，及数学与日常生活和其他学科的联系．认识数学知识在生产、生活实际中所发挥的作用．体会和感受数学思想的内涵及数学本质，逐步提高创新意识和实践能力．重点难点教学重点：分析、整理、利用信息，从实际问题中抽取基本的数学关系来建立三角函数模型，用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题．教学难点：将某些实际问题抽象为三角函数的模型，并调动相关学科的知识来解决问题，是本节的难点，主要原因是背景陌生，数据处理较复杂，学习起来感到难以切入．课时安排2课时教学过程第1课时导入新课思路1.(问题导入)既然大到宇宙天体的运动，小到质点的运动以及现实世界中具有周期性变化的现象无处不在，那么究竟怎样用三角函数解决这些具有周期性变化的问题？它到底能发挥哪些作用呢？由此展开新课．思路2.(直接导入)我们已经学习了三角函数的概念、图象与性质，特别研究了三角函数的周期性．在现实生活中，如果某种变化着的现象具有周期性，那么是否可以借助三角函数来描述呢？面临一个实际问题，应当如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？以下通过几个具体例子，来研究这种三角函数模型的简单应用．推进新课新知探究用三角函数的图象和性质解决一些简单的生活实际问题．活动：师生互动，唤起回忆，充分复习前面学习过的建立数学模型的方法与过程．对课前已经做好复习的学生给予表扬，并鼓励他们类比以前所学知识方法，继续探究新的数学模型．对还没有进入状态的学生，教师要帮助其回忆并快速激起相应的知识方法．在教师的引导下，学生能够较好地回忆起解决实际问题的基本过程是：收集数据→画散点图→选择函数模型→求解函数模型→检验→用函数模型解释实际问题．这点很重要，学生只要有了这个认知基础，本节的简单应用便可迎刃而解．新课标下的教学要求，不是教师给学生解决问题或带领学生解决问题，而是教师引领学生逐步登高，在合作探究中自己解决问题，探求新知．简单地说，数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时，所得出的关于实际问题的数学描述．数学模型的方法，是把实际问题加以抽象概括，建立相应的数学模型，利用这些模型来研究实际问题的一般数学方法．解决问题的一般程序是：(1)审题：逐字逐句地阅读题意，审清楚题目条件、要求、理解数学关系；(2)建模：分析题目变化趋势，选择适当函数模型；(3)求解：对所建立的数学模型进行分析研究得到数学结论；(4)还原：把数学结论还原为实际问题的解答．应用示例思路1例1见课本本节例1.变式训练如图1，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y ＝sin(ωx＋φ)＋b.图1(1)求这一天的最大温差；(2)写出这段曲线的函数解析式．活动：这道题目是2002年全国卷的一道高考题，探究时教师与学生一起讨论．本题是研究温度随时间呈周期性变化的问题．教师可引导学生思考，本题给出模型了吗？给出的模型函数是什么？要解决的问题是什么？怎样解决？然后完全放给学生自己讨论解决． 题目给出了某个时间段的温度变化曲线这个模型．其中第(1)小题实际上就是求函数图象的解析式，然后再求函数的最值差．教师应引导学生观察思考：“求这一天的最大温差”实际指的是“求6时到14时这段时间的最大温差”，可根据前面所学的三角函数图象直接写出而不必再求解析式．让学生体会不同的函数模型在解决具体问题时的不同作用．第(2)小 题只要用待定系数法求出解析式中的未知参数，即可确定其解析式．其中求ω是利用半周期(14－6)，通过建立方程得解．解：(1)由图可知，这段时间的最大温差是20 ℃.(2)从图中可以看出，从6～14时的图象是函数y ＝Asin(ωx＋φ)＋b 的半个周期的图象，∴A＝12(30－10)＝10，b ＝12(30＋10)＝20. ∵12·2πω＝14－6，∴ω＝π8.将x ＝6，y ＝10代入上式，解得φ＝3π4.综上，所求解析式为y ＝10sin(π8x ＋3π4)＋20，x∈[6,14]． 点评：本题中所给出的一段图象恰好是半个周期的图象，提醒学生注意抓关键．本题所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时段的温度变化情况，因此应当特别注意自变量的变化范围，这点往往被学生忽略掉.例2见课本本节例2.例3如图2，设地球表面某地正午太阳高度角为θ，δ为此时太阳直射纬度，φ为该地的纬度值，那么这三个量之间的关系是θ＝90°－|φ－δ|.当地夏半年δ取正值，冬半年δ取负值．如果在北京地区(纬度数约为北纬40°)的一幢高为h 0的楼房北面盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，两楼的距离不应小于多少？图2活动：本例所用地理知识、物理知识较多，综合性比较强，需调动相关学科的知识来帮助理解问题，这是本节的一个难点．在探讨时要让学生充分熟悉实际背景，理解各个量的含义以及它们之间的数量关系．首先由题意要知道太阳高度角的定义：设地球表面某地纬度值为φ，正午太阳高度角为θ，此时太阳直射纬度为δ，那么这三个量之间的关系是θ＝90°－|φ－δ|.当地夏半年δ取正值，冬半年δ取负值．根据地理知识，能够被太阳直射到的地区为南、北回归线之间的地带，图形如图3，由画图易知太阳高度角θ、楼高h0与此时楼房在地面的投影长h之间有如下关系：h0＝htanθ.由地理知识知，在北京地区，太阳直射北回归线时物体的影子最短，直射南回归线时物体的影子最长．因此，为了使新楼一层正午的太阳全年不被遮挡，应当考虑太阳直射南回归线时的情况．解：如图3，A、B、C分别为太阳直射北回归线、赤道、南回归线时楼顶在地面上的投影点．要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，应取太阳直射南回归线的情况考虑，此时的太阳直射纬度－23°26′.依题意，两楼的间距应不小于MC.图3根据太阳高度角的定义，有∠C＝90°－|40°－(－23°26′)|＝26°34′，所以MC＝h0tanC＝h0tan26°34′≈2.000h0，即在盖楼时，为使后楼不被前楼遮挡，要留出相当于楼高两倍的间距．点评：本例是研究楼高与楼在地面的投影长的关系问题，是将实际问题直接抽象为与三角函数有关的简单函数模型，然后根据所得的函数模型解决问题．要直接根据图2来建立函数模型，学生会有一定困难，而解决这一困难的关键是联系相关知识，画出图3，然后由图形建立函数模型，问题得以求解．这道题的结论有一定的实际应用价值．教学中，教师可以在这道题的基础上再提出一些问题，如下例的变式训练，激发学生进一步探究.知能训练课本本节练习1、2.课堂小结1．本节课我们学习了三个层次的三角函数模型的应用，即根据图象建立解析式，根据解析式作出图象，将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型．你能概括出建立三角函数模型解决实际问题的基本步骤吗？2．实际问题的背景往往比较复杂，而且需要综合应用多学科的知识才能解决它．因此，在应用数学知识解决实际问题时，应当注意从复杂的背景中抽取基本的数学关系，还要调动相关学科知识来帮助理解问题．作业1．图5表示的是电流I 与时间t 的函数关系I ＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图象．图5(1)根据图象写出I ＝Asin(ωx＋φ)的解析式．(2)为了使I ＝Asin(ωx＋φ)中的t 在任意一段1100s 的时间内电流I 能同时取得最大值和最小值，那么正整数ω的最小值为多少？解：(1)由图知A ＝300，第一个零点为(－1300，0)，第二个零点为(1150，0)， ∴ω·(－1300)＋φ＝0，ω·1150＋φ＝π. 解得ω＝100π，φ＝π3. ∴I＝300sin(100πt＋π3)． (2)依题意有T≤1100，即2πω≤1100， ∴ω≥200π，故ωmin ＝629.2．搜集、归纳、分类现实生活中周期变化的情境模型．解：如以下两例：①人体内部的周期性节律变化和个人的习惯性的生理变化，如人体脉搏、呼吸、排泄、体温、睡眠节奏、饥饿程度等；②蜕皮(tuipi)昆虫纲和甲壳纲等节肢动物，以及线形动物等的体表具有坚硬的几丁质层，虽有保护身体的作用，但限制动物的生长、发育．因此，在胚后发育过程中，必须进行1次或数次脱去旧表皮，再长出宽大的新表皮后，才变成成虫，这种现象称为蜕皮；蜕下的“旧表皮”称为“蜕”，只有这样，虫体才能得以继续充分生长、发育．蜕皮现象的发生具有周期性，但蜕皮的准备和蜕皮过程是连续进行的．此外，脊椎动物爬行类的蜕皮现象尤为明显，如蜥蜴和蛇具有双层角质层，其外层在定期蜕皮时脱掉，蛇的外层角质层连同眼球外面透明的皮肤，约每2个月为一个周期可完整地脱落1次，称为蛇蜕．设计感想1．本教案设计指导思想是：充分唤起学生已有的知识方法，调动起相关学科的知识，尽量降低实例背景的相对难度，加大实际问题的鲜明、活跃程度，以引发学生探求问题的兴趣．2．应用三角函数模型解决问题，首先要把实际问题抽象为数学问题，确定它的周期，从而建立起适当的三角函数模型．如果学生选择了不同的函数模型，教师应组织学生进行交流，或让学生根据自己选择的模型进行求解，然后再根据所求结果与实际情况的差异进行评价．3．由于实际问题常常涉及一些复杂数据，因此要鼓励学生利用计算机或计算器处理数据，有条件的要用多媒体进行动态演示，以使学生有更多的时间用于对问题本质的理解．备课资料一、备选习题1．下列函数中，图象的一部分如图6所示的是( )图6A ．y ＝sin(x ＋π6)B ．y ＝sin(2x －π6) C ．y ＝cos(4x －π3) D ．y ＝cos(2x －π6) 2.已知函数y ＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，|φ|＜π)的一段图象如图7所示，求函数的解析式．图73．已知函数y ＝Atan(ωx＋φ)(其中A>0，ω>0，|φ|<π2)的图象与x 轴相交的两相邻点的坐标为(π6，0)和(5π6，0)，且过点(0，－3)，求此函数的解析式． 4．单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s(厘米)和时间t(秒)的函数关系为s ＝6sin(2πt＋π6)． (1)单摆开始摆动(t ＝0)时，离开平衡位置多少厘米？ (2)单摆摆动到最右边时，离开平衡位置多少厘米？ (3)单摆来回摆动一次需要多少时间？ 5．函数f(x)＝sinx ＋2|sinx|，x∈[0,2π]的图象与直线y ＝kx 有且仅有两个不同的交点，求k 的取值范围．参考答案：1．D2．由图7，得A ＝2，T 2＝3π8－(－π8)＝π2，∴T＝π.∴ω＝2.∴y＝2sin(2x ＋φ)．又∵图象经过点(－π8，2)，∴2＝2sin(－π4＋φ)．∴φ－π4＝2kπ＋π2(k∈Z )．∴φ＝2kπ＋3π4.∴函数解析式为y ＝2sin(2x ＋3π4)．3．∵T＝πω＝5π6－π6，∴ω＝32.∵32×π6＋φ＝0，且－3＝Atan(32×0＋φ)，∴A＝3，φ＝－π4.故y ＝3tan(32x －π4)．4．(1)t ＝0时，s ＝3，即离开平衡位置3厘米；(2)振幅为6，所以最右边离平衡位置6厘米；(3)T ＝1，即来回一次需要1秒钟．5.将原函数化简为f(x)＝sinx ＋2|sinx|＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3sinx ，x∈[0，π]，－sinx ，x∈π，2π]，由此可画出图8，图8由数形结合可知，k的取值范围为1＜k＜3.二、数学与音乐若干世纪以来，音乐和数学一直被联系在一起．在中世纪时期，算术、几何、天文和音乐都包括在教育课程之中．今天的新式计算机正在使这条纽带绵延不断．乐谱的书写是表现数学对音乐的影响的第一个显著的领域．在乐稿上，我们看到速度、节拍(4/4拍、3/4拍，等等)、全音符、二分音符、四分音符、八分音符、十六分音符，等等．书写乐谱时确定每小节内的某分音符数，与求公分母的过程相似——不同长度的音符必须与某一节拍所规定的小节相适应．作曲家创作的音乐是在书写出的乐谱的严密结构中非常美丽而又毫不费力地融为一体的．如果将一件完成了的作品加以分析，可见每一小节都使用不同长度的音符构成规定的拍数．除了数学与乐谱的明显关系外，音乐还与比率、指数曲线、周期函数和计算机科学相联系．毕达哥拉斯学派(公元前585～前400)是最先用比率将音乐与数学联系起来的．他们认识到拨动琴弦所产生的声音与琴弦长度有关，从而发现了和声与整数的关系．他们还发现谐声是由长度成整数比的同样绷紧的弦发出的——事实上被拨弦的每一和谐组合可表示成整数比．按整数比增加弦的长度，能产生整个音阶．例如，从产生音符C的弦开始，C的16/15长度给出B，C的6/5长度给出A，C的4/3长度给出G，C的3/2长度给出F，C的8/5长度给出E，C的16/9长度给出D，C的2/1长度给出低音C.不管是弦乐器还是由空气柱发声的管乐器，它们的结构都反映出一条指数曲线的形状．19世纪数学家约翰·傅里叶的工作使乐声性质的研究达到顶点．他证明所有乐声——器乐和声乐——都可用数学式来描述，这些数学式是简单的周期正弦函数的和．每一个声音有三个性质，即音高、音量和音质，将它与其他乐声区别开来．傅里叶的发现使声音的这三个性质可以在图形上清楚地表示出来．音高与曲线的频率有关，音量和音质分别与周期函数的振幅和形状有关．如果不了解音乐的数学，在计算机对于音乐创作和乐器设计的应用方面就不可能有进展．数学发现，具体地说即周期函数，在乐器的现代设计和声控计算机的设计方面是必不可少的．许多乐器制造者把他们的产品的周期声音曲线与这些乐器的理想曲线相比较．电子音乐复制的保真度也与周期曲线密切相关．音乐家和数学家将继续在音乐的产生和复制方面发挥着同等重要的作用．(设计者：郑吉星)第2课时导入新课思路1.(作业导入)学生搜集、归纳到的现实生活中的周期现象有：物理情景的①简单和谐运动，②星体的环绕运动；地理情景的①气温变化规律，②月圆与月缺；心理、生理现象的①情绪的波动，②智力变化状况，③体力变化状况；日常生活现象的①涨潮与退潮，②股票变化等等．思路2.(复习导入)回忆上节课三角函数模型的简单应用例子，这节课我们继续探究三角函数模型在日常生活中的一些简单应用．推进新课新知探究三角函数性质在生活中的应用．本章章头引言告诉我们，海水在月球和太阳引力作用下发生周期性涨落现象．回忆上节课的内容，怎样用上节课的方法从数学的角度来定量地解决这个问题呢？教师引导学生复习、回忆、理清思路，查看上节的课下作业．教师指导、适时设问，调动学生的学习气氛．应用示例例1货船进出港时间问题：海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后落潮时返回海洋．下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表：(1)选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，给出整点时的水深的近似数值(精确到0.001)．(2)一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙(船底与海底的距离)，该船何时能进入港口？(3)若某船的吃水深度为4米，安全间隙为1.5米，该船在2：00开始卸货，吃水深度以每小时0.3米的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？活动：引导学生观察上述问题表格中的数据，会发现什么规律？比如重复出现的几个数据．并进一步引导学生作出散点图．让学生自己完成散点图，提醒学生仔细、准确地观察散点图，如图9.图9教师引导学生根据散点的位置排列，思考可以用怎样的函数模型来刻画其中的规律．根据散点图中的最高点、最低点和平衡点，学生很容易确定选择三角函数模型．港口的水深与时间的关系可以用形如y＝Asin(ωx＋φ)＋h的函数来刻画．其中x是时间，y是水深，我们可以根据数据确定相应的A，ω，φ，h的值．这时注意引导学生与“五点法”相联系．要求学生独立操作完成，教师指导点拨，并纠正可能出现的错误，直至无误地求出解析式，进而根据所得的函数模型，求出整点时的水深．根据学生所求得的函数模型，指导学生利用计算器进行计算求解．注意引导学生正确理解题意，一天中有两个时间段可以进港．这时点拨学生思考：你所求出的进港时间是否符合时间情况？如果不符合，应怎样修改？让学生养成检验的良好习惯．在本例的(3)中，应保持港口的水深不小于船的安全水深，那么如何刻画船的安全水深呢？引导学生思考，怎样把此问题翻译成函数模型？求货船停止卸货、将船驶向深水域的含义又是什么？教师引导学生将实际问题的意义转化为数学解释，同时提醒学生注意货船的安全水深、港口的水深同时在变，停止卸货的时间应当在安全水深接近于港口水深的时候．进一步引导学生思考：根据问题的实际意义，货船的安全水深正好等于港口的水深时停止卸货行吗？为什么？正确结论是什么？可让学生思考、讨论后再由教师组织学生进行评价．通过讨论或争论，最后得出一致结论：在货船的安全水深正好等于港口的水深时停止卸货将船驶向较深水域是不行的，因为这样不能保证货船有足够的时间发动螺旋桨．解：(1)以时间为横坐标，水深为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图(图9)．根据图象，可以考虑用函数y ＝Asin(ωx＋φ)＋h 刻画水深与时间之间的对应关系．从数据和图象可以得出：A ＝2.5，h ＝5，T ＝12，φ＝0，由T ＝2πω＝12，得ω＝π6. 所以这个港口的水深与时间的关系可用y ＝2.5sin(π6x)＋5近似描述． 由上述关系式易得港口在整点时水深的近似值：(2)货船需要的安全水深为4＋1.5＝5.5(米)，所以当y≥5.5时就可以进港．令2.5sin(π6x)＋5≥5.5，得sin π6x≥0.2.画出y ＝sin(π6x)的图象，由图象可得 0．4≤x≤5.6或12.4≤x≤17.6.故该船在0：24至5：36和12：24至17：36期间可以进港．图10(3)设在时刻x 货船的安全水深为y ，那么y ＝5.5－0.3(x －2)(x≥2)．在同一坐标系内作出这两个函数的图象，可以看到在6～7时之间两个函数图象有一个交点(如图11)．图11通过计算也可以得到这个结果．在6时的水深约为5米，此时货船的安全水深约为4.3米；6.5时的水深约为4.2米，此时货船的安全水深约为4.1米；7时的水深约为3.8米，而货船的安全水深约为4米．因此为了安全，货船最好在6.7时之前停止卸货，将船驶向较深的水域．点评：本例是研究港口海水深度随时间呈周期性变化的问题，题目只给出了时间与水深的关系表，要想由此表直接得到函数模型是很困难的．对第(2)问的解答，教师需要强调，建立数学模型解决实际问题，所得的模型是近似的，并且得到的解也是近似的．这就需要根据实际背景对问题的解进行具体的分析．如本例中，一天中有两个时间段可以进港，教师应引导学生根据问题的实际意义，对答案的合理性作出解释. 变式训练 发电厂发出的电是三相交流电，它的三根导线上的电流强度分别是时间t 的函数，I A ＝Isinωt，I B ＝Isin(ωt＋120°)，I C ＝Isin(ωt＋240°)，则I A ＋I B ＋I C ＝__________. 答案：0例2已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0,0≤φ≤π)为偶函数，且其图象上相邻的一个最高点和最低点之间的距离为4＋π2.(1)求函数f(x)的解析式；(2)若sinx ＋f(x)＝23，求sinxcosx 的值． 解：(1)∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，即sin(－ωx＋φ)＝sin(ωx＋φ)．∴φ＝π2.∴f(x)＝sin(ωx＋π2)＝cosωx. 相邻两点P(x 0,1)，Q(x 0＋πω，－1)． 由题意，|PQ|＝πω2＋4＝π2＋4，解得ω＝1. ∴f(x)＝cosx.(2)由sinx ＋f(x)＝23，得sinx ＋cosx ＝23. 两边平方，得sinxcosx ＝－518. 例3小明在直角坐标系中，用1 cm 代表一个单位长度作出了一条正弦曲线的图象．若他将纵坐标改用2 cm 代表一个单位长度，横坐标不变，那么他所作的曲线的函数解析式是什么？若他将横坐标改用2 cm 代表一个单位长度，而纵坐标不变，那么他所作的曲线的函数解析式又是什么？解：小明原作的曲线为y ＝sinx ，x∈R ，由于纵坐标改用了2 cm 代表一个单位长度，与原来1 cm 代表一个单位长度比较，单位长度增加到原来的2倍，所以原来的1 cm 只能代表12个单位长度了．由于横坐标没有改变，曲线形状没有变化，而原曲线图象的解析式变为y ＝12sinx ，x∈R .同理，若纵坐标保持不变，横坐标改用2 cm 代表一个单位长度，则横坐标被压缩到原来的12，原曲线周期就由2π变为π.故改变横坐标后，原曲线图象的解析式变为y ＝sin2x ，x∈R .例4求方程lgx ＝sinx 实根的个数．解：由方程式模型构建图象模型．在同一坐标系内作出函数y ＝lgx 和y ＝sinx 的图象，如图12.可知原方程的解的个数为3.图12点评：单解方程是很困难的，而根据方程式模型构建图象模型，利用数形结合来解就容易多了，教师要让学生熟练掌握这一方法．知能训练课本习题1.3 14.课堂小结1．让学生回顾本节课的数学模型都解决了哪些现实生活中的问题，用三角函数模型刻画周期变化规律对国家建设、制定未来计划，以及我们的学习、生活都发挥着什么样的作用．2．三角函数应用题通常涉及生产、生活、军事、天文、地理和物理等实际问题，其解答流程大致是：审读题意→设角建立三角式→进行三角变换→解决实际问题．在解决实际问题时，要学会具体问题具体分析，充分运用数形结合的思想，灵活地运用三角函数的图象和性质解决现实问题．作业课本习题1.3 13.设计感想1．本节是三角函数内容中新增加的一节，目的是加强学生的应用意识，本节教案设计的指导思想，是让学生围绕着采集到的数据展开讨论，在学生思考探究的过程中，学会积极冷静地对待陌生背景，正确处理复杂数据以及准确分析问题中的数量关系，这很符合新课改理念．2．现实生活中的问题是多变的，学生的思维是发散的，观察的视角又是多样的，因此课题教学中，教师要善于挖掘并发现学生思维的闪光点，通过讨论例题这个载体，充分激发学生的潜能，让学生从观察走向发现，从发现走向创造，走向创新．3．学生面对枯燥的数据，潜意识里是讨厌的，因此教师要在有限的课堂时间里，着重解决物理背景下、地理背景下的三角函数的函数模型的选定，不要把时间浪费在一些计算上．备课资料一、备选习题1．图13是周期为2π的三角函数f(x)的图象，那么f(x)可写成( )图13A．sin(1＋x) B．sin(－1－x)C．sin(x－1) D．sin(1－x)。